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Solución Analítica M (x )/M /1
25 de julio de 2015
Nicolás Hernández R.Profesor: Reinaldo Vallejos
Procesos EstocásticosUniversidad Técnica Federico Santa María
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad TécnicaFederico Santa María
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Contenido
Introducción
Descripción de la FilaKendallGrafo
Solución Espacial RecurrenteEBGSolución
Solución Espacial AnalíticaPrimera AproximaciónGrafo de la Ecuación RecurrenteSolución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de las SolucionesImplementación ComputacionalResultadosTiempos de Ejecución
Referencias
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2Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
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Introducción
Motivación (G. Jensen 1977)
Considérese una industria de producción de planchas demadera.
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2Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
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Introducción
Motivación (G. Jensen 1977)
Considérese una industria de producción de planchas demadera.
Si una plancha posee más de L defectos es rechazada, delo contrario se envía a reparación.
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2Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
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Introducción
Motivación (G. Jensen 1977)
Considérese una industria de producción de planchas demadera.
Si una plancha posee más de L defectos es rechazada, delo contrario se envía a reparación.
Las plachas defectuosas arriban al centro de reparacióncon tasa λ. Con probabilidad αi , siendo 1 ≤ i ≤ L, unaplacha tiene i defectos.
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2Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
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Introducción
Motivación (G. Jensen 1977)
Considérese una industria de producción de planchas demadera.
Si una plancha posee más de L defectos es rechazada, delo contrario se envía a reparación.
Las plachas defectuosas arriban al centro de reparacióncon tasa λ. Con probabilidad αi , siendo 1 ≤ i ≤ L, unaplacha tiene i defectos.
Los defectos arriban en lotes, pero sólo pueden repararsede uno a la vez.
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Introducción
Descripción de la Fila
3Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
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Descripción de la FilaKendall
M (x )/M /1 Bulk Arrival
Tiempo entre arribos de lotes: exp (λ).
λi = λαi 1 ≤ i ≤ L0 e .o .c
(1)
αi : probabilidad de que el lote sea de i clientes.
Tiempo de servicio: exp (µ).
Servidores: 1. Capacidad sistema: ∞.
Tamaño Población: ∞.
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
4Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
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Descripción de la FilaGrafo
0 1 2 i L-1 L L+1. . . . . . . . .λα1
λα2 λαi λαL−1 λαL
λα1λαi −1 λαL−2 λαL−1 λαL
µ µ µ µ
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Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
5EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
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Solución Espacial RecurrenteEBG i + 1 ≤ L
0 1 2 i i + 1 L-1 L L+1. . . . . . . . .
λα1 λα2 λαi
λαi +1 λαL−1 λαL
λα1 λαi −1 λαi λαL−2 λαL−1 λαL
µ µ µ µ µ
µπi +1 = πh
Lk =i +1−h
λαk
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Descripción de la Fila
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Grafo
Solución EspacialRecurrente
5EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
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Solución Espacial RecurrenteEBG i + 1 ≤ L
0 1 2 i i + 1 L-1 L L+1. . . . . . . . .
λα1 λα2 λαi
λαi +1 λαL−1 λαL
λα1 λαi −1 λαi λαL−2 λαL−1 λαL
µ µ µ µ µ
µπi +1 = πh
Lk =i +1−h
λαk
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
5EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
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Solución Espacial RecurrenteEBG i + 1 ≤ L
0 1 2 i i + 1 L-1 L L+1. . . . . . . . .
λα1 λα2 λαi
λαi +1 λαL−1 λαL
λα1 λαi −1 λαi λαL−2 λαL−1 λαL
µ µ µ µ µ
µπi +1 =
i h =0
πh
Lk =i +1−h
λαk
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Introducción
Descripción de la Fila
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Grafo
Solución EspacialRecurrente
5EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
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Solución Espacial RecurrenteEBG i + 1 ≤ L
0 1 2 i i + 1 L-1 L L+1. . . . . . . . .
