TESIS DE MÁSTER
MODELO DE VALORACIÓN DE LA INVERSIÓN EN UNA CENTRAL
ELÉCTRICA MEDIANTE OPCIONES REALES
AUTOR: JUAN PALOMARES CARRALERO
MADRID, SEPTIEMBRE DE 2010
UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
MÁSTER OFICIAL EN EL SECTOR ELÉCTRICO
Autorizada la entrega del proyecto al alumno:
Juan Palomares Carralero
LOS DIRECTORES DE LA TESIS
Ángel Garro Pérez
Fdo: Fecha:
Mariano Ventosa Rodríguez
Fdo: Fecha:
Vº Bº del Coordinador de Tesis
Michel Rivier Abbad
Fdo: Fecha:
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Resumen
En esta Tesis se valora la inversión en diferentes tipos de centrales eléctricas
mediante el método de las opciones reales. Se trata de una herramienta que aúna
modelos ampliamente conocidos en la literatura y validados en numerosos estudios de
valoración de inversiones: el modelo unit commitment, que optimiza la explotación de
una central eléctrica, y métodos estadísticos y de simulación para valorar instrumentos
financieros.
El modelo de opciones reales aporta un valor añadido frente a modelos de
valoración tradicionales en tanto en cuanto a que proporciona la opcionalidad
inherente a la inversión en una central eléctrica. Mientras que en un modelo de
valoración tradicional se considera únicamente un escenario base y un número discreto
de escenarios de riesgo (con una probabilidad previamente condicionada), en el
modelo de la Tesis se obtiene una distribución de probabilidad de la rentabilidad
esperada de la inversión que indica la forma de la incertidumbre de los resultados. Por
tanto, el modelo permite no sólo elegir entre invertir o no invertir, sino también tomar
decisiones sobre opciones de ampliación, de abandono o de espera en la inversión. Por
el hecho de que la explotación de una central eléctrica no tiene una respuesta lineal,
debido a contener restricciones físicas y económicas, el modelo extrae el valor temporal
existente en la inversión, como si de una opción financiera se tratara, aportando una
ventaja competitiva frente a otros inversores que realicen una valoración por un
método tradicional.
El modelo simula, en base a una reversión a la media, cotizaciones eléctricas y de
combustibles de productos de mercados a plazo, de tal modo que los precios acaben
revirtiendo a largo plazo a la esperanza observada en los mercados. Las simulaciones
integran, mediante un proceso de Monte Carlo, información histórica de la volatilidad
de dichos productos futuros y de la correlación entre ellos. Los productos futuros
proyectados para cada día del alcance temporal de la inversión se perfilan en precios
horarios, según un clustering (agrupación por niveles significativos) de los precios
históricos del mercado spot en cuestión. La herramienta de simulación de precios se ha
creado en el entorno de Excel y Visual Basic for Applications. El modelo ha sido
validado por la metodología de Box-Jenkins y por contrastes de normalidad, mediante
el uso de MATLAB.
iv
La herramienta divide la vida útil de la planta en periodos discretos de tiempo y en
cada uno de ellos decide una explotación de la misma a futuro, basándose en las
simulaciones de precios realizadas previamente. Aprovechando la propiedad de alta
correlación entre precios de venta y costes térmicos y la reversión entre precios spot y
futuros, la decisión de explotación en cada escenario se realiza optimizando el
funcionamiento de la central eléctrica en la que se va a invertir, en base a la esperanza
del margen existente entre las simulaciones de precios de los futuros eléctricos y de los
costes variables, considerando unos costes de arranque y de parada. El funcionamiento
está sujeto a restricciones de límites de carga, de periodos mínimos de funcionamiento
y de cantidades máximas de energía disponible, para un determinado alcance
temporal. La reversión a la media se va actualizando a medida que se recorre el alcance
temporal, de tal modo que no se sobrevalore el margen bruto de la central eléctrica.
Esta estrategia de planificación emula la forma de tomar decisiones que se realiza en
una empresa y tiene un menor coste computacional que un problema de optimización
estocástica, lo que permite ampliar el detalle de complejidad de las simulaciones y de
las variables de decisión. Este modelo ha sido desarrollado, junto con el modelo de
simulación de precios, en el entorno de Excel, Visual Basic for Applications y GAMS.
Como ejemplo de aplicación práctica, en la presente Tesis se ha probado la validez
del modelo sobre un hipotético caso real: la decisión de una empresa eléctrica acerca de
la inversión en nueva capacidad (central de ciclo combinado, central de carbón y/o
central de carbón con captura y almacenamiento de CO2) en el mercado alemán. Se ha
medido para todos los casos la rentabilidad de la inversión y el riesgo asociado a la
misma.
También se ha valorado la opcionalidad de un contrato de alquiler (tolling) de una
central de cogeneración, por el que una parte recibe el precio eléctrico (asumiendo el
riesgo de mercado) y realiza, a cambio, un pago que consiste en una fórmula indexada
a diversas commodities (que replica los costes de combustible de la central de
cogeneración que paga la contraparte) más una prima negociada previamente a la
firma del contrato.
v
Summary
This Thesis makes a valuation of different power plants based on the real options
technique. It consists on a tool that joins together models which are very well known in
the literature and which have been validated in several papers: the unit commitment
model, which optimizes the operation of a power plant, and statistical & simulation
methods that compute valuations of financial instruments.
The real options model entails an added value with respect to classical valuation
models because it yields the inherent optionality of a power plant investment. While a
classical valuation model would only consider a base scenario and a discrete number of
risk scenarios (with an already given probability), the model of this Thesis obtains a
probability distribution of the expected investment return, which gives the picture of
the uncertainty related to the results. Therefore, not only the model allows to decide
whether to invest or not, but it also provides the option to expand, defer or abandon
the investment. Since the operation of a power plant does not have a lineal behavior,
due to physical and economic restrictions, the model extracts the temporal value
existent in the investment, as if it were a financial option, giving a competitive
advantage with respect to other investors who may have computed a classical
valuation.
The model simulates, based on a mean reversion, power and commodities prices
from the forward markets, so that they end up reverting in the long term to the
expected value observed in the markets. The simulations incorporate, by means of a
Monte Carlo process, historical data regarding prices volatility and the correlation
among them. The forecasted forward prices for each day of the temporal scope are
broken down on an hourly basis based on a clustering analysis that has been
performed with historical spot market prices. This model has been created in Excel and
Visual Basic for Applications. The model has been validated in MATLAB by the Box-
Jenkins methodology and by normal tests.
The model of the Thesis divides de investment life in discrete periods of time, and
the operation of the power plant is optimized in each one of those periods, based on
the forecasted market prices. Taking advantage of the high correlation existing
between market prices and thermal costs, and the mean-reversion between spot and
forward prices, the decision of the operation of the plant in each scenario is done based
vi
on the spread between market prices and variable costs, considering start-up costs and
shut-down costs. The optimization is subject to some restrictions, regarding load limits,
minimum periods of operation and maximum amounts of energy available, for a given
temporal scope. The mean reversion is updated as the model goes on in the temporal
horizon, so that the power plant gross margin is not overvalued. This planification
strategy emulates the way in which decisions are taken in a company, and it has a
lower computational cost than a stochastic optimization, allowing more complexity in
the decision variables of the simulations. This model has been developed, along with
the mean reversion model, in Excel, Visual Basic for Applications and GAMS
environments.
As a practical example, the model has been run for a hypothetical real case: the
decision of an electrical company regarding the investment in new capacity (CCGT,
coal plant and/or coal plant with CCS) in the German market. It has been measured,
for each case, the profitability of the investment and its associated risk.
It has also been valuated the optionality of a tolling contract for a CHP plant. One
part of the contract receives the electrical price (taking the market risk) and pays, in
exchange, an amount of money which consists on a formula indexed to some
commodities (that replicates the fuel costs of the plant paid by the counterpart) in
addition to a premium negotiated prior to close the contract.
vii
Índice
RESUMEN ...............................................................................................................................................III
SUMMARY .............................................................................................................................................. V
ÍNDICE................................................................................................................................................... VII
ÍNDICE DE FIGURAS ..........................................................................................................................XI
ÍNDICE DE ECUACIONES ..............................................................................................................XIII
ÍNDICE DE TABLAS............................................................................................................................XV
1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 2
1.1 Motivación........................................................................................................... 2
1.2 Descripción del problema ................................................................................. 2
1.3 Objetivos de la Tesis........................................................................................... 4
1.4 Estructura de la Tesis ......................................................................................... 4
2 FINANZAS CUANTITATIVAS ...................................................................................................... 7
2.1 Introducción ........................................................................................................ 7
2.2 Análisis matemático y estadístico .................................................................... 7
2.2.1 Distribución normal 7
2.2.2 Distribución lognormal 8
2.2.3 Volatilidad 9
2.2.4 Coeficiente de correlación y covarianza 10
2.2.5 Descomposición de Cholesky 11
2.3 Simulación. Computación. .............................................................................. 12
2.3.1 Método de Monte Carlo 12
2.3.2 Reversión a la media. Cálculo de parámetros por el método de máxima verosimilitud. 13
2.3.3 Modelo autorregresivo 15
2.4 Series temporales .............................................................................................. 17
2.4.1 Metodología de Box – Jenkins. Modelos ARIMA. 17
2.4.2 Contraste de normalidad. Lilliefors. 20
2.5 Teoría financiera ............................................................................................... 21
2.5.1 Método de valoración tradicional: flujos de caja descontados 21
2.5.2 Coste de los fondos propios (rentabilidad esperada) 23
2.5.3 Opciones 25
2.5.4 Métodos de valoración de opciones 27
2.5.5 Valoración de opciones: modelo de Black & Scholes 28
viii
2.5.6 Valoración de opciones: sensibilidades 35
2.5.7 Volatilidad histórica y volatilidad implícita 36
2.5.8 Valoración de opciones: método binomial 37
3 OPCIONES REALES........................................................................................................................ 43
3.1 Introducción ...................................................................................................... 43
3.2 Relación entre las opciones reales y las opciones financieras .................... 46
3.3 Consideraciones previas para aplicar la teoría de valoración de activos
financieros a modelos de valoración de activos reales del sector
eléctrico .............................................................................................................. 49
4 VALORACIÓN DE LA INVERSIÓN EN UNA CENTRAL ELÉCTRICA MEDIANTE
OPCIONES REALES........................................................................................................................ 52
4.1 Descripción general del modelo de valoración de la inversión en una
central eléctrica mediante opciones reales.................................................... 52
4.2 Detalle de cómo se avanza en el alcance temporal...................................... 55
4.3 Modelo de simulación de cotizaciones de precios y productos futuros .. 57
4.3.1 Introducción 57
4.3.2 Datos de entrada 58
4.3.3 Módulo I y II: componente aleatoria. Cálculo de los parámetros y simulación de
comportamientos. 60
4.3.4 Módulo I y II: componente estacional. Corregir los futuros a una esperanza
observada. 62
4.3.5 Módulo I: componente estacional. Corregir los M+i a una esperanza observada. 62
4.3.6 Módulo I: componente estacional. Corregir los Q+i a una esperanza observada. 63
4.3.7 Cálculo diario de productos futuros combinando la simulación de medias mensuales
de productos futuros (módulo I) con la simulación de unitarios diarios de productos
futuros (módulo II) 63
4.3.8 Módulo III: Perfilado horario (componente estacional) 65
4.3.9 Simulación de los costes de generación 67
4.3.10 Datos de salida 70
4.3.11 Interfaz del modelo de reversión a la media 70
4.4 Modelo unit commitment de optimización de la explotación de una
central eléctrica ................................................................................................. 72
4.4.1 Introducción 72
4.4.2 Datos de entrada 74
4.4.3 Función objetivo: maximización a medida que se recorre el alcance temporal 75
4.4.4 Condición de funcionamiento (unit commitment) 76
ix
4.4.5 Otras restricciones 78
4.4.6 Datos de salida 80
4.4.7 Interfaz del modelo unit commitment 80
4.5 Plan de negocio ................................................................................................. 81
5 RESULTADOS DEL MODELO: VALORACIÓN DE DIFERENTES TECNOLOGÍAS
EN EL MERCADO ALEMÁN ........................................................................................................ 84
5.1 Introducción ...................................................................................................... 84
5.2 Breve descripción del sector eléctrico alemán.............................................. 85
5.3 Selección del modelo por la metodología de Box-Jenkins.......................... 86
5.4 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de carbón
importado .......................................................................................................... 92
5.5 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de ciclo
combinado ......................................................................................................... 95
5.6 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de carbón
nacional con captura y almacenamiento de CO2 (CCS).............................. 98
5.7 Valoración de un contrato de alquiler (tolling) sobre una planta de
cogeneración ................................................................................................... 101
6 CONCLUSIONES........................................................................................................................... 107
6.1 Introducción .................................................................................................... 107
6.2 Resultados de la valoración de la inversión en nueva capacidad ........... 108
6.3 Resultados de la valoración de un contrato de alquiler (tolling) ............. 113
7 LINKS Y BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 116
8 AGRADECIMIENTOS .................................................................................................................. 118
A CORREGIR A LA ESPERANZA LAS SIMULACIONES DE PRODUCTOS
FUTUROS ........................................................................................................................................ 121
A.1 Reversión a la media de los productos M+i ............................................... 121
A.2 Reversión a la media de los productos Q+i................................................ 122
B CÓDIGOS DE VBA PARA EXPORTAR E IMPORTAR FICHEROS DE TEXTO CON
LOS DATOS DE ENTRADA Y DE SALIDA DEL MODELO DE OPTIMIZACIÓN........ 124
B.1 Código de VBA para exportar ficheros de texto con los datos de
entrada del modelo de optimización GAMS.............................................. 124
x
B.2 Código de VBA para importar ficheros de texto con los datos de salida
del modelo de optimización GAMS ............................................................ 126
C CÓDIGOS DE MATLAB PARA SELECCIONAR EL ORDEN DEL MODELO
AUTORREGRESIVO QUE MÁS SE AJUSTA A LAS SERIES TEMPORALES Y
PARA REALIZAR CONTRASTES DE NORMALIDAD DE LOS RESIDUOS DEL
MODELO ......................................................................................................................................... 129
C.1 Código de MATLAB para calcular las funciones de autocorrelación
simple y parcial de las series temporales................................................... 129
C.2 Código de MATLAB para evaluar la complejidad frente a la precisión
del modelo autorregresivo............................................................................ 130
C.3 Código de MATLAB para realizar contrastes de normalidad de
Lilliefors sobre los residuos del modelo autorregresivo .......................... 131
D METODOLOGÍA DE BOX-JENKINS ........................................................................................ 133
E FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN SIMPLE Y PARCIAL .............................................. 135
E.1 Patrones gráficos............................................................................................. 135
E.2 Proceso de selección del modelo .................................................................. 136
xi
Índice de Figuras
� Nota: las figuras carecen de referencia porque han sido realizadas por el autor de la Tesis.
Figura 1. Tendencia de una variable que se distribuye lognormalmente a lo largo del tiempo .... 8
Figura 2. Autorregresivo de orden 1 .................................................................................................... 16
Figura 3. Estructura financiera para un WACC óptimo .................................................................... 22
Figura 4. Resolución gráfica del modelo de Markowitz .................................................................... 24
Figura 5. Rentabilidades según el tipo de opción y la posición adquirida...................................... 26
Figura 6. Rentabilidad para un vendedor de una opción de compra (short call)........................... 33
Figura 7. Valor de una opción de compra para distintos tiempos hasta fecha de vencimiento ... 34
Figura 8. Reticulado binomial del activo subyacente y reticulado binomial de valoración (en
el caso de dos periodos) .............................................................................................................. 40
Figura 9. Asimetría entre ganancias y pérdidas al ejercer opciones reales ..................................... 48
Figura 10. Diagrama del modelo de valoración basado en la técnica de opciones reales ............. 54
Figura 11. Senda de precios horarios esperados a partir del 12 de mayo de 2010 ......................... 56
Figura 12. Reversión a la media de los precios esperados el 13 de mayo de 2010 ......................... 56
Figura 13. Filtro de outlayers en el cálculo del logaritmo neperiano de los unitarios diarios
sobre productos futuros .............................................................................................................. 60
Figura 14. Ejemplo de cotizaciones diarias históricas de un producto futuro ................................ 64
Figura 15. Agrupación de precios históricos por niveles................................................................... 66
Figura 16. Clustering de niveles de precios horarios ......................................................................... 66
Figura 17. Hoja Menú de la herramienta de valoración..................................................................... 71
Figura 18. Hoja donde se cargan las simulaciones de los futuros mensuales esperados para
un día concreto ............................................................................................................................. 72
Figura 19. Modelo unit commitment de optimización de la explotación de una central
eléctrica.......................................................................................................................................... 74
Figura 20. Relación entre la potencia y la potencia acoplada por encima de mínimo técnico...... 79
Figura 21. Funcionamiento de una central en base al spread y a unos costes de arranque y de
parada............................................................................................................................................ 80
Figura 22. Interfaz en Excel para exportar datos de entrada del modelo en GAMS...................... 81
Figura 23. Mix energético alemán en 2009 (fuente: EEX)................................................................... 85
Figura 24. Función de autocorrelación simple de la serie temporal de unitarios diarios del
producto futuro M+0................................................................................................................... 86
Figura 25. Función de autocorrelación simple de la serie temporal de unitarios diarios del
producto futuro Q+3 ................................................................................................................... 87
Figura 26. Función de autocorrelación parcial de la serie temporal de unitarios diarios del
producto futuro M+0................................................................................................................... 88
xii
Figura 27. Función de autocorrelación parcial de la serie temporal de unitarios diarios del
producto futuro M+1................................................................................................................... 88
Figura 28. Función de autocorrelación parcial de la serie temporal de unitarios diarios del
producto futuro Q+1 ................................................................................................................... 89
Figura 29. Función que relaciona la desviación típica del ruido blanco del autorregresivo de
los unitario diarios del M+0 frente al orden del modelo ....................................................... 90
Figura 30. Función que relaciona la desviación típica del ruido blanco del autorregresivo de
los unitario diarios del M+0 frente al orden del modelo ....................................................... 90
Figura 31. Función que relaciona la desviación típica del ruido blanco del autorregresivo de
los unitario diarios del Q+2 frente al orden del modelo........................................................ 91
Figura 32. Histograma del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del M+0 ..... 92
Figura 33. Histograma del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del Y+1 ...... 92
Figura 34. Resultado en M€ de la explotación de una central de carbón para 1000
simulaciones ................................................................................................................................. 93
Figura 35. Resultado del VAN (en M€) de una central de carbón importado para 1000
simulaciones ................................................................................................................................. 94
Figura 36. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de una central de
carbón importado......................................................................................................................... 95
Figura 37. Resultado en M€ de la explotación de un ciclo combinado para 1000 simulaciones .. 96
Figura 38. Resultado del VAN (en M€) de un ciclo combinado para 1000 simulaciones.............. 97
Figura 39. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de un ciclo combinado ... 98
Figura 40. Resultado en M€ de la explotación de una central de carbón con CCS para 1000
simulaciones ................................................................................................................................. 99
Figura 41. Resultado del VAN (en M€) de una central de carbón con CCS para 1000
simulaciones ............................................................................................................................... 100
Figura 42. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de una central de
carbón con CCS .......................................................................................................................... 101
Figura 43. Valor total frente a valor intrínseco en la valoración de la inversión en una planta
de cogeneración sujeta a distintas restricciones de horas mínimas de funcionamiento .. 103
Figura 44. Zonas At-The-Money e In-The-Money donde funciona una central sujeta a
diferentes restricciones de horas mínimas de funcionamiento............................................ 104
Figura 45. Producción mensual de una planta de cogeneración bajo distintas restricciones de
horas mínimas de funcionamiento .......................................................................................... 105
xiii
Índice de Ecuaciones
Ecuación 1. Volatilidad y rendimiento ................................................................................................. 10
Ecuación 2. Covarianza de dos variables aleatorias ........................................................................... 10
Ecuación 3. Coeficiente de correlación de Pearson............................................................................. 11
Ecuación 4. Descomposición de Cholesky ........................................................................................... 12
Ecuación 5. Ecuación diferencial estocástica de reversión a la media ............................................. 13
Ecuación 6. Ecuación discreta equivalente de reversión a la media................................................. 14
Ecuación 7. Variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de la reversión
a la media ...................................................................................................................................... 14
Ecuación 8. Función de probabilidad de la distribución normal...................................................... 14
Ecuación 9. Función de densidad conjunta de las variables aleatorias de la reversión a la
media ............................................................................................................................................. 14
Ecuación 10. Logaritmo neperiano de la función de verosimilitud que estima los parámetros
de la reversión a la media ........................................................................................................... 14
Ecuación 11. Ecuación del modelo autorregresivo ............................................................................. 15
Ecuación 12. Modelo ARIMA ................................................................................................................ 18
Ecuación 13. Coste medio ponderado de capital después de impuestos (WACC) ........................ 21
Ecuación 14. Valor actual neto............................................................................................................... 23
Ecuación 15. Frontera de eficiencia en el modelo de Markowitz...................................................... 24
Ecuación 16. Coeficiente Beta ................................................................................................................ 24
Ecuación 17. Capital Asset Pricing Model ........................................................................................... 24
Ecuación 18. Valor de una opción ......................................................................................................... 27
Ecuación 19. Movimiento browniano geométrico .............................................................................. 29
Ecuación 20. Ecuación en derivadas parciales de Black & Scholes................................................... 30
Ecuación 21. Ecuación de Black & Scholes para una opción europea de compra de una acción
que no reparte dividendos.......................................................................................................... 30
Ecuación 22. Ajuste a la ecuación de Black & Scholes para acciones que pagan dividendos ....... 31
Ecuación 23. Ajuste a la ecuación de Black & Scholes para acciones que pagan dividendos
continuos ....................................................................................................................................... 31
Ecuación 24. Ecuación de Black & Scholes corregida para opciones de compra sobre acciones
que pagan dividendos continuos............................................................................................... 32
Ecuación 25. Ecuación de Black & Scholes corregida para opciones de compra europeas
sobre futuros ................................................................................................................................. 32
Ecuación 26. Ratio de cobertura (método binomial)........................................................................... 38
Ecuación 27. Cartera de arbitraje que elimina el riesgo en la inversión .......................................... 38
Ecuación 28. Probabilidad implícita ..................................................................................................... 39
xiv
Ecuación 29. Hipótesis del método binomial: mundo neutral al riesgo .......................................... 39
Ecuación 30. Valor de una opción de compra europea para un periodo, según el método
binomial......................................................................................................................................... 39
Ecuación 31. Valor de una opción de compra europea para n periodos, según el método
binomial......................................................................................................................................... 41
Ecuación 32. Factores multiplicativos y probabilidad implícita al pasar del método binomial
a la distribución lognormal......................................................................................................... 41
Ecuación 33. Valor actual neto total...................................................................................................... 46
Ecuación 34. Filtro de outlayers por encima de la media en el cálculo de los unitarios diarios
de productos futuros ................................................................................................................... 59
Ecuación 35. Escalar a una esperanza una serie de valores............................................................... 62
Ecuación 36. Coste variable de un ciclo combinado........................................................................... 68
Ecuación 37. Coste de arranque de un ciclo combinado que funciona con gas spot NBP ............ 68
Ecuación 38. Coste variable de una central de carbón ....................................................................... 69
Ecuación 39. Coste de arranque de una central de carbón ................................................................ 69
Ecuación 40. Periodo de tiempo a partir del cual se optimiza el funcionamiento de la central
a futuro .......................................................................................................................................... 75
Ecuación 41. Función objetivo de optimización del funcionamiento de una central..................... 75
Ecuación 42. Restricciones de funcionamiento de la central ............................................................. 76
Ecuación 43. Restricción de funcionamiento considerando un punto de partida hini.................... 78
Ecuación 44. Restricciones de límites mínimo y máximo de potencia ............................................. 78
Ecuación 45. Restricción de horas mínimas de funcionamiento....................................................... 79
Ecuación 46. Restricción de máxima energía disponible ................................................................... 79
xv
Índice de Tablas
Tabla 1. Métodos de valoración según el tipo de opciones ............................................................... 28
Tabla 2. Relación entre las opciones reales y las opciones financieras............................................. 47
Tabla 3. Ejemplo de valoración del funcionamiento óptimo de una cartera de centrales en
base al spark spread..................................................................................................................... 77
Tabla 4. Resultados de un hipotético caso real de inversión en nueva capacidad en el
mercado alemán ......................................................................................................................... 109
1 Introducción 2
1 Introducción
1.1 Motivación
Como consecuencia de la crisis financiera mundial, que ha afectado a todos los
campos de la industria y de la economía, nos encontramos en un momento de
transición en el que la sociedad está repensando los modelos y las estructuras que han
soportado y que soportarán el desarrollo futuro.
El sector eléctrico se ha visto afectado de igual manera. Este punto de inflexión que
estamos viviendo en el sector propicia el estudio y el análisis de técnicas robustas que
permitan establecer estrategias que solventen las incertidumbres relacionadas con los
aspectos que más preocupan hoy en día: la seguridad de suministro, el impacto
medioambiental y la volatilidad de los mercados.
La Tesis surge con ánimo de ayudar a la toma de decisiones acerca de las
inversiones que puedan resultar más rentables a una empresa, no sólo desde el punto
de vista económico, sino también desde el punto de vista de mitigación del riesgo de
mercado y de potenciación de la sostenibilidad económica, social y medioambiental.
1.2 Descripción del problema
En esta Tesis se valora la inversión en centrales eléctricas basándose en el método de
las opciones reales.
El modelo de opciones reales aporta un valor añadido frente a modelos de
valoración tradicionales en tanto en cuanto a que proporciona la opcionalidad
inherente a la inversión en una central eléctrica. En el modelo de la Tesis se obtiene una
distribución de probabilidad de la rentabilidad esperada de la inversión que indica la
forma de la incertidumbre de los resultados. Además, por el hecho de que la
explotación de una planta no tiene una respuesta lineal por contener restricciones
físicas y económicas, la herramienta de la Tesis extrae el valor temporal existente en la
inversión, como si de una opción financiera se tratara, aportando una ventaja
competitiva frente a otros inversores que realicen una valoración por un método
tradicional.
1 Introducción 3
Se trata de una herramienta que aúna dos modelos ampliamente conocidos en la
literatura y validados en numerosos estudios de valoración de inversiones: el modelo
unit commitment, que optimiza la explotación de una central eléctrica, y métodos
estadísticos y de simulación para valorar instrumentos financieros.
Para valorar la inversión de la central, de forma análoga a un instrumento
financiero, se podría haber optado por la fórmula analítica de Black & Scholes, el
método binomial, o el modelado mediante simulaciones. Se ha considerado este último
método dada la flexibilidad que aporta el mismo en la valoración de cualquier
derivado complejo, como es el caso que abarca la Tesis.
A la hora de modelar los precios y costes de combustibles, se ha optado por utilizar
modelos de reversión a la media, ya que cabe esperar que los precios y los costes
evolucionen correladamente, de tal modo que acaben revirtiendo a largo plazo a la
esperanza observada en los mercados.
Asimismo, la optimización extrae el valor temporal de la inversión, puesto que se
realiza para un abanico de precios proyectados de tal modo que, en cada instante de la
inversión, se optimiza el funcionamiento considerando las restricciones del futuro y se
avanza en función de lo que marque cada simulación de futuro como estrategia de
planificación. No se obtendría el mismo resultado si se valorase por un método
tradicional y se realizase un análisis de sensibilidad, puesto que en tal caso se parte de
supuestos acerca de futuras contingencias (evaluando las consecuencias), en vez de
incorporar en un modelo las contingencias que realmente se esperan e ir evaluando las
consecuencias y alterando la explotación a medida que éstas se desarrollan.
