MM1- GEF

Ejercicios para casa SL 1-3

Ejercicios para casa - SL1 - MM1 - GEF Tres depósitos conectados en un circuito cerrado cíclico

Escribe el SLH a CC 3D c- '=AI quemodela la evolución

de las concentraciones enlos depósitos de la siguiente figura :

Y, mis

Glt) kglnis

^

rnilh rnilh

↳ It) teglm c. It) kglm'

v

Hz misr MPYH Va mas

czlt) kglm?< Calt) kglm ?

Czlt) kglmp

Unidades : ht tiempo) , mldistancia) y kg (masa) .

Parámetros : Los volúmenes son V, , Hay ks . El caudales r .

Incógnitas : cjlt) - concentración en eldepósito j en el instante t .

* Ecuación de balance en el 1erdepósito : V, .ci = rcz - rc,

* " " " " " PÍ a ÷ 1)z¿zz rc, - rcz

* 11 4 " Il 11 3"

""

. llzczl = rcz - rcz

Notación : pj - YVJ para f- Iris .

Cía picz -pie, -

p , o plAsí

pues,el sistema es

; ji,=

Pao-

% Ip,

Ejercicios para casa - SL1 - MM1 - GEF Tres depósitos conectados en un circuito abierto

Escribe el SLNH a CCIEAIÍB quemodela la evolución de las

concentraciones en los depósitos de la siguiente figura :

r, nilh y, nir, milh

>41T) kglmss

9

e,kg1ms cilt) kglmss

Vs mis ritrzmlh

↳Htkglms9

Czlt) kglm?

ramilh ranilhVa ni

> 9czlt) kglmp

la kglmss calt) kglm?

Observación : Los tres volúmenes K, Va y 1/3 se mantienen constantes, pues en

cada depósito su caudal total de entrada coincide con su caudalde salida .

* Ecuación de balance en el 1er depósito : V, cierre , - ric,

* " " " " " E depósito : Vaca' = raez - raca

* " " " " " 3"

y : 1/3↳= r, C, trzcz - lr, tra)Cz

Notación : p, ="111, , pa

-

"1k, q,

="111, y QERYV, .

{cí = -p, c, t pie ,Asípues ,el sistema es

T!iqitqarc.

En notación matricial,

es EKAE tb con

-

p, 0 O pie ,

A- = o -

pa o d Í = para

q, qa- Lqitqa)

O

Ejercicios para casa - SL1 - MM1 - GEF

Justificación de la ausencia del peso en la ecuación delmuelle

Muelle Muelle Muelle

en equilibrio en equilibrio en movimiento(sin masa) Coon masa) Kon masa)

Nota : Tomamos el sentido ↳ ¿Am { YIHpositivo hacia abajoM

Así pues : Peso Fuerza de HookeL te

* D= elongación debida a la masa, que cumple mg = dd

* ylt)= desplazamiento desde el equilibrio con masa

* Xlt) = " " " " sin masa = yA) t d

Aceleración Fricción Hooke PesoLa E ley de Newton implica que mx

"= -Mx

'-dxtmg^

Cambio de A- yzd

variable Y' (pues des che)

dependiente X"= y"

✓L

my"= -my

'-dy#mgl

Por tanto,la EDO en la variable dependiente y - y ID es homogénea

my"=

yny'-Ay ,

y no contiene al peso P=

mg .

Ejercicios para casa - SL1 - MM1 - GEF Conservación de la energía mecánica en el muelle sin fricciónPrueba que si lylt) , ZITD es una solución del sistema

Y'= z{⇐ - ¥ y

LSLH a « ZD)

donde m,dro son parámetros fijados , entonces la energía

mecánica total Elyiz) = En Etta Yase mantiene constante

sobre la solución.

Recordatorio : m - masa,D= constante de Hooke

y = ytt) = desplazamiento vertical2- =zlt) -- y

'A) = velocidad vertical

Derivamos la energía E respecto el tiempo t :

dtz = Mzzzztzya'= Fzzzz' t Izzy y ' =Azmy) tdyz

= -# ttu EO .

Y así pues: DÍ= o ⇒ E se mantiene constante sobre las soluciones

.

Ejercicios para casa - SL1 - MM1 - GEF Conservación de la energía mecánica en el péndulo de WilberforcePrueba que

si LYIH , zlt), 01-4, RID) es una solución del sistema

y'= z

z'= - Im y t EnOÍ⇒ +÷ ,

⇐Haces»

donde m ,I,d, , taso y EEIR son parámetros fijados , entonces

la energía mecánica total

El y , z , 0, = mzzat Izstt tizy' t tazó- ayo

tiene un valor constante sobre la solución.

