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8/20/2019 TEMA 11_Introducción a La Econometría Financiera. Modelos ARCH
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Econometría dinámica y
financiera
Profesora: Dolores García Martos
E-mail:[email protected]
Introducción a la econometría financiera.
Modelos ARCH
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Introducción
• Los modelos que hemos visto son lineales
• Los modelos se pueden linealizar tomando logaritmos
Las propiedades de los estimadores lineales son conocidas
• En el análisis de series temporales seguido se ha trabajado bajo un esquema estacionario
(con transformaciones si fuese necesario)
Media constante
Varianza constante
Correlación entre variables solo depende del desfase temporal entre ellas
Los modelos ARIMA parten del análisis del comportamiento de las covarianzas (téngase
en cuenta que la correlación es igual a la covarianza dividida por la varianza)
• No siempre se puede mantener la hipótesis de varianza constante. Es necesario realizar
contrastes de varianza constante:
Problema con la eficiencia de los estimadores, por amplios intervalos de confianza (alta
volatilidad)
•También puede ocurrir que la propia naturaleza del fenómeno económico que estemos
analizando requiera conocer no solo aspectos de su nivel sino también de su varianza (ovolatilidad)
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Propiedades series financieras
IBEX-35
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
1 9 8
7 1
1 9 8
8 1
1 9 8
9 1
1 9 9
0 1
1 9 9
1 1
1 9 9
2 1
1 9 9
3 1
1 9 9
4 1
1 9 9
5 1
1 9 9
6 1
1 9 9
7 1
1 9 9
8 1
1 9 9
9 1
2 0 0
0 1
2 0 0
1 1
2 0 0
2 1
2 0 0
3 1
2 0 0
4 1
2 0 0
5 1
2 0 0
6 1
2 0 0
7 1
2 0 0
8 1
2 0 0
9 1
2 0 1
0 1
2 0 1
1 1
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Propiedades series financieras
IBEX-35 (primera diferencia)
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
1 9 8 7 1
1 9 8 8 1
1 9 8 9 1
1 9 9 0 1
1 9 9 1 1
1 9 9 2 1
1 9 9 3 1
1 9 9 4 1
1 9 9 5 1
1 9 9 6 1
1 9 9 7 1
1 9 9 8 1
1 9 9 9 1
2 0 0 0 1
2 0 0 1 1
2 0 0 2 1
2 0 0 3 1
2 0 0 4 1
2 0 0 5 1
2 0 0 6 1
2 0 0 7 1
2 0 0 8 1
2 0 0 9 1
2 0 1 0 1
2 0 1 1 1
Estimado un modelo ARIMA para esta serie, los residuos recogerán
todo el efecto de la variabilidad de la serie, ya que ésta no se ha
tenido en cuenta en el modelo
Los modelos lineales no pueden recoger esta variabilidad
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Propiedades series financieras
El apuntalamiento es mayor que el de una distribución normal (la curtosis esigual a 3)*
Las colas son distintas a las de una normal. Son más pequeñas.
Es una distribución asimétrica*Ver histograma de la serie en logaritmos en anexo 2
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Propiedades series financieras
Correlograma de la primera diferencia del IBEX
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Propiedades series financieras
Modelo de medias móviles estimado para la primera diferencia del IBEX
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Propiedades series financieras
Correlograma de los residuos
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Propiedades series financieras
Gráfico de los residuos
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Propiedades de series financieras
Histograma de los residuos
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Propiedades series financieras
•Las series financieras no presentan, en general, una varianza
o variabilidad constante.
Interesa la relación precio-volatilidad
•Las estructuras lineales son incapaces de explicar
determinados aspectos que suelen estar presentes en las
series financieras:
Leptocursis. Es más apuntalada que una distribución
normal (en una distribución normal es igual a 3).
Volatilidad de los mercados financieros que aparecen
por rachas. Altos retornos suelen ir seguidos de altos
retornos y viceversa.
Asimetría: La volatilidad aumenta más cuando hay
caídas de precios que cuando hay aumentos.
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Propiedades series financieras
•En las series financieras, la varianza presentan:
• Comportamiento autorregresivo: la variabilidad actual
suele depender del comportamiento volátil habido en el
pasado reciente
• Contagio: los periodos en los que la volatilidad es altasuele mantenerse en el tiempo, lo mismo ocurre en
periodos de baja volatilidad.
• Asimetría: las caídas son más intensas y bruscas que
las subidas.
•La volatilidad es un concepto de relevancia en el mundo de las finanzas:
Medida del riesgo en los mercados de activos
• Una media de los riesgos del mercado requieren la estimación o previsión
de los parámetros de volatilidad
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Propiedades series financieras
•En los mercados financieros, la estabilidad o inestabilidad se suelerelacionar con su comportamiento anterior y que tras un “sobresalto” se
produce una variabilidad que dura un cierto periodo de tiempo, tras el cual
vuelve a la normalidad.
•En definitiva, dicha variabilidad se refleja en la varianza que no será
constante.
