Problemas
Julio Yarasca
CEPRE-UNI
December 16, 2015
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 1 / 24
Ejemplo
Calcule el determinante:
|A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20
∣∣∣∣∣∣∣∣
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 2 / 24
Tenemos
|A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20
∣∣∣∣∣∣∣∣f2 − f1f3 − f1f4 − f1
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 10 1 2 30 2 5 90 3 9 19
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣1 2 32 5 93 9 19
∣∣∣∣∣∣c3 − (c1 + c2)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 02 5 23 9 7
∣∣∣∣∣∣c2 − (2c1)
=
∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 23 3 7
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 1 23 7
∣∣∣∣ = 1
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 3 / 24
Ejemplo
Calcule el siguiente determinante
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣2016 2015 2015 20152015 2016 2015 20152015 2015 2016 20152015 2015 2015 2016
∣∣∣∣∣∣∣∣
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 4 / 24
Sea λ = 2015, tenemos
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣λ+ 1 λ λ λλ λ+ 1 λ λλ λ λ+ 1 λλ λ λ λ + 1
∣∣∣∣∣∣∣∣f1 − f4f2 − f4f3 − f4
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −10 1 0 −10 0 1 −1λ λ λ λ+ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣c4 + c1 + c2 + c3
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 00 1 0 00 0 1 0λ λ λ 4λ+ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 0λ λ 4λ+ 1
∣∣∣∣∣∣= (4λ+ 1) = 8061
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 5 / 24
Ejemplo
Determine el valor de la traza de la inversa de la matriz
A =
1 2 31 1 20 1 2
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 6 / 24
Tenemos 1 2 3 1 0 01 1 2 0 1 00 1 2 0 0 1
f2 − f3←→
1 2 3 1 0 01 0 0 0 1 −10 1 2 0 0 1
f1 − 2f3←→
0 0 −1 1 −1 11 0 0 0 1 −10 1 2 0 0 1
f3 + 2f1←→
0 0 −1 1 −1 −11 0 0 0 1 −10 1 0 2 −2 −1
f1 × f2f3 × f2←→
1 0 0 0 1 −10 1 0 2 −2 −10 0 1 −1 1 1
Por lo tanto A−1 =
0 1 −12 −2 −1−1 1 1
, por lo tanto la traza es -1.
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 7 / 24
Ejemplo
Resuelva el sistemax − 2y + 3z = 22x − 3y + z = 13x − y + 2z = 9
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 8 / 24
Tenemos A =
1 −2 32 −3 13 −1 2
y b =
219
, entones |A| = 18 , aplicando la
regla de Cramer tenemos
x =
∣∣∣∣∣∣2 −2 31 −3 19 −1 2
∣∣∣∣∣∣|A|
=54
18= 3
y =
∣∣∣∣∣∣1 2 32 1 13 9 2
∣∣∣∣∣∣|A|
=36
18= 2
z =
∣∣∣∣∣∣1 −2 22 −3 13 −1 9
∣∣∣∣∣∣|A|
=18
18= 1
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 9 / 24
Ejemplo
Determine el valor de a tales que A y B no admitan inversa:
A =
1 3 −12 a 01 −2 1
B =
1 1 1a 1 0−1 3 a− 1
Solución:
1 Calculemos el determinante de A,
|A| = 1 ·∣∣∣∣ a 0−2 1
∣∣∣∣− 2 ·∣∣∣∣ 3 −1−2 1
∣∣∣∣+ 1 ·∣∣∣∣ 3 −1a 0
∣∣∣∣ = 2a− 2
Entonces para que no exista inversa tenemos |A| = 0 entonces para a = 1tenemos que no existe inversa.
2 Calculemos el determinante de B,
|B| = 1 ·∣∣∣∣ 1 03 a− 1
∣∣∣∣− a ·∣∣∣∣ 1 13 a− 1
∣∣∣∣+ (−1) ·∣∣∣∣ 1 11 0
∣∣∣∣ = 5a− a2
Entonces para que no exista inversa tenemos |B| = 5a− a2 entonces paraa = 5 o a = 0 tenemos que no existe inversa.
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 10 / 24
Ejemplo
Determine el valor de n para que el sistema sea consistente.
x + y − z = 1y + (n + 2)z = 1
(n + 1)y + 4z = 1
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 11 / 24
Solución:La matriz aumentada es 1 1 −1 1
0 1 n + 2 1
0 n + 1 4 1
f3 − (n + 1)f2←→
1 1 −1 1
0 1 n + 2 1
0 0 4− (n + 2)(n + 1) 1− (n + 1)
←→
1 1 −1 1
0 1 n + 2 1
0 0 −(n − 2)(n + 1) 2− n
1 Si n = 2 el sistema es consistente.
2 Si n = −1 es sistema es inconsistente.
3 Si n 6= 2 y n 6= −1 tenemos que el sistema es consistente.
Por lo tanto para n 6= −1 el sistema es consistente.
