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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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ÍNDICE
1. RAZÓN 4
1.1. Definición .................................................................................................................................................... 4
1.2. Ejercicios ................................................................................................................................................... 4
2. PROPORCIÓN 6
2.1. Definición ................................................................................................................................................... 6
2.1.1. Ejercicios ........................................................ .............................................................. ................................ 6
2.2. Propiedades ............................................................................................................................................... 7
2.3. Cálculo del término desconocido de una proporción ..................................................................... 8
2.3.1. Ejercicios ....................................................................................... .............................................................. 8
2.4. Construcción de proporciones ............................................................................................................. 8
2.4.1. Ejercicios ....................................................................................... .............................................................. 9
2.5. Ejercicios ................................................................................................................................................... 9
3. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 11
3.1. Magnitudes directamente proporcionales ....................................................................................... 11
3.2. Constante de proporcionalidad directa ........................................................................................... 11
3.2.1. Ejercicios ................................................................................................................................................... 11
3.3. Tablas de proporcionalidad directa ................................................................................................. 12
3.3.1. Ejercicios ................................................................. ............................................................... ................... 12
3.4. Problemas de proporcionalidad directa .......................................................................................... 13
3.4.1. Pasos ..................................................... .............................................................. ......................................... 13
3.4.2. Ejercicios ....................................................... .............................................................. .............................. 14
4. PROPORCIONALIDAD INVERSA 15
4.1. Magnitudes inversamente proporcionales ...................................................................................... 15
4.2. Constante de proporcionalidad inversa .......................................................................................... 15
4.2.1. Ejercicios ....................................................... .............................................................. .............................. 15
4.3. Tablas de proporcionalidad inversa ................................................................................................. 16
4.3.1. Ejercicios ................................................................. ............................................................... ................... 16
4.4. Problemas de proporcionalidad inversa .......................................................................................... 16
4.4.1. Pasos ..................................................... .............................................................. ......................................... 17
4.4.2. Ejercicios ....................................................... .............................................................. .............................. 17
5. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA 18
5.1. Definición ................................................................................................................................................. 18
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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5.2. Problemas de proporcionalidad compuesta .................................................................................... 18
5.2.1. Ejercicios ................................................................. ............................................................... ................... 19
6. REPARTOS PROPORCIONALES 20
6.1. Repartos directamente proporcionales .......................................................................................... 20
6.1.1. Métodos .................................................................................................. ................................................... 20
6.1.2. Ejercicios ................................................................. ............................................................... ................... 21
6.2. Repartos inversamente proporcionales ......................................................................................... 24
6.2.1. Métodos .......................................................... .............................................................. ............................. 24
6.2.2. Ejercicios ....................................................... .............................................................. ............................. 25
7. PROBLEMAS DE MEZCLAS 28
7.1. Expresión general ................................................................................................................................. 28
7.2. Ejercicios ................................................................................................................................................ 28 8. PORCENTAJES 29
8.1. Utilidad .................................................................................................................................................... 29
8.2. Definición ................................................................................................................................................ 29
8.3. Interpretación de porcentajes ........................................................................................................ 30
8.4. Cálculo de porcentajes de una cantidad ........................................................................................ 30
8.5. Cálculo rápido de porcentajes ........................................................................................................... 31
8.6. Porcentaje es una fracción................................................................................................................. 31 8.6.1. Definición ....................................................... .............................................................. .............................. 31
8.6.2. Cálculo rápido de algunos porcentajes con fracción ....................................................................... 32
8.6.3. Cálculo del tanto por ciento de una cantidad dada con fracción .................................................. 32
8.6.4. Ejercicios ....................................................... .............................................................. ............................. 33
8.7. Porcentaje es un número decimal .................................................................................................... 35
8.7.1. Definición ....................................................... .............................................................. ............................. 35
8.7.1.1. Ejercicios ........................................................... .............................................................. .................. 35
8.7.2. Pasar de número decimal a porcentaje .............................................................................................. 35
8.7.2.1. Ejercicios ............................................................................................................. ............................. 35
8.7.3. Cálculo rápido de algunos porcentajes con decimal ....................................................... .................. 36
8.7.4. Cálculo del tanto por ciento de una cantidad dada con decimal ................................................... 36
8.7.4.1. Ejercicios ............................................................................................................. ............................. 36
8.7.5. Cálculo de la cantidad cuando se conoce el porcentaje ........................................................... ....... 37
8.7.5.1. Ejercicios ............................................................................................................. ............................. 37
8.8. Porcentaje es una proporción ........................................................................................................... 38
8.8.1. Definición ....................................................... .............................................................. ............................. 38
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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8.9. Cálculo rápido de algunos porcentajes de una cantidad dada ................................................. 38
8.9.1. Partimos del porcentaje inicial 25 % .................................................................................................. 39
8.9.1.1. Ejercicios ........................................................... .............................................................. .................. 39
8.9.2. Partimos del porcentaje inicial 10 % ............................................................. ..................................... 39
8.9.2.1. Ejercicios ............................................................................................................. ............................. 40
8.10. Problemas del cálculo de la parte, del total y del porcentaje ............................................... 41
8.10.1. Métodos ................................................................................................ .................................................... 41
8.10.2. Tipos de problemas de porcentajes ............................................................. ...................................... 41
8.10.3. Cálculo de la parte ........................................................................................... ...................................... 41
8.10.4. Cálculo del total o de la cantidad total ............................................................................................ 42
8.10.5. Cálculo del porcentaje o del tanto por ciento ................................................................................ 42
8.10.6. Ejercicios ................................................................ .............................................................. .................. 43
8.11. Problemas de descuentos porcentuales ....................................................................................... 44
8.11.1. Métodos ......................................................... .............................................................. ............................. 44
8.11.2. Ejercicios ................................................................................................................................................ 44
8.12. Problemas de aumentos porcentuales .......................................................................................... 46
8.12.1. Métodos ........................................................ .............................................................. ............................. 46
8.12.2. Ejercicios ................................................................ .............................................................. .................. 46
8.13. Porcentajes encadenados................................................................................................................. 47
8.13.1. Ejercicios ................................................................................................................................................ 47
9. INTERÉS BANCARIO 49
9.1. Definición ................................................................................................................................................ 49
9.2. Utilidad .................................................................................................................................................... 49
9.3. Interés simple ....................................................................................................................................... 49
9.3.1. Definición ....................................................... .............................................................. ............................. 49
9.3.2. Expresión general ............................................................. ............................................................... ....... 49
9.3.3. Métodos ......................................................... .............................................................. ............................. 50
9.3.4. Ejercicios ....................................................... .............................................................. ............................. 50
9.4. Interés compuesto ............................................................................................................................... 51
9.4.1. Definición ....................................................... .............................................................. .............................. 51
9.4.2. Expresión general ............................................................. ............................................................... ....... 52
9.4.3. Ejercicios ....................................................... .............................................................. ............................. 52
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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1. RAZÓN
1.1. Definición
La razón entre dos números a y b es el cociente o la fracciónb
a (irreducible) y establece la
relación que existe entre esos dos números.
El número a se llama antecedente y el número b se llama consecuente.
Ejemplo: La razón de los números 3 y 4 es4
3.
1.2. Ejercicios
1) Completa la tabla:
5
2
7
5,0
10
5
9
5,3
8
4
2,7
5
36,8
3,1
Antecedente
Consecuente
Solución:
5
2
7
5,0
10
5
9
5,3
8
4
2,7
5
36,8
3,1
Antecedente 2 0,5 5 3,5 4 5 1,3Consecuente 5 7 10 9 8 7,2 8,36
2) Expresa mediante una razón la relación que hay entre las alturas de los dos niños indicados en cadaapartado:
a) La relación entre la altura de Luis y la de Jaime.
b)
La relación entre la altura de Jaime y la de Luis.
c)
La relación entre la altura de Lorena y la de Luis.
Solución:
a) 20,150,1 b)
50,120,1 c)
50,135,1
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3) Escribe con una razón la relación pedida en cada apartado:
a)
Un coche gasta 5,2 litros de gasolina cada 100 km recorridos. ¿Qué relación hay entre los litrosconsumidos y los kilómetros recorridos?
b) Para hacer una receta se necesitan 250 g de harina par cada 300 g de azúcar. ¿Qué relaciónhay entre la cantidad de harina y de azúcar?
