tema 5-algebra vectorial 3d

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  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    1/50

    Vector: Cantidad que est totalmente definida por su magnitud direccin y sentido.

    Se representa geomtricamente es un segmento dirigido.

    O

    P

    A

    Este segmento dirigido est delimitado por un punto inicial y uno final.

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    2/50

    CBAR

    Cualquier vector se puede expresar como una combinacin lineal nica de tres vectores

    dados no nulos, , y no todos paralelos al mismo plano:

    R

    CyB,A

    donde , y son coeficientes escalares nicos.

    A

    B

    C B

    C

    R

    A

    B

    C

    R

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    3/50

    En particular, si los vectores son unitarios, tambin se puede encontrar

    cualquier vector en el espacioCyB,A

    A

    B

    C

    R

    CBAR

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    4/50

    Sin prdida de generalidad, tres vectores unitario pueden ser perpendiculares.

    Y pueden definir tres rectas mutuamente perpendiculares que se corten en un punto.

    i jk

    x

    y

    z

    Las rectas forman un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional. Cuyos ejes estn

    definidos por tres vectores unitarios que forman una base cannica.

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    5/50

    Entonces, de manera semejante al caso bidimensional, para tres dimensiones se encuentra

    que un vector en tres dimensiones , tiene coordenadas rectangulares (x, y, z)kjir zyx

    i jk

    x

    y

    z

    zy,x,zyx kjir

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    6/50

    x

    y

    z

    r=xi+yj+zk=(x,y,z)

    rp=xi+yj=(x,y)

    x

    y

    z

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    7/50

    Ejemplo 1: Trazar el vector:

    x

    y

    z

    3

    2

    5

    A=3i+2j+5k

    A=3i+2j+5k

    Ap=3i+2j

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    8/50

    x

    y

    zEjemplo 2: Trazar el vector: B=-5i-4j+3k

    -4

    -53

    Bp=-5i-4j

    B=-5i-4j+3k

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    9/50

    Ejemplo3: Trazar el vector: C=-7i-6j-5k

    x

    y

    z

    -7

    -6

    -5

    C

    Cp=-5i-4j

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    10/50

    Ejemplo 4: Trazar el vector: D=-5i+4j-6k

    x

    y

    z

    -5

    4

    -6

    D

    Dp=-5i+4j

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    11/50

    x

    y

    z

    r=(x,y,z)

    rp=(x,y)

    z

    y

    x

    =(rp, )

    =(rp, , z)

    =(r, , )

    Coordenadas polares

    Coordenadas

    Cilndricas

    Coordenadas

    Esfricas

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    12/50

    senr

    cosr

    p

    p

    y

    x

    Relaciones entre las coordenadas rectangulares (x,y,z) y las cilndricas (rp, ,z)

    x

    y

    z

    r

    rp

    z

    y

    x

    x

    y

    yx

    arctan

    r 22p

    z

    senr

    cosr

    p

    p

    z

    y

    x

    zz

    x

    y

    yx

    arctan

    r22

    pz

    20

    Rp

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    13/50

    senrcosr

    p

    p

    yx

    Relaciones entre las coordenadas rectangulares (x,y,z) y las esfricas (r, , )

    x

    y

    z

    r

    rp

    z

    y

    x

    rp

    senrrcosr

    p

    z

    cosr

    sensenr

    cossenr

    z

    y

    x

    x

    y

    yx

    arctan

    r 22p

    z

    z

    p

    22p

    rarctan

    rr

    x

    y

    z

    yx

    zyx

    arctan

    arctan

    r22

    222

    20

    0

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    14/50

    senr

    cosr

    p

    p

    y

    x

    cosr

    sensenr

    cossenr

    z

    y

    x

    x

    y

    yx

    arctan

    r 22p

    x

    y

    z

    yx

    zyx

    arctan

    arctan

    r

    22

    222

    x

    y

    z

    r

    rp

    z

    y

    x

    rp

    20

    0

    z

    senr

    cosr

    p

    p

    z

    y

    x

    zz

    xy

    yx

    arctan

    r22

    p

    z,,rz,, p yx

    ,,rz,, yx

    ,r, pyx

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    15/50

    Ejemplo 5: Encuentre las coordenadas cilndricas y las coordenadas esfricas del vector

