Download - Módulo de Matematica Financiera
MATEMÁTICAS
FINANCIERASMÓDULO
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,
ECONÓMICAS Y CONTABLES
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ
JENNY MOSCOSO ESCOBAR
FERNANDO JARAMILLO BETANCUR
JAIME ANDRÉS CORREA GARCÍA
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
MEDELLÍN, 2008
TABLA DE CONTENIDO
Introducción.............................................................................................................................................................4
Unidad 1: Introducción a las Matemáticas Financieras ...................................................................................... 6
1.1 El Valor del Dinero en el Tiempo –VDT ........................................................................................................ 6
1.2 El Concepto de Equivalencia .......................................................................................................................... 7
1.3 Graficación ..................................................................................................................................................... 9
1.4 Interés simple .................................................................................................................................................. 9
1.5 Interés compuesto .......................................................................................................................................... 12
1.6 Consideraciones Finales ............................................................................................................................... 16
1.7 Ejercicios Resueltos ...................................................................................................................................... 17
Unidad 2: Relaciones Básicas ............................................................................................................................... 19
2.1 Relación de Pago Único ................................................................................................................................ 19 2.1.1 Cálculo del Valor Futuro dado un Valor Presente ................................................................................. 20 2.1.2 Cálculo del Valor Presente dado un Valor Futuro ................................................................................. 22 2.1.3 Cálculo del Número de Periodos ........................................................................................................... 23 2.1.4 Cálculo de la Tasa de Interés ................................................................................................................. 24
2.2 Series ............................................................................................................................................................. 25 2.2.1 Series Uniformes ................................................................................................................................... 25 2.2.2 Cálculo del Valor Futuro dado una Serie Uniforme ............................................................................. 25 2.2.3 Cálculo del Valor Presente dado una Serie Uniforme .......................................................................... 28 2.2.4 Cálculo de la Serie Uniforme dado el Valor Futuro ............................................................................. 29 2.2.5 Cálculo de la Serie Uniforme dado el Valor Presente .......................................................................... 30
2.3 Gradientes ..................................................................................................................................................... 32 2.3.1 Gradiente Aritmético ............................................................................................................................. 33
2.3.1.1 Cálculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Aritmético .......................................................... 34 2.3.1.2 Cálculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Aritmético ................................................... 35 2.3.1.3 Cálculo de un Valor Presente dado un Gradiente Aritmético ....................................................... 36
2.3.2 Gradiente Geométrico ........................................................................................................................... 37 2.3.2.1 Cálculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Geométrico ........................................................ 37 2.3.2.2 Cálculo de un Valor Presente dado un Gradiente Geométrico ..................................................... 38 2.3.2.3 Cálculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Geométrico ................................................. 38
2.4 Consideraciones Finales ............................................................................................................................... 38
2.5 Ejercicios Resueltos ...................................................................................................................................... 39
Unidad 3: Interés Efectivo ................................................................................................................................... 41
Tasa de interés nominal ..................................................................................................................................... 41
Tasa de interés efectiva ...................................................................................................................................... 42
Módulo: Matemáticas Financieras II
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Fórmulas para la conversión de tasa de interés nominal y efectiva .................................................................. 42 Para capitalizaciones vencidas ....................................................................................................................... 42 Para capitalizaciones anticipadas. .................................................................................................................. 45 Conversión de tasas de interés ....................................................................................................................... 48
Tasas compuestas ............................................................................................................................................... 50 Tasa equivalente de una tasa en moneda extranjera ...................................................................................... 50 Tasa de interés real ........................................................................................................................................ 51 Tasa de interés con UVR ............................................................................................................................... 52
Consideraciones Finales .................................................................................................................................... 53
Ejercicios Resueltos ........................................................................................................................................... 53
Unidad 4: Activos Financieros ............................................................................................................................. 56
Intermediarios y Mercados Financieros. ........................................................................................................... 56
La inversión a través de la Bolsa de Valores. ................................................................................................... 59 4.2.1 Suscripción Tradicional ......................................................................................................................... 60 4.2.2 Oferta Del Mayor Esfuerzo. ................................................................................................................. 62 4.2.3 Emisiones Con Registros Sucesivos ...................................................................................................... 62
4.2.3.1 Las Bolsas de Valores .................................................................................................................... 64
4.3 Algunos cálculos de rentabilidades .............................................................................................................. 65
Bibliografía............................................................................................................................................................87
ANEXO: Fórmulas de Matemática Financiera..................................................................................................88
Módulo: Matemáticas Financieras III
Introducción
Las matemáticas financieras se constituyen en un aporte esencial en la
formación en finanzas, ya que a partir de estas nociones preliminares se
desarrollan muchos conceptos que son utilizados en las finanzas corporativas y
en los mercados de capitales. También denominadas Ingeniería Económica, las
matemáticas financieras, posibilitan la comprensión de los aspectos básicos
para quienes incursionan en el mundo de los negocios y las decisiones
empresariales
El objetivo general del módulo es desarrollar en el estudiante capacidad de
análisis y decisión basados en los conceptos de matemática financiera con el
fin de que pueda resolver los problemas personales y empresariales en el tema
financiero. Por ello es necesario que el estudiante estudie cada unidad de
manera consecutiva y resuelva los problemas planteados en el texto para que
desarrolle la habilidad de interpretación y análisis en el momento de realizar
las actividades propuestas en la guía didáctica del curso.
Las matemáticas financieras son una aplicación específica de las matemáticas
tradicionales, buscan resolver múltiples problemas de asignación y
optimización de recursos, ayuda en el análisis de riesgos y a comprender el
problema intertemporal asociado al manejo del dinero; es por ello importante
que los estudiantes de la especialización en finanzas tengan muy claro la
aplicación y análisis de los resultados calculados por medio de las matemáticas
financieras, ya que son una herramienta necesaria para incursionar de manera
óptima en los cursos específicos de finanzas.
Este módulo inicia con los dos grandes pilares de las matemáticas financieras
que son el concepto de valor del dinero en el tiempo y de equivalencia; estos
conceptos simples se constituyen en un gran soporte para el análisis de
decisiones de consumo y de inversión. Adicionalmente, estos elementos
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
introductorios permiten asumir una posición de indiferencia entre poseer un
dinero en el día hoy (presente) o en el mañana (futuro). Se resalta del
contenido del primer capítulo que los principales temas desarrollados tienen un
origen eminentemente económico, los cuales han sido adoptados y
desarrollados ampliamente para ser materializados de manera puntual en los
negocios personales y empresariales. También se destaca la forma como son
introducidos y explicados los conceptos, pues tienen una construcción
progresiva, es decir, en principio se esbozan de manera intuitiva para
posteriormente llegar a planteamientos mucho más estructurados y
formalizados.
En el segundo capítulo se evidencia con mayor fuerza la formalización de los
temas desarrollados inicialmente, pues con el análisis de las relaciones de
pago único, la comprensión de las series y gradientes; se incursiona en el
análisis de problemáticas mucho más complejas y estructuradas. Con el
desarrollo de estas tres temáticas el estudiante tendrá una visión mucho más
formada para el análisis y solución de casos.
En cuanto a la tercera unidad se tiene como objetivo que el estudiante maneje
la conversión de las tasas de interés nominales y efectivas con el fin de realizar
los cálculos reales a los problemas financieros planteados en el módulo. Por
último, en la cuarta unidad se muestran los activos financieros más utilizados,
así como mecanismos de financiación y de inversión que pueden utilizar las
empresas a partir de su conocimiento.
Finalmente, el estudiante contará con un resumen con las principales fórmulas
utilizadas en matemáticas financieras y que fueron aplicadas en el presente
módulo.
Módulo: Matemáticas Financieras 5
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Unidad 1: Introducción a las Matemáticas Financieras
OBJETIVO GENERAL
Comprender el concepto de equivalencia y valor del dinero en el tiempo como
elementos fundamentales en el análisis, determinación y aplicación del interés
simple y compuesto en escenarios aplicados de manera específica.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Comprender los conceptos de Valor del Dinero en el Tiempo – VDT- y
Equivalencia y, reconocer su importancia para las matemáticas financieras y
las finanzas en general.
• Lograr que el estudiante aprenda a graficar los flujos que representan los
problemas enunciados.
• Reconocer el origen del interés simple y del interés compuesto.
• Analizar comparativamente los efectos financieros de los negocios basados
en interés simple e interés compuesto.
1.1El Valor del Dinero en el Tiempo –VDT
Si se considera al dinero como un bien, éste va a sufrir los vaivenes y altibajos
a que todo artículo en un mercado está sometido. Así, el dinero posee
diferentes valores de acuerdo con el período de tiempo a que se refiera, lo que
se atribuye entre otros aspectos a la variable interés, inflación, devaluación
(revaluación) y a las decisiones de consumo. Es común escuchar la siguiente
expresión “No es lo mismo un millón de pesos hoy, que un millón de pesos
dentro de un año”, por tanto, cuando un usuario racional está aplazando su
Módulo: Matemáticas Financieras 6
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
consumo presente por un consumo futuro está renunciando a un beneficio que
debe ser compensado.
1.2El Concepto de Equivalencia
La equivalencia es un concepto de gran aplicación en el campo de la
microeconomía y busca establecer relaciones de indiferencia para los
individuos entre valores presentes y futuros. En consecuencia “se dice que
dos sumas son equivalentes, aunque no iguales, cuando a la persona le es
indiferente recibir una suma de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F) al
cabo de un período”1
El interés se constituye en la variable que permite dimensionar y estimar la
renuncia de consumo presente por consumo futuro, en otras palabras,
representa un enlace intertemporal entre valores monetarios presentes y
futuros. Este concepto de amplia utilización en el mundo empresarial,
financiero y del común recibe múltiples acepciones. Al respecto Álvarez
Arango2 presenta las siguientes:
• Valor del dinero en el tiempo.
• Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo.
• Utilidad o ganancia que genera un capital.
• Precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo durante un
período determinado.
• Rendimientos de una inversión.
En síntesis, el interés puede ser visto como un ingreso o como un costo,
dependiendo del enfoque con el cual se evalúe.
1 VÉLEZ PAREJA, Ignacio. Decisiones de inversión: enfocado a la valoración de empresas. 2 ÁLVAREZ ARANGO, Alberto. Matemáticas Financieras. Segunda edición, editorial Mc Graw Hill. Bogotá, 1999.
Módulo: Matemáticas Financieras 7
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Para deducir fácilmente si en un negocio existieron intereses (financieros) de
por medio, observemos el siguiente ejemplo sencillo.
Ejemplo 1.1. Suponga que Eliana Jaramillo presta hoy $10.000 a Andrés
García a un plazo de 4 meses, al cabo de los cuales éste devolverá $11.000.
¿Cuál es el interés implícito en el negocio?
Solución
En primera instancia vamos a extraer las variables relevantes del enunciado.
Valor Presente= 10.000 Denotado por P
Valor Futuro = 11.000 Denotado por F
Plazo = 4 Denotado por n
Retomando el concepto VDT podemos observar los elementos que evidencian
el valor del dinero, pues Eliana recibió un valor superior al entregado
inicialmente. Esta diferencia representa el interés ganado por Eliana en el
negocio (ingreso) y el interés pagado por Andrés (costo).
Interés = Valor Futuro – Valor Presente
000.1$000.10$000.11$ =⇒−=−=
II
PFI
De esta manera se tiene una aproximación al concepto de interés. En este
caso se obtuvo en valores absolutos (pesos), pero para saber cuánto
representa de una manera sencilla en términos porcentuales tenemos que:
mesesenGanadoii
PIi
4%10000.10$000.1$
/
=⇒=
=
Módulo: Matemáticas Financieras 8
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
1.3Graficación
En el análisis de problemas financieros es vital su representación gráfica, ya
que de esta manera se logra una mayor comprensión de la situación y permite
la distinción de los elementos fundamentales para la solución del caso, los
cuales son: flujos positivos, flujos negativos, horizonte de tiempo y tasa de
interés.
Las gráficas financieras o flujos son fundamentales en la solución de los
ejercicios de matemáticas financieras. Los gráficos consisten básicamente de
dos elementos: 1) Una línea horizontal que representa el lapso total de análisis
y se divide en segmentos que representan cada uno de los períodos
constitutivos y 2) Flechas hacia abajo que representan flujos negativos (salidas
de dinero) y flechas hacia arriba que representan flujos positivos (entradas de
dinero).
El Ejemplo 1 de Eliana Jaramillo se puede graficar de la siguiente manera.
Gráfica 1
1.4Interés simple
Es el valor que se paga (o recibe) por un monto de dinero llamado principal o
capital. El interés simple es el resultado de multiplicar el valor del principal por
la tasa periódica de interés, por el número de períodos. El monto sobre el cual
se calculan los intereses no sufre modificaciones durante el período en que se
recibe el beneficio del interés.
Módulo: Matemáticas Financieras
i =10%
P = $10.000
F = $11.000
i =10%
P = $10.000
F = $11.000
9
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Expresión del interés simple
Ejemplo 1.2. Bibiana Meneses le presta a un amigo $10.000 a un interés del
2.5% mensual a un plazo de 4 meses. ¿Al cabo de los 4 meses cuánto es el
interés ganado por Bibiana?
Solución
P = 10.000
i = 2.5% I = $10.000 x 2.5% x 4
n = 4 I = $1.000
Al cabo de los cuatro meses Bibiana habrá ganado $1.000.
Nótese que se trata de un caso igual al Ejemplo 1, pero aplicando la expresión
matemática para el interés simple. La solución a este problema se puede
presentar mediante la siguiente tabla:
Tabla 1
Período
Principal
Interés
Saldo acumulado
0 10.000 0 10.0001 250 10.2502 250 10.5003 250 10.7504 250 11.000
Total 1.000
La gráfica para el caso de Bibiana es como sigue:
Gráfica 2
Módulo: Matemáticas Financieras
niPI ∗∗=
Donde P = Principal (Monto)i = Tasa de interés periódica (%)n = Número de períodos (plazo)
01 2 3
$10.000
$250$250$250
4
$10.250
01 2 3
$10.000
$250$250$250
4
$10.250
10
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Al analizar situaciones en las cuales se plantean la condición del interés simple,
también es pertinente conocer cuál será el valor futuro (F) que se recibirá.
Este valor futuro (F) será igual al principal o valor presente (P) más los
intereses ganados (I), de tal manera que podemos plantear la siguiente
ecuación:
F = P + I; retomando la expresión del interés simple niPI ∗∗= , tenemos
que:
)( niPPF ∗∗+= , entonces agrupando términos se tiene que:
[ ])(1 inPF ∗+=
Es claro que de la expresión anterior se puede despejar cualquiera de las
variables requeridas, de tal manera que se satisfaga la igualdad.
Ejemplo 1.3. Leidy García toma un préstamo por $30.000 durante 8 meses a
una tasa mensual del 1.5%. ¿Cuánto deberá pagar al final de los 8 meses?
Solución
P = 30.000
i = 1.5% (0.015)
n = 8
F = ?
Aplicando la fórmula anterior, tenemos que:
En consecuencia Leidy deberá pagar $33.600 al terminar los 8 meses.
Módulo: Matemáticas Financieras
F = 30.000 [1 + (0.015 x 8)] F = 33.600
11
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
1.5Interés compuesto
El interés compuesto es el que se paga (o recibe) por un monto de dinero
llamado principal y por los intereses que se van obteniendo y que no se retiran,
durante los períodos siguientes. Cuando se aplica el interés compuesto surge
un concepto importante en la matemática financiera y en general en las
finanzas: la capitalización.
En términos simples, se puede explicar la capitalización como el hecho de que
los intereses ganan más intereses, lo que implica que los intereses ganados y
no retirados en los períodos intermedios son adicionados al capital inicial, con
lo cual éste se va incrementando. Esto quiere decir que la base para el cálculo
del interés es cada vez mayor.
Finalmente, es necesario aclarar que cuando se trata de interés compuesto se
requiere especificar la periodicidad de las capitalizaciones, ya que éstas
pueden ser diarias, bimensuales, mensuales, bimestrales, trimestrales,
semestrales, anuales, etc.