Solución:
a) 100
2,5 b)
300
250
4) Para hacer un refresco, se mezclan 3,5 litros de agua con 0,5 litros de zumo de limón. Contesta:
a) ¿Cuántos litros de agua hay por cada litro de zumo de limón?
b) ¿Cuántos litros de zumo de limón hay en 1 litro de refresco?
c) ¿Cuántos litros de agua hay en 1 litro de refresco?
Solución:
a) 75,0
5,3 litros
b) 1 litro de refresco = 3,5 + 0,5 = 4 125,04
5,0 litros
c) 1 litro de refresco = 3,5 + 0,5 = 4 875,04
5,3 litros
5) Contesta:
a) La razón entre un número y 6 es 3. ¿De qué número se trata?
b) La razón entre 8 y un número es 4. ¿De qué número se trata?
c) La razón entre 3 y un número es 0,5. ¿De qué número se trata?
d) La razón entre un número y 4 es 0,5. ¿De qué número se trata?
Solución:
a) 3
6
x
; x = 3 · 6 = 18
b) 48
x ; 8 = 4 · x ; 2
4
8 x
c) 5,03
x ; 3 = 0,5 · x ; 6
5,0
3 x
d) 5,04
x ; x = 0,5 · 4 = 2
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2) Haz cálculos y completa las frases:
a)
8 es a 5 como 12 es a ____. c) 0,6 es a 3 como 18 es a ____.
b)
12 es a ____ como 8 es a 28. d) ____ es a 4 como 4,8 es a 1,6.
Solución:
a)
7,5 b) 42 c) 90 d) 122.2. Propiedades
1)
En toda proporción , se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de losmedios.
d
c
b
a a · d = b · c
Ejemplo:
5,1
3
2
4
Forman proporción porque 4 · 1,5 = 2 · 3
6 = 6
Se lee “4 es a 2 como 3 es a 1,5”.
Por tanto, para saber si dos razones forman proporción basta con multiplicar los extremos ylos medios ; si los productos no son iguales, las razones no forman proporción.
Ejemplo:
5,5
3
4
5,1 No forman proporción porque 1,5 · 4 = 4 · 3 8,25 ≠ 12
2) Una proporción o una serie de razones iguales está formada por varias razones cuyaconstante de proporcionalidad es la misma.
k h
g
f
e
d
c
b
a ...
Ejemplo:
5,08
4
6
3
4
2
2
1
La constante de proporcionalidad es 0,5.
3) En una proporción o en una serie de razones iguales , la suma de los antecedentes divididaentre la suma de los consecuentes es igual a la razón o constante de proporcionalidad .
k f d b
eca
f
e
d
c
b
a
Ejemplo:
5,020
10
8642
4321
8
4
6
3
4
2
2
1
La constante de proporcionalidad es 0,5.
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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4) Si en una proporción cambian entre sí los medios o los extremos , la proporción no varía.
a
b
c
d
d
c
b
a
Ejemplo:
4
2
3
5,1
5,1
3
2
4
Forman proporción porque 1,5 · 4 = 3 · 2 6 = 6
Se lee “1,5 es a 3 como 2 es a 4”.
2.3. Cálculo del término desconocido de una proporción
Para calcular un término desconocido en una proporción conociendo los otros tres, se despejadicho término de la ecuación a · d = b · c.
Ejemplos:
x
36
20
18 18 · x = 20 · 36 40
18
720 x
6
2
3
2 x 2 · 6 = 3 · (2+x) 12 = 6 + 3x 12 – 6 = 3x 2
3
6 x
8
1
4
1 x
1 · 8 = 4 · (x-1) 8 = 4x - 4 8 + 4 = 4x 34
12 x
2.3.1. Ejercicios
1) Averigua el término que falta en cada proporción:
a) x15
65 c) 2,38
14 x e) 2,110
12 x g) 6,1
8,46 x
b) x
6
12
8 d)
186
5,2 x f)
35
15
14
x h)
6
5,15,0
x
Solución:
a) x = 18 c) x = 5,6 e) x = 100 g) x = 2
b) x = 9 d) x = 7,5 f) x = 6 h) x = 2
2.4. Construcción de proporciones
Ejemplo: Observa que a partir de la proporción6
3
4
2 se pueden construir otras proporciones
distintas, utilizando los métodos siguientes:
a) Intercambiando los extremos:2
3
4
6
b) Intercambiando los medios: 6
4
3
2
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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c) Intercambiando los términos de cada razón entre sí: 3
6
2
4
Los extremos de la proporción6
3
4
2 son 2 y 6, y los medios 4 y 3.
2.4.1.
Ejercicios1) Forma cuatro proporciones con los números de cada apartado:
a) 3, 4, 6 y 8
b) 2, 5, 6 y 15
Solución:
a) 8
4
6
3 ;
3
4
6
8 ;
8
6
4
3 ;
4
8
3
6
b) 15
5
6
2 ;
2
5
6
15 ;
15
6
5
2 ;
5
15
2
6
2.5. Ejercicios
1) Halla en cada caso el valor que falta:
a) 48123
2 y x c)
49
8
7
1 y
x
b) y
x 50
357
8 d)
1
3
23
y x
Solución:a) x = 8 , y = 32 c) x = 56 , y = 7
b) x = 40 , y = 43,75 d) x = 9 , y = 6
2) Escribe en forma de razón la relación entre la cantidad de agua y la de zumo de limón en cadarefresco y responde.
a) ¿Qué refrescos saben igual?
b) ¿Cuál es el refresco que sabe más a limón?
Solución:
Refresco A: 57,0
5,3 Refresco B: 2
75,0
5,1
Refresco C: 5,24,0
1 Refresco D: 5,2
6,1
4
a) Saben igual los refrescos C y D.
b)
El refresco B sabe más a limón porque su cociente es el más pequeño.
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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3) Para hacer un determinado tono de color rosa se mezclan 0,5 kg de pintura roja con 1,5 kg depintura blanca. Plantea una proporción para cada una de las cuestiones propuestas y resuelve.
a) ¿Cuántos kilos de pintura roja hay que mezclar con 12 kg de pintura blanca para obtener elmismo tono rosa?
b)
¿Cuántos kilos de pintura blanca hay que mezclar con 6 kg de pintura roja para obtener el
mismo tono rosa?c) ¿Cuántos kilos de cada color hay que mezclar para obtener 18 kg de este tono rosa?
d) ¿Cuántos kilos de ese tono rosa se puede conseguir empleando 3,9 kg de pintura roja?
Datos:
Pintura roja = 0,5 kg
Pintura blanca = 1,5 kg
Tono rosa = pintura roja + pintura blanca = 0,5 + 1,5 = 2 kg
Solución:
a) Pintura roja = x kg
Pintura blanca = 12 kg
125,1
5,0 x ; x = 4 kg de pintura roja
b)
Pintura roja = 6 kg
Pintura blanca: x kg
x6
5,15,0 ; x = 18 kg de pintura blanca
c) Pintura roja = x kg
Pintura blanca = y kg
Tono rosa = 18 kg
182
5,0 x ; 5,4
2
185,0
x kg de pintura roja
182
5,1 y ; 5,13
2
185,1
y kg de pintura blanca
O bien 18 – 4,5 = 13,5 kg de pintura blanca
d) Pintura roja = 3,9 kg
Tono rosa = x kg
x
9,3
2
5,0 ; 6,15
5,0
9,32
x kg de pintura rosa
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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3. PROPORCIONALIDAD DIRECTA
3.1. Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si al aumentar el valor de una de ellasel doble, el valor de la otra también aumenta el doble; si al aumentar el triple, la otra también aumenta
el triple, … Esto es, dos magnitudes relacionadas son directamente proporcionales si al multiplicar odividir los valores de una de ellas por un número, los correspondientes valores de la otra quedanmultiplicados o divididos por el mismo número .
k b
k a
b
a
b
a
b
a
b
a
...
4
4
3
3
2
2
Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:
a) A más le corresponde más .
b) A menos le corresponde menos .
Ejemplo:
35
7
30
6
25
5
20
4
15
3
10
2
5
1
Las magnitudes A y B son directamente proporcionales porque al aumentar el valor de A aldoble, aumenta el valor de B al doble; si aumenta al triple, la otra aumenta también al triple, …
3.2. Constante de proporcionalidad directa
Al cociente común de las dos razones que forman una proporción se le llama razón o constantede proporcionalidad directa.
k d c
ba
Ejemplo 1:
2,035
7
30
6
25
5
20
4
15
3
10
2
5
1
La constante de proporcionalidad es k = 0,2.