La herramienta que se presenta en esta Tesis trata de modelar numerosos aspectos
de los mercados eléctricos para aproximarse lo más posible a la realidad. Por un lado,
el modelo ofrece ciertas cualidades deseables desde el punto de vista de la simulación
y valoración final, ya que el abanico de cotizaciones de productos futuros no sólo
revierte a la esperanza observada en el instante en el que se realiza la valoración, sino
que también integra información histórica de la volatilidad de los productos eléctricos
futuros y de la correlación entre ellos mediante un proceso de Monte Carlo. Por otro
lado, la herramienta también contiene información del mercado spot, ya que los
productos futuros proyectados, que tienen un detalle mensual, trimestral y anual, se
perfilan horariamente en base a precios históricos del mercado en cuestión.
1 Introducción 4
1.3 Objetivos de la Tesis
El primer objetivo ha sido la documentación y el análisis de las finanzas
cuantitativas que se usan para valorar instrumentos derivados, y el estudio del estado
del arte de las opciones reales y de su aplicación al sector eléctrico.
Una vez los conocimientos básicos han sido aprendidos, se ha procedido a ponerlos
en práctica creando un modelo estadístico y financiero, en el entorno de Excel, Visual
Basic for Applications y GAMS, que permitiese realizar valoraciones por el método de
las opciones reales. El modelo ha sido validado por diversas metodologías y contrastes
de verificación a través del programa informático MATLAB.
Por último, se ha procedido a valorar la inversión en nueva capacidad para diversas
tecnologías como son un ciclo combinado, una central de carbón o una central de
carbón con CCS (Carbon Capture and Storage, que en español es una planta de captura y
almacenamiento de CO2 asociada a una central eléctrica), comparando sus distintas
rentabilidades frente al riesgo asociado a la inversión en cada una de ellas. También se
ha valorado un contrato de alquiler (tolling) de una planta de cogeneración.
En resumidas cuentas, el objetivo de la Tesis ha sido crear una herramienta que
fuera lo suficientemente potente como para poder llegar a aportar cierto valor añadido
a una empresa eléctrica, al ser capaz de extraer el valor temporal inherente a una
inversión.
1.4 Estructura de la Tesis
El capítulo 2 desarrolla aquellos rasgos de las finanzas cuantitativas que son
necesarios para la modelización que realiza la Tesis del comportamiento de las
variables de los mercados.
El capítulo 3 describe la técnica de las opciones reales, la compara con los modelos
de valoración tradicionales, mostrando el valor añadido que aporta el conocimiento de
la opcionalidad de una inversión, y describe las particularidades de la aplicación de las
opciones reales a la valoración de la inversión en diferentes tecnologías eléctricas.
El capítulo 4 muestra en detalle la herramienta de la Tesis, la cual aplica el método
de las opciones reales a la valoración de inversiones en centrales eléctricas. En primer
lugar, se describe el modelo que simula por una reversión a la media sendas de precios
1 Introducción 5
y costes de combustibles para un alcance temporal determinado. A continuación, se
describe el modelo unit commitment, que optimiza la explotación horaria de la central
eléctrica en base al margen existente entre los precios y los costes variables
proyectados, considerando unas determinadas restricciones de funcionamiento.
Finalmente, se plantea un plan de negocio en el que se describen medidas de riesgo
para determinar los niveles de rentabilidad y la opcionalidad inherente a las
inversiones.
El capítulo 5 muestra los resultados del modelo de la Tesis en la valoración de la
inversión en nueva capacidad para diferentes tecnologías eléctricas (ciclos combinado,
central de carbón y central de carbón con CCS), midiendo la rentabilidad y el riesgo
asociado. Asimismo se mide la opcionalidad inherente a la inversión en un contrato de
alquiler (tolling) de una planta de cogeneración.
2 Finanzas cuantitativas 7
2 Finanzas cuantitativas
2.1 Introducción
Las finanzas cuantitativas son necesarias para la modelización del comportamiento
de las variables de los mercados. Podría considerarse que las finanzas cuantitativas son
una combinación de matemáticas, computación y teoría financiera.
En el caso que nos ocupa, las finanzas cuantitativas constituyen la herramienta para
analizar y valorar instrumentos derivados, permitiendo la toma de decisiones de un
modo fundamentado a la hora de valorar opciones reales.
2.2 Análisis matemático y estadístico
2.2.1 Distribución normal
Se llama distribución normal a una de las distribuciones de probabilidad de variable
continua que con más frecuencia aparece en fenómenos de distinta índole (naturales,
matemáticos, etc.). La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada
(se conoce como campana de Gauss) y es simétrica respecto de un determinado punto
donde coinciden la media, la moda y la mediana. La importancia de esta distribución
radica en que permite modelar aquellos fenómenos en los que se cumple que cada
observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.
Asimismo, la distribución normal aparece en muchas áreas de la estadística (por
ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales se aproxima a una normal,
incluso si la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal) y
de la probabilidad (por ejemplo, la distribución normal aparece como el límite de
varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas).
En la Tesis se tiene que los rendimientos sigue una distribución normal (ver
apartado 2.2.3), por lo que el comportamiento de los precios eléctricos sigue una
distribución lognormal, tal y como se describe en el siguiente apartado.
2 Finanzas cuantitativas 8
2.2.2 Distribución lognormal
La distribución lognormal es la distribución de probabilidad de cualquier variable
aleatoria cuyo logaritmo sigue una distribución normal.
Una variable puede ser modelada como lognormal si puede ser considerada como
un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. A efectos
prácticos, las variables que se modelan lognormalmente no pueden tomar valores
negativos y, dada la forma de la función de probabilidad (campana asimétrica), se
cumple que un valor xd por encima de la media se aleja más que un valor xi por debajo
de la misma, siendo sin embargo el área bajo la curva que dejan a su izquierda igual a p
y a 1-p, respectivamente (recordemos que el área hacia la izquierda bajo una función de
probabilidad se denomina función de distribución y representa una probabilidad).
Obsérvese este comportamiento en la Figura 1, donde el eje de abscisas representa el
tiempo desde el momento en el que se realiza el análisis de la tendencia de la variable y
el eje de ordenadas representa los valores que toma dicha variable.
0
40
80
120
160
200
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49
Media Percentil 5% Percentil 95%
Figura 1. Tendencia de una variable que se distribuye lognormalmente a lo largo del tiempo
Este comportamiento se interpreta en el caso del sector eléctrico del siguiente modo:
el precio medio en un mercado puede rondar los 50 €/MWh, pero en horas de baja
demanda donde además sople mucho el viento, el precio puede caer, e incluso llegar a
tener valores cercanos a cero. No obstante, en horas en las que se dé la situación de
indisponibilidad de alguna central nuclear, alta demanda, poco agua disponible y/o
viento despreciable, el precio puede llegar a subir hasta los 1.000 €/MWh (en mercados
2 Finanzas cuantitativas 9
donde no halla un precio máximo instrumental), si es necesario arrancar un grupo de
fuel que necesite recuperar en poco tiempo todos sus costes fijos anualizados. Tanto el
primer caso como el segundo, tienen la misma probabilidad de ocurrir, siendo
1.000 €/MWh un precio mucho más alejado de la media de 50 €/MWh que el precio
cercano a cero.
Este comportamiento dependerá en gran medida de la inelasticidad de la demanda
y de la curva de oferta del mercado. En general, la inelasticidad de la demanda es alta y
la curva de oferta no es lineal, produciéndose saltos de precio en la oferta cada vez
mayores, por lo que a la hora de estudiar las series temporales de precio extrayendo
componentes de estacionalidad y ciclicidad, se pueden asemejar las mismas a un
comportamiento lognormal.
2.2.3 Volatilidad
En el apartado 2.5.7 se comenta que, de todos los parámetros que influyen en el
valor de las opciones, sólo tres de ellos no son conocidos hasta la fecha de ejercicio: la
tasa de interés libre de riesgo, el pago de dividendos y la volatilidad. Generalmente, la
sensibilidad del valor de la opción ante cambios en los dos primeros parámetros no es
tan grande en comparación con la sensibilidad ante cambios en la volatilidad. Este
hecho justifica que la volatilidad sea un elemento clave en el cálculo del valor de las
opciones.
La volatilidad es la tasa de fluctuación en el mercado de los precios del activo
subyacente. Mide la dispersión del precio respecto de su tendencia central, es decir, a
mayor volatilidad, mayor es la probabilidad de que el precio resultante diste mucho de
la media. Cabe mencionar que la volatilidad no considera la dirección del movimiento,
es decir, un valor de volatilidad indica que el precio se ha separado mucho o poco de la
tendencia central, pero no informa si el cambio ha sido por encima o por debajo de la
media. Precisamente este hecho forma parte de la oportunidad a la que renuncian
aquellos agentes que tienen aversión al riesgo, puesto que al disminuir la volatilidad,
están acotando tanto pérdidas como ganancias.
En los modelos de valoración de opciones, se asume que los precios del subyacente
son variables aleatorias que se comportan según una distribución lognormal, ya que la
variabilidad del precio es el resultado del producto multiplicativo de muchos
pequeños factores independientes (ver apartado 2.2.2). El rendimiento de los precios se
2 Finanzas cuantitativas 10
mide como el logaritmo neperiano del ratio entre precios, por lo que dichos
rendimientos siguen comportamientos normales (tal y como se comenta en el apartado
2.2.2, si una variable sigue una distribución lognormal, el logaritmo neperiano de dicha
variable sigue una distribución normal). Tenidos los rendimientos (u), la volatilidad (σ)
es la desviación típica de los mismos, tal y como se muestra en la siguiente ecuación:
( )
365
11
2
tdíaddía
precio
precioLn
udonden
uutdía
ddían
j
j
−
=−
−=∑
=σ
Ecuación 1. Volatilidad y rendimiento
Nótese que el rendimiento (u) se divide por un factor de anualización, para que se
puedan comparar volatilidades medidas para periodos de tiempo de diferente tamaño.
Existen otros métodos para el cálculo de la volatilidad, que se usan en casos más
complejos como son las opciones sobre precios eléctricos horarios, siendo los futuros
de los precios eléctricos de carácter mensual y no horario. En casos de este tipo, es
necesario computar una volatilidad que combine la volatilidad de los precios horarios
históricos y la volatilidad de las cotizaciones de productos futuros mensuales,
considerando la covarianza entre precios históricos horarios y productos futuros
mensuales.
2.2.4 Coeficiente de correlación y covarianza
La covarianza es una medida estadística de dispersión conjunta de dos variables
estadísticas. Sean X e Y dos variables aleatorias de las cuales se ha obtenido una
muestra con N observaciones. La covarianza de las mismas se define con la siguiente
ecuación:
yxN
yx
YXCov
N
i
ii
−=∑
=1),(
Ecuación 2. Covarianza de dos variables aleatorias
2 Finanzas cuantitativas 11
Si el resultado de la Ecuación 2 es positivo, entonces las variables aleatorias guardan
una relación lineal directa. Si es negativo, la relación es lineal inversa. En el caso de ser
nulo, no existe relación lineal.
La varianza 2xσ es la aplicación de la covarianza para el caso particular de comparar
la variable aleatoria X consigo misma, o lo que es lo mismo, es la esperanza del
cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. Es decir, se trata de
una medida de la dispersión de dicha variable aleatoria que siempre da lugar a un
resultado positivo, siendo la media de la variable aleatoria más cercana al conjunto de
la muestra cuanto menor es el valor de la varianza. Nótese que la raíz cuadrada de la
varianza es la desviación típica, o lo que es lo mismo, la volatilidad.
El coeficiente de correlación (de Pearson) se computa del siguiente modo:
22
),(
yx
xy
YXCov
σσρ =
Ecuación 3. Coeficiente de correlación de Pearson
Este coeficiente de correlación normaliza estas medidas de dispersión, de tal modo
que ρ puede tomar valores entre -1 y 1. Por ejemplo, si vale 1 indica que la relación
entre las variables es completamente lineal (se trata del caso particular de comparar
una variable aleatoria consigo misma).
2.2.5 Descomposición de Cholesky
La descomposición (o factorización) de Cholesky consiste en descomponer una
matriz simétrica definida positiva como el producto de una matriz triangular inferior
(L) y una matriz triangular superior (U), que es la transpuesta de la matriz triangular
inferior. La matriz triangular inferior se define como el triángulo de Cholesky de la
matriz original positiva definida. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones
matriciales y se deriva de la factorización LU, que es un caso más general de
descomposición de una matriz cuadrada (con pivotes no nulos) en un producto de una
matriz L y una matriz U, no siendo necesario que ésta sea la transpuesta de aquélla.
La descomposición de Cholesky de una matriz A = LU se realiza del siguiente
modo:
2 Finanzas cuantitativas 12
jj
jk
i
k
ikij
ij
i
k
ikiiii
u
uua
u
uau
∑
∑−
=
−
=
×−=
−=
1
1
1
1
22
Ecuación 4. Descomposición de Cholesky
En la Ecuación 4 se ha descrito el cálculo de los elementos de la matriz U. El cálculo
de los elementos de la matriz L es análogo.
Esta descomposición es interesante en el caso que ocupa a la Tesis porque se usa en
el método de Monte Carlo para simular series temporales que guarden una correlación
dada. Se calcula en primer lugar la volatilidad y la matriz de correlación de
cotizaciones históricas de diferentes productos eléctricos de mercados a plazo, para
obtener la matriz de varianzas y covarianzas de los mismos (según la Ecuación 3). Esta
matriz se descompone en la matriz triangular inferior L, de tal modo que si se
multiplica un vector de números aleatorios (no correlados) por ella, se obtiene un ruido
con las propiedades de covarianza del sistema a ser modelado.
2.3 Simulación. Computación.
2.3.1 Método de Monte Carlo
La técnica de Monte Carlo consiste en repetir muchas veces un experimento
aleatorio (lo que se conoce como muestreo aleatorio), mediante la generación de
números pseudo-aleatorios, para realizar posteriormente medidas estadísticas (en base
a los resultados) que permitan extraer conclusiones para la toma de decisiones.
La simulación por Monte Carlo es un método estadístico numérico usado para
valorar multitud de problemas matemáticos que son muy difíciles de resolver con
exactitud. De hecho, es el único medio para estimar la solución de algunos problemas
matemáticos. Se trata de una técnica que se usa desde los años 40, aunque su uso se
mejoró enormemente con la aparición de los ordenadores. Recibe su nombre en honor
al casino de Monte Carlo, del principado de Mónaco, donde los juegos de azar se basan
en la aleatoriedad.
2 Finanzas cuantitativas 13
La clave del método radica en que el error del resultado obtenido decrece a razón de
N
1, según el teorema del límite central. Hoy en día, la simulación por Monte Carlo se
usa en muy diversos ámbitos, como son el financiero, el científico, el industrial o el
empresarial.
En la Tesis se recurre al método de Monte Carlo para valorar la inversión en una
central eléctrica mediante opciones reales, tal y como se describe en los capítulos
sucesivos, de tal modo que los precios simulados integren la volatilidad y la
correlación de las cotizaciones históricas de los mercados a plazo.
2.3.2 Reversión a la media. Cálculo de parámetros por el método de máxima verosimilitud.
En estadística, la reversión a la media hace referencia al fenómeno en el que una
variable que se encuentra alejada de su media en una primera observación, tenderá a
acercarse a la media en observaciones sucesivas. Se trata de un concepto que fue
utilizado por primera vez en el siglo XIX por el estadístico Francis Galton. Este
fenómeno se tiene en cuenta a la hora de realizar inferencias, de tal modo que la
simulación de los posibles escenarios de un experimento no terminen dando lugar a
resultados poco realistas por haberse alejado demasiado de la media.
En el caso que ocupa a la Tesis, la reversión a la media tiene sentido cuando ocurre
un hecho excepcional que produce una alteración al alza o a la baja de una cotización
eléctrica. En tal caso, cabe esperar que, si no se trata de un hecho estructural, las
cotizaciones tenderán a volver a sus niveles previos medios.
La reversión a la media se representa formalmente mediante la siguiente ecuación
diferencial:
( ) t
r
ttt dBSdtSdS ×+−×= σµα
Ecuación 5. Ecuación diferencial estocástica de reversión a la media
Donde α representa la velocidad a la que se revierte a la media a largo plazo µ , σ
es la volatilidad del proceso y tB representa un movimiento browniano (ver Ecuación
19). Si el proceso considerado es lineal, r toma valores de 0 ó 1. Estos parámetros suelen
calcularse por el método de máxima verosimilitud, del siguiente modo:
2 Finanzas cuantitativas 14
En primer lugar se discretiza la ecuación diferencial estocástica, obteniendo el
modelo discreto equivalente que se muestra a continuación:
( ) t
r
tttt BStSSS ∆×+∆−×+=+ σµα1
Ecuación 6. Ecuación discreta equivalente de reversión a la media
Se pueden definir las variables Xt del siguiente modo:
( )r
t
ttt
tS
tSSSX
∆−×−−= + µα1
Ecuación 7. Variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de la reversión a la media
A partir de la Ecuación 6 y de la Ecuación 7 se tiene que Xt = B∆×σ . Por tanto, Xt
sigue una distribución normal, cuya función de probabilidad es la siguiente:
( ) t
X
t
t
et
Xf ∆−
×∆
= 2
2
2
2
1 σ
πσ
Ecuación 8. Función de probabilidad de la distribución normal
Dado que Xt son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, la
función de densidad conjunta se halla como sigue:
( )( )
t
X
nn
n
n
i
t
e
t
XXXf ∆−∑
×∆
==
21
2
2
2
21
2
1,...,, σ
πσ
Ecuación 9. Función de densidad conjunta de las variables aleatorias de la reversión a la media
De esta forma, el logaritmo neperiano de la función de verosimilitud queda
determinado por la siguiente ecuación:
( )[ ] [ ]t
X
tLnn
XXXfLn
n
it
n ∆
∑−∆−= =
21
2
221
22
2,...,,
σπσ
Ecuación 10. Logaritmo neperiano de la función de verosimilitud que estima los parámetros de la reversión a la media
2 Finanzas cuantitativas 15
Puesto que Xt es función de los parámetros α ,µ y σ de la reversión a la media (ver
Ecuación 7), basta con hacer la derivada parcial de la expresión de la Ecuación 10
respecto de dichos parámetros e igualar a cero para poder estimarlos.
2.3.3 Modelo autorregresivo
En estadística los modelos autorregresivos son aplicados a series temporales de
datos. Se trata de una herramienta matemática para analizar el comportamiento de una
variable (precios eléctricos y costes de generación, en el caso que ocupa a la Tesis) y
para predecir futuros valores de la serie.
Un modelo autorregresivo de orden p responde a la siguiente ecuación:
tit
p
i
it YAcY ε+×+= −=∑
1
Ecuación 11. Ecuación del modelo autorregresivo
Donde c es una constante, Ai son los parámetros del modelo, y tε es un término de
error.
Los términos de error tε se corresponden con un ruido blanco, es decir, son
variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas tomadas de una
muestra con distribución normal de media cero y desviación típica dada [ tε ~ N(0, σ)].
En la Tesis se procede a realizar simulaciones por Monte Carlo, de tal modo que se
generan vectores de números aleatorios que siguen una distribución normal. Por tanto,
dichos vectores no sólo integran información de la correlación histórica (ver apartado
2.2.5), sino que también se asemejan a un ruido blanco que se usa, junto con los
coeficientes del autorregresivo, para proyectas sendas de precios.
Por ejemplo, para el caso de un autorregresivo de orden 1, se tiene lo siguiente:
2 Finanzas cuantitativas 16
Figura 2. Autorregresivo de orden 1
Se observa que un autorregresivo de orden 1 equivale a una regresión lineal en la
que no hay dos variables distintas, sino que el eje de abscisas representa la variable
inmediatamente anterior (en la serie temporal) a la variable del eje de ordenadas. El
valor añadido del autorregresivo radica en que se cumple que la diferencia entre esta
regresión lineal y la coordenada real (Yt-1,Yt) es el término tε , el cual sigue una
distribución normal de media cero.
El orden del autorregresivo se elige de tal modo que la desviación típica del
mencionado ruido blanco no varíe sustancialmente al bajar una unidad el orden.
También es necesario que el orden tenga sentido en función de los fundamentales que
subyacen a la variable estudiada. Por ejemplo, en el caso del sector eléctrico, puede ser
interesante realizar un autorregresivo de orden 7 si se está estudiando la demanda
eléctrica de un sistema, ya que el consumo eléctrico de un sábado probablemente
guarde más relación con el consumo del sábado anterior que con el consumo del día
anterior (a su vez, guardará más relación con el consumo del día anterior, viernes, que
con el consumo del miércoles anterior). Esto se pondría de manifiesto al calcular el
autorregresivo porque el parámetro A7 sería mayor que el parámetro A1, y éste será a
su vez mayor que los parámetros restantes.
La metodología de Box – Jenkins valida formalmente la elección del modelo que
mejor se ajusta a las series temporales consideradas, tal y como se describe en el
siguiente apartado.
2 Finanzas cuantitativas 17
2.4 Series temporales
Una serie temporal es una secuencia de valores a lo largo del tiempo. El análisis
estadístico de una serie temporal cobra sentido cuando los valores futuros de ésta no se
conocen con total certeza. En tal caso, la predicción de los valores futuros de la serie se
realiza en base a su comportamiento pasado, acudiendo a la simulación
(computacional) cuando el estudio analítico resulte demasiado complejo.
El hecho de que no se conozcan con certeza los valores futuros de una serie
temporal no significa que la evolución de la misma sea completamente aleatoria (o lo
que es lo mismo, que la serie sea no-estacionaria). Es decir, el interés en el estudio de
las series temporales radica en que existan ciertos patrones y regularidades en su
comportamiento a lo largo del tiempo, de tal modo que sea posible la predicción de las
mismas a partir de modelos basados en análisis estadísticos y distribuciones de
probabilidad. Las series estacionarias son aquéllas que mantienen un equilibrio
estadístico a lo largo del tiempo y que, por tanto, pueden ser objeto de análisis; en el
caso que ocupa la Tesis (precios eléctricos y precios de combustibles), las series son
estacionarias.
Conviene mencionar que no es lo mismo “estacionario” que “estacional”. La
estacionalidad se corresponde con las fluctuaciones periódicas de la variable de la serie
temporal, en periodos relativamente cortos de tiempo. En la Tesis la estacionalidad de
los precios eléctricos viene determinada por cambios en la demanda eléctrica, como
consecuencia de variaciones en la actividad económica (días festivos, periodos de crisis
financiera, etc.) o de variaciones en las estaciones del año (mayor o menor
hidraulicidad, cambios de temperatura, etc.).
2.4.1 Metodología de Box – Jenkins. Modelos ARIMA.
La metodología de Box-Jenkins, que modela procesos ARIMA, fue descrita en 1970
por George Box y Gwilym Jenkins. Se trata de un procedimiento que revolucionó el
análisis de las series temporales y que se utiliza ampliamente desde entonces para
identificar el proceso ARIMA más apropiado.
Un proceso ARIMA es un modelo matemático que se usa para pronosticar valores.
La simplicidad de los modelos ARIMA, por tratarse de una suma lineal de términos,
supone una gran ventaja frente a otros modelos tradicionales. Asimismo, existe una
2 Finanzas cuantitativas 18
amplia variedad de procesos ARIMA, por lo que generalmente es posible encontrar un
proceso que se ajuste adecuadamente a la serie temporal en cuestión. El esquema
general del modelo ARIMA es el siguiente:
qtqttptptt bbXaXaX −−−− ++++++= εεε ...... 1111
Ecuación 12. Modelo ARIMA
Donde el acrónimo ARIMA proviene de los procesos que combina: p términos de un
proceso autorregresivo (AR) y q términos de un proceso de medias móviles (en inglés
se conoce por su acrónimo MA, Moving Average). Tal y como se comenta en el
apartado 2.3.3, el autorregresivo modela la influencia de los valores Xt-p anteriores a Xt.
Por otro lado, el proceso de medias móviles modela la influencia del ruido ε en valores anteriores de la serie. La letra I se corresponde con el proceso de integración
que reestablece, una vez ha sido determinado el modelo y los coeficientes del mismo,
las características originales de la serie temporal. Esta integración hace referencia a la
diferenciación que se realiza en la primera etapa de la metodología de Box-Jenkins, tal
y como se comenta más adelante.
La metodología Box-Jenkins conlleva un proceso iterativo que permite reflexionar
acerca de los datos de la serie temporal y encontrar un modelo que se ajuste
adecuadamente. La metodología constaba inicialmente de tres etapas: selección del
modelo, estimación de los parámetros y validación del modelo. Estudios posteriores
añadieron una etapa preliminar de preparación de los datos y una etapa final de
aplicación del modelo en el pronóstico de valores de la serie temporal. A continuación
se describe el proceso iterativo:
1. Preparación de los datos: se trata de comprobar que la serie temporal a
estudiar sea estacionaria y, en caso contrario, transformarla y diferenciarla
para que lo sea. Las transformaciones consisten en la aplicación de raíces
cuadradas y logaritmos neperianos a los datos de tal modo que la varianza
de la serie se estabilice (sea estacionaria) ante cambios de nivel de las series.
La diferenciación consiste en filtrar la tendencia (esto es, el cambio a largo
plazo de la media de la serie) para el periodo de observación dado, mediante
la aplicación de diferencias entre valores contiguos (diferenciación de primer
orden) o entre diferencias (diferenciación de orden n), de tal modo que la
2 Finanzas cuantitativas 19
media de la serie se estabilice (sea estacionaria); generalmente basta con
llegar a una diferenciación de orden 2 para que la serie se estabilice.
2. Selección del modelo: el estudio de regularidades en la serie, para poder
identificar el modelo ARIMA que mejor se ajuste a la estacionalidad de la
misma, se realiza a partir de las funciones de autocorrelación simple (en
inglés se conoce por su acrónimo ACF, Autocorrelation Function) y parcial (en
inglés se conoce por su acrónimo PACF, Partial Autocorrelation Function), y se
compara su forma con unos patrones gráficos, eligiendo el modelo que más
se acerque a unos de dichos patrones. En el Anexo E se muestran patrones
gráficos típicos para distintos tipos de modelos.
La función de autocorrelación mide la correlación entre los valores de la
serie distanciados por un periodo de tiempo r. Es decir, dada la serie
temporal [x1, x2, …, xn], se puede obtener el coeficiente de correlación de las
parejas de datos (xi;xk), tal que la diferencia k –i es igual a r, el cual se
denomina coeficiente de autocorrelación de orden r. De este modo, en caso
de existir estacionalidad en la serie temporal, se observará una correlación
entre los valores separados entre sí por los periodos estacionales ri existentes
(el coeficiente de autocorrelación en dichos casos será muy distinto de cero).
La función de autocorrelación parcial proporciona la correlación entre
parejas de valores separados un periodo de tiempo r, pero habiendo
eliminado el efecto debido a la correlación producida por retardos anteriores
a r.
3. Estimación de los parámetros: consiste en la obtención de los parámetros y
coeficientes con el modelo seleccionado en la etapa anterior de la
metodología. Por ejemplo, en el caso de que el modelo que mejor se ajuste a
la serie temporal fuese un autorregresivo de orden 1, se trataría de calcular la
pendiente A1 y la constante c de la Ecuación 11.
4. Validación del modelo: consiste en analizar los residuos resultantes del
modelo (diferencia entre el valor real observado y el valor que arroja el
modelo) con el fin de verificar que el modelo se ajusta adecuadamente a la
serie temporal. Por ejemplo, en el caso de que el modelo que mejor se ajuste
a la serie temporal fuese un autorregresivo, sería necesario aplicar un
2 Finanzas cuantitativas 20
contraste de normalidad a los residuos para comprobar que efectivamente se
trata de un ruido blanco (ver apartado 2.4.2).
5. Aplicación del modelo: se recurre a la simulación computacional (en el caso
que ocupa la Tesis, se simula mediante un proceso de Monte Carlo) para
pronosticar valores futuros de la serie temporal, una vez se ha deshecho la
transformación y diferenciación inicial para desestabilizar la serie
(volviendo, de este modo, a valores que se corresponden con la realidad).
En el Anexo D se incluye un diagrama de la metodología iterativa de Box-Jenkins.
