Download - Trabajo de Analisis Matematico TERMINADO
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
1
“Año de la Inversión para el Desarrollo
Rural y la Seguridad Alimentaria“
¨FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS¨
CURSO: ANÁLISIS MATEMÁTICO II
TEMA: “INTEGRALES DOBLES, TRIPLES, DE LINEA Y
DE SUPERFICIE”
DOCENTE: ARAMBULO OSTOS, CARLOS EDUARDO
CICLO: III
ALUMNOS: MACHUCA IPARRAGUIRRE, ISAC 1220602
SIMON INZA, FREDD GANDHI 1220926
TURNO: NOCHE
LIMA – PERU
OCTUBRE – 2013
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
2
INTEGRALES DOBLES
Definición:
Sea R una región y acotada del plano en .
Sea f: R una función definida sobre la región R.
Los pasos que conducen a la definición de integral doble son:
Consideramos una cuadrilla que contenga a R siendo i=1,…n rectángulos de la cuadrilla, de
áreas respectivas , totalmente contenidos en R.
Escogemos ( punto arbitrario de i=1,…n.
Calculamos la suma ∑
Consideramos cuadrillas cada vez más finas que contengan a R, de modo que las dimensiones de
cada rectángulo tiendan a 0(cero), y el número de rectángulo contenidos en R sea cada vez mayor.
Entonces definimos:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
3
FUNCIONES INTEGRALES
La función escalar de dos variables f definida en la región R cerrada y acotada se dice que es integrable
sobre R si solo si verifica la existencia del límite anterior y su valor es finito. El valor del límite recibe el
nombre de integral doble de f sobre R.
Condición suficiente de integrabilidad
Si la función f es continua en la región R cerrada y acotada entonces f es integrable sobre R.
Interpretación de la Integral Doble
1. Si f(x,y)= 1 en R, Área =∬
2. Si f(x,y) 0 en R, ∬
Representa el volumen del solidoide paredes laterales rectas limitado arriba por la superficie z=f(x,y)y
abajo por la región R en el plano z=0
3. Si R= es a lo sumo una curva.
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
4
Calculo de integrales dobles sobre rectángulos
Si es una función continua sobre el rectángulo R= (a,b)*(c,d) entonces:
FR=
Regiones de tipo I y regiones de tipo II en el plano
La región R del tipo I en el plano si existen dos funciones continúas de manera que
los puntos de R pueden expresar se en la forma:
La región R es del tipo II en el plano si existen dos funciones continuas se expresa:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
5
Teoremas
a) Si R es una región de tipo I, y f(x,y) es continua en R:
b) Si R es una región de tipo II, y f(x,y)es continua en R:
Cambio de variable
En coordenadas rectangulares cartesianas dA= dx dy, Sea ahora el cambio de coordenadas dado por la
aplicación:
Siendo t la región del plano uv que se aplica en la región del plano xy.
Si se cumplen las condiciones siguientes:
Las funciones X,Y,
son continuas en T.
La aplicación de T sobre R es biyectiva.
El jacoblano de la aplicación J(u,v)≠ 0
Entonces:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
6
Cambios de variable usuales
1°Coordenadas polares:
2°Coordenadas polares descentradas:
3° Coordenadas elípticas:
4° Transformaciones lineales:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
7
Aplicaciones de la integral doble
Supongamos que tenemos un plano acotado (lamina delgada). De forma que su masa total esta
distribuida en forma conocida siguiendo una función de densidad superficial µ=µ(x,y).
Entonces:
1° Centro de masas de un cuerpo plano:
Si denotamos por ( las coordenadas del centro de masa:
2° Momentos de inercia de un cuerpo plano:
Sea r una recta y denotamos por d(x,y) la distancia de la recta r de la región R, el momento de inercia del
cuerpo respecto a la recta r resulta ser:
En particular, los momentos de inercia respecto a los ejes de coordenadas son:
El momento polar de inercia o momento respecto al origen es:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
8
EJERCICIOS RESUELTOS
I. Calcular la siguiente integrales dobles, sobre el rectángulo R.
a)
Solución:
b)
Solución:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
9
II. Calcular la integral doble:
Solución:
III. Calcular las integrales dobles ∬
para las funciones f y los rectángulos R que se indican.
a)
Solución:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
10
b)
Solución:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
11
IV. Calcular el volumen de los sólidos
Solución:
V. Calcular la integral donde R es la región del plano xy interior a la cardiode r=1- cos
Solución
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
12
Problemas Propuestos
I Calcular la siguiente integrales dobles, sobre el rectángulo R.
a)
b)
2 Calcular el volumen de los sólidos
a)
b)
3 Una pirámide está delimitada por los tres planos de coordenadas y el plano x+2y+ 3z=6
Representar el sólido y calcular su volumen.