Ejemplo 2:
5,08
4
3
5,1
La constante de proporcionalidad es k = 0,5.
3.2.1. Ejercicios
1) Escribe la constante de proporcionalidad de cada proporción:
a) 15
5
9
3 b)
5
10
5,2
5 c)
30
12
10
4
Solución:
a) 3,0
b) 0,2 c) 0,4
Magnitud A Ma nitud B
A B
A
B
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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2) Comprueba si las magnitudes A y B son directamente proporcionales calculando si existe laconstante de proporcionalidad:
a) 6
4
5
3
4
2 c)
15
5
12
4
6
2
b)
21
6
14
4
7
2
d) 6
3
5
2
4
1
Solución:
a) No. b) Sí. c) Sí. d) No.
3.3. Tablas de proporcionalidad directa
Ejemplo: En un comedor de un IES cada alumno se come dos panecillos. Dos alumnos se comeráncuatro panecillos; tres alumnos, seis panecillos; cuatro, ocho panecillos, … ¿Cómo varía el número depanecillos al variar el número de alumnos?
Si expresamos las razones de las cantidades de ambas magnitudes, obtenemos una serie derazones iguales que forman proporción :
24
8
3
6
2
4
1
2
La constante de proporcionalidad es k = 2.
Las magnitudes “nº de panecillos” y “nº de alumnos” son directamente proporcionales porque al aumentar el número de alumnos al doble, aumenta el número de panecillos al doble; si aumentaal triple, la otra aumenta también al triple, …
Esta serie de razones la podemos expresar en forma de tabla, que recibe el nombre de tabla de
proporcionalidad directa.Nº de panecillos 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Nº de alumnos/as 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Por tanto, en una tabla de proporcionalidad directa, dos pares de valores correspondientesforman una proporción.
Observa que cada número de la segunda fila se obtiene dividiendo el número de la primera filaque le corresponde por 2 (la constante de proporcionalidad); o a la inversa, si multiplicamos por 2 lasegunda fila, obtenemos la primera. Aplicando esto podemos incluso completar la tabla deproporcionalidad directa anterior calculando nuevas cantidades de alumnos y panecillos.
3.3.1.
Ejercicios
1)
Completa las siguientes tablas y calcula la constante de proporcionalidad:
a)
A 1 2 3 5 7B 5 10 20 30
b)
A 2 4 5 10 36B 6 24
Solución:
Nº de panecillos Nº de alumnos/as
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3.4.2. Ejercicios
1) Si 3 rotuladores cuestan 6 €, ¿cuánto costarán 7 rotuladores?
En este problema, intervienen dos magnitudes: número de rotuladores y precio, que sondirectamente proporcionales.
a) Por la regla de tres simple directa:
Nº de rotuladores Precio3 6
x
6
7
3 ; 14
3
67
x
7 x
b) Por el método de reducción a la unidad:
Nº de rotuladores Precio3 6
x
6
1
3 ; 2
3
61
x
1 x
Un rotulador cuesta 2 €. Por lo que 7 rotuladores cuestan 7 · 2 = 14 €.
Solución: 7 rotuladores cuestan 14 €.
2) Tres entradas de cine cuestan 16,2 €. ¿Cuánto cuestan 8 entradas?
En este problema, el precio que se paga es directamente proporcional al número de entradas.
a)
Por la regla de tres simple directa:
Nº de entradas Precio3 16,2
x
2,16
8
3 ; 2,43
3
2,168
x
8 x
b)
Por el método de reducción a la unidad:
Nº de entradas Precio3 16,2
x
2,16
1
3 ; 4,5
3
2,161
x
1 x
Una entrada de cine cuesta 5,4 €. Por lo que 8 entradas de cine cuestan 8 · 5,4 = 43,2 €.
Solución: 8 entradas cuestan 43,2 €.
3) Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?
En este problema, los kilómetros y las horas son magnitudes directamente proporcionales, yaque a menos horas recorrerá menos kilómetros.
a) Por la regla de tres simple directa:Kilómetros Horas
240 3
2
3240
x ; 160
3
2402
x
x 2
b) Por el método de reducción a la unidad:
Kilómetros Horas240 3
1
3240
x ; 80
3
2401
x
x 1
Una hora recorre 80 km. Por lo que en 2 horas se recorren 2 · 80 = 160 km.Solución: un automóvil recorre 160 km en 2 horas.
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
Gema Isabel Marín Caballero Página 15 de 52
4. PROPORCIONALIDAD INVERSA
4.1. Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si al aumentar el valor de una de ellasel doble, el valor de la otra disminuye a la mitad; si al aumentar el triple, la otra disminuye a la tercera
parte, … Esto es, dos magnitudes relacionadas son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividirlos valores de una de ellas por un número, los correspondientes valores de la otra quedan divididos omultiplicados por el mismo número .
k b
k a
b
a
b
a
b
a
b
a
...
4
4
3
3
2
2
Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:
a) A más le corresponde menos .
b) A menos le corresponde más .
Ejemplo:
2
60
3
40
4
30
12
10
6
20
Las magnitudes A y B son inversamente proporcionales porque al aumentar el número detrabajadores al doble, disminuye el tiempo de descarga a la mitad; si aumenta al triple, la otradisminuye también a la tercera parte, …
4.2. Constante de proporcionalidad inversa
El producto entre pares de valores correspondientes recibe el nombre de razón o constante de
proporcionalidad inversa.d cbak
d
c
b
a
Ejemplo:
A 20 10 30 40 60B 6 12 4 3 2
20 · 6 = 10 · 12 = 30 · 4 = 40 · 3 = 60 · 2 = 120
La constante de proporcionalidad inversa es k = 120.
4.2.1.
Ejercicios
1) Comprueba si las magnitudes A y B son inversamente proporcionales calculando si existe laconstante de proporcionalidad inversa:
a) b) c)
A 2 3 4 A 8 12 16 A 0,5 2 4B 4 3 2 B 6 4 3 B 80 20 10
Solución:
a) No. b) Sí. c) Sí.
Magnitud A Magnitud B
A B
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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4.3. Tablas de proporcionalidad inversa
Ejemplo: Un trabajador descarga un camión en doce horas, dos trabajadores lo descargan en 6horas, tres trabajadores en 4, … ¿Cómo varía el tiempo de descarga al variar el número de
trabajadores?
Si expresamos las cantidades de ambas magnitudes, obtenemos una tabla de proporcionalidad
inversa:Nº de trabajadores 1 2 3 4 5 6 7 … 12 …
Tiempo de descarga (h) 12 6 4 3 2,4 2 1,7 … 1 …
1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4 = 4 · 3 = 5 · 2,4 = 6 · 2 = 12
La constante de proporcionalidad inversa es k = 12.
Las magnitudes “nº de trabajadores” y “tiempo de descarga” son inversamenteproporcionales porque al aumentar el número de trabajadores al doble, disminuye el tiempo de descargaa la mitad; si aumenta al triple, la otra disminuye también a la tercera parte, …
Con esta tabla de proporcionalidad inversa también podemos construir una serie de razonesiguales que forman proporción . Para ello, se puede resolver de 2 formas:
a)
Se parte de dos pares de valores correspondientes y, después, se invierte el orden de losvalores de una de las magnitudes .
Nº de trabajadores Tiempo de descarga (h)12 1
1
2
6
12 o
2
1
12
6
6 2
b) Se parte de dos pares de valores correspondientes, se plantea la expresión del cálculo de laconstante de proporcionalidad inversa y, después, se obtienen dos fracciones equivalentes (la
proporción).Nº de trabajadores 1 2
1 · 12 = 2 · 612
6
2
1 o
12
2
6
1
Tiempo de descarga (h) 12 6
4.3.1.
Ejercicios
1) Completa las siguientes tablas y calcula la constante de proporcionalidad inversa:
a) b)
A 24 A 4 40B 3 6 12 72 B 250 200 50
Solución:
a) La constante de proporcionalidad es k = 24 · 3 = 72.
A 24 12 6 1B 3 6 12 72
b)
La constante de proporcionalidad es k = 4 · 250 = 1.000.