λα1 λα2 λαi
λαi +1 λαL−1 λαL
λα1 λαi −1 λαi λαL−2 λαL−1 λαL
µ µ µ µ µ
µπi +1 =
i h =0
πh
Lk =i +1−h
λαk
πi +1 = ρ
i h =0
πh Ai −h (2)
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Solución EspacialRecurrente
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Solución
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Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
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Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
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Solución Espacial RecurrenteEBG i + 1 > L
L-1 L L+1 i i+1. . . . . . . . .
λα1λα2 λαi +1−L
λαi +2−L
λα1 λαi −L λαi +1−L
µµ µ
µπi +1 = πh
Lk =i +1−h
λαk
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Solución
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Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
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Caso Particular L = 1
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Solución Espacial RecurrenteEBG i + 1 > L
L-1 L L+1 i i+1. . . . . . . . .
λα1λα2 λαi +1−L
λαi +2−L
λα1 λαi −L λαi +1−L
µµ µ
µπi +1 = πh
Lk =i +1−h
λαk
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Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
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Caso Particular L = 1
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Solución Espacial RecurrenteEBG i + 1 > L
L-1 L L+1 i i+1. . . . . . . . .
λα1λα2 λαi +1−L
λαi +2−L
λα1 λαi −L λαi +1−L
µµ µ
µπi +1 =
i h =i −L+1
πh
Lk =i +1−h
λαk
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Solución
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Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
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Solución Espacial RecurrenteEBG i + 1 > L
L-1 L L+1 i i+1. . . . . . . . .
λα1λα2 λαi +1−L
λαi +2−L
λα1 λαi −L λαi +1−L
µµ µ
µπi +1 =
i h =i −L+1
πh
Lk =i +1−h
λαk
πi +1 = ρi
h =i −L+1
πh Ai −h (3)
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Grafo
Solución EspacialRecurrente
7EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
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Solución Espacial Recurrenteπ0
Utilizando la Ley de Little, que relaciona la tasa media de
llegada de individuos λ, número medio de clientes en elservidor N s y el tiempo medio de servicio 1
µse calcula π0.
λ = N s
1µ
(4)
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Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
7EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
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Solución Espacial Recurrenteπ0
Utilizando la Ley de Little, que relaciona la tasa media de
llegada de individuos λ, número medio de clientes en elservidor N s y el tiempo medio de servicio 1
µse calcula π0.
λ = N s
1µ
(4)
Se sabe que
λ =
Lk =1
λαk k
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
7EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
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Valparaíso–Chile
Solución Espacial Recurrenteπ0
Utilizando la Ley de Little, que relaciona la tasa media de
llegada de individuos λ, número medio de clientes en elservidor N s y el tiempo medio de servicio 1
µse calcula π0.
λ = N s
1µ
(4)
Se sabe que
λ =
Lk =1
λαk k
y
N s = 0π0 + 1(1 − π0)
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
Nicolás Hernández R.
Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
7EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad TécnicaFederico Santa María
Valparaíso–Chile
Solución Espacial Recurrenteπ0
Utilizando la Ley de Little, que relaciona la tasa media de
llegada de individuos λ, número medio de clientes en elservidor N s y el tiempo medio de servicio 1
µse calcula π0.