•Existen diferentes tipos de modelos no lineales, entre ellos los más
populares son los ARCH y GARCH para predecir la volatilidad.
ARCH: Modelos autorregresivos condicionales heteroscedásticos
Engels (1982)
Determinan un patrón de comportamiento estadístico para la
varianza.
La información pasada de una variable y su volatilidad son factores que explican su
comportamiento presente y, por tanto, podrá ser extrapolado a futuro
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Propiedades series financieras
•Engels establece tres situaciones que justifican el uso de los modelos ARCH:
Decisiones relativas a activos financieros en los que se tiene en
cuenta la rentabilidad media de los mismos y su volatilidad
Existencia de periodos de gran variabilidad con respecto a un valor
central frente a otros de escasa variabilidad
No se trata de tendencia en la volatilidad
Modelos con parámetros variables en modelos estructurales
• Un modelo que atienda en la predicción a los valores de la varianza en el
pasado servirá para realizar estimaciones a futuro más precisas.
• Los agentes económicos deciden sobre el mantenimiento o venta de activos
financieros a partir de la información proveniente del pasado: con respecto a
su rentabilidad media y a la volatilidad que ésta ha tenido.
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Propiedades series financieras
• En los modelos manejados se ha trabajado bajo hipótesis de
estacionariedad
Los residuos del modelo tienen estructura de ruido blanco
Son lineales
Distribuciones normales (Gaussianas) simétricas
• En el ruido blanco:
E(at )= 0
Var(at )= σ2
Cov(at ,at-j )=0 para todo j
• Bajo estos supuestos, la correlación indica independencia temporal
• Es decir, no existe información en el pasado que sirva para predecir el
futuro.
No se puede establecer ninguna relación entre a t y a t-j de forma
lineal
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Propiedades series financieras
•El que no exista correlación temporal en un modelo lineal no
significa que ésta no pueda existir de forma no lineal
Puede haber alguna relación de forma cuadrática u otra
forma no lineal.
•Los modelos ARCH son utilizados para modelizar y predecir
volatilidad.
Se diferencia de los modelos ARIMA en que los modelos
ARCH trabajan con series heterocedásticas.
No son modelos excluyentes.
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Correlaciones de los cuadrados
¿Cómo contrastar la no linealidad?
• La decisión de elegir entre modelos lineales y no-lineales es compleja y dependede cómo se comporten los datos
• Hay que decidir si una especificación lineal es suficiente para describir los
principales aspectos que reflejan los datos.
• Los instrumentos utilizados hasta ahora (correlogramas, por ejemplo) son
insuficientes (miden estructura lineal).
• Existen diferentes test para contrastar la no linealidad
Un primer paso sería observar el correlograma de los residuos al
cuadrado o de la serie heterocedástica en cuestión
• En el marco que nos movemos de volatilidad autorregresiva, ésta puede ser contrastada a partir de estimar una regresión de los valores de los residuos al
cuadrado y distintos retardos de estos.
• Estadísticamente, la relación de la volatilidad con el pasado se refleja a partir de
la esperanza condicional.
Conocida y fija la información hasta el momento anterior.
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Correlaciones de los cuadrados
Correlaciones al cuadrado de los residuos del modelo estimado para la serie del
IBEX en primeras diferencias
La serie de los cuadrados presenta
correlaciones significativamente distintas
de cero que se prolongan en retardos
lejanos
• Las innovaciones de la volatilidad
persisten en el tiempo
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Rendimientos
• En finanzas, el punto de partida lo constituye el precio
El precio de las acciones de Telefónica
• Es preferible trabajar con la serie de rendimientos, que además tienen
la ventaja de que están libres de unidades
• La serie de rendimientos es:
Rt = (pt - p t-1 )/ p t-1 x 100
• Por tanto,
La serie de rendimientos se puede obtener como:
Rt = ln pt -ln pt-1 = ln (pt /pt-1 )
•Se conoce como el logaritmo de los precios relativos
Recordad que la diferencia
de los logaritmos se
aproxima a una tasa
Las series de precios o índices bursátiles suelen ser paseos aleatorios. Por tanto,
sus tasas siguen procesos ruido blanco.
Otras variables, como tipos de cambio o de interés, al aplicar una primera diferencia
se convierten, en general, en ruido blanco
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Modelos no lineales
• Entre los distintos modelos propuestos en la literatura econométrica para
representar la dinamicidad de la volatilidad se hallan, entre otros, los
modelos ARCH.
Se basan en la idea de condicionalidad de los momentos (media,
varianza y covarianza).
La variabilidad del periodo actual depende de la evolución en
periodos precedentes
La volatilidad es una función de los cuadrados de las observaciones
pasadas.
• Estos modelos reproducen las características de las series financieras:
exceso de cúrtosis (leptocurticas)
correlación de los cuadrados de la serie
agrupamientos de la volatilidad.
