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MÉTODOS NUMÉRICOS
Diferenciación e Integración Numérica
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USO DE LAS FÓRMULAS DE DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
15
2
2''
2'
hhxyxyhxyxy
hhxyhxyxy
1.01
.1.0,1''1'
. 2
hxSolución
hconyeyEstimexxsenexySeaEjemplo x
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16
0076.09298.49374.4
9298.41''01.0
7367.22874.328873.31.0
1.01121.011''
0027.07533.57650.5
7533.52.07367.28873.3
1.021.011.011'
2
2
1
erry
yyyy
err
yyy
9374.41''
2cos*2''
7560.51'2cos'
yxexy
yxxxsenexy
exactosValores
x
x
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FORMULAS DE NEWTON-COTES ABIERTAS Estas fórmulas también hacen uso del
polinomio interpolante y son útiles cuando se desea calcular integrales de funciones que no se pueden evaluar en alguno de sus extremos
REGLA DEL RECTANGULO O DEL PUNTO MEDIO
2
0
12x
x
xhfdxxf
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1
0
1 dxxLog
Ejemplo.- Resolver la siguiente integral:
a)Usando la Regla del rectángulo (h=1/2), tomando 2 particiones
b)Usando la regla del rectángulo compuesta (h=1/8), tomando 8 particiones
Solucióna)
b)
87**2
85**2
83**2
81**2
8/15.0
1*5.0*25.0**2
5.0
2
1
fhfhfhfhI
hLog
fhI
h
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Hace uso de un polinomio de primer grado, trazando una recta entre los dos puntos interiores
REGLA DEL TRAPECIO ABIERTA
3
0
2123x
x
xfxfhdxxf
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Hace uso de un polinomio de segundo grado, trazando una parábola entre los tres puntos interiores
REGLA DE SIMPSON ABIERTA
3
0
321 2234x
x
xfxfxfhdxxf
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1
0
1 dxxLog
Ejemplo.- Resolver la siguiente integral:
a)Usando la fórmula de Simpson abierta (h=1/4), tomando 4 particiones
b)Usando la regla del Simpson abierta compuesta (h=1/8), tomando 8 particiones
Solucióna)
b)
872
43
852*
34
832
41
812*
34
8/1432
21
412*
34
4/1
2
1
fffhfffhI
h
fffhI
h
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Primera soluciónHaciendo un cambio de
variable se puede transformar en otra integral equivalente con limites finitos. Esta nueva integral se puede resolver usando algunas de las fórmulas abiertas.
CALCULO DE INTEGRALES CON LIMITES INFINITOS (1)
1
dxex x
1
02
/1
2
/1
110
11
dttet
txtx
dtt
dxt
x
t
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Segunda soluciónSe elige un limite superior b mucho mayor
que 1, tal que f(b) es muy cercano a cero y el área a la derecha de b sea prácticamente despreciable. Se puede emplear cualquiera de las fórmulas de integración cerradas.
CALCULO DE INTEGRALES CON LIMITES INFINITOS (2)
1
dxex x
01
1
bfb
dxexb
x
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CUADRATURA DE GAUSS Las fórmulas de integración vistas antes
requieren que se conozcan los valores de la función cuya integral se va a aproximar en puntos uniformemente espaciados. Sin embargo si la función está dada explícitamente, los puntos para evaluar la función puede escogerse de otra manera que nos lleve a una mayor precisión de la aproximación.
n
iii
b
axfcdxxf
1
)()(
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CUADRATURA DE GAUSS La cuadratura Gaussiana se preocupa en escoger
los puntos de evaluación de una manera óptima. Esta presenta un procedimiento para escoger los valores x1, x2, ... , xn en el intervalo [a, b] y las constantes c1, c2, ... , cn que se espera minimicen el error obtenido al realizar la aproximación:
Para determinar los puntos xi donde debe evaluarse la función y los factores de peso ci se usa un procedimiento de coeficientes indeterminados
Estos coeficientes también se pueden obtener mediante el polinomio de Legendre, por esta razón a este método se le suele llamar también cuadratura de Gauss-Legendre.
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CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para n=1:
n
iii xfcdxxf
1
1
1)()(
Definimos inicialmente la integrar siguiente con limites en [-1 , 1]:
)()( 11
1
1xfcdxxf
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CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para f(x)=1:
Dado que tenemos 2 incógnitas, requerimos 2 condiciones: supondremos que es exacta para cualquier polinomio de grado 1 o menor, por lo tanto, será exacta para el conjunto de funciones {1, x}
2121 11
1
1 ccdx
Para f(x)=x:
00 111
1
1 xxcdxx
Por lo tanto: 02)(1
1fdxxf
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CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para n=2:
)()()( 2211
1
1xfcxfcdxxf
Dado que tenemos 4 incógnitas, requerimos 4 condiciones: supondremos que es exacta para cualquier polinomio de grado 3 o menor, por lo tanto, será exacta para el conjunto de funciones {1, x, x2, x3}
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CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para f(x)=1:
21121 2121
1
1 ccccdx
Para f(x)=x:
2211
1
10 xcxcdxx
Para f(x)=x2:
222211
1
1
2
32 xcxcdxx
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CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Resolviendo este sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas tendremos:
322311
1
1
3 0 xcxcdxx
Para f(x)=x3:
31
311 2121 xxcc
Por lo tanto:
31
31)(
1
1ffdxxf
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TABLA DE LA CUADRATURA GAUSSIANA
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CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para evaluar la integral en [-1,1], los valores xi y ci quedan definidos en la tabla anterior para diversos valores de n.
Para otros limites debemos recurrir a un cambio de variable.
Consideremos la cuadratura Gaussiana para evaluar:
b
adttfI )(
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CUADRATURA DE GAUSS POR COEFICIENTES INDETERMINADOS Donde [a,b][-1,1], los límites de
integración debe ser [-1,1] por lo cual recurrimos a un cambio de variable:
2)()( baxabt
dxabdt2
Reemplazando tendremos:
n
iii
b
a
b
a
xfcabdttf
dxabxabfabdttf
1
1
1
2)(
2)()(
2)(
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Ejemplo.- Utilizando la cuadratura de Gauss-Legendre (n=2), estime la siguiente integral:
5.1
1
2
dteI t
Solución.- a=1 y b=1.5
45
25.25.0
2)15.1()15.1(
xxxt
4dxdt
1
1 2211
45
5.1
1
1
1
45
)()()(
41)(
41
2
2
2
xFcxFcdxxF
exF
dxedte
x
xt
1094002612.0
5773502692.015773502692.01
I
FFI