2.4.2 Contraste de normalidad. Lilliefors.
Existen diversos contrastes que verifican que una serie de datos sigue una
distribución normal. Algunos de ellos son el contraste de Kolmogorov-Smirnov, el
contraste de Shapiro, el contraste de Jarque-Bera o el contraste de Lilliefors. Este último
es una adaptación del contraste de Kolmogorov-Smirnov para los casos en los que no
se conoce ni la media ni la varianza de la distribución normal. El proceso para
computar un contraste de Lilliefors es el siguiente:
En primer lugar se estima la media y la varianza de la población en base a la
muestra tomada.
A continuación, se busca la máxima discrepancia entre la función de distribución
empírica y la función de distribución acumulada de la distribución normal,
considerando la media y la varianza estimadas.
Finalmente se analiza si el valor obtenido para el estadístico que mide la máxima
discrepancia es suficientemente significativo. Esto se realiza en base a unas tablas
tabuladas por Hubert Lilliefors. Se realiza el contraste para un nivel de confianza dado,
de tal modo que el resultado es cero si no se puede rechazar la hipótesis nula, es decir,
si no se puede demostrar (para el nivel de confianza dado) que la serie no sigue una
distribución normal.
2 Finanzas cuantitativas 21
2.5 Teoría financiera
2.5.1 Método de valoración tradicional: flujos de caja descontados
Cuando es necesario plantear la conveniencia de acometer una inversión, se calcula
si los rendimientos esperados del proyecto superan los costes de llevarlo a cabo. Ésta es
la idea que subyace en el método del valor actual neto, en el cual se descuentan los
flujos de caja que se esperan que vaya a generar una inversión para poder compararlos
con el coste de la inversión a realizar.
La tasa de descuento que se utiliza para traer dichos flujos de caja al presente es el
coste de capital, ampliamente entendido, pues no sólo constituye el coste de capital en
sí mismo, sino que también lleva la inflación incorporada. El coste de capital suele
encontrarse en la literatura por su acrónimo inglés WACC (Weighted Average Cost of
Capital, es decir, coste medio de capital ponderado).
Hay distintos costes de capital según el tipo de flujo de caja que haya que descontar:
� Lo más usual es descontar el flujo de caja libre, que se corresponde con el
dinero generado por la empresa asumiendo que no hay deuda. Es decir, una
vez se ha calculado el flujo de caja operativo, se obtiene el flujo de caja libre
restando los impuestos teóricos, que son el resultado de aplicar la tasa de
impuestos al BAII (beneficio antes de intereses e impuestos); en el caso de
aplicársela al BAI (beneficio antes de impuestos), se obtendría el flujo de
caja de capital. El caso es que para descontar el flujo de caja libre, el coste de
capital coherente es el WACC después de impuestos, cuya ecuación es la
siguiente:
ED
DtK
DE
EKWACC de +
×−×++
×= )1(
Ecuación 13. Coste medio ponderado de capital después de impuestos (WACC)
Donde D representa los fondos ajenos, E representa los fondos propios, y t es la tasa
de impuestos y representa el beneficio fiscal que aporta la deuda. Nótese que se
pondera el coste de capital que impone la deuda con la rentabilidad (que no es un
coste) esperada por los accionistas, por lo que la traducción extendida de WACC como
“coste de capital” puede dar lugar a confusión.
2 Finanzas cuantitativas 22
� Si en lugar de ponderar con el coste de la deuda después de impuestos, es
decir, con Kd*(1-t), se ponderase con el coste de la deuda antes de impuestos
(Kd ), se obtiene el WACC antes de impuestos, que obviamente es mayor que
el WACC después de impuestos. Este WACC se usa para descontar el flujo
de caja del capital (tiene sentido descontar el flujo de caja de capital con un
WACC mayor, ya que el flujo de caja de capital es mayor que el flujo de caja
libre, pues es la suma de éste más el escudo fiscal).
� Otro caso sería descontar con el coste de los fondos propios (Ke), si se
considerase el llamado flujo de caja de los accionistas.
Tal y como se ha mencionado, el coste de capital incluye la inflación, por lo que los
flujos de caja considerados han de estar en valores nominales, para que al descontarlos
con la inflación se obtengan los valores reales a fecha de valoración de la inversión.
Asimismo, cabe destacar que el coste de capital varía según la estructura de la
empresa, ya que el coste de la deuda es tanto mayor cuanto mayor sea el riesgo del
proyecto y el coste de los fondos propios también aumenta con el riesgo del proyecto (a
la par que es siempre mayor que el coste de la deuda, dado que los accionistas son los
últimos en cobrar cuando una empresa entra en quiebra). Por tanto, se puede
representar gráficamente el WACC para distintos niveles de apalancamiento (D/E), de
tal modo que para un apalancamiento nulo, WACC = Ke, mientras que para
apalancamientos grandes, WACC tiende a valores de Kd. En este recorrido, existe una
estructura financiera óptima en la que el apalancamiento es tal que el WACC es
mínimo:
Figura 3. Estructura financiera para un WACC óptimo
2 Finanzas cuantitativas 23
Resulta intuitivo que los flujos de caja se descuenten, no sólo con la tasa de
inflación, sino también con el coste de capital, ya que el dinero que se invierte tiene un
coste de oportunidad por no invertirse (simplificando) en deuda sin riesgo. Asumiendo
que la rentabilidad de la inversión sin riesgo fuese coincidente con el WACC
considerado, la inversión sólo tendría sentido si los flujos de caja esperados fueran
mayores que los intereses que generaría dicha inversión sin riesgo. Este razonamiento
se expresa en las matemáticas financieras como valor actual neto (VAN), considerando
el proyecto rentable si el VAN es mayor que cero. Esto es lo mismo que decir que la
Tasa Interna de Retorno (aquella tasa de descuento que hace que el VAN se igual a
cero) sea mayor que el WACC.
i
t
i
i
WACC
FC
IVAN)1(
1
++−=
∑=
Ecuación 14. Valor actual neto
2.5.2 Coste de los fondos propios (rentabilidad esperada)
Cabe realizar una mención especial al coste de los fondos propios, dado que es
complicado determinarlo y, por consiguiente, dificulta el cálculo del WACC.
Cuando se tiene una cartera de activos, cada uno de ellos con distintos riesgos y
rentabilidades asociados (cabe esperar que la rentabilidad del activo sea mayor si el
riesgo es mayor), se puede calcular cuánto peso ha de tener cada activo para tener el
menor riesgo posible (medido como varianza) dado un nivel de rentabilidad deseado.
Este método recibe el nombre de análisis de la media-varianza y fue introducido por
Markowitz en 1951. Este modelo se puede representar gráficamente del siguiente
modo: considerando unos ejes de coordenadas en donde el eje de abscisas representa el
riesgo (medido como varianza) y el eje de ordenadas representa la rentabilidad
esperada, se pueden situar sobre el plano los distintos activos de la cartera, y se
determinaría una región de soluciones posibles. Dada una rentabilidad deseada, la
solución sería aquel punto de la región que cumpliese la rentabilidad deseada y que
tuviese la menor varianza (estrictamente habría que hablar de covarianza) posible:
2 Finanzas cuantitativas 24
Figura 4. Resolución gráfica del modelo de Markowitz
El caso es que para esta representación gráfica, se puede considerar la frontera de
eficiencia según la siguiente ecuación lineal:
iM
m
fm
f
RRRR σ
σ×
−+=
Ecuación 15. Frontera de eficiencia en el modelo de Markowitz
El término σiM/σM de la Ecuación 15 se denomina con la letra β. Como el coeficiente
de correlación (ρ) es el ratio entre la covarianza (σiM) y el producto de las desviaciones
típicas, otra forma de expresar el coeficiente Beta (β) es del siguiente modo:
2M
MiiMi σ
σσρβ ××=
Ecuación 16. Coeficiente Beta
Así que, la rentabilidad esperada se puede expresar en función de Beta, bajo la
ecuación del conocido modelo Capital Asset Pricing Model:
)( fMfe RRRK −×+= β
Ecuación 17. Capital Asset Pricing Model
2 Finanzas cuantitativas 25
2.5.3 Opciones
Una opción es un derivado financiero, en tanto en cuanto a que es un producto
financiero cuyo valor se basa en el precio de otro activo financiero, que recibe el
nombre de subyacente.
Las opciones son contratos que se establecen entre dos partes: un comprador y un
vendedor. En estos contratos se establece un precio de ejercicio (en inglés strike) por el
que se tiene la opción de comprar (en inglés call) o vender (en inglés put) un producto
financiero. El comprador de la opción (en inglés long position) tiene el derecho, pero no
la obligación de ejercer el contrato, mientras que el vendedor (en inglés short position)
es una figura pasiva, puesto que ha de ejercer el contrato si así lo requiere el
comprador. Por ello, recibe a cambio una cantidad de dinero llamada prima o “valor de
la opción”.
Lógicamente, al comprador le interesará ejercer una call cuando el precio de ejercicio
al que compre sea menor que el precio del subyacente, mientras que le interesará
ejercer una put cuando el precio de ejercicio al que venda sea mayor que el precio del
subyacente.
Los dos párrafos anteriores se resumen en las siguientes figuras, en las que el eje de
abscisas representa el precio del subyacente (S) y el eje de ordenadas representa la
rentabilidad que se obtiene. Se denota el precio de ejercicio con la letra X:
2 Finanzas cuantitativas 26
Figura 5. Rentabilidades según el tipo de opción y la posición adquirida
La conclusión que se extrae de la figura anterior es que en las opciones financieras
simples, el comprador pierde como máximo la prima mientras que el vendedor gana
como máximo la prima, sin tener límite en la pérdida. En resumidas cuentas, las
opciones son instrumentos que mitigan o no el riesgo, según qué parte del contrato sea
la implicada. En el apartado 3.2 se observa que en las opciones reales puede haber un
límite para la pérdida, dada la asimetría existente. En el caso de las opciones
financieras también se puede poner límite a las pérdidas y a las ganancias, haciendo
uso de productos complejos como son los straddles (long call y long put con el mismo
precio de ejercicio) o los strangles, aunque estos productos no forman parte del objeto
de la Tesis.
Las opciones que sólo pueden ejercerse en la fecha de ejercicio reciben el nombre de
opciones europeas, mientras que aquéllas que pueden ejercerse en cualquier instante
desde la firma del contrato hasta una fecha límite de ejercicio se llaman opciones
americanas. Éstas aportan mayor flexibilidad para el comprador y, por tanto, el
vendedor recibe una prima mayor que si se tratase de una opción europea.
Cuando el precio del subyacente resultante es mayor (menor) que el precio de
ejercicio, se dice que la opción call (put) está In-the-Money. En caso contrario, la opción
2 Finanzas cuantitativas 27
está Out-of-the-Money. El umbral (precio del subyacente igual al precio de ejercicio) se
denomina At-the-Money. Se comentan más en detalle estos conceptos en el siguiente
apartado, concretamente en las conclusiones relacionadas con la Figura 7.
2.5.4 Métodos de valoración de opciones
Valorar una opción es calcular la prima que el comprador de la misma ha de pagar a
la hora de firmar el contrato.
Sería intuitivo pensar que, de ignorar que existe un tiempo entre la firma del
contrato y la fecha de ejercicio, para un precio esperado de subyacente S0, el valor
intrínseco de una opción sería el Máx(S0 – X;0) para el caso de una call ó el Máx(X –
S0;0) para el caso de una put.
No obstante, no se puede ignorar el riesgo, asociado a la vigencia temporal del
contrato, que asume el vendedor cuando acepta el precio de ejercicio, dado que el
precio final del subyacente S puede ser distinto del valor esperado S0 a fecha de firma
de contrato. Esta fluctuación recibe el nombre de valor temporal de la acción, y es el
verdadero objeto de los distintos métodos de valoración de opciones (puesto que el
cálculo del valor intrínseco es trivial).
Prima = Valor de la opción = Valor intrínseco + Valor temporal
Ecuación 18. Valor de una opción
De entre los diversos métodos existentes para la valoración de opciones, se pueden
considerar tres de ellos que son ampliamente conocidos: el método binomial, el empleo
de la ecuación de Black & Scholes y la simulación por Monte Carlo.
El método binomial y la ecuación de Black & Scholes son los métodos más
didácticos, por lo que en este capítulo 2.5 se comentan en detalle con objeto de centrar
la valoración de opciones. No obstante, en esta Tesis la valoración de opciones reales se
realiza mediante simulación por Monte Carlo, dado que es la más flexible a la hora de
valorar derivados complejos, como es el caso de las opciones sobre precios eléctricos.
La diferencia entre el método binomial y la ecuación de Black & Scholes radica en
que el método binomial es aplicable en todos los casos, pero exige un elevado número
de cálculos (es necesaria la programación por ordenador), mientras que el empleo de la
2 Finanzas cuantitativas 28
ecuación de Black & Scholes es relativamente simple, pero no se puede aplicar a la
totalidad de los casos (como sucede con algunas opciones americanas y opciones
compuestas, donde no se puede resolver numéricamente la ecuación diferencial en
derivadas parciales de Black & Scholes para las condiciones de contorno de la opción
en cuestión).
En la práctica se suele proceder del siguiente modo, según el tipo de opción a
valorar:
Pago de dividendos Tipo de opción Opción de venta
(put)
Opción de compra (call)
Opción europea Black & Scholes Black & Scholes Sin dividendos
Opción americana Binomial Binomial
Opción europea Binomial o Black &
Scholes corregida
Binomial o Black & Scholes
corregida Con dividendos
Opción americana Binomial Binomial
Tabla 1. Métodos de valoración según el tipo de opciones
Cabe mencionar que la ecuación de Black & Scholes siempre se puede usar para
valorar el “precio mínimo” que ha de tener una opción americana, dado que las
opciones americanas siempre tienen más valor que las europeas.
2.5.5 Valoración de opciones: modelo de Black & Scholes
En 1973, Fischer Black y Myron Scholes publicaron un trabajo titulado The pricing of
options and corporate liabilities, en donde plantearon su ecuación de valoración de
opciones. El desarrollo matemático del modelo sería posteriormente ampliado por
Robert C. Merton.
El modelo de Black & Scholes parte de las siguientes hipótesis:
� Los costes de transacción, las comisiones y los impuestos diferenciales no se
consideran.
� Se considera que puede tomarse dinero prestado e invertir en renta fija a un
mismo tipo de interés y sin restricciones.
2 Finanzas cuantitativas 29
� La tasa de interés sin riesgo es conocida y constante durante el intervalo de
tiempo que transcurre hasta la fecha de ejercicio de la opción.
� La venta a crédito de acciones, con uso completo del dinero procedente de la
venta, no tiene restricción alguna.
� Continuamente se pueden vender y comprar acciones.
� El movimiento del precio de la acción se considera que sigue un proceso de
difusión.
� La acción a la que hace referencia la opción de compra no paga dividendos.
Black y Scholes demostraron que, asumiendo las hipótesis arriba mencionadas, se
puede construir una cartera de valores (denominada cartera réplica) con acciones y
bonos (o tomando dinero prestado) de manera que el rendimiento (es decir, los flujos
de caja) de la misma sea exactamente igual que el rendimiento de una call en un
intervalo de tiempo muy corto. Haciendo cambios continuos en la composición de la
cartera réplica, es posible que ésta tenga un comportamiento idéntico al de la opción.
Por tanto el precio de la opción será en t = 0 igual al precio de dicha cartera réplica.
En resumidas cuentas, el valor de la opción y el precio de la acción dependen de la
misma fuente de incertidumbre, pero se puede construir una cartera réplica formada
por la acción y la opción para eliminar dicha incertidumbre. Esta cartera está libre de
riesgo y debe ganar la rentabilidad del activo libre de riesgo, lo cual conduce a la
ecuación de Black & Scholes.
Se deduce de las hipótesis que el precio del subyacente (s) sigue un movimiento
geométrico browniano, que es el mismo proceso que se estudia en el movimiento de los
gases. La ecuación del movimiento browniano es la siguiente:
tipificadanormalprobalidaddefunciónzddondezddtdts
ds =××+×= σµ
Ecuación 19. Movimiento browniano geométrico
En la ecuación anterior µ y σ son los parámetros de la distribución normal aleatoria
que se denota como zd , la cual representa junto con dt los incrementos de un
2 Finanzas cuantitativas 30
proceso de Wiener. Nótese que esta ecuación diferencial implica que el rendimiento del
subyacente se distribuye normalmente.
Aplicando el lema de Ito, que es una conocida ecuación del cálculo estocástico, y
combinando la expresión con el desarrollo matemático de la mencionada cartera
réplica, se obtiene la ecuación en derivadas parciales de Black & Scholes:
02
12
222 =×−
∂∂××+
∂∂×××+
∂∂
SrS
VSr
S
VS
t
V σ
Ecuación 20. Ecuación en derivadas parciales de Black & Scholes
En la ecuación anterior, V es el valor de la opción, S es el valor de la acción, r es la
tasa de interés libre de riesgo y σ es la volatilidad. De las muchas soluciones posibles
que tiene la ecuación diferencial, la solución particularizada para una opción de
compra europea es la denominada ecuación de Black & Scholes (la solución para una
opción de venta tiene una expresión similar, por lo que simplemente se comentan
opciones de compra a lo largo de este apartado):
tdd
t
trX
SLn
ddonde
dNeXdNSc tr
×−=×
×
++
=
××−×= ×−
σσ
σ
12
2
1
21
2
)()(
Ecuación 21. Ecuación de Black & Scholes para una opción europea de compra de una acción que no reparte
dividendos
Donde t es el tiempo hasta la fecha de ejercicio, y N(d1) y N(d2) representan las
correspondientes funciones de distribución particularizadas para d1 y d2 (es decir, la
probabilidad de que la variable que se comporta lognormalmente sea menor que d1 y
d2).
A partir de la Ecuación 21 se pueden extraer las siguientes conclusiones sobre la
sensibilidad del valor de las opciones de compra (para más detalle sobre
sensibilidades, ver apartado 2.5.6):
2 Finanzas cuantitativas 31
� Si el precio del activo subyacente (S) aumenta, el valor de la opción (c)
también lo hará.
� Si el precio de ejercicio (X) aumenta, el valor de la opción (c) descenderá.
� Cuanto mayor sea el tiempo hasta el vencimiento, mayor será el valor de la
opción (c).
� Cuanto mayor sea la volatilidad, mayor será el valor de la opción (c), puesto
que d1 crece más de lo que crece d2.
� Un aumento en el tipo de interés sin riesgo (r) produce un aumento del valor
de la opción (c).
Se ha deducido la ecuación de Black & Scholes que aplica a opciones europeas sobre
acciones que no pagan dividendos. En el caso de que las acciones den lugar a
dividendos (D), será necesario incluirlos en la valoración de la opción. Se incluyen
como una reducción del precio esperado (S0) de la acción:
( )∑×−×−=
j
tr
jjeDSS 0
Ecuación 22. Ajuste a la ecuación de Black & Scholes para acciones que pagan dividendos
Una vez se ha realizado esta reducción, basta con reemplazar el precio esperado
resultante en la ecuación de Black & Scholes. Análogamente, si se considera que las
acciones pagan dividendos continuos, la reducción del precio será la siguiente:
dividendoslosdeadrentabilidqdondeeSS tq =×= ×−0
Ecuación 23. Ajuste a la ecuación de Black & Scholes para acciones que pagan dividendos continuos
De tal modo que la ecuación de Black & Scholes para valorar opciones call que
pagan dividendos continuos queda del siguiente modo:
2 Finanzas cuantitativas 32
tdd
t
tqrX
SLn
ddonde
dNeXdNeSc trtq
×−=×
×
+−+
=
××−××= ×−×−
σσ
σ
12
20
1
210
2
)()(
Ecuación 24. Ecuación de Black & Scholes corregida para opciones de compra sobre acciones que pagan dividendos
continuos
Del mismo modo, se pueden valorar opciones europeas sobre índices, sobre divisas
y sobre futuros, considerando la rentabilidad por dividendos media, el tipo de interés
de la divisa o el tipo de interés libre de riesgo, respectivamente. Para el caso que ocupa
a la Tesis, que son las opciones sobre futuros de precios eléctricos, la ecuación de Black
& Scholes queda de la siguiente forma:
[ ]
tdd
t
tX
SLn
ddonde
edNXdNSc tr
×−=×
×
+
=
××−×= ×−
σσ
σ
12
20
1
210
2
)()(
Ecuación 25. Ecuación de Black & Scholes corregida para opciones de compra europeas sobre futuros
Intuitivamente, la Ecuación 25 se entiende del siguiente modo: el día en el que se
firma el contrato de la opción call para un precio X de un futuro eléctrico, el comprador
de dicha call ha de pagar el valor de la opción (c) al vendedor de la misma.
Considerando que el vendedor invirtiese la cantidad c en deuda del Estado libre de
riesgo, obtendría una rentabilidad r, de tal modo que en la fecha de ejercicio habría
acumulado la cantidad trec ×× (considerando que el tipo de interés r es compuesto
continuo). Por tanto, si el valor de dicho futuro a fecha de ejercicio fuera efectivamente
S0, el vendedor de la call tendría una pérdida de S0 – X, dado que estaría obligado a
vender por un precio de ejercicio X, menor que el precio S0 al que tendría que comprar.
Nótese que S0-X se corresponde con el valor intrínseco de la opción, por lo que N(d1) y
N(d2) se pueden considerar como factores correctivos que incluyen el valor temporal
de la misma. Por tanto, el vendedor de la call no perdería ni ganaría en el caso de que la
2 Finanzas cuantitativas 33
ganancia trec ×× fuese igual a la pérdida. Despejando c (e incluyendo los factores
correctivos mencionados dentro de la pérdida) se obtiene la Ecuación 25.
Nótese que en la Ecuación 25 se pueden extraer las mismas conclusiones que se
extrajeron en la Ecuación 21 sobre la sensibilidad del valor de la opción. Incluso se
cumple que a mayor tiempo hasta el vencimiento, mayor es c, pese a que tre ×− es
menor para tiempos t mayores (y en el caso de la Ecuación 25 multiplica también a S0).
Esto se debe a que N(d1) crece para t mayores, teniendo esto más impacto que lo que
decrece tre ×− .
La reflexión sobre la Ecuación 25 se puede resumir en que, a la hora de valorar una
opción, la prima c es tal que la rentabilidad esperada es nula. Esto no significa que el
comprador de la call no tenga expectativas de obtener una rentabilidad, puesto que
puede negociar pagar una cantidad menor a la prima c, siempre y cuando la
contraparte del contrato tenga unas expectativas diferentes sobre los parámetros que
influyen en el cálculo de la prima. El caso es que la prima c se calcula para el caso ideal
en el que el precio resultante final S sea igual a S0 más el efecto del valor temporal, lo
que se correspondería con el umbral de rentabilidad marcado en la siguiente figura:
Figura 6. Rentabilidad para un vendedor de una opción de compra (short call)
2 Finanzas cuantitativas 34
De la gráfica anterior, se extrae la siguiente conclusión: de no existir el valor
temporal de una opción, el umbral de rentabilidad se correspondería exactamente con
[S = S0], puesto que la opción sólo tendría valor intrínseco. Por ejemplo, para el caso
concreto de [S = S0 = X], la prima sería nula y el umbral de rentabilidad se produciría
en [S = X]. No obstante, el valor temporal da lugar a que, aún siendo [S = S0 = X], la
prima sea positiva, por lo que el umbral de rentabilidad se produce para [S = X +
“efecto” valor temporal]. Obsérvese esta idea en la siguiente gráfica, en la cual el eje de
abscisas sigue siendo S, pero el eje de ordenadas no es la rentabilidad para una
posición short call (como ocurre en la Figura 6), sino que es c (prima):
Figura 7. Valor de una opción de compra para distintos tiempos hasta fecha de vencimiento
Otras conclusiones que pueden obtenerse de la Figura 7 son las siguientes:
� Una opción tiene valor por el simple hecho de poseerla, independientemente
de que se ejerza o no.
� No es formalmente correcto considerar que la opción call está In-the-Money si
el precio del subyacente es mayor que el precio de ejercicio, ya que para
valores del subyacente inmediatamente superiores al precio de ejercicio el
comprador todavía no tiene una rentabilidad positiva, puesto que no es
suficiente para compensar la prima que ha pagado (se entiende que la
expresión In-the-Money afecta positivamente al comprador de una opción).
� Para un precio esperado del subyacente dado (S0), menor será el valor
temporal (y mayor será el valor intrínseco) cuanto menor sea el precio de
2 Finanzas cuantitativas 35
ejercicio considerado. Se demuestra que impacta más el descenso del valor
temporal que el aumento del valor intrínseco, por lo que al comprador de
una call le interesa que el precio de ejercicio sea lo más bajo posible dentro de
lo razonable (ver la explicación de la sonrisa de la volatilidad en el
apartado 2.5.7).
2.5.6 Valoración de opciones: sensibilidades
La sensibilidad es la medida del cambio de una variable antes variaciones de los
parámetros de los que dicha función es variable. A partir de la Ecuación 21, se
extrajeron con cierta facilidad algunas conclusiones sobre la sensibilidad del valor de
una opción call, pero siendo rigurosos, la cuantificación matemática de la sensibilidad
viene dada por la derivada parcial del valor de la opción con respecto a la variable en
cuestión, tal y como se describe a continuación.
La sensibilidad Delta es la derivada parcial del valor de la opción respecto del
precio de la acción. Tomando como referencia la Ecuación 21, se tiene que Delta es
igual a la función de distribución N(d1). Se trata de una sensibilidad especialmente
interesante por los siguientes motivos:
� Juega un importante papel en el cálculo matemático del valor de la cartera
réplica.
� Toma valores de 0 a 1 para las opciones call, de tal modo que la opción está
Out-of-the-Money para valores cercanos a 0 y está In-the-Money para valores
cercanos a 1. En el caso de las opciones put, toma valores de 0 a -1, de tal
modo que la opción está Out-of-the-Money para valores cercanos a 0 y está In-
the-Money para valores cercanos a -1.
Existen otras sensibilidades según la variable respecto de la que se haga la derivada
parcial. Si se deriva respecto del tiempo hasta la expiración, del precio de ejercicio o de
la volatilidad, se obtienen las sensibilidades Theta, Rho y Vega, respectivamente.
Asimismo, la sensibilidad Gamma es la derivada de Delta respecto del precio del
subyacente.
2 Finanzas cuantitativas 36
2.5.7 Volatilidad histórica y volatilidad implícita
Merece la pena hacer mención a la diferencia existente entre la volatilidad histórica
y la implícita, ya que son términos que aparecen frecuentemente en la literatura.
Se ha observado en el apartado anterior que el cálculo del valor de una opción a
través de la ecuación de Black & Scholes es relativamente fácil de realizar, puesto que
no requiere del uso de ordenadores si se tiene una calculadora y una tabla de funciones
de distribución de la normal tipificada. No obstante, es necesario determinar los
parámetros que se usan en la fórmula, los cuales (exceptuando a la volatilidad), son
conocidos (el precio del instrumento financiero subyacente, el tiempo hasta su
expiración, el precio de ejecución), o relativamente fáciles de estimar (dividendos a ser
pagados [en el caso de las acciones] y la tasa de interés sin riesgo).
Así que, en gran medida, la clave de las opciones radica en la volatilidad. Esto no
supondría problema alguno si el comportamiento de los mercados fuera ideal, es decir,
si los precios se comportasen lognormalmente (o, lo que es lo mismo, si el rendimiento
de los precios se comportase normalmente). En tal caso, la volatilidad también sería
conocida, puesto que sólo habría que aplicar los cálculos descritos en el apartado 2.2.3
y ya serían conocidos todos los parámetros de la ecuación. Esta volatilidad “ideal” se
denomina volatilidad histórica.
Sin embargo, la volatilidad ha de regir el comportamiento “real” de los precios, el
cual en ocasiones dista mucho del comportamiento “ideal”, por lo que si no se conoce
con precisión el comportamiento “real”, no se podrá determinar con exactitud su
volatilidad asociada. Esta volatilidad se denomina volatilidad real.