    A=3i+2j+5k

    5

    7.33

    3

    2arctan

    6.31323A22

    p

    z

    7.333

    2arctan

    8.355

    13arctan

    5

    23arctan

    2.638523A

    22

    222

    Coordenadas cilndricas

    Coordenadas esfricas

    5,7.33,6.3A

    7.33,8.35,2.6A

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    16/50

    Ejemplo 6: Encuentre las coordenadas cilndricas y las coordenadas esfricas del vector

    B=-5i-4j+3k

    3

    7.2185

    4arctan

    4.64145B22

    p

    z

    7.2185

    4arctan

    9.643

    41arctan

    3

    45arctan

    1.750345B22

    222

    Coordenadas cilndricas

    Coordenadas esfricas

    3,7.218,4.6B

    7.218,9.64,1.7B

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    17/50

    Un vector forma ngulos con los ejes del sistema de referencia,

    x

    y

    r

    como en tres

    dimensiones. tanto en dosngulos directores

    x

    y

    zr

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    18/50

    x

    y

    r

    rcos

    x

    rcos y

    x

    y

    1r

    r

    rrrcoscos

    2

    2

    222

    22

    2222

    yxyx

    Cosenos directores (2D)

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    19/50

    Cosenos directores (3D)

    x

    y

    z

    r

    x

    y

    zr

    cosx

    r

    cosy

    r

    cosz

    1r

    r

    r

    rrrcoscoscos

    2

    2

    2

    222

    2

    2

    2

    2

    2

    2222

    zyx

    zyx

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    20/50

    Ejemplo 7: Una fuerza de 500 N forma ngulos de 60, 45 y 120 con los ejes x, y y z,respectivamente. Encuentre las componentes Fx, Fy y Fz.

    Respuesta: Los ngulos proporcionados son los directores, entonces, usando los cosenos

    directores, tenemos que

    N250N50060cosN500FN500

    F60cos21

    xx

    N2250N50045cosN500FN500

    F45cos

    22

    yy

    N250N500120cosN500FN500

    F120cos

    21

    zx

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    21/50

    Respuesta: La magnitud de la fuerza es

    lb70lb4900lb60lb30lb20FFFF 22222z2y

    2x

    Ejemplo 8: Una fuerza F tiene las componentes Fx=20 lb, Fy=-30 lb y Fz=60 lb. Determinela magnitud F y los ngulos directores , y .

    Usando los cosenos directores tenemos que

    4.737

    2arccos

    lb70

    lb20cos

    4.11573

    arccoslb70

    lb30

    cos

    0.317

    6arccos

    lb70

    lb60cos

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    22/50

    Ejemplo 9 (Ejercicio 2.83): Una fuerza acta en el origen de un sistema coordenado en ladireccin definida por los ngulos x=43.2 y z=83.8. Si la componente y de la fuerza es

    de -50 lb, determine a) el ngulo y, b) las componentes restantes y la magnitud de la

    fuerza.

    ?F?Flb50F?F

    8.83?2.43

    :Datos

    zyx

    zyx

    z2

    x2

    yz2

    y2

    x2 coscos1cos1coscoscos

    8.83cos2.43cos1cos 22y

    Respuesta:

    a) Determinar el ngulo y.

    5.1328.83cos2.43cos1arccos 22y

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    23/50

    b) Determinar las componentes restantes y la magnitud de la fuerza.

    Primero se calcula la magnitud de la fuerza usando el ngulo y:

    lb0.748.83cos2.43cos1

    lb50cos

    FF

    F

    Fcos

    22y

    yyy

    Entonces, se calculan las componentes que faltan:

    lb9.532.43cos8.83cos2.43cos1

    lb50cosFF

    F

    Fcos

    22xx

    xx

    lb0.88.83cos8.83cos2.43cos1

    lb50cosFF

    F

    Fcos

    22zz

    zz

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    24/50

    Ejemplo 10 (Ejercicio 2.79): El ngulo entre el resorte AB y el poste DA es de 30. Si latensin resultante en el resorte es de 220 N, determine (a) las componentes x, y y zde la

    fuerza ejercida por este resorte sobre la placa, (b) los ngulos x , y y z que forma la

    fuerza con los ejes coordenados.