A 4 5 40 20B 250 200 25 50
4.4. Problemas de proporcionalidad inversaUn problema se resuelve con proporcionalidad inversa cuando dos magnitudes son
inversamente proporcionales .
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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Los problemas de proporcionalidad inversa se pueden resolver de 2 formas:
a)
Por la regla de tres inversa: consiste primero en ordenar los datos y la incógnita en sumagnitud; después, se construye la proporción con los términos invertidos al orden en queaparecen en una de las magnitudes; y, por último, se calcula el término desconocido de laproporción.
Magnitud A Magnitud Ba b
b
x
c
a o
x
b
a
c ;
c
ba x
c x
b) Por el método de reducción a la unidad: consiste en calcular el valor correspondiente a unaunidad de una de las magnitudes y, después, conociendo este dato, lo usamos en cálculosposteriores para hallar cualquier otro par de valores correspondientes.
A 1 a c Unidad (1) = a : a c = 1 · cB x b y x = b · a y = x : c
Ejemplo: Siguiendo el ejemplo que vimos en las magnitudes inversamente proporcionales.
¿Cuánto tardarán diez trabajadores en descargar el camión?Nº de trabajadores Tiempo de descarga (h)
1 12
1210
1 x o
x
12
1
10 ; 2,1
10
121
x
10 x
Solución: 10 trabajadores tardan 1,2 horas en descargar el camión.
NOTA: En la regla de 3 inversa, se multiplica en horizontal (en línea).
Magnitud A Magnitud Ba b
a · b = c · x ;b
x
c
a
c x
4.4.1. Pasos
Los pasos para resolver problemas son:
1) Identificamos las magnitudes.
2)
¿Qué relación tienen las magnitudes: directa o inversa ?
3)
¿Qué método de resolución aplicamos: regla de 3 directa o inversa ?
4) Resolución de la regla de 3.
4.4.2.
Ejercicios1)
Tres operarios descargan una furgoneta en 20 minutos. ¿Cuánto tardarán cinco operarios?
En este problema, los operarios y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales, ya quea más operarios tardará menos tiempo.
Por la regla de tres inversa:
Nº de operarios Tiempo (min)3 20
205
3 x o
203
5 x ; 12
5
203
x
5 x
Solución: 5 operarios tardarán 12. Por lo que el tiempo disminuirá a la mitad.
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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2) Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos lavelocidad, ¿cuánto tardará?
En este problema, los kilómetros/hora y las horas son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más kilómetros/hora tardará menos horas.
Por la regla de tres inversa:
Kilómetros/hora Horas60 6
6120
60 x o
x
6
60
120 ; 3
120
660
x
120 x
Solución: si la velocidad es de 120 km/h, el tiempo del trayecto será de 3 horas. Por lo que eltiempo disminuirá a la mitad.
5. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
5.1. Definición
La proporcionalidad compuesta se da en aquellas situaciones en las que intervienen más de dosmagnitudes que están relacionadas proporcionalmente , ya sea de modo directo o inverso.
5.2. Problemas de proporcionalidad compuesta
Un problema se resuelve con proporcionalidad compuesta cuando se relacionan tres o másmagnitudes .
Los problemas de proporcionalidad compuesta se resuelven con la regla de tres compuesta, demodo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos ladesconocida.
Se ha de tener en cuenta si la relación entre cada magnitud conocida y la magnitud desconocidao incógnita es directa o inversa .
Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa oinversa , podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:
a) Por la regla de tres compuesta directa:
Magnitud A Magnitud B Magnitud Ca b c
x
c
e
b
d
a ;
ba
ced x
d e x
Las magnitudes A y C están ligadas por una relación de proporcionalidad direct a, y entre las
magnitudes B y C existe también una relación de proporcionalidad directa .b) Por la regla de tres compuesta inversa:
Magnitud A Magnitud B Magnitud Ca b c
x
c
b
e
a
d ;
ed
cba x
d e x
Las magnitudes A y C están ligadas por una relación de proporcionalidad inversa , y entre lasmagnitudes B y C existe también una relación de proporcionalidad inversa .
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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c) Por la regla de tres compuesta mixta:
Magnitud A Magnitud B Magnitud Ca b c
x
c
b
e
d
a ;
ea
cbd x
d e x
Las magnitudes A y C están ligadas por una relación de proporcionalidad directa , y entre las
magnitudes B y C existe también una relación de proporcionalidad inversa .
5.2.1.
Ejercicios
1) Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averigua el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.
En este problema, se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes:
a)
A más grifos le corresponde más euros .
b) A más horas le corresponde más euros .
Por la regla de tres compuesta directa :
D D
Grifos Horas Precio9 10 20
x
20
12
10
15
9 ; 40
109
201215
x
15 12 x
Solución: El precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas es 40 €.
2) 5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obrerostrabajando 7 horas diarias?
En este problema, se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes:
a) A menos obreros le corresponde más días .
b)
A más horas le corresponde menos días .
Por la regla de tres compuesta inversa :
I I
Obreros Horas Días5 6 2
x
2
6
7
5
4 ; 14,2
74
265
x
4 7 x
Solución: 4 obreros trabajando 7 horas diarias tardarán 2,14 días.
3) Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántosdías necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?
En este problema, se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes:
a)
A más obreros le corresponde menos días .
b)
A más horas le corresponde menos días .
En este problema, se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes:a) A más metros le corresponde más días .
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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c) Tabla de proporcionalidad directa:
A a b c a+b+cB a’ b’ c’ C
C
cba
c
c
b
b
a
a
'''
C
cba
a
a
' ; a
cba
C a
' Cantidad que le corresponde al número a.
C
cba
b
b
' ; b
cba
C b
' Cantidad que le corresponde al número b.
C
cba
c
c
' ; c
cba
C c
' Cantidad que le corresponde al número c.
Comprobación: a’ + b’ + c’ = C
6.1.2.
Ejercicios1) Juan, María y Luis ponen 2, 3 y 6 euros para jugar una quiniela. La quiniela sale premiada con
7.590 €. Halla lo que le corresponde a cada uno.
Datos:
Juan 2 €
María 3 €
Luis 6 €
Cantidad premiada: 7.590 €
Operaciones:Los problemas de repartos directamente proporcionales se pueden resolver de 3 formas:
a) Operaciones:
1) 2 + 3 + 6 = 11 €
2) 69011
590.7 € por cada euro que juegan
3) Juan: 2 · 690 = 1.380 €
María: 3 · 690 = 2.070 €
Luis: 6 · 690 = 4.140 €
b) Fórmula de la constante de proporcionalidad directa:
1) 690
632
590.7
k
2)
Juan: 2 · 690 = 1.380 €
María: 3 · 690 = 2.070 €
Luis: 6 · 690 = 4.140 €
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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c) Tabla de proporcionalidad directa:
A 2 3 6 2 + 3 + 6 = 11B a’ b’ c’ 7.590
590.7
11
'
6
'
3
'
2
cba
590.7
11
'
2
a ; 380.126902
11
590.7' a €
590.7
11
'
3
b ; 070.236903
11
590.7' b €
590.7
11
'
6
c ; 140.466906
11
590.7' c €
Comprobación: 1.380 + 2.070 + 4.140 = 7.590 €
Solución: A Juan le corresponde 1.380 €, a María 2.070 € y a Luis 4.140 €.
2) Tres empresas asociadas A, B y C aportan 2, 3 y 6 millones de euros, respectivamente para iniciarun negocio. ¿Cómo deben repartir los 594.000 € obtenidos como beneficios en el primer mes?
Datos:
Empresa A 2 millones de euros
Empresa B 3 millones de euros
Empresa C 6 millones de euros
Beneficios: 594.000 € Operaciones:
Los problemas de repartos directamente proporcionales se pueden resolver de 3 formas:
a)
Operaciones:
1) 2 + 3 + 6 = 11 millones de euros se han invertido en el negocio
2) 000.5411
000.594 € por cada millón de euro que invierten
3) Empresa A: 2 · 54.000 = 108.000 €
Empresa B: 3 · 54.000 = 162.000 € Empresa C: 6 · 54.000 = 324.000 €
b) Fórmula de la constante de proporcionalidad directa:
1) 000.54632
000.594
€
2) Empresa A: 2 · 54.000 = 108.000 €
Empresa B: 3 · 54.000 = 162.000 €
Empresa C: 6 · 54.000 = 324.000 €
-
8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
Gema Isabel Marín Caballero Página 23 de 52
c) Tabla de proporcionalidad directa:
A 2 3 6 2 + 3 + 6 = 11B a’ b’ c’ 594.000
000.594
11
'
6
'
3
'
2
cba
000.594
11
'
2
a ; 000.1082000.542
11
000.594' a €
000.594
11
'
3
b ; 000.1623000.543
11
000.594' b €
000.594
11
'
6
c ; 000.3246000.546
11
000.594' c €
Comprobación: 108.000 + 162.000 + 324.000 = 594.000 €
Solución: A la Empresa A le corresponde 108.000 €, a la Empresa B 162.000 € y a la Empresa C324.000 €.
