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ALGEBRA LINEAL
Módulo: 2 Unidad: 2 Semana: 2
Lic. José M. DE LA CRUZ UCAÑAN
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CONTENIDOS TEMÁTICOS
1. MATRICES y SISTEMAS DE
ECUACIONES
• El Método de Gauss
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¿Qué sistema es más fácil de resolver?
423
24654
18642
zyx
zyx
zyx
300
420
10
zyx
zyx
zyx
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Operaciones elementales sobre
renglones
Intercambio de dos renglones de una matriz
R1 x R2
305
124
201
305
4 -2 1
1 0 -2
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Operaciones elementales sobre
renglones
3R2
305
124
201
305
201
Multiplicación de un renglón de una matriz por un
escalar diferente de cero
3*4 = 12
12 -6 3
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Operaciones elementales sobre
renglones
-4 (1) +
305
124
201
Suma de un múltiplo de un renglón de una matriz a
un renglón diferente de esa matriz
– 4R1 + R2
305
201
= 0 (4)
-2 9 0
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El método de Gauss para resolver un
Sistema de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 1:
1062
613
462
zyx
yzx
zyx
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El método de Gauss para resolver un
Sistema de Ecuaciones Lineales
1. Arregle las ecuaciones con los términos variables en
el mismo orden a la izquierda del signo igual y las
constantes a la derecha
2. Escriba la matriz aumentada del sistema.
1062
613
642
zyx
zyx
zyx
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10
6
6
162
1311
421
2
0
6
100
310
421
3. Use operaciones sobre renglones para
transformar la matriz aumentada:
El método de Gauss para resolver un
Sistema de Ecuaciones Lineales
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Se obtiene:
x – 2y + 4z = 6
0x + y + 3z = 0
0x + 0y + z = 2
La solución del sistema es: )2;6;14(:CS
El método de Gauss para resolver un
Sistema de Ecuaciones Lineales
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Ejemplo 2:
Use el método de Gauss para resolver el siguiente sistema:
Solución gráfica
72
863
442
yx
yx
yx
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
2x + 4y = 4
3x + 6y = 8
2x + y = 7
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Ejemplo 3:
Use el método de Gauss para resolver el siguiente
sistema:
05105
63
02
zyx
zyx
zyx
Cada vez que obtengamos un renglón sólo con ceros la
solución es paramétrica, es decir:
tttt
SC ,;7
64;
7
12..
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Resolver:
12
32
642
zyx
zy
zyx
Cada vez que obtengamos un renglón cuyos elementos
son todos ceros excepto el último, entonces el sistema es
inconsistente y no tiene solución.
3
42
733
zyx
zyx
zyx
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Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de estos muebles, se necesitó unidades de madera, plástico y aluminio, tal como se indica en la siguiente tabla:
Madera (Und.)
Plástico (Und.)
Aluminio (Und.)
Silla 1 1 2
Mecedora 1 1 3
Sofá 1 2 5
La compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1.500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó?
Ejercicio 4:
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x: nº de sillas
y: nº de mecedoras
z: nº de sofás
1500532
6002
400
zyx
zyx
zyx
Solución:
Variables:
Planteamiento: Respuesta:
x: 100 de sillas
y: 100 de mecedoras
z: 200 de sofás
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Regla de CRAMER
Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n
incógnitas como sigue:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
. . . . .
. . . . .
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
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Considere las siguientes notaciones:
D: matriz de coeficientes del SEL
Dj: matriz obtenida reemplazando
j-ésima columna de D por la
columna de constantes
Si , entonces el sistema tiene una única
solución
0|| D
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...||
|| 22
D
Dx
||
|| 11
D
Dx
||
||
D
Dnnx
La solución del sistema está dada por:
Ejemplos: Use Cramer para resolver:
2x - 3y = - 4
5x + 7y = 1
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Ejemplo: Encontrar el valor de “y” utilizando
la regla de Cramer
x - 2y + 4z = 6
x + y + 13z = 6
-2x + 6y - z = -10
La regla de Cramer nos permite resolver para
una incógnita sin tener que resolver para las
otras.
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814
312
201
z
y
x
30
10
7
Consideremos el
siguiente sistema de
ecuaciones lineales:
Se puede representar
matricialmente por: =
¿Cómo resolvemos matricialmente?
A X B
x + 2z = 7
2x – y + 3z = 10
4x + y + 8z = 30
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Ecuaciones matriciales
AX = B
A: matriz de coeficientes
X: matriz de variables
B: matriz de constantes
Si A-1 existe, entonces X = A-1 B
A-1(AX) = A-1B
(A-1A)X = A-1B
IX = A-1B
Multiplique ambos lados por A-1
X = A-1B
Propiedad asociativa
Inversa
Matriz de Identidad
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30
10
7
116
104
2211
2
2
3
814
312
201
z
y
x
30
10
7
=
Del ejemplo anterior
z
y
x
BAX 1
BAX
2;2;3:CS
![Page 23: Semana2_Sistema de Ecuaciones Lineales-Metodo de Gauss](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042522/563dbaa4550346aa9aa71de7/html5/thumbnails/23.jpg)
Despeje X de la siguiente ecuación matricial XA = B, teniendo
A y B inversa
¿Sería igual el proceso para AX = B? , teniendo A y B inversa.
• Despeje X de la ecuación N = X – MX ,
teniendo M y N inversa
• Dada la ecuación X=AX+D , despejar X,
teniendo A y D inversa
Ejercicios:
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Ejemplo:
Resolver los sistemas:
2. 3x – 4y – 5z = 6
7x + y – 4z = –7
x + 2y + 2z = 0
x -2z = 1
4x - 2y + z = 2
x + 2y -10z = -1
1.
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GRACIAS