NOTAS DEL CURSO DE ALGEBRA
PROFESOR: ING. LUIS CÉSAR VÁZQUEZ SEGOVIA.
TEMARIO:
NÚMEROS REALES
NÚMEROS COMPLEJOS C
POLINOMIOS
SISEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
NÚMEROS REALES (+, •)
1. IRRACIONALES Q’ 2. RACIONALES Q
3. ENTEROS Z
4. NATURALES N
NÚMEROS COMPLEJOS (+, •)
DIAGRAMA DE ARGAND
POLINOMIOS P (DIVISIÓN SINTETICA, +, • ).
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (METODO DE GAUSS
MODELADO)
MATRICES Y DETERMINANTES (ARREGLO RECTANGULAR DE
NÚMEROS, CALCULAR AREAS).
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS (NOMBRES DE OPERACIONES)
x²+1=0 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
“N” ECUACIONES
ALGEBRA ( +, • ) C (+, •) “N” INCOGNITAS
Z=a+bi
Q’ Q Z N POLINOMIOS
(P, +, •)
MATRICES Y
DETERMINANTES
METODO
DE GAUSS
MODELADO
TEMA I: NÚMEROS REALES
Contar: comparar contra un patrón de referencia
Numeral: símbolo con el que se representa un número (constructo mental, 1, 2, I,
II).
Números naturales: aquellos que nos sirve para contar
Postulado: es una verdad evidente que no necesita demostración.
Subconjunto impropio: Cuando se contienen todos los elementos del conjunto.
1,2,3,.....,N n
Adición en N
1) 1n n
2) ( )m n m n siempre y cuando m n este definido
Definición
El conjunto de los números naturales (N) tal que:
a) 1 є N
b) Para cada n Є N existe n* Є N, llamado el siguiente de n
c) Para cada n Є N se tiene n*, n* es diferente de uno.
d) Si m, n Є N y m* = n*, entonces m = n
e) Todo subconjunto S de los N que tenga propiedades:
1. 1 Є S
2. K Є S implica que k* Є S, entonces S es el mismo conjunto de los N
Ejemplo:
2 2 4
2 2 (2 1) 2 1
2 2 (2 1) (2 )
4 ((1 ) )
Diferencia
Orden en N
Gráfica
n < m
Números enteros ( )
Definición
Sea la ecuación n + x = m; con m y n Є N, su solución, es decir al número x que sumado
a n nos da como resultado m, lo llamaremos diferencia m-n.
n + x = m
x = m - n
Definición
Dados dos números naturales n y m, decimos que n es menor que m, lo que representamos
mediante n m , si existe x tal que:
n + x = m
n < m x <= m - n
, ,a m n donde m na
n x m
( )( )( ) 0
si m n si m nn m x m n postulado positivo
x m n negativos si x
Algoritmo de la división en
a rc
b b
0
a bc n
b
a dividendo
b divisor
r resultado
NÚMEROS RACIONALES
= {p a
p b ,donde ,a b Z y 0b }
El cociente de dos números enteros.
ORDEN EN
,p q
p < q
AXIOMAS DE ORDEN EN
1. .- Cancelación: , ,
,
p q p q
p c q c c
2. Tricotomía: ,p q
p q
p q
q p
Si p q p q c
Si 0c p c q c
*El sentido de la igualdad cambia si se multiplica por un número negativo.
3.-Transitividad: si a b y b c entonces a b c por lo tanto a c .
Teorema de densidad en los racionales
Entre cualquier par de números racionales existe otro número racional.
,x y , con x y , existe z tal que:
x z y
Demostración:
Sea , ,x y x y
Cancelación Transitividad
x x x y x y 2
x yx y
1 12 ( )( )2 2
x y x y x y y
2
x yx 1 12
2 2y x y
2
y xz x z y
2
y xy
Números irracionales Q
Q= ALGEBRAICAS
TRASCENDENTES
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1,3,5,7,9,...
{ 2 1,x n n Nx
}
21 3 4 2
21 3 5 9 3
21 3 5 7 16 4
21 3 5 7 9 25 5
21 3 5 7 9 ........2 ......n n
dada una proposición S = { n Nn
, p(n) verdadera}
1n
n k Hipótesis de verdad.