Derivamos la energía E respecto al tiempo t :

datz = Mzzzt Izbit ¥ ya ttzz 02 - ayO"

= M-zz.zztttzzd.IT Izzyy ' t ¥200'-

ey'O - eyO

'

= mlz -ft y +¥0 ttfsr -¥70 TEEytdiyzzdaor-azo-eyR-zyztqfz.ie/yRtdfyztY-eOzf-ei ⇐0.

Finalmente : {¥ = o ⇒ E se mantiene constante sobre las soluciones.

Ejercicios para casa - SL2 - MM1 - GEF 1 Comprueba que las funciones vectoriales

xittt eIIa -- ¡ et" d Iuz II = I etson soluciones del SLH ZD a CV IKAIHI dado por

AHI = ?zt-a

Zt - I

* TIE) =1

,et" =

'

,etta =

'

,. teEK

AILIXTIH = z 3¥?'

,e"= ¥ era= tzeitel, e.era

Por tanto,Tilt) --AIHXTH) HTEIR

,lo cualsignifica que Tilt) es solución .

* Falte) = Y et'

= ? et = ? él

Atttxdtt = IE TI Y et = " %? et. } et

Por tanto, Tilt) --Alttxtt) HTEIR, lo cualsignifica que Itt) es solución .

2 Comprueba que la función vectorial IIH="EI et es una solución

del SLNH 2Da CC Itttxtbtt) dado por A-= 7 3 y

Itt) -- ti et .

* Eyf) ="tj? et

'

s 447'

et t 4ta? et'

= { ett 4ta? et= 4 tzftj? et

=

It 4TZtzt

et.

* AIIA tblt) = 7 3 "EI ettt, et = *?} ,# ett !, etZt

4ttl t=

zt +2l

Por tanto,ÍID--AIIH tblt) VTHR

,lo mal significa que IIH es solución

3 Dadas dos funciones matriciales derivables A, B : I- TMNLIR)

prueba que aAlt) t ofBtt)'

= a A-'

It) tf BYT) , Ha , f e IR .

Una vez fijados unos coeficientes arbitrarios X , feIR, consideramos

la matriz Clt) = xAlt) tf Btt) . Sean aijlt) , bijlt) y cijlt) los

elementos en la fila i y lo oolnmnaj de las matrices Att), BIH y Clt).

Ejercicios para casa - SL2 - MM1 - GEFSabemos que , por definición , cijlt) = aaijlt) tfbijlt) ti.fi, . . - in .

Derivado estas relaciones obtenemos que

cíjlt) = a. aíjlt) tfbijlt) Hijas, . . . , n .

Elemento situado enElemento situado enla fila i - cobnmnajla fila i - columnaj de la matriz

de la matriz CIT) a.ÁIH tf.BYf)

Y esto implica que xttltltfBIH'

= CYH -

- AAYHTFBYT) .

4 Dadas dos funciones matriciales derivables A, B :In TDNIIR) , prueba

queel producto Clt) - AIDIBID también es derivable y queAlt) . Btt)

"=L

'It) = A-

'It) - Btt) t AIHB

'

It).

Sean aijlt ) , bijlt) y cijlt) los elementos situados en la fila i y la

columna j de las matrices Att) , BH) y CID, respectivamente .

Sabemos, por

la definición del producto de matrices, que

cijlt) = aiilt) - bjlt) t - i. tainltibnjlt) = ¿⇒airltt.by/tl,Hi.j--h....n .

Derivando estas relaciones obtenemosque

:

cíjlt) = ¡⇒ainlt) . brjlt)

'

= ¡= ,

ainlts . bnjlts"

Elemento situado en= ¡

= ,

aírlt)brjlt) taiklttbírjlt)la fila i- colnmnajde la matriz CIH = ¡

= ,

aínlt) .bnjlt) t ¡⇒

ainlt) . tírjlt) Hi h . . .in .

Elemento situado en la Elemento situado en la

fila i -wlnmaaj filai -wlnmaajde la matriz ÁIHBH) de la matriz AHSBIT)

Y esto implica queAlt) - Btt)

'= C

'It) --ÁIHBITJTAIHBYD

.

Ejercicios para casa - SL2 - MM1 - GEF 5 Prueba

que si una función matricial A : I→ TRNIIR ) es derivable

e invertible , entonces su matriz inversa A-"I- TDNIIR ) es derivable y

A-' It)

'

= - A-'ltt .ÁIDÁYH

,HTEI

.