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Modelos ARCH
• En la modelización de la volatilidad, la correlación de la serie de loscuadrados se utiliza como primer indicio de la dependencia temporal en los
segundos momentos condicionales.
Los agrupamientos de la volatilidad se traduce en correlaciones
positivas en la serie de los cuadrados
• Los modelos ARCH se basan en el concepto de varianza condicional:
La varianza condicional de yt se escribe como σ2
t
σ2t = var (yt / yt-1 ,y t-2 ,……….) = E[ (yt -E(yt ))2 / yt-1 ,yt-2 ,………)=
= E( y2t / yt-1 ,yt-2 ,………) , bajo el supuesto de que E (yt)=01
La varianza condicional es igual a la esperanza condicional de losvalores al cuadrado
• σt es una función de yt-1 ,y t-2 ,….
1.En general, la variable con la que se trabaja es la de residuos de un modelo,salvo que la serie con que se trabaje sea directamente un ruido blanco
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Modelos ARCH (1)
Modelo ARCH de orden 1:
yt = εt σt (1)
σ2t = w + α y2
t-1
yt = εt (w + α y2
t-1)½
Donde εt es una secuencia de variables aleatorias independientes eigualmente distribuidas (iid) con media cero y varianza unitaria; σtes un factor denominado volatilidad.
•Si εt tiene una distribución normal, estaríamos ante un proceso
ruido blanco
•El proceso yt es un proceso estacionario. Por tanto α < 1
•Los momentos condicionales en “t” al valor de “t-1” es una
realización concreta conocida ( no es aleatoria)
(1) Se utiliza la variable y en términos genéricos. En general, será la variable residual.
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Modelos ARCH (1)
Momentos marginales y condicionales
**Esperanza:
• Marginal
E(yt)= E(ε
t(w + α y2
t-1)½) = E(ε
t) E((w + α y2
t-1)½)=0
• Condicional
Et-1 (yt )= Et-1 (εt (w + α y2
t-1)½) = Et-1 (εt) Et-1 ((w + α y2
t-1)½)
=0
En definitiva, la esperanza marginal y la condicional coinciden y son cero
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Modelos ARCH (1)
Momentos marginales y condicionales
**Varianza:
• Marginal
E(y2 t )= w/(1-α) σ2 = w/(1-α)
• Condicional
Et-1 (y2
t )= Et-1 [(εt (w + α y2
t-1)½)]2 =
= Et-1 (ε2
t) Et-1 (w + α y2
t-1)= σ2 (w + α y2 t-1)=
= (w + α y2 t-1)
En definitiva,
• la varianza marginal es constante
• la varianza condicional depende de y t-1 , por tanto, no es
constante.
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Modelos ARCH (1)
Momentos marginales y condicionales
**Covarianza de orden 1:•Marginal
E(y t yt-1 )= E [(εt (w + α y2
t-1)½) y t-1] =
= E (εt ) E ((w + α y2
t-1)½) y t-1) = 0 , debido a
que εt
es un ruido blanco
•Condicional
• Et-1 (y t y t-1 )= Et-1 [(εt (w + α y2
t-1)½) y t-1] =
= Et-1 (εt ) Et-1 ((w + α y2
t-1)½) y t-1) =0
Es decir, no hay correlación lineal: no hay relaciones
lineales
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Modelos ARCH (1)
Momentos marginales y condicionales
**Covarianza de orden uno de la serie al cuadrado:
cov (y2t y2t-1 ) = γ 2
γ 2 (1) = 2w2 / (1-α)2 (1-3α2) ≠ 0 (1)
Es decir, el proceso presenta correlación de forma cuadrática:
hay dependencia cuadrática
(1) Bajo la hipótesis de que la varianza de ε es igual a la unidad.
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Modelo ARCH (q)
• Una extensión del modelo ARCH(1) es el ARCH (q).
yt = εt σt
σ2t = w + α1 y2
t-1 + α2 y2
t-2 +………..+ αq y2
t-q
• El proceso εt
es un proceso idénticamente distribuido, con media nula y
varianza unitaria
Si εt es gaussiano y se distribuye como una normal, yt es
condicionalmente normal y su varianza es σ2t
• Los parámetros han de ser positivos. La suma de αi ha de ser menor
que uno, para garantizar la estacionariedad. w>0, αi >0 i= 1……q, Σαi < 1
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Anexo 1
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Tipo de cambio euro/dólar
Serie original Primeras diferencias
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Tipo de cambio euro/dólar
Histograma primera diferencia
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Tipo de cambio euro/dólar
Correlograma
primera diferencia
Correlograma
variable al cuadrado
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Tipo de cambio euro/dólar
Modelo ARCH(9) Correlograma residuos al
cuadrado modelo ARCH(9)
Hay que probar otro tipo de modelo, ya que sigue quedando significatividad en el
correlograma de los residuos al cuadrado
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Anexo 2
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Al expresar la serie en logaritmos, se observa que permanece el apuntalamiento
y la asimetría
Histograma de la primera diferencia del IBEX en logaritmos