3) Tres socios montan una empresa aportando 1, 4 y 5 millones de euros, respectivamente. Al cabo deun año tienen de beneficio 1.800.000 €. Halla lo que le corresponde a cada uno.
Datos:
Socio 1 1 millones de euros
Socio 2 4 millones de euros
Socio 3 5 millones de euros
Beneficios: 1.800.000 €
Operaciones:
1) 1 + 4 + 5 = 10 millones de euros se han invertido en el negocio
2) 000.18010
000.800.1 € por cada millón de euro que invierten
3) Socio 1: 1 · 180.000 = 180.000 €
Socio 2: 4 · 180.000 = 720.000 €
Socio 3: 5 · 180.000 = 900.000 € Comprobación: 180.000 + 720.000 + 900.000 = 1.800.000 €
Solución: Al Socio 1 le corresponde 180.000 €, al Socio 2, 720.000 € y al Socio 3, 900.000 €.
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
Gema Isabel Marín Caballero Página 24 de 52
4) Tres amigas que comparten piso reciben una factura de la compañía eléctrica por un importe de62,4 €. Amelia llegó al piso hace 60 días, Laura 20 días después y Cristina sólo lleva en la casa20 días. ¿Cuánto debe pagar cada una?
Datos:
Amelia Hace 60 días llegó al piso 60 días
Laura 20 días después llegó al piso 60 – 20 = 40 díasCristina 20 días lleva en el piso 20 días
Factura de la luz: 62,4 €
Operaciones:
1) 60 + 40 + 20 = 120 días llevan en el piso
2) 52,0120
4,62 € por cada días que llevan en el piso
3) Amelia: 60 · 0,52 = 31,2 €
Laura: 40 · 0,52 = 20,8 €
Cristina: 20 · 0,52 = 10,4 €
Comprobación: 31,2 + 20,8 + 10,4 = 62,54 €
Solución: A Amelia le corresponde pagar 31,2 €, a Laura 20,8 € y a Cristina 10,4 €.
6.2. Repartos inversamente proporcionales
Se quiere repartir una cantidad C inversamente proporcional a los números a, b, c. Para ello, sereparte esa misma cantidad C de forma directamente proporcional a sus inversos, es decir, a los
númerosa
1 ,b
1 ,c
1 .
6.2.1. Métodos
Hay 3 métodos para resolver los problemas de repartos inversamente proporcionales:
a) Operaciones:
1) cba
111 Total
2) Total C
Parte
3) a’ =a
1 · Parte b’ =
b
1 · Parte c’ =
c
1 · Parte
-
8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
Gema Isabel Marín Caballero Página 25 de 52
b) Fórmula de la constante de proporcionalidad inversa: B Ak
1)
cba
C k
111
2) k aa
1
'
Cantidad que le corresponde al número a.
k b
b 1
' Cantidad que le corresponde al número b.
k c
c 1
' Cantidad que le corresponde al número c.
c) Tabla de proporcionalidad inversa:
A a a
1 b
b
1 C
c
1
cba
111
B a’ b’ c’ C
C
cba
c
c
b
b
a
a
111
'
1
'
1
'
1
C
cba
a
a
111
'
1
;a
cba
C a
1
111'
Cantidad que le corresponde al número a.
C cba
bb
' ; b
cba
C b 1111
'
Cantidad que le corresponde al número b.
C
cba
c
c
111
'
1
;c
cba
C c
1
111'
Cantidad que le corresponde al número c.
Comprobación: a’ + b’ + c’ = C
6.2.2.
Ejercicios1)
Un padre deja una herencia de 62.100 € para repartir inversamente a las edades de sus tres hijos:José de 3 años, Mateo de 4 años y Leonor de 6 años. Halla lo que recibe cada uno.
Datos:
José 3 años
Mateo 4 años
Leonor 6 años
Herencia: 62.100 €
-
8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
Gema Isabel Marín Caballero Página 26 de 52
Operaciones:
Los problemas de repartos inversamente proporcionales se pueden resolver de 3 formas:
a)
Operaciones:
1)
12
9
12
234
6
1
4
1
3
1
por años
2) 800.82
9
200.745
9
12100.62
12
9:100.62
€ · años
3) José: 600.27800.823
1 €
Mateo: 700.20800.824
1 €
Leonor: 800.13800.826
1 €
b)
Fórmula de la constante de proporcionalidad inversa:
600.273
1800.82
3
1
6
1
4
1
3
1
100.62
€
700.204
1800.82
4
1
6
1
4
1
3
1
100.62
€
800.136
1
800.826
1
6
1
4
1
3
1
100.62
€
c) Tabla de proporcionalidad inversa:
A 3 3
1 4
4
1 6
6
1
12
9
6
1
4
1
3
1
B a’ b’ c’ 62.100
100.62
6
1
4
1
3
1
'
6
1
'
4
1
'
3
1
cba
100.62
6
1
4
1
3
1
'
3
1
a
; 600.273
1800.82
3
1
6
1
4
1
3
1
100.62'
a €
100.62
6
1
4
1
3
1
'
4
1
b
; 700.204
1800.82
4
1
6
1
4
1
3
1
100.62'
b €
-
8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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Operaciones:
1) 12
6
12
123
12
1
6
1
4
1
por millones de euros
2) 486
288
6
1224
12
6:24
horas diarias · millones de euros
3) Socio 1: 12484
1 horas diarias
Socio 2: 8486
1 horas diarias
Socio 3: 44812
1 horas diarias
Comprobación: 12 + 8 + 4 = 48 horas diarias
Solución: El Socio 1 debe atender el negocio 12 horas diarias, el Socio 2, 8 horas diarias y elSocio 3, 4 horas diarias.
7. PROBLEMAS DE MEZCLAS
7.1. Expresión general
Se quiere hallar el precio medio de una mezcla.
Sean C1 la cantidad del primero, P1 el precio del primero, C2 la cantidad del segundo, P2 el preciodel segundo, etc.
...
...
321
332211
C C C
P C P C P C Precio medio
7.2. Ejercicios
1) Se mezclan 3 kg de café de 2,20 €/kg con 5 kg de café de 1,90 €/kg y con 8 kg de café de3,10 €/kg. Halla el precio medio de la mezcla.
Datos:
Mezcla 1: 3 kg de café de 2,20 €/kg
Mezcla 2: 5 kg de café de 1,90 €/kg
Mezcla 3: 8 kg de café de 3 ,10 €/kg
Operaciones:
Precio medio = 56,216
90,40
16
80,2450,960,6
853
10,3890,1520,23
€/kg
Solución: El precio medio de la mezcla es 2,56 €/kg.
-
8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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2) Se mezclan 600 litros de vino de 3 €/litro con 1.000 litros de otro vino a 2,20 €/litro. Halla elprecio de la mezcla.
Datos:
Mezcla 1: 600 litros de vino de 3 €/litro
Mezcla 2: 1.000 litros de otro vino a 2,20 €/litro
Operaciones:
Precio medio = 5,2600.1
000.4
600.1
200.2800.1
000.1600
20,2000.13600
€/litro
Solución: El precio medio de la mezcla es 2,5 €/litro.
8. PORCENTAJES
8.1. Utilidad
Los porcentajes son muy usados en el lenguaje corriente y, sobre todo, en el lenguaje comercial .
8.2. Definición
Un porcentaje se puede interpretar como una fracción, un número decimal o una proporción .
Un porcentaje es un tanto por ciento que se representa con el símbolo %.
Ejemplos:
Hay un ochenta por ciento de posibilidades de que me toque un premio.
Me han hecho una rebaja del diez por ciento.