Indicación : Usa el ejercicio 4.

Si Alt) es invertible , entonces , por definición , existe su matriz inversa A-YH

y , además, el producto de la matrizy su inversa es la matriz identidad :

AIHA- '

It) = Id , rteI ."matriz identidad nxn les constante )

Derivando esta ecuación matricial,obtenemos que :

= AIHÁIH'= ÁIHA- 'It) tAlt) . AYH

'

matriz nula nxn matriz que queremoscalcular

Multiplicando ambos lados de esta última ecuación por la matriz

inversa A-'

It) (por el lado izquierdo), vemos que :

A-'

It) . = A-'Ht . ÁIHÁIHTAHI -ÁHÍ

" L

= A-'IDÁIHÁIHTÁIHAHNAYH

'

Finalmente, despejamos la matriz que buscamos :

A-'IH'= -A-YHAYHAYH

,

HTEI.

6 Supongamos que Itt) , Tal t) y Izlt) son tres soluciones de un SLH2 1

talesque Tilt»

= 11,Tito) = 1 y Isotta) = o en algún

instante toe I. ¿ Qué relación hay entre ellas ?

| 2 1Como dim IRE 2

,sabemos

quelos vectores / , i y 0 son LD.

Buscamos las Cls de estos vectores que son igual a 5=8 .

C, t Zlztcz 2 1 C, t Zczt Cz= O

e, +c,

= el ll t Cr I t Cz O = % ⇒ {e, + cz = O

Sistema con 2 emociones y 3 incógnitas

Ejercicios para casa - SL2 - MM1 - GEF C.

1

1 2 1A continuación

,resolvemos el sistema 1 1 o %

,

-10porel

método de Gauss - Jordan : matriz identidad zxz

1 2 I O 1 2 1 O~

1 0 - I O

1 1 O 0 Ir 0 - l - l Oqe

0 1 1 O

ftp.a-f, fífitzfa , pie -fiPor tanto : Elsistema es compatible{ ↳

o} Eric? o } as s indeterminado con 1 grado

| Cze IR de libertad

Tomando Cz - l , obtenemos que CFI y CE-1 .En particular, la función

Itt) = 1. Itt) tl-1) ixalttttáxzlt)

cumple las siguientes propiedades :* Ilt) es una solución delSLH debido al

principiode superposición; y

| 2 1 O

* Ilto) = I,lto) - Falto) tx, Ito)= ,

- i t o=o

Y ahora la caracterización de la solución trivial implica que :

IIH = XTIH - Tdt) txzlt) =P HTEI .Esta es la relación que nos piden

7 Calcula la solución del PVI { ¥ con AIH ='Itt EEI .

Indicación : Usa los ejercicios 1 y 6.

etta 2etEn el ejercicio 1 , comprobamos que XTH) = eIIa y ÍITK et

son soluciones del SLH I'= AHJI

.Además

,Flor

'

, y Falo) = 4 .

Por tanto, aplicando el resultado del ejercicio 6 , deducimos que la

solución Izlt) el PVI mmple que Itt) - IZIHTFZIH -5, HIEIR .

Es decir,la solución del PVI es :

XJIH - I It) µ, =2et- etta

Z I et-etta

Ejercicios para casa - SL3 - MM1 - GEF 8 Prueba que si

Xlt) es una matriz fundamentalarbitraria de un SLH,entonces ÍNIH = XIHE con

E-n

e IR"

es la solución generaldel SLH .

Sea Tylt) la columna j de la matriz Xlt) .

Es decir :

Nt) = Itt) Izlt . . . Tit).

La definición de matriz fundamental implica que XTIH, . . . . Inlt) son n soluciones

LI del SLH, luego {XTIH, . . .Frith es un conjunto fundamentaldel SLH

yla solución general del SLH es :

Itt) = cixilHt . . . tcnxnlt) = Tdt) . . - TNHn

= NHE,

con I=n

e IR"

vector constante libre .

9 Prueba que , una vez fijado el instante inicial ti , existe una únicamatriz principal Ylt) asociada a ese instante

Sean JJIH la columna j de la matriz YIH .

Sea lei, . . . .En } la

base natural de IR ? Es decir , Tj es la columna j de la matriz

identidad nxn .

Entonces :

Ht) matriz principal{ Tilt) es solución del

asociada al instanteE) Fpl PVI EI tj -1, . . . . n .

