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Á l g e b r a
R . C r i a d o y A . G a l l i n a r i
2 0 0 3
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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2 Á l g e b r a
I n t r o d u c c i ó n
E n s u s o r í g e n e s , e l á l g e b r a c l á s i c a e r a e l a r t e d e r e s o l v e r e c u a c i o n e s ( l a
p a l a b r a á l g e b r a p r o v i e n e d e u n v o c a b l o á r a b e q u e s i g n i c a r e d u c c i ó n ) . E l
á l g e b r a m o d e r n a e s t á c a r a c t e r i z a d a p o r e l e s t u d i o d e c i e r t a s e s t r u c t u r a s a b s -
t r a c t a s q u e t i e n e n e n c o m ú n u n a g r a n v a r i e d a d d e o b j e t o s m a t e m á t i c o s . E l
c a l i c a t i v o a b s t r a c t o s e r e e r e a l r e s u l t a d o d e r e a l i z a r e l p r o c e s o d e a b s t r a c -
c i ó n s o b r e l a s p r o p i e d a d e s o b s e r v a b l e s d e c i e r t o s o b j e t o s m a t e m á t i c o s , e s
d e c i r , e l p r o c e s o c o n s i s t e n t e e n s e p a r a r l a f o r m a d e l c o n t e n i d o .
L a e s t r u c t u r a p r i n c i p a l o b j e t o d e e s t u d i o e n e s t a p u b l i c a c i ó n e s l a d e
e s p a c i o v e c t o r i a l . L a s a p l i c a c i o n e s d e e s t a e s t r u c t u r a i n c l u y e n v i r t u a l m e n -
t e t o d a s l a s á r e a s d e l a c i e n c i a . S e i n c l u y e u n a a p l i c a c i ó n d e l o s e s p a c i o s
v e c t o r i a l e s r e l a c i o n a d a e s t r e c h a m e n t e c o n e l m u n d o d e l a i n f o r m á t i c a y l a s
t e l e c o m u n i c a c i o n e s , e n c o n c r e t o a l a t e o r í a d e c ó d i g o s y s e e s t u d i a n v a r i a s
t é c n i c a s y h e r r a m i e n t a s d e i n t e r é s p a r a o t r a s a p l i c a c i o n e s .
E s t e v o l u m e n v i e n e a c o m p a ñ a d o p o r u n l i b r o d e P r á c t i c a s y P r o b l e m a s
c o n e l s i s t e m a M a p l e V , d i s p o n i b l e e n v e r s i ó n d i g i t a l , q u e c o n t i e n e u n a a m -
p l i a c i ó n y c o m p l e t a l a d e s c r i p c i ó n d e l o s c o n c e p t o s t e ó r i c o s . L a s p r á c t i c a s
p e r m i t e n e l d e s a r r o l l o y l a e x p e r i m e n t a c i ó n c o n l o s a s p e c t o s m á s n u m é r i -
c o s y e s t á n d i s e ñ a d a p a r a p o t e n c i a r e l e m p l e o d e l a n o t a b l e c a p a c i d a d d e
v i s u a l i z a c i ó n g r á c a q u e o f r e c e e l p r o g r a m a M a p l e V .
A c a d a t e m a t e ó r i c o y p r á c t i c o h e m o s a ñ a d i d o e j e r c i c i o s r e s u e l t o s y e j e r -
c i c i o s p r o p u e s t o s .
L o s p r i n c i p a l e s o b j e t i v o s d i d á c t i c o s q u e i n t e n t a m o s c o n s e g u i r s o n q u e e l
l e c t o r :
•a p r e n d a y u t i l i z e c o r r e c t a m e n t e t é c n i c a s y m é t o d o s p r o p i o s d e l á l g e b r a
l i n e a l .
•v e a l a d e s c r i p c i ó n d e a l g u n a s a p l i c a c i o n e s a l a I n f o r m á t i c a .
•c o m p r e n d a y a p l i q u e a l g u n o s m é t o d o s n u m é r i c o s d e r e s o l u c i ó n d e s i s -
t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s y d e a p r o x i m a c i ó n d e a u t o v a l o r e s y a u t o -
v e c t o r e s .
•a p r e n d a a u t i l i z a r e l p r o g r a m a M a p l e V ( c o m o e j e m p l o d e s i s t e m a d e
c o m p u t a c i ó n s i m b ó l i c a ) e n s u s a p l i c a c i o n e s a l á l g e b r a l i n e a l .
A l g u n o s a p a r t a d o s d e e s t a p u b l i c a c i ó n ( s o b r e t o d o e n l a p a r t e d e e j e r c i -
c i o s ) s o n u n a a d a p t a c i ó n d e l m a t e r i a l c o n t e n i d o ( u n a s v e c e s s i n m o d i c a r l o ,
o t r a s p r o p o n i e n d o v a r i a c i o n e s d e e l l o ) e n l a b i b l i o g r a f í a i n c l u i d a .
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Á l g e b r a 3
A g r a d e c i m i e n t o s
Q u e r e m o s a g r a d e c e r a l p r o f e s o r L u i s E . S o l á C o n d e p o r s u p a r t i c i p a c i ó n
e n l a c o r r e c c i ó n d e e s t a s n o t a s y l a e l a b o r a c i ó n d e l o s e n u n c i a d o s d e v a r i o s
e j e r c i c i o s p r o p u e s t o s e n e s t e l i b r o .
G r a c i a s t a m b i é n a l o s p r o f e s o r e s A l e j a n d r o J . G a r c í a d e l A m o J i m é n e z
y B e g o ñ a J i m é n e z M a r t í n p o r l a e l a b o r a c i ó n d e l o s e n u n c i a d o s d e v a r i o s
e j e r c i c i o s p r o p u e s t o s y a l o s a l u m n o s q u e h a n s e ñ a l a d o e r r a t a s y e r r o r e s e n
v e r s i o n e s p r e v i a s d e e s t a p u b l i c a c i ó n .
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4 Á l g e b r a
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Í n d i c e G e n e r a l
1 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s , m a t r i c e s y e s t r u c t u r a s a l g e -
b r a i c a s 9
1 . 1 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s , m a t r i c e s y e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a 1 0
1 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n a l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s . . . 1 0
1 . 1 . 2 S i s t e m a s h o m o g é n e o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
1 . 1 . 3 T r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s .
I n t r o d u c c i ó n a l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n . . . . . . . . 1 4
1 . 1 . 4 S i s t e m a s e q u i v a l e n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
1 . 1 . 5 E s t r a t e g i a p a r a l a a p l i c a c i ó n d e l m é t o d o
d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
1 . 1 . 6 M é t o d o d e G a u s s - J o r d a n . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
1 . 2 M a t r i c e s y o p e r a c i o n e s c o n m a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
1 . 2 . 1 S u m a d e m a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
1 . 2 . 2 P r o d u c t o d e m a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
1 . 2 . 3 P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s . . . . . . . . . . 3 3
1 . 2 . 4 E l p r o d u c t o d e u n a m a t r i z p o r u n e s c a l a r . . . . . . . . 3 7
1 . 2 . 5 E l a n i l l o d e m a t r i c e s c u a d r a d a s M n(K) . . . . . . . . . 3 9
1 . 2 . 6 M a t r i c e s i n v e r t i b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
1 . 2 . 7 M a t r i c e s e l e m e n t a l e s y u n m é t o d o p a r a h a l l a r A−1. . . 4 3
1 . 3 E s t r u c t u r a s a l g e b r a i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
1 . 3 . 1 E l c o n c e p t o d e o p e r a c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
1 . 3 . 2 G r u p o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0
1 . 3 . 3 A n i l l o s y c u e r p o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
1 . 3 . 4 I n t r o d u c c i ó n a l o s T i p o s A b s t r a c t o s d e D a t o s . . . . . 5 7
1 . 4 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0
1 . 4 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0
1 . 4 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4
5
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6 Á l g e b r a
2 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s 7 1
2 . 1 V e c t o r e s e n e l p l a n o y e n e l e s p a c i o . . . . . . . . . . . . . . . 7 3
2 . 1 . 1 P r o d u c t o v e c t o r i a l y p r o d u c t o m i x t o . . . . . . . . . . 8 1
2 . 1 . 2 R e c t a s e n l e p l a n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3
2 . 1 . 3 P l a n o s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l . . . . . . . . . . . 8 5
2 . 1 . 4 R e c t a s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l . . . . . . . . . . . 8 7
2 . 2 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s s o b r e u n c u e r p o K
. . . . . . . . . . . . . 8 9
2 . 2 . 1 P r o p i e d a d e s d e v e c t o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2
2 . 2 . 2 P r o d u c t o c a r t e s i a n o d e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s . . . . . . . 9 3
2 . 2 . 3 F u n c i o n e s c o n c o d o m i n i o e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l . . . . 9 6
2 . 3 S u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0
2 . 4 D e p e n d e n c i a e i n d e p e n d e n c i a l i n e a l . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 4
2 . 5 B a s e s y d i m e n s i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2
2 . 5 . 1 S i s t e m a s g e n e r a d o r e s y b a s e s . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2
2 . 5 . 2 E q u i p o t e n c i a d e b a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6
2 . 6 S u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s y d i m e n s i ó n . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0
2 . 7 R a n g o d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s y d e u n a m a t r i z . . . . . . . 1 2 2
2 . 8 E l t e o r e m a d e R o u c h é - F r ö b e n i u s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3
2 . 9 M é t o d o d e G a u s s y r a n g o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0
2 . 9 . 1 T r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s y m a t r i c e s
e l e m e n t a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0
2 . 9 . 2 M é t o d o d e G a u s s p a r a c a l c u l a r e l r a n g o d e u n a m a t r i z 1 3 2
2 . 9 . 3 A l g o r i t m o d e e x t e n s i ó n d e u n a b a s e . . . . . . . . . . . 1 3 8
2 . 9 . 4 R a n g o y e s p a c i o l a d e u n a m a t r i z . . . . . . . . . . . 1 3 9
2 . 1 0 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1
2 . 1 0 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1
2 . 1 0 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6
3 F u n c i o n e s l i n e a l e s 1 5 3
3 . 1 F u n c i o n e s l i n e a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 4
3 . 2 P r o p i e d a d e s d e f u n c i o n e s l i n e a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8
3 . 3 N ú c l e o e i m a g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1
3 . 4 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s i s o m o r f o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5
3 . 5 F u n c i o n e s l i n e a l e s e n e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e d i m e n s i ó n n i t a . 1 6 7
3 . 5 . 1 D e t e r m i n a c i ó n d e f u n c i o n e s l i n e a l e s e n e s p a c i o s v e c t o -
r i a l e s d e d i m e n s i ó n n i t a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 7
3 . 5 . 2 D i m e n s i o n e s d e l n ú c l e o y d e l a i m a g e n . . . . . . . . . 1 7 2
3 . 5 . 3 M a t r i z a s o c i a d a a u n a f u n c i ó n l i n e a l . . . . . . . . . . 1 7 4
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Á l g e b r a 7
3 . 5 . 4 A l g o r i t m o p a r a h a l l a r u n a b a s e d e l n ú c l e o y d e l a i m a g e n 1 7 8
3 . 5 . 5 M a t r i z a s o c i a d a a l a c o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s l i n e a l e s . 1 7 9
3 . 5 . 6 M a t r i c e s s e m e j a n t e s y c a m b i o s d e b a s e . . . . . . . . . 1 8 3
3 . 5 . 7 E c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s d e u n s u b e s p a c i o
v e c t o r i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 5
3 . 6 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0
3 . 6 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0
3 . 6 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 3
4 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s e u c l í d e o s 1 9 7
4 . 1 P r o d u c t o e s c a l a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 7
4 . 2 L o n g i t u d o n o r m a e u c l í d e a d e u n v e c t o r . . . . . . . . . . . . 2 0 0
4 . 2 . 1 P r o p i e d a d e s d e l a n o r m a e u c l í d e a . . . . . . . . . . . . 2 0 0
4 . 3 M é t o d o d e o r t o g o n a l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t . . . . . . . . . 2 0 4
4 . 3 . 1 D e s c o m p o s i c i ó n QR d e u n a m a t r i z . . . . . . . . . . . 2 0 9
4 . 4 P r o y e c c i o n e s o r t o g o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1
4 . 4 . 1 M é t o d o p a r a h a l l a r u n a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l . . . . . . 2 1 4
4 . 4 . 2 A p r o x i m a c i ó n ó p t i m a d e u n v e c t o r . . . . . . . . . . . . 2 1 5
4 . 5 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7
4 . 5 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7
4 . 5 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7
5 C ó d i g o s l i n e a l e s 2 1 9
5 . 1 I n t r o d u c c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 9
5 . 2 D i s t a n c i a d e H a m m i n g , d e t e c c i ó n y c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s . . . 2 2 2
5 . 2 . 1 C ó d i g o d e p a r i d a d : d e t e c c i ó n d e e r r o r e s s i m p l e s . . . . 2 2 3
5 . 2 . 2 C ó d i g o d e r e p e t i c i ó n : c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s s i m p l e s . . 2 2 4
5 . 3 C ó d i g o s l i n e a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5
5 . 3 . 1 P a s o d e u n a m a t r i z d e c o n t r o l a u n a m a t r i z g e n e r a d o r a 2 2 8
5 . 3 . 2 P a s o d e u n a m a t r i z g e n e r a d o r a a u n a m a t r i z d e c o n t r o l 2 2 9
5 . 3 . 3 D e t e c c i ó n y c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s . . . . . . . . . . . . 2 3 2
5 . 4 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 5
5 . 4 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 5
5 . 4 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 6
6 A u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s 2 3 9
6 . 1 I n t r o d u c c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9
6 . 2 A u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1
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8 Á l g e b r a
6 . 3 F u n c i o n e s c o m p l e j a s d e v a r i a b l e r e a l . . . . . . . . . . . . . . 2 4 3
6 . 3 . 1 L a e x p o n e n c i a l c o m p l e j a . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4
6 . 4 E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 6
6 . 4 . 1 L a e c u a c i ó n d e p r i m e r o r d e n . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 6
6 . 4 . 2 L a e c u a c i ó n d e o r d e n n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 9
6 . 4 . 3 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s . . . . . . . . . . . 2 5 1
6 . 5 L a s e m e j a n z a d e m a t r i c e s y l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s . . . . . 2 5 3
6 . 5 . 1 S i s t e m a s d i a g o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5
6 . 5 . 2 S i s t e m a s t r i a n g u l a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 6
6 . 6 D i a g o n a l i z a c i ó n y t r i a n g u l a c i ó n d e m a t r i c e s . . . . . . . . . . 2 5 9
6 . 6 . 1 E l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e u n a m a t r i z . . . . . . . . 2 5 9
6 . 6 . 2 M a t r i c e s d i a g o n a l i z a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3
6 . 6 . 3 T r i a n g u l a c i ó n d e m a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 8
6 . 6 . 4 R e s o l u c i ó n d e s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s p o r
t r i a n g u l a c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 1
6 . 7 R e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 9
6 . 7 . 1 R e l a c i o n e s d e p r i m e r o r d e n . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 1
6 . 7 . 2 S i s t e m a s d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a . . . . . . . . . . 2 8 6
6 . 8 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 0
6 . 8 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 0
6 . 8 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 1
7 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s 2 9 3
7 . 1 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 3
7 . 2 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7
7 . 3 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1
7 . 4 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 1
7 . 5 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 2
7 . 6 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5
A N u e v o m é t o d o d e t r i a n g u l a c i ó n p o r s e m e j a n z a 3 4 3
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C a p í t u l o 1
S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s ,
m a t r i c e s y e s t r u c t u r a s a l g e b r a i c a s
E s t e p r i m e r c a p í t u l o c o m i e n z a c o n e l e s t u d i o d e l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s
l i n e a l e s , d e l a s m a t r i c e s y d e l a s o p e r a c i o n e s c o n m a t r i c e s .
E s t o s c o n c e p t o s e s t á n e n l a b a s e d e l á l g e b r a l i n e a l , y s e a s u m e q u e y a s e
h a t e n i d o u n c o n t a c t o p r e v i o c o n e l l o s e n c u r s o s a n t e r i o r e s .
E s c o n v e n i e n t e s e ñ a l a r q u e e n e s t e n i v e l n o s ó l o e s i m p o r t a n t e e n t e n d e r
l o s m é t o d o s d e c á l c u l o d e l a s s o l u c i o n e s d e l o s p r o b l e m a s q u e s e e s t u d i a r á n ,
s i n o t a m b i é n e l p o r q u é d i c h o s m é t o d o s f u n c i o n a n .
H a b l a r e m o s d e s i s t e m a s d e n e c u a c i o n e s c o n m v a r i a b l e s , d o n d e n y me n g e n e r a l n o s o n i g u a l e s , y d e u n a l g o r i t m o d e c á l c u l o , e l m é t o d o d e e l i m i -
n a c i ó n g a u s s i a n a , q u e n o s p e r m i t i r á r e s o l v e r s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s
g e n e r a l e s .
E n l a s e g u n d a p a r t e d e l c a p í t u l o , u n a v e z e s t a b l e c i d a s l a s p r o p i e d a d e s
q u e s a t i s f a c e n l a s m a t r i c e s r e s p e c t o d e l a s u m a y p r o d u c t o , s e i n t r o d u c e n
l a s e s t r u c t u r a s a l g e b r a i c a s d e g r u p o , a n i l l o y c u e r p o c o n e l o b j e t o d e r e u -
n i r , b a j o u n a e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a a b s t r a c t a , l a s p r o p i e d a d e s q u e t i e n e n e n
c o m ú n , p o r e j e m p l o , l o s n ú m e r o s e n t e r o s , r e a l e s y c o m p l e j o s , l a s m a t r i c e s y
l o s p o l i n o m i o s , y d e s t a c a r a q u e l l a s p r o p i e d a d e s q u e n o c o m p a r t e n . E n e s e
s e n t i d o , l a d e n i c i ó n d e u n a e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a ( p o r e j e m p l o , l a d e n i c i ó n
d e g r u p o ) r e s p o n d e r á a l a a b s t r a c c i ó n d e c i e r t a s p r o p i e d a d e s c o m u n e s a l o s
o b j e t o s a n t e r i o r e s , e n t e n d i e n d o p o r a b s t r a c c i ó n e l p r o c e s o d e s e p a r a r l a f o r -
m a d e l c o n t e n i d o . C o m o c o l o f ó n d e l c a p í t u l o y a p l i c a c i ó n d e l o s c o n c e p t o s
p r e v i a m e n t e i n t r o d u c i d o s v e r e m o s u n a i n t r o d u c c i ó n a l o s t i p o s a b s t r a c t o s d e
d a t o s .
9
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1 0 Á l g e b r a
1 . 1 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s , m a t r i c e s y
e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a
A l a p l i c a r l a t e o r í a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s , e n t r e o t r a s d i s c i p l i n a s , a l a i n f o r -
m á t i c a , a p a r e c e n e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s e n t e r o s , b i n a r i o s (0 ó
1), r e a l e s o i n c l u s o c o m p l e j o s . L a d e n i c i ó n d e l a e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a d e
c u e r p o s e i n t r o d u c i r á m á s t a r d e . C ó m o e n l a m a y o r p a r t e d e l o s r e s u l t a d o s
r e f e r e n t e s a l a t e o r í a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s n o h a c e f a l t a h a c e r d i s t i n c i ó n
e n t r e l o s c a s o s e n l o s q u e l o s c o e c i e n t e s s o n e l e m e n t o s d e l c u e r p o R
d e l o s
n ú m e r o s r e a l e s o d e l c u e r p o C
d e l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s , a l o l a r g o d e l c a -
p í t u l o s e c o n s i d e r a r á q u e l o s c o e c i e n t e s d e l a s e c u a c i o n e s p e r t e n e c e n a u n
c u e r p o g e n é r i c o K
, d o n d e K = R
ó C
, a u n q u e e n a l g u n o s c a s o s e n l o s q u e s e
d i r á e x p l í c i t a m e n t e , s e c o n s i d e r a r a n t a m b i é n c o e c i e n t e s b i n a r i o s , e s d e c i r ,
d e l c u e r p o Z2 = {0, 1}
d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s m ó d u l o 2 .
S e a s u m e q u e e l e s t u d i a n t e h a t r a b a j a d o e n c u r s o s a n t e r i o r e s c o n e l e m e n -
t o s d e R2
y R3, a l o s q u e s e d e n o m i n a n pares o r d e n a d o s y ternas . A m b o s
c o n c e p t o s s o n c a s o s p a r t i c u l a r e s d e l c o n c e p t o d e n − tupla o e l e m e n t o d e l
p r o d u c t o c a r t e s i a n o d e n c o p i a s d e R, Rn, d o n d e n e s u n n ú m e r o n a t u r a l , o
e n g e n e r a l d e Kn. A s í
Kn = {(x1,...,xn) | ∀i ∈ {1,...,n} xi ∈ K}
D e e s t e m o d o , u n p a r o r d e n a d o e s u n a 2−
tupla ( u n e l e m e n t o d e K2) y
u n a t e r n a e s u n a 3 − tupla ( u n e l e m e n t o d e
K3).
1 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n a l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s
D e n i c i ó n 1 . 1 . 1 U n a e c u a c i ó n l i n e a l e n l a s v a r i a b l e s ( o i n c ó g n i t a s ) x1,...,xn
e s u n a e x p r e s i ó n d e l a f o r m a
a1x1 + ... + anxn = b
A a1,...,an ∈ Ks e l e s d e n o m i n a c o e c i e n t e s d e l a e c u a c i ó n , y a b ∈ K
t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e .
O b s e r v a c i ó n 1 H a b i t u a l m e n t e , l o s c o e c i e n t e s a1,...,an y e l t é r m i n o i n d e -
p e n d i e n t e b s e r á n e l e m e n t o s d e u n c u e r p o K
( c o n K = R
ó C). E n t a l c a s o
s e d i c e q u e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r e s u n a e c u a c i ó n l i n e a l c o n c o e c i e n t e s e n K.
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Á l g e b r a 1 1
O b s e r v a c i ó n 2 C u a n d o n ≤ 3 e s u s u a l u t i l i z a r l a s v a r i a b l e s x, y y z e n
l u g a r d e
x1, x2y
x3
E j e m p l o 1 . 1 . 2 S i n = 2 y a1, a2 ∈ R, l a e c u a c i ó n l i n e a l
a1x + a2y = b (I )
r e p r e s e n t a u n a r e c t a e n e l p l a n o R2, e s d e c i r , e l c o n j u n t o d e p a r e s (x, y) q u e
s a t i s f a c e n l a e c u a c i ó n (I )
c o n s t i t u y e n u n a r e c t a . P o r e j e m p l o , l a e c u a c i ó n
y − 2x = 2 r e p r e s e n t a l a r e c t a
T
E
& &
& &
& &
& & &
2
- 1 0
F i g u r a 1 . 1 : L a r e c t a y = 2 x + 2
E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e l a s o p e r a c i o n e s q u e a f e c t a n a l a s v a r i a b l e s
q u e i n t e r v i e n e n e n l a s e c u a c i o n e s l i n e a l e s s e r e d u c e n a m u l t i p l i c a r l a s p o r l o s
c o e c i e n t e s y s u m a r l a s . A s í p o r e j e m p l o ,
3x + 4y = 24
x1 − x2 + 5x3 − (√
2)x4 = 1
(e2)x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0
s o n e c u a c i o n e s l i n e a l e s . S i n e m b a r g o N O s o n e c u a c i o n e s l i n e a l e s
3x2 + 4y = 24
x1 − x2 + 5x3 − 2√
x4 = 1
e2x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0
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1 2 Á l g e b r a
D e n i c i ó n 1 . 1 . 3 S e d i c e q u e (α1,...,αn) ∈ Kne s s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n
a1x1 + ... + anxn = b
s i
a1α1 + ... + anαn = b.
E j e m p l o 1 . 1 . 4 (x,y,z ) = (3, 2, −1)
e s s o l u c i ó n d e x + y + z = 4.
P o r o t r a
p a r t e (x,y,z ) = (4, 0, 0) t a m b i é n e s s o l u c i ó n d e d i c h a e c u a c i ó n .
U n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s e s u n a s u c e s i ó n n i t a d e e c u a c i o n e s
l i n e a l e s . E s u s u a l r e p r e s e n t a r l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s v e r t i c a l m e n -
t e ( i . e . , c o l o c a n d o l a s u c e s i ó n d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s e n c o l u m n a ) . A s í , u n
s i s t e m a d e m e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n n i n c ó g n i t a s s e r e p r e s e n t a r í a p o r a11x1 + ... + a1nxn = b1
.
.
.
am1x1 + ... + amnxn = bm
E j e m p l o 1 . 1 . 5 E l s i s t e m a
x2 + x3 = 12x1 − x3 = 2x2 + x3 = 4
e s u n s i s t e m a d e 3 e c u a c i o n e s c o n 3 i n c ó g n i t a s .
D e n i c i ó n 1 . 1 . 6 S e d i c e q u e (α1,...,αn) ∈ Kn
e s s o l u c i ó n d e l s i s t e m a d e
e c u a c i o n e s a11x1 + ... + a1nxn = b1
.
.
.
am1x1 + ... + amnxn = bm
s i
∀i ∈ {1,...,m} ai1α1 + ... + ainαn = bi
o , l o q u e e s l o m i s m o , a11α1 + ... + a1nαn = b1
.
.
.
am1α1 + ... + amnαn = bm
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Á l g e b r a 1 3
E s i m p o r t a n t e t e n e r p r e s e n t e q u e l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s p u e -
d e n n o t e n e r s o l u c i o n e s , o t e n e r m á s d e u n a . P o r e j e m p l o , e l s i s t e m a d e
e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s e n R
x1 − x2 = 1x1 − x2 = 4
n o t i e n e s o l u c i ó n , y a q u e c o n t i e n e l a s e c u a c i o n e s d e d o s r e c t a s d i s t i n t a s y
p a r a l e l a s .
L o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s q u e n o t i e n e n s o l u c i ó n , c o m o e l d e l
e j e m p l o a n t e r i o r , s e d e n o m i n a n s i s t e m a s i n c o m p a t i b l e s .
L o s q u e t i e n e n a l m e n o s u n a s o l u c i ó n , e s t o e s , l o s s i s t e m a s c o m p a t i -
b l e s , p u e d e n t e n e r u n a ú n i c a s o l u c i ó n , e n c u y o c a s o s e d e n o m i n a n c o m p a t i -
b l e s d e t e r m i n a d o s , o m á s d e u n a s o l u c i ó n , e n c u y o c a s o , s i l o s c o e c i e n t e s
d e l s i s t e m a s o n n ú m e r o s r e a l e s o c o m p l e j o s , e l s i s t e m a t i e n e i n n i t a s s o l u c i o -
n e s ( c o m o s e v e r á p o r e l t e o r e m a 1 . 2 . 1 4 ) , y l o s s i s t e m a s c o r r e s p o n d i e n t e s s e
d e n o m i n a n c o m p a t i b l e s i n d e t e r m i n a d o s .
E j e r c i c i o 1 . 1 . 1 E n c o n t r a r t r e s s i s t e m a s d e d o s e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n c o e -
c i e n t e s e n R
c o n d o s i n c ó g n i t a s , u n o c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o , o t r o c o m p a t i b l e
i n d e t e r m i n a d o y u n t e r c e r o i n c o m p a t i b l e y r e p r e s e n t a r e l c o n j u n t o s o l u c i ó n
d e c a d a u n a d e l a s d o s e c u a c i o n e s l i n e a l e s q u e l o f o r m a n e n e l p l a n o R2
.
E x t r a e r c o n c l u s i o n e s .
1 . 1 . 2 S i s t e m a s h o m o g é n e o s
D e n i c i ó n 1 . 1 . 7 S e d i c e q u e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s e s h o m o g é -
n e o s i l o s t é r m i n o s i n d e p e n d i e n t e s d e t o d a s l a s e c u a c i o n e s q u e l o c o n s t i t u y e n
s o n i g u a l e s a 0 .
E j e m p l o 1 . 1 . 8 x1 + x3 = 0
2x1 − x2 + x3 = 0
e s u n s i s t e m a h o m o g é n e o d e 2 e c u a c i o n e s c o n 3 i n c ó g n i t a s .
O b s e r v a c i ó n 3 C u a l q u i e r s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e o a11x1 + ... + a1nxn = 0
.
.
.
am1x1 + ... + amnxn = 0
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1 4 Á l g e b r a
e s c o m p a t i b l e , p u e s t o q u e (0,..., 0) ∈ Kne s s i e m p r e u n a s o l u c i ó n d e d i c h o
s i s t e m a . A e s t a s o l u c i ó n s e l a c o n o c e c o m o s o l u c i ó n t r i v i a l
. S i u n s i s t e m a
h o m o g é n e o t i e n e s o l u c i o n e s d i s t i n t a s d e l a t r i v i a l , a c u a l q u i e r a d e d i c h a s
s o l u c i o n e s l a d e n o m i n a r e m o s s o l u c i ó n n o t r i v i a l .
E n e l c a p í t u l o 2 d e m o s t r a r e m o s q u e u n s i s t e m a h o m o g é n e o d e e c u a c i o n e s
l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s e n R
ó C
s a t i s f a c e e x a c t a m e n t e u n a d e l a s s i g u i e n t e s
p r o p o s i c i o n e s :
•E l s i s t e m a h o m o g é n e o s ó l o t i e n e l a s o l u c i ó n t r i v i a l .
•E l s i s t e m a h o m o g é n e o t i e n e i n n i t a s s o l u c i o n e s a d e m á s d e l a t r i v i a l .
E n p a r t i c u l a r , d e m o s t r a r e m o s q u e t o d o s i s t e m a h o m o g é n e o c o n c o e -
c i e n t e s e n R
ó C
q u e t e n g a m á s i n c ó g n i t a s q u e e c u a c i o n e s t i e n e i n n i t a s
s o l u c i o n e s .
S e p u e d e n c o m p r e n d e r e i n t e r i o r i z a r l o s r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s a t r a v é s
d e l a r e s o l u c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s e j e r c i c i o s :
E j e r c i c i o 1 . 1 . 2 C o m p r o b a r q u e e l s i s t e m a h o m o g é n e o x1 + x3 = 0
2x1 − x2 + x3 = 0
t i e n e i n n i t a s s o l u c i o n e s e n ∈ R3, d e s p e j a n d o l a s v a r i a b l e s x1 y x2 e n f u n c i ó n
d e x3 , y o b t e n e r u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a p a r a c a d a v a l o r d e
x3 c o n s i d e r a d o .
E j e r c i c i o 1 . 1 . 3 V e r i c a r q u e e l s i s t e m a x1 + x2 = 0
2x1 − x2 = 0
s ó l o t i e n e l a s o l u c i ó n t r i v i a l .
1 . 1 . 3 T r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s .
I n t r o d u c c i ó n a l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n
E n e s t a s e c c i ó n h a r e m o s u n a p r i m e r a d e s c r i p c i ó n d e l m é t o d o d e G a u s s -
J o r d a n p a r a e n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s ( s i e s q u e e x i s t e n ) d e u n s i s t e m a d e
e c u a c i o n e s l i n e a l e s . L a j u s t i c a c i ó n d e l m é t o d o y s u d e s c r i p c i ó n p r e c i s a s e
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Á l g e b r a 1 5
r e a l i z a r á e n l a s d o s s i g u i e n t e s s e c c i o n e s . E n e s t a s e c c i ó n t a m b i é n d a r e m o s
u n a p r i m e r a j u s t i c a c i ó n d e l a d e n i c i ó n d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s ( i . e . , d e
p o r q u é e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s s e d e n e t a l y c o m o s e d e n e ) . A l p r o c e s o
d e c á l c u l o d e l a s s o l u c i o n e s d e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s c o m p a t i b l e s e l e
d e n o m i n a r e s o l u c i ó n d e l s i s t e m a .
S i c o n s i d e r a m o s e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s : x1 − x2 + x3 = 12x1 + x2 − x3 = 2x1 + 2x2 + x3 = 4
p o d e m o s r e s o l v e r l o e l i m i n a n d o s u c e s í v a m e n t e u n a d e l a s i n c ó g n i t a s d e d o s
d e l a s e c u a c i o n e s , d e s p u é s o t r a d e l a s r e s t a n t e s y a s í s u c e s i v a m e n t e h a s t a
c o n o c e r e l v a l o r d e u n a i n c ó g n i t a , y a p a r t i r d e e l l a e l d e l a s d e m á s . E n e s t e
c a s o , m u l t i p l i c a n d o l a p r i m e r a e c u a c i ó n p o r 2 y r e s t á n d o s e l a a l a s e g u n d a , y
r e s t a n d o l a p r i m e r a e c u a c i ó n a l a t e r c e r a , o b t e n e m o s : x1 − x2 + x3 = 13x2 − 3x3 = 0
3x2 = 3.
A p a r t i r d e a q u í , d e l a t e r c e r a e c u a c i ó n s e o b t i e n e x2 = 1.
S u s t i t u y e n d o h a c i a
a t r á s v a m o s o b t e n i e n d o s u c e s í v a m e n t e e l v a l o r d e l r e s t o d e l a s i n c ó g n i t a s .
E n e s t e c a s o , d e l a s e g u n d a e c u a c i ó n o b t e n e m o s q u e x3 = 1, y , c o n o c i d o s l o s
v a l o r e s d e x2 y x3, d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n o b t e n e m o s q u e x1 = 1.E l m é t o d o d e s c r i t o , c o n s i s t e n t e e n i r e l i m i n a n d o l a s i n c ó g n i t a s d e l a s
e c u a c i o n e s u n a a u n a m e d i a n t e e l p r o c e s o d e s u m a r a u n a e c u a c i ó n o t r a
m u l t i p l i c a d a p o r u n n ú m e r o , p a r a , u n a v e z o b t e n i d o e l v a l o r d e u n a d e l a s
v a r i a b l e s , i r s u s t i t u y e n d o h a c i a a t r á s , s e c o n o c e c o m o e l i m i n a c i ó n g a u s s i a -
n a .
S i u n a v e z o b t e n i d o e l v a l o r d e u n a d e l a s v a r i a b l e s , e n l u g a r d e s u s t i t u i r
h a c i a a t r á s , s e g u i m o s s u m a n d o a u n a e c u a c i ó n o t r a m u l t i p l i c a d a p o r u n n ú -
m e r o , m u l t i p l i c a n d o a m b o s m i e m b r o s d e l a e c u a c i ó n p o r n ú m e r o s a d e c u a d o s e
i n t e r c a m b i a n d o e c u a c i o n e s c o n e l o b j e t o d e o b t e n e r u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s
e s c a l o n a d o e n e l q u e e n c a d a e c u a c i ó n a p a r e z c a ú n i c a m e n t e u n a i n c ó g n i t a ,
e s t a r e m o s a p l i c a n d o e l m é t o d o c o n o c i d o c o m o m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n .
U n a f o r m a d e r e p r e s e n t a r s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n s i s t e e n u t i -
l i z a r m a t r i c e s , e s t o e s , t a b l a s d e c o e c i e n t e s o r d e n a d a s s e g ú n u n n ú m e r o
d e t e r m i n a d o d e l a s y c o l u m n a s . D e h e c h o , e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n s e
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1 6 Á l g e b r a
a p l i c a m á s f á c i l m e n t e s o b r e l a q u e s e d e n o m i n a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l
s i s t e m a q u e s o b r e e l p r o p i o s i s t e m a . L a m a t r i z a s o c i a d a a l s i s t e m a x1 − x2 + x3 = 12x1 + x2 − x3 = 2x1 + 2x2 + x3 = 4
e s p o r d e n i c i ó n l a m a t r i z 1 −1 12 1 −11 2 1
y l a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a d i c h o s i s t e m a e s 1 −1 1 1
2 1 −1 21 2 1 4
L a a p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n s o b r e d i c h a m a t r i z p a r a o b t e -
n e r l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s q u e r e p r e s e n t a n o s d a r í a s u c e s í v a -
m e n t e :
1 −1 1 1
2 1 −1 21 2 1 4 F 2 = F 2−
2F 1F 3 = F 3 − F 1 →
1 −1 1 1
0 3 −3 00 3 0 3 F 2 ↔ F 3 →
1 −1 1 10 3 0 30 3 −3 0
F 2 = 13
F 2 → 1 −1 1 1
0 1 0 10 3 −3 0
F 3 = F 3 − 3F 2 →
1 −1 1 10 1 0 1
0 0 −3 −3
F 3 = −1
3F 3 →
1 −1 1 10 1 0 1
0 0 1 1
F 1 = F 1 − F 3 →
1 −1 0 00 1 0 10 0 1 1
F 1 = F 1 + F 2 → 1 0 0 1
0 1 0 10 0 1 1
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Á l g e b r a 1 7
L a ú l t i m a m a t r i z r e p r e s e n t a , o b v i a m e n t e , q u e x1 = 1, x2 = 1 y x3 = 1.E n l a r e s o l u c i ó n d e l s i s t e m a a n t e r i o r h e m o s a p l i c a d o s o b r e l a m a t r i z a m -
p l i a d a d e l s i s t e m a l o q u e s e d e n o m i n a n t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r
l a s . E s t a s s o n l a s s i g u i e n t e s :
1 . S u m a r a u n a l a o t r a m u l t i p l i c a d a p o r u n n ú m e r o : F i = F i + λF j2 . M u l t i p l i c a r u n a l a p o r u n n ú m e r o d i s t i n t o d e c e r o :
F i = λF i3 . I n t e r c a m b i a r d o s l a s : F i ↔ F j
E n c u a l q u i e r c a s o , n o t o d o s l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s t i e n e n
s o l u c i ó n . P o r e j e m p l o , s i c o n s i d e r a m o s e l s i s t e m a x1 − x2 = 12x1 − 2x2 = 4
l a a p l i c a c i ó n d e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s s o b r e l a
m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l s i s t e m a n o s l l e v a a 1 −1 12 −2 4
F 2 = F 2 − 2F 1 →
1 −1 10 0 2
e s d e c i r , 0x1 + 0x2 = 2.
A s í p u e s , e l s i s t e m a a n t e r i o r e s u n s i s t e m a i n c o m p a t i b l e .
U n e j e m p l o d e s i s t e m a c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o s e r í a e l s i g u i e n t e :
x1 − x2 + x3 = 12x1 + x2 − x3 = 2
2x1
−2x2 + 2x3 = 2
A l r e s o l v e r l o p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n o b t e n e m o s : 1 −1 1 12 1 −1 22 −2 2 2
F 2 = F 2 − 2F 1F 3 = F 3 − 2F 1
→ 1 −1 1 1
0 3 −3 00 0 0 0
F 2 = 13F 2 →
1 −1 1 10 1 −1 00 0 0 0
F 1 = F 1 + F 2 → 1 0 0 1
0 1 −1 00 0 0 0
e s d e c i r , x1 = 1
y x2 − x3 = 0, o l o q u e e s l o m i s m o , x2 = x3, c o n l o q u e ,
s i e s c r i b i m o s
x3 = t,p a r a c a d a v a l o r d e
tt e n e m o s u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a .
S e r í a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a (1, 1, 1), (1, 2, 2),...
e n t o t a l t e n d r í a m o s i n n i t a s
s o l u c i o n e s , t a n t a s c o m o p o s i b l e s v a l o r e s d e l p a r á m e t r o t; e s t o o c u r r e p o r q u e
e s t a m o s t r a b a j a n d o s o b r e e l c u e r p o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s , l u e g o t
t o m a
v a l o r e s e n R
, q u e e s i n n i t o .
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1 8 Á l g e b r a
1 . 1 . 4 S i s t e m a s e q u i v a l e n t e s
L a a p l i c a c i ó n s u c e s i v a d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s s o b r e u n s i s -
t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s ( o s o b r e s u m a t r i z a m p l i a d a ) p e r m i t e p a s a r d e
u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s a o t r o q u e , t e n i e n d o l a s m i s m a s s o l u c i o n e s
q u e e l p l a n t e a d o , e s m á s s e n c i l l o d e r e s o l v e r . E n e s t a s e c c i ó n d e m o s t r a r e m o s
c o n t o d o d e t a l l e q u e e s t o e s e f e c t i v a m e n t e a s í . P o r o t r a p a r t e , l a s t r a n s f o r m a -
c i o n e s e l e m e n t a l e s s o n r e v e r s i b l e s , e s d e c i r , s i r e a l i z a n d o t r a n s f o r m a c i o n e s
e l e m e n t a l e s s o b r e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s S o b t e n e m o s u n s i s t e -
m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s S , p o d e m o s r e c u p e r a r S a p a r t i r d e S r e a l i z a n d o
l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s “inversas” e n e l o r d e n a d e c u a d o ( e l o r d e n
i n v e r s o d e l q u e s e h a s e g u i d o p a r a p a s a r d e S
a S )
.
T R A S F O R M A C I Ó N T R A N S F O R M A C I Ó N I N V E R S A
F i = F i + λF j F i = F i − λF j
F i = λF i (λ = 0) F i =1
λF i
F i ↔ F j F i ↔ F j
E j e r c i c i o 1 . 1 . 4 R e a l i z a r l a s t r a n s f o r m a c i o n e s F 3 = F 3 − F 1, F 3 ↔ F 1,
F 2 =1
2F 2 s o b r e l a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l s i s t e m a .
x1 − x2 + x3 = 1
2x1 + 2x2
−2x3 = 2
x1 + 2x2 + x3 = 4
p a r a o b t e n e r l a m a t r i z A.
R e a l i z a r s o b r e A
l a s t r a n s f o r m a c i o n e s i n v e r s a s
d e l a s a n t e r i o r e s e n e l o r d e n a d e c u a d o y c o m p r o b a r q u e s e o b t i e n e l a m a t r i z
a m p l i a d a a s o c i a d a a l s i s t e m a d a d o .
D e n i c i ó n 1 . 1 . 9 S e d i c e q u e d o s s i s t e m a s d e m
e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n n
i n c ó g n i t a s s o n e q u i v a l e n t e s s i u n o d e e l l o s p u e d e o b t e n e r s e a p a r t i r d e l o t r o
r e a l i z a n d o s o b r e e l p r i m e r o u n a s u c e s i ó n n i t a d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n -
t a l e s p o r l a s .
O b s e r v a c i ó n 4 C o m o y a h e m o s s e ñ a l a d o , h a b i t u a l m e n t e r e p r e s e n t a r e m o s a
u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s α11x1 + ... + α1nxn = β 1
.
.
.
αm1x1 + ... + αmnxn = β m
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Á l g e b r a 1 9
p o r s u m a t r i z a m p l i a d a :
Am =
α11 ... α1n β 1.
.
.
.
.
.
.
.
.
αm1 ... αmn β m
∈ M m×(n+1)(K),
c o n l o q u e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s s e r e a l i z a n s o b r e l a s l a s d e e s t a
m a t r i z .
A l a v i s t a d e l a o b s e r v a c i ó n a n t e r i o r t i e n e s e n t i d o e s t a b l e c e r l a s i g u i e n t e
d e n i c i ó n :
D e n i c i ó n 1 . 1 . 1 0 S i u n a m a t r i z
A s e o b t i e n e r e a l i z a n d o t r a n s f o r m a c i o n e s
e l e m e n t a l e s p o r l a s s o b r e u n a m a t r i z A, d i r e m o s q u e l a s m a t r i c e s A y A
s o n e q u i v a l e n t e s p o r l a s .
O b s e r v a c i ó n 5 A l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s , r e a l i z a d a s , b i e n
d i r e c t a m e n t e s o b r e l a s e c u a c i o n e s d e l s i s t e m a , b i e n s o b r e l a s l a s d e s u m a t r i z
a m p l i a d a l a s d e n o t a r e m o s d e l m i s m o m o d o .
E j e r c i c i o 1 . 1 . 5 V e r i c a r q u e l a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a d e m a t r i c e s e n
M m×n(K)e s u n a r e l a c i ó n b i n a r i a r e e x i v a , s i m é t r i c a y t r a n s i t i v a ( e s d e c i r ,
e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a e n e l s e n t i d o g e n e r a l ) .
T e o r e m a 1 . 1 . 1 1 S i d o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s , e n t o n c e s
t i e n e n e x a c t a m e n t e l a s m i s m a s s o l u c i o n e s . E n o t r a s p a l a b r a s , s i S y S s o n
e q u i v a l e n t e s ,
(α1,...,αn) es solucion de S ⇔ (α1,...,αn) es solucion de S .
D e m o s t r a c i ó n P a r a d e m o s t r a r e l t e o r e m a , e s s u c i e n t e c o n e s t u d i a r e l
c a s o e n e l q u e u n s i s t e m a s e o b t i e n e a p a r t i r d e o t r o m e d i a n t e l a a p l i c a c i ó n
d e u n a ú n i c a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r l a s . S u p o n g a m o s q u e e l s i s t e m a
c o n s i d e r a d o e s
S ≡
α11x1 + ... + α1nxn = β 1α21x1 + ... + α2nxn = β 2
.
.
.
αm1x1 + ... + αmnxn = β m
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2 0 Á l g e b r a
E s o b v i o q u e e l i n t e r c a m b i o d e l u g a r e n t r e d o s e c u a c i o n e s d e l s i s t e m a n o
a l t e r a e l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e l m i s m o . P o r c o n s i g u i e n t e l a a p l i c a c i ó n d e u n a
t r a n s f o r m a c i ó n d e l t i p o F i ↔ F j n o a l t e r a e l c o n j u n t o s o l u c i ó n . A d e m á s ,
t e n i e n d o e s t o p r e s e n t e , p o d e m o s r e s t r i n g i r e l e s t u d i o a l c a s o e n e l q u e l a s
t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s s e a p l i c a n ú n i c a m e n t e s o b r e l a p r i m e r a y l a
s e g u n d a e c u a c i ó n , d e j a n d o e l r e s t o i n a l t e r a d a s . S e a λ = 0, y s u p o n g a m o s
q u e
S ≡
λα11x1 + ... + λα1nxn = λβ 1α21x1 + ... + α2nxn = β 2
.
.
.
αm1x1 + ... + αmnxn = β m
V e a m o s q u e (s1,...,sn) solucion de S ⇒ (s1,...,sn) solucion de S .S i (s1,...,sn) e s s o l u c i ó n d e S, t e n d r e m o s q u e
α11s1 + ... + α1nsn = β 1α21s1 + ... + α2nsn = β 2
.
.
.
αm1s1 + ... + αmnsn = β m
c o n l o q u e , m u l t i p l i c a n d o a m b o s m i e m b r o s d e l a p r i m e r a i g u a l d a d p o r λ,o b t e n e m o s q u e
λα11s1 + ... + λα1nsn = λβ 1α21s1 + ... + α2nsn = β 2
.
.
.
αm1s1 + ... + αmnsn = β m
e s d e c i r , q u e (s1,...,sn) e s s o l u c i ó n d e S .V e a m o s a h o r a e l r e c í p r o c o , i . e . , q u e
(s1,...,sn) solucion de S ⇒ (s1,...,sn) solucion de S.
S i (s1,...,sn)
e s s o l u c i ó n d e S
, t e n d r e m o s q u e
λα11s1 + ... + λα1nsn = λβ 1
α21s1 + ... + α2nsn = β 2.
.
.
αm1s1 + ... + αmnsn = β m
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Á l g e b r a 2 1
c o n l o q u e , m u l t i p l i c a n d o a m b o s m i e m b r o s d e l a p r i m e r a i g u a l d a d p o r
1λ
,o b t e n e m o s q u e
α11s1 + ... + α1nsn = β 1α21s1 + ... + α2nsn = β 2
.
.
.
αm1s1 + ... + αmnsn = β m
e s d e c i r , q u e (s1,...,sn) e s s o l u c i ó n d e S.S u p o n g a m o s a h o r a q u e
S
≡
α11x1 + ... + α1nxn = β 1(α21 + µα11)x1 + ... + (α2n + µα1n)xn = (β 2 + µβ 1)
.
.
.
αm1x1 + ... + αmnxn = β m
V e a m o s q u e (s1,...,sn) solucion de S ⇒ (s1,...,sn) solucion de S .S i (s1,...,sn) e s s o l u c i ó n d e S, t e n d r e m o s q u e
α11s1 + ... + α1nsn = β 1α21s1 + ... + α2nsn = β 2
.
.
.
αm1s1 + ... + αmnsn = β m
c o n l o q u e , m u l t i p l i c a n d o l o s d o s m i e m b r o s d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n p o r
µ,y
s u m a n d o m i e m b r o a m i e m b r o l a p r i m e r a e c u a c i ó n a l a s e g u n d a o b t e n d r e m o s α11s1 + ... + α1nsn = β 1
(α21 + µα11)s1 + ... + (α2n + µα1n)sn = (β 2 + µβ 1).
.
.
αm1s1 + ... + αmnsn = β m
R e c í p r o c a m e n t e , v e a m o s q u e (s1,...,sn) solucion de S ⇒ (s1,...,sn) solucion
de S.S i
(s1,...,sn)e s s o l u c i ó n d e
S ,t e n d r e m o s q u e
α11s1 + ... + α1nsn = β 1
(α21 + µα11)s1 + ... + (α2n + µα1n)sn = (β 2 + µβ 1).
.
.
αm1s1 + ... + αmnsn = β m
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2 2 Á l g e b r a
M u l t i p l i c a n d o l a p r i m e r a i g u a l d a d p o r µ y r e s t á n d o s e l a a l a s e g u n d a o b t e n e -
m o s q u e α11s1 + ... + α1nsn = β 1α21s1 + ... + α2nsn = β 2
.
.
.
αm1s1 + ... + αmnsn = β m
c o n l o q u e (s1,...,sn) e s s o l u c i ó n d e S. E s t o c o m p l e t a l a d e m o s t r a c i ó n d e l
t e o r e m a . 2
1 . 1 . 5 E s t r a t e g i a p a r a l a a p l i c a c i ó n d e l m é t o d o
d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a
1 . R e o r d e n a r l a s e c u a c i o n e s p a r a q u e e n l a p r i m e r a e c u a c i ó n l a p r i m e r a
v a r i a b l e x1 t e n g a u n c o e c i e n t e n o n u l o , y m u l t i p l i c a r a m b o s m i e m b r o s d e
d i c h a e c u a c i ó n p a r a q u e e l c o e c i e n t e d e d i c h a v a r i a b l e s e a 1.
2 . R e s t a r l a p r i m e r a e c u a c i ó n m u l t i p l i c a d a p o r u n e s c a l a r a d e c u a d o a l a s
d e m á s e c u a c i o n e s c o n e l o b j e t o d e q u e l a p r i m e r a v a r i a b l e a p a r e z c a s o l a m e n t e
e n l a p r i m e r a e c u a c i ó n .
3 . E n e l c a s o d e q u e s e a p o s i b l e , r e o r d e n a r l a s e c u a c i o n e s d e l a s e g u n d a
e n a d e l a n t e c o n e l o b j e t o d e q u e l a s e g u n d a v a r i a b l e
x2a p a r e z c a c o n u n
c o e c i e n t e n o n u l o y m u l t i p l i c a r a m b o s m i e m b r o s d e d i c h a e c u a c i ó n p a r a
q u e e l c o e c i e n t e d e d i c h a v a r i a b l e s e a 1. S i l a v a r i a b l e x2 n o a p a r e c e m á s
q u e e n l a p r i m e r a e c u a c i ó n , h a c e r l a o p e r a c i ó n a n t e r i o r c o n l a v a r i a b l e x3 o
c o n l a p r i m e r a v a r i a b l e q u e a p a r e z c a c o n u n c o e c i e n t e n o n u l o e n a l g u n a d e
l a s e c u a c i o n e s r e s t a n t e s ( t o d a s s a l v o l a p r i m e r a ) .
4 . R e s t a r l a s e g u n d a e c u a c i ó n m u l t i p l i c a d a p o r u n e s c a l a r a d e c u a d o a l a s
e c u a c i o n e s s i t u a d a s b a j o l a m i s m a c o n e l o b j e t o d e q u e l a s e g u n d a v a r i a b l e
( o l a q u e c o r r e s p o n d a ) n o a p a r e z c a e n n i n g u n a e c u a c i ó n s i t u a d a p o r d e b a j o
d e l a s e g u n d a .
5 . O p e r a n d o a n á l o g a m e n t e c o n e l r e s t o d e l a s e c u a c i o n e s , e l s i s t e m a a s í
o b t e n i d o s e r á u n s i s t e m a escalonado, e s d e c i r , u n s i s t e m a q u e s e a j u s t a a l a
s i g u i e n t e d e n i c i ó n .
D e n i c i ó n 1 . 1 . 1 2 S e d i c e q u e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s e s c a l o n a d o
s i
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Á l g e b r a 2 3
( E . 1 )
L a p r i m e r a v a r i a b l e d e c a d a e c u a c i ó n t i e n e 1 c o m o
c o e c i e n t e ( a e s t a v a r i a b l e l a d e n o m i n a r e m o s v a r i a b l e
p r i n c i p a l d e d i c h a e c u a c i ó n ) .
( E . 2 )
L a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e c u a l q u i e r e c u a c i ó n s i e m p r e
a p a r e c e s i t u a d a a l a d e r e c h a d e l a s v a r i a b l e s
p r i n c i p a l e s d e l a s e c u a c i o n e s p r e v i a s , y t o d a s l a s e c u a c i o n e s
s i n v a r i a b l e p r i n c i p a l a p a r e c e n c o l o c a d a s a l n a l .
L a ú l t i m a f r a s e d e ( E . 2 ) p u e d e p a r e c e r a l g o m i s t e r i o s a . S i n e m b a r g o ,
a l l l e v a r a c a b o l a e s t r a t e g i a a n t e r i o r s o b r e u n s i s t e m a c o n c r e t o , p o d r í a m o s
o b t e n e r u n a e c u a c i ó n d e l a f o r m a
0x1 + ... + 0xn = k
c o n k = 0 o k = 0 ( e n e s t e ú l t i m o c a s o e l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e ) . E s t e t i p o
d e e c u a c i o n e s d e b e r á n a p a r e c e r s i e m p r e e n l a s ú l t i m a s l a s d e l s i s t e m a .
E j e m p l o 1 . 1 . 1 3 L o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s s o n e s c a l o n a d o s : x1 + x2 + 3x3 = 9x2 + 6x3 = 24
x3 = −4
x1 + x2 + x3
−5x4 = 4
x3 − 2x4 = 6.
L a s m a t r i c e s a m p l i a d a s a s o c i a d a s a e s t o s s i s t e m a s s o n 1 1 3 90 1 6 240 0 1 −4
y
1 1 1 −5 40 0 1 −2 6
E l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e u n s i s t e m a e s c a l o n a d o e s r a z o n a b l e m e n t e
s e n c i l l o d e o b t e n e r . U n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s c a l o n a d o s e r á c o m p a t i b l e e n
t o d o s l o s c a s o s e n l o s q u e n o a p a r e z c a u n a e c u a c i ó n d e l a f o r m a
0x1 + ... + 0xn = k, c o n k = 0.
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2 4 Á l g e b r a
S u p o n i e n d o q u e e l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e , a c u a l q u i e r v a r i a b l e q u e n o s e a
l a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e u n a e c u a c i ó n l a d e n o m i n a r e m o s v a r i a b l e l i b r e . S i
u n a v a r i a b l e e s v a r i a b l e p r i n c i p a l d e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s c a l o n a d o ,
d i r e m o s q u e d i c h a v a r i a b l e n o e s l i b r e ( o t a m b i é n q u e e s t á d e t e r m i n a d a ) .
E l s i g u i e n t e p r o c e s o , c o n o c i d o c o m o s u s t i t u c i ó n h a c i a a t r á s o r e m o n t e ,
o b t i e n e t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a a s i g n a n d o p a r á m e t r o s a l a s v a r i a b l e s
l i b r e s .
S u s t i t u c i ó n h a c i a a t r á s e n e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a
S u p o n i e n d o q u e n o a p a r e c e n i n g u n a e c u a c i ó n d e l a f o r m a
0x1 + ... + 0xn = k
c o n k = 0 e n e l s i s t e m a e s c a l o n a d o o b t e n i d o , c o m e n z a m o s c o n l a ú l t i m a
e c u a c i ó n d e l s i s t e m a a s i g n a d o u n p a r á m e t r o d i f e r e n t e a c a d a v a r i a b l e l i b r e
y e x p r e s a n d o l a v a r i a b l e d e t e r m i n a d a p o r l a ú l t i m a e c u a c i ó n e n t é r m i n o s
d e e s t o s p a r á m e t r o s . D e s p u é s , o p e r a r e m o s a n á l o g a m e n t e c o n l a p e n ú l t i m a
e c u a c i ó n , a s i g n a n d o d i f e r e n t e s p a r á m e t r o s a c a d a u n a d e l a s n u e v a s v a r i a b l e s
l i b r e s , y o b t e n i e n d o e l v a l o r d e l a v a r i a b l e d e t e r m i n a d a p o r l a p e n ú l t i m a
e c u a c i ó n . R e a l i z a n d o l a s m i s m a s o p e r a c i o n e s c o n e l r e s t o d e l a s e c u a c i o n e s
h a s t a l l e g a r a l a p r i m e r a , a l n a l d e l p r o c e s o t o d a s l a s v a r i a b l e s l i b r e s t e n d r á n
a s i g n a d o u n p a r á m e t r o d i f e r e n t e , y t o d a s l a s v a r i a b l e s d e t e r m i n a d a s e s t a r á n
e x p r e s a d a s e n t é r m i n o s d e e s t o s p a r á m e t r o s .
E j e r c i c i o 1 . 1 . 6 R e s o l v e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s p o r
e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a . : 2x1 + x2 + 3x3 = 95x1 + 4x2 + 6x3 = 24
x1 + 3x2 − 2x3 = 43x1 + x2 + x3 − 5x4 = 45x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 6
1 . 1 . 6 M é t o d o d e G a u s s - J o r d a n
E l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n e s u n a e x t e n s i ó n d e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n g a u s -
s i a n a , q u e c o n s i s t e e n e l i m i n a r l a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e l a e c u a c i ó n c o r r e s p o n -
d i e n t e n o s o l a m e n t e e n l a s e c u a c i o n e s q u e a p a r e c e n s i t u a d a s p o r d e b a j o d e
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Á l g e b r a 2 5
l a m i s m a , s i n o e n t o d a s l a s e c u a c i o n e s d e l s i s t e m a . P o r e l l o , l a e s t r a t e g i a e s
l a m i s m a q u e l a d e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n d e G a u s s , c o n l a a d i c i ó n d e l a s
s i g u i e n t e s i n s t r u c c i o n e s e n e l l u g a r c o r r e s p o n d i e n t e :
4 . S u s t r a e r a d e m á s l a s e g u n d a e c u a c i ó n m u l t i p l i c a d a p o r u n e s c a l a r a d e -
c u a d o d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n , c o n e l o b j e t o d e e l i m i n a r l a s e g u n d a v a r i a b l e
d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n .
5 . E n c a d a p a s o s u s t r a e r l a e c u a c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e m u l t i p l i c a d a p o r
u n e s c a l a r a d e c u a d o t a n t o d e l a s e c u a c i o n e s s i t u a d a s p o r d e b a j o d e l a m i s m a
c o m o d e l a s s i t u a d a s p o r e n c i m a , c o n e l o b j e t o d e q u e l a v a r i a b l e p r i n c i p a l
d e c a d a e c u a c i ó n a p a r e z c a ú n i c a m e n t e e n l a e c u a c i ó n d e l a q u e e s v a r i a b l e
p r i n c i p a l .
L o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s q u e r e s u l t a n d e l a a p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e
G a u s s - J o r d a n s e d i c e q u e t i e n e n f o r m a e s c a l o n a d a r e d u c i d a , e s d e c i r :
D e n i c i ó n 1 . 1 . 1 4 S e d i c e q u e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s t á e n f o r m a e s -
c a l o n a d a r e d u c i d a s i
( E . R . 1 )
L a p r i m e r a v a r i a b l e d e c a d a e c u a c i ó n t i e n e 1 c o m o
c o e c i e n t e ( a e s t a v a r i a b l e l a d e n o m i n a r e m o s v a r i a b l e
p r i n c i p a l d e d i c h a e c u a c i ó n ) .
( E . R . 2 )
L a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e c u a l q u i e r e c u a c i ó n s i e m p r e
a p a r e c e s i t u a d a a l a d e r e c h a d e l a s v a r i a b l e s
p r i n c i p a l e s d e l a s e c u a c i o n e s p r e v i a s , y t o d a s l a s e c u a c i o n e s
s i n v a r i a b l e p r i n c i p a l a p a r e c e n c o l o c a d a s a l n a l .
( E . R . 3 )
L a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e c a d a e c u a c i ó n a p a r e c e s o l a m e n t e
e n l a e c u a c i ó n d e l a q u e e s v a r i a b l e p r i n c i p a l .
E j e m p l o 1 . 1 . 1 5 V a m o s a r e s o l v e r e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s p o r e l
m é t o d o d e G a u s s J o r d a n , e s d e c i r , o b t e n i e n d o u n a f o r m a e s c a l o n a d a r e d u c i d a
d e d i c h o s i s t e m a x1 − 4x2 + x3 = 2−x1 + 3x2 − x3 = 1
x1 + 2x3 = 3
P a r a e l l o , t r a b a j a m o s d i r e c t a m e n t e s o b r e l a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l
s i s t e m a , t e n i e n d o p r e s e n t e e n t o d o m o m e n t o q u é e s l o q u e r e p r e s e n t a n l o s
c o e c i e n t e s d e d i c h a m a t r i z : 1 −4 1 2−1 3 −1 11 0 2 3
F 2 = F 2 + F 1F 3 = F 3 − F 1
→
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2 6 Á l g e b r a
1 −4 1 20
−1 0 3
0 4 1 1 F 2 = (−1)F 2F 1 = F 1 + 4F 2F 3 = F 3 − 4F 2 → 1 0 1 −10
0 1 0 −30 0 1 13
F 1 = F 1 − F 3 → 1 0 0 −23
0 1 0 −30 0 1 13
.
L a ú l t i m a m a t r i z a m p l i a d a r e p r e s e n t a e l s i s t e m a e n f o r m a e s c a l o n a d a
r e d u c i d a . E l s i s t e m a e s , p o r t a n t o , c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o y s u s o l u c i ó n e s
(−23, −3, 13).
E j e r c i c i o 1 . 1 . 7 R e s o l v e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s p o r
e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n : x1 − x2 − x3 + x4 = 5x2 − x3 + 2x4 = 8
2x1 − x2 − 3x3 + 4x4 = 18 x1 + 5x2 − 2x3 = 0x1 − 3x2 + x3 = 0x1 + 5x2 − x3 = 0
1 . 2 M a t r i c e s y o p e r a c i o n e s c o n m a t r i c e s
A l r e a l i z a r u n a p r i m e r a l e c t u r a d e l o s e p í g r a f e s s i g u i e n t e s , h a s t a c o m p l e t a r l a
t o t a l i d a d d e l c a p í t u l o , s e p u e d e p e n s a r q u e K = R
ó C
a u n q u e l o s r e s u l t a d o s
o b t e n i d o s s e r á n v á l i d o s p a r a c u a l q u i e r c u e r p o K
.
C o m o h e m o s v i s t o e n l a s e c c i ó n a n t e r i o r , l a s m a t r i c e s p e r m i t e n r e p r e s e n -
t a r s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s . V e a m o s u n a d e n i c i ó n p r e c i s a d e l o q u e
e s u n a m a t r i z :
D e n i c i ó n 1 . 2 . 1 U n a m a t r i z d e o r d e n m × n c o n c o e c i e n t e s e n u n c u e r p o
K( p o r e j e m p l o
K = Ró C
) e s u n a f u n c i ó n :
A : {1,...,m} × {1,...,n} −→ K(i, j) ; A(i, j)
S e d i c e e n t o n c e s q u e A
e s u n a m a t r i z c o n m
l a s y n
c o l u m n a s . E s
u s u a l r e p r e s e n t a r e l c o e c i e n t e A(i, j) d e l a m a t r i z A p o r s u c o r r e s p o n d i e n t e
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Á l g e b r a 2 7
m i n ú s c u l a c o n d o s s u b í n d i c e s , e n e s t e c a s o aij , y a l a m a t r i z c o m p l e t a A p o r
u n a t a b l a e n l a q u e e n l a l a `
“i”y e n l a c o l u m n a
“ j”a p a r e c e e l e l e m e n t o
aij :
A =
a11 · · · a1n
.
.
. aij
.
.
.
am1 · · · anm
.
A s í p o r e j e m p l o , l a m a t r i z A d e d o s l a s y d o s c o l u m n a s d e t e r m i n a d a p o r
A(1, 1) = 0, A(1, 2) = 1, A(2, 1) = −1, A(2, 2) = 4
s e r e p r e s e n t a r á p o r
0 1−1 4 .
A l c o n j u n t o d e m a t r i c e s d e m l a s y n c o l u m n a s c o n c o e c i e n t e s e n K
l o
d e n o t a r e m o s p o r M m×n(K).
E s o b v i o q u e d e l a d e n i c i ó n a n t e r i o r s e s i g u e q u e d o s m a t r i c e s A, B s o n
i g u a l e s s i s o n i g u a l e s c o m o f u n c i o n e s , e s d e c i r , s i s o n d e l m i s m o o r d e n ( i . e . ,
s i t i e n e n e l m i s m o n ú m e r o d e l a s y d e c o l u m n a s , o l o q u e e s l o m i s m o A, B ∈M m×n(K) p a r a a l g ú n m y n) y
∀(i, j) ∈ {1,...,m}×{1,...,n} A(i, j) = B(i, j).
E j e m p l o 1 . 2 . 2 V e a m o s a l g u n o s e j e m p l o s d e m a t r i c e s d e n i d a s c o n n o t a c i ó n
f u n c i o n a l :
1 . A ∈ M 3×3(K) d e n i d a p o r (A(i, i) = 1, ∀i = 1, 2, 3) ∧ (A(i, j) =0, ∀i, j ∈ {1, 2, 3}, i = j) e s l a m a t r i z : 1 0 0
0 1 00 0 1
2 . P o d e m o s u t i l i z a r t a m b i é n c o n g r u e n c i a s m ó d u l o u n n ú m e r o e n t e r o s o -
b r e i y j p a r a d e n i r l a m a t r i z ; p o r e j e m p l o B ∈ M 3×3(R) d a d a p o r
(A(i, j) = 1 ⇔ i + j ≡ 1m o d
2) ∧ (A(i, j) = 0 ⇔ i + j ≡ 0m o d
2)s e r e p r e s e n t a p o r 0 1 0
1 0 10 1 0
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2 8 Á l g e b r a
3 . O t r o e j e m p l o e s l a m a t r i z C ∈ M 3×3(R) d a d a p o r (A(i, j) = 2i−13 j−1),
q u e e s 1 3 92 6 184 12 36
R e c o r d e m o s a h o r a a l g u n a s d e n i c i o n e s y v e a m o s o t r a s n u e v a s :
•S i A ∈ M m×n(K) s e d i c e q u e A e s u n a m a t r i z d e o r d e n m×n. S i m = n ,
e n l u g a r d e e s c r i b i r M n×n(K), e s c r i b i r e m o s M n(K), y s i A ∈ M n(K)d i r e m o s q u e A e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n.
•S i A
∈M m
×n(K), u t i l i z a r e m o s i n d i s t i n t a m e n t e l a n o t a c i ó n u s u a l aij o
l a f u n c i o n a l A(i, j) p a r a r e f e r i r n o s a l e l e m e n t o d e l a m a t r i z A s i t u a d o
e n l a l a i − esima y e n l a c o l u m n a j − esima. P o r e l l o e s c r i b i r e m o s e n
o c a s i o n e s A = (aij) ∈ M m×n(K) p a r a r e f e r i r n o s a u n a m a t r i z g e n é r i c a
d e o r d e n m × n. ( O b s é r v e s e q u e a e s l a m i n ú s c u l a d e A).
•S i A ∈ M m×1(K) s e d i c e q u e A e s u n a m a t r i z c o l u m n a ( d e m l a s ) .
•S i
A ∈ M 1×n(K)s e d i c e q u e
Ae s u n a m a t r i z l a ( d e
nc o l u m n a s ) .
•S i A ∈ M m×n(K),
∀i ∈ {1,...,m}l l a m a r e m o s l a i - é s i m a d e A a l a
m a t r i z l a d e n c o l u m n a s
Ai = (ai1 ... ain).
A n á l o g a m e n t e , l l a m a r e m o s c o l u m n a j - é s i m a d e A a l a m a t r i z c o l u m n a
d e m l a s
A j =
a1 j.
.
.
amj
.
•U n a m a t r i z d e p a r t i c u l a r i n t e r é s e s l a m a t r i z i d e n t i d a d a l a q u e
d e n o t a r e m o s p o r I n ( h a y u n a p a r a c a d a v a l o r n a t u r a l d e n). A s í p o r
e j e m p l o ,
I 2 =
1 00 1
, I 3 =
1 0 00 1 00 0 1
e I 4 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
.
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Á l g e b r a 2 9
E n g e n e r a l l a m a t r i z I n = (aij) ∈ M n(K) s e d e n e p o r l a c o n d i c i ó n
∀i, j ∈ {1,...n}, aii = 1 ∧ (i = j ⇒ aij = 0).U t i l i z a n d o l a n o t a c i ó n
f u n c i o n a l , I n ∈ M n(K) q u e d a r í a d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s :
(∀i ∈ {1,...,n} I n(i, i) = 1) ∧ (∀i, j ∈ {1,...,n} (i = j ⇒ I n(i, j) = 0)).
•S i A ∈ M m×n(K) s e d e n o m i n a m a t r i z t r a s p u e s t a d e A a l a m a t r i z
tA ∈ M n×m(K)t a l q u e
∀(i, j) ∈ {1,...,n} × {1,...,m}tA(i, j) = A( j, i)
( e m p l e a n d o l a n o t a c i ó n n o f u n c i o n a l , s i
tA = (bij), e n t o n c e s
∀(i, j) ∈ {1,...,n} × {1,...,m} bij = a ji).
A s í p o r e j e m p l o , s i
A =
1 22 03 −1
∈ M 3×2(R),
s u t r a s p u e s t a e s
tA =
1 2 32 0 −1
∈ M 2×3(R).
U n m é t o d o s i s t e m á t i c o p a r a o b t e n e r l a m a t r i z t r a s p u e s t a d e u n a m a t r i z
d a d a c o n s i s t e e n i r l e y e n d o l o s c o e c i e n t e s p o r l a s p a r a s i s t e m á t i c a -
m e n t e e s c r i b i r l o s p o r c o l u m n a s .
1 . 2 . 1 S u m a d e m a t r i c e s
L a d e n i c i ó n d e s u m a d e m a t r i c e s e s m u y n a t u r a l :
D e n i c i ó n 1 . 2 . 3 S i A, B ∈ M m×n(K), l a s u m a
d e A y B e s l a m a t r i z
A + B ∈ M m×n(K) d e n i d a p o r l a s c o n d i c i o n e s
∀(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n} (A + B)(i, j) = A(i, j) + B(i, j)
E j e m p l o 1 . 2 . 4
1 −13 01 2
+
1 32 00 −2
=
2 25 01 0
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3 0 Á l g e b r a
O b s e r v a c i ó n 6 D e l a d e n i c i ó n a n t e r i o r s e s i g u e q u e p a r a q u e d o s m a t r i c e s
s e p u e d a n s u m a r d e b e n s e r d e l m i s m o o r d e n .
S e d e n o m i n a m a t r i z n u l a d e o r d e n m × n a l a m a t r i z (0) ∈ M m×n(K)d e n i d a p o r l a s c o n d i c i o n e s
∀(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n} (0)(i, j) = 0
A s í p o r e j e m p l o ,
(0) ∈ M 2×3(C) e s l a m a t r i z
0 0 00 0 0
.
O b s e r v a c i ó n 7 E n l o s u c e s i v o t a m b i é n e s c r i b i r e m o s (0) ∈ M m×n(K) p a r a
r e p r e s e n t a r a l a m a t r i z n u l a d e o r d e n m × n.
D e n i c i ó n 1 . 2 . 5 S i A ∈ M m×n(K) s e d e n o m i n a m a t r i z o p u e s t a
d e A a l a
m a t r i z (−A) ∈ M m×n(K)
d e n i d a p o r l a s c o n d i c i o n e s
∀(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n} (−A)(i, j) = −A(i, j) ∈ K
A s í p o r e j e m p l o ,
− 1 −1
3 01 2
= −1 1
−3 0−1 −2
y
−
2 −1 01 1 3
=
−2 1 0−1 −1 −3
.