Para 1n k k Demostrar.
Ejemplo:
Determinar utilizando inducción matemática que 21 3 5 2 1 ,n n n es
verdadera, n :
Solución:
Para 1n
2(1) 1 1
2 1 1
1 1
Para 22n
21 3 2
4 4
Para n k
22 1 ........( )k k I Hipótesis verdadera.
Para 1n k k
21 3 5 ... 2( 1) 1 ( 1) ........( )k k II Demostrar
a la expresión (I) le sumamos el término siguiente para obtener (II)
21 3 5 ... 2 1k k
21 3 5 ...2 1 2 1 2 1k k k k Se factoriza y se compara con (II)
21 3 5 ... 2 1 ( 1) ........( )k k III y como (I) y (II) son iguales la proposición
p(n) es verdadera V n Є N.
Ejemplo:
Determinar por inducción matemática la validez de la siguiente proposición.
11 2 4 ... 2 2 1n n para 0n
Solución:
Para 0n
0 0 12 2 1
1 1 se cumple.
Para 1n
0 1 1 12 2 2 1
3 3 se cumple
Para n k
11 2 4 ... 2 2 1kk .............. (I) Hipótesis verdadera.
Para 1n k
11 2 4 ... 2 2 1kk ............ (II) Demostrar
a la expresión (I) le sumamos el término siguiente para obtener (III)
1 11 2 4 ... 2 2 1 2k k k
1 21 2 4 ... 2 2 1k k ............... (III)
Comparando (II) y (III), como son iguales se dice que la proposición en valida para
toda 0n .
Ejemplo:
Determinar por inducción matemática la validez de la siguiente proposición:
2n n es un número par para toda n N
Solución:
2n n par
Para 1n
21 1 2 es par
Para n k
2k k par .................... (I) Hipótesis verdadera
Para 1n k
2( 1) ( 1)k k par .......................... (II) Demostrar
2 2( 1) ( 1) 2 1 1k k k k k
2 2 2( ) 2 2 ( 1) ( 1) ( ) 2( 1)k k k k k k k k
hipótesis es par
verdadera demostrado
por lo tanto ( )p n es verdadera n .
Expresión de números racionales :
Cociente de un número entero:
1 1 5 1, , ,
4 3 2 25
Como expresión periódica:
.33333
.66666
4.1243567
15.00
Ejemplo:
Determinar la expresión como cociente de dos números enteros de los siguientes
números racionales:
.33333
4.124
n
p
100 33.33
10 3.33
90 30.00
n
n
n
1000,000 4,123756.756
1,000 4124.756756
999,000 4120632.000
p
p
p
30 10.9999
90 3n
4120632
999,000p
Igualdad en Q:
Conjunto de los números reales ( , , )
Adición
Definición
Sea a c
yb d
números racionales, se dice que a c
b d si y solo si ad bc
Sean , ,a b c
1.- Cerradura.- Aplicar una operación binaria y que el resultado dé un número del
mismo conjunto.
a b c R
2.- Asociatividad.- Lleva implícita la cerradura.
( ) ( )a b c a b c
3. Conmutatividad.-
a b b a
4.- Existencia de elemento idéntico:
a e a
0e a a
5.- Existencia de elementos inversos.
0b b 0b b b b
( ) 0b b
Multiplicación:
1.- Cerradura.- a b c
2.- Asociatividad.- ( ) ( )a b c a b c
3.- Conmutatividad.- a b b a
4.- Existencia de elemento idéntico.- a i a 1i 1a a
5.- Existencia de elementos inversos.- 1a a 1
aa
0a
Distributividad:
( ) ( ) ( )a b c a b a c
( ) ( ) ( )b c a b a c a
( ) ( )a b c b c a
( , , ) Son un campo ó cuerpo porque se cumplen todas las reglas en adición y
multiplicación y tiene distributividad.
