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INVESTIGACION OPERATIVA
EJERCICIOS RESUELTOS POR:
MÉTODO DE GAUSS Y JORDAN (FORMA DE PIBOTEO)
EJERCICIO
5 2 2 2 3
2 3 3 4 2
4 3 2 2 5
5 7 2 9 2
-15/7 -3 -6/7 -27/7 -6/7
4 3 2 2 5
13/7 O 8/7 -13/7 29/7
-15/7 -3 -6/7 -27/7 -6/7
2 3 3 4 2
-1/7 0 15/7 1/7 8/7
-10/7 -2 -4/7 -18/7 -4/7
5 2 2 2 3
25/7 0 10/7 -4/7 17/7
25/7 0 10/7 -4/7 17/7
-1/7 0 15/7 1/7 8/7
13/7 0 8/7 -13/7 29/7
5/7 1 2/7 9/7 2/7
INVESTIGACION OPERATIVA
EJERCICIO
2 3 4 3 4 5 2 2
7 9 4 4
-12/5 -3 -6/5 -6/5
2 3 4 3 -2/5 0 14/5 9/5
-36/5 -9 -18/5 -18/5
7 9 4 4
-1/5 0 2/5 2/5
-2/5 0 14/5 9/5
4/5 1 2/5 2/5
-1/5 0 2/5 2/5
INVESTIGACION OPERATIVA
EJERCICIO
x1 x2 x3
2 3 4 3
4 5 2 2
7 9 4 4
- 2/5 0 14/5 9/5
4/5 1 2/5 2/5
- 1/5 0 2/5 2/5
-2/5 X1+14/5X3= 9/5
-1/5X1+ 2/5X3 =2/5 (2)
-2/5 X1+14/5X3= 9/5
-2/5 X1-4/5X3= 4/5
10/5X3=4/5
X3= 1/2
EJERCICIO
7 2 4 6 5 3
4 3 3 5 2 5
5 6 7 8 4 2
8 9 7 6 3 3
4 3 5 2 7 4
13/4 - 5/2 - 5/4 0/1 2/1 3/2
7/8 - 3/4 - 11/8 0/1 - 1/2
15/4
5/8 3/4 7/8 1/1 1/2 ¼
17/4 9/2 7/4 0/1 0/1 3/2
11/4 3/2 13/4 0/1 6/1 7/2
INVESTIGACION OPERATIVA
EJERCICIO
3 4 2 5 3 2
4 2 3 6 2 3
2 8 4 7 9 4
3 5 9 8 3 2
8 3 2 5 3 2
1 0 0 0 0
- 5/2 0 - 3/2 - 5/2 0/1
2/1 0 - 3/1 3/1 0/1
- 17/2 0 - 29/2 - 21/2 - 7/1
3/2 1 5/2 3/2 1
EJERCICIO
Vector entrante: número MAYOR NEGATIVO que existe en z
Vector saliente: es el MENOR POSITIVO de la división del valor para cada valor del vector
rentrante
Pivot: número de intersección entre el vector entrante y vector saliente
MAXIMIZAR Z= 20A+30B
S.A 2A +2B <= 5
A+B <=3
A,B >=0
VB A B H1 H2 VALOR
Z -20 -30 0 0 0
H1 2 2 1 0 5
H2 1 1 0 1 3
INVESTIGACION OPERATIVA
EJERCICIO
MAXIMIZAR
Z= 3X1+4X2 +9X3
S.A 2X1+2X2 <=10
2X2 +5X3 <=16
3X1-2X2 -7X3 <=9
X1>=0 , J 1.. 3
Z-3X1-4X2 -9X3=0
2X1+2X2 +h1=10
2X2 +5X3+h2 =16
3X1-2X2 -7X3 +h3 =9
Xj , hj , J 1.. 3>=0
VB A B H1 H2 VALOR
Z 10 0 15 0 75
B 1 1 1/2 0 5/2
H2 0 0 - 1/2 1 1/2
S.O Z=75
V.O B=5/2
H2=1/2
VB X1 X2 X3 H1 H2 H3 VALOR
Z -3 -4 -9 0 0 0 0
H1 2 2 0 1 0 0 10
H2 0 3 5 0 1 0 16
H3 3 -2 -7 0 0 1 9
INVESTIGACION OPERATIVA
