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PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 71, 76 MATEMÁTICA II
TEMA II: INTEGRALES
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del
cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si
bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler,
Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213
a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al
cálculo integral. Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis
infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se
aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos
que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en
ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones
era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.
Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años
antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su
otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo. Leibniz es,
además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue
el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y ÷ para denotar un
cociente, entre otras muchas más aportaciones.
FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función
primitiva de xf a otra función xF cuya derivada sea xf en dicho intervalo. Es decir,
xfxF para todo x de [a,b]. Así, por ejemplo:
La función xsen es una primitiva de xcos puesto que .cos xxsen
La función xln es una primitiva de x
1 puesto que .
1ln
xx
La derivada de 3
3x es ,3
3
1
3
223
xxx
por lo cual
3
3x es una primitiva de .2x
PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCION
PRIMERA PROPIEDAD: Si xF es una primitiva de xf y C una constante cualquiera
(un número), la función xF + C es otra primitiva de xf .
TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA II
DEMOSTRACIÓN: Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la
suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
.0 xfxfCxFCxF
EJERCICIO: Encontrar tres primitivas de la función xcos .
RESOLUCIÓN: Se sabe que xsen es una primitiva de xcos . Luego, tres primitivas de
xcos son, por ejemplo, ,3xsen ,2lnxsen .3
xsen
SEGUNDA PROPIEDAD: Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas
primitivas.
DEMOSTRACIÓN: Si xF es una primitiva de xf , para cualquier constante C,
CxF es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como
valores se le quieran dar a C.
TERCERA PROPIEDAD: Dos primitivas de una misma función se diferencian en una
constante. Esto es, xF y xG son primitivas de la función xf , entonces
.cteCxGxF
DEMOSTRACIÓN: Hay que recordar que si una función xf definida en un intervalo
cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función xf es constante.
Es decir, si 0 xf , entonces .Cxf Pues bien, si xF es una primitiva de xf ,
;xfxF y si xG es otra primitiva de xf , entonces también ;xfxG luego,
restando miembro a miembro, ,0
xfxfxGxFxGxF de donde se
deduce que .CxGxF
LA INTEGRAL INDEFINIDA
DEFINICIÓN: Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I, si )()( xfxFdx
d
en I, es decir, si xfxF para toda x en I, esto es:
)()(' )()( xfxFsisóloysícxFdxxf
TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 MATEMÁTICA II
Esta definición se puede interpretar de la siguiente manera: Al integrar una función xf
obtenemos como resultado xF ; si este resultado se deriva obtendremos como resultado al
integrando y además nos sirve como comprobación.
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Observa las siguientes propiedades, las cuales debemos tomar en cuenta para el cálculo de
integrales indefinidas.
Sí f es integrable y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable:
dxxfkdxxfk )( )(
Sean f y g son dos funciones integrables, entonces:
dxxgdxxfdxxgxfii
dxxgdxxfdxxgxfi
)( )( )()( )
)( )( )()( )
Un factor constante k puede escribirse antes del signo de integral, donde c es la
constante de integración.
cxkdxkdxk
REGLA DE LAS POTENCIAS PARA INTEGRALES INDEFINIDAS.
cx
ndxx nn 1
1
1 donde el exponente n es un número racional y n -1
INTEGRALES DE FUNCIONES TRASCENDENTES
En las funciones trascendentes se encuentran las trigonométricas, las exponenciales y
las logarítmicas. Para calcular este tipo de integrales se usan las siguientes fórmulas de
integración.
TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 MATEMÁTICA II
cuduu
cuduu
sen cos
cos sen
cuduu sec ln tan
cuuduu
cusenduu
cuduuu
cuduuu
tan sec ln sec
ln cot
csc cot csc
sec tan sec
cuuduu cot csc ln csc
cuduu
cuduu
cot csc
tan sec
2
2
ca
adua
cuu
du
cedue
uu
uu
ln
ln
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO
Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades de la integral
indefinida. Vamos unos ejemplos:
1. Calcular la siguiente integral indefinida dxx3 5
PASO 1: El 5 es una constante que se puede escribir fuera de la integral.
dxxdxx 5 5 33
PASO 2: Para encontrar una antiderivada de x3 (o sea la primitiva) aplicamos la fórmula
siguiente:
cxn
dxx nn
1
1
1
O sea que:
cxdxx
133
13
1 5 5
PASO 3: Se realizan las operaciones indicadas y se obtiene finalmente el resultado.
cxdxx 43 4
5 5
TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 MATEMÁTICA II
Para realizar la comprobación de la integral, se deriva el resultado, esto es:
dx
cdxcx
dx
d 4
4
5
4
5 144
Recuerda que la derivada de una constante es igual a cero. Al simplificar se obtiene al
integrando.