Axioma de orden en
a < b
, ,a b c
1.- Cancelación si a b
a c b c
2.- Tricotomía ,
a b
a b a b
b a
3.- Producto
a b
i) 0c (positivo)
ac bc (se conserva)
ii) 0c (negativo)
ac bc (se invierte)
4.- Transitividad.- relaciona dos desigualdades
a b b c a b c a c
Desigualdades
7 5
3 2 5x
si 0 2 5x
si 2 14 56x
si 1 5 6x
x = # de playeras
y = ganancia
xx 7020040
xx 4070200
x30200
x30
200 66.6x Aproximadamente 7
Solución: vender 7 playeras ó más.
Ejemplo:
Determinar los valores de x tal que satisfaga la desigualdad.
a) 423x
24223x
2x
o
2
Intervalo solución ( -
b) –5< 4-3x < 1
2
1ª.- 5< 4-3x 1b.- 4-3x < 1
2 2
x3410 234 x
23x
x314 2x
3
3
14x
Intervalo solución: Intervalo solución:
( - ] (2/3 ,
Interpretación
2/3 14/3
Intervalo solución final:
( - ] n (2/3 , ]
Ejemplo:
51
2
x
x
Solución.-
1ª.- denominador positivo 2ª.- denominador negativo:
x+1>0 ; x> -1 (-1, x+1<0; x< -1 (- -1)
x+2<5(x+1) x+2>5(x+1)
x+2<5x+5 x+2>5x+5
2<4x+5 -3/4>x; (- , -3/4)
-3<4x
x> -3/4 ; (-3/4,
Solución primer caso: Solución final: Solución segundo caso:
(-3/4 , ) (- , -1) U (-3/4 , (- , -1)
Valor absoluto
a a
|x|= +
|-x|=+ -a 0 a
0,
0,
xx
xxx
Propiedades
Sea ,x y
1) 00 xx
2) yxxy
3) yxyx
4) 0; yy
xy
x
Explicación de la tercera propiedad:
yxyx
1.- si 3x , 4y
4343
437
77
2.- si 2x , 5y
521)5(2
527
77
Resolver la siguiente ecuación:
a) 642 x
6426 x
1er caso.- 2do caso.-
x426 - 642 x
x48 44x
2x 1x
b) 34147 x
Solución: Ø; es vacío porque siendo valor absoluto no hay resultado negativo.
Ejemplos:
Determinar los valores de x , que satisfacen la siguiente desigualdad:
a) 5.2x
5.25. x Gráficamente
1er.- 2do.-
5.2,,5.1
5.25.1
5.225.
xx
xx
1.5 2.5
Intervalo solución final: )5.2,5.1(5.2,,5.1
b) 41x
1er .- 2do.-
3535
414414
4141
xx
xx
xx
-5 3 -5 3
Intervalo solución: )3,5(
Solución: 7,7
c) |x|<7
–7<x<7 -7 7
d) |x|>7 solución: (- , -7) U ( 7 ,
-7>x>7
-7 7
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1.- Determinar si 252 nnn es valida n
Solución:
para 1n
2)1(51)21(
33 , cumple
para kn
252 kkk ..................... (I) Hipótesis verdadera
para 1kn
2)1(51)21( kkk
255)1)(3( kkk
35342 kkk ...................... (II) Demostrar
De (I)
25)2( kkk
a (I) le sumamos 5
355))(2( kkk
35522 kkk ........................ (III)
por lo tanto p(n) no es V n Є N
2.- Determinar utilizando inducción matemática la validez de la siguiente
proposición:
Nnn ;2
Solución:
para 1n
21 se cumple
para kn
2k ...................... (I) Hipótesis verdadera
para 1kn
21k ........................... (II) Demostrar
de (I)
2k (por transitividad) multiplicar por 2
222k
22k
Comparando con (II)
21k
221 kk
Resolviendo por desigualdad
kk 21 kkkk 21 k1
Por lo tanto p(n) es valida n .
3.- Demostrar que:
522 es divisible entre 3 ; Nn
Solución:
para 1n
522 954 si cumple
para kn
522 ............................ (I) Hipótesis verdadera
para 1kn
522 ........................ (II) Demostrar
de (II) crear un sumando con la hipótesis y sea evidente.
