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PROBABILIDADES
CALCULO COMBINATORIO
Se desarrolla algunos métodos para determinar sin enumeración directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto.
PRINCIPIOS BÁSICOS DEL PROCESO DE CONTAR PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.- TEOREMA.- Una 1ª decisión se puede tomar de m
manera Una 2ª decisión es tomada de n maneras Entonces el número de maneras de tomar
ambas decisiones es igual a m x n
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Ejemplo.- Supongamos que cuatro universidades de La Paz desean contratar un empleado para cada de las 3 áreas.
Biblioteca Mantenimiento Personal
Solución: Tenemos 2 conjuntos Universidades (cuatro) Empleado (tres)
Hay 3 empleos para cada una de las cuatro universidades. m * n = 4 3 = 12 posibles pares de universidad y empleo. Luego hay 12
oportunidades disponibles de empleo
PRINCIPIOS DE ADICIÓN.-
TEOREMA.- Si dos decisiones son mutuamente excluyentes y la primera se puede tomar de m maneras y las segunda de n maneras, entonces una o la otra se puede tomar de n + m maneras.
PRINCIPIOS DE ADICIÓN
Ejemplo.- Una persona puede viajar de A a B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 5 líneas aéreas, 6 líneas terrestres. ¿De cuántas formas puede hacer el viaje?
n1 + n2 = 5 + 6 = 11 formas posibles
PERMUTACIONES SIMPLES.-
TEOREMA.- El número de permutaciones distintas que pueden formarse con n objetos se obtiene mediante la fórmula:
Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) ...............3 * 2 * 1
PERMUTACIONES SIMPLES.-
Se proyecta presentar 6 conferencistas en una reunión de padres de familia y profesores de un colegio. ¿El moderador del programa desea saber de cuántas maneras diferentes se pueden situar en el escenario las 6 conferencias en fila?
Solución: P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
TEOREMA.- Sean k1, k2, ........km números enteros positivos tal que k1 + k2 + ...... + km = n
El número de maneras en que un conjunto de n elementos puede ser dividido en m partes ordenados (particionado en m subconjuntos) de las cuales el primero contiene k1 elementos, el segundo k2 elementos, etc., se obtiene mediante la siguiente fórmula:
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
k1, k2, ........km
Pn = n
k1! * k2! * ........ * km!
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
Ejemplo: ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando las letras MEMMER?
Solución: n = 6 letras k1 = n1 = 3 letras M k2 = n2 = 2 letras E k3 = n3 = 1 letra R 3 * 2 * 1 P6 = 6! =
60 3! 2! 1! 60 permutaciones distintas de las Letras
COMBINACIONES.-
TEOREMA.- El número de combinaciones de n objetos tomando de k veces se obtiene mediante la fórmula siguiente.
n C = n! k k! (n – k!)
COMBINACIONES
Ejemplo: El numero de combinaciones de las letras a,b,c tomadas de dos en dos es:
3 C = 3! = 1*2*3 = 3 2 2! 1! 2*1
conceptos
EXPERIMENTO.- Es un proceso mediante el cual se obtiene un resultado de una observación. Un experimento puede ser determinístico y no determinístico.
EXPERIMENTO DETERMINISTICO.- Un experimento es determinístico cuando el resultado de la observación es determinada en forma precisa por las condiciones bajo las cuales se realiza dicho experimento.
conceptos
EXPERIMENTO ALEATORIO O NO DETERMINÍSTICO.- Un experimento es aleatorio cuando los resultados de la observación no se puede predecir con exactitud antes de realizar el experimento.
Ejemplo: El número de estudiantes en la carrera de Ingeniería
de Sistemas (Determinístico) Lanzar un dado y observar el número que aparece
en la cara superior (Aleatorio).
conceptos
ESPACIO MUESTRAL.- Es el conjunto de todos los resultados de un experimento; en términos de conjuntos, es un conjunto del espacio muestral (S).
En particular S y (conjunto vacío) son eventos. Al espacio muestral S se le llama evento seguro y a evento imposible.
Conceptos
Ejemplo: Sea el experimento: lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. El espacio muestral asociado a este experimento es:
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Para este experimento podemos definir los siguientes
eventos:
A : Observar un número impar. Entonces A = 1, 3, 5
B : Observar un número múltiplo de 2 B = 2, 4, 6
C : Observar un número menor que 4 C = 1, 2, 3
OPERACIONES CON EVENTOS
Usando las operaciones con conjuntos, podemos formar nuevos eventos.
Estos eventos serán nuevamente subconjuntos del mismo espacio muestral de los eventos dados.
UNION DE EVENTOS.-
A U B
A B
UNION DE EVENTOS
Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:
A : Observar un número impar B : Observar un número mayor o igual a 4 Listar los elementos del evento A U B Solución: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A = 1, 3, 5 B = 4, 5, 6 A U B = 1, 3, 4, 5, 6
INTERSECCIÓN DE EVENTOS
A ∩ B
A B
INTERSECCIÓN DE EVENTOS
Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:
A : Observar un número mayor que 3 B : Observar un número par Listar los elementos del evento A ∩ B
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A = 4, 5, 6 B = 2, 4, 6 A ∩ B = 4, 6
DIFERENCIA DE EVENTOS
A – B
A B
DIFERENCIA DE EVENTOS
Un experimento consiste en lanzar tres monedas y observar el resultado. Sean los eventos:
A : Observar por lo menos una vez cara B : Observar por lo menos dos veces
cara
Listar los elementos del evento A – B S = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss A = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc B = ccc, ccs, csc, scc A – B = css, scs, ssc
COMPLEMENTO DE UN EVENTO
A
A1
COMPLEMENTO DE UN EVENTO
Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:
A : Observar los números pares
Listar los elementos del evento A1 = S – A S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A = 2, 4, 6 A1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 - 2, 4, 6 = 1, 3, 5
Antecedentes
En el siglo XVIII apareció junto con los juegos de azar:
Arrojar dados Girar ruletas Barajar cartas
Definición. Es el estudio de experimentos aleatorios o
libres de determinación.
Existen: Probabilidad a Priori (clásica) Probabilidad a Posteriori (de frecuencia)
Probabilidad a “priori”
Si un experimento aleatorio puede dar lugar a h resultados mutuamente excluyentes e igualmente posibles de un total de n posibilidades. La probabilidad de que ocurra el experimento (E) viene dada por el cociente de los h resultados entre el total de las posibilidades.
p(E) = h/n
Probabilidad a “priori”
Ejemplo: Se arroja un dado, cual es la probabilidad de que muestre un cuatro.
n=6 y h=1 P(E)= h/n P(E)= 1/6
* ** *******
*****
******
Probabilidad a “posteriori”
Cuando el experiemento de repite varias veces (n veces), el experimento tiene una frecuencia.
Ejemplo: Si en 1000 tiradas de una moneda salen 529
caras, la frecuencia es 529/1000. Si en otros 1000 salen 493, entonces la frecuencia total es (529+493)/2000 = 0.5
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida:
Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Donde: P (B/A) es la probabilidad de que se de el
suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.
P (B ^ A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B
P (A) es la probabilidad a priori del suceso A
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.
Ejemplo
P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A).
P (B ^ A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.
P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.
Por lo tanto: P (B ^A) = 1/6 P (A) = 1/2 P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3