Los agentes del mercado son conscientes de este comportamiento “real”, por lo que
en base a sus expectativas acaban considerando otra volatilidad distinta de la
volatilidad histórica. Esta otra volatilidad se denomina volatilidad implícita, y
pretende acercarse a la volatilidad real más de lo que lo hace la volatilidad histórica.
Las expectativas de los inversores están influidas por diversos factores, relacionados
con problemas de liquidez, distorsiones en los precios, soportes y resistencias en los
subyacentes, miedos a caídas fuertes de precios en tiempos de crisis, etc. En el caso de
la Tesis, los factores son las distintas expectativas alcistas o bajistas que modelan las
curvas de futuro de los productos eléctricos, a saber: nivel de demanda esperado,
2 Finanzas cuantitativas 37
tendencias de precios de commodities y combustibles, hidraulicidad, indisponibilidades
fortuitas de centrales eléctricas, etc. Estos aspectos responden al llamado análisis
fundamental, el cual es necesario realizar en paralelo al análisis cuantitativo para
obtener las mejores previsiones posibles acerca del mercado eléctrico
A efectos prácticos, se comprueba que al introducir la volatilidad histórica en la
ecuación de Black & Scholes, el valor resultante queda lejano del valor al que se está
negociando la opción en los mercados. Estos son los casos en los que los mercados
están considerando una volatilidad implícita, diferente de la volatilidad histórica.
Por tanto, la volatilidad implícita no se calcula estadísticamente, sino que es inferida
del precio al que se está negociando la opción en el mercado. En la mayoría de los
casos, se usa la fórmula de Black & Scholes para valorar la opción, por lo que el cálculo
de la volatilidad implícita se hace mediante una iteración computacional, ya que no es
posible invertir dicha fórmula.
Dado que la estimación de la volatilidad implícita por parte de los agentes de
mercado no tiene que ser la misma en todos los casos, se forma una aparente
contradicción, que se conoce con el nombre de la sonrisa de la volatilidad. Consiste en
que, pese a que todas las opciones sobre un mismo activo deberían dar lugar a una
misma volatilidad implícita, la volatilidad implícita es inferior en las opciones At-the-
Money con respecto a las opciones In-the-Money y también con respecto a las opciones
Out-of-the-Money (dando lugar a una curva cóncava, es decir, con forma de sonrisa).
Esto se debe a que la compra y venta de opciones cumple la ley de la oferta y la
demanda, de tal modo que a mayor demanda, mayor será el precio. Es decir, el
comprador de una call busca un strike pequeño y el comprador de una put busca un
strike grande, por lo que lo menos demandado será un strike “mediano”, siendo la
prima que se pedirá mayor para el caso de un strike pequeño ó grande.
2.5.8 Valoración de opciones: método binomial
El método binomial de valoración de opciones fue desarrollado por J. Coss, S. Ross
y M. Rubinstein a finales de los 70. No se trata de un método que mejore a la ecuación
de Black & Scholes, pero tiene gran aplicación debido a lo intuitivo que resulta al poder
ser visualizado en un diagrama y a que se puede generalizar para distintos tipos de
opciones, sean europeas o americanas. A continuación se procede a detallar la técnica
para valorar una opción de compra europea sobre una acción (la explicación sería
2 Finanzas cuantitativas 38
similar para el caso de una opción de venta), partiendo del caso de un periodo, para
llegar al caso de n periodos.
Se denota por S al precio de la acción en la actualidad y se considera que éste
coincide con el precio de ejercicio de la call. Se establece como premisa que el precio de
la acción, cada vez que transcurre un periodo de tiempo, puede cambiar por un factor
multiplicativo U (ascendente) o por un factor multiplicativo D (descendente). Por
tanto, el valor intrínseco de la opción, transcurrido un periodo, será bien cu = Máx(SU –
S;0), bien cd = Máx(SD – S).
Si se consideran los factores multiplicativos U y D de un modo determinista, existe
una cartera compuesta por un número H de acciones y la venta de una opción de
compra sobre una única acción (al precio de ejercicio S) tal que la rentabilidad de dicha
cartera sea la misma tanto si el precio de la acción cambia por el factor D como si
cambia por el factor U. Es decir, se trata de una cartera libre de riesgo. La cantidad H se
denomina ratio de cobertura y responde a la siguiente ecuación:
( )DUS
ccHcSDHcSUHcajadeFlujo du
du −×−=⇒−×=−×=
Ecuación 26. Ratio de cobertura (método binomial)
Si se considera una inversión en una cartera compuesta por una cantidad H de
acciones y por una opción de compra (al precio de ejercicio S coincidente con el valor
de la opción en el momento) sobre una acción, esta inversión da lugar, pasado un
periodo, al flujo de caja de la Ecuación 26. Por tanto, se tienen las siguientes
expresiones:
riesgoadrentabilidlaesRdondeR
cajadeFlujoInversiónVAN
opciónladevalorelrepresentacdondecSHInversión
f
f
sin1+
−=
−×=
Ecuación 27. Cartera de arbitraje que elimina el riesgo en la inversión
Haciendo el VAN igual a cero, se podría despejar c de la ecuación anterior,
obteniendo el valor de la opción. No obstante, es preferible expresar c en función de la
probabilidad implícita, tal y como se describe más adelante. Cabe mencionar que se ha
2 Finanzas cuantitativas 39
considerado que los agentes actúan racionalmente en un mercado líquido, es decir, que
si el valor de la opción de compra fuese superior a c, el rendimiento que se obtendría
sería superior a Rf, por lo que el arbitraje daría lugar a que se vendieran muchas
opciones de compra y se compraran muchas acciones, con lo que al final el rendimiento
pasaría a ser Rf.
En el método binomial se define la probabilidad implícita p a que el precio cambie
por un factor multiplicativo U del siguiente modo:
DU
DRp
f
−−+
=1
Ecuación 28. Probabilidad implícita
Esta probabilidad es una mera definición, pero nada tiene que ver con la mayor o
menor aversión al riesgo que tenga un inversor. De hecho, p es neutral al riesgo, puesto
que se han considerado los cambios H y D como deterministas, por lo que se puede
establecer la mencionada cartera libre de riesgo. Asimismo, dado que sólo cabe la
posibilidad de que el precio cambie por un factor U o por un factor D, la probabilidad
de que el precio cambie por un factor multiplicativo D es 1-p. Esta conclusión se ve
mejor en la siguiente ecuación, que no es más que una reordenación de la Ecuación 28:
( ) ( )ff R
SDpSUpS
R
DpUp
+×−+×=⇔
+×−+×=
1
1
1
11
Ecuación 29. Hipótesis del método binomial: mundo neutral al riesgo
En la ecuación anterior se observa que el valor actual de los flujos de caja futuros
coincide con la inversión inicial S, si se descuentan con una tasa de interés libre de
riesgo.
Así que operando la Ecuación 27 y sustituyendo por la expresión de la probabilidad
implícita, queda que el valor de la opción de compra es el siguiente:
( )f
du
R
pcpcc
+−×+×=
1
1
Ecuación 30. Valor de una opción de compra europea para un periodo, según el método binomial
2 Finanzas cuantitativas 40
Si en vez de un periodo se consideran dos periodos, y se mantienen constantes los
factores multiplicativos U y D, se tiene la siguiente situación:
Figura 8. Reticulado binomial del activo subyacente y reticulado binomial de valoración (en el caso de dos periodos)
El reticulado binomial del activo subyacente se lee de izquierda a derecha, siendo el
valor del nodo izquierdo extremo el valor actual neto del activo subyacente. Sin
embargo, su reticulado de valoración asociado (el cual tiene exactamente el mismo
número de nodos y ramificaciones) sigue un proceso de cálculo inverso. Es decir, el
valor de la opción se realiza valorando los flujos de caja del nodo derecho extremo y
retrocediendo por inducción inversa hasta llegar al momento actual.
Así que se calculan los valores intrínsecos cuu, cud y cdd para el segundo periodo
computando el máximo entre cero y la diferencia del precio de la acción en el segundo
periodo y el strike S. Tenidos cuu, cud y cdd, se calculan cu y cd aplicando la Ecuación 30,
para finalmente obtener el valor c de la opción computando de nuevo la Ecuación 30
para cu y cd. El valor de la opción para el caso de dos periodos es superior al valor de la
misma para el caso de un periodo, tal y como se muestra en la Figura 7.
Si además se calcula el ratio de cobertura para los nudos c, cu y cd, se comprueba que
Hcd< Hc< Hcu, ya que a mayor ratio de cobertura más se encuentra la opción In-the-
Money. Es decir, el ratio de cobertura determina la exposición al riesgo.
Si se aplican conceptos relacionados con la combinatoria y con el triángulo de
Pascal, y se mantiene la premisa de que para cada nudo del árbol binomial el precio
puede cambiar por un factor U o por un factor D, se demuestra que el valor de una
opción europea para n periodos y un precio de ejercicio X (que ya no ha de coincidir
2 Finanzas cuantitativas 41
necesariamente con el precio de la acción S para el periodo inicial) tiene la siguiente
expresión:
( ) ( ) ( ) ( ){ }∑=
−−
−×−××−
×+
=n
k
knkknk
n
f
XDSUmáxppkkn
n
Rc
0
0;1!!
!
1
1
Ecuación 31. Valor de una opción de compra europea para n periodos, según el método binomial
Se considera que el valor de la opción c es más realista cuanto mayor sea el número
de subperiodos en el que se divide el tiempo. Un número aceptable de subperiodos
sería mayor de 30, lo cual hace la computación imprescindible para el cálculo.
Asimismo, si se desea pasar de una distribución binomial a una distribución lognormal
por la que se rijan los precios, basta con considerar la desviación típica σ constante,
siendo los factores multiplicativos y la probabilidad implícita los siguientes:
DU
Dtn
R
pU
DeU
f
n
t
−
−×+===
× 1&
1&
σ
Ecuación 32. Factores multiplicativos y probabilidad implícita al pasar del método binomial a la distribución
lognormal
Donde t es el tiempo hasta el vencimiento medido en años, n es el número de
subperiodos en que dividimos dicho tiempo y Rf es tasa de interés sin riesgo anual.
3 Opciones reales 43
3 Opciones reales
3.1 Introducción
El método de las opciones reales es una extensión de los métodos de valoración de
opciones financieras aplicado a la inversión en capital. Es decir, el activo subyacente es
un activo físico “real”. Las opciones reales están relacionadas con el concepto de
intangibles de un proyecto, en tanto en cuanto a que algunos de estos intangibles
pueden trasladarse a un ámbito en el que pueden abordarse de un modo tangible. La
premisa es la siguiente: la valoración de inversiones en activos reales se asemeja a la
valoración de opciones financieras, en tanto en cuanto a que una inversión puede ser
considerada como una opción call “real”, ya que una inversión implica el derecho, pero
no la obligación, de adquirir un activo pagando ciertas cantidades de dinero en
momentos determinados (ver apartado 3.2).
No obstante, el estudio de las opciones reales y de su aplicación en la valoración de
inversiones sobre activos físicos es una técnica relativamente novedosa y muchas
empresas no están familiarizadas con la misma. De hecho, los primeros estudios
basados en opciones reales no aparecieron hasta mediados de los años 80, y todavía
sigue siendo mayoritario el uso del criterio del valor actual neto a la hora de valorar
inversiones en activos reales.
El método tradicional del valor actual neto tiene las siguientes limitaciones:
� Es determinista: no aporta información sobre la distribución de
probabilidad que mide el riesgo derivado de la vida útil del proyecto y de
las variaciones de apalancamiento operativo de la empresa.
� Es estático: sólo considera la posibilidad de invertir o no invertir en el
momento preciso en el que se realiza el análisis. Por tanto, se está ignorando
que la empresa, al gestionar el riesgo, puede alterar los flujos de caja
considerados al ir adaptando la gestión ante las condiciones cambiantes del
mercado a lo largo de la vida del proyecto.
� El resultado de los flujos de caja descontados presenta una sensibilidad
grande ante cambios en el WACC con el que se descuentan los flujos de caja,
3 Opciones reales 44
siendo además este coste de capital complejo de calcular (ver
apartado 2.5.1). Sin embargo, esta sensibilidad ante la gran variabilidad de
precios a lo largo de toda la vida del proyecto, no se contempla
adecuadamente, ya que a la hora de calcular el VAN se eligen unos pocos de
los muchos caminos posibles.
� Los VAN de los proyectos se consideran aditivos, lo cual no es cierto dado
que existen activos intangibles relacionados con la flexibilidad operativa y
con las sinergias resultantes de la interacción entre proyectos.
Las opciones reales tratan de solventar estas desventajas que presentan los métodos
de valoración tradicionales, debido a que:
� Las opciones reales contemplan que la empresa puede incrementar el valor
actual de los cobros futuros esperados, bien sea aumentando el precio de los
productos o servicios y/o el nivel de producción, bien sea generando
oportunidades de negocio secuenciales (opciones compuestas, en las que
cada opción depende del ejercicio de otra, es decir, una opción de desarrollo
no se puede tomar si no se ha ejercido la opción de explotación, o una
opción de producción no se puede tomar si no se ha ejercido la opción de
desarrollo).
� También consideran que se puede reducir el valor actual de los pagos
futuros esperados, aumentando las economías de escala (el coste unitario
desciende para mayores niveles de producción) y/o las economías de
alcance (usar los mismos costes para realizar dos actividades diferentes).
� Incluso, contemplan que la empresa puede aumentar el valor
incrementando la incertidumbre de los flujos de caja esperados, para
obtener nueva información y/o aumentar los precios que cobren a sus
clientes cuando éstos así lo demanden por causa de dicha incertidumbre.
Es decir, el método de valoración tradicional basado en la técnica de flujos de caja
descontados es correcto (y por ello se usa desde hace décadas), pero no considera el
valor de la flexibilidad en la estrategia empresarial. Por esta razón, en los últimos años
se han empezado a considerar aspectos relacionados con las opciones posibles a la hora
de invertir:
3 Opciones reales 45
� Retrasar la inversión: opción que otorga el derecho de posponer la inversión
durante un tiempo determinado. Se obtiene un valor añadido, derivado de
obtener más información y de reducirse la incertidumbre, a cambio de un
coste derivado de posponer el proyecto. Esta opción tiene más valor para
aquellas empresas que tengan derechos exclusivos (patentes, por ejemplo)
para invertir, e irá perdiendo valor conforme disminuyan las barreras de
entrada.
� Invertir/ampliar: opción que otorga el derecho de ampliar la inversión e
intercambiar procesos y productos ante un cambio favorable en el precio del
subyacente o en la demanda de procesos y productos, respectivamente. El
hecho de tantear el mercado, ampliando posteriormente la inversión si las
condiciones son favorables, conlleva un coste adicional.
� Desinvertir/reducir: opción que otorga el derecho de renunciar a parte de la
inversión (a cambio de un ahorro de costes) y de adaptarse a una estructura
de costes más liviana y flexible (ante un cambio adverso en la demanda).
Incluso, si es oportuno, otorga el derecho temporal o definitivo de
abandonar un proyecto, liquidando su valor residual.
Podría discutirse si es posible solventar las limitaciones del método de flujos de caja
descontados sin necesidad de acudir a las opciones reales. Por ejemplo, realizando
análisis de sensibilidad que mejoren la información que proporciona el VAN, o
calculándose nuevos VAN a medida que se avanza en el proyecto. La respuesta es que
los análisis de sensibilidad no son del todo realistas, ya que parten de supuestos acerca
de futuras contingencias (evaluando las consecuencias), en vez de incorporar en un
modelo las contingencias que realmente se esperan e ir evaluando las consecuencias a
medida que éstas se desarrollan. En cuanto a la posibilidad de calcular de nuevos VAN,
no es aconsejable, ya que puede ser tarde para tomar decisiones si el proyecto está
avanzado cuando se calculan los mismos.
Por consiguiente, se podría considerar que la técnica de las opciones reales no
sustituye a los métodos de valoración tradicionales, sino que más bien los amplia,
puesto que modeliza la incertidumbre para poder dar respuesta simultáneamente a
dos interrogantes: cuál es la mejor decisión de inversión y cuándo es el mejor momento
para hacerla. En otras palabras, las opciones reales no ignoran el coste de oportunidad
3 Opciones reales 46
derivado de realizar la inversión en el preciso momento del análisis, renunciando a las
otras opciones (expansión, abandono y demora) mencionadas anteriormente. No hay
más que observar el caso de algunas empresas que en los últimos años se han
adjudicado concursos de explotación porque realizaban la mejor oferta, ya que tenían
más confianza que otras empresas gracias a haber considerado las opciones reales del
proyecto. De ahí que las empresas que aplican el método de las opciones reales sean
reticentes a divulgar su know-how, ya que temen perder esa ventaja competitiva.
Así que podría considerarse el valor actual neto “total” del siguiente modo:
( )implícitasopcionesVAVANVAN ltradicionatotal +=
Ecuación 33. Valor actual neto total
Se pueden extraer las siguientes conclusiones a partir de la Ecuación 33:
� Las opciones reales aportan mayor valor añadido cuanto mayor sea la
incertidumbre (desviación típica) del proyecto, puesto que en ese caso cabe
esperar valores muy grandes o muy pequeños del valor actual de las
opciones implícitas. Nótese que el VANtradicional se corresponde con el valor
medio de la distribución lognormal que considera la incertidumbre
inherente al proyecto.
� Las opciones reales son especialmente interesantes para proyectos que se
encuentren próximos al umbral de rentabilidad, es decir, aquellos proyectos
en los que el VANtradicional sea cercano a cero (si fuese mucho mayor o mucho
menor que cero sería indiscutible invertir o no invertir, respectivamente, por
lo que no haría falta dedicar tiempo a calcular el valor que aporta el método
de las opciones reales).
3.2 Relación entre las opciones reales y las opciones financieras
La posibilidad de realizar una inversión implica el derecho, pero no la obligación,
de adquirir un activo pagando ciertas cantidades de dinero en momentos
determinados. Se observa que esta definición de inversión es precisamente la
definición de una opción de compra (call). En la siguiente tabla se muestran las
analogías para las distintas variables de una opción de compra:
3 Opciones reales 47
Variable Opción de compra financiera Opción de compra real
S Precio del activo financiero (valor actual
de los flujos de caja que genere el mismo)
Valor actual de los flujos de caja
que genere el activo real
X Precio de ejercicio al que se tiene derecho a
adquirir el activo financiero
Coste del proyecto de inversión
t Tiempo hasta el vencimiento de la call Tiempo que se puede demorar la
decisión de realizar la inversión
σ2 Varianza de los rendimientos del activo
subyacente
Riesgo de variación del valor
actual de los flujos de caja
rf Tasa de interés sin riesgo Tasa de descuento
D Dividendos del activo subyacente Flujos de caja a los que se
renuncia mientras se demora la
inversión
Tabla 2. Relación entre las opciones reales y las opciones financieras
Las conclusiones que se extrajeron de la Ecuación 21 en cuanto a la sensibilidad de
la opción son aplicables al caso de opciones reales en vista de la analogía presentada en
la tabla anterior.
Por ejemplo, para tiempos t mayores de demora de una inversión, el valor de la
opción es mayor, ya que la empresa puede examinar la tendencia de los
acontecimientos futuros, de forma que tiene más posibilidades de aumentar la
rentabilidad del proyecto o, por el contrario, de renunciar al proyecto para evitar una
pérdida innecesaria.
Por otro lado, para mayores riesgos asociados al proyecto, más valiosa es la opción
de demorarlo, debido a la asimetría existente entre pérdidas y ganancias. Es decir, si
una mayor volatilidad σ da lugar a unos flujos de caja mayores, bien venidos sean. No
obstante, el aumento del riesgo de un proyecto puede da lugar a coeficientes Beta
mayores (ver Ecuación 16), siendo Ke mayor, el correspondiente WACC mayor y, por
consiguiente, el VANtradicional menor. Por ello, habrá casos en los que el aumento del
VA(opciones implícitas) supere al descenso del VANtradicional, pero existirán otros casos
en los que ocurra lo contrario. Por tanto, el valor de la opción de demorar la inversión
refleja exactamente la necesidad de esperar “todo lo que se pueda” (mientras el
3 Opciones reales 48
aumento del VA(opciones implícitas) supere al descenso del VANtradicional) antes de
proceder a realizar el proyecto.
Si, por el contrario, los flujos de caja son menores, entonces simplemente no se
ejercerá la opción de inversión para poder acotar las pérdidas. Por tanto, se considera
que las posibles ganancias son asimétricas con respecto a las posibles pérdidas. Estas
ideas se muestran en la siguiente figura:
Figura 9. Asimetría entre ganancias y pérdidas al ejercer opciones reales
No obstante, no debe olvidarse que las analogías entre opciones financieras y reales
no son exactas. El precio de ejercicio es fijo en una opción financiera, mientras que su
análogo en las opciones reales (el coste de inversión) puede ser volátil, fluctuando con
las condiciones del mercado, los precios de las empresas de servicios y la
disponibilidad de los equipos. La incertidumbre en una opción financiera es externa
(exógena), mientras que una opción real puede afectar a su propia volatilidad. Y el
tomador de una opción financiera tiene la garantía de que la opción puede mantenerse
hasta la fecha de vencimiento, lo cual no ocurre con las opciones reales.
3 Opciones reales 49
En el siguiente apartado se describen los aspectos particulares que se han
considerado en la Tesis a la hora de valorar los activos eléctricos por el método de las
opciones reales.
3.3 Consideraciones previas para aplicar la teoría de valoración de activos
financieros a modelos de valoración de activos reales del sector eléctrico
Por un lado, la valoración de opciones reales se realiza mediante métodos
financieros que consideran variables estocásticas exógenas, es decir, se representa una
tendencia de precios de tal modo que no se puede influir en el comportamiento de los
mismos. Por lo tanto, un error podría derivarse del uso de estas variables estocásticas
exógenas, ya que las opciones reales de una cartera de activos eléctricos y su estrategia
conjunta, pueden llegar a impactar en el entorno de la inversión, tal y como se comenta
en el apartado 3.2. No obstante, en la Tesis se considera la valoración de activos de
forma aislada sin que otros activos puedan influir en el resultado final.
Por otro lado, las valoraciones realizadas en la Tesis se centran en tecnologías
eléctricas que tienen suficiente opcionalidad. Tal y como se ha comentado en anteriores
capítulos, las opciones reales valoran la rentabilidad de una inversión y determinan
cuál es el la forma óptima para realizar dicha inversión. Es decir, cuanto mayor sea la
incertidumbre del proyecto, mayor valor añadido otorgará el método de las opciones
reales frente al método tradicional de flujos de caja descontados (ver Ecuación 33). Por
ejemplo, la valoración de la opción de inversión en una central nuclear tiene poca
opcionalidad (es decir, poco valor temporal, lo cual no significa que la inversión en una
central nuclear no conlleve un alto riesgo), por lo que no sería especialmente
interesante realizar dicha valoración por el método de opciones. Sin embargo, la
valoración de la inversión en un ciclo combinado, en una central de carbón, en una
central de carbón con CCS o en una planta de cogeneración, tiene un valor temporal
mayor que una central nuclear, por lo que en estos casos resulta más interesante
realizar la valoración mediante el método de las opciones reales (ver capítulo 5).
Asimismo, se pueden cometer errores graves de simplificación cuando se realiza la
analogía entre activos reales y activos financieros. Aquéllos conllevan restricciones
técnicas que, en el caso de la Tesis, están asociadas con las limitaciones en el
almacenamiento y el transporte de la energía. Ambas limitaciones, junto con el hecho
de que los activos reales no se negocian tan activamente en el mercado conllevan que el
3 Opciones reales 50
arbitraje no pueda unificar el precio de las opciones reales y de su cartera réplica
asociada con la misma agilidad que en el caso de los activos financieros (ver el
apartado 2.5.8). En la Tesis se hace uso de los productos futuros de los mercados a
plazo para estimar a partir de ellos escenarios de spreads eléctricos horarios, los cuales
se van modificando (en base a una reversión a la media respecto de los futuros
eléctricos del mercado en cuestión) a medida que se recorre el alcance temporal. De
este modo no se sobrevalora la opción, tal y como sucedería en el caso de optimizar el
funcionamiento para un abanico de sendas de precios según un movimiento
browniano de los rendimientos, ya que dichas sendas tenderían a ir abriéndose a
medida que transcurre el tiempo, en vez de revertir continuamente a la esperanza.
Por último, al valorar activos financieros se considera el ejercicio de la opción como
instantáneo, lo cual es un supuesto aceptable en el caso de las opciones financieras,
pero no lo es así en muchas opciones reales, ya que los desembolsos y las operaciones
necesarias pueden llevar varios años. Aunque esto es así en algunos casos, las opciones
reales consideradas en esta Tesis gozan de una flexibilidad suficiente para responder a
la incertidumbre futura, bien porque se ha simplificado la inversión a un único
desembolso inicial, o bien porque se ha considerado un tolling de una central eléctrica,
que es un contrato de alquiler en vez de una inversión propiamente dicha, por el que
una parte recibe el precio eléctrico (asumiendo el riesgo de mercado) y realiza, a
cambio, un pago que consiste en una fórmula indexada a diversas commodities (que
replica los costes de combustible de la central de cogeneración que paga la contraparte)
más una prima negociada previamente a la firma del contrato (que es necesario
valorar, tal y como se indica en el apartado 5.7).
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 52
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante
opciones reales
4.1 Descripción general del modelo de valoración de la inversión en una central
eléctrica mediante opciones reales
El modelo de la Tesis consiste en una herramienta que optimiza la explotación de
una central eléctrica a lo largo de un alcance temporal dividido en periodos horarios,
en base a unas simulaciones de margen eléctrico y a unas restricciones técnicas de la
central.
En primer lugar, la herramienta modela el margen eléctrico (en inglés, spread) de la
central, que es la diferencia entre los precios del mercado donde se pone en marcha
dicha central y los costes variables de la misma. Por un lado, se modelan sendas de
precios del mercado eléctrico y, por otro lado, se modelan costes de generación
correlados con las sendas de precios proyectadas. La herramienta consiste en un
modelo de reversión a la media, en el entorno de Excel y Visual Basic for Applications
(VBA). En la literatura existen modelos de reversión a la media del spread eléctrico,
como es el caso de la referencia bibliográfica FLEX07 (capítulo 7 del presente
documento).
Posteriormente, las simulaciones del spread generadas previamente se introducen en
un modelo unit commitment desarrollado en el entorno de GAMS y, considerando
algunas características técnicas, se optimiza el funcionamiento de la central (y,
consecuentemente, su margen bruto). La decisión de explotación se basa en la
esperanza del comportamiento de la reversión a la media, la cual se va actualizando a
medida que se recorre el alcance temporal. Tal y como se ha comentado en el
apartado 3.3, si no se realizase esta actualización, sino que simplemente se optimizase
el margen bruto para un número N de sendas de spreads eléctricos, se obtendría un
valor mayor del que realmente tiene la opción.
Finalmente, se introduce la distribución de márgenes brutos de la central en un plan
de negocio, donde se incluyen los costes fijos, hallándose la rentabilidad de la inversión
y valorándose la opcionalidad de la tecnología eléctrica en cuestión.
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 53
La simulación de precios y futuros está basada en tres módulos secuenciales:
I. Módulo mensual � se realizan simulaciones de series temporales que constan
de dos componentes: una componente aleatoria, basada en una reversión a la
media de las cotizaciones mensuales medias de productos eléctricos de
mercados a plazo, y una componente estacional, de tal modo que el promedio
de las simulaciones coincide con la esperanza observada a fecha de valoración
en las curvas de futuro de los mercados.
II. Módulo diario � se realizan simulaciones de series temporales que constan de
dos componentes: una componente aleatoria, basada en un autorregresivo de
los ratios entre las cotizaciones diarias de productos de mercados a plazo y las
medias mensuales de los mismos, y una componente estacional, de tal modo
que en cada simulación el promedio de los ratios para cada mes es igual a 1.