522 522 22
5422
5)31(22
53212 22
3252 22
hipótesis divisible entre 3 por lo tanto p(n) es valida Nn
TEMA II : NÚMEROS COMPLEJOS
022x
2x
012x
1x 1i
imaginarioi
1,,/ iybadondebiaC
bia
Parte Parte
Real Imaginaria
Ejemplos:
i331
i742
i33
i44
Diagrama de Argand
IIm
b •z=a+bi
(0,0i) a
Igualdad de números complejos:
Sean bia1 y dic2 se dice que 21 , si y solo si la parte del primero
es igual a la parte del segundo dbyca .
Ejemplo:
Sean i431 y bi32 , determinar el valor de b , para que 21
Solución:
33
44 bób
Operaciones
Adición en )(C
Sean bia1 y dic2 ; se define la suma de 21 como:
idbca )()(21
Ejemplo:
Sean; i431 y i232
i))2(4()33(21
i2621
Sustracción en )(C
Sean bia1 y dic2 ; se define la diferencia de 1 menos 2 como:
idbca )()(21
Ejemplo:
Sean i241 y i532
ii 71)52()34(21
Multiplicación en )(C
Sean bia1 y dic2 ; se define el producto de 21 como:
ibcadbdac )()(21
Ejemplo:
Sean i531 y i242
iii 2)5()4)(5()2)(3()43(21
10141221 i
i142221
),,(C
Sean bia1 , dic2 y eif3
C321 ,,
Propiedades
Adición )(
- Cerradura
C21
- Asociatividad
)()( 321321
- Conmutatividad
1221
- Existencia de elemento idéntico
11 1e
biaeebia )21(
por igualdad de C
01;1 eaea
02;2 ebeb
- Existencia de elementos inversos
i0011
11
Multiplicación (•)
- Cerradura. C21
- Asociatividad.- )()( 321321
- Conmutatividad.- 1221
- Existencia de elemento idéntico.- Z1• (I+I21)= Z1
- Existencia de elementos inversos.- 111
1
Distributividad
3121321
31211312132 )(
Conjugado de un número complejo
Se define el conjugado del número complejo bia como bia
Ejemplos:
Determinar el conjugado de los siguientes números complejos:
i241 i241
i732 i732
73 73
Propiedades:
1.1
a2.2 11
22
11.3 ba
111 ;.4
m222 ;.5
División en complejos C
idic
bia00; 2
2
1
idc
adbc
dc
bdac
2222
)()(
Potenciación en complejos C
Sea bia
))((2 biabia
*NO HAY ORDEN EN COMPLEJOS C
Forma binómica de un número complejo:
ónpotenciaci
división
ciónmultiplica
nsustracció
adición
bia
Forma Cis ó trigonométrica de un número complejo:
rCis
en grados
bia
r rCis
Forma binómica Forma cis
a+bi rCis
Ecuaciones de transformación:
22 bar
)arctan(a
b
Forma cis Forma binómica
rCis a+bi
Ecuaciones de transformación:
rsenb
cosra
Argumento principal de un número complejo:
o3600
Igualdad de números complejos en forma cis
Sean 111 cisr y 222 cisr , se dice que 21 si y solo si 21 rr ,
)360(21 n .
