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Operaciones de
enteros
Prof. Yaritza González
Adaptado por: Yuitza T. Humarán
Departamento de Matemáticas
UPRA
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Suma de enteros: Reglas
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Suma de dos enteros negativos o
dos enteros positivos
El total es la suma de los valores absolutos
de los sumandos, asignándole el signo de
los sumandos.
Ejemplo:
– 4 + (– 7) = – 11
Los valores absolutos son: | – 4 | = 4 y | – 7 | = 7.
Se suman los valores absolutos, 4 + 7 = 11.
Como ambos sumandos son negativos el total es
negativo.
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Suma de opuestos
La suma de enteros opuestos es igual a
cero.
Ejemplos:
2 + ( 2) = 0
3 + 3 = 0
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Suma de un entero negativo y
uno positivo
El total es la resta natural de los valores absolutos de los sumandos, asignándole al total el signo del sumando con el valor absoluto mayor.
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Suma de un entero negativo y
uno positivo
Ejemplo:
– 8 + 2 = – 6
Los valores absolutos de los sumandos son: | – 8| = 8 y | 2 | =2.
La resta natural es 8 – 2 = 6.
El sumando con el valor absoluto mayor es –8, así que el total es negativo.
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Suma de un entero negativo y
uno positivo
Ejemplo:
12 + (–7) = 5
Los valores absolutos de los sumandos son: | 12 | = 12 y | –7 | = 7.
La resta natural es 12 – 7 = 5.
El sumando con el valor absoluto mayor es 12, así que el total es positivo.
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Ejercicios
Sume los siguientes
a. 9 + 6 =
b. 62 +( 25) =
c. 205 +112 =
d. 26 + (1) =
e. 13 + 0 =
f. 17 + (17) =
g. 250 + 13 =
3
87
317
25
13
0
237
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Resta de enteros: Regla
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Resta
Sea a y b dos números reales, entonces
a – b = a + (b)
Estos es, restar es equivalente a sumar el
opuesto del sustraendo.
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Ejemplo
Simplifica la expresión numérica.
a. 5 – 3 =
b. 14 – 24 =
5 + (3) = 2
14 + (24) = 10
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9
9
70
17
15
34
64
Ejercicios
Simplifique las siguientes expresiones
numéricas.
a. 25 – 16 =
b. 16 – 25 =
c. 180 – 250 =
d. 14 – 3 =
e. 5 – 10 =
f. 17 17 =
g. 42 – ( 22) =
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Multiplicación: Las reglas
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Ejemplos:
5 × 4 = 3 × ( 4) =
6 × 1 = 24 × 4 =
20
6
12
96
Multiplicandos con signos
iguales
Se multiplican los valores absolutos de los
multiplicandos y el producto es siempre
positivo.
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Multiplicandos con signos
diferentes
Ejemplos:
5 × 4 =
13 × (1) =
3 × 6 =
32 × (3) =
20 18
13 96
Se multiplican los valores absolutos de los
multiplicandos y el producto es siempre
negativo.
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Nota:
En multiplicación, no importa que signo
tiene el de mayor magnitud (valor
absoluto).
Si dos números tienen el mismo signo su
producto siempre es positivo.
Si dos números tienen signos opuestos
su producto siempre es negativo.
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Simplifique las siguientes expresiones numéricas.
a. 30 × (2) =
b. 16 × 12 =
c. 201 × 4 =
d. 14 × (14) =
e. 0 (5) =
f. 10(10) =
g. 10 × ( 10) =
h. 22 × 12 =
60
192
804
196
0
100
100
264
Ejercicio
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Signos iguales Signos opuestos
Suma
Multiplicación
Ejercicio Complete la tabla con las reglas de signo para
suma y multiplicación de dos números y escriba
un ejemplo de cada caso.
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Simplifique las siguientes expresiones numéricas.
a. 83 + (24) =
b. 18 ×(2) =
c. 120 × (14) =
d. 34 – 14 =
e. 0 – 52 =
f. 14 – (18) =
g. 10 × (132) =
h. 91 × 20 =
107
36
1680
48
52
4
1320
1820
Ejercicio
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División
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División
Sea a y b números reales, entonces
Estos es, dividir es equivalente a
multiplicar por el recíproco del divisor.
Es por esto que la división también
obedece las mismas reglas de la
multiplicación.
a b ab
1
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División 𝐝𝐢𝐯𝐢𝐝𝐞𝐧𝐝𝐨 ÷ 𝐝𝐢𝐯𝐢𝐬𝐨𝐫 = 𝐜𝐨𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞
Si el dividendo y el divisor tienen los mismos signos, se divide con los valores absolutos de éstos y el cociente es siempre positivo.
Si el dividendo y el divisor tienen signos diferentes, se divide con los valores absolutos de éstos y el cociente es siempre negativo.
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Ejemplos
Simplifique las siguientes expresiones
numéricas.
a.
b.
c.
d. 24/(8)
4
8
3
27
216
= 2
= 9
= 8
= 3
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Orden de operaciones
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Orden de operaciones:
Potencias
Utilizamos la notación exponencial con
exponentes naturales para representar
multiplicaciones repetidas.