Los residuos de las simulaciones están correlados entre sí, según la correlación
de los datos históricos, mediante un proceso de Monte Carlo.
III. Módulo horario � tenidas un número N de simulaciones del módulo mensual
y un número N de simulaciones del módulo diario, se multiplican entre sí,
obteniendo para cada día del alcance temporal N simulaciones de cada uno de
los productos futuros considerados. A dichos productos futuros se les aplica
una componente estacional, mediante unos perfiles horarios que se han
obtenido en base a un clustering (agrupación según niveles significativos de
mes, tipo de día y hora) de cotizaciones históricas del mercado spot.
Por tanto, se puede considerar que la Tesis presenta un algoritmo de simulación de
precios y futuros que se compone de tres etapas secuenciales de mayor a menor
granularidad hasta alcanzar precios con detalle horario, acorde a las particularidades
de la mayoría de los mercados europeos.
El modelo unit commitment de optimización de la explotación de la central realiza el
siguiente proceso:
A medida que se avanza de forma discreta en el tiempo, se simulan nuevos futuros
de electricidad y de combustibles que sirven para prever spreads y se optimiza el
funcionamiento de la central según las restricciones técnicas consideradas. Cada vez
que se actualizan los futuros, se optimiza el funcionamiento para el tiempo restante de
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 54
lo que queda del alcance temporal, a la par que se guarda registro del funcionamiento
resultante entre el instante de tiempo en el que se realizó la reversión anterior y el
instante de tiempo de la reversión actual. En la siguiente figura se muestra este
proceso:
Figura 10. Diagrama del modelo de valoración basado en la técnica de opciones reales
Cabría preguntarse por qué es necesario simular todo el alcance temporal si se va
guardando registro del funcionamiento resultante que se ha dejado aguas arriba y, al
fin y al cabo, los futuros van cambiando según se avanza. La razón estriba en que el
funcionamiento de una central puede verse influido no sólo por las expectativas de
precio a corto plazo, sino también por las condiciones de contorno que establece el
medio y largo plazo. Por ejemplo, en el caso de un ciclo combinado sujeto a un contrato
take-or-pay, puede interesar, si las expectativas de precio son suficientemente alcistas,
“guardar” el gas para quemarlo más adelante si existe la posibilidad de asociarlo a un
contrato de almacenamiento de gas. Para más detalle al respecto, ver el apartado 4.3.
En resumidas cuentas, el modelo (basado en la técnica de opciones reales) integra
una optimización del funcionamiento de la central que se va retroalimentando (a
medida que se avanza en el alcance temporal) y tomando decisiones de acuerdo a una
reversión a la media de precios y futuros que guardan (mediante un proceso de Monte
Carlo) información de la volatilidad y la correlación de cotizaciones históricas de
productos futuros.
En el apartado 4.3 se describe el modelo de reversión a la media de los precios, en el
apartado 4.4 se detalla el modelo unit commitment de optimización de la explotación de
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 55
la central eléctrica, y en el apartado 4.5 se comenta el plan de negocio. Previamente, en
el apartado 4.2, se detalla cómo se avanza en el alcance temporal.
4.2 Detalle de cómo se avanza en el alcance temporal
El horizonte temporal se define como el tiempo que transcurre entre el momento en
el que se realiza una valoración y el momento en el que da comienzo dicha valoración,
mientras que el alcance temporal se define como el periodo en el que se valora la
inversión. A lo largo de este capítulo se hará siempre mención al alcance temporal de la
inversión, dando por hecho que el modelo siempre se actualiza (tal y como se describe
en el apartado 4.3.2) hasta el día en el que se corre el mismo, por lo que el horizonte
temporal será nulo. Si la inversión que se valora no tiene un horizonte temporal nulo,
basta con ignorar la valoración realizada hasta la fecha en la que realmente da
comienzo la inversión (ver apartado 4.2). A continuación, se comenta un caso concreto
que muestra esta idea:
Considérese que se valora una inversión a fecha de 12 de mayo de 2010 para un
alcance temporal que transcurre desde octubre de 2010 hasta noviembre de 2027, y que
se han considerado las cotizaciones de los siguientes productos futuros: M+0, M+1,
M+2, Q+1, Q+2, Q+3 e Y+1. Dado que el producto futuro de mayor plazo es el Y+1,
que es el precio medio esperado para el año siguiente a la fecha en la que se cotiza
dicho producto (para más información acerca de futuros de precios eléctricos, ver los
apartados 4.3.5 y 4.3.6), el modelo optimizará el funcionamiento de la central para el
horizonte temporal que transcurre desde el 12 de mayo de 2010 hasta el 31 de
diciembre de 2028, aunque posteriormente sólo se considerará el resultado que abarca
el alcance temporal (desde octubre de 2010 hasta noviembre de 2027).
El modo de proceder consiste en avanzar, día a día o en saltos de un número
determinado de días, valorando (cada vez que se da un salto) la explotación durante
los meses correspondientes, que abarcan hasta el Y+1 del día en cuestión. Este proceso
se repite para cada simulación.
Habiendo actualizado la herramienta para que integre las cotizaciones históricas de
futuros hasta el 12 de mayo de 2010, el modelo se situará en el 12 de mayo de 2010 y
proyectará una tendencia de precios a futuro que llegarán hasta el Y+1 que se observa
el 12 mayo de 2010, es decir, llegarán hasta diciembre de 2011. Por tanto, se optimizará
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 56
a través del modelo unit commitment el funcionamiento de la central en las horas que
transcurren desde el 12 de mayo de 2010 hasta el 31 de diciembre de 2011. En la
siguiente figura se muestra la tendencia de precios proyectada (sólo para 4 días) a
partir del 12 de mayo:
Figura 11. Senda de precios horarios esperados a partir del 12 de mayo de 2010
Considérese que se actualiza la reversión a la media cada día. En tal caso, el modelo
avanzará al 13 de mayo de 2010 y se proyectará una nueva senda de precios horarios
hasta el 31 de diciembre de 2011. Por un lado, se guardará registro tan sólo del
funcionamiento de la central en las horas correspondientes al avance realizado, que en
este caso se corresponden con las 24 horas del 12 de mayo de 2010. Por otro lado, se
optimizará de nuevo el funcionamiento de la central para la senda de precios del 13 de
mayo de 2010. En la siguiente figura se muestra en gris la senda de precios proyectada
el 12 de mayo de 2010 y en verde la nueva senda de precios, fruto de la reversión a la
media realizada el 13 de mayo:
Figura 12. Reversión a la media de los precios esperados el 13 de mayo de 2010
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
12-5
-10 0
:00
12-5
-10 4
:00
12-5
-10 8
:00
12-5
-10 1
2:00
12-5
-10 1
6:00
12-5
-10 2
0:00
13-5
-10 0
:00
13-5
-10 4
:00
13-5
-10 8
:00
13-5
-10 1
2:00
13-5
-10 1
6:00
13-5
-10 2
0:00
14-5
-10 0
:00
14-5
-10 4
:00
14-5
-10 8
:00
14-5
-10 1
2:00
14-5
-10 1
6:00
14-5
-10 2
0:00
15-5
-10 0
:00
15-5
-10 4
:00
15-5
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:00
15-5
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2:00
15-5
-10 1
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0:00
16-5
-10 0
:00
€/M
Wh
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
12-5
-10 0
:00
12-5
-10 4
:00
12-5
-10 8
:00
12-5
-10 1
2:00
12-5
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0:00
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0:00
16-5
-10 0
:00
€/m
wH
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 57
Se puede proseguir sucesivamente, avanzando día a día, hasta recorrer todo el
alcance temporal. La última reversión a la media se realizaría para el 30 de noviembre
de 2027, en donde se proyectarían precios horarios hasta el 31 de diciembre de 2028
(que se corresponde con el último día del Y+1 del 30 de noviembre de 2017), para
posteriormente optimizar el funcionamiento de la central en las horas que transcurren
del 30 de noviembre de 2017 al 31 de diciembre de 2028, aunque sólo se guardaría
registro del funcionamiento en las 24 horas del 30 de noviembre de 2011, ya que es el
último día considerado en el avance temporal.
Cabe comentar que la técnica de las opciones reales va perdiendo relevancia a
medida que aumenta el alcance temporal, dado que existen menos referencias de
mercado o éstas son menos líquidas. Por tanto, los análisis cuantitativos del modelo
han de ser complementados con análisis más fundamentales sobre factores regulatorios
y/o macroeconómicos.
� NOTA: una ampliación de los modelos basados en opciones reales es integrar la
ocurrencia de sucesos discretos relacionados con el análisis fundamental del sector (por
ejemplo, impulso masivo o no de nueva potencia renovable, mantenimiento o no de la
potencia nuclear instalada) que puede ponderarse (% ocurrencia) e integrarse en el sorteo
de casos, reflejando su impacto en la distribución de retornos.
4.3 Modelo de simulación de cotizaciones de precios y productos futuros
4.3.1 Introducción
Tal y como se adelanta en el apartado 4.1, el modelo de simulación de precios consta
de tres módulos: módulo mensual, módulo diario y módulo horario.
En el módulo I (módulo mensual), se utiliza un modelo de reversión a la media,
para la simulación de cotizaciones medias mensuales de los productos futuros. En el
módulo II (módulo diario), se analizan las diferencias entre las cotizaciones diarias y
las medias mensuales. Para este análisis se recurre a un modelo autorregresivo que
integra información de la volatilidad y la correlación histórica de los elementos
considerados mediante un proceso de Monte Carlo. Tal y como se explica más adelante
en el apartado 4.3.7, no es posible simular directamente, mediante una reversión a la
media, los productos futuros diariamente porque hay un salto cualitativo al cambiar de
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 58
mes que distorsionaría el cálculo de los parámetros con los que se realiza dicha
reversión a la media
Los resultados obtenidos en ambos módulos se combinan, dando lugar a una
reversión a la media de simulaciones diarias de productos futuros. En el módulo III
(módulo horario) se procede a perfilar, para cada día, dichos productos en precios
horarios, en base a unos perfiles obtenidos mediante un clustering (agrupación de
precios según el mes, la hora y el tipo de día) que contiene información histórica del
mercado spot del país donde se realiza la inversión.
4.3.2 Datos de entrada
Tal y como se comenta en el apartado 4.1, se presupone que el modelo se actualiza
antes de correrlo con las últimas cotizaciones existentes de productos eléctricos de
mercados a plazo. Los pasos a seguir para actualizar las cotizaciones de la herramienta
son los siguientes:
i) Se introducen las cotizaciones diarias de productos futuros hasta la fecha. En
el modelo se han considerado productos de carácter mensual (M+0, M+1 y
M+2), trimestral (Q+1, Q+2 y Q+3) y anual (Y+1). Las cotizaciones se
etiquetan con el año y el mes del día al que pertenecen, filtrándose aquellos
días en los que no hubo cotización.
ii) Se introducen los precios horarios del mercado spot hasta la fecha y la media
diaria de los mismos. Dado que los fines de semana no hay cotizaciones de
productos futuros, se filtran las medias diarias de los precios horarios en fin
de semana, de cara a poder darles a éstas un tratamiento producto de
mercado a plazo (entendido como un producto M+0). La finalidad consiste
en obtener un vector de datos del mismo tamaño que los vectores de datos
del paso i). De este modo, se pueden integrar los datos en una matriz, a
partir de la cual se realizan medidas estadísticas que extraigan las
volatilidades y las correlaciones históricas. El hecho de no tener en cuenta las
medias de los fines de semana no impacta a posteriori, ya que la esperanza a
la que se corrigen las simulaciones del M+0 es la media mensual histórica, la
cual considera todos los días del mes.
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 59
iii) Se calcula el logaritmo neperiano (es decir, se transforma la serie temporal,
tal y como se describe en el apartado 2.4.1) de las medias mensuales
históricas de los productos futuros, los cuales han sido previamente filtrados
en los pasos i) y ii). Estos logaritmos neperianos se expresan gráficamente
para poder filtrar por observación aquellos outlayers (en español, valores
atípicos) que se observen a simple vista.
iv) Se calcula el logaritmo neperiano de los unitarios diarios, los cuales son las
cotizaciones diarias de los productos futuros divididas entre las medias
mensuales correspondientes. En este caso los outlayers pueden tener mayor
impacto que en el caso de las medias mensuales, por lo que en vez de
expresar gráficamente los logaritmos neperianos para filtrarlos por pura
observación, se procede a filtrar mediante el siguiente algoritmo matemático:
todos aquellos valores que se alejen de la media por encima (o por debajo)
de un cierto factor f de la desviación típica, a elegir por el usuario de la
herramienta, se filtran para que tomen el valor de la media más (o menos) el
factor de la desviación típica. La fórmula que realiza este filtro para valores
que se encuentren por encima de la media es la siguiente (la fórmula es
análoga para filtrar valores por debajo de la media):
[ ]
=
×−×>−
imensual
idiaria
i
innnin
x
xLnadonde
aaadesvestfaamediaaadesvestfaaamediasi );,...,(),...,();,...,(),...,( 1111
Ecuación 34. Filtro de outlayers por encima de la media en el cálculo de los unitarios diarios de productos futuros
Si no se filtrasen estos elementos atípicos, la reversión a la media saldría muy
desvirtuada. A continuación se muestra una figura en la que se filtran todos los valores
que quedan por encima o por debajo de la media más (menos) un factor igual a 2 sobre
la desviación típica (es decir, se filtran alrededor del 5% de los datos de la serie
temporal):
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 60
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Ln(u
nita
rios
diar
ios)
Valores Filtro
Figura 13. Filtro de outlayers en el cálculo del logaritmo neperiano de los unitarios diarios sobre productos futuros
v) Se selecciona como primer mes del alcance temporal a simular el mes del
último día que del que se tiene cotización. El resto de meses del alcance
temporal los introduce el usuario de la herramienta. Asimismo, el usuario
ha de introducir las esperanzas de los productos futuros para que el modelo
pueda integrar la componente estacional observada en el último día que se
tiene cotización. El usuario introduce tantos M+i, Q+i e Y+i como le indica la
herramienta, tal y como se describe en los apartados 4.3.5, 4.3.6 y 4.3.7.
� Nótese que el usuario introduce el M+0 que se corresponde con la media
mensual histórica, la cual incluye fines de semana, tal y como se
comentaba en el paso ii).
vi) Finalmente, el usuario introduce el número de simulaciones N a realizar, que
será el mismo tanto para la reversión a la media de los logaritmos
neperianos de las medias mensuales como para el autorregresivo de los
logaritmos neperianos de los unitarios diarios (por las razones que se
comentan en el apartado 4.3.7).
4.3.3 Módulo I y II: componente aleatoria. Cálculo de los parámetros y simulación de
comportamientos.
Una vez han sido actualizados los datos de entrada del modelo, se procede a
calcular los parámetros de reversión a la media de las medias mensuales de los
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 61
productos futuros (módulo I), así como los parámetros del autorregresivo de los
unitarios diarios (módulo II).
En primer lugar, el modelo vuelca los coeficientes, así como el ruido blanco
resultante de cada modelo (en el caso de la Tesis, se calculan siete comportamientos de
las medias mensuales y otros siete de los unitarios diarios, ya que hay siete productos
futuros distintos). A continuación, el modelo calcula la volatilidad de cada ruido
blanco (siete volatilidades en las medias mensuales y otras siete volatilidades en los
unitarios diarios) y la matriz de varianzas-covarianzas de los ruidos blancos (una
matriz de las medias mensuales y otra matriz de los unitarios diarios).
Las simulaciones se realizan del siguiente modo: en base a las volatilidades y a las
matrices de correlación, el modelo calcula la matriz de covarianzas. A esta matriz se le
aplica una descomposición de Cholesky, de tal modo que la matriz triangular obtenida
se multiplica por siete series de números aleatorios, distribuidos normalmente,
generada por un proceso de Monte Carlo. De este modo, se obtienen siete series
distribuidas normalmente que guardan la correlación histórica de los ruidos blancos
del anterior apartado.
Tenidas dichas series, se toman las últimas cotizaciones históricas del producto en
cuestión (tantas como sea el orden del modelo autorregresivo que se ha seleccionado
mediante la metodología de Box-Jenkins). Éstas se multiplican por los coeficientes, se
suma la ordenada en el origen y se añade el primer elemento del ruido obtenido a
través del proceso de Monte Carlo. Se computa la exponencial del resultado obtenido y
se obtiene el primer valor simulado a futuro.
Se procede de este modo sucesivamente, multiplicando los últimos elementos
obtenidos por los coeficientes en cuestión, sumando la ordenada en el origen y
añadiendo el ruido blanco correspondiente (al que previamente se le ha realizado un
contraste de normalidad de Lilliefors), hasta que se termina de recorrer el alcance
temporal. Las series de ruidos blancos que se calcula en cada simulación, aún
guardando la misma correlación, no son las mismas, por lo que se acaba obteniendo un
abanico de sendas diferentes para cada simulación.
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 62
4.3.4 Módulo I y II: componente estacional. Corregir los futuros a una esperanza observada.
Para eliminar el error de de simulación de Monte Carlo, el cual disminuye cuantas
más simulaciones se realicen, se recurre a corregir la media de las simulaciones con los
futuros observados como esperanza. Tanto las simulaciones de medias mensuales
(módulo I) como las de unitarios diarios (módulo II) se han de escalar a la componente
estacional. Para ello, se recurre a la siguiente ecuación:
)()()( esperanzaLnescalaraelementosmediaLnescalaraelementoLnbdonde
eescaladoelemento b
+−==
Ecuación 35. Escalar a una esperanza una serie de valores
Por un lado, los logaritmos neperianos de los unitarios diarios se revierten de tal
modo que la esperanza de los mismos en cada mes y para cada simulación sea 1. Por
otro lado, los logaritmos neperianos de las medias mensuales se escalan para que la
esperanza de los productos coincida (en cada simulación) con la esperanza
correspondiente que se observa en la fecha en la que se corre el modelo. El tratamiento
para revertir a una esperanza varía según si el producto simulado es un M+i ó un Q+i,
tal y como se indica en los apartados 4.3.5 y 4.3.6, respectivamente. En el caso de la
Tesis, sólo se considera el Y+1, por lo que resulta fácil escalarlo, pero en el caso de
considerar más productos Y+i el tratamiento sería análogo.
4.3.5 Módulo I: componente estacional. Corregir los M+i a una esperanza observada.
Considérese que se corre el modelo en abril de 2010. La media de las simulaciones
del M+0 para cada mes del alcance se corrige al vector de esperanzas M+j (observadas
en abril de 2010) que se corresponden con dichos meses. Sin embargo, la media de las
simulaciones del M+1 para cada mes del alcance habrá que corregirla al vector de
esperanzas usado para corregir las simulaciones del M+0, decalado un mes. En general,
la media de las simulaciones del M+i para cada mes del alcance habrá que corregirla al
vector de esperanzas M+j (observadas en abril de 2010), decalado “i meses”. En el caso
concreto de la Tesis, como el modelo simula hasta el producto M+2, el máximo decalaje
será de dos posiciones respecto del vector de esperanzas M+j usado para corregir las
simulaciones del M+0.
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 63
Para más detalle, ver el anexo A.1, donde se muestra gráficamente la idea trasmitida
en este apartado.
4.3.6 Módulo I: componente estacional. Corregir los Q+i a una esperanza observada.
En el caso de las simulaciones de los productos trimestrales, se procede de un modo
similar al caso de los productos mensuales, pero teniendo en cuenta la diferencia entre
Q+i y Qi: el Q+i hace referencia al siguiente trimestre natural Qi respecto del mes en
cuestión. Los trimestres naturales son Q1, Q2, Q3 y Q4, de tal modo que Q1 es enero,
febrero y marzo, Q2 es abril, mayo y junio, Q3 es julio, agosto y septiembre, y Q4 es
octubre, noviembre y diciembre.
En el caso de correr el modelo en abril de 2010, la media de las simulaciones del
Q+i para cada mes del alcance habrá que corregirla al Q+j correspondiente de abril de
2010. En este caso concreto, el Q+1 de abril, mayo y junio de 2010 (que es el Q3-2010)
coincide con el Q+1 de abril de 2010, pero el Q+1 de julio, agosto y septiembre de 2010
(que es el Q4-2010) coincide con el Q+2 de abril de 2010. Sin embargo, el Q+2 de abril,
mayo y junio de 2010 (que es el Q4-2010) coincide con el Q+2 de abril de 2010, mientras
que el Q+2 de julio, agosto y septiembre de 2010 (que es el Q1-2011) coincide con el
Q+3 de abril de 2010. Así que la esperanza que se usa para corregir las simulaciones del
Q+i se decala “3n meses” para el Q+i+n. En el caso concreto de la Tesis, como el
modelo simula hasta el producto Q+3, el máximo decalaje será de 3x2 = 6 meses
respecto del vector de esperanzas Q+j usado para corregir el producto Q+1.
Para más detalle, ver el anexo A.2, donde se muestra gráficamente la idea trasmitida
en este apartado.
4.3.7 Cálculo diario de productos futuros combinando la simulación de medias mensuales de
productos futuros (módulo I) con la simulación de unitarios diarios de productos
futuros (módulo II)
En los anteriores apartados se ha comentado que, tenidas las cotizaciones diarias
históricas, se extrae de éstas el valor medio y se estudia la variación de las cotizaciones
diarias frente a la media mensual mediante un ratio (unitario diario) que revierte a 1.
La razón estriba en que, al proceder de este modo, se aísla el comportamiento diario
del mensual eliminando cualquier estacionalidad que aporten los datos históricos, ya
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 64
que no existe distorsión en el valor de los unitarios diarios como consecuencia del
cambio de mes.
Por tanto, para pasar de las simulaciones con detalle mensual al detalle diario es
necesario multiplicar las medias mensuales por los unitarios diarios. Por tanto, se
simulan también unitarios diarios, es decir, los productos futuros diarios entre la
media mensual de dichos productos (dividir el valor al que apuntan las flechas rojas de
la Figura 14 entre la barra roja sobre la que se apoyan):
Figura 14. Ejemplo de cotizaciones diarias históricas de un producto futuro
La combinación de medias mensuales y unitarios diarios se realiza para cada
simulación. Por tanto, el número de simulaciones de las medias mensuales debe
coincidir con el número de simulaciones de los unitarios diarios. Al combinar medias
mensuales y unitarios diarios se obtienen, para cada día del alcance temporal del
modelo, N simulaciones de cada uno de los productos futuros. Nótese que los procesos
de Monte Carlo usados para las simulaciones mensuales son independientes de los
procesos de Monte Carlo de las simulaciones de los unitarios diarios.
Recuérdese que el promedio de las N simulaciones de las medias mensuales es la
esperanza mensual correspondiente, observada el día en el que se corre el modelo. Sin
embargo, los unitarios por los que se han multiplicado estas medias mensuales no
tienen promedio exactamente igual a 1 (aunque sí muy cercano a 1), puesto que se
corresponden con los unitarios de un día concreto para las N simulaciones, mientras
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 65
que se corrigió el promedio para que valiera 1 en cada una de las simulaciones (para
todos los días de un mismo mes).
Por tanto, una vez se han obtenido N simulaciones de productos futuros para cada
día del alcance temporal, se procede a revertir a la esperanza del siguiente modo: para
cada día se ha obtenido una matriz de tamaño N simulaciones por K productos M+i.
Los dos primeros meses se corresponden con el M+1 y el M+2, mientras que en el resto
de los meses se repiten (según de qué trimestre o año natural se trate) los valores
obtenidos en las simulaciones del Q+1, Q+2, Q+3 e Y+1. Así que dicha matriz de
productos futuros se corrige mediante N vectores de esperanzas, siendo K el tamaño de
cada vector. Por simplicidad, se usa el mismo vector de esperanzas que corregía las
simulaciones de los productos M+i (ver apartado 4.3.5), siendo el tamaño de éste igual
al numero de meses del alcance temporal más el decalaje que impone el producto Y+1
(que será, como máximo, 23 para el caso de que el último mes del alcance temporal sea
enero, ya que el producto Y+1 abarca hasta diciembre del siguiente año).
4.3.8 Módulo III: Perfilado horario (componente estacional)
Hasta el momento se han obtenido, para cada día del alcance temporal,
simulaciones de productos de mercados a plazo. No obstante, el modelo unit
commitment de optimización de la explotación de la central requiere de un detalle de
precios horarios de mercados spot. Por tanto, es preciso romper los productos futuros
horariamente mediante unos perfiles unitarios que han sido calculados tal y como se
describe a continuación.
El punto de partida son los precios horarios históricos. Cada día se divide en tres
grupos: laborable, sábado o domingo/festivo. Se calcula horariamente la media de los
precios históricos para cada tipo de día y para cada mes, obteniendo una matriz de
dimensiones 36 (3 tipos de día x 12 meses) x 24 horas. Nótese que los 864 elementos de
dicha matriz son diferentes, tal y como se muestra en la Figura 15.
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 66
Figura 15. Agrupación de precios históricos por niveles
A continuación, se realiza un clustering (agrupar por niveles significativos). Para ello
se procede a minimizar la distancia al cuadrado entre cada uno de los 864 elementos de
la matriz anterior respecto de un número N de clusters dados. Se parte de unos N
niveles iniciales dados y se calcula directamente qué cluster Xi (donde i = 1, 2,…, N) es
el más cercano a cada elemento de la matriz. Posteriormente, se minimiza mediante un
algoritmo de optimización la suma de las 864 distancias, variando el valor de los
niveles. De este modo, los 864 elementos de la matriz pasan a valer únicamente uno de
los N niveles obtenidos en la optimización, tal y como se muestra en el ejemplo de la
siguiente figura:
1 2 … 24LABORABLES 35.10 44.72 … 54.92SÁBADOS 30.23 35.10 … 54.92
DOMINGOS/FESTIVOS 22.61 30.23 … 44.72LABORABLES … … … …SÁBADOS … … … …
DOMINGOS/FESTIVOS … … … …LABORABLES 44.72 54.92 … 35.10SÁBADOS 44.72 44.72 … 30.23
DOMINGOS/FESTIVOS 35.10 30.23 … 22.61
…
DICIEMBRE
ENERO
Figura 16. Clustering de niveles de precios horarios
Finalmente, los niveles se transforman en unitarios horarios (dividiéndolos por la
media de los niveles de todas las horas del mes) y se asignan a cada hora del alcance
temporal que se está valorando. De este modo, los perfiles unitarios horarios
resultantes tienen una media para cada mes igual a 1, de modo que el perfilado horario
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 67
no modifica la esperanza a la que han sido corregidas las simulaciones. Es decir, al
multiplicar los perfiles unitarios horarios de cada mes por el elemento M+i, Q+i e Y+i
correspondiente, se obtienen unos precios horarios a futuro cuyo promedio mensual
también es M+i, Q+i e Y+i. Por consiguiente, el promedio mensual de todas las
simulaciones de precios horarios es igual a la esperanza observada.
4.3.9 Simulación de los costes de generación
Los costes de generación se simulan de un modo análogo a la simulación de precios
eléctricos. Se llega al detalle mensual, dado que los costes de generación son más
planos en comparación con las fluctuaciones horarias que sufren los precios eléctricos.
A la hora de proceder a simular, se integra la correlación histórica entre los precios
eléctricos y los combustibles, de modo que las simulaciones no sean independientes y
el spread resultante tenga sentido. La esperanza de los costes de generación se calcula
en base a las cotizaciones de los combustibles en los mercados de commodities, según las
componentes que conforman el coste variable de la tecnología en cuestión. En el caso
de la Tesis, se van a valorar las siguientes tecnologías: ciclo combinado, central de
carbón y planta de cogeneración. A continuación se describe en detalle el coste variable
de una central de carbón y de un ciclo combinado.