La adición y la sustracción solo se realizaran en forma binómica
Multiplicación en forma cis:
Sean 111 cisr y 222 cisr
)( 212121 cisrr
División:
)( 21
2
1
2
1 cisr
r
Potencia en forma cis:
Sea rCis )(2 rcisrcis
Forma exponencial o de Euler:
rercis
Ejemplos:
45331 cise
360222 cise
270773 cise
315884 cise
Igualdad de complejos en forma exponencial ó de Euler:
Sea er11 y er22
1 es igual a 2 si y solo si:
21 rr
k21
Logaritmo natural de un número complejo:
Sea C , el logaritmo natural de que representaremos con )(L , se define
como:
zesiwzL )(
Logaritmo principal:
0k
L(z)=L(r) + i
TEMA III: POLINOMIOS
x
3 2x 3
hbA
)6)(62( xxA
36182 2 xxA
Definición:
Un polinomio en x es una expresión de la forma:
nn xaxaxaaxf ........)( 2
210 ; donde Caaaa n,....,,, 210
Ejemplos:
ixxxxxp 23 22)(
Área
Igualdad en P
Sean n
n xaxaxaaxp .....)( 2
210 y n
n xbxbxbbxq .....)( 2
210
se dice que p(x) es igual a q(x) si y solo si
00 ba
11 ba
22 ba
nn ba
Grado de un polinomio
Sea el polinomio en x con coeficientes en C , n
n xaxaxaaxp .....)( 2
210 si
0na el entero no negativo “n” es el grado del polinomio, lo que representamos
con:
npgr )(
Ejemplo:
Sea el polinomio xxxxxf 23127)(
7)( fgr
Operaciones (P,+ ),
Adición en P
p(x)= akx, y q(x)= bkx
n
n xaxaxaaxp .....)( 2
210 ,
se define la suma )(xp más )(xq de la siguiente manera:
xbaxqxp kk )()()(
Ejemplo:
Sean los polinomios:
)24(26)( ixxxxf
)3()25(32)( ixixixxg
)1()25(5)26()()( ixixxixxgxf
Multiplicación de un polinomio por un escalar:
p(x)= Є P ; q(x)= Є P
Sea el polinomio en x con coeficientes en Cn
n xaxaxaaxf .....)( 2
210 , y
Є C, se define la multiplicación de un polinomio por un escalar de la siguiente
manera:
p(x)= ao+ a1x+ a2x²+................. anx
Multiplicación de polinomios
Sean ixxxp 2)( 3 y 2)( xxq
Calcular iixxxxxxixxxqxp 2422)2)(2()()( 23
ixixxxqqxp 2)4(22)()(
Diferencia entre polinomios:
Definición.- Sean )(xf y )(xg dos polinomios en x con coeficientes en C , el
polinomio )()( xgxf se define como:
)()()()( xgxfxgxf
Propiedades (P, +,•)
Sean Pxfxqxp )(),(),( :
Adición (+):
1.- Cerradura.- Pxqxp )()(
2.- Asociatividad.- )()()()()()( xfxqxpxfxqxp
3.-Conmutatividad.- )()()()( xpxqxqxp
4.- Existencia de elemento idéntico.- )()(0)( xpxxp
5.- Existencia de elementos inversos.- )(0)()( xxpxp
Multiplicación: (•)
1.- Cerradura.- Pxqxp )()(
2.- Asociatividad.- )()()()()()( xfxqxpxfxqxp
3.- Conmutatividad.- )()()()( xpxqxqxp
4.- Existencia de elemento idéntico.- )(1)( xpxp
5.- Existencia de elementos inversos.- ))(/1()( xpxp
Divisibilidad
Algoritmo de la división en P
)(
)()(
)(
)(
xq
xrxc
xq
xp; )(0)( xxq
)()()()( xrxcxqxp
Definición.- sean )(xf y )(xg dos polinomios en x con coeficientes en C y
)(0)( xxg , )(xg es un factor de )(xf , si existe un polinomio )(xc con
coeficientes en C tal que )()()( xcxgxf se dice entonces que )(xf es divisible
entre )(xg .
Teorema del residuo:
Sean )(xp un polinomio en x con coeficientes en C y Cc , el residuo de dividir
)(xp entre cx es igual a )(cp .
Teorema del factor:
Sean )(xp un polinomio en x con coeficientes en C y Cc , )(xp es divisible
entre cx si y solo si 0)(cp .
Sea p(x)=ao+a1x+a2x²+.................anx
Del algoritmo de la división en P
P(x)=c(x)(x-c)+r(x) ; si p(c)=0=r
P(x)=c(x)(x-c) por lo tanto (x-c) es un factor de p(x).
Raíz de un polinomio
Sea )(xp un polinomio en x con coeficientes en C y sea un número complejo,
es una raíz de )(xp si 0)(xp
))(()(;0)(/)( xxcxpxcxxP
Teorema fundamental del álgebra
Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en C de grado mayor ó igual a uno.
Entonces p(x) tiene al menos una raíz en C.
P(x)/(x- )=c(x)+0; p(x)=c(x)(x- ) p( ).
