Download - Tarea 2 de Econometría
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA
Maestría en ciencias económicas
TAREA II
ECONOMETRÍA
Profesora: Dra. Ma. de la Paz Guzmán Plata.
Alumno: Samuel de la Cruz Carmona
12 de Febrero de 2014
PROBLEMA 1
Se ofrece la siguiente tabla de datos:
Costo Total Producción
Y X
(Dólares) (Producción)
193 1
226 2
240 3
244 4
257 5
260 6
274 7
297 8
350 9
420 10
Tabla 1
En donde Y (variable endógena) representa a la variable dependiente denominada Costo
Total y la variable independiente X (variable exógena) se denomina producción.
En la Teoría tradicional sobre costos de corto plazo para la empresa, los costos totales se
dividen en dos partes, por un lado los costos fijos totales y por el otro los costos variables
totales (CT=CFT+CVT). En donde los costos fijos incluyen depreciación por desgaste de
maquinaria y equipo, amortización y reparaciones en los edificios, entre otros; para los
costos variables se incluyen aquellos generados por costo de la mano de obra directa,
materias primas, gastos corrientes de capital fijo.
En la teoría tradicional, tanto la función de costo variable total como la de costo total
tienen aproximadamente la forma gráfica de una S invertida, mientras que la forma
gráfica de la función de costo promedio y de costo marginal la forma de U (en el corto
plazo), lo cual es un reflejo propiamente de la ley de rendimientos decrecientes. Según
esta ley para una planta dada y en las etapas iniciales de la producción a medida que se
emplea mayor cantidad del factor variable su productividad aumenta y el costo promedio
disminuye; esto continua hasta el punto en el que se alcanza la combinación óptima de los
factores fijos y variables; más allá de este punto si se combinan cantidades crecientes de
los factores, la productividad de los factores variables declina mientras que el costo
promedio aumenta. Es decir inicialmente se declina, se alcanza un mínimo en el nivel de
funcionamiento óptimo de la empresa y consecuentemente comienza a subir.
En este sentido el Modelo econométrico explicativo de la función de costos a desarrollar
es el siguiente:
tt uXXXY 3
13
2
12110
En términos de la teoría tradicional, los parámetros del modelo deben poseer las
siguientes restricciones:
0,0,0,0 3210
Esto porque, tal y como se mencionó anteriormente de la función de costos totales se
derivan las curvas de costo marginal y de costo promedio, en donde la forma gráfica de
estas últimas es en forma de U, entonces por la ley de rendimientos decrecientes, la
función comienza a crecer hasta un punto óptimo de costos mínimos y posteriormente
decrece.
En el modelo econométrico que se propone se tiene que Y es el costo total y X el nivel de
producción; y 0 , 1 , 2 , 3 son los parámetros del modelo y el primer coeficiente
representa al intercepto y los parámetros subsecuentes el sentido de la función. Cabe
destacar que se trata de una función polinomial de costos de corto plazo de grado 3.
A partir del modelo econométrico obtenemos la siguiente tabla de datos:
TABLA DE DATOS Costo Total Producción
Y X1 X2 X3
(Dólares) (Producción) (Producción) (Producción)
193 1 1 1
226 2 4 8
240 3 9 27
244 4 16 64
257 5 25 125
260 6 36 216
274 7 49 343
297 8 64 512
350 9 81 729
420 10 100 1000
Tabla 2
Ahora bien realizando un análisis descriptivo del modelo, podemos tener un acercamiento
al comportamiento de las variables involucradas en el modelo:
Obsérvese que hasta este momento sin realizar ninguna estimación con el modelo, los
gráficos de la función polinomial propuesta, simulan lo que la teoría tradicional postula,
respecto de la relación de costos con la producción a la luz de la ley de rendimientos
decrecientes.
Ahora bien estimando la ecuación del modelo propuesto por mínimos cuadrados
ordinarios, se obtienen los siguientes resultados:
Por lo que nuestro modelo estimado se expresará como sigue:
tt uXXXY 3
1
2
11 939588.096154.1247766.637667.141
Por el valor de los beta estimados, el primer valor representa el intercepto (condición
inicial), el segundo valor representa una relación positiva de la producción respecto de los
costos totales, es decir que a medida que aumenta la producción en una proporción, los
costos aumentan en ese mismo sentido. Para el tercer coeficiente se observa una relación
negativa que representa una proporcionalidad inversa de producción respecto del costo
total, es decir que a medida que se aumenta el nivel de producción disminuyen los costos
o viceversa y finalmente el ultimo coeficiente representa una relación positiva de
producción con respecto a los costos totales, en donde al aumentar el nivel de producción
en una proporción, los costos totales se aumentan en el mismo sentido o viceversa pero
en menor cuantía; es decir cada una de estas relaciones, en suma representan la ley de
rendimientos decrecientes para la función de costos de corto plazo, es decir que los signos
de los coeficientes es conforme a los teóricos esperados.
