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MATEMÁTICA BÁSICA FACTORIZACIÓN
Profesor Efrén Giraldo Toro
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO 1
Contenidos a estudiar: LOS DIFERENTES CASOS
DE FACTORIZACIÒN
•
E ELElabABORoróAEfDOrénPORGiraldEFRoÉNT.O T.
3 33 LABORÓGIRIANLG.DEOFRÉTONRGIORALD
• Amigo estudiante:
• Este es un muevo peldaño de la escalera de las matemáticas básicas. Slo entiende y lo estudia bien, no tendrá problemas con su materia. Si noconsulte con sus compañeros, con su profesor o en las asesorías.
¡Saque mínimo 8 horas semanales fuera de clase para estudiar matemáticas.
No valen disculpas!.
¡No deje para mañana lo que tiene que hacer hoy!
ELABORÓ ING. EFRÉN GIRALDO T. 3
Factorización
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
4
NOTA: Este documento es tomado ymodificado a partir de un documento de
Las Dras. Consuelo Díaz y Raquel Valdés de laUniversidad Autónoma Metropolitana de
México.Además se utilizaron otros documentos de internet debidamente referenciados. Lo mismo que el Precálculo de Stewar, 2007
Modificado por Efrén Giraldo T. con fines exclusivamente didácticos
Factor
a b x z a b y x z
Son factores y
también estos
b y x z
Efrén Giraldo
En sentido general factor es un una expresiónque multiplica a otra expresión
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
5
Factorización
ELABORADO POR RÉN GIRALDO TORO
6
Efrén Giraldo
x2 cx d
9. Triomio de la forma
x2 (a b)x ab
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
8
Caso I .Factor Común
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
8
• Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un polinomio.
• El factor común es la expresión que seencuentra multipli
E
cfré
an G
nirald
do
o en cada uno de lostérminos. Puede ser un número, una letra,varias letras, un signo negativo, unaexpresión algebraica (encerrada enparéntesis) o combEfréinnGiraaldociones de todo loanterior.
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
9
Se aplica EL FACTOR COMÚN MÁXIMO (FCM) o Máximo Común Divisor (MCD) ya visto en la
• Identificar el
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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FACTOR COMÚN MÁXIMO. Ese será el primer factor.
• Dividir la expresión algebraica original entre elFCM y así se obtiene el segundo factor
Efrén Giraldo
entre 4
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO12
Efrén Giraldo
• Factorizar 4x2 - 32x + 60
• FCM de 4, 32, 60 es 4.
• La x no es FCM en los tres términos.
• Por tanto el segundo factor es el resultadode dividir cada término de la expresión
El segundo factor es (x2 - 8x + 15)Efrén Giraldo
4x2 - 32x + 60 = 4(x2 - 8x + 15)Es segundo factor se puede factorizar aún más. Eso lo
veremos más adelante.
12a3b2 30a2b3 6a2b2
12a3b2
6a2b2
30a2b3
6a2b2
2a 5b
GIRALDO TOROELABORADO POR EFRÉN
(Benitez,2011)13
Factorizar el polinomio: 12a3b2 30a2b3
Efrén Giraldo
Factor común máximo de los términos
14(Sewart,2007)
ELABORADO POR EFRÉN 15
(Sewart,2007)
GIRALDO TORO
Caso I. Factor Común
GIRALDO TORO
Haz los siguientes ejercicios.
Ejemplo FMC Segundo factor
Factorización
ma 2 mb2
3 x 2 y x
m a 2 b 2
3 x y 1
m (a 2 b 2 )
x ( 3 x y 1 )
24 a 2 x y2 36 x 2 y4 12 x y2 2 a 2 3 xy2 12 x y 2 ( 2a 2 3 x y 2)
a( x 1) b( x 1) xELAB
1ORA
DO
POR EaFRÉNb ( x1)(a b)16
Caso II. Factor Común pore Términos
Aparece un término común compuesto despuésde agrupar términos con factores comunes simples