0,0
0,0
biacomplejas
biasimaginaria
esirracional
racionales
enteras
reales
complejasRaíces
Raíces Racionales x/x=p/q ; p ,q Є Z, q=0
Ejemplo:
Determinar las raíces del polinomio:
g(x)=4x+32x²+64
solución:
cambio de variable:
w²=w
w =w²
4w²+32w+64 ÷4
w²+8w+16
(w+4)(w+4)
w1=-4
w2=-4
regresando
w1=x²
x²= -4
x= ± 2i
Resumen de raíces:
X1= 2i de multiplicidad 2
X2=-2i de multiplicidad 2
Cambio de signo en el residuo
Teorema:
Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en , si a y b son dos números reales
tales que a<b; y además p(a) y p(b) tiene signos contrarios entonces p(x) tiene al
menos una raíz real en el intervalo a< <b
Cotas de las raices reales
Teorema:
Sea p(x)=anx + an-1x +.............+ax+ao un polinomio en x con coeficientes reales
y an>0:
1.- si s Є , s>0, y no existen números negativos en el tercer renglón de la división
sintética de p(x) entre (x-s), entonces, para toda raíz real de p(x) se tiene que
<s.
2.- Si t Є , t<0, y los números del tercer renglón en la división sintética de p(x)
entre (x-t) son alternadamente positivos y negativos, entonces, para toda raíz real
de p(x) se tiene que t< , los ceros en el tercer renglón podrán considerarse
positivos ó negativos a efecto de lograr los signos alternados.
Raíces irracionales de un polinomio con coeficientes racionales
Teorema:
Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes racionales de grado n>1, si un número
irracional de la forma =u+ w, con u, w Є Q; es raíz de p(x) entonces, un número
b=u- w también es raíz de p(x).
Regla de signos de Descartes:
Sea p(x)=ao+a1x+a2x²+.................anx un polinomio en x con coeficientes reales
y ao=0;
1.- El número de raíces reales positivas de p(x) es igual al número de cambios de
signo en la secuencia de coeficientes del polinomio p(x) ó menor que éste en un
número par.
2.- El número de raíces reales negativas de p(x) es igual al número de cambios de
signo en la secuencia de coeficientes del polinomio en x que se obtiene al sustituir
x por –x en p(x) ó menor que éste en un número par.
Ejemplo:
Obtener las raíces del polinomio:
f(x)=2x + 3x +3x³ –5x² –3
f(x)=x(2x + 3x³ +3x² –5x –3 )=0
Aplicando la regla de Descartes;
1.- # de raíces reales positivas
f(x)=2x +3x³ +3x² –5x –3
2.- # de raíces reales negativas
f(-x)= 2x -3x³ +3x² +5x –3
+ - C T
1 3 0 4
1 1 2 4
TEMA IV: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Definición:
Una ecuación lineal es una expresión de la forma a1x+a2x+.............anxn=b,
donde a1,a2,...........an , b Є C
Ejemplo: Determinar si las siguientes son ecuaciones lineales ó no:
a.) x+3y²=7 ; no
b.) y-seny=0 ; no
c.) 4x-2y=1; si
d.) x1-4x2+7x3=5 ; si
e.) 3x+4=2 ; si
Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales:
x1+2+2-x3=7
S1 = -2x1+3x2-7x3 = 5
-x1+x2+6x3=14
Definición: Un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas es una
expresión de la forma;
anx1+ a12x2+.................a1nxn=b1
.
.
am1x1+am2x2+.................amnxn=bm
donde a11, a12, a13...................amn, b1,b2 bm Є C
determinado
(una solución)
compatible
(tiene solución) indeterminado
Sistemas (varias soluciones)
De ecuaciones
lineales
incompatible
(no tiene solución)
Método de Gauss:
Transformación de elementos:
1.- multiplicar, intercambiar (renglones)
2.- multiplicar una ecuación (renglón) por un escalar diferente a cero
3.- -multiplicar una ecuación (renglón)por un escalar y sumarlo a otra ecuación
(renglón), reemplazando esta ultima por el resultado obtenido.