“A mayor número de capitalizaciones, mayor será el interés final obtenido”
Ejemplo 1.4. Sandra Palacio deposita por un año $10.000 en una cuenta que
paga el 4.5% trimestral. Teniendo en cuenta que Sandra no hace retiros
parciales de intereses, ¿Cuál es valor que recibirá al final del año?
Solución
P = 10.000
i = 4.5% trimestral
n = 1 año (4 trimestres)
F1: Valor al final del primer trimestre.
F1 = P (1 + i)
F1 = 10.000 (1 + 0.045) F1 = 10.450
Módulo: Matemáticas Financieras 12
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
El interés obtenido en el primer trimestre es:
I = F1 - P I = 10450 – 10.0000 I1 = 450
F2: Valor al final del segundo trimestre.
El nuevo saldo en este caso se calculan sobre el nuevo capital F1.
F2 = F1 (1 + i)
F2 = 10.450 (1 + 0.045) F2 = 10.920,25
Los inereses obtenido en el segundo trimestre es:
I = F2 - F1 I = 10.920,25 - 10450 I2 = 470,25, que
equivale a
I = (10.000 x 4.5%) + (450 x 4.5%) I2 = 450 + 20,25
Como podemos observar, el capital inicial ganó en el segundo trimestre $450 y
que los intereses que había al final del primer trimestre (no retirados) ganaron
$20,25.
F3: Valor al final del tercer trimestre.
El saldo en este caso se calcula sobre el nuevo capital F2.
F3 = F2 (1 + i)
F3 = 10.920,25 (1 + 0.045) F3 = 11.411,66
Los intereses obtenidos en el tercer trimestre es:
I = F3 - F2 I = 11.411, 66 - 10.920,25 I3 = 491,41,
que equivale a
I = (10.000 x 4.5%) + (920,25 x 4.5%) I3 = 450 + 41,41
Según esto, el capital inicial ganó en el tercer trimestre $450 y que los
intereses que había al final del segundo trimestre (no retirados) ganaron
$41,41.
Módulo: Matemáticas Financieras 13
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
F4: Valor al final del cuarto trimestre (al final del año).
El saldo en este caso se calculan sobre el nuevo capital F3.
F4 = F3 (1 + i)
F4 = 11.411,66 (1 + 0.045) F4 = 11.925,19
Los intereses obtenidos en el cuarto trimestre es:
I = F4 - F3 I = 11925,19 - 11.411, 66 I4 = 513,53, que
equivale a
I = (10.000 x 4.5%) + (1411,66 x 4.5%) I4 = 450 + 63,53
Lo anterior quiere decir que el capital inicial ganó en el cuarto trimestre $450 y
que los intereses que había al final del tercer trimestre (no retirados) ganaron
$63,53.
Obsérvese que el ejemplo anterior consistió en desarrollar la siguiente
expresión:
F = P (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) F = P (1 + i)4
Generalizando la expresión anterior se tiene que:
niPF )1( +=
La solución a este problema se presenta mediante la siguiente tabla:
Tabla 2
Período
Principal
Interés
Saldo acumulado
0 10.000 0 10.0001 450 10.4502 470,25 10.920,253 491,41 11.411,664 513,53 11.925,19
Total 1925,
Módulo: Matemáticas Financieras 14
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
19
El ejemplo 1.4 se presenta comparativamente con interés simple y compuesto
para que el lector note el efecto de la capitalización.
Tabla 3
Período
Principal
Interés
simple
Interés compuest
o
Saldo acumulado
simple
Saldo acumulado compuesto
0 10.000 0 10.000 10.0001 450 450 10.450 10.4502 450 470,25 10.900 10.920,253 450 491,41 11.350 11.411,664 450 513,53 11.800 11.925,19
Total 1.800 1925,19
Del anterior cuadro comparativo se pueden obtener las siguientes
conclusiones:
a. El efecto de la capitalización de los intereses está representado en un
mayor interés bajo la modalidad compuesta que de manera simple. En este
caso, el efecto de la capitalización lo constituyen $125,19.
b. Nótese que al finalizar el primer período los intereses y los saldos
acumulados son iguales, esto quiere decir que cuando se trata de un solo
período no hay diferencias entre el interés simple y el interés compuesto.
c. El lector puede verificar la afirmación en el sentido de que a mayor número
de capitalizaciones, mayor será el interés obtenido. Realice paso a paso el
anterior ejemplo suponiendo que las capitalizaciones son mensuales y lo
podrá comprobar. (Respuesta F12 = 11.931,81)
Módulo: Matemáticas Financieras 15
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
La expresión sobre valor futuro presentada nos permite, despejar cualquiera de
las otras variables. Por ahora mostraremos cómo sería la expresión para el
valor presente.
nn
i
FPiPF
)1()1(
+=⇒+=
Ejemplo 1.5. Milena Álvarez recibirá en 5 años una suma de $50.000. Si se
tiene en cuenta una tasa de interés de referencia del 12% anual, ¿Cuál es el
valor presente del dinero que recibirá Milena?
Solución
F = 50.000
i = 12%
n = 5
P = ?
El valor presente del dinero que recibirá Milena es de 28.371,34. Aplicando el
concepto de equivalencia descrito al inicio del capítulo se puede decir que con
las condiciones establecidas para Milena es equivalente o indiferente recibir
esta suma hoy o $50.000 al cabo de 5 años.
1.6Consideraciones Finales
• El Valor del Dinero en el Tiempo y el concepto de Equivalencia están
soportados en fundamentos económicos que aportan a la formulación de
planteamientos financieros, lo que resalta el carácter multidisciplinar
implícito en las finanzas.
Módulo: Matemáticas Financieras
P = 50.000 P = 28.371,34 (1 + 0.12)5
16
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
• El análisis del interés en los negocios es vital antes de incursionar en el
estudio detallado de fenómenos financieros mucho más complejos que se
presentan en las relaciones formales e informales de los agentes del
mercado.
• El interés compuesto es de mayor aplicación en negocios formales y su
justificación se encuentra en el mayor rendimiento que genera a los
prestamistas, lo que a su vez implica un mayor costo para los prestatarios.
1.7Ejercicios Resueltos
1. Rosita Muñoz toma un préstamo con el Banco Amigable por valor de
$50.000 a una tasa del 2% mensual a un plazo de 5 meses. Responda las
siguientes preguntas:
a. Cuánto son los intereses con interés compuesto que pagará Rosita.
b. Cuánto son los intereses sin interés simple que pagará Rosita.
c. A cuánto asciende el efecto de la capitalización de los intereses.
Para responder a estas preguntas elaboramos la siguiente tabla de resumen:
PeríodoPrincipa
lInterés simple
Interés compuesto
0 50.000
1 1.000 1.000,00
2 1.000 1.020,00
3 1.000 1.040,40
4 1.000 1.061,21
5 1.000 1.082,43Total 5.000 5.204,04
Solución
a. $5.000
b. $5.204,04
Módulo: Matemáticas Financieras 17
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
c. 204,04 (5.204,04 – 5.000)
2. Carlos Pérez deposita hoy en el Banco Amigable sus ahorros que suman
$350.000, si el banco le paga un interés del 15% anual y Carlos sólo retira
el dinero al cabo de 4 años, ¿Cuál es el valor que recibirá?
Solución
P = 350.000
i = 15% anual
n = 4
F = ?
Desarrollando la fórmula de valor futuro se tiene que F= $612.152,19.
3. Mónica Rincón desea saber cuánto debe depositar en una cuenta hoy que
paga el 16% anual, si al cabo de 8 años ella desea retirar la suma de
$50.000.000.
F = 50.000.000
i = 16% anual
n = 8
P = ?
Desarrollando la fórmula de valor presente se tiene que P= $15.251.272,84.
Módulo: Matemáticas Financieras 18
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Unidad 2: Relaciones Básicas
OBJETIVO GENERAL
Deducir e identificar todas las relaciones posibles encontradas en la matemática
financiera, con el fin de realizar las aplicaciones respectivas mediante ejercicios
enfocadas al campo financiero.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Deducir e identificar las relaciones de pago único.
• Deducir e identificar las relaciones para la serie uniforme.
• Deducir e identificar las relaciones para las series gradiente aritmético y geométrico.
• Interpretación gráfica de la relación requerida.
2.1Relación de Pago Único
La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo,
específicamente interés (i) y número de periodos (n), una persona recibe capital
una sola vez, realizando un solo pago durante el periodo determinado
posteriormente.
Para hallar estas relaciones únicas, sólo se toman los parámetros de valores
presentes y futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo mediante la tasa
de interés. A continuación se presentan los significados de los símbolos a utilizar
en las fórmulas financieras de pagos únicos3,
P: Valor presente en pesos de algo que se recibe o que se paga en el momento
cero.
3JARAMILLO B Fernando. Matemática Financiera y su uso para las Decisiones en un Entorno Internacional. Editorial Universidad de Antioquia. Medellín. Colombia. 2006
Módulo: Matemáticas Financieras 19
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
F: Valor futuro en pesos de algo que se recibirá o se pagará al final del periodo
evaluado.
n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos entre
lo que se recibe y lo que se paga, o lo contrario; es decir, período de tiempo
necesario para realizar una transacción. Es de anotar, que n se puede o no
presentar en forma continua según la situación que se evaluando.
i : Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o la
financiación obtenida; el interés que se considera en las relaciones de pago único
y anualidades es compuesto.
2.1.1 Cálculo del Valor Futuro dado un Valor Presente
Para el cálculo del valor futuro dado un presente, es necesario conocer 3
variables: Valor presente (P), interés (i) y número de periodos (n), con el
fin de deducir la cuarta variable, que en este caso sería el valor futuro
(F). Es decir, en la matemática financiera, para la mayoría de los casos,
es válido aseverar que conocidas los datos de tres variables podemos
determinar el valor de la cuarta. A continuación se representa el modo
gráfico para una mejor comprensión del concepto:
Gráfico 1
Se puede concluir que con el depósito hecho en el momento presente, a
medida que se va liquidando el interés se originan nuevos saldos,
Módulo: Matemáticas Financieras
0
1 2 3 4n
i = tasa de interés por periodo
P = valor presente (se conoce)
F = valor futuro (se calcula)
0
1 2 3 4n
i = tasa de interés por periodo
P = valor presente (se conoce)
F = valor futuro (se calcula)
20
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
gracias a la utilización del interés compuesto en la fórmula
(capitalización de los intereses), la cual es:
niPF )1( +=
Donde, la expresión matemática ni)1( + es el factor de la cantidad
compuesta de pago único, el cual agrega valor a la cantidad P a lo largo
del periodo, como se observa en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.1: Suponga que solicita hoy un préstamo de $500, los cuales deben
ser pagados en un periodo de 4 años, a una tasa de interés del 10% con
capitalización anual. ¿Cuánto pagará al final del periodo cuatro?
Solución
Año Pago total alfinal del año 4
1 P $ 500 iP $ 50 iP $ 550 02 $ 550 $ 55 $ 605 03 $ 605 $ 61 $ 666 04 $ 666 $ 67 $ 732 $ 732
Saldo a principio de cada año
Interés acumulado cada año
Saldo a final de cada año
3)1( iiP +
2)1( iiP +
)1( iiP +)1( iP +2)1( iP +3)1( iP +
)1( iiP +2)1( iiP +3)1( iiP +
Al final del año cuatro, el valor a pagar será de $732.
Adicionalmente, existe una expresión simbólica que representa este
factor, el cual se denota (F/P; i%, n) y cuya lectura es: “Encontrar un
valor futuro (F), dado un valor presente (P), una tasa de interés (i) y los
períodos (n)". Bajo esta connotación la fórmula de valor futuro dado un
valor presente se puede escribir simbólicamente de la siguiente manera:
)%,,/( niPFPF =
Si el ejemplo anterior se realiza directamente mediante la fórmula se plantea de
la siguiente manera:
732$
)4641.1(500$
)4%,10,/(500$
−===
F
F
PFF
Módulo: Matemáticas Financieras 21
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
2.1.2 Cálculo del Valor Presente dado un Valor Futuro
La relación que vamos a detallar es inversa a la anterior, por lo tanto, las
variables conocidas son el valor futuro (F), la tasa de interés (i) y el número de
periodos (n) y la variable a encontrar es el valor presente (P). Con el fin de tener
una mejor visión del concepto, se presenta a continuación el modo gráfico de la
relación:
Gráfico 2
La fórmula matemática de esta relación se denota de la siguiente manera:
nn
iFi
FP −+=
+= )1(
1
1
En donde, la expresión ni −+ )1( es el factor de valor presente de un pago
único el cual desagrega valor a la cantidad F a lo largo del periodo para
hallar el valor presente, para mayor ilustración realizar el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 2.2: Suponga que al final del periodo 3 se deben pagar $1.200, la
persona sabe que la tasa de interés que le asignaron fue del 8% anual, por tanto
es necesario saber ¿Cuál es el monto a desembolsar la entidad financiera en el
momento para que la persona pueda pagar en el futuro el valor conciliado?
Solución
Módulo: Matemáticas Financieras
0
1 2 3 4n
i = tasa de interés por periodo
P = valor presente (se calcula)
F = valor futuro (se conoce)
0
1 2 3 4n
i = tasa de interés por periodo
P = valor presente (se calcula)
F = valor futuro (se conoce)
22
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Año Saldo a principio de cada año
Interés acumulado cada año
Saldo a final de cada año
Pago totalal final delaño 4
1 $ 877 $ 76 $ 953 $ 9532 $ 1.030 $ 81 $ 1.111 03 $ 1.114 $ 86 $ 1.200 0
La expresión simbólica que representa este factor es
)%,,/( niFPFP = y su lectura es: “Encontrar un valor presente (P),
dado un valor futuro (F), una tasa de interés (i) y los períodos (n)".
Si el ejemplo anterior se realiza directamente mediante la fórmula se plantea de
la siguiente manera:
953$
)7938.0(200.1$
)3%,8,/(200.1$
=−=−=
P
P
FPP
2.1.3 Cálculo del Número de Periodos
Con la relación de los pagos únicos, se puede determinar cuál es el número de
periodos necesarios en el momento que no haya ese dato pero se debe tener las
variables de valor presente, valor futuro y la tasa de interés. La fórmula para
hallarlo, se extrae de la ecuación niPF )1( += , en donde para despejar n se
aplican logaritmos, quedando la ecuación de la siguiente manera:
)1ln(
lnln
i
PFn
+−=
Ejemplo 2.3: Felipe Sánchez le desembolsaron un préstamo de $52.000.000, el
cual debe pagar a una tasa de interés del 1.8% mensual y que al final del periodo
debe pagar $85.000.000, calcular ¿cuál es el periodo de tiempo requerido para
realizar la transacción descrita?
Solución
Módulo: Matemáticas Financieras 23
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Teniendo los datos de F= $-85.000.000, P=$52.000.000 y una i=1.8% mensual,
se aplica la ecuación:
mesesn
n
52.27
)018.01ln(
)52000000ln()000.000.85ln(
=+
−=
2.1.4 Cálculo de la Tasa de Interés
Para hallar la tasa de interés bajo la cual se realizó una transacción, partiendo de
la ecuación: niPF )1( += y, utilizando una relación matemática que dice4:
1)(1)(
,tan
)1()1(
,)1(,
/1/1
/1
−=⇒+=
=→+=→=→+=+=
=⇔=
nn
n
n
cc
PFiiP
F
toPor
nciBFAiF
despejaseiPFecuaciónlaparaentonces
BABA
Ejemplo 2.4: A Lina Hoyos le otorgaron un préstamo por valor de $30.000.000
para comprar un vehículo, el cual debe pagar en 4 años y se conoce que al final
del periodo debe pagar $42.000.000, calcular ¿cuál es la tasa de interés
requerida para realizar la transacción descrita?
Solución
Teniendo los datos de F= $-42.000.000, P=$30.000.000 y una n=4 años, se
aplica la ecuación:
anuali
i
%78.8
1)000.000.30000.000.42( 4/1
=
−=
4JARAMILLO B. Fernando. Matemática Financiera y su uso para las Decisiones en un Entorno Internacional. Editorial Universidad de Antioquia. Medellín. Colombia. 2006
Módulo: Matemáticas Financieras 24
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
2.2Series
2.2.1 Series Uniformes
Conocidas las relaciones de pago único en el presente y futuro, se introduce en
este apartado el concepto de serie uniforme que se denota con la letra A. Esta
función acoge también del valor del dinero en el tiempo y hace referencia a una
serie de flujos de efectivo que tienen las siguientes consideraciones5:
• Los flujos deben ser uniformes o iguales en cuanto al
desembolso/reembolso, es decir, todos los valores deben de ser iguales.