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    25/50

    x

    z

    y

    35 35

    30

    A

    BC

    D

    30,145,N220F

    N190.525630cosN220F

    N0964.63145sen30senN220F

    N1067.90145cos30senN220F

    y

    x

    z

    114.1782220

    1967.90arccos

    30220

    190.5256arccos

    73.3342220

    0964.63arccos

    z

    y

    x

    Del diagrama de cuerpo libre podemos observar que

    30

    35

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    26/50

    Ejemplo 11 (Ejercicio 2.73): Para estabilizar un rbol arrancado parcialmente durante unatormenta, se le amarran los cables AB y AC a la parte alta del tronco y despus se fijan a

    barras de acero clavadas en el suelo. Si la tensin en el cable AB es de 950 lb, determine (a)

    las componentes de la fuerza ejercida por este cable sobre el rbol, (b) los ngulos x , y y

    z que forma la fuerza en A con los ejes coordenados.

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    27/50

    y

    xz 40

    40

    A

    B

    C

    lb610.648240senTTT

    T40sen y

    y

    50.60950

    7837.467arccos

    150950

    6482.610arccos

    07.54950

    4829.557arccos

    z

    y

    x

    Del diagrama de cuerpo libre podemos observar que

    Tp

    TTy

    lb727.742240cosTTT

    T40cos p

    p

    Tx

    Tz

    lb557.4829

    40cos40cosT40cosTTT

    T40cos px

    p

    x

    lb467.7837

    40sen40cosT40senTTT

    T40sen pz

    p

    z

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    28/50

    La direccin de un vector paralelo a una recta dada.

    M(x1, y1, z1)

    N(x2, y2, z2)

    x

    y

    z

    L=LL

    La direccin L de un vector L puede encontrarse usando las coordenadas de dos puntos

    M(x1, y1, z1) y N(x2, y2, z2), localizados la recta paralela a l.

    k

    zzj

    yyi

    xxMN 121212

    MN

    MNL

    2122

    122

    12 zzyyxxMN

    k

    L

    zzj

    L

    yyi

    L

    xxL 121212

    LMN

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    29/50

    Ejemplo 12: Una recta pasa por los puntos M(-1 cm, 3 cm, 2 cm) y N(2 cm, -5 cm, 7 cm),si la magnitud de un vector es 42 N y su direccin es paralela a est recta, de qu vector se

    trata?

    kcm5jcm8icm3kcm2cm7jcm3cm5icm1cm2MN

    cm27cm98cm5cm8cm3MN 222

    k14

    25j

    14

    28i

    14

    23k

    cm27

    cm5j

    cm27

    cm8i

    cm27

    cm3L

    k14

    25N42j14

    28N42i14

    23N42k14

    25j14

    28i14

    23N42L

    kN215jN224iN29L

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    30/50

    M(x1, y1, z1)

    N(x2, y2, z2)

    x

    y

    zFuerzas definidas en trminos de su magnitud y dos punto sobre su lnea de accin

    FL

    ^

    LFF

    El vector unitario que define la direccin de L=MN, tambin define la direccin de la fuerza

    F, entonces,

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    31/50

    Ejemplo 13: El alambre de una torre est anclado en A por medio de un perno. La tensinen el alambre es de 2500 N. Determine (a) las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza que

    acta sobre el perno y (b) los ngulos x, y y z que definen la direccin de la fuerza.

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    32/50

    Respuesta: En este caso conocemos la

    magnitud de la fuerza, F=2500 N, pero no su

    direccin.

    Para conocer la direccin de la fuerza,

    calculamos la direccin de su lnea de

    accin.

    x

    y

    z

    km80jm40im30

    j

    m40i

    m30k

    m80

    ABABL

    m8910m8900

    m80m40m30L

    2

    222

    kjiL

    89

    8

    89

    4

    89

    3^

    L=AB

    Por lo que fijamos un sistema de referencia.