Un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a otro si tienen la misma
solución
Matriz
Una matriz es una expresión de la forma:
a11 a12..........a1n
A.- a21 a22..........a2n
am1 am2.........amn
donde a11, a12............amn Є C
Ejemplos:
2x1+ 3x2=7
-3x1 –7x2=-8
Ejemplo:
Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales determinar los
valores de k para que el sistema sea:
1)incompatible
2)compatible determinado
3)compatible indeterminado
b)kx+y+z=1
x+kyy+z=1
x+y+kz=1
k 1 -1 1 1 1 k 1 R1(-1)+R2 1 1 k 1
1 k 1 1 R3 R1 1 k 1 1 0 k-1 -k+1 0
1 1 k 1 k 1 1 1 R1(-k)+R3 0 -k+1- k²+1 1-k
R2(-1)+R3 1 1 k 1
0 k-1 -k+1 0
0 0 2-k-k² 1-k
1)Si k=-2, el sistema es incompatible
2)Si k=1 y k=-2, el sistema es compatible determinado
3) Si k=1, el sistema es compatible indeterminado.
TEMA V: MATRICES Y DETERMINANTES
Igualdad de matrices m x n
Sean A=[aij] y B=[bij] de orden m x n , se dice que A es igual a B si y solo si;
a11=b11
a31=b31
Matriz nula
0 0
0 0
Operaciones con Matrices:
Adición;
Sean A=[aij] y B=[bij] con elementos en C de orden m x n, se define la suma de
A+B como la matriz S=[Sij] de orden m x n, donde Sij= aij+ bij.
Multiplicación de una matriz por un escalar
La operación se define como:
= [aij]= [ aij]
Sustracción
Sean A=[aij] y B=[bij] de orden m x n con elementos en C, se define la diferencia
de A-B como:
A-B=A+[-B]
Propiedades de la adición:
Sean A,B,C ,matrices de orden m x n con elementos en C, donde :
1.- Asociatividad.-(A+B)+C=A+(B+C)
2.- Conmutatividad.- A+B=B+A
3.- Existencia de elemento idéntico.- A+E=A
4,. Existencia de elementos inversos.- -A+A=0
Multiplicación de dos matrices:
Sean A=[aij] y B=[bij] dos matrices con elementos en C de m x n y n x q
respectivamente. El producto AB es una matriz P=[pij] de m x q.
Pij= aikbkj.
Matriz identidad
1 0
I= 0 1
Inversa de una matriz
Sea A una matriz de m x n con elementos en C, una matriz x se dice que es
inversa de A si:
XA=In=ax y se representa con A
A A=AA =I
Si una matriz tiene inversa se dice que es no singular
Si una matriz no tiene inversa se dice que es singular
Propiedades de las matrices inversas:
Si A y B dos matrices no singulares del mismo orden y Є C entonces:
1.- A es única
2.-(A ) =A
3.-(AB) =B A
4.-( A) = 1/ A; =0
Ecuaciones matriciales:
Sea la ecuacion matricial:
AX-B=C-X
0 -2 4 -1 -4 -1
A= -2 4 B= 2 -2 C= 1 8
A) despejar a la matriz x de la ecuación matricial
B) obtener la matriz x que satisface la ecuación
Ax-B=C-X
AX+X=C+B
AX+IX=C+B
(A+I)X=C+B
IX=(A+I) (C+B)
X=(A+I) (C+B)
(A+I)X(A+I)=(C+B)(A+I)
Por lo tanto no se puede despejar x.
*Casos especiales de matrices
Traza de una matriz
Es la suma de los elementos de la diagonal principal, sea A=[aij] de orden n xn
con elementos en C, se defina la traza de la matriz como:
TrA= aii
*Su resultado es un número.