4 Calcular el volumen del solido limado por la superficie y lo planos
5 Calcular el volumen el volumen comprendido entre los cilindros y
6
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
13
7
8
9
10 Calcular el volumen del solido por el paraboloide
y el plano
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
14
INTEGRALES TRIPLES
En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones del tipo 3 f :B ⊆
→ \ \, tal como se hizo en la sección anterior para las integrales dobles. Así como se define la integral
triple a partir de una triple suma de Riemann y se ilustra el proceso de resolución de la misma, de
manera similar se puede esbozar la definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo n f
:Q ⊆ → \ \.
INTEGRAL TRIPLE SOBRE UNA CAJA
RECTANGULAR
Sea f una función definida sobre la caja rectangular B, esto es 3 f :B ⊆ → \ \, donde B está definida
como: B a,b c,d r,s =×× [a,b ], [c,d], [rs ] …………………..(I)
o también: (x,y,z ) 3B = x,y,z a x b c y d r z s ∈ ≤≤ ∧ ≤≤ ∧ ≤≤ …………(2)
Sea P una partición del paralelepípedo B, la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones Px
, Py y Pz y de los intervalos [a,b], [c,d] y [r,s], respectivamente, como se muestra a continuación:
Px =x0 , x1, x2 ,…, xi−1, xi ,…, xn−1, xn ………….. (3)
Py =y0 , y1, y2 ,…, y j−1, y j ,…, ym−1, ym………… (4)
P z ,z ,z , ,z ,z , ,z ,z z kk ll = 012 1 1 … … − − ……(.5)
Entonces
PPPP = xyz . …..……………………………………………………..(6)
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
15
La partición P del paralelepípedo B, entonces se obtiene al dividirla en pequeñas cajas rectangulares tal
como se muestra en la siguiente figura.
TEOREMA DE FUBINI
El teorema de Fubini proporciona un método práctico para evaluar una integral triple por medio de
integrales iteradas, tal como se mostró para las integrales dobles en el capítulo anterior.
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
16
INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALES
Así como en el capítulo anterior se definió la integral doble sobre regiones generales, en esta
sección se amplía la definición de la:
Integral triple de una función f sobre una región general B acotada del espacio
tridimensional.
Por ejemplo, considere una región B, más general que un paralelepípedo, del espacio
tridimensional, tal como se ilustra en:
La integral es:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
17
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE
A continuación se presentan las propiedades de la integral triple de una función 3 f :\ \ → real de tres
variables sobre una región general B del espacio tridimensional. Estas propiedades son similares a las
propiedades de las integrales dobles.
Propiedad de linealidad
Sean 3 f: \ \ → y 3 g :\ \ → dos funciones reales y continuas definidas en una región tridimensional B, y
sean α y β dos números reales cualesquiera, entonces:
Propiedad de orden
Sean 3 f :\ \ → y 3 g :\ \ → dos funciones reales y continuas definidas en una región tridimensional B,
tales que f (x,y,z ) ≥ g(x,y,z ) ∀(x,y,z B )∈ , entonces:
Propiedad aditiva respecto a la región de integración
Sea 3 f: \ \ → una función real y continua definida en una región general tridimensional B. Si la región B
está dividida en dos subregiones B1 y B2 (es decir BB B = 1 2 ∪ ), entonces:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
18
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Dada la integral ∫ ∫ ∫
dibujar la región de integración y escribirla integral
de todas las formas posibles.
Solución:
2 Calcular ∭ dxdydz, donde S es el tetraedro limitado por los tres plano
coordenados y la ecuación x+y+z=1
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
19
3
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
20
4 Calcular el momento de inercia de un sólido en forma de cono circular recto con densidad
constante respecto su eje.
Solución:
Supóngannos que el cono de altura h y radio en la base r tiene vértice en el rigen y eje vertical, Entonces
su ecuación es
Si la densidad en cada punto del solido es k, el momento de inercia respecto a l eje z viene por formula
Para resolver la integral
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
21
EJERCICIOS PROPUESTOS
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
22
INTEGRALES DE LINEA
Definición:
Sea f: Ω → R un campo escalar continuo, con Ω ⊆ Rn, y sea γ : [a,b] → Ω un camino regular a trozos.
La integral de línea de f a lo largo de γ es, por definición:
Existencia de la integral. Está asegurada, ya que el integrando es una función acotada en [a,b] y continua
salvo, a lo sumo, en un número finito de puntos para los que ni siquiera concretamos el valor que toma en
ellos dicha función. De hecho, si hacemos una partición a = t0 < t1 < ... < tn = b del intervalo [a,b] de
forma que, para k = 1,2,...,n, la restricción de γ al subintervalo [tk−1,tk] sea de clase C1, podemos escribir.
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
23
INTEGRAL DE LINEA DE UN CAMPO VECTORIAL
Definición.:
Sea ahora F : Ω → Rn un campo vectorial continuo en un conjunto Ω ⊆ Rny γ : [a,b] → Ω un camino
regular a trozos. La integral de línea de F a lo largo de γ es, por definición.