P r o p o s i c i ó n 1 . 2 . 6 S i A,B,C ∈ M m×n(K),
s e v e r i c a q u e :
1 . A + B = B + A ( p r o p i e d a d c o n m u t a t i v a d e l a s u m a d e m a t r i c e s )
2 . A + (B + C ) = (A + B) + C ( p r o p i e d a d a s o c i a t i v a )
3 . A + (0) = A, (0) + A = A
( (0)
e s e l e l e m e n t o n e u t r o p a r a +)
4 . A + (−A) = (0), (−A) + A = (0) ( (−A) e s l a o p u e s t a d e A)
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Á l g e b r a 3 1
D e m o s t r a c i ó n S e t r a t a d e c o m p r o b a r , e n c a d a c a s o , q u e l a s m a t r i c e s s i -
t u a d a s a a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d s o n e f e c t i v a m e n t e i g u a l e s . D e m o s t r a r e -
m o s l a p r i m e r a p r o p i e d a d y e l r e s t o s e p r o p o n e c o m o e j e r c i c i o .
H a y q u e c o m p r o b a r q u e
∀(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n} (A + B)(i, j) = (B + A)(i, j)
S e a (i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n}. (A + B)(i, j) = ( p o r d e n i c i ó n ) =
= A(i, j) + B(i, j) = ( p u e s t o q u e l a s u m a d e n ú m e r o s r e a l e s o c o m p l e j o s y ,
e n g e n e r a l , d e l o s e l e m e n t o s d e u n c u e r p o , s a t i s f a c e l a p r o p i e d a d c o n m u t a t i -
v a ) = B(i, j) + A(i, j) = ( p o r d e n i c i ó n ) = (B + A)(i, j). 2
P o r s a t i s f a c e r l a s 4 p r o p i e d a d e s d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r s e d i c e q u e l a s
m a t r i c e s d e o r d e n
m × nc o n c o e c i e n t e s e n
Kt i e n e n e s t r u c t u r a d e g r u p o
a b e l i a n o r e s p e c t o d e l a s u m a . D e l a m a t r i z (0) s e d i c e q u e e s e l e l e m e n t o
n e u t r o d e l g r u p o a b e l i a n o , y d e l a m a t r i z (−A)
s e d i c e q u e e s l a m a t r i z
o p u e s t a d e A.
1 . 2 . 2 P r o d u c t o d e m a t r i c e s
E n c a p í t u l o s v e n i d e r o s v e r e m o s q u e l a s i g u i e n t e d e n i c i ó n d e l p r o d u c t o d e
m a t r i c e s p e r m i t i r á r e p r e s e n t a r l a a c t u a c i ó n d e u n a f u n c i ó n l i n e a l s o b r e u n
e l e m e n t o c o m o u n p r o d u c t o d e m a t r i c e s , h e c h o q u e a s u v e z t e n d r á c o m o
c o n s e c u e n c i a e l q u e l a c o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s l i n e a l e s s e e x p r e s e c o m o u n
p r o d u c t o d e m a t r i c e s .
S i c o n s i d e r a m o s u n a e c u a c i ó n l i n e a l , p o r e j e m p l o
2x1 + x2 + 6x3 = 3,
e s p o s i b l e c o n s i d e r a r l a p a r t e i z q u i e r d a d e l a i g u a l d a d c o m o e l p r o d u c t o d e
l a m a t r i z d e c o e c i e n t e s
(2 1 6)
p o r l a m a t r i z d e i n c ó g n i t a s
x1
x2
x3
y e s c r i b i r
(2 1 6) · x1
x2
x3
= (3)
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3 2 Á l g e b r a
S i l a e c u a c i ó n a n t e r i o r f o r m a p a r t e d e u n s i s t e m a , p o r e j e m p l o d e l s i s t e m a
2x1 + x2 + 6x3 = 35x1 + 4x2 + 6x3 = 24
x1 + 3x2 − 2x3 = 4
t e n i e n d o e n c u e n t a q u e d e l a d e n i c i ó n d e m a t r i z s e s i g u e q u e d o s m a t r i c e s
s o n i g u a l e s s i t i e n e n e l m i s m o n ú m e r o d e l a s y d e c o l u m n a s y l o s m i s m o s
c o e c i e n t e s e n c a d a l a y c o l u m n a , r e s u l t a q u e , u t i l i z a n d o l a d e n i c i ó n d e
p r o d u c t o d e m a t r i c e s a n t e r i o r , p o d e m o s r e p r e s e n t a r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s
m e d i a n t e u n p r o d u c t o d e m a t r i c e s , e s t o e s :
2 1 65 4 6
1 3 −2 ·x1
x2
x3 = 324
4 .
E n g e n e r a l , e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s a11x1 + ... + a1nxn = b1
.
.
.
am1x1 + ... + amnxn = bm
p u e d e r e p r e s e n t a r s e m e d i a n t e e l p r o d u c t o d e n i d o p o r l a e x p r e s i ó n :
A ·
x1.
.
.
xn
=
b1.
.
.
bm
.
C l a r o e s t á q u e p o d e m o s c o n s i d e r a r s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s c o n l a m i s m a
m a t r i z d e c o e c i e n t e s y d i s t i n t o t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e . P o r e j e m p l o : 2x1 + x2 + 6x3 = 35x1 + 4x2 + 6x3 = 24
x1 + 3x2 − 2x3 = 4y
2x1 + x2 + 6x3 = 15x1 + 4x2 + 6x3 = 1x1 + 3x2 − 2x3 = 1
.
E n e s e c a s o , t e n i e n d o e n c u e n t a , p o r u n a p a r t e , q u e l a s s o l u c i o n e s d e u n o
n o t i e n e n p o r q u é c o i n c i d i r c o n l a s d e l o t r o , p o r l o q u e d e n o t a m o s p o r y1, y2
e y3 a l a s i n c ó g n i t a s d e l s e g u n d o s i s t e m a , y p o r o t r a , c u a n d o d o s m a t r i -
c e s s o n i g u a l e s , p o d e m o s r e p r e s e n t a r l o s m a t r i c i a l m e n t e d e f o r m a s i m u l t á n e a ,
m e d i a n t e l a e x p r e s i ó n : 2 1 65 4 61 3 −2
· x1 y1
x2 y2x3 y3
=
3 124 14 1
.
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Á l g e b r a 3 3
E s t o n o s l l e v a a l a d e n i c i ó n d e p r o d u c t o d e d o s m a t r i c e s . C o m o o b s e r v a -
c i ó n p r e v i a a l a d e n i c i ó n , n ó t e s e q u e e n l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s , p a r a p o d e r
m u l t i p l i c a r l a m a t r i z d e c o e c i e n t e s p o r l a d e i n c ó g n i t a s , e r a p r e c i s o q u e
e l n ú m e r o d e l a s d e l a m a t r i z d e c o e c i e n t e s c o i n c i d i e s e c o n e l n ú m e r o d e
c o l u m n a s d e l a m a t r i z d e i n c ó g n i t a s .
D e n i c i ó n 1 . 2 . 7 D a d a s l a s m a t r i c e s A ∈ M m×n(K) y B ∈ M n× p(K) s e
d e n o m i n a m a t r i z p r o d u c t o d e A y B , y s e d e n o t a p o r A · B a l a m a t r i z
A · B ∈ M m× p(K) t a l q u e
∀(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,p} A · B(i, j) =n
k=1
A(i, k) · B(k, j)
E j e m p l o 1 . 2 . 8 D a d a s l a s m a t r i c e s
1 2 01 2 −11 1 00 4 3
∈ M 4×3(R)y
1 −13 01 2
∈
M 3×2(R), s u p r o d u c t o e s l a m a t r i z
1 2 01 2 −11 1 0
0 4 3
·
1 −13 0
1 2
=
7 −16 −34
−1
15 6
∈ M 4×2(R)
1 . 2 . 3 P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s
E l p r o d u c t o d e m a t r i c e s n o e s c o n m u t a t i v o , p u e s p o r e j e m p l o 1 11 1
·
1 −11 −1
=
2 −22 −2
y s i n e m b a r g o 1 −1
1 −1 · 1 1
1 1 = 0 0
0 0 .
P r o p o s i c i ó n 1 . 2 . 9 E l p r o d u c t o d e m a t r i c e s s a t i s f a c e l a s s i g u i e n t e s p r o p i e -
d a d e s :
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3 4 Á l g e b r a
1 . E s a s o c i a t i v o : ∀A ∈ M m×n(K), B ∈ M n× p(K) y C ∈ M p×q(K),
(A · B) · C = A · (B · C )
( y p o r t a n t o p o d e m o s o m i t i r l o s p a r é n t e s i s p a r a d e n o t a r c u a l q u i e r a d e
e s t o s p r o d u c t o s y e s c r i b i r A · B · C
) .
2 . E s d i s t r i b u t i v o r e s p e c t o d e l a s u m a :
∀A ∈ M m×n(K), ∀B, C ∈ M n× p(K) A · (B + C ) = A · B + A · C
∀A ∈ M m×n(K), ∀B, C ∈ M p×n(K) (B + C ) · A = B · A + C · A
3 .
∀A ∈ M m×n(K), A · (0) = A y (0) · A = (0)
D e m o s t r a c i ó n A n t e s d e d a r l a d e m o s t r a c i ó n d e b e m o s s e ñ a l a r q u e e s u s u a l
e m p l e a r e l s í m b o l o s u m a t o r i o
ni=1
ai e n l u g a r d e l a e x p r e s i ó n a1 + ... + an , l o
q u e t i e n e s e n t i d o p u e s t o q u e l a s u m a c o n s i d e r a d a e s a s o c i a t i v a .
1 . S e a n A ∈ M m×n(K)
, B ∈ M n× p(K)
y C ∈ M p×q(K).
L a s d o s m a t r i c e s
A·(B ·C ) y (A·B)·C t i e n e n e l m i s m o o r d e n , y a q u e a m b a s p e r t e n e c e n a
M m×q(K).V e a m o s q u e
∀(i, j) ∈ {1,...,m}×{1,...,q } (A·(B ·C ))(i, j) =((A · B) · C )(i, j) :
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Á l g e b r a 3 5
(A · (B · C ))(i, j) =n
k=1
A(i, k) · (B · C ) (k, j) =
=n
k=1
A(i, k) ·
ps=1
B(k, s) · C (s, j)
=
( p r o p . d i s t r i b u t i v a e n K ) =n
k=1
p
s=1
A(i, k) · (B(k, s) · C (s, j))
=
( p r o p . a s o c i a t i v a e n K ) =n
k=1
p
s=1
(A(i, k) · B(k, s)) · C (s, j)
=
( p r o p . d i s t r i b u t i v a e n K ) = p
s=1
nk=1
A(i, k) · B(k, s) · C (s, j) =
=
ps=1
(A · B) (i, s) · C (s, j) =
= ((A · B) · C )(i, j)
2 . S e d e m u e s t r a r a z o n a n d o d e f o r m a s i m i l a r a l a p a r t a d o a n t e r i o r .
3 . E j e r c i c i o . 2
O b s e r v a c i ó n 8 D e m o s t r a c i o n e s c o m o l a a n t e r i o r s e i n c l u y e n p a r a q u e
p u e d a n s e r c o n s u l t a d a s p o r l o s a l u m n o s i n t e r e s a d o s . E n c u a l q u i e r c a s o , e s
c o n v e n i e n t e c o n o c e r a l g u n o s h e c h o s r e l a t i v o s a l a n o t a c i ó n , y a l o s r e s u l t a d o s
d e r i v a d o s d e l u s o d e l a m i s m a . P o r e j e m p l o , e n l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r h e m o s
u t i l i z a d o l a i g u a l d a d
nk=1
p
s=1
A(i, k) · B(k, s) · C (s, j)
=
ps=1
n
k=1
A(i, k) · B(k, s)
· C (s, j)
q u e i n t u i t i v a m e n t e e s e v i d e n t e , p u e s t o q u e t a n t o e l p r o d u c t o d e n ú m e r o s
r e a l e s c o m o e l d e n ú m e r o s c o m p l e j o s e s c o n m u t a t i v o y d i s t r i b u t i v o r e s p e c t o
d e l a s u m a . L a d e m o s t r a c i ó n d e q u e e s t a i g u a l d a d e s v á l i d a e s c o n s e c u e n c i a
d e l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s r e l a c i o n a d a s c o n e l s í m b o l o s u m a t o r i o , c u y a
d e m o s t r a c i ó n t a m b i é n s e p u e d e h a c e r p o r i n d u c c i ó n :
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3 6 Á l g e b r a
•S i
{ai}i∈{1,...,n} y {b j} j∈{1,...,p} s o n d o s f a m i l i a s d e n ú m e r o s r e a l e s o c o m -
p l e j o s , s e v e r i c a q u e
∀n ∈N
, ∀ p ∈N
,ni=1
p j=1
ai · b j
=
ni=1
ai ·
p j=1
b j
E s d e c i r , q u e
ni=1
(aib1 + · · · + aib p) =
= (a1b1 + · · · + a1b p) + · · · + (anb1 + · · · + anb p) =
= a1 (b1 + · · · + b p) + · · · + an (b1 + · · · + b p) .
P a r a d e m o s t r a r l a i d e n t i d a d a n t e r i o r , r a z o n a m o s p o r i n d u c c i ó n s o b r e
“n”.
B a s e d e i n d u c c i ó n : h a y q u e p r o b a r q u e s i n = 1 ,
∀ p ∈ N1
i=1
p
j=1
ai · b j
=
1i=1
ai ·
p
j=1
b j
o l o q u e e s l o m i s m o , q u e
∀ p ∈ N
p j=1
a1 · b j
= a1 ·
p
j=1
b j
.
E s t a p r o p i e d a d s e d e m u e s t r a r a z o n a n d o p o r i n d u c c i ó n s o b r e
“ p” :s i
p = 1 e s o b v i o q u e
p j=1
a1 · b j
= a1 · b1 = a1 ·
1 j=1
b j
. S u p o n i e n d o
e n t o n c e s c i e r t o q u e
p
j=1
a1 · b j
= a1 ·
p
j=1
b j
, r e s u l t a q u e
p+1 j=1
a1 · b j
=
p
j=1
a1 · b j
+ a1 · b p+1 =
= ( por hipotesis de induccion) =
= a1 · p j=1
b j + a1 · b p+1 =
= a1 ·
p+1 j=1
b j
.
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Á l g e b r a 3 7
L a d e m o s t r a c i ó n d e l p a s o d e i n d u c c i ó n s o b r e “n” s e p r o p o n e c o m o
e j e r c i c i o p a r a t o d o a q u e l a l u m n o i n t e r e s a d o e n h a c e r l a .
•S i
{aik}(i,k)∈{1,...,n}×{1,...,p} e s u n a f a m i l i a d e n ú m e r o s r e a l e s o c o m p l e j o s ,
s e v e r i c a q u e
ni=1
p
k=1
aik
=
pk=1
n
i=1
aik
o , l o q u e e s l o m i s m o ,
(a11 + · · · + a1 p) + · · · + (an1 + · · · + anp) =
(a11 + · · · + a1n) + · · · + (a1 p + · · · + anp) .
L a d e m o s t r a c i ó n e s s i m i l a r a l a d e l p u n t o a n t e r i o r .
E j e r c i c i o 1 . 2 . 1 D e m o s t r a r q u e l a t r a s p o s i c i ó n d e m a t r i c e s s a t i s f a c e l a s s i -
g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :
1 . ∀A ∈ M m×n(K) t(tA) = A
2 . ∀A, B ∈ M m×n(K) t(A + B) =t A +t B
3 . ∀A ∈ M m×n(K), ∀B ∈ M n× p(K), t(A · B) =t B ·t A
E j e r c i c i o 1 . 2 . 2 D e m o s t r a r q u e ∀A ∈ M m×n(K) y
∀B ∈ M n×m(K)
A · I n = A ∧ I n · B = B
( e s d e c i r , I n d e j a i n v a r i a n t e p o r e l p r o d u c t o a c u a l q u i e r m a t r i z p o r l a q u e s e
p u e d a m u l t i p l i c a r , s e a o n o c u a d r a d a ) .
1 . 2 . 4 E l p r o d u c t o d e u n a m a t r i z p o r u n e s c a l a r
D e n i c i ó n 1 . 2 . 1 0 S i α ∈ K
y A ∈ M m×n(K)
s e d e n e l a m a t r i z αA
p o r l a s
s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s
∀(i, j)
∈ {1,...,m
} × {1,...,n
}(αA)(i, j) = αA(i, j)
E j e m p l o 1 . 2 . 1 1 (−3)
1 22 03 −1
=
−3 −6−6 0−9 3
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3 8 Á l g e b r a
E j e m p l o 1 . 2 . 1 2 S i e n d o α ∈ K
(αI n) =
α 0 0 · · · 00 α 0 · · · 00 0 α · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · α
∈ M n(K)
P r o p o s i c i ó n 1 . 2 . 1 3 ∀α, β ∈ K ∀A ∈ M m×n(K)
s e v e r i c a q u e
1 . ∀B ∈ M n× p(K) A · (αB) = (αA) · B = α(A · B)
2 . ∀B ∈ M m×n(K) α(A + B) = αA + αB
3 . ( −α)(A) = (α)(−A) = −(αA)4 . ( α + β )A = αA + βA5 . (
αβ )A = α(βA)
D e m o s t r a c i ó n E j e r c i c i o . 2
T e o r e m a 1 . 2 . 1 4 T o d o s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s r e a l e s
o c o m p l e j o s o b i e n n o t i e n e s o l u c i o n e s , o b i e n t i e n e e x a c t a m e n t e u n a s o l u c i ó n
o b i e n t i e n e u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s .
D e m o s t r a c i ó n N e c e s i t a m o s c o m p r o b a r q u e s i u n s i s t e m a t i e n e m á s q u e
u n a s o l u c i ó n , e n t o n c e s t i e n e i n n i t a s s o l u c i o n e s . S e a AX = B e l s i s t e m a
d a d o y s1, s2 d o s s o l u c i o n e s d i s t i n t a s ( s1 = s2 ) . E n t o n c e s ,
As1 = B = As2 y As1 − As2 = A(s1 − s2) = (0).
S e s i g u e q u e s1 − s2 e s s o l u c i ó n d e l s i s t e m a h o m o g é n e o AX = 0y q u e p a r a
t o d o λ ∈ K, s3 ≡ s1 + λ(s1 − s2) e s s o l u c i ó n d e AX = B :
As3 = A(s1 + λ(s1 − s2)) = As1 + A(λ(s1 − s2)) =
= As1 + λA(s1 − s2) = As1 = B.
H e m o s h a l l a d o t a n t a s s o l u c i o n e s c o m o e l e m e n t o s e n K
. C o m o K
e s , p o r h i -
p ó t e s i s , R
o C
( q u e s o n i n n i t o s ) , o b t e n e m o s i n n i t a s s o l u c i o n e s . 2
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Á l g e b r a 3 9
1 . 2 . 5 E l a n i l l o d e m a t r i c e s c u a d r a d a s M n(K)
S e g ú n h e m o s v i s t o , e l c o n j u n t o M m×n(K) d e l a s m a t r i c e s d e m l a s y nc o l u m n a s s o b r e u n c u e r p o
Kt i e n e e s t r u c t u r a d e g r u p o a b e l i a n o r e s p e c t o d e
l a s u m a h a b i t u a l d e m a t r i c e s .
E n e s t e a p a r t a d o v a m o s a e s t u d i a r l a e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a q u e t i e n e e l
c o n j u n t o d e l a s m a t r i c e s c u a d r a d a s , M n×n(K), r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s
d e s u m a y p r o d u c t o , y a q u e e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s e s u n a o p e r a c i ó n e n
M n×n(K) ( e l p r o d u c t o d e d o s m a t r i c e s c u a d r a d a s d e d i m e n s i ó n n e s u n a
m a t r i z c u a d r a d a d e d i m e n s i ó n n ) .
P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o e n M n(K)
P r o p o s i c i ó n 1 . 2 . 1 5 S i A,B,C ∈ M n(K), s e v e r i c a q u e :
1 . A · (B · C ) = (A · B) · C ( p r o p i e d a d a s o c i a t i v a d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s )
2 . A · (B + C ) = A · B + A · C ( p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a d e + r e s p e c t o d e ·
)
3 . A · I n = A, I n · A = A
( l a m a t r i z I n e s e l e m e n t o n e u t r o p a r a
·).
D e m o s t r a c i ó n L a d e m o s t r a c i ó n d e l a s p r o p i e d a d e s 1 y 2 s e h a h e c h o e n u n
c a s o m á s g e n e r a l . L a d e m o s t r a c i ó n d e l a p r o p i e d a d 3 s e d e j a c o m o e j e r c i c i o
( s e t r a t a d e v e r q u e l a s m a t r i c e s A · I n y A s o n i g u a l e s y l o m i s m o c o n l a o t r a
i g u a l d a d ) . 2
O b s e r v a c i ó n 9 P o r t e n e r M n(K)e s t r u c t u r a d e g r u p o c o n m u t a t i v o r e s p e c t o
d e l a s u m a d e m a t r i c e s y s a t i s f a c e r l a s p r o p i e d a d e s d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e -
r i o r s e d i c e q u e e l c o n j u n t o d e m a t r i c e s c u a d r a d a s d e o r d e n n, M n(K),
t i e n e
e s t r u c t u r a d e a n i l l o u n i t a r i o r e s p e c t o d e l a s u m a y p r o d u c t o d e m a t r i c e s h a -
b i t u a l e s y e l e m e n t o u n i d a d l a m a t r i z I n.
L a o p e r a c i ó n d e p r o d u c t o e n M n(K) p e r m i t e d e n i r p o t e n c i a s e n t e r a s n o
n e g a t i v a s d e u n a m a t r i z c u a d r a d a :
D e n i c i ó n 1 . 2 . 1 6 S i A e s u n a m a t r i z c u a d r a d a , A ∈ M n(K), s e d e n e
∀m ∈ NAm = (Am−1) · A
d o n d e , p o r c o n v e n i o d e n o t a c i ó n , s e a s u m e q u e A0 = I n.
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4 0 Á l g e b r a
O b s e r v a c i ó n 1 0 N o e s d i f í c i l c o m p r o b a r q u e ∀m, r ∈ N ∀A ∈ M n(K) s e
s a t i s f a c e n l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :
1 . Am+r = Am · Ar
2 . (Am)r = Amr
O b s e r v a c i ó n 1 1 N ó t e s e q u e c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a n o c o n m u t a t i v i d a d d e l
p r o d u c t o d e m a t r i c e s , s i A, B ∈ M n(K)e n g e n e r a l t e n d r e m o s q u e
(A + B)2 = A2 + B2 + A · B + B · A = A2 + B2 + 2A · B
S i n e m b a r g o , s i A y B c o n m u t a n p a r a e l p r o d u c t o , e s d e c i r , s i A·B = B·A,e n t o n c e s e s o b v i o q u e
(A + B)2 = A2 + B2 + 2A · B y , e n g e n e r a l , a s u m i e n d o
p o r c o n v e n i o d e n o t a c i ó n q u e
A0
= B0
= I n, s e v e r i c a q u e ∀m ∈ N
(A + B)m =
m0
Am · B0 +
m1
Am−1 · B + ... +
mm
A0 · Bm.
T e n i e n d o a h o r a e n c u e n t a q u e , s i e n d o α ∈ K
(αI n) =
α 0 0 · · · 00 α 0 · · · 00 0 α · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0· · ·
α
∈ M n(K)
y q u e t o d a m a t r i z c o n m u t a c o n l a i d e n t i d a d , p o d e m o s o b t e n e r l a s i g u i e n t e
f ó r m u l a , v á l i d a ∀A ∈ M n(K), ∀m ∈ N :
(A + αI n)m =
m0
Am +
m1
(αI n) Am−1 + ... +
mm
(αI n)m
1 . 2 . 6 M a t r i c e s i n v e r t i b l e s
D e n i c i ó n 1 . 2 . 1 7 S e d i c e q u e A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e s i ∃B ∈ M n(K) t a l
q u e
A · B = I n ∧ B · A = I n.
O b v i a m e n t e , s i B y Bs a t i s f a c e n l a s c o n d i c i o n e s d e l a d e n i c i ó n a n t e r i o r ,
e s d e c i r , s i
A · B = I n ∧ B · A = I n
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Á l g e b r a 4 1
y
A · B = I n ∧ B · A = I nr e s u l t a q u e
B = B · I n = B · (A · B) = (B · A) · B = I n · B = B
p o r l o q u e d a d a A ∈ M n(K)a l o s u m o h a y u n a m a t r i z B q u e s a t i s f a c e l a s
c o n d i c i o n e s d e l a d e n i c i ó n a n t e r i o r .
D e n i c i ó n 1 . 2 . 1 8 S i A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e , y
A
·B = I n
∧B
·A = I n.
s e d i c e q u e B e s l a m a t r i z i n v e r s a
d e A y a d i c h a m a t r i z l a d e n o t a r e m o s
p o r A−1.
O b s e r v a c i ó n 1 2 E n l a d e n i c i ó n d e m a t r i z i n v e r t i b l e , i m p o n e m o s q u e e l
p r o d u c t o d e A p o r u n c i e r t a m a t r i z B , p o r a m b o s l a d o s , s e a e l e l e m e n t o n e u -
t r o . H e m o s d e h a c e r l o a s í p o r q u e e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s n o e s c o n m u t a t i v o .
S i n e m b a r g o , v e r e m o s e n e l t e o r e m a 1 . 2 . 2 2 q u e e s s u c i e n t e c o m p r o b a r l o p o r
u n o s ó l o d e l o s d o s l a d o s .
E j e m p l o 1 . 2 . 1 9 L a m a t r i z i n v e r s a d e l a m a t r i z
A = 2 1/22 1 e s l a m a -
t r i z A−1 =
1 −1/2
−2 2
.
P r o p o s i c i ó n 1 . 2 . 2 0 S e a n A,B,A1, · · · , A p ∈ M n(K). S e v e r i c a q u e :
1 . s i A, B ∈ M n(K)
s o n i n v e r t i b l e s , e n t o n c e s A · B
e s i n v e r t i b l e y
(A · B)−1 = B−1 · A−1,
2 . s i A1, · · · , A p s o n i n v e r t i b l e s , e n t o n c e s e l p r o d u c t o A1 · A2 · · · · A p e s
i n v e r t i b l e y (A1 · A2 · · · · A p)−1 = A p−1 · · · A2
−1A1−1,
3 . s i A ∈ M n(K)
e s i n v e r t i b l e , e n t o n c e s (−A) ∈ M n(K)
e s i n v e r t i b l e y
(−A)−1 = −(A−1),
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4 2 Á l g e b r a
4 . s i A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e , e n t o n c e s
t
(A) ∈ M n(K)e s i n v e r t i b l e y
t (A−1) = (tA)−1
.
C o r o l a r i o 1 . 2 . 2 1 S i A ∈ M n(K) e s u n a m a t r i z i n v e r t i b l e , s e v e r i c a q u e
1 . A−1
e s i n v e r t i b l e y (A−1)
−1= A
2 . ∀m ∈ N Am
e s i n v e r t i b l e y (Am)−1 = (A−1)m
3 . ∀α ∈ K
, α = 0 s e v e r i c a q u e αA e s i n v e r t i b l e , y (αA)−1 = α−1A−1
E l s i g u i e n t e t e o r e m a a r m a q u e s i u n a m a t r i z c u a d r a d a t i e n e u n a m a t r i z
i n v e r s a a l a d e r e c h a o a l a i z q u i e r d a , e n t o n c e s e s i n v e r t i b l e :
T e o r e m a 1 . 2 . 2 2 S i
A, B ∈ M n(K
)s e v e r i c a q u e :
1 . A · B = I n ⇒ B = A−1.2 . B · A = I n ⇒ B = A−1
.
D e m o s t r a c i ó n P r o b e m o s 2 : s u p o n e m o s q u e B ·A = I n , y d e b e m o s p r o b a r
q u e A · B = I n .
S i B · A = I n , t o d o s i s t e m a q u e t e n g a c o m o m a t r i z a s o c i a d a A t i e n e u n a
ú n i c a s o l u c i ó n : d a d o u n s i s t e m a A · X = C , d o n d e C e s u n a m a t r i z c o l u m n a ,
m u l t i p l i c a n d o a a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d p o r B s e o b t i e n e :
B · (A · X ) = B · C
P o r l a a s o c i a t i v i d a d d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s
(B · A) · X = B · C
Y u s a n d o n u e s t r a h i p ó t e s i s i n i c i a l
X = I n · X = B · C
E s d e c i r , q u e s i X v e r i c a l a e c u a c i ó n A · X = C , n e c e s a r i a m e n t e X = B · C .
E n c o n c r e t o , d e n o t a n d o c o n I jn l a c o l u m n a j - é s i m a d e I n , e l s i s t e m a A ·X = I jn t i e n e u n a ú n i c a s o l u c i ó n B · I jn , q u e e s l a c o l u m n a j - e s i m a d e B ,
q u e d e n o t a m o s B j, p a r a c a d a j ∈ {1, . . . , n}
. E s d e c i r , h e m o s o b t e n i d o q u e
A·B j
= I jn
p a r a c a d a
j ∈ {1, . . . , n}. E n t o n c e s t a m b i é n
A·B = I ny p o d e m o s
e s c r i b i r B = A−1
.
P a r a p r o b a r 1 s u p o n e m o s q u e A · B = I n . A p l i c a m o s 2 a l a m a t r i z B y
o b t e n e m o s q u e B · A = I n .
2
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Á l g e b r a 4 3
1 . 2 . 7 M a t r i c e s e l e m e n t a l e s y u n m é t o d o p a r a h a l l a r A−1
D e n i c i ó n 1 . 2 . 2 3 S e d i c e q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s u n a m a t r i z e l e -
m e n t a l s i e s e l r e s u l t a d o d e r e a l i z a r u n a ú n i c a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r
l a s s o b r e l a m a t r i z I n.
E j e m p l o 1 . 2 . 2 4
1 00 −2
e s u n a m a t r i z e l e m e n t a l , p u e s
1 00 1
F 2 = (−2)F 2
−→
1 00 −2
I g u a l m e n t e
1 0 0 00 0 0 1
0 0 1 00 1 0 0
y
1 0 50 1 00 0 1 s o n m a t r i c e s e l e m e n t a l e s , p u e s
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
F 2 ↔ F 4−→
1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
1 0 0
0 1 00 0 1
F 1 = F 1 + 5F 3−→
1 0 50 1 00 0 1
.
E s o b v i o q u e s i A e s u n a m a t r i z e l e m e n t a l d e o r d e n n , l a m a t r i z I n s e p u e d e
o b t e n e r r e a l i z a n d o u n a ú n i c a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l s o b r e l a m a t r i z A ( l a
t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l i n v e r s a ) .
E l s i g u i e n t e r e s u l t a d o q u e d a r á s u c i e n t e m e n t e v e r i c a d o t r a s l a r e a l i z a c i ó n
d e l a p r á c t i c a 2 e n e l a u l a i n f o r m á t i c a :
T e o r e m a 1 . 2 . 2 5 S i E
e s l a m a t r i z e l e m e n t a l d e o r d e n m
q u e s e o b t i e n e a l
r e a l i z a r l a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l t s o b r e l a s l a s d e I m, y A ∈ M m×n(K),e n t o n c e s l a m a t r i z r e s u l t a n t e d e r e a l i z a r l a t r a n s f o r m a c i ó n t s o b r e l a s l a s
d e A e s l a m a t r i z p r o d u c t o E · A.
E j e r c i c i o 1 . 2 . 3 V e r i c a r e l r e s u l t a d o a n t e r i o r r e a l i z a n d o l a t r a n s f o r m a c i ó n
e l e m e n t a l F 3 = F 3 + 3F 1 s o b r e l a m a t r i z −1 4 60 2 10 0 1
.
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4 4 Á l g e b r a
T e n i e n d o a h o r a e n c u e n t a q u e , s e g ú n h e m o s v i s t o , c u a l q u i e r t r a n s f o r m a -
c i ó n e l e m e n t a l e s r e v e r s i b l e , y q u e l a i n v e r s a d e u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l
e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l , s e g ú n e l c u a d r o q u e y a e s t a b l e c i m o s e n s u
m o m e n t o
T R A N S F O R M A C I Ó N T R A N S F O R M A C I Ó N I N V E R S A
F i = F i + λF j F i = F i − λF j
F i = λF i (λ = 0) F i =1
λF i
F i ↔ F j F i ↔ F j
r e s u l t a q u e , s i d e n o t a m o s p o r P i(λ) a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a t r a n s -
f o r m a c i ó n F i = λF i (λ
= 0), p o r S ij(λ) a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a
t r a n s f o r m a c i ó n F i = F i + λF j y p o r E ij a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a
t r a n s f o r m a c i ó n F i ↔ F j , t e n e m o s e l s i g u i e n t e c o r o l a r i o d e l t e o r e m a a n t e r i o r :
C o r o l a r i o 1 . 2 . 2 6 T o d a m a t r i z e l e m e n t a l e s i n v e r t i b l e , y s u i n v e r s a t a m b i é n
e s u n a m a t r i z e l e m e n t a l . C o n c r e t a m e n t e ,
(S ij(λ))−1 = S ij(−λ)
(P i(λ))−1 = P i(1
λ)
(E ij)−1 = E ji
E j e r c i c i o 1 . 2 . 4 V e r i f í q u e s e e l r e s u l t a d o r e c o g i d o e n e l c o r o l a r i o a n t e r i o r ,
m u l t i p l i c a n d o l a s m a t r i c e s
P 2(−5) =
1 00 −5
S 13(4) =
1 0 40 1 00 0 1
y
E 24 = 1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
p o r s u s c o r r e s p o n d i e n t e s i n v e r s a s y o b s e r v a n d o q u e e n c a d a c a s o e l r e s u l t a d o
e s l a m a t r i z i d e n t i d a d d e l o r d e n c o r r e s p o n d i e n t e .
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Á l g e b r a 4 5
T e o r e m a 1 . 2 . 2 7 S i A ∈ M n(K) l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s s o n e q u i v a l e n -
t e s :
1 . A e s i n v e r t i b l e
2 . L a e c u a c i ó n A · X = (0) s ó l o t i e n e l a s o l u c i ó n t r i v i a l
3 . A
e s e q u i v a l e n t e p o r l a s a l a m a t r i z I n,
e s d e c i r ,
s u f o r m a e s c a l o n a d a r e d u c i d a e s l a m a t r i z i d e n t i d a d I n4 . E l s i s t e m a
A · X = be s c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o p a r a t o d a m a t r i z
c o l u m n a b ∈ M n×1(K) y s u ú n i c a s o l u c i ó n e s X = A−1 · B.
E j e m p l o 1 . 2 . 2 8 S i A ∈ M n(K)
y b ∈ M n×1(K),
e n t o n c e s e l s i s t e m a A ·
X = b e s c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o p a r a t o d a m a t r i z c o l u m n a s i y s o l o s i
Ae s i n v e r t i b l e . S i
An o e s i n v e r t i b l e o s i
An o e s u n a m a t r i z c u a d r a d a ,
p o d e m o s t o d a v í a d e t e r m i n a r c o n d i c i o n e s s o b r e l a m a t r i z
bt a l e s q u e e l s i s t e m a
A ·X = b s e a c o n s i s t e n t e . P o r e j e m p l o , a p l i c a n d o e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n
a l a m a t r i z a m p l i a d a d e l s i s t e m a s e o b t i e n e q u e x1 + x2 + 2x3 = b1x1 + x3 = b2
2x1 + x2 + 3x3 = b3 1 1 2 b11 0 1 b22 1 3 b3
F 2 = F 2 − F 1F 3 = F 3 − F 1
→
1 1 2 b10 −1 −1 b2 − b12 1 3 b3 − 2b1
F 1 = F 1 + F 2F 3 = F 3
−F 2
F 2 = −F 2→
1 0 1 b2
0 1 1 −b2 + b10 0 0 b3 − b2 − b1 .
S i b3 − b2 − b1 = 0 e l s i s t e m a n o e s c o m p a t i b l e y s i b3 − b2 − b1 = 0 e l
s i s t e m a e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a
x1 = −x3 + b2
x2 = −x3 − b2 + b1, q u e t i e n e i n n i t a s
s o l u c i o n e s d e l a f o r m a {(−t + b2, −t − b2 + b1, t) : t ∈ R} .
M é t o d o p a r a d e t e r m i n a r l a m a t r i z i n v e r s a
E l t e o r e m a a n t e r i o r p e r m i t e e s t a b l e c e r u n m é t o d o p a r a d e t e r m i n a r l a i n v e r s a
d e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e . P u e s s i A
e s i n v e r t i b l e , A
e s e q u i v a l e n t e p o r l a s a
l a m a t r i z I n y e x i s t e n m m a t r i c e s e l e m e n t a l e s E 1, E 2, · · · , E m t a l e s q u e
E m · E m−1 · ... · E 1 · A = I n.
S e s i g u e q u e , p o r e l t e o r e m a 1 . 2 . 2 2 ,
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4 6 Á l g e b r a
E m · E m−1 · · · · · E 1 = A−1
.e s d e c i r , r e c o g i e n d o l a s d o s i g u a l d a d e s a n t e r i o r e s ,
I n = E m · E m−1 · ... · E 1 · A
A−1 = E m · E m−1 · ... · E 1 · I n
E n o t r a s p a l a b r a s , l a s u c e s i ó n d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s q u e t r a n s f o r -
m a l a m a t r i z A e n l a m a t r i z I n, t a m b i é n t r a n s f o r m a l a m a t r i z I n e n l a m a t r i z
A−1, c o n l o q u e , s i e n d o t1,...,tm l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s
q u e p e r m i t e n o b t e n e r I n a p a r t i r d e A, e l e s q u e m a
A I n → t1,...,tm → I n A−1
n o s d a u n m é t o d o p a r a l a o b t e n c i ó n d e l a i n v e r s a d e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e A
p o r t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s .
E j e m p l o 1 . 2 . 2 9 P a r a c a l c u l a r l a i n v e r s a d e l a m a t r i z
−1 −1 02 1 02 1 1
p r o -
c e d e r í a m o s d e l s i g u i e n t e m o d o
−1
−1 0
2 1 02 1 1
1 0 00 1 00 0 1
→ F 2 = F 2 + 2F 1F 3 = F 3 + 2F 1
→
−1 −1 00 −1 00 −1 1
1 0 02 1 02 0 1
→F 1 = F 1 − F 2F 3 = F 3 − F 2F 1 = (−1)F 1F 2 = (−1)F 2
→
1 0 00 1 0
0 0 1
1 1 0−2 −1 0
0 −1 1
o b t e n i e n d o , p o r t a n t o q u e
−1 −1 02 1 02 1 1
−1
=
1 1 0−2 −1 00 −1 1
.
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Á l g e b r a 4 7
O b s e r v a c i ó n 1 3 N ó t e s e q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a e l r e s u l t a d o o b t e n i d o e n
e l t e o r e m a 1 . 2 . 2 7 , a l s e r
−1
−1 0
2 1 02 1 1
i n v e r t i b l e , e l s i s t e m a h o m o g é n e o −x − y = 0
2x + y = 02x + y + z = 0
s ó l o t i e n e l a s o l u c i ó n t r i v i a l .
1 . 3 E s t r u c t u r a s a l g e b r a i c a s
E l á l g e b r a m o d e r n a e s t á c a r a c t e r i z a d a p o r e l e s t u d i o d e c i e r t a s e s t r u c t u r a s
a b s t r a c t a s q u e t i e n e n e n c o m ú n u n a g r a n v a r i e d a d d e o b j e t o s m a t e m á t i c o s ,
e n t e n d i e n d o p o r a b s t r a c c i ó n e l p r o c e s o d e s e p a r a r l a f o r m a d e l c o n t e n i d o .
L o i m p o r t a n t e d e l e s t u d i o d e e s t a s e s t r u c t u r a s e s q u e , u n a v e z e s t a b l e c i d a s
l a s p r o p i e d a d e s q u e s a t i s f a c e n , d i c h a s p r o p i e d a d e s s o n s a t i s f e c h a s p o r t o d o s
l o s o b j e t o s q u e c o m p a r t e n d i c h a e s t r u c t u r a . E n e s t e a p a r t a d o e s t u d i a r e m o s
a l g u n a s d e e s t a s e s t r u c t u r a s , e n p a r t i c u l a r l a s d e g r u p o , a n i l l o y c u e r p o , c o m o
p a s o p r e v i o a l e s t u d i o d e l a p r i n c i p a l e s t r u c t u r a s o b r e l a q u e t r a b a j a r e m o s
e s t e c u r s o , l a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l , y e c h a r e m o s u n a b r e v e m i r a d a
h a c i a l a s a l g e b r a s m u l t i g é n e r o o t i p o s a b s t r a c t o s d e d a t o s . E s t e t i p o d e á l g e -
b r a s s e r á n o b j e t o d e e s t u d i o c o n m a y o r n i v e l d e p r o f u n d i d a d e n l a a s i g n a t u r a
d e s e g u n d o c u r s o E s t r u c t u r a s d e d a t o s y d e l a i n f o r m a c i ó n .
1 . 3 . 1 E l c o n c e p t o d e o p e r a c i ó n
H a b l a n d o d e m a n e r a a p r o x i m a d a , s e p u e d e d e c i r q u e e l o r i g e n d e l á l g e b r a
s e e n c u e n t r a e n e l a r t e d e s u m a r , m u l t i p l i c a r y e l e v a r a p o t e n c i a s n ú m e r o s
e n t e r o s .
L a s u s t i t u c i ó n d e n ú m e r o s p o r l e t r a s y d e l a s o p e r a c i o n e s a r i t m é t i c a s p o r
e l c o n c e p t o m á s g e n e r a l d e o p e r a c i ó n p e r m i t e o p e r a r c o n r e g l a s a n á l o g a s
a l a s v i s t a s p a r a l o s n ú m e r o s e n t e r o s e n e l c o n t e x t o d e o b j e t o s m a t e m á t i c o s
m á s g e n e r a l e s , c o m o p o r e j e m p l o l a s m a t r i c e s .
B a j o l a e n v o l t u r a a b s t r a c t a d e l a m a y o r í a d e l a s t e o r í a s a x i o m á t i c a s d e l á l -
g e b r a ( g r u p o s , a n i l l o s , c u e r p o s , e s p a c i o s v e c t o r i a l e s , m ó d u l o s , . . . ) s e o c u l t a n
p r o b l e m a s c o n c r e t o s c u y a r e s o l u c i ó n d i ó l u g a r a d i c h a s d e n i c i o n e s a b s t r a c -
t a s , y a l g u n a s g e n e r a l i z a c i o n e s d e g r a n a p l i c a c i ó n . E n t r e e s t a s a p l i c a c i o n e s s e
e n c u e n t r a n d o s d e l o s p i l a r e s b á s i c o s d e l a i n g e n i e r í a d e s o f t w a r e : l a s t é c n i c a s
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4 8 Á l g e b r a
d e e s p e c i c a c i ó n f o r m a l y d e v e r i c a c i ó n d e p r o g r a m a s .
D e n i c i ó n 1 . 3 . 1 S i e n d o A u n c o n j u n t o n o v a c í o , l l a m a r e m o s o p e r a c i ó n
o
l e y d e c o m p o s i c i ó n i n t e r n a s o b r e A a c u a l q u i e r f u n c i ó n
∗ : A × A −→ A(x, y) ; ∗(x, y)
.
L a i m a g e n ∗(a, b) r e p r e s e n t a e l r e s u l t a d o d e o p e r a r a c o n b” e n e s e o r d e n .
N ó t e s e , p u e s , q u e l o q u e e s f u n d a m e n t a l e n l a d e n i c i ó n a n t e r i o r e s q u e a c a d a
p a r d e o b j e t o s d e A s e l e a s i g n a un unico e l e m e n t o d e A : d i c h o e l e m e n t o e s
e l r e s u l t a d o q u e s e o b t i e n e a l o p e r a r d i c h o s o b j e t o s .
O b s e r v a c i ó n 1 4 P a r a d e n o t a r o p e r a c i o n e s n o r m a l m e n t e s e e m p l e a n s í m b o -
l o s n o a l f a b é t i c o s d e l e s t i l o d e +, ·, ∗, ±, ⊕, ⊗, ,2, ÷,e t c . . . , y s e u t i l i z a c o n
e l l o s n o t a c i ó n i n j a , e s d e c i r :
n o t a c i o n f u n c i o n a l n o t a c i o n i n f i j a
+(a, b) a + b·(a, b) a · b∗(a, b) a ∗ b
A s í , e n l u g a r d e e s c r i b i r , p o r e j e m p l o , +(a, +(a, b)) e s c r i b i r e m o s a+(a+b).
E s i m p o r t a n t e i n s i s t i r d e n u e v o e n q u e p a r a p o d e r r e a l i z a r e l p r o d u c t o
d e m a t r i c e s A · B, e l n ú m e r o d e c o l u m n a s d e A d e b e c o i n c i d i r c o n e l n ú m e r o
d e l a s d e B. P o r c o n s i g u i e n t e , p a r a p o d e r r e a l i z a r l o s d o s p r o d u c t o s A · By B · A, d o n d e A ∈ M m×n(K) y B ∈ M q× p(K), e l n ú m e r o d e c o l u m n a s d e
A d e b e c o i n c i d i r c o n e l d e l a s d e B y r e c í p r o c a m e n t e , e s t o e s , p a r a p o d e r
r e a l i z a r e l p r o d u c t o A · B, n = q, y p a r a p o d e r r e a l i z a r e l p r o d u c t o B · A, p = m, e s d e c i r , A ∈ M m×n(K) y B ∈ M n×m(K). S i q u e r e m o s a d e m á s q u e
e l p r o d u c t o s e a u n a o p e r a c i ó n e n e l s e n t i d o d e l a d e n i c i ó n a n t e r i o r , s ó l o
t e n d r á s e n t i d o h a b l a r d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s c o m o o p e r a c i ó n c u a n d o
c o n s i d e r a m o s m a t r i c e s e n M n×n(K) .
D e n i c i ó n 1 . 3 . 2 S i e n d o ∗ : A × A → A u n a o p e r a c i ó n , d i r e m o s q u e :
• ∗e s
a s o c i a t i v a s i
∀x,y,z ∈ A x ∗ (y ∗ z ) = (x ∗ y) ∗ z
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Á l g e b r a 4 9
• ∗e s
c o n m u t a t i v a s i
∀x, y ∈ A x ∗ y = y ∗ x
• e ∈ A e s u n e l e m e n t o n e u t r o
d e l a o p e r a c i ó n ∗ s i
∀x ∈ A x ∗ e = x ∧ e ∗ x = x
• a ∈ A e s u n e l e m e n t o i d e m p o t e n t e
d e l a o p e r a c i ó n ∗
s i a ∗ a = a
E s e v i d e n t e q u e s i e, e ∈ A
s o n e l e m e n t o s n e u t r o s d e A
p a r a l a o p e r a c i ó n
∗, e n t o n c e s e = e ( e s d e c i r , s i u n a o p e r a c i ó n t i e n e e l e m e n t o n e u t r o ,
é s t e e s ú n i c o ) , p u e s : e ∗ e = e
, p o r s e r e
e l e m e n t o n e u t r o y e ∗ e = e
p o r
s e r
eu n e l e m e n t o n e u t r o , d e d o n d e
e = e.P o r o t r a p a r t e t a m b i é n e s e v i d e n t e q u e s i e e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e u n a
o p e r a c i ó n ∗
, e e s i d e m p o t e n t e , p u e s t o q u e e∗e = e p o r s e r e e l e m e n t o n e u t r o
d e ∗
.
D e n i c i ó n 1 . 3 . 3 S i ∗ : A × A → A e s u n a o p e r a c i ó n c o n e l e m e n t o n e u t r o
e, d i r e m o s q u e a e s u n e l e m e n t o s i m é t r i c o
d e a s i
a ∗ a = e ∧ a ∗ a = e
P r o p o s i c i ó n 1 . 3 . 4 S i e n d o
∗: A
×A
→A
u n a o p e r a c i ó n a s o c i a t i v a
y c o n
e l e m e n t o n e u t r o e, s i a, a, a ∈ A s o n t a l e s q u e a y a s o n s i m é t r i c o s d e ae n t o n c e s
a = a.
D e m o s t r a c i ó n S i a
y a
s o n e l e m e n t o s s i m é t r i c o s d e a,
e n t o n c e s s e v e r i c a
q u e a = e ∗ a = (a ∗ a) ∗ a = a ∗ (a ∗ a) = a ∗ e = a 2
E j e m p l o 1 . 3 . 5 S i X e s u n c o n j u n t o , y P (X ) e s e l c o n j u n t o d e l a s p a r t e s
d e X, e s d e c i r , e l c o n j u n t o c u y o s e l e m e n t o s s o n t o d o s l o s s u b c o n j u n t o s d e X,l a s o p e r a c i o n e s
∪ : P (X ) × P (X ) −→ P (X )(A, B) ; A ∪ B
y
∩ : P (X ) × P (X ) −→ P (X )(A, B) ; A ∩ B
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5 0 Á l g e b r a
s a t i s f a c e n l a s p r o p i e d a d e s a s o c i a t i v a y c o n m u t a t i v a . E l c o n j u n t o v a c ì o ∅
e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e l a o p e r a c i ó n
∪ ,y
X e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e l a
o p e r a c i ó n ∩ . O b s é r v e s e q u e p a r a n i n g u n a d e e s t a s d o s o p e r a c i o n e s e x i s t e e l
e l e m e n t o s i m é t r i c o d e u n e l e m e n t o d a d o .
1 . 3 . 2 G r u p o s
D e n i c i ó n 1 . 3 . 6 S e a G = ∅y
∗ : G × G −→ G u n a o p e r a c i ó n . D i r e m o s
q u e G t i e n e e s t r u c t u r a d e g r u p o r e s p e c t o d e ∗, o t a m b i é n q u e e l p a r (G, ∗) e s
u n g r u p o , s i s e v e r i c a q u e :
1 . ∗
e s a s o c i a t i v a
2 . ∃e ∈ G q u e e s e l e m e n t o n e u t r o p a r a ∗3 . T o d o e l e m e n t o a ∈ G t i e n e s i m é t r i c o r e s p e c t o d e l a o p e r a c i ó n
∗.
S i a d e m á s ∗
s a t i s f a c e l a p r o p i e d a d conmutativa, e n t o n c e s s e d i c e q u e
(G, ∗) e s u n g r u p o a b e l i a n o .
D e G s e d i c e q u e e s e l conjunto subyacente d e l g r u p o (G, ∗).
E j e m p l o 1 . 3 . 7 S i c o n s i d e r a m o s l a s u m a y p r o d u c t o h a b i t u a l e s s o b r e c a d a
u n o d e e s t o s c o n j u n t o s , l o s s i g u i e n t e s p a r e s s o n g r u p o s a b e l i a n o s : (R, +), (R−{0}, ·), (C, +), (C−{0}, ·), (R+, ·) ,
(Z, +), (Q−{0}, ·) y (Q, +)
d o n d e R+ =
{x
∈R
|x > 0
}, Z
e s e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s y Q
e s e l c o n j u n t o
d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s .
E j e m p l o 1 . 3 . 8 O t r o e j e m p l o d e i n t e r é s e s p e c i a l p a r a n o s o t r o s e s e l g r u p o
(Z2, +), d o n d e Z2 = {0, 1}
y l a o p e r a c i ó n + s e d e n e m e d i a n t e l a t a b l a :
+ 0 10 0 11 1 0
e s d e c i r , 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0. E s o b v i o q u e e l e l e m e n t o
n e u t r o e s e l 0, y q u e e l o p u e s t o d e 1 e s e l p r o p i o 1, y q u e e l g r u p o e s a b e l i a n o ,
p u e s 1 + 0 = 1 = 0 + 1.
E j e m p l o 1 . 3 . 9 E l c o n j u n t o d e m a t r i c e s i n v e r t i b l e s d e o r d e n n c o n c o e -
c i e n t e s e n K
t i e n e e s t r u c t u r a d e g r u p o ( n o a b e l i a n o e n g e n e r a l ) r e s p e c t o d e l
p r o d u c t o u s u a l d e m a t r i c e s . A d i c h o g r u p o s e l e d e n o m i n a g r u p o l i n e a l d e
o r d e n n c o n c o e c i e n t e s e n
K.
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Á l g e b r a 5 1
E j e m p l o 1 . 3 . 1 0 L o s c o n j u n t o s (R, ·),(C, ·),(Q, ·), (Z− {0}, ·),(N, +), y
(M n(K
) − {0}, ·)n o s o n g r u p o s .
P r o p i e d a d e s d e l o s g r u p o s .
S i (G, ∗) e s u n g r u p o s e v e r i c a q u e :
1 . S e p u e d e s i m p l i c a r a d e r e c h a e i z q u i e r d a , e s d e c i r :
∀a,x,y ∈ G (x ∗ a = y ∗ a) ⇒ x = y
∀a,x,y ∈ G (a ∗ x = a ∗ y) ⇒ x = y
2 . L a s e c u a c i o n e s d e l a f o r m a x∗
a = b y a∗
x = b t i e n e n s o l u c i ó n ú n i c a .
C o n c r e t a m e n t e :
∀a, b ∈ G ∃!x ∈ G..a ∗ x = b
∀a, b ∈ G ∃!x ∈ G..x ∗ a = b
3 . E l ú n i c o e l e m e n t o i d e m p o t e n t e d e (G, ∗) e s e l e l e m e n t o n e u t r o e :
∀a ∈ G(a ∗ a = a ⇔ a = e)
4 . ∀a, b ∈ G
a ∗ b = e ⇒ b = a
d o n d e a
e s e l e l e m e n t o s i m é t r i c o d e a
5 . ∀a ∈ G a
= a
6 . ∀a, b ∈ G (a ∗ b)
= b ∗ a
D e m o s t r a c i ó n
1 . S i e n d o a,x,y ∈ G
, s i x∗a = y∗a,
n e c e s a r i a m e n t e (x∗a)∗a = (y∗a)∗a,
e s
d e c i r , x
∗(a
∗a) = y
∗(a
∗a) , o l o q u e e s l o m i s m o , x
∗e = y
∗e, c o n l o q u e
c o n c l u i m o s q u e x = y. L a o t r a p r o p i e d a d s e d e m u e s t r a a n á l o g a m e n t e .
2 . S i e n d o a,b,x ∈ G, a∗x = b ⇔ a ∗ (a ∗ x) = a ∗b, e s d e c i r , (a ∗a)∗x =a ∗ b
, y e s t o e s e q u i v a l e n t e a q u e e ∗ x = a ∗ b
, o l o q u e e s l o m i s m o ,
a q u e x = a ∗ b . L a o t r a p r o p i e d a d s e d e m u e s t r a a n á l o g a m e n t e .
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5 2 Á l g e b r a
3 . E s t a e q u i v a l e n c i a l a p r o b a r e m o s d e m o s t r a n d o q u e l a d o s i m p l i c a c i o n e s
s o n
V,e s d e c i r , p r o b a n d o q u e p a r a c u a l q u i e r e l e m e n t o
a ∈ G,((a ∗ a = a ⇒ a = e) ∧ (a = e ⇒ a ∗ a = a)) . S e a a ∈ G t a l q u e a ∗ a =a. E n e s e c a s o a ∗ (a ∗ a) = a ∗ a , e s d e c i r , (a ∗ a) ∗ a = e c o n l o q u e
e ∗ a = e, e s d e c i r , a = e. L a i m p l i c a c i ó n r e c í p r o c a e s e v i d e n t e , p u e s s i
a = e, e n t o n c e s a ∗ a = e ∗ e = e.
4 . S i e n d o a, b ∈ G t a l e s q u e a ∗ b = e, n e c e s a r i a m e n t e a ∗ (a ∗ b) = a ∗ e,e s d e c i r ,
(a ∗ a) ∗ b = ac o n l o q u e
e ∗ b = a,o l o q u e e s l o m i s m o ,
b = a.
5 . S i e n d o a ∈ G, d e a ∗ a = e ∧ a ∗ a = e s e s i g u e q u e a
= a.
6 . S i e n d o a, b ∈ G, (a ∗ b)∗(b ∗ a) = ((a ∗ b) ∗ b)∗a = (a ∗ (b ∗ b))∗a =a ∗ a = e, p o r l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a l a p r o p i e d a d 4 q u e a c a b a m o s
d e v e r , b ∗ a = (a ∗ b)
. 2
O b s e r v a c i ó n 1 5 N ó t e s e q u e , c o m o c a s o p a r t i c u l a r d e l o s r e s u l t a d o s a n t e -
r i o r e s , p a r a e l c a s o e n q u e l a s o p e r a c i o n e s + y ·
s e a n l a s o p e r a c i o n e s d e u n
g r u p o , s e t e n d r á q u e , s i e n d o x
e y
d o s e l e m e n t o s g e n é r i c o s :
(x + x = x) ⇔ x = 0(x · y = 1) ⇔ y = x−1
(x−1)−1
= x(x · y)−1 = y−1 · x−1
e s d e c i r ,
((∗ = +) ⇒ e = 0 ∧ x = (−x))
((∗ = ·) ⇒ e = 1 ∧ x = (x−1)).
1 . 3 . 3 A n i l l o s y c u e r p o s
D e n i c i ó n 1 . 3 . 1 1 S e d i c e q u e u n c o n j u n t o A = ∅t i e n e e s t r u c t u r a d e a n i l l o
r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s +
y ·,
o t a m b i é n q u e l a 3 - t u p l a (A, +, ·)
e s u n
a n i l l o s i s e v e r i c a q u e :
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Á l g e b r a 5 3
1 . (A, +) e s u n g r u p o a b e l i a n o
2 . “ · ” s a t i s f a c e l a p r o p i e d a d a s o c i a t i v a
3 . “ · ” e s d i s t r i b u t i v a r e s p e c t o d e “ + ”, e s d e c i r :
∀x,y,z ∈ A ((x · (y + z ) = x · y + x · z ) ∧ ((y + z ) · x = y · x + z · x))
S i a d e m á s “ · ”
s a t i s f a c e l a p r o p i e d a d c o n m u t a t i v a , s e d i c e q u e e l a n i l l o
(A, +, ·). e s u n a n i l l o c o n m u t a t i v o . F i n a l m e n t e , s i “ · ” t i e n e e l e m e n t o
n e u t r o 1 ∈ A, y 1 = 0, s e d i c e q u e e l a n i l l o (A, +, ·) e s u n a n i l l o
u n i t a r i o .
E j e m p l o 1 . 3 . 1 2 (Z, +, ·) e s u n a n i l l o c o n m u t a t i v o y u n i t a r i o , d o n d e + y ·s o n l a s u m a y p r o d u c t o h a b i t u a l e s d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s .
E j e m p l o 1 . 3 . 1 3 S i d e n o t a m o s p o r C[x]
a l c o n j u n t o d e p o l i n o m i o s c o n c o e -
c i e n t e s e n C, e s d e c i r , a l c o n j u n t o f o r m a d o p o r t o d a s l a s f u n c i o n e s p : C → C
t a l e s q u e ∃n ∈ N∪{0}
y ∃(a0,...,an) ∈ Cn+1
d e m a n e r a q u e ∀x ∈ C
s e v e r i c a
q u e
p(x) = anxn + ... + a1x + a0
c o n l a s u m a + y e l p r o d u c t o ·
d e p o l i n o m i o s h a b i t u a l e s , r e s u l t a q u e (C[x], +, ·)e s u n a n i l l o c o n m u t a t i v o y u n i t a r i o . C o n v i s t a s a r e c o r d a r l a s o p e r a c i o n e s ,
s i p o r e j e m p l o c o n s i d e r a m o s l o s p o l i n o m i o s p, q ∈ C[x] , t a l e s q u e ∀x ∈ C p(x) = 2x2 + x − 5
y q (x) = 3x − 4,
t e n d r e m o s q u e
( p + q )(x) = p(x) + q (x) =
2x2 + x − 5
+ (3x − 4) = 2x2 + 4x − 9
y
( p · q )(x) = p(x) · q (x) =
2x2 + x − 5 · (3x − 4) = 6x3 − 5x2 − 19x + 20.
E j e m p l o 1 . 3 . 1 4 S e g ú n h e m o s v i s t o , (M n(K), +, ·)
e s u n a n i l l o n o c o n m u -
t a t i v o y c o n e l e m e n t o u n i d a d I n
, s i e n d o + y
·l a s u m a y p r o d u c t o d e m a t r i c e s
h a b i t u a l e s .
D e n i c i ó n 1 . 3 . 1 5 S i e n d o (A, +, ·)
u n a n i l l o , s e d i c e q u e a ∈ A −{0}
e s u n
d i v i s o r d e c e r o s i ∃b ∈ A − {0}
t a l q u e a · b = 0 ∨ b · a = 0.
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5 4 Á l g e b r a
E j e m p l o 1 . 3 . 1 6 E s f á c i l c o m p r o b a r q u e (M n(K), +, ·) t i e n e d i v i s o r e s d e c e -
r o . A s í p o r e j e m p l o 1 11 1
·
1 1−1 −1
=
0 00 0
D e n i c i ó n 1 . 3 . 1 7 S i e n d o (A, +, ·) u n a n i l l o u n i t a r i o , s e d i c e q u e a ∈ A e s
i n v e r t i b l e ( o i n v e r s i b l e ) s i e x i s t e u n e l e m e n t o b ∈ A t a l q u e (a · b = 1 ∧ b · a =1). E n t a l c a s o , e s o b v i o q u e b e s e l e l e m e n t o i n v e r s o d e a, y p o r t a n t o
e s c r i b i r e m o s b = a−1.
P r o p i e d a d e s d e l o s a n i l l o s
S i (A, +, ·) e s u n a n i l l o s e v e r i c a q u e :
1 . ∀a ∈ A (a · 0 = 0 ∧ 0 · a = 0)
2 . ∀a, b ∈ A (a · (−b) = −(a · b) ∧ (−a) · b = −(a · b))
S i a d e m á s (A, +, ·) e s u n i t a r i o , t a m b i é n s e v e r i c a q u e :
3 . S i a
, b ∈ A
s o n i n v e r s i b l e s , e n t o n c e s a·b
e s i n v e r s i b l e y (a · b)−1 = b−1·a−1
4 . S i a∈
A e s i n v e r s i b l e , e n t o n c e s (−
a)e s i n v e r s i b l e y
(−
a)−1 =−
(a−1)
5 . S i a ∈ A e s u n d i v i s o r d e c e r o , e n t o n c e s a n o e s i n v e r s i b l e .
D e m o s t r a c i ó n
1 . D e m o s t r a m o s l a p r i m e r a d e l a s d o s p r o p i e d a d e s : d a d o a ∈ A, a · 0 =a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, y p u e s t o q u e a l s e r (A, +) u n g r u p o , e l ú n i c o
e l e m e n t o i d e m p o t e n t e e s e l 0, c o n c l u í m o s q u e a · 0 = 0
2 . D e m o s t r a m o s l a p r i m e r a d e l a s d o s p r o p i e d a d e s : s i e n d o a, b ∈ A,
0 = a · 0 = a · (b + (−b)) = a · b + a · (−b)
y e n c o n s e c u e n c i a a·(−b) = −(a ·b)
p o r l a p r o p i e d a d 4 d e l o s g r u p o s ,
a p l i c a d a a l a o p e r a c i ò n d e s u m a .
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Á l g e b r a 5 5
3 .
(a · b) · (b−1
· a−1
) = ((a · b) · b−1
) · a−1
== a · (b · b−1) · a−1 = a · a−1 = 1
y
(b−1 · a−1) · (a · b) = ((b−1 · a−1) · a) · b =
= b−1 · (a−1 · a) · b = b−1 · b = 1
4 . P o r l a p r o p i e d a d 2,
(−a) · (−(a−1)) = −((−a) · (a−1)) = −(−(a · a−1)) = −(−1) = 1
−(a−1) · (−a) = −((−(a−1)) · a) = −(−(a−1 · a)) = −(−1) = 1
5 . R a z o n a m o s p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o : s i
a ∈ Ae s u n d i v i s o r d e c e -
r o , e x i s t i r á u n e l e m e n t o b = 0 t a l q u e a · b = 0 o t a l q u e b · a = 0.P e r o p u e s t o q u e a t i e n e i n v e r s o , s i a · b = 0, e n t o n c e s p o r u n a p a r t e
a−1 · (a · b) = a−1 · 0 = 0, p e r o t a m b i é n a−1 · (a · b) = (a−1 · a) · b = b, e s
d e c i r , b = 0 ( c o n t r a d i c c i ó n ) . S i b · a = 0 s e r a z o n a a n á l o g a m e n t e . 2
O b s e r v a c i ó n 1 6 L a s m a t r i c e s i n v e r t i b l e s s o n l o s e l e m e n t o s i n v e r t i b l e s d e l
a n i l l o M n(K). A s í p u e s , t o d a s l a s p r o p i e d a d e s v i s t a s p a r a l o s e l e m e n t o s i n -
v e r t i b l e s d e u n a n i l l o g e n é r i c o , s o n v á l i d a s p a r a e l a n i l l o c o n s i d e r a d o
(M n(K), +,
·). E n p a r t i c u l a r , s i A, B
∈M n(K) s o n i n v e r t i b l e s , e n t o n c e s A
·B
e s i n v e r t i b l e y (A · B)−1 = B−1 · A−1, y s i A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e , e n t o n c e s
(−A) ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e y (−A)−1 = −(A−1).
E j e r c i c i o 1 . 3 . 1 P r o b a r q u e s i (A, +, ·) e s u n a n i l l o u n i t a r i o , y a,b,c ∈ As o n t a l e s q u e a ·b = 1 y c ·a = 1, e n t o n c e s n e c e s a r i a m e n t e b = c. ( I n d i c a c i ó n :
d e s a r r ó l l e s e l a i g u a l d a d b = 1 · b = ...)
P r o p o s i c i ó n 1 . 3 . 1 8 S i (A, +, ·)
e s u n a n i l l o s i n d i v i s o r e s d e c e r o s e v e r i c a
q u e
∀a,b,c ∈ A ((a · b = a · c ∧ a = 0) ⇒ (b = c))
y
∀a,b,c ∈ A ((b · a = c · a ∧ a = 0) ⇒ (b = c))
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5 6 Á l g e b r a
D e m o s t r a c i ó n S i a,b,c ∈ A s o n t a l e s q u e a ·b = a ·c c o n a = 0, t e n d r e m o s
q u e
a · b + (−(a · c)) = 0,o l o q u e e s l o m i s m o ,
a · b + (a · (−c)) = 0, c o n l o
q u e , p o r l a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a , a · (b + (−c)) = 0, y p u e s t o q u e a = 0,n e c e s a r i a m e n t e
(b + (−c)) = 0,e s d e c i r ,
b = c. 2
D e n i c i ó n 1 . 3 . 1 9 S e d i c e q u e u n a t e r n a (K, +, ·) e s u n c u e r p o , o t a m b i é n
q u e K
t i e n e e s t r u c t u r a d e c u e r p o r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s + y ·
s i (K, +, ·)e s u n a n i l l o c o n m u t a t i v o y u n i t a r i o y a d e m á s t o d o s l o s e l e m e n t o s d e
K−{0}s o n i n v e r s i b l e s .
E j e m p l o 1 . 3 . 2 0
(R, +, ·), (C, +, ·) y
(Q, +, ·) s o n c u e r p o s , s i e n d o e n c a d a
c a s o l a s o p e r a c i o n e s + y ·
l a s u m a y e l p r o d u c t o h a b i t u a l e s c o n s i d e r a d o s s o b r e
c a d a u n o d e e s o s c o n j u n t o s .
E j e m p l o 1 . 3 . 2 1 O t r o e j e m p l o d e i n t e r é s e s p e c i a l p a r a n o s o t r o s e s e l c u e r p o
(Z2, +, ·), d o n d e Z2 = {0, 1}, y l a s o p e r a c i o n e s + y
·s e d e n e n m e d i a n t e l a s
s i g u i e n t e s t a b l a s .
+ 0 10 0 11 1 0
· 0 10 0 01 0 1
E s d e c i r , 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0,
y 0
·1 = 1
·0 = 0,
1 · 1 = 1.
P r o p o s i c i ó n 1 . 3 . 2 2 S i (K, +, ·) e s u n c u e r p o , y a, b ∈ Ks o n t a l e s q u e
a · b = 0, n e c e s a r i a m e n t e a = 0 ∨ b = 0 ( u n c u e r p o n o t i e n e d i v i s o r e s d e l o
c e r o ) .
D e m o s t r a c i ó n S i a · b = 0y a = 0, e n t o n c e s , p u e s t o q u e a ∈ K − {0}, a
t i e n e i n v e r s o p o r l o q u e , p o r u n a p a r t e a−1 · (a · b) = a−1 · 0 = 0 , y p o r o t r a
a−1 · (a · b) = (a−1 · a) · b = 1 · b = b,c o n l o q u e
b = 0 2
O b s e r v a c i ó n 1 7 C o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , s i (K, +, ·)e s u n c u e r p o , e n t o n c e s (K, +, ·) n o t i e n e d i v i s o r e s d e c e r o . E l r e c í p r o c o o b -
v i a m e n t e n o e s c i e r t o . (Z, +, ·) e s u n e j e m p l o d e a n i l l o s i n d i v i s o r e s d e c e r o
q u e n o e s c u e r p o .
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Á l g e b r a 5 7
1 . 3 . 4 I n t r o d u c c i ó n a l o s T i p o s A b s t r a c t o s d e D a t o s
L a s e s t r u c t u r a s d e d a t o s y l o s t i p o s d e d a t o s s o n c o n c e p t o s f u n d a m e n t a l e s
e n e l m u n d o d e l a p r o g r a m a c i ó n y d e l a e s p e c i c a c i ó n d e s i s t e m a s d e s o f t -
w a r e . E l c o n c e p t o d e e s t r u c t u r a d e d a t o s s e u s a c o m ú n m e n t e p a r a r e f e r i r s e
a u n c o n j u n t o d e d a t o s o r g a n i z a d o s d e u n c i e r t o m o d o , c o m o p o r e j e m p l o ,
c o l o c a d o s e n u n a s e c u e n c i a o e n u n a t a b l a .
J u n t o c o n e l c o n j u n t o d e d a t o s h a y q u e c o n s i d e r a r d e n i d a s u n a s e r i e d e
o p e r a c i o n e s n e c e s a r i a s p a r a o b t e n e r l a i n f o r m a c i ó n y a c t u a l i z a r l a . P e r o e s t a s
o p e r a c i o n e s n o e s t á n n e c e s a r i a m e n t e d e n i d a s s o b r e o b j e t o s d e l a m i s m a
n a t u r a l e z a ; p o r e j e m p l o , e n t e n d i e n d o p o r p i l a u n d i s p o s i t i v o q u e a l m a c e n a
d a t o s , c a r a c t e r i z a d o p o r e l h e c h o d e q u e e l p r i m e r d a t o q u e s e p u e d e e x t r a e r
e s e l ú l t i m o q u e s e h a a l m a c e n a d o , r e s u l t a q u e l a o p e r a c i ó n a l m a c e n a r u n
e l e m e n t o e n u n a p i l a e s t á d e n i d a d e l s i g u i e n t e m o d o
push : Pila × Dato → Pilas
e n e l s e n t i d o d e q u e e l p a r f o r m a d o p o r u n a p i l a y u n d a t o ( P, d) n o s d a c o m o
r e s u l t a d o d e a p l i c a r l e l a o p e r a c i ó n push u n a n u e v a p i l a o b t e n i d a a ñ a d i e n d o
e l d a t o d a l a p i l a p .