• Los periodos de desembolso/reembolso deben de ser iguales (ej, mensual,
trimestral, anual, entre otros).
• Todos los flujos deben de ser del mismo tipo: desembolso o reembolso.
Estas series uniformes se pueden calcular de manera anticipada o vencida, en
donde la diferencia radica en cuándo se desembolsa/reembolsa el flujo de
efectivo; es decir, la serie uniforme es vencida si el desembolso/reembolso se da
al final del periodo y anticipada cuando es al principio del periodo.
Adicionalmente, la serie uniforme (A) permite establecer relaciones entre el valor
futuro y el valor presente.
2.2.2 Cálculo del Valor Futuro dado una Serie Uniforme
Para el cálculo del valor futuro relacionada con la serie uniforme, es necesario
tener tres variables conocidas (serie uniforme (A); la tasa de interés (i) y el
números de periodos (n)) con el fin de encontrar el valor futuro, ya que se maneja
el mismo concepto de tener valores equivalentes entre la serie uniforme y el
valor futuro mediante el descuento de dinero en el tiempo por medio de la tasa
de interés.
5 OCHOA S. Guadalupe A. Administración Financiera. Primera Edición. McGraw-Hill. México 2003.
Módulo: Matemáticas Financieras 25
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
La expresión simbólica en este caso es )%,,/( niAFAF = , el cual se lee:
Encontrar un valor futuro F dado una serie uniforme A, con una tasa de interés i
% y periodos n.
Ahora, de acuerdo a las características que tiene una serie uniforme y sabiendo
que es necesario encontrar un valor futuro al final de n-periodos a una tasa de
interés determinado, a continuación se muestra la construcción de la fórmula6:
Paso 1: La relación de la serie uniforme con el valor futuro, se obtiene de sumar
los valores equivalentes futuros de cada uno de los flujos de efectivo:
[ ]0121 )1()1(...)1()1(
)0%,,/()1%,,/(...2%,,/()1%,,/(
iiiiAF
iPFAiPFAniPFAniPFAFnn ++++++++=
+++−+−=−−
Paso 2: Los términos entre corchetes constituyen una secuencia geométrica que
tiene una razón común (1+i)-1, por tanto la suma de los primeros n términos de
una secuencia geométrica es:
11
1 ≠−−
= bdondeenb
baaS n
n
Si a1 es el primer elemento de la secuencia, an es el último y b es la razón común,
entonces se tiene
+−
+−+
=
−
)1(
11
)1(
1)1( 1
i
ii
AF
n
Paso 3: Al simplificar queda la fórmula definitiva de )%,,/( niAFAF =
−+=i
iAF
n 1)1(
La representación gráfica de esta relación es la siguiente:
6 SULLIVAN, William; WICKS, Elin, LUXHOJ, James. Ingeniería Económica de DeGarmo. Duodécima Edición. Editorial Pearson. México 2004.
Módulo: Matemáticas Financieras 26
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Gráfico 3
Para entender mejor el concepto, a continuación se presenta dos ejemplos con
sus respectivos gráficos que muestran una serie uniforme vencida y otra
anticipada.
Ejemplo 2.5: Maria Rico desea ahorrar $800 al final de cada trimestre a partir de
enero hasta diciembre del mismo año, sabiendo que el banco le paga una tasa de
interés del 1.5% trimestre sobre lo ahorrado.
Solución
72,272.3$
)09.4(800$
)4%,5.1,/(800$
=−=−=
F
F
APF
Gráfico 4
Ahora, tomemos los mismos datos, pero los desembolsos se realizan a principio
de periodo, teniendo en cuenta que al ser anticipado el cálculo del valor futuro
Módulo: Matemáticas Financieras
0 1 2 3 4 n
i = tasa de interés por periodo
A = Serie Uniforme Vencida (se conoce)
F = valor futuro (se calcula)
0 1 2 3 4 n
i = tasa de interés por periodo
A = Serie Uniforme Vencida (se conoce)
F = valor futuro (se calcula)
1 2 3 4 n
i = tasa de interés por periodo
A = Serie Uniforme Vencida (se conoce)
F = valor futuro (se calcula)
01 2 3 4
i = 1.5% Trimestral
F = $ 3.272,72
-$800 -$800 -$800 -$8000
1 2 3 4
i = 1.5% Trimestral
F = $ 3.272,72
-$800 -$800 -$800 -$800
27
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
inicial quedaría en el periodo 3, por tanto es necesario tomar el valor F del
ejercicio y aplicar una relación única de pago F=P(F/P; i%, n) en donde el valor
real del futuro en el periodo 4 es el resultado F1.
81,321.3$
)015.1(72,272.3$
)1%,5.1,/(72,272.3$
72.272.3$,
,
72.272.3$
)09.4(800$
)4%,5.1,/(800$
1
1
1
1
=−=−=
==
=−=−=
F
F
PFF
PFdondeen
FcalculaseAhora
F
F
APF
Gráfico 5
2.2.3 Cálculo del Valor Presente dado una Serie Uniforme
El cálculo de esta relación se puede deducir a partir de la relación anterior, en
donde se tiene la fórmula
−+=i
iAF
n 1)1(, en donde niPF )1( += , si
reemplazamos la F de la primera fórmula, entonces:
+
−+=
−+=+
n
n
nn
ii
iAP
Pdespejase
i
iAiP
)1(
1)1(
,1)1(
)1(
Módulo: Matemáticas Financieras
0 1 2 34
i = 1.5% Trimestral
F1 = $ 3.321,81
-$800 -$800 -$800-$800
F= $ 3.272,72
0 1 2 34
i = 1.5% Trimestral
F1 = $ 3.321,81
-$800 -$800 -$800-$800
F= $ 3.272,72
28
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Con lo anterior, se deduce que el factor del valor presente de una serie
uniforme es
+
−+n
n
ii
i
)1(
1)1(, en donde la expresión simbólica es (P/A, i%, n);
por tanto, la fórmula se puede escribir simbólicamente
)%,,/( niAFAP =
Ejemplo 2.6: consideremos que existe una cuota de $200 anuales y se genera durante 3 años, a una tasa de interés del 8.5% anual. Se desea conocer ¿cuánto debe desembolsar hoy para obtener esas cuotas?
Solución
8.510$
)55.2(200$
)3%,5.8,/(200$
−===
P
P
APP
Gráfico 6
2.2.4 Cálculo de
la Serie Uniforme dado el Valor Futuro
Con el fin de deducir la fórmula de la relación en cuestión, se toma como
referencia nuevamente lo siguiente
−+=i
iAF
n 1)1(, en donde al despejar A
se obtiene:
−+
=1)1( ni
iFA
Módulo: Matemáticas Financieras
01 2 3
i = 8.5% anualP= -$510.8
$200$200$200
01 2 3
i = 8.5% anualP= -$510.8
$200$200$200
29
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
En esta fórmula, el factor es llamado fondo de amortización y es
−+ 1)1( ni
i, cuya notación o expresión simbólica es (A/F, i%, n). Por
tanto, se puede la representación de la fórmula es )%,,/( niFAFA =
y su lectura es: “Encontrar la serie uniforme (A), dado un valor futuro
(F), una tasa de interés (i) y los períodos (n)".
Ejemplo 2.7: Una persona necesita para viajar en un año al exterior $4.500.000,
sabe que el banco actualmente está dando un interés del 1.2% mensual; por
tanto necesita saber ¿cuánto debe ahorrar mensualmente para tener el dinero
necesario del viaje?
45.889.350$
)077.0(000.500.4$
)12%,2.1,/(000.500.4$
−===
A
A
FAA
Gráfico 7
2.2.5 Cálculo de la Serie Uniforme dado el Valor Presente
Para deducir la fórmula de esta relación, es necesario despejar A en la siguiente:
Módulo: Matemáticas Financieras
0 1 2 3 4 12
i = 1.2% mensual
A =$ -350.889,45
F = $4.500.000
0 1 2 3 4 12
i = 1.2% mensual
A =$ -350.889,45
F = $4.500.000
30
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
−+
+=
+
−+=
1)1(
)1(
)1(
1)1(
n
n
n
n
i
iiPA
ii
iAP
, despejando
El factor es llamado recuperación de capital y es
−+
+1)1(
)1(n
n
i
ii, cuya
notación o expresión simbólica es (A/P, i%, n). Por tanto, se puede la
representación de la fórmula es )%,,/( niPAPA = y su lectura es:
“Encontrar la serie uniforme (A), dado un valor presente (P), una tasa de
interés (i) y los períodos (n)".
Ejemplo 2.8: El banco otorga un préstamo hoy de $10.000.000 para mejorar una
vivienda, a una tasa de interés del 2.1% mensual, pagadero a 2 años. Se desea
saber ¿cuál es la cuota uniforme mensual que se debe pagar en este periodo?
Solución
2,719.534$
)053.0(000.000.10$
)24%,1.2,/(000.000.10$
−===
A
A
PAA
Gráfico 8
Módulo: Matemáticas Financieras
0 1 2 3 4 24
i = 2.1% mensual
A =$ -534.719,2
P = $10.000.000
0 1 2 3 4 24
i = 2.1% mensual
A =$ -534.719,2
P = $10.000.000
31
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
2.3Gradientes
Las series gradientes (G), manejan el mismo procedimiento de equivalencia de
dinero en el tiempo visto anteriormente; sin embargo se diferencia por que sus
flujos de caja no son uniformes sino que se comportan de una manera creciente o
decreciente, ya sea mediante un valor fijo o un incremento porcentual durante el
periodo de evaluación. Por ejemplo, se realiza un préstamo de $1.500 que es
pagadera en 5 cuotas mensuales, pero la cuota mensual aumenta $500 cada
periodo, la cual no genera interés. Por tanto, el primer periodo tiene la una cuota
que A=$1.500, la cual permanece todo el periodo como una base de serie
uniforme y el aumento G=$500 a partir del segundo periodo en adelante, es
decir:
Meses
A G Cuota Total
1 $1.500 A1 $1.5002 $1.500 $500 A1+G $2.0003 $1.500 2 *$500 A1+2G $2.5004 $1.500 3 *$500 A1+3G $3.0005 $1.500 4* $500 A1+4G $3.500
La persona debe pagar al final del quinto mes un valor de $3.500.
Ahora, si se plantea un préstamo de $1.500 que es pagadera en 5 cuotas
mensuales, pero la cuota mensual aumenta en un 2% cada periodo, sin generar
interés; se dice que el primer periodo tiene una cuota que es A=$1.500, la cual
permanece todo el periodo como una base de serie uniforme y el aumento
porcentual de G=$2% a partir del segundo periodo en adelante, es decir:
Meses
A G Cuota Total
1 $1.500 A1 $1.500
2 $1.500 (1+2%) A1*(1+G) $1.5303 $1.500 (1+2%)2 A1*(1+ G)2 $1.560,64 $1.500 (1+2%)3 A1*(1+ G)3 $1.591,85 $1.500 (1+2%)4 A1*(1+ G)4 $1.623,
65
Módulo: Matemáticas Financieras 32
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
La persona debe pagar al final del quinto mes un valor de $1.623,65.
2.3.1 Gradiente Aritmético
La serie gradiente aritmético, se identifica cuando los flujos de caja crecen o
decrecen de una manera fija durante el periodo de tiempo, en este caso la G se
conoce como la cantidad en forma de gradiente uniforme; en donde, si la
cantidad crece a la serie uniforme se le suma el gradiente (A+G), pero si la
cantidad decrece a la serie uniforme se le resta el valor del gradiente (A-G). Con
el fin de tener claridad sobre los conceptos expuestos hasta el momento en el
capítulo, se presenta a continuación dos gráficas que muestran las dos
situaciones.
Representación gráfica para un valor presente o valor futuro equivalente a una
serie gradiente aritmético creciente de este flujo es el siguiente:
Gráfico 9
Representación gráfica para un valor presente o valor futuro equivalente a una
serie gradiente aritmético decreciente un flujo:
Gráfico 10
Módulo: Matemáticas Financieras
0 1 2 3 4n
i = tasa de interés por periodo
A1
A1+G
A1+2G
A1+3G
A1+(n-1)G
0 1 2 3 4n
i = tasa de interés por periodo
A1
A1+G
A1+2G
A1+3G
A1+(n-1)G
i = tasa de interés por periodo
0 1 2 3 4n
A1-G
A1-2G
A1-3G
A1
A1-(n-1)G
i = tasa de interés por periodo
0 1 2 3 4n
A1-G
A1-2G
A1-3G
A1
A1-(n-1)G
33
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
2.3.1.1Cálculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Aritmético
El valor futuro equivalente, de la secuencia aritmética de los flujos de efectivo, se
representa de la siguiente manera7:
[ ]
( )i
NGniAF
i
GF
i
NGi
i
GF
i
NGiiii
i
GF
i
i
i
i
i
i
i
iGF
bieno
iAFGiAFGniAFGniAFGF
g
n
K
kg
nng
nn
g
g
−=
−
+=
−+++++++++=
−++−+++−++−+=
+++−+−=
∑−
=
−−
−−
%,,/
)1(
1)1()1(....)1()1(
1)1(1)1(....
1)1(1)1(
,
)1%,,/()2%,,/(...2%,,/()1%,,/(
1
0
1221
1221
Dado que la expresión de Fg de nota solamente el valor del gradiente en el
tiempo, entonces si se quiere conocer el valor futuro de todo el flujo de caja, es
necesario sumar el futuro correspondiente a la serie uniforme
)%,,/( niAFAF = , por tanto el Futuro Total (Fg) = ±)%,,/( niAFA Fg,
dependiendo si el gradiente crece o decrece.
Ejemplo 2.9: Juan Rúa espera tener el siguiente flujo de efectivo, con una tasa
de interés del 9% anual, en donde se requiere saber cuál es el valor futuro total y
del gradiente:
Años Flujo1 $8002 $1.0003 $1.200
7 SULLIVAN, William; WICKS, Elin, LUXHOJ, James. Ingeniería Económica de DeGarmo. Duodécima Edición. Editorial Pearson. México 2004.
Módulo: Matemáticas Financieras 34
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
4 $1.400
Solución
( )
5,3658$
)573.4(800$
)4%,9,/(800$
62,273.1$09.0
200*4573.4
09.0
200
===
=
−=
F
F
AFF
F
F
g
g
12,932.4$
62,273.1$5,3658$
,
=+=
+=
t
t
gt
F
F
FFF
dondeen
2.3.1.2Cálculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Aritmético
La expresión simbólica de esta relación se representa )%,,/( niGAGA = , la
cual tiene la siguiente lectura: encontrar una serie uniforme (A), dado una tasa de
interés (i%) y un periodo (n).
La fórmula para encontrar la relación es:
−+
−=1)1(
1ng i
n
iGA
En donde, el factor
−+
−1)1(
1ni
n
i representa la conversión de un gradiente en
serie uniforme. Es por ello, que es necesario tener en cuenta que para hallar la
serie uniforme total (At), se debe sumar o restar la serie uniforme con el Ag
encontrado ( gt AAA ±= ) dependiendo si el gradiente es creciente o decreciente.
Ejemplo 2.10: Suponiendo que Juan Rúa, desea conocer cuál seria la cuota
uniforme que debería tener con el flujo de caja mostrado en el ejemplo 2.7.
Bajo éste parámetro es sabido que A = $800, entonces se debe proceder a volver
el valor de G en una serie uniforme.
Módulo: Matemáticas Financieras 35
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Solución
50.278$
)3925,1(200$
)9%,9,/(200$
===
A
A
GAA
50,078.1$
50,278$800$
,
=+=
t
t
A
A
dondeen
2.3.1.3Cálculo de un Valor Presente dado un Gradiente Aritmético
La expresión simbólica de la relación es )%,,/( niGPGP = , cuya lectura es la
siguiente: encontrar un valor presente, dado una tasa de interés y un periodo.