En cuanto a la bondad de ajuste (medida que nos dice que tan bien se ajusta la línea de
regresión muestral a los datos) de la línea de regresión conforme al dato que se muestra
en la tabla, nos indica que el 99% de lo que pasa en Y (variaciones) se explica por las
variables X. Sin embargo es importante determinar si los coeficientes beta son
individualmente significativos y esto se determina a partir de la probabilidad del
estadístico t, en donde particularmente es inferior a 0.05 y por tanto las variables
individuales son estadísticamente significativas en los cambios de la variable dependiente.
En cuanto a la prueba de significancia conjunta de los coeficientes beta, se realiza a partir
de la probabilidad del estadístico F y particularmente conforme a nuestra tabla de datos la
F posee un valor inferior a 0.05 y por tanto son conjuntamente significativas las variables
en la explicación de las variaciones en la variable dependiente Y.
PRUEBA DE RESTRICCIÓN EN LOS PARAMETROS
Por la prueba de Wald se determina si se acepta o rechaza la hipótesis nula o alternativa:
31
2
2131
2
20 3:3: HH
Al realizar dicha prueba, se obtienen la probabilidad de los estadísticos F y Chi-cuadrado
muy inferiores a 0.05 y por tanto se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa, es
decir no se cumple la hipótesis nula.
PRUEBA DE NORMALIDAD DE LOS ERRORES
Esta prueba consiste en representar gráficamente en un histograma la forma de los
errores, en ella se puede observar si esta sigue una forma parecida a la de la distribución
normal, dado que se suponen errores normalmente distribuidos. Por otra parte se realiza
una prueba de hipótesis en la que se toma en cuenta el estadístico Jarque-Bera y toma el
siguiente criterio: si el estadístico es mayor que 0.05, se encuentra en la zona de no
rechazo de la hipótesis nula, es decir, no se rechaza la hipótesis nula de normalidad en los
errores del modelo a un nivel de confianza del 95.0%.
Por tanto en nuestro caso particular, conforme a la figura que se presenta, se observa que
por el valor de la probabilidad del estadístico de Jarque-Bera no se rechaza la hipótesis
nula dado que es superior a 0.05 y decimos que los errores efectivamente se distribuyen
normalmente.
PRUEBA DE FORMA FUNCIONAL CORRECTA
Para esta prueba se pueden ofrecer dos caminos distintos, la prueba de White y la prueba
de RESET:
Prueba RESET
En esta prueba se obtienen dos estadísticos. Por
lo que la hipótesis nula a probar es que el modelo
tiene la forma funcional correcta o no tiene
problemas en la media. Entonces si el valor de la
probabilidad de los estadísticos es mayor que
0.05, se encuentra en la zona de no rechazo de la
hipótesis nula. En otras palabras la forma
funcional del modelo es la correcta. Para este
caso particular se tiene que la probabilidad de los
dos estadísticos es superior a 0.05 y por tanto no
se rechaza la hipótesis nula y por tanto decimos
que la forma funcional del modelo es la correcta.
Prueba de White
Para esta prueba también se obtienen dos
estadísticos. Por lo que en este caso la hipótesis
nula a probar de igual manera que en la prueba
RESET, es que el modelo tiene la forma funcional
correcta o no tiene problemas en la media,
entonces si el valor de la probabilidad de los
estadísticos es mayor que 0.05, se encuentra en
la zona de no rechazo de la hipótesis nula y por tanto la forma funcional del modelo es la
correcta. Para esta prueba se tiene que los valores de la probabilidad de los estadísticos
son superiores a 0.05 y por tanto decimos que la forma funcional del modelo es la
correcta.
MULTICOLINEALIDAD
Para la multicolinealidad vamos a elaborar la matriz de correlaciones entre las variables:
Decimos que existe correlación entre las variables si los coeficientes de los pares de
variables es superior a 0.88 en términos absolutos además si la 2R posee un valor cercano a uno y el valor de la probabilidad de estadístico t es mayor que 0.05 se establece que existen problemas de multicolinialidad. En particular se observa que los datos se encuentran entre 0.9 y 1, la R cuadrada posee un valor cercano a 1, con un valor de 0.99, sin embargo el estadístico t posee un valor igual a cero, por lo que rechazamos la existencia del problema de multicolinealidad.