D e f o r m a a n á l o g a , l a o p e r a c i ó n e x t r a e r e l ú l t i m o e l e m e n t o a l m a c e n a d o
d e u n a p i l a ( o p e r a c i ó n q u e h a b i t u a l m e n t e s e d e n o t a p o r pop) e s l a f u n c i ó n
pop : Pila→
Pila
t a l q u e pop(P )
e s l a p i l a o b t e n i d a a p a r t i r d e P
e l i m i n a n d o e l ú l t i m o d a t o
a l m a c e n a d o e n P.E n e s t a s e c c i ó n e l c o n c e p t o d e o p e r a c i ó n n o s e r á , p u e s , e q u i v a l e n t e a l
d e l e y d e c o m p o s i c i ó n i n t e r n a , p u e s e n p r i n c i p i o n o s p o d e m o s r e f e r i r a
o p e r a c i o n e s e n t r e o b j e t o s d e d i s t i n t a n a t u r a l e z a . A s í p u e s , l a s o p e r a c i o n e s
a l a s q u e n o s r e f e r i m o s e n e s t e a p a r t a d o s e r á n o p e r a c i o n e s g e n e r a l i z a d a s ,
e n t e n d i d a s c o m o f u n c i o n e s d e u n p r o d u c t o c a r t e s i a n o d e c o n j u n t o s a o t r o
c o n j u n t o .
E n c i e r t a s o c a s i o n e s , p o r e j e m p l o , p a r a d i s e ñ a r u n a l g o r i t m o o u n s i s t e m a
d e s o f t w a r e , r e s u l t a m á s c ó m o d o e i n t e r e s a n t e t r a b a j a r c o n u n a r e p r e s e n t a -
c i ó n a b s t r a c t a d e l o s d a t o s q u e s e a i n d e p e n d i e n t e d e l a f o r m a e n l a q u e e s t á n ,
o v a n a s e r , i m p l e m e n t a d o s e n e l o r d e n a d o r .
U n a f o r m a d e r e p r e s e n t a r l a s p r o p i e d a d e s a b s t r a c t a s d e u n c o n j u n t o d e
d a t o s c o n s i s t e e n u t i l i z a r e c u a c i o n e s a m o d o d e a x i o m a s , d e m a n e r a q u e d o s
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5 8 Á l g e b r a
t i p o s d e d a t o s d i f e r e n t e s s o n c o n s i d e r a d o s c o m o i g u a l e s ( o s i s e p r e e r e , c o n
l a m i s m a e s t r u c t u r a ) s i a m b o s s a t i s f a c e n l a s m i s m a s e c u a c i o n e s . D e s d e e s e
p u n t o d e v i s t a a b s t r a c t o , a m b o s t i p o s d e d a t o s s e d i f e r e n c i a r í a n ú n i c a m e n t e
e n e l n o m b r e d e l o s d a t o s b á s i c o s y d e l a s o p e r a c i o n e s . L a b ú s q u e d a d e u n a
r e p r e s e n t a c i ó n a b s t r a c t a c o m ú n p a r a t i p o s d e d a t o s s i m i l a r e s n o s l l e v a a l a
d e n i c i ó n d e l c o n c e p t o d e t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s :
D e n i c i ó n 1 . 3 . 2 3 U n t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s ( T A D ) e s u n a c u á d r u p l a
(Tip,Cons,Op,Ec)
e n l a q u e T i p e s e l c o n j u n t o d e t i p o s d e d a t o s d e l T A D , C o n s e s e l c o n j u n t o
d e c o n s t a n t e s o d a t o s b á s i c o s d e l T A D , O p e s e l c o n j u n t o d e o p e r a c i o n e s
( g e n e r a l i z a d a s ) y E c e l c o n j u n t o d e l a s e c u a c i o n e s .
A l o s t i p o s a b s t r a c t o s d e d a t o s t a m b i é n s e l e s c o n o c e e n l a l i t e r a t u r a c o m o
á l g e b r a s m u l t i g é n e r o o á l g e b r a s m u l t i t i p o .
O b s e r v a c i ó n 1 8 L a m a y o r í a d e l o s l e n g u a j e s d e p r o g r a m a c i ó n t r a t a n l a s
v a r i a b l e s y l a s c o n s t a n t e s d e u n p r o g r a m a c o m o i n s t a n c i a s d e u n t i p o d e
d a t o .
E j e m p l o 1 . 3 . 2 4 C o m o y a h e m o s d i c h o , u n a p i l a , e n e l á m b i t o d e l a i n f o r -
m á t i c a o l a s c i e n c i a s d e l a c o m p u t a c i ó n e s u n d i s p o s i t i v o e n e l q u e l o s d a t o s
s o n a l m a c e n a d o s e n s e c u e n c i a , d e m a n e r a q u e e n c a d a p a s o ú n i c a m e n t e e s
p o s i b l e a c c e d e r a l ú l t i m o d a t o a l m a c e n a d o ( t o p ) ( e s t e m o d o d e a c c e s o a l o s
d a t o s q u e c a r a c t e r i z a a l d i s p o s i t i v o d e a l m a c e n a m i e n t o p i l a e s c o n o c i d o c o -
m o l i f o , a b r e v i a t u r a d e l a s t i n - r s t o u t ) . E s t e t i p o d e d i s p o s i t i v o a p a r e c e
e n m u c h a s o c a s i o n e s , p o r e j e m p l o , e n e l a l m a c e n a m i e n t o d e i n f o r m a c i ó n e n
v a r i a b l e s q u e a p a r e c e n e n p r o g r a m a s c o n b u c l e s a n i d a d o s , e n l a e v a l u a c i ó n d e
e x p r e s i o n e s e i n c l u s o e n l a e j e c u c i ó n d e p r o c e d i m i e n t o s r e c u r s i v o s . L a s o p e -
r a c i o n e s c o n s i d e r a d a s s o b r e u n a p i l a s o n l a d e a l m a c e n a m i e n t o ( p u s h ) , q u e
c o l o c a u n n u e v o d a t o e n c i m a d e l a p i l a , l a e x t r a c c i ó n d e l ú l t i m o d a t o a l m a -
c e n a d o ( p o p ) y l a v i s u a l i z a c i ó n d e l e l e m e n t o s i t u a d o e n l a p a r t e s u p e r i o r d e
l a p i l a ( t o p ) . L a c o n s t a n t e n e w s t a c k r e p r e s e n t a l a p i l a v a c í a y q u e e s d e l
t i p o P I L A , y l a c o n s t a n t e e r r o r d e l t i p o E R R O R , n o s p e r m i t i r á r e p r e s e n t a r
l a s i t u a c i ó n ( m e n s a j e d e e r r o r ) q u e s e p r o d u c e c u a n d o m i r a m o s c u a l e s e l
e l e m e n t o s i t u a d o e n l a p a r t e s u p e r i o r d e l a p i l a v a c í a . P o r c o n s i g u i e n t e , e l
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Á l g e b r a 5 9
m o d e l o P I L A q u e d a e s p e c i c a d o c o m o t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s d e l s i g u i e n t e
m o d o :
PILA =1. T i p o s : PILA,DATO,ERROR
2. C o n s t a n t e s :
error ∈ ERROR,newstack ∈ PILA
3. O p e r a c i o n e s :
push : PILA × DATO → PILA pop : PILA → PILAtop : PILA → DATO ∪ ERROR
4. E c u a c i o n e s :
∀ p ∈ PILA, ∀a ∈ DATO pop( push( p, a)) = p pop(newstack) = newstack
top( push( p, a)) = atop(newstack) = error
A s í p o r e j e m p l o , l a p i l a
a3
a3
a1
s e r e p r e s e n t a r í a e n e s t e m o d e l o p o r :
push( push( push(newstack, a1), a3), a3).
E j e m p l o 1 . 3 . 2 5 T e n i e n d o e n c u e n t a q u e u n s e m i g r u p o e s u n c o n j u n t o d o -
t a d o d e u n a l e y d e c o m p o s i c i ó n i n t e r n a a s o c i a t i v a , y q u e u n m o n o i d e e s u n
s e m i g r u p o c o n e l e m e n t o n e u t r o , s u s e s p e c i c a c i o n e s c o m o t i p o s a b s t r a c t o s d e
d a t o s s e r í a n l a s s i g u i e n t e s :
SEMIGRUPO =1. T i p o s : ELEM 2. C o n s t a n t e s :
3.O p e r a c i o n e s :
∗ : ELEM × ELEM → ELEM
4. E c u a c i o n e s :
∀x,y,z ∈ ELEM x ∗ (y ∗ z ) = (x ∗ y) ∗ z
MONOIDE = SEMIGRUPO +C o n s t a n t e s : e ∈ ELEM
E c u a c i o n e s :
∀x ∈ ELEM x ∗ e = xe ∗ x = x
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6 0 Á l g e b r a
E j e r c i c i o 1 . 3 . 2 E n e l á m b i t o d e l a s c i e n c i a s d e l a c o m p u t a c i ó n u n a c a d e n a
o s t r i n g e s u n a s e c u e n c i a d e i t e m s ( d a t o s ) d e a l g ú n c o n j u n t o ( o d o m i n i o )
d e d a t o s . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s u n a c a d e n a e s u n a p a l a b r a a1...an d e
l o n g i t u d n ≥ 0 f o r m a d a c o n l e t r a s d e u n a l f a b e t o d a d o . P a r a n = 0 s e
t r a t a d e l a c a d e n a v a c í a ( a l a q u e e n s u m o m e n t o d e n o t a m o s p o r λ) y p a r a
n ≥ 1 l o s e l e m e n t o s a1,...,an p e r t e n e c e n a l m i s m o c o n j u n t o o a l f a b e t o A. E l
e j e r c i c i o c o n s i s t e e n c o n s t r u i r u n m o d e l o d e t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s a l q u e
d e n o m i n a r e m o s c a d e n a o s t r i n g , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e h a y q u e c o n s i -
d e r a r l o s d a t o s y l a s c a d e n a s d e d a t o s d e u n c o n j u n t o A = {a1,...,ak}, q u e
l a s c a d e n a s s o n e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o A∗( c o n j u n t o d e t o d a s l a s c a d e n a s
o p a l a b r a s d e n i d a s s o b r e e l a l f a b e t o A o l e n g u a j e u n i v e r s a l s o b r e A), q u e
h a y q u e c o n s i d e r a r l a p a l a b r a v a c í a c o m o u n a c o n s t a n t e . C o m o o p e r a c i o n e s
s o b r e l a s c a d e n a s c o n s i d e r a m o s l a s s i g u i e n t e s : construye, q u e a p a r t i r d e
u n e l e m e n t o d e A c o n s t r u y e u n a l i s t a d e l o n g i t u d 1, l a o p e r a c i ó n concat,d e n i d a s o b r e p a r e s d e p a l a b r a s p o r
concat(a1...an, b1...bm) = a1...anb1...bm , y
l a s o p e r a c i o n e s i a ñ a d e ( i a d d ) y d a ñ a d e ( d a d d ) q u e a ñ a d e n , r e s p e c t i v a m e n t e ,
u n e l e m e n t o a l a i z q u i e r d a o a l a d e r e c h a d e u n a c a d e n a d a d a . ( N o t a : S o n
s u c i e n t e s 5 e c u a c i o n e s ) .
1 . 4 E j e r c i c i o s
1 . 4 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s
1 . R e p r e s e n t a r p o r s u m a t r i z a m p l i a d a y r e s o l v e r p o r e l m é t o d o d e G a u s s -
J o r d a n c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s : 2x1 + x2 + 3x3 = 95x1 + 4x2 + 6x3 = 24
x1 + 3x2 − 2x3 = 4
, 3x1 + x2 + x3 − 5x4 = 45x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 6
x1 − x2 + x3 − x4 = 0
2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 0x1 − x2 + 2x3 − 2x4 = 0
5x1 + 5x2 + 9x3 + 9x4 = 0
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Á l g e b r a 6 1
2 . C o n s i d e r e e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s
x + y + 2z = ax + z = b
2x + y + 3z = c
D e m u e s t r e q u e p a r a q u e e s t e s i s t e m a s e a c o m p a t i b l e , a , b y c d e b e n
s a t i s f a c e r c = a + b .
3 . R e s u e l v a c a d a u n o d e l o s s i s t e m a s s i g u i e n t e s p o r e l i m i n a c i ó n d e G a u s s -
J o r d a n :
a ) 2x1 − 3x2 = −22x1 + x2 = 1
3x1 + 2x2 = 1
b )
3x1 + 2x2 − x3 = −155x1 + 3x2 + 2x3 = 03x1 + x2 + 3x3 = 11
11x1 + 7x2 = −30
c ) 4x1 − 8x2 = 123x1 − 6x2 = 9
−2x1 + 4x2 = −6
4 . ¾ P a r a q u é v a l o r e s d e a e l s i s t e m a q u e s i g u e n o t i e n e s o l u c i o n e s ? ¾ T i e n e
e x a c t a m e n t e u n a s o l u c i ó n ? ¾ T i e n e i n n i d a d d e s o l u c i o n e s ?
x + 2y − 3z = 43x − y + 5z = 2
4x + y + (a2
−14)z = a + 2
5 . C a l c u l a r l a s i n v e r s a s d e l a s i g u i e n t e s m a t r i c e s :
A =
3 15 2
B =
2 −34 4
C =
2 00 3
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6 2 Á l g e b r a
6 . V e r i q u e q u e l a s m a t r i c e s A y B d e l e j e r c i c i o 5 ) s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n
(AB)−1
= B−1
A−1
.
7 . S e a A u n a m a t r i z i n v e r t i b l e y s u p o n g a q u e l a i n v e r s a d e 7 A e s −1 24 −7
. E n c u e n t r e l a m a t r i z A .
8 . S e a AX = B u n c u a l q u i e r s i s t e m a c o n s i s t e n t e d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s
y s u p ó n g a s e q u e X 1 e s u n a s o l u c i ó n j a . D e m u e s t r e q u e t o d a s o l u c i ó n p a r a
e l s i s t e m a s e p u e d e e s c r i b i r e n l a f o r m a X = X 1 + X 0 , e n d o n d e X 0 e s u n a
s o l u c i ó n p a r a AX = 0 . D e m u e s t r e t a m b i é n q u e t o d a m a t r i z d e e s t a f o r m a
e s u n a s o l u c i ó n .
9 . E n c o n t r a r l a i n v e r s a d e l a m a t r i z d a d a , s i l a m a t r i z e s i n v e r t i b l e :
a) A =
3 4 −11 0 32 5 −4
b) B =
3 1 52 4 1
−4 2 −9
c) C =
1 0 10 1 11 1 0
1 0 . E f e c t ú e l a s o p e r a c i o n e s s o b r e l a s l a s q u e s i g u e n s o b r e
A =
3 1 0−2 1 43 5 5
m u l t i p l i c a n d o p o r u n a m a t r i z e l e m e n t a l a p r o p i a d a . E n c a d a c a s o , v e r i q u e
l a r e s p u e s t a l l e v a n d o a c a b o l a o p e r a c i ó n s o b r e l a s l a s d i r e c t a m e n t e s o b r e
A .
a ) I n t e r c a m b i e l a p r i m e r a y t e r c e r a l a s .
b ) M u l t i p l i q u e l a s e g u n d a l a p o r 1 / 3 .
c ) S u m e e l d o b l e d e l a s e g u n d a l a a l a p r i m e r a .
1 1 . U n a c a j a q u e c o n t i e n e m o n e d a s c o n l a s d e n o m i n a c i o n e s d e u n c e n t a v o ,
c i n c o c e n t a v o s y d i e z c e n t a v o s t i e n e 1 3 d e e l l a s c o n u n v a l o r t o t a l d e 8 3
c e n t a v o s .
¾ C u á n t a s m o n e d a s d e c a d a t i p o h a y e n l a c a j a ?
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Á l g e b r a 6 3
1 2 . ¾ P a r a c u á l v a l o r , o c u á l e s v a l o r e s , d e a e l s i s t e m a s i g u i e n t e t i e n e c e r o ,
u n a y u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s ? x1 + x2 + x3 = 4x3 = 2
(a2 − 4)x3 = a − 2
1 3 . D e m o s t r a r q u e l a t r a s p o s i c i ó n d e m a t r i c e s s a t i s f a c e l a s s i g u i e n t e s
p r o p i e d a d e s .
a ) ∀A ∈ M m×n(K) t(tA) = A.
b ) ∀A, B ∈ M m×n(K) t(A + B) =t A +t B.
c ) ∀A ∈ M m×n(K), ∀B ∈ M n× p(K)
,
t(A · B) =t B ·t A.
1 4 . D e m o s t r a r q u e s i A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e , e n t o n c e s
t(A) ∈ M n(K)
e s i n v e r t i b l e y
t (A−1) = (tA)−1
.
1 5 . S i A = (aij) ∈ M n(K)
, s e d e n o m i n a traza
d e A
a l a s u m a d e l o s
e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e A, e s d e c i r ,
T r(A) = a11 + ... + ann =n
i=1
aii.
D e m o s t r a r q u e ∀A,B,C ∈ M n(K) :
a ) T r(A + B) = T r(A) + T r(B).b )
T r(AB) = T r(BA).
P o n e r u n c o n t r a e j e m p l o q u e p o n g a d e m a n i e s t o q u e
T r(A.B) = T r(A) · T r(B).
c ) S i e n d o C = AtA,
T r(AtA) =n
i=1
n
k=1
a2ik
.
1 6 . S e d i c e q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K)
e s s i m é t r i c a s i
tA = A.D e m o s t r a r
q u e u n a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a y s u c i e n t e p a r a q u e e l p r o d u c t o d e d o s m a t r i c e s
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6 4 Á l g e b r a
s i m é t r i c a s A, B ∈ M n(K) d é c o m o r e s u l t a d o u n a m a t r i z s i m é t r i c a e s q u e
AB = BA.
1 7 . D e t e r m i n a r α ∈ C
y β ∈ C
p a r a q u e l a m a t r i z A =
2 11 2
∈
M 2(C) s a t i s f a g a l a e c u a c i ó n A2 + αA + βI 2 = (0).
1 8 . S e d i c e q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s i d e m p o t e n t e s i A2 = A.D e m o s t r a r q u e s i A ∈ M n(K) e s i d e m p o t e n t e , e n t o n c e s B = I n − A e s
i d e m p o t e n t e . D e m o s t r a r t a m b i é n q u e AB = (0)y q u e BA = (0).
1 9 . E n u n a f e r i a d e g a n a d o u n g r a n j e r o c o m p r ó p o l l o s , c o n e j o s y t e r n e r o s .
L o s p o l l o s l o s c o m p r ó a 5 0 p t s . , l o s c o n e j o s a 1 0 0 0 p t s . y l o s t e r n e r o s a
5 0 0 0 p t s .
C o m p r ó 1 0 0 a n i m a l e s y g a s t ó 1 0 0 . 0 0 0 p t s .
S a b i e n d o q u e c o m p r ó a n i m a l e s d e l a s 3 c l a s e s , a v e r i g u a r e l n ú m e r o d e
a n i m a l e s q u e c o m p r ó d e c a d a c l a s e .
2 0 . E n e l á m b i t o d e l a s c i e n c i a s d e l a c o m p u t a c i ó n u n a c a d e n a o s t r i n g
e s u n a s e c u e n c i a d e i t e m s ( d a t o s ) d e a l g ú n c o n j u n t o ( o d o m i n i o ) d e d a t o s
d a d o . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s u n a c a d e n a e s u n a p a l a b r a a1...an d e l o n g i -
t u d n ≥ 0.
P a r a n = 0
s e t r a t a d e l a c a d e n a v a c í a ( a l a q u e e n s u m o m e n t o
d e n o t a m o s p o r λ) y p a r a n ≥ 1 l o s e l e m e n t o s a1,...,an p e r t e n e c e n a l m i s -
m o c o n j u n t o o a l f a b e t o A. E l e j e r c i c i o c o n s i s t e e n c o n s t r u i r u n m o d e l o d e
t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s a l q u e d e n o m i n a r e m o s c a d e n a o s t r i n g , t e n i e n d o
e n c u e n t a q u e h a y q u e c o n s i d e r a r l o s d a t o s y l a s c a d e n a s d e d a t o s d e u n
c o n j u n t o A = {a1,...,ak}, q u e l a s c a d e n a s s o n e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o A∗
( c o n j u n t o d e t o d a s l a s c a d e n a s o p a l a b r a s d e n i d a s s o b r e e l a l f a b e t o A o
l e n g u a j e u n i v e r s a l s o b r e A), q u e h a y q u e c o n s i d e r a r l a p a l a b r a v a c í a c o m o
u n a c o n s t a n t e , y q u e c o m o o p e r a c i o n e s s o b r e l a s c a d e n a s c o n s i d e r a m o s l a s
s i g u i e n t e s : construye,
q u e a p a r t i r d e u n e l e m e n t o d e A
c o n s t r u y e u n a l i s -
t a d e l o n g i t u d 1, l a o p e r a c i ó n concat, d e n i d a s o b r e p a r e s d e p a l a b r a s p o r
concat(a1...an, b1...bm) = a1...anb1...bm , y l a s o p e r a c i o n e s i a ñ a d e ( i a d d ) y d a -
ñ a d e ( d a d d ) q u e a ñ a d e n , r e s p e c t í v a m e n t e , u n e l e m e n t o a l a i z q u i e r d a o a l a
d e r e c h a d e u n a c a d e n a d a d a . ( N o t a :
S o n s u c i e n t e s 5 e c u a c i o n e s ) .
1 . 4 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s
1 . R e s o l v e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s p o r e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a :
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Á l g e b r a 6 5
a ) 2x − 5y + 4z + u − v = 3
x − 2y + z − u + v = 5x − 4y + 6z + 2u − v = 10
, b ) 4x − 3y + 2z + u = 3x
−2y + z + 2u =
−2
4x − y + z − u − v = 52x + 3y − z − 4u = 9
c )
4x − 3y + 2z = −2−2x + y + 2z = 3−x + y − 2z = 7
, d )
4x − 3y + 2z = 3−2x + y + 2z = 1−x + y − 2z = −2
2 . R e s o l v e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s p o r e l m é t o d o d e
G a u s s - J o r d a n :
3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 22x1 + 2x2
−6x3 + 2x4 =
−4
4x1 + 5x2 − x3 + 3x4 = −3
,7x2 + x3 = 13x1 + 4x2 + 1x3 = 7
−9x1 − 5x2 − 2x3 = 2
3 . R e s o l v e r e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s ( n o l i n e a l e s ) : 2x2 − 6y3 + 3ez = 174y3 − ez = −5−3x2 − 2y3 = −10
4 . D i s c u t i r l a s d i s t i n t a s s o l u c i o n e s d e l s i g u i e n t e s i s t e m a s e g ú n l o s d i s t i n t o s
v a l o r e s d e l p a r á m e t r o k :
x + y + 2z = 2−3x + 2y + 3z = −22x + ky − 5z = −4
5 . D i s c u t i r l a s d i s t i n t a s s o l u c i o n e s d e l s i g u i e n t e s i s t e m a s e g ú n l o s d i s t i n t o s
v a l o r e s d e l o s p a r á m e t r o s a y b :
ax + bz = 2ax + ay + 4z = 4ax + 2z = b
6 . V e r i c a r q u e e x i s t e u n s i s t e m a d e d o s e c u a c i o n e s e n l a s v a r i a b l e s
x,
y,
z , c u y a s s o l u c i o n e s s e a n , e n f u n c i ó n d e l p a r á m e t r o t: x = −1 − ty = 2 + 5tz = 4 − t
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6 6 Á l g e b r a
7 . U n p a d r e c o n a c i o n e s m a t e m á t i c a s d e c i d e h a c e r s u t e s t a m e n t o d e l a
m a n e r a s i g u i e n t e :
•T o d o m i c a p i t a l s e r á d i v i d i d o e n t r e m i s t r e s h i j o s : A n t o n i o , B e n i t o
y C a r l a .
•D e l c a p i t a l m e n o s 10.000 e u r o s A n t o n i o r e c i b e l a m i t a d .
•L a c a n t i d a d r e c i b i d a p o r C a r l a m e n o s l a c a n t i d a d q u e r e c i b a B e -
n i t o d e b e s e r i g u a l a l a c a n t i d a d r e c i b i d a p o r B e n i t o m e n o s l a
c a n t i d a d r e c i b i d a p o r A n t o n i o .
•L a c a n t i d a d r e c i b i d a p o r C a r l a m e n o s e l
60p o r c i e n t o d e l a r e c i -
b i d a p o r B e n i t o d e b e s e r i g u a l a 4.000 e u r o s .
¾ C u a n t o d i n e r o r e c i b i r á c a d a u n o ?
8 . C a l c u l a r l a i n v e r s a , s i e x i s t e , d e l a s s i g u i e n t e s m a t r i c e s y c o m p r o b a r l a
r e s p u e s t a p o r m u l t i p l i c a c i ó n :
A =
8 −11 −76 −8 −51 −1 −1
, B =
−2 3 1−2 4 2−3 2 −1
, C =
−2 0 −6 −10 −3 0 −31 0 −3 10 −3 3 −3
9 . D e m o s t r a r q u e l a m a t r i z
A =
1 −1 30 4 −2
−2 6 −8
n o e s i n v e r t i b l e c o m p r o b a n d o q u e e x i s t e u n a s o l u c i ó n n o t r i v i a l d e l
s i s t e m a h o m o g é n e o A · X = 0.
1 0 . S e a A l a m a t r i z
A = 3
−3 5
1 4 −3−3 4 −6 .
•U s a n d o e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n , e x p r é s e s e l a m a t r i z
A−1c o m o
p r o d u c t o d e m a t r i c e s e l e m e n t a l e s .
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Á l g e b r a 6 7
•E x p r é s e s e l a m a t r i z A c o m o p r o d u c t o d e m a t r i c e s e l e m e n t a l e s .
1 1 . E l p r o d u c t o d e m a t r i c e s c u a d r a d a s n × n n o e s c o n m u t a t i v o . S i n e m -
b a r g o , d a d a u n a m a t r i z A, e x i s t e n m a t r i c e s B q u e c o n m u t a n c o n e l l a ,
e s d e c i r , t a l e s q u e A · B = B · A
( p o r e j e m p l o , l a i d e n t i d a d o l a p r o p i a
A) . E l c o n j u n t o d e t a l e s m a t r i c e s s e l l a m a c o n m u t a d o r d e A. C a l c ú l e s e
e l c o n m u t a d o r d e l a m a t r i z :
A =
1 0
−2 −1
1 2 . U n a m a t r i z c u a d r a d a S
s e d i c e s i m é t r i c a s i S = tS
y a n t i s i m é t r i c a s i
S = −t
S .
( a ) D a r d o s e j e m p l o s d e m a t r i c e s s i m é t r i c a s y a n t i s i m é t r i c a s 3 × 3
.
( b ) P r o b a r q u e d a d a u n a m a t r i z c u a d r a d a c u a l q u i e r a B , l a s m a t r i c e s
12
(B + tB)y
12
(B − tB)s o n s i m é t r i c a y a n t i s i m é t r i c a , r e s p e c t i v a -
m e n t e , y q u e s u s u m a e s B .
( c ) P r o b a r q u e s i u n a m a t r i z c u a d r a d a B s e e s c r i b e c o m o s u m a B =S +A d o n d e S y A s o n s i m é t r i c a y a n t i s i m é t r i c a , r e s p e c t i v a m e n t e ,
e n t o n c e s S = 12(B + tB) y A = 1
2(B − tB).
D e e s t e e j e r c i c i o s e d e d u c e q u e t o d a m a t r i z s e d e s c o m p o n e d e m a -
n e r a ú n i c a c o m o s u m a d e u n a m a t r i z s i m é t r i c a y u n a a n t i s i m é t r i c a .
C a l c ú l e s e l a d e s c o m p o s i c i ó n d e l a m a t r i z
A =
2 3 −14 5 70 2 4
1 3 . C a l c ú l e n s e p o r i n d u c c i ó n l a s p o t e n c i a s m- é s i m a s d e l a s m a t r i c e s :
A =
a 10 a
, B =
0 11 0
.
1 4 . D o s m a t r i c e s c u a d r a d a s A
y B
s e d i c e n s e m e j a n t e s ( o c o n g r u e n t e s ) s i
e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P t a l q u e A = P · B · P −1 .
S e a n A y B s e m e j a n t e s .
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6 8 Á l g e b r a
( a ) P r o b a r p o r i n d u c c i ó n q u e p a r a t o d o n ∈ Ns e v e r i c a Am = P ·
B
m
· P −1
.
( b ) S i d o s m a t r i c e s i n v e r t i b l e s A y B s o n s e m e j a n t e s , ¾ e s A−1s e m e -
j a n t e c o n B−1
? ¾ E s
tAs e m e j a n t e c o n
tB?
( c ) C o n l a n o t a c i ó n a n t e r i o r , y s i e n d o
B =
2 00 3
, P =
1 −2
−2 3
,
c a l c ú l e n s e l a s p o t e n c i a s A3
, A10
y Am
, m ∈ N
.
1 5 . C o n s i d é r e n s e l a s m a t r i c e s
Aα = cos α sin α− sin α cos α , α ∈ R.
( a ) P r o b a r q u e Aα · Aβ = Aα+β ( A y u d a : Ú s e n s e l a s f ó r m u l a s d e l s e n o
y e l c o s e n o d e l a s u m a d e d o s a n g u l o s : cos(α + β ) = cos α · cos β −sin α · sin β y sin(α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β ) .
( b ) P r o b a r q u e A0 = I 2 .
( c ) P r o b a r q u e (Aα)−1 = A−α .
( d ) C o n c l u i r q u e e l c o n j u n t o G = {Aα|α ∈ R}
e s u n g r u p o c o n m u t a -
t i v o c o n e l p r o d u c t o u s u a l d e m a t r i c e s .
( e ) G s e l l a m a u s u a l m e n t e e l g r u p o d e r o t a c i o n e s d e l p l a n o , y a q u e
d a d o u n v e c t o r v ∈ R2( c u y a s c o o r d e n a d a s e s c r i b i m o s e n u n a
m a t r i z c o l u m n a ) , e l p r o d u c t o Aα · v e s e l v e c t o r q u e r e s u l t a d e
r o t a r v α g r a d o s c o n r e s p e c t o a l o r i g e n e n e l s e n t i d o d e l a s a g u j a s
d e l r e l o j . C o n s i d é r e s e e l t r i á n g u l o T f o r m a d o p o r e l o r i g e n y l o s
v e c t o r e s v = (1, 0) y w = (1, 1) ; c a l c u l a r y d i b u j a r l o s v é r t i c e s d e
l o s t r i á n g u l o s q u e r e s u l t a n d e r o t a r T 30, 45, 60 y 90 g r a d o s .
E J E R C I C I O S C O M P L E M E N T A R I O S .
1 6 . C a l c u l a r d o s m a t r i c e s c u a d r a d a s X e Y q u e v e r i q u e n :
4X + 3Y =
3 −24 0
, 3X + 2Y =
1 5
−3 2
.
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Á l g e b r a 6 9
1 7 . P r o b a r p o r i n d u c c i ó n q u e s i d o s m a t r i c e s A y B c o n m u t a n ( e s d e c i r
A · B = B · A) e n t o n c e s s e v e r i c a l a f ó r m u l a d e N e w t o n :
(A + B)m =m
i=0
mi
Ai · Bm−i.
P o n e r u n e j e m p l o d e d o s m a t r i c e s 2 × 2 q u e n o c o n m u t e n y c o m p r o b a r
q u e l a f ó r m u l a a n t e r i o r y a n o s e v e r i c a p a r a m = 2 .
1 8 . L l a m a m o s m a t r i z d e p e r m u t a c i ó n
a u n a m a t r i z c u a d r a d a v e r i c a n d o
q u e t o d o s s u s c o e c i e n t e s s o n c e r o e x c e p t o u n e l e m e n t o e n c a d a l a y
e n c a d a c o l u m n a . E n e s t e e j e r c i c i o c o n s i d e r a r e m o s m a t r i c e s c u a d r a d a s
3 × 3. U n a m a t r i z d e p e r m u t a c i ó n
3 × 3v i e n e d e t e r m i n a d a p o r u n a
p e r m u t a c i ó n σ d e l c o n j u n t o d e i n d i c e s {1, 2, 3}
d e t a l m a n e r a q u e l a
m a t r i z c o r r e s p o n d i e n t e Aσ v i e n e d a d a p o r (Aσ(i, j) = 0 ⇐⇒ j =σ(i)) ∧ (Aσ(i, j) = 1 ⇐⇒ j = σ(i)).
( a ) D a d a u n a m a t r i z 3 × 3 B , v e r i c a r q u e e l p r o d u c t o Aσ · B e s
u n a m a t r i z q u e t i e n e l a s m i s m a s l a s q u e B p e r o e n e l o r d e n
σ(1), σ(2), σ(3).
( b ) E s c r i b i r t o d a s l a s p e r m u t a c i o n e s d e l c o n j u n t o {1, 2, 3}
y l a s c o r r e s -
p o n d i e n t e s m a t r i c e s d e p e r m u t a c i ó n .
( c ) P r o b a r q u e e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s d e p e r m u t a c i ó n e s u n a m a t r i z
d e p e r m u t a c i ó n .
( d ) P r o b a r q u e e l c o n j u n t o d e m a t r i c e s d e p e r m u t a c i ó n c o n e l p r o d u c -
t o u s u a l d e m a t r i c e s e s u n g r u p o n o c o n m u t a t i v o .
1 9 . S e a K
e l c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s x t a l e s q u e e x i s t e n d o s n ú m e r o s
r a c i o n a l e s a y b c o n x = a+√
2·b . L l a m a r e m o s a a y b , r e s p e c t i v a m e n t e ,
l a p a r t e r a c i o n a l y l a p a r t e i r r a c i o n a l d e x.
( a ) P r o b a r q u e l a s u m a y e l p r o d u c t o d e d o s n ú m e r o s r e a l e s e n K
p e r t e n e c e a K
. E s c r í b a s e l a e x p r e s i ó n d e t a l e s o p e r a c i o n e s e n
f u n c i ó n d e l a s p a r t e s r a c i o n a l e i r r a c i o n a l .
( b ) P r o b a r q u e 0 y 1 p e r t e n e c e n a K
.
( c ) P r o b a r q u e e l e l e m e n t o o p u e s t o d e u n e l e m e n t o e n K
p e r t e n e c e a
K.
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7 0 Á l g e b r a
( d ) P r o b a r q u e e l e l e m e n t o i n v e r s o d e u n e l e m e n t o n o n u l o e n K
p e r -
t e n e c e a K
.
( e ) C o n c l u i r q u e K
e s u n c u e r p o c o n m u t a t i v o .
( f ) ¾ S e t e o c u r r e n o t r o s e j e m p l o s d e c u e r p o s c o n s t r u í d o s d e f o r m a
s i m i l a r ?
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C a p í t u l o 2
E s p a c i o s v e c t o r i a l e s
E n e s t e c a p í t u l o v a m o s a e s t u d i a r e l c o n c e p t o d e e s p a c i o v e c t o r i a l . E s t a e s l a
e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a s o b r e l a q u e s e d e s a r r o l l a l a p a r t e d e l a s m a t e m á t i c a s
c o n o c i d a c o m o A l g e b r a L i n e a l .
V e a m o s u n p r i m e r e j e m p l o e n e l q u e a p a r e c e l a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o
v e c t o r i a l .
A l e s t u d i a r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n p a r a l a r e s o l u c i ó n d e u n s i s t e -
m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s , e s t a b l e c i m o s c i e r t a s o p e r a c i o n e s s o b r e l a s l a s d e
l a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s a l a s q u e l l a m a m o s
t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s . P a r a d e n i r l a s t u v i m o s q u e c o n s i d e r a r l a s s i -
g u i e n t e s o p e r a c i o n e s s o b r e l a s l a s d e d i c h a m a t r i z :
1 . S u m a r d o s l a s F i = F i + F j
2 . M u l t i p l i c a r u n a l a p o r u n n ú m e r o : F i = λF i,
d e m a n e r a q u e s i (ai1 · · · ain bi) y (ak1 · · · akn bk) s o n d o s l a s d e d i c h a
m a t r i z , s u s u m a e r a
(ai1 · · · ain bi) + (ak1 · · · akn bk) = (ai1 + ak1 · · · ain + akn bi + bk)
y e l p r o d u c t o d e u n a l a (ai1 · · · ain bi) p o r u n n ú m e r o c o m p l e j o λ e r a
λ(ai1 · · · ain bi) = (λai1 · · · λain λbi).
E n g e n e r a l , s i (a1
· · ·an) y (b1
· · ·bn) s o n m a t r i c e s l a y λ e s u n n ú m e r o
c o m p l e j o ,
(a1 · · · an) + (b1 · · · bn) = (a1 + b1 · · · an + bn)
y
λ(a1 · · · an) = (λa1 · · · λan).
7 1
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7 2 Á l g e b r a
S i e n d o a, b
y c
m a t r i c e s l a , y λ, µ ∈ C, n o e s d i f í c i l v e r i c a r q u e s e s a t i s f a c e n
l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :
1 . a + b = b + a.
2 . (a + b) + c = a + (b + c).
3 . a + (0) = (0) + a = (0).
4 . a + (−a) = (0) y (−a) + a = (0), s i e n d o a d e m á s
−a = (−1)a.5 . (λµ)a =λ(µa).6 . λ(a + b) =λa+λb.7 . (λ + µ)a =λa + µa.8 . 1 · a = a.E s t a s p r o p i e d a d e s , c o m o a h o r a v e r e m o s , s e r v i r á n p a r a e s t a b l e c e r l o s a x i o -
m a s d e l a d e n i c i ó n d e e s p a c i o v e c t o r i a l .
L a n o c i ó n d e e s p a c i o v e c t o r i a l t a m b i é n e s t á e s t r e c h a m e n t e r e l a c i o n a d a
c o n l a s i g u i e n t e i d e a : s i a l g u i e n q u i e r e c o m p r a r 3 K g . d e p e r a s y 2 K g . d e
m a n z a n a s , n o l e p i d e a l t e n d e r o 5 K g . d e p e r a s y m a n z a n a s , y a q u e e n e s e
c a s o p o d r í a n d a r l e , p o r e j e m p l o , 1 K g . d e p e r a s y 4 K g . d e m a n z a n a s . P o r
o t r a p a r t e , s i e s a c o m p r a r e p r e s e n t a e l p o s t r e d e l a s e m a n a d e u n a f a m i l i a ,
y l a p e r s o n a q u e v a a r e a l i z a r l a r e c i b e e l e n c a r g o d e s u c u ñ a d a d e c o m p r a r 4
K g . d e p e r a s y 2 K g . d e m a n z a n a s , y d e s u v e c i n a d e c o m p r a r l a m i t a d d e
l o q u e é l m i s m o v a y a a c o m p r a r , n u e s t r o a m i g o d e b e r á c o m p r a r 3 Kg. de peras
2 Kg. de manzanas
+
4 Kg. de peras
2 Kg. de manzanas
+ 1
2
3 Kg. de peras
2 Kg. de manzanas
=
8.5 Kg. de peras
5 Kg. de manzanas
.
E s t a s l i s t a s ( o m a t r i c e s c o l u m n a ) d e n ú m e r o s q u e s a b e m o s s u m a r y m u l t i -
p l i c a r p o r n ú m e r o s c o n s t i t u y e n u n p r i m e r e j e m p l o d e l o q u e d e n o m i n a r e m o s
v e c t o r e s .
E l c o n c e p t o d e v e c t o r t a m b i é n s e e m p l e a e n F í s i c a p a r a r e p r e s e n t a r m a g -
n i t u d e s q u e n o q u e d a n c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a s p o r u n n ú m e r o , y e s
t r a d i c i o n a l a s o c i a r u n a e c h a a d i c h a s m a g n i t u d e s y r e p r e s e n t a r l a s p o r u n
s e g m e n t o o r i e n t a d o . S i n e m b a r g o , e l a s o c i a r e l c o n c e p t o d e v e c t o r a u n
o b j e t o g e o m é t r i c o t i e n e u n a l i m i t a c i ó n i m p o r t a n t e , p u e s s i t r a b a j a m o s c o n
l i s t a s d e m á s d e t r e s n ú m e r o s , n o c o n t a m o s c o n s u c i e n t e s d i m e n s i o n e s e n e l
e s p a c i o f í s i c o p a r a s i t u a r t a l e c h a .
L a d e s c r i p c i ó n a x i o m á t i c a d e v e c t o r s o b r e l a q u e v a m o s a t r a b a j a r , e s
a b s t r a c t a p o r l o q u e n o r e q u i e r e e l u s o d e o b j e t o s g e o m é t r i c o s . A d e m á s ,
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Á l g e b r a 7 3
d i c h a a b s t r a c c i ó n c o n l l e v a o t r a v e n t a j a a d i c i o n a l : n o r e q u i e r e l a i n t r o d u c c i ó n
d e n o c i o n e s c o m o s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o s i s t e m a d e d i r e c c i o n e s .
E s t a v i s i ó n a x i o m á t i c a p e r m i t e e n g l o b a r c o m o e j e m p l o s d e v e c t o r e s a
o b j e t o s m a t e m á t i c o s a p a r e n t e m e n t e t a n d i s t i n t o s c o m o l o s p o l i n o m i o s , l a s
m a t r i c e s , l a s f u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a l , l a s s u c e s i o n e s d e n ú m e r o s
r e a l e s y u n l a r g o e t c é t e r a .
2 . 1 V e c t o r e s e n e l p l a n o y e n e l e s p a c i o
S i q u e r e m o s r e p r e s e n t a r o b j e t o s d e l a F í s i c a e l e m e n t a l c o m o f u e r z a , d e s p l a -
z a m i e n t o y v e l o c i d a d , t e n e m o s q u e u t i l i z a r v e c t o r e s g e o m é t r i c o s e n e l p l a n o
R2
o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l
R3
. E n e f e c t o l o s v e c t o r e s g e o m é t r i c o s
n o s p e r m i t e n e s p e c i c a r m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o p a r a e s t a s c a n t i d a d e s
f í s i c a s . A q u í s ó l o r e c o r d a r e m o s l a s d e n i c i o n e s b á s i c a s .
D a d o s t r e s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s A B , C D y E F , e n e l e s p a c i o b i d i m e n s i o -
n a l o t r i d i m e n s i o n a l c o m o e n l a g u r a 2 . 1 a ) , p a r a c a d a u n o d e e l l o s e s t á n
d e t e r m i n a d o s u n p u n t o d e a p l i c a c i ó n ( r e s p e c t i v a m e n t e A , C y E ) , u n e x -
t r e m o o a j o ( r e s p e c t i v a m e n t e B , D y F ) , u n a m a g n i t u d r e p r e s e n t a d a p o r
l a l o n g i t u d d e l s e g m e n t o , y u n a d i r e c c i ó n , q u e e s l a d i r e c c i ó n d e l a r e c t a
q u e l o c o n t i e n e . S i a h o r a j a m o s u n p u n t o O e n n u e s t r o e s p a c i o y d i b u j a -
m o s n u e s t r a s t r e s e c h a s a p a r t i r d e l p u n t o O ( e s d e c i r , s i A = C = E = O ) ,
o b t e n e m o s l a g u r a 2 . 1 b ) , d o n d e C D y E F c o i n c i d e n y s e p u e d e n c o n s i d e r a r
e q u i v a l e n t e s . E s t a s e n c i l l a c o n s i d e r a c i ó n e s t á e n l a b a s e d e l a d e n i c i ó n d e
v e c t o r g e o m é t r i c o .
S o b r e e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s d e l p l a n o ( o d e l
e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l ) d e n i m o s l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a :
A B ∼
C D ⇔
A B y C D t i e n e n i g u a l m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o .
E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 V e r i c a r q u e ∼
e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a .
D e n i c i ó n 2 . 1 . 1 S i d o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s p e r t e n e c e n a l a m i s m a c l a -
s e d e e q u i v a l e n c i a d e l a s o b t e n i d a s a l c o n s i d e r a r l a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a
a n t e r i o r , s e d i c e q u e s o n e q u i v a l e n t e s .
A h o r a e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s s e p u e d e p e n s a r
c o m o l a u n i ó n d i s j u n t a d e e s t a s c l a s e s d e e q u i v a l e n c i a :
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7 4 Á l g e b r a
A
B
C
D
E
F
¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ B
d d
d d
d d
d d
a )
O
B
D = F
¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ B
d d
d d
b )
F i g u r a 2 . 1 : V e c t o r e s g e o m é t r i c o s
D e n i c i ó n 2 . 1 . 2 U n v e c t o r g e o m é t r i c o v e n R2
o e n R3
e s u n a c l a s e d e
e q u i v a l e n c i a d e s e g m e n t o s o r i e n t a d o s r e s p e c t o d e l a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a
a n t e r i o r .
C o m o c a d a c l a s e e s t á f o r m a d a p o r t o d o s l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s ( e n R2
o e n R3
) q u e t i e n e n i g u a l m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o ( e s d e c i r , p o r t o d o s
l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s q u e c o i n c i d e n u n a v e z q u e s e a n a p l i c a d o s e n u n
p u n t o p r e j a d o O ) , e s t o s v a l o r e s c o m u n e s d e m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o
s e l l a m a n m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o d e l v e c t o r v .
S e s i g u e d e e s t a d e n i c i ó n q u e d o s v e c t o r e s v1 y
v2 s o n i g u a l e s s i y s o l o s i
t i e n e n i g u a l m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o .
P o d e m o s , p o r t a n t o , r e p r e s e n t a r u n v e c t o r g e o m é t r i c o p o r c u a l q u i e r a d e
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Á l g e b r a 7 5
v
w
v + w
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡ !
& &
& &
& &
& &
& & &
& &
& & b
I
A
B
C
a )
v
w
v - w
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡ !
I r r r r r r r r b )
F i g u r a 2 . 2 : O p e r a c i o n e s c o n v e c t o r e s g e o m é t r i c o s
l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s d e l c o n j u n t o q u e l o d e n e . E n l a g u r a 2 . 1 a ) , C D
y E F r e p r e s e n t a n e l m i s m o v e c t o r g e o m é t r i c o v p o r q u e d i e r e n s o l o e n s u s
p u n t o s d e a p l i c a c i ó n .
N o t a : A b u s a n d o d e l a n o t a c i ó n , s e e s c r i b i r á AB = v p a r a d e n o t a r q u e
e l s e g m e n t o o r i e n t a d o AB
e s u n r e p r e s e n t a n t e d e l v e c t o r v
.
D e n i c i ó n 2 . 1 . 3 S e a n v y w d o s v e c t o r e s g e o m é t r i c o s , l a s u m a v + w e s
e l v e c t o r d e n i d o p o r l a r e g l a d e l p a r a l e l o g r a m o e n l a g u r a 2 . 2 a ) . S i AB y
BC r e p r e s e n t a n l o s v e c t o r e s
vy
w, r e s p e c t i v a m e n t e , e l s e g m e n t o o r i e n t a d o
AC r e p r e s e n t a e l v e c t o r v + w .
O b s e r v a c i ó n 1 9 E s t a d e n i c i ó n d e s u m a d e v e c t o r e s n o d e p e n d e d e l o s s e g -
m e n t o s o r i e n t a d o s e l e g i d o s p a r a r e p r e s e n t a r l o s v e c t o r e s v y w .
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7 6 Á l g e b r a
E j e r c i c i o 2 . 1 . 2 V e r i c a r , r e a l i z a n d o e l c o r r e s p o n d i e n t e d i b u j o , q u e p a r a t o -
d o p a r d e v e c t o r e s g e o m é t r i c o s
vy
w,
v + w = w + v.
E l v e c t o r d e m a g n i t u d c e r o e s e l v e c t o r c e r o y s e d e n o t a p o r 0; p a r a
t o d o v e c t o r v
, v + 0 = 0 + v
.
E l o p u e s t o d e u n v e c t o r v
e s e l v e c t o r d e i g u a l d i r e c c i ó n , m a g n i t u d q u e
v , p e r o d e s e n t i d o o p u e s t o .
L a s u s t r a c c i ó n d e d o s v e c t o r e s e s t á d e n i d a p o r v − w = v + (−w) y s e
p u e d e r e p r e s e n t a r g e o m é t r i c a m e n t e c o m o e n g u r a 2 . 2 b ) .
E l p r o d u c t o d e u n v e c t o r p o r u n e s c a l a r k ∈ R
e s e l v e c t o r w = kv
q u e t i e n e m i s m a d i r e c c i ó n q u e v , m a g n i t u d i g u a l a k v e c e s l a m a g n i t u d d e vy m i s m o s e n t i d o q u e v s i k > 0 o o p u e s t o s i k < 0. S i k = 0, kv = 0 .
S i a h o r a i n t r o d u c i m o s u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s e n e l
p l a n o ( o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l ) , e s d e c i r s i s e l e c c i o n a m o s u n p u n t o
O , d o s r e c t a s o r i e n t a d a s m u t u a m e n t e p e r p e n d i c u l a r e s ( o t r e s s i s e t r a t a d e l
e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l ) y u n a m a g n i t u d u n i t a r i a , c a d a p u n t o P a d m i t i r á u n a
r e p r e s e n t a c i ó n a n a l í t i c a e n t é r m i n o s d e c o o r d e n a d a s o c o m p o n e n t e s ( x , y )
e n e l c a s o d e l p l a n o o ( x , y , z ) e n e l c a s o d e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l . C o m o
e l s e g m e n t o o r i e n t a d o O P r e p r e s e n t a r á u n v e c t o r v , d i r e m o s t a m b i é n q u e
e l v e c t o r v t i e n e c o m p o n e n t e s ( x , y ) ( o ( x , y , z ) ) . P o r t a n t o , d o s s e g m e n t o s
o r i e n t a d o s OP y OQ s o n e q u i v a l e n t e s ( e s d e c i r , r e p r e s e n t a n e l m i s m o v e c t o r
g e o m é t r i c o
v) s i y s ó l o s i l o s p u n t o s
P y
Qt i e n e n i g u a l e s c o o r d e n a d a s .
L a s o p e r a c i o n e s d e n i d a s s o b r e v e c t o r e s g e o m é t r i c o s s e p u e d e n a h o r a r e -
e s c r i b i r e n t é r m i n o s d e c o o r d e n a d a s : s e a n v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3)d o s v e c t o r e s e n
R3y
k ∈ R, e n t o n c e s
v + w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)
kv = (kv1, kv2, kv3)
v − w = (v1 − w1, v2 − w2, v3 − w3)
E n l e c a s o d e v e c t o r e s
vy
we n R2
e s t a s o p e r a c i o n e s e s t á n d e n i d a s d e f o r m a
a n á l o g a .
E j e r c i c i o 2 . 1 . 3 E n R3
, s e a n k = 2, v1 = (−1, 2, 0), v2 = (4, −3, 2)
y v3 =
(−1, −1, −1) . H a l l a r v1 − k(v1 + v2) + v3 .
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Á l g e b r a 7 7
N o t a : T o d o s l o s s i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s q u e c o n s i d e r a r e m o s a l o l a r g o
d e l c a p í t u l o s e r á n o r t o g o n a l e s .
S i P = (x1, x2, x3)
y Q = (y1, y2, y3)
s o n d o s p u n t o s e n R3
, e l s e g m e n t o
o r i e n t a d o P Q r e p r e s e n t a u n v e c t o r v e n R3
d e c o o r d e n a d a s :
P Q = v = (y1 − x1, y2 − x2, y3 − x3) = Q − P.
D e f o r m a s i m i l a r , d o s p u n t o s P = (x1, x2) y Q = (y1, y2) e n R2
d e t e r m i n a n
u n v e c t o r v = (y1 − x1, y2 − x2)
, q u e s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r e l s e g m e n t o
o r i e n t a d o P Q.
E j e r c i c i o 2 . 1 . 4 S e a n P = (3, −2, 4) y Q = (−1, 4, −5), d e t e r m i n a r l a s c o o r -
d e n a d a s d e l v e c t o r
v = P Q.
A v e c e s l a e l e c c i ó n d e u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s a d e c u a d o p u e d e s i m -
p l i c a r l a s o l u c i ó n d e u n p r o b l e m a . L a s e c u a c i o n e s d e t r a s l a c i ó n d e l o s
e j e s n o s p e r m i t e n d e p a s a r d e u n s i s t e m a S a o t r o s i s t e m a S , c u y o s e j e s s o n
p a r a l e l o s a l o s e j e s d e S.E n
R2, s e a O, x, y e l o r i g e n y l o s e j e s d e l n u e v o s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s
S . U n p u n t o P e n e l p l a n o t i e n e c o o r d e n a d a s (x, y) r e s p e c t o d e l s i s t e m a
S y c o o r d e n a d a s (x, y) r e s p e c t o d e l s i s t e m a S . S i l a s c o o r d e n a d a s d e O
r e s p e c t o d e S s o n O = (a, b) , s e v e r i c a q u e
(x, y) = OP = OO + OP = (a, b) + (x, y),
y , p o r t a n t o ,
x = x − a, y = y − b.
E n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l , s i O = (a,b,c) r e s p e c t o d e S , l a s e c u a c i o n e s d e
t r a s l a c i ó n s o n
x = x − a, y = y − b, z = z − c.
E j e r c i c i o 2 . 1 . 5 E n R3
, s e a n S y S d o s s i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s , d o n d e
O = (−1, 2, 3)r e s p e c t o d e
S . E n c o n t r a r l a s c o o r d e n a d a s e n e l s i s t e m a
S d e l p u n t o P d e c o o r d e n a d a s (−1, 0, 1) e n S y l a s c o o r d e n a d a s e n e l s i s t e m a
S d e l p u n t o
Qd e c o o r d e n a d a s
(3, −1, 4)e n
S .
L a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s s o n d e f á c i l d e m o s t r a c i ó n :
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7 8 Á l g e b r a
T e o r e m a 2 . 1 . 4 S i x e y s o n v e c t o r e s e n R2
o e n R3
, y λ, µ s o n d o s e s c a l a r e s ,
e n t o n c e s
1 . x + y = y + x
2 . (x + y) + z = x + (y + z )
3 . x + (0) = (0) + x = x4 . x + (−x) = (0) y (−x) + x = (0)5 . (λµ)x =λ(µx)6 . λ(x + y) = λx+λy7 . (λ + µ)x = λx + µx8 . 1 · x = x
U t i l i z a n d o e l T e o r e m a d e P i t á g o r a s , l a m a g n i t u d o n o r m a d e u n v e c t o r
e n e l p l a n o o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l s e p u e d e d e t e r m i n a r c o m o s i g u e :
p a r a v = (x, y), v ≡ x2 + y2
p a r a v = (x,y,z ), v ≡
x2 + y2 + z 2 .
U n v e c t o r d e n o r m a 1 s e l l a m a u n i t a r i o .
L a d i s t a n c i a e u c l í d e a e n t r e d o s v e c t o r e s v = (x1, x2) y w = (y1, y2) e n
R2e s e l n ú m e r o r e a l
d(v, w) ≡ v − w =
(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2.
L a d i s t a n c i a e u c l í d e a e n t r e d o s v e c t o r e s v = (x1, x2, x3) y w = (y1, y2, y3) e n
R3e s e l n ú m e r o r e a l
d(v, w) ≡ v − w =
(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + (y3 − x3)2.
S i k e s u n e s c a l a r , kv = |k| v .
E j e r c i c i o 2 . 1 . 6 S e a n v = (0, 2, 3)
, w = (2, 0, −4)
. H a l l a r v
, w
y
d(v, w) .
S e a n v y w d o s v e c t o r e s d e R2
o d e R3
r e p r e s e n t a d o s p o r d o s s e g m e n t o s
o r i e n t a d o s AB y AC ( e s t o s d o s s e g m e n t o s t i e n e n e l m i s m o p u n t o d e a p l i c a -
c i ó n ) . S i
v = 0y
w = 0,e n e l p l a n o q u e l o s c o n t i e n e ,
ABy
AC d e t e r m i n a n
d o s á n g u l o s θ1 y θ2 = 2π − θ1.
O b s e r v a c i ó n 2 0 L o s d o s á n g u l o s d e t e r m i n a d o s p o r v
y w
n o d e p e n d e n d e
l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s e l e g i d o s p a r a r e p r e s e n t a r l o s v e c t o r e s v y w .
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Á l g e b r a 7 9
S i v = 0 y w = 0, e l á n g u l o e n t r e v y w e s e l á n g u l o θ d e t e r m i n a d o
p o r
ABy
AC , q u e s a t i s f a c e l a c o n d i c i ó n :
0 ≤ θ ≤ π.
D e n i c i ó n 2 . 1 . 5 S i v = 0 y w = 0 s o n d o s v e c t o r e s d e l p l a n o o d e l e s p a c i o
t r i d i m e n s i o n a l y θ e s e l á n g u l o e n t r e v y w , e l p r o d u c t o e s c a l a r e u c l í d e o
( o p r o d u c t o i n t e r i o r e u c l í d e o ) d e v y w e s e l n ú m e r o r e a l :
v · w = v w cos(θ). ( 2 . 1 )
S i v = 0 o s i w = 0, v · w = 0.
E j e r c i c i o 2 . 1 . 7 E n R3, s e a n v = (2, 0, 0) y w = (3, 3, 0). H a l l a r v · w.
P r o p o s i c i ó n 2 . 1 . 6 S e a n v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3) d o s v e c t o r e s d e
R
3, e n t o n c e s
v · w = v1w1 + v2w2 + v3w3
S e a n v = (v1, v2) y w = (w1, w2) d o s v e c t o r e s d e R2
, e n t o n c e s
v · w = v1w1 + v2w2
L a d e m o s t r a c i ó n d e e s t a p r o p o s i c i ó n s e s i g u e d e l a l e y d e l o s c o s e n o s :
w − v2 = v2 + w2 − 2vw cos(θ) = v2 + w2 − 2v · w.
S i v y w s o n d o s v e c t o r e s n o c e r o , d e l a e c u a c i ó n 2 . 1 s e d e r i v a f á c i l m e n t e
l a s i g u i e n t e f ó r m u l a :
cos(θ) = v · w v w ( 2 . 2 )
E j e r c i c i o 2 . 1 . 8 E n c o n t r a r e l á n g u l o e n t r e u n a d i a g o n a l d e u n c u b o y u n o
d e s u s l a d o s . ( arccos( 1√
3) ≈ 54◦44
)
T e o r e m a 2 . 1 . 7 S e a n v
y w
d o s v e c t o r e s e n e l p l a n o o e n e l e s p a c i o t r i d i -
m e n s i o n a l . E n t o n c e s
a ) v =
(v · v)
b ) S i v = 0 y w = 0, e l á n g u l o θ e n t r e v y w
e s a g u d o ⇔ v · w > 0
e s o b t u s o ⇔ v · w < 0
θ =π
2⇔ v · w = 0
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8 0 Á l g e b r a
L a d e m o s t r a c i ó n d e e s t e t e o r e m a e s u n a a p l i c a c i ó n d e l a f ó r m u l a 2 . 2 .
E j e r c i c i o 2 . 1 . 9 D a d o s v = (√ 3, 0, −2) y w = (4, π, 37), v e r i c a r q u e e l
á n g u l o e n t r e v y w e s o b t u s o .
H e m o s v i s t o q u e s i v = 0 y w = 0 s o n p e r p e n d i c u l a r e s ( e s d e c i r , s i θ = π2 ),
e l p r o d u c t o i n t e r i o r d e v
y w
e s c e r o . S i s e a d m i t e q u e v
y w
p u e d a n s e r c e r o ,
l a d e n i c i ó n d e v e c t o r e s p e r p e n d i c u l a r e s e s l a s i g u i e n t e :
D e n i c i ó n 2 . 1 . 8 D o s v e c t o r e s v y w s o n o r t o g o n a l e s s i v · w = 0.
L a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s s o n d e f á c i l d e m o s t r a c i ó n :
T e o r e m a 2 . 1 . 9 S e a n
u,
vy
wt r e s v e c t o r e s e n e l p l a n o o e n e l e s p a c i o
t r i d i m e n s i o n a l y s e a k u n n ú m e r o r e a l :
1 . u · v = v · u2 . u · (v + w) = u · v + u · w3 .
k(u · v) = (ku) · v = u · (kv)4 . v · v ≥ 0 y v · v = 0 ⇔ v = 0
D e m o s t r a c i ó n E j e r c i c i o .
S e a a h o r a v = 0u n v e c t o r b i d i m e n s i o n a l o t r i d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a d o
p o r e l s e g m e n t o o r i e n t a d o OA y s e a w = 0 o t r o v e c t o r d e l m i s m o e s p a c i o .
U t i l i z a n d o e l p r o d u c t o i n t e r i o r e s p o s i b l e d e n i r l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l
v e c t o r w s o b r e v c o m o s i g u e . R e p r e s e n t a m o s e l v e c t o r w p o r u n s e g m e n t o
o r i e n t a d o OP
c o m o e n l a g u r a 2 . 3 . E l s e g m e n t o o r i e n t a d o OP 1 r e p r e s e n t a
u n v e c t o r w1 y l o s s e g m e n t o s P 1P y OP 2 e l v e c t o r w2 = w − w1.E n t o n c e s , w = w1 + w2 , d o n d e e l v e c t o r w1 = pv(w) e s l a p r o y e c c i ó n
o r t o g o n a l d e w s o b r e v o c o m p o n e n t e v e c t o r i a l d e w a l o l a r g o d e v
y e l v e c t o r w2 = w − pv(w) e s l a c o m p o n e n t e v e c t o r i a l d e w o r t o g o n a l
a v .
T e o r e m a 2 . 1 . 1 0 S i v = 0 y w s o n d o s v e c t o r e s d e R2
o d e R3
,
pv(w) = w1 = w · v v 2 v
w2 = w − w1 = w −
w · v
v 2
v
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Á l g e b r a 8 1
θ
O A
P
P 1
P 2
w
vw1
w2 w − w1
0
E E
T T
F i g u r a 2 . 3 : P r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e w s o b r e v
D e m o s t r a c i ó n E x i s t e u n e s c a l a r k t a l q u e pv(w) = kv ( y a q u e pv(w) e s
p a r a l e l o a v ) . E n t o n c e s w = w1 + w2 = kv + w2 y w · v = w1 · v + w2 · v =kv · v + w2 · v = k v 2 . 2
S e s i g u e f á c i l m e n t e d e l ú l t i m o t e o r e m a y d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a n o r m a
q u e l a m a g n i t u d d e l v e c t o r pv(w)
e s :
pv(w) =|w · v| v = w | cos(θ)|
E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e l a n o r m a d e pv(w) d e p e n d e d e l a d i r e c c i ó n
d e v y n o d e p e n d e d e s u m a g n i t u d .
E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 0 S e a n v = (1, −4, 8) y w = (−2, 0, −1) . D e t e r m i n a r e l
v e c t o r pv(w) y s u m a g n i t u d .
2 . 1 . 1 P r o d u c t o v e c t o r i a l y p r o d u c t o m i x t o
D e n i c i ó n 2 . 1 . 1 1 S e a n u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3)
y w = (w1, w2, w3)
t r e s v e c t o r e s e n R3, d o n d e h e m o s j a d o e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s
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8 2 Á l g e b r a
u s u a l (O = (0, 0, 0), (e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1))).
• E l p r o d u c t o v e c t o r i a l e s u n a o p e r a c i ó n e n R3, q u e a c a d a p a r d e
v e c t o r e s (u, v) a s o c i a e l v e c t o r
u × v = (u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u1v2 − u2v1)e3 =
= det
u2 u3
v2 v3
e1 − det
u1 u3
v1 v3
e2 + det
u1 u2
v1 v2
e3.
•E l p r o d u c t o m i x t o e s u n a f u n c i ó n d e l p r o d u c t o c a r t e s i a n o
R3×R3×R3
e n R, q u e a c a d a t e r n a d e v e c t o r e s (u,v,w) a s o c i a e l
n ú m e r o r e a l
q u e s e o b t i e n e c a l c u l a n d o e l p r o d u c t o e s c a l a r d e l v e c t o r u c o n e l v e c t o r
v × w :
u · (v × w) = u1(v2w3 − v3w2) − u2(v1w3 − v3w1) + u3(v1w2 − v2w1) =
= det
u1 u2 u3
v1 v2 v3w1 w2 w3
.
E j e m p l o 2 . 1 . 1 2 1 ) E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e u = (1, 0, 1) y v = (−1, 2, 0) e s
u×
v = det0 1
2 0 e1−
det 1 1
−1 0 e2 + det 1 0
−1 2 e3 =
= −2e1 − e2 + 2e3 = (−2, −1, 2).
2 ) E l p r o d u c t o m i x t o d e a = (1, 1, 0), u = (1, 0, 1) y v = (−1, 2, 0) e s
a · (u × v) = det
1 1 01 0 1
−1 2 0
= −2 − 1 = −3.
I n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a y p r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l y
d e l p r o d u c t o m i x t o
•E l v e c t o r u×v e s o r t o g o n a l a u y a v y , p o r t a n t o , e s o r t o g o n a l a l p l a n o
q u e c o n t i e n e a u y v.
• u × v = −v × u y u × v = 0 s i y s ó l o s i u y v s o n p a r a l e l o s .
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Á l g e b r a 8 3
• u × v = uvsin(θ), d o n d e θ e s e l á n g u l o q u e f o r m a n u y v. E s -
t a n o r m a c o i n c i d e c o n e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o d e t e r m i n a d o p o r l o s
v e c t o r e s u y v. ( P a r a c o m p r o b a r l o s e p u e d e u t i l i z a r l a i d e n t i d a d d e
L a g r a n g e :
u × v2 = u2v2 − (u · v)2.)
• u × (v + w) = u × v + u × w y (v + w) × u = v × u + w × u.
•E l p r o d u c t o m i x t o u · (v × w) r e p r e s e n t a , e n v a l o r a b s o l u t o , e l v o l u m e n
d e l p a r a l e l e p í p e d o i n d i v i d u a d o p o r l o s t r e s v e c t o r e s u, v y w.
• u · (v × w) = 0 s i y s ó l o s i l o s t r e s v e c t o r e s u, v y w p e r t e n e n e c e n a l
m i s m o p l a n o .
2 . 1 . 2 R e c t a s e n l e p l a n o
S e a n P 0 = (x0, y0) y P 1 = (x1, y1) d o s p u n t o s e n e l p l a n o R2. E l v e c t o r
P 0P 1 = (x1 − x0, y1 − y0)i n d i v i d u a l a d i r e c c i ó n d e l a r e c t a
l q u e p a s a p o r
P 0
y P 1 y , p o r t a n t o , t i e n e p e n d i e n t e i g u a l a m =y1 − y0x1 − x0
= tg(α), s i e n d o α e l
á n g u l o q u e l a r e c t a l f o r m a c o n e l e j e d e l a s x. S e a n = (a, b), u n v e c t o r c u y a
d i r e c c i ó n e s p e r p e n d i c u l a r a l a d i r e c c i ó n d e l a r e c t a l .U t i l i z a n d o l o s e l e m e n t o s q u e a c a b a m o s d e d e n i r , e s p o s i b l e r e p r e s e n t a r
u n a r e c t a l e n e l p l a n o p o r m e d i o d e d i s t i n t a e c u a c i o n e s :
• E c u a c i ó n v e c t o r i a l
S e a n P 0 = (x0, y0)
u n p u n t o j a d o y P = (x, y)
u n p u n t o g e n é r i c o d e
u n a r e c t a l . S i e n d o n = (a, b) u n v e c t o r o r t o g o n a l a l , s e o b t i e n e q u e
e l p r o d u c t o e s c a l a r n · P P 0 = 0
( e s t a e c u a c i ó n s e p u e d e l l a m a r f o r m a
p u n t o - n o r m a l ) .
U t i l i z a n d o l o s v e c t o r e s v = OP y v0 = OP 0, s e o b t i e n e l a f o r m a
v e c t o r i a l d e l a e c u a c i ó n d e
l :
n · (v − v0) = 0.
•E c u a c i ó n g e n e r a l i m p l í c i t a
S i d e s a r r o l l a m o s l a e c u a c i ó n p u n t o - n o r m a l a n t e r i o r c o m o
0 = n·P P 0 = n·(x−x0, y−y0) = a(x−x0)+b(y−y0) = ax+by−(ax0+by0),
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8 4 Á l g e b r a
y l l a m a m o s −(ax0 + by0) = c, l o q u e s e o b t i e n e e l l a e c u a c i ó n g e n e r a l
i m p l í c i t a :
ax + by + c = 0.
•E c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s
S e a n P 0 = (x0, y0) u n p u n t o d e l a r e c t a l , v = (v1, v2) u n v e c t o r
p a r a l e l o a l y P = (x, y) e l p u n t o g e n é r i c o d e l . E n t o n c e s e l v e c t o r P 0P e s p a r a l e l o a v, e s d e c i r , e x i s t e u n n ú m e r o r e a l k t a l q u e P 0P = kv.E s t a ú l t i m a e c u a c i ó n , e s c r i t a e n t é r m i n o s d e c o o r d e n a d a s , d e n e l a s
e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l a r e c t a l :
x = x0 + kv1
y = y0 + kv2.k ∈ R
•E c u a c i ó n p e n d i e n t e - o r d e n a d a e n e l o r i g e n
E s t a e c u a c i ó n t i e n e l a f o r m a
y = mx + q,
d o n d e m
e s a l p e n d i e n t e d e l a r e c t a l
y q
e s l a o r d e n a d a d e l p u n t o d e
c o r t e c o n e l e j e d e l a s y, (0, q ).
E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 1 S e a P 0 = (x0, y0) u n p u n t o d e l e s p a c i o b i d i m e n s i o n a l . D e -
m o s t r a r q u e l a f ó r m u l a p a r a c a l c u l a r l a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o P 0 y u n a
r e c t a r d e e c u a c i ó n ax + by + c = 0 e s
d(P 0, r) =|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
U t i l i z a r e l h e c h o d e q u e e n R2
e l v e c t o r n = (a, b) = (0, 0) e s o r t o g o n a l a l a
r e c t a d e e c u a c i ó n
ax + by + c = 0.
E j e m p l o 2 . 1 . 1 3 L a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o P 0 = (2, −1) y l a r e c t a r d e
e c u a c i ó n x − y + 3 = 0 e s i g u a l a d(P 0, r) = |2+1+3|√ 1+1
= 6√ 2
.
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Á l g e b r a 8 5
2 . 1 . 3 P l a n o s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l
P a r a d e t e r m i n a r l a e c u a c i ó n d e u n a r e c t a r : ax + by + c = 0 e n e l e s p a c i o
b i d i m e n s i o n a l e s s u c i e n t e c o n o c e r l a s c o m p o n e n t e s d e u n p u n t o P = (x, y)d e
ry s u c o e c i e n t e a n g u l a r . D e f o r m a a n á l o g a , e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l
s e p u e d e d e t e r m i n a r u n p l a n o π ( y s u e c u a c i ó n ) p o r u n o d e s u s p u n t o s P 0 =(x0, y0, z 0) y u n v e c t o r n = (a,b,c) o r t o g o n a l a π m i s m o : t o d o p u n t o P =(x,y,z ) d e l p l a n o π y d i s t i n t o d e P 0 e s t a l q u e e l s e g m e n t o o r i e n t a d o P 0P =(x − x0, y − y0, z − z 0) s e a p e r p e n d i c u l a r a l v e c t o r n. E s t a c a r a c t e r i z a c i ó n
d e l o s p u n t o s d e π s e p u e d e e x p r e s a r p o r l a f o r m a p u n t o - n o r m a l d e l a
e c u a c i ó n d e l p l a n o π :
n · P P 0 = a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z 0) = 0( 2 . 3 )
U t i l i z a n d o l o s v e c t o r e s OP = v = (x,y,z ) y OP 0 = v0 = (x0, y0, z 0), l a
e c u a c i ó n 2 . 3 s e p u e d e r e e s c r i b i r e n l a f o r m a v e c t o r i a l :
n · (v − v0) = 0. ( 2 . 4 )
E j e m p l o 2 . 1 . 1 4 S e g ú n l a f ó r m u l a 2 . 3 , l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π q u e p a s a
p o r e l p u n t o P 0 = (2, 0, −1)
y e s p e r p e n d i c u l a r a l a d i r e c c i ó n d e l v e c t o r
n = (1, −1, 4) e s
(x−
2)−
y + 4(z + 1) = x−
y + 4z + 2 = 0.
L a m i s m a e c u a c i ó n s e o b t i e n e u t i l i z a n d o l a f ó r m u l a 2 . 4 :
n · (v − v0) = (1, −1, 4) · (x − 2, y , z + 1) = x − y + 4z + 2 = 0.