La fórmula para encontrar la relación es:
+
−+
−+=nn
n
g i
n
ii
i
i
GP
)1()1(
1)1(
El factor i
1
+
−+
−+nn
n
i
n
ii
i
)1()1(
1)1( representa la conversión de un gradiente a su
valor presente equivalente8. Para hallar el valor presente total, es necesario
sumar el valor presente de una serie uniforme con el valor presente del
gradiente, es decir, gt PniAPAP ±= )%,,/( .
Ejemplo 2.11: Ahora, analicemos si Juan Rúa, desea conocer cuál seria el valor
presente que debería tener con el flujo de caja mostrado en el ejemplo 2.7.
Bajo éste parámetro es necesario conocer )%,,/( niGPGP = y
)%,,/( niAFAP = .
Solución
591.2$
)239,3(800$
,
26,902$
)511,4(200$
==
=
=
P
P
dondeen
P
P
g
g
26.493.3$
26,902$591.2$
=+=
+=
t
t
gt
P
P
PPP
8 SULLIVAN, William; WICKS, Elin, LUXHOJ, James. Ingeniería Económica de DeGarmo. Duodécima Edición. Editorial Pearson. México 2004.
Módulo: Matemáticas Financieras 36
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
2.3.2 Gradiente Geométrico
A diferencia del gradiente aritmético, los flujos de caja crecen o decrecen de una
manera porcentual. Estas variaciones porcentuales se identifican en las fórmulas
mediante ig, ya que la tasa de interés comúnmente se referencia por medio de la
i.
Como manera de ilustración se muestra cuál es el diseño gráfico de estos flujos
de caja crecientes, en donde se representa un valor presente o valor futuro
equivalente a una serie gradiente geométrica.
Gráfico 11
2.3.2.1Cálculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Geométrico
El valor futuro equivalente, de la secuencia geométrica de los flujos de efectivo,
se representa por medio de la siguiente fórmula, en donde si la serie es creciente
se aplica iig − y si es decreciente la serie se aplica iig + :
±
+++=
ii
iiAF
g
ng
n )1()1(1
Al aplicar ésta fórmula, se calcula directamente el futuro del flujo de caja, es
decir, no hay necesidad de encontrar un futuro total como en el gradiente
aritmético.
Módulo: Matemáticas Financieras
1 2 3 4n
i = tasa de interés por periodo
A1
A1*(1+ig)
A1*(1+ig)2
A1*(1+ig)3
A1*(1+ig)N-1
1 2 3 4n
i = tasa de interés por periodo
A1
A1*(1+ig)
A1*(1+ig)2
A1*(1+ig)3
A1*(1+ig)N-1
37
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
2.3.2.2Cálculo de un Valor Presente dado un Gradiente Geométrico
El valor presente total equivalente a una serie geométrica de flujos de efectivo, se
calcula por medio de la siguiente fórmula
ii
i
iA
Pg
n
ng
±
−
++
=
1)1(
)1(1
En donde, si se quiere calcular un gradiente creciente, debe tener el denominador
con signo negativo y, si el cálculo es para un gradiente decreciente el signo debe
ser positivo.
2.3.2.3Cálculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Geométrico
La manera de volver una serie gradiente geométrica en una serie uniforme, se
realiza mediante la siguiente fórmula, en donde se sigue las mismas
especificaciones de signo en el denominador del primer corchete cuando la serie
es creciente o decreciente.
−+
−
−−+=
1)1(
)1()1(1 n
g
ng
n
i
i
ii
iiAA
2.4Consideraciones Finales
• Mediante la aplicación de los conceptos de equivalencia y valor del dinero en
el tiempo, se estructuraron las relaciones de pago más comunes basados en el
interés compuesto.
• Se determinaron las relaciones de pago único entre los valores presente y
futuro, así como las consideraciones se las series uniformes con las posibles
combinaciones de variables y las series gradientes planteadas desde lo
aritmético y geométrico. Adicionalmente, para cada una de las relaciones se
especificaron los factores y la expresión simbólica respectiva.
Módulo: Matemáticas Financieras 38
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
2.5Ejercicios Resueltos
1. Se sabe que por medio de un documento, María Escobar, se comprometió a
cancelar después de año y medio un valor de $2.650.000, a una tasa de
interés del 11,00% semestral. Hallar el valor inicial de la obligación de Maria.
Solución
Al realizar la lectura del ejercicio, podemos deducir el valor de las variables dadas
con el fin de aplicar la fórmula de calcular un Valor Presente dado un valor futuro,
en donde F=$-2.650.000, i=11% semestral y n= 3 semestres.
16.657.937.1$
)10,73119138(200.1$
)3%,11,/(000.650.2$
=−=−=
P
P
FPP
A María Escobar le han desembolsado en el periodo cero un valor equivalente a
$1.937.657.16. La representación gráfica de este ejercicio es el siguiente:
2. Sandra Betancur compra una casa por valor de $95 millones esperando
venderlo dentro de un año en $130 millones, se pide conocer, ¿cuál es la tasa
de interés mensual que rinde el dinero invertido?
Solución
Las variables contempladas en este ejercicio son F=$130.000.000, P=-$95.000.000 y n= 1 año, con lo anterior podemos calcular la tasa de interés así:
%37
1)000.000.95$000.000.130$(
1)(
1/1
/1
=
−=
−=
i
i
PFi n
Módulo: Matemáticas Financieras
0
1 2 3
i = 11% semestral
P = $1.937.657,16
F = -$2.650.000
0
1 2 3
i = 11% semestral
P = $1.937.657,16
F = -$2.650.000
39
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
La tasa de interés que se obtuvo en un año fue del 37%.
3. Juan Carlos Sánchez tiene dos cuentas por cobrar, la primera dentro de 2
meses por valor de $1.000.000 y la segunda por $2.000.000 dentro de 5
meses. Simultáneamente, tiene que cancelar una deuda con 3 pagos de
$500.000 cada una en los meses 4 y 6. Hallar el valor del saldo dentro de 7
meses, si la tasa de interés es del 1,30% mensual.
Solución
Dado que los flujos de caja no son uniformes, al igual que los periodos, se debe
trasladar cada valor hacia el futuro con una tasa de interés del 1.30%, para que
en el final del mes 7 se pueda conocer el saldo neto del Sr. Sánchez.
338.052.2$
)013.1(000.000.2$
11,712.066.1$
)013.1(000.000.1$
2
22
1
51
==
==
F
F
F
F
500.506$
)013.1(000.500$
6,754.519$
)013.1(000.500$
4
14
3
33
−=−=
−=−=
F
F
F
F
Para hallar el futuro total se realiza la sumatoria de los valores calculados en cada
una de las F.
51,795.092.2$
)500.506$()6,754.519$(338.052.2$11,712.066.1$4321
=−+−++=
+++=
Ft
Ft
FFFFFt
El Sr. Sánchez tendrá un saldo a favor en el mes 7 de $2.092.795,51.
Gráficamente el ejercicio se representa así:
Módulo: Matemáticas Financieras
0 1 2 3 4
i = 1.3% mensual
Ft = $ 2.092.795,51
$1.000.000
-$500.000
$2.000.000
56
-$500.000
0 1 2 3 4
i = 1.3% mensual
Ft = $ 2.092.795,51
$1.000.000
-$500.000
$2.000.000
56
-$500.000
40
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Unidad 3: Interés Efectivo
OBJETIVO GENERAL
Reconocer la importancia y aplicación del interés efectivo en la toma de
decisiones financieras.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Comprender los conceptos de interés nominal e interés efectivo.
• Aplicar las fórmulas y procedimientos para la conversión de tasas de interés
efectivo en nominal y viceversa, cuando las capitalizaciones son vencidas y
anticipadas.
• Identificar los elementos de tasas de interés compuestas.
Tasa de interés nominal
Esta tasa de interés se expresa generalmente anual e indica el número de
períodos de capitalización que se van a aplicar en el negocio referido, esto
quiere decir que la liquidación de los intereses es fraccionada. Los períodos de
liquidación pueden ser diarios, bimensuales, mensuales, bimestrales,
trimestrales, semestrales, anuales. La tasa de interés nominal tiene cierta
relación con el interés simple, en la medida que no recoge el efecto de las
capitalizaciones.
Ejemplos de la expresión de la tasa de interés nominal:
• 18% A SV (Anual Semestre Vencido)
• 18% A MV (Anual Mes Vencido)
• 18% A TA (Anual Trimestre Anticipado)
Si se conoce la tasa de interés nominal se puede conocer cuál es la tasa
periódica. Para el primer ejemplo se puede decir que la tasa de interés
Módulo: Matemáticas Financieras 41
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
periódica (semestral) es del 9% (18% / 2). Adicionalmente si se conoce la tasa
periódica se puede calcular la tasa nominal anual, por ejemplo si la tasa
mensual es del 1.5% la tasa nominal anual mes vencido será del 18% A MV
(1.5% x 12).
De la anterior aclaración surge una observación importante: las tasas
nominales se pueden multiplicar y dividir. Esto es importante porque
comparativamente con las tasas efectivas podemos adelantar lo siguiente: las
tasas efectivas se pueden multiplicar, pero no se pueden dividir.
Tasa de interés efectiva
Esta tasa de interés recoge el efecto de las capitalizaciones de intereses
cuando estos no son retirados. La tasa de interés efectiva tiene relación con el
interés compuesto, ya que éste como se había definido anteriormente es el
que resulta de ganar intereses sobre el capital inicial y sobre los intereses
ganados y no retirados; se puede decir en consecuencia que la tasa de interés
efectiva es la expresión en términos de la rentabilidad o costo asociado a
negocios que presenta esta característica.
El análisis comparativo del interés simple y el interés compuesto presentado en
la tabla 3, sirve de base para decir que análogamente la tasa de interés
nominal (asociada en cierta medida el interés simple) es inferior a la tasa de
interés nominal (asociada el interés compuesto).
Fórmulas para la conversión de tasa de interés nominal y efectiva
Para capitalizaciones vencidas
11ief −
+=
mnom
m
i
Donde:
ief: Tasa de interés efectiva
inom: Tasa de interés nominal
m: Es el número de período de capitalización o composición del interés
Módulo: Matemáticas Financieras 42
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Ejemplo 3.1. Retomando el ejemplo 1.4 donde Sandra Palacio deposita por
un año $10.000 en una cuenta que paga el 18% anual capitalizado
trimestralmente de manera vencida. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva que le
pagaron a Sandra?
Solución
inom: 18% A TV
m: 4
ief: ?
Reemplazando en la fórmula de tasa efectiva tenemos que:
14
18.01i
4
ef −
+= %25,191925,0 ==efi
El anterior ejemplo se puede leer de la siguiente manera: una tasa del 18% A
TV es equivalente a una tasa efectiva anual de 19.25%.
Cuando se ilustró el interés compuesto se planteó que a mayor número de
capitalizaciones mayor sería el interés obtenido, consecuentemente podemos
afirmar que a mayor número de capitalizaciones mayor será la tasa de interés
efectiva. Veamos la siguiente tabla la cual reafirma esta idea.
Tabla 1
Tasa nominal anual
Tasa efectiva anual
m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 6 m = 12m = 365
12% 12,00% 12,36% 12,49% 12,55% 12,62% 12,68% 12,75%
18% 18,00% 18,81% 19,10% 19,25% 19,41% 19,56% 19,72%
24% 24,00% 25,44% 25,97% 26,25% 26,53% 26,82% 27,11%
30% 30,00% 32,25% 33,10% 33,55% 34,01% 34,49% 34,97%
36% 36,00% 39,24% 40,49% 41,16% 41,85% 42,58% 43,31%
Nótese también en la tabla 4 que cuando m = 1 la tasa nominal anual es igual
a la tasa efectiva, en general podemos afirmar que una tasa nominal es igual a
una tasa efectiva cuando el período de capitalización es igual a 1.
La anterior afirmación se puede demostrar de la siguiente manera:
Módulo: Matemáticas Financieras 43
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Así como se pasa de una tasa nominal a una tasa efectiva se puede hacer en
sentido inverso, es decir, a partir de una tasa efectiva hallar la tasa nominal.
Para esto debemos encontrar una expresión a partir de la presentada para el
interés efectivo.
11ief −
+=
mnom
m
i
( )[ ]11 /1 −+= mefnom imi
La anterior fórmula también se puede expresar de la siguiente manera:
( )1)1( −+= m efnom imi
Ejemplo 3.2. Si se tiene una tasa de interés efectiva anual del 21.5506%
capitalizada trimestralmente, ¿Cuál es la tasa de interés nominal equivalente?
Solución
ief: 21.5506% EA (Efectivo Anual)
m: 4
inom: ?
Reemplazando en la fórmula de tasa nominal tenemos que:
Lo anterior quiere decir que una tasa nominal anual del 20% capitalizada
trimestralmente es equivalente a una tasa efectiva del 21.5506%.
Ejemplo 3.3. Se tiene una tasa efectiva anual de 26.8242% que fue
capitalizada mensualmente. ¿Cuál es la tasa mensual implícita?
Módulo: Matemáticas Financieras
ief = 1 + inom 1
1 -1 ief = 1 + inom - 1
ief =
inom
inom = 4 [(0.215506 +1)0.25 –
1]
inom = 20% A TV
44
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Solución
ief: 26.8242% EA (Efectivo Anual)
m: 12
inom: ? para un mes.
Se reemplaza en la fórmula de tasa nominal y luego se obtiene la tasa
periódica:
El exponente 0.08333 es (1/12). Como ya se tiene la tasa nominal anual mes
vencida esta tasa si se puede dividir y encontramos que la tasa periódica
mensual es 2% (24% / 12).
Para capitalizaciones anticipadas.
Cuando las capitalizaciones son anticipadas el interés efectivo es mayor, esto
ocurre porque el tenedor de los intereses los tendría más tiempo para
capitalizarlos lo que hace que la tasa sea mayor.
Si la capitalización es anticipada la fórmula del interés efectivo es la siguiente:
11ief −
−=
−mnom
m
i
Donde:
ief: Tasa de interés efectiva
inom: Tasa de interés nominal
m: Es el número de período de capitalización o composición del interés
Ejemplo 3.4. Retomando el Ejemplo 1.4 donde Sandra Palacio deposita por
un año $10.000 en una cuenta que paga el 18% anual capitalizado
trimestralmente de manera anticipada. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva
que le pagaron a Sandra?
Módulo: Matemáticas Financieras
inom = 12 [(0.268242 +1)0.08333 –
1]
inom = 24% A MV
45
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Solución
inom: 18% A TA
m: 4
ief: ?
Reemplazando en la fórmula de tasa efectiva tenemos que:
Se puede ver claramente como la tasa efectiva es mayor en este caso a la
encontrada en el Ejemplo 3.1 donde con capitalizaciones vencidas se había
obtenido una tasa efectiva de 19.25%.
Análogamente como se hizo con la tabla 1, se presentan a continuación
distintas tasas nominales y su equivalente tasa efectiva, con lo cual el lector
podrá comprobar una vez que es mayor cuando es anticipada.
Tabla 2
Tasa nominal anual
Tasa efectiva anual
m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 6 m = 12m = 365
12% 13,64% 13,17% 13,03% 12,96% 12,89% 12,82% 12,75%
18% 21,95% 20,76% 20,40% 20,22% 20,05% 19,89% 19,73%
24% 31,58% 29,13% 28,42% 28,08% 27,75% 27,43% 27,13%
30% 42,86% 38,41% 37,17% 36,59% 36,04% 35,50% 35,00%
36% 56,25% 48,72% 46,74% 45,83% 44,95% 44,12% 43,36%
Nótese que en este caso cuando m = 1, las tasas son diferentes y no se da el
mismo fenómeno de las capitalizaciones vencidas, además en este caso
sucede lo contrario a lo reflejado en la tabla 1, a medida que m aumenta la
tasa efectiva se va haciendo menor; para finalizar se nota que cuando m es
muy grande (m=365) la tasa efectiva por las dos formas de capitalización se
hace muy similar.
