8/19/2019 Natacion Signa

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Integral Definida

Notación Sigma

Es una suma de términos cuyos términos son naturales o algebraicos concernientes a

una expresión, se puede generalizar a un tamaño de inérvalos precisos, incrementándosesiempre en una unidad. 

Ésta se puede representar como la suma de los primerostérminos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación sedenomina de la letra griega (sigma mayúscula, ue corresponde a nuestra ! de "suma#$.%a notación sigma es de la siguiente manera&

 

'onde "n" es un entero y representa el ndice superior. El ndice in)erior puedecomenzar en cualuier entero y el ndice superior siempre será mayor o igual ue elin)erior. %a expresión ue aparece delante del smbolo de sumatoria, siempre contendráa la variable.

Propiedades:

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Suma Superior e Inferior

Área bajo la curva

 !i ueremos calcular el área ba*o la curva + -(x$ / 0 1, donde -(x$ 2 3 y continúa

en todo el intervalo cerrado x a, x b y el e*e "x", podemos dividirla en una serie de polgonos (rectángulos$, calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la sumanos dará un valor aproximado del área real.

Integral Definida

 !i a la expresión obtenida para la suma de 4iemann le tomamos el lmite ya ue 5 1,/, 6, 7, 8,....,..n y existe, es decir   podemos de)inir  la integral de)inida de -desde a 9asta  b  por donde "a" representa el lmite in)erior y "b" el lmite superior de laintegral.

:bservando la de)inición de los términos de la integral de)inida, observamos ue -(b5 $es la altura del rectángulo ue llamamos partición y 'x5  es el anc9o del rectángulo detal manera ue su producto no es más ue el área del rectángulo y después de sumar 

cada una de estas mismas, obtendremos dic9a área ba*o la curva, siendo -(x$, en elintervalo dado ;a, b

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Propiedades de la Integral Definida

!i )(x$ y g(x$ son dos )unciones continuas en el intervalo de integración ;a,b< y 5 unaconstante cualuiera&

a$  !i los lmites ue integración coinciden, la integral de)inida vale cero.

 b$  El valor de la integral de)inida cambia de signo si se permutan los lmites de integración.

c$  %a integral del producto de una constante por una )unción es igual a la constante por laintegral de la )unción.

d$  %a integral de)inida de una suma de )unciones es igual a la suma de integrales(=ropiedad de linealidad$>

e$  !i c es un punto interior del intervalo ;a, b

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Teorema del Valor Medio

 'ada una )unción ")" continua en un intervalo cerrado ;a, b

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Teorema undamental del !alculo

El teorema )undamental del cálculo consiste (intuitivamente$ en la a)irmación de uela derivación e integración de una )unción son operaciones inversas. Esto signi)ica uetoda )unción continua integrable veri)ica ue la derivada de su integral es igual a ella

misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisismatemático o cálculo.

Primer teorema fundamental del c"lculo

'ada una )unción ) integrable sobre el intervalo  , de)inimos - sobre por 

!i ) es continua en ;a,b<

Entonces - es derivable en y .

Segundo teorema fundamental del c"lculo

'ada una )unción )(x$ continua en el intervalo ;a,b< y sea -(x$ cualuier )unción primitiva de ), es decir - ?(x$ )(x$. Entonces

Integración por Sustitución o por !ambio de Variable

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada dela )unción compuesta.

=ara cambiar de variable identi)icamos una parte de lo ue se va a integrar con unanueva variable t, de modo ue se obtenga una integral más sencilla.

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E*emplo&