El combustible en el caso de los ciclos combinados es el gas natural, cuyo precio se
expresa generalmente en MMBtu
$, y se puede obtener en mercados spot o a través de
contratos a largo plazo (con cláusulas como take-or-pay). La relación entre el poder
calorífico del combustible y el rendimiento energético que se obtiene en un generador
eléctrico se denomina eficiencia energética, la cual se mide en MMBtu
MWh. A la hora de
calcular el coste variable de un ciclo combinado es necesario no sólo considerar el coste
de combustible, sino también otros costes como son el coste de emisión, los peajes de
acceso de terceros a la red variables (ATRs), costes de operación y mantenimiento, y
costes de arranque y parada, tal y como se expresa en la siguiente ecuación:
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 68
[ ]
[ ]•×
×
×
=
+++•
+
×
+=
η
η1
.
1
$
€$€
&.
.
€€ varvar
MMBtu
MWhenergéticaEf
TdCMMBtu
pMWh
pdonde
ParArrMOATR
MWh
tonTasa
tonpp
MWhC
gasgas
emisionemisiongasciclo
Ecuación 36. Coste variable de un ciclo combinado
El coste de arranque representa el consumo de gas necesario para alcanzar las
condiciones óptimas de temperatura y presión en la caldera del ciclo combinado antes
de empezar a producir energía. El coste de parada representa el coste del gas que se
consume innecesariamente una vez el ciclo ha dejado de producir energía, y también
puede incluir el coste de desgaste durante las operaciones de arranque y de parada del
ciclo combinado. En la Ecuación 36, estos costes se expresan en unidades de
MWh
€
porque el coste de arranque (o de parada) en € se ha multiplicado por el número de
arranques (o de paradas) estimado para un periodo determinado (típicamente un año)
y se ha dividido por la energía prevista según el número de horas esperadas de
funcionamiento para dicho periodo. Este coste de arranque, medido en €, se calcula del
siguiente modo (el cálculo es análogo para el coste de parada):
[ ] [ ]termiasConsumoArrtermias
Therm
GBPTdC
Therm
cGBPpArr gasspotgas ×
×
××
= −
25
1€10€ 2
Ecuación 37. Coste de arranque de un ciclo combinado que funciona con gas spot NBP
Donde la termia (thermie en inglés) es una unidad de energía, equivalente a 1 millón
de calorías (es decir, equivale a la energía necesaria para incrementar en 1ºC la
temperatura de una tonelada de agua). Sin embargo, therm (en inglés) es una unidad de
energía no perteneciente al Sistema Internacional que equivale a 100.000 unidades
térmicas británicas (BTU). La conversión entre termias y therms es de 25,2
termias/therm. Se han considerado el caso de quemar gas spot del Reino Unido (NBP).
Si fuera gas sport del Henry Hub (EE.UU.) las unidades serían USD/MMBtu.
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 69
En el caso de una central de carbón, el combustible se mide en .
$
ton y la eficiencia
energética en .ton
Termias. En este caso, el rendimiento no es adimensional, sino que se
mide en MWh
Termias. Así que el coste variable de una central de carbón queda del
siguiente modo:
×
×
=
+++
+
×
+
×
+=
..
$
€
.
$€
&
..
.
€log
.
.
€€var
ton
TermiasenergéticaEf
MWh
Termias
TdCton
pMWh
pdonde
ParArrMO
ton
TermiasenergétEf
MWh
Termias
toníst
MWh
tonT
tonpp
MWhC
carbóncarb
ememcarbcarb
η
η
Ecuación 38. Coste variable de una central de carbón
En una central de carbón, el coste de arranque representa el consumo de carbón
necesario para alcanzar las condiciones óptimas de temperatura y presión en la caldera
antes de empezar a producir energía, y el coste de parada representa el coste del
carbón que se consume innecesariamente una vez el ciclo ha dejado de producir
energía. El coste de arranque, medido en €, se calcula del siguiente modo (es análogo
para el coste de parada):
[ ] [ ]termiasConsumoArrtermias
ton
PCSTdC
tonpArr carbóncarbón ×
×
×
= .1
$
€
.
$€
Ecuación 39. Coste de arranque de una central de carbón
Donde la conversión considerada entre termias y toneladas de carbón es el poder
calorífico neto en cuestión.
� Nota: el spread recibe el nombre de spark spread, en el caso de las centrales de ciclo
combinado, o dark spread, en el caso de las centrales de carbón (se añade la palabra clean en
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 70
el caso de haber internalizado el coste de las emisiones de dióxido de carbono dentro del
coste variable).
4.3.10 Datos de salida
Tal y como se adelanta en el apartado 4.1, la optimización del funcionamiento en
GAMS se hace a partir de la simulación del spread eléctrico que vuelca el modelo de
reversión a la media. Tanto el modelo unit commitment de optimización de la
explotación de una central como el modelo de reversión a la media que simula precios
horarios forman parte de la misma herramienta. Por consiguiente, se trata de dos
procesos sucesivos, de tal modo que las salidas del modelo reversión a la media se
exportan en ficheros de texto que se optimizan en el modelo de GAMS. Asimismo, las
salidas de GAMS son ficheros de texto que se importan de vuelta a la herramienta
informática.
Por tanto, los datos de salida (datos de entrada para el modelo de optimización) se
corresponden con el perfilado horario del spread eléctrico que se ha comentado en el
apartado anterior, el cual se actualiza dentro del bucle que avanza a lo largo del
alcance temporal optimizando la explotación de la central.
4.3.11 Interfaz del modelo de reversión a la media
El modelo es una herramienta desarrollada en el entorno de Excel y VBA, en la que
se introducen los datos necesarios para simular tendencias de precios, se simulan
dichas tendencias, se introducen en un bucle que genera ficheros de texto que son
entradas de GAMS, y guarda registro de las salidas del fichero de texto que genera
GAMS.
En la hoja “Menú” se indica el número de simulaciones deseado, el número de
productos futuros que se simulan, el alcance temporal, el número de periodos que se
avanza en cada actualización de la reversión a la media y la esperanza mensual a la
que deben revertir los precios (paso 0º mostrado en la Figura 17). Asimismo, en la hoja
“Menú” se encuentran los botones con los que se simulan los precios en base a futuros
históricos (pasos 1º a 5º de la Figura 17).
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 71
Figura 17. Hoja Menú de la herramienta de valoración
Cabe mencionar que en el último paso 6º de la Figura 17 se encuentran los botones
con los que se puede perfilar horariamente un día seleccionado (yendo previamente a
la hoja “Selecciona Día”, donde se cargan las simulaciones de los futuros mensuales de
dicho día y se revierten a la esperanza correspondiente, tal y como se muestra en la
Figura 18). Cabe la posibilidad de realizar este proceso manualmente o mediante un
bucle (botones “Selecciona fecha de valoración” y “Perfila horariamente”, o botón
“Simulaciones”, respectivamente).
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 72
Figura 18. Hoja donde se cargan las simulaciones de los futuros mensuales esperados para un día concreto
4.4 Modelo unit commitment de optimización de la explotación de una central
eléctrica
4.4.1 Introducción
El modelo unit commitment optimiza el margen bruto de una central eléctrica, en
base a los spreads eléctricos simulados y considerando unas determinadas restricciones
de funcionamiento.
El modelo de optimización de la explotación de una central eléctrica ha sido
realizado en el programa de optimización GAMS, siendo la interfaz que introduce los
datos de entrada y extrae los datos de salida el mismo fichero de Excel con VBA que
genera los precios horarios a futuro.
El pseudocódigo de optimización de la explotación de la central eléctrica es el
siguiente:
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 73
Máximización de la Función Objetivo (F.O.):
F.O. = Spread * Potencia funcionamiento – Coste arranque/parada * Nº de arranques/paradas
Sujeta a unas Restricciones:
Restr. de Carga: Potencia de Funcionamiento = 0 ó Mínimo Técnico ó Plena Carga
Restr. de Mínimas Horas: Si la central arranca � funcionará, al menos, N horas
Restr. de Cantidad Máxima de Energía: Energía Disponible en una semana/mes/año = Q
Restr. de Unit Commitment: u = 1 si central funciona. u = 0 si central no funciona
Donde y = 1 si central arranca. y = 0 si central no arranca
z = 1 si central para. z = 0 si central no para
� Nota: obsérvese que el coste de arranque y de parada no se internaliza dentro del spread
porque no está considerado dentro del coste variable de la central (tal y como se indica en la
Ecuación 36 y en la Ecuación 38), sino que los costes de arranque y de parada son un
término adicional medido en € (tal y como se indica en la Ecuación 37) de la función
objetivo.
En la siguiente figura se muestra un detalle del modelo de optimización:
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 74
Figura 19. Modelo unit commitment de optimización de la explotación de una central eléctrica
A continuación se detalla el código de optimización, así como el proceso para
exportar los datos de entrada e importar los datos de salida de GAMS.
4.4.2 Datos de entrada
Los datos de entrada del modelo de optimización son los siguientes: conjuntos
(también suelen denominarse por su nombre en inglés sets), conjuntos dinámicos,
parámetros y escalares. A continuación se describen cada uno de ellos.
Los conjuntos representan las variables fundamentales de la optimización. En el
caso de la Tesis, se trata de los periodos de tiempo considerados (horas), denotados por
hi. Como conjunto dinámico, que representa un subconjunto de los sets, se tiene p(h).
Más adelante, cuando se describen los escalares, se muestra la utilidad de este conjunto
dinámico.
Los parámetros representan las variables de control del problema de optimización.
En el caso de la Tesis, los parámetros son los precios horarios del alcance temporal
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 75
pSMP(h), los mínimos técnicos de funcionamiento pPowerMin(h), las potencias
máximas de funcionamiento pPowerMax(h), el precio de oferta al mercado pMargCost(h)
basado en los costes variables de la central, los costes de arranque pStarUpCost(h) y de
parada pShutDownCost(h), y el estado inicial de funcionamiento de cada central u0(h),
el cual se va actualizando a medida que se recorre el alcance temporal (para más
detalle, ver apartado 4.4.4).
Los escalares son constantes que se usan en el modelo. En la Tesis se hace uso del
escalar hini que, al igual que ocurre con el parámetro u0(h), se va actualizando a
medida que se recorre el alcance temporal con el valor del periodo de tiempo h en el
que se actualiza (con una reversión a la media) la senda de spreads eléctricos.
4.4.3 Función objetivo: maximización a medida que se recorre el alcance temporal
En el modelo de GAMS se introduce la siguiente línea de código:
))($()( hinihordYEShp ≥=
Ecuación 40. Periodo de tiempo a partir del cual se optimiza el funcionamiento de la central a futuro
De este modo, el conjunto dinámico p(h) vale 1 para las horas que quedan aguas
abajo de la reversión a la media (para h >= hini), y 0 para las horas que quedaron aguas
arriba (para h < hini).
La utilidad de dicho conjunto dinámico radica en que se introduce en la función
objetivo del siguiente modo:
[ ]
×−×−−×−
=)()()()(
)()(arg)(),()$,(
hostpShutDownChzhstpStartUpCohy
hvPowerhCostpMhpSMPhpghsumfobj
Ecuación 41. Función objetivo de optimización del funcionamiento de una central
Recuérdese que, tal y como se comenta en el apartado 4.1, la esperanza del
comportamiento de los futuros se va actualizando a medida que se recorre el alcance
temporal en vez de optimizar las simulaciones de precios spot, para no sobrevalorar la
opción de inversión. Cada vez que se actualiza la esperanza de los comportamientos de
precio, se optimiza el funcionamiento para todo el tiempo que queda del alcance
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 76
temporal aguas abajo del momento en el que se realiza dicha reversión, a la par que se
guarda registro del funcionamiento resultante entre el instante de tiempo en el que se
realizó la reversión anterior y el instante de tiempo de la reversión actual. Gracias al
conjunto dinámico p(h), la maximización del margen de la central considerando costes
de arranque y de parada se realiza sólo para las horas en las que p(h) es igual a uno,
que son las horas que quedan aguas abajo del instante de decisión de explotación de la
planta.
4.4.4 Condición de funcionamiento (unit commitment)
En el código de optimización se han introducido las siguientes restricciones
relacionadas con las condiciones de funcionamiento (estas restricciones se denominan
unit commitment en inglés y dan nombre a este modelo de optimización):
11
≤+−+= −
hh
hhhh
zy
zyuu
Ecuación 42. Restricciones de funcionamiento de la central
Las variables u, y, z son binarias (sólo pueden tomar valores de cero o de uno).
Cuando u = 1, la central está funcionando (bien a mínimo técnico, bien a plena carga).
Por tanto, cuando yh = 1, la central ha arrancado en la hora h, ya que uh = 1, uh-1 = 0 y
zh =0 cumplen la Ecuación 42. Del mismo modo, cuando zh = 1, la central ha parado en
la hora h, ya que uh = 1, uh-1 = 0 e yh = 0 cumplen la Ecuación 42.
Cabe comentar la particularidad que existe al principio de cada simulación, es decir,
para h = 1, donde se tiene que no existe dentro del alcance temporal la hora h – 1 = 0.
Por tanto, es necesario introducir un parámetro que establezca una condición de
funcionamiento inicial u0 = uh-1 para la hora h = 1. Si se considera u0 = 1, entonces caben
dos posibilidades: uh = 1 y las variables de arranque y de parada igual a cero, ó uh = 0 y
zh = 1. En este caso, pese a no funcionar inicialmente, se estaría forzando a incurrir en
un coste de parada, mientras que en caso de funcionar inicialmente no habría que
incurrir en un coste de arranque. Sin embargo, si se considera u0 = 0, entonces caben
otras dos posibilidades: uh = 1 e yh = 1, ó uh = 0 y las variables de arranque y de parada
igual a cero. En este caso ocurre lo contrario: se incurre en coste de arranque si se
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 77
funciona inicialmente, mientras que no hay coste de parada si no se funciona
inicialmente.
Los resultados que arroja el modelo pueden ser diferentes según sea u0 = 1 ó u0 = 0.
Por ejemplo, considérese un breve ejemplo de optimización del margen de una cartera
de inversión donde se establece u0 = 1. La cartera está compuesta por dos centrales, G1
y G2, de 100 MW de potencia cada una, con unos costes de arranque de 2000 € y de
parada de 1500 €, y cuyas ofertas de generación en el mercado son a 27 y 25 €/MWh,
respectivamente:
Periodo
(h)
PRECIO (€/MWh) Margen (€) de
G1 a Mínimo
Técnico
Margen (€) de
G2 a Mínimo
Técnico
Margen (€) de
G1 a Plena
Carga
Margen (€) de
G2 a Plena
Carga
1 15 -1200 -1000 -2400 -2000
2 6 -2100 -1900 -4200 -3800
3 50 2300 2500 4600 5000
4 7 -2000 -1800 -4000 -3600
Tabla 3. Ejemplo de valoración del funcionamiento óptimo de una cartera de centrales en base al spark spread
El modelo dará como solución óptima un funcionamiento a mínimo técnico en las
horas h = 1 y h = 2, subir a plena carga en la hora h = 3 y parar las máquinas en la hora
h = 4, de tal modo que el margen resultante de la optimización es 400 €. Esto se debe a
que compensa funcionar a mínimo técnico en h = 1 y h = 2, ya que las pérdidas son -
1200 – 1000 - 2100 - 1900 = -6200 € mientras que si se para en h = 1 para arrancar en h =
3 las pérdidas serían mayores: -2000 * 2 – 1500 * 2 = -7000 €. Sin embargo, compensa
parar en h=4, ya que -1500 * 2 = -3000 € son pérdidas menores que si funcionasen a
mínimo técnico: -2000 – 1800 = -3800 €.
Nótese que este resultado habría sido diferente si se hubiera considerado u0 = 0. En
tal caso, habría funcionado únicamente en la hora h = 3 (parando en h = 1, arrancando
en h = 3, y parando de nuevo en h = 4), pero sólo incurriendo en los costes de arranque
y de parada de las horas h = 3 y h = 4, respectivamente.
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 78
En el modelo de la Tesis se ha considerado u0 = 0 para h = 1, aunque el resultado no
varía prácticamente si se hubiera considerado u0 = 0 para h = 1, ya que no se optimizan
cuatro horas, sino varios años.
Por último, cabe comentar que, en realidad, la Ecuación 42 se corresponde con la
siguiente expresión:
[ ] [ ] hhiniinihh zyhhorduhhorduu −+=+>= − )($)($ 01
Ecuación 43. Restricción de funcionamiento considerando un punto de partida hini
Esto se debe a que al avanzar en el alcance temporal, el modelo sólo optimiza el
funcionamiento aguas abajo del instante en el que se realiza la reversión a la media y
guarda registro del funcionamiento aguas arriba. Por otro lado, tal y como se comenta
en el apartado 4.4.3, el escalar hini indica a partir de qué periodo temporal se está
optimizando el funcionamiento de la central. Por tanto, para cada reversión a la media
se introduce como u0 la condición de funcionamiento del último día que ha quedado
aguas arriba para el instante que marca el escalar hini.
4.4.5 Otras restricciones
El modelo proporciona un funcionamiento que optimiza el margen de la central,
permitiendo que la variable vPower(h) tome uno de los siguientes valores: cero, mínimo
técnico o plena carga.
Esto lo realiza gracias a las siguientes restricciones:
[ ])()()()(1
)(1)()()(
hpPowerMinhpPowerMaxhuhvPower
hvPowerhpPowerMinhuhvPower
−×≤+×=
Ecuación 44. Restricciones de límites mínimo y máximo de potencia
Donde vPower1(h) y vPower(h) están relacionadas tal y como se indica en la
siguiente figura:
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 79
Figura 20. Relación entre la potencia y la potencia acoplada por encima de mínimo técnico
Por otro lado, también es posible optimizar la explotación de la central eléctrica
sujeta a una restricción de horas mínimas de funcionamiento. Esto es, si se arranca la
máquina, ha de funcionar al menos el número hmin de horas indicado.
La restricción a incluir en el código de GAMS es la siguiente:
( ) ( ) ( ) 11 ≤−+ −+ ptptpt uuu τ
Ecuación 45. Restricción de horas mínimas de funcionamiento
Nótese que esta restricción ha de cumplirse para todas las horas p del alcance
temporal, siendo τ igual a hmin – 1. τ será igual a tmax – p cuando queden menos horas
en el horizonte temporal que horas mínimas de funcionamiento hmin.
Asimismo, se introduce una restricción de máxima cantidad de energía disponible,
que establece unas condiciones de contorno en el corto plazo provenientes del medio y
largo plazo, tal y como se comenta en el apartado 4.1. Esta restricción, en el caso de una
cantidad máxima de gas establecida en un contrato take-or-pay, respondería a la
siguiente ecuación:
{ } )()(),($ hMaxEnergiahvPowerhphsum ≤
Ecuación 46. Restricción de máxima energía disponible
Donde MaxEnergia(h) es la cantidad máxima de gas existente en el contrato
actualizada a medida que se avanza en la optimización.
Por último, cabe comentar que no es necesario considerar las restricciones de
ingresos mínimos por arranque y parada de las centrales, ya que éstas se incluyen
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 80
penalizando la maximización de la función objetivo (ver apartado 4.4.3). Tampoco es
necesario considerar restricciones relacionadas con las rampas de subida y de bajada,
ya que el carácter medioplacista de la inversión no obliga a llegar a tanto detalle.
4.4.6 Datos de salida
Una vez ha sido optimizado el funcionamiento de la central, se genera un fichero de
texto que guarda registro de la variable de salida vPower(h), mediante la instrucción
[LOOP ((h),PUT vPower.l(h)/);], para calcular el spread. De un modo similar, se
exportan las variables y(h) y z(h) para calcular los costes de arranque y parada
incurridos. Tenido el spread y los costes de arranque y de parada, se computa el margen
bruto que obtiene la central en cada simulación y se introduce en el plan de negocio
(ver apartado 4.5).
En la siguiente figura se observa el funcionamiento de una central en base al spread y
a los costes de arranque y de parada. Se observa que, para spreads positivos, la central
funciona a plena carga, mientras que para spreads negativos, la central funciona a
mínimo técnico (horas 50 a 53), o para (horas 26 a 32), según si la pérdida de parar y
luego volver a arrancar es mayor o menor que el spread negativo, respectivamente:
-250
-200
-150
-100
-50
-
50
100
150
200
250
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65
MW
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
€/M
Wh
Potencia Spark spread
Figura 21. Funcionamiento de una central en base al spread y a unos costes de arranque y de parada
4.4.7 Interfaz del modelo unit commitment
Los datos de entrada y datos de salida, mencionados en los apartados 4.4.2 y 4.4.6
respectivamente, se importan y exportan a través de una interfaz de Excel. Tal y como
se ha comentado anteriormente, la interfaz forma parte de la misma herramienta que
contiene el modelo de reversión a la media que se ha descrito en el apartado anterior.
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 81
Los datos de entrada se exportan cargándolos en variables de VBA y pasándolos a
ficheros de texto con el siguiente formato, que es el requerido por GAMS para leer
conjuntos, parámetros y escalares: Nombre Variable / {valores} /. Desde GAMS se leen
estos ficheros mediante la instrucción: $include NombreFichero.txt. A continuación se
muestra una figura de la hoja “Inputs”, donde se introducen los datos de entrada:
Figura 22. Interfaz en Excel para exportar datos de entrada del modelo en GAMS
Por otro lado, los datos de salida de GAMS se exportan mediante la instrucción
PUT, tal y como se describe en el apartado 4.4.6. Desde el modelo en Excel se importan
dichos datos de salida haciendo uso de programación en VBA, y se guardan en
variables de programación que los vuelcan en la hoja “Outputs”.
Tanto el código que exporta los datos de entrada de GAMS como el código que
importa los datos de salida de la optimización se encuentran adjuntos en el anexo B.
4.5 Plan de negocio
Un plan de negocio se compone, generalmente, de un balance, de una cuenta de
resultados y de un flujo libre de caja, todo ellos calculado para el alcance temporal de
la inversión.
En el caso de inversiones en centrales eléctricas, la cuenta de resultados parte de un
margen bruto que considera la diferencia entre ingresos correspondientes del mercado
4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 82
spot y los costes variables. Si a este margen bruto se le restan los costes fijos, se obtiene
el EBITDA (Earnings Before Interests, Taxes, Depreciation and Amortization), que en
español es el beneficio antes de intereses, impuestos y amortizaciones. El beneficio neto
se obtiene de considerar los intereses, impuestos y amortizaciones, y forma parte del
balance en el apartado de fondos propios. El balance depende del tipo de financiación
de la empresa (pasivo) y de la liquidez del activo. Por último, el flujo de caja libre se
calcula en base al EBITDA, los impuestos, la variación del fondo de maniobra y las
inversiones, usando como factor de descuento el WACC (tal y como se describe en el
apartado 2.5.1).
El objeto de esta Tesis es el cálculo del valor temporal inherente a una inversión.
Éste viene determinado por los diferentes márgenes brutos que arroja el modelo. Por
tanto, el interés de los resultados radica no tanto en el detalle del plan de negocio en
cuanto a impuestos o estructura financiera de la empresa, sino más bien en el cálculo
de la opcionalidad inherente a cada tipo de tecnología eléctrica, que viene determinada
tanto por la diferencia relativa entre el valor total y el valor intrínseco como por la
dispersión en la distribución estadística de los resultados.
Por consiguiente, para un coste fijo y un WACC determinados se calcula el valor
total que arroja el modelo como el VAN (Valor Actual Neto) y la TIR (Tasa Interna de
Retorno) del promedio de los márgenes brutos anuales resultantes en cada una de las
N simulaciones mientras que el valor intrínseco es el resultado de calcular el VAN y la
TIR del margen bruto anual optimizado para una senda de precios promedio de las N
sendas de precio simuladas.
En cuanto a la dispersión de los la distribución estadística de los resultados, se
procede a graficar un histograma de los VAN resultantes para las N simulaciones, de
tal modo que la inversión conllevará más riesgo cuanto más abierta sea la distribución,
siempre y cuando la esperanza de la misma se encuentre en valores At-The-Money. En
el caso de que la distribución tome valores negativos, se puede calcular el Value at
Risk¸, como la medida de riesgo de pérdida medida en M€ para un determinado nivel
de probabilidad.
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 84
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en
el mercado alemán
5.1 Introducción
Tal y como se comenta al principio del capítulo 4, las valoraciones realizadas en la
Tesis se centran en tecnologías eléctricas que tienen suficiente opcionalidad, puesto
que cuanto mayor sea la incertidumbre del proyecto, mayor valor añadido otorga el
método de las opciones reales frente al método tradicional de flujos de caja
descontados (ver Ecuación 33).
Por tanto, en este capítulo se va a proceder a describir y detallar la valoración de la
inversión en nueva capacidad para las siguientes tecnologías eléctricas: un ciclo
combinado, una central de carbón y una central de carbón con CCS (Carbon Capture and
Storage, que en español es una planta de captura y almacenamiento de CO2 asociada a
una central eléctrica). Asimismo se valora la inversión en un contrato de alquiler
(tolling) en una planta de cogeneración. Se han considerado 1000 simulaciones para
valorar cada inversión, ya que se trata de una muestra significativa para extraer el
valor temporal inherente con bastante precisión, sin que los tiempos de ejecución
necesarios sean demasiado grandes. El modelo se ha corrido en un ordenador con las
siguientes características: Intel® Core ™ 2 Duo CPU. 2,33 GHz y 1,95 GB de RAM.
Se ha procedido a valorar la inversión en el mercado alemán. Las cotizaciones
históricas de Alemania que se han considerado son las comprendidas entre el 1 de
enero de 2002 y el 31 de mayo de 2010. Asimismo, como esperanza de las simulaciones
se han utilizado las cotizaciones de los futuros del 31 de mayo de 2010.
En el apartado 5.2 se describen aspectos generales del sector eléctrico de Alemania,
en el apartado 5.3 se seleccionan y validan los modelos que mejor se ajustan a las series
temporales, y en el resto de apartados del capítulo se procede a valorar la inversión en
diferentes tecnologías eléctricas.
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 85
5.2 Breve descripción del sector eléctrico alemán
La liberalización del sector eléctrico (y de gas) en Alemania se produjo en 1998 con
una ley que se conoce por el acrónimo de EnWG. Se produjo otro importante cambio
regulatorio en el sector en 2005, con una nueva ley que establecía, entre otros aspectos,
cambios en las tarifas de acceso y la creación del regulador Bundesnetzagentur. La
liberalización de la comercialización se produjo en 2007.
Hay cuatro compañías eléctricas que controlan alrededor del 80% de la generación y
del 50% de la comercialización eléctrica de Alemania: E.On, RWE, Vattenfall y Energie
Baden-Wuerttemburg (EnBW). Asimismo, hay cuatro operadores de la red de
transporte: 50hertz, Amprion, EnBW y Transpower.
La capacidad instalada total de Alemania es de 127 GWh, que se reparte del
siguiente modo entre las diferentes tecnologías eléctricas:
Figura 23. Mix energético alemán en 2009 (fuente: EEX)
La demanda eléctrica en Alemania en 2009 fue de 610 TWh. Se espera que la
demanda crezca hasta niveles de 700 TWh para 2018. Por otro lado, se prevé el cierre
próximo de centrales de carbón antiguas. Por tanto, cabe esperar cierto hueco en los
próximos años para la entrada de nuevas centrales eléctricas, tanto de carbón como de
gas, siendo éstas las tecnologías marginales en las horas pico y aquéllas las tecnologías
marginales para el resto de las horas.
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 86
Se ha procedido a realizar las valoraciones de esta Tesis en el mercado alemán, entre
otras razones, por tratarse de un país con alta liquidez en sus mercados a plazo.
5.3 Selección del modelo por la metodología de Box-Jenkins
Antes de proceder a valorar las distintas tecnologías eléctricas, se han seleccionado
los modelos parametrizados que explican el comportamiento de los precios y los
futuros por medio de la metodología de Box-Jenkins y se han validado los residuos de
los mismos por contrastes de normalidad de Lilliefors, tal y como se describe a
continuación.
Las series de unitarios diarios, los cuales son las cotizaciones diarias de los
productos futuros divididas entre las medias mensuales correspondientes, se han
transformado aplicándoles un logaritmo neperiano. Las series resultantes se han
introducido en el código de MATLAB que se adjunta en el anexo C.1. El código vuelca
como resultados las funciones de autocorrelación simple y parcial.