T e o r e m a 2 . 1 . 1 5 S i n = (a,b,c) = (0, 0, 0), l a f o r m a i m p l í c i t a d e l a e c u a -
c i ó n d e u n p l a n o π
o r t o g o n a l a l v e c t o r n
e s :
ax + by + cz + d = 0 ( 2 . 5 )
D e m o s t r a c i ó n S i b = 0, ax + by + cz + d = 0 ⇔ ax + b(y + d
b) + cz = 0. L a
ú l t i m a e c u a c i ó n e s l a f o r m a p u n t o - n o r m a l d e l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p o r e l
p u n t o P 0 = (0, −d
b, 0)
y o r t o g o n a l a l v e c t o r n = (a,b,c).
S i a = 0
o s i c = 0
,
s e o b t i e n e n e c u a c i o n e s s i m i l a r e s . 2
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8 6 Á l g e b r a
E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 2 C o n s i d e r a r u n s i s t e m a d e t r e s e c u a c i o n e s l i n e a l e s e n R3
a11x + a12y + a13z = b1a21x + a22y + a23z = b2a31x + a32y + a33z = b3
I l u s t r a r c o n e j e m p l o s g e o m é t r i c o s l o s c a s o s e n l o s c u a l e s e l s i s t e m a d a d o s e a
i n c o m p a t i b l e , c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o y c o m p a t i b l e .
E l s i g u i e n t e e j e m p l o m u e s t r a c o m o s e p u e d e d e t e r m i n a r l a e c u a c i ó n d e
u n p l a n o a p a r t i r d e l a s c o m p o n e n t e s d e t r e s d e s u s p u n t o s :
E j e m p l o 2 . 1 . 1 6 S e a n P 1 = (1, 0, −1), P 2 = (2, 1, 0) y P 3 = (−2, 3, 1) t r e s
p u n t o s d e R3
. E n c o n t r a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o q u e l o s c o n t i e n e .
S o l u c i ó n : A p a r t i r d e l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o e n f o r m a g e n e r a l 2 . 5 y s u s t i -
t u y e n d o l o s v a l o r e s d e l a s v a r i a b l e s (x,y,z )
p o r l a s c o m p o n e n t e s d e l o s t r e s
p u n t o s d a d o s , s e o b t i e n e u n s i s t e m a e n l a s v a r i a b l e s (a,b,c,d) d e l a f o r m a
a − c + d = 02a + b + d = 0
−2a + 3b + c + d = 0
E l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e e s t e s i s t e m a e s {(−t, −5t, 6t, 7t) : t ∈ R}.
S u s t i t u y e n d o l o s v a l o r e s e n c o n t r a d o s p a r a l o s c o e c i e n t e s a,b,c y d e n l a
e c u a c i ó n 2 . 5 , s e o b t i e n e e l p l a n o
−tx − 5ty + 6tz + 7t = 0, e s d e c i r , x + 5y − 6z + 7 = 0.
T e o r e m a 2 . 1 . 1 7 S e a n P 0 = (x0, y0, z 0) y π : ax + by + cz + d = 0 u n p u n t o y
u n p l a n o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l , r e s p e c t i v a m e n t e . L a s i g u i e n t e f ó r m u l a
n o s d a e l v a l o r d e l a d i s t a n c i a e n t r e P 0 y π :
d(P 0, π) =|ax0 + by0 + cz 0 + d|√
a2 + b2 + c2( 2 . 6 )
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Á l g e b r a 8 7
D e m o s t r a c i ó n E j e r c i c i o .
( S u g e r e n c i a : S e a n
n = (a,b,c)e l v e c t o r n o r m a l y
Q = (x,y,z )u n p u n t o
d e l p l a n o π.
E n t o n c e s pn(P 0Q) =
P 0Q · nn .) 2
E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 3 a ) E n c o n t r a r l a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o P 0 = (1, −2, 3) y
e l p l a n o π : x − 2y + z = 1.b ) E n c o n t r a r l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p l a n o s p a r a l e l o s π : x − 2y + z = 1 y
π : 2x − 4y + 2z = 3.
2 . 1 . 4 R e c t a s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l
S e a l u n a r e c t a e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l q u e p a s a p o r e l p u n t o P 0 =(x0, y0, z 0) y e s p a r a l e l a a l v e c t o r u = (a,b,c) = (0, 0, 0).
S i P = (x,y,z ) e s u n p u n t o d e l d i s t i n t o d e P 0, s e v e r i c a q u e P 0P =(x − x0, y − y0, z − z 0) = ku = (ka,kb,kc)
p a r a u n e s c a l a r k ∈ R. E n t o n c e s
l a r e c t a l e s t a r á d e t e r m i n a d a p o r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s :
x = x0 + kay = y0 + kbz = z 0 + kc
, d o n d e k ∈ R. ( 2 . 7 )
S e a n P 0 y P d o s p u n t o s d e u n a r e c t a l y s e a n OP 0 = v0 y OP = v l o s
v e c t o r e s d e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l c o r r e s p o n d i e n t e s . E n t o n c e s s e v e r i c a l a
i d e n t i d a d P 0P = (x − x0, y − y0, z − z 0) = v − v0. S i a d e m á s u e s u n v e c t o r
p a r a l e l o a l a r e c t a l, s e s i g u e q u e v − v0 = ku p o r u n e s c a l a r k ∈ R.L l a m a r e m o s f o r m a v e c t o r i a l d e l a e c u a c i ó n d e u n a r e c t a e n e l e s -
p a c i o t r i d i m e n s i o n a l a l a e c u a c i ó n :
v = v0 + ku (k ∈ R) ( 2 . 8 )
S i p a r a d e n i r u n a r e c t a l e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l u t i l i z a m o s u n
s i s t e m a d e d o s e c u a c i o n e s d e d o s p l a n o s c u y a i n t e r s e c c i ó n e s l , l o q u e s e
o b t i e n e s o n l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e l : a1x + b1y + c1z + d1 = 0
a2x + b2y + c2z + d2 = 0
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8 8 Á l g e b r a
E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 4 a ) E n c o n t r a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l a r e c t a l q u e
p a s a p o r l o s p u n t o s
P 0 = (3, −2, 0)y
P = (−5, 13, 4).b ) E n c o n t r a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l a r e c t a l i n t e r s e c c i ó n d e l o s
p l a n o s 3x + 2y − 4z − 6 = 0 y 2x − 6y − 4z − 8 = 0.c ) E n c o n t r a r l a f o r m a v e c t o r i a l d e l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a l d e e c u a c i o n e s
p a r a m é t r i c a s : x = 2 + 3ky = −5 − k
z = 7k,
d o n d e k ∈ R.
( 2 . 9 )
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Á l g e b r a 8 9
2 . 2 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s s o b r e u n c u e r p o K
S e g ú n h e m o s v i s t o , e n l o s e s p a c i o s R2
y R3
s e s a t i s f a c e n l a s p r o p i e d a d e s
1) a 8) r e c o g i d a s e n e l t e o r e m a 2 . 1 . 4 r e s p e c t o d e l a s u m a y d e l p r o d u c t o
p o r e s c a l a r e s ( l a s p r o p i e d a d e s 1 a 4 s o n l a s q u e i n d i c a n q u e R2
y R3
t i e n e n
e s t r u c t u r a d e g r u p o a b e l i a n o r e s p e c t o d e l a s u m a ) . V e r e m o s q u e , e n g e n e r a l ,
s i (K, +, ·) e s u n c u e r p o , (Kn, +, ·) t a m b i é n s a t i s f a c e d i c h a s p r o p i e d a d e s .
E s t a s p r o p i e d a d e s s o n l a s q u e d a n l u g a r a l a d e n i c i ó n d e e s p a c i o v e c t o r i a l
s o b r e u n c u e r p o (K, +, ·) .
D e n i c i ó n 2 . 2 . 1 S e a (K, +, ·) u n c u e r p o . L l a m a r e m o s e s p a c i o v e c t o r i a l
s o b r e e l c u e r p o (K, +,
·)
a c u a l q u i e r 3 - t u p l a (E,
⊕,◦
) f o r m a d a p o r u n c o n -
j u n t o n o v a c í o E
, u n a o p e r a c i ó n ⊕ : E × E → E, y u n a f u n c i ó n ( p r o d u c t o
p o r e s c a l a r e s ) ◦ : K×E → E
d e m a n e r a q u e s e s a t i s f a g a n l a s s i g u i e n t e s
p r o p i e d a d e s :
1 . (E, ⊕) e s u n g r u p o a b e l i a n o ;
2 . ∀u, v ∈ E ∀α ∈ K (α ◦ (u ⊕ v) = α ◦ u ⊕ α ◦ v),
3 . ∀u ∈ E ∀α, β ∈ K ((α + β ) ◦ u = α ◦ u ⊕ β ◦ u),
4 .
∀u
∈E
∀α, β
∈K ((α
·β )
◦u = α
◦(β
◦u)),
5 . s i e n d o 1 ∈ Ke l e l e m e n t o n e u t r o d e
· ,
∀u ∈ E (1 ◦ u = u).
A l o s e l e m e n t o s d e K
, q u e h a b i t u a l m e n t e r e p r e s e n t a r e m o s p o r l e t r a s d e l
a l f a b e t o g r i e g o , s e l e s d e n o m i n a e s c a l a r e s y a l o s e l e m e n t o s d e E
, q u e h a b i -
t u a l m e n t e r e p r e s e n t a r e m o s p o r l e t r a s d e l a l f a b e t o l a t i n o ( y e n o c a s i o n e s e n
n e g r i t a ) , v e c t o r e s .
E n e s t e c o n t e x t o , e l t é r m i n o v e c t o r s e r v i r á p a r a d e s i g n a r e n l o s u c e s i -
v o a u n e l e m e n t o d e l e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e e l q u e s e e s t é t r a b a j a n d o , y
n o n e c e s a r i a m e n t e a u n v e c t o r g e o m é t r i c o d e t e r m i n a d o p o r u n s e g m e n t o
o r i e n t a d o .
E s u s u a l , d a d a l a s o b r e c a r g a d e n o t a c i ó n d e r i v a d a d e l u s o d e t r e s o p e -
r a c i o n e s y u n p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s , e l a d o p t a r e l s i g u i e n t e c o n v e n i o d e
n o t a c i ó n u n i v e r s a l m e n t e a c e p t a d o .
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9 0 Á l g e b r a
Operacion N o m b r e d e l a o p e r a c i ó n N o t a c i ó n
+ : K×K
→K
s u m a d e e s c a l a r e s +· : K×K → K
p r o d u c t o d e e s c a l a r e s ·
⊕ : E × E → Es u m a d e v e c t o r e s
+◦ : K×E → E
p r o d u c t o d e v e c t o r e s p o r e s c a l a r e s ·
C o n e s t a n u e v a n o t a c i ó n l o s a x i o m a s d e e s p a c i o v e c t o r i a l s e e s c r i b i r á n :
1 . (E, +) e s u n g r u p o a b e l i a n o ;
2 . ∀u, v ∈ E ∀α ∈ K (α · (u + v) = α · u + α · v),
3 . ∀u ∈ E ∀α, β ∈ K ((α + β ) · u = α · u + β · u),
4 . ∀u ∈ E ∀α, β ∈ K ((α · β ) · u = α · (β · u)),
5 . s i e n d o 1 ∈ Ke l e l e m e n t o n e u t r o d e
·, ∀u ∈ E (1 · u = u),
d o n d e e n c a d a c a s o l a n a t u r a l e z a d e l a o p e r a c i ó n ( e s d e c i r , s i s e t r a t a d e l a
s u m a e n K
o e n E
y l o m i s m o c o n e l p r o d u c t o d e u n e s c a l a r p o r u n e l e m e n t o d e
Ey e l p r o d u c t o e n
K) q u e d a r á n o r m a l m e n t e d e t e r m i n a d a p o r l a n a t u r a l e z a
d e l o s o p e r a n d o s . A s í p o r e j e m p l o , s i E =M m×n(R), A,B ∈ M m×n(R), y
α, β ∈R
, e n l a e x p r e s i ó n
(α + β ) · A
e s o b v i o q u e l a s u m a c o n s i d e r a d a e s l a s u m a d e l o s n ú m e r o s r e a l e s α y β,m i e n t r a s q u e e n l a e x p r e s i ó n
α · (A + B)
l a s u m a c o n s i d e r a d a e s l a d e n i d a e n M m×n(R) .
T a m b i é n s e ñ a l a r e m o s q u e e s u s u a l o m i t i r e l ·
, e s c r i b i e n d o p o r e j e m p l o
α(βu)e n l u g a r d e
α · (β · u),p o r l o q u e h a b i t u a l m e n t e l o h a r e m o s a s í .
E j e m p l o s d e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s c o n l o s q u e y a h e m o s t r a b a j a d o s o n :
•L a s m a t r i c e s l a c o n c o e c i e n t e s r e a l e s ó c o m p l e j o s M 1×n(K) c o n r e s -
p e c t o d e l a s u m a d e l a s y p r o d u c t o d e u n a l a p o r u n n ú m e r o .
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Á l g e b r a 9 1
•L o s v e c t o r e s g e o m é t r i c o s d e l p l a n o y d e l e s p a c i o r e s p e c t o d e l a s u m a
d e v e c t o r e s y p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s d e n i d o s e n l a p r i m e r a p a r t e d e l
c a p í t u l o .
•L a s p r o p i e d a d e s q u e s a t i s f a c e n l a s m a t r i c e s d e o r d e n m × n c o n c o e -
c i e n t e s e n u n c u e r p o K
r e s p e c t o d e l a s u m a y p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s
d e n i d o s h a c e n q u e M m×n(K) t e n g a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l r e s -
p e c t o d e d i c h a s o p e r a c i o n e s .
O b s e r v a c i ó n 2 1 S i (E, +, ·)
e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e e l c u e r p o (K, +, ·),
y l a s o p e r a c i o n e s + y ·
s o n l a s u s u a l e s d e l c u e r p o K, d i r e m o s s i m p l e m e n t e
q u e
(E, +, ·) e s u n
K- e s p a c i o v e c t o r i a l ( a b r e v i a d a m e n t e :
“(E, +, ·) e s u n
K−e.v.) , o s i m p l e m e n t e , q u e E
t i e n e e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l c o n r e s p e c t o
a l a s o p e r a c i o n e s + : E × E → Ey
· : K×E → E, y s i l a s u m a y e l p r o d u c t o
p o r e s c a l a r e s c o n s i d e r a d o s e s t á n p r e d e n i d o s o s e s o b r e n t i e n d e c u a l e s s o n ,
d i r e m o s d e f o r m a a b r e v i a d a q u e “Ee s u n
K− e.v. .
E j e m p l o 2 . 2 . 2 S e a (K, +, ·) u n c u e r p o . L a t e r n a (K, +, ·) e s u n (K, +, ·) −espacio vectorial,
p u e s t o q u e , c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a d e n i c i ó n d e c u e r p o ,
y e n p a r t i c u l a r , d e l a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a d e l p r o d u c t o d e l c u e r p o r e s p e c t o
d e l a s u m a , d e l a a s o c i a t i v i d a d d e l p r o d u c t o y d e l a e x i s t e n c i a d e e l e m e n t o
n e u t r o p a r a e l p r o d u c t o , t e n d r e m o s
1 . (K, +)
e s u n g r u p o a b e l i a n o ;
2 . ∀u, v ∈ K ∀α ∈ K α · (u + v) = α · u + α · v,
3 . ∀u ∈ K ∀α, β ∈ K (α + β ) · u = α · u + β · u,
4 . ∀u ∈ K ∀α, β ∈ K (α · β ) · u = α · (β · u),
5 . S i e n d o
1 ∈ K e l e l e m e n t o n e u t r o d e ·, ∀u ∈ K (1 · u = u).
A s í p u e s , e l c u e r p o (R, +, ·)
e s u n R−e.v.,
e l c u e r p o (C, +, ·)
e s u n C−e.v.
y e l c u e r p o (Z2, +, ·) e s u n Z2 − e.v.
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9 2 Á l g e b r a
2 . 2 . 1 P r o p i e d a d e s d e v e c t o r e s
L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n r e c o g e u n a s e r i e d e p r o p i e d a d e s q u e s e s a t i s f a c e n e n
t o d o e s p a c i o v e c t o r i a l , d o n d e , p a r a m a y o r c l a r i d a d , a l o s v e c t o r e s l o s h e m o s
d e s t a c a d o e n n e g r i t a .
P r o p o s i c i ó n 2 . 2 . 3 S i E
e s u n K− e.v. s e v e r i c a n l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a -
d e s :
1 . ∀u ∈ E, 0 · u = 0;
2 . ∀α ∈ K, α · 0 = 0;
3 . ∀α ∈ K, ∀u ∈ E, ((α · u = 0) ⇒ (α=0 ∨ u = 0)) ;
4 . ∀u ∈ E, (−1) · u = −u;
5 . ∀α ∈ K− {0}, ∀u, v ∈ E, ((α · u =α · v) ⇒ (u = v)) ;6 .
∀α, β ∈ K, ∀u ∈ E − {0}, ((α · u =β · u) ⇒(α = β )) .
D e m o s t r a c i ó n 1 . D a d o u ∈ E,
0 · u = (0 + 0) · u =0 · u+0 · u,
y p u e s t o q u e e l ú n i c o e l e m e n t o i d e m p o t e n t e d e l g r u p o (E, +) e s e l e l e m e n t o
0 ∈ E,c o n c l u í m o s q u e
0 · u = 0.
2 . D a d o α
∈K,
α · 0 =α · (0 + 0) = α · 0 + α · 0,
p o r l o q u e , r a z o n a n d o a n á l o g a m e n t e a l a p r o p i e d a d a n t e r i o r , c o n c l u í m o s q u e
α · 0 = 0.3 . S e a n α ∈ K
y u ∈ E, y s u p o n g a m o s q u e α · u = 0. C a b e n d o s p o s i b i -
l i d a d e s .
a ) S i α = 0, e n t o n c e s n o h a y n a d a q u e d e m o s t r a r , p u e s t o q u e e n e s e c a s o
l a s e n t e n c i a (α=0 ∨ u = 0) e s v e r d a d e r a .
b ) S i α = 0, c o n s i d e r a m o s e l e l e m e n t o α−1 ∈ K. M u l t i p l i c a n d o a a m b o s
l a d o s d e l a i g u a l d a d p o r α−1o b t e n e m o s
α−1 · (α · u) = α−1 · 0 = 0;
p e r o p o r l o s a x i o m a s d e e s p a c i o v e c t o r i a l
α−1 · (α · u) =
α−1 · α · u =1 · u = u,
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Á l g e b r a 9 3
e s d e c i r , u = 0.
4 . S e a u
∈E
.P u e s t o q u e
−1 ∈K
e s o p u e s t o d e
1e n e l g r u p o
(K
, +),t e n d r e m o s
( − 1) · u + u = ( − 1) · u+1 · u = ( − 1 + 1) · u = 0,
y p u e s t o q u e (E, +) e s u n g r u p o ( a b e l i a n o ) , t e n d r e m o s t a m b i é n
u + ( − 1) · u = 0,
e s d e c i r , ( − 1) · ue s e l e l e m e n t o o p u e s t o d e
ue n e l g r u p o (E, +), o l o q u e e s
l o m i s m o , ( − 1) · u = −u.
5 . S e a n α
∈K
− {0
}, u, v
∈E, y s u p o n g a m o s q u e α
·u =α
·v. M u l t i p l i -
c a n d o a m b o s m i e m b r o s d e e s t a i g u a l d a d p o r α−1o b t e n e m o s
α−1 · (α · u) =α−1 · (α · v) ,
o l o q u e e s l o m i s m o , α−1 · α
· u =
α−1 · α · v,
d e d o n d e u = v.
6 . S e a n α, β ∈ K y u ∈ E − {0}, y s u p o n g a m o s q u e α · u =β · u. E n e s e
c a s o n e c e s a r i a m e n t e
α · u + (−(β · u)) = 0.P e r o d e l o s a x i o m a s d e e s p a c i o v e c t o r i a l y d e l a s p r o p i e d a d e s a n t e r i o r e s s e
s i g u e q u e
α · u + (−(β · u)) =α · u + (−β ) · u = (α + (−β )) · u;
e s d e c i r ,
(α + (−β )) · u = 0
s i e n d o u = 0,
c o n l o q u e (α + (−β )) = 0,
o l o q u e e s l o m i s m o , α = β. 2
2 . 2 . 2 P r o d u c t o c a r t e s i a n o d e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s
V a m o s a h o r a a c o m p r o b a r q u e e l p r o d u c t o c a r t e s i a n o d e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s
e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l , r e s u l t a d o q u e r e c o g e m o s e n l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n :
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9 4 Á l g e b r a
P r o p o s i c i ó n 2 . 2 . 4 S i (E1, +1, ·1), · · · , (En, +n, ·n) s o n n K− e.v. e n t o n c e s
e l c o n j u n t o E
=E1 × · · · ×
En
t i e n e e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c t o
d e l a s o p e r a c i o n e s
+ : E × E −→ E
((u1, · · · , un), (v1, · · · , vn)) ; (u1 +1 v1, · · · , un +n vn)y
· : K×E −→ E
(α, (u1, · · · , un)) ; (α ·1 u1, · · · , α ·n un)
P a r a r e a l i z a r d i c h a c o m p r o b a c i ó n r e s u l t a n a t u r a l u t i l i z a r e l s í m b o l o +
t a n t o p a r a r e f e r i r n o s a c u a l q u i e r a d e l a s s u m a s +1,
· · ·, +n c o m o p a r a d e s i g -
n a r l a s u m a d e n i d a e n E1 × · · · × En, y l o m i s m o h a r e m o s c o n e l s í m b o l o
·
( q u e i n c l u s o s e o m i t e p o r c o n v e n i o d e n o t a c i ó n ) , d e m a n e r a q u e , e n c a -
d a c a s o , l a o p e r a c i ó n c o n s i d e r a d a q u e d a d e t e r m i n a d a p o r l a n a t u r a l e z a d e
l o s o p e r a n d o s ; e n o t r a s p a l a b r a s , p a r a c a d a i ∈ {1, · · · , n}, s i ui, vi ∈ Ei,e n t o n c e s
ui + vi = ui +i vi y αui = α ·i (ui) .
A s í p o r e j e m p l o , p u e s t o q u e E1, · · · , En s o n n
K− e.v., e n p a r t i c u l a r
(E1, +), · · · , (En, +)
s o n g r u p o s a b e l i a n o s y , e n e s a s c o n d i c i o n e s n o e s d i f í c i l v e r i c a r q u e
(E1 × · · · × En, +)
e s t a m b i é n u n g r u p o a b e l i a n o .
P o r o t r a p a r t e v e a m o s q u e ∀u, v ∈ E
y ∀α ∈ K
α · (u + v) = α · u + α · v :
S i u, v ∈ E, u = (u1, · · · , un) y v = (v1, · · · , vn), p o r d e n i c i ó n
(u + v) = (u1 + v1, · · · , un + vn)
y , e n c o n s e c u e n c i a , s e g ú n s e h a d e n i d o l a l e y d e c o m p o s i c i ó n e x t e r n a e n E,
α · (u1 + v1, · · · , un + vn) = (α (u1 + v1) , · · · , α(un + vn)),
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Á l g e b r a 9 5
y p o r l a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a q u e s a t i s f a c e e l p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s r e s p e c -
t o d e l a s u m a d e v e c t o r e s e n c a d a u n o d e l o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s
(E
i, +i, ·i)t e n d r e m o s q u e , e n d e n i t i v a ,
α · (u + v) = α · (u1 + v1, · · · , un + vn) =
= (α (u1 + v1) , · · · , α(un + vn)) =
= (αu1 + αv1, · · · , αun + αvn) =
= (αu1, · · · , αun) + (αv1, · · · , αvn) =
= α(u1, · · · , un) + α(v1, · · · , vn) =
= α · u + α · v
L a d e m o s t r a c i ó n d e q u e s e s a t i s f a c e n e l r e s t o d e l a s p r o p i e d a d e s n e c e s a r i a s
p a r a q u e E1×·· ·×En t e n g a e s t r u c t u r a d e
K−e.v.r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s
c o n s i d e r a d a s s e p r o p o n e c o m o e j e r c i c i o .
E n p a r t i c u l a r , c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r t e n e m o s q u e
s i (K, +, ·) e s u n c u e r p o , e n t o n c e s ∀n ∈ N (Kn, +, ·) e s u n
K − e.v., s i e n d o
l a s o p e r a c i o n e s d e n i d a s s o b r e Kn
l a s d e n i d a s e n l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r .
E s t a s s o n l a s o p e r a c i o n e s q u e s e d e b e n d a r p o r s o b r e e n t e n d i d a s s i e m p r e q u e
h a g a m o s a l u s i ó n a l K− e.v. Kn.
E j e m p l o 2 . 2 . 5 C a s o s p a r t i c u l a r e s d e l a p a r t a d o a n t e r i o r :
1 . (R3, +, ·) e s u n R− e.v., d o n d e s i (x,y,z ), (x, y, z ) ∈ R3
y α ∈ R,
(x,y,z ) + (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z )
α(x,y,z ) = (αx,αy,αz )
s i e n d o x + x, y + y y z + z l a s u m a h a b i t u a l d e e s t o s n ú m e r o s r e a l e s , y
αx,αy y αz e l p r o d u c t o h a b i t u a l d e e s t o s n ú m e r o s r e a l e s .
2 . D e l m i s m o m o d o q u e e n e l e j e m p l o a n t e r i o r , (C2, +, ·) e s u n C− e.v.,
s o b r e n t e n d i é n d o s e c u á l e s s o n l a s o p e r a c i o n e s d e n i d a s s o b r e C2.
3 . A n á l o g a m e n t e , (Z322 , +, ·) e s u n
Z2 − e.v..
4 . E l e s p a c i o M m,n(R) × C[x] e s u n R−
e s p a c i o v e c t o r i a l .
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9 6 Á l g e b r a
2 . 2 . 3 F u n c i o n e s c o n c o d o m i n i o e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l
S i E e s u n K−e.v., y d e n o t a m o s p o r F (X, E) a l c o n j u n t o f o r m a d o p o r t o d a s
l a s f u n c i o n e s d e n i d a s s o b r e u n c o n j u n t o c u a l q u i e r a X = ∅y t a l e s q u e s u
i m a g e n e s t á c o n t e n i d a e n E
,
F (X, E) = {f : X −→ E : f e s u n a f u n c i ó n } ,
r e s u l t a q u e e s t e c o n j u n t o t i e n e e s t r u c t u r a d e K− e.v., s e g ú n s e r e c o g e e n l a
s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n .
P r o p o s i c i ó n 2 . 2 . 6 S i X = ∅y
Ee s u n
K − e.v., e n t o n c e s (F (X, E), +, ·)e s u n
K
−e.v., d o n d e
∀f, g
∈ F (X, E) f +g
∈ F (X, E)
e s l a f u n c i ó n d e n i d a
∀x ∈ X p o r l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n (f + g)(x) = f (x) + g(x) ( n ó t e s e q u e l a
s u m a d e l l a d o i z q u i e r d o d e l a i g u a l d a d e s l a s u m a d e f u n c i o n e s , y q u e l a d e l
l a d o d e r e c h o e s l a s u m a d e E)
y ∀f ∈ F (X, E), ∀α ∈ K
, (αf ) ∈ F (X, E) e s
l a f u n c i ó n d e t e r m i n a d a ∀x ∈ X
p o r l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n (αf )(x) = αf (x).
D e m o s t r a c i ó n S i e n d o f + g l a f u n c i ó n d e n i d a p o r l a c o n d i c i ó n
∀x ∈ X (f + g)(x) = f (x) + g(x)
r e s u l t a q u e t e n e m o s d e n i d a u n a o p e r a c i ó n s o b r e F (X, E):
+ : F (X, E) × F (X, E) −→ F (X, E)(f, g) ; f + g
A d e m á s , s e v e r i c a q u e :
1 . +
e s a s o c i a t i v a , p u e s s i f ,g ,h ∈ F (X, E),
y x ∈ X
((f + g) + h) (x) = (f + g)(x) + h(x) = (f (x) + g(x)) + h(x) =
= f (x) + (g(x) + h(x)) = f (x) + (g + h)(x) =
= (f + (g + h)) (x)
c o n l o q u e (f + g) + h = f + (g + h).
2 . + e s c o n m u t a t i v a , p u e s s i f, g ∈ F (X, E), y x ∈ X,
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x)
c o n l o q u e (f + g) = (g + f ).
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Á l g e b r a 9 7
3 . E s i n m e d i a t o c o m p r o b a r ( v e r i f í q u e s e ) q u e l a f u n c i ó n c o n s t a n t e
0 : X −→ E
x ; 0
e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e (F (X, E), +).4 . D e l m i s m o m o d o , e s i n m e d i a t o c o m p r o b a r ( v e r i f í q u e s e ) q u e
∀f ∈F (X, E) e l e l e m e n t o s i m é t r i c o d e f r e s p e c t o d e + e s l a f u n c i ó n
(−f ): X −→ E
x ; −(f (x)),
e s d e c i r ,
∀x
∈X (
−f )(x) =
−(f (x))
d o n d e
−(f (x))
e s e l e l e m e n t o o p u e s t o
d e f (x) e n (G, +). A l s e r (E, +) u n g r u p o a b e l i a n o , (F (X, E), +) t a m b i é n l o
e s , d o n d e
f + g : X → E
x ; f (x) + g(x).
V e a m o s a h o r a q u e l a o p e r a c i ó n
· : K×F (X, E) −→ F (X, E)(α, f ) ; αf
d o n d e
αf : X → Ex ; αf (x)
s a t i s f a c e e l r e s t o d e p r o p i e d a d e s :
5 . S e a n f, g ∈ F (X, E). H a y q u e d e m o s t r a r q u e ∀α ∈ K
α(f + g) = αf + αg.
S e a α ∈ K. P u e s t o q u e
(α(f + g)) : X → E
y
(αf + αg) : X → E,
p a r a d e m o s t r a r q u e d i c h a s a p l i c a c i o n e s s o n i g u a l e s e s s u c i e n t e c o n p r o b a r
q u e
∀x ∈ E, (α(f + g))(x) = (αf + αg)(x).
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9 8 Á l g e b r a
S e a x ∈ E. P o r d e n i c i ó n
(α(f + g))(x) = α ((f + g)(x)) = α (f (x) + g(x)) =
( p o r l a d i s t r i b u t i v i d a d e n E d e l p r o d u c t o p o r
e s c a l a r e s r e s p e c t o d e l a s u m a d e v e c t o r e s )
= αf (x) + αg(x) = (αf )(x) + (αg)(x) = ((αf ) + (αg)) (x).
6 . H a y q u e p r o b a r q u e ∀f ∈ F (X, E) ∀α, β ∈ K
(α + β )f = αf + βf.
S e d e m u e s t r a d e f o r m a a n á l o g a a l a p r o p i e d a d q u e a c a b a m o s d e v e r , p o r l o
q u e s e p r o p o n e c o m o e j e r c i c i o .
7 . S e a n f ∈ F (X, E)
y α, β ∈ K
. H a y q u e d e m o s t r a r q u e
(αβ )f = α(βf ).
P u e s t o q u e
((αβ )f ) : X → E
y
(α(βf )) : X → E,
p a r a d e m o s t r a r q u e d i c h a s a p l i c a c i o n e s s o n i g u a l e s e s s u c i e n t e p r o b a r q u e
∀x ∈ E((αβ )f )(x) = (α(βf ))(x).
S e a x ∈ E. P o r d e n i c i ó n
((αβ )f )(x) = (αβ )f (x) = ( p u e s t o q u e α, β ∈ K , f (x) ∈ E
y E
e s u n K
- e . v . )
= α(βf (x)) = α((βf )(x)) = (α(βf ))(x).
8 . F i n a l m e n t e , d a d o 1 ∈ K, ∀f ∈ F (X, E)
(1 · f ) = f,
p u e s s i f ∈ F (X, E)
e s u n a f u n c i ó n c u a l q u i e r a d e e s e c o n j u n t o , d a d o q u e
(1 · f ) : X → Ey f : X → E,
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Á l g e b r a 9 9
y t e n i e n d o e n c u e n t a q u e ∀x ∈ E,
(1 · f )(x) = 1 · f (x) = f (x),
c o n c l u í m o s q u e (1 · f ) = f. 2
E j e m p l o s . C o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , l o s s i g u i e n t e s
c o n j u n t o s t i e n e n e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s
c o n s i d e r a d a s e n l a m i s m a .
1 . S i (K, +, ·) e s u n c u e r p o , e l c o n j u n t o F (K,K). E n p a r t i c u l a r , e l c o n -
j u n t o F (R,R)
d e l a s f u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a l y e l c o n j u n t o F (C,C)
d e l a s f u n c i o n e s c o m p l e j a s d e v a r i a b l e c o m p l e j a .
2 . E l c o n j u n t o
F (R,C) d e l a s f u n c i o n e s c o m p l e j a s d e v a r i a b l e r e a l e s u n
C− e.v.3 . E l c o n j u n t o
F (N, E) d e l a s s u c e s i o n e s d e e l e m e n t o s d e u n K − e.v.
E. E n p a r t i c u l a r F (N,R), F (N,C), F (N,R3) t i e n e n e s t r u c t u r a d e e s p a c i o
v e c t o r i a l r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s c o n s i d e r a d a s e n l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r .
( C o m o e j e r c i c i o , e s c r í b a s e c u a l e s l a e x p r e s i ó n e x p l í c i t a d e d i c h a s o p e r a c i o n e s
p a r t i c u l a r i z a d a s e n c a d a u n o d e l o s s u b e s p a c i o s d e e s t e e j e m p l o ) .
4 . E l c o n j u n t o M m×n(K) = F ({1, · · · , m}×{1, · · · , n},K) d e l a s m a t r i c e s
d e m l a s y n c o l u m n a s c o n c o e c i e n t e s e n u n c u e r p o K
y , e n p a r t i c u l a r , e l
c o n j u n t o d e l a s m a t r i c e s c u a d r a d a s d e n l a s , a l q u e d e n o t a m o s p o r M n(K).
5 . C o m b i n a n d o l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s t a m b i é n s o n e s p a c i o s v e c t o r i a l e s ,
r e s p e c t o d e l a s u m a y p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s i n t r o d u c i d o s , e l c o n j u n t o
F (N, F (R,R))
d e l a s s u c e s i o n e s d e F (R,R), e l c o n j u n t o
F (N, M 2(C))
d e l a s s u c e s i o n e s d e m a t r i c e s d e M 2(C), e l c o n j u n t o
F (M 3(C), M 3(C)),
e l c o n j u n t o
F (N, F (R,R) × F (R,R)),e l c o n j u n t o
F (C,C×M 5(C)),
y u n l a r g o e t c é t e r a .
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1 0 0 Á l g e b r a
2 . 3 S u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s
S i e n d o E
u n K − e.v. y H ⊂ E, s e d i c e q u e H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l
d e E
s i H
t i e n e e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s
i n d u c i d a s p o r l a s d e E. P o r c o n s i g u i e n t e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e s i + y
·s a t i s f a c e n l a s p r o p i e d a d e s n e c e s a r i a s p a r a q u e
Es e a u n
K − e.v.( +
e s
a s o c i a t i v a , c o n m u t a t i v a , · · ·
) , d i c h a s p r o p i e d a d e s t a m b i é n s e s a t i s f a c e n e n e l
c a s o p a r t i c u l a r d e q u e l o s v e c t o r e s s e a n d e H, y q u e s i e n d o 0 ∈ Ky u ∈ H,
0 · u = 0, l o ú n i c o q u e n e c e s i t a m o s p a r a q u e H s e a u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l
d e E e s q u e e l r e s u l t a d o o b t e n i d o a l h a c e r a c t u a r d i c h a s o p e r a c i o n e s s o b r e
e l e m e n t o s d e H s e a u n e l e m e n t o d e H, e s d e c i r :
D e n i c i ó n 2 . 3 . 1 S i E e s u n K − e.v. y H ⊂ E, s e d i c e q u e H e s u n s u b -
e s p a c i o v e c t o r i a l d e
Es i :
1 . H = ∅.2 .
∀u, v ∈ H u + v ∈ H.3 .
∀α ∈ K, ∀u ∈ H αu ∈ H.
E n l o s u c e s i v o u t i l i z a r e m o s l a n o t a c i ó n H ≺ E
p a r a i n d i c a r q u e H
e s u n
s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e E.
P r o p o s i c i ó n 2 . 3 . 2 S e a n E
u n K− e.v. y H ⊂ E. S e v e r i c a q u e H ≺ E
s i
y s ó l o s i
a ) 0 ∈ H
b ) ∀u, v ∈ H, ∀α, β ∈ K s e v e r i c a q u e (αu + βv) ∈ H.
D e m o s t r a c i ó n E j e r c i c i o . I n d i c a c i ó n : v e r i c a r q u e l a s c o n d i c i o n e s 1, 2 y
3 d e l a d e n i c i ó n e q u i v a l e n a l a s c o n d i c i o n e s a ) y b ) . 2
O b s e r v a c i ó n 2 2 D e l a d e n i c i ó n d e s u b e s p a c i o v e c t o r i a l s e s i g u e q u e , s i e n -
d o E
u n K− e.v. s e v e r i c a q u e
E ≺ Ey q u e
{0} ≺ E.
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Á l g e b r a 1 0 1
O b s e r v a c i ó n 2 3 N o e s d i f í c i l d e m o s t r a r , r a z o n a n d o p o r i n d u c c i ó n s o b r e n,q u e s i
Ee s u n
K− e.v.
y
H ≺E
, e n t o n c e s s e v e r i c a q u e
∀(u1, · · · , un) ∈ H n, ∀(α1, · · · , αn) ∈ Kn,
n
i=1
αiui
∈ H.
( D e m a n e r a i n f o r m a l : s i H ≺ E, u1, · · · , un s o n v e c t o r e s d e H, y α1, · · · , αn
s o n e s c a l a r e s , n e c e s a r i a m e n t e α1u1 + · · · + αnun ∈ H.)
E J E M P L O S :
1 . P u e s t o q u e s i H
≺E, n e c e s a r i a m e n t e
0
∈H, n o e s d i f í c i l c o m p r o b a r
q u e c u a l q u i e r p l a n o d e R3 q u e p a s e p o r e l p u n t o (0, 0, 0) e s u n s u b e s p a c i o
v e c t o r i a l d e R3. I g u a l m e n t e , c u a l q u i e r r e c t a d e
R3q u e p a s e p o r e l p u n t o
(0, 0, 0) e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e R3. C u a n d o i n t r o d u z c a m o s e l c o n c e p -
t o d e d i m e n s i ó n v e r e m o s q u e l o s ú n i c o s s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e R3
s o n :
{0},R3, l a s r e c t a s q u e p a s a n p o r 0 =(0, 0, 0)
y l o s p l a n o s q u e p a s a n p o r 0.
( D e f o r m a a n á l o g a , l o s ú n i c o s s u b e s p a c i o s d e R2
s o n : {0},R2
y l a s r e c t a s
q u e p a s a n p o r 0).
2 . E l c o n j u n t o f o r m a d o p o r t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e u n s i s t e m a h o m o g é n e o
d e m ecuaciones lineales c o n n i n c ó g n i t a s y c o n c o e c i e n t e s e n u n c u e r p o
Ke s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e
Kn
a11x1 + · · · + a1nxn = 0
.
.
.
am1x1 + · · · + amnxn = 0
.
P a r a c o m p r o b a r l o , s ó l o h a y q u e v e r i c a r q u e s i (α1, · · · , αn), (β 1, · · · , β n) ∈
Kns o n s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a a n t e r i o r y α ∈ K
, e n t o n c e s (α1+β 1, · · · , αn+β n)t a m b i é n e s s o l u c i ó n d e l s i s t e m a , y l o m i s m o s u c e d e c o n
(αα1, · · · , ααn).
3 . C[x] ≺ F (C,C), p u e s
a ) 0 ∈ C[x];
b ) s i
f, g ∈ C[x]y
α, β ∈ K, d e l a d e n i c i ó n d e
C[x]s e s i g u e q u e
∃n, m ∈ N ∪ {0}, ∃(a0, · · · , an) ∈ Cn+1, ∃(b0, · · · , bm) ∈ Cm+1t a l e s q u e
∀x ∈ Cs e v e r i c a q u e
f (x) = anxn + · · · + a0 ∧ g(x) = bmxm + · · · + b0;
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1 0 2 Á l g e b r a
e v i d e n t e m e n t e , s i n ≥ m, p o n i e n d o ∀i ∈ {m + 1, · · · , n} bi = 0, t e n d r e m o s
q u e
∀x ∈ C (αf + βg)(x) =
= α
n
i=0
aixi
+ β
n
i=0
bixi
=
=n
i=0
(αai + βbi) xi,
e s d e c i r , (αf + βg) ∈ C[x].4 . S i e n d o P n(C) e l c o n j u n t o d e p o l i n o m i o s c o n c o e c i e n t e s e n
Cd e g r a d o
≤ n, s e v e r i c a q u e P n(C) ≺ C[x] p u e s
i) 0 ∈ P n(C), c o n l o q u e P n(C) = ∅.ii) D a d o s f, g ∈ P n(C), t e n i e n d o e n c u e n t a q u e
gr(f + g) ≤ max{gr(f ), gr(g)} ≤ n,
r e s u l t a q u e f + g ∈ P n(C)
iii) D a d o s f ∈ P n(C) y α ∈ K, h a y q u e d i s t i n g u i r d o s p o s i b i l i d a d e s : s i
α = 0, e n t o n c e s αf = 0 ∈ P n(C); p o r o t r a p a r t e s i α = 0, t e n i e n d o e n c u e n t a
q u e gr(αf ) = gr(f ), s e s i g u e q u e e n c u a l q u i e r c a s o αf ∈ P n(C).5 . S i d e n o t a m o s p o r
C(R,R) a l c o n j u n t o d e f u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e
r e a l q u e s o n c o n t i n u a s e n t o d o s l o s p u n t o s d e R, t e n i e n d o e n c u e n t a q u e
c u a l q u i e r f u n c i ó n c o n s t a n t e e s c o n t i n u a ( c o n l o q u e C(R,R) = ∅), q u e s i
f, g ∈ C(R,R), e n t o n c e s f + g ∈ C(R,R), y q u e s i α ∈ Ry f ∈ C(R,R),
e n t o n c e s αf ∈ C(R,R) , r e s u l t a q u e
C(R,R) ≺ F (R,R).
P o r e l m i s m o m o t i v o , e l c o n j u n t o d e l a s f u n c i o n e s r e a l e s d e n i d a s e n e l c o n -
j u n t o
[a, b] = {x ∈ R |a ≤ x ≤ b}y c o n t i n u a s e n t o d o s l o s p u n t o s d e e s t e i n t e r v a l o , c o n j u n t o a l q u e d e n o t a m o s
p o r C([a, b],R),
c o n s t i t u y e u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e F ([a, b],R).
O b s e r v a c i ó n 2 4 P u e s t o q u e t o d o s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e u n e s p a c i o v e c t o -
r i a l d a d o e s a s u v e z u n e s p a c i o v e c t o r i a l , e s p o s i b l e r e f e r i r n o s a c a d a u n o d e
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Á l g e b r a 1 0 3
l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s c o m o e s p a c i o s v e c t o r i a l e s ; d e e s t e m o d o , h a b l a r e m o s
d e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s
C(R
,R
),d e l e s p a c i o v e c t o r i a l
d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o ≤ n, e t c . .
E j e r c i c i o 2 . 3 . 1 S e d i c e q u e A ∈ M n(K)
e s s i m é t r i c a s i
tA = A.S i d e n o t a -
m o s p o r S n(K) a l c o n j u n t o d e l a s m a t r i c e s s i m é t r i c a s d e o r d e n n , d e m o s t r a r
q u e S n(K) ≺ M n(K).
P r o p o s i c i ó n 2 . 3 . 3 S i X = ∅,
Ee s u n
K− e.v. y S ⊂ X, e l c o n j u n t o
H = {f ∈ F (X, E) |f (S ) = {0}}
e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e F (X, E).
D e m o s t r a c i ó n E j e r c i c i o .
C o r o l a r i o 2 . 3 . 4 L a s m a t r i c e s t r i a n g u l a r e s s u p e r i o r m e n t e , T n(K), i n f e r i o r -
m e n t e T n(K)
y d i a g o n a l e s Dn(K)
s o n s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e M n(K).
D e m o s t r a c i ó n E s s u c i e n t e c o n a p l i c a r l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r t e n i e n d o
e n c u e n t a q u e , s i e n d o
S T = {(i, j) ∈ {1, · · · , n} × {1, · · · , n} |i > j },
S T = {(i, j) ∈ {1, · · · , n} × {1, · · · , n} |i < j }y
S D = {(i, j) ∈ {1, · · · , n} × {1, · · · , n} |i = j },
s e v e r i c a
T n(K) =
A ∈ M n(K)A(S T ) = {0} ,
T n(K) = {A ∈ M n(K) |A(S T ) = {0}}y
Dn(K) = {A ∈ M n(K) |A(S D) = {0}} .
2
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1 0 4 Á l g e b r a
2 . 4 D e p e n d e n c i a e i n d e p e n d e n c i a l i n e a l
D e n i c i ó n 2 . 4 . 1 S i E
e s u n K − e.v., u n
s i s t e m a d e v e c t o r e s d e
Ee s
c u a l q u i e r s e c u e n c i a n i t a d e v e c t o r e s d e E. A s í , s i u1, · · · , un ∈ E, l a s e c u e n -
c i a u1, · · · , un e s u n s i s t e m a d e n v e c t o r e s d e E.
O b s e r v a c i ó n 2 5 P a r a m a y o r c l a r i d a d , e n o c a s i o n e s e s c r i b i r e m o s {u1, · · · , un}
p a r a r e f e r i r n o s a l s i s t e m a u1, · · · , un.
D e n i c i ó n 2 . 4 . 2 S i {u1, · · · , un}
e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e E, d i r e m o s
q u e v ∈ Ee s
c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un s i
∃(α1, · · · , αn) ∈ Knt a l
q u e v =n
i=1αiui.
O b s e r v a c i ó n 2 6 S i v ∈ Ee s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un t a m b i é n d i -
r e m o s q u e v ∈ E d e p e n d e l i n e a l m e n t e d e u1, · · · , un.
E j e m p l o 2 . 4 . 3 S i c o n s i d e r a m o s e n e l R−e.v. R2
c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a -
c i o v e c t o r i a l h a b i t u a l , r e s u l t a q u e (11, 7) d e p e n d e l i n e a l m e n t e d e (2, 1), (1, 0),y
(3, 2), p u e s t o q u e
(11, 7) = (2, 1) + 3
·(3, 2).
P o r e l m i s m o m o t i v o , (−3, 0) d e p e n d e l i n e a l m e n t e d e (1, 1), (1, 4), p u e s
(−3, 0) = (−4) · (1, 1) + 1 · (1, 4).
S i E
e s u n K− e.v. y A ⊂ E
d e n o t a r e m o s p o r
L(A) = {v ∈ E |v e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e A}.
L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n e s t a b l e c e q u e s i E
e s u n K
−e.v. y A
⊂E, L(A)
e s e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l m á s p e q u e ñ o q u e c o n t i e n e a A.
P r o p o s i c i ó n 2 . 4 . 4 S e a n E
u n K−e.v.
y A ⊂ E.
S e v e r i c a q u e : 1 ) L(A) ≺
E, 2)A ⊂ L(A) y 3)∀H ≺ E (A ⊂ H ⇒ L(A) ⊂ H ).
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Á l g e b r a 1 0 5
D e m o s t r a c i ó n S e a H = L(A).1 . E s o b v i o q u e
0∈ H
y , p o r o t r a p a r t e , d a d o s
α, β ∈K
,y
u, v ∈ H,d e
l a d e n i c i ó n d e H s e s i g u e q u e e x i s t e n u1, · · · , un y v1, · · · , vm s i s t e m a s d e
v e c t o r e s d e A
y ∃(α1, · · · , αn) ∈ Kn, ∃(β 1, · · · , β m) ∈ Km
d e m a n e r a q u e
u =n
i=1
αiui y v =
mi=1
β ivi,
p o r l o q u e
αu + βv = α
n
i=1
αiui
+ β
m
i=1
β ivi
=
=n
i=1
(ααi) ui +m
i=1
(ββ i)vi =
=n+mi=1
γ iwi,
d o n d e h e m o s p u e s t o ∀i ∈ {1, · · · , n + m},
(i ≤ n ⇒ γ i = (ααi) ∧ wi = ui)
∧(n < i ≤ n + m ⇒ γ i = (ββ i) ∧ wi = vi) ,
y e n c o n s e c u e n c i a , p u e s t o q u e w1, · · · , wn+m e s u n s i s t e m a d e n + m v e c t o r e s
d e A, c o n c l u í m o s q u e
αu + βv ∈ H.
2 . S i v ∈ A,
p o d e m o s p o n e r , p o r e j e m p l o , q u e v = 1 · v,
s i e n d o 1 ∈ K
y
{v}e l s i s t e m a d e v e c t o r e s d e A c o n s i d e r a d o , c o n l o q u e v ∈ H.
3 . F i n a l m e n t e , s i H ≺ E
e s t a l q u e A ⊂ H ,
s e g ú n v i m o s e n s u m o m e n t o ,
c u a l q u i e r c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e l e m e n t o s d e H ( e n p a r t i c u l a r d e e l e m e n t o s
d e A ⊂ H ) e s u n e l e m e n t o d e H , c o n l o q u e H ⊂ H . 2
D e n i c i ó n 2 . 4 . 5 S i E
e s u n K− e.v.
y u1, · · · , un e s u n s i s t e m a d e v e c t o -
r e s d e E, a l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l L({u1, · · · , un}) s e l e d e n o m i n a
s u b e s p a c i o
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1 0 6 Á l g e b r a
v e c t o r i a l g e n e r a d o p o r e l s i s t e m a u1, · · · , un , y d e l s i s t e m a u1, · · · , un s e
d i c e q u e e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r
d e
H = L({u1, · · · , un}).A e s t e s u b e s -
p a c i o t a m b i é n l o d e n o t a r e m o s p o r L(u1, · · · , un).
O b s e r v a c i ó n 2 7 N ó t e s e q u e s i t o d o v e c t o r d e E
s e p u e d e e x p r e s a r c o m o u n a
c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un, r e s u l t a q u e e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l g e n e r a d o
p o r u1, · · · , un e s H = L({u1, · · · , un}) = E, q u e o b v i a m e n t e e s u n s u b e s p a c i o
v e c t o r i a l d e E
.
E j e m p l o s :
1 . L o s v e c t o r e s (1, 0) y (0, 1) c o n s t i t u y e n u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e R2, p u e s
c u a l q u i e r v e c t o r d e R2
s e p u e d e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l s i s t e m a
(1, 0), (0, 1) , y a q u e s i (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1). A n á l o g a m e n t e
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e R3
y , e n g e n e r a l , e l s i s t e m a d e n v e c t o r e s d e Kn
(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), (0, 0, · · · , 0, 1)
e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e Kn.
2 . L o s p o l i n o m i o s 1, x , x2, · · · , xnc o n s t i t u y e n u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e
P n(C),p u e s s i
f ∈ P n(C), f e s d e l a f o r m a
f = a0 + · · · + anxn( y a q u e
∀z ∈ C , f (z ) = (a0 + · · · + anxn)(z ) = a0 + · · · + anz n ) .
3 . C o m o h e m o s v i s t o , l o s v e c t o r e s (1, 0) y (0, 1) c o n s t i t u y e n u n s i s t e m a
g e n e r a d o r d e R2. P e r o e l s i s t e m a (1, 0), (0, 1), (3, 1) t a m b i é n e s u n s i s t e m a
g e n e r a d o r d e R2, p u e s s i (a, b) ∈ R2,
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) + 0(3, 1).
D e h e c h o , c u a l q u i e r s i s t e m a d e v e c t o r e s d e R2
q u e c o n t e n g a a (1, 0)
y
(0, 1) s e r á u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e R2.
N o s i n t e r e s a c a r a c t e r i z a r l o s s i s t e m a s g e n e r a d o r e s c o n e l m e n o r n ú m e r o
p o s i b l e d e e l e m e n t o s . E s t o s s i s t e m a s d e v e c t o r e s s e r á n l o s s i s t e m a s d e v e c t o r e s
q u e , c o n s t i t u y e n d o u n s i s t e m a g e n e r a d o r , s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
D e n i c i ó n 2 . 4 . 6 S i e n d o E
u n K−e.v., s e d i c e q u e e l s i s t e m a u1, · · · , un d e
v e c t o r e s d e
Ee s l i b r e ( o t a m b i é n q u e l o s v e c t o r e s
u1, · · · , uns o n l i n e a l m e n t e
i n d e p e n d i e n t e s ) s i s e v e r i c a q u e ∀(α1, · · · , αn) ∈ Kn
ni=1
αiui = 0 ⇒(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0)
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Á l g e b r a 1 0 7
S i e l s i s t e m a d e v e c t o r e s u1, · · · , un n o e s l i b r e , s e d i c e q u e e s l i g a d o ( o
t a m b i é n q u e l o s v e c t o r e s
u1, · · · , uns o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s ) . A s í
p u e s ,
u1, · · · , un e s l i g a d o ⇔
∃(α1, · · · , αn) ∈ Kn − {(0, · · · , 0)} t a l e s q u e
ni=1
αiui = 0
.
E j e m p l o 2 . 4 . 7 E n e l R − e.v. R2
c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l
h a b i t u a l e l s i s t e m a (1, 0), (0, 1) e s l i b r e , p u e s s i α(1, 0) + β (0, 1) = (0, 0),t e n d r e m o s q u e (α, β ) = (0, 0), d e d o n d e α = 0 = β. U n a r g u m e n t o s i m i l a r s e
p u e d e e m p l e a r p a r a d e m o s t r a r q u e e l s i s t e m a d e n v e c t o r e s d e Kn
(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), (0, 0, · · · , 0, 1)
e s u n s i s t e m a l i b r e .
E j e m p l o 2 . 4 . 8 E n e l R− e.v. R3
c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l h a -
b i t u a l e l s i s t e m a {(2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e s l i b r e , p u e s t o q u e s i (α,β,γ ) ∈
R3e s t a l q u e α(2, 1, 1) + β (1, 1, 0) + γ (1, 0, 0) = (0, 0, 0), r e s u l t a q u e
(2α +
β + γ, α + β, α) = (0, 0, 0), d e d o n d e
2α + β + γ = 0α + β = 0
α = 0y , e n d e n i t i v a ,
(α,β,γ ) = (0, 0, 0).
E j e m p l o 2 . 4 . 9 E n e l R − e.v. R2
c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l
h a b i t u a l e l s i s t e m a {(2, 1), (1, 0), (3, 2), (11, 7)}
e s l i g a d o , p u e s
0(1, 0) + (−1)(2, 1) + (−3)(3, 2) + (11, 7) = (0, 0),
y s i n e m b a r g o
(0, −1, −3, 1) = (0, 0, 0, 0).
P r o p o s i c i ó n 2 . 4 . 1 0 S i u1,· · ·
, un e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e l K
−e.v. E,
s e v e r i c a q u e u1, · · · , un es libre s i y s ó l o s i ∀v ∈ E
v =n
i=1
αiui ∧ v =n
i=1
β iui
⇒ (α1, · · · , αn) = (β 1, · · · , β n)
.
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1 0 8 Á l g e b r a
D e m o s t r a c i ó n ⇒
S i (α1, · · · , αn), (β 1, · · · , β n) ∈ Kns o n t a l e s q u e v =
ni=1 αiui ∧ v =
ni=1 β iui,
r e s u l t a q u e
ni=1 αiui =
ni=1 β iui,
e s d e c i r ,
ni=1(αi −β i)ui =
0, y c o m o p o r h i p ó t e s i s u1, · · · , un e s l i b r e , c o n c l u í m o s q u e (α1−β 1, · · · , αn −β n) = (0, · · · , 0),
e s d e c i r ,
∀i ∈ {1, · · · , n} (αi − β i) = 0,
y p o r c o n s i g u i e n t e ∀i ∈ {1, · · · , n} αi = β i, o l o q u e e s l o m i s m o ,
(α1, · · · , αn) = (β 1, · · · , β n).
⇐ S u p o n g a m o s q u e
n
i=1
αiui = 0. C o m o t a m b i é n s e v e r i c a q u e 0u1 +
· · · + 0un = 0, a p l i c a n d o l a h i p ó t e s i s r e s u l t a q u e
(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0).
2
E j e r c i c i o 2 . 4 . 1 E n e l a n i l l o d e p o l i n o m i o s P n(C), v e r i c a r q u e e l s i s t e m a
{1, x , x2, · · · , xn}e s l i b r e . (
I n d i c a c i ó n : u t i l i z a r i n d u c c i ó n s o b r e n y l a
c o n t i n u i d a d d e l o s p o l i n o m i o s . )
L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n r e c o g e u n a c a r a c t e r i z a c i ó n d e l o s s i s t e m a s l i g a -
d o s .
P r o p o s i c i ó n 2 . 4 . 1 1 S i u1, · · · , un e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e l K−e.v. E,
s e v e r i c a q u e u1, · · · , un es ligado s i y s ó l o s i ∃i ∈ {1, · · · , n}
t a l q u e ui e s
c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un.
D e m o s t r a c i ó n ⇒
S i u1, · · · , un e s u n s i s t e m a l i g a d o t e n d r e m o s q u e
∃(α1, · · · , αn) ∈ Kn − {(0, · · · , 0)} t a l q u e
n
j=1
α ju j = 0. A h o r a b i e n , p u e s t o
q u e
(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0),e x i s t e
i ∈ {1, · · · , n}t a l q u e
αi = 0,y p u e s t o
q u e αi ∈ K, n e c e s a r i a m e n t e αi t i e n e i n v e r s o α−1i ∈ K, c o n l o q u e
α−1i ·
n
j=1
α ju j
= α−1
i · 0 = 0.
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Á l g e b r a 1 0 9
P e r o
α−1i · n j=1
α ju j =
n j=1
α−1i α ju j,
d e d o n d e
n j=1
α−1
i α j
u j = 0, c o n l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e α−1
i αi = 1,
r e s u l t a q u e
ui =n
j=1,j=i
−α−1i α j
u j ,
e s d e c i r , ui e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un. ⇐
S u p o n g a m o s q u e
ui =n
j=1,j=i
α ju j.
E n e s e c a s o , p a s a n d o ui a l s e g u n d o m i e m b r o y t o m a n d o αi = −1, r e s u l t a q u e
(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0)
y
n j=1
α ju j = 0, c o n l o q u e u1, · · · , un e s u n s i s t e m a l i g a d o . 2
E j e m p l o : C o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , d o s v e c t o r e s uy v s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i y s o l a m e n t e s i u n o d e e l l o s s e o b t i e n e
m u l t i p l i c a n d o u n e s c a l a r p o r e l o t r o . P o r c o n s i g u i e n t e , e n e l c a s o p a r t i c u l a r
d e R2
y R3, d o s v e c t o r e s s e r á n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i y s ó l o s i e s t á n
s o b r e l a m i s m a r e c t a q u e p a s a p o r 0.
A s i m i s m o , s i u, v y w s o n v e c t o r e s d e R3, u, v y w s o n l i n e a l m e n t e d e p e n -
d i e n t e s ( o l o q u e e s l o m i s m o , e l s i s t e m a {u,v,w}
e s l i g a d o ) s i y s ó l o s i a l
m e n o s u n o d e l o s v e c t o r e s e s u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s r e s t a n t e s . P e r o
e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l g e n e r a d o p o r d o s v e c t o r e s c u a l e s q u i e r a d e R3
e s u n a
r e c t a q u e p a s a p o r e l o r i g e n , u n p l a n o q u e p a s a p o r e l o r i g e n , o e l p r o p i o
o r i g e n ; e n c u a l q u i e r c a s o , s i u, v y w s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s e x i s t e u n
p l a n o q u e , p a s a n d o p o r
0,c o n t i e n e a l o s t r e s v e c t o r e s . D e m a n e r a g e n e r a l :
P r o p o s i c i ó n 2 . 4 . 1 2 S i E
e s u n K− e.v. y n,r,m ∈ N, s e v e r i c a q u e
1 . (u ∈ E ∧ u = 0) ⇒ u e s l i b r e ;
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1 1 0 Á l g e b r a
2 . s i u1, · · · , un e s l i b r e y r ≤ n, e n t o n c e s u1, · · · , ur e s l i b r e ;
3 . s i u1, · · · , un e s t a l q u e ∃i ∈ {1, · · · , n} d e m a n e r a q u e ui = 0, e n t o n c e s
e l s i s t e m a u1, · · · , un e s l i g a d o ;
4 . s i u1, · · · , un e s l i g a d o e n t o n c e s ∀v1, · · · , vm ∈ E
e l s i s t e m a
{u1, · · · , un, v1, · · · , vm}e s l i g a d o .
D e m o s t r a c i ó n 1 . S i u ∈ E − {0}y αu = 0, n e c e s a r i a m e n t e α = 0, c o n l o
q u e u e s l i b r e .
2 . S u p o n g a m o s q u e u1, · · · , un ∈ Ene s l i b r e , q u e r ≤ n y q u e (α1, · · · , αr) ∈
Kre s t a l q u e
r
j=1 α ju j =0
.E n e s e c a s o , d e n i e n d o
∀ j ∈ {r + 1, · · · , n}α j = 0, t e n d r e m o s q u e
n j=1
α ju j = 0y , p u e s t o q u e u1, · · · , un e s l i b r e ,
(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0)y e n p a r t i c u l a r
(α1, · · · , αr) = (0, · · · , 0).3 . S i
u1, · · · , un ∈ Ene s t a l q u e
ui = 0,c o n s i d e r a n d o l a
n- t u p l a
(α1, · · · , αn)∈ Kn
d e n i d a p o r l a c o n d i c i ó n
αi = 1 ∧ ∀ j ∈ {1, · · · , n}( j = i ⇒ α j = 0),
r e s u l t a q u e (α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0) y
n j=1
α ju j = 0u1 + · · · + 0ui−1 + 1 · 0 + 0ui+1 + · · · + 0un = 0.
4 . S i u1, · · · , un e s l i g a d o , ∃(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0) t a l q u e
n j=1
α ju j = 0.
D a d o e n t o n c e s e l s i s t e m a v1,
· · ·, vm d e m v e c t o r e s d e
E, d e n i e n d o
∀ j
∈{1, · · · , m} β j = 0, t e n d r e m o s q u e
n j=1
α ju j +m
j=1
β jv j = 0, y p u e s t o q u e
(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0),r e s u l t a q u e
(α1, · · · , αn, β 1, · · · , β m) = (0, · · · , 0),
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Á l g e b r a 1 1 1
c o n l o q u e u1, · · · , un, v1, · · · , vm e s l i g a d o . 2
L a s p r o p i e d a d e s 2 y 4 d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r p o d r í a n e n u n c i a r s e d e
m a n e r a p o c o r i g u r o s a d e l s i g u i e n t e m o d o : t o d o s u b s i s t e m a d e u n s i s t e m a
l i b r e e s l i b r e y t o d o s u p e r s i s t e m a d e u n s i s t e m a l i g a d o e s l i g a d o .
P r o p o s i c i ó n 2 . 4 . 1 3 S i u1, · · · , un e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e l K− e.v. E
l i b r e y v ∈ En o e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un , e n t o n c e s e l s i s t e m a
u1, · · · , un, v e s l i b r e .
D e m o s t r a c i ó n S u p o n g a m o s q u e
n
j=1
α ju j + βv = 0. E n e s e c a s o n e c e s a -
r i a m e n t e β = 0, p u e s t o q u e s i β = 0, t e n d r í a m o s q u e
v =n
j=1
−β −1 · α j
u j
e n c o n t r a d i c c i ó n c o n l a h i p ó t e s i s . P e r o s i β = 0,
e n t o n c e s
n
j=1
α j u j = 0,
y p u e s t o q u e u1, · · · , un e s l i b r e , r e s u l t a q u e
(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0),
c o n l o q u e , e n d e n i t i v a ,
(α1, · · · , αn, β ) = (0, · · · , 0, 0).
2
C o r o l a r i o 2 . 4 . 1 4 S i u1, · · · , un e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e l K− e.v. E
y
v ∈ Es o n t a l e s q u e u1, · · · , un e s l i b r e y u1, · · · , un, v e s l i g a d o , e n t o n c e s v
e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un.
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1 1 2 Á l g e b r a
2 . 5 B a s e s y d i m e n s i ó n
2 . 5 . 1 S i s t e m a s g e n e r a d o r e s y b a s e s
S e g ú n v i m o s , s i u n v e c t o r s e e x p r e s a c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u n s i s t e -
m a l i b r e , l a e x p r e s i ó n d e l v e c t o r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e s e s i s t e m a e s
ú n i c a . A d e m á s , s i u n s i s t e m a l i b r e e s a l a v e z g e n e r a d o r d e u n c i e r t o s u b e s -
p a c i o , e n t o n c e s n o h a y u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e d i c h o s u b e s p a c i o q u e t e n g a
m e n o s v e c t o r e s q u e e l s i s t e m a l i b r e c o n s i d e r a d o . L a s r a z o n e s a n t e r i o r e s s o n
s u c i e n t e s p a r a e s t u d i a r l o s s i s t e m a s d e v e c t o r e s q u e s o n a l a v e z s i s t e m a s
g e n e r a d o r e s y l i b r e s . U n a v e z c o n c l u i d o e l e s t u d i o d e l a s e c c i ó n , h a b r e m o s r e -
s u e l t o u n p r o b l e m a a d i c i o n a l : s a b r e m o s c u á l e s e l n ú m e r o m á x i m o d e v e c t o r e s
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s q u e p o d e m o s e n c o n t r a r e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l
d a d o . ( S e g ú n s a b e m o s , e l n ú m e r o m á x i m o d e v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n -
d i e n t e s q u e p o d e m o s e n c o n t r a r e n R2
e s 2, y e l n ú m e r o m á x i m o d e v e c t o r e s
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s q u e p o d e m o s e n c o n t r a r e n R3
e s 3. V e r e m o s p o r
e j e m p l o , q u e e l n ú m e r o m á x i m o d e v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s q u e
p o d e m o s e n c o n t r a r e n Rn
e s n).
D e n i c i ó n 2 . 5 . 1 D a d o s u n K − e.v. E
y H ≺ E,
s e d i c e q u e u n s i s t e m a
u1, · · · , un d e v e c t o r e s d e H e s u n a b a s e
d e H s i u1, · · · , un e s l i b r e y ∀v ∈ H
s e v e r i c a q u e v e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un.
E n o t r a s p a l a b r a s , u n a b a s e d e u n K− e.v. E
e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s
d e E
q u e e s s i m u l t á n e a m e n t e l i b r e y g e n e r a d o r .E n p a r t i c u l a r , c o m o
E ≺ E, u n a b a s e d e E
e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e
Eq u e e s l i b r e y t a l q u e t o d o v e c t o r d e
Es e e x p r e s a c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l
d e d i c h o s i s t e m a .
N o t a : S i u1, · · · , un e s u n a b a s e d e u n K − e.v. E
, e s u s u a l e s c r i b i r
B = {u1, · · · , un} p a r a d e n o t a r l a . T o d o v e c t o r v ∈ Es e e s c r i b e e n l a f o r m a
v =n
i=1 aiui, d o n d e l o s c o e c i e n t e s (a1, · · · , an) ∈ Kne s t á n u n í v o c a m e n t e
d e t e r m i n a d o s , p o r l a p r o p o s i c i ó n 2 . 4 . 1 0 , p e r o d e p e n d e n e n e l o r d e n d a d o a
l o s v e c t o r e s
u1, · · · , un.U n c a m b i o e n e l o r d e n d e l o s v e c t o r e s
u1, · · · , und a
p o r r e s u l t a d o u n c a m b i o c o r r e s p o n d i e n t e e n e l o r d e n d e l o s c o e c i e n t e s d e l
v e c t o r v. E s t a s i t u a c i ó n j u s t i c a l a d e n i c i ó n d e b a s e o r d e n a d a : u n a b a s e
o r d e n a d a B = (u1, · · · , un)
d e u n K− e.v. E
e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s l i b r e ,
g e n e r a d o r y o r d e n a d o .
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Á l g e b r a 1 1 3
E j e m p l o s
1 . E l s i s t e m a
{(1, 0, · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, 1)}d e v e c t o r e s d e
Knq u e h e -
m o s v i s t o q u e e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e Kn
t a m b i é n e s l i b r e , p u e s t o q u e s i
(α1, · · · , αn) ∈ Kne s t a l q u e
α1(1, 0, · · · , 0) + · · · + αn(0, · · · , 0, 1) = (0, · · · , 0),
t e n d r e m o s q u e (α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0). P o r c o n s i g u i e n t e ,
Bn = ((1, 0, · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, 1))
e s u n a b a s e o r d e n a d a d e Kn. A e s t a b a s e s e l a c o n o c e c o n e l n o m b r e d e b a s e
c a n ó n i c a d e Kn
y s e l a d e n o t a c o m o Bn.
C o m o c a s o p a r t i c u l a r , r e s u l t a q u e
B1 = (1) e s u n a b a s e d e l K− e.v. K.2 . C o m o u n s u b c a s o d e l e j e m p l o a n t e r i o r , r e s u l t a q u e ((1, 0), (0, 1)) e s u n a
b a s e o r d e n a d a d e R2
( e s l a b a s e c a n ó n i c a d e R2
) . P o r o t r a p a r t e e l s i s t e m a
{ (2, 1), (−1, 1)}
t a m b i é n e s u n a b a s e d e R2, p u e s t o q u e
a ) { (2, 1), (−1, 1)} e s l i b r e , y a q u e s i α(2, 1) + β (−1, 1) = (0, 0), r e s u l t a
q u e (2α − β, α + β ) = (0, 0),
d e d o n d e , r e s o l v i e n d o e l s i s t e m a 2α − β = 0α + β = 0
o b t e n e m o s q u e α = β = 0, e s d e c i r , (α, β ) = (0, 0).b ) T o d o v e c t o r d e R2
s e p u e d e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e
{(2, 1), (−1, 1)}, p u e s t o q u e d a d o (x, y) ∈ R2, p o n i e n d o
(x, y) = α(2, 1) + β (−1, 1),
r e s u l t a q u e
(x, y) = (2α − β, α + β ),
e s d e c i r , x = 2α − β y = α + β
,
d e d o n d e x + y = 3α, i . e . , α = 13 (x + y) y β = y − 13 (x + y) , e s d e c i r ,
β = 23y − 1
3x; e n o t r a s p a l a b r a s , e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s x = 2α − β y = α + β
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1 1 4 Á l g e b r a
t i e n e s o l u c i ó n ∀(x, y) ∈ R2
y p o d e m o s e s c r i b i r
(x, y) = 13
x + 13
y (2, 1) + 23
y − 13
x (−1, 1),
y e n c o n s e c u e n c i a {(2, 1), (−1, 1)}
e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e R2.
3 . S i e n d o P n(C) e l c o n j u n t o d e p o l i n o m i o s c o n c o e c i e n t e s e n C
d e g r a d o
≤ n, s e v e r i c a q u e 1, x, · · · , xne s u n a b a s e d e P n(C) p u e s
a ) {1, x, · · · , xn}
e s l i b r e ( c o m p r u é b e s e ) y
b ) s i f ∈ P n(C), ∃(a0, a1, · · · , an) ∈ Kn+1t a l q u e
∀x ∈ Cf = a0+a1x+· · ·+anxn, c o n l o q u e f e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e
{1, x, · · · , xn}.
4 . E n e l K − e.v. d e l a s m a t r i c e s c o l u m n a d e n l a s , M n×1(K), s i e n d o
∀i∈ {
1,· · ·
, n}
ei : {1, · · · , n} × {1} → M n×1(K)
( j, 1) ;
1 s i j = i0 s i j = i
,
e s f á c i l c o m p r o b a r q u e {e1, · · · , en}
u n a b a s e d e M n×1(K). A e s t a b a s e
t a m b i é n l a d e n o m i n a r e m o s base canonica d e M n×1(K) y l a d e n o t a r e m o s p o r
Bc. E s d e c i r , u t i l i z a n d o l a n o t a c i ó n m a t r i c i a l u s u a l ,
Bc =
{e1,
· · ·, en
}=
{
10
.
.
.
0
,
01
.
.
.