Interpretación.
Supongamos que el campo vectorial F es un campo de fuerzas en el plano o en el espacio, pongamos por
caso un campo gravitatorio o un campo eléctrico. Ello significa que una unidad de masa o de carga
eléctrica positiva situada en un punto x está sometida a una fuerza F(x).
Relación entre las integrales de línea.
Si γ : [a,b] → Rn es un camino suave, es decir, es regular con γ 0 (t) 6= 0 para todo t ∈ [a,b], podemos
definir.
Que es un vector unitario tangente a la curva Γ recorrida por el camino γ en cada punto. Si ahora F es un
campo vectorial continuo sobre dicha curva tendremos:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
24
Expresión que recuerda la integral de línea de un campo escalar. Para definir correctamente dicho campo
escalar necesitamos hacer hipótesis adicionales sobre el camino γ que no vamos a comentar, aunque no
son difíciles de adivinar. Así pues, en ciertas condiciones existirá un campo escalar continuo f: Γ → R
que verifica:
Propiedades de las integrales de línea
Linealidad: Las integrales dependen linealmente del campo que se integra.
Continuidad.
Las integrales de línea también dependen de manera continua del campo que se integra; intuitivamente,
pequeñas perturbaciones del campo dan lugar a pequeñas variaciones en la integral. Ello es consecuencia
de las desigualdades que vamos a presentar.
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
25
Aditividad.
Las integrales de línea son aditivas con respecto al camino de integración, en el sentido de que al
recorrer consecutivamente dos caminos, las integrales se suman.
Independencia de la parametrización.
Las integrales de línea no se alteran al sustituir el camino de integración por otro equivalente en el
sentido que vamos a explicar.
Integral de línea de un gradiente
Sea f : Ω → R un campo escalar de clase C1 en un abierto Ω ⊆ Rn y γ : [a,b] → Ω un camino regular a
trozos. Entonces:
En particular Y es cerrada, se tendrá:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
26
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Recta que pasa por los puntos A=(2,0,4) y B=(1,0,6)
Solución:
2 Segmento que une los puntos A= (2,0,4) y B =(1,0,6)
Solución:
3 Circunferencia de centro (5,-7) y radio 3
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
27
4 Curva de ecuaciones
Z=
Solución:
5 Curva de ecuaciones
Z=
Solución:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
28
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 Calcula las siguientes integrales
2 calcular las siguientes integrales de línea en campo vectoriales:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
29
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
30
INTEGRALES DE SUPERFICIE
Los conjuntos de IR3 que forman superficies no solo se obtienen de esta forma sino que el conjunto puede
venir definido de otras maneras. Aunque, para el estudio de la integral de superficie, las superficies van a
manejarse siempre mediante su representación paramétrica hay otras formas de representar superficies
en el espacio y que es conveniente conocer.
Expresión analítica de una superficie:
Representación implícita:
Dada una función real F que toma valores en IR3, el conjunto de puntos.
Representación explicita:
Dada una función real f que toma valores en IR2, el conjunto de puntos.
Superficies cuadráticas.
Una de las familias más importantes de superficies de IR3 son las llamadas cuadricas o superficies
cuadráticas, que se obtienen de igualar a cero una función polinomica de tres variables y grado 2, es decir,
una expresión de la forma.
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
31
Elipsoide.
El elipsoide de semiejes a; b; c > 0 viene dado por la ecuación.
Una representación paramétrica se obtiene con una pequeña modificacion de las coordenadas esféricas
mediante k [0; 2¼] £ [0; ¼] ¡! IR3
con k(µ; α) = (a cosµ senα; b sen µ sen α; c cos α)
Hiperboloide de una hoja.
El hiperboloide elíptico de una hoja viene dado por la ecuación (a; b; c > 0)
Cono elíptico.
El cono elíptico viene dado por la ecuación (a; b; c > 0)
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
32
Paraboloide elíptico.
El paraboloide elíptico viene dado por la ecuación (a; b; c > 0)
Paraboloide hiperbólico.
El paraboloide hiperbólico viene dado por la ecuación (a; b; c > 0)
Cilindros.
Los cilindros de obtienen cuando en la expresión de F(x; y; z) = 0 alguna de las variables no aparece, y
heredan el apelativo de la curva que en IR2 representa la expresión. Así, si F(x; y; z) = f(x; y) = 0 y la curva
f(x; y) = 0 es una elipse, hipérbola o par ´abola, el cilindro es elíptico, hiperbólico o parabólico.
Integral de superficie de funciones reales
Sea A µ IR2 un conjunto conexo y acotado, kA IR3 una funci´on de
clase 1, S = ·(A) y f: S IR acotada tal que la funci´on compuesta f ± · es integrable en . La integral de la
superficie de f sobre S se define por:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
33
EJERCICIOS RESUELTOS
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
34
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
35
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
36
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
37
EJERCICIOS PROPUESTOS