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TEMA 2 : ALGEBRA DE MATRICES.
1.- Definiciones.2.- Fórmulas.3.- Esquema.4.- Ejercicios.
2.1.NOMENCLATURA Y DEFINICIONESMatriz: Son unas tablas de números
dispuestos en filas y columnas.
Los son números realesDimensión de una matriz: La dimensión
viene dada así: el número de filas × el número de columnas.
Vector Fila: Matriz de dimensión (1×j).Vector Columna: Matriz de dimensión (i×1).Matriz Cuadrada: Matriz que tiene el mismo
número de filas que de columnas.
Matrices iguales: Dos matrices son iguales cuando son de la misma dimensión y además, coinciden término a término.
Matriz Traspuesta: La matriz traspuesta de una matriz A es otra matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas y las columnas por filas.
La Matriz traspuesta se denota por
Matriz Simétrica: Una matriz es simétrica si cumple:
Una matriz simétrica ha de ser Cuadrada.
Suma de matrices: Dos matrices se pueden sumar si tienen la misma dimensión y se suman término a término.
Producto de un número por una matriz: Se multiplica cada término por el número.
Producto de una matriz fila por una matriz columna:El producto de un vector fila por un vector columna, ambos de la misma dimensión, es un número que se obtiene multiplicándolos término a término y sumando los resultados
2.2 OPERACIONES CON MATRICES
Producto de Matrices:Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse debe cumplirse la siguiente condición:
“El número de columnas de la primera matriz (A) coincida con el número de filas de la segunda (B).”En tal caso, el producto A∙B=C es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera matriz(A) por cada vector columna de la segunda (B).La matriz C resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B.
Propiedades de la suma de matrices:I. ASOCIATIVA: II. CONMUTATIVA:III. ELEMENTO NEUTRO: la matriz O cuyos elementos son
todos ceros, sumada con cualquier otra matriz de su misma dimensión, la deja igual.
IV. MATRIZ OPUESTA: Propiedades del producto de números por
matrices:Sean a, b números reales y A, B matrices:I. ASOCIATIVA:II. DISTRIBUTIVA I:III. DISTRIBUTIVA II:IV. PRODUCTO POR EL NÚMERO 1:
2.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades del producto de matrices:I. ASOCIATIVA:
Esta propiedad nos permite prescindir de los paréntesis cuando multipliquemos matrices siempre y cuando las matrices sean multiplicables.
II. El producto de matrices NO ES CONMUTATIVOen general:Como consecuencia, hemos de mantener el orden en que aparezcan las matrices que han de multiplicarse, utilizamos expresiones del tipo “ La matriz M está multiplicando por la izquierda (o por la derecha)…”
Las matrices cuadradas de orden m, además de sumarse y multiplicarse por un número, pueden multiplicarse entre sí. Veamos algunas definiciones y propiedades:
Matriz Unidad: Matriz cuya diagonal principal son todos unos y el resto de términos son ceros.
Matriz Inversa de otra: Algunas matrices cuadradas tienen matriz inversa, pero otras no. La notación si existe de la matriz inversa es A-1
Cumple la siguiente propiedad:El procedimiento para calcularla lo veremos en la
unidad 4.
2.4 MATRICES CUADRADAS
2.5 COMPLEMENTOS TEÓRICOS PARA EL ESTUDIO DE MATRICESEspacio vectorial: Todo conjunto V que cumpla
las dos siguientes operaciones se define como Espacio Vectorial:
1. Suma de dos elementos:2. Producto por un número real:
El conjunto de las matrices forman un espacio vectorial.
n-Uplas de números reales: Una colección de n números reales dados en un cierto orden se llama n-upla. Tanto las filas como las columnas de las matrices son n-uplas de números reales.
Combinación lineal de vectores: Dados
El vector formado porSe llama combinación lineal de los vectores
Dependencia e independencia lineal:Un conjunto de elementos de V se
dice que son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás.
Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente independientes (L.I.) si ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás.
El máximo número posible de n-uplas linealmente independientes es n.
2.6 RANGO DE UNA MATRIZLlamamos rango de una matriz al número de filas
(o columnas) que son linealmente independientes.
Teorema: En una matriz, el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Según esto, el rango de una matriz es el número de filas o de columnas L.I.
Ejemplos:el máximo rango posible es 2
porque
ESQUEMA TEMA 2 SISTEMA DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS
1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ECUACION LINEAL
ECUACIONES EQUIVALENTES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS EQUIVALENTES
TRANSFORMACIONES VALIDAS EN UN SISTEMA DE
ECUACIONES
1.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES
S.C.D.
DOS INCÓGNITAS:RECTAS QUE SE CORTAN EN UN
PTO.TRES INCÓGNITAS:
PLANOS QUE SE CORTAN EN UN PTO.
S.C.I.
DOS INCÓGNITAS:RECTAS COINCIDENTES.
TRES INCÓGNITAS:PLANOS QUE SE CORTAN EN
UNA RECTA O COINCIDENTES:
S.I.
DOS INCÓGNITAS:RECTAS PARALELAS.TRES INCÓGNITAS:
PLANOS PARALELOS O SE CORTAN DOS A DOS.
1.3 SISTEMAS ESCALONADOS MÉTODO DE GAUSS DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES