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ESTADSTICA
INTRODUCCINRecientemente la Estadstica se ha incorporado, en forma generalizada, al currculo
de matemtica de la enseanza primaria y secundaria y al de las diferentes especialidades
universitarias en la mayora de pases desarrollados. Las razones de este inters hacia
la enseanza de la Estadstica han sido repetidamente sealadas por diversos autores,
desde comienzos de la dcada de los ochenta del siglo pasado.
Asimismo los materiales didcticos, los software educativos, las investigaciones,
revistas, reuniones y los congresos sobre la enseanza de la Estadstica han crecido en
los ltimos aos.
Por otro lado, el inters por la enseanza y comprensin de la Estadstica no es
exclusivo de la comunidad de educacin matemtica. La preocupacin por las cuestiones
didcticas y por la formacin de profesionales y usuarios de la Estadstica tambin
corresponde a los propios estadsticos.
El inters por la enseanza de la Estadstica dentro de la Educacin Matemtica,
viene ligado al rpido desarrollo de la Estadstica como ciencia y como herramienta til en
la investigacin, la tcnica y la vida profesional, impulsado notablemente por la difusin
de los ordenadores y el crecimiento espectacular de la potencia y rapidez de clculo de
los mismos, as como por las posibilidades de comunicaciones. Todo ello ha facilitado el
uso de la Estadstica a un nmero creciente de personas, provocando una gran demanda
de formacin bsica en esta materia, formacin que ha sido encomendada, en los niveles
no universitarios, a los profesores de matemtica.
Los nuevos currculos de educacin primaria y secundaria incluyen en forma
generalizada recomendaciones sobre la enseanza de la Estadstica. Sin embargo, en
la prctica, son todava pocos los profesores que ensean este tema y en otros casos se
trata muy brevemente, o en forma excesivamente formalizada.
Es indiscutible que el siglo XX ha sido el siglo de la Estadstica, a tal punto que ha
pasado a considerarse como una de las ciencias metodolgicas fundamentales y base
del mtodo cientfico experimental. La enseanza de la Estadstica, sin embargo, an se
encuentra en sus inicios, aunque parece avanzar de un modo sostenible. Ser el siglo
XXI el siglo de la educacin estadstica?
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Definicin de estadstica
La Estadstica es la ciencia pura y aplicada que se ocupa de la recoleccin, clasificacin,
anlisis e interpretacin de datos con la finalidad de efectuar decisiones adecuadas frente
a la incertidumbre. Tambin se le conoce como la ciencia que se ocupa de la toma dedecisiones.
Divisin de la Estadstica
Estadstica descriptivaEs el conjunto de mtodos que se relacionan con la recoleccin, organizacin y
presentacin de los datos, como tablas, grficas y el anlisis mediante algunos clculos.
Estadstica
Descriptiva
Presentacin
de datos
Medidas
Descriptivas
En forma tabular
En forma grfica
De Posicin
De Dispersin
Estadstica inferencialEs parte de la Estadstica que se ocupa de generalizar conclusiones hacia toda una
poblacin utilizando la informacin muestral. Adems utiliza conceptos sobre la Teora de
Probabilidades y de las Distribuciones Muestrales.
Estadstica
Inferencial
Estimacin de
Parmetros
Pruebas de
Hiptesis
Puntual
Por Intervalos
El puente o eslabn que nos permite pasar de la Estadstica Descriptiva a la Inferencial
es el mtodo de muestreo y la validez de las inferencias depender de la representatividadde la muestra.
Estadstica
Descriptiva
Muestreo
Teora deprobabilidades
Estadstica
Inferencial
CONCEPTOS BSICOS
Por ejemplo: Suponga que se desea estudiar el ingreso mensual promedio de los 1 500
padres de familia del colegio San Jos de Jauja. Se seleccionar una muestra de 50
familias.
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Variable
Es una caracterstica que el investigador desea estudiar. Puede ser cuantitativa o
cualitativa.
En el ejemplo inicial: el ingreso mensual promedio.Otros ejemplos
El nmero de hijos de los profesores del colegio Jos Carlos Maritegui.
Procedencia de los alumnos de primaria del colegio Carlos Martnez Uribe.
El rendimiento acadmico de los alumnos de colegio San Ramn de Tarma.
Unidad elemental
Es todo elemento del que se obtiene informacin. Tambin se le conoce como la
unidad de informacin o unidad estadstica.En el ejemplo inicial: la unidad elemental es cada padre de familia.
Se conoce como observacin al registro que se realiza de una unidad elemental.
Las variables se denotan con las letras maysculasX, Y,Z, Wy a las observaciones
con las letras minsculasx,y,z, w.
En el ejemplo inicial
X= ingreso mensual de cada padre.
x4 = S/.300 nos indica que el padre de familia al cual se le asign el N 4 tiene un
ingreso mensual de S/.300.Sea la variable Y: nmero de hijos de los profesores del colegio El Triunfo de Tumbes.
y8 = 4 nos indica que el profesor asignado con el N 8 tiene 4 hijos.
Poblacin
Es el conjunto de todas las unidades elementales en estudio. La poblacin tambin
se define como el conjunto de todas las observaciones ya que por cada unidad elemental
se tiene una observacin.
Al tamao de la poblacin se le denota con la letraN.En el ejemplo inicial: la poblacin est formada por las 1 500 familias (N= 1 500).
Pob. = {P1 ;P2 ;P3 ; ... ;P1 500}
Pob. = {S/.180; S/.250; S/.420; ...; S/.200}
Por ejemplo: Los estudiantes del Colegio Mariscal Luzuriaga de Casma del turno maana
matriculados el 2006
VariableZ: procedencia de Buenavista.
Unidad elemental: cada estudiante.
Podemos observar que Z15 = si ; Z19 = no
Poblacin = {Z1; Z2; Z3; Z4 ; ...;Z1500}
Poblacin = {si , no, si, si, ..., si}
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MuestraEs un subconjunto de una poblacin.
Al tamao de la muestra se le denota con la letra n.
En el ejemplo inicial: la muestra est formada por las 50 familias (n= 50 ).
muestra = {F1; F2; F3; ...; F50}
muestra = {S/.200; S/.250; S/.180; ...; S/.300}
Parmetro
Es un valor constante que se utiliza para describir una variable en la poblacin. Para
hacer el clculo del parmetro se requiere la informacin de toda la poblacin.Ejemplos
la media () la variancia (2)
diferencia de promedios ( 1 2) la desviacin estndar ()
Valor estadstico o estadgrafo
Es una variable que cambia de valor de una muestra a otra. El valor que admite en
una muestra particular sirve para estimar al parmetro.Ejemplos
la media (X) la variancia (S2)
la diferencia de promedios (X1 X2) la desviacin estndar (S)
En el ejemplo inicial
: ingreso mensual promedio (parmetro)
=x1 +x2 +x3 +x4 + ... +x1 500
1 500
x : ingreso mensual promedio (valor estadstico)
x =x1 +x2 +x3 +x4 + ... +x50
50
Estimar. Consiste en considerar el valor del estadgrafo hallado en una muestra como si
fuera el valor del parmetro.
Clases de variables (por su naturaleza)
CuantitativasCuando las observaciones se pueden representar en forma numrica. Tambin se les
llama valor. Las variables cuantitativas pueden ser continuas y discretas:
Continuas. Cuando pueden admitir cualquier valor dentro de un intervalo de la recta real. Los
registros se realizan utilizando instrumentos de medicin o cualquier operacin matemtica.
Ejemplos
el peso de los alumnos
los ingresos de los padres de familia del colegio.
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Discretas. Cuando admite valores enteros. Las observaciones se hacen por conteo.
Ejemplos
el nmero de alumnos de los talleres de reforzamiento en matemtica.
el nmero de hijos de los trabajadores.
CualitativasCuando la observacin representa una determinada cualidad. A la observacin
cualitativa tambin se le llama atributo.Ejemplo
Poblacin: habitantes mayores de 20 aos en el distrito de Los Olivos.
X: grado de instruccin (primaria, secundaria, superior)
Y: opinin respecto a determinada poltica econmica (a favor, abstencin, en contra)
Las variables cualitativas a su vez pueden ser nominales y jerarquizadas:
Nominales. Cuando no se puede establecer un orden en las cualidades o atributos.Ejemplos
Profesin (ingeniero, profesor, mdico, bilogo)
Color (verde, amarillo, rojo).
Ordinales o jerarquizadas. Cuando es posible establecer un orden en las alternativas.Ejemplos
Grado de instruccin (primaria, secundaria, superior)
Categora como docente (profesor, auxiliar, principal, asociado).
ORGANIZACIN DE DATOS
El objetivo de la organizacin de datos es ordenar un conjunto de datos en forma til
para revelar sus caractersticas esenciales y simplificar ciertos anlisis.
Existen dos tipos generales de tablas de frecuencias para representar un conjunto de datos:
a. Tablas de Frecuencias para Datos No Agrupados
b. Tablas de frecuencias para Datos Agrupados.
Organizacin de datos no agrupados (Tablas Sin Intervalos)Secuencia
Se recoge la informacin.
Se elabora la tabla de frecuencias
Se construyen los grficos
Ejemplo
Se desea estudiar el grado de instruccin de los padres de familia del colegio Santa
Isabel de Huancayo (Analfabetos, Primaria, Secundaria, Superior). Se seleccion unamuestra de 80 padres y se obtuvo los siguientes resultados: 20 analfabetos, 30 primaria,
20 secundaria, 10 superior.
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K Xi fi hi Fi Hi
1 Analfabetos f1 = 20 h1= 0,250 F1 = 20 H1 = 0,250
2 Primaria f2
= 30 h2
= 0,375 F2
= 50 H2
= 0,625
3 Secundaria f3 = 20 h3 = 0,250 F3 = 70 H3 = 0,875
4 Superior f4 = 10 h4 =0 ,125 F4 = 80 H4 = 1,000
n= 80 1,000
n= 80 es el tamao de la muestra y K= 4 es el nmero de clases
Algunas interpretaciones
f2 = 30 quiere decir que 30 de los 80 padres de familia del colegio Santa Isabel deHuancayo tienen grado de instruccin primaria.
h3 = 0,250 = 25% quiere decir que el 25% de los padres de familia del colegio Santa
Isabel de Huancayo tienen grado de instruccin secundaria.
F3 = 70 quiere decir que de los 80 padres de familia del colegio Santa Isabel de
Huancayo, 70 de ellos tienen grado de instruccin entre analfabetos, primaria y
secundaria.
H2 = 0,625 = 62,5% quiere decir que el 62,5% de los padres de familia tienen grado
de instruccin entre analfabetos y educacin primaria.
Frecuencia absoluta (fi)Es el nmero de observaciones que se registran en cada clase. La suma total de las
frecuencias absolutas es igual al nmero total de elementos (n).
En el ejemplo, estas frecuencias se encuentran en la informacin del enunciado:
20 analfabetos (f1= 20), 30 primaria (f2 = 30), 20 secundaria (f3 = 20) y 10 superior
(f4 =10 ).
Observe adems que la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamao de lamuestra, es decir f1 +f2 +f3 +f4 = 20 + 30 + 20 + 10 = 80
Frecuencia relativa (hi)Es la proporcin de observaciones en cada clase. La suma de todas las frecuencias
relativas es igual a la unidad.
Se calculan dividiendo cada una de las frecuencias absolutas entre el tamao de la
muestra.
Ejemplo
Para calcular las frecuencias relativas dividimos cada una de las frecuencias absolutas
entre 80 que es el tamao de la muestra, es decir
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h1 =f1
n=
20
80= 0,250 h2 =
f2
n=
30
80= 0,375
h3 =
f3
n =
20
80 = 0,250 h4 =
f4
n =
10
80 = 0,125
Observe adems que la suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad, es
decir h1 + h2 + h3 + h4 = 0,250 + 0,375 + 0,250 + 0,125 = 1,000
Frecuencia absoluta acumulada (Fi)
Es la acumulacin ordenada de cada una de las frecuencias absolutas. La ultima
frecuencia absoluta acumulada es igual al nmero de elementos (n).
Para calcular las frecuencias absolutas acumuladas debemos considerar que la 1ra
frecuencia absoluta acumulada (F1) es siempre igual a la 1ra frecuencia absoluta (f1) y a
partir de la 2da frecuencia absoluta acumulada, estas se calculan sumando o acumulando
las frecuencias absolutas anteriores.
En el ejemplo
Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia absoluta acumulada (Fi)
f1 = 20 F1 =f1 = 20
f2 = 30 F2 =f1 +f2= 20 + 30 = 50
f3 = 20 F3 =f1 +f2 +f3 = 20 + 30 + 20 = 70
f4 = 10 F4 =f1 +f2 +f3 +f4= 20 + 30 + 20 + 10 = 80
Observe adems que la ltima frecuencia absoluta acumulada es igual al tamao de lamuestra, es decir,F4 = n= 80.
Frecuencia relativa acumulada (Hi)
Es la acumulacin de cada frecuencia relativa. La ltima frecuencia relativa acumulada
es igual a la unidad.
Para calcular las frecuencias relativas acumuladas debemos considerar que la 1ra
frecuencia relativa acumulada (H1) es siempre igual a la 1ra frecuencia relativa (h
1) y a
partir de la 2da frecuencia relativa acumulada, estas se calculan sumando o acumulando
las frecuencias relativas anteriores.
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En el ejemplo
Frecuencia relativa (hi) Frecuencia relativa acumulada (Hi)
h1 = 0,250 H1 =h1 = 0,250
h2 = 0,375 H2 =h1 +h2= 0,250 + 0,375 = 0,625
h3 = 0,250 H3 =h1 +h2 +h3 = 0,250 + 0,375 +0,250 = 0,875
h4 = 0,125 H4 =h1 +h2 +h3 +h4= 0,250 + 0,375 + 0,250 + 0,125 = 1,000
Observe adems que la ltima frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad, es decir
H4 =h1+h2+h3 +h4 = 0,250 + 0,375+ 0,250 + 0,125 = 1,000
Organizacin de datos agrupados (Tablas con Intervalos)Secuencia
Se recoge la informacin
Se elabora la tabla de frecuencias
Se construyen los grficos: histogramas, polgonos, ojivas
Elementos de una tabla de distribucin de frecuencia
Ejemplo: Un investigador desea determinar en el colegio San Jos de Chiclayo en el nivel
primaria el nmero de horas semanales que los nios de 7 aos de edad se dedican aver programas de televisin. Una muestra de 25 nios arroj los siguientes resultados (en
nmero de horas semanales): 10; 19; 25; 19; 26; 16; 19; 27; 27; 25; 23; 22; 17; 12; 20;
15; 21; 23; 26; 14; 18; 25; 23; 24; 21.
Rango (r). Es la diferencia entre los datos de mayor y menor valor.
Ejemplo: r= 27 10 = 17
Intervalo de clase. Es una clasificacin de los datos en subgrupos.
Ejemplo: [16; 19 es un posible intervalo de clase donde se debe considerar a los nios
que se dedican a ver televisin desde 16 horas hasta menos de 19 horas semanales. Lmites de clase. Son los valores extremos del intervalo de clase.
Ejemplo: en el intervalo [16; 19 se observa que 16 es el lmite inferior y 19 es el
lmite superior.
Ancho de clase (W). Es la diferencia entre el lmite superior e inferior de cadaintervalo. Tambin se le conoce como el TIC (Tamao del intervalo de clase)
Ejemplo: en el intervalo [16; 19 se observa que el ancho de clase es
W= 19 16 = 3
Marca de clase (X). Es el punto medio de cada intervalo. Ejemplo: en el intervalo [16, 19 la marca de clase es
X = (16 + 19 )/2 = 17,5
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ESTNDARES CURRICULARES DE ESTADSTICA
En inicial, 1 y 2 grado
COMPETENCIA HABILIDAD
Formular preguntas que
puedan ser respondidas a
partir de la recoleccin y
organizacin de un conjunto
de datos.
Clasificar objetos de acuerdo a sus atributos y organizar
los datos sobre dichos objetos, reconociendo que un objeto
puede tener ms de un atributo.
Representar los datos empleando objetos concretos, dibujos
o grficos por ejemplo usando barras, tablas, pictogramas y
reconociendo los ttulos de los ejes.
Seleccionar mtodos
estadsticos apropiados para
analizar datos.
Describir partes de los datos y el conjunto de datos como untodo para determinar qu muestran los datos. Por ejemplo,
realizar afirmaciones como: La cantidad de estudiantes que
tienen perros es igual a la que tienen gatos; la mayora de
estudiantes en la clase ve Bob el constructor. Tambin implica
reconocer de donde proviene la informacin mostrada.
En 3; 4 y 5 grado
COMPETENCIA HABILIDAD
Formular preguntas que
puedan ser respondidas a
partir de la recoleccin y
organizacin de un conjunto
de datos.
Disear experimentos para recolectar datos a travs de la
observacin o encuestas y analizar cmo las distintas formas
de hacerlo afectan la naturaleza de los datos.
Interpretar informacin que ha sido presentada a travs de
tablas y grficos.
Representar datos teniendo en cuenta la naturaleza de la
variable involucrada, si es cualitativa o cuantitativa.
Organizar y representar los datos haciendo uso de una hoja
de clculo.
Seleccionar mtodos
estadsticos apropiados para
analizar datos.
Describir las principales caractersticas de un conjunto de
datos y comparar conjuntos de datos poniendo nfasis en
cmo estos estn distribuidos.
Calcular la mediana de un conjunto de datos y lo que esta
representa y tambin lo que no representa para ese conjunto
de datos.
Comparar diferentes representaciones para un mismo
conjunto de datos y evaluar cul de ellas representa mejor a
los datos.
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PROGRAMACINLINEAL
INTRODUCCIN
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y,
sobre todo, Lagrange, que tanto haban contribuido al desarrollo del clculo infinitesimal,
se ocuparon de obtener mximos y mnimos de determinadas funciones, condicionadas
a un conjunto de restricciones.
Posteriormente el matemtico frnces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830)
fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los mtodos de lo que actualmente
llamamos programacin lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.Si exceptuamos al matemtico Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1776 se interes
por problemas de este gnero, debemos remontarnos al ao 1939 para encontrar nuevos
estudios relacionados con los mtodos de la actual programacin lineal. En este ao,
el matemtico ruso Leonodas Vitalyevich Kantarovitch publica una extensa monografa
tituladaMtodos matemticos de organizacin y planificacin de la produccin en la
que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teora
matemtica precisa y bien definida llamada, hoy en da, programacin lineal.
Las aplicaciones iniciales de los mtodos de la programacin lineal cayeron entres
categoras principales.
En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado
independientemente por Koopmans y Kantorovich, razn por la cual se suele conocer
con el nombre de problema de Koopmans-Kantorovich.
En 1958 se aplicaron los mtodos de la programacin lineal a un problema concreto:el clculo del plan ptimo de transporte de arena de construccin a las obras de edificacin
de la ciudad deMosc. En este problema haba 10 puntos de partida y 230 de llegada.
El plan ptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 das del mes de
junio, rebaj un 11% los gastos respecto a los costes previstos.
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Modelos matemticos de Centromin-Per
Modelo de minas de Casapalca
Modelo de cobre y plomo
A continuacin presentaremos un ejemplo prctico de la programacin lineal.
Ejemplo 1
Suponiendo que una empresa manufacturera que produce dos artculos, el 1 y el 2,
cuyas demandas son limitadas. La siguiente tabla indica los tiempos de procesamiento
requerido por cada producto en tres departamentos por los que deben ser procesados y
muestra adems, la disponibilidad en horas hombre de estos por semana, y la ganancia
unitaria de cada artculo.
Dpto. A Dpto. B Dpto. C Ganancia Unit.
Producto 1 2 1 4 1,00
Producto 2 2 2 2 1,50
Disponibilidad 160 120 280
El problema consiste en decidir la cantidad de cada producto que debe elaborarse con
el objeto de lograr el mejor empleo de los medios de produccin (horas disponibles
en los departamentos), para obtener el mximo beneficio total. Dicho de otro modo,
quien decide, debe asignar los recursos (tiempo disponible en los departamentos) con
el propsito de optimizar un objetivo (maximizar la ganancia total) satisfacer otras
condiciones definidas (no exceder las capacidades de trabajo de cada departamento).
Su resolucin lo veremos ms adelante.
El modelo matemtico de la programacin lineal
En general con rigor matemtico el problema de Programacin Lineal se presenta en
los siguientes trminos
max. (min.)Z=c1x1 +c2x2+...cnxn (I)
Sujeto a
a11x1 +a12x2 + ... +a1nxn b1 a21x1 +a22x2 + ... +a2nxn =b2
am1x1 +am2x2+ ... +amnxn bm (II)
Y las restricciones de no negatividad
xj 0, j= 1; 2; 3; ...; n (III)
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En las ecuaciones o inecuacionesaij;bi ; cjson valores conocidos y el problema consiste en
hallar los valores de lasxjque optimicen la funcin (I) sujeta a las condiciones (II) y (III)
Las variablesxjse llaman variables de decisin.
La estructura anterior se puede expresar como
(max. o min.)Z=cjxj= CtXn
j= 1
Sujeto a
AXB
X 0
Donde A= (aij)mxn; C=
c1
c2
cn
; X=
x1
x2
xn
; B=
b1
b2
bm
En un problema de programacin lineal debemos tener en cuenta que los beneficios,
capacidades, etc. Son funciones que se deben maximizar; en cambio los costos, las
prdidas, los accidentes son funciones que se deben minimizar.
En Programacin Lineal se tienen los siguientes elementos
Una funcin objetivo.
Un conjunto de restricciones.
La no negatividad de las variables decisorias.Para mayor comprensin del tema en este trabajo, lo plantearemos en dos variables
decisorias; por ello nuestro problema de Programacin Lineal tendr la siguiente estructura.
max.(min.)Z=c1x+c2y+c3Sujeto a
a11x+a12y b1
a21x+a22y =b2
am1x+am2y bm
conx 0;y0
Definiciones
Variables decisorias. Son cantidades desconocidas que indican los valores numricos delos actos o actividades que se van a emprender con el fin de lograr el objetivo.
Funcin objetivo. Es la representacin matemtica de la funcin a optimizar (max. o min.)
Z=ax+by+cRegin factible. Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones deno negatividad. Existen dos tipos de regin factible.
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regin factible no acotada regin factible acotada
Solucin factible. Es cualquier punto situado en la regin factible.
Solucin bsica. Es aquella que se encuentra en la interseccin de rectas o hiperplanos
o en la interseccin con los ejes coordenados
Solucin ptima. Es una solucin factible que maximiza o minimiza la funcin objetivo.Polgono Convexo. Dados dos puntos cualesquiera que pertenecen al polgono, el
segmento de recta que los une est contenido en dicho polgono.
polgono convexo polgono no convexo
Fundamentacin matemtica de la Programacin LinealLa Programacin Lineal se fundamenta en un conjunto de teoremas cuyas
demostraciones se omiten en el presente trabajo.
Teorema 1El conjunto de todas las soluciones factibles a un problema Lineal es un conjunto
convexo (resulta de la interseccin de las ecuaciones e inecuaciones de restriccin).este teorema demuestra, adems que si un programa lineal tiene mas de una solucin,
entonces tendr infinitas soluciones.
Teorema 2La funcin objetivo alcanza su mximo en un punto extremo del conjunto convexo,
generado por el conjunto de soluciones factibles al Programa lineal.
De estos dos teoremas concluimos que slo es necesario investigar las soluciones
en los puntos extremos (es decir en los vrtices o las aristas del polgono convexo del
programa lineal)
A continuacin resolveremos algunos problemas, usando el mtodo grfico (la cual
es la aplicacin del teorema 2).
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Planteamiento y solucin del ejemplo 1
Paso 1 (Variables decisorias)
Seax el nmero de unidades producidas del artculo 1
Seay el nmero de unidades producidas del artculo 2
Paso 2 (construccin de la funcin objetivo)
El beneficio obtenido al venderx unidades del artculo 1 e y unidades del artculo 2 ser
1,00x+ 1,50y
considerando la funcinf(x;y) = 1,00x+ 1,50y (funcin objetivo) el problema consiste en
hallarx,y tal que esta funcin sea mxima, teniendo en cuenta quex ey estn sujetas a
las siguientes condiciones (restricciones).
Paso 3 (Restricciones o limitaciones)En el ejemplo la produccin est limitada por el tiempo disponible de manufacturacin
en cada departamento. Observando los valores del cuadro anterior se puede deducir
fcilmente que:
El tiempo de manufacturacin requerido al departamentoA, es igual a
2x+2y
pero el requisito no debe exceder la capacidad del departamentoA, por la que la
expresin anterior queda completa con:
2x+ 2y 160
con igual razonamiento para los departamentosB yC, se tiene:
x+ 2y 120
4x+ 2y 280
obviamente esta implcita la circunstancia de no poder considerar cantidades a
producir negativas, por tanto se debe escribir:
x 0 y 0
En resumen y simbolizando la funcin ganancia total conZse tiene:[Max]Z=x+ 1,5y
Sujeto a
2x+ 2y 160 (restriccin 1)
x+ 2y 120 (restriccin 2)
4x+ 2y 280 (restriccin 3)
Con
x 0 y 0
Como este problema contiene slo dos variables es posible representarlo y resolverlo
grficamente. Graficando las tres restricciones se tiene:
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La figura que ha quedado definida no es otra cosa que un polgono convexo.
El problema de la Programacin Lineal, entonces, se reduce (nada ms ni nada menos)
a la seleccin del punto que sea factible y que a su vez maximice la funcin objetivo.
Asignando aZun valor arbitrario para que pueda ser graficada. Por ser Zuna recta,
para cualesquiera valores asignados aZse obtendrn rectas paralelas ya que tienen igual
pendiente.
Es evidente que se podr seguir desplazandoZhasta que se alcance el ltimo punto
comn entre sta y el polgono. Dicho punto esA tal como se verifica en el grfico que
sigue.
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Este es el punto de Ganancia Total Mxima o punto ptimo. Corresponde por lo tanto
a la solucin ptima. La respuesta al problema es entonces
x1=40
x2 = 40
Y el valor de la funcin objetivo es Z= 100
Ejemplo 2
Dos fbricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y
alto grado. Se tiene contrato de venta para proveer: 16 Tn. de bajo grado, 5 Tn. de medio
grado y 20 Tn. de alto grado los costos de operacin son de S/.1000 /da para la primera
fbrica y S/.2000 /da para la segunda.