Por ejemplo, la multiplicación
5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5
se puede representar 56, donde el 5 corresponde
al número que se está multiplicando, la base y el
6 a las veces que se multiplica, el exponente.
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Notación exponencial
En general, para cualquier número real a y
cualquier natural n,
a1 = a
a2 = a·a
a3 = a·a·a
an =
En este caso decimos que an es la n-sima
potencia de a o a elevada a la n.
veces
...
n
aaaaaa a
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Ejercicio
Determine la base y el exponente
Base exponente Simplificación
84
(3 ) 2
32
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Ejercicio
Evalúe.
1. 81
2. 43
3. (–3)4
4. –34
= 8
= 4· 4· 4 = 64
= (–3) (–3) (–3) (–3) = 81
= – (3 ·3 ·3 ·3 ) = –81
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Orden de operaciones
En una expresión sin paréntesis y con
potencias, el orden es:
1. Multiplicaciones (divisiones).
Si están consecutivas se resuelven de izquierda
a derecha.
Si hay potencias, se evalúan primero.
2. Sumas (restas).
Si están consecutivas se resuelven de izquierda
a derecha.
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1ero Se evalúa la potencia
2ndo Multiplicación
3ero Suma
Ejemplo
Simplifique la expresión 2 + 5∙ 32 .
2 + 5 ∙ 32
= 2 + 5 ∙ 9
= 2 + 45
= 47
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1ero Potencia
2ndo Multiplicación
3ero Resta
Ejemplo
Simplifique la expresión 2 ∙ 6 4(2)3 .
2 ∙ 6 4(2)3
= 2 ∙ 6 4(8)
= 12 32
= 12 + 32
= 20
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Ejercicio
Simplifique las siguientes expresiones:
a. 3 – 5 + 2 – 4
b. (7)(3)(4)
c. 3(2)4
d. 43 – 6(8)
e. 8(4) 5(3)3
= – 2 + 2 – 4 = –4
= 21(4) = –84
= 48 = 3(16)
= 64 – 6(8) = 64 – 48 = 16
= 8(4) 5(27) = 32 135 = -103
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Orden de operaciones:
Símbolos de agrupamiento
Si la expresión tiene símbolos de
agrupación, por ejemplo:
( ), { }, [ ], | |
se simplifica primero la expresión
agrupada siguiendo el orden de las
operaciones.
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Ejemplos
Simplifique la expresión numérica.
1. – 2 – (3 – 5)
2. – 4(3 – 1) – 5
3. | 5 | – 2 | – 8| = 13
= 0
= 11
= – 2 – (– 2 ) = – 2 + 2
= – 4( 2 ) – 5 = – 8 – 5
= – 8 + (– 5)
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Orden de operaciones
Si los símbolos de agrupación están anidados (uno dentro de otro), se simplifica primero el que está adentro.
Ejemplo:
5 – [ 8 – (7 – 3)]
= 5 – (8 – 4)
= 5 – 4
= 1
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Ejercicios
Simplifique las siguientes expresiones
numéricas.
a. 6[4 + 5(2)]
b. 3(8 – 14) +1
c. 2 [3(2) – 10] – 3(4 5) + 12
d. 8[ 4 – 2 (5 – 8(2)) ]
= 6 (–4 +10) = 6 (6) = 36
= –3 (–6) +1 = 18 +1 =19
= 2 (6 – 10) – 3(–1)+12 = 2(–4) – 3(–1)+12
= – 8 – (–3) +12 = –8 + 3 +12 = 7
= 8[4 – 2(5 – (–16))]
= 8[4 – 2(21)] = 8(4 – 42) = 8(–38) = –304
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Orden de operaciones:
Expresión racional
Si la expresión es racional, se simplifica el
numerador y el denominador de la
expresión de forma independiente y
despúes se dividen los resultados.
Ejemplo:
24
82
214
242
24
10
2
10
5
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Ejercicios
Simplifique las siguientes expresiones numéricas.
a. 5(3) + 4/2 – 2(6) – 28/4 =
b. 5(3 + 5) 2 – 2(6 – 28/4) =
c. 13(2) – 5(4) =
d. 8(2) – 2(–5) + 1(–3) =
e. 3 | –8 | + 14 (2) =
f.
4 2 4 8
5 9 4 3
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Solución
Simplifique las siguientes expresiones
numéricas. a. 5(3) + 4/2 – 2(6) – 28/4
b. 5(3 + 5) 2 – 2(6 – 28/4)
c. 13(2) – 5(4)
d. 8(2) – 2(–5) + 1(–3)
e. 3 | –8 | + 14 (2)
= 15 + 2 – 12 – 7 = 17 – 12 – 7
= 5 – 7 = –2
= 5 (8)2 – 2(6 – 7)
= 402 – 2(–1) = 20 – 2(–1) = 20 – (–2) = 20 + 2 = 22
= 26 – 20 = 6
= 16 – (– 10) + (–3) = 26 + (–3) = 23
= 3 (8) + 28 = 24 + 28 = 52
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f.
4 2 4 8
5 9 4 3
4 ( 8)
5 9
4 8
4
123
4
4 2( 4)
5 9(1)
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Reales
Las reglas de signos para las operaciones
aplican a todos los números reales.