0
,
· · ·,
00
.
.
.
1
}
.
E j e r c i c i o 2 . 5 . 1 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e l a m a t r i c e s M m×n(K),∀i ∈ {1, · · · , m}
y ∀ j ∈ {1, · · · , n}, s e a E ij l a m a t r i z q u e t i e n e u n ú n i c o
c o e c i e n t e n o n u l o : E ij(i, j) = 1. V e r i c a r q u e l a s mn m a t r i c e s E ij f o r m a n
u n a b a s e d e M m×n(K).
D e n i c i ó n 2 . 5 . 2 S i B = (u1, · · · , un) e s u n a b a s e o r d e n a d a d e l K− e.v. E
y v =
n
i=1
αiui,a l a m a t r i z α1
.
.
.
αn
∈ M n×1(K)
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Á l g e b r a 1 1 5
l a d e n o m i n a r e m o s m a t r i z d e c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r v r e s p e c t o d e l a b a s e B, o
s i m p l e m e n t e c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r
vr e s p e c t o d e
B,y l a d e n o t a r e m o s
p o r (v)B.
E j e m p l o 2 . 5 . 3 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l R3,
s i e n d o
B3 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)),
r e s u l t a q u e
((3, −2, 1))B3=
3−21
p u e s t o q u e
(3, −2, 1) = 3(1, 0, 0) + (−2)(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1).
E j e m p l o 2 . 5 . 4 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 3(C)
d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o
≤ 3, s i e n d o B = (1, x , x2, x3), r e s u l t a q u e
2x3 + x − 5
B
=
−5102
,
p u e s t o q u e 2x3 + x − 5 = (−5) · 1 + x + 0 · x2 + 2x3.
E j e m p l o 2 . 5 . 5 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l R2, s i e n d o B2 = ((1, 0), (0, 1)) y B =
((2, 1), (−1, 1)), r e s u l t a q u e ∀(x, y) ∈ R2,
((x, y))B2=
xy
m i e n t r a s q u e
((x, y))B =
13x + 1
3y
23y − 1
3x
.
E n p a r t i c u l a r ,
((1, 0))B2=
1
0 m i e n t r a s q u e
((1, 0))B =
13−13
.
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1 1 6 Á l g e b r a
D e n i c i ó n 2 . 5 . 6 S e d i c e q u e u n K − e.v. E
e s d e d i m e n s i ó n n i t a
s i
∃n ∈N
,y
∃u1, · · · , uns i s t e m a d e v e c t o r e s d e
Et a l q u e
{u1, · · · , un}e s u n a
b a s e d e E.
E j e m p l o 2 . 5 . 7 ∀n ∈ N
s e v e r i c a q u e Kn
e s u n K− e.v. n i t a m e n t e g e n e -
r a d o , p u e s t o q u e ∀(x1, · · · , xn) ∈ Kn
(x1, · · · , xn) = x1(1, 0, · · · , 0) + · · · + xn(0, · · · , 0, 1),
c o n l o q u e e l s i s t e m a d e n e l e m e n t o s ((1, 0, · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, 1)) e s u n
s i s t e m a g e n e r a d o r d e Kn
y , p u e s t o q u e e s l i b r e , e s u n a b a s e d e Kn.
E j e m p l o 2 . 5 . 8 E l C − e.v. d e l o s p o l i n o m i o s
C[x] n o e s d e d i m e n s i ó n -
n i t a , p u e s t o q u e , r a z o n a n d o p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o , s i s u p o n e m o s q u e
{ p1, · · · , pn}e s u n a b a s e d e
C[x], s i e n d o
r = max{gr( pi) |i ∈ {1, · · · , n}},
e s o b v i o q u e e l p o l i n o m i o xr+1 ∈ C[x] n o s e p u e d e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n
l i n e a l d e l s i s t e m a { p1, · · · , pn}.
2 . 5 . 2 E q u i p o t e n c i a d e b a s e s
O b s e r v a c i ó n 2 8 S i {u1, · · · , un}
e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e u n K − e.v.
E, y
∃i∈ {
1,· · ·
, n}
t a l q u e ui
e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l s i s t e m a
{u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un},
e n t o n c e s c u a l q u i e r v e c t o r q u e s e a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e {u1, · · · , un}
e s t a m -
b i é n c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e
{u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un},
p u e s t o q u e s i ui =n
j=1,j=i
α j u j y v =n
j=1
β j u j , t e n d r e m o s q u e
v = β 1u1 + · · · + β i−1ui−1 + β i n j=1,j=i
α ju j + β i+1ui+1 + · · · + β nun =
=n
j=1,j=i
γ j u j,
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Á l g e b r a 1 1 7
d o n d e ∀ j ∈ {1, · · · , n} − {i}
γ j = (β j + β iα j ) .
P r o p o s i c i ó n 2 . 5 . 9 S e a n E
u n K − e.v., {u1, · · · , un}
u n a b a s e d e E
y
{v1, · · · , vm}u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e
Ec o n m > n. E n e s t a s c o n d i c i o -
n e s e l s i s t e m a {v1, · · · , vm}
e s l i g a d o .
D e m o s t r a c i ó n S u p o n d r e m o s q u e ∀i ∈ {1, · · · , m} vi = 0, p u e s t o q u e e n
c a s o c o n t r a r i o , a u t o m á t i c a m e n t e e l s i s t e m a {v1, · · · , vm}
e s l i g a d o . V e a m o s
q u e a ú n s i e n d o ∀i ∈ {1, · · · , m} vi = 0, e l s i s t e m a (v1, · · · , vm) e s l i g a d o .
P u e s t o q u e {u1, · · · , un} e s u n a b a s e d e
E, ∀ j ∈ {1, · · · , m}
v j =n
i=1
aijui.
P o r c o n s i g u i e n t e , s u p o n i e n d o q u e
m j=1
β jv j = 0.
t e n d r e m o s q u e
m j=1
β j(n
i =1
a ij u i ) = 0.
e s d e c i r ,
n i =1
(m
j =1
a ij β j )u i = 0.
( e n e s t e p u n t o e s i m p o r t a n t e q u e e l a l u m n o u t i l i c e u n a n o t a c i ó n n o c o n t r a i d a
d e l s u m a t o r i o p a r a e n t e n d e r e l p a s o a n t e r i o r ) c o n l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a
q u e
{u1,
· · ·, un
}e s u n a b a s e d e
E, o b t e n e m o s q u e t o d o s l o s c o e c i e n t e s d e l a
c o m b i n a c i ó n l i n e a l a n t e r i o r d e b e n s e r i g u a l e s a c e r o , e s d e c i r , ∀i ∈ {1, · · · , n},
m j =1
a ij β j = 0.
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1 1 8 Á l g e b r a
y , p u e s t o q u e e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s h o m o g é n e o
a11β 1 + · · · + a1nβ m = 0
.
.
.
an1β 1 + · · · + anmβ m = 0
t i e n e m á s i n c ó g n i t a s q u e e c u a c i o n e s (m > n), d i c h o s i s t e m a t i e n e s o l u c i o n e s
d i f e r e n t e s d e l a t r i v i a l , p o r l o q u e {v1, · · · , vm}
e s l i g a d o . 2
O b s e r v a c i ó n 2 9 C u a l q u i e r s i s t e m a d e 4 o m á s v e c t o r e s d e R3
e s l i g a d o .
C o r o l a r i o 2 . 5 . 1 0 ( E q u i p o t e n c i a d e b a s e s e n u n K
−e.v. d e d i m e n s i ó n n i t a )
S i E e s u n K− e.v. n i t a m e n t e g e n e r a d o y
B = {u1, · · · , un}y B = {v1, · · · , vm}
( 2 . 1 0 )
s o n b a s e s d e E, s e v e r i c a n e c e s a r i a m e n t e q u e n = m.
D e m o s t r a c i ó n P o r l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , c o m o t o d o v e c t o r d e l s i s t e m a
{v1, · · · , vm}e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e
{u1, · · · , un}( p u e s t o q u e
{u1, · · · , un}e s b a s e d e
E)c o n c l u í m o s q u e m ≤ n ( y a q u e e n c a s o c o n t r a r i o
{v1, · · · , vm}s e r í a l i g a d o , e n c o n t r a d i c c i ó n c o n q u e s e a b a s e ) .
P o r e l m i s m o m o t i v o , c o m o {v1, · · · , vm}
t o d o v e c t o r d e l s i s t e m a {u1, · · · , un}
e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e {v1, · · · , vm} c o n c l u í m o s q u e
n ≤ m( y a q u e e n c a s o
c o n t r a r i o {u1, · · · , un}
s e r í a l i g a d o , e n c o n t r a d i c c i ó n c o n q u e s e a b a s e ) , y e n
d e n i t i v a o b t e n e m o s q u e n = m. 2
U n a v e z d e m o s t r a d o q u e s i E
e s u n K − e.v. d e d i m e n s i ó n n i t a t o d a s
l a s b a s e s d e E
t i e n e n e l m i s m o n ú m e r o d e e l e m e n t o s , p o d e m o s e s t a b l e c e r l a
s i g u i e n t e d e n i c i ó n :
D e n i c i ó n 2 . 5 . 1 1 S i E
e s u n K− e.v. d e d i m e n s i ó n n i t a y
(u1, · · · , un) ∈ En
e s u n a b a s e d e E, d i r e m o s q u e l a d i m e n s i ó n d e E e s n y e s c r i b i r e m o s
dim(E) = n.
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 1 1 9
E j e m p l o s :
1 . C ó m o
1 ∈K
e s u n a b a s e d e l K
− e.v.K
,r e s u l t a q u e
dim(K) = 1.
2 . T e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a b a s e c a n ó n i c a d e Kn
t i e n e n e l e m e n t o s ,
r e s u l t a q u e
dim(Kn) = n.
3 . P u e s t o q u e (1, x, · · · , xn) ∈ (P n(C))n+1
e s u n a b a s e d e P n(C), t e n d r e -
m o s q u e
dim(P n(C)) = n + 1.
A e s t a b a s e l a d e n o m i n a r e m o s base usual d e P n(C).
A d e m á s d e l t e o r e m a d e e q u i p o t e n c i a d e b a s e s e n u n K − e.v.
d e d i m e n -
s i ó n n i t a , d e l a p r o p o s i c i ó n ( 2 . 5 . 9 ) t a m b i é n s e p u e d e n o b t e n e r d e m a n e r a
i n m e d i a t a l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s .
P r o p o s i c i ó n 2 . 5 . 1 2 S i E
e s u n K− e.v. y
{u1, · · · , un}e s u n a b a s e d e
E,e n t o n c e s s e v e r i c a q u e :
1 . ({v1, · · · , vm}
s i s t e m a d e v e c t o r e s d e E ∧ (m > n)) ⇒ {v1, · · · , vm}
l i -
g a d o ;
2 . {v1, · · · , vn} s i s t e m a l i b r e d e v e c t o r e s d e E ⇒ {v1, · · · , vn} b a s e ;
3 . {v1, · · · , vn}
s i s t e m a g e n e r a d o r d e E ⇒ {v1, · · · , vn}
b a s e .
D e m o s t r a c i ó n 1 . E v i d e n t e a p a r t i r d e l a p r o p o s i c i ó n ( 2 . 5 . 9 ) .
2 . E v i d e n t e a p a r t i r d e l a p r o p o s i c i ó n ( 2 . 4 . 1 3 ) y 1 .
3 . S i {v1, · · · , vn} e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e
Ey
{v1, · · · , vn} e s l i -
g a d o , e n t o n c e s ( a p l i c a n d o l a p r o p o s i c i ó n ( 2 . 4 . 1 1 ) h a s t a r e d u c i r e l s i s t e m a
{v1, · · · , vn} a u n s i s t e m a l i b r e , ) e x i s t i r á n r ∈ N, r ≤ n y u n a b a s e B =
{w1, · · · , wr} d e E, t a l e s q u e
∀i ∈ {1, · · · r} ∃ j ∈ {1, · · · , n}d e m a n e r a q u e
wi = v j. P e r o p u e s t o q u e
{w1,
· · ·, wr
}e s u n a b a s e d e
E, r = n y p u e s -
t o q u e {w1, · · · , wn} e s l i b r e y l a n − tupla {v1, · · · , vn} n o e s m á s q u e u n a
r e o r d e n a c i ó n d e l a n−tupla {w1, · · · , wn}, r e s u l t a q u e {v1, · · · , vn}
e s l i b r e . 2
E j e r c i c i o 2 . 5 . 2 V e r i c a r q u e e l s i s t e m a {1, 1 + x, x2}
e s u n a b a s e d e P 2(C).
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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1 2 0 Á l g e b r a
2 . 6 S u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s y d i m e n s i ó n
O b s e r v a c i ó n 3 0 S i E
e s u n K−e.v. d e d i m e n s i ó n n i t a y H ≺ E, e n t o n c e s
H t a m b i é n e s d e d i m e n s i ó n n i t a y
dim(H ) ≤ dim(E),p u e s t o q u e c u a l q u i e r
s i s t e m a l i b r e d e v e c t o r e s d e H t a m b i é n e s u n s i s t e m a l i b r e d e v e c t o r e s d e E.
N ó t e s e a d e m á s q u e s i H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e E
t a l q u e dim(H ) =dim(E), s e v e r i c a n e c e s a r i a m e n t e q u e H = E, p u e s t o q u e s i (u1, · · · , un) ∈H n e s u n a b a s e d e H, e n t o n c e s (u1, · · · , un) t a m b i é n e s u n a b a s e d e
E, p u e s t o
q u e e s u n s i s t e m a l i b r e d e n v e c t o r e s d e E, y e n c o n s e c u e n c i a a l p o d e r e x p r e s a r
t o d o v e c t o r d e E
c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e (u1, · · · , un) , t o d o v e c t o r d e E
s e r á t a m b i é n u n v e c t o r d e H, c o n l o q u e H = E.
P r o p o s i c i ó n 2 . 6 . 1 ( T e o r e m a d e e x t e n s i ó n d e u n a b a s e ) S i
Ee s u n
K−e.v. n i t a m e n t e g e n e r a d o c o n
dim(E) = n,
H ≺ Ey
(u1, · · · , um) ∈ H me s u n a
b a s e d e H c o n m < n e n t o n c e s e x i s t e
(um+1, · · · , un) ∈ En−m
t a l q u e (u1, · · · , um, um+1, · · · , un)
e s u n a b a s e d e E.
D e m o s t r a c i ó n R a z o n a m o s p o r i n d u c c i ó n s o b r e n − m :B a s e d e i n d u c c i ó n . S i
n−m = 1,e n t o n c e s
m = n−1y
(u1, · · · , um) =(u1,
· · ·, un
−1). A h o r a b i e n , c o m o (u1,
· · ·, un
−1) e s u n a b a s e d e H,
(u1, · · · , un−1)e s u n s i s t e m a l i b r e , y p o r o t r a p a r t e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e
dim(E) = n, r e s u l t a q u e (u1, · · · , un−1) n o e s u n a b a s e d e E, y p o r c o n s i -
g u i e n t e ∃v ∈ E
t a l q u e v n o e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e (u1, · · · , un−1); p e r o ,
e n e s e c a s o , t e n d r e m o s q u e (u1, · · · , un−1, v) ∈ Ene s u n s i s t e m a l i b r e , c o n l o
q u e o b t e n e m o s q u e (u1, · · · , un−1, v) e s u n a b a s e d e E.
P a s o d e i n d u c c i ó n . S u p o n g a m o s c i e r t o e l r e s u l t a d o p a r a n − m = k,y s e a
Eu n K − e.v. t a l q u e dim(E) = n, H ≺ E
y (u1, · · · , um) ∈ H m u n a
b a s e d e H t a l q u e n − m = k + 1. E n e s e c a s o (u1, · · · , um) e s u n s i s t e m a
l i b r e d e E
y , p u e s t o q u e m < n, (u1, · · · , um) n o e s b a s e d e E
, p o r l o q u e
∃v ∈ Et a l q u e v n o e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e
(u1, · · · , um). P o r c o n s i g u i e n -
t e
(u1, · · · , um, v)e s l i b r e . P e r o e n e s e c a s o , s i c o n s i d e r a m o s e l s u b e s p a c i o
v e c t o r i a l H = L({ui |i ∈ {1, · · · , m} } ∪ {v}),
r e s u l t a q u e t o d o v e c t o r d e H
s e e x p r e s a c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e (u1, · · · , um, v) y q u e a d e m á s e s t e
s i s t e m a e s l i b r e , c o n l o q u e (u1, · · · , um, v)
e s u n a b a s e d e H .
A h o r a b i e n ,
dim(H ) = m + 1, y p o r l o t a n t o , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e n − m = k + 1,
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Á l g e b r a 1 2 1
r e s u l t a q u e n − (m + 1) = k, c o n l o q u e a p l i c a n d o l a h i p ó t e s i s d e i n d u c c i ó n ,
∃(um+2, · · · , un) ∈En
−(m+1)
t a l q u e
(u1, · · · , um, v , um+2, · · · , un)e s u n a b a -
s e d e E; e s d e c i r , l a d e m o s t r a c i ó n e s t á c o m p l e t a .
2
O b s e r v a c i ó n 3 1 N ó t e s e q u e e l r e s u l t a d o a n t e r i o r t i e n e c o m o c o n s e c u e n c i a
q u e s i (u1, · · · , um) e s u n s i s t e m a l i b r e d e v e c t o r e s d e E
y
dim(E) = n > m,
e n t o n c e s ∃(um+1, · · · , un) ∈ En−m
t a l q u e
(u1, · · · , um, um+1, · · · , un)
e s u n a b a s e d e E,
p u e s t o q u e s i e s l i b r e , (u1,
· · ·, um)
e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r
d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l
H = L({ui |i ∈ {1, · · · , m}}).
N o t a . D a d o s u n K − e.v. E
, y H ≺ E, s i dim(H ) = 1
s e d i c e q u e H e s u n a
rectad e
E, s i dim(H ) = 2, s e d i c e q u e H e s u n plano
d e E, y s i
dim(E) = ny
dim(H ) = n − 1,s e d i c e q u e
H e s u n
hiperplanod e
E.A s í p o r e j e m p l o , e n e l
C− e.v. P 4(C) = {f ∈ C[x] |gr(f ) ≤ 4}, p o d e m o s
a r m a r q u e
L((1)) = {f ∈ P 4(C) |∃α ∈ C..∀z ∈ C f (z ) = (α · 1) (z ) = α}e s u n a r e c t a d e
P 4(C),q u e
L((x, x2)),e s d e c i r , e l c o n j u n t o
{f ∈ P 4(C)∃(α, β ) ∈ C2..∀z ∈ C f (z ) =
αx + βx2
(z ) = αz + βz 2}
e s u n p l a n o d e P 4(C)y q u e L((1, x , x2, x3))
e s u n h i p e r p l a n o d e P 4(C).
O b s e r v a c i ó n 3 2 P u e s t o q u e dim(R3) = 3, s i H ≺ R3, H = R3, r e s u l t a
q u e dim(H ) = 0, 1
ó 2. S i
dim(H ) = 0, H = {(0, 0, 0)}. S i dim(H ) = 1,
y u = (x,y,z ) ∈ H, u = (0, 0, 0), t e n d r e m o s q u e H = L({u}) = {v ∈R3 |∃α ∈ R
t a l q u e v = αu}, y e s f á c i l v e r q u e l a r e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e
H e s l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o
(0, 0, 0)( p u e s t o q u e
0 = (0, 0, 0) ∈ H a l
s e r H ≺ R3)
y e l p u n t o (x,y,z ).
F i n a l m e n t e , s i dim(H ) = 2,
y (u, v)
e s u n a
b a s e d e H, r e s u l t a q u e H = {w ∈ R3 |∃(α, β ) ∈ R2t a l q u e w = αu + βv }
y
e s f á c i l v e r q u e l a r e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e H
e s e l p l a n o d e R3
q u e p a s a p o r
(0, 0, 0) y p o r u y v.
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1 2 2 Á l g e b r a
2 . 7 R a n g o d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s y d e u n a
m a t r i z
D e n i c i ó n 2 . 7 . 1 S e a n E
u n K
- e . v . y {u1, · · · , um}
u n s i s t e m a d e v e c t o -
r e s E. S e d e n o m i n a
r a n g o d e l s i s t e m a
{u1, · · · , um}a l a d i m e n s i ó n d e l
s u b e s p a c i o v e c t o r i a l L(u1, · · · , um). P a r a i n d i c a r q u e e l r a n g o d e l s i s t e m a
{u1, · · · , um}e s r e s c r i b i r e m o s
rg(u1, · · · , um) = r.
E j e m p l o 2 . 7 . 2 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l R3, rg((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) = 3.
P o r o t r a p a r t e , rg((1, 0, 0), (0, 1, 0)) = 2,
p u e s t o q u e a l s e r
{(1, 0, 0), (0, 1, 0)
}u n s i s t e m a l i b r e , c o n s t i t u y e n u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l q u e g e n e r a n .
E j e m p l o 2 . 7 . 3 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 2(C), rg(1, x2, 1 + x2) = 2.
A t e n o r d e l o s r e s u l t a d o s v i s t o s h a s t a a h o r a , r e s u l t a e v i d e n t e q u e
rg(u1, · · · , um, v) = rg(u1, · · · , um) ⇔ v ∈ L(u1, · · · , um).
D e n i c i ó n 2 . 7 . 4 S e a A ∈ M m×n(K). S i {A1, · · · , An}
e s e l s i s t e m a d e v e c -
t o r e s d e M m×1(K) f o r m a d o p o r l a s c o l u m n a s d e A, s e d e n o m i n a r a n g o
d e Aa l r a n g o d e d i c h o s i s t e m a d e v e c t o r e s , e s d e c i r ,
rg(A) = rg(A1, · · · , An).
E j e m p l o 2 . 7 . 5 D a d a l a m a t r i z A =
1 1 11 1 01 0 0
∈ M 3(R), s e v e r i c a q u e
rg(A) = rg(
111
110
100
).
A h o r a b i e n , s i
α
111
+ β
110
+ γ
100
=
000
,
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Á l g e b r a 1 2 3
t e n d r e m o s q u e
α + β + γ = 0α + β = 0α = 0
d e d o n d e α = 0 = β = γ, e s d e c i r , e l s i s t e m a e s l i b r e , d e d o n d e
rg(
111
110
100
) = 3
y , e n c o n s e c u e n c i a , rg(A) = 3.
D e n i c i ó n 2 . 7 . 6 S i A
∈M m
×n(K), a l s u b e s p a c i o d e M m
×1(K) g e n e r a d o p o r
l a s c o l u m n a s d e A, L(A1, · · · , An), s e l e d e n o m i n a e s p a c i o c o l u m n a d e A.
T r a s e l e s t u d i o d e l a s i g u i e n t e s e c c i ó n , v e r e m o s u n m é t o d o s i s t e m á t i c o y
s e n c i l l o p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s , q u e o b v i a m e n t e
s e r v i r á t a m b i é n p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e u n a m a t r i z .
2 . 8 E l t e o r e m a d e R o u c h é - F r ö b e n i u s
E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e d a d o u n s i s t e m a d e m e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n ni n c ó g n i t a s y c o n c o e c i e n t e s e n
Kd e l a f o r m a
a11x1 + · · · + a1nxn = b1,.
.
.
am1x1 + · · · + amnxn = bm,
d e t e r m i n a r e l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e d i c h o s i s t e m a ( i . e . , r e s o l v e r d i c h o s i s t e m a
c u a n d o e s c o m p a t i b l e ) s i g n i c a d e t e r m i n a r s i e x i s t e n x1, · · · , xn d e m a n e r a
q u e s e s a t i s f a g a l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n :
x1
·a11
.
.
.
am1 +
· · ·+ xn
·a1n
.
.
.
amn = b1
.
.
.
bm ,
q u e , d e f o r m a r e d u c i d a , e x p r e s a r e m o s :
x1A1 + · · · + xnAn = b,
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1 2 4 Á l g e b r a
d o n d e
∀ j ∈ {1, · · · , n} A j = · a1 j
.
.
.
amj
∧ b = b1
.
.
.
bm
.
( N ó t e s e q u e l a e x p r e s i ó n a n t e r i o r e s u n a e c u a c i ó n l i n e a l d e M m×1(K)) .
E s d e c i r , e l s i s t e m a s e r á c o m p a t i b l e s i
b1.
.
.
bm
∈ M m×1(K) s e p u e d e
e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s v e c t o r e s c o l u m n a d e M m×1(K)
a11.
.
.
am1
, · · · , a1n
.
.
.
amn
.
L o s r e s u l t a d o s v i s t o s s o b r e d e p e n d e n c i a e i n d e p e n d e n c i a l i n e a l a p l i c a d o s
a e s t e c a s o c o n c r e t o n o s l l e v a n a l s i g u i e n t e r e s u l t a d o :
P r o p o s i c i ó n 2 . 8 . 1 D a d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s
a11x1 + · · · + a1nxn = b1,
.
.
.
am1x1 + · · · + amnxn = bm,
o , l o q u e e s l o m i s m o ,
AX = b
c o n A ∈ M m×n(K) y b ∈ M m×1(K) y s i e n d o S e l c o n j u n t o f o r m a d o p o r l a s
s o l u c i o n e s d e l m i s m o , l a s s i g u i e n t e s a r m a c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s :
1 . E l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s c o m p a t i b l e ( e s d e c i r , S = ∅);
2 . b∈
L(A1,· · ·
, An);
3 . L(A1, · · · , An) = L(A1, · · · , An, b).
4 . rg(A) = rg(A |b) ,
d o n d e (A |b)
e s l a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l s i s -
t e m a d e e c u a c i o n e s c o n s i d e r a d o .
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Á l g e b r a 1 2 5
P o r o t r a p a r t e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e s i u n v e c t o r s e e s c r i b e c o m o c o m -
b i n a c i ó n l i n e a l d e u n s i s t e m a l i b r e , d i c h a e x p r e s i ó n e s ú n i c a , r e s u l t a q u e :
P r o p o s i c i ó n 2 . 8 . 2 S i e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s
AX = b
c o n A ∈ M n(K)
y b ∈ M n×1(K)
e s c o m p a t i b l e , s o n e q u i v a l e n t e s l a s a r m a -
c i o n e s s i g u i e n t e s :
1 . E l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o .
2 . (A1, · · · , An)
e s u n s i s t e m a l i b r e d e M n×1(K).
3 . (A1, · · · , An)
e s u n a b a s e d e M n×1(K).
4 . rg(A1, · · · , An) = n.
5 . rg(A) = rg(A |b) = n.
A l r e s u l t a d o s o b r e l a e x i s t e n c i a y u n i c i d a d d e s o l u c i o n e s d e u n s i s t e m a d e
e c u a c i o n e s l i n e a l e s q u e a p a r e c e d e s g l o s a d o e n l a s d o s ú l t i m a s p r o p o s i c i o n e s
s e l e c o n o c e c o n e l n o m b r e d e T e o r e m a d e R o u c h é - F r ö b e n i u s .
A s í p o r e j e m p l o , e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s c o n c o e c i e n t e s e n R
x + y = 2,2x + 2y = 4,
d a l u g a r a l a s i g u i e n t e c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e M 2×1(R)
x ·
12
+ y ·
12
=
24
.
A s í p u e s e l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e , p u e s t o q u e
24 ∈
L(12 ,
12 )
e i n d e t e r m i n a d o , y a q u e
(
12
,
12
) ∈ (M 2×1(R))2
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1 2 6 Á l g e b r a
e s u n s i s t e m a l i g a d o .
N o t a i m p o r t a n t e . O b s é r v e s e q u e s i
Ee s u n
K− e.v.
d e d i m e n s i ó n
ny
Be s u n a b a s e o r d e n a d a d e
E,s i e n d o
v1, · · · , vm, u ∈ E,r e s u l t a q u e , a l e s t a r
c a r a c t e r i z a d o u n v e c t o r p o r s u s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e u n a b a s e o r d e n a d a ,
mi=1
αivi = u ⇔m
i=1
αi(vi)B = (u)B.
L a e x p r e s i ó n s i t u a d a a l a d e r e c h a d e l s í m b o l o ⇔
e s u n a e c u a c i ó n l i n e a l d e
M n×1(K),d e m o d o q u e p u e d e s e r c o n s i d e r a d a c o m o u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s
l i n e a l e s . A s í p u e s , d e t e r m i n a r s i u n v e c t o r u ∈ Ed e p e n d e l i n e a l m e n t e o n o d e
u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d a d o v1,
· · ·, vm y h a l l a r , e n s u c a s o ,
α1,
· · ·, αm
∈K
t a l e s q u e
mi=1
αivi = u,
c o n s i s t i r á e n j a r u n a b a s e B d e l e s p a c i o v e c t o r i a l E
p a r a e s t u d i a r ( y , e n s u
c a s o , r e s o l v e r ) l a e c u a c i ó n l i n e a l d e M n×1(K)
mi=1
αi(vi)B = (u)B
o , s i s e p r e e r e , e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s e q u i v a l e n t e .
E j e m p l o s .
1 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 2(C) d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o ≤ 2, p a r a
d e t e r m i n a r s i e l v e c t o r 3 − 2x + x2p e r t e n e c e o n o a l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l
L(−x2 + x, x − 3), d e b e m o s e s t u d i a r s i e x i s t e n α, β ∈ C t a l e s q u e
α(−x2 + x) + β (x − 3) = 3 − 2x + x2;
s i e n d o B = (1, x , x2), e l p r o b l e m a a n t e r i o r e s e q u i v a l e n t e a
α(
−x2 + x)B + β (x
−3)B = (3
−2x + x2)B;
e s d e c i r ,
α
01
−1
+ β
−310
=
3−21
,
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Á l g e b r a 1 2 7
o , l o q u e e s l o m i s m o , a r e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s :
−3β = 3,α + β = −2,
−α = 1,
q u e t i e n e c o m o s o l u c i ó n α = β = −1.
2 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s x − y = 2
3x + y = 0,
e s e q u i v a l e n t e a v e r s i e s p o s i b l e e x p r e s a r e l v e c t o r
20
c o m o c o m b i n a c i ó n
l i n e a l d e l o s v e c t o r e s
13
y
−11
d e l a f o r m a :
x
13
+ y
−11
=
20
.
E s t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o , p u e s t o q u e e l s i s t e m a
(
13
,
−11
)
e s u n s i s t e m a l i b r e d e M 2×1(R)y , p u e s t o q u e l a d i m e n s i ó n
d e M 2×1(R) e s 2, c o n s t i t u y e u n a b a s e y c u a l q u i e r v e c t o r ( e n p a r t i c u l a r
20
)
s e p u e d e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l s u y a .
T e o r e m a 2 . 8 . 3 D a d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s a11x1 + · · · + a1nxn = b1,
.
.
.
am1x1 + · · · + amnxn = bm,
o , l o q u e e s l o m i s m o ,
AX = b
c o n A ∈ M m×n(K) y b ∈ M m×1(K) y s i e n d o S e l c o n j u n t o f o r m a d o p o r l a s
s o l u c i o n e s d e l m i s m o , s e v e r i c a q u e :
1 . E l c o n j u n t o S H s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n h o m o g é n e a
x1A1 + · · · + xnAn = (0),
e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e Kn
.
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1 2 8 Á l g e b r a
2 . S i l a e c u a c i ó n l i n e a l ( o , s i s e p r e e r e , e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s )
x1A1 + · · · + xnAn = b,
e s c o m p a t i b l e , S e s s u c o n j u n t o s o l u c i ó n , y (α1, · · · , αn) ∈ S, e n t o n c e s
∀(β 1, · · · , β n) ∈ Kn
((β 1, · · · , β n) ∈ S ⇔ ((β 1, · · · , β n) − (α1, · · · , αn)) ∈ S H )
D e m o s t r a c i ó n E j e r c i c i o . 2
O b s e r v a c i ó n 3 3 C o m o c o n s e c u e n c i a d e l t e o r e m a a n t e r i o r , e l c o n j u n t o s o l u -
c i ó n d e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s s e o b t i e n e s u m a n d o a u n a s o l u c i ó n
c u a l q u i e r a d e d i c h o s i s t e m a t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a h o m o g é n e o a s o -
c i a d o . E s d e c i r , s i (α1, · · · , αn) e s u n a s o l u c i ó n c u a l q u i e r a d e l s i s t e m a d e
e c u a c i o n e s l i n e a l e s ,
x1A1 + · · · + xnAn = b,
s i e n d o S s u c o n j u n t o s o l u c i ó n y S H e l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e l s i s t e m a h o m o -
g é n e o a s o c i a d o , s e v e r i c a q u e :
S =
(γ 1, · · · , γ n) ∈ Kn
∃(β 1, · · · , β n) ∈ S H . .
(γ 1, · · · , γ n) = (α1, · · · , αn) + (β 1, · · · , β n)
E s u s u a l r e c a l c a r e s t a c i r c u n s t a n c i a e s c r i b i e n d o
S = (α1, · · · , αn) + S H .
P o r o t r a p a r t e , s i (α1, · · · , αn)
e s u n a s o l u c i ó n c u a l q u i e r a d e l a e c u a c i ó n
l i n e a l
x1A1 + · · · + xnAn = b,
y (β 1, · · · , β n) e s u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n l i n e a l
x1A1 + · · · + xnAn = c,
r e s u l t a q u e (α1 + β 1,
· · ·, αn + β n) e s s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n l i n e a l
x1A1 + · · · + xnAn = b + c.
E s t e h e c h o s e c o n o c e c o n e l n o m b r e d e p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n d e
s o l u c i o n e s .
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Á l g e b r a 1 2 9
D e n i c i ó n 2 . 8 . 4 D a d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s ,
x1A1 + · · · + xnAn = b,
c o n A ∈ M m×n(K) y b ∈ M m×1(K), d e n o m i n a r e m o s s i s t e m a f u n d a m e n t a l
d e s o l u c i o n e s d e d i c h o s i s t e m a a c u a l q u i e r b a s e d e l e s p a c i o v e c t o r i a l S H d e
s o l u c i o n e s d e s u e c u a c i ó n h o m o g é n e a a s o c i a d a .
O b s e r v a c i ó n 3 4 N ó t e s e q u e s i (w1, · · · , wr) e s u n s i s t e m a f u n d a m e n t a l d e
s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s
x1A1 + · · · + xnAn = b,
s i e n d o S s u c o n j u n t o s o l u c i ó n y s ∈ S u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e d i c h a
e c u a c i ó n , s e v e r i c a q u e
u ∈ S ⇔ ∃λ1, · · · , λr ∈ Kt a l q u e
u = s + λ1w1 + · · · + λrwr.
E j e m p l o : D a d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s x + y + z = 2,
2x + 2y + 2z = 4,
l a e c u a c i ó n l i n e a l d e M 2×1(R) c o r r e s p o n d i e n t e e s
x
12
+ y
12
+ z
12
=
24
.
E l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e e i n d e t e r m i n a d o d e h e c h o (
12
,
12
,
12
)
e s u n s i s t e m a l i g a d o y
24
∈ L(
12
,
12
,
12
) = L(
12
).
E l c o n j u n t o s o l u c i ó n s e p u e d e e x p r e s a r m e d i a n t e l a s u m a d e u n a s o l u c i ó n
p a r t i c u l a r d e l s i s t e m a a t o d a s l a s d e l h o m o g é n e o . R e s o l v i e n d o e l s i s t e m a
h o m o g é n e o a s o c i a d o p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n t e n e m o s q u e l a s o l u c i ó n
e s x = −s − t,y = s,z = t,
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1 3 0 Á l g e b r a
e s d e c i r ,
xyz
= s −110
+ t −101
o , s i s e p r e e r e ,
(x,y,z ) = s(−1, 1, 0) + t(−1, 0, 1).
L o s v e c t o r e s (1, 0, −1) y (1, −1, 0) c o n s t i t u y e n u n a b a s e d e S H . P o r c o n s i -
g u i e n t e
((1, 0, −1), (1, −1, 0))
e s u n s i s t e m a f u n d a m e n t a l d e s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a d a d o . C o m o (0, 0, 2) e s
u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e d i c h a e c u a c i ó n , r e s u l t a q u e :
S = {(x,y,z ) ∈ R3
∃α, β ∈ R . . (x,y,z ) == (0, 0, 2) + α(−1, 1, 0) + β (−1, 0, 1)
}.
2 . 9 M é t o d o d e G a u s s y r a n g o
E n e s t a s e c c i ó n v a m o s a v e r u n m é t o d o s i s t e m á t i c o q u e s e r v i r á p a r a d e t e r -
m i n a r e l r a n g o d e u n a m a t r i z y d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s .
2 . 9 . 1 T r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s y m a -
t r i c e s e l e m e n t a l e s
A l e s t u d i a r u n m é t o d o p a r a h a l l a r l a i n v e r s a d e u n a m a t r i z , v i m o s e n e l
c a p í t u l o 1 q u e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s s o n i n v e r t i b l e s , y q u e
l a i n v e r s a d e u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l ,
s e g ú n e l c u a d r o
T R A N S F O R M A C I Ó N T R A N S F O R M A C I Ó N I N V E R S A
F i = F i + λF j F i = F i − λF j
F i = λF i (λ = 0) F i =1
λF i
F i ↔ F j F i ↔ F j
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Á l g e b r a 1 3 1
P o r e l m i s m o m o t i v o , l a s c o r r e s p o n d i e n t e s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r
c o l u m n a s s o n i n v e r t i b l e s , y l a t a b l a c o r r e s p o n d i e n t e s e r á l a s i g u i e n t e :
T R A N S F O R M A C I Ó N T R A N S F O R M A C I Ó N I N V E R S A
C i = C i + λC j C i = C i − λC j
C i = λC i (λ = 0) C i =1
λC i
C i ↔ C j C i ↔ C j
D e n o t a m o s p o r S ij(λ) a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a t r a n s f o r m a c i ó n
C i = C i + λC j, p o r P i(λ) a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a t r a n s f o r m a c i ó n
C i = λC i (λ = 0)y p o r E ij a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a t r a n s f o r m a c i ó n
C i ↔ C j .N o e s d i f í c i l v e r i c a r ( y l o c o m p r o b a r e m o s t a m b i é n a l r e a l i z a r l a p r á c t i c a 2
e n e l a u l a i n f o r m á t i c a ) q u e v a l e n l a s s i g u i e n t e s i d e n t i d a d e s :
S ij(λ) = S ji(λ)
P i(λ) = P i(λ)
E ij = E ij
A d e m á s v a l e e l s i g u i e n t e t e o r e m a :
T e o r e m a 2 . 9 . 1 S i A ∈ M m×n(K) y E e s l a m a t r i z e l e m e n t a l d e o r d e n nq u e s e o b t i e n e a l r e a l i z a r l a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l t s o b r e l a s c o l u m n a s
d e I n,
s e g ú n e l e s q u e m a
I n
t−→ E,
e n t o n c e s s i Ae s l a m a t r i z r e s u l t a n t e d e r e a l i z a r l a t r a n s f o r m a c i ó n t s o b r e
l a s c o l u m n a s d e A s e g ú n e l e s q u e m a
A
t
−→ A,
r e s u l t a q u e
A = A · E
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1 3 2 Á l g e b r a
E s d e c i r , e n e s t e c a s o h a y q u e m u l t i p l i c a r p o r l a m a t r i z e l e m e n t a l c o r r e s -
p o n d i e n t e p e r o p o r l a d e r e c h a e n l u g a r d e p o r l a i z q u i e r d a .
E j e r c i c i o 2 . 9 . 1 V e r i f í q u e s e e l r e s u l t a d o a n t e r i o r p a r a t ≡ C 2 = C 2 + 3C 1s o b r e l a m a t r i z
A =
1 0 23 1 10 1 4
,
e s d e c i r , c o m p r o b a r q u e s i Ae s l a m a t r i z r e s u l t a n t e d e h a c e r a c t u a r t s o b r e
A, e n t o n c e s
A = A
·S 21(3) = A
·S 12(3).
2 . 9 . 2 M é t o d o d e G a u s s p a r a c a l c u l a r e l r a n g o d e u n a
m a t r i z
B u s c a m o s u n m é t o d o q u e n o s p e r m i t a d e t e r m i n a r d e u n m o d o s e n c i l l o e l
r a n g o d e u n a m a t r i z A ∈ M m×n(K). P a r a e l l o , v a m o s a c o m p r o b a r e n p r i -
m e r l u g a r q u e a l r e a l i z a r t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s s o b r e l a s c o l u m n a s
d e u n a m a t r i z A n o s e a l t e r a s u r a n g o . E l s i g u i e n t e l e m a s e a p l i c a r á e n l a
d e m o s t r a c i ó n d e l t e o r e m a p r i n c i p a l :
L e m a 2 . 9 . 2 S i E
e s u n K− e.v. y (u1, · · · , un) y (v1, · · · , vm) s o n s i s t e m a s
d e v e c t o r e s d e E, s e v e r i c a q u e
L(u1, · · · , un) = L(v1, · · · , vm) ⇔ u1, · · · , un ∈ L(v1, · · · , vm)
∧v1, · · · , vm ∈ L(u1, · · · , un)
D e m o s t r a c i ó n S e d e j a c o m o e j e r c i c i o . 2
T e o r e m a 2 . 9 . 3 S i A ∈ M m×n(K)
, y B ∈ M m×n(K)
e s l a m a t r i z r e s u l t a d o
d e r e a l i z a r u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r c o l u m n a s t s o b r e A, s e v e r i c a
q u e
rg(A) = rg(B)
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Á l g e b r a 1 3 3
D e m o s t r a c i ó n P a r a d e m o s t r a r e l r e s u l t a d o , c o m p r o b a r e m o s q u e s i
At
−→ B,
e n t o n c e s L(A1, · · · , An) = L(B1, · · · , Bn),
c o n l o q u e rg(A) = rg(B).
D i s -
t i n g a m o s t r e s p o s i b i l i d a d e s :
a ) t ≡ C i = C i + λC j .
E n e s e c a s o t o d o s l o s v e c t o r e s c o l u m n a d e A
y
B c o i n c i d e n , s a l v o e l i − esimo; p e r o Bi = Ai + λA jy Ai = Bi − λA j =
Bi − λB j, c o n l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a e l l e m a a n t e r i o r , c o n c l u i m o s q u e
L(A1, · · · , An) = L(B1, · · · , Bn).b ) t
≡C i = λC i (λ
= 0). E n e s e c a s o t o d o s l o s v e c t o r e s c o l u m n a d e A
y B c o i n c i d e n , s a l v o e l i − esimo; p e r o Bi = λAiy Ai = (λ−1)Bi, c o n l o
q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a e l l e m a a n t e r i o r , c o n c l u i m o s q u e L(A1, · · · , An) =L(B1, · · · , Bn).
c ) F i n a l m e n t e s i t ≡ C i ↔ C j , e s o b v i o q u e L(A1, · · · , An) = L(B1, · · · , Bn).2
E s o b v i o , a p a r t i r d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , q u e s i e n l u g a r d e r e a l i z a r u n a
t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l , r e a l i z a m o s u n n ú m e r o n i t o d e e l l a s t1, · · · , tr e l
r a n g o s e c o n s e r v a . E s d e c i r , s i
A
t1
−→, · · ·tr
, −→ B,
n e c e s a r i a m e n t e rg(A) = rg(B).V a m o s a c o n s i d e r a r a h o r a u n t i p o d e m a t r i c e s c u y o r a n g o s e c a l c u l a d e
u n m o d o s e n c i l l o :
D e n i c i ó n 2 . 9 . 4 S e d i c e A ∈ M m×n(K) e s u n a m a t r i z
g a u s s i a n a s i
∀ j ∈{1, · · · , n}
l a c o l u m n a A j
d e A
v e r i c a u n a d e l a s d o s s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s :
G . 1 A j = (0) ∈ M m×1(K),
G . 2 ∃i ∈ {1, · · · , m} t a l q u e
A j(i, 1) = A(i, j) = 0 ∧ (∀k ∈ { j + 1, · · · , n} A(i, k) = 0) .
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1 3 4 Á l g e b r a
E j e m p l o 2 . 9 . 5 L a s s i g u i e n t e s m a t r i c e s s o n g a u s s i a n a s
3 0 11 0 12 0 10 0 11 0 0
,
0 11 00 10 10 0
,
0 11 0
,
0 1 1 20 1 0 00 1 1 00 1 0 0
,
1 0 00 1 00 0 1
.
S i n e m b a r g o l a m a t r i z
2 0 11 0 12 0 10 0 10 0 0
n o e s g a u s s i a n a , p u e s e l p r i m e r v e c t o r c o l u m n a n o s a t i s f a c e n i l a c o n d i c i ó n
G.1 n i l a c o n d i c i ó n G.2 .
P r o p o s i c i ó n 2 . 9 . 6 S i A ∈ M m×n(K) e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a , e n t o n c e s e l
r a n g o d e A
c o i n c i d e c o n e l n ú m e r o d e v e c t o r e s c o l u m n a n o n u l o s d e A. E n
p a r t i c u l a r , l o s v e c t o r e s c o l u m n a n o n u l o s d e l a m a t r i z g a u s s i a n a A
c o n s t i t u -
y e n u n a b a s e d e l e s p a c i o c o l u m n a d e d i c h a m a t r i z ,
L(A1, · · · , An).
D e m o s t r a c i ó n S e a
I = {i ∈ {1, · · · , n} Ai = (0)},
y s u p o n g a m o s q u e e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e I e s k.P o r e l t e o r e m a 2 . 9 . 3 p o d e m o s a p l i c a r t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r
c o l u m n a y s u p o n e r q u e l a c o l u m n a s n u l a s d e A s e a n l a s ú l t i m a s . E n t o n c e s
I = {1, · · · , k} k ≤ n.
C o n s i d e r e m o s e l s i s t e m a
(A1,· · ·
, Ak).
S i d e m o s t r a m o s q u e e l s i s t e m a (A1, · · · , Ak) e s l i b r e , h a b r e m o s c o n c l u i d o
l a d e m o s t r a c i ó n , p u e s
∀i ∈ {k + 1, · · · , n}, Ai = (0).
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Á l g e b r a 1 3 5
R a z o n a m o s p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o . S u p o n g a m o s q u e
∃(α1, · · · , αk) ∈ Kk, (α1, · · · , αk) = (0, · · · , 0),
t a l q u e
α1A1 + · · · + αkAk = (0).
E n e s e c a s o , s i e n d o
t = min{i ∈ I |αi = 0},
r e s u l t a q u e At = (0)
y , c o m o A
e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a , e x i s t i r á
h ∈ {1, · · · , m}t a l q u e
A(h, t) = γ = 0
y t a l q u e
∀s ∈ {t + 1, · · · , n}A(h, s) = 0,
o l o q u e e s l o m i s m o ,
At(h, 1) = γ
y ∀s ∈ {t + 1, · · · , n},
As(h, 1) = 0.
P e r o e n e s e c a s o t e n d r e m o s q u e
0 = (0)(h, 1) = αtAt +
· · ·+ αkAk
(h, 1) =
= αtAt(h, 1) + · · · + αkAk(h, 1) = αtγ,
d e d o n d e αt = 0, l o q u e c o n t r a d i c e q u e t = min{i ∈ I |αi = 0 }. 2
A p a r t i r d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , e s t á c l a r o e n q u é c o n s i s t e e l m é t o d o
d e G a u s s p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e u n a m a t r i z : s e t r a t a d e r e a l i z a r
t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s o b r e d i c h a m a t r i z h a s t a o b t e n e r
u n a m a t r i z g a u s s i a n a , c u y o r a n g o s e d e t e r m i n a d e m a n e r a i n m e d i a t a . E s t o e s
s i e m p r e p o s i b l e a p l i c a n d o l a s i g u i e n t e e s t r a t e g i a s o b r e l a m a t r i z c o n s i d e r a d a
A d e n c o l u m n a s :
1 . C o n s i d e r a m o s l a p r i m e r a c o l u m n a d e
A : j = 1.2 . S i
A j = (0)i r a l p a s o 4 .
3 . S i A j = (0) s e l e c c i o n a r u n c o e c i e n t e n o n u l o d e d i c h a c o l u m n a y
h a c e r c e r o s ( u t i l i z a n d o t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s ) t o d o s
l o s c o e c i e n t e s s i t u a d o s e n s u m i s m a l a a s u d e r e c h a .
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1 3 6 Á l g e b r a
4 . H a c e m o s j = j + 1.5 . S i
j = n.F I N .
6 . S i j < n i r a l p a s o 2 .
L a n u e v a m a t r i z o b t e n i d a t r a s e l p r o c e s o a n t e r i o r e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a .
E j e r c i c i o 2 . 9 . 2 D e t e r m i n a r e l r a n g o d e l a s s i g u i e n t e s m a t r i c e s : 1 2 11 1 12 0 10 1 1
,
−1 32 5
,
1 1 1 20 1 0 11 −1 1 12 1 0 1
,
1 2 10 1 12 0 2
.
O b s e r v a c i ó n 3 5 S i e l p r o b l e m a q u e s e i n t e n t a r e s o l v e r c o n s i s t e e n d e t e r -
m i n a r e l r a n g o d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s {v1, · · · , vm}
d e u n K− e.v. E
d e
d i m e n s i ó n n i t a , j a d a u n a b a s e o r d e n a d a B d e E, c o n s i d e r a r e m o s l a m a t r i z
C ∈ M n×m(K) t a l q u e ∀i ∈ {1, · · · , m}
C i = (vi)B
y r e a l i z a r e m o s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s s o b r e C h a s t a o b -
t e n e r u n a m a t r i z g a u s s i a n a .
E j e m p l o 2 . 9 . 7 E n e l R − e.v. R3
c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l
h a b i t u a l , p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e l s i s t e m a
{(2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)},
c o n s i d e r a m o s l a m a t r i z c u y a s c o l u m n a s s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s
d e l s i s t e m a a n t e r i o r r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a B3 d e R3
C =
2 1 11 1 01 0 0
y o b s e r v a m o s q u e e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a , p o r l o q u e rg(C ) = 3, i . e . ,
rg((2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) = rg((2, 1, 1)B3, (1, 1, 0)B3, (1, 0, 0)B3) == rg(C ) = 3
e s d e c i r {(2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}
e s l i b r e , y p u e s t o q u e dim(R3) = 3,
r e s u l t a
q u e e s u n a b a s e d e R3.
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Á l g e b r a 1 3 7
E j e m p l o 2 . 9 . 8 P a r a h a l l a r e l r a n g o d e l s i s t e m a d e v e c t o r e s
{1 + x − 2x2, 2 − 2x3, x − 2x2 + x3}d e l
C−e.v. P 3(C)c o n s i d e r a m o s l a b a s e B = (1, x , x2, x3), y l a m a t r i z A c u y a s
c o l u m n a s s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s d e l s i s t e m a s d a d o r e s p e c t o d e
B,e s d e c i r ,
A =
1 2 01 0 1
−2 0 −20 −2 1
.
E l r a n g o d e l s i s t e m a d e v e c t o r e s e s e l r a n g o d e A.
1 2 01 0 1
−2 0 −20 −2 1
c3 = c3 − c1−→ 1 2
−1
1 0 0−2 0 00 −2 1
c3 = c3 − 12c2−→
1 2 01 0 0
−2 0 00 −2 0
c o n l o q u e
rg(1 + x
−2x2, 2
−2x3, x
−2x2 + x3) = rg(A) = 2.
A d e m á s h e m o s o b t e n i d o q u e
L(
11
−20
200
−2
01
−21
) = L(
11
−20
200
−2
0000
) =
= L(
11
−20
200
−2
)
c o n l o q u e l o s v e c t o r e s c u y a s c o o r d e n a d a s c o r r e s p o n d e n a e s t a s d o s ú l t i m a s
m a t r i c e s c o l u m n a s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s y c o n s t i t u y e n u n a b a s e d e l
s u b e s p a c i o c o n s i d e r a d o , e s d e c i r , (1 + x − 2x2, 2 − 2x3) e s u n a b a s e d e
L(1 + x − 2x2, 2 − 2x3, x − 2x2 + x3).
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1 3 8 Á l g e b r a
U n a v e z o b t e n i d o u n m é t o d o s i s t e m á t i c o p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e
u n s i s t e m a d e v e c t o r e s , p o d e m o s a p l i c a r d i c h o m é t o d o d e f o r m a a n á l o g a a l
e j e m p l o a n t e r i o r p a r a :
•d e t e r m i n a r s i u n v e c t o r u p e r t e n e c e o n o a l a v a r i e d a d l i n e a l g e n e r a d a
p o r u n s i s t e m a d a d o d e v e c t o r e s (v1, · · · , vm), e s t u d i a n d o s i
rg(v1, · · · , vm, u) = rg(v1, · · · , vm),
•o b t e n e r u n a b a s e d e u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l a p a r t i r d e u n s i s t e m a
g e n e r a d o r d e l m i s m o .
2 . 9 . 3 A l g o r i t m o d e e x t e n s i ó n d e u n a b a s e
S e a H
u n s u b e s p a c i o d e d i m e n s i ó n k
d e u n e s p a c i o v e c t o r i a l E
d e d i m e n s i ó n
n i t a n. D a d a u n a b a s e BH = {u1, · · · , uk} d e H, q u e r e m o s d e t e r m i n a r u n
a l g o r i t m o p a r a e x t e n d e r l a b a s e BH h a s t a o b t e n e r u n a b a s e BE d e l
e s p a c i o v e c t o r i a l E, e n e l q u e H e s t á s u m e r g i d o .
S e a B u n a b a s e p r e - j a d a d e l e s p a c i o t o t a l E. E s s u c i e n t e c o n c o n s i d e r a r
l a m a t r i z U c u y a s c o l u m n a s s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s {u1, · · · , uk}
( q u e c o n s t i t u y e n l a b a s e BH d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l H ) r e s p e c t o d e l a b a s e
B , a ñ a d i r a e s a m a t r i z l o s v e c t o r e s c o l u m n a d e l a m a t r i z i d e n t i d a d d e o r d e n
l a d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o t o t a l E
( e l r a n g o d e l a n u e v a m a t r i z (U |I n) e s n)
y a p l i c a r e l m é t o d o d e G a u s s p o r c o l u m n a s s i n i n t e r c a m b i a r e l o r d e n d e
l a s c o l u m n a s . L a s n c o l u m n a s n o n u l a s d e l a m a t r i z g a u s s i a n a G o b t e n i d a
s o n l a s c o o r d e n a d a s , r e s p e c t o d e l a b a s e B,
d e l o s n
v e c t o r e s d e u n a b a s e
d e l e s p a c i o t o t a l E
( rango(G) = rango(U |I n)) . A h o r a , l a s c o l u m n a s d e l a
m a t r i z o r i g i n a l (U |I n) c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s c o l u m n a s n o n u l a s d e G d a n l a s
c o o r d e n a d a s , r e s p e c t o d e l a b a s e B, d e n v e c t o r e s q u e s o n u n a e x t e n s i ó n d e
l a b a s e BH .
E j e m p l o 2 . 9 . 9 S e a n E = R4
y B = B4 l a b a s e c a n ó n i c a d e R4. S e a H =
L(u1, u2) , d o n d e , r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a , u1 = (1, −1, 2, 0) y u2 =(1, 1, 1, 1).
E l s i s t e m a l i b r e BH =
{u1, u2
}e s u n a b a s e d e H. A p l i c a n d o e l m é t o d o d e
G a u s s a l a m a t r i z (U |I 4) s e o b t i e n e : 1 1 1 0 0 0
−1 1 0 1 0 02 1 0 0 1 00 1 0 0 0 1
c2 = c2 − c1c3 = c3 − c1
→
1 0 0 0 0 0
−1 2 1 1 0 02 −1 −2 0 1 00 1 0 0 0 1
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Á l g e b r a 1 3 9
c6 = c6−
c2→
1 0 0 0 0 0
−1 2 1 1 0
−2
2 −1 −2 0 1 10 1 0 0 0 0
c4 = c4 − c3
c6 = c6 + 2c3→1 0 0 0 0 0
−1 2 1 0 0 02 −1 −2 2 1 −30 1 0 0 0 0
c5 = c5 − 12c4
c6 = c6 + 32
c4→
1 0 0 0 0 0
−1 2 1 0 0 02 −1 −2 2 0 00 1 0 0 0 0
.
E n t o n c e s l o s v e c t o r e s d e c o o r d e n a d a s c a n ó n i c a s
{(1, −1, 2, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} f o r m a n u n a e x t e n s i ó n d e BH
a u n a b a s e d e R4.
2 . 9 . 4 R a n g o y e s p a c i o l a d e u n a m a t r i z
D e n i c i ó n 2 . 9 . 1 0 S i A ∈ M m×n(K)a l s u b e s p a c i o d e M 1×n(K)
g e n e r a d o
p o r l a s l a s d e A, L(A1, · · · , Am), s e l e d e n o m i n a e s p a c i o l a d e A.
V a m o s a d e m o s t r a r q u e l a d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o l a d e u n a m a t r i z c o i n -
c i d e c o n l a d i m e n s i ó n d e s u e s p a c i o c o l u m n a :
T e o r e m a 2 . 9 . 1 1 S i A ∈ M m×n(K) e n t o n c e s
rg(A) = dim(L(A1, · · · , Am)) = dim(L(A
1
, · · · , A
n
)).
D e m o s t r a c i ó n D a d a A ∈ M m×n(K), s u p o n g a m o s q u e (b1, · · · , bk) e s u n a
b a s e d e L(A1, · · · , Am),
d o n d e ∀i ∈ {1, · · · , k} bi = (bi1, · · · , bin).
E n e s e
c a s o
A1 = c11b1 + · · · + c1kbk
.
.
.
Am = cm1b1 + · · · + cmkbk.
A h o r a b i e n , e s t a ú l t i m a s s o n i g u a l d a d e s e n t r e v e c t o r e s d e M 1×n(K),
p o r l o
q u e l o s c o e c i e n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s d e l a s m a t r i c e s l a s i t u a d a s a a m b o s
l a d o s d e l a i g u a l d a d d e b e r á n c o i n c i d i r , e s d e c i r , ∀ j ∈ {1, · · · , n}a1 j = c11b1 j + · · · + c1kbkj
.
.
.
amj = cm1b1 j + · · · + cmkbkj .
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1 4 0 Á l g e b r a
L a s i g u a l d a d e s a n t e r i o r e s s e p u e d e n e x p r e s a r m a t r i c i a l m e n t e ∀ j ∈ {1, · · · , n}
d e l s i g u i e n t e m o d o : a1 j.
.
.
amj
= b1 j
c11.
.
.
cm1
+ · · · + bkj
c1k
.
.
.
cmk
P e r o d e e s t a s i g u a l d a d e s s e s i g u e q u e
A1, · · · , An ∈ L(
c11.
.
.
cm1
, · · · ,
c1k
.
.
.
cmk
)
c o n l o q u e
dim(L(A1, · · · , An)) ≤ k.
P e r o k = dim(L(A1, · · · , Am)), c o n l o q u e h e m o s p r o b a d o q u e
dim(L(A1, · · · , An)) ≤ dim(L(A1, · · · , Am)).
P o r o t r a p a r t e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a m a t r i z c o n s i d e r a d a A
e r a u n a
m a t r i z a r b i t r a r i a , p o d e m o s a p l i c a r e l r a z o n a m i e n t o a n t e r i o r a l a m a t r i z
tAo b t e n i e n d o :
dim(e s p a c i o c o l u m n a d e
tA) ≤ dim( e s p a c i o l a d e
tA),
p e r o e s t a d e s i g u a l d a d e s e q u i v a l e n t e a l a s i g u i e n t e :
dim(e s p a c i o l a d e A) ≤ dim(
e s p a c i o c o l u m n a d e A),
c o n l o q u e , e n d e n i t i v a , o b t e n e m o s q u e
dim(L(A1, · · · , Am)) = dim(L(A1, · · · , An)).
2
O b s e r v a c i ó n 3 6 D e f o r m a a n á l o g a a c o m o s e h a v i s t o c o n l a s c o l u m n a s ,
s e p u e d e d e m o s t r a r q u e l a s o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s n o c a m b i a n e l
r a n g o d e u n a m a t r i z . C o m o c o n s e c u e n c i a d e l t e o r e m a a n t e r i o r , e l r a n g o
d e u n a m a t r i z s e p u e d e o b t e n e r t a m b i é n o p e r a n d o p o r l a s e n l u g a r d e p o r
c o l u m n a s . D e h e c h o , n o e s d i f í c i l c o n v e n c e r s e d e q u e l o s v e c t o r e s l a d i s t i n t o s
d e c e r o d e u n a m a t r i z e n f o r m a e s c a l o n a d a c o n s t i t u y e n u n a b a s e d e l e s p a c i o
l a d e A,
p o r l o q u e e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a p o r l a s e s u n m é t o d o
a l t e r n a t i v o a l m é t o d o d e G a u s s v i s t o p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e u n a m a t r i z .
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Á l g e b r a 1 4 1
C o m o c o l o f ó n , y p a r a n a l i z a r e s t a p a r t e d e l c a p í t u l o , v a m o s a r e c o g e r
e n u n t e o r e m a v a r i o s r e s u l t a d o s e q u i v a l e n t e s c o m o c o n s e c u e n c i a d e t o d o l o
v i s t o :
T e o r e m a 2 . 9 . 1 2 S i A ∈ M n(K)
s o n e q u i v a l e n t e s :
1 . A e s i n v e r t i b l e .
2 . E l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s AX = (0) s ó l o t i e n e l a s o l u c i ó n
t r i v i a l .
3 . A e s e q u i v a l e n t e p o r l a s a I n.
4 . E l s i s t e m a AX = b e s c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o p a r a t o d a m a t r i z c o -
l u m n a s b ∈ M n×1(K).
5 . rg(A) = n.
6 . L o s v e c t o r e s l a d e A s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
7 . L o s v e c t o r e s c o l u m n a d e A s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e .
8 . det(A) = 0.
( E s t a ú l t i m a c o n d i c i ó n q u e d a r á e s t a b l e c i d a m á s c l a r a m e n -
t e d e s p u é s d e r e a l i z a r l a p r á c t i c a 2 e n e l a u l a i n f o r m á t i c a ) .
2 . 1 0 E j e r c i c i o s
2 . 1 0 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s
1 . E n c o n t r a r u n v e c t o r u d i f e r e n t e d e c e r o c u y o p u n t o i n i c i a l e s P =(−1, 3, −5) t a l q u e
a ) u t i e n e l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e v = (6, 7, −3).
b ) u
t i e n e d i r e c c i ó n o p u e s t a a l a d e v = (6, 7, −3).
2 . S e a n u = (−3, 1, 2), v = (4, 0, −8),y w = (6, −1, −4). E n c o n t r a r l o s
e s c a l a r e s c1, c2, c3 t a l e s q u e c1u + c2v + c3w = (2, 0, 4).
3 . D e m o s t r a r q u e n o e x i s t e n l o s e s c a l a r e s c1, c2, c3 t a l e s q u e c1(−2, 9, 6)+c2(−3, 2, 1) + c3(1, 7, 5) = (0, 5, 4).
4 . S e a n P e l p u n t o (2, 3, −2) y Q e l p u n t o (7, −4, 1).
a ) E n c o n t r a r e l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e u n e a P y Q.
b ) E n c o n t r a r e l p u n t o s o b r e e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e u n e a P
y Q
y e s t á
a
34 d e l a d i s t a n c i a d e P a Q.
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1 4 2 Á l g e b r a
5 . S u p o n e r q u e l a t r a s l a c i ó n d e u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s xy s e h a c e p a r a
o b t e n e r u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s
xyc u y o o r i g e n
Ot i e n e l a s c o o r d e n a d a s
(2, −3).a ) E n c o n t r a r l a s c o o r d e n a d a s
xyd e l p u n t o
P c u y a s c o o r d e n a d a s
xys o n
(7, 5).b ) E n c o n t r a r l a s c o o r d e n a d a s xy d e l p u n t o Q c u y a s c o o r d e n a d a s xy
s o n
(−3, 6).c ) T r a z a r l o s e j e s d e c o o r d e n a d a s xy y xy
y l o c a l i z a r l o s p u n t o s P y
Q.
6 . D e m o s t r a r g e o m é t r i c a m e n t e q u e s i u y v s o n v e c t o r e s e n e l e s p a c i o
b i d i m e n s i o n a l o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l , e n t o n c e s
u + v ≤ u + v .
7 . a ) D e m o s t r a r q u e v = (a, b) y w = (−b, a) s o n v e c t o r e s o r t o g o n a l e s .
b ) U s a r e l r e s u l t a d o d e l i n c i s o a ) p a r a e n c o n t r a r d o s v e c t o r e s q u e s e a n
o r t o g o n a l e s a v = (2, −3).c ) E n c o n t r a r d o s v e c t o r e s u n i t a r i o s q u e s e a n o r t o g o n a l e s a
(−3, 4).
8 . E x p l i c a r p o r q u é c a d a u n a d e l a s s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s c a r e c e d e
s e n t i d o .
S i u,v,w s o n v e c t o r e s e n e l p l a n o o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l y k e s u n
n ú m e r o r e a l ,
a ) u · (v · w).
b ) (u · v) + w.c )
u · v .d ) k · (u + v).
9 . S e a n v e c t o r e s i, j y k u n i t a r i o s a l o l a r g o d e l o s e j e s p o s i t i v o s x, y y z d e u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l . S i
v = (a,b,c) e s u n v e c t o r d i f e r e n t e d e c e r o , e n t o n c e s l o s á n g u l o s α,β,y γ e n t r e
v y l o s v e c t o r e s i, j y k , r e s p e c t i v a m e n t e , s e d e n o m i n a n á n g u l o s d i r e c t o r e s d e
v, y l o s n ú m e r o s
cos(α), cos(β )y
cos(γ )s e d e n o m i n a n c o s e n o s d i r e c t o r e s d e
v.a ) D e m o s t r a r q u e cos(α) = a
v .
b ) E n c o n t r a r cos(β )
y cos(γ ).
c ) D e m o s t r a r q u e
vv = (cos(α), cos(β ), cos(γ )).
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Á l g e b r a 1 4 3
d ) D e m o s t r a r q u e cos2(α) + cos2(β ) + cos2(γ ) = 1.
1 0 . D e m o s t r a r q u e s i v e s o r t o g o n a l t a n t o a w1 c o m o a w2 , e n t o n c e s v e s
o r t o g o n a l a k1w1 + k2w2 p a r a t o d o s l o s e s c a l a r e s k1 y k2.
1 1 . E n c o n t r a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s
p u n t o s d a d o s .
a ) P = (5, −2, 4) y Q = (7, 2, −4).b )
P = (0, 0, 0)y
Q = (2, −1, −3).
1 2 . D e m o s t r a r q u e l a r e c t a
r : x = 0
y = tz = t ∞ < t < ∞a ) p e r t e n e c e a l p l a n o π1 : 6x + 4y − 4z = 0,b ) e s p a r a l e l a a l p l a n o π2 : 5x − 3y + 3z = 1 y e s t á p o r a b a j o d e é s t e ,
c ) e s p a r a l e l a a l p l a n o π3 : 6x + 2y − 2z = 1 y e s t á p o r a r r i b a d e é s t e .
1 3 . E n c o n t r a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π1 q u e p a s a p o r e l p u n t o P =(3, −6, 7) y e s p a r a l e l o a l p l a n o π2 : 5x − 2y + z − 5 = 0.
1 4 . D e m o s t r a r q u e l a s r e c t a s
r1 :
x − 3 = 4ty − 4 = tz − 1 = 0
∞ < t < ∞y r2 :
x + 1 = 12sy − 7 = 6sz − 5 = 3s
, ∞ < s < ∞
s e c o r t a n y e n c o n t r a r e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n .
1 5 . H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π
q u e c o n t i e n e l a s r e c t a s d e l e j e r c i c i o
1 5 .
1 6 . D e m o s t r a r q u e s i v e s u n v e c t o r d i f e r e n t e d e c e r o e n Rn, e n t o n c e s
vv
t i e n e l a n o r m a e u c l í d e a 1 .
1 7 . ¾ P a r a q u é v a l o r e s d e k s e c u m p l e q u e u y v s o n o r t o g o n a l e s ?
a ) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k).
b ) u = (k,k, 1), v = (k, 5, 6).
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1 4 4 Á l g e b r a
1 8 . D e m o s t r a r l a i d e n t i d a d u + v2 + u − v2 = 2u2 + 2v2
p a r a
v e c t o r e s e n Rn
.I n t e r p r e t a r g e o m é t r i c a m e n t e e s t e r e s u l t a d o e n
R2
.1 9 . D e m o s t r a r q u e s i
uy
vs o n v e c t o r e s o r t o g o n a l e s e n
Rnt a l e s q u e
u = 1 y v = 1 , e n t o n c e s d(u, v) =
√ 2. I n t e r p r e t a r g e o m é t r i c a m e n t e e s t e
r e s u l t a d o e n R2.
2 0 . S e a ( F (R,R), +, ◦)
e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e l a s f u n c i o n e s d e R
e n R.
D e t e r m i n a r s i l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s s o n o n o s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e
F (R,R) :a )
{f ∈ F (R,R) |∀x ∈ R f (x) = f (−x)} .b )
{f ∈ F (R,R) | f (1) = 0} .c )
{f ∈ F (R
,R
) | f (2) = f (3)} .2 1 . D e m o s t r a r q u e e l s u b c o n j u n t o H f o r m a d o p o r t o d a s l a s n − tuplas
d e n ú m e r o s r e a l e s t a l e s q u e l o s e l e m e n t o s d e c a d a n − tupla f o r m a n u n a
p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a , e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e Rn.
2 2 . S e d i c e q u e A ∈ M n(K)e s s i m é t r i c a s i
tA = A. S i d e n o t a m o s p o r
S n(K) a l c o n j u n t o d e l a s m a t r i c e s s i m é t r i c a s d e o r d e n n, d e m o s t r a r q u e S n(K)e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e M n(K).
R e c o r d e m o s q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s a n t i s i m é t r i c a s i
tA = −A.¾ C o n s t i t u y e n l a s m a t r i c e s a n t i s i m é t r i c a s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e
M n(K)?J u s t i f í q u e s e l a r e s p u e s t a .
2 3 . E n R4
s e c o n s i d e r a e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l H = L(A) g e n e r a d o p o r e l
c o n j u n t o A d e v e c t o r e s A = {(1, −1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (2, −1, 1, 0), (3, −3, 0, 0).¾ P e r t e n e c e e l v e c t o r (1, 1, 1, 0) a l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l H ?
2 4 . E n e l R − e.v. R3
c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l h a b i t u a l
d e t e r m i n a r s i l o s s i s t e m a s d e v e c t o r e s
(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) y (1, 2, 3), (2, 0, 1), (−1, 2, 2)
s o n l i b r e s o l i g a d o s .
2 5 . C o n s i d e r a m o s e l Z2−e s p a c i o v e c t o r i a l d e l o s b y t e s (
Z82, +, ·)
c o n l a
s u m a y p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s y a d e n i d o s . S e p i d e d e t e r m i n a r s i e l s i s t e m a
d e v e c t o r e s
(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)
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Á l g e b r a 1 4 5
e s l i b r e o l i g a d o y h a l l a r e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l g e n e r a d o p o r e l c o n j u n t o d e
e s o s d o s v e c t o r e s .
2 6 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 4(C) d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o
i g u a l q u e 4 c o n c o e c i e n t e s e n C
s e c o n s i d e r a e l p o l i n o m i o p(x) = x4−x2 + 2.D e m o s t r a r q u e e l s i s t e m a
p(x), p(x), p(x), p(x)f o r m a d o p o r e l p o l i n o m i o
p(x) y s u s s u c e s i v a s d e r i v a d a s ( h a s t a l a t e r c e r a ) e s u n s i s t e m a l i b r e .
2 7 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l F (N,R) d e l a s s u c e s i o n e s d e n ú m e r o s r e a l e s ,
c o n l a s u m a y p r o d u c t o h a b i t u a l e s , c o n s i d e r a m o s e l c o n j u n t o
H = {(xn) ∈ F (N,R) |∀n ∈ N xn+2 = xn+1 + xn}
a ) D e m o s t r a r q u e H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e F (N,R).
b ) C o m p r o b a r q u e dim(H ) = 2.
2 8 . H a l l a r e l r a n g o d e l a s s i g u i e n t e s m a t r i c e s :
A =
1 3 22 1 10 2 0
, B =
1 3 0 2
−1 1 2 12 2 3 01 6 2 25 1 1 0
, C =
1 0 1 7 1 12 1 2 1 3 41 2 1 1 3 1
.