Módulo: Matemáticas Financieras
ief = 1 - 0.18 -4
4 -1 ief = 0.2022 = 20.22%
46
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Una manera alternativa para hallar la tasa efectiva con capitalización
anticipada es calcular la tasa periódica equivalente anticipada y luego calcular
la tasa efectiva anual.
La tasa efectiva periódica se calcula de la siguiente manera:
ant
antef
i
ii
−=
1
Ejemplo 3.5. Diego López recibe un préstamo de $10.000 a una tasa de
interés del 42% anual, pagadero mes anticipado. Si el préstamo lo paga en un
año, ¿Cuál es la tasa de interés efectiva del préstamo?
Solución
inom: 42% A MA
m: 12
ief: ?
Primero calculamos la tasa periódica que es 3.5% mes (42% / 12), luego con
esta tasa (nominal) calculamos la tasa periódica anticipada efectiva.
Con la tasa mensual encontramos la tasa nominal anual mes vencida: 3.627%
x 12 = 43.523% A MV. Con esta nueva tasa hallamos la tasa efectiva
utilizando la fórmula para las capitalizaciones vencidas.
Módulo: Matemáticas Financieras
iant (ef) = 0.035 1 – 0.035
iant (ef) = 0.03627 = 3.627% mes
ief = 1 + 0.43523 12
12 -1 ief = 0.5335 = 53.35%
47
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Conversión de tasas de interés
En este espacio se desarrollan ejemplos adicionales que refuerzan los
conceptos hasta aquí tratados sobre tasas efectivas y nominales.
Ejemplo 3.6. ¿Cuál es la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa
trimestral anticipada del 3,85%?
Solución
Para resolver este caso utilizamos la fórmula para la tasa efectiva periódica.
ant
antef
i
ii
−=
1
iant = 3,85%
ief =?
%40385,01
0385,0 ==−
efi Esta tasa es efectiva trimestral.
Ejemplo 3.7. Hallar la tasa anticipada de un bimestre equivalente a una tasa
bimestre vencida de 2,5%.
Solución
Partimos de la anterior ecuación y planteamos la siguiente:
ant
antef
i
ii
−=
1 Desarrollando la fórmula para ief tenemos que
ef
efant
i
ii
+=
1
ief = 2,5%
iant = ?
%44,2025,01
025,0 ==+
anti Esta tasa es anticipada para el subperíodo “bimestral”.
Módulo: Matemáticas Financieras 48
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Con los ejemplos 3.6 y 3.7 se reafirma lo planteado anteriormente, que
cuando la capitalización es anticipada la tasa efectiva es superior a la tasa del
subperíodo.
Ejemplo 3.8. Juan García toma un préstamo por $800.000 a una tasa del 24%
A TA. Juan está interesado en saber cuál es la tasa efectiva mensual que
equivalente en este negocio.
Solución
inom: 24% A TA
m: 4
ief-mes: ?
Para resolver este problema obtenemos en primera instancia la tasa efectiva
anual y luego la tasa anual mes vencida con lo cual podemos saber la tasa
periódica para un mes.
Cálculo de la tasa efectiva anual
11ief −
−=
−mnom
m
i Tenemos
EA%0821,2814
24,01i
4
ef =−
−=
−
Cálculo de la Tasa nominal mes vencida
( )1)1( −+= m efnom imi Tenemos ( ) AMVnomi %251280821,0112 12 )( =−= +
Con lo que la tasa mensual es 25% / 12 = 2,084%.
Ejemplo 3.9. Adriana Gómez invertirá $5.000.000 en un negocio que pagará
una tasa efectiva anual de 28%; ¿Cuál es la tasa efectiva semestral que
Adriana obtendrá por su inversión, si se sabe que la capitalización es
anticipada?
Módulo: Matemáticas Financieras 49
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Solución
ief: 28% EA
m: 2
ief-semestre: ?
Este problema también se resuelve por pasos.
Cálculo de la tasa nominal semestre anticipada
11ief −
−=
−mnom
m
i
Desarrollando para inom tenemos
+−=
m
ef
nom
imi
/1
1
11
SAAinom %22,2328,01
112
2/1
=
+−=
La tasa periódica (semestral) en este caso es 11,61% (23,22% / 2)
Luego la tasa efectiva semestral que obtendrá Adriana es:
%14,131161,01
1161,0 =−
=efi
Tasas compuestas
Tasa equivalente de una tasa en moneda extranjera
Cuando se tiene una inversión o una deuda en divisas la rentabilidad o el costo
financiero están dados por una “combinación” de la rentabilidad (costo) en el
negocio y la devaluación (o revaluación) de la divisa.
En este caso se componen (combinan) la tasa por rentabilidad (costo) y la tasa
de variación de la divisa y se expresa de la siguiente manera:
1)1)(1( −++= devef iii
Módulo: Matemáticas Financieras 50
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Donde:
efi : Tasa de rendimiento (costo) expresado en términos de la divisa
devi : Tasa de devaluación (revaluación) de la moneda local frente a la
divisa.
Ejemplo 3.10. ¿Cuál es la tasa equivalente en pesos de una inversión que
renta el 10% anual en dólares, si se espera que la devaluación del peso frente
al dólar sea del 18% anual?
Solución
efi : 10%
devi : 18%
%8,291)18.01)(1.01( =−++=i
Nótese que la rentabilidad total obtenida es del 29,8% lo cual es superior a
decir que el rendimiento es 28% (10% + 18%). Esta alternativa de
composición es más ágil, pero imprecisa.
Tasa de interés real
La tasa de interés real, es la tasa de interés a la cual se le ha descontado el
efecto de la inflación.
La fórmula para la tasa de interés real es:
11
1 −++=
fl
efr
i
ii
Donde:
efi : Tasa de interés que se gana o paga
fi : Tasa de inflación
Ejemplo 3.11. ¿Cuál es la tasa de interés real de un CDT que paga un 10%
anual de interés y la inflación prevista es del 5,5% anual?
Módulo: Matemáticas Financieras 51
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Solución
efi = 10%
fi = 5,5%
ri = ?
%27,41055,01
1,01 =−++=ri Tasa de interés real ganada en esta inversión
Tasa de interés con UVR
“La unidad de valor real es el cambio que se ocasiona del sistema UPAC a la
UVR. La Ley 546 de 1999 creó la Unidad de Valor Real (UVR) que mantiene
constante el poder adquisitivo de la moneda, actualizando su valor en pesos
con la inflación. La Junta Directiva del Banco de la República divulga
mensualmente el valor de la unidad para cada uno de los días del período. El
cambio fundamental que se origina es en el reconocimiento de la pérdida del
poder adquisitivo y el manejo del interés. Nuevamente la pérdida del poder
adquisitivo va a estar representada por la tasa de inflación y se aplicará al mes
siguiente de su ocurrencia”9.
Cuando una inversión o un crédito son pactados en UVR, la rentabilidad o costo
asociado debe determinarse mediante una tasa compuesta que considere la
tasa de interés y las variaciones en la UVR.
La tasa de interés en estos casos se determina de manera análoga a como se
realizó para negocios en divisas.
1)1)(1( −++= vuu iii
Donde:
ui : Tasa de interés en UVR
vui : Tasa de crecimiento (incremento) de la UVR.
9 CARDONA, Raúl Armando, Elementos sobre matemáticas financieras. Universidad Eafit. 2000 (Citado por JARAMILLO Betancur, Fernando. En: Matemáticas Financieras y su uso en un entorno internacional. Libro en edición. Medellín, 2006).
Módulo: Matemáticas Financieras 52
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Ejemplo 3.12. ¿Cuál es la tasa de interés mensual de un préstamo por el cual
se paga una tasa del 1,5% en UVR, si se espera que la UVR incremente su
precio a razón de 0,7% mensual?
Solución
ui : 1,5%
vui : 0,7%
%21,21)007,01)(015,01( =−++=i Tasa mensual.
Consideraciones Finales
• Se evidencia con los análisis presentados que la tasa de interés efectiva, en
la práctica, es la tasa que posibilita la evaluación del verdadero rendimiento
(o costo) asociado a decisiones financieras de inversión o financiación.
• Es necesario conocer dos de los elementos fundamentales en un caso
financiero: período de pago y períodos de capitalización para lograr
establecer de manera adecuada el interés efectivo asociado.
• La tasa efectiva es utilizada en distintos escenarios y se constituye en una
variable para la toma de decisiones financieras, ya que cuando se tienen
tasas nominales con diferentes períodos de capitalización no se puede
seleccionar la mejor alternativa hasta tanto no se conviertan en tasas
efectivas.
Ejercicios Resueltos
1. Jorge Palacio tomó un crédito con el Banco Amigable por $400.000,
pagando una tasa del 21% A MA. ¿Cuál es la tasa trimestral efectiva del
préstamo?
Solución
inom: 21% A MA
m: 4
Módulo: Matemáticas Financieras 53
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
ief-trimestre: ?
11ief −
−=
−mnom
m
i Tenemos
EA%597,23112
21,01i
12
ef =−
−=
−
Cálculo de la tasa nominal trimestre vencida
( )1)1( −+= m efnom imi Tenemos ( ) ATVnomi %757,21123597,014 4 )( =−= +
Con lo que la tasa trimestral es 21,757% / 4 = 5,439%.
2. Lina Suárez va a financiar un vehículo de $30.000.000 y le ofrecen las
siguientes tasas de interés: 20% A MV y 19% A MA. ¿Cuál opción le
recomendaría usted a Lina y por qué?
Solución
Las tasas referenciadas no son comparables por ser diferentes en valor y en
períodos de capitalización, por lo tanto debemos calcular las tasas efectivas
equivalentes las cuales si se pueden comparar y el criterio de selección será la
menor tasa efectiva (por tratarse de un caso que genera un costo financiero)
Tasa efectiva equivalente para 20% A MV
EA%94,21112
20.01i
12
ef =−
+=
Tasa efectiva equivalente para 19% A MA
EA%11,21112
19,01i
12
ef =−
−=
−
Módulo: Matemáticas Financieras 54
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
En consecuencia se recomienda a Lina aceptar la segunda alternativa, pues la
tasa efectiva es menor, lo que le implica un menor costo financiero en la
financiación de su vehículo.
3. Si se espera que la devaluación del peso frente al Euro será de 5,78% y la
rentabilidad de un título en Euros es de 8% A SV, ¿Cuál es la rentabilidad en
pesos que se espera obtener en esta inversión?
Solución
efi : ?
devi : 5,78%
Primero se debe calcular la tasa efectiva y luego la tasa compuesta.
EA%16,812
08.01i
2
ef =−
+=
EAi %41,141)0578,01)(0816,01( =−++= Tasa de rentabilidad en pesos.
Módulo: Matemáticas Financieras 55
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Unidad 410: Activos Financieros
OBJETIVO GENERAL
Identificar los activos financieros más comunes que se encuentran en el
mercado público de valores de Colombia y su uso como mecanismos de
financiación e inversión, verificando la manera de calcular su rentabilidad y el
precio o el costo que se originan en cada uno de ellos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Conocer las características de los activos financieros que se ofrecen en el
mercado de valores de Colombia.
• Clasificar bajo diferentes criterios los activos financieros.
• Evaluar las técnicas para tomar decisiones sobre activos financieros.
• Conocer aspectos prácticos de los activos financieros.
• Identificar algunos rasgos generales del comportamiento del mercado de
capitales de Colombia.
• Conocer los aspectos generales acerca de cómo hacer inversión a través
de la Bolsa de Valores.
Intermediarios y Mercados Financieros.
Mediante el estudio del mercado de capitales, se evalúa como las unidades del
sector real no se encuentran en equilibrio y por lo tanto, unas unidades tienen
superávit y otras operan con déficit. Es precisamente, en este aspecto donde la
intermediación contribuye a trasladar recursos de las unidades con superávit a
aquellas que lo requieran.
Vamos a centrarnos entonces en las instituciones, que de una u otra manera
participan en la intermediación financiera. Una corporación financiera no actúa
como una isla. Por el contrario, se mueve en estrecho contacto con los diversos
mercados e intermediarios financieros. Esta relación permite a la empresa
10 JARAMILLO , Betancur, Fernando. Matemática financiera en un entorno internacional. Editorial Universidad de Antioquia. Medellín. Colombia. 2006
Módulo: Matemáticas Financieras 56
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
obtener el financiamiento necesario, al igual que la inversión de fondos ociosos
realizada en diversos activos financieros.
Para las empresas resulta indispensable tener acceso frecuente al ambiente
financiero, aspecto que las grandes empresas cumplen a cabalidad, sin
embargo, las medianas y pequeñas, lo hacen con menor frecuencia.
Independientemente del tamaño de una compañía, ellas continuamente se ven
enfrentadas a la necesidad de evaluar cuándo invertir en un título, cuánto
pagar por un título, cuándo adquirir el título, cuándo emitir títulos, cuándo
recurrir a una línea de crédito o préstamo directo. Todo lo anterior es para
comprender con facilidad que se hace en el sistema financiero y cuáles son los
títulos que más se negocian.
La estructura del sistema financiero colombiano lo podemos identificar por tres
grandes componentes. Un primer grupo está constituido por los
establecimientos de crédito. Un segundo grupo por los inversionistas
institucionales y un tercer grupo integrado por las entidades de servicios
financieros.
Los establecimientos de crédito, se caracterizan por captar y colocar recursos
en forma masiva y habitual; estos están integrados por bancos, corporaciones
financieras, bancos hipotecarios y compañías de financiamiento comercial.
Los inversionistas institucionales, se relacionan con las entidades que pueden
captar y colocar recursos, pero que no pueden hacerlo ni en forma masiva ni
habitual. Entre las instituciones que integran este grupo se encuentran:
compañías de seguro de vida general e individual, las sociedades de
capitalización, los fondos de inversión, los fondos de cesantías, los fondos de
pensiones, las sociedades administradoras de inversiones, entre otras.
Las entidades de servicios financieros, corresponden a aquellas entidades que
no pueden captar ni colocar dinero. Su papel está restringido a facilitar la
intermediación financiera, o sea, a un crecimiento del mercado de capitales.
Entre estos ubicamos a las firmas comisionistas de bolsa, los comisionistas
independientes, la Bolsa de Valores de Colombia, entre otras. Sin embargo, en
Módulo: Matemáticas Financieras 57
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
los últimos años se han presentado modificaciones a las reglamentaciones para
flexibilizar un poco las actividades de estas entidades.
Los mercados financieros se encuentran integrados por otros mercados. Estos
principalmente se distinguen como mercados de dinero, mercados de capitales
y mercados derivados. Los mercados de dinero se distinguen por motivar la
negociación de instrumentos financieros de corto plazo y, particularmente, de
renta fija. Los mercados derivados se identifican por incentivar el desarrollo del
negocio de instrumentos de cobertura y un nivel más alto de riesgo. Los
mercados de capitales, como lo veremos, tratan de títulos de renta fija de largo
plazo (todo tipo de bonos y papeles comerciales) y títulos de renta variable
(acciones ordinarias o comunes, acciones privilegiadas y acciones con
dividendo preferencial sin derecho de voto).
Además, en ese mercado existe tanto un mercado primario como secundario.
Un mercado primario es un mercado de “emisiones nuevas”. Es aquí donde los
fondos obtenidos mediante la venta de nuevos valores fluyen de los
compradores de valores (el sector del ahorro) a los emisores de valores (el
sector de captación). En un mercado secundario, son comprados y vendidos los
valores existentes.
Gráfica 1: Mercado de Capital para los Valores Corporativos
Los símbolos y flechas
utilizados corresponden
a los siguientes:
Módulo: Matemáticas Financieras
Suscripción privilegiada EMISIÓN PÚBLICA
INVERSIÓN
BANCA DE INVERSIÓN
MERCADO SECUNDARIO BOLSA DE VALORES
MERCADO OTC
AHORROS
BANCOS COMERCIALES CORPORACIONES FINANCIERAS BANCOS HIPOTECARIOS COMPAÑÍAS DE FINANCIAMIENTO COMERCIAL
58
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Indica la posible presencia de un “acuerdo
provisional”;
Las flechas indican la dirección del flujo de dinero (los valores
fluyen en la dirección opuesta);
La línea discontinua se utiliza para indicar que los
valores de los intermediarios (por ejemplo, cuentas de ahorro, o políticas de
seguros) fluyen hacia las unidades de ahorros.