34 54
5xcx
dx
d
NOTA: Recuerda que al hacer mención de la antiderivada o primitiva nos estamos
refiriendo a la integral indefinida.
Ahora veamos la aplicación de estas propiedades en una función polinomial.
2. Calcula la integral indefinida dxxxx 2543 35 y realiza la comprobación.
PASO 1: Se escribe la integral, recordando que la suma o resta de funciones es igual a la
suma o resta de las integrales, esto es:
dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535
PASO 2: Los factores constantes se escriben fuera de la integral y se aplica la fórmula de
una potencia, como se muestra a continuación:
dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535
PASO 3: Se integra cada una de éstas.
4
3
11
2
133
1
155
22
11
1 5 5
13
1 44
15
1 33
cxdx
cxdxx
cxdxx
cxdxx
PASO 4: Se sustituyen los valores, tomando en cuenta que 4321 ccccc .
TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 MATEMÁTICA II
cxxxxdxxxx 22
5
4
4
6
3 2543 24635
PASO 5: Finalmente se simplifica el resultado.
cxxxxdxxxx 22
5
2
1 2543 24635
Para verificar el resultado, se deriva el polinomio y se obtiene el integrando.
02)2(2
546
2
12
2
5
2
1 35246
xxxcxxxx
dx
d
Simplificando se obtiene:
254322
5
2
1 35246
xxxcxxxx
dx
d
Analiza los siguientes procedimientos para calcular integrales indefinidas trascendentes.
3. Calcula la integral indefinida dxx sen y realiza la comprobación.
PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, por lo tanto:
cxdxx cos sen
PASO 2: Se realiza la comprobación derivando el resultado.
xxcdx
dx
dx
dcx
dx
d sen0 sen cos) (cos
Ahora resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la integral indefinida.
4. Calcula la integral indefinida dxx 3
PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, perteneciente al caso en el
que .3a Por tanto:
Cdxx
x 3ln
3 3
PASO 2: Realiza la comprobación derivando el resultado.
TEMA II: INTEGRALES
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5. Probar la certeza de la igualdad
Cx
x
x
dx
1
1ln
2
1
1 2
Para lo cual basta demostrar que la derivada de la función Cx
x
1
1ln
2
1es .
1
12x
EJERCICIOS:
a) Calcula la integral dxxxx 4839 23 y realiza la comprobación.
b) Calcula la integral dxx cos y realiza la comprobación.
c) Analiza con atención cada uno de las siguientes expresiones y calcula las integrales
aplicando el método de integración respectivo.
1. dxxxxx 72 234
2.
dxxxx 8
5
62 23
3.
dxxx
2
3
4
1
3
2 2
4. dxxx 304 23
5. dxx 2 3
6. dxx 2
3
7. dxxx 123
8. dxxx 231
9. dxxx 96 24
d) Analiza las siguientes expresiones y aplicando el procedimiento adecuado, calcula las
integrales trascendentes.
10. dxxe x )2(
11. dxx
1
12. dxx sec2 2
13. dxx cos5
14. dxx
3
sen
15. dxx
3
8
TEMA II: INTEGRALES
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TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de
pregunta Respuesta correcta
1. cxxxxxdxxxxx 72
1
3
1
2
1
5
172 2345234
2.
cxxxdxxxx 23423 4
5
2
2
18
5
62
3. cxxxdxxx
2
3
8
1
9
2
2
3
4
1
3
2 232
4. cxxxdxxx 303
4
4
1)304( 3423
5. cxdxx 23 2
6. cxdxx 2
5
2
3
5
2
7. cxxxdxxx 925
196 3524
8. cxxxdxxx 22
3
3
212
9. cxxxdxxx 22
1231 23
10. cxedxxe xx 22
11. cxdxx
ln1
12. cxtandxx 2 sec2 2
13. cxdxx sen5 cos5
TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 9 MATEMÁTICA II
14. cxdxx
cos3
1
3
sen
15. cxdxx
ln3
8
3
8
EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en sustituir la variable “x” por una nueva variable; veamos el siguiente:
Teorema: Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f.