EJERCICIO
Maximizar ≤ se + holgura
= se + artificial
≥ se + artificial y - una holgura
Maximizar Z= 3 X1 +2X2
S.A 2x1 +x2 <= 18
2x1+3x2<= 42
3x1+x2<=24
X1,X2>=0
FORMA ESTÁNDAR
Z=-3X1-2X2+0H1+0H2+0H3=0
2x1 +x2+H1 = 18
2x1+3x2 +H2 = 42
3x1+x2 +H3=24
X1,X2,H1,H2,H3 > =0
FORMA DE ECUACIÓN
Z-3X1-2X2-0H1-0H2-0H3=0
2x1 +x2+H1 = 18
2x1+3x2 +H2 = 42
3x1+x2 +H3=24
X1,X2,H1,H2,H3 >=0
INVESTIGACION OPERATIVA
VARIABLES
VB Z X1 X2 HI H2 H3 VALOR
Z 1 -3 -2 0 0 0 0
HI 0 2 1 1 0 0 18
H2 0 2 3 0 1 0 42
H3 0 3 1 0 0 1 24
VARIABLES
VB Z X1 X2 HI H2 H3 VALOR
Z 1 0 -1 0 0 1 24
HI 0 0 1/3 1 0 - 2/3 2
H2 0 0 2 1/3 0 1 - 2/3 26
X1 0 1 1/3 0 0 1/3 8
VARIABLES
VB Z X1 X2 HI H2 H3 VALOR
Z 1 0 0 3 0 -1 30
X2 0 0 1 3 0 -2 6
H2 0 0 0 -7 1 4 12
X1 0 1 0 -1 0 1 6
VARIABLES
VB Z X1 X2 HI H2 H3 VALOR
Z 1 0 0 1 1/4 ¼ 0 33
X2 0 0 1 - 1/2 ½ 0 12
H3 0 0 0 -1 3/4 ¼ 1 3
X1 0 1 0 3/4 - 1/4 0 3
SO Z= 33
VO X1=3
X2=12
H1=0
H2=0
H3=3
INVESTIGACION OPERATIVA
EJERCICIO
Maximizar Z= 3000X1+4000X2
S.A X1+X2<=5
X1-3X2<=0
10X1+15X2<=150
20X1+10X2<=160
30X1+10X2<=150
X1,X2>=0
FORMA ECUACIÓN
Z- 3000X1- 4000X2-0H1-0H2-0H3-0H4-0H5=0
X1+X2+ H1 =5
X1-3X2 +H2 =0
10X1+15X2 +H3 =150
20X1+10X2 +H4 =160
30X1+10X2 +H5=150
X1,X2,H1,H2,H3,H4,H5 >=0
VARIABLES
VB Z X1 X2 HI H2 H3 H4 H5 VALOR
Z 1 -3000 -4000 0 0 0 0 0 0
HI 0 1 1 1 0 0 0 0 5
H2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0
H3 0 10 15 0 0 1 0 0 150
H4 0 20 10 0 0 0 1 0 160
H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150
VARIABLES
VB Z X1 X2 HI H2 H3 H4 VALOR
Z 1 1000 0 4000 0 0 0 0 20000
X2 0 1 1 1 0 0 0 0 5
H2 0 4 0 3 1 0 0 0 15
H3 0 -5 0 -15 0 1 0 0 75
H4 0 10 0 -10 0 0 1 0 110
H5 0 20 0 -10 0 0 0 1 100
INVESTIGACION OPERATIVA
S.O Z= 20000
VO X1=0
X2=5
H1=0
H2=15
H3=75
H4=110
H5=100
EJERCICIO
MAXIMIZAR Z= X1+X2
S.A X1+3X2<=26
4X1+3X2<=44
2X1+3X2<=28
X1,X2>= 0
Z-X1-X2-0H1-0H2-0H3=0
X1+3X2+H1 =26
4X1+3X2 +H2 =44
2X1+3X2 +H3=28
X1,X2,H1,H2,H3>= 0
VB Z X1 X2 HI H2 H3 VALOR
Z 1 -1 -1 0 0 0 0
HI 0 1 3 1 0 0 26
H2 0 4 3 0 1 0 44
H3 0 2 3 0 0 1 28
VARIABLES
VB Z X1 X2 HI H2 H3 VALOR