A continuación se muestran dos figuras de las funciones de autocorrelación simple
que ha arrojado el modelo:
Figura 24. Función de autocorrelación simple de la serie temporal de unitarios diarios del producto futuro M+0
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 87
Figura 25. Función de autocorrelación simple de la serie temporal de unitarios diarios del producto futuro Q+3
Este comportamiento exponencial de la función de autocorrelación simple se
corresponde con un autorregresivo de parámetros positivos, tal y como se indica en el
anexo E.1.
La función de autocorrelación parcial indica el orden del modelo autorregresivo que
más se ajusta a la serie temporal. En las siguientes figuras se muestran tres casos de
autocorrelación parcial que ha arrojado el modelo:
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 88
Figura 26. Función de autocorrelación parcial de la serie temporal de unitarios diarios del producto futuro M+0
Figura 27. Función de autocorrelación parcial de la serie temporal de unitarios diarios del producto futuro M+1
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 89
Figura 28. Función de autocorrelación parcial de la serie temporal de unitarios diarios del producto futuro Q+1
En primer lugar, cabe destacar que la función de autocorrelación parcial para el
producto spot M+0 (ver Figura 26) tiene un comportamiento distinto al de los
productos futuros propiamente dichos, ya que en estos últimos la función de
autocorrelación parcial, para el orden 1, ronda valores de 0,8 (ver Figura 27 y Figura
28) frente a los 0,5 del caso del M+0.
Asimismo, los puntos que no rebasan las asíntotas horizontales indican que, con un
95% de confianza, el orden no mejora significativamente la precisión del modelo
respecto del orden inmediatamente anterior. Se observa que en todos los casos el orden
1 es predominante, aunque cabe preguntarse si un modelo de orden 5 o, incluso, de
orden 10 puede resultar más preciso. Para ello, se recurre al código de MATLAB que se
adjunta en el anexo C.2, en donde se calcula el modelo autorregresivo para cada uno
de los productos considerados (M+0, M+1, M+2, Q+1, Q+2, Q+3 e Y+1) desde el
autorregresivo de orden 1 hasta el autorregresivo de orden 11. Se computa, para cada
orden, la desviación típica del ruido blanco del autorregresivo, de tal modo que se
observa cuánto decae la misma a medida que aumenta el orden. En las siguientes
figuras se muestra que la desviación no mejora (disminuye) cualitativamente al
aumentar el orden del modelo autorregresivo:
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 90
Figura 29. Función que relaciona la desviación típica del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del
M+0 frente al orden del modelo
Figura 30. Función que relaciona la desviación típica del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del
M+0 frente al orden del modelo
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 91
Figura 31. Función que relaciona la desviación típica del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del
Q+2 frente al orden del modelo
La desviación típica tan sólo cae un 0,23%, 0,40% y 0,58% (Figura 29, Figura 30 y
Figura 31, respectivamente) al pasar de un orden 1 a un orden 11. Por tanto, se ha
optado por valorar las diferentes tecnologías eléctricas para un autorregresivo de
orden 1, dada la buena solución de compromiso entre su precisión a la hora de
ajustarse a la serie temporal frente a la menor complejidad por tratarse de un modelo
de primer orden. Se habría obtenido esta misma conclusión si se hubiera recurrido al
llamado Criterio de Información de Akaike.
Por último, una vez se han modelado las series temporales y previamente a
proceder con las simulaciones, se ha verificado la validez del modelo realizando un
contraste de normalidad con los residuos del modelo autorregresivo. Para ello se ha
hecho uso del código de MATLAB del anexo C.3, en el que se realiza un gráfico del
histograma de los ruidos blancos resultantes, así como se computa un contraste de
Lilliefors en el que el resultado ha sido cero en todos los casos (lo cual indica que se
rechaza la hipótesis nula, es decir, no se puede demostrar que los residuos no siguen
una distribución normal). A continuación se muestran dos histogramas a modo de
ejemplo:
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 92
Figura 32. Histograma del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del M+0
Figura 33. Histograma del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del Y+1
5.4 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de carbón importado
Se ha procedido a valorar una central de carbón importado (indexado al API2) de 40
años de vida útil, considerando 500 MW de potencia a plena carga y 250 MW de
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 93
mínimo técnico, con unos costes de arranque y de parada de 10000 € y 6000 €,
respectivamente, en base a los precios de los productos futuros observados a fecha de
31 de mayo de 2010. La correlación existente entre el precio eléctrico y el coste de
combustible se ha realizado en base a la siguiente información histórica:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
may
-08
jun-0
8jul -0
8
ago-
08
sep-
08
oct-0
8
nov-
08
dic-0
8
ene-0
9
feb-0
9
mar-0
9
abr-0
9
may
-09
jun-
09ju
l-09
ago-
09
sep-
09
oct-0
9
nov-
09
dic- 0
9
ene-
10
feb-
10
mar
-10
abr -1
0
Precio eléctrico Coste variable de central de carbón importado
Figura 34. Resultado en M€ de la explotación de una central de carbón para 1000 simulaciones
Donde el coeficiente de correlación que relaciona el precio con el coste variable de
producción es del 75% (habiendo filtrado el pico de precio en octubre de 2009).
Se han realizado 1000 simulaciones para un periodo de un año. El modelo ha ido
avanzando a lo largo del alcance temporal, tomando decisiones de producción cada 5
días, siendo el 31 de mayo el día en el que se comienza a valorar la inversión. El tiempo
que ha tardado en ejecutarse el modelo ha sido de 9 horas y 32 minutos.
Se ha calculado el VAN para cada simulación, habiendo sumado previamente los
márgenes brutos resultantes de la optimización para cada año y simulación, y
considerando un WACC del 6% y un coste fijo de 1915 $/kW (ver pág. 103 de la
referencia bibliográfica PROJ10). El histograma del VAN (en M€) ha sido el siguiente:
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 94
Central de carbón importado
0
50
100
150
200
250
-75 -58 -40 -23 -6 11 28 45 63 80 97
VAN (M€)
Fre
cuen
cia
Figura 35. Resultado del VAN (en M€) de una central de carbón importado para 1000 simulaciones
El VAN promedio es 6,83 M€, siendo la desviación típica de la distribución de
33,54 M€. El Value at Risk para una probabilidad del 5% es -48,7 M€, es decir, sólo existe
un 5% de probabilidad de incurrir en pérdidas superiores a 48,7 M€. En estas
valoraciones no se ha considerado una gestión del riesgo de mercado a través de un
equipo de Trading que mantenga el valor del activo y minimice el riesgo a corto y
medio plazo.
Considerando el promedio anual del margen bruto de las 1000 simulaciones, se
obtiene el flujo de caja correspondiente al valor total de la opción. Si se optimiza para
una simulación que parte de la esperanza de precio eléctricos y de la esperanza de
costes variables de generación, se obtiene el flujo de caja correspondiente al valor
intrínseco de la opción. En la siguiente figura se muestra el flujo de caja
correspondiente al valor total, siendo la zona rayada de las barras el valor intrínseco y
la parte restante el valor temporal:
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 95
Central de carbón importado
20
25
30
35
40
45
50
55
60
2010
2012
2014
2016
2018
2020
2022
2024
2026
2028
2030
2032
2034
2036
2038
2040
2042
2044
2046
2048
2050
Flu
jo d
e ca
ja (M
€)
Figura 36. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de una central de carbón importado
Tal y como se ha mencionado anteriormente, si se considera un WACC del 6% y un
coste fijo de 1915 $/kW, el VAN correspondiente con el valor total es 6,83 M€. Sin
embargo, el VAN correspondiente con el valor intrínseco de la opción es -65,71 M€. Es
decir, el valor temporal de la opción indica que la inversión puede ser rentable, por ser
el valor intrínseco nulo, pero estar la opción muy At-The-Money. De hecho, la TIR
considerando el valor total es 6,08% mientras que la TIR considerando el valor
intrínseco es 5,21% (inferior al WACC).
El factor de carga promedio ha sido de un 61%.
5.5 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de ciclo combinado
Se ha procedido a valorar un ciclo combinado (indexado al gas negociado en el
mercado TTF) de 25 años de vida útil, considerando 400 MW de potencia a plena carga
y 200 MW de mínimo técnico, con unos costes de arranque y de parada de 8000 € y
6000 €, respectivamente, en base a los precios de los productos futuros observados a
fecha de 31 de mayo de 2010. La correlación existente entre el precio eléctrico y el coste
de combustible se ha realizado en base a la siguiente información histórica:
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 96
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
may
-08
jun-0
8jul
-08
ago-
08
sep-
08
oct- 0
8
nov-
08
dic-
08
ene-
09
feb-
09
mar
-09
abr-0
9
may
-09
jun-0
9jul
-09
ago-
09
sep-
09
oct-0
9
nov-
09
dic-
09
ene-
10
feb-
10
mar-10
abr-1
0
Precio eléctrico Coste variable de ciclo combinado
Figura 37. Resultado en M€ de la explotación de un ciclo combinado para 1000 simulaciones
Donde el coeficiente de correlación que relaciona el precio con el coste variable de
producción es del 92% (habiendo filtrado el pico de precio en octubre de 2009).
Se han realizado 1000 simulaciones para un periodo de un año. El modelo ha ido
avanzando a lo largo del alcance temporal, realizando decisiones de producción cada 5
días, siendo el 31 de mayo el día en el que se comienza a valorar la inversión. El tiempo
que ha tardado en ejecutarse el modelo ha sido de 9 horas y 37 minutos.
Se ha calculado el VAN para cada simulación, habiendo sumado previamente los
márgenes brutos resultantes de la optimización para cada año y simulación, y
considerando un WACC del 6% y un coste fijo de 1018 $/kW (ver pág. 103 de la
referencia bibliográfica PROJ10). El histograma del VAN (en M€) ha sido el siguiente:
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 97
Ciclo Combinado
0
50
100
150
200
250
119 128 136 145 154 162 171 180 188 197 205
VAN (M€)
Fre
cuen
cia
Figura 38. Resultado del VAN (en M€) de un ciclo combinado para 1000 simulaciones
El VAN promedio es 161,99 M€, siendo la desviación típica de la distribución de
16,98 M€.
Considerando el promedio anual del margen bruto de las 1000 simulaciones, se
obtiene el flujo de caja correspondiente al valor total de la opción. Si se optimiza para
una simulación que parte de la esperanza de precio eléctricos y de la esperanza de
costes variables de generación, se obtiene el flujo de caja correspondiente al valor
intrínseco de la opción. En la siguiente figura se muestra el flujo de caja
correspondiente al valor total, siendo la zona rayada de las barras el valor intrínseco y
la parte restante el valor temporal:
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 98
Ciclo combinado
20
25
30
35
40
45
2010
2012
2014
2016
2018
2020
2022
2024
2026
2028
2030
2032
2034
Flu
jo d
e ca
ja (M
€)
j
Figura 39. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de un ciclo combinado
Tal y como se ha mencionado anteriormente, si se considera un WACC del 6% y un
coste fijo de 1915 $/kW, el VAN correspondiente con el valor total es 161,99 M€. Sin
embargo, el VAN correspondiente con el valor intrínseco de la opción es 140,53 M€. La
TIR considerando el valor total es 11,25% mientras que la TIR considerando el valor
intrínseco es 10,70%.
La opcionalidad no es clave en la decisión de inversión, dado que la opción se
encuentra muy In-The-Money. No obstante, es interesante observar que el valor
temporal es mayor en el caso de la central de carbón importado (del apartado 5.4) que
en el caso del ciclo combinado, precisamente por encontrarse éste más In-The-Money.
Esta idea se muestra más adelante en la Figura 44.
El factor de carga promedio ha sido del 54%, inferior al 61% del caso de la central de
carbón.
5.6 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de carbón nacional con
captura y almacenamiento de CO2 (CCS)
Se ha procedido a valorar una central de carbón nacional, de coste de combustible
inferior al API2 y bajo coste logístico, de 40 años de vida útil, considerando 500 MW de
potencia a plena carga y 250 MW de mínimo técnico, con unos costes de arranque y de
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 99
parada de 10000 € y 6000 €, respectivamente, en base a los precios de los productos
futuros observados a fecha de 31 de mayo de 2010. La central lleva asociada una planta
de captura y almacenamiento de CO2 (CCS), por lo que el coste fijo es mayor (3336
$/kW, según pág. 103 de la referencia bibliográfica PROJ10) que en el caso de una
central de carbón sin CCS, pero no se internaliza el precio de los derechos de emisión
dentro del coste variable de la planta. La correlación existente entre el precio eléctrico y
el coste de combustible se ha realizado en base a la siguiente información histórica:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
May
-08
Jun-
08
Jul-0
8
Aug
-08
Sep
-08
Oct
-08
Nov
-08
Dec
-08
Jan-
09
Feb
-09
Mar
-09
Apr
-09
May
-09
Jun-
09
Jul-0
9
Aug
-09
Sep
-09
Oct
-09
Nov
-09
Dec
-09
Jan-
10
Feb
-10
Mar
-10
Apr
-10
Precio eléctrico Coste variable de central de carbón con CCS
Figura 40. Resultado en M€ de la explotación de una central de carbón con CCS para 1000 simulaciones
El coeficiente de correlación resultante, habiendo filtrado el pico de precio en
octubre de 2009, es del 75%. La baja correlación se debe, entre otras razones, a que el
histórico de los derechos de emisión, que guarda correlación con el precio eléctrico, no
se ha internalizado en el coste variable de la central.
Se han realizado 1000 simulaciones para un periodo de un año. El modelo ha ido
avanzando a lo largo del alcance temporal, realizando decisiones de producción cada 5
días, siendo el 31 de mayo el día en el que se comienza a valorar la inversión. El tiempo
que ha tardado en ejecutarse el modelo ha sido de 9 horas y 43 minutos.
Se ha calculado el VAN para cada simulación, habiendo sumado previamente los
márgenes brutos resultantes de la optimización para cada año y simulación, y
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 100
considerando un WACC del 6% y el mencionado coste fijo de 3336 $/kW. El
histograma del VAN (en M€) ha sido el siguiente:
Central de carbón nacional con CCS
0
50
100
150
200
250
300
-196 -183 -169 -155 -142 -128 -114 -100 -86,8 -73,1 -59,4
VAN (M€)
Fre
cuen
cia
j
Figura 41. Resultado del VAN (en M€) de una central de carbón con CCS para 1000 simulaciones
El VAN promedio es -129,73 M€, siendo la desviación típica de la distribución de
27,07 M€.
Considerando el promedio anual del margen bruto de las 1000 simulaciones, se
obtiene el flujo de caja correspondiente al valor total de la opción. Si se optimiza para
una simulación que parte de la esperanza de precio eléctricos y de la esperanza de
costes variables de generación, se obtiene el flujo de caja correspondiente al valor
intrínseco de la opción. En la siguiente figura se muestra el flujo de caja
correspondiente al valor total, siendo la zona rayada de las barras el valor intrínseco y
la parte restante el valor temporal:
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 101
Central de carbón con CCS
40
50
60
70
80
90
100
110
2010
2012
2014
2016
2018
2020
2022
2024
2026
2028
2030
2032
2034
2036
2038
2040
2042
2044
2046
2048
2050
Flu
jo d
e ca
ja (M
€)
j
Figura 42. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de una central de carbón con CCS
Tal y como se ha mencionado anteriormente, si se considera un WACC del 6% y un
coste fijo de 3336 $/kW, el VAN correspondiente con el valor total es -129,73 M€. Sin
embargo, el VAN correspondiente con el valor intrínseco de la opción es -193,09 M€.
La TIR considerando el valor total es 5,25% mientras que la TIR considerando el valor
intrínseco es 4,84%.
En vista de los resultados, se observa que el valor temporal de la opción es
relativamente grande, dado que la opción de inversión se encuentra Out-of-the-Money ,
pero cercana a estar At-The-Money, ya que su coste variable es muy bajo. La
rentabilidad no llega a superar al WACC, pero se encuentra tan sólo un 0,75% por
debajo, lo cual hace pensar que la inversión es viable con cierto apoyo regulatorio.
El factor de carga promedio ha sido del 82%, es decir, ha funcionado prácticamente
en base.
5.7 Valoración de un contrato de alquiler (tolling) sobre una planta de
cogeneración
La valoración de un contrato de alquiler (tolling) sobre una planta de cogeneración
se ha realizado considerando una potencia instalada de 40 MW, un coste de arranque
de 1200 € y un coste de parada nulo. Se han considerado las cotizaciones de mercados a
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 102
plazo correspondientes al 31 de mayo de 2010. El alcance temporal del contrato abarca
desde junio de 2010 hasta diciembre de 2012. Se han realizado 1000 simulaciones y el
tiempo que ha tardado en ejecutarse el modelo ha sido de 17 horas y 22 minutos.
A diferencia de los anteriores apartados, en este caso no se valora una inversión
propiamente dicha, sino que se trata un contrato en el que se recibe el precio que cobra
en el mercado una planta de cogeneración, a cambio de pagar al dueño de la misma un
strike que consiste en una fórmula indexada a las cotizaciones del gas TTF, del carbón
API2 y de los derechos de emisión EUAs. Adicionalmente, se paga una prima que se
negocia antes de firmar el contrato. El negocio consiste en que el dueño de la planta
deja de asumir el riesgo de mercado y obtiene como beneficio la prima (siempre y
cuando su coste de gas se mantenga correlado a la fórmula que rige el precio de
ejercicio). A cambio, el agente que asume el riesgo de mercado obtiene un beneficio si
el precio de mercado es mayor que el strike más la prima negociada.
Asimismo, se ha considerado una restricción adicional de un número mínimo de
periodos de funcionamiento (ver apartado 4.4.5): se han comparado los resultados que
arroja el modelo para una restricción de mínimo de funcionamiento de 6 horas frente a
una restricción de un mínimo de funcionamiento de 108 horas (4 días y medio).
Cabe esperar que la valoración sea mayor o igual en unidades monetarias para el
caso de 6 horas mínimas de funcionamiento, por tratarse de una condición menos
restrictiva que el funcionamiento mínimo de 108 horas. En el caso de las 6 horas
mínimas, la explotación de la central se realizará en los periodos que “interese”, es
decir, mayoritariamente serán horas de spreads positivos (y algunas pocas horas
tendrán spreads negativos, aunque el margen bruto resultante de cada periodo será
positivo). Sin embargo, en el caso de las 108 horas mínimas de funcionamiento, la
planta de cogeneración funcionará (generalmente) de lunes a viernes, dado que son
días de precios medios mayores que los fines de semana (siempre y cuando el margen
bruto total sea positivo, aunque bajo en comparación con los márgenes brutos del
funcionamiento con una restricción de 6 horas mínimas), y no arrancará
(generalmente) los fines de semana.
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 103
En la siguiente figura se muestran los resultados obtenidos para ambos casos. Se
observa que el valor total para un funcionamiento mínimo de 6 horas es mayor que el
valor total para un funcionamiento mínimo de 108 horas:
Valor total frente a valor intrínseco
0
50
100
150
200
250
300
350
400
jun-1
0
ago-1
0
oct-1
0
dic-1
0
feb-1
1
abr-1
1
jun-1
1
ago-1
1
oct -1
1
dic-11
feb-1
2
abr-1
2
jun-1
2
ago-1
2
oct -1
2
dic -12
k€
k€ (6 h) k€ (6h) intrínsecok€ (108 h) k€ (108 h) intrínseco
Figura 43. Valor total frente a valor intrínseco en la valoración de la inversión en una planta de cogeneración sujeta a
distintas restricciones de horas mínimas de funcionamiento
En la figura se ha graficado el valor total en línea continua y el valor intrínseco en
línea a trazos, para las dos restricciones de horas mínimas de funcionamiento. Se
observa que la curva continua se aleja más de la curva a trazos en el caso de 108 horas
mínimas de funcionamiento, es decir, el valor temporal es mayor en el caso de una
explotación sujeta a una restricción de 108 horas mínimas de funcionamiento que en el
caso de una restricción de 6 horas mínimas de funcionamiento.
La razón es la siguiente: recordemos que, tal y como se ha comentado en el apartado
3.2, una inversión se asemeja a una opción call. En este tolling existe una opción call
para cada hora, donde el strike representaría un precio igual al coste de la inversión, es
decir, a la suma del coste variable y de los costes de arranque y de parada de la hora en
cuestión. En el caso de la restricción de 6 horas de funcionamiento mínimo, dada la
mayor flexibilidad de la restricción, la planta de cogeneración funcionará generalmente
en horas en las que el precio del mercado sea bastante mayor que el strike (estará
bastante In-The-Money), mientras que en el caso de 108 horas de funcionamiento
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 104
mínimo funcionará en horas de precio medio más cercano al strike (estará bastante At-
The-Money).
En la siguiente figura se muestra en un óvalo verde la zona de precios medios de las
horas en las que la planta de cogeneración funciona para el caso de 108 horas mínimas
de funcionamiento, y en un óvalo azul la zona de precios medios de las horas en las
que la planta de cogeneración funciona para el caso de 6 horas mínimas de
funcionamiento. Se observa que los valores temporales de la zona del óvalo verde (108
horas mínimas de funcionamiento) son mayores que los valores temporales de la zona
del óvalo azul (6 horas mínimas de funcionamiento):
Figura 44. Zonas At-The-Money e In-The-Money donde funciona una central sujeta a diferentes restricciones de
horas mínimas de funcionamiento
Cabe destacar que el óvalo verde abarca zonas en las que el valor del subyacente
(esto es, el precio del mercado) está por debajo del strike. Es decir, el abanico de precios
proyectados a futuro revierte a la esperanza observada en el día en el que se realiza la
inversión, pero en una simulación en concreto los precios pueden haber resultado
mayores que la esperanza de todas las simulaciones. En este caso, la planta de
cogeneración funciona en horas donde el valor intrínseco es cero, ya que el valor del
subyacente (la esperanza) está por debajo del strike, habiendo sólo valor temporal.
Por último, cabe mencionar que la opción de compra de energía de la planta de
cogeneración con una restricción de 108 horas mínimas de funcionamiento no tiene por
5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 105
qué suponer una mayor generación de energía que el caso de la opción bajo restricción
de 6 horas mínimas de funcionamiento, aunque pueda no resultar intuitivo. Esto se
debe a que el caso de 108 horas mínimas de funcionamiento implica que se funcione
entre semana siempre y cuando la opción no esté muy Out-of-the-Money. En caso
contrario, la mejor opción sería no arrancar en toda la semana, mientras que el
funcionamiento bajo restricción de 6 horas mínimas, por ser más flexible (lo cual no
significa que tenga mayor valor temporal), daría lugar a un funcionamiento de la
planta de cogeneración en los periodos de horas pico. Esta idea se muestra en la
siguiente figura:
Producción mensual
0
5
10
15
20
25
jun-1
0
ago-
10
oct-1
0
dic-1
0
feb-1
1
abr-1
1
jun-1
1
ago-
11
oct-1
1
dic-1
1
feb-1
2
abr-1
2
jun-1
2
ago-
12
oct-1
2
dic-1
2
GW
h
6h 108 h
Figura 45. Producción mensual de una planta de cogeneración bajo distintas restricciones de horas mínimas de
funcionamiento
6 Conclusiones 107
6 Conclusiones
6.1 Introducción
Esta Tesis ha pretendido aunar no sólo conceptos y materias tratados a lo largo del
Máster del Sector Eléctrico de ICAI, sino también aspectos que resulten de aplicación
práctica en Iberdrola. Esta aplicación tenía que ser lo más novedosa posible, para que
el esfuerzo realizado pudiera aportar, en último término, algún valor añadido. La
herramienta de valoración de la inversión en una central eléctrica basada en el método
de las opciones reales es novedosa en tanto en cuanto a que aúna dos modelos
ampliamente conocidos en la literatura y validados en numerosos estudios de
valoración de inversiones: el modelo unit commitment, que optimiza la explotación de
una central eléctrica, y el modelo de reversión a la media, que proyecta a futuro
cotizaciones de productos eléctricos de mercados a plazo.
Los campos de aplicación de herramientas como la realizada en la presente Tesis
son típicamente el desarrollo y la estrategia de nuevos negocios (como puede ser la
inversión en nueva capacidad de generación, o los contratos de alquiler físico o
financiero de plantas existentes). Para este tipo de estudios (y como primera
aproximación), el modelo de flujos de caja descontados es ciertamente potente, ya que
de una manera rápida y sencilla permite dar unos valores de referencia y órdenes de
magnitud de la rentabilidad esperada y/o viabilidad de un proyecto, siendo
conveniente dotarlos de los estudios de riesgos asociados correspondientes.
Los modelos de valoración de opciones reales son notablemente más complejos que
los anteriores, ya que en lugar de reflejar una función “inyectiva” (a cada conjunto de
hipótesis le corresponde un único resultado-margen-rentabilidad) generan
distribuciones de soluciones probabilísticas que incorporan explícitamente una
cuantificación del riesgo (qué forma/desviación tienen los márgenes obtenibles en los
distintos escenarios plausibles). Además, la respuesta de los modelos de este tipo ante
una perturbación (ocurrencia de un suceso con impacto relevante en la rentabilidad del
proyecto) es notablemente más dinámica que en el caso de flujos de caja descontados
(de un resultado se pasa a otro), ya que muestra la deformación de la curva de
6 Conclusiones 108
resultados, o lo que es lo mismo, la sensibilidad del proyecto en términos de riesgo
ante la ocurrencia de un evento determinado.
Como ejemplo de aplicación práctica, en la presente Tesis se ha probado la validez
del modelo sobre un hipotético caso real: la decisión de una empresa eléctrica acerca de
la inversión en nueva capacidad (central de ciclo combinado, central de carbón y/o
central de carbón con CCS) en el mercado alemán, así como la valoración de un
contrato de alquiler (tolling) de una central de cogeneración.
Es obvio que en un caso de valoración real, el análisis cualitativo/fundamental es
absolutamente imprescindible (análisis de márgenes de reserva, planes de inversión
declarados por las empresas, voluntad de inversión de la Administración, riesgos
particulares asociados al proyecto [tecnológico, país, etc.]) y complementa al análisis
cuantitativo. Sin embargo, el objeto de esta Tesis no es elaborar un plan de negocio
detallado ni un análisis de riesgos exhaustivo, sino proporcionar la parte numérico-
cuantitativa del análisis (que ya internaliza una parte notable del riesgo de mercado a
través de las volatilidades y correlaciones introducidas en el modelo).
En definitiva, las empresas son canales de inversión que cuentan con una
determinada marca, un personal específico y un know-how. Serán capaces de atraer
capital en la medida en que inspiren la confianza necesaria (basada en su propia
posición) entre los entes con capacidad de financiación (accionistas, particulares,
bancos y otras entidades financieras). La comunicación entre empresa y “capital” es
clave, tanto en lo que concierne a presentaciones de resultados, balances y situación
financiera como a planes de futuro (planes estratégicos o proyecciones financieras).
Esta Tesis ha permitido desarrollar una herramienta útil en la elaboración de planes de
negocio, aportando valor al diseño de nuevas inversiones respecto de métodos más
sencillos y tradicionales, sin que éstos dejen de ser válidos, dada su amplia aceptación
y rango de utilización.
6.2 Resultados de la valoración de la inversión en nueva capacidad
En relación a la inversión en nueva capacidad en el mercado alemán, los tres
análisis que se han realizado son los siguientes:
6 Conclusiones 109
� Inversión en un nuevo ciclo combinado de 400 MW suministrado con
gas indexado a TTF (precio medio del gas en frontera de Alemania).
� Inversión en una nueva central de carbón de 500 MW suministrada con
carbón importado indexado a API2 (precio del carbón en puerto ARA
[Ámsterdam Rótterdam Amberes])
� Inversión en una nueva central de carbón de 500 MW suministrada con
carbón nacional (por ejemplo, lignito extraído a cielo abierto en las
proximidades de la central), dotado de una planta de captura y
almacenamiento de CO2.