No hay vínculo directo entre las unidades de inversión y el mercado
secundario; en consecuencia, los valores emitidos antes que sean vendidos en
el mercado secundario no proporcionan fondos nuevos a los emisores de
valores.
Las operaciones sobre estos valores ya existentes nos proporcionan fondos
adicionales para financiar la inversión de capital. En este capítulo nos
concentramos de manera primordial en las actividades del mercado primario
dentro del mercado de capital. Usted puede utilizar la gráfica 1 como un mapa
que sigue el análisis de este aparte.
Esta gráfica ilustra el mercado de capital tanto para instrumentos de renta fija
como variable. A partir de la misma, podemos observar como ciertas
instituciones financieras tienen la posibilidad de traspasar recursos del sector
de ahorro al sector de inversión, a través de tres medios principales: una oferta
pública de valores, derechos de tanto y una colocación privada. La banca de
inversión, los intermediarios financieros y el mercado secundario son las
instituciones clave que realizan dicho movimiento de recursos.
La inversión a través de la Bolsa de Valores.
Por lo común, una empresa obtiene recursos tanto en el mercado público como
en forma privada. Con la oferta pública, los valores se venden a muchos
inversionistas bajo un contrato formal controlado por las autoridades
reguladoras del Estado, en el caso colombiano, por la Superintendencia
Financiera. Por otra parte, la oferta privada se hace a un número limitado de
inversionistas, y en ocasiones a uno solo, con muchas menos regulaciones. Un
Módulo: Matemáticas Financieras 59
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
ejemplo sería el préstamo realizado por un grupo de corporaciones financieras
a una empresa. Por tanto, los dos tipos de emisiones de valores difieren
primordialmente en el número de inversionistas que participan y las
regulaciones que controlan la emisión.
Cuando una empresa emite valores al público, con frecuencia obtiene los
servicios de una entidad especializada denominada banca de inversión. La
banca de inversión, actúa como un intermediario al reunir los grupos que
necesitan fondos con aquellos que disponen de ahorros. Una de las funciones
de la banca de inversión es la compra de valores de las empresas, por ejemplo
al mayoreo, y después revenderlo a los inversionistas, por ejemplo al menudeo.
Por este servicio los banqueros inversionistas reciben la diferencia, o
diferencial, entre el precio que pagan por el valor y el precio al que se
revenden los valores al público. Debido a que la mayor parte de las empresas
sólo acuden ocasionalmente al mercado de capitales, no son especialistas en la
distribución de valores, mientras que las empresas de banca de inversión
tienen todos los conocimientos, los contactos y la organización de ventas
necesarios para realizar un trabajo eficiente en la comercialización de activos
financieros con los inversionistas, se requiere un acompañamiento de la banca
de inversión y, además por un precedente, puesto que pueden realizar este
servicio a un costo menor que la empresa individual.
Hay tres principales medios a través de los cuales las empresas ofrecen
valores al público: la suscripción tradicional (o compromiso de las empresas),
una oferta del mejor esfuerzo y las emisiones sucesivas. En años recientes esta
última forma ha dominado, al menos en el caso de las empresas. Veamos tres
métodos para ofrecer activos financieros a los inversionistas.
4.2.1 Suscripción Tradicional
Una entidad experta en banca de inversión o un sindicato, se responsabilizan
de comprar una emisión de valores. Suscriben la venta de la emisión
entregándole a la empresa el precio al cual se compra la emisión. En ese
Módulo: Matemáticas Financieras 60
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
momento la empresa queda liberada del riesgo de no colocar la emisión al
precio establecido. Si la emisión no se vende, debido a circunstancias no
previstas en el mercado o porque su precio es exagerado, el suscriptor, no la
empresa, absorbe la pérdida. Por tanto, el banquero inversionista asegura, o
suscribe el riesgo de fluctuaciones adversas en el precio del mercado durante
el período de distribución.
La empresa de banca de inversión acuerda con la empresa la oferta de la
emisión, para no manejar sola la suscripción. Además, para distribuir el riesgo
y obtener una mejor distribución invita a otros banqueros inversionistas a
participar en la oferta. Por lo común, el banco original es el administrador y
tiene la participación mayor. Otros banqueros inversionistas son invitados a la
conformación de un sindicato de inversión o de financiación y sus
participaciones se determinan fundamentalmente sobre la base de su
capacidad de vender valores.
Una suscripción tradicional puede hacerse bajo dos formas: sobre una base de
oferta competitiva y, sobre una base negociada. En la oferta competitiva la
empresa emisora especifica las fechas en que se recibirán ofertas selladas. Las
firmas comisionistas competidoras entregan las ofertas en el momento y el
lugar especificados. La firma que hace la oferta más alta gana la emisión de
valores. En el caso de la oferta negociada, la empresa que emite los valores
selecciona una empresa de banca de inversión y trabaja directamente con esa
empresa para determinar las características esenciales de la emisión. Juntos
discuten y negocian un precio para el valor y el momento de hacer la emisión.
Dependiendo del tamaño de la emisión, el banquero inversionista puede invitar
a otras empresas a participar compartiendo el riesgo y vendiendo la emisión.
En cualquiera de los casos, los comisionistas de bolsa o los banqueros de
inversión reciben como compensación de la función de absorber el riesgo una
utilidad en la suscripción objetivo. Por lo general, el método de la oferta
competitiva es utilizado por las empresas y algunas entidades públicas,
mientras que el método negociado es utilizado fundamentalmente por las
organizaciones expertas en la colocación de acciones y bonos.
Módulo: Matemáticas Financieras 61
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Como resultado de lo anterior en algunas ocasiones el suscriptor creará un
mercado para un valor después de que se haya emitido. La primera oferta
pública de acciones comunes para crear el mercado es importante para los
inversionistas. En la creación de un mercado el suscriptor mantiene una
posición en las acciones, cotiza precios de oferta y demanda y está listo para
comprar y vender a esos precios. Estas cotizaciones se basan en las
condiciones fundamentales de la oferta y la demanda. En un mercado
secundario el valor tiene mayor liquidez para los inversionistas, este atractivo
refuerza el éxito de la oferta original.
4.2.2 Oferta Del Mayor Esfuerzo.
En lugar de suscribir una emisión de valores, los banqueros inversionistas o los
comisionistas de bolsa pueden vender la emisión sobre una base en el mayor
esfuerzo. Bajo ese convenio, los banqueros inversionistas o los comisionistas
de bolsa aceptan vender sólo el número de valores que logren colocar a un
precio establecido, sin incurrir en responsabilidad alguna por los valores que no
se vendan, en otras palabras, no absorben riesgo de colocación de los títulos.
4.2.3 Emisiones Con Registros Sucesivos
Las emisiones con registros sucesivos tienen una característica distintiva de la
suscripción tradicional, que consiste en que en el proceso de registro ante el
ente que la vigile, como es el caso de la Securities and Exchange Commission
(SEC) en los Estados Unidos, o en la Superintendencia Financiera en el caso de
Colombia, se requieren por lo menos varias semanas para terminarse. Con
frecuencia pasan dos o más meses desde el momento en que la empresa
decide financiar y el momento en que en realidad se lleva a cabo la oferta de
valores. Como resultado de este tiempo transcurrido, así como de los costos
fijos relacionados con el registro, existe un incentivo para tener una oferta de
valores grande en lugar de una pequeña.
Las empresas cuyos valores están inscritos en bolsa están en posibilidad de
abreviar el proceso de registro presentando una breve declaración. En el caso
Módulo: Matemáticas Financieras 62
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
de los Estados Unidos, esto se cumple con la regla 415, la cual entró en vigor
en 1982 y permite la emisión conocida como emisiones con registros
sucesivos.
Las emisiones con registros sucesivos, autorizan a una empresa a registrar
algunos valores, “ponerlos en el mostrador” (OTC), y luego venderlos en
emisiones sucesivas hasta por dos años. Cuando los valores no se venden en el
mostrador, se requiere poco papeleo adicional. Al utilizar las emisiones con
registros sucesivos la empresa está en posibilidad de acudir al mercado con
una nueva emisión en unos pocos días, en lugar de semanas o meses. Como
resultado de ello, tiene la flexibilidad de adaptar las emisiones a las
condiciones del mercado y no es necesario que las propias emisiones sean
grandes. Esta operación la hizo Bavaria S.A. de Colombia en el año 2004, con
una emisión de bonos por un billón de pesos colombianos.
Las organizaciones que aún tienen valores en el mostrador pueden requerir
que una firma responsable en banca de inversión sea la responsable de colocar
esos títulos. La empresa seleccionará el mejor postor en términos de costos o
de precios. Lo que es importante tener presente es que los costos de las
emisiones sucesivas son menores cuando se llevan a cabo con una emisión de
registros sucesivos que con una serie de registros tradicionales. Por lo tanto,
no es sorprendente que las empresas prefieran las emisiones con registros
sucesivos.
En otros países, distintos de Colombia, la pequeña empresa y aquellas que no
son muy conocidas, cuando acuden a la suscripción tradicional, el uso
difundido de las emisiones con registros sucesivos puede representar una
desventaja. A medida que empeoran los negocios lucrativos de las
suscripciones, los bancos inversionistas y los comisionistas de bolsa han ido
recortando los servicios sin costo que ofrecían antes. Entonces, en general, las
emisiones con registros sucesivos han tenido un efecto profundo sobre cómo
se distribuyen los valores, sobre el número de suscripciones tradicionales,
sobre la futura factibilidad de este método y sobre la función de los bancos de
inversión. Aquí es donde entran en juego, las bolsas de valores.
Módulo: Matemáticas Financieras 63
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
4.2.3.1Las Bolsas de Valores
Son las instituciones del mercado de capitales que ofrecen la mayor variedad
de alternativas de inversión. Debido a esto, el inversionista que acude por
primera vez a ellas indaga sobre cuál es el título que ofrece el mayor
rendimiento. El comisionista de bolsa podría responder que el título de mayor
rendimiento no es necesariamente el más atractivo, y presentar algunas
consideraciones a tenerse en cuenta en el momento de efectuar una inversión.
Un primer aspecto es el de la liquidez, cuyo concepto puede enfocarse ya sea
hacia el plazo durante el cual el dinero va estar representado en un título valor,
o como posibilidad que tiene el mismo título de ser convertido en dinero, antes
de su plazo de vencimiento. Se dice que una inversión tiene alta liquidez
cuando el período de vencimiento hasta convertirla nuevamente en efectivo es
corto, o cuando es fácilmente negociable a través de la bolsa en el mercado
secundario. La inversión es de baja liquidez, cuando el título tiene un plazo de
duración bastante largo y es imposible o muy difícil negociarlo. Generalmente,
la rentabilidad es mayor cuando el papel tiene menor liquidez y plazo más
largo. Una segunda variable a tener en cuenta es aquella que hace referencia a
la certeza que se tiene de recibir, durante el plazo de la inversión, el capital
invertido y sus rendimientos. Generalmente, a mayor incertidumbre sobre el
desempeño de la entidad emisora, el rendimiento debe ser superior al ofrecido
por alternativas en las que el riesgo sea menor.
Por último, debe considerarse la rentabilidad. Concepto que se refiere a la
retribución económica que tiene el inversionista mientras tiene su dinero
invertido en un título. Debe tenerse en cuenta que no todos los títulos que se
negocian en el mercado de valores se adquieren para percibir un rendimiento
futuro, sino muchas veces por necesidades específicas de cada inversionista.
Por ejemplo: para pagar impuestos, efectuar inversiones forzosas, pagar cuotas
hipotecarias, protegerse contra la devaluación, colocar excesos transitorios de
liquidez, capitalizar ganancias ocasionales o ahorros, obtener incentivos
tributarios y otros.
Módulo: Matemáticas Financieras 64
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Quizás la complejidad de la información para la toma de decisiones puede
hacer desistir al inversionista de utilizar la bolsa como medio para colocar su
dinero; sin embargo, en este punto surge la importancia del corredor o
comisionista de bolsa como intérprete de la misma y asesor de inversionistas,
para facilitar su comprensión y la respectiva decisión.
4.3 Algunos cálculos de rentabilidades
Se presentan a continuación situaciones en las cuales se manejan
rentabilidades, para posteriormente, aplicar estos elementos en activos
financieros específicos. Esto implica el uso de algunas ecuaciones para
determinar el valor de las variables requeridas:
Cuando la variable es el precio: PO = i x (P/A, i, n) + Pn x (P/F, i, n) y el
resultado se compara con el real.
Compradeecio
CompradeecioVentadeeciontabilidad
Pr
PrPrRe
−=
También se expresa de la siguiente manera:
Pc
Pv
Pc
PcPvi
1−=−=
Donde,
PV = Precio de venta.
PC = Precio de compra.
i = Interés
Tasa de Registro = Tasa de cesión - tasa de comisión de venta
Precio de Registro = Precio de venta + comisión de venta
Ejemplo 4.1: Título De Carácter General. ¿A qué precio o con qué descuento
debe adquirir Gloria Flórez un título que se redime a los cinco años, si al final
de cada año recibe intereses del 24,00% con respecto al valor del documento
mencionado y aspira a obtener un rendimiento anual equivalente al 30,00%
efectivo?
Módulo: Matemáticas Financieras 65
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Solución
Se empieza con expresar las transacciones de Gloria Flórez en la gráfica 2.
Gráfica 2: Determinación Del Precio De Un Activo Financiero
Aquí se puede suponer cualquier valor final el activo financiero, o sea $1, $10,
$100, $1.000, etcétera, puesto que el resultado que se obtendrá será siempre
el mismo. Asumamos entonces, que el título tendrá un valor de $1.000 y con
base en ello construimos el respectivo esquema de pagos que aparece en la
gráfica 2.
Utilizando el criterio del valor presente neto, con una tasa de interés de
oportunidad o costo de capital del 30,00%, se tiene: PO = 240 x (P /A,
30,00%, 5) + 1.000 x (P /F, 30,00%, 5) = $584,54 + 269,33 = $853,86. En
consecuencia, para el título que tiene un valor nominal de $1.000, Gloria Flórez
deberá pagar ahora el 85,40% de dicho valor, es decir $854, dada la tasa de
oportunidad del 30,00%.
Ejemplo 4.2: El Caso de un Título en General ¿Qué rentabilidad efectiva anual,
obtiene Eliana Jaramillo en un título emitido a 180 días si lo adquiere a un
85,00% de su valor nominal?
Solución
Para la solución del problema se recurre a la siguiente ecuación:
Módulo: Matemáticas Financieras
01 2 3
P=?
$240
$1.000
4 5i= 30%
01 2 3
P=?
$240
$1.000
4 5i= 30%
66
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Compradeecio
CompradeecioVentadeecioi
Pr
PrPr −=
Pc
Pv
Pc
PcPvi
1−=−=
Donde,
PV = Precio de venta.
PC = Precio de compra.
i = Interés
Como de la ecuación resulta una tasa de interés para un subperíodo, que es el
semestre, luego se procede a convertir la tasa a una efectiva anual
equivalente, utilizando la ecuación deducida en capítulos anteriores. La cual es
expresada de la siguiente manera:
11 −
+=
t
pe t
tii
ip = interés del subperíodo
t = Número de períodos del período
Es decir, dado que ip es el interés del subperíodo implica entonces, que el
interés nominal del período será r = ip x t, donde t es el número de
liquidaciones del interés que se hacen en el período y por tanto el número de
capitalizaciones. Luego, la ecuación queda expresada así:
ie = (1 + ip)t - 1. Procediendo entonces, ip = 100/85 - 1 = 0,17647
ie = (1,17647)2 - 1 = 0,3841 = 38,41%. Esta es la rentabilidad efectiva
anual que Eliana Jaramillo recibe por el título.
Ejemplo 4.3: Título con Descuento. ¿A qué precio debe emitir la empresa
Jaramillo Osorio, unos títulos con descuento. Si desea que su vencimiento
Módulo: Matemáticas Financieras 67
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
ocurra a los 90 días y que el rendimiento para un inversionistas sea del 31,00%
anual, T.V.?