Entonces u = g(x).
cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(
Observa el siguiente ejemplo donde se aplica este método.
Evalúa la siguiente integral: dxxx 4 2
PASO 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42 xu , entonces la derivada de u es
dxxdu 2
PASO 2: Se sustituyen estos valores en la integral, esto es:
2
4 2
1
2 duudxxx
Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxxdu
2 .
PASO 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es, 2
1se escribe fuera de la integral
por ser una constante.
TEMA II: INTEGRALES
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2
1 4 2
1
2 duudxxx
PASO 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:
cu
duu
12
12
1
2
11
2
1
2
1
cucucu
2
3
2
32
3
3
1
6
2
2
32
1
PASO 5: Se hace el cambio de variable de 42 xu y se sustituye en el resultado:
cxdxxx 2
322 4
3
1 4 cx
32 43
1
Más adelante desarrollaremos otros ejemplos donde se aplique este método.
EJERCICIOS: Lee con atención los siguientes reactivos y resuelve lo que se pide.
I.- Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales, escribe tu desarrollo y
la solución.
1. dxxx432 5
2. dxx6
93
3.
dxe
ex
x
21
4. dxx5
1
5. dxxx cos sen3
dxx
x
9
32
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
dxxdu
dxxduxu 223
3 3 5
cxdxxx53432 5
15
15
2 dxdu
dxduxu 3
3 93
TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 11 MATEMÁTICA II
cxdxx76
9321
193
3
dxedu
dxedueu xxx 2
2 21
cedxe
e x
x
x
21ln2
1
21
4
dxduxu 1
cxdxx65
16
11
5
dxxduxu cos sen
cxdxx 43 sen
4
1 sen
6
dxxdu
dxxduxu 2
2 92
cxdxx
x9ln
2
3
9
3 2
2
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de integración por partes se basa en la integración de la fórmula derivada del
producto de dos funciones. Veamos el siguiente procedimiento para obtener la fórmula de
integración por partes: Sea u = u(x) y v = v(x), entonces:
)(')()(')()()( xuxvxvxuxvxuDx
Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente expresión:
dxxuxvdxxvxuxvxu )(')( )(')()()(
Despejando la primera integral tenemos:
dxxuxvxvxudxxvxu )(')()()( )(')(
Sí dxxuduydxxvdv )(' )(' , entonces la ecuación anterior se puede escribir de la
forma siguiente:
duvvudvu
TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 12 MATEMÁTICA II
La cual es la fórmula para integrar por partes. El éxito de éste método, depende de la
elección apropiada de u y dv , lo cual se consigue solamente con la práctica.
Para aplicar este método, vamos a evaluar la siguiente integral: dxxx cos
PASO 1: Se escribe dxxx cos como dvu ; entonces dxduyxu
PASO 2: Si dxxdv cos , entonces, para encontrar v se integran ambos lados,
obteniendo:
dxxdv cos , entonces cxv sen
PASO 3: Los valores de vydvduu , , se sustituyen en la fórmula, quedando de la
siguiente manera:
dxxxxdxxx sensen cos
La integral de cxdxx cos sen , sustituyendo este resultado en la integral anterior, se
obtiene el resultado.
cxxxdxxx cossen cos
Recuerda que las constantes de integración están incluidas en “c”.
EJERCICIOS: Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes
integrales.