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 12 / 24
Ejemplo
Determine los valores de m para que el sistema
(2m − 1)x −my + (m + 1)z = m − 1(m − 2)x + (m − 1)y + (m − 2)z = m
(2m − 1)x + (m − 1)y + (2m − 1)z = m
1 Tenga solución única.
2 Sea consistente.
3 Sea inconsistente.
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 13 / 24
|A| =
∣∣∣∣∣∣2m + 1 −m m + 1
m − 2 m − 1 m − 2
2m − 1 m − 1 2m − 1
∣∣∣∣∣∣ c1 − c3=
∣∣∣∣∣∣m −m m + 1
0 m − 1 m − 2
0 m − 1 2m − 1
∣∣∣∣∣∣= m
∣∣∣∣ m − 1 m − 2
m − 1 2m − 1
∣∣∣∣ = m(m + 1)(m − 1)
Tenemos que existe solución única si m 6= 0, m 6= 1, m 6= −1, analicemos estos casos.
1 Si m = 0, la matriz aumentada es
1 0 1 −1−2 −1 −2 0
−1 −1 −1 0
aplicando operaciones �las nos
queda
1 0 1 −10 −1 0 −20 0 0 1
por lo tanto el sistema es inconsistente.
2 Si m = 1, la matriz aumentada es
3 −1 2 0
−1 0 −1 1
1 0 1 1
aplicando operaciones �las nos queda 1 0 1 1
0 −1 −1 3
0 0 0 2
por lo tanto el sistema es inconsistente.
3 Si m = 1, la matriz aumentada es
−1 1 0 −2−3 −2 −3 −1−3 −2 −3 −1
aplicando operaciones �las nos
queda
−1 1 0 −20 −5 −3 5
0 0 0 0
por lo tanto el sistema es consistente.
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 14 / 24
Ejercicio 1
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Sea A ∈ Rn×n tal que AtA = 0 entonces A = 0.
II. Sea A ∈ Rn×n tal que tr(AtA) = 0 entonces A = 0.
III. Sea A ∈ Rn×n tal que AB = BA para todo B ∈ Rn×n entonces A = λIn paraalgún λ ∈ R.
a) VFV b) VFF c) VVV d) FVV e) FVF
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 15 / 24
Ejercicio 2
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Una matriz triangular es invertible si y solo si todos los elementos de sudiagonal son distintos de cero.
II. Sea A ∈ Rn×n tal que Ap+1 = 0, donde p ≥ 1 entonces I + Ar y I − Ar soninvertibles para r ∈ {1, 2, 3 · · · , p}.
III. Existen dos matrices A,B ∈ Rn×n tal que AB = 2In + AB.
a) VFV b) VFF c) VVF d) FVV e) FVF
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 16 / 24
Ejercicio 3
Sea A ∈ R2×2, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. det(A + I ) = det(A) + tr(A) + 1
II. det(A + λI ) = det(A) + λtr(A) + λ2
III. det(A2 − I ) = (det(A) + 1)2 − (tr(A))2
a) VFV b) VFF c) VVF d) FVV e) VVV
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 17 / 24
Ejercicio 4
Sea A,B ∈ Rn×n invertible, indique el valor de verdad de las siguientesproposiciones:
I. adj(A−1) = [adj(A)]−1
II. adj(AB) = adj(B)adj(A)
III. adj(At) = [adj(A)]t
a) VFV b) VFF c) VVF d) FVV e) VVV
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 18 / 24
Ejercicio 5
Cálcule el determinante de la matrizx a b c dx x a b cx x x a bx x x x ax x x x x
a) x(x − 4)4 b) x(x − 2)4 c) x4(x − 2) d) x(x − 1)4 e) x2(x − 4)3
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 19 / 24
Ejercicio 6
Sean A;B y C matrices de orden cinco. Indique el valor de verdad de lassiguientes a�rmaciones:
I. Si AC = B ∧ det(B) 6= 0, entonces C = A−1B.
II. ∀λ ∈ R\{0} : det(λ(A− At)) = 0 :.
III. Si B es invertible ∧ C = B−1AB, entonces |I − C |+ |A− I | = 0.
a) FFF b) VFV c) FVV d) VFF e) VVV
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 20 / 24
Ejercicio 7
Si a ∈ R−, determine el máximo valor de la traza de la inversa de la matriz 1 −a 00 a 1a −a2 1
a) 0 b) −1 c) −2 d) 2, 5 e) 1, 5
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 21 / 24
Ejercicio 8
Calcule el valor de∣∣∣∣∣∣∣∣2a −a 1 0
a + b − 2 1 −b −aa− 5 2 1 −a1− b b −1 −b
∣∣∣∣∣∣∣∣÷∣∣∣∣∣∣a −b 1a 1 2b −1 b
∣∣∣∣∣∣a) −a b) b c) a d) −1 e) 1
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 22 / 24
UNI-2012-I
Si ∣∣∣∣∣∣c 2c c5b a 3b
b + 5c b + d b + 3c
∣∣∣∣∣∣ = −4
Halle ∣∣∣∣∣∣c 0 ca b 0d c b
∣∣∣∣∣∣donde a, b, c , d ∈ R+ y b ∈ R−
a) -4 b) -2 c) 2 d) 4 e) 6
Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 23 / 24