Definición de matriz principal cada uno de estos PVIS tieneexactamente una única solución

LTEde 7 y 1. de soluciones de Sls)

Por tanto,como cada columna de la matriz principal YIH existe y está

determinada de forma nñica , deducimos que Ylt) también existe y está

determinada de forma única.

Ejercicios para casa - SL3 - MM1 - GEF " Prueba

que si YH) es la matriz principalasociada al instante to delSLH IEAIHI, entonces Itt) = YIDI. es la solución del PKI

{ I'=AIHI SLH| Itto)-- To CI

Como Ylt) es una matriz fundamental, sabemos por el ejercicio 8 que

XTIH = YIHE con IEIR"

libre

es la solución general del SLH .

Ahora,determinamos elúnico vector

de constantes EEIR"

imponiendo la CI : i-Id.E-YIHI-IHD-xo.tnDefinición de CI

matriz principal

" Calcula el wroskiano de las funciones vectoriales

THE EÉ d i. its . éjt

wtt) -- det Its , IHJ = ee te éjt = - eh ?data -ékittztto ,#per

.

12 Calcula el wroskiano de las funciones vectoriales

XTIH =los t

ser t& Fatty =

-sentcost

wltt-dettxitt.xitsf-ajntt-IItt-ooittseit-1-to.lt/-eIR .

↳ Calcula la solución general Tutt) y una matriz fundamental XIH

del SLHZD a CY ÍAIDI donde AIH- Et I '.

matriz del ejercicio 1

* En el ejercicio 1 comprobamos que I, It) = a y Talf) = Zetetson dos soluciones del SLH TEAIHI.

* wlt) = det-IIH.IIHJ-eetf%2etet.at?et-2etetE-eEttto,HteIR

Ejercicios para casa - SL3 - MM1 - GEF Por tanto

,las dos soluciones I, It) y Itt) son LI y forman un conjunto

fundamental de soluciones.En particular, la solución general del SLH es :

Zet qet"+⇐et con

xjlts-axitstcaxs.lt) = a eIIa ta et=

qeikzcaet 9%5%5Finalmente

,una matriz fundamental es :

XIH . xiittxits = Ía "té.

14 Prueba que siXlt) es una matriz fundamentalarbitraria , entonces

Ylt) = NHX"

Ito)

es la matriz principal asociada al instante t -- to .

Sea Ylt) la matriz principal asociada al instante to .Sabemos

queexiste una única matriz invertible SETDNIIR) tal que

YID= XHIS

Determinamos la matriz S imponiendo la condición inicial :

NESS⇒Ito) = Id

Définición de matriz principalSabemos

queXtt) es invertible HTEI, luego podemos multiplicar ambos

lados de la igualdad anterior por la izquierda por X"Ito) :

FÉ .5-X-ttob.IE/l-Yto)-s--XYtoS--sYlH--NHXlto) .

↳ Comprueba quela matriz fundamental Xlt) = eet Zeett del

SLH Í--AIHI con AIH = Et ¥7, cumple la

fórmula de Liouville.

TH) = traza [AHI] = 4- t) tlzt-D= ttl .

Ejercicios para casa - SL3 - MM1 - GEF

WIH = det [XHIJ . eIIa Zeett = - etaatt

w, , f) = -¿

Yztt'

=-etktt

. EI + t'= wltt . ztztl = ftp.wlt), HTEIR .

WIH Tlt)

16 Sea w : Ie IR una función derivable y sea T: I- IR una función

continua .Prueba que :

WYTKTIHwttl HTHR⇒ wltt-wltod.expbtfotisydstt.toeI

Caso wlt)= 0 Ambas cantidades son cerot de t

En este caso ,la igualdad wltkwltu) '

exp btotls)ds es cierta Htitoet.

Caso wlt) #O

En este caso, existe toeI tal que wlto )#o .

w' It) - Tlttwltt ⇒ log nit)

'= TI = TIH

Integrando amboslados de la igualdad

⇒ ÍÍT ds = t.TL?ds--t!log1wisy'dsRegla de Barrow = log wis) log WLH - log wlto)

Aplicando la = log WIHWlto)

función exponencialen ambos lados de→ ⇒ exp Ízotisyds = exp log THE, = wwttfosla igualdad

⇒ w,» = twlto) -

exp SÍTI»"Igualdad válida trtitoet

→⇒ wlt) = wlto) exp fttotlsdds siwlt)#o HTEI. Pero como

wlto) #o de#OKXEIR,Como ttfotlsds -o, evaluando la igualdad deducimos que

WHHOHTEI

anterior en F-to , obtenemos que wtto)= twltolto

,

lo cual nos permite descartar el signo -