1. dxxx sen
2. dxx ln
3. dxex x2
4. dxxx cos 4
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1 xvdxxdvdxduxu cos sen
cxxxdxxx coscos sen
TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 13 MATEMÁTICA II
2 xvdxdvdx
xduxu
1 ln
cxxxdxx ln ln
3
xx evdxedvxdxduxu 2 2
dxxeexdxex xxx 222
La integral del lado derecho se realiza otra vez por partes, esto
es: xx evedvdxduxu 1111 2 2
cxxedxex xx 2222
4 xvdxxdvdxduxu sen cos 4 4
cxxxdxxx cos4sen4 cos4
INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Si el integrando contiene una expresión de la forma: a u u a o a u2 2 2 2 2 2 ,
Elevada a cualquier exponente, la integración se realiza mediante una sustitución
trigonométrica, de acuerdo con la siguiente tabla:
EJEMPLO: Resuelve la siguiente integral: dxxI 225
SOLUCIÓN: El cambio a realizar en este tipo de integrales es tx sen5
TEMA II: INTEGRALES
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ttsensentxdttdx cos5)1(25)5(2525 ;.cos5 222
Entonces: .cos25.cos5.cos5 2 tdtdtttI (*)
Hacemos tdtI 21 cos y la resolvemos por partes:
dvdttut .cos ;cos ; tdttvdudtt sen.cos ;.sen
dttdtttdttttdttttI .coscos.sen)cos1(cos.sen.sencos.sen 2221
Es decir, 11 cos. IttsetI ; y por tanto, 2
cos.sen1
tttI
Resultado que llevado a (*) nos da )cos.(2
25ttsentI . Si deshacemos el cambio de
variable: 5
25cos que sale ,1cossenrelación la dey ;
5sen
222 x
tttx
t
Finalmente queda: Cx
xxI 5
arcsen2
2525
2
1 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Halla el valor de la siguiente integral: dx
xa
aI
22
2. Resuelve: dx
xxI
267
1
3. Demostrar que
Caxxdxax
2
2ln
1
4. Resuelve
dxx 4
2
2
TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 15 MATEMÁTICA II
5. Resuelve: 2082 xx
dx
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1 Buscando el arco seno resulta: Ca
xaI arcsen.
2
Eliminamos el término en x haciendo el cambio .2
btx
Después buscamos el arco seno y se obtiene Cx
I
4
3arcsen
3 Hágase el cambio xtax 2
4 Cxx 4ln2 2
5 2
4arctg
2
1 x
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El siguiente teorema enuncia el hecho notable de que ""G es una antiderivada de .f
Además muestra como se puede usar cualquier antiderivada para encontrar la integral
definida de .f
TEOREMA: Sea f una función continua en un intervalo cerrado b ,a
PARTE I: Sí se define G como:
dttfxGx
a
)()(
Para todo x en b ,a , entonces G es una antiderivada de f en b ,a .
PARTE II: Sí F es una antiderivada de f, entonces:
)()( )( aFbFdxxfb
a
TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 16 MATEMÁTICA II
“Este Teorema fue descubierto de manera independiente en Inglaterra por Sir Isaac Newton
(1642 – 1727) y en Alemania por Gottfried Leibnitz (1646 – 1716). Es principalmente
debido a este descubrimiento que se les atribuye a estos sobresalientes matemáticos la
invención del Cálculo”1
EJEMPLO: Calcular dxxxx 196 232
1
SOLUCIÓN: Se aplican las propiedades de la integral definida.
2
234234
2
1
2
1
22
1
32
1
42
1
2
1
22
1
32
1
4
2
1
2
1
22
1
32
1
232
1
4
17 1
2
9
3
6
4
12
2
36
3
48
4
16
)1(2
)1(9
3
)1(6
4
1)2(
2
)2(9
3
)2(6
4
2
2
9
3
6
42
9
3
6
4
1 9 6 196
u
xxxx
xxxx
dxdxxdxxdxxdxxxx
EJERCICIO: Calcular dxxsenxxx ln33
1
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios
Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.
Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
Revisar en línea:
https://es.khanacademy.org/search?page_search_query=integrales
http://fooplot.com/?lang=es#W3sidHlwZSI6MCwiZXEiOiJ4XjIiLCJjb2xvciI6IiMwMDA
wMDAifSx7InR5cGUiOjEwMDB9XQ--
“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no
pensar.” Hipatia de Alejandría.
1 Cfr. Swokowski W. Earl “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica”. Pág. 243.