Solución
El análisis de la ilustración se inicia con hallar el interés trimestral de la
siguiente forma: ip = 0,31/4 = 0,0775 = 7,75% trimestral
Suponiendo un valor igual a $100 entonces; PO = PV/(1 + ip) = $100/1,0775
= 92,807. Por lo tanto, la entidad emisora deberá colocar los títulos al
92,807% de su valor nominal y, con ello se garantiza la tasa de rentabilidad del
inversionista.
Ejemplo 4.4: Título Valor. Carolina Jaramillo adquiere un activo financiero por
$20.000.000 que le genera un rendimiento equivalente al 34,00% efectivo
anual. ¿Cuánto deberá retirar durante diez años, si desea recibir al final de
cada año una cuota que se incremente en un 20,00% anual?
Solución
De acuerdo con el esquema de pagos que aparece en la gráfica No.3, es
requisito hallar el valor de la primera cuota e irla incrementando en un 20,00%.
Gráfica 3: El Caso de Carolina Jaramillo
Módulo: Matemáticas Financieras
01 2 3
10
i = 34% anual
A1
A1*(1.20)
A1 *(1.20)2
A1*(1.20)9
P=$20.000.000
01 2 3
10
i = 34% anual
A1
A1*(1.20)
A1 *(1.20)2
A1*(1.20)9
P=$20.000.000
68
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Entonces, por lo planteado en el segundo capítulo:
P = A1 x (P/A1, i, ig, n) y reemplazando los valores tenemos que: 20.000.000
= A1 x (P/A1, 34,00%, 20,00%, 10) y despejando A1, nos encontramos que: A1
= 20.000.000 x 0,20949 = $4.189.826. Este será el valor del primer retiro
que realiza Carolina. Luego, el segundo retiro y los demás serán:
A2 = 4.189.826 x 1,20 = $5.027.791
A3 = 5.027.791 x 1,20 = $6.033.350
A4 = 6.033.350 x 1,20 = $7.240.020
…
A10 = 18.015.485 x 1,20 = $21.618.582
Ejemplo 4.5: Aceptación Bancaria. El señor Juan Carlos Pérez obtiene una
aceptación bancaria emitida con plazo de 90 días como resultado del pago
de una mercancía despachada a su cliente, el señor Pablo Gallo. Como, Juan
Carlos Pérez necesita dinero, decide venderla o descontarla en el mercado
bursátil, a través de un comisionista de bolsa. Con el conocimiento del
mercado y de las tasas de interés efectivas vigentes en el descuento de
documentos, el comisionista le debe suministrar al vendedor la tasa a la cual
cede el título y por consiguiente el precio que puede recibir por su aceptación.
Dada una tasa de cesión del 26,00% efectiva anual y una comisión de 0,50%
por rentabilidad. Dado que usted es el comisionista, determine la información
que debe suministrar al vendedor.
Solución
En la Gráfica 4 se presenta la situación.
Módulo: Matemáticas Financieras
0
1 2 3 90 días
ie = 26% anual (1)
P = ?
F = $100 (2)
(1) Tasa a la cuál estaría dispuesto para ceder la aceptación. (2) Asumimos un precio final de la aceptación por $100
0
1 2 3 90 días
ie = 26% anual (1)
P = ?
F = $100 (2)
(1) Tasa a la cuál estaría dispuesto para ceder la aceptación. (2) Asumimos un precio final de la aceptación por $100
69
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
El comisionista debe suministrar al señor Juan Carlos Pérez los siguientes
datos:
a) Precio De Venta. La tasa anual la convertimos a días: r/360 = (1,26)1/360
- 1 = 0,0642%. Luego, P = 100 x (P/ F, 0,0642%, 90) = 0,94386. Por lo
tanto, el precio de venta es 94,386% (es de $94,386).
b) Algunos autores sugieren otra forma de calcular el valor presente y se
puede expresar de la siguiente manera:
PO = F/(1 + ie)días/360
Reemplazando las variables; PO = 100/(1 + 0,26)90/360 = $94.386. El resultado
que obtenemos es el mismo. Simplemente, son cambios en el procedimiento.
c) Tasa De Registro. El comisionista le señala al señor Juan Carlos Pérez que
ha inscrito el título en el sistema electrónico de negociación, con una tasa de
registro del 25,50% (puesto que incluye una comisión de 0,50% de
rentabilidad) que, calculado en la misma forma del precio de venta, equivale a
un precio de registro del 94,480%. Ahora el esquema se presenta en la gráfica
3.
Como observamos los resultados, es que la razón para inscribirlo a una tasa y
precio de registro diferente al de venta, es el cobro de la comisión de venta
que debe hacer el comisionista de bolsa, la cual en este caso se calcula por la
diferencia entre el precio de registro y el precio de venta.
Tasa de cesión - tasa de comisión de venta
Tasa de registro = 26,00% - 0,50% = 25,50%
Precio de venta + comisión de venta
Módulo: Matemáticas Financieras 70
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Precio de registro = 94,386 + 0,094 = $94.480
Los activos financieros que se negocian en la Bolsa de Valores de Colombia
(BVC) pueden clasificarse de acuerdo con diferentes criterios, ya sea por sus
características propias, la entidad emisora, la función que cumplen en la
economía, el rendimiento esperado, su forma de pago, entre otras.
Es importante explicar algunas clasificaciones de los activos financieros. Una
primera corresponde al momento en que se otorga el derecho. En este caso se
habla de títulos al portador, a la orden y nominativos. Un título es al portador,
cuando con la simple entrega del título se otorga el derecho al poseedor del
título, por ejemplo, un cheque. Un título es a la orden, cuando con el endoso y
entrega del título se otorga el derecho a su poseedor, por ejemplo, el
certificado de depósito a término fijo (CDT). Un título será nominativo cuando
el derecho se otorga con endoso, se hace un registro en un libro especial y se
entrega el título, por ejemplo, la acción común.
Otra de las clasificaciones de los activos financieros es agrupar los títulos
según la rentabilidad que otorgan y en el riesgo que se asume. En este caso,
en una escala de menor riesgo a mayor riesgo en el mercado de valores
encontramos los instrumentos de renta fija, de renta variable e instrumentos
derivados. Los instrumentos de renta fija, la probabilidad de recibir el capital y
la rentabilidad tiende a ser alta. En los de renta variable, la posibilidad de
recibir la rentabilidad y el capital invertido, es completamente estimada y, en
el caso de los instrumentos derivados son para recurrir la cobertura en riesgo o
para especular en el mercado.
Una tercera clasificación, según la rentabilidad que se ofrece en el propio
título, los activos financieros se clasifican en títulos con descuento, en títulos
con tasa de interés, o títulos con renta mixta. Ahora, esto ocurre
especialmente con los títulos de rendimiento fijo, puesto como ellos son
aquellos cuya rentabilidad puede ser determinada desde el momento de su
emisión o adquisición, de acuerdo con el plazo, la probabilidad de recibir (el
Módulo: Matemáticas Financieras 71
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
capital y los intereses) y las condiciones preestablecidas. Generalmente
equivalen a un préstamo otorgado a la entidad que los emite. Dentro de este
tipo se distinguen los títulos que pagan una rentabilidad fija mediante un
descuento, aquellos que lo hacen mediante intereses periódicos y, finalmente,
los que son adquiridos con descuento y además pagan intereses periódicos.
En el caso de títulos con descuento, es que el título se ofrece a un precio por
debajo de su valor nominal. Tal como ocurre con la gráfica No.4, donde de
muestra que un título es ofrecido a una tasa del 67% sobre el valor nominal de
$100.000 y se liquida a su valor nominal después de 4 años. Entonces, se
podría determinar la tasa de rentabilidad anual.
Una expresión de este tipo de títulos, es como la que se representa en las
gráficas 4, 5 y 6. En la gráfica 4, se muestra un título en el cual se hizo una
inversión en el día de hoy con descuento. Se espera recibir la totalidad al final
del cuarto período y se requiere conocer la tasa de rentabilidad que ofrece el
activo financiero. En la gráfica 5, se presenta un esquema que refleja una
inversión de $100 en el día de hoy, $3 de rendimiento durante cada uno de los
cuatro meses y se requiere conocer la tasa de rendimiento. Indudablemente, la
tasa de rendimiento es del 3,00% mensual.
Gráfica 5: Con Descuento
En la gráfica No.5, se El gráfico muestra las características del título: el valor
nominal del título de $100, los intereses mensuales de $3 (3% mensual), el
período de tiempo equivalente a 4 meses, y un precio igual al valor a la par (es
el valor nominal en este caso de $100).
Módulo: Matemáticas Financieras
0
1 2 3 4
ie = ?
P = $67.000
F = $100.000
0
1 2 3 4
ie = ?
P = $67.000
F = $100.000
72
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Gráfica 6: Con Intereses Periódicos
Finalmente, en la gráfica 6, se explica un activo financiero que tiene
características mixtas, puesto que, se ofrece con descuento, a un plazo de
cuatro meses y se regresa el valor nominal del título al final del período de
maduración.
Gráfica 7: Con Descuentos E Intereses Periódicos (Mixto)
Existen además, títulos cuya probabilidad de los rendimientos y la
recuperación de capital se deben estimar, generando posiblemente un mayor
nivel de riesgo. A estos activos financieros se les denomina de renta variable.
Entre ellos se encuentran: las acciones ordinarias o comunes, las acciones
privilegiadas y las acciones con dividendo preferencial sin derecho de voto. Lo
más importante de los activos financieros es que identifiquemos sus principales
características y la forma de operar con ellos.
Módulo: Matemáticas Financieras
01 2 3
P=$100
A=$3
F= $100
4meses
01 2 3
P=$100
A=$3
F= $100
4meses
01 2 3
P=$98
$2
F= $100
4meses
01 2 3
P=$98
$2
F= $100
4meses
73
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Además, se encuentran los instrumentos derivados, que involucran un mayor
nivel de riesgo, pero permiten realizar coberturas financieras11. Este es el caso
de futuros, forwards, opciones y operaciones de swaps. Hagamos un
tratamiento más amplio de estos instrumentos.
Instrumentos de Renta Fija. Tal como lo expresamos anteriormente, los
activos financieros tienen diferentes modalidades de comportarse. Estas
formas corresponden a: títulos con descuento, títulos con intereses, títulos en
divisas distintas al peso colombiano. Vamos a presentarlos con cierto grado de
detalle.
Títulos Con Descuento. Generalmente no devengan intereses y su
rendimiento está determinado por la diferencia entre el valor de compra o de
adquisición y el valor de venta o de vencimiento (valor nominal o valor facial).
El precio de adquisición de estos títulos a la entidad emisora (mercado
primario) es fijo y establecido de antemano. Algunos títulos con descuento que
se ofrecen en el mercado de valores colombiano son: aceptaciones financieras,
certificados eléctricos valorizables, títulos de tesorería clase B, papeles
comerciales, títulos de participación, bonos ordinarios en pesos, bonos
ordinarios en dólares (bonos ley 55 de 1985 - primera serie -, bonos ley 55 de
1985 - segunda serie -), certificados de depósito a término - CDT -, títulos de
apoyo cafetero (TAC), títulos energéticos de rentabilidad creciente (TER).
La rentabilidad se calcula mediante la siguiente ecuación: i = (F/P)1/n - 1.
También, como lo habíamos señalado en páginas anteriores:
Compradeecio
CompradeecioVentadeecioPeriódicoienton
Pr
PrPrdimRe
−=
La rentabilidad nominal anual se determina teniendo en cuenta el rendimiento
periódico y la relación entre el plazo de la inversión y el período anual. Por lo
tanto, si el plazo se expresa en días, es necesario dividir el número total de
días del año por el número que media entre los momentos de compra y venta,
11 Los instrumentos derivados se tratan en un próximo capítulo.
Módulo: Matemáticas Financieras 74
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
para luego, multiplicar tal resultado con el rendimiento periódico. En
consecuencia:
díasenvigenteplazoii periódicoalno
360*min =
días
alno
alno
Pc
Pvi
Pc
Pvi
360
min
min
1
1
−=
−=
Donde,
PV = Precio de venta o de redención (valor nominal).
PC = Precio de adquisición o de compra.
n = Número de períodos durante el año en que se puede repetir la misma
inversión o lo que es lo mismo 360 dividido por el número de días que hay en
el período de inversión.
En la mayoría de los casos se utiliza PO como indicador del precio al día de hoy.
Ya sea, de manera indiferente, para compra o venta. Si se expresa la tasa de
interés como porcentaje, se debe multiplicar la expresión anterior por cien
(100). Ahora, el interés efectivo anual se calcula mediante una de las
ecuaciones siguientes:
1)1(1 −+=
+= t
pe
t
e iiót
ri
A continuación se describe cada una de las alternativas con descuento
transadas en el mercado de valores colombiano y se presentan algunos
ejemplos sobre la manera cómo se calculan sus rendimientos o precios.
Por ello, se presentan inicialmente los títulos originados básicamente en el
sector privado y luego los del sector público.
Módulo: Matemáticas Financieras 75
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Aceptación Financiera. Por recomendación de la misión Kemmerer en la ley
45 de 1923, fue previsto la creación de este título. Luego, fue reglamentado
por medio de la resolución No.29 del 5 de marzo de 1986, de la junta
monetaria2, y por los decretos 2041 y 2517 de 1987.
La aceptación no es otra cosa que una letra o documento a cargo de un
comprador de bienes, generalmente comerciantes e intermediarios, que un
banco comercial o compañía de financiamiento comercial avala. Es decir,
garantiza y se obliga a pagar al productor (vendedor) o poseedor, a su
vencimiento. El objeto de este instrumento es por lo tanto servir como fuente
alterna de financiamiento del sector productivo.
Este título se origina en transacciones de importación y exportación de bienes,
o compraventa de bienes inmuebles en el interior del país. Gráficamente, se
representan de la siguiente manera:
Gráfica 8: La Aceptación Bancaria
Algunas de las características de los títulos son:
El rendimiento se expresa por la diferencia entre su valor de compra en
bolsa y el valor nominal o de redención ante la entidad aceptante. Más
adelante se representa gráficamente.
2 En Colombia fue reemplazada por la Junta del Banco de la República, de acuerdo con la reforma constitucional de 1991.
Módulo: Matemáticas Financieras
Ofrece Entrega Acuerdan
PROVEEDOR
CLIENTE INTERMEDIARIO FINANCIERO
76
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Son aceptados por un banco comercial o por una compañía de
financiamiento comercial y, otorgados por el comprador o comerciante al
productor, quien puede convertirlos inmediatamente en efectivo en el
mercado de valores, con un descuento sobre su valor nominal.
Certificado de Depósito a Término (CDT). Estos títulos, son instrumentos
de captación de ahorro de los Bancos Comerciales, las Corporaciones
Financieras, los bancos hipotecarios y las compañías de financiamiento
comercial, con el propósito de otorgar créditos a las empresas y diferentes
sectores de la economía nacional para cubrir sus necesidades de capital de
trabajo.
Características generales de los certificados de depósito a término:
Son emitidos por los bancos comerciales, las corporaciones financieras,
bancos hipotecarios y las compañías de financiamiento comercial; se
pueden adquirir también en el mercado primario a través de los
comisionistas de bolsa.
La tasa de interés que reconocen los CDT se pacta con la entidad
emisora dependiendo de las condiciones del mercado de capitales, el
monto y el plazo del depósito.
La tasa de interés está sujeta a un 7,00% de retención en la fuente
sobre los intereses devengados. Para los contribuyentes no obligados a
efectuar ajustes por inflación, el componente inflacionario de los
intereses obtenidos es exento.
Papel Comercial. De acuerdo a las reglamentaciones vigentes, el papel
comercial es un título valor expedido por sociedades anónimas, inscritas en el
Registro Nacional de valores, aprobado por la superintendencia de valores y
negociable a través del sistema bursátil colombiano. Las compañías que los
emiten casi siempre destinan los recursos provenientes de estos títulos para la
financiación del capital de trabajo.
Módulo: Matemáticas Financieras 77
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Características de los papeles comerciales:
Recompra. Las entidades emisoras no recompran o redimen los títulos sino
hasta su vencimiento; sin embargo, pueden negociarse en cualquier
momento en el mercado secundario de la Bolsa de Valores de Colombia.