λ = N s
1µ
(4)
Se sabe que
λ =
Lk =1
λαk k
y
N s = 0π0 + 1(1 − π0)
Reemplazando en la ecuación (4)
λL
k =1
αk k = (1 − π0)
1µ
S l ió E i l R
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
8EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
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Solución Espacial Recurrenteπ0
π0 = 1 − ρL (5)
donde L representa el número medio de clientes por lote, estoes
L = λL
k =1
αk k
S l ió E i l R
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
9Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
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Solución Espacial RecurrenteSolución
En general, la solución recurrente que permite calcular πi +1 es
πi +1 =
1 − ρL i + 1 = 0
ρi
h =0 πh Ai −h 1 ≤ i + 1 ≤ L
ρi
h =i −L+1 πh Ai −h i + 1 > L
(6)
donde
Ai −h =L
k =i −h +1
αk
S l ió E i l A líti
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Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
10Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
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Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación
Para guiar la búsqueda se calculan los primero πi +1
π0
π0 = 1 − ρL
S l ió E i l A líti
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Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
10Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa María
Valparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación
Para guiar la búsqueda se calculan los primero πi +1
π0
π0 = 1 − ρL
π1
π1 = ρ0
h =0
πh A(0 − h )
= ρπ0A0
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
11Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
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Valparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación
π2
π2 = ρ1
h =0
πh A(1 − h )
= ρπ0A1 + π1A0
= π0
ρ2A
2
0 + ρA1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
11Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa María
Valparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación
π2
π2 = ρ1
h =0
πh A(1 − h )
= ρπ0A1 + π1A0
= π0
ρ2A
2
0 + ρA1
π3
π3 = ρ2
h =0
πh A(2 − h )
= ρπ0A2 + π1A1 + π2A0
= π0 ρ3A
3
0 + 2ρ2A1A0 + ρA2
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBGSolución
Solución EspacialAnalítica
12Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa María
Valparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación
Parece cumplir la siguiente relación
πi +1 = π0 ρi +1Ai +1
0 + i ρi Ai
0A1 + (i − 1)ρi −1Ai −1
0 A2+
· · · + ρ0A0
0Ak −1
= π0
ρi +1A
i +1
0 +
i h =1
(i + 1 − h )ρi +1−h Ai −h
0 Ah
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Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBGSolución
Solución EspacialAnalítica
12Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
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Valparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación
Parece cumplir la siguiente relación
πi +1 = π0 ρi +1Ai +1
0 + i ρi Ai
0A1 + (i − 1)ρi −1Ai −1
0 A2+
· · · + ρ0A0
0Ak −1
= π0
ρi +1A
i +1
0 +
i h =1
(i + 1 − h )ρi +1−h Ai −h
0 Ah
Sin embargo desde π4 en adelante no cumple estarelación, se debe buscar un método fiable para establecerla solución analítica.
Solución Espacial Analítica
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24
Solución AnalíticaM (x ) /M /1
Nicolás Hernández R.
Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBGSolución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
13Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa María
Valparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaGrafo de la Ecuación Recurrente
0 1 2 3 L-1 L L+1. . . . . .
ρA1ρA2
ρAL−2 ρAL−1
ρA1 ρAL−3 ρAL−2 ρAL−1
ρA0 ρA0 ρA0 ρA0 ρA0
Solución Espacial Analítica
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24
Solución AnalíticaM (x ) /M /1
Nicolás Hernández R.
Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBGSolución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
14Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica
Cada πn puede ser calculado como la suma de lasprobabilidades asociadas a cada camino que llega al nodon .
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBGSolución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
14Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica
Cada πn puede ser calculado como la suma de lasprobabilidades asociadas a cada camino que llega al nodon .
La probabilidad de cada camino es el producto de π0 porlas probabilidades de transición.
Solución Espacial Analítica
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
Nicolás Hernández R.
Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBGSolución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
14Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica
Cada πn puede ser calculado como la suma de lasprobabilidades asociadas a cada camino que llega al nodon .
La probabilidad de cada camino es el producto de π0 porlas probabilidades de transición.
Estrategia:
Solución Espacial Analítica
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBGSolución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
14Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica
Cada πn puede ser calculado como la suma de lasprobabilidades asociadas a cada camino que llega al nodon .
La probabilidad de cada camino es el producto de π0 porlas probabilidades de transición.
Estrategia:
Determinar todos los caminos que parten desde el nodo 0 y
llegan al nodo n .
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBGSolución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
14Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica
Cada πn puede ser calculado como la suma de lasprobabilidades asociadas a cada camino que llega al nodon .
La probabilidad de cada camino es el producto de π0 porlas probabilidades de transición.
Estrategia:
Determinar todos los caminos que parten desde el nodo 0 y
llegan al nodo n . Calcular la probabilidad de cada camino.
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBGSolución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
15Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica
k j : cantidad de pasos de largo j con 1 ≤ j ≤ L .