El banco cobra un cuatro y medio por ciento.Un porcentaje es un tanto por ciento que se representa con el símbolo % y se interpreta como
una razón (fracción) o un número decimal.
Porcentaje como fracción: t % =100
t siendo “t” es el tanto .
Ejemplos:
Porcentaje % Como fracción Como número decimal
25 %100
25 0,25
47 %100
47 0,47
9 %100
9 0,09
137 %100
137 1,37
-
8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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8.3. Interpretación de porcentajes
Ejemplo:
Expresión Porcentaje Se lee Significa FracciónNúmerodecimal
El 12 % de los alumnos son morenos. 12 % 12 por ciento
a) De cada 100,
12 son morenos.b) 12 de cada
100 son morenos.10012 0,12
El 7 % de los bebés son alérgicos. 5 % 5 por ciento
a) De cada 100, 7son alérgicos.
b) 7 de cada 100son alérgicos.
100
7 0,07
El 68 % de la población tiene empleo. 68 % 68 por ciento
a) De cada 100,68 tiene empleo.b) 68 de cada100 son tiene
empleo.
100
68 0,68
8.4. Cálculo de porcentajes de una cantidad
t % de C = P
Donde:
t % es el porcentaje o tanto por ciento .
C es la cantidad total .
P es la parte .
Ejemplo: Calcula 4 % de 250.
Hay 2 formas de resolverlo:
a) Con fracción: 40 % de 250 = 100100
25040
100
25040250
100
40
b) Con número decimal: 40 % de 250 = 0,40 · 250 = 100
-
8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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8.5. Cálculo rápido de porcentajes
Algunos porcentajes equivalen a fracciones muy sencillas, lo que facilita el cálculo, sobre todopara el cálculo mental .
Cálculo rápido de porcentajes
Interpretación Operación Ejemplo
10 % =
10
1
10:100
10:10
100
10 Dividir por 10.
10 % de 42 = 2,410
42
20 % =
5
1
20:100
20:20
100
20 Dividir por 5.
20 % de 35 = 75
35
25 % =
4
1
25:100
25:25
100
25 Dividir por 4.
25 % de 40 = 104
40
50 % =
2
1
50:100
50:50
100
50 Dividir por 2.La mitad. 50 % de 36 =18
236
75 % =
4
3
25:100
25:75
100
75
Multiplicar por 3.Dividir por 4.
75 % de 16 =
12434
163
4
163
100 % =
1100:100
100:100
100
100 Multiplicar por 1. 100 % de 53 = 53531
8.6. Porcentaje es una fracción
8.6.1. Definición
Un porcentaje (o el tanto por ciento) es una fracción que tiene por numerador el tanto y pordenominador 100 .
100%
aa
Se lee “a por ciento”.
Esta información quiere decir que de cada 100 unidades , se toma el tanto indicado a .
Ejemplos:
100
5%5 Se lee “cinco por ciento”.
100
20%20 Se lee “veinte por ciento”.
100
48%48 Se lee “cuarenta y ocho por ciento”.
100
75%75 Se lee “setenta y cinco por ciento”.
-
8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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8.6.2. Cálculo rápido de algunos porcentajes con fracción
Algunos porcentajes equivalen a fracciones muy sencillas, lo que facilita el cálculo, sobre todopara el cálculo mental .
b) El 50 % es la mitad . Para calcular el 50 %, se divide entre 2.
2
1
50:100
50:50
100
50
%50
c) El 25 % es la cuarta parte . Para calcular el 25 %, se divide entre 4.
4
1
25:100
25:25
100
25%25
d) El 20 % es la quinta parte . Para calcular el 20 %, se divide entre 5.
5
1
20:100
20:20
100
20%20
e) El 10 % es la décima parte . Para calcular el 10 %, se divide entre 10.
10
1
10:100
10:10
100
10%10
f) El 100 % es la unidad . Para calcular el 100 %, se divide entre 100.
100:100
100:100
100
100%100
8.6.3. Cálculo del tanto por ciento de una cantidad dada con fracción
Para calcular un porcentaje, a %, a una cantidad dada, se multiplica dicha cantidad por a y
se divide por 100 .
a % de N =100
a de N =
100100100
N a N a N
a
Por tanto, un porcentaje o tanto por ciento (55 %, 30 %, 40 %, 9 %, …) de una cantidad es elresultado de dividir esa cantidad en 100 partes iguales y tomar el tanto indicado (55, 30, 40, 9, …).
Ejemplos:
5 % de 150 = 5,7100
1505150
100
5
Para calcular el 5 % de 150, se divide la cantidad 150 en 100 partes y se toman 5.
20 % de 300 = 60100
30020300
100
20
Para calcular el 20 % de 300, se divide la cantidad 300 en 100 partes y se toman 20.
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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8.6.4. Ejercicios
1)
Escribe en forma de porcentaje y de fracción:
a)
Tres por ciento. c) Setenta por ciento.
b) Quince por ciento. d) Noventa y ocho por ciento.
Solución:
a) 100
3%3 b)
100
15%15 c)
100
70%70 d)
100
98%98
2) Calcula:
a) 50 % de 80 b) 25 % de 60 c) 20 % de 40 d) 10 % de 70
Solución:
a) 40802
180
100
50 c) 840
5
140
100
20
b) 15604
160
100
25 d) 770
10
170
100
10
3) Calcula:
a) 15 % de 60 c) 37 % de 520 e) 98 % de 700
b) 65 % de 150 d) 12 % de 1230
Solución:
a) 9
10
90
100
601560
100
15
b) 5,97
100
9750
100
15065150
100
65
c) 4,192
100
19240
100
52037520
100
37
d) 6,147
100
14760
100
1230121230
100
12
e) 686
100
68600
100
70098700
100
98
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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4) Calcula:
a)
El 35 % de una cantidad es 21. ¿Cuál es la cantidad?
b)
El 80 % de una cantidad es 72. ¿Cuál es la cantidad?
c)
El 20 % de una cantidad es 50. ¿Cuál es la cantidad?
Solución:a) 35 % de x = 21 ; 21
100
35 x ; 60
35
10021
x
b) 80 % de x = 72 ; 72100
80 x ; 90
80
10072
x
c) 20 % de x = 50 ; 50100
20 x ; 250
20
10050
x
5) Calcula:a) El 20 % de un número es 45. ¿Cuál es el número?
b) El 15 % de un número es 6. ¿Cuál es el número?
c) El 8 % de un número es 26. ¿Cuál es el número?
d) El 105 % de un número es 273. ¿Cuál es el número?
e) El 2,4 % de un número es 1,44. ¿Cuál es el número?
Solución:
a)
20 % de x = 45 ; 45100
20
x ; 22520
10045
x
b) 15 % de x = 6 ; 6100
15 x ; 40
15
1006
x
c) 8 % de x = 26 ; 26100
8 x ; 325
8
10026
x
d) 105 % de x = 273 ; 273100
105 x ; 260
105
100273
x
e)
2,4 % de x = 1,44 ; 44,1100
4,2
x ; 604,2
10044,1
x
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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8.7. Porcentaje es un número decimal
8.7.1. Definición
Como un porcentaje equivale a una fracción , se puede transformar esa fracción en un númerodecimal; lo que proporciona una forma rápida de calcular el porcentaje.
El número decimal se obtiene de efectuar el cociente indicado por una razón. Esta expresióndecimal representa el tanto por uno.
Por tanto, un porcentaje también es un tanto por uno.
Ejemplos:
05,0100
5%5 48,0
100
48%48
2,0100
20%20 75,0
100
75%75
8.7.1.1.
Ejercicios
1) Expresa las siguientes cantidades en forma de fracción y número decimal:
a) 17 % c) 31 % e) 65 %
b)
92 % d) 43 % f) 15 %
Solución:
a) 17,0100
17%17 c) 31,0
100
31%31 e) 65,0
100
65%65
b) 92,010092%92 d) 43,010043%43 f) 15,010015%15
8.7.2. Pasar de número decimal a porcentaje
El porcentaje se obtiene de multiplicar el número decimal por 100.
Ejemplos:
%401004,04,0 %410004,004,0
%8710087,087,0 %1601006,16,1
8.7.2.1.