2 9 . E n c o n t r a r u n a b a s e y h a l l a r l a d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o d e m a t r i c e s
t r i a n g u l a r e s s u p e r i o r m e n t e T n(K).T n(K) = { A = ( a ij )
∈ M n(K) | a ij = 0 s i j < i } .
3 0 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l Z52, h a l l a r u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l
H = L({ 0 1 0 1 1
,
0 1 0 0 1
,
0 0 0 1 0
,
0 1 1 1 1
}).
3 1 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l R3, h a l l a r u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l
H = L({(3, 2, −1), (1, 1, 1), (4, 3, 0)}).
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1 4 6 Á l g e b r a
2 . 1 0 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s
1 . S e a S 2 = (O, (e1, e2)) e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s c a n ó n i c o
d e R2 :
O = (0, 0), e1 = (1, 0), e2 = (0, 1).
a ) D a d o e l v e c t o r v = (2, 3), h a l l a r l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s
v + e1, v − e1,1
2v.
b ) C o m p r o b a r g e o m é t r i c a m e n t e l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s e n e l a p a r t a d o
a ) .
2 . S e a S 2 = (O, (e1, e2))
e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s c a n ó n i c o
d e R2
y s e a n OP = (1, 2) y OQ = (2, 1) d o s v e c t o r e s d e R2.
a ) D e t e r m i n a r l a s c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r P Q
e n S 2.
b ) D e t e r m i n a r l a s c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r P Q e n e l s i s t e m a o r t o g o n a l
S 2 o b t e n i d o s p o r t r a s l a c i ó n d e O a l p u n t o O = (−2, 1).
c ) C a l c u l a r l a s n o r m a s d e l v e c t o r P Q u t i l i z a n d o s u s c o o r d e n a d a s e n S 2y S 2. ¾ S o n i g u a l e s l a s d i s t a n c i a s e n t r e OP y OQ y e n t r e OP y OQ?
3 . E n R3,
c o n e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s c a n ó n i c o S 3 =
(O, (e1, e2, e3)) :
O = (0, 0, 0), e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1),
s e a n v = (−1, 0, 1), w = (1, −1, 2) y θ e l á n g u l o e n t r e v y w (0 ≤ θ ≤π).
a ) C a l c u l a r cos(θ) u t i l i z a n d o l a l e y d e l o s c o s e n o s :
w − v2 = v2 + w2 − 2vwcos(θ).
b ) U s a n d o l a s c o o r d e n a d a s d e v y w, h a l l a r e l p r o d u c t o e s c a l a r v · w y
v e r i c a r l a i d e n t i d a d
v · w = vwcos(θ).
c ) ¾ Q u é t i p o d e á n g u l o f o r m a n v y w ?
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Á l g e b r a 1 4 7
4 . D e m o s t r a r q u e e n R2
e l v e c t o r n = (a, b) = (0, 0) e s o r t o g o n a l a t o d a s
l a s r e c t a s d e e c u a c i ó n
ax + by + c = 0, (c ∈ R).
5 . S e a n v = (−1, 0, 1) y w = (1, −1, 2) l o s v e c t o r e s d e l p r o b l e m a a n t e r i o r .
a ) C a l c u l a r l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e w s o b r e v, pv(w), y l a c o m p o -
n e n t e v e c t o r i a l d e w o r t o g o n a l a v.
b ) H a l l a r pv(w) y
p2v(w).
6 . E n e s t e p r o b l e m a s t r a b a j a m o s e n R3c o n e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s S 3.
a ) H a l l a r l o s v e c t o r e s
e1 × e2, e2 × e3, e3 × e1.
b ) D e m o s t r a r l a i d e n t i d a d d e L a g r a n g e :
u × v2 = u2v2 − (u · v)2
y , u s a n d o l a i d e n t i d a d
u · v = uvcos(θ) ∀u, v ∈ R3,
d e d u c i r q u e
u
×v
=
u
v
sen(θ).
c ) S e a n u = (1, −1, 2) y v = (0, 3, 1). C a l c u l a r e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o
d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s u
y v.
d ) V e r i c a r q u e p a r a t o d o p a r d e v e c t o r e s u y v e n R3\{(0, 0, 0)}, u×v
e s o r t o g o n a l a u y a v.
7 . E n e s t e p r o b l e m a s s e g u i m o s t r a b a j a n d o e n R3
c o n e l s i s t e m a d e c o o r -
d e n a d a s S 3.
a ) S e a n u, v y w t r e s v e c t o r e s e n R3. V e r i c a r q u e e l n ú m e r o r e a l
|u · (v × w)| e s e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o P d e n i d o p o r u, v y w.( S e u t i l i z e e l h e c h o d e q u e l a a l t u r a
hd e l p a r a l e l e p í p e d o
P s e p u e d e
e s c r i b i r c o m o h = p(v×w)(u).)
b ) C a l c u l a r e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s
u = (1, 0, 2), v = (0, 1, 2), w = (1, 1, 1).
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1 4 8 Á l g e b r a
8 . S e a n P 0 = (1, 2) y P 1 = (−1, 1) d o s p u n t o s e n R2.
H a l l a r l a s e c u a c i o n e s v e c t o r i a l , g e n e r a l i m p l í c i t a , p a r a m é t r i c a s y p e n d i e n t e -
o r d e n a d a e n e l o r i g e n d e l a r e c t a l q u e p a s a p o r P 0 y P 1.
9 . S e a n P 0 = (x0, y0) ∈ R2
y r
l a r e c t a d e e c u a c i ó n ax + by + c = 0.
a ) D e m o s t r a r q u e l a d i s t a n c i a e n t r e P 0 y r e s
d(P 0, r) =|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2.
b ) C a l c u l a r l a d i s t a n c i a e n t r e P 0 = (0, 1) y r : 2x − y + 3 = 0.
1 0 . E n R3,
e n c o n t r a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π
q u e p a s a p o r e l p u n t o P 0 =
(1, 0, −1) y e s o r t o g o n a l a l v e c t o r n = (2, −1, 5).
1 1 . E n R3, u s a n d o l a f ó r m u l a d e l a d i s t a n c i a e n t r e u n p u n t o P 0 = (x0, y0, z 0)
y u n p l a n o π : ax + by + cz + d = 0 :
d(P 0, π) =|ax0 + by0 + cz 0 + d|√
a2 + b2 + c2,
a ) c a l c u l a r l a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o P 0 d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s r e c t a s
d e e c u a c i o n e s
r :
x = −3 + 2k
y = 3k
z =2
3− k
y s :
x = −1 + t
y = 2 − 3t
z = t
(k, t ∈ R)
y e l p l a n o π : 2x − y + z = 0.
b ) C a l c u l a r e l c o s e n o d e l á n g u l o q u e f o r m a n l a s r e c t a s r y s.
1 2 . D e t e r m i n a r s i e x i s t e n v a l o r e s d e l o s p a r á m e t r o s r e a l e s
sy
tt a l e s q u e
l a r e c t a l e n R3
d e e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s sx + 3y + z = 0
−x + ty + 2z + 1 = 0,
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Á l g e b r a 1 4 9
t e n g a e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s
x = 2k
y = −1
2+ k
z =3
2− 3k
(k ∈ R).
1 3 . D e s c r i b i r t o d o s l o s s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e R3
q u e c o n t i e n e n a l p u n t o
P = (1, 1, 1).
1 4 . S e a M m,n(R) e l R−
e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s d e s u -
m a d e m a t r i c e s y m u l t i p l i c a c i ó n d e u n a m a t r i z p o r u n e s c a l a r u s u a l e s .
S e a C[x] e l
C−e s p a c i o v e c t o r i a l d e l o s p o l i n o m i o s c o n c o e c i e n t e s n ú -
m e r o s c o m p l e j o s y c o n l a s o p e r a c i o n e s d e s u m a d e f u n c i o n e s y m u l t i -
p l i c a c i ó n p o r u n e s c a l a r u s u a l e s .
E s c r i b i r e x p l í c i t a m e n t e l a s o p e r a c i o n e s q u e h a c e n d e l p r o d u c t o c a r t e -
s i a n o M m,n(R) × C[x] u n R−
e s p a c i o v e c t o r i a l .
1 5 . S e a M e l s u b c o n j u n t o d e M m,n(Z2) d e n i d o p o r
M =
{0 x y
z 0 u : x,y,z,u
∈Z2
}.
a ) E s c r i b i r M c o m o u n c o n j u n t o d e f u n c i o n e s d e N2 ×N3 e n
Z2 q u e s e
a n u l a n s o b r e u n s u b c o n j u n t o S d e N2 × N3.
b ) V e r i c a r q u e M
e s u n Z2− e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c t o d e l a s o p e r a -
c i o n e s u s u a l e s d e s u m a d e m a t r i c e s y p r o d u c t o d e u n a m a t r i z p o r u n
e s c a l a r .
1 6 . D e t e r m i n a r l o s v a l o r e s r e a l e s d e l p a r á m e t r o λ
t a l e s q u e l o s s i g u i e n t e s
v e c t o r e s s e a n u n s i s t e m a l i b r e e n R3 :
v1 = (λ, −1
2, −1
2), v2 = (−1
2, λ, −1
2), v3 = (−1
2, −1
2, λ).
I n t e r p r e t a r g e o m é t r i c a m e n t e l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s .
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1 5 0 Á l g e b r a
1 7 . V e r i c a r s i l o s s i g u i e n t e s s u b c o n j u n t o s d e l e s p a c i o d e t o d a s l a s f u n c i o n e s
r e a l e s ,
F (R
,R
),s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s :
S = {1,sen(x),sen(2x)},
T = {(3 − x)2, x2 − 6x, 5}.
1 8 . S e a n u = (1, 1, 1), v = (1, 1, x) y w = (x, 1, 1) t r e s v e c t o r e s e n R3,
s i e n d o x u n p a r á m e t r o r e a l .
S e a H = L(u,v,w)
e l s u b e s p a c i o d e R3
g e n e r a d o p o r u, v
y w.
D e t e r m i n a r p a r a q u é v a l o r e s d e x e l s u b e s p a c i o H e s u n a r e c t a , u n
p l a n o o t o d o R3.
1 9 . a ) V e r i c a r q u e p a r a t o d o n ∈ N, e l s i s t e m a Bn = (1, x , x2, · · · , xn) e s
u n a b a s e d e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o i g u a l
q u e n, P n(R).
( U t i l i z a r i n d u c c i ó n s o b r e n
y l a c o n t i n u i d a d d e l o s p o l i n o m i o s )
b ) D e t e r m i n a r s i e l s i s t e m a B = (1, x−1, (x−1)2, (x−1)3) e s u n a b a s e
d e P 3(R).
c ) E s c r i b i r l a s c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r p(x) = 3x3 − 3
e n t é r m i n o s d e
l a s b a s e s B3 y B.
2 0 . S e a
H = {
a bc −(a + b + c)
: a,b,c ∈ R}.
a ) V e r i c a r q u e H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e M 2(R).
b ) H a l l a r u n a b a s e B d e H.
c ) C o m p l e t a r B
a u n a b a s e d e M 2(R).
2 1 . E n e l R−
e s p a c i o v e c t o r i a l F (N,R)
d e l a s s u c e s i o n e s r e a l e s s e a
H = {(xn)n∈N : ∀n ≥ 2, xn+1 = 2xn − 3xn−1}.
a ) D e m o s t r a r q u e H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e F (N,R).
b ) C o m p r o b a r q u e l a d i m e n s i ó n d e H e s 2 .
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Á l g e b r a 1 5 1
2 2 . A p l i c a r e l t e o r e m a d e R o u c h é - F r ö b e n i u s
a ) p a r a v e r i c a r s i e l v e c t o r
p(x) = x3
− 2x + 1p e r t e n e c e a l s u b e s p a c i o
L(x3 − 1, x + 2)d e P 3(R),
b ) p a r a d e t e r m i n a r s i e l s i s t e m a (x3 − 1, x + 2, x2, x − 1) e s u n a b a s e d e
P 3(R).
2 3 . C a l c u l a r e l r a n g o d e l a s m a t r i c e s
A =
1 1 1 02 1 2 01 0 0 1
∈ M 3,4(Z3) B =
2 −1 50 4 16 1 16
∈ M 3(R).
2 4 . U t i l i z a r e l m é t o d o d e G a u s s p a r a h a l l a r u n a b a s e d e l C−s u b e s p a c i o d e
C3 :L((1, 0, i), (i, 0, 0), (0, −i, 4), (1, 1, 1)).
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1 5 2 Á l g e b r a
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C a p í t u l o 3
F u n c i o n e s l i n e a l e s
O t r a d e l a s c a r a c t e r í s t i c a s e s e n c i a l e s e s t r e c h a m e n t e r e l a c i o n a d a c o n e l c o n -
c e p t o d e e s p a c i o v e c t o r i a l t i e n e q u e v e r c o n l a s p r o p i e d a d e s d e p r o p o r c i o -
n a l i d a d y
a d i t i v i d a d , p r o p i e d a d e s é s t a s q u e s i e m p r e s e s a t i s f a c e n e n l o s
p r o b l e m a s m a t e m á t i c o s d e n o m i n a d o s p r o b l e m a s l i n e a l e s . L a p r o p i e d a d
d e a d i t i v i d a d c o n s i s t e e n q u e s i l o s v e c t o r e s u
y v
s o n s o l u c i o n e s d e l p r o -
b l e m a , e n t o n c e s e l v e c t o r u + v
t a m b i é n e s s o l u c i ó n d e d i c h o p r o b l e m a y l a
p r o p o r c i o n a l i d a d e n q u e s i e l v e c t o r u
e s u n a s o l u c i ó n d e l p r o b l e m a , e n t o n c e s
e l v e c t o r α · ut a m b i é n l o e s , s i e n d o n o r m a l m e n t e α u n n ú m e r o r e a l o u n
n ú m e r o c o m p l e j o .
H a y q u e d e c i r q u e e n c u a l q u i e r c a s o l o s p r o b l e m a s l i n e a l e s s o n m á s
s e n c i l l o s d e r e s o l v e r q u e l o s n o l i n e a l e s y e n m u c h a s o c a s i o n e s r e s o l v e r u n
p r o b l e m a n o l i n e a l c o n s i s t e , a l m e n o s e n u n a p r i m e r a a p r o x i m a c i ó n , e n p l a n -
t e a r y r e s o l v e r u n p r o b l e m a l i n e a l q u e a p r o x i m e , v a l g a l a r e d u n d a n c i a , e l
p r o b l e m a n o l i n e a l p l a n t e a d o .
E n e s t e c a p í t u l o s e d e n e n y e s t u d i a n l a s f u n c i o n e s l i n e a l e s e n t r e e s p a c i o s
v e c t o r i a l e s . L a s f u n c i o n e s l i n e a l e s s o n l a s m á s n a t u r a l e s e n e l c o n t e x t o d e l
á l g e b r a l i n e a l y a q u e , p o r s u d e n i c i ó n , r e s p e c t a n l a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o
v e c t o r i a l .
V e r e m o s q u e u n a f u n c i ó n l i n e a l s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r m e d i o d e u n a
m a t r i z d e t e r m i n a d a p o r l a e l e c c i ó n d e b a s e s e n s u d o m i n i o y c o d o m i n i o .
E s t e h e c h o n o s p e r m i t e t r a b a j a r d e s d e d o s p u n t o s d e v i s t a d i s t i n t o s p e r o
e s t r e c h a m e n t e r e l a c i o n a d o s : u n p r i m e r m á s a n a l í t i c o , q u e s e b a s a e n e l u s o
d e l a s p r o p i e d a d e s g e n e r a l e s d e l a s f u n c i o n e s y u n s e g u n d o m á s a l g e b r a i c o ,
d o n d e t i e n e m a y o r i m p o r t a n c i a l a t e o r í a m a t r i c i a l .
1 5 3
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1 5 4 Á l g e b r a
3 . 1 F u n c i o n e s l i n e a l e s
C o m o v i m o s , u n a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e u n c u e r p o e s t á c a r a c -
t e r i z a d a p o r l a e x i s t e n c i a d e l a s o p e r a c i o n e s d e s u m a d e v e c t o r e s y p r o d u c t o
d e u n v e c t o r p o r u n e s c a l a r , c o n l o s a x i o m a s d e l a d e n i c i ó n 2 . 2 . 1 .
E n t o n c e s , s i t e n e m o s d o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s s o b r e e l m i s m o c u e r p o , e s
n a t u r a l p r e g u n t a r s e s i e x i s t e n f u n c i o n e s e n t r e e s t o s d o s e s p a c i o s t a l e s q u e
r e l a c i o n e s e n t r e v e c t o r e s e n e l p r i m e r o ( e l d o m i n i o d e l a f u n c i ó n ) s e p u e d a n
c o m p a r a r y t r a n s f o r m a r e n r e l a c i o n e s e n t r e v e c t o r e s d e l s e g u n d o ( e l c o d o m i -
n i o d e l a f u n c i ó n ) .
L a s i g u i e n t e d e n i c i ó n r e s p o n d e a l a p r e g u n t a a n t e r i o r : l a f u n c i ó n b u s c a d a
t i e n e q u e s e r t a l q u e a l a s u m a d e d o s v e c t o r e s e n s u d o m i n i o s e l e c o r r e s p o n d a
e l v e c t o r s u m a d e l a s i m á g e n e s d e e s t o s d o s v e c t o r e s e n e l c o d o m i n i o y q u e
a l p r o d u c t o d e u n v e c t o r p o r u n e s c a l a r e n e l d o m i n i o s e l e c o r r e s p o n d a e l
p r o d u c t o p o r e l m i s m o e s c a l a r d e l a i m a g e n d e l v e c t o r e n e l c o d o m i n i o .
D e n i c i ó n 3 . 1 . 1 S e a n (E, +, ·)
y (E, ⊕, ∗)
d o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s s o b r e
e l m i s m o c u e r p o K. D i r e m o s q u e l a f u n c i ó n f : E → Ee s
l i n e a l ( o
t a m b i é n , q u e e s u n h o m o m o r s m o d e K− e.v.), s i f s a t i s f a c e l a s s i g u i e n t e s
p r o p i e d a d e s :
1 . ∀u, v ∈ E, f (u + v) = f (u) ⊕ f (v);
2 .
∀u
∈E,
∀α
∈K, f (α
·u) = α
∗f (u).
O b s e r v a c i ó n 3 7 E s u s u a l d e n o t a r c o n l o s m i s m o s s í m b o l o s + y ·
l a s u m a
y e l p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s d e n i d o s s o b r e l o s e s p a c i o s E
y E, p u e s t o q u e e n
c a s i t o d o s l o s c a s o s , l a n a t u r a l e z a d e l a o p e r a c i ó n v i e n e d e t e r m i n a d a d e f o r m a
u n í v o c a p o r l a n a t u r a l e z a d e l o s o p e r a n d o s : o b v i a m e n t e , s i u ∈ E, e n t o n c e s
f (u) ∈ E. C o n e s t e c o n v e n i o d e n o t a c i ó n , s i e n d o E
y E
d o s K − e.v., u n a
f u n c i ó n f : E → Ee s l i n e a l s i s a t i s f a c e l a s p r o p i e d a d e s :
1 . ∀u, v ∈ E, f (u + v) = f (u) + f (v)
2 .
∀u
∈E,
∀α
∈K, f (αu) = αf (u)
P r o p o s i c i ó n 3 . 1 . 2 S i e n d o E
y E K − e.v., s e v e r i c a q u e l a f u n c i ó n f :
E → Ee s l i n e a l s i y s ó l o s i
∀u, v ∈ E, ∀α, β ∈ K, s e v e r i c a q u e
f (αu + βv) = αf (u) + βf (v).
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Á l g e b r a 1 5 5
D e m o s t r a c i ó n ⇒ ” S u p o n g a m o s q u e f : E → E
e s l i n e a l , o l o q u e e s
l o m i s m o , q u e
f s a t i s f a c e l a s c o n d i c i o n e s 1 y 2 d e l a d e n i c i ó n 3 . 1 . 1 . D a d o s
u, v ∈ Ey α, β ∈ K, p o r l a c o n d i c i ó n 1 r e s u l t a q u e
f (αu + βv) = f (αu) + f (βv) =
=( p o r l a c o n d i c i ó n 2 )
=
= αf (u) + βf (v).
⇐
R e c í p r o c a m e n t e , s u p o n g a m o s q u e ∀u, v ∈ E ∀α, β ∈ K s e v e r i c a
q u e
f (αu + βv) = αf (u) + βf (v).
H a y q u e d e m o s t r a r q u e f s a t i s f a c e l a s c o n d i c i o n e s 1 y 2 d e l a d e n i c i ó n 3 . 1 . 1 .
D a d o s u, v ∈ E, t o m a n d o α = β = 1, r e s u l t a q u e
f (u + v) = f (1 · u + 1 · v) =
= 1 · f (u) + 1 · f (v) =
= f (u) + f (v),
c o n l o q u e s e s a t i s f a c e l a c o n d i c i ó n 1 . P o r o t r a p a r t e , d a d o s u ∈ Ey α ∈ K,
r e s u l t a q u e
f (αu) = f (αu + 0u) = αf (u) + 0f (u) = αf (u),
c o n l o q u e s e s a t i s f a c e l a c o n d i c i ó n 2 . 2
E l s i g u i e n t e e j e r c i c i o n o s m u e s t r a c ó m o s e t r a n s f o r m a n l a s c o m b i n a c i o n e s
l i n e a l e s a l a p l i c a r l e s u n a f u n c i ó n l i n e a l .
E j e r c i c i o 3 . 1 . 1 D e m o s t r a r q u e , s i e n d o E
y E K − e.v.,
y f : E → E
u n a
f u n c i ó n l i n e a l , s i e n d o u1,....,un c u a l q u i e r s i s t e m a d e v e c t o r e s d e E
s e v e r i c a
q u e ∀(α1,....,αn) ∈ Kn, f
n
i=1
αiui
=
ni=1
αif (ui).
I n d i c a c i ó n : R a z o n a r p o r i n d u c c i ó n s o b r e “n”.
N o t a : N ó t e s e q u e u n e n u n c i a d o e q u i v a l e n t e a l d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r s e r í a :
s i f : E → E e s l i n e a l s e v e r i c a q u e
∀n ∈ N,∀u1,....,un ∈ E
y
∀α1,....,αn ∈ K,
f
n
i=1
αiui
=
ni=1
αif (ui).
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1 5 6 Á l g e b r a
E j e m p l o 3 . 1 . 3 S i e n d o E
u n K− e.v., l a f u n c i ó n
i d e n t i d a d , IdE : E → E,
e s l i n e a l p u e s t o q u e
i ) d a d o s u, v ∈ E, s e t i e n e
IdE (u + v) = u + v = IdE (u) + IdE (v);
i i ) s i u ∈ E
y α ∈ K, IdE (αu) = αu = αIdE (u).
E j e m p l o 3 . 1 . 4 S i e n d o E
y E
d o s K− e.v., l a f u n c i ó n f : E → E
d e n i d a
p o r f (u) = 0 ∀u ∈ E, e s l i n e a l y s e l l a m a r á t r a n s f o r m a c i ó n c e r o
.
E j e m p l o 3 . 1 . 5 S i (E1, +1, ·1),. . . , (En, +n, ·n) s o n n K− e.v., e n t o n c e s ∀i ∈
{1,...,n
}l a f u n c i ó n
p r o y e c c i ó n i - é s i m a
pi : E1 × ... × En −→ Ei
(u1,...,un) ; ui
e s l i n e a l , p u e s t o q u e , s i e n d o i ∈ {1,...,n}s e t i e n e q u e
a)d a d o s
(u1,...,un), (v1,...,vn) ∈ E1 × ... × En,
pi((u1,...,un) + (v1,...,vn)) = pi((u1 + v1,...,un + vn)) =
= ui + vi =
= pi((u1,...,un)) + pi((v1,...,vn));
b) d a d o s (u1,...,un) ∈ E1 × ... × En y α ∈ K,
pi(α(u1,...,un)) = pi((αu1,...,αun)) =
= αui = αpi((u1,...,un)).
E j e m p l o 3 . 1 . 6 D a d a A ∈ M m×n(K),
l a f u n c i ó n m u l t i p l i c a c i ó n p o r A
LA : M n×1(K) −→ M m×1(K)X ; A · X
,
d o n d e ·
e s e l p r o d u c t o u s u a l d e m a t r i c e s , e s l i n e a l .
E j e r c i c i o 3 . 1 . 2 S e a E
u n K−e.v.
d e d i m e n s i ó n n i t a n
y B = (v1, v2, · · · , vn)
u n a b a s e o r d e n a d a d e E. S i u = k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn ∈ E, s e a f : E → Kn
l a f u n c i ó n q u e a s o c i a a l v e c t o r u
s u s c o o r d e n a d a s
r e s p e c t o d e l a b a s e B,
d e n i d a p o r f (u) = (k1, k2, · · · , kn). V e r i c a r q u e f e s l i n e a l .
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Á l g e b r a 1 5 7
E j e m p l o 3 . 1 . 7 D a d o s a, b ∈ R, s e c o n s i d e r a e l c o n j u n t o C([a, b],R), d e l a s
f u n c i o n e s r e a l e s c o n t i n u a s d e n i d a s s o b r e e l i n t e r v a l o c e r r a d o
[a, b] = {x ∈R |a ≤ x ≤ b}. T e n i e n d o e n c u e n t a q u e ∀f, g ∈ C([a, b],R) y
∀α ∈ Rs e
v e r i c a q u e
b a
(f + g) =
b a
f +
b a
g
y q u e
b a
(αf ) = α
b a
f,
r e s u l t a q u e l a s i g u i e n t e f u n c i ó n i n t e g r a c i ó n
s o b r e [a, b] e s l i n e a l
I : C([a, b],R) −→ R
f ;
b a
f .
E j e m p l o 3 . 1 . 8 S i e n d o (a, b) c u a l q u i e r i n t e r v a l o a b i e r t o d e l a r e c t a r e a l a m -
p l i a d a ( i . e . , s e c o n t e m p l a l a p o s i b i l i d a d d e q u e a = −∞ó b = ∞, o a m b a s
c o s a s s i m u l t á n e a m e n t e , e n c u y o c a s o s e t e n d r í a q u e (a, b) = (−∞, ∞) = R) ,
s e c o n s i d e r a e l c o n j u n t o
C1((a, b),R)
d e l a s f u n c i o n e s r e a l e s d e n i d a s e n
(a, b),d e r i v a b l e s e n t o d o p u n t o d e
(a, b)y t a l e s q u e l a f u n c i ó n d e r i v a d a e s c o n t i n u a e n
(a, b).T e n i e n d o e n c u e n t a q u e
l a s u m a d e f u n c i o n e s d e r i v a b l e s e s d e r i v a b l e y q u e l a f u n c i ó n r e s u l t a n t e d e
m u l t i p l i c a r u n n ú m e r o r e a l p o r u n a f u n c i ó n d e r i v a b l e e s u n a f u n c i ó n d e r i v a b l e
( y q u e l o m i s m o s u c e d e c o n l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s ) , r e s u l t a q u e
C1((a, b),R) ≺ F ((a, b),R),
o , l o q u e e s l o m i s m o , q u e C1((a, b),R) e s u n
R− e.v..D a d a a h o r a f ∈ C1((a, b),R), s e a D(f ) l a f u n c i ó n d e r i v a d a d e f :
D(f ) : (a, b)−→
R
x ; D(f )(x) = f (x) .
Y a q u e ∀f, g ∈ C1((a, b),R) y
∀α ∈ Rs e v e r i c a q u e
D(f + g) = D(f ) + D(g)
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1 5 8 Á l g e b r a
y q u e
D(αf ) = αD(f ),r e s u l t a q u e l a s i g u i e n t e f u n c i ó n
d e r i v a c i ó n e s l i n e a l :
D : C1((a, b),R) −→ C((a, b),R)f ; D(f )
.
E j e m p l o 3 . 1 . 9 S e a n > 1. L a f u n c i ó n d e t e r m i n a n t e det : Mn(K) → Kn o e s
l i n e a l y a q u e det(A+B) = det(A)+det(B)y det(kA) = kndet(A) = kdet(A).
3 . 2 P r o p i e d a d e s d e f u n c i o n e s l i n e a l e s
P r o p o s i c i ó n 3 . 2 . 1 S i E
y E
s o n K− e.v. y f : E → E
e s l i n e a l , e n t o n c e s
s e v e r i c a q u e
1 . f (0) = 0;
2 . ∀u ∈ E , f (−u) = −f (u).
D e m o s t r a c i ó n 1 . ∀u ∈ E , f (0) = f (0 · u) = 0 · f (u) = 0.
2 . D a d o
u ∈ E,s e t i e n e
f (u) + f (−u) = f (u + (−u)) = f (0) = 0,
p o r l o q u e p o d e m o s c o n c l u i r q u e f (−u) e s e l o p u e s t o d e f (u) o , l o q u e e s l o
m i s m o , q u e f (−u) = −f (u), p u e s t o q u e (E, +) e s u n g r u p o . 2
E j e m p l o 3 . 2 . 2 S i E
e s u n K− e.v. y u0 u n v e c t o r j o d i f e r e n t e d e c e r o e n
E, l a t r a n s f o r m a c i ó n ∀u ∈ E f (u) = u + u0 ( l a t r a s l a c i ó n p o r e l v e c t o r u0 )
n o e s l i n e a l , y a q u e f (0) = u0
= 0.
E l s i g u i e n t e r e s u l t a d o n o s p e r m i t e a s e g u r a r q u e l a f u n c i ó n s u m a d e d o s
f u n c i o n e s l i n e a l e s e s u n a f u n c i ó n l i n e a l y q u e , s i m u l t i p l i c a m o s u n a f u n c i ó n
l i n e a l p o r u n e s c a l a r , l a f u n c i ó n a s í o b t e n i d a e s t a m b i é n u n a f u n c i ó n l i n e a l .
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Á l g e b r a 1 5 9
P r o p o s i c i ó n 3 . 2 . 3 S i e n d o E
y E K−e.v., s i d e n o t a m o s p o r
F (E, E) a l e s -
p a c i o d e t o d a s l a s f u n c i o n e s d e n i d a s e n t r e E
y E,
y p o r
L(E
, E)
a l c o n j u n t o
d e l a s f u n c i o n e s l i n e a l e s d e n i d a s e n t r e E
y E, e s d e c i r ,
L(E, E) = {f ∈ F (E, E) |f e s l i n e a l
},
s e v e r i c a q u e
L(E, E) ≺ F (E, E),
o l o q u e e s l o m i s m o , q u e L(E
, E) t i e n e e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c -
t o d e l a s u m a d e f u n c i o n e s y p r o d u c t o d e u n a f u n c i ó n p o r u n e s c a l a r d e n i d o s
e n F (E, E).
D e m o s t r a c i ó n i ) E v i d e n t e m e n t e L(E, E) = ∅, p u e s t o q u e 0 ∈ L(E, E),y a q u e
∀u, v ∈ E ∀α, β ∈ K s e t i e n e
0(αu + βv) = 0 = 0 + 0 =α0(u) + β 0(v).
( N ó t e s e q u e h e m o s d e n o t a d o p o r e l m i s m o s í m b o l o a 0 ∈L(E
, E) y a
0 ∈ E).i i ) V e a m o s q u e
∀f, g ∈ L(E, E)
s e v e r i c a q u e f +g ∈ L(E
, E).
S i u, v ∈ E
y α, β ∈ K, s e v e r i c a q u e
(f + g)(αu + βv) = f (αu + βv) + g(αu + βv) =
= (αf (u) + βf (v)) + (αg(u) + βg(v) =
= ( p o r s e r “ + ” a s o c i a t i v a y c o n m u t a t i v a e n (E, +))
= (αf (u) + αg(u)) + (βf (v) + βg(v)) =
= α(f + g)(u) + β (f + g)(v).
i i i ) V e a m o s q u e ∀f ∈ L(E
, E), ∀λ ∈ K
s e v e r i c a q u e λf ∈ L(E, E).
S i u, v ∈ Ey α, β ∈ K, s e v e r i c a q u e
(λf ) (αu + βv) = λ · f (αu + βv) = λ (αf (u) + βf (v)) =
= λαf (u) + λβf (v) =
= ( p o r s e r “·
”c o n m u t a t i v o e n K) =
= αλf (u) + βλf (v) = α (λf ) (u) + β (λf ) (v).
2
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1 6 0 Á l g e b r a
E j e m p l o 3 . 2 . 4 C o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , t e n i e n d o e n
c u e n t a q u e p a r a c u a l q u i e r K
−e.v.E
l a f u n c i ó n
IdE :E
→E
e s l i n e a l ,
IdE ∈L(E, E), t e n d r e m o s t a m b i é n q u e ∀α ∈ K, l a f u n c i ó n (αIdE ) ∈ L(E, E), e s
d e c i r , l a f u n c i ó n
αIdE : E → E
u ; αu
e s l i n e a l .
E j e m p l o 3 . 2 . 5 T e n i e n d o e n c u e n t a q u e s i E
e s u n K− e.v. e n t o n c e s
∀n ∈N
y ∀i ∈ {1,...,n}
l a f u n c i ó n p r o y e c c i ó n i - é s i m a e s l i n e a l , r e s u l t a q u e l a
s i g u i e n t e f u n c i ó n e s l i n e a l : ∀(α1,...,αn) ∈ Kn,
α1 p1 + ... + αn pn : En
−→E
(u1,...,un) ; α1u1 + ... + αnun .
E n p a r t i c u l a r , d a d o s p o r e j e m p l o α,β,γ ∈ R,
e s l i n e a l l a f u n c i ó n
αp1 + βp2 + γp3 : R3 → R
(x1, x2, x3) ; αx1 + βx2 + γx3.
E j e m p l o 3 . 2 . 6 S i f ∈ C1((a, b),R), e n p a r t i c u l a r f ∈ C((a, b),R) y , s i e n d o
i l a f u n c i ó n i n c l u s i ó n , s e v e r i c a q u e l a f u n c i ó n
3D − 5i : C1((a, b),R) −→ C((a, b),R)f ; 3D(f )
−5f
e s l i n e a l .
P r o p o s i c i ó n 3 . 2 . 7 S i E
, E
y E
s o n K− e.v. y f : E → E
y g : E→ E
s o n f u n c i o n e s l i n e a l e s , e n t o n c e s l a f u n c i ó n c o m p o s i c i ó n d e g c o n f, g ◦ f :E → E, t a m b i é n e s u n a f u n c i ó n l i n e a l .
D e m o s t r a c i ó n S e a n u, v ∈ Ey α, β ∈ K. E n e s e c a s o
(g ◦ f )(αu + βv) = g(f (αu + βv)) =
= ( p o r s e r f l i n e a l ) =
= g(αf (u) + βf (v)) == ( p o r s e r g l i n e a l ) =
= αg(f (u)) + βg(f (v)) =
= α(g ◦ f )(u) + β (g ◦ f )(v).
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Á l g e b r a 1 6 1
2
E j e m p l o 3 . 2 . 8 ∀f ∈ L(E, E), f ◦IdE = IdE ◦f. E n t o n c e s IdE e s e l e l e m e n t o
n e u t r o d e ◦
e n L(E, E).
O b s e r v a c i ó n 3 8 S i E
, E
y E
s o n R − e.v. y f : E → E, g : E→ E
y
h : E→ Es o n f u n c i o n e s l i n e a l e s , e n t o n c e s l a f u n c i ó n c o m p o s i c i ó n h◦g◦f :
E → Et a m b i é n e s u n a f u n c i ó n l i n e a l . E n g e n e r a l , l a c o m p o s i c i ó n d e u n
c u a l q u i e r n ú m e r o ( n i t o ) d e f u n c i o n e s l i n e a l e s , c u a n d o e s t é d e n i d a , s e r á
u n a f u n c i ó n l i n e a l .
3 . 3 N ú c l e o e i m a g e n
L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n a r m a q u e l a s f u n c i o n e s l i n e a l e s p r e s e r v a n l o s s u b -
e s p a c i o s v e c t o r i a l e s :
P r o p o s i c i ó n 3 . 3 . 1 S i E
y E
s o n K−e.v.
y f : E → E
e s l i n e a l , s e v e r i c a
q u e
1 . ∀H ⊂ E, (H ≺ E ⇒ f (H ) ≺ E)
y
2 . ∀H ⊂ E, (H ≺ E ⇒ f −1(H ) ≺ E) ;
e n o t r a s p a l a b r a s : l a i m a g e n d i r e c t a y r e c í p r o c a d e u n s u b e s p a c i o
v e c t o r i a l p o r u n a f u n c i ó n l i n e a l e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l .
D e m o s t r a c i ó n 1 . S u p o n g a m o s q u e H ≺ E.
E n e s e c a s o 0 ∈ H
y , p u e s t o
q u e
f (0) = 0,
t e n d r e m o s q u e 0 ∈ f (H ). P o r o t r a p a r t e , s i u, v ∈ f (H ) y α, β ∈ K,t e n d r e m o s , p o r d e n i c i ó n d e
f (H ),q u e e x i s t e n
u, v ∈ H t a l e s q u e
f (u) = u y f (v) = v.
P o r c o n s i g u i e n t e
αu + βv = αf (u) + βf (v) =
=( p u e s t o q u e
f e s l i n e a l )
=
= f (αu + βv)
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1 6 2 Á l g e b r a
y , p u e s t o q u e H ≺ E, αu + βv ∈ H, c o n l o q u e
αu + βv ∈ f (H )
y e n d e n i t i v a f (H ) ≺ E.
2 . S u p o n g a m o s q u e H ≺ E. E n e s e c a s o 0 ∈ H y , p u e s t o q u e
f (0) = 0,
t e n d r e m o s q u e
0 ∈ f −1(H ).
P o r o t r a p a r t e , s i u, v ∈ f −1(H )
y α, β ∈ K,
r e s u l t a r á q u e
f (u), f (v) ∈ H
y , p u e s t o q u e H ≺ E, t e n d r e m o s q u e
αf (u) + βf (v) ∈ H
p e r o , a l s e r f l i n e a l ,
αf (u) + βf (v) = f (αu + βv),
e s d e c i r , f (αu + βv) ∈ H , c o n l o q u e
αu + βv ∈ f −1(H ).
2
D e n i c i ó n 3 . 3 . 2 S e a n E
y E K − e.v. y f : E → E
u n a f u n c i ó n l i n e a l .
L l a m a r e m o s n ú c l e o
d e f a l c o n j u n t o
Ker(f ) = f −1({0}) = {u ∈ E |f (u) = 0 },
e i m a g e n
d e
f,a l c o n j u n t o
Im(f ) = {v ∈ E |∃u ∈ Et a l q u e f (u) = v}.
o s e a , a l c o n j u n t o f (E ).
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Á l g e b r a 1 6 3
O b s é r v e s e q u e c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n ( 3 . 3 . 1 ) , p a r a c u a l q u i e r
f u n c i ó n l i n e a l
f :E
→E
s e v e r i c a q u e
Ker(f ) ≺ E
y q u e
Im(f ) ≺ E.
D e n i c i ó n 3 . 3 . 3 S e a n E
y E K − e.v. y f : E → E
u n a f u n c i ó n l i n e a l .
E n t o n c e s a l a d i m e n s i ó n d e l i m a g e n d e f s e d e n o m i n a r a n g o d e f y a l a
d i m e n s i ó n d e l n ú c l e o d e
f s e d e n o m i n a n u l i d a d d e
f.
E j e m p l o 3 . 3 . 4 S e a n E
y E K − e.v.. E n t o n c e s , e l n ú c l e o d e l a f u n c i ó n
i d e n t i d a d IdE : E → E
e s e l s u b e s p a c i o {0}
y s u i m a g e n e s e l e s p a c i o E;
e l n ú c l e o d e l a f u n c i ó n c e r o f : E → Ee s e l e s p a c i o
Ey s u i m a g e n e s e l
s u b e s p a c i o {0}.
E j e r c i c i o 3 . 3 . 1 S e a f : R3 → R3l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e e l p l a n o
z = 0. D e t e r m i n a r n ú c l e o e i m a g e n d e f.
E j e r c i c i o 3 . 3 . 2 S e a E =
C1(R,R), y s e a
E =
F (R,R). D e t e r m i n a r e l n ú -
c l e o d e l a f u n c i ó n d e r i v a c i ó n
D : C1(R,R) → F (R,R).
E j e m p l o 3 . 3 . 5 U n a m a n e r a d i f e r e n t e d e l a u s u a l d e v e r i c a r q u e , d a d o s
α,β,γ ∈ R,e l c o n j u n t o
H =
(x1, x2, x3) ∈ R3αx1 + βx2 + γx3 = 0
e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e
R3, c o n s i s t e e n t e n e r e n c u e n t a q u e l a f u n c i ó n
αp1 + βp2 + γp3 : R3
→ R(x1, x2, x3) ; αx1 + βx2 + γx3
e s l i n e a l y q u e
H = Ker(αp1 + βp2 + γp3).
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1 6 4 Á l g e b r a
A n t e s d e e n u n c i a r e l s i g u i e n t e t e o r e m a , r e c o r d e m o s l a s s i g u i e n t e s d e n i -
c i o n e s :
D e n i c i ó n 3 . 3 . 6 U n a f u n c i ó n f e n t r e d o s c o n j u n t o s A y B e s i n y e c t i v a
s i
∀a1, a2 ∈ A, f (a1) = f (a2) ⇒ a1 = a2.
D e n i c i ó n 3 . 3 . 7 U n a f u n c i ó n f e n t r e d o s c o n j u n t o s A y B e s s o b r e y e c t i v a
s i ∀b ∈ B e x i s t e a ∈ A t a l q u e b = f (a).
D e n i c i ó n 3 . 3 . 8 F i n a l m e n t e , u n a f u n c i ó n f e n t r e d o s c o n j u n t o s A y B e s
b i y e c t i v a s i f e s a l a v e z i n y e c t i v a y s o b r e y e c t i v a .
T e o r e m a 3 . 3 . 9 S e a n E
y E K − e.v. y f : E → E
u n a f u n c i ó n l i n e a l . S e
v e r i c a q u e
1 . f e s i n y e c t i v a ⇔ Ker(f ) = {0};
2 . f e s s o b r e y e c t i v a ⇔ Im(f ) = E.
D e m o s t r a c i ó n 1 . ⇒
P u e s t o q u e f e s l i n e a l , f (0) = 0 y e n c o n s e c u e n c i a
0 ∈ Ker(f )
o , l o q u e e s l o m i s m o , {0} ⊂ Ker(f ). P o r o t r a p a r t e s i u ∈ E
e s t a l q u e
u
∈Ker(f ), r e s u l t a q u e
f (u) = 0 y f (0) = 0,
y , p u e s t o q u e p o r h i p ó t e s i s f e s i n y e c t i v a , c o n c l u í m o s q u e u = 0, c o n l o q u e
Ker(f ) ⊂ {0}. E n d e n i t i v a , Ker(f ) = {0}. ⇐
S u p o n g a m o s q u e Ker(f ) = {0}y q u e u, v ∈ E
s o n t a l e s q u e f (u) =f (v).
E n e s e c a s o f (u) + (−f (v)) = 0
y , p u e s t o q u e f
e s l i n e a l ,
f (u) + (−f (v)) = f (u) + f (−v) = f (u + (−v)).
E n c o n s e c u e n c i a f (u + (−v)) = 0, o l o q u e e s l o m i s m o ,
u + (−v) ∈ Ker(f ) = {0},
e s d e c i r , u + (−v) = 0, d e d o n d e u = v .
2 . P o r d e n i c i ó n , f
e s s o b r e y e c t i v a s i y s ó l o s i Im(f ) = E. 2
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Á l g e b r a 1 6 5
E j e m p l o 3 . 3 . 1 0 L a f u n c i ó n d e r i v a c i ó n D : C1(R,R) → F (R,R) n o e s i n -
y e c t i v a , y a q u e
Ker(D)e s e l c o n j u n t o d e l a s f u n c i o n e s c o n s t a n t e s s o b r e
R.
E j e m p l o 3 . 3 . 1 1 L a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e e l p l a n o z = 0 e n R3
n o e s
i n y e c t i v a , s i e n d o s u n ú c l e o i g u a l a l e j e z.
3 . 4 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s i s o m o r f o s
S i f : E → E
e s u n a f u n c i ó n l i n e a l y b i y e c t i v a , p a r a t o d o v e c t o r u
e n E
e x i s t e u n ú n i c o v e c t o r v e n E t a l q u e f (u) = v. A d e m á s f e s i n v e r t i b l e y
f −1(v) = u.
P o r t a n t o f
e s t a b l e c e u n a p a r t i c u l a r c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e l o s
v e c t o r e s d e E y l o s v e c t o r e s d e E q u e , a d e m á s , r e p r o d u c e e n E l a s r e l a c i o n e s
d e d e p e n d e n c i a e n t r e v e c t o r e s d e E. E n e s t e c a s o s e p o d r í a n i d e n t i c a r l o s d o s
e s p a c i o s E y E , p e r o e s a m e n u d o n e c e s a r i o d i s t i n g u i r e n t r e d i s t i n t o s t i p o s
d e c o r r e s p o n d e n c i a s , e s d e c i r , n o s i n t e r e s a s a b e r e x a c t a m e n t e q u é f u n c i ó n
l i n e a l b i y e c t i v a e s t a m o s c o n s i d e r a n d o e n t r e l o s d o s e s p a c i o s . P o r e j e m p l o , l a
f u n c i ó n i d e n t i d a d e n R2
e s l i n e a l y b i y e c t i v a , p e r o t a m b i é n l o e s l a f u n c i ó n
r o t a c i ó n d e u n á n g u l o d e
π4 . L a p r i m e r a f u n c i ó n i d e n t i c a t r i v i a l m e n t e l a s
d o s c o p i a s d e l e s p a c i o R2
m i e n t r a s q u e l a s e g u n d a n o s d i c e q u e , c o m o e s p a c i o s
v e c t o r i a l e s , s o n e q u i v a l e n t e s .
E s t a s c o n s i d e r a c i o n e s j u s t i c a n l a s i g u i e n t e d e n i c i ó n d e e s p a c i o s i s o m o r -
f o s .
D e n i c i ó n 3 . 4 . 1 S i e n d o E
y E
d o s K− e.v., s e d i c e q u e
Ey
Es o n
i s o -
m o r f o s s i e x i s t e u n a f u n c i ó n
f : E → Et a l q u e
f e s l i n e a l y b i y e c t i v a .
S i f : E → Ee s l i n e a l y b i y e c t i v a , s e d i c e q u e f e s u n
i s o m o r s m o ( n o
s i n g u l a r ) .
P r o p o s i c i ó n 3 . 4 . 2 S i f : E → Ee s u n i s o m o r s m o , f −1 : E → E
e s
t a m b i é n u n i s o m o r s m o .
D e m o s t r a c i ó n S i f : E
→E
e s b i y e c t i v a e n t o n c e s f −1 : E
→E
e s
t a m b i é n b i y e c t i v a . V e a m o s q u e e n l a s c o n d i c i o n e s d e l e n u n c i a d o f −1 : E →E
e s l i n e a l .
1 . S e a n u, v ∈ E. P o r s e r f : E → Eb i y e c t i v a
∃! u, v ∈ Et a l e s q u e
f (u) = u y f (v) = v
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1 6 6 Á l g e b r a
o , l o q u e e s l o m i s m o , t a l e s q u e f −1(u) = u y f −1(v) = v. L u e g o
f −1(u + v) = f −1(f (u) + f (v)) =
( p o r s e r f l i n e a l )
= f −1(f (u + v)) = u + v = f −1(u) + f −1(v).
2 . S e a n u ∈ E
y α ∈ K.
R a z o n a n d o d e i g u a l m o d o q u e e n e l a p a r t a d o
a n t e r i o r , s i f −1(u) = u o , l o q u e e s l o m i s m o , f (u) = u , r e s u l t a q u e
f −1(αu) = f −1(αf (u)) =
= f −1(f (αu)) = αu = αf −1(u).
2
O b s e r v a c i ó n 3 9 S i d o s K− e.v. E
y E
s o n i s o m o r f o s , d e s d e u n p u n t o d e
v i s t a a l g e b r a i c o s o n i g u a l e s o i n d i s t i n g u i b l e s , e n e l s e n t i d o d e q u e t o d a
p r o p i e d a d r e l a c i o n a d a c o n l a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l q u e p o s e a E
s e
t r a n s e r e a u t o m á t i c a m e n t e a l e s p a c i o E
a t r a v é s d e l i s o m o r s m o y r e c í p r o -
c a m e n t e .
E j e r c i c i o 3 . 4 . 1 C o m p r o b a r q u e s i f : E → E
e s u n i s o m o r s m o , e n t o n c e s
{v1,....,vm} ⊆ Ee s l i b r e s i y s o l o s i {f (v1),...,f (vm)} e s l i b r e .
E j e m p l o 3 . 4 . 3 L a s f u n c i o n e s
IC : Kn → M n×1(K)
(x1,...,xn) ;
x1.
.
.
xn
y
IF : Kn
→M 1×n(K)
(x1...xn) ; x1 · · · xn s o n i s o m o r s m o s . A IC l e d e n o m i n a r e m o s i s o m o r s m o c o l u m n a y a IF i s o m o r s m o l a .
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Á l g e b r a 1 6 7
3 . 5 F u n c i o n e s l i n e a l e s e n e s p a c i o s v e c t o r i a l e s
d e d i m e n s i ó n n i t a
3 . 5 . 1 D e t e r m i n a c i ó n d e f u n c i o n e s l i n e a l e s e n e s p a c i o s
v e c t o r i a l e s d e d i m e n s i ó n n i t a
E l s i g u i e n t e t e o r e m a f u n d a m e n t a l e s t a b l e c e u n p r o c e d i m i e n t o p a r a d e n i r
f u n c i o n e s l i n e a l e s e n t r e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e d i m e n s i ó n n i t a , e n e l s e n t i d o
d e q u e , c o n o c i d a s l a s i m á g e n e s d e l o s e l e m e n t o s d e u n a b a s e d e l e s p a c i o
d o m i n i o , l a f u n c i ó n l i n e a l q u e d a c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a .
T e o r e m a 3 . 5 . 1 S e a n E
y E
d o s K − e.v.,
{u1,....,un} u n a b a s e d e E
y
{v1,....,vn}u n s i s t e m a c u a l q u i e r a d e n v e c t o r e s d e
E. E n e s t a s c o n d i c i o n e s
e x i s t e u n a ú n i c a f u n c i ó n l i n e a l f : E → Et a l q u e
∀i ∈ {1,...,n} f (ui) = vi.
A d e m á s s e v e r i c a q u e
a )
f e s i n y e c t i v a ⇔ {v1,....,vn} e s l i b r e ;
b ) f e s s o b r e y e c t i v a ⇔ L({v1,....,vn}) = E;
c ) f e s u n i s o m o r s m o ⇔ {v1,....,vn}
e s u n a b a s e d e E.
D e m o s t r a c i ó n i ) E x i s t e n c i a . S e a u ∈ E; p u e s t o q u e {u1,....,un} e s u n a
b a s e d e E
, t e n d r e m o s q u e ∃!(α1,....,αn) ∈ Kn
t a l q u e u =n
i=1
αiui. D e n i m o s
e n t o n c e s f (u) = ni=1
αivi . V e a m o s q u e l a f u n c i ó n f a s í d e n i d a p a r a c a d a
u ∈ Es a t i s f a c e l a s d o s c o n d i c i o n e s r e q u e r i d a s .
1 . f e s l i n e a l : d a d o s u, v ∈ Ey λ, µ ∈ K, s i u =
ni=1
αiui y v =n
i=1
β iui ,
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1 6 8 Á l g e b r a
r e s u l t a q u e
f (λu + µv) = f (λ · ni=1
αiui
+ µ · ni=1
β iui
) =
= f (
n
i=1
(λαi + µβ i)ui
) =
ni=1
(λαi + µβ i)vi =
= λ
n
i=1
αivi
+ µ
n
i=1
β iui
= λf (u) + µf (v).
2 . ∀i ∈ {1,...,n} f (ui) = vi. D a d o i ∈ {1,...,n}, s e t i e n e
ui = 0 · u1 + ... + 1 · ui + ... + 0 · un
y , p o r c o n s i g u i e n t e ,
f (ui) = 0 · v1 + ... + 1 · vi + ... + 0 · vn = vi.
i i ) U n i c i d a d . S i g : E → Ee s u n a f u n c i ó n l i n e a l t a l q u e
∀i ∈ {1,...,n} g(ui) = vi,
r e s u l t a q u e , s i e n d o w
u n v e c t o r c u a l q u i e r a d e E
, a l s e r {u1,....,un}
u n a b a s e
d e E
, ∃(α1,....,αn) ∈ Kn
t a l q u e
w =
ni=1
αiui.
A h o r a b i e n ,
g(w) = g(n
i=1
αiui) =
= ( p o r s e r g l i n e a l ) =
=n
i=1
αig(ui) =n
i=1
αivi =
=n
i=1
αif (ui) = ( p o r s e r f l i n e a l ) =
= f (n
i=1
αiui) = f (w),
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Á l g e b r a 1 6 9
e s d e c i r , ∀w ∈ E g(w) = f (w), c o n l o q u e c o n c l u í m o s q u e f = g.
F i n a l m e n t e , c o m p r o b e m o s q u e s e v e r i c a n a ) , b ) y c ) .
a ) ⇒
S e a
ni=1
αivi = 0. E n t o n c e s
0 =n
i=1
αivi =n
i=1
αif (ui) = f (n
i=1
αiui).
Y a q u e f
e s i n y e c t i v a ,
ni=1
αiui = 0y , p u e s t o q u e
{u1, · · · , un} e s l i b r e ,
(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0).
⇐ S i w
∈Ker(f ), s i e n d o w =
n
i=1
αiui r e s u l t a q u e
f (w) = 0 = f (n
i=1
αiui) =n
i=1
αif (ui) =n
i=1
αivi,
y p u e s t o q u e {v1,....,vn} e s l i b r e , c o n c l u í m o s q u e
(α1,....,αn) = (0,..., 0),
c o n l o q u e w = 0.
b ) S i v e r i c a m o s q u e Im(f ) = L(v1,
· · ·, vn), e n t o n c e s f e s s o b r e y e c t i v a
⇔ L(v1, · · · , vn) = E. Y a q u e L(v1, · · · , vn) ≺ Im(f ), h a c e f a l t a s o l o c o m -
p r o b a r q u e Im(f ) ⊆ L(v1, · · · , vn) : s i v ∈ Im(f ), e x i s t e u =n
i=1
αiui ∈ Et a l
q u e
v = f (u) =n
i=1
αif (ui) =n
i=1
αivi ∈ L(v1, · · · , vn).
A s í q u e Im(f ) = L(v1, · · · , vn) = E.
c ) E s c o n s e c u e n c i a i n m e d i a t a d e l o s d o s a p a r t a d o s a n t e r i o r e s . 2
A l a v i s t a d e l t e o r e m a a n t e r i o r , s e v e r i c a q u e :
s i E
y E
s o n K− e.v. y
{u1,....,un} ∈ Ene s u n a b a s e d e
E, c u a l q u i e r
f u n c i ó n l i n e a l f : E → Eq u e d a c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a p o r e l
s i s t e m a {f (u1),...,f (un)}.
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1 7 0 Á l g e b r a
E j e r c i c i o 3 . 5 . 1 D a d a l a f u n c i ó n l i n e a l f : R2 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s
c o n d i c i o n e s
f (1, 0) = (3, 4, 1), f (0, 1) = (−1, 0, 1),
d e t e r m i n a r f (3, 1) y f (2, −1).
C o r o l a r i o 3 . 5 . 2 S i E
y E
s o n d o s K − e.v. n i t a m e n t e g e n e r a d o s ( d e d i -
m e n s i ó n n i t a ) , e n t o n c e s
Ey
Es o n i s o m o r f o s
⇔ dim(E) = dim(E)
D e m o s t r a c i ó n ⇒
S i E
y E
s o n i s o m o r f o s , f : E → Ee s u n i s o m o r s m o ,
y
{u1,....,un}e s u n a b a s e d e
E, p o r e l a p a r t a d o c ) d e l t e o r e m a a n t e r i o r ,
{f (u1),....,f (un)} e s u n a b a s e d e E
y , e n c o n s e c u e n c i a , dim(E) = dim(E) =n .
⇐
S i dim(E) = dim(E) = n
, {u1,....,un}
e s u n a b a s e d e E
y {v1,....,vn}
e s u n a b a s e d e E, c o n s i d e r a n d o l a f u n c i ó n l i n e a l f : E → E
t a l q u e ∀i ∈
{1,...,n} f (ui) = vi,r e s u l t a , p o r l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , q u e
f e s u n i s o m o r -
s m o , y e n c o n s e c u e n c i a E
y E
s o n i s o m o r f o s . 2
C o m o v i m o s e n e l c a p í t u l o 2 , a l i n t r o d u c i r u n a b a s e o r d e n a d a e n u n
e s p a c i o v e c t o r i a l p o d e m o s a s o c i a r a c a d a v e c t o r d e l e s p a c i o s u s c o o r d e n a d a s
r e s p e c t o d e e s t a b a s e . T a m b i é n v i m o s q u e l a s c o o r d e n a d a s d e u n v e c t o r s o n
ú n i c a s .
E l s i g u i e n t e c o r o l a r i o a r m a q u e l a c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e u n v e c t o r y s u s
c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e u n a b a s e j a d a e s u n i s o m o r s m o .
C o r o l a r i o 3 . 5 . 3 S i E
e s u n K−e.v.
y B = (u1,....,un)
e s u n a b a s e o r d e n a d a
d e E, l a f u n c i ó n q u e a s o c i a a t o d o v e c t o r l a m a t r i z d e s u s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o
d e l a b a s e B,
(·)B : E → M n×1(K)v ; (v)B
,
d o n d e
v =n
i=1
αiui ⇒ (v)B = α1
.
.
.
αn
,
e s u n i s o m o r s m o .
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 1 7 1
D e m o s t r a c i ó n S i e n d o ∀i ∈ {1,...,n}
ei : {1,...,n} × {1} → M n×1(K)
( j, 1) ;
1 s i j = i0
s i j = i,
o , l o q u e e s l o m i s m o , s i e n d o (e1,..., en)
l a b a s e c a n ó n i c a d e M n×1(K), q u e
e m p l e a n d o l a n o t a c i ó n h a b i t u a l d e m a t r i c e s s e e s c r i b i r í a
(e1,..., en) =
10
.
.
.
0
,
01
.
.
.
0
, · · · ,
00
.
.
.
1
,
o b s e r v a n d o q u e (·)B e s l a ú n i c a f u n c i ó n l i n e a l t a l q u e
∀i ∈ {1,...,n} (ui)B = ei
y t e n i e n d o e n c u e n t a q u e
Bc = (e1,..., en)
e s u n a b a s e d e M n×1(K) , e s i n m e d i a t o c o m p r o b a r q u e (·)B e s u n i s o m o r s m o . 2
O b s e r v a c i ó n 4 0 T e n i e n d o e n c u e n t a q u e s i d o s K − e.v. E
y E
s o n i s o -
m o r f o s , t o d a p r o p i e d a d r e l a c i o n a d a c o n l a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l q u e
p o s e a E
s e t r a n s e r e a u t o m á t i c a m e n t e a l e s p a c i o E
a t r a v é s d e l i s o m o r s m o
y r e c í p r o c a m e n t e , s i u n K − e.v. E
t i e n e d i m e n s i ó n n
y B
e s u n a b a s e
d e E, c o n s i d e r a n d o e l i s o m o r s m o (·)B : E →M n×1(K) p o d e m o s e s t u d i a r l a s
p r o p i e d a d e s d e l o s v e c t o r e s d e E
e s t u d i a n d o l a s q u e p o s e e n s u s c o o r d e n a -
d a s r e s p e c t o d e B, e s d e c i r , s u s i m á g e n e s m e d i a n t e e l i s o m o r s m o (·)B. E n
p a r t i c u l a r , s i {v1,....,vm}
e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e E, r e s u l t a q u e
{v1,....,vm} e s l i g a d o ⇔ e l s i s t e m a {(v1)B , ...., (vm)B} d e M n×1(K) e s l i g a d o ;
{v1,....,vm}e s l i b r e
⇔e l s i s t e m a
{(v1)B ,...., (vm)B}d e M n×1(K) e s l i b r e ;
{v1,....,vn}e s u n a b a s e d e
E ⇔ {(v1)B ,...., (vn)B}e s u n a b a s e d e M n×1(K).
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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1 7 2 Á l g e b r a
E j e m p l o s .
1 . E n e l R − e.v. R3
c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l h a b i t u a l e l
s i s t e m a {(−1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, −1, 0)}
e s l i b r e ( r e s p e c t i v a m e n t e l i g a d o ) s i y
s ó l o s i e l s i s t e m a d e M 3×1(R) f o r m a d o p o r s u s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e l a
b a s e c a n ó n i c a Bc d e R3,
{ −1
11
,
111
,
1−10
}
e s l i b r e ( r e s p e c t i v a m e n t e l i g a d o ) .
2 . E n e l C− e.v. P 4(C) = {f ∈ C[x] | gr(f ) ≤ 4}, e l s i s t e m a
{x + 3x2, 2 + x, −3 + x3, 1 + x4}e s l i b r e ( r e s p e c t i v a m e n t e l i g a d o ) s i y s ó l o s i e l s i s t e m a d e
M 4×1(C)f o r m a d o
p o r s u s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e l a b a s e u s u a l d e P 4(C), {1, x , x2, x3, x4},
{
01300
,
21000
,
−30010
,
10001
}
e s l i b r e ( r e s p e c t i v a m e n t e l i g a d o ) .
3 . 5 . 2 D i m e n s i o n e s d e l n ú c l e o y d e l a i m a g e n
S i , p o r e j e m p l o , e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l R3
c o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n p r o -
y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e e l p l a n o xy ( i s o m o r f o a R2
) , o b t e n e m o s u n a f u n c i ó n
l i n e a l s o b r e y e c t i v a y t a l q u e s u n ú c l e o e s t o d o e l e j e d e l a s z. P o r t a n t o , e l
r a n g o d e e s t a p r o y e c c i ó n e s 2 , s u n u l i d a d e s 1 y l a s u m a d e e s t o s d o s n ú m e r o s
c o i n c i d e c o n l a d i m e n s i ó n d e l d o m i n i o d e l a f u n c i ó n .
E l s i g u i e n t e t e o r e m a g e n e r a l i z a e s t e e j e m p l o a t o d a f u n c i ó n l i n e a l e n t r e
e s p a c i o s d e d i m e n s i ó n n i t a .
T e o r e m a 3 . 5 . 4 ( T e o r e m a d e l a d i m e n s i ó n p a r a f u n c i o n e s l i n e a l e s )
S i f : E → Ee s u n a f u n c i ó n l i n e a l t a l q u e l o s s u b e s p a c i o s Ker(f ) e Im(f )
s o n d e d i m e n s i ó n n i t a , e n t o n c e s E
e s t a m b i é n d e d i m e n s i ó n n i t a y
dim(E) =dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = nulidad(f ) + rango(f ).
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Á l g e b r a 1 7 3
D e m o s t r a c i ó n S e a n {u1,....,ur} u n a b a s e d e Ker(f ) y
{v1,....,v p} u n a
b a s e d e
Im(f ).S e a n , p o r o t r a p a r t e ,
{w1,...,w p}t a l e s q u e
∀i ∈ {1,...,p}, f (wi) = vi.
E l t e o r e m a e s t a r á d e m o s t r a d o s i c o m p r o b a m o s q u e {u1,....,ur, w1,...,w p} e s
u n a b a s e d e E.
a ) {u1,....,ur, w1,...,w p} e s l i b r e . S u p o n g a m o s q u e
(α1,....,αr, β 1,...,β p) ∈ Kr+ p
e s t a l q u e
ri=1
αiui +
p j=1
β jw j = 0. ( 3 . 1 )
E n e s e c a s o
f
r
i=1
αiui +
p j=1
β jw j
= f (0) = 0.
P e r o , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e f e s l i n e a l , r e s u l t a q u e
r
i=1
αif (ui) +
p
j=1
β jf (w j ) = 0,
y p u e s t o q u e l o s v e c t o r e s u1,....,ur e s t á n e n Ker(f ), t e n d r e m o s q u e
p j=1
β j v j =
0,c o n l o q u e , a l s e r
{v1,....,v p} l i b r e , o b t e n e m o s q u e (β 1,...,β p) = (0,..., 0);
p e r o e n t o n c e s l a r e l a c i ó n ( 3 . 1 ) q u e d a
ri=1
αiui = 0, y p u e s t o q u e {u1,....,ur}
e s l i b r e , o b t e n e m o s q u e (α1,....,αr) = (0, ..., 0). E n d e n i t i v a ,
(α1,....,αr, β 1,...,β p) = (0,..., 0).b )
{u1,....,ur, w1,...,w p} e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e E. S e a u ∈ E.
A h o r a b i e n , f (u) ∈ Im(f ), y p u e s t o q u e {v1,....,v p} e s u n a b a s e d e Im(f ),
∃(β 1,...,β p) ∈ K p t a l q u e f (u) =
pi=1
β ivi. P e r o e n e s e c a s o ,
f (u) =
pi=1
β ivi =
pi=1
β if (wi) = f (
pi=1
β iwi),
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1 7 4 Á l g e b r a
o s e a ,
0 = f (u) − f ( p
i=1
β iwi) =
= ( p o r s e r f l i n e a l ) =
= f (u − p
i=1
β iwi),
c o n l o q u e u −
pi=1
β iwi
∈ Ker(f ),
y c o m o Ker(f ) = L({u1,....,ur}),
∃(α1,....,αr) ∈ Kr..
u −
pi=1
β iwi
=
r j=1
α ju j,
y r e s u l t a q u e , u =
p
i=1
β iwi
+
r
j=1
α ju j
. 2
3 . 5 . 3 M a t r i z a s o c i a d a a u n a f u n c i ó n l i n e a l
S i E
y E
s o n d o s K− e.v. n i t a m e n t e g e n e r a d o s , f : E → E
e s u n a f u n c i ó n
l i n e a l y B = {u1,....,un}e s u n a b a s e d e
E, s e g ú n h e m o s v i s t o , l a f u n c i ó n f q u e d a c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a p o r e l s i s t e m a
{f (u1),....,f (un)}.A s í , s i e n d o B = {v1,...,vm } u n a b a s e d e
Ey , c o n o c i d o e l s i s t e m a d e
v e c t o r e s d e M m×1(K)
{(f (u1))B, ...., (f (un))B},
v a m o s a o b t e n e r u n a e x p r e s i ó n q u e n o s p e r m i t a c a l c u l a r , p a r a t o d o v e c t o r
w ∈ E, l a s c o o r d e n a d a s d e f (w) r e s p e c t o d e Bs i n m á s q u e c o n o c e r l a s
c o o r d e n a d a s d e w
r e s p e c t o d e B.
A s í p u e s , s u p o n g a m o s q u e
∀ j ∈ {1,...,n} (f (u j))B =
α1 j.
.
.
αmj
∈ M m×1(K),
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Á l g e b r a 1 7 5
o l o q u e e s l o m i s m o , q u e
∀ j ∈ {1,...,n} (f (u j ))B =
mi=1
αij(vi)B.
S e a w ∈ E, y s u p o n g a m o s t a m b i é n q u e w =
n j=1
x ju j , e s d e c i r , q u e
(w)B =
x1
.
.
.
xn
.
E n e s e c a s o , f (w) = f (n
j=1
x j u j) =n
j=1
x jf (u j), c o n l o q u e , t e n i e n d o e n
c u e n t a q u e
(·)B : E → M m×1(K)
v ; (v)B
e s u n i s o m o r s m o ,
(f (w))B =
n
j=1
x j f (u j )B
=n
j=1
x j
·(f (u j))B
=
=n
j=1
x j
m
i=1
αij(vi)B
=
n j=1
mi=1
x j(αij(vi)B) =
=
m
i=1
n
j=1
x jαij
(vi)B
.
E s d e c i r ,
(f (w))B =
n
j=1
x jα1 j.
.
. n
j=1
x j αnj
,
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1 7 6 Á l g e b r a
c o n l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a c o m o e s t á d e n i d o e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s ,
r e s u l t a q u e
(f (w))B =
α11 · · · α1n
.
.
.
.
.
.
αm1 · · · αmn
· x1
.
.
.
xn
.
E n d e n i t i v a , s i A =
α11 · · · α1n
.
.
.
.
.
.
αm1 · · · αmn
, t e n d r e m o s q u e
(f (w))B = A · (w)B.
A l a m a t r i z
Al a d e n o m i n a r e m o s
m a t r i z a s o c i a d a a l a f u n c i ó n l i n e a l
f r e s p e c t o d e l a s b a s e s B y B
y l a d e n o t a r e m o s p o r M BB (f ).
N ó t a s e q u e M BB (f ) ∈ M m×n(K), d o n d e m = dim(E) y n = dim(E).
E n r e s u m e n :
∀w ∈ E, (f (w))B = M B
B (f ) · (w)B
O b s e r v a c i ó n 4 1 N ó t e s e q u e l a m a t r i z M BB (f ) e s t á c a r a c t e r i z a d a p o r e l h e -
c h o d e q u e ∀ j ∈ {1,...,n}
s u c o l u m n a j − esima e s l a m a t r i z
(f (u j))B =
α1 j.
.
.
αmj
∈ M m×1(K).
O b s e r v a c i ó n 4 2 N ó t e s e l a d i s p o s i c i ó n d e l a s b a s e s B d e l e s p a c i o d o m i n i o
Ey
Bd e
Ee n l a e x p r e s i ó n :
(f (w))B = M B
B (f ) · (w)B.
E J E M P L O S :
1 . S i c o n s i d e r a m o s e n R3
y R2
s u s e s t r u c t u r a s h a b i t u a l e s d e R− e.v. y l a
f u n c i ó n l i n e a l f : R3 → R2d e t e r m i n a d a p o r
f (1, 0, 0) = (1, 2), f (0, 1, 0) = (0, 1) y f (0, 0, 1) = (3,√
2),
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Á l g e b r a 1 7 7
r e s u l t a q u e , s i e n d o
B3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, B2 = {(1, 0), (0, 1)},
M B3B2
(f ) =
1 0 3
2 1√
2
.
P o r o t r a p a r t e , s i c o n s i d e r a m o s l a b a s e d e R3
B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}( v e r i f í q u e s e q u e e f e c t i v a m e n t e e s u n a b a s e ) , t e n d r e m o s q u e , p u e s t o q u e
f e s l i n e a l ,
f (1, 1, 1) = f ((1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1)) =
= f (1, 0, 0) + f (0, 1, 0) + f (0, 0, 1)) == (1, 2) + (0, 1) + (3,
√ 2) = (4, 3 +
√ 2),
y d e f o r m a a n á l o g a
f (0, 1, 1) = (3, 1 +√
2),
c o n l o q u e
M BB2(f ) =
4 3 3
3 +√
2 1 +√
2√
2
.
2 . E s e v i d e n t e q u e s i e n d o Bn l a b a s e c a n ó n i c a d e
Kn,
M Bn
Bn(Id
K
n) = I n ∈ M n(K).
E n g e n e r a l , s i B = {u1,....,un} e s u n a b a s e c u a l q u i e r a d e u n
K− e.v. E,M BB (IdE) = I n ∈ M n(K).
S i n e m b a r g o , s i e n d o B = B,
M B
B (IdE) = I n.
A s í p o r e j e m p l o , s i e n d o
B =
{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)
},
r e s u l t a
M B
Bn(Id
K
n) =
1 0 01 1 01 1 1
.
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1 7 8 Á l g e b r a
3 . S i c o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n p r o y e c c i ó n i − esima,
pi : Kn −→ K
(x1,...,xn) ; xi,
s i e n d o Bn y B1 l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e , r e s p e c t i v a m e n t e , Kn
y K, s e
v e r i c a q u e
M Bn
B1( pi) = ( 0 · · · 0 1(i) 0 · · · 0 ).
4 . S i e n e l C− e.v.