PROCEDIENTO
1. Agrupar términos que tengan
2. Factorizar (aplicar Caso I) en cada grupo los factores comunes.
3. Identificar el máximo término común
4. Dividir la expresión algebraica entre el máximo término común
AgrupacióEfr
nén Gira
dld
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
16
Ejemplo caso II
ax abxb ( ax a) ( bx b)
a( x 1) b( x 1)( a b)( x 1)
Factor común a. Factor común b
ax abxb = ( a b)( x 1)ELABORADO POR EFRÉN
GIRALDO TORO17
factor común(x+1)
Un ejemplo más
2am n1 2an 2a m ( 2am2an 2a) ( mn1)
( 2a 1)(mn1) 2a( mn1) ( mn1)
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• Multipicar la suma de la las raíces por la diferencia de ellas
a 2 b2= (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)
I. Diferencia de CuadradosCasoEfrénIGiraIldo
• Identificar la diferencia de cuadrados
• Obtener la raíz cuadrada del primer y segundo términos
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(Sewart,2007)
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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(Sewart,2007)ELABORADO POR EFRÉN
GIRALDO TORO22
( 2 a x 3 )2
¿ es tcp ?
Sí
4 a 2 x 2 2 ax
9 3
12ax
4 a 2 x 2 1 2 a x 9
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
( 3 4 x 3 )( 3 4 x 3)
9 3
16x6 4 x39 1 6 x6
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Caso IV.
Procedimiento
1. El trinomio debe estar organizado en forma descendente respecto al exponente de la a
Trinomio Cuadrado Perfecto
2. El primer y el tercer término deben tener elmismo signo
3. Se saca la raíz cuadrada del primer y tercertermino.
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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de las
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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con elsegundo término del trinomio (sin fijarnos
Si son iguales,
• 5. La factorización de un TCP es la suma odiferencia de las raíces al cuadrado, que seconstruye anotando las raíces cuadradasdel primer y tercer término, y como signoentre ellas el signo del segundo término deltrinomio original
en el signo de éste).
entonces tenemos un TCP.
• 4.Realizamos el doble productoraíces obtenidas y comparamos
(a b)2
( a b )2
Trinomio Cuadrado Perfecto TCP
28
a 2 2 a b b2
( a b )2
Sí
a2 a
b2 b
2 ab
¿ Es tcp ?
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/tcuadra1.htm
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/tcuadra1.htm
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/tcuadra1.htm
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
(Sewart,2007)ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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Caso V.
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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x2 cx dTrinomio de la forma
1. Se abren dos grupos de paréntesis. ( )( )
2. - Se extrae la raíz cuadrada al primer término y seanota al comienzo de cada paréntesis. (x )(x )
4- Buscamos dos números que multiplicadas den el
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
34
respectivos
término independiente (es decir d), y que sumadas denel coeficiente del segundo término (es decir c).
5.- Se anotan las cantidades que satisfacen lascondiciones anteriores en los espacios en blanco de cadaparéntesis con sus respectivos signos, en sus lugares
( x 10)( x 2)
x2 x
10 2 12
10 -2
) 2 0
Resolviendo ejemplos:
x 2 1 2 x 20
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http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/evalufx1.htm
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO38
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/evalufx1.htm
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Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
Caso VI. Trinomio de la forma
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- El trinomio debe estar organizado en forma descendente.
- El coeficiente del primer término debe ser uno (1).
- El grado del exponente del primer término 2n debe sereldoble del grado del exponente n del segundo término.
1. Se abren dos grupos de paréntesis. ( )( )
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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.
3-Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el término independiente (es decir c), y que sumadas den como resultado el coeficiente del segundotérmino (es decir b).
4- Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis, en sus lugares respectivos
(Ríos, 2009)
2- Se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se anota al comienzo de cada paréntesis.
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• El trinomio debe estar organizado en
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Caso VII. Trinomio
(Ríos, 2009)
forma descendente respecto a x.
• - El primer y tercer términos deben ser positivos. (a≠1).
1- Multiplicar y dividir todo el trinomio por el coeficiente principal, es decir, a.
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2-En el segundo término el producto no se realiza la multiplicación sino que se dejaexpresado de manera que quede así b(ax).
3- Se expresa el primer término de cada factorcomo lo que quedó en paréntesis en el segundo término o sea ax .(ax )(ax )
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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4.- Aplicamos lo que se vio en caso 4 o sea dos números que multiplicados den ac y sumados b .
5.- Nos fijamos dentro de los paréntesis y debe haber un número factor común en uno o en los dos paréntesis. Se saca ese factor o factores comunes
6.- Finalmente, simplificamos la fracción (para eliminarel denominador con el factor común numérico hallado).