Ejercicios
1)
Expresa los números decimales en forma de porcentaje:
a) 0,37 b) 0,2 c) 1,8 d) 0,05
Solución:
a)
%3710037,037,0 c) %1801008,18,1
b) %201002,02,0 d) %510005,005,0
-
8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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8.7.3. Cálculo rápido de algunos porcentajes con decimal
Siguiendo el ejemplo que vimos en el punto 3.2.2, los porcentajes se pueden transformar en unnúmero decimal a partir de las fracciones .
a) El 50 % es la mitad . Para calcular el 50 %, se divide entre 2.
5,0100
50
%50
b) El 25 % es la cuarta parte . Para calcular el 25 %, se divide entre 4.
25,0100
25%25
c) El 20 % es la quinta parte . Para calcular el 20 %, se divide entre 5.
2,0100
20%20
d) El 10 % es la décima parte . Para calcular el 10 %, se divide entre 10.
1,0100
10%10
e) El 100 % es la unidad . Para calcular el 100 %, se divide entre 100.
1100
100%100
8.7.4. Cálculo del tanto por ciento de una cantidad dada con decimal
Para calcular un porcentaje, a %, a una cantidad dada, se multiplica dicha cantidad por el
número decimal , que resulta de dividir el tanto a entre 100 .Ejemplos:
5 % de 150 = 5,715005,0150100
5
20 % de 300 = 603002,0300100
20
8.7.4.1.
Ejercicios
1)
Calcula:
a) 35 % de 400 b) 15 % de 200 c) 40 % de 420
Solución:
a) 14040035,0400100
35
b) 3020015,0200100
15
c) 1684204,0420
100
40
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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2) El 85 % de 80 votos emitidos en una reunión de vecinos ha sido a favor de una propuesta. Si elresto de los votos emitidos fueron en contra, ¿cuántos votos en contra hubo?
Datos:
Total de votos = 80
85 % de votos emitidos a favor
Operaciones:
Este problema se puede resolver de 2 formas:
a) Se calcula el número de votos emitidos a favor.
Nº de votos emitidos a favor = 85 % de 80 = 68100
680080
100
85
Nº de votos en contra = total de votos – votos emitidos a favor = 80 – 68 = 12
b) Se calcula el porcentaje de votos en contra.
100 % – 85 % = 15 %
Nº de votos en contra = 15 % de 80 = 12100
120080
100
15
Solución: Hubo 12 votos en contra.
8.7.5. Cálculo de la cantidad cuando se conoce el porcentaje
Para calcular una cantidad cuando se conoce el porcentaje, a %, se divide el porcentajeentre el tanto por ciento en su expresión decimal .
Ejemplo: El 20 % de una cantidad es 50. ¿Cuál es la cantidad?
20 % de x = 50 ; 0,2 · x = 50 ; 2502,0
50 x
8.7.5.1. Ejercicios
1) Calcula:
a)
El 35 % de una cantidad es 21. ¿Cuál es la cantidad?
b)
El 80 % de una cantidad es 72. ¿Cuál es la cantidad?
Solución:
a) 35 % de x = 21 ; 0,35 · x = 21 ; 6035,0
21 x
b) 80 % de x = 72 ; 0,8 · x = 72 ; 908,0
72 x
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
Gema Isabel Marín Caballero Página 38 de 52
2) Calcula:
a)
El 20 % de un número es 45. ¿Cuál es el número?
b)
El 15 % de un número es 6. ¿Cuál es el número?
c)
El 8 % de un número es 26. ¿Cuál es el número?
d)
El 105 % de un número es 273. ¿Cuál es el número?e) El 2,4 % de un número es 1,44. ¿Cuál es el número?
Solución:
a) 20 % de x = 45 ; 0,2 · x = 45 ; 2252,0
45 x
b)
15 % de x = 6 ; 0,15 · x = 6 ; 4015,0
6 x
c) 8 % de x = 26 ; 0,08 · x = 26 ; 32508,0
26 x
d) 105 % de x = 273 ; 1,05 · x = 273 ; 26005,1
273 x
e) 2,4 % de x = 1,44 ; 0,024; 60024,0
44,1 x
8.8. Porcentaje es una proporción
8.8.1. Definición
Un porcentaje se puede contemplar como una proporción.
Ejemplo: El 30 % de los jóvenes chatea a través de Internet.
Esta frase quiere decir que de cada 100 jóvenes, chatean 30.
Con esta información, podemos construir la tabla siguiente:
Total de jóvenes 100 200 300 400 500 … Parte de jóvenes que chatea 30 60 90 120 150 …
Observa que se trata de una tabla de proporcionalidad directa porque cada cantidad esdirectamente proporcional a su porcentaje correspondiente, lo que permite construir parejas defracciones equivalentes (una proporción).
60
200
30
100
90
300
30
100
120
400
30
100 …
Por tanto, un porcentaje es un tipo de regla de tres simple directa en el que una de lascantidades es 100. Esto permite resolver nuevos problemas de porcentajes .
8.9. Cálculo rápido de algunos porcentajes de una cantidad dada
Un tanto por ciento de una cantidad es una fracción de dicha cantidad.
Los siguientes porcentajes facilitan el cálculo rápido, sobre todo el cálculo mental , del tantopor ciento de una cantidad dada.
-
8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
Gema Isabel Marín Caballero Página 39 de 52
8.9.1. Partimos del porcentaje inicial 25 %
4
1
25:100
25:25
100
25%25 Dividir por 4
%50 Doble del 25 % %252 Multiplicar por 2
%75Triple del 25 %
%253
Multiplicar por 3Ejemplo:
25 % de 40 = 104
40
50 % de 40 = 20102
75 % de 40 = 30103
8.9.1.1.
Ejercicios
1) Calcula:
a) 25 % de 80 c) 25 % de 24
50 % de 80 50 % de 24
75 % de 80 75 % de 24
b) 25 % de 200 d) 25 % de 500
50 % de 200 50 % de 500
75 % de 200 75 % de 500
Solución:
a) 25 % de 80 = 204
80 c) 25 % de 24 = 64
24
50 % de 80 = 40202 50 % de 24 = 1262
75 % de 80 = 60203 75 % de 24 = 1863
b) 25 % de 200 = 504
200 d) 25 % de 500 = 125
4
500
50 % de 200 = 100502 50 % de 500 = 2501252
75 % de 200 = 150503 75 % de 500 = 3751253
8.9.2.
Partimos del porcentaje inicial 10 %
10
1
10:100
10:10
100
10%10 Dividir por 10
%20 Doble del 10 % %102 Multiplicar por 2
%30 Triple del 10 % %103 Multiplicar por 3
%5 Mitad del 10 % 2:%10 Dividir por 2
-
8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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Ejemplo 1:
10 % de 40 = 410
40
20 % de 40 = 842
30 % de 40 = 12043
5 % de 40 = 22:4
Ejemplo 2:
10 % de 60 = 610
60
20 % de 60 = 1262
30 % de 60 = 1863
5 % de 60 = 32
6
8.9.2.1.
Ejercicios
1) Calcula:
a) 10 % de 40 b) 10 % de 3250
20 % de 40 20 % de 3250
30 % de 40 30 % de 3250
60 % de 40 50 % de 3250
80 % de 40 70 % de 32505 % de 40 90 % de 3250
5 % de 3250
Solución:
a) 10 % de 40 = 410
40 b) 10 % de 3250 = 325
10
3250
20 % de 40 = 842 20 % de 3250 = 6503252
30 % de 40 = 1243 30 % de 3250 = 9753253
60 % de 40 = 2046 50 % de 3250 = 16253255
80 % de 40 = 3248 70 % de 3250 = 22753257
5 % de 40 = 22
4 90 % de 3250 = 29253259
5 % de 3250 = 5,1622
325
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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8.10. Problemas del cálculo de la parte, del total y del porcentaje
Cualquier situación de porcentaje maneja básicamente tres elementos: un total (T) , un tanto por ciento (a %) y una parte (P) .
8.10.1. Métodos
Hay 3 métodos para resolver los problemas de porcentajes:a) Expresión del porcentaje: t % de C = P
b) Proporción: C
P t
100 Sólo hay que despejar la incógnita.
c) Regla de 3 simple directa: porcentaje como regla de 3 directa. Sólo hay que despejar laincógnita.
Parte Totalt --------- 100
C P
t 100
P --------- C
100
t C P
t
P C
100
C
P t
100
8.10.2. Tipos de problemas de porcentajes
Hay 3 tipos de problemas de porcentajes:
Cálculo de la parte.