Se han ejecutado 1000 simulaciones de cada caso. En la siguiente tabla se resumen
los resultados obtenidos para cada uno de los tres casos analizados:
Medida Ciclo combinado Central de carbón importado Central de carbón
nacional con CCS
VAN promedio (M€) 161,99 6,83 -129,73
VAN percentil 5% (M€) 136,29 -48,70 -255,71
Desviación típica de la
distribución de VAN (M€)
16,98 33,54 27,07
TIR % (valor total) 11,25 6,08 5,25
TIR % (valor intrínseco) 10,70 5,21 4,84
Factor de carga (%) 54 61 82
Tabla 4. Resultados de un hipotético caso real de inversión en nueva capacidad en el mercado alemán
� Nota: se ha considerado un WACC del 6% y unos costes fijos para el ciclo combinado,
la central de carbón y la central de carbón con CCS de 1018 $/kW, 1915 $/kW y 3336
$/kW, respectivamente (costes fijos obtenidos de la referencia bibliográfica PROJ10,
pág.103).
En relación a los resultados obtenidos hay que tener en cuenta los siguientes
aspectos:
6 Conclusiones 110
1. Los spreads correspondientes al período utilizado para construir la reversión
a la media y los autorregresivos (junio 2008 – abril 2010) fueron
especialmente elevados en Alemania, en particular en el caso del clean spark
spread.
2. El análisis puramente cuantitativo es bastante optimista (poco conservador)
con la viabilidad de nuevos ciclos combinados (TIR del 11,25%). De cara a
un plan de negocio real debería también considerarse un análisis
fundamental basado en otros efectos relevantes, como puede ser la
competitividad relativa entre gas y carbón (podría estar más a favor del
carbón que en el período histórico de partida), o el desarrollo de tecnologías
renovables en Alemania (el régimen feed-in tariff podría seguir fomentando
la instalación masiva de potencia renovable, reduciendo consecuentemente
los spreads).
3. Los parámetros de coste de combustible indexado al API2, de coste de
operación y mantenimiento y de coste logístico utilizados en el caso de
carbón importado varían en un rango bastante amplio según la localización,
ya que las centrales que queman carbón importado en Alemania se
encuentran (generalmente) en la costa, por lo que tienen un bajo coste
logístico e importan típicamente carbón ruso, con un descuento frente al
API2. Por tanto, cabe esperar que la central de carbón importado “media”
en Alemania tuviese una TIR superior al 6,08%.
4. En el caso de carbón nacional con CCS se ha considerado un bajo coste
logístico y de combustible (aparte de no internalizarse el coste de CO2).
Cabe destacar que el peso del carbón importado en Alemania es bajo en
relación al carbón nacional empleado en su parque de generación térmico
(un 80% del carbón proviene de lignitos y hard coal nacional, siendo el 20%
restante proveniente de importaciones). El coste de combustible de una
central de carbón nacional y/o mixta puede ser hasta un 20% inferior al de
una central de carbón importado (centrales en boca de mina a cielo abierto).
Por tanto, los márgenes netos resultantes han sido bastante altos para el
elevado coste fijo que lleva asociado (TIR del 5,25%).
6 Conclusiones 111
Aunque la información de partida ha sido limitada, dado que el histórico disponible
comparable a la situación futura de competitividad relativa ciclo combinado – central
de carbón se corresponde con la fase II de EU-ETS, los resultados del modelo han sido
satisfactorios:
Se ha partido de correlaciones históricas de un 92% entre el coste del ciclo
combinado y el precio eléctrico, y correlaciones de un 75% entre el coste de una central
de carbón y el precio eléctrico. Por tanto, este último sería a priori el caso con más
riesgo, por ser el menos correlado de los dos (el riesgo podría interpretarse como la
volatilidad de los spreads, es decir, cuanto más correlado esté un coste con el precio
eléctrico, menos dispersión habrá en la distribución del margen neto del proyecto y,
por tanto, menor será el riesgo).
En cuanto a la rentabilidad, que está asociada tanto a la esperanza de los spreads
como a la recuperación de los costes fijos, cabe destacar que en el histórico considerado
el coste de los ciclos combinados presentó una situación muy In-The-Money, en
ocasiones más aún que el de una central de carbón importado, cuyos costes fijos son
típicamente superiores. Esto se debió a una serie de factores históricos: índice TTF más
estable y moderado que la subida del precio de carbón internacional durante la
escalada de commodities de 2008, precios eléctricos excepcionalmente elevados antes de
la crisis financiera, o exceso de gas como consecuencia de la caída libre de commodities
(que ha penalizado su valor frente a otros productos energéticos). Esto ha propiciado
unos resultados “generosos” para el ciclo combinado frente al carbón importado
(menos dispersión de márgenes y rentabilidades notablemente superiores).
En otras palabras: tanto la central de carbón importado como la central de carbón
nacional con CCS, cuyos costes fijos son mayores que los de un ciclo combinado, han
arrojado mayores spreads (márgenes brutos), lo cual tienen sentido económico desde el
punto de vista de la amortización de su inversión, ya que en caso contrario (mayor
coste fijo y menor spread) la central se quedaría automáticamente fuera del mercado
(como ha ocurrido con las centrales de fuel tras la aparición del ciclo combinado). No
obstante, al considerar el coste fijo en el flujo de caja, el modelo inclina la balanza
claramente a favor del ciclo combinado como nueva inversión de capacidad en
Alemania (el retorno del carbón importado apenas supera en algunas décimas el
WACC considerado del 6%). En cuanto al carbón nacional dotado de CCS, el retorno ha
6 Conclusiones 112
resultado aceptable (TIR del 5,25%) a pesar del elevado coste de inversión, ya que ha
funcionado muchas horas (82% de factor de carga) con mayores spreads asociados
(debido al bajo coste del carbón nacional y a no considerarse el coste de emisiones de
CO2 en el coste variable). La inversión resultaría viable siempre y cuando se recibiese
cierto apoyo regulatorio.
En vista de los resultados, cabe reflexionar acerca de la relación existente entre la
rentabilidad de una inversión y el riesgo que lleva asociado la misma. Intuitivamente,
se espera obtener una relación directa entre riesgo y rentabilidad a la hora de valorar
distintos tipos de inversiones. Por tanto, resulta interesante analizar los resultados
obtenidos, que en cierta medida han sido antiintuitivos (la inversión más riesgosa
[carbón] es a su vez la menos rentable), pero que permiten ponderar las limitaciones
del modelo (fundamentalmente de los datos de partida), así como el valor añadido que
supone el concepto de opcionalidad aplicado al caso de estudio.
Es decir, el objeto fundamental de este hipotético caso real no ha sido tanto obtener
una decisión de inversión en nueva capacidad, sino más bien comprobar la validez de
la herramienta ante un determinado caso de estudio y reflexionar acerca de ciertos
aspectos:
� Al comparar la TIR calculada para el valor total con respecto de la TIR
calculada para el valor intrínseco, se observa que el valor temporal es mayor
en una inversión At-The-Money (caso de la central de carbón importado) que
en una inversión In-The-Money (caso del ciclo combinado).
� Cuanto menor sea la correlación de los costes variables de la central con
respecto al precio eléctrico, mayor resulta la dispersión de la distribución de
probabilidad de los márgenes brutos obtenidos por la central (las centrales
de carbón tiene mayor dispersión en sus resultados como consecuencia de
partir de unos costes menos correlados con los precios eléctricos).
� El factor de carga es menor en el caso de una central con menores costes de
arranque y de parada (el factor de carga del ciclo combinado es un 7%
menor que el de la central de carbón importado, en parte debido a que los
costes de arranque y de parada de aquél son de 14000 € mientras que los de
éste son de 16000 €).
6 Conclusiones 113
6.3 Resultados de la valoración de un contrato de alquiler (tolling)
La valoración de un contrato de alquiler (tolling) sobre una planta de cogeneración
se ha realizado considerando una potencia instalada de 40 MW, un coste de arranque
de 1200 € y un coste de parada nulo.
A diferencia de la inversión en nueva capacidad, en este caso se trata de valorar un
contrato en el que se recibe el precio que cobra en el mercado una planta de
cogeneración, a cambio de pagar al dueño de la misma un strike que consiste en una
fórmula indexada a las cotizaciones del gas TTF, del carbón API2 y de los derechos de
emisión EUAs. Adicionalmente, se paga una prima que se negocia antes de firmar el
contrato. El negocio consiste en que el dueño de la planta deja de asumir el riesgo de
mercado y obtiene como beneficio la prima (siempre y cuando su coste de gas se
mantenga correlado a la fórmula que rige el precio de ejercicio). A cambio, el agente
que asume el riesgo de mercado obtiene un beneficio si el precio de mercado es mayor
que el strike más la prima negociada.
La ventaja de un tolling radica en el menor apalancamiento que supone no tener que
hacer una gran inversión y la consiguiente deuda asociada, y en lo flexible que puede
ser el contrato. De hecho, no es necesario que la planta de cogeneración exista como tal.
Puede darse el caso de que se disponga de varias cogeneradoras, y que se modelen
todas ellas en una central ficticia de una potencia instalada igual a la suma de las
potencias instaladas de las cogeneradoras reales, siendo el strike una fórmula que cubre
el coste variable de todas las centrales.
Otro aspecto relacionado con la flexibilidad del contrato está asociado con las
restricciones adicionales que se pueden imponer. En el caso estudiado, se ha
considerado una restricción adicional de un número mínimo de periodos de
funcionamiento, de tal modo que se han comparado los resultados que arroja el
modelo para una restricción de mínimo de funcionamiento de 6 horas frente a una
restricción de un mínimo de funcionamiento de 108 horas (4 días y medio).
El modelo ha arrojado, tal y como cabía esperar, mayores beneficios para el
funcionamiento de 6 horas mínimos que para el de 108 horas, por ser éste un caso más
restrictivo. Sin embargo, el valor temporal es mayor en el caso de las 108 horas
6 Conclusiones 114
mínimas de funcionamiento, por tratarse de una opción At-The-Money con periodos en
los que incluso el valor intrínseco es nulo (de agosto de 2011 a diciembre de 2012).
Por último, cabe mencionar que la opción de compra de energía de la planta de
cogeneración con una restricción de 108 horas mínimas de funcionamiento no ha
resultado, para algunos meses, en una mayor generación de energía que el caso de la
opción bajo restricción de 6 horas mínimas de funcionamiento. Esto se debe a que el
caso de 108 horas (4 días y medio) mínimas de funcionamiento implica que se
funcione entre semana (puesto que los fines de semana los precios son generalmente
más bajos), siempre y cuando la opción no esté muy Out-of-the-Money. En caso
contrario, la mejor opción sería no arrancar en toda la semana, como ha sucedido en
ciertos periodos. Sin embargo, con el funcionamiento bajo restricción de 6 horas
mínimas, por ser más flexible (lo cual no significa que tenga mayor valor temporal), ha
resultado en una mayor generación de energía para ciertos meses del alcance temporal
de la opción.
7 Links y bibliografía
116
7 Links y bibliografía
� Nota: este proyecto contiene muchos conocimientos adquiridos del
equipo de Análisis de Mercados de Gestión de la Energía (Iberdrola) y,
concretamente, de mis directores Ángel Garro y Mariano Ventosa. Se trata
lógicamente de conocimientos que no se pueden plasmar como referencia
bibliográfica en este apartado.
[ELEC02] Electricity prices and power derivatives. E. Schwartz, J. Lucia. Kluwer
Academic Publishers. Edición de 2002.
[NONL03] Nonlinear Time Series Nonparametric and Parametric Methods.
Jianquing Fan, Qiwei Yao. Springer. Edición de 2003.
[TIME94] Time Series Analysis. James D. Hamilton. Princeton. Edición de 1994.
[ELME00] El método binomial de valoración de opciones. Juan Mascareñas.
Universidad Complutense de Madrid. Edición de octubre de 2000.
[INVE07] Investment risks under uncertain climate change policy. William Blyth,
Richard Bradley, Derek Bunn, Charlie Clarke, Tom Wilson, Ming Yang.
Energy Policy 35 (2007) 5766-5773.
[FLEX07] Flexibility and technology choice in gas fired power plant investments.
Erkka Nasakkla, Stein-Erik Fleten. Edición de 2005.
[OPCI00] Opciones reales en la valoración de proyectos de inversión. Juan
Mascareñas. Universidad Complutense de Madrid. Edición de julio de
2007.
[VALO00] Valoración de las opciones reales. William Bailey, Ashlish Bhandari,
Soussan Faiz, Sundaram Srinivasan, Helen Weeds. Oilfield Review.
Edición de 2000.
[PROJ10] Projected costs of generating electricity. International Energy Agency,
Nuclear Energy Agency. Edición de 2010.
8 Agradecimientos
118
8 Agradecimientos
En primer lugar, gracias a mis directores de proyecto: Ángel Garro y Mariano
Ventosa. Al primero, gracias por todo el apoyo y la ayuda brindados no sólo durante la
realización de la Tesis, sino también durante los casi dos años que llevo en Iberdrola. Y
al segundo, gracias por todo el apoyo y la ayuda durante toda la carrera, y
posteriormente durante el desarrollo de este Máster.
Gracias también a Iberdrola, a todo el equipo de Gestión de la Energía y, en
concreto, al departamento de Análisis de Mercados, por haberme prestado tanta ayuda
en todo momento.
Gracias también a todo el profesorado del Máster del Sector Eléctrico. Gracias por
haber influido tan positivamente en mi ámbito académico no sólo durante este año,
sino también durante los cinco años de la carrera.
Gracias también a todos los alumnos del Máster del Sector Eléctrico. Gracias por
haber sido tan buenos compañeros y amigos durante este año, y por haberme ayudado
siempre que lo he necesitado.
Gracias, en último lugar, pero no por ello menos importante, a todos los que me
rodeáis desde hace mucho tiempo: amigos, padres y demás familiares.
A Corregir a la esperanza las simulaciones de productos futuros 121
A Corregir a la esperanza las simulaciones de productos futuros
A.1 Reversión a la media de los productos M+i
A Corregir a la esp
eranza las simulaciones d
e productos fu
turos 122
A.2
Reversión
a la media d
e los productos Q
+i
A fecha de abril de 2010, se observan los futuros d e los siguientes productos futuros:
Q+1 Q+1 Q+1 Q+2 Q+2 Q+2 Q+3 Q+3 Q+3 Q+4 Q+4 Q+4 Q+5 Q+5 Q+5 Q+6 Q+6 Q+640.09 40.09 40.09 46.53 46.53 46.53 49.60 49.60 49.60 43.00 43.00 43.00 45.95 45.95 45.95 48.05 48.05 48.05
Las simulaciones de los futuros Q+i para los siguie ntes meses han de revertir a las siguientes esperan zas:Q+1 abr-10 may-10 jun-10 jul-10 ago-10 sep-10 oct-10 nov-10 dic-10 ene-11 feb-11 mar-11
Q+1 Q+1 Q+1 Q+2 Q+2 Q+2 Q+3 Q+3 Q+3 Q+4 Q+4 Q+4 Q+5 Q+5 Q+5 Q+6 Q+6 Q+640.09 40.09 40.09 46.53 46.53 46.53 49.60 49.60 49.60 43.00 43.00 43.00 45.95 45.95 45.95 48.05 48.05 48.05
Q+2 abr-10 may-10 jun-10 jul-10 ago-10 sep-10 oct-10 nov-10 dic-10 ene-11 feb-11 mar-11Q+1 Q+1 Q+1 Q+2 Q+2 Q+2 Q+3 Q+3 Q+3 Q+4 Q+4 Q+4 Q+5 Q+5 Q+5 Q+6 Q+6 Q+6
40.09 40.09 40.09 46.53 46.53 46.53 49.60 49.60 49.60 43.00 43.00 43.00 45.95 45.95 45.95 48.05 48.05 48.05
Q+3 abr-10 may-10 jun-10 jul-10 ago-10 sep-10 oct-10 nov-10 dic-10 ene-11 feb-11 mar-11Q+1 Q+1 Q+1 Q+2 Q+2 Q+2 Q+3 Q+3 Q+3 Q+4 Q+4 Q+4 Q+5 Q+5 Q+5 Q+6 Q+6 Q+6
40.09 40.09 40.09 46.53 46.53 46.53 49.60 49.60 49.60 43.00 43.00 43.00 45.95 45.95 45.95 48.05 48.05 48.05
B Códigos de VBA para exportar e
importar ficheros de texto con los
datos de entrada y de salida del
modelo de optimización
B Códigos de VBA para exportar e importar ficheros de texto con los datos de entrada y de salida del modelo de optimización 124
B Códigos de VBA para exportar e importar ficheros de texto con
los datos de entrada y de salida del modelo de optimización
B.1 Código de VBA para exportar ficheros de texto con los datos de entrada del
modelo de optimización GAMS
Sub ExportaTxt() Dim vMatrizResumen As Variant Dim sFicheroTXT, sNombreFicheroTxt As String Dim iNCol As Integer Dim sHojaInputs As String Dim iFilaScalars, iColScalars, iFilaSets, iColSets, iFilaParameters, iColParameters As Integer sHojaInputs = "InputsReducido" iFilaScalars = 9 iColScalars = 3 iFilaSets = 9 iColSets = 6 iFilaParameters = 9 iColParameters = 10 'Sets iNCol = 0 vMatrizResumen = CargaInputs(sHojaInputs, iFilaSets , iColSets, iNCol) sFicheroTXT = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu"). [RutaFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtSets]) Call EscribirFicheroTxt(sFicheroTXT, vMatrizResumen ) 'Scalars iNCol = 0 vMatrizResumen = CargaInputs(sHojaInputs, iFilaScal ars, iColScalars, iNCol) sFicheroTXT = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu"). [RutaFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtScalars]) Call EscribirFicheroTxt(sFicheroTXT, vMatrizResumen ) 'Parameters iNCol = 1 vMatrizResumen = CargaInputs(sHojaInputs, iFilaPara meters, iColParameters, iNCol) sFicheroTXT = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu"). [RutaFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtParameters]) Call EscribirFicheroTxt(sFicheroTXT, vMatrizResumen ) ThisWorkbook.Worksheets("InputsReducido").Activate Cells(1, 1).Select
B Códigos de VBA para exportar e importar ficheros de texto con los datos de entrada y de salida del modelo de optimización 125
End Sub Public Function CargaInputs(ByVal sHInputs As String, ByVal iFIni As Integer, ByVal iCIni As Integer, ByVal NCol As Integer) Dim cont02, cont03 As Integer Dim iFFin As Integer Dim vAuxiliarPrecios As Variant Dim vMatrizPrecios As Variant cont02 = 0 Do While Not ThisWorkbook.Worksheets(sHInputs).Cell s(iFIni, iCIni + cont02).Value = "" ThisWorkbook.Worksheets(sHInputs).Activate Cells(iFIni, iCIni + cont02).Select cont03 = 0 Do While Not Cells(iFIni, iCIni + cont02).Offse t(cont03, 0) = "" cont03 = cont03 + 1 Loop iFFin = iFIni + cont03 - 1 With ThisWorkbook.Worksheets(sHInputs)
vAuxiliarPrecios = .Range(.Cells(iFIni, iCIni + co nt02), .Cells(iFFin, iCIni + cont02 + NCol)).Value2
End With If cont02 = 0 Then vMatrizPrecios = vAuxiliarPrecios Else
vMatrizPrecios = m_pega(vMatrizPrecios, vAuxiliarP recios, True) End If cont02 = cont02 + 1 + NCol Loop CargaInputs = vMatrizPrecios End Function Public Function EscribirFicheroTxt(ByVal sFichero As String, ByVal vMatriz As Variant) Dim iFil, iCol As Variant Dim cont01, cont02 As Integer Dim strAuxLinea As String iFil = UBound(vMatriz, 1) iCol = UBound(vMatriz, 2) Open sFichero For Output As #1 For cont01 = 1 To iFil strAuxLinea = vbNullString For cont02 = 1 To iCol If cont02 = 2 Then
strAuxLinea = strAuxLinea & " " & CStr(vMatriz(con t01, cont02)) Else strAuxLinea = strAuxLinea & CStr(vMatriz(co nt01, cont02)) End If Next If (vMatriz(cont01, 1) = 0) Or IsEmpty(vMatriz( cont01, 1)) Then Else Print #1, strAuxLinea End If Next Close #1 End Function
B Códigos de VBA para exportar e importar ficheros de texto con los datos de entrada y de salida del modelo de optimización 126
B.2 Código de VBA para importar ficheros de texto con los datos de salida del
modelo de optimización GAMS
Sub LeeGAMS() Dim Contenido As String Dim GAMS() As String Dim Potencia(), Arranque(), Parada() As Variant Dim aux As Variant Dim sFichero As String Dim f As TextStream '.dll MicrosoftScripting Runtime(Herramientas-Ref) Dim fso As New FileSystemObject Dim sHojaOuputs, sHojaInputs As String Dim iNFilas, iNCol, iNFilasMax, iNColMax, cont01, c ont02 As Integer Dim iFilaPotencia, iColPotencia, iFilaArranque, iCo lArranque, iFilaParada, iColParada As Integer sHojaInputs = "InputsReducido" sHojaOutputs = "Outputs" iFilaPotencia = 5 iColPotencia = 5 iFilaArranque = 5 iColArranque = 8 iFilaParada = 5 iColParada = 11 With ThisWorkbook With .Worksheets(sHojaInputs) iNFilas = .Cells(6, 6).Value End With End With iNCol = 1 iNFilasMax = 60000 iNColMax = 1 'Potencia sFichero = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[Ru taFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtGAMS]) Set f = fso.OpenTextFile(sFichero, ForReading) Contenido = f.ReadAll GAMS = Split(Contenido, vbCrLf) cont01 = 1 cont02 = 1 ReDim Potencia(1 To iNFilas, 1 To iNCol) As Variant For Each aux In GAMS If cont02 > iNCol Then cont01 = cont01 + 1 cont02 = 1 End If If cont01 <= iNFilas Then Potencia(cont01, cont02) = aux End If cont02 = cont02 + 1 Next With ThisWorkbook.Worksheets(sHojaOutputs)
.Range(.Cells(iFilaPotencia, iColPotencia), .Cells( iNFilasMax, iColPotencia + iNColMax - 1)).ClearContents
B Códigos de VBA para exportar e importar ficheros de texto con los datos de entrada y de salida del modelo de optimización 127
.Range(.Cells(iFilaPotencia, iColPotencia), .Cells( iFilaPotencia + iNFilas - 1, iColPotencia + iNCol - 1)).Value2 = Potencia
End With 'Arranque sFichero = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[Ru taFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtStartGAMS]) Set f = fso.OpenTextFile(sFichero, ForReading) Contenido = f.ReadAll GAMS = Split(Contenido, vbCrLf) cont01 = 1 cont02 = 1 ReDim Arranque(1 To iNFilas, 1 To iNCol) As Variant For Each aux In GAMS If cont02 > iNCol Then cont01 = cont01 + 1 cont02 = 1 End If If cont01 <= iNFilas Then Arranque(cont01, cont02) = aux End If cont02 = cont02 + 1 Next With ThisWorkbook.Worksheets(sHojaOutputs)
.Range(.Cells(iFilaArranque, iColArranque), .Cells( iNFilasMax, iColArranque + iNColMax - 1)).ClearContents .Range(.Cells(iFilaArranque, iColArranque), .Cells( iFilaArranque + iNFilas - 1, iColArranque + iNCol - 1)).Value2 = Arranque
End With 'Parada sFichero = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[Ru taFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtShutGAMS]) Set f = fso.OpenTextFile(sFichero, ForReading) Contenido = f.ReadAll GAMS = Split(Contenido, vbCrLf) cont01 = 1 cont02 = 1 ReDim Parada(1 To iNFilas, 1 To iNCol) As Variant For Each aux In GAMS If cont02 > iNCol Then cont01 = cont01 + 1 cont02 = 1 End If If cont01 <= iNFilas Then Parada(cont01, cont02) = aux End If cont02 = cont02 + 1 Next With ThisWorkbook.Worksheets(sHojaOutputs)
.Range(.Cells(iFilaParada, iColParada), .Cells(iNFi lasMax, iColParada + iNColMax - 1)).ClearContents
.Range(.Cells(iFilaParada, iColParada), .Cells(iFil aParada + iNFilas - 1, iColParada + iNCol - 1)).Value2 = Para da
End With
End Sub
C Códigos de MATLAB para
seleccionar el orden del modelo
autorregresivo que más se ajusta
a las series temporales y para
realizar contrastes de normalidad
de los residuos del modelo
C Códigos de MATLAB para seleccionar el orden del modelo autorregresivo que más se ajusta a las series temporales y para
realizar contrastes de normalidad de los residuos del modelo 129
C Códigos de MATLAB para seleccionar el orden del modelo
autorregresivo que más se ajusta a las series temporales y para
realizar contrastes de normalidad de los residuos del modelo
C.1 Código de MATLAB para calcular las funciones de autocorrelación simple y
parcial de las series temporales
%Autor: Juan Palomares
%Box-Jenkins
function ACFyPACF()
%Inicializar
close all
clear all
clc
%Matriz con unitarios diarios
load UnitariosDiarios
%Dimensiones
NProductos = size(UnitariosDiarios,2);
NUnitariosDiarios = size(UnitariosDiarios,1);
for Cont01 = 1 : NProductos
Vector(1:NUnitariosDiarios,1) = UnitariosDiarios(1:NUnitariosDiarios,Cont01);
%ACF
figure
autocorr(Vector)
%Guardar ACF
NbArchivo = strcat(num2str(Cont01),'_F5');
saveas(gcf,NbArchivo,'jpeg');
%PACF
figure
parcorr(Vector)
%Guardar PACF
NbArchivo = strcat(num2str(Cont01),'_F5');
saveas(gcf,NbArchivo,'jpeg');
end
return
C Códigos de MATLAB para seleccionar el orden del modelo autorregresivo que más se ajusta a las series temporales y para
realizar contrastes de normalidad de los residuos del modelo 130
C.2 Código de MATLAB para evaluar la complejidad frente a la precisión del
modelo autorregresivo
%Autor: Juan Palomares
%Desviación típica para distintos ordenes del AR
function DesvestAR()
%Inicializar
close all
clear all
clc
%Matriz con nombre unitarios diarios
load UnitariosDiarios
%Dimensiones
NProductos = size(UnitariosDiarios,2);
NUnitariosDiarios = size(UnitariosDiarios,1);
OrdenMaxAR = 11;
for Cont01 = 1 : NProductos
Vector(1:NUnitariosDiarios,1) = UnitariosDiarios(1:NUnitariosDiarios,Cont01);
x=[];
for Cont02 = 1 : OrdenMaxAR
%AR
[A,E] = armcov(Vector,Cont02);
x=[x,sqrt(E)];
end
figure
plot(x,'o-')
%Guardar
NbArchivo = strcat(num2str(Cont01),'_F5');
saveas(gcf,NbArchivo,'jpeg');
end
return
C Códigos de MATLAB para seleccionar el orden del modelo autorregresivo que más se ajusta a las series temporales y para
realizar contrastes de normalidad de los residuos del modelo 131
C.3 Código de MATLAB para realizar contrastes de normalidad de Lilliefors sobre
los residuos del modelo autorregresivo
%Autor: Juan Palomares
%Contraste de normalidad de Lilliefors
function Lilliefors()
%Inicializar
close all
clear all
clc
%Matriz con residuos
load ResiduosDiarios
%Dimensiones
NProductos = size(ResiduosDiarios,2);
NResiduosDiarios = size(ResiduosDiarios,1);
for Cont01 = 1 : NProductos
Vector(1:NResiduosDiarios,1) = ResiduosDiarios(1:NResiduosDiarios,Cont01);
%Histograma
figure
hist(Vector);
NbArchivo = strcat(num2str(Cont01),'_F5');
saveas(gcf,NbArchivo,'jpeg');
%Constraste de normalidad de Lilliefors
Constraste=lillietest(Vector,0.01);
end
return
E Función de autocorrelación simple y parcial 135
E Función de autocorrelación simple y parcial
E.1 Patrones gráficos