P 3(C) =
{f
∈C[x]
|gr(f )
≤3
},
c o n s i d e r a m o s l a b a s e u s u a l
B = {1, x , x2, x3}
y l a f u n c i ó n l i n e a l f : P 3(C) → P 3(C) t a l q u e
f (1) = x + 3x2,
f (x) = 2 + x,
f (x2) = −3 + x3
f (x
3
) = 1 + x
3
,
r e s u l t a q u e
M BB (f ) =
0 2 −3 11 1 0 03 0 0 00 0 1 1
.
3 . 5 . 4 A l g o r i t m o p a r a h a l l a r u n a b a s e d e l n ú c l e o y d e l a
i m a g e n
D a d a u n a f u n c i ó n l i n e a l
f : E → E e n t r e d o s
K- e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e
d i m e n s i o n e s n i t a s n
y m
, q u e r e m o s h a l l a r u n a b a s e d e l n ú c l e o y u n a
b a s e d e l a i m a g e n d e f .
F i j a d a s d o s b a s e s B = {u1, · · · , un} y
Bd e
Ey
E,r e s p e c t i v a m e n t e , s e a
M BB(f ) l a r e l a t i v a m a t r i z a s o c i a d a a f. N u e s t r o m é t o d o c o n s i s t e e n e l a p l i c a r
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 1 7 9
e l m é t o d o d e G a u s s a l a m a t r i z
M B
B(f )
I n h a s t a o b t e n e r u n a m a t r i z d e l a f o r m a
AP , d o n d e A e s l a f o r m a g a u s s i a n a d e l a m a t r i z M BB(f ) . L a s c o l u m n a s d e
l a m a t r i z M BB(f ) s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s {f (u1), · · · , f (un)}
r e s p e c t o d e l a b a s e B
y l a s c o l u m n a s d e l a m a t r i z I n s o n l a s c o o r d e n a d a s
d e l o s v e c t o r e s {u1, · · · , un} r e s p e c t o d e l a b a s e B. Y a q u e f e s l i n e a l , s i
v =k
i=1 αiui,e n t o n c e s
f (v) = f (k
i=1 αiui) =k
i=1 αif (ui). S e s i g u e q u e ,
a l a p l i c a r e l m é t o d o d e G a u s s s i n i n t e r c a m b i a r e l o r d e n d e l a s c o l u m n a s a
l a m a t r i z
M B
B(f )
I n
, l a s n u e v a s c o l u m n a s o b t e n i d a s s o n t o d a v í a d e l a f o r m a
(f (v))B
(v)B
( l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s u s a d a s s o n l i n e a l e s ) . A s í q u e l a s
c o l u m n a s d e P q u e a p a r e z c a n b a j o l a s c o l u m n a s n u l a s d e A c o n s t i t u y e n u n a
b a s e d e l n ú c l e o d e f y l a s c o l u m n a n o n u l a s d e A c o n s t i t u y e n u n a b a s e d e l a
i m a g e n d e f
.
E j e m p l o 3 . 5 . 5 S e a f : R3 → R2
d e n i d a p o r f (x,y,z ) = (x + 2y − 3z, x −
2y + z ). S e a n B y Bl a s b a s e s c a n ó n i c a s d e
R3y R3. E n t o n c e s
M BB(f )
I n
=
1 2 −31 −2 1
1 0 00 1 00 0 1
c2 = c2 − 2c1c3 = c3 + 3c1
→
1 0 01 −4 4
1 −2 30 1 00 0 1
c3 = c3 + c2→
1 0 01 −4 0
1 −2 10 1 10 0 1
y
{(1, 1), (0, −4)}e s u n a b a s e d e Im(f ) y
{(1, 1, 1)}e s u n a b a s e d e Ker(f ).
3 . 5 . 5 M a t r i z a s o c i a d a a l a c o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s l i -
n e a l e s
E n e s t a s e c c i ó n v a m o s a d e t e r m i n a r l a m a t r i z a s o c i a d a a u n a f u n c i ó n h = g◦f q u e e s l a c o m p u e s t a d e d o s f u n c i o n e s l i n e a l e s
f y
ga p a r t i r d e l a s m a t r i c e s
a s o c i a d a s a f y a g.
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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1 8 0 Á l g e b r a
U t i l i z a r e m o s l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s p a r a d e t e r m i n a r f á c i l m e n t e l a n u e v a
m a t r i z q u e q u e d a a s o c i a d a a u n a f u n c i ó n l i n e a l s i c a m b i a m o s l a s b a s e s d e s u
d o m i n i o y c o d o m i n i o .
L e m a 3 . 5 . 6 S e a n A, B ∈ M m×n(K). E n e s t a s c o n d i c i o n e s
1 . (A = (0) ∈ M m×n(K)) ⇔ (∀X ∈ M n×1(K), A · X = (0) ∈ M m×1(K)) ;
2 . A = B ⇔ (∀X ∈ M n×1(K), A · X = B · X ) .
D e m o s t r a c i ó n 1 . ⇒
E s e v i d e n t e .
1 . ⇐
S i e n d o Bc = {e1,..., en} l a b a s e c a n ó n i c a d e
M n×1(K),q u e e m -
p l e a n d o l a n o t a c i ó n h a b i t u a l d e m a t r i c e s s e e s c r i b i r í a
{e1,..., en} = {
10
.
.
.
0
,
01
.
.
.
0
,...,
00
.
.
.
1
},
r e s u l t a q u e , p o r h i p ó t e s i s , ∀i ∈ {1,...,n}, A · ei = (0) ∈ M m×1(K),
p e r o p o r
o t r a p a r t e , ∀ j ∈ {1,...,m}
(A · ei)( j, 1) =n
k=1
(A( j, k) · ei(k, 1)) = A( j, i),
e s d e c i r , A · ei = Ai( i . e . , l a c o l u m n a i − esima d e l a m a t r i z A), y p u e s t o q u e
∀i ∈ {1,...,n} A · ei = (0) = Ai,
r e s u l t a q u e A = (0).2 . A = B ⇔ A − B = (0) ⇔ ∀X ∈ M n×1(K) (A − B) · X = (0) ⇔
∀X ∈ M n×1(K) A · X = B · X. 2
P r o p o s i c i ó n 3 . 5 . 7 S i E
, E
y E
s o n K − e.v. d e d i m e n s i ó n n i t a , B , B
y Bs o n b a s e s d e
E,
Ey
Er e s p e c t i v a m e n t e , y f : E
→E
y g : E
→E
s o n f u n c i o n e s l i n e a l e s , e n t o n c e s s e v e r i c a q u e
M BB(g ◦ f ) = M B
B (g) · M B
B (f ),
d o n d e ·
e s e l p r o d u c t o u s u a l d e m a t r i c e s .
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 1 8 1
L a s h i p ó t e s i s d e l a p r o p o s i c i ó n s e p u e d e n r e p r e s e n t a r p o r m e d i o d e l a
s i g u i e n t e t a b l a , d o n d e s e s u p o n e q u e
dim(E ) = n, dim(E ) = m, dim(E ) = p.
g◦f −→
E Bf −→ E B
g−→ E B
(·)B (·)B (·)B
M n×1(K)
−→M B
B
(f )
M m×1(K)
−→M
B
B(g)
M p×1(K)
M B
B(g◦f )−→
L a c o n c l u s i ó n e s q u e
M BB(g ◦ f ) = M B
B (g) · M B
B (f ).
D e m o s t r a c i ó n S u p o n g a m o s q u e dim(E) = n. P u e s t o q u e l a f u n c i ó n (·)B :E → M n×1(K) e s u n i s o m o r s m o ,
∀X ∈ M n×1(K) ∃u ∈ Et a l q u e X = (u)B.
P o r o t r a p a r t e ,
∀u
∈E
, M B
B (g) · M B
B (f )
· (u)B = M B
B (g) · M B
B (f ) · (u)B
=
= M B
B (g) · (f (u))B
= (g(f (u)))B =
= ((g ◦ f )(u))B .
A d e m á s
M BB(g ◦ f ) · (u)B = ((g ◦ f )(u))B ,
e s d e c i r , ∀u ∈ E
,
M B
B (g) · M B
B (f ) · (u)B = M B
B(g ◦ f ) · (u)B,
o l o q u e e s l o m i s m o , ∀X ∈ M n×1(K),
M B
B (g) · M B
B (f )
· X = M BB(g ◦ f ) · X,
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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1 8 2 Á l g e b r a
c o n l o q u e , p o r e l l e m a a n t e r i o r ,
M B
B (g) · M B
B (f ) = M BB(g ◦ f ).
2
E j e m p l o 3 . 5 . 8 S i c o n s i d e r a m o s e n R3
y R2
s u s e s t r u c t u r a s h a b i t u a l e s d e
R− e.v. y l a s f u n c i o n e s l i n e a l e s f : R3 → R2 y g : R2 → R2t a l e s q u e
M B3B2
(f ) =
0 1 22 1 1
y
M B2B2
(g) = −1 0
0 −1
,
r e s u l t a q u e
M B3B2
(g ◦ f ) = M B2B2
(g) · M B3B2
(f ) =
−1 00 −1
·
0 1 22 1 1
=
=
0 −1 −2
−2 −1 −1
.
O b s e r v a c i ó n 4 3 E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r , t a n t o e n l a p r o p o s i c i ó n c o m o e n
e l e j e m p l o a n t e r i o r , e l o r d e n e n e l q u e s e m u l t i p l i c a n l a s m a t r i c e s y l a c o i n -
c i d e n c i a d e l a b a s e s q u e a p a r e c e n e n l a e x p r e s i ó n
M B2B2
(g) · M B3B2
(f )
s e g ú n l a d i r e c c i ó n N o r o e s t e - S u r e s t e .
O b s e r v a c i ó n 4 4 L a r e p r e s e n t a c i ó n d e u n a f u n c i ó n l i n e a l e n t r e e s p a c i o s v e c -
t o r i a l e s d e d i m e n s i ó n n i t a m e d i a n t e u n p r o d u c t o d e m a t r i c e s a s í c o m o l a
p r o p o s i c i ó n ( 3 . 5 . 7 ) , j u s t i c a n l a d e n i c i ó n d a d a e n e l c a p í t u l o 1 d e l p r o d u c t o
d e m a t r i c e s .
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Á l g e b r a 1 8 3
3 . 5 . 6 M a t r i c e s s e m e j a n t e s y c a m b i o s d e b a s e
D a d o u n K − e.v. E d e d i m e n s i ó n n , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a f u n c i ó n
IdE : E → Ee s l i n e a l , r e s u l t a q u e , s i e n d o B y B
b a s e s d e E, t e n d r e m o s q u e
∀u ∈ E,
(u)B = M B
B (IdE) · (u)B,
e s d e c i r , p o d e m o s o b t e n e r m e d i a n t e u n p r o d u c t o d e m a t r i c e s l a s c o o r d e -
n a d a s d e c u a l q u i e r v e c t o r r e s p e c t o d e l a b a s e B
, s i n m á s q u e c o n o c e r s u s
c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e l a b a s e B y l a m a t r i z d e t r a n s i c i ó n d e B a B
M BB (IdE).
E s m á s , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e
M BB (IdE) = I n = M B
B (IdE),
y q u e , c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n ( 3 . 5 . 7 ) ,
I n = M BB (IdE) = M BB (IdE ◦ IdE) = M B
B (IdE) · M BB (IdE)
I n = M B
B (IdE) = M B
B (IdE ◦ IdE) = M B
B (IdE) · M B
B (IdE),
o b t e n e m o s e n d e n i t i v a q u e l a m a t r i z M B
B (IdE) e s i n v e r t i b l e y q u e a d e m á s
M B
B (IdE)−1 = M BB (IdE).
E n c o n s e c u e n c i a ,
s i E
e s u n K− e.v. d e d i m e n s i ó n n y A ∈ M n(K)
e s t a l q u e
A = M BB (IdE),
e n t o n c e s l a m a t r i z A
e s i n v e r t i b l e , y a d e m á s
A−1 = M B
B (IdE).
O t r a d e l a s a p l i c a c i o n e s d e l a p r o p o s i c i ó n ( 3 . 5 . 7 ) c o n s i s t e e n q u e n o s
a p o r t a u n m é t o d o p a r a o b t e n e r l a m a t r i z M B
B (f )
d e u n a f u n c i ó n l i n e a l f :
E → Er e s p e c t o d e o t r a s b a s e s ( t a n t o d e
Ec o m o d e
E). A s í , p o r e j e m p l o ,
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1 8 4 Á l g e b r a
s i B1 e s o t r a b a s e d e E
, c o n s i d e r a n d o l a f u n c i ó n l i n e a l IdE : E → E, r e s u l t a
q u e
M B1
B (f ) = M B1
B (f ◦ IdE) = M B
B (f ) · M B1
B (IdE), ( 3 . 2 )
y s i Be s o t r a b a s e d e
E, c o n s i d e r a n d o l a f u n c i ó n l i n e a l IdE : E→ E,r e s u l t a r á q u e
M BB(f ) = M BB(IdE ◦ f ) = M B
B(IdE ) · M BB (f ). ( 3 . 3 )
E n p a r t i c u l a r , s e a n B y B
d o s b a s e s d e l m i s m o K − e.v. E d e d i m e n s i ó n
n i t a n y f : E → E u n a f u n c i ó n l i n e a l . S e a n M BB (f ) y M B
B (f ) l a s m a t r i c e s
a s o c i a d a s a f r e s p e c t o d e l a s b a s e s B y B.U t i l i z a n d o l a s e c u a c i o n e s ( 3 . 2 ) , ( 3 . 3 ) y l a p r o p o s i c i ó n ( 3 . 5 . 7 ) , s e o b t i e n e q u e
M B
B (f ) = M B
B (f ◦ IdE ) = M BB(f )M B
B (IdE ) =
= M BB(IdE ◦ f )M B
B (IdE ) = M BB(IdE )M BB (f )M B
B (IdE ).
E n t o n c e s ,
M B
B (f ) = (M B
B (IdE ))−1M BB (f )M B
B (IdE ). ( 3 . 4 )
E s t a ú l t i m a e c u a c i ó n j u s t i c a l a s i g u i e n t e d e n i c i ó n :
D e n i c i ó n 3 . 5 . 9 S e a n A, B ∈ M n(K).
S e d i c e q u e A
y B
s o n s e m e j a n t e s
s i e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e
P ∈ M n(K)t a l q u e
B = P −1
AP.
O b s e r v a c i ó n 4 5 L a r e l a c i ó n d e s e m e j a n z a s o b r e M n(K)
e s u n a r e l a c i ó n d e
e q u i v a l e n c i a .
E j e r c i c i o 3 . 5 . 2 S i c o n s i d e r a m o s e n R3
y R2
s u s e s t r u c t u r a s h a b i t u a l e s d e
R− e.v. y l a f u n c i ó n l i n e a l f : R3 → R2t a l q u e
M B3B2
(f ) =
0 1 22 1 1
,
s i e n d o
B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}, y B = {(1, 1), (0, 1)},
o b t e n e r l a s m a t r i c e s M BB2(f ), M B3
B (f ) y M B
B (f ).
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Á l g e b r a 1 8 5
E j e m p l o 3 . 5 . 1 0 S i c o n s i d e r a m o s e n R2
s u e s t r u c t u r a h a b i t u a l d e R − e.v.
y l a s b a s e s
B2( l a b a s e c a n ó n i c a ) y
B = {(0, 2), (1, 1)},r e s u l t a q u e
M BB2(Id
R
2) =
0 12 1
;
p o r o t r a p a r t e , p a r a h a l l a r M B2
B (IdR
2), p o d e m o s , o b i e n c a l c u l a r p o r c u a l -
q u i e r m é t o d o q u e s e c o n o z c a l a m a t r i z i n v e r s a d e M BB2(Id
R
2), o b i e n , t e n e r
e n c u e n t a q u e l o s v e c t o r e s c o l u m n a d e M B2B (Id
R
2) s o n l a s c o o r d e n a d a s d e
l o s v e c t o r e s d e l a b a s e c a n ó n i c a r e s p e c t o d e B.
S i r e s o l v e m o s e l s i s t e m a d e
e c u a c i o n e s e n α, β, γ y δ q u e s e o b t i e n e a l e s c r i b i r
(1, 0) = α(0, 2) + β (1, 1)y
(0, 1) = γ (0, 2) + δ (1, 1),
l l e g a m o s a q u e α γ β δ
=
−12
12
1 0
= M B2
B (IdR
2).
3 . 5 . 7 E c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s d e u n s u b -
e s p a c i o v e c t o r i a l
E n e s t a s e c c i ó n s e d e n e n y s e m u e s t r a c o m o h a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é -
t r i c a s e i m p l í c i t a s d e u n s u b e s p a c i o c u a l q u i e r a d e u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e
d i m e n s i ó n n i t a .
E n e l c a p í t u l o 5 v e r e m o s c o m o e s t a s e c u a c i o n e s s e u t i l i z a n e n e l c o n t e x t o
d e l o s c ó d i g o s l i n e a l e s .
E n e l c a p í t u l o 2 v i m o s q u e u n a r e c t a r
y u n p l a n o π
p o r (0, 0, 0)
s o n
s u b e s p a c i o s d e R3.
S u s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s s o n :
r :
x = λa
y = λb
z = λc
λ ∈ R,
d o n d e e l v e c t o r u = (a,b,c),
p a r a l e l o a r,
e s u n a b a s e d e r.
N o t a r q u e R = Rdim(r)
y q u e l a f u n c i ó n
g : R −→ R3,
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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1 8 6 Á l g e b r a
d e n i d a p o r
g(λ) = (λa,λb,λc),e s l i n e a l , i n y e c t i v a y
r = Im(g).
S e s i g u e q u e g : R −→ r
e s u n i s o m o r s m o .
P a r a e l p l a n o π l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s s o n
π :
x = λu1 + µv1
y = λu2 + µv2
z = λu3 + µv3
λ, µ ∈ R,
d o n d e l o s v e c t o r e s u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3), l i n e a l m e n t e i n d e p e n -
d i e n t e s , f o r m a n u n a b a s e d e π.N o t a r q u e , e n e s t e c a s o ,
R2 = Rdim(π)y q u e l a f u n c i ó n
g : R2 −→ R3,
d e n i d a p o r
g(λ, µ) = λu + µv,
e s l i n e a l , i n y e c t i v a y
π = Im(g).
S e s i g u e q u e g : R2 −→ π e s u n i s o m o r s m o .
E n g e n e r a l , s e a n E
u n K− e.v. t a l q u e dim(E) = n y H ≺ E, H = {0},
d e m a n e r a q u e dim(H ) = r > 0. S e g ú n h e m o s v i s t o , l o s e s p a c i o s Kr
y H s o n
i s o m o r f o s . S i g : Kr → H e s u n i s o m o r s m o y u ∈ E, t e n d r e m o s q u e
u ∈ H ⇔ u ∈ Im(g) ⇔ ∃(α1,...,αr) ∈ Krt a l q u e u = f (α1,...,αr).
S i e n d o B u n a b a s e c u a l q u i e r a d e E
y Br l a b a s e c a n ó n i c a d e Kr, t e n d r e m o s
q u e
u = g(α1,...,αr) ⇔ (u)B = (g(α1,...,αr))B = M Br
B (g) · α1
.
.
.
αr
e s d e c i r ,
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 1 8 7
u ∈ H ⇔ ∃(α1,...,αr) ∈ Kr
..(u)B = M
Br
B (f ) ·α1
.
.
.
αr .
A l a e x p r e s i ó n
(u)B = M Br
B (f ) ·
α1.
.
.
αr
l a d e n o m i n a r e m o s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e
H r e s p e c t o d e l a b a s e
B.
E j e m p l o 3 . 5 . 1 1 C o n s i d e r a m o s e l e s p a c i o R3
c o n s u b a s e c a n ó n i c a B3 y
s e a H e l s u b e s p a c i o g e n e r a d o p o r e l s i s t e m a {(1, 1, 0), (1, 2, 1)}. T e n i e n d o e n
c u e n t a q u e e s t e s i s t e m a e s l i b r e , r e s u l t a q u e d i c h o s i s t e m a e s u n a b a s e d e
H y q u e H e s u n p l a n o p o r (0, 0, 0). D a d o e n t o n c e s (x,y,z ) ∈ R3, r e s u l t a
q u e (x,y,z ) ∈ H s i y s o l o s i ∃(α, β ) ∈ R2
t a l q u e (x,y,z ) = α(1, 1, 0) +β (1, 2, 1), e s d e c i r , (x,y,z ) = (α + β, α + 2β, β ). S i g : R2 → H e s e l
i s o m o r s m o d e n i d o p o r g(1, 0) =
110
y g(0, 1) =
121
, e n t o n c e s
M B2B3
(g) = 1 11 20 1
.
T e n i e n d o e n c u e n t a q u e ((1, 1, 0))B3 =
110
, ((1, 2, 1))B3 =
121
,
l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e H r e s p e c t o d e l a b a s e B3 s e e s c r i b i r í a n :
(u)B3 =
1 11 20 1
·
αβ
o , e n f o r m a d e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s , s i e n d o
xyz
l a s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o
d e B3 d e u n v e c t o r g e n é r i c o d e H ,
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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1 8 8 Á l g e b r a
x = α + β
y = α + 2β z = β
.
V o l v i e n d o a l c a s o d e u n a r e c t a r y u n p l a n o π p o r (0, 0, 0) e n R3, v i m o s
q u e s u s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s s o n
r :
h1(x,y,z ) = a1x + b1y + c1z + d1 = 0
h2(x,y,z ) = a2x + b2y + c2z + d2 = 0
y
π : h(x,y,z ) = ax + by + cz + d = 0.
E n e l c a s o d e l a r e c t a r, s i d e n i m o s l a f u n c i ó n h : R3 −→ R2c o m o
h(x,y,z ) = (h1(x,y,z ), h2(x,y,z )), r e s u l t a q u e
r = {(x,y,z ) : h(x,y,z ) = 0} = Ker(h).
N o t a r q u e e l c o d o m i n i o d e h
e s R2 = R3−dim(r).
P a r a e l p l a n o π,
s e p u e d e d e n i r l a f u n c i ó n h : R3 −→ R
c o m o h(x,y,z ) =
ax + by + cz + d y r e s u l t a q u e
π = {(x,y,z ) : h(x,y,z ) = 0} = Ker(h).
N o t a r q u e e l c o d o m i n i o d e h e s , e n e s t e c a s o , R = R3−dim(π).
E l c a s o g e n e r a l e s e l c o n t e n i d o d e l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n .
P r o p o s i c i ó n 3 . 5 . 1 2 S e a n E
u n K − e.v. t a l q u e dim(E) = n y H ≺ E,
H = {0}, H = E, d e m a n e r a q u e 0 < dim(H ) = r < n. E n e s t a s c o n d i c i o n e s
e x i s t e u n a f u n c i ó n l i n e a l h : E −→ Kn−rt a l q u e H = ker(h).
D e m o s t r a c i ó n S e a {u1,...,ur} ⊆ H u n a b a s e d e H. P o r e l t e o r e m a d e
e x t e n s i ó n d e u n a b a s e , ∃{ur+1,...,un} ⊆ E
t a l q u e {u1,...,un} e s u n a b a s e
d e E. S i e n d o
{e1,..., en−r} l a b a s e c a n ó n i c a d e Kn−r
c o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n
l i n e a l
h : E →Kn−
rd e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s :
∀i ∈ {1,...,n}, h(ui) =
0s i i ≤ r
ei−r s i i > r. E v i d e n t e m e n t e H ⊆ Ker(h), y
p u e s t o q u e e l c o n j u n t o {e1,..., en−r} ⊆ Im(h)
, r e s u l t a q u e dim(Im(h)) = n−
r, c o n l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e dim(E) = n, r e s u l t a q u e dim(Ker(h)) =
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Á l g e b r a 1 8 9
r = dim(H ), e s d e c i r , H = Ker(h). 2
V i s t a l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , s i B = {u1,...,un} e s u n a b a s e d e E
y
h : E →Kn−re s u n a f u n c i ó n l i n e a l t a l q u e Ker(h) = H, s i e n d o Bn−r l a b a s e
c a n ó n i c a d e Kn−r
r e s u l t a q u e
u ∈ H ⇔ h(u) = 0 ⇔ M BBn−r(h) · (u)B = (0)
e n d e n i t i v a ,
u ∈ H ⇔ M BBn−r(h) · (u)B = (0)
A l a e x p r e s i ó n
M BBn−r(h) · (u)B = (0)
( o a s u v e r s i ó n e q u i v a l e n t e c o m o s i s t e m a h o m o g é n e o d e e c u a c i o n e s ) l a d e n o -
m i n a r e m o s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e H r e s p e c t o d e B.
E j e m p l o 3 . 5 . 1 3 S e a H
e l s u b e s p a c i o d e R3
d e l e j e m p l o a n t e r i o r , i . e . , e l
s u b e s p a c i o g e n e r a d o p o r e l s i s t e m a {(1, 1, 0), (1, 2, 1)}. T e n i e n d o e n c u e n t a
q u e e s t e s i s t e m a e s l i b r e , r e s u l t a q u e d i c h o s i s t e m a e s u n a b a s e d e H y q u e
H e s u n p l a n o . E x t e n d i e n d o e s t e s i s t e m a c o n e l v e c t o r
(0, 1, 0),r e s u l t a q u e
B = {(1, 1, 0), (1, 2, 1), (0, 1, 0)}e s u n s i s t e m a l i b r e ( v e r i f í q u e s e ) y e n c o n s e c u e n c i a e s u n a b a s e d e
R3. S i a h o r a
c o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n l i n e a l h : R3→R, d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s
h(1, 1, 0) = 0, h(1, 2, 1) = 0 y h(0, 1, 0) = 1, r e s u l t a q u e H = Ker(h), y
e n c o n s e c u e n c i a , s i e n d o B1 l a b a s e c a n ó n i c a d e R
, u ∈ H ⇔ h(u) = 0 ⇔M BB1
(h) · (u)B = (0), e s d e c i r , l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e H r e s p e c t o d e
Bs o n
0 0 1
· (u)B = (0),
o l o q u e e s l o m i s m o , s i e n d o
xy
z
l a s
c o o r d e n a d a s d e u n v e c t o r g e n é r i c o d e H,
0 0 1 · x
yz
= (0) , q u e
e s c r i t a s e n f o r m a d e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s s e r e d u c e n a z = 0.
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1 9 0 Á l g e b r a
S i a h o r a q u i s i é r a m o s o b t e n e r l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e H r e s p e c t o d e
o t r a b a s e , p o r e j e m p l o l a b a s e c a n ó n i c a d e R3
, B3, e s s u c i e n t e c o n c a m b i a r
l a m a t r i z c o n s i d e r a d a , e s d e c i r , l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e H r e s p e c t o d e B3
s o n M B3B1
(h) · (u)B = (0) y , p u e s t o q u e M B3B1
(h) = M BB1(h) ·M B3
B (Id), t e n i e n d o
e n c u e n t a q u e M B3B (Id) =
M BB3
(Id)−1
=
1 1 01 2 10 1 0
−1
=
1 0 −10 0 1
−1 1 −1
,
r e s u l t a q u e l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e H r e s p e c t o d e B3 s o n
0 0 1
·
1 0 −10 0 1
−1 1 −1
·
xyz
= (0),
e s d e c i r , −x + y − z = 0.
3 . 6 E j e r c i c i o s
3 . 6 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s
1 . R a z o n a r s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s s o n o n o l i n e a l e s ( e n c a d a u n o d e
l o s c o n j u n t o s c o n s i d e r a d o s s e c o n s i d e r a s u e s t r u c t u r a h a b i t u a l d e e s p a c i o
v e c t o r i a l ) :
a) f : R3 → R
(x,y,z ) x + 2y − 3z b) f : R3 → R
(x,y,z ) xyz
c) f : R2 → R
(x, y) x2 + y
2 . D a d a l a f u n c i ó n l i n e a l f : R2 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s
f (1, 0) = (3, 4, 1), f (0, 1) = (−1, 0, 1),
d e t e r m i n a r f (3, 1)
y f (2, −1).
3 . D e t e r m i n a r s i l a f u n c i ó n T : M 2(R) → R, d o n d e
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Á l g e b r a 1 9 1
a ) T
a bc d = 3a − 4b + c − d
b ) T a b
c d
= a2 + b2
e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l .
4 . S e a T : R2 → R2
e l o p e r a d o r l i n e a l d e n i d o p o r l a e x p r e s i ó n T (x, y) =
(2x − y, −8x + 4y). ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s e s t á n e n R(T ) ?
a ) ( 1 , - 4 ) b ) ( 5 , 0 ) c ) ( - 3 , 1 2 )
T (x, y) = (2x − y, −4(2x − 4)).
5 . S e a T : P2
→P3 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r T ( p(x)) = xp(x).
¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s e s t á n e n Ker(T )?
a ) x3b ) 0 c ) 1 + x
6 . E n c a d a i n c i s o , u s a n d o l a i n f o r m a c i ó n p r o p o r c i o n a d a o b t e n e r l a n u -
l i d a d d e T .
a ) T : R5 → R7t i e n e r a n g o 3 .
b ) T : P4 → P3 t i e n e r a n g o 1 .
c ) T (R6) = R3.d )
T : M 2(R) → M 2(R)t i e n e r a n g o 3 .
7 . S e a T : R2 → R2l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e l a r e c t a y = x .
a ) E n c o n t r a r e l n ú c l e o d e T .
b ) ¾ E s T u n o a u n o ? J u s t i c a r l a c o n c l u s i ó n .
8 . E n c a d a i n c i s o , u s a n d o l a i n f o r m a c i ó n d a d a d e t e r m i n a r s i ( l a f u n c i ó n
l i n e a l ) T e s u n o a u n o .
a ) T : Rn → Rm; n u l i d a d ( T ) = 0 .
b ) T : Rn → Rn
; r a n g o ( T ) = n - 1 .
c ) T : Rm → Rn; n < m .
d ) T : Rn → Rn; R ( T ) =
Rn.
9 . S e a T : P2 → P1 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r
T (a0 + a1x + a2x2
) = (a0 + a1) − (2a1 + 3a2)x.a ) E n c o n t r a r l a m a t r i z p a r a T c o n r e s p e c t o a l a s b a s e s B 2 = { 1 , x , x
2} y
B 1 = { 1 , x } p a r a P2 y
P1.b ) C o m p r o b a r q u e l a m a t r i z ( T ) B2,B1 = M B1
B2(T )
o b t e n i d a e n e l i n c i s o a )
s a t i s f a c e l a f ó r m u l a : A ( p ( x ) ) B2 = ( T ( p ( x ) ) ) B2.
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1 9 2 Á l g e b r a
1 0 . S e a T 1 : P1 → P2 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r
T 1(c0 + c1x) = 2c0 − 3c1x
y s e a T 2 : P2 → P3 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r
T 2(c0 + c1x + c2x2) = 3x(c0 + c1x + c2x2).S e a n B 1 = { 1 , x } , B 2 = { 1 , x , x
2} y B 3 = { 1 , x , x
2,x
3} .
a ) E n c o n t r a r M B1B3
(T 2 ◦ T 1), M B2B3
(T 2), M B1B2
(T 1).b ) E s c r i b i r u n a f ó r m u l a q u e r e l a c i o n e l a s m a t r i c e s d e l i n c i s o a ) .
c ) C o m p r o b a r q u e l a s m a t r i c e s d e l i n c i s o a ) s a t i s f a c e n l a f ó r m u l a p l a n -
t e a d a e n e l i n c i s o b ) .
1 1 . S e a n A y B m a t r i c e s s e m e j a n t e s . D e m o s t r a r l o s i g u i e n t e :
a ) A
ty B
ts o n s e m e j a n t e s .
b ) S i A y B s o n i n v e r t i b l e s , e n t o n c e s A
−1y B
−1s o n s e m e j a n t e s .
1 2 . ( T e o r e m a a l t e r n a t i v o d e F r e d h o l m ) S e a T : V →
V u n o p e r a d o r
l i n e a l s o b r e u n e s p a c i o v e c t o r i a l n d i m e n s i o n a l . D e m o s t r a r q u e s e c u m p l e
e x a c t a m e n t e u n a d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s :
i ) L a e c u a c i ó n T ( x ) = b t i e n e u n a s o l u c i ó n p a r a t o d o l o s v e c t o r e s b e n
V .
i i ) N u l i d a d d e T > 0 .
1 3 . S e a l a f u n c i ó n l i n e a l
f : R4
→ R3
d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s
f (1, 1, 1, 1) = (0, 0, 1), f (1, 0, 1, 0) = (1, 1, −1),
f (1, 1, 1, 0) = (0, 0, −1), f (−1, −2, 0, 0) = (1, 1, 1).
a ) H a l l a r l a m a t r i z a s o c i a d a a f r e s p e c t o d e l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e R4
y
R3.b ) L a d i m e n s i ó n y l a s e c u a c i o n e s d e Ker(f ) e Im(f ) r e s p e c t o d e l a s b a s e s
c a n ó n i c a s d e R4
y R3.
1 4 . S e a E u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e d i m e n s i ó n 3 y B =
{e1, e2, e3
}u n a b a s e
d e E. C o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n l i n e a l f : E → E t a l q u e s u m a t r i z a s o c i a d a
s e a
M BB (f ) =
15 −11 520 −15 88 −7 6
.
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Á l g e b r a 1 9 3
H a l l a r l a m a t r i z a s o c i a d a a f r e s p e c t o d e l a b a s e B = {u1, u2, u3}, d o n d e
u1 = 2e1 + 3e2 + e3,u2 = 3e1 + 4e2 + e3,
u3 = e1 + 2e2 + 2e3.
1 5 . H a l l a r u n a b a s e d e l n ú c l e o y u n a b a s e d e l a i m a g e n d e l a s i g u i e n t e
f u n c i ó n l i n e a l :
f : R4 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s :
f (1, 0, 0, 0) = (1, 0, 1), f (0, 1, 0, 0) = (2, 1, −1),
f (0, 0, 1, 0) = (3, 0, −1), f (0, 0, 0, 1) = (1, 1, 1).
1 6 . E n R2
s e c o n s i d e r a l a b a s e B = {u1, u2},
d o n d e
u1 = 2e1 + 3e2,
u2 = 3e1 + 4e2,
y B2 = {e1, e2} = {(1, 0), (0, 1)}.
S i e n d o l a f u n c i ó n l i n e a l f : R2 → R2
t a l
q u e s u m a t r i z a s o c i a d a r e s p e c t o d e Be s
M B
B (f ) = 3 15
2 10 ,
h a l l a r u n a b a s e d e Ker(f )
y u n a b a s e d e Im(f ).
3 . 6 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s
1 . R a z o n a s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s s o n o n o l i n e a l e s ( e n c a d a u n o d e l o s
c o n j u n t o s c o n s i d e r a d o s s e c o n s i d e r a s u e s t r u c t u r a h a b i t u a l d e e s p a c i o
v e c t o r i a l ) :
f : R3 −→ R
(x,y,z ) → 2x + 1
g : R3 −→ R2
(x,y,z ) → (x − y, y2)
h : R4 −→ R2
(x,y,z,t) → (2x − 3y + t, z − t)
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1 9 4 Á l g e b r a
2 . P r u e b a q u e p a r a t o d a a p l i c a c i ó n R
- l i n e a l f : R −→ Re x i s t e u n n ú m e r o
r e a l
at a l q u e
f (x) = ax,
∀x ∈R
.
3 . P r u e b a q u e d a d o u n K
e s p a c i o v e c t o r i a l E , u n a a p l i c a c i ó n l i n e a l
f : E −→ K
n o n u l a e s s o b r e y e c t i v a .
4 . S e a D((a, b),R) e l c o n j u n t o d e f u n c i o n e s d e r i v a b l e s r e a l e s d e v a r i a b l e
r e a l d e n i d a s e n e l i n t e r v a l o (a, b) ⊂ R
.
( a ) D e m u e s t r a q u e
D((a, b),R
)e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e
F ((a, b),R
).
( b ) P r u e b a q u e l a a p l i c a c i ó n d e r i v a d a
D : D((a, b),R) −→ F ((a, b),R)f → D(f ) = f
e s u n a a p l i c a c i ó n l i n e a l .
( c ) ¾ C u á l e s e l n ú c l e o d e d i c h a a p l i c a c i ó n ?
5 . S e a C([a, b],R) e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e f u n c i o n e s r e a l e s c o n t i n u a s d e n i -
d a s e n e l i n t e r v a l o
[a, b] ⊂R
. P r u e b a q u e l a a p l i c a c i ó n i n t e g r a l d e n i d a
I : C([a, b],R) −→ R
f → I (f ) = b
af (x)dx
e s u n a a p l i c a c i ó n l i n e a l .
6 . C o n s i d e r a e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 3(R) d e p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o
i g u a l q u e 3
y l a s b a s e s :
B3 = {1, x , x2, x3}y B = {1, (x − 1), (x − 1)2, (x − 1)3}.
C a l c u l a l a s m a t r i c e s d e c a m b i o d e b a s e : M B3B (IdP 3(R
)) y M BB3(IdP 3( R
)) .
H a l l a l a s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e B d e l o s p o l i n o m i o s :
2x + 4x2 + x3, 1 + x3, 2 + 2x, 2 + x2 − x3.
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Á l g e b r a 1 9 5
7 . S e a B3 = {e1, e2, e3} l a b a s e c a n ó n i c a d e R3
. S e a f l a ú n i c a a p l i c a c i ó n
l i n e a l d e R3
e n R4
v e r i c a n d o :
f (e1) = (2, 0, −1, 0)f (e2) = (1, 3, −2, 3)f (e3) = (1, 1, −1, 1)
( i ) H a l l a f (x,y,z ) p a r a (x,y,z ) ∈ R3.
( i i ) C a l c u l a u n a b a s e d e Ker(f ) .
( i i i ) C a l c u l a u n a b a s e d e Im(f ) .
8 . C o n s i d e r a l a a p l i c a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r :
f : R3 −→ R3, f (x,y,z ) = (x + 2y − 2z,3
2x + 4y − 3z, x + 3y − 2z )
C a l c u l a l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e Im(f )
. ¾ Q u é d i m e n s i ó n t i e n e
Ker(f ) ?
9 . E s t u d i a l a i n y e c t i v i d a d , s o b r e y e c t i v i d a d y b i y e c t i v i d a d d e l a s a p l i c a -
c i o n e s l i n e a l e s :
f : R3 −→ R3
(x,y,z ) → (2x + y − z, 3x + 2y − 4z, x + 2y − z )
g : R4 −→ R3
(x,y,z,t) → (2y − 3z − 3t, −x + 2z + 4t, −2x + y + z )
h : R2 −→ R4d e n i d a p o r
e1 → h(e1) = (2, −1, 0, 3)e2 → h(e2) = (1, 0, −1, −7)
1 0 . S i e n d o f , g y h l a s a p l i c a c i o n e s l i n e a l e s d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r , r e s p o n d e
a l a s s i g u i e n t e s p r e g u n t a s :
•¾ P e r t e n e c e n (3, −1, 0) y (2, 0, −1) a Im(f ) ?
•¾ P e r t e n e c e n
(2, −7, 11, 3)y
(14, 15, 13, −3)a
Ker(g)?
•¾ P e r t e n e c e n (1, −1, 1, 10) y (1, 2, −5, −3) a Im(h) ?
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1 9 6 Á l g e b r a
1 1 . S e a f l a a p l i c a c i ó n l i n e a l d e R3
a R3
c u y a m a t r i z r e s p e c t o d e l a b a s e
c a n ó n i c a
B3 = {e1, e2, e3}e s :
M B3B3
(f ) =
−3 5 02 4 25 −2 5
S e a B = {v1 = (2, 2, −2), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 2, 2)}.
- C o m p r u e b a q u e B e s u n a b a s e d e R3
.
- C a l c u l a l a s m a t r i c e s M B3B (Id
R
3) , M BB3(Id
R
3) y M BB (f )
1 2 . P a r a c a d a n
∈N
, s e a P n(R) e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e p o l i n o m i o s e n u n a
v a r i a b l e d e g r a d o m e n o r o i g u a l q u e n c o n c o e c i e n t e s e n R . S e a Bn ={1, x , . . . , xn}
l a b a s e c a n ó n i c a d e d i c h o e s p a c i o . S e a Dn l a r e s t r i c c i ó n
d e l a a p l i c a c i ó n d e r i v a d a D a P n(R):
Dn : P n(R) −→ P n−1(R) p → D( p) = p
P a r a n = 3, c a l c u l a l a m a t r i z d e l a a p l i c a c i ó n D3 r e s p e c t o a l a s b a s e s
B3 y B2 . ¾ C u á l s e r á l a f o r m a g e n e r a l d e l a m a t r i z d e Dn r e s p e c t o a l a s
b a s e s Bn y Bn−1 ?
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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C a p í t u l o 4
E s p a c i o s v e c t o r i a l e s e u c l í d e o s
E n e l c a p í t u l o 2 h e m o s r e c o r d a d o l a d e n i c i ó n d e p r o d u c t o e s c a l a r d e v e c t o r e s
e n R2
y R3
y h e m o s d e n i d o e l p r o d u c t o e s c a l a r d e v e c t o r e s d e Rn. L a
l o n g i t u d d e u n v e c t o r y l a d i s t a n c i a e n t r e d o s v e c t o r e s q u e d a b a n d e n i d a s
p o r l a s e x p r e s i o n e s u =
√ u · u y d(u, v) = u − v =
(u − v) · (u − v).
H a y s i t u a c i o n e s e n l a s q u e e s n e c e s a r i o u t i l i z a r o t r a s d i s t a n c i a s e n t r e o b -
j e t o s , p o r e j e m p l o , c u a n d o s e p r e t e n d e o b t e n e r l a m e j o r a p r o x i m a c i ó n d e
u n a f u n c i ó n p o r m e d i o d e f u n c i o n e s q u e p e r t e n e c e n a u n s u b e s p a c i o v e c -
t o r i a l d e t e r m i n a d o . E s t o p u e d e c o n s e g u i r s e d e n i e n d o u n p r o d u c t o e s c a l a r
a d e c u a d o .
A l o l a r g o d e l c a p í t u l o c o n s i d e r a r e m o s s ó l o e s p a c i o s v e c t o r i a l e s s o b r e R.
L a t e o r í a p a r a e s p a c i o s v e c t o r i a l e s e u c l í d e o s c o m p l e j o s e s u n a g e n e r a l i z a c i ó n
d e l a a q u í p r e s e n t a d a p a r a e s p a c i o s r e a l e s .
4 . 1 P r o d u c t o e s c a l a r
D e n i c i ó n 4 . 1 . 1 S i E e s u n R− e.v. s e d i c e q u e u n a f u n c i ó n
<, >: E × E −→ R
(u, v) < u, v >
e s u n p r o d u c t o e s c a l a r r e a l ( o p r o d u c t o i n t e r i o r r e a l )
s i :
( p.e. 1) ∀u,v,w ∈ E < u + v,w >=< u, w > + < v, w > .( p.e. 2) ∀u, v ∈ E ∀α ∈ R < αu,v >= α < u, v > .( p.e. 3) ∀u, v ∈ E < u, v >=< v,u > .( p.e. 4) ∀u ∈ E < u, u >≥ 0 y < u, u >= 0 ⇔ u = 0.
1 9 7
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1 9 8 Á l g e b r a
S i <, >: E × E −→ R
e s u n p r o d u c t o e s c a l a r , a l p a r (E,< ,>) l e
d e n o m i n a r e m o s e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o ( e . v . e . ) .
E j e m p l o 4 . 1 . 2 E n R2
l a f u n c i ó n
<, >: R2 × R2 −→ R
d e n i d a p a r a c a d a p a r d e v e c t o r e s (x, y) , (x, y) ∈ R2m e d i a n t e l a e x p r e s i ó n
(x1, x2), (y1, y2) = x1y1 + x2y2
e s u n p r o d u c t o e s c a l a r . C o m o v i m o s , e s t e p r o d u c t o e s c a l a r e s e l p r o d u c t o
e s c a l a r u s u a l d e R2.
E j e m p l o 4 . 1 . 3 E n g e n e r a l e n e l R− e.v. Rnl a f u n c i ó n
<, >: Rn × Rn −→ R
d e n i d a p a r a c a d a p a r d e v e c t o r e s
(x1,...,xn), (y1,...,yn) ∈ Rn
m e d i a n t e l a e x p r e s i ó n
(x1,...,xn), (y1,...,yn) = x1y1 + ... + xnyn =n
i=1
xiyi
e s u n p r o d u c t o e s c a l a r ( v e r i f í q u e s e ) . E s t e p r o d u c t o e s c a l a r e s e l p r o d u c t o
e s c a l a r u s u a l d e Rn.
E j e m p l o 4 . 1 . 4 E n e l R− e.v. d e l o s p o l i n o m i o s c o n c o e c i e n t e s r e a l e s
R[x]c o n s i d e r a r e m o s l o s p r o d u c t o s e s c a l a r e s s i g u i e n t e s ( v e r i f í q u e s e ) :
<, >1: R[x] × R[x] −→ R
( p(x), q (x))
1 −1
p(x) · q (x)dx,
<, >0: R[x] × R[x] −→ R
( p(x), q (x))
min{n,m}i=0
aibi,
d o n d e p(x) = anxn + ... + a1x + a0 y q (x) = bmxm + ... + b1x + b0.
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Á l g e b r a 1 9 9
E s i m p o r t a n t e s e ñ a l a r q u e e n e l e j e m p l o a n t e r i o r , l o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s
e u c l í d e o s
(R
[x], < , >0)y
(R
[x],< ,>1), a ú n t e n i e n d o e l m i s m o c o n j u n t o b a s e ,
s o n d i s t i n t o s . P o r e j e m p l o ,
< 3, x2 >1=
1 −1
3x2dx = 2y
< 3, x2 >0= 3 · 0 = 0.
O b s e r v a c i ó n 4 6 N ó t e s e q u e s i (E,<,>) e s u n e . v . e . , a p a r t i r d e l a s p r o -
p i e d a d e s d e l p r o d u c t o e s c a l a r s e v e r i c a q u e
∀u,v,w ∈ E < u, w + v >=< w + v,u >=
=< w, u > + < w, v >=< u, w > + < v, w >y
∀u, v ∈ E ∀α ∈ R < u, αv >=< αv, u >= α < v, u >= α < u, v > .
A d e m á s , s i α1,...,αn ∈ Ry u1,...,un, v ∈ E,
α1u1 + ... + αnun, v = α1 < u1, v > +... + αn < un, v >=n
i=1
αi < ui, v > .
E j e r c i c i o 4 . 1 . 1 D e m o s t r a r q u e s i (E,<,>)
e s u n e . v . e . , α1,...,αn, β 1,...,β m ∈
Ry u1,...,un, v1,...,vm ∈ E, e n t o n c e s
α1u1 + ... + αnun, β 1v1 + ... + β mvm =
= α1β 1 < u1, v1 > +... + α1β m < u1, vm > +
+α2β 1 < u2, v1 > +... + αnβ m < un, vm >=
=n
i=1
m j=1
αiβ j < ui, v j > .
S e s i g u e q u e u n p r o d u c t o e s c a l a r e s l i n e a l e n l a p r i m e r a y s e g u n d a v a -
r i a b l e s , e s d e c i r , e s u n a f u n c i ó n b i l i n e a l . A d e m á s , p o r v a l e r l a s p r o p i e d a d e s
( p.e. 3) y ( p.e. 4), s e d i c e q u e <, > e s u n a f u n c i ó n b i l i n e a l , s i m é t r i c a y
d e n i d a p o s i t i v a .
E j e r c i c i o 4 . 1 . 2 S e a E u n R − e.v.e. c o n p r o d u c t o e s c a l a r (·, ·) y s e a v0
c u a l q u i e r v e c t o r j o d e E.
S e a f : E → R
l a f u n c i ó n d e n i d a p o r f (u) =
(u, v0) ∀u ∈ E. V e r i c a r q u e f e s l i n e a l .
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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2 0 0 Á l g e b r a
4 . 2 L o n g i t u d o n o r m a e u c l í d e a d e u n v e c t o r
S i g u i e n d o l a l í n e a d i r e c t r i z m a r c a d a e n l a i n t r o d u c c i ó n , t o m a n d o e l c o n c e p t o
d e p r o d u c t o e s c a l a r c o m o u n c o n c e p t o p r i m a r i o , v a m o s a d e n i r a p a r t i r d e
é l l a s n o c i o n e s d e n o r m a , d i s t a n c i a y á n g u l o e n e s p a c i o s e u c l í d e o s .
D e n i c i ó n 4 . 2 . 1 S i (E,<,>) e s u n e.v. y u ∈ E, u n a n o r m a ( o m ó d u l o )
e s n ú m e r o r e a l , u, t a l q u e
(n. 1) ∀u ∈ E u ≥ 0y
u = 0 ⇔ u = 0,(n. 2) ∀u ∈ E ∀k ∈ R ku = |k|u,(n. 3) ∀u, v ∈ E u + v ≤ u + v
( d e s i g u a l d a d t r i a n g u l a r ) .
D e n i c i ó n 4 . 2 . 2 S i
(E,<,>)e s u n
e.v.e.y
u ∈ E,l l a m a r e m o s
n o r m a
e u c l í d e a ( o m ó d u l o ) d e u a l n ú m e r o r e a l
u =√
< u, u >.
A n t e s d e p o d e r v e r i c a r q u e u n a n o r m a e u c l í d e a v e r i c a l a d e n i c i ó n
g e n e r a l d e n o r m a , n e c e s i t a m o s e s t u d i a r a l g u n a s d e s u s p r o p i e d a d e s .
4 . 2 . 1 P r o p i e d a d e s d e l a n o r m a e u c l í d e a
A p a r t i r d e l a s p r o p i e d a d e s q u e d e b e s a t i s f a c e r l a f u n c i ó n <, > p o r s e r u n
p r o d u c t o e s c a l a r , e s f á c i l o b t e n e r l a s p r o p i e d a d e s :
(n. 1)∀u ∈ E u ≥ 0 y u = 0 ⇔< u, u >= 0 ⇔ u = 0.(n. 2)∀u ∈ E ∀k ∈ R
ku =
< ku, ku > =
k2 < u, u > = |k| · u .
O t r a s p r o p i e d a d e s d e l a n o r m a e u c l í d e a q u e s e p u e d e n o b t e n e r f á c i l m e n t e
a p a r t i r d e l a s p r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o e s c a l a r s o n l a s q u e a p a r e c e n e n u n -
c i a d a s e n e l e j e r c i c i o s i g u i e n t e .
E j e r c i c i o 4 . 2 . 1 S e a (E,<,>) u n e.v.e.. D e m o s t r a r q u e ∀u, v ∈ E, s e v e r i -
c a q u e :
1. u + v2 + u − v2 = 2 u2 + v2 ( l e y d e l p a r a l e l o g r a m o )
2. < u, v >= 12
u + v2 − u2 − v23. < u, v >= 1
4
u + v2 − u − v2A l a s p r o p i e d a d e s 2 y 3 s e l a s c o n o c e c o m o
i d e n t i d a d e s d e p o l a r i z a c i ó n .
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 2 0 1
A d e m á s d e l a s p r o p i e d a d e s a n t e r i o r e s , v a m o s a o b t e n e r o t r a s p r o p i e d a d e s
d e l a n o r m a q u e d e r i v a n b á s i c a m e n t e d e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o c o n o c i d o c o m o
d e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z .
T e o r e m a 4 . 2 . 3 S i (E,<,>) e s u n e.v.e., ∀u, v ∈ E s e v e r i c a q u e
|< u, v >| ≤ u · v .
A d e m á s
|< u, v >| = u · v ⇔ {u, v}e s l i g a d o .
D e m o s t r a c i ó n ∀λ ∈ R c o n s i d e r a m o s e l v e c t o r u + λv. P o r l a s p r o p i e d a d e s
d e l p r o d u c t o e s c a l a r ,
∀λ ∈ R < u + λv,u + λv >≥ 0
p e r o
< u + λv,u + λv >=< u, u > +2λ < u, v > +λ2 < v, v > .
S i d e n i m o s a =< v,v >, b =< u, v > y c =< u, u > y c o n s i d e r a m o s l a
f u n c i ó n
f : R
→R
λ f (λ) = aλ2 + 2bλ + c
s e g ú n e s s a b i d o , e l g r a f o d e f e s u n a p a r á b o l a d e R2
y , p u e s t o q u e s i {u, v}
e s l i b r e , u + λv = 0, ∀λ ∈ Ry
∀λ ∈ R < u + λv,u + λv >= aλ2 + 2bλ + c > 0,
t e n d r e m o s q u e e s o s ó l o e s p o s i b l e s i ∀λ ∈ R
l a e c u a c i ó n d e s e g u n d o g r a d o
a n t e r i o r n o t i e n e r a í c e s r e a l e s , e s d e c i r , s i s u d i s c r i m i n a n t e e s n e g a t i v o :
∆ = 4b2 − 4ac < 0
o , l o q u e e s l o m i s m o ,
b2 − ac < 0,
c o n l o q u e < u, v >2 − < u, u >< v,v >
< 0,
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2 0 2 Á l g e b r a
e s d e c i r ,
|< u, v >| < √ < u, u > · √ < v, v > = u · v .A d e m á s
|< u, v >| = u · v ⇔ b2 − ac = 0 ⇔⇔ ∃λ ∈ R
t a l q u e < u, u > +2λ < u, v > +λ2 < v, v >= 0
⇔ ∃λ ∈ Rt a l q u e < u + λv,u + λv >= 0
⇔ ∃λ ∈ Rt a l q u e
u + λv = 0
⇔ ∃λ ∈ Rt a l q u e u + λv = 0
⇔ {u, v}e s l i g a d o .
2
A p a r t i r d e l r e s u l t a d o a n t e r i o r s e o b t i e n e l a p r o p i e d a d (n. 3), l a d e s i g u a l -
d a d t r i a n g u l a r o d e s i g u a l d a d d e l t r i á n g u l o , p a r a n o r m a e u c l í d e a s . P o r t a n t o ,
u n a n o r m a e u c l í d e a e s u n a n o r m a .
P r o p o s i c i ó n 4 . 2 . 4 S i (E,< ,>)
e s u n e.v.e., ∀u, v ∈ E
s e v e r i c a q u e
u + v ≤ u + v .
D e m o s t r a c i ó n
u + v2 = < u + v, u + v >=< u, u > +2 < u, v > + < v, v >=
= u2 + v2 + 2 < u, v >≤ u2 + v2 + 2 |< u, v >| ≤≤ u2 + v2 + 2 u · v = (u + v)2 ,
d e d o n d e , e x t r a y e n d o r a í c e s c u a d r a d a s
u + v ≤ u + v .
2
E j e r c i c i o 4 . 2 . 2 D e t e r m i n a r l a s n o r m a s e u c l í d e a s a s o c i a d a s a l o s p r o d u c t o s
e s c a l a r e s d e n i d o s e n l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s .
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Á l g e b r a 2 0 3
Á n g u l o e n t r e d o s v e c t o r e s
A p a r t i r d e l p r o d u c t o e s c a l a r , t a m b i é n p o d e m o s r e c u p e r a r e l c o n c e p t o d e
á n g u l o . S i (E,<,>) e s u n e.v.e. y u, v ∈ E, u = 0, v = 0, c o m o c o n s e c u e n c i a
d e l a d e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z y d e l a s p r o p i e d a d e s q u e s a t i s f a c e e l
v a l o r a b s o l u t o r e s u l t a q u e
−1 ≤ < u, v >
u · v ≤ 1.
D e n i c i ó n 4 . 2 . 5 S i (E,<,>) e s u n e.v.e. y u, v ∈ E, u = 0, v = 0, s e
d e n o m i n a á n g u l o
e n t r e l o s v e c t o r e s u y v a l n ú m e r o r e a l
uv ∈ [0, π] t a l q u e
cos( uv) =< u, v >
u · v .
D e n i c i ó n 4 . 2 . 6 S i (E,<,>) e s u n e.v.e., y u, v ∈ E, s e d i c e q u e u y v s o n
o r t o g o n a l e s ( o p e r p e n d i c u l a r e s ) s i
< u, v >= 0.
E j e r c i c i o 4 . 2 . 3 C o m p r u é b e s e q u e s i u, v ∈ (E,< ,>), u = 0, v = 0, e n t o n c e s
uv = π2
⇔ u y v s o n o r t o g o n a l e s .
y
{u, v}e s l i g a d o
⇔ uv = 0ó uv = π.
P a r a p r o b a r e s t a ú l t i m a p a r t e , t é n g a s e e n c u e n t a q u e , s i p o r e j e m p l o uv = 0,
e n t o n c e s |< u, v >| = u · v
y q u e , e n t a l c a s o , v a l e n l a s c o n c l u s i o n e s d e l
t e o r e m a ( 4 . 2 . 3 ) .
E j e r c i c i o 4 . 2 . 4 E n e l e . v . e . (R3, < , >), d o n d e <, > e s e l p r o d u c t o e s c a l a r
u s u a l , d e t e r m i n a r e l á n g u l o f o r m a d o p o r l o s v e c t o r e s (1, 0, 1) y (0, 0, 1).
E j e r c i c i o 4 . 2 . 5 D e t e r m i n a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s v e c t o r e s 1 + x, x2 ∈
R[x] e n l o s e . v . e . (R[x],< ,>1) y (R[x],< ,>0).
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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2 0 4 Á l g e b r a
D i s t a n c i a e u c l í d e a
F i n a l m e n t e , a p a r t i r d e l p r o d u c t o e s c a l a r , t a m b i é n p o d e m o s d e n i r l a d i s -
t a n c i a e n t r e v e c t o r e s .
D e n i c i ó n 4 . 2 . 7 S i (E,<,>) e s u n e.v.e. y u, v ∈ E s e d e n o m i n a d i s t a n -
c i a e u c l í d e a d e u a v y s e d e n o t a p o r d(u, v) a l n ú m e r o r e a l
d(u, v) = u − v =√
< u − v, u − v >.
A p a r t i r d e l a s p r o p i e d a d e s v i s t a s d e l a n o r m a e u c l í d e a , e s f á c i l v e r q u e
s e s a t i s f a c e n l a s p r o p i e d a d e s q u e d e b e v e r i c a r c u a l q u i e r f u n c i ó n d i s t a n c i a ,
a s a b e r :
1.∀
x, y∈
E d(x, y)≥
0.
2. ∀x, y ∈ E d(x, y) = 0 ⇔ x = y
3. ∀x,y,z ∈ E d(x, z ) ≤ d(x, y) + d(y, z ).
E j e r c i c i o 4 . 2 . 6 E n e l e . v . e (R3,< ,>) , d o n d e <, > e s e l p r o d u c t o e s c a l a r
u s u a l , d e t e r m i n a r l a d i s t a n c i a e n t r e l o s v e c t o r e s (1, 0, 1) y (0, 1, 1).
E j e r c i c i o 4 . 2 . 7 E n e l e . v . e (R[x],< ,>1) d e t e r m i n a r d(1 + x, x2).
E j e r c i c i o 4 . 2 . 8 E n e l e . v . e (R[x],< ,>0) d e t e r m i n a r d(1+ x, x2). C o m p á r e s e
e l r e s u l t a d o o b t e n i d o c o n e l d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r .
4 . 3 M é t o d o d e o r t o g o n a l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t
D e n i c i ó n 4 . 3 . 1 S e a n (E,< ,>) u n e . v . e . y {u1,...,ur} u n s i s t e m a d e v e c -
t o r e s d e E. S e d i c e q u e e l s i s t e m a {u1,...,ur} e s
o r t o g o n a l s i s e v e r i c a :
1. ∀i ∈ {1,...,r} ui = 02. ∀i, j ∈ {1,...,r} (i = j ⇒< ui, u j >= 0)
S i a d e m á s d e s e r u n s i s t e m a o r t o g o n a l , e l s i s t e m a {u1,...,ur} s a t i s f a c e
3. ∀i ∈ {1,...,r} ui = 1
s e d i c e q u e e l s i s t e m a
{u1,...,ur}e s
o r t o n o r m a l .
P r o p o s i c i ó n 4 . 3 . 2 S e a n (E,< ,>) u n e . v . e . y {u1,...,ur} u n s i s t e m a d e
v e c t o r e s d e E \ {0}. S e v e r i c a q u e
{u1,...,ur} o r t o g o n a l ⇒ {u1,...,ur} l i b r e .
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Á l g e b r a 2 0 5
D e m o s t r a c i ó n S u p o n g a m o s q u e
α1u1 + ... + αrur = 0.
E n e s e c a s o
∀i ∈ {1,...,r} α1u1 + ... + αrur, ui =< 0, ui >= 0.
P e r o p o r o t r a p a r t e , ∀i ∈ {1,...,r},
α1u1 + ... + αrur, ui =
= α1 < u1, ui > +... + αi < ui, ui > +... + αr < ur, ui >=
= αiui2,
p u e s t o q u e s i j = i < u j , ui >= 0. E n d e n i t i v a ,
∀i ∈ {1,...,r} αi = 0
y e n c o n s e c u e n c i a {u1,...,ur} e s l i b r e .
2
O b s e r v a c i ó n 4 7 E s i m p o r t a n t e n o t a r q u e e x i s t e n s i s t e m a s l i b r e s q u e n o s o n
o r t o g o n a l e s , p o r e j e m p l o d o s v e c t o r e s q u e n o s o n n i p a r a l e l o s , n i p e r p e n d i c u -
l a r e s .
D e n i c i ó n 4 . 3 . 3 S e a n (E,<,>) u n e . v . e y B =
{u1,...,un
}u n a b a s e d e E.
S e d i c e q u e B e s u n a b a s e o r t o g o n a l
s i e l s i s t e m a {u1,...,un} e s o r t o g o n a l y ,
o b v i a m e n t e , s e d i c e q u e B e s u n a b a s e o r t o n o r m a l
s i e l s i s t e m a {u1,...,un}
e s o r t o n o r m a l .
O b v i a m e n t e s i (E,< ,>) u n e . v . e . t a l q u e dim(E ) = n y {u1,...,un} e s u n
s i s t e m a o r t o g o n a l , n e c e s a r i a m e n t e {u1,...,un} e s u n a b a s e o r t o g o n a l , s i e n d o
l i b r e c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r .
E n e l s i g u i e n t e t e o r e m a e x p o n d r e m o s u n m é t o d o , c o n o c i d o c o m o m é t o d o
d e o r t o g o n a l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t , q u e n o s v a a p e r m i t i r c o n s t r u i r u n s i s -
t e m a o r t o g o n a l a p a r t i r d e u n s i s t e m a d a d o ( e n p a r t i c u l a r u n a b a s e o r t o g o n a l
a p a r t i r d e u n a b a s e d a d a ) .
L a i d e a c o n s i s t e e n , p a r t i e n d o d e l p r i m e r v e c t o r d e l s i s t e m a d a d o , q u e
c o i n c i d i r á c o n e l p r i m e r v e c t o r d e l s i s t e m a o r t o g o n a l o b t e n i d o , i r c o n s t r u y e n -
d o e l s i s t e m a d e m a n e r a q u e c a d a v e c t o r q u e a ñ a d i m o s s e a o r t o g o n a l a l o s
v e c t o r e s y a c o n s t r u i d o s .
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2 0 6 Á l g e b r a
T e o r e m a 4 . 3 . 4 S e a n (E,<,>) u n e . v . e . y {u1,...,ur} u n s i s t e m a l i b r e d e
E.E n e s t a s c o n d i c i o n e s e x i s t e u n s i s t e m a o r t o g o n a l
{v1,...,vr}t a l q u e
∀i ∈ {1,...,r} L({v1,...,vi}) = L({u1,...,ui}).
D e m o s t r a c i ó n R a z o n a m o s p o r i n d u c c i ó n s o b r e r : .B a s e d e i n d u c c i ó n : S i r = 1
n o h a y n a d a q u e p r o b a r , p u e s t o q u e s i {u1}
e s l i b r e , u1 = 0 y o b v i a m e n t e ( s e g ú n l a d e n i c i ó n ) {u1} e s o r t o g o n a l .
P a s o d e i n d u c c i ó n : S u p o n g a m o s c i e r t o e l r e s u l t a d o p a r a t o d o s i s t e m a
l i b r e d e r
v e c t o r e s . S e a {u1,...,ur+1} u n s i s t e m a l i b r e . E n e s e c a s o , p u e s t o
q u e {u1,...,ur} e s u n s i s t e m a d e r v e c t o r e s , p o d e m o s a p l i c a r l a h i p ó t e s i s d e
i n d u c c i ó n , e s d e c i r , e x i s t e u n s i s t e m a o r t o g o n a l
{v1,...,vr
}t a l q u e
∀i ∈ {1,...,r} L({v1,...,vi}) = L({u1,...,ui}).
V e a m o s c ó m o c o n s t r u i r vr+1 d e m a n e r a q u e s a t i s f a g a l a s c o n d i c i o n e s r e q u e -
r i d a s . P u e s t o q u e
L({v1,...,vr}) = L({u1,...,ur}),
b u s c a m o s vr+1 ∈ E d e m a n e r a q u e
L({v1,...,vr, vr+1}) = L({u1,...,ur, ur+1}).
R e s u l t a q u e d e b e s u c e d e r q u e
vr+1 ∈ L({v1,...,vr, vr+1}) = L({u1,...,ur, ur+1}) = L({v1,...,vr, ur+1}).
P o n g a m o s
vr+1 = ur+1 + λ1v1 + ... + λrvr
y v e a m o s c ó m o d e b e n s e r l o s c o e c i e n t e s λ1,...,λr ∈ Rp a r a q u e s e s a t i s f a g a
l a c o n d i c i ó n d e o r t o g o n a l i d a d , e s d e c i r , q u e
∀i ∈ {1,...,r} < vr+1, vi >= 0.
D a d o
i ∈ {1,...,r},< vr+1, vi >=< ur+1 + λ1v1 + ... + λrvr, vi >=
= < ur+1, vi > +λ1 < v1, vi > +... + λr < vr, vi >=
= < ur+1, vi > +λi < vi, vi >
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Á l g e b r a 2 0 7
p u e s t o q u e e l r e s t o d e l o s t é r m i n o s s o n n u l o s , a l s e r o r t o g o n a l e l s i s t e m a
{v1,...,vr} .I m p o n i e n d o e n t o n c e s l a c o n d i c i ó n
< vr+1, vi >= 0 =< ur+1, vi > +λi < vi, vi >
r e s u l t a q u e
λi = −< ur+1, vi >
< vi, vi >.
qed
M é t o d o d e o r t o g o n a l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t
D e l a d e m o s t r a c i ó n a n t e r i o r s e d e d u c e q u e , e n d e n i t i v a , d a d o e l s i s t e m a
l i b r e {u1,...,ur} , e l m é t o d o d e o r t o g o n a l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t c o n s i s t e
e n d e n i r e l s i s t e m a d e v e c t o r e s
v1 = u1
v2 = u2 − < u2, v1 >
< v1, v1 >· v1
v3 = u3 − < u3, v1 >
< v1, v1 >· v1 − < u3, v2 >
< v2, v2 >· v2
.
.
.
vr = ur − < ur, v1 >< v1, v1 >
· v1 − ... − < ur, vr−1 >< vr−1, vr−1 >
· vr−1,
q u e e s u n s i s t e m a o r t o g o n a l y a d e m á s s a t i s f a c e l a c o n d i c i ó n
∀i ∈ {1,...r − 1} L({v1,...,vi}) = L({u1,...,ui}).
O b s e r v a c i ó n 4 8 N ó t e s e q u e s i {v1,...,vr} e s o r t o g o n a l , d e n i e n d o
∀i ∈ {1,...,r} wi =vi
vie l s i s t e m a
{v1,...,vr} e s o r t o n o r m a l , p u e s t o q u e
∀i ∈ {1,...,r} wi =
vi
vi =
1
|vi| · vi = 1.
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2 0 8 Á l g e b r a
O b s e r v a c i ó n 4 9 N ó t e s e q u e c o m o c o n s e c u e n c i a d e l t e o r e m a y d e l a o b -
s e r v a c i ó n a n t e r i o r , s i
(E,<,>)e s u n e . v . e . , c o n
E d e d i m e n s i ó n n i t a , y
{u1,...,un} e s u n a b a s e d e E, u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t p o d e m o s
o b t e n e r , a p a r t i r d e e l l a , u n a b a s e o r t o g o n a l y , p o s t e r i o r m e n t e , d i v i d i e n d o c a -
d a v e c t o r p o r s u n o r m a , o b t e n d r e m o s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e (E,<,>). E n
c o n s e c u e n c i a , p o d e m o s a r m a r q u e t o d o e . v . e . d e d i m e n s i ó n n i t a t i e n e u n a
b a s e o r t o n o r m a l .
E j e r c i c i o 4 . 3 . 1 A p a r t i r d e l a b a s e
{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)},
o b t e n e r p o r e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t u n a b a s e o r t o n o r m a l d e (R3,< ,>),d o n d e
<, >e s e l p r o d u c t o e s c a l a r h a b i t u a l .
C o o r d e n a d a s o r t o n o r m a l e s
L a p r e g u n t a q u e e s n a t u r a l h a c e r s e e s ¾ p o r q u é n o s i n t e r e s a t r a b a j a r c o n b a s e s
o r t o n o r m a l e s ? A u n q u e m á s a d e l a n t e v e r e m o s o t r a s p r o p i e d a d e s q u e t i e n e n
q u e v e r c o n l a m e j o r a p r o x i m a c i ó n o a p r o x i m a c i ó n ó p t i m a d e u n v e c t o r p o r
v e c t o r e s d e u n s u b e s p a c i o , l a p r i m e r a v e n t a j a , q u e r e s u l t a e v i d e n t e , e s l a
s i g u i e n t e .
S i B = {w1,...,wn}e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e (E,<,>), l a s c o o r d e n a -
d a s d e c u a l q u i e r v e c t o r u ∈ E r e s p e c t o d e d i c h a b a s e s e p u e d e n o b t e n e r e n
f u n c i ó n d e l p r o d u c t o e s c a l a r d e
up o r l o s v e c t o r e s d e
B,p u e s s i
u = α1w1 + ... + αnwn
r e s u l t a q u e ∀i ∈ {1,...,n}< u, wi > = < α1w1 + ... + αnwn, wi >=
= α1 < w1, wi > +... + αn < wn, wi >=
= αi < wi, wi >= αi wi2 = αi,
c o n l o q u e
u =< u, w1 > w1 + ...+ < u, wn > wn =
ni=1
< u, wi > wi.
E l r e s u l t a d o d e l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n s e c o n o c e c o m o i d e n t i d a d d e
P a r s e v a l y e s u n a g e n e r a l i z a c i ó n d e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s .
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Á l g e b r a 2 0 9
P r o p o s i c i ó n 4 . 3 . 5 S i B = {w1,...,wn}e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e l e . v . e .
(E,< ,>),e n t o n c e s
∀u ∈ E s e v e r i c a q u e
u2 =n
i=1
< u, wi >2 .
D e m o s t r a c i ó n S e a B = {w1,...,wn} u n a b a s e o r t o n o r m a l d e (E,< ,>).E n e s e c a s o
u =n
i=1
< u, wi > wi,
c o n l o q u e
u2 = < u, u >=<n
i=1
< u, wi > wi,n
j=1
< u, w j > w j >=
=n
i=1
< u, wi >< wi,n
j=1
< u, w j > w j >=
=n
i=1
< u, wi >
n
j=1
< u, w j >< wi, w j >
=
( t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a b a s e e s o r t o n o r m a l )
=
n
i=1
< u, wi > (< u, wi >< wi, wi >) =
=n
i=1
< u, wi >2 wi2 =n
i=1
< u, wi >2 .
2
4 . 3 . 1 D e s c o m p o s i c i ó n QR
d e u n a m a t r i z
S i A ∈ M m×n(R)t i e n e v e c t o r e s c o l u m n a
(A1, A2, · · · , An) = (u1, u2, · · · , un)l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , e s d e c i r , s i
rango(A) = n,e l m é t o d o d e o r t o g o n a -
l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t n o s p r o p o r c i o n a u n a m a n e r a d e d e t e r m i n a r , a p a r -
t i r d e l s i s t e m a l i b r e (u1, u2, · · · , un), u n s i s t e m a o r t o n o r m a l (q 1, q 2, · · · , q n).S i a h o r a d e n o t a m o s c o n
Q ∈ M m×n(R)a l a m a t r i z c u y o s v e c t o r e s c o l u m n a
s o n l o s v e c t o r e s o b t e n i d o s (q 1, q 2, · · · , q n), ¾ c u á l e s l a r e l a c i ó n e n t r e A y Q?