Propiedades:
Si A y B son dos matrices de n x n con elementos en C y Є C
1.-Tr (A+B)=(TrA)+(TrB)
2.-Tr( A)= (TrA)
3.-Tr(AB)=Tr(BA)
Matriz diagonal
Sea A=[aij] una matriz n xn con elementos en C se dice que A es una matriz
diagonal si aij=0 para i=j, y se representa con DiagA=(a12,a22,..............ann)
Propiedades de matrices diagonales:
1.- A+B=diag(a11+b11, a22+b22.,................ann+bnn)
2.- A=diag ( a11, a22,....... ann)
3.- AB=diag (a11b11, a22b22,........annbnn)
4.- A=diag (1/a11, 1/a22,.............1/ann)
Transpuesta de una matriz
Sea A=[aij] una matriz de m x n con elementos en C, se llama transpuesta de A a
la matriz de n x m:
A =[cij] tal que Cij=Aij
Propiedades
1.- (A ) =A
2.-( A)= A
3.- (A+B) =A + B ; si A+B puede obtenerse
4.-(AB) =B A ; si (AB) puede obtenerse
A es simétrica si A =A
A es antisimétrica si A = -A
Conjugación
Sea A=[aij] una matriz de m x n con elementos en C se llama conjugado de A a la
matriz m x n donde:
A=[cij] donde cij=aij
Propiedades:
Si A y B son dos matrices con elementos en los complejos y Є C entonces:
1.-(A)=A
2.-( A)= A
3.-(A+B)=A+B; si A+B puede obtenerse
4.- (AB)=AB; si AB puede obtenerse
Matrices Hermitiana y Antihermitiana
Sea A una matriz n x n con elementos en C se dice que:
1) A es Hermitiana si A*=a
2) A es Antihermitiana si A*=-A
Propiedades:
1.-AA*, es Hermitiana
2.- A*A es Hermitiana
3.-A+A* es Hermitiana si A es cuadrada
4.- A-A* es Hermitiana , si A es cuadrada
Potencia de una matriz
Sea A una matriz de m x n con elementos en C y sea n Є N se llama potencia
enésima de A si y solo si A a la matriz definida por:
1.-A =I
2.-A =AA , para n>1
Propiedades
1)A• A = A
2)(A ) =A
TEMA VI: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Operación binaria:
Es una regla que se aplica a dos elementos de un conjunto s y que da como
resultado un elemento unívoco.
1.- cerradura ejemplos:
(A , *) 2.-asociatividad ( R , +)
3.- Existencia de elemento idéntico Grupo (C, +) (A , *)
4.- Existencia de elemento inverso ( P , +) grupo
Sistema algebraico Estructura algebraica
Sistema algebraico
(A , *)
1.- cerradura
2.- asociatividad grupo abeliano
3.-existencia de elemento identico
(A, * , ¤ ) . 4- existencia de elementos inversos
5.- conmutatividad (A, * , ¤)
Anillo
(A, ¤)
6.- cerradura para ¤
7.- asociatividad para ¤
8.- distributividad
Ejemplo: sea el conjunto
a 0
M= 0 b a, b E Z
Y la operación binaria ¤ definida por:
A ¤ B=A+I+B
Determinar si ( A , ¤ )es un grupo abeliano:
Solución:
1.- Cerradura
A ¤ B = A +I +B Є M se cumple
2.- Asociatividad
(A ¤ B) ¤ (I + A¤ + I¤B)
A+B+¤+2I=A+B+¤+2I se cumple
3.- Existencia de elemento idéntico para ¤
A¤E=A
A¤-I=A
A+I-I=A
A=A existe
4.- Existencia de elementos inversos
A¤(-2I-A)
A+I-2I-A=-I
-I=I existen
5.- Conmutatividad
A¤B=B¤A
A+I+B=B+I+A se cumple
Por lo tanto (M, ¤ ) es un grupo abeliano.
Homomorfismo e Isomorfismo
Sea (A , ) y (S , ¤ ) dos grupos y P.A S una funcion si f(a*b)=f(a) ¤ f(b); V a, b
E A, entonces F establece un homomorfismo entre (A * ) y (S, ¤).
Si además f es biyectiva entonces se establece un Isomorfismo entre (A,*) y (S, ¤).
Ejemplo:
Sean (Z,*) y (Z, ¤) dos grupos, donde las operaciones x y ¤ estan definidas por
a*b=a+b+1 V a,b E Z
a¤b=a+b
A) determinar si la función biyectiva f que va de Z Z definida por f(a)=a+1, V a E
Z es un isomorfismo entre los grupos (Z,*) y (Z, ¤)
Solución:
F(a*b)=f(a) ¤ f(b)
F(a+b+1)=(a+1) ¤ (b+1)
(a+b+1+1)=? (a+1+b+1)
a+b+2=a+b+2
por lo tanto establece un homomorfismo, se cumple f.