Para mis alumnos de 4ordm B
bull En esta presentacioacuten encontraraacutes
Descripcioacuten del concepto
de semejanza y
ejemplos
Definicioacuten y ejemplos del concepto de semejanza
Criterios de semejanza
de triaacutengulos y ejemplos
Teorema de PITAacuteGORAS
Todos estos elementos son la base de los contenidos
relacionados con la unidad
de semejanza
Algunos ejercicios sencillos
Teorema de
THALES
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son
proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son
proporcionales
TEOREMA DE THALES
Toda recta paralela a un lado de un triaacutengulo que corta a los otros dos lados determina un triaacutengulo semejante al grande
Los triaacutengulos ABC y ABC son semejantes
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
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- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
-
Semejanza
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son
proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son
proporcionales
TEOREMA DE THALES
Toda recta paralela a un lado de un triaacutengulo que corta a los otros dos lados determina un triaacutengulo semejante al grande
Los triaacutengulos ABC y ABC son semejantes
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
-
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras semejantes
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son
proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son
proporcionales
TEOREMA DE THALES
Toda recta paralela a un lado de un triaacutengulo que corta a los otros dos lados determina un triaacutengulo semejante al grande
Los triaacutengulos ABC y ABC son semejantes
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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-
No son figuras semejantes
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son
proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son
proporcionales
TEOREMA DE THALES
Toda recta paralela a un lado de un triaacutengulo que corta a los otros dos lados determina un triaacutengulo semejante al grande
Los triaacutengulos ABC y ABC son semejantes
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son
proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los
dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son
proporcionales
TEOREMA DE THALES
Toda recta paralela a un lado de un triaacutengulo que corta a los otros dos lados determina un triaacutengulo semejante al grande
Los triaacutengulos ABC y ABC son semejantes
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son
proporcionales
TEOREMA DE THALES
Toda recta paralela a un lado de un triaacutengulo que corta a los otros dos lados determina un triaacutengulo semejante al grande
Los triaacutengulos ABC y ABC son semejantes
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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TEOREMA DE THALES
Toda recta paralela a un lado de un triaacutengulo que corta a los otros dos lados determina un triaacutengulo semejante al grande
Los triaacutengulos ABC y ABC son semejantes
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterioAA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute
acute de lo anterior se deduce que
acuteEntonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
- Slide 1
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-
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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OTRO EJEMPLO
AA- Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos iguales
A B
C
A B
C
bull Por el Teorema de Tales ABC y ABC son semejantesbull Por otra parte los triaacutengulos ABC y ABC son iguales por
tener los aacutengulos igualesbull Por tanto ABC = ABC es semejante al triaacutengulo ABC
A = Alsquo y B = Blsquo C = C
A B
C
B
C
II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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II Segundo criterioLLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces ABC semejante con AacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
=
Razoacuten de
semejanza12
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer criterioLAL
y = acute
acute
Entonces ABC semejante aAacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
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D
E
F
9
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Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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Teorema de PITAacuteGORASbull En un triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
bull Si los lados de un triaacutengulo verifican la relacioacuten de Pitaacutegoras el triaacutengulo es rectaacutengulo
32 + 42 = 52
h2= c12 + c2
2
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
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78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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Algunas aplicaciones de estos conceptos
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
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5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
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Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
B B
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Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5 =
31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
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Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una
de las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Son ambos rectaacutengulos
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Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos
solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
Para terminar otros resultadosque derivan del Tordf de
PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
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PITAacuteGORAS y la SEMEJANZA de triaacutengulos
Teorema del CatetoCateto c Cateto b
c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
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c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na
b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccioacuten del cateto sobre la misma
Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
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Teorema de la Altura (h)
Los triaacutengulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que m h b
h n c h2 = mn
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