Z 1 0 - 1/4 0 1/4 0 11
H1 0 0 2 1/4 1 - 1/4 0 15
X1 0 1 3/4 0 1/4 0 11
H3 0 0 1 1/2 0 - 1/2 1 6
VARIABLES
VB Z X1 X2 HI H2 H3 VALOR
Z 1 0 0 0 1/6 1/6 12
H1 0 0 -3 1 1 1/2 -3 1/2 6
X1 0 1 0 0 1/2 - 1/2 8
X2 0 0 1 0 - 1/3 2/3 4
INVESTIGACION OPERATIVA
S.O Z= 12
VO X1=8
X2=4
H1=6
H2=0
H3=0
MÉTODO SIMPLEX POR PENALIZACIÓN
TÉCNICA DE LA M
Para :
Maximizar SE PONE EN LA FORMA ESTANDAR - La M
Minimizar SE PONE EN LA FOPRMA ESTANDAR + La M
Signo
≤ se suma + una HOLGURA (H) S1
= se suma + una ARTIFICIAL (A) R1
≥ se resta – una HOLGURA (H)
Método simplex con penalización
EJERCICIO
MAXIMIZAR Z =5X1 +6X2
S.a -2x1+3x2=3
X1+2x2<= 5
6x1+7x2<=3
X1,x2>=0
FORMA ESTANDAR
Z =5X1 +6X2-MA1+0H1+0H2
INVESTIGACION OPERATIVA
FORMA DE ECUACION
Z -5X1 -6X2+MA1-0H1-0H2=0
-2x1+3x2+ A1 =3 (-M)
X1+2x2 +H1= 5
INVESTIGACION OPERATIVA
6x1+7x2 +H2=3
X1,x2,A1,H1,H2>=0
Z -5X1 -6X2 +MA1 -0H1-0H2=0
2MX1 -3MX2 -MA1 = -3M
Z +(2M-5)X1+ (-3M-6)X2 -H1 –H2 = - 3M
VARIABLES
VB Z X1 X2 HI H2 A1 VALOR
Z 1 2M-5 (-3M -6) 0 0 0 (-3 M)
A1 0 -2 3 0 0 1 3
H1 0 1 2 1 0 0 5
H2 0 6 7 0 1 0 3
VARIABLES
VB Z X1 X2 HI H2 H3 VALOR
Z 1 32/7M+1/7 0 0 (3/7M +6/7) 0 (-12/7M +18/7)
A1 0 -32/7 0 0 - 3/7 1 1 2/7
H1 0 - 5/7 0 1 - 2/7 0 29/7
X2 0 6/7 1 0 1/7 0 3/7
6/7.- (-3M-6)
18/7M +36/7
0 18/7M +36/7 3M+6 0 3/7M +6/7 0 9/7M+18/7
1 2M-5 -3M-6 0 0 0 -3M
1 32/7M+1/7 0 0 3/7M+6/7 0 -12/7M+18/7
S.O Z= 18/7
V.O X1=0
X2=3/7
HI=29/7 H2=0
INVESTIGACION OPERATIVA
EJERCICIO
MAXIMIZAR Z= 3X1 +9X2
S.a 2X1 +6X2=2
5X1+4X2=3
4X1+X2<=5
FORMA ESTANDAR
Z=3x1+9x2-MA1 – MA2+0H1
2X1 +6X2+A1=2 (-M)
5X1+4X2 +A2=3 (-M)
4X1+X2 +H1 =5
FORMA DE ECUACION
Z-3x1 -9x2 +MA1 + MA2- 0H1=0
-2MX1 -6MX2 –MA1 =-2M
-5MX1 -4MX2 -MA2 =-3M
Z +(-7M-3)X1+(-10M-9)X2 -0H1=-5M
VARIABLES
VB Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR
Z 1 (-7M-3) (-10M -9) 0 0 0 (-5 M)
A1 0 2 6 1 0 0 2
A2 0 5 4 0 1 0 3
H1 0 4 1 0 0 1 5
VARIABLES
VB Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR
Z 1 -11/3M 0 5/3M+3/2 0 0 -5/3M +3
X2 0 1/3 1 1/6 0 0 1/3
A2 0 3 2/3 0 - 2/3 1 0 1 2/3
H1 0 3 2/3 0 - 1/6 0 1 4 2/3