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𝟑𝟔𝒙𝟐 − 𝟕. 𝟔𝒙 − 𝟏𝟖
𝟔
=3 2𝑥 − 3 2(3 + 1)
2.3
36𝑥2 = 6𝑥
(6𝑥 − )(6𝑥 + )
6Dos #s que multiplicados den-18 y sumados -7
simplifico
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ejercfbx.htm
46ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
a 3 b 3 ( a b )(a 2 a b b 2)
a 3 b 3 ( a b )(a 2 a b b 2)
o bien,
Caso VIII Suma y Diferencia de Cubos
Binomio47
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Trinomio
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos1.htm
ELABORADO POR EFRÉN 49GIRALDO TORO
Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
( a 1 )(a 2 a1)
procedimiento
a3 1
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
50
diferencia
3 a3 a
3 1 1
( 3 4 x 2 )( 9 1 2 x 2 1 6 x 4)
2 7 6 4 x6
suma
3 2 7 3
3 64x6 4 x2
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
50
Resolviendo ejemplos:
Efrén Giraldo
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
52
Efrén Giraldo
Efrén Giraldo
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53
CasoIX.Factorización confraccionarios
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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Exponentes
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3
2-(-
1
2) =
3
2+ 1
2=
4
2= 2
1
2+ 1
2=
2
2= 1
−1
2+ 1
2=
0
2=0
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(Sewart,2007)
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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Note que la base es (2+x) y es común en ambos términos
base
https://books.google.com.co/books?id=O_3cYlM8h8AC&pg=PA127&lpg=PA127&dq=factorizar+expresiones+con+exponentes+fraccionarios&source=bl&ots=jJcWYMFyBE&sig=0nRGOC51QxQx5iBNegHDA2mVmE8&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjXpKqo0-TZAhVyoFkKHXiuByA4ChDoAQgwMAI#v=onepage&q=factorizar%20expresiones%20con%20exponentes%20fraccionarios&f=false
1. Factorizar todos los factores comunes.2. Observar el número de términos entre
paréntesis (o en la expresión original). Sihay:
I. Cuatro términos: factorizar por agrupación.II. Tres términos: probar si es tcp y factorizar
así; si no es tcp, emplear el caso general.III.Dos términos y cuadrados: buscar la
diferencia de cuadrados y factorizarla.IV. Dos términos y cubos: buscar la suma o
diferenica de cubos y factorizar.
3. Asegurarse de que la expresión estáfactorizada completamente.
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO61
Estrategia General
ELAELABORBORÓÓIINNG.G.EEFFRÉRÉNNGIGIRALDLDOOT.T. 626262
LUEGO DE ESTA CLASE UD. AMIGO ESTUDIANTE, TIENEQUE DOMINAR TODOS LOS CONCEPTOS PROFUNDAMENTEDE LA 1,2 Y 3,4,5 CLASEs. DE LO CONTRARIO VUELVAREPASE, ESTUDIE, CONSULTE,REÚNASE, INVESTIGUE. HAGA ALGO.
SI NO LO HACE TIENE PROBLEMAS EN SU MATERIA YESTÁ DANDO OTRO PASO PARA PERDERLA YPOSIBLEMENTE PERDER TAMBIÉN SU CARRERA Y HASTAARRUINAR SU VIDA.
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ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
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ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO
62
TRABAJO EN CASA
• Estudiar Stewart Sección 1.3 pag. 27 a 31
• Volver hacer los ejercicios hechos en clasey los resueltos de Stewart.
• Hacer
• Lectura previa a clase 5
6565EELALABBOORRAÓDOINPGO.REEFFRRÉÉNNGIGRIARLADLODOTOTR. O
Ejercicios sección 1.3 del 1-113
BIBLIOGRAFÍA
• Diaz, C., Valdez, R. (2011) Factorización. Universidad Autónoma Metropolitana.
México. Tomado el 13 de agosto de 2011 de:• http://www.google.com.co/#hl=es&rlz=1R2RNRN_esCO432&q=Universidad+aut%C3%B3noma+m
etropolitana+Factorizacion+consuelo+diaz++Raquel+valdez&oq=Universidad+aut%C3%B3noma+metropolitana+Factorizacion+consuelo+diaz++Raquel+valdez&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=s&gs_upl=6901l11066l0l12080l18l7l0l0l0l1l297l906l0.3.2l7l0&fp=a9ca82d4b3f4d7f9&biw=819&bih=449
• Ríos, J. (2009). Principales casos de factorización. Tomado el 10 de agosto de 2011de:http://julioprofe.blogspot.com ; www.youtube.com/julioprofe) 2.009
• http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos1.htm
• Stewart, (2007). Precálculo
ELABORADO POR EFRÉN GIRALDO TORO 66