Solución Espacial Analítica
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBGSolución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
15Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica
k j : cantidad de pasos de largo j con 1 ≤ j ≤ L .
s : total de cantidad de pasos.
mínima cantidad total de pasos: cuando se da la mayor
cantidad de pasos de largo L, luego s =
n L
máxima cantidad total de pasos: cuando todos los pasos
son de largo 1, luego s = n
Solución Espacial Analítica
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBGSolución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
15Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
So uc ó spac a a t caSolución Analítica
k j : cantidad de pasos de largo j con 1 ≤ j ≤ L .
s : total de cantidad de pasos.
mínima cantidad total de pasos: cuando se da la mayor
cantidad de pasos de largo L, luego s =
n L
máxima cantidad total de pasos: cuando todos los pasos
son de largo 1, luego s = n
n : distancia o largo a recorrer.
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
16Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
pSolución Analítica
Un camino de total de pasos s se puede secuenciar demúltiples formas. Si posee k 1 pasos de largo 1, k 2 pasosde largo 2, etc. el número de secuencias distintas es
s
k 1, k 2, k 3,..., k L
(7)
Solución Espacial Analítica
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
16Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
pSolución Analítica
Un camino de total de pasos s se puede secuenciar demúltiples formas. Si posee k 1 pasos de largo 1, k 2 pasosde largo 2, etc. el número de secuencias distintas es
s
k 1, k 2, k 3,..., k L
(7)
Notar que el paso de largo j tiene una probabilidad detransición
ρA j −1
. Luego la probabilidad asociada a cada
camino es
(1 − ρL)ρA0
k 1 ρA1
k 2...ρAL−1
k L(8)
Solución Espacial Analítica
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
17Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
pSolución Analítica
Considerando las definiciones de k j , s y n es necesario
que se cumpla
0 ≤ k j ≤ s 1 ≤ j ≤ Lk 1 + k 2 + ... + k L = s k 1 + 2k 2 + ... + Lk L = n
(9)
Solución Espacial Analítica
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
17Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
pSolución Analítica
Considerando las definiciones de k j , s y n es necesario
que se cumpla
0 ≤ k j ≤ s 1 ≤ j ≤ Lk 1 + k 2 + ... + k L = s k 1 + 2k 2 + ... + Lk L = n
(9)
Solución Analítica
πn =
n
s =
n
L0≤k 1,...,k L≤s
k 1+k 2+...+k L=s k 1+2k 2+...+Lk L=n
s
k 1, k 2, ...,k L
(1 − ρL)ρs
L−1
i =0
Ak i +1
i
(10)
Solución Espacial AnalíticaS l ió A lí i
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
18Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Solución Analítica
La solución analítica encontrada puede reescribirse como
πn =
n L
k L=0
n −Lk L
L−1
k L−1=0
...
n −
L
j =3 jk j
2
k 2=0
s
k 1, k 2,...,k L
(1 − ρL)ρs
L−1i =0
Ak i +1
i
(11)
donde k 1 queda inmediatamente determinado pork 1 = n − 2k 2 − 3k 3 − ...− Lk L
y s inmediatamente determiando por
s = k 1 + k 2 + ... + k L
Solución Espacial AnalíticaC P ti l L 1
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
19Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Caso Particular L = 1
Si L = 1 la fórmula general se transforma en
πn =
n s = n
1
0≤k 1≤s
k 1=s k 1=n
s
k 1
(1 − ρ)ρs
0i =0
Ak i +1
i
Solución Espacial AnalíticaC P ti l L 1
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
19Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Caso Particular L = 1
Si L = 1 la fórmula general se transforma en
πn =
n s = n
1
0≤k 1≤s
k 1=s k 1=n
s
k 1
(1 − ρ)ρs
0i =0
Ak i +1
i
=n
s =n
0≤k 1≤s
k 1=s k 1=n
s
k 1
(1 − ρ)ρs
0i =0
Ak i +1
i
Solución Espacial AnalíticaCaso Particular L 1
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
19Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Caso Particular L = 1
Si L = 1 la fórmula general se transforma en
πn =
n s = n
1
0≤k 1≤s
k 1=s k 1=n
s
k 1
(1 − ρ)ρs
0i =0
Ak i +1
i
=n
s =n
0≤k 1≤s
k 1=s k 1=n
s
k 1
(1 − ρ)ρs
0i =0
Ak i +1
i
=n
n
(1 − ρ)ρ
n
A
n
0
Solución Espacial AnalíticaCaso Particular L 1
8/16/2019 MM1 por Lotes
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
Nicolás Hernández R.
Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
19Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Caso Particular L = 1
Si L = 1 la fórmula general se transforma en
πn =
n s = n
1
0≤k 1≤s
k 1=s k 1=n
s
k 1
(1 − ρ)ρs
0i =0
Ak i +1
i
=n
s =n
0≤k 1≤s
k 1=s k 1=n
s
k 1
(1 − ρ)ρs
0i =0
Ak i +1
i
=n
n
(1 − ρ)ρ
n
A
n
0
Solución Analítica para caso M/M/1 (llegadas individuales)
πn = (1 − ρ)ρ
n
(12)
Comparación de las SolucionesImplementación Computacional
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
20Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Implementación Computacional
πn =
n 5
k 5=0
n −5k 54
k 4=0
...
n −5k 5−4k 4−3k 32
k 2 =0
s
k 1 , k 2 , ..., k 5
(1 − ρL)ρ
s
4i =0
Ak i +1i
Implementación en MATLAB.
sumatoria=0;
for k5=0:floor(n/5)
for k4=0:floor((n-5*k5)/4)
for k3=0:floor((n-5*k5-4*k4)/3)
for k2=0:floor((n-5*k5-4*k4-3*k3)/2)
k1=n-2*k2-3*k3-4*k4-5*k5;
s=k1+k2+k3+k4+k5;
ft=factorial(s);
f1=factorial(k1);
f2=factorial(k2);
f3=factorial(k3); f4=factorial(k4);
f5=factorial(k5);
PAc=Ac(1,1)^k1*Ac(2,1)^k2*Ac(3,1)^k3*Ac(4,1)^k4*Ac(5,1)^k5;
sumatoria=sumatoria+(ft/(f1*f2*f3*f4*f5))*p(1,1)*rho^s*PAc;
end
end
end
end
Comparación de las SolucionesResultados
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
21Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
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Resultados
Parámetros y Resultados
n Pi_nR Pi_nA
__ _________ _________
1 0.0695 0.0695 20 3.556e-05 3.556e-05
40 5.652e-09 5.652e-09 80 1.425e-16 1.425e-16
120 3.596e-24 3.596e-24
160 9.071e-32 9.071e-32 170 1.143e-33 1.143e-33
171 7.382e-34 NaN 10e+6 2.488e-191 NaN
%PARAMETROS
n=1;
lambda=1;
mu=10;
rho=lambda/mu;
%LOTE MEDIO
alfa=[0.15; 0.3; 0.1; 0.25; 0.2];
L=5;
Lmedio=mtimes(transpose([1; 2; 3; 4; 5]), alfa);
p(1,1)=1-rho*Lmedio; %Pi_0
Comparación de las SolucionesResultados
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
22Resultados
Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
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Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
Resultados
Comparación de las SolucionesTiempos de Ejecución
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
23Tiempos de Ejecución
Referencias
Procesos Estocásticos
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p j
ReferenciasPublicaciones
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Solución AnalíticaM (x ) /M /1
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Introducción
Descripción de la Fila
Kendall
Grafo
Solución EspacialRecurrente
EBG
Solución
Solución EspacialAnalítica
Primera Aproximación
Grafo de la Ecuación
Recurrente
Solución Analítica
Caso Particular L = 1
Comparación de lasSoluciones
Implementación
Computacional
Resultados
Tiempos de Ejecución
24Referencias
Procesos Estocásticos
Universidad Técnica
Federico Santa MaríaValparaíso–Chile
G. Jensen, A. Paulson & P. Sullo, 1977. Explicit steady state solutions for a particular M (x )/M /1 queueing system .
Naval Research Logistics Quarterly 24, 651-659.
J. Martínez V., R. Vallejos C. & M. Barría M., 2014. On the limiting probabilities of the M /E r /1 queueing system .Statistics and Probability Letters 88, 56–61.
8/16/2019 MM1 por Lotes
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Gracias por su atención.