Cálculo del total o de la cantidad total.
Cálculo del porcentaje o del tanto por ciento.
8.10.3. Cálculo de la parte
Ejemplo: En un grupo de 250 jóvenes, el 30 % chatea a través de Internet. ¿Cuántos jóveneschatean?
Datos:
250 jóvenes = C
30 % = t %
¿Jóvenes que chatean? = P
Operaciones:Los problemas de calcular la parte cuando se conoce el total y el tanto por ciento se pueden
resolver de 3 formas:
a) Expresión del porcentaje: 30 % de 250 = P ; P 250100
30 ; 75
100
25030
P
b) Proporción: 250100
30 P ; 75
100
25030
P
c) Regla de 3 simple directa:
Parte Total30 --------- 100
250100
30 P ; 75
100
25030
P
P --------- 250
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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Total de jóvenes Parte de jóvenes que chatea100 30
P
30
250
100 ; 75
100
30250
P
250 P
Solución: En un grupo de 250 jóvenes, hay 75 que chatean en Internet.
8.10.4.
Cálculo del total o de la cantidad total
Ejemplo: En un grupo, hay 180 jóvenes chateando en Internet, lo que supone un 30 % del total.¿Cuál es el total de jóvenes del grupo?
Datos:
180 jóvenes chateando = P
30 % = t %
¿Total de jóvenes? = C
Operaciones:
Los problemas de calcular el total cuando se conoce la parte y el tanto por ciento se puedenresolver de 3 formas:
a) Expresión del porcentaje: 30 % de C = 180 ; 180100
30C ; 600
30
100180
C
b) Proporción: C
180
100
30 ; 600
30
180100
C
c) Regla de 3 simple directa:
Parte Total
30 --------- 100
C
180
100
30 ; 600
30
180100
C
180 --------- C
Total de jóvenes Parte de jóvenes que chatea100 30
180
30100
C ; 600
30
100180
C
C 180
Solución: El grupo tiene un total de 600 jóvenes.
8.10.5. Cálculo del porcentaje o del tanto por ciento
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad cuando se conoce la parte y total, hay querealizar dos pasos:
1) Se divide la parte entre la cantidad y da como resultado una expresión decimal, que es el tanto por uno .
2) Se multiplica el tanto por uno por 100 y se obtiene el tanto por ciento .
Ejemplo: En un grupo de 250 jóvenes, hay 180 jóvenes chateando en Internet. ¿Cuál es elporcentaje de jóvenes que chatea?
Datos:
250 jóvenes = C180 jóvenes chateando = P
¿Porcentaje de jóvenes que chatea? = t %
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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Operaciones:
Los problemas de calcular el tanto por ciento cuando se conoce la parte y total se puedenresolver de 3 formas:
a) Expresión del porcentaje: t % de 250 = 180 ; 180250100
t
; 72250
100180
t %
b) Proporción: 250
180
100
t ; 72
250
100180
t %
c) Regla de 3 simple directa:
Parte Total
t --------- 100
250
180
100
t ; 72
250
100180
t
180 --------- 250
Total de jóvenes Parte de jóvenes que chatea100 t
180250
100 t
; 72250
100180
t %250 180
Solución: El porcentaje de jóvenes que chatea es 72 %.
8.10.6.
Ejercicios
1) Calcula:
a) El tanto por ciento de 80 es 16. ¿Cuál es el tanto por ciento?
b) El tanto por ciento de 120 es 36. ¿Cuál es el tanto por ciento?
c) El tanto por ciento de 380 es 285. ¿Cuál es el tanto por ciento?
Solución:
a) x % de 80 = 16 ; x · 80 = 16 ; 2,080
16 x 0,2 · 100 = 20 %
b) x % de 120 = 36 ; x · 120 = 36 ; 3,0120
36 x 0,3 · 100 = 30 %
c) x % de 380 = 285 ; x · 380 = 285 ; 75,0380
285 x 0,75 · 100 = 75 %
2) En una reunión de 20 personas hay 15 mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de mujeres?
Los problemas de calcular el tanto por ciento se pueden resolver de 2 formas:
a) Se calcula el t % de 20 = 15
75,020
15 Hay 0,75 mujeres por cada persona.
0,75 · 100 = 75 % Hay 75 mujeres por cada 100 personas.
b) Por la regla de tres simple directa:
Total de personas Parte de mujeres100 t
1520
100 t
; 7520
10015
t %20 15
Solución: El porcentaje de mujeres es 75 %.
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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8.11. Problemas de descuentos porcentuales
8.11.1. Métodos
Los problemas de descuentos porcentuales se pueden resolver de 3 formas:
1)
100
t C C C
I I F
2)
100
100 t C C I F
3) Regla de tres simple directa:
Precio inicial Precio con descuento100 100 - t
F I C
t
C
100100
; 100
100 t C C I F
CI CF
8.11.2.
Ejercicios1) Marta se compra una camisa que cuesta 30 € y al ir a pagar le hacen un 20 % de descuento. ¿Cuánto
tiene que pagar?
Datos:
Rebaja = Descuento = 20 % = 2,0100
20 = t %
Cantidad inicial = Camisa cuesta inicialmente = 30 € = CI
¿Precio a pagar? = CF
Operaciones:Los problemas de descuentos porcentuales se pueden resolver de 3 formas:
a) Se calcula la cantidad que hay que descontar a la cantidad inicial.
Cantidad de descuento = 20 % de 30 = 6302,030100
20 € Cantidad de dinero que
ahorras.
Cantidad final a pagar = Cantidad inicial – Descuento = 30 – 6 = 24 €
b) Se calcula el porcentaje que se va a pagar sobre la cantidad inicial.
Porcentaje que se va a pagar (Índice de disminución) = 100 % – 20 % = 80 %
Cantidad final a pagar = 80 % de 30 = 24308,030100
80 €
c) Por la regla de tres simple directa:
Precio inicial Precio con descuento100 80
F C
80
30
100 ; 24
100
8030
F C 30 CF
Solución: Marta tiene que pagar 24 €.
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
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2) Una camisa cuesta 40 € y hacen el 20 % de descuento. ¿Cuánto se paga?
Los problemas de descuentos porcentuales se pueden resolver de 2 formas:
a)
Se calcula la cantidad que hay que descontar a la cantidad inicial.
Cantidad de descuento = 20 % de 40 = 8402,040100
20 € Cantidad de dinero que
ahorras.
Cantidad final a pagar = Cantidad inicial – Descuento = 40 – 8 = 32 €
b) Se calcula el porcentaje que se va a pagar sobre la cantidad inicial.
Porcentaje que se va a pagar (Índice de disminución) = 100 % – 20 % = 80 %
Cantidad final a pagar = 80 % de 40 = 32408,040100
80 €
Solución: Se paga 32 € por la camisa descontada.
3) Un televisor cuesta 250 € y nos aplican un descuento del 35 %. ¿Cuánto se paga?
Los problemas de descuentos porcentuales se pueden resolver de 2 formas:
a) Se calcula la cantidad que hay que descontar a la cantidad inicial.
Cantidad de descuento = 35 % de 250 = 5,8725035,0250100
35 € Cantidad de dinero
que ahorras.
Cantidad final a pagar = Cantidad inicial – Descuento = 250 – 87,5 = 162,5 €
b)
Se calcula el porcentaje que se va a pagar sobre la cantidad inicial.Porcentaje que se va a pagar (Índice de disminución) = 100 % – 35 % = 65 %
Cantidad final a pagar = 65 % de 250 = 5,16225065,0250100
65 €
Solución: Se paga 162,5 € por el televisor descontado.
4) Por una camiseta se han pagado 15 €. ¿Cuál era su precio inicial si tiene una rebaja del 20 %?
Datos:
Rebaja = Descuento = 20 % = 2,0100
20 = t %
Cantidad final = Camisa cuesta = 15 € = CF
¿Precio inicial? = CI
Operaciones:
Los problemas de descuentos porcentuales se pueden resolver de 2 formas:
a) Se calcula la cantidad inicial.
100
2010015 I C ; 100
8015 I C ; 8,015 I C ; 75,188,0
15
I C €
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8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses
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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.
Gema Isabel Marín Caballero Página 46 de 52
b) Por la regla de tr