    Entonces, ubicamos los extremos de este

    vector

    jm40im30A

    km80B

    kji

    m8910

    km80jm40im30

    L

    LL

    m8910

    m80

    m8910

    m40

    m8910

    m30

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    33/50

    kjiL89

    8

    89

    4

    89

    3^

    kjiN2500F89

    8

    89

    4

    89

    3

    N795N

    89

    7500Fx

    N1060N89

    10000Fy

    N2120N89

    20000

    Fz

    kjiF89

    8

    89

    4

    89

    3^

    5.71arccoscos 893

    89

    3

    1.115arccoscos89

    4

    89

    4

    0.32arccoscos89

    8

    89

    8

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    34/50

    Ejemplo 14 (Ejercicio 2.88): Una barra de acero se dobla para formar un anillo semicircularcon 36 in de radio que est sostenido parcialmente por los cables BD y BE, los cuales se

    unen al anillo en el punto B. Si la tensin en el cable BE es de 60 lb, determine las

    componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte colocado en E.

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    35/50

    xz

    y

    in48,in45,in36

    in48,in45,00,0,in36EBEB

    in75

    in48in45in36EB222

    EBF25

    16

    ,25

    15

    ,25

    12

    75

    48,

    75

    45,

    75

    36

    in75

    in48,in45,in36EB

    25

    16,

    25

    15,

    25

    12FEB

    lb4.38,lb0.36,lb8.2825

    16,

    25

    15,

    25

    12lb60FFF EBEBEB

    Mtodo 1: 0,0,in36B

    in48,in45,0E

    F

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    36/50

    in48,in45,in36EB

    in75

    in48in45in36EB 222

    EBF25

    16,

    25

    15,

    25

    12

    75

    48,

    75

    45,

    75

    36

    in75

    in48,in45,in36EB

    25

    16,

    25

    15,

    25

    12FEB

    lb4.38,lb0.36,lb8.2825

    16,

    25

    15,

    25

    12lb60FFF EBEBEB

    Mtodo 2:

    xz

    y

    F

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    37/50

    Operaciones vectoriales:

    kzzjyyixxrr 21212121

    kzjyixr

    kzzjyyixxrr 21212121

    21212121 zz;yy;xxrr

    kztjytixtrt

    kjikji

    r

    rr

    222222222222zyx

    z

    zyx

    y

    zyx

    x

    zyx

    zyx

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    38/50

    Adicin de fuerzas concurrentes en el espacio. Cuando un conjunto de fuerzas actan enun mismo punto en el espacio se llaman fuerzas concurrentes.

    Dado que las fuerzas son vectores, la fuerza resultante se encuentra sumando las fuerzas

    concurrentes por alguno de los mtodos estudiados.

    n

    1i

    in4321 FFFFFFF

    n

    1iziznz4z3z2z1z

    n

    1i

    yiyny4y3y2y1y

    n

    1i

    xixnx4x3x2x1x

    FFFFFFF

    FFFFFFF

    FFFFFFF

    x

    y

    z

    2y

    2x3

    z2y

    2x

    F

    Farctan

    F

    FFarctanFFFF

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    39/50

    Ejemplo 15 (Ejercicio 2.58): Un bloque de peso W est suspendido de una cuerda de 25 inde largo y de dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in cada una. Si las

    constantes de los resortes son kAB=9 lb/in y kAD=3 lb/in, determine (a) la tensin en la

    cuerda, (b) el peso del bloque.