Rendimiento. Los intereses casi siempre son fijos y pagados
trimestralmente, ya sea anticipados, o vencidos, o indexados con base en el
DTF más algún porcentaje.
Situación Impuestal. Los rendimientos son gravables y están sujetos a la
tarifa efectiva del 7,00% de retención en la fuente.
Bono Ordinario En Pesos. Un bono es un título valor, emitido por una
empresa debidamente autorizada, en el cual se debe constar: Fecha de
emisión y de vencimiento, fecha de pago y de intereses; la tasa de interés
(tasa cupón) y el valor nominal del bono.
Se puede decir que es una alícuota de un crédito muy grande cuya
consecución no es fácil con una sola persona o entidad y entonces se acude al
crédito de varios y así con el concurso de todos los inversionistas se reúne fácil
y rápidamente la suma requerida.
Los bonos pueden ser emitidos por entidades del sector público como del
sector privado. Ejemplos de Bonos públicos son los bonos de Empresas
Públicas de Medellín, Tesoro Distrital, los Bonos de ISA, los bonos emitidos por
el municipio de Cali, entre otros.
Algunos ejemplos de bonos emitidos por el sector privado son los Bonos
Ordinarios: Smurfit Cartón de Colombia, los Bonos Ordinarios Bavaria y los
bonos Bancolombia. Los recursos captados por estos bonos se destinan a
financiar nuevos proyectos de inversión, ampliaciones de planta, sustitución de
pasivos, atención de necesidades de capital de trabajo, etcétera. Las
características generales de los bonos son las siguientes:
Módulo: Matemáticas Financieras 78
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Aprobación. Su emisión se aprueba en la Asamblea general de accionistas
de la compañía; pero la superintendencia de valores aprueba su oferta
pública.
Emisor. Son emitidos por las sociedades anónimas.
Situación Impuestal. Los intereses percibidos están sujetos a un 7,00%
de retención en la fuente. Para los contribuyentes no obligados a efectuar
ajustes por inflación, el componente inflacionario de los mismos es exento.
Rendimiento. Estos bonos devengan intereses periódicos establecidos por
el emisor en el respectivo reglamento de emisión. El rendimiento pactado
en el mercado secundario dependerá de las condiciones imperantes en el
momento. La mayoría tienen su rendimiento indexado con base en un
indicador, ya sea el DTF o el TCC, más algún tipo de interés, el cual es
pagado en diferentes plazos y modalidades anticipadas o vencidas.
Forma De Pago. El pago de intereses se acondiciona mediante cupones
impresos y que van unidos al texto de cada bono. El valor de cada cupón se
determina tomando el valor nominal del bono y la tasa que figura en el
contrato de emisión del mismo.
Representante legal. Requieren la contratación de un representante legal
de los tenedores de bonos. Representa a los tenedores de bonos en todo lo
concerniente a su interés legal o colectivo:
Interviene con voz y voto en las reuniones del ente máximo
administrativo..
Exige a la entidad emisora que deposite oportunamente los fondos
indispensables para el pago de los intereses.
Garantía. Requieren aval, seguro de crédito o calificación. Las sociedades
que pueden captar recursos a través de bonos: sociedades por acciones,
patrimonios autónomos, sociedades limitadas, *cooperativas, *entidades sin
ánimo de lucro.
*Requieren aval o estar vigiladas por la Superintendencia bancaria.
Módulo: Matemáticas Financieras 79
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Bono Ordinario En Dólares. Los bonos pueden ser emitidos en moneda
extranjera, tanto por entidades del sector público como del sector privado. Un
ejemplo de estos bonos del sector público en dólares son los Bonos Colombia y
los Bonos Ley 55, tanto de la primera como de la segunda serie, los cuales
tienen intereses fijos. En cuanto al sector privado el ejemplo es el de los Bonos
ordinarios 1994 de la serie B, emitidos por cartón de Colombia S.A., los cuales
son indexados con base en la tasa Prime.
De estos bonos se han emitido en Colombia en el período 1990 – 1996, varias
modalidades, entre las cuales se destacan: Bonos Colombia, Bonos Ley 55 de
1985, primera serie, Bonos Ley 55 de 1985, segunda serie.
Bonos Obligatoriamente Convertibles En Acciones. Es un título en la cual
el poseedor del bono tiene el derecho de intercambiar éste por una cantidad
específica de acciones comunes o de otro tipo de la misma sociedad.
El producto de la colocación de los bonos es destinado por la compañía
emisora a financiar sus necesidades de capital de trabajo o a realizar los
proyectos de ampliación de planta, mediante la transformación en el mediano
y largo plazo de pasivos de terceros en capital propio. Entre las características
generales de estos títulos se encuentran:
Valor De La Emisión. El valor nominal es diferente para cada emisión. La
sociedad emisora lo determina en el respectivo reglamento de colocación y
suscripción.
Rendimiento. Devengan hasta la fecha de su vencimiento una tasa de
interés cuya forma de pago y cuantía es determinada por la compañía
emisora de los bonos en el correspondiente reglamento de emisión.
Situación Impuestal. Se aplica retención en la fuente del 7,00% a los
intereses percibidos. Para los contribuyentes no obligados a efectuar
ajustes por inflación, el componente inflacionario de los intereses obtenidos
es exento.
Módulo: Matemáticas Financieras 80
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Como complemento a la característica de rentabilidad, su verdadero
rendimiento está determinado. Además, de los intereses que paga
periódicamente debe involucrarse el factor de conversión que determine la
entidad emisora. Así por ejemplo, si se estipula que el factor de conversión
será una fracción del precio promedio de los últimos seis meses, y en el
momento de la conversión la cotización vigente es mayor que el precio de
convertibilidad, entonces el inversionista está recibiendo un mayor número de
acciones, las cuales pueden salir a vender y obtener la rentabilidad de su
inversión.
Ejemplo 4.9: Certificado Eléctrico. ¿Cuál es la rentabilidad efectiva anual
descontando el porcentaje de retención en la fuente del 7,00%, para el
inversionista, señor Pablo Gallo, que adquiere un certificado eléctrico emitido a
180 días, cuya colocación se realiza al 85,068%?
Solución
El porcentaje de retención en la fuente se descuenta en el momento de la
expedición del título, sobre la diferencia entre el valor de redención y el de
adquisición; por esto, se debe sumar al precio inicial de compra:
PC = (100 - 85,068) x 0,07 + 85,068 = 86,1132%. Por lo tanto, i (180
días) = 100/86,1132 - 1 = 0,16126 = 16,126%. De esta forma, ie =
(1,16126)2 - 1 = 0,3485 = 34,85%. Esta es la rentabilidad anual obtenida
por Pablo Gallo.
Ejemplo 4.10: Certificado Eléctrico ¿Qué rentabilidad nominal y efectiva
anual obtendrá el mismo Pablo Gallo, quien adquiere igual certificado eléctrico
de 180 días al 85,068%, y lo vende o cede faltándole 56 días para su
vencimiento a un precio neto vendedor del 93,391%?
Solución
Módulo: Matemáticas Financieras 81
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
El período correspondiente a la inversión será por lo tanto la diferencia entre el
plazo de maduración y el lapso faltante a su vencimiento. Es decir 124 días.
Gráficamente la situación es la siguiente;
Gráfica 9: El Certificado De Pablo Gallo
Para calcular el monto de la retención en la fuente, se debe descontar lo que
se cobra en el momento de la emisión y con respecto al rendimiento que se
genera durante el plazo de 180 días que dura el certificado. Retención = (100
– 85,068) x 0,07 = 1,0452. Con este dato, determinamos la rentabilidad para
el período específico. Así, se puede aplicar:
%451,810452,1068,85
391,93)124( =−
+=díasi
La rentabilidad anual nominal es, entonces:
%54,242454,0124
360*08451,0 ===anualr
Ahora, el rendimiento efectivo equivalente anual será: ie = (1,08451)360/124 - 1
= 0,2656 = 26,56%. Es claro que el rendimiento de Pablo Gallo disminuye,
debido a que redimió el título antes de su vencimiento.
Ejemplo 4.11: Papel Comercial. ¿Cuál es el precio de colocación para
sociedad Jaramillo Osorio S.A. al emitir un papel comercial a 270 días, si el
emisor paga un equivalente al 25,00% anual, T.A.?
Solución
Gráficamente la situación es la siguiente:
Módulo: Matemáticas Financieras
01 2 3
Po=85,068+retención
124días
Pv= 93,391
01 2 3
Po=85,068+retención
124días
Pv= 93,391
82
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Gráfica 10: Papel Comercial
Para elaborar el flujo de caja es indispensable conocer la tasa del trimestre, la
cual equivale a: 25,00%/4 = 6,25%, T.A. Por lo tanto. El precio de colocación
se da en el momento cero, por la diferencia entre el valor nominal del título y
los intereses trimestrales anticipados. Precio de colocación: 100 - 6,25 =
93,75%
Ejemplo 4.12: Papel Comercial. ¿Cuál debe ser el precio neto que puede
pagar Ana María Manjarréz por un papel comercial emitido a 360 días y al que
le faltan 60 días para su vencimiento, si se desea obtener una rentabilidad
efectiva anual del 36,00% después de la comisión? Considere una comisión del
0,30% de rentabilidad. Además, determine el precio y la tasa de registro.
Solución
Se sabe que:
660
360*
%258,505258,01*6
61)36,1(
1)1(1
=
==−=
−+=
r
it
r te
Gráficamente la situación es representada en el esquema 12.
Gráfica 11: El Activo Financiero De Ana María Manjarréz
Módulo: Matemáticas Financieras
0 1 2 3 4
r= ? Trimestral
100
6,25 6,25 -$8006,25
100
0 1 2 3 4
r= ? Trimestral
100
6,25 6,25 -$8006,25
100
83
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
A partir de este dato se puede calcular el precio de compra con el que se podrá
obtener un rendimiento equivalente al 36,00% efectivo anual:
%0044,95950044,0)05258,01(
100 ==+
=oP
Puesto que la operación anterior se efectúa en el mercado secundario, para
determinar el precio de registro en la bolsa, se parte de la tasa comprador, se
determina la tasa de registro y finalmente se llega al precio de transacción.
Tasa comprador + tasa comisión compra
Tasa de registro = 36,00% + 0,30% =
36,30%
El precio de registro se calcula utilizando la fórmula siguiente:
%969,9494969,0)0363,01(
100RePr
)1(RePr
36060
360
==
+=
+=
gistroecio
registrodetasa
Fgistroecio
t
La comisión de compra cobrada en este negocio se determina por la diferencia
entre el precio de compra y el precio de registro: Comisión de compra =
95,0044 – 94,9695 = 0,0349.
Ejemplo 4.13: Bono Ordinario En Pesos. ¿A qué precio podría, Rodrigo
Botero, adquirir un bono ordinario en pesos emitido en abril 21 de 2004 con
Módulo: Matemáticas Financieras
0
1 2 3 4 60 días
Pc=?
100
0
1 2 3 4 60 días
Pc=?
100
84
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
plazo de dos años, al que le faltan 371 días al vencimiento, si el bono liquida
intereses mensualmente vencidos el último día de cada mes, a la tasa del
29,02% anual y al inversionista desea una rentabilidad equivalente al 34,00%
efectiva anual?
Solución
Para poder representar gráficamente el flujo de caja es necesario determinar el
valor tanto de los intereses periódicos como de los cancelados al vencimiento
del bono ordinario.
693.1$360
21*2902,0*100
418.2$360
30*2902,0*100cos
==
==
oVencimientalIntereses
PeriódiIntereses
Por lo tanto; el último pago de intereses se hace proporcionalmente a los 21
días de abril de 2004.
Trayendo a valor presente todos los pagos futuros, a la tasa esperada, se tiene:
4590,99%)34(
)34,1(
693.101
)34,1(
418.2
)34,1(
418.2%)34(
360380
36030
36030
=
++=
o
o
P
P
Gráfica 12: Bono Ordinario
Ejemplo 4.14: Bono Ordinario En Pesos. ¿Cuál es el rendimiento efectivo
anual de un bono ordinario en pesos con plazo de tres años, adquirido por Juan
Módulo: Matemáticas Financieras
01 2 3
P=?
$2.418
100+1.693
4 21Marzo 30/03
Abril 21/02
01 2 3
P=?
$2.418
100+1.693
4 21Marzo 30/03
Abril 21/02
85
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Esteban Rojas en el momento de su emisión, y que le liquida una tasa de
30,50% anual, T.A?
Solución
Para determinar el rendimiento efectivo que obtendría Juan Esteban, primero
se debe transformar el interés anticipado a vencido.
ATAhora .0725.04
305.0 = %254.808254.007625.01
07625.0. ==
−=VT
%33.373733.01)08254.1( 4 ==−=eiAsí
Módulo: Matemáticas Financieras 86
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Bibliografía
ÁLVAREZ ARANGO, Alberto. Matemáticas Financieras. Segunda edición,
editorial Mc Graw Hill. Bogotá, 1999.
JARAMILLO BETANCUR, Fernando. Matemática Financiera y su uso para las
Decisiones en un Entorno Internacional. Libro en Edición. Medellín, 2006.
MOYER, Charles R, McGUIGAN, James R y KRETLOW, William J. Administración
financiera contemporánea. Séptima edición.
OCHOA SETZER, Guadalupe. Administración Financiera. Primera Edición.
McGraw-Hill. México 2003.
SANTANDREU, Pol. Matemática Financieras con ejercicios. Gestión 2000.
Barcelona 2002.
SULLIVAN, William G. WICKS, Elin M. LUXHOJ, James T. Ingeniería Económica
de DeGarmo. Duodécima Edición. Editorial Pearson. México 2004.
VÉLEZ PAREJA, Ignacio. Decisiones de inversión: enfocado a la valoración de
empresas. Bogota : Centro Editorial Javeriano (Ceja), 2001
Módulo: Matemáticas Financieras 87
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
ANEXO: Fórmulas de Matemática Financiera
Tasa de interés efectiva con capitalizaciones vencidas
11efi −
+=
mnom
m
i
Tasa de interés nominal a partir de una efectiva con capitalizaciones vencidas
( )1)1( −+= m efnom imi
Tasa de interés efectiva con capitalizaciones anticipadas
11ief −
−=
−mnom
m
i
Tasa de interés nominal a partir de una efectiva con capitalizaciones anticipadas
+−=
m
ef
nom
imi
/1
1
11
Tasa efectiva periódica (cuando la capitalización es anticipada)
ant
antef
i
ii
−=
1
Tasa anticipada periódica a partir de una tasa vencida
ef
efant
i
ii
+=
1
Tasa equivalente de una tasa en moneda extranjera
1)1)(1( −++= devef iii
Tasa de interés real
11
1 −++=
fl
efr
i
ii
Valor Presente de un Pago Único
n
iFP
+=
1
1
Valor Futuro de un Pago Único
niPF )1( +=
Valor Presente de una Serie Uniforme
+
−+=n
n
ii
iAP
)1(
1)1(
Valor Futuro de una Serie Uniforme
−+=i
iAF
n 1)1(
Valor Presente de un Gradiente Aritmético
+
−+
−+=nn
n
g i
n
ii
i
i
GP
)1()1(
1)1(
Valor Futuro de un Gradiente Aritmético
i
NG
i
i
i
GF
n
g −
−+= 1)1(
Módulo: Matemáticas Financieras 88
Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó
Serie Uniforme de un Gradiente Aritmético
−+
−=1)1(
1ng i
n
iGA
Valor Futuro de un Gradiente Geométrico
±
+++=
ii
iiAF
g
ng
n )1()1(1
Valor Presente de un Gradiente Geométrico
ii
i
iA
Pg
n
ng
−
−
++
=
1)1(
)1(1
Valor Presente de un Gradiente Geométrico
ii
i
iA
Pg
n
ng
−
−
++
=
1)1(
)1(1
Serie Uniforme de un Gradiente Geométrico
−+
−
−−+=
1)1(
)1()1(1 n
g
ng
n
i
i
ii
iiAA
Cálculo del Número de Periodos
)1ln(
lnln
i
PFn
+−=
Cálculo de la Tasa de Interés
1)( /1 −= n
PFi
Módulo: Matemáticas Financieras 89