HOMOSCEDÁSTICIDAD
A partir de estas dos pruebas se evalúa si existen problemas de homoscedasticidad, se observan los valores de los estadísticos, los valores de sus probabilidades y las regresiones auxiliares. La hipótesis nula a probar es que los errores del modelo son homoscedásticos, entonces si el valor de la probabilidad de los estadísticos que nos proporciona cada prueba es mayor que 0.05, no se rechaza la hipótesis nula, es decir, decimos que los errores son homocedásticos. Por tanto conforme a los datos que arrojaron las pruebas,
observamos que no se rechaza la hipótesis nula y por tanto decimos que los errores son homoscedasticos.
PERMANENCIA ESTRUCTURAL
Para la prueba de estabilidad en los parámetros beta o bien la prueba de permanencia
estructural que es lo mismo; se conocen los estadísticos CUSUM, CUSUM-Q y Chow.
Entonces la hipótesis nula a probar es que los estimadores beta son estables a través del
tiempo (bien que hay permanencia estructural), entonces si los estadísticos se salen de las
bandas hay cambio estructural y se tiene observar en donde corta la línea a la banda y
anotarlo en la prueba Chow y comprobar si en realidad hubo cambio estructural. En este
sentido, se observa que la gráfica de la izquierda (CUSUM-Q) tiene un corte
aproximadamente en 6.3, por lo que se estima la prueba Chow con el valor de 6 y
obtenemos lo siguiente:
Chow Breakpoint Test: 6 F-statistic 1.304167 Probability 0.477468
Log likelihood ratio 12.83246 Probability 0.012124
Entonces si los valores de la probabilidad de los estadísticos que arroja la prueba son mayores que 0.05 no se rechaza la hipótesis nula que en ese punto no hubo rompimiento, sin embargo el valor de la probabilidad de los estadísticos es inferior a 0.05 y por tanto decimos que se rechaza la hipótesis nula que en ese punto no hubo rompimiento.
AUTOCORRELACIÓN
Para la prueba de autocorrelación de los errores existen diferentes caminos se encuentra el análisis del estadístico Durbin-Watson (D-W), el análisis del correlograma de los errores y la prueba de Multiplicadores de Lagrange. En particular para la prueba por D-W, no tenemos el problema de autocorrelación si este estadístico posee un valor igual a 2 o muy cercano a él; por lo que en este caso práctico se tiene un valor de 1.937, por lo que decimos que no existe problema de autocorrelación en el modelo.
Por la prueba de correlograma encontramos:
Se observa que se sale una barra en la correlación parcial, pero en no así para las barras restantes.
PREDICCIÓN
Agregando 4 datos más a la tabla tenemos:
Y X1 X1CUADRADO X1CUBO
193.0000 1.000000 1.000000 1.000000
226.0000 2.000000 4.000000 8.000000
240.0000 3.000000 9.000000 27.00000
244.0000 4.000000 16.00000 64.00000
257.0000 5.000000 25.00000 125.0000
260.0000 6.000000 36.00000 216.0000
274.0000 7.000000 49.00000 343.0000
297.0000 8.000000 64.00000 512.0000
350.0000 9.000000 81.00000 729.0000
420.0000 10.00000 100.0000 1000.000
NA 11.00000 121.0000 1331.000
NA 12.00000 144.0000 1728.000
NA 13.00000 169.0000 2197.000
NA 14.00000 196.0000 2744.000
Ahora bien realizando la predicción dado los datos que se agregaron a la tabla tenemos una Y estimada para los periodos subsecuentes, como se muestra en la tabla de datos siguiente:
Y YF
193.0000 193.2224
226.0000 224.3925
240.0000 240.9147
244.0000 248.4263
257.0000 252.5650
260.0000 258.9683
274.0000 273.2737
297.0000 301.1186
350.0000 348.1408
420.0000 419.9776
NA 522.2667
NA 660.6455
NA 840.7515
NA 1068.222
Coeficiente de desigualdad de Theil
Según los datos que se encuentran en la tabla y el gráfico se puede observar que la senda
de la función de costos estimada es muy parecida a la función de costos real, es decir que
los costos no se alejan mucho de lo la tendencia o forma de la función de costos.