    y

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    40/50

    0kkF

    lb5.229kF ABABABAB lb5.223kF ADADADAD

    in34in16in30 22AD in5.27in5.16in2222

    AB

    lb455.225.279FAB lb5.345.22343FAD

    x

    y

    Ley de Hooke

    y

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    41/50

    13.143

    in22

    in5.16arctanAB

    x

    07.28

    in30

    in16arctanAD

    1.143,lb45FAB

    1.28,lb5.34FAD

    y

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    42/50

    8.737

    24arctan

    7

    24

    in7

    in24tan

    AC

    AC

    8.73,FF ACAC

    270,WW

    270W

    x

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    43/50

    1.143,lb45FAB

    1.28,lb5.34FAD

    8.73,FF ACAC

    270,WW

    0senWsenFsenFsenF

    0cosWcosFcosFcosF

    WACACADADABAB

    WACACADADABAB

    0W8.73senF1.28senlb5.341.143senlb45

    08.73cosF1.28coslb5.341.143coslb45

    AC

    AC

    lb4.628.73senF1.28senlb5.341.143senlb45W

    lb9.198.73cos

    1.28coslb5.341.143coslb45F

    AC

    AC

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    44/50

    Ejemplo 16 (Ejemplo 2.8): Una seccin de una pared de concreto precolado se sostienetemporalmente por los cable mostrados. Se sabe que la tensin es de 840 lb en el cable AB y

    1200 lb en el calbe AC, determine la magnitud y la direccin de la resultante de las fuerzasejercidas por los cables AB y AC sobre la estaca A.

    z

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    45/50

    x y

    zRespuesta: En este caso conocemos la

    magnitud de las fuerzas, FAB=840 lb

    0,ft16,ft11A

    ft8,0,0B

    ft8,0,ft27C

    kft8jft16ift11

    0,ft16,ft11ft8,0,0LAB

    kft8jft16ift16

    0,ft16,ft11ft8,0,ft27LAC

    Entonces primero encontramos los vectores

    unitarios que fijan su lnea de accin.

    y FAC=1200 lb,

    pero no su direccin.

    Para lo cual fijamos un sistema de referencia

    Respecto al cual

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    46/50

    kft8jft16ift11LAB

    kft8jft161ift16LAC

    ft21ft441

    ft8ft16ft11L

    2

    222AB

    ft24ft576

    ft8ft16ft16L

    2

    222AC

    kji

    kjiL

    218

    2116

    2111

    ft21

    ft8

    ft21

    ft16

    ft21

    ft11AB

    ^

    kji

    kjiL

    31

    32

    32

    ft24

    ft8

    ft24

    fl16

    ft24

    ft16AC

    ^

    klb320jlb640ilb440

    k8j16i11lb40

    kjilb840F218

    2116

    2111

    AB

    klb400jlb800ilb800

    kj2i2lb400

    kjilb1200F31

    32

    32

    AC

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    47/50

    klb320jlb640ilb440FAB

    klb400jlb800ilb800FAC

    klb720jlb1440ilb360

    klb400jlb800ilb800klb320jlb640ilb440

    FFF ACAB

    lb1650lb2721600lb720lb1440lb360F 2222

    6.102

    2721600

    360arccos

    2721600

    360cos

    8.150

    27216001440arccos

    27216001440cos

    1.64

    2721600

    720arccos

    2721600

    720cos

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    48/50

    Ejemplo 17 (Ejercicio 2.93): Determine la magnitud y la direccin de la resultante de lasdos fuerzas mostradas en la figura, si P=4 kips y Q=8 kips.

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    49/50

    x

    y

    z 2030

    45

    15

    P

    Q

    30,20,kips4P

    15,45,kips8Q

    kips464.515cos45coskips8Q

    kips657.545senkips8Q

    kips464.115sen45coskips8Q

    z

    y

    x

    kips255.320cos30coskips4P

    kips000.230senkips4P

    kips185.120sen30coskips4P

    z

    y

    x

    kips209.2kips464.5kips255.3R

    kips657.3kips657.5kips000.2R

    kips279.0kips464.1kips185.1R

    z

    y

    x

  • 7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D

    50/50

    kips281.4RRRR 2z2y

    2x

    kips209.2kips464.5kips255.3R

    kips657.3kips657.5kips000.2R

    kips279.0kips464.1kips185.1R

    z

    y

    x

    7.93R

    Rarccos xx

    3.31R

    R

    arccos

    y

    y

    1.121R

    Rarccos zz