La fbrica N 1, produce 8 Tn. de bajo grado, 1 Tn. de medio grado y 2 Tn. de alto grado
en un da de operacin. La fbrica N 2, produce 2 Tn. de bajo grado, 1 Tn. de grado
medio y 7 Tn. de alto grado por da. Cuntos das debe trabajar cada fbrica a fin de
cumplir con el mencionado contrato de venta en la forma ms econmica?
ResolucinSean
x : Nmero de das de trabajo de la fbrica 1
y : Nmero de das de trabajo de la fbrica 2
la funcin objetivo ser
(Min:) Z= 1 000x+ 2000y
Sujeto a:
8x+ 2y 16
x+y 5
2x+ 7y 20
x 0 y 0
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Grficamente
La solucin optima se encuentra en el puntoA donde :
X= 3, Y= 2, Z= 7000
Ejemplo 3
Desde dos almacenesA yB, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad.
El almacn A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se
reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas
de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias.
El coste del transporte en soles por tonelada desde cada almacn a cada mercado viene
dado por el siguiente cuadro:
Almacn Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3
A 10 15 20
B 15 10 10
Planificar el transporte para que el coste sea mnimo.
ResolucinPodemos hacer el siguiente cuadro que nos ayude a obtener la funcin objetivo y las
restricciones
Almacn Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3
A X Y 10 (X+Y)
B 8 X 8 Y X+Y 1
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Del cuadro anterior se puede observar
Del almacnA se transportaXTn. al mercado 1, YTn. al mercado 2, y lo restante al
mercado 3.
Del almacnB se transporta lo faltante a cada mercado.
De los dos cuadros anteriores se puede obtener la funcin objetivo la cual viene dada. F(X; Y) = 10X+ 15Y+ 20(10 (X+Y))+15(8 X)+10(8 Y) + 10(X+Y 1),
de donde efectuando se tiene F(X; Y) = 390 15X 5Y
Teniendo en cuenta que las cantidades repartidas a cada mercado son positivas entonces
se tiene:
10 X+Y 0
8 X 0
8 Y 0
X+Y 1 0 X 0 Y 0
Las cuales representan las restricciones del problema
Grficamente
El coste de transporte en cada en cada vrtice es
Vrtices valor del objetivo FA = (0; 1) 385
B = (0; 8) 350
C= (2; 8) 320
D = (8; 2) 260 menor costo
E= (8; 0) 270
F= (1; 0) 375
La solucin ptima ocurre en el vrticeD= (8; 2) lo que indica que se deben transportar
del almacnA: 8 Tn al mercado 1, 2 Tn al mercado 2 y al mercado 3 nada. As mismo del
almacnB, al mercado 1 nada, al mercado 2, 6 Tn y al mercado 3 9 Tn. De esta manera
el costo mnimo es de S/.260.
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9. La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construccin de 100 casas. Elcontrato la obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen
el mismo costo, pero para Constructora Casas, stas tienen un margen de utilidad
diferente, as las casas tipo campo arrojan S/.5 100 y las de tipo rancho S/.5 000.El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el
contrato. Otra informacin relevante se resume en la siguiente tabla:
Recurso por tipo de cada Disponibilidad
de horasCampo Rancho
200 100 12 000 Carpintero
50 120 13 000 Albail
Formule el problema de programacin lineal. Encuentre la solucin ptima.
10. Dos mataderos,PyQ, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmenteen tres ciudades,R, S yT: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero P
produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes
de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero a cada ciudad, son los
reflejados en la siguiente tabla:
R S T
P 1 3 1
Q 2 1 1
determine cul es la distribucin de transporte que supone un coste mnimo.