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2 1 0 Á l g e b r a
S i e n d o (q 1, q 2, · · · , q n) u n a b a s e o r t o n o r m a l d e l e s p a c i o c o l u m n a d e A,
L(u1, u2, · · · , un),s e s i g u e q u e
∀ j ∈ {1, · · · , n} u j =n
i=1
< u j, q i > q i.
S e a R = (< q i, u j >) ∈ M n(R) l a m a t r i z c u y a s c o l u m n a s s o n l a s c o o r -
d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s (u1, u2, · · · , un) r e s p e c t o d e l a b a s e (q 1, q 2, · · · , q n).E n t o n c e s
R =
< u1, q 1 > < u2, q 1 > · · · < un, q 1 >< u1, q 2 > < u2, q 2 > · · · < un, q 2 >
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
< u1, q n > < u2, q n > · · · < un, q n >
,
∀ j ∈ {1, · · · , n} A j = (QR) jy A = Q R .
A d e m á s , s i e n d o q i o r t o g o n a l a u1, u2, · · · , ui−1 p a r a t o d o i ≥ 2, l a m a t r i z
R e s t r i a n g u l a r s u p e r i o r m e n t e :
R =
< u1, q 1 > < u2, q 1 > · · · < un, q 1 >0 < u2, q 2 > · · · < un, q 2 >
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0
· · ·< un, q n >
e i n v e r t i b l e , y a q u e < ui, q i >= 0, p a r a t o d o i ∈ {1, · · · , n}.H e m o s a s í o b t e n i d o l a d e s c o m p o s i c i ó n Q R d e l a m a t r i z A e n e l p r o -
d u c t o d e u n a m a t r i z Q c o n v e c t o r e s c o l u m n a o r t o g o n a l e s p o r u n a m a t r i z Ri n v e r t i b l e y t r i a n g u l a r s u p e r i o r m e n t e .
L a d e s c o m p o s i c i ó n QR s e u t i l i z a e n v a r i o s a l g o r i t m o s n u m é r i c o s y , e n
p a r t i c u l a r , e n e l c á l c u l o n u m é r i c o d e a u t o v a l o r e s d e m a t r i c e s g r a n d e s .
E j e m p l o 4 . 3 . 6 S e a A ∈ M 3×2(R)
d e n i d a p o r
A = 1 10 1
1 1 .
E n t o n c e s u1 =
101
y u2 =
111
.
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 2 1 1
A p l i c a n d o e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t s e o b t i e n e l a b a s e o r t o g o n a l
v1 = u1, v2 = u2 − < u2, v1 >
< v1, v1 >· v1 =
111
− 2
2
101
=0
10
.
U n a b a s e o r t o n o r m a l d e l e s p a c i o c o l u m n a d e A
e s
q 1 =v1
v1 =
1√ 2
01√ 2
, q 2 =v2
v2 =
010
.
P o r t a n t o ,
Q = 1√ 2
0
0 11√ 2
0 , R = < u1, q 1 > < u2, q 1 >0 < u2, q 2 > = √
2
√ 20 1
y A = QR.
4 . 4 P r o y e c c i o n e s o r t o g o n a l e s
D e n i c i ó n 4 . 4 . 1 S e a n (E,< ,>) u n e . v . e . y A ⊆ E. D i r e m o s q u e v ∈ E e s
u n v e c t o r o r t o g o n a l a A s i ∀u ∈ A, < v,u >= 0.
E j e m p l o 4 . 4 . 2 E n (R3, < , >), d o n d e <, > e s e l p r o d u c t o e s c a l a r u s u a l d e
R3
,c u a l q u i e r v e c t o r d e l a r e c t a
L((0, 0, 1))e s o r t o g o n a l a l c o n j u n t o
A ={(1, 1, 0), (0, 1, 0)}.
O b s e r v a c i ó n 5 0 N ó t e s e q u e e l v e c t o r 0 ∈ E e s o r t o g o n a l a c u a l q u i e r s u b -
c o n j u n t o A ⊆ E. P u e s , s i e n d o A c u a l q u i e r s u b c o n j u n t o d e E, ∀u ∈ A s e
v e r i c a q u e
< u, 0 >=< u, u − u >=< u, u > − < u, u >= 0
o , s i s e p r e e r e ,
< u, 0 >=< u, 0 · 0 >= 0· < u, 0 >= 0.
P r o p o s i c i ó n 4 . 4 . 3 S e a n (E,<,>) u n e . v . e . y A⊆
E. S e v e r i c a q u e e l
c o n j u n t o
A⊥ = {v ∈ E |∀u ∈ A < v, u >= 0 }e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e E. A e s t e s u b e s p a c i o s e l e d e n o m i n a s u b e s p a c i o
o r t o g o n a l d e A.
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2 1 2 Á l g e b r a
D e m o s t r a c i ó n E j e r c i c i o .
O b s e r v a c i ó n 5 1 E n e l c a s o p a r t i c u l a r d e q u e (E,<,>) s e a u n e . v . e . d e
d i m e n s i ó n n i t a y H ≺ E, a l s u b e s p a c i o o r t o g o n a l d e H s e l e d e n o m i n a
c o m p l e m e n t o o r t o g o n a l d e H.
P r o p o s i c i ó n 4 . 4 . 4 S e a n (E,< ,>) u n e . v . e . c o n dim(E ) = n y H ≺ E. E n
e s t a s c o n d i c i o n e s s e v e r i c a q u e
dim(H ⊥) = n − dim(H ).
D e m o s t r a c i ó n S i H = {0}e l r e s u l t a d o e s e v i d e n t e . S u p o n g a m o s , p u e s ,
q u e
dim(H ) = r > 0.E n e s e c a s o , s i e n d o {u1,...,ur} u n a b a s e d e
H,p o r
e l t e o r e m a d e e x t e n s i ó n d e u n a b a s e , e x i s t e n ur+1,...,un t a l e s q u e e l s i s t e m a
{u1,...,ur, ur+1,...,un}e s u n a b a s e d e E. U t i l i z a n d o e l m é t o d o d e G r a m -
S c h m i d t y p o s t e r i o r m e n t e d i v i d i e n d o c a d a v e c t o r p o r s u n o r m a , o b t e n e m o s
u n a b a s e o r t o n o r m a l {w1,...,wr, wr+1,...,wn}
d e (E,<,>) t a l q u e
L(w1,...,wr) = L(u1,...,ur) = H.
L a p r o p o s i c i ó n e s t a r á d e m o s t r a d a s i c o m p r o b a m o s q u e
{wr+1,...,wn}
e s u n a b a s e d e H ⊥.E v i d e n t e m e n t e
{wr+1,...,wn} e s u n s i s t e m a l i b r e , p u e s t o q u e e s u n s u b -
s i s t e m a d e u n s i s t e m a l i b r e . V e a m o s q u e e s t a m b i é n u n s i s t e m a g e n e r a d o r
d e H ⊥ :s i v ∈ H ⊥, c o m o H ⊥ ⊂ E y
{w1,...,wr, wr+1,...,wn}e s u n a b a s e d e E,
e x i s t i r á n α1,...,αr, αr+1,...,αn ∈ Rt a l e s q u e
v = α1w1 + ... + αrwr + αr+1wr+1 + ... + αnwn.
A h o r a b i e n , c o m o ∀u ∈ H < v, u >= 0, e n p a r t i c u l a r
∀i ∈ {1,...,r} < v, wi >= 0,
y p u e s t o q u e {w1,...,wr, wr+1,...,wn}
e s o r t o n o r m a l , r e s u l t a q u e
∀i ∈ {1,...,n} < v, wi >= αi,
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Á l g e b r a 2 1 3
c o n l o q u e o b t e n e m o s q u e α1 = α2 = · · · = αr = 0 y
v = αr+1wr+1 + ... + αnwn ∈ L({wr+1,...,wn}).
2
O b s e r v a c i ó n 5 2 S i {w1,...,wr} e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e u n s u b e s p a c i o
v e c t o r i a l H y {w1,...,wr, wr+1,...,wn}
e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e l e s p a c i o E,p o r l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r
{wr+1,...,wn} e s u n a b a s e d e H ⊥, c o n l o q u e
∀u ∈ E ∃!(α1,...,αr, αr+1,...,αn) ∈ Rnt a l e s q u e
u = α1w1 + ... + αrwr + αr+1wr+1 + ... + αnwn.
S i d e n o t a m o s p o r
h = α1w1 + ... + αrwr ∈ H
y p o r
h⊥ = αr+1wr+1 + ... + αnwn ∈ H ⊥
r e s u l t a q u e
∀u ∈ E ∃!h ∈ H y ∃!h⊥ ∈ H ⊥ t a l e s q u e u = h + h⊥.
D e n i c i ó n 4 . 4 . 5 S i e n d o (E,< ,>) u n e . v . e . d e d i m e n s i ó n n i t a , H ≺ E y
u ∈ E, s i
u = h + h⊥
c o n h ∈ H y h⊥ ∈ H ⊥, a l v e c t o r h s e l e d e n o m i n a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l
d e u s o b r e e l s u b e s p a c i o H y s e l e d e n o t a p o r p⊥H (u).
E j e r c i c i o 4 . 4 . 1 S e a E u n R − e.v.e. c o n p r o d u c t o e s c a l a r < ·, · > y H u n
s u b e s p a c i o d e d i m e n s i ó n n i t a r d e E. S i B = (w1, w2, · · · , wr)e s u n a b a s e
o r t o n o r m a l d e H , s e a p⊥H : E → H l a f u n c i ó n p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l
d e E s o b r e
H,d e n i d a p o r
p⊥H (u) =< u, w1 > w1+ < u, w2 > w2 + · · · + < u, wr > wr ∀u ∈ E.
V e r i c a r q u e p⊥H e s l i n e a l .
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2 1 4 Á l g e b r a
4 . 4 . 1 M é t o d o p a r a h a l l a r u n a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l
P a r a c a l c u l a r l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e u n v e c t o r u s o b r e u n s u b e s p a c i o H p r o c e d e r e m o s c o m o s i g u e : a p a r t i r d e u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o H o b t e n e m o s
( p o r e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t ) u n a b a s e o r t o n o r m a l {w1,...,wr} d e H.
L a p r o y e c c i ó n d e u s o b r e H s e r á e n t o n c e s e l v e c t o r
p⊥H (u) = h = α1w1 + ... + αrwr =< u, w1 > w1 + ...+ < u, wr > wr.
E n e l c a s o p a r t i c u l a r d e q u e H = L({v}), p u e s t o q u e
{ v
v}
e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e H,
l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e u
s o b r e H
s e r á e l
v e c t o r
h =< u,v
v > · v
v =< u, v >
v2 · v.
E j e m p l o 4 . 4 . 6 E n (R[x], < , >1) d o n d e
<, >1: R[x] × R[x] −→ R
( p, q ) < p, q >1=1
−1 p(x) · q (x)dx,
o b t e n e r l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l v e c t o r x2s o b r e e l s u b e s p a c i o H = L({x, 1+
x}). S i e n d o {x, 1 + x}
u n s i s t e m a l i b r e , e s t a m b i é n u n a b a s e d e H. A p l i c a n d o
e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t , s e o b t i e n e l a b a s e o r t o g o n a l
u1 = x, u2 = 1 + x − < 1 + x, x >1
< x, x >1x = 1 + x −
2323
x = 1.
U n a b a s e o r t o n o r m a l e s
w1 =u1
u11 =x 23
=
3
2x, w2 =
u2
u21 =1√
2.
E n t o n c e s
p⊥H (x2
) =< x2
, w1 >1 w1+ < x2
, w2 >1 w2 =
1
3 1 =
√ 2
3 w2.
E j e r c i c i o 4 . 4 . 2 E n (R3,< ,>) d o n d e <, > e s e l p r o d u c t o e s c a l a r u s u a l d e
R3,o b t e n e r l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l v e c t o r
(1, 2, 1)s o b r e l o s s u b e s p a c i o s
H = L((1, 0, 1)) y H = L((1, 0, 1), (1, 0, 0)) .
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Á l g e b r a 2 1 5
4 . 4 . 2 A p r o x i m a c i ó n ó p t i m a d e u n v e c t o r .
S i e n d o (E,< ,>) u n e . v . e . ( d e d i m e n s i ó n n i t a o n o ) , u ∈ E y H ≺ E ,
H = L({u1,...,um}), b u s c a m o s e l v e c t o r d e H q u e m e j o r a p r o x i m a a l v e c t o r
u o , l o q u e e s l o m i s m o , b u s c a m o s e l v e c t o r d e H q u e e s t á a l a m e n o r d i s t a n c i a
p o s i b l e d e u. C o m o v e r e m o s , d i c h o v e c t o r e s l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e us o b r e H y , s e g ú n h e m o s v i s t o , l a f o r m a d e o b t e n e r d i c h a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l
e s a t r a v é s d e u n a b a s e o r t o n o r m a l d e H.
A n t e s d e o b t e n e r e l r e s u l t a d o c e n t r a l d e e s t a s e c c i ó n , v e a m o s u n l e m a
p r e v i o .
L e m a 4 . 4 . 7 S i {w1,...,wr} e s u n s i s t e m a o r t o n o r m a l d e l e . v . e .
(E,<,>)y
u
∈E, s e v e r i c a q u e
∀i
∈ {1,...,r
}e l v e c t o r
u − r
j=1
< u, w j > w j
e s o r t o g o n a l a l v e c t o r wi.
D e m o s t r a c i ó n S e a i ∈ {1,...,r}. E n e s e c a s o
< u −
r j=1
< u, w j > w j
, wi >=
= < u, wi > − r j=1
< u, w j >< w j , wi > =
( p u e s t o q u e e l s i s t e m a e s o r t o n o r m a l )
= < u, wi > − < u, wi >< wi, wi >=
= < u, wi > − < u, wi >= 0.
2
T e o r e m a 4 . 4 . 8 S e a n {w1,...,wr} u n s i s t e m a o r t o n o r m a l d e l (E,<,>) y
H = L(w1,...,wr). E n t o n c e s , p a r a t o d o u ∈ E, s e v e r i c a q u e
d(u, p⊥H (u)) ≤ d(u, w) ∀w ∈ H.
E n o t r a s p a l a b r a s , p⊥H (u) =r
i=1
< u, wi > wi e s e l v e c t o r d e H = L({w1,...,wr})
q u e e s t á a m e n o r d i s t a n c i a d e u ( i . e . , e l q u e m e j o r l o a p r o x i m a ) .
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2 1 6 Á l g e b r a
D e m o s t r a c i ó n P o r d e n i c i ó n
d(u, p⊥H (u)) = d(u,r
i=1
< u, wi > wi) = u − ri=1
< u, wi > wi .
S e g ú n h e m o s v i s t o e n e l l e m a a n t e r i o r , e l v e c t o r
u −
ri=1
< u, wi > wi
e s o r t o g o n a l a c a d a u n o d e l o s v e c t o r e s w1,...,wr y , e n c o n s e c u e n c i a , t a m b i é n
s e r á o r t o g o n a l a c u a l q u i e r c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e d i c h o s v e c t o r e s . P o r o t r a
p a r t e , s i
w =
ri=1 αiwie s u n v e c t o r d e
H,
d(u, w)2 =
u −
ri=1
αiwi
2
=
=
u −
ri=1
αiwi
− p⊥H (u) + p⊥H (u)
2
=
=
(u − p⊥H (u)) +
r
i=1
(< u, wi > −αi)wi
2
=
p o r l a i d e n t i d a d d e P a r s e v a l ,
y a q u e u − p⊥H (u) ∈ H ⊥
y
ri=1
(< u, wi > −αi)wi ∈ H,
=u − p⊥H (u)
2 +
ri=1
(< u, wi > −αi)wi
2
c o n l o q u e
u − p⊥H (u)2 ≤ d(u, w)2.
2
E j e r c i c i o 4 . 4 . 3 E n (R3, < , >), d o n d e <, > e s e l p r o d u c t o e s c a l a r u s u a l d e
R3,h a l l a r l a m e j o r a p r o x i m a c i ó n d e l v e c t o r
(1, 0, 1)p o r v e c t o r e s d e l s u b e s p a -
c i o H = L((1, 2, 1), (1, 0, 0)).
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Á l g e b r a 2 1 7
E j e r c i c i o 4 . 4 . 4 E n (R[x], < , >1) d o n d e
<, >1: R[x] × R[x] −→ R
( p, q ) < p, q >1=1
−1 p(x) · q (x)dx,
H a l l a r l a m e j o r a p r o x i m a c i ó n d e l v e c t o r x
p o r v e c t o r e s d e l s u b e s p a c i o H =
L({1 + x}).
A l o l a r g o d e l a p r á c t i c a 4 v e r e m o s c o m o l a p r o p i e d a d d e a p r o x i m a c i ó n
d e l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e u n v e c t o r s o b r e u n s u b e s p a c i o s e p u e d e u t i l i z a r
p a r a d e t e r m i n a r , p o r m í n i m o s c u a d r a d o s , s o l u c i o n e s a p r o x i m a d a s ó p t i m a s d e
p r o b l e m a s q u e u t i l i z a n d a t o s e x p e r i m e n t a l e s y , p o r t a n t o , d a t o s q u e c o n t i e n e n
u n e r r o r ( r u i d o ) .
4 . 5 E j e r c i c i o s
4 . 5 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s
1 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o R3
c o n e l p r o d u c t o e s c a l a r u s u a l s e c o n s i -
d e r a e l s i s t e m a d e v e c t o r e s
{(1, 2,
−1), (0, 1, 1)
}.
S e p i d e o b t e n e r , m e d i a n t e e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t , u n a b a s e o r t o n o r m a l
d e l s u b e s p a c i o
L({(1, 2, −1), (0, 1, 1)})
y l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l v e c t o r (1, 1, 1) s o b r e d i c h o s u b e s p a c i o .
4 . 5 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s
1 . C a l c u l a , m e d i a n t e e l m e t o d o d e G r a m - S c h m i d t , u n a b a s e o r t o n o r m a l
d e l s u b e s p a c i o d e R3
V = L({(1, 2, −2), (0, −4, 3)})
C o m p l e t a d i c h a b a s e a u n a b a s e o r t o n o r m a l B d e R3
y c a l c u l a l a p r o -
y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l v e c t o r (2, 1, 3)
s o b r e V
. C a l c u l a t a m b i é n l a s c o o r -
d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s d e l a b a s e c a n ó n i c a d e R3
r e s p e c t o d e B .
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2 1 8 Á l g e b r a
2 . C o n s i d e r a l a f u n c i ó n p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l p⊥V d e R3
s o b r e e l s u b e s p a c i o
V d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r c o m o a p l i c a c i ó n d e
R3a R3
. C a l c u l a :
M BB ( p⊥V ) y M B3B3
( p⊥V )
s i e n d o B3 l a b a s e c a n ó n i c a d e R3
.
3 . C a l c u l a l a d e s c o m p o s i c i ó n QR
d e l a m a t r i z −1 0 32 −1 02 −2 1
4 . C a l c u l a l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s y p a r a m é t r i c a s d e l c o m p l e m e n t o o r -
t o g o n a l d e l o s s i g u i e n t e s s u b e s p a c i o s :
V = L({(1, −1, 1, 0), (0, 1, 0, 3)}) ≺ R4, W = L({1, 2, −3)}) ≺ R3
5 . C o n s i d e r a e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 2(R)
d e p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o
i g u a l q u e d o s c o m o e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o c o n e l p r o d u c t o e s c a l a r
d e n i d o p o r :
p(x), q (x)1 =
1−1
p(x) · q (x)dx
• O b t é n , m e d i a n t e e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t , u n a b a s e o r t o n o r -
m a l d e (P 2(R), , 1) a p a r t i r d e l a b a s e B3 = {1, x , x2}.
•C a l c u l a l a s n o r m a s d e l o s v e c t o r e s d e B3 y l o s á n g u l o s q u e f o r m a n
d o s a d o s .
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C a p í t u l o 5
C ó d i g o s l i n e a l e s
5 . 1 I n t r o d u c c i ó n
E n n u e s t r o s d í a s , l a g e n e r a l i z a c i ó n e n e l u s o d e i n s t r u m e n t o s e l e c t r ó n i c o s
c o n l l e v a l a n e c e s i d a d d e t r a n s m i t i r u n a g r a n c a n t i d a d d e d a t o s d e f o r m a
r á p i d a y s e g u r a . E j e m p l o s d e l o a n t e r i o r s o n l a t r a n s m i s i ó n d e i m á g e n e s d e
t e l e v i s i ó n a y d e s d e s a t é l i t e s y l a c o m u n i c a c i ó n t e l e f ó n i c a . O t r o s e j e m p l o s , e n
l o s q u e h a y m e n o s d i s t a n c i a e n t r e e l e m i s o r y e l r e c e p t o r d e l a i n f o r m a c i ó n ,
s o n l a t r a n s m i s i ó n d e d a t o s e n t r e o r d e n a d o r e s c o n e c t a d o s a u n a r e d o e n t r e
d i s t i n t a s u n i d a d e s d e u n m i s m o o r d e n a d o r .
L a t e o r í a d e c ó d i g o s t i e n e s u o r i g e n e n e l a r t í c u l o d e C l a u d e S h a n o n
T h e M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f C o m m u n i c a t i o n , p u b l i c a d o e n l a r e v i s t a B e l l
S y s t e m T e c h n i c a l J o u r n a l 2 7 , 1 9 4 8 y e n l o s t r a b a j o s d e M a r c e l G o l a y ( 1 9 4 9 )
y R i c h a r d H a m m i n g ( 1 9 5 0 ) .
D e s e a m o s t r a n s m i t i r i n f o r m a c i ó n a t r a v é s d e u n c a n a l c o n r u i d o s e g ú n e l
e s q u e m a :
T r a n s m i s o r
RUIDO>>>>>>>>> R e c e p t o r
↑C o d i c a d o r
↓D e c o d i c a d o r
↑M e n s a j e o r i g i n a l
↓M e n s a j e d e c o d i c a d o
S e q u i e r e n d e t e c t a r y , s i e s p o s i b l e , c o r r e g i r l o s e r r o r e s d e t r a n s m i s i ó n .
E l e s q u e m a g e n e r a l e s e l s i g u i e n t e :
2 1 9
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2 2 0 Á l g e b r a
•S e u t i l i z a e l a l f a b e t o b i n a r i o
Z2 = {0, 1}.
• S e c o d i c a e l m e n s a j e o r i g i n a l u t i l i z a n d o p a l a b r a s ( c a d e n a s ) b i n a r i a s
( u n e r r o r e s u n a c o n f u s i ó n e n t r e u n 0 y u n 1 ) .
•S e t r a n s m i t e e l m e n s a j e , q u e s e c o r r o m p e .
•S e c o r r i g e e l m e n s a j e ( s i e s p o s i b l e ) .
•E l c o d i c a d o r t r a d u c e e l m e n s a j e .
E s c o n v e n i e n t e u t i l i z a r p a l a b r a s d e l a m i s m a l o n g i t u d . H a y 2np a l a b r a s
b i n a r i a s d e l o n g i t u d n ∈ N.
E j e m p l o 5 . 1 . 1 S i n = 3,
Z32 = {000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111}
e s e l c o n j u n t o d e l a s p a l a b r a s b i n a r i a s d e l o n g i t u d 3 .
C a d a u n o d e l o s s í m b o l o s d e u n a p a l a b r a e s u n b i t ( b i n a r y d i g i t ) .
U n c ó d i g o b i n a r i o C d e l o n g i t u d n
e s u n c u a l q u i e r s u b c o n j u n t o d e
Zn2 .
E j e m p l o 5 . 1 . 2 S u p o n g a m o s q u e q u e r e m o s e n v i a r l o s s i g u i e n t e s m e n s a j e s :
ARRIBA, ABAJO, IZQUIERDA, DERECHA.
V a m o s a u t i l i z a r v a r i o s c ó d i g o s , d e n i d o s e n l a s i g u i e n t e t a b l a :
C ó d i g o L o n g i t u d A R R I B A A B A J O I Z Q U I E R D A D E R E C H A
C 1 2 0 0 1 0 0 1 1 1
C 2 3 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
C 3 6 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1
E n t o n c e s :
C 1 n o t i e n e c a p a c i d a d d e d e t e c t a r e r r o r e s ( a l t e r a n d o u n b i t s e o b t i e n e u n a
p a l a b r a d e l c ó d i g o ) .
C 2 e s c a p a z d e d e t e c t a r u n e r r o r i n d i v i d u a l ( a l t e r a n d o u n b i t s e o b t i e n e
u n a p a l a b r a q u e n o p u e d e s e r d e l c ó d i g o ) y n o p u e d e c o r r e g i r e r r o r e s . P o r
e j e m p l o , 1 1 1 p u e d e s e r e l r e s u l t a d o d e u n ú n i c o e r r o r e n l a s t r e s p a l a b r a s d e l
c ó d i g o 1 1 0 , 0 1 1 o 1 0 1 .
C 3 e s c a p a z d e d e t e c t a r u n e r r o r i n d i v i d u a l y c o r r e g i r l o ( d o s p a l a b r a s
d i s t i n t a s d e l c ó d i g o n o p u e d e n t r a n s f o r m a r s e e n l a m i s m a p a l a b r a s i h a y u n
ú n i c o e r r o r ) .
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Á l g e b r a 2 2 1
S i m p l i c a r e m o s e l m o d e l o s u p o n i e n d o q u e :
•E l c a n a l e s b i n a r i o ( l o s m e n s a j e s q u e s e t r a n s m i t e n s o n c a d e n a s d e
c e r o s y u n o s ) .
•E l c a n a l e s s i m é t r i c o ( l a p r o b a b i l i d a d p d e c a m b i a r u n 0 p o r u n 1
e n l a t r a n s m i s i ó n e s l a m i s m a q u e l a d e c a m b i a r u n 1 p o r u n 0 ) .
•E l c a n a l n o t i e n e m e m o r i a ( l a p r o b a b i l i d a d p d e c a m b i a r u n 0
p o r u n 1 e n l a t r a n s m i s i ó n n o d e p e n d e d e l o s s í m b o l o s p r e v i a m e n t e
e n v i a d o s ) . L a p r o b a b i l i d a d p e s c o n o c i d a c o m o p r o b a b i l i d a d d e e r r o r
d e l c a n a l b i n a r i o s i m é t r i c o .
• N o h a y e r r o r e s d e s i n c r o n i z a c i ó n ( e l n ú m e r o d e s í m b o l o s r e c i b i d o s
e s i g u a l a l n ú m e r o d e s í m b o l o s e n v i a d o s ) .
•E n v i a m o s i n f o r m a c i ó n r e d u n d a n t e : p a r a p o d e r d e t e c t a r y c o r r e g i r
l o s e r r o r e s d e t r a n s m i s i ó n s e u t i l i z a u n c ó d i g o d e t i p o (n, k), n > k,d o n d e u n m e n s a j e f o r m a d o p o r
ks í m b o l o s s e t r a n s f o r m a e n u n a p a l a b r a
d e n > k s í m b o l o s , p o r t a n t o h a y n − k s í m b o l o s r e d u n d a n t e s
m e n s a j e ∈ Z
k
2
1
0
.
.
.
1
→ c o d i c a d o r →
p a l a b r a ∈
Z
k+(n−k)2
1
0
.
.
.
1
.
.
.
transmision=⇒
transmision=⇒
∈ Z
k+(n−k)2
?
?
.
.
.
?
.
.
.
→ d e c o d i c a d o r →
m e n s a j e ∈Z
k
2 1
0
.
.
.
1
.
A s í , p a r a e n v i a r u n m e n s a j e f o r m a d o p o r k
s í m b o l o s 0 ó 1 ( e s d e c i r u n
e l e m e n t o d e Zk2 ) , e n p r i m e r l u g a r c o n s t r u i m o s u n a p a l a b r a ( o s e c u e n c i a
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2 2 2 Á l g e b r a
d e c e r o s y u n o s ) d e l c ó d i g o c o m p u e s t o p o r c a d e n a s d e l o n g i t u d k +
(n − k) = n( c ó d i g o d e t i p o
(n, k), e s d e c i r , c o n
n − ks í m b o l o s d e
i n f o r m a c i ó n r e d u n d a n t e ) . A c o n t i n u a c i ó n t r a n s m i t i m o s d i c h a p a l a b r a
y , d e p e n d i e n d o d e l a i n f o r m a c i ó n r e c i b i d a , e l d e c o d i c a d o r d e t e c t a s i
s e h a p r o d u c i d o e r r o r e n l a t r a n s m i s i ó n . E n e l c a s o d e q u e s e a p o s i b l e ,
r e c o n s t r u y e e l m e n s a j e .
O b s e r v a c i ó n 5 3 U n c ó d i g o d e t i p o (n, k)
e s , p u e s , u n s u b c o n j u n t o d e Zn2 .
5 . 2 D i s t a n c i a d e H a m m i n g , d e t e c c i ó n y c o r r e c -
c i ó n d e e r r o r e s
D e n i c i ó n 5 . 2 . 1 L a d i s t a n c i a d e H a m m i n g d(a, b)
e n t r e d o s p a l a b r a s a
y b d e u n c ó d i g o C e s e l n ú m e r o d e b i t s ( s í m b o l o s ) e n q u e d i e r e n a y b.
E j e m p l o 5 . 2 . 2
d(1101, 1000) = 2, d(1010101, 1100100) = 3.
E j e r c i c i o 5 . 2 . 1 V e r i c a r q u e l a d i s t a n c i a d e H a m m i n g d(a, b) ≥ 0 e s u n a
d i s t a n c i a , e s d e c i r q u e , ∀ a,b,c ∈ C :
i) d(a, b) = 0 ⇔ a = bii) d(a, b) = d(b, a)iii) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).
D e n i c i ó n 5 . 2 . 3 D a d o u n c ó d i g o C
c o n d i s t a n c i a d e H a m m i n g d(a, b),
l a
d i s t a n c i a m í n i m a dm i n
e n t r e p a r e s d e p a l a b r a s d i s t i n t a s d e C e s e l n ú m e -
r o :
dm i n
=m i n
{d(a, b) : a, b ∈ C, a = b}.
O b s e r v a c i ó n 5 4 S i l a d i s t a n c i a m í n i m a d e u n c ó d i g o C e s dm i n
y n o s e
p r o d u c e n m á s q u e
dm i n − 1e r r o r e s e n l a t r a n s m i s i ó n d e u n a p a l a b r a , e l
r e c e p t o r s e r á c a p a z d e r e c o n o c e r q u e l a p a l a b r a r e c i b i d a n o e s d e l c ó d i g o . L a
j u s t i c a c i ó n d e e s t a a r m a c i ó n e s l a s i g u i e n t e : i n t r o d u c i e n d o u n n ú m e r o d e
e r r o r e s m e n o r o i g u a l q u e d
m i n
− 1e n u n a p a l a b r a d e l c ó d i g o n o s e o b t i e n e
o t r a p a l a b r a d e l c ó d i g o .
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Á l g e b r a 2 2 3
E l p r i n c i p i o d e l v e c i n o m á s p r ó x i m o ( o c r i t e r i o d e l a m a y o r í a
g a n a ) n o s d i c e q u e s i r e c i b i m o s u n a p a l a b r a e r r ó n e a , d e b e r í a m o s s u p o n e r
q u e l a p a l a b r a d e l c ó d i g o e n v i a d a e s l a m á s c e r c a n a a l a r e c i b i d a ( e n e l s e n t i d o
d e l a d i s t a n c i a d e H a m m i n g ) . E s d e c i r , s i r < s
e s m á s p r o b a b l e q u e s e h a y a n
p r o d u c i d o r e r r o r e s q u e s e r r o r e s .
T e o r e m a 5 . 2 . 4 A p l i c a n d o e l p r i n c i p i o d e l v e c i n o m á s c e r c a n o , u n c ó d i g o C
p u e d e c o r r e g i r e e r r o r e s s i l a d i s t a n c i a m í n i m a c u m p l e l a c o n d i c i ó n
dm i n
≥ 2e + 1.
D e m o s t r a c i ó n S e a c∈
C l a p a l a b r a o r i g i n a l y s e a z l a p a l a b r a r e c i b i d a ,
q u e c o n t i e n e e e r r o r e s . E n t o n c e s d(c, z ) = e.S i b ∈ C e s o t r a p a l a b r a d e l c ó d i g o ,
2e + 1 ≤ dm i n
≤ d(b, c) ≤ d(b, z ) + d(z, c) = d(b, z ) + e
y p o r t a n t o
d(b, z ) ≥ e + 1.
S e s i g u e q u e c e s l a ú n i c a p a l a b r a d e C a d i s t a n c i a e d e z. 2
5 . 2 . 1 C ó d i g o d e p a r i d a d : d e t e c c i ó n d e e r r o r e s s i m p l e s
L a t a b l a A S C I I p a r a r e p r e s e n t a r l o s c a r a c t e r e s a l f a n u m é r i c o s e s t á f o r m a d a
p o r 128 = 27 s í m b o l o s c o d i c a d o s e n p a l a b r a s b i n a r i a s d e l o n g i t u d 8: l o s
p r i m e r o s 7 b i t s c o n t i e n e n l a i n f o r m a c i ó n y e l o c t a v o e l c o n t r o l d e p a r i d a d ,
e s d e c i r 0 s i e l n ú m e r o d e u n o s q u e a p a r e c e n e n l o s 7 p r i m e r o s b i t s e s p a r y
1 e n c a s o c o n t r a r i o . P o r e j e m p l o l a s p a l a b r a s
10000010 y 01000111
s o n p a l a b r a s d e l c ó d i g o m i e n t r a s q u e
01000110n o l o e s .
E s t a c o d i c a c i ó n (8, 7)
p e r m i t e d e t e c t a r a l g u n o s e r r o r e s d e t r a n s m i s i ó n
p e r o n o c o r r e g i r l o s . M á s e x a c t a m e n t e p o d e m o s r e c o n o c e r a q u e l l a s s i t u a c i o n e s
e n l a s q u e s e p r o d u c e u n n ú m e r o i m p a r d e e r r o r e s e n l a t r a n s m i s i ó n d e l o s 8
b i t s . P o r t a n t o l a p r o b a b i l i d a d d e e r r o r n o d e t e c t a b l e e n l a t r a n s m i s i ó n e s :
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2 2 4 Á l g e b r a
P err = P 2 + P 4 + P 6 + P 8 =
= p2(1 − p)6
8
2
+
+ p4(1 − p)4
8
4
+
+ p6(1 − p)2
8
6
+
+ p8
P o r e j e m p l o s i l a p r o b a b i l i d a d p d e e r r o r e n e l c a n a l e s 0.01 l a p r o b a b i l i d a d
d e e r r o r n o d e t e c t a b l e c o n e s t a c o d i c a c i ó n e s 0.0026368.
5 . 2 . 2 C ó d i g o d e r e p e t i c i ó n : c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s s i m -
p l e s
S i l o s m e n s a j e s s o n s i m p l e m e n t e l o s s í m b o l o s 0
y 1,
p o d e m o s c o d i c a r l o s d e l
s i g u i e n t e m o d o :
m e n s a j e s c ó d i g o
0 000
1 111
P a r a d e c o d i c a r s e g u i m o s e l c r i t e r i o d e l a m a y o r í a g a n a :
p a l a b r a r e c i b i d a d e c o d i c a c i ó n
000 0001 0010 0011 1100 0101 1
110 1111 1
Y a q u e d
m i n
= 3,l a c o n d i c i ó n
dm i n
≥ 2e + 1i m p l i c a
e ≤ 1.C o n
e s t e c ó d i g o (3, 1) d e t e c t a m o s h a s t a 2 e r r o r e s , c o r r e g i m o s c o r r e c t a m e n t e l a s
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Á l g e b r a 2 2 5
s i t u a c i o n e s e n l a s q u e s e p r o d u c e u n ú n i c o e r r o r y f a l l a m o s e n a q u é l l a s e n l a s
q u e s e p r o d u c e m á s d e u n e r r o r . P o r e j e m p l o , s i r e c i b i m o s l a p a l a b r a
011,l a
d e c o d i c a c i ó n 111 e s c o r r e c t a s i e = 1 y e s i n c o r r e c t a s i e ≥ 2.L a p r o b a b i l i d a d d e e r r o r n o d e t e c t a b l e e n l a t r a n s m i s i ó n e s :
P err = P 2 + P 3 = p2(1 − p)
3
2
+ p3
P o r e j e m p l o s i l a p r o b a b i l i d a d p d e e r r o r e n e l c a n a l e s 0.01 l a p r o b a b i l i d a d
d e e r r o r e n l a d e c o d i c a c i ó n e s m e n o r q u e 0.0003.
5 . 3 C ó d i g o s l i n e a l e s
C o m o v e r e m o s , s i u n c ó d i g o t i e n e e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e e l
c u e r p o Z2, p o d e m o s e s t u d i a r s u s p r o p i e d a d e s u t i l i z a n d o l o s r e s u l t a d o s o b t e -
n i d o s p a r a e s p a c i o s v e c t o r i a l e s g e n e r a l e s .
E n p a r t i c u l a r , e s t o s t i p o s d e c ó d i g o s s e p u e d e n d e s c r i b i r e n t é r m i n o s d e
s u s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s .
D e n i c i ó n 5 . 3 . 1 D i r e m o s q u e u n c ó d i g o C ⊆ Zn2 e s
l i n e a l s i C e s u n s u b -
e s p a c i o v e c t o r i a l d e Zn2 .
E j e m p l o 5 . 3 . 2 N o e s d i f í c i l v e r i c a r q u e , p a r a l o s c ó d i g o s d e n i d o s e n l a
t a b l a d e l e j e m p l o 5 . 1 . 2 , C 1 y C 2 s o n l i n e a l e s y C 3 n o l o e s .
E j e r c i c i o 5 . 3 . 1 ¾ E s l i n e a l e l c ó d i g o d e p a r i d a d ?
E j e r c i c i o 5 . 3 . 2 ¾ E s l i n e a l e l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n ?
S e a n C ≺ Zn2 u n c ó d i g o l i n e a l y {
u1, u2, · · · , uk } u n a b a s e d e C. S i Bk ={e1, e2, · · · , ek} e s l a b a s e c a n ó n i c a d e
Zk2, l a f u n c i ó n l i n e a l
g : Zk2 −→ Zn
2
d e n i d a p o r
g(ei) = ui (i = 1, · · · , k),
e s i n y e c t i v a ( s i e n d o { u1, u2, · · · , uk } l i b r e ) y
Im(g) = C.P o r t a n t o l a f u n c i ó n
g d e n e l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l c ó d i g o C.
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2 2 6 Á l g e b r a
D e n i c i ó n 5 . 3 . 3 S i C ≺ Zn2 e s u n c ó d i g o l i n e a l y
{u1, u2, . . . , uk} e s u n a
b a s e d e
C l l a m a r e m o s
m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o
C a l a m a t r i z
n ×k ( a s o c i a d a a l a f u n c i ó n l i n e a l g d e n i d a a r r i b a ) c u y a s c o l u m n a s s o n l a s
c o o r d e n a d a s d e u1, u2, . . . , uk r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a d e
Zn2 :
G =
(u1)Bn(u2)Bn
· · · (uk)Bn
S i C ≺ Zn
2 e s l i n e a l y dim(C ) = k, e n t o n c e s C e s u n c ó d i g o d e t i p o (n, k)y a q u e , p o r s e r C i s o m o r f o a
Zk2, e l n ú m e r o d e p a l a b r a s d e C c o i n c i d e c o n é l
d e Zk2. A d e m á s s i
Ge s u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o o b t e n i d a a l e l e g i r
l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e Zk2 y
Zn2 ,
l a a p l i c a c i ó n
Zk
2 −→ C
(x1, . . . , xk) → t
G
x1.
.
.
xk
e s u n i s o m o r s m o q u e a c a d a p a l a b r a d e
Zk2 a s o c i a u n a p a l a b r a d e C.
L a f u n c i ó n a n t e r i o r d e s c r i b e u n p r o c e d i m i e n t o d e c o d i c a c i ó n q u e a s o -
c i a a c a d a p a l a b r a (x1, . . . , xk) ∈ Zk2 l a p a l a b r a
t
G
x1.
.
.
xk
∈ M 1×n(Z2) ≡
Zn2
( i m p l í c i t a m e n t e e s t a m o s i d e n t i c a n d o l a m a t r i c e s l a d e
nc o l u m n a s c o n
l o s e l e m e n t o s d e Zn2 , c i r c u n s t a n c i a q u e m a n t e n d r e m o s e n t o d o e l d e s a r r o l l o
d e l c a p í t u l o p a r a m a y o r s i m p l i c i d a d ) .
T e n i e n d o e n c u e n t a q u e
t
G
x1.
.
.
xk
= (x1 . . . xk) ·t (G),
n u e s t r a p r e g u n t a i n m e d i a t a e s ¾ c ó m o i n v e r t i r e l p r o c e s o ? o , s i s e p r e e r e ,
¾ e x i s t e a l g u n a m a t r i z q u e p e r m i t a i n v e r t i r e l p r o c e s o d e m a n e r a q u e , e n
l a h i p ó t e s i s d e q u e e l c a n a l n o t u v i e s e r u i d o s , n o s p e r m i t i e s e r e c u p e r a r e l
m e n s a j e o r i g i n a l s e g ú n e l e s q u e m a s i g u i e n t e ? :
Zk2 −→ C −→
(x1, . . . , xk) → (x1 . . . xk) ·t (G) →
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Á l g e b r a 2 2 7
−→ Zk2
→(x1 . . . xk)
·t (G)
·(t(G))−1 = (x1, . . . , xk)
L a r e s p u e s t a e s o b v i a m e n t e n e g a t i v a , p u e s t o q u e l a m a t r i z
t(G) n o e s
u n a m a t r i z c u a d r a d a . S i n e m b a r g o , c o m o v e r e m o s p o s t e r i o r m e n t e , l a i d e a e s
a p r o v e c h a b l e e m p l e a n d o e l c o n c e p t o d e p s e u d o i n v e r s a d e u n a m a t r i z .
E j e r c i c i o 5 . 3 . 3 O b t e n e r l a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o d e p a r i d a d c u y o
p r o d u c t o r e p r o d u c e e l m e c a n i s m o d e c o d i c a c i ó n d e s c r i t o .
E j e r c i c i o 5 . 3 . 4 O b t e n e r l a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n c u y o
p r o d u c t o r e p r o d u c e e l m e c a n i s m o d e c o d i c a c i ó n d e s c r i t o .
P a s a m o s a h o r a a e s t u d i a r l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e u n c ó d i g o l i n e a l
C.S i
C ≺ Zn2 e s t a l q u e
0 < dim(C ) = k < n,l a p r o p o s i c i ó n 3 . 5 . 1 2 d e l
c a p í t u l o 3 i m p l i c a q u e e x i s t e u n a f u n c i ó n l i n e a l
h : Zn2 −→ Zn−k
2
t a l q u e C = ker(h). P o r t a n t o l a f u n c i ó n h d e t e r m i n a l a s e c u a c i o n e s i m -
p l í c i t a s d e l c ó d i g o C.
D e n i c i ó n 5 . 3 . 4 S i C ≺ Zn2 e s l i n e a l d i r e m o s q u e u n a m a t r i z
Hd e o r d e n
s×n e s u n a m a t r i z d e c o n t r o l
s i p a r a c u a l q u i e r (x1, . . . , xn) ∈ Zn2 s e v e r i c a
q u e :
(x1, . . . , xn) ∈ C ⇔ H
x1.
.
.
xn
= 0.
S e s i g u e q u e l a m a t r i z H q u e q u e d a a s o c i a d a a l a f u n c i ó n l i n e a l h a l e l e g i r
l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e Zn2 y
Z(n−k)2 e s H = M Bn
Bn−k(h) ∈ M (n−k)×n y e s u n a
m a t r i z d e c o n t r o l p a r a e l c ó d i g o C. S i e n d o C = ker(h), e l r a n g o d e l a m a t r i z
H e s n − k. S e s i g u e q u e
C
≺Zn2 e s u n c ó d i g o l i n e a l d e d i m e n s i ó n k, 0 < k < n, s i y s ó l o s i e x i s t e
u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e C, H ∈ M (n−k)×n, d e r a n g o i g u a l a n − k.
E j e r c i c i o 5 . 3 . 5 E n c o n t r a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e p a r i d a d .
E j e r c i c i o 5 . 3 . 6 E n c o n t r a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n .
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2 2 8 Á l g e b r a
5 . 3 . 1 P a s o d e u n a m a t r i z d e c o n t r o l a u n a m a t r i z g e n e -
r a d o r a
P a s a r d e u n a m a t r i z d e c o n t r o l a u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e u n c ó d i g o l i -
n e a l C e s e q u i v a l e n t e a p a s a r d e s u s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s a s u s e c u a c i o n e s
p a r a m é t r i c a s .
S u p o n g a m o s q u e H ∈ M(n−k)×n(Z2) e s u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e u n c ó d i g o
l i n e a l C. D e t e r m i n a r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e C e s l o m i s m o q u e e n c o n t r a r
u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o C, q u e c o i n c i d e c o n e l n ú c l e o d e l a f u n c i ó n l i n e a l
d e n i d a e n t r e Z2 − e.v. :
h : Zn2
−→Zn−k2
(x1, . . . , xn) → t
H· x1
.
.
.
xn
y q u e d e n e l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e l c ó d i g o C.
P o r t a n t o , p a r a d e n i r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e C,
p o d e m o s e m p l e a r
e l m é t o d o v i s t o e n e l c a p í t u l o 3 p a r a o b t e n e r u n a b a s e d e l n ú c l e o d e u n a
f u n c i ó n l i n e a l , c u y o e s q u e m a b a s í c o e s e l s i g u i e n t e :
HIn
t1−→ t2−→·· · tk−→ AP
,
d o n d e t1, t2, . . . , tk s o n t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s ( e f e c t u a -
d a s s o b r e a m b a s m a t r i c e s ) y A
e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a .
E n t a l c i r c u n s t a n c i a s a b e m o s q u e l a s c o l u m n a s d e P
q u e a p a r e z c a n b a j o
l a s c o l u m n a s n u l a s d e A
c o n s t i t u y e n u n a b a s e ( s a l v o t r a n s p o s i c i ó n ) d e l n ú c l e o
d e h y , p o r c o n s i g u i e n t e , c o n s t i t u y e n u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e C.
E j e r c i c i o 5 . 3 . 7 D e t e r m i n a r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z
d e c o n t r o l e s :
H =
1 0 1 01 1 1 1
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Á l g e b r a 2 2 9
5 . 3 . 2 P a s o d e u n a m a t r i z g e n e r a d o r a a u n a m a t r i z d e
c o n t r o l
P a s a r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a a u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e u n c ó d i g o l i n e a l
C e s e q u i v a l e n t e a p a s a r d e s u s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s a s u s e c u a c i o n e s
i m p l í c i t a s .
A h o r a , s u p o n g a m o s q u e G ∈ Mn×k(Z2),
G =
(u1)Bn(u2)Bn
· · · (uk)Bn
,
e s u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e u n c ó d i g o l i n e a l C. E n t o n c e s C = Im(g), d o n d e
g : Zk
2 −→ C
(x1, . . . , xk) → t
G
x1.
.
.
xk
.
D e t e r m i n a r u n a m a t r i z H ∈ M (n−k)×n(Z2) d e c o n t r o l d e C, d e r a n g o n−k,e s l o m i s m o q u e e n c o n t r a r (n − k) l a s
(a11 a12 · · · a1n)(a21 a22 · · · a2n)
.
.
.
(a(n−k)1 a(n−k)2 · · · a(n−k)n)
t a l e s q u e :
1 . ∀i ∈ {1, . . . , n − k} , s e t e n g a q u e
ai1 ai2 · · · ain
· (u1)Bn= 0, · · · ,
ai1 ai2 · · · ain
· (uk)Bn= 0,
o , l o q u e e s l o m i s m o , q u e
∀i ∈ {1, . . . , n − k} , ai1 ai2 · · · ain · G = 0.
2 . E l s i s t e m a f o r m a d o p o r d i c h a s l a s e s u n s i s t e m a l i b r e .
E n e l s u p u e s t o d e q u e t e n g a m o s t a l e s l a s , s i d e n i m o s l a m a t r i z
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2 3 0 Á l g e b r a
H = a11 a12 · · · a1n
a21
a22 · · ·
a2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a(n−k)1 a(n−k)2 · · · a(n−k)n
t e n d r e m o s q u e :
1 . H · G = 0
y e n c o n s e c u e n c i a e l c ó d i g o C e s t á c o n t e n i d o e n e l n ú c l e o d e
l a f u n c i ó n l i n e a l
h : Zn2 −→ Zn−k
2
(x1, . . . , xn) → t H· x1.
.
.
xn
.
2 . L a d i m e n s i ó n d e l n ú c l e o d e h e s k .
P u e s t o q u e l a d i m e n s i ó n d e C t a m b i é n e s k, t e n d r e m o s q u e C = Ker(h)y e n c o n s e c u e n c i a
(x1, . . . , xn) ∈ C ⇔ H x1.
.
.
xn
= 0,
e s d e c i r , H
e s u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o C. A h o r a b i e n , b u s c a r (n−k) l a s q u e c o n s t i t u y a n u n s i s t e m a d e v e c t o r e s l i b r e y d e m a n e r a q u e
∀i ∈ {1, . . . , n − k} ,
ai1 ai2 · · · ain
G = 0
e s l o m i s m o q u e b u s c a r (n − k) s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s d e l
s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e o
t(G)
x1
x2.
.
.
xn
= 0.
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Á l g e b r a 2 3 1
P e r o , ¾ e x i s t e n (n − k) s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s d e t a l s i s t e -
m a ?
P o r h i p ó t e s i s l a s k c o l u m n a s d e G
c o n s t i t u y e n u n s i s t e m a l i b r e y p o r t a n t o
l a s k
l a s d e
t(G)t a m b i é n . A h o r a , a p l i c a n d o e l t e o r e m a d e l a d i m e n s i ó n ,
s a b e m o s q u e l a d i m e n s i ó n d e l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a
t(G)X = 0
e s n − k, l u e g o e x i s t e n (n − k) s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
V e a m o s u n a l g o r i t m o p a r a o b t e n e r d i c h a m a t r i z H :
1 . C o n s t r u i m o s l a m a t r i z
G In
( r e c u é r d e s e q u e
Gt i e n e
n l a s ) .
2 . M e d i a n t e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s c o n s t r u i m o s , a p a r t i r
d e G In ,u n a m a t r i z d e l a f o r m a Ik T
(0) H ,d o n d e
T ∈
M k×
n(Z2),
H ∈ M (n−k)×n(Z2) y (0) ∈ M (n−k)×k(Z2).
3 . T e n i e n d o e n c u e n t a q u e a p l i c a r u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r l a s
e s e q u i v a l e n t e a m u l t i p l i c a r p o r l a i z q u i e r d a p o r u n a m a t r i z i n v e r t i b l e , r e s u l t a
q u e s i G In
tf 1 → ...tf k →
Ik T (0) H
,
t e n d r e m o s q u e e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P ∈ M n(Z2), t a l q u e P · G =
Ik
(0) y t a l q u e P · In =
T H ,
e s d e c i r , P =
T H ,
c o n l o q u e e l
r a n g o d e H e s n − k y T H
· G =
Ik
(0)
.
T e n i e n d o e n c u e n t a c ó m o e s t á d e n i d o e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s ,
T · G = Ik y H · G =(0) .
P u e s t o q u e l a m a t r i z T e s t a l q u e T ·G = Ik, r e s u l t a q u e
t(T ·G) =t(Ik) =Ik,
e s d e c i r ,
tG
·t T = Ik.
E n o t r a s p a l a b r a s , l a m a t r i z tT e s l a m a t r i z q u e b u s c á b a m o s , l a p s e u -
d o i n v e r s a d e
tG,p a r a i n v e r t i r e l p r o c e s o d e c o d i c a c i ó n :
Zk2 −→ C −→
(x1, . . . , xk) → (x1 . . . xk) ·t (G) →
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2 3 2 Á l g e b r a
−→ Zk2
→(x1 . . . xk)
·t (G)
·t (T) = (x1, . . . , xk) .
P o r o t r a p a r t e , l a m a t r i z H
a s í o b t e n i d a e s u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l
c ó d i g o , p u e s s a t i s f a c e l a s d o s c o n d i c i o n e s r e q u e r i d a s .
E j e r c i c i o 5 . 3 . 8 D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z
g e n e r a d o r a e s :
G =
1 0 00 1 01 0 11 1 1
.
5 . 3 . 3 D e t e c c i ó n y c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s
P o d e m o s d e t e c t a r e r r o r e s e n l a t r a n s m i s i ó n s i y s ó l o s i l a p a l a b r a r e c i b i d a n o
p e r t e n e c e a l c ó d i g o . P o r t a n t o s i C e s u n c ó d i g o l i n e a l y H
e s u n a m a t r i z
d e c o n t r o l d e l m i s m o , d e t e c t a r e m o s e r r o r e n l a t r a n s m i s i ó n d e u n a p a l a b r a
r e c i b i d a u
s i y s ó l o s i H · (u)Bn = 0. A h o r a , l a c u e s t i ó n e s ¾ Q u é p o d e m o s
h a c e r e n e l c a s o d e q u e d e t e c t e m o s u n e r r o r e n l a t r a n s m i s i ó n ? S i a l e m i t i r
l a p a l a b r a x ∈ C s e p r o d u c e e l e r r o r d e t r a n s m i s i ó n
e, r e c i b i r e m o s l a p a l a b r a
u = x + e. A l c h e q u e a r l a p a l a b r a r e c i b i d a o b t e n d r e m o s
H· (x + e)Bn = H · (x)Bn+H · (e)Bn = ( p u e s t o q u e x ∈ C ) = H · (e)Bn,
e s d e c i r , o b t e n e m o s l a a c t u a c i ó n d e l a m a t r i z d e c o n t r o l s o b r e e l e r r o r d e
t r a n s m i s i ó n e.
D e n i c i ó n 5 . 3 . 5 S i H ∈ M (n−k)×n(Z2) e s u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e u n c ó -
d i g o C y u ∈ Zn
2 l l a m a r e m o s s í n d r o m e d e u
a l p r o d u c t o H · (u)Bn
.
E v i d e n t e m e n t e u
p e r t e n e c e a l c ó d i g o C s i y s ó l o s i s u s í n d r o m e e s 0
y ,
s e g ú n h e m o s v i s t o , e l s í n d r o m e d e l a p a l a b r a r e c i b i d a x + e
c o i n c i d e c o n e l
s í n d r o m e d e l e r r o r d e t r a n s m i s i ó n e. P o r c o n s i g u i e n t e , s i p a r a c a d a p a l a b r a n o
p e r t e n e c i e n t e a l c ó d i g o h u b i e s e u n ú n i c o e r r o r q u e t u v i e s e s u m i s m o s í n d r o m e ,
s e r í a s e n c i l l í s i m o c o r r e g i r e l e r r o r c o m e t i d o e n l a t r a n s m i s i ó n : b a s t a r í a r e s t a r
e l e r r o r q u e t i e n e e l m i s m o s í n d r o m e q u e l a p a l a b r a r e c i b i d a p a r a c o r r e g i r
d i c h o e r r o r . S i n e m b a r g o , c o m o a h o r a v e r e m o s , p u e d e h a b e r m u c h a s p a l a b r a s
n o p e r t e n e c i e n t e s a l c ó d i g o q u e t e n g a n e l m i s m o s í n d r o m e .
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 2 3 3
O b s e r v a c i ó n 5 5 S e a H ∈ M (n−k)×n(Z2) u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e u n c ó d i g o
l i n e a l
C.S i
u,
v∈Zn
2 ,e n t o n c e s
H · (u)Bn= H · (v)Bn
⇔ v − u ∈ C,
e s d e c i r , d o s p a l a b r a s u
y v
t i e n e n e l m i s m o s í n d r o m e s i y s ó l o s i u − v
e s
u n a p a l a b r a d e l c ó d i g o .
V e á m o s l o :
H · (u)Bn = H · (v)Bn ⇔ H · (v)Bn− H · (u)Bn = 0
⇔ H · (v − u)Bn = 0 ⇔ v − u ∈ C
O b s e r v a c i ó n 5 6 E l q u e d o s p a l a b r a s t e n g a n e l m i s m o s í n d r o m e o d i s t i n t o s
s í n d r o m e s n o d e p e n d e d e l a m a t r i z d e c o n t r o l c o n s i d e r a d a : s i
H1y
H2s o n
m a t r i c e s d e c o n t r o l d e C y u, v ∈ Zn
2 t e n d r e m o s q u e :
H1·(u)Bn = H1·(v)Bn ⇔ v − u ∈ C ⇔ H2·(u)Bn = H2·(v)Bn.
P a r a i d e n t i c a r l a s p a l a b r a s q u e t i e n e n e l m i s m o s í n d r o m e s e d e n e e n
Zn2 l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a :
∀ u, v ∈ Zn2 ,
u ∼ v ⇔ H · (u)Bn = H · (v)Bn ⇔ v − u ∈ C.
E j e r c i c i o 5 . 3 . 9 V e r i c a r q u e l a r e l a c i ó n ∼
a n t e r i o r e s u n a r e l a c i ó n d e
e q u i v a l e n c i a e n Zn2 .
E n t o n c e s e l e s p a c i o Zn2 q u e d a d i v i d i d o e n t r e l a s c l a s e s d e e q u i v a l e n c i a
d e t e r m i n a d a s p o r l a r e l a c i ó n ∼
, q u e l l a m a r e m o s c o g r u p o s :
D e n i c i ó n 5 . 3 . 6 S i C ⊆ Zn2 e s u n c ó d i g o l i n e a l y
u ∈Zn2 , s e d e n o m i n a
c o -
g r u p o d e
um ó d u l o
C a l c o n j u n t o
{v ∈Zn2 | v − u ∈ C }.
E s t e c o n j u n t o e s l a
c l a s e d e e q u i v a l e n c i a d e u
r e s p e c t o d e l a r e l a c i ó n ∼
y l o d e n o t a r e m o s p o r
u + C.
O b s e r v a c i ó n 5 7 L a n o t a c i ó n
u + C = {v ∈Zn2 | v − u ∈ C }
s e j u s t i c a d e l s i g u i e n t e m o d o :
v ∈ u + C ⇔ ∃c ∈ C t a l q u e
v − u = c ⇔ ∃c ∈ C t a l q u e
v = u+c.
P o r o t r a p a r t e , p u e s t o q u e u − u = 0 ∈ C,
t e n d r e m o s q u e u ∈ u + C.
N ó t e s e q u e C = 0 + C.
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2 3 4 Á l g e b r a
L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n s e s i g u e d i r e c t a m e n t e d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a s
r e l a c i o n e s d e e q u i v a l e n c i a .
P r o p o s i c i ó n 5 . 3 . 7 S e a C ≺ Zn2 u n c ó d i g o l i n e a l y s e a n
u, v ∈Zn2 . S e v e r i c a
q u e :
1 . u + C = v + C ⇔ v − u ∈C.
2 . S i ( u + C ) ∩ (v + C ) = ∅
e n t o n c e s u + C = v + C.
3 . C a r d ( u + C ) =
C a r d ( v + C ).
O b s e r v a c i ó n 5 8 V i s t o l o a n t e r i o r , t e n e m o s q u e l o s s í n d r o m e s d e d o s p a l a -
b r a s u
y v
c o i n c i d e n s i y s ó l o s i u
y v
p e r t e n e c e n a l m i s m o c o g r u p o m ó d u l o
C,o l o q u e e s l o m i s m o , s i y s ó l o s i
u + C = v + C.
E j e r c i c i o 5 . 3 . 1 0 C o n s t r u i r l a t a b l a d e s í n d r o m e s d e l a s i g u i e n t e m a t r i z
H =
1 1 00 1 1
.
N o p o d e m o s c o r r e g i r t o d o s l o s e r r o r e s d e t r a n s m i s i ó n p e r o s í p o d e m o s
c o r r e g i r e l e r r o r d e t r a n s m i s i ó n m á s p r o b a b l e . S e l e c c i o n e m o s d e c a d a c o -
g r u p o e l e r r o r q u e c o n s i d e r e m o s m á s p r o b a b l e s e g ú n e l p r i n c i p i o d e l v e c i n o
m á s p r ó x i m o : n o r m a l m e n t e e s m á s p r o b a b l e a q u e l q u e t i e n e m e n o s e r r o r e s
i n d i v i d u a l e s , e s d e c i r e l e g i m o s u n o d e e n t r e l o s q u e t i e n e n m e n o s u n o s . L l a -
m a r e m o s a d i c h o e l e m e n t o r e p r e s e n t a n t e d e l c o g r u p o . E s t a e l e c c i ó n e s
l a m á s r a z o n a b l e y a q u e , s i y ∈ Zn2 y ey e s e l r e p r e s e n t a n t e d e l c o g r u p o d e
y, l a c o r r e c c i ó n d e y s e r á l a p a l a b r a y − ey ∈ C, q u e e s l a p a l a b r a d e C m á s
c e r c a n a , e n e l s e n t i d o d e l a d i s t a n c i a d e H a m m i n g , a l a p a l a b r a r e c i b i d a y.
E j e r c i c i o 5 . 3 . 1 1 E n l a t a b l a d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r e l e g i r e l m e j o r r e p r e s e n -
t a n t e d e c a d a c o g r u p o .
U n a v e z r e a l i z a d a l a s e l e c c i ó n d e l o s r e p r e s e n t a n t e s d e l o s c o g r u p o s , e l
p r o c e s o d e c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s q u e d a r í a d e n i d o p o r
yC o r r e c c i ó n −→ y − ey,
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Á l g e b r a 2 3 5
d o n d e ey e s e l r e p r e s e n t a n t e d e l c o g r u p o d e s í n d r o m e
H · (y)Bn ( e s t o e s ,
H· (
y)B
n
=H
· (ey)B
n) .
P o r t a n t o , e l e s q u e m a d e c o d i c a c i ó n , t r a n s m i s i ó n y d e c o d i c a c i ó n q u e d a
c o n c r e t a d o d e l s i g u i e n t e m o d o :
C o d i c a d o r T r a n s m i s i ó n
u −→ u ·t (G) = x ⇒ +e ⇒D e c o d i c a d o r
⇒ y = x + e −→
y ·t (T ) si H · (y)Bn = 0(y − ey) ·t (T ) si H · (y)Bn = 0.
O b s e r v a c i ó n 5 9 S i e l e g i m o s a 0
c o m o r e p r e s e n t a n t e d e l c o g r u p o 0+C = C,
s e p u e d e s i m p l i c a r l a a c t u a c i ó n d e l D e c o d i c a d o r :
Decodificadory −→(y − ey) ·t (T )
E j e r c i c i o 5 . 3 . 1 2 U t i l i z a n d o l a e l e c c i ó n d e r e p r e s e n t a n t e s d e l e j e r c i c i o a n t e -
r i o r c o m p l e t a r l a s i g u i e n t e t a b l a :
y H · (y)Bney y − ey
0 0 0
0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
5 . 4 E j e r c i c i o s
5 . 4 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s
1 . O b t e n e r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a y u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e
p a r i d a d e x p u e s t o e n l o s a p u n t e s d e c l a s e .
2 . O b t e n e r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a y u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e
r e p e t i c i ó n e x p u e s t o e n l o s a p u n t e s d e c l a s e .
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2 3 6 Á l g e b r a
3 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z g e n e r a d o r a
e s :
G =
1 1 11 0 01 0 11 1 1
.
4 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z d e c o n t r o l
e s :
H = 1 0 1 0
1 1 1 1 5 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l y u n a m a t r i z q u e p e r m i t a r e a l i z a r
l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o g e n e r a d o p o r l o s v e c t o r e s c u y a s c o o r d e n a d a s
r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a d e Z42 s o n l a s c o l u m n a s d e l a m a t r i z :
0 1 11 1 01 0 10 1 1
6 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l y u n a m a t r i z q u e p e r m i t a r e a l i z a r
l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z g e n e r a d o r a e s
G =
1 11 01 10 1
5 . 4 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s
1 . H a l l a l a d i s t a n c i a m í n i m a d e c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s c ó d i g o s :
i) {000, 101, 100, 001}e n
Z32,
ii) {00000, 01110, 11011, 00101}e n
Z52,
iii) {000000, 111000, 000111, 111111}e n
Z62.
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Á l g e b r a 2 3 7
D e t e r m i n a e n c a d a c a s o e l n ú m e r o d e e r r o r e s q u e s e p u e d e n d e t e c t a r y e l
n ú m e r o d e e r r o r e s q u e s e p u e d e n c o r r e g i r .
2 . P a r a c a d a c ó d i g o d e l p r o b l e m a a n t e r i o r , d e t e r m i n a r s i e s l i n e a l . S i l o
e s , o b t e n e r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a , u n a m a t r i z d e c o n t r o l y u n a m a t r i z q u e
p e r m i t a r e a l i z a r l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o .
3 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l y u n a m a t r i z q u e p e r m i t a r e a l i z a r
l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o l i n e a l C g e n e r a d o p o r e l s i s t e m a d e v e c t o r e s S,c u y a s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a d e
Z52 s o n
S = {(1, 0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 0)}.
H a l l a r t o d o s l o s e l e m e n t o s d e l c ó d i g o C.
4 . E l e g i r e l m e j o r r e p r e s e n t a n t e d e c a d a c o g r u p o d e l c ó d i g o l i n e a l
C = {000, 101, 100, 001} ≺ Z32
y c o m p l e t a r l a s i g u i e n t e t a b l a :
y H · (y)B3ey y − ey
0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
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2 3 8 Á l g e b r a
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C a p í t u l o 6
A u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s
6 . 1 I n t r o d u c c i ó n
E l o b j e t i v o p r i n c i p a l d e e s t e t e m a e s d e s a r r o l l a r u n a t é c n i c a q u e n o s p e r m i t a
o b t e n e r l a s s o l u c i o n e s d e l a s e c u a c i o n e s y s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s
l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s y d e l a s r e l a c i o n e s y s i s t e m a s d e r e l a c i o n e s
d e r e c u r r e n c i a l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s c o m p r o b a n d o , d e p a s o , q u e
a m b o s p r o b l e m a s e s t á n e s t r e c h a m e n t e r e l a c i o n a d o s .
L a n a t u r a l e z a d e d i c h a t é c n i c a y d e l a h e r r a m i e n t a m a t e m á t i c a q u e l l e v a
a p a r e j a d a ( t e o r í a d e a u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s ) h a c e p o s i b l e s u a p l i c a c i ó n a
u n a g r a n v a r i e d a d d e p r o b l e m a s .
V e a m o s u n o s p r i m e r o s e j e m p l o s q u e n o s p e r m i t a n i l u s t r a r y m o t i v a r l a s
s i g u i e n t e s d e n i c i o n e s :
E j e m p l o 6 . 1 . 1 S u p o n g a m o s q u e q u e r e m o s c a l c u l a r e l n ú m e r o d e s e c u e n c i a s
d e c e r o s y u n o s d e l o n g i t u d n q u e n o p o s e e n d o s c e r o s c o n s e c u t i v o s . S i An e s
e l c o n j u n t o f o r m a d o p o r d i c h a s s e c u e n c i a s , b u s c a m o s o b t e n e r e l n ú m e r o d e
e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o An, n ú m e r o a l q u e d e n o t a m o s p o r an . O b v i a m e n t e ,
An = C n ∪ U n
d o n d e C n e s e l c o n j u n t o f o r m a d o p o r l a s s e c u e n c i a s d e l o n g i t u d n q u e s a -
t i s f a c i e n d o d i c h a p r o p i e d a d t e r m i n a n e n
0y
U ne s e l c o n j u n t o f o r m a d o p o r
l a s s e c u e n c i a s d e l o n g i t u d n
q u e , s a t i s f a c i e n d o d i c h a p r o p i e d a d , t e r m i n a n e n
1. P e r o l a s s e c u e n c i a s d e l c o n j u n t o U n s e p u e d e n o b t e n e r a ñ a d i e n d o u n 1 a
c a d a u n a d e l a s s e c u e n c i a s d e l o n g i t u d n − 1
q u e n o p o s e e n d o s c e r o s c o n s e -
c u t i v o s , p o r l o q u e e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o U n c o i n c i d e c o n e l
2 3 9
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2 4 0 Á l g e b r a
n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o An−1, e s d e c i r , c o n an−1. P o r o t r a p a r t e ,
l a s s e c u e n c i a s d e l c o n j u n t o
C ns e p u e d e n o b t e n e r a ñ a d i e n d o
10a c a d a u n a
d e l a s s e c u e n c i a s d e l o n g i t u d n − 2 q u e n o p o s e e n d o s c e r o s c o n s e c u t i v o s , p o r
l o q u e e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e C n c o i n c i d e c o n e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s
d e l c o n j u n t o An−2, e s d e c i r , c o n an−2. T e n i e n d o e n c u e n t a , a h o r a , q u e C n y
U n s o n d i s j u n t o s , r e s u l t a q u e
an = an−1 + an−2.
P o r c o n s i g u i e n t e , p u e s t o q u e a0 = 0, a1 = 2 y a2 = 3 ( y a q u e A0 = ∅,A1 = {1, 0}
y A2 = {10, 01, 11}),
p o d e m o s o b t e n e r s u c e s i v a m e n t e q u e a3 =
3+2 = 5, a4 = 5+3 = 8, a5 = 8+5 = 13,.... E l p r o b l e m a e s q u e , p o r e j e m p l o ,
p a r a o b t e n e r e l v a l o r d e
a100.000.000n e c e s i t a m o s t e n e r c a l c u l a d o s p r e v i a m e n t e
l o s 99.999.999 v a l o r e s a n t e r i o r e s . A l o l a r g o d e l c a p í t u l o d e s a r r o l l a r e m o s u n a
t é c n i c a q u e n o s p e r m i t i r á e v i t a r d i c h o c á l c u l o p r e v i o .
A l p o d e r a p l i c a r l a m i s m a t é c n i c a a l a s r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a ( o e c u a -
c i o n e s e n d i f e r e n c i a s ) y a l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , d e s a r r o l l a r e m o s l a s
h e r r a m i e n t a s e n e l c o n t e x t o d e e s t a s ú l t i m a s y v e r e m o s q u e d i c h a s h e r r a -
m i e n t a s s o n a p l i c a b l e s t a m b i é n a l c o n t e x t o d e l a s r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a .
E j e m p l o 6 . 1 . 2 L a d e t e r m i n a c i ó n d e u n a e x p r e s i ó n e x p l í c i t a d e l t é r m i n o g e -
n é r i c o f n d e l a b i e n c o n o c i d a s u c e s i ó n d e F i b o n a c c i , d e n i d a p o r l o s s i g u i e n -
t e s d a t o s i n i c i a l e s y e c u a c i ó n e n d i f e r e n c i a s : f 0 = 1
f 1 = 1
f n+1 = f n + f n−1 (n ≥ 2),
s e p u e d e r e s o l v e r , c o m o v e r e m o s , p o r m e d i o d e l a m i s m a t é c n i c a q u e s e e m p l e a
p a r a h a l l a r u n a f u n c i ó n c o m p l e j a f (x)
d e v a r i a b l e r e a l x
q u e s e a s o l u c i ó n d e l
p r o b l e m a d e n i d o p o r l o s s i g u i e n t e s d a t o s i n i c i a l e s y e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l
o r d i n a r i a ( E D O ) l i n e a l c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s d e o r d e n 2 : f (0) = 1
f (1) = 1
f (x) = f (x) + f (x) (x ∈ R).
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Á l g e b r a 2 4 1
6 . 2 A u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s
S e g ú n s a b e m o s , e l c o n j u n t o d e s u c e s i o n e s d e n ú m e r o s c o m p l e j o s F (N,C), o ,
l o q u e e s l o m i s m o , e l c o n j u n t o d e l a s f u n c i o n e s d e N
e n C
, t i e n e e s t r u c t u r a
d e C−
e s p a c i o v e c t o r i a l . P o r c o n v e n i o d e n o t a c i ó n , a l a s u c e s i ó n
a : N −→ C
n a(n) = an
l a d e n o t a m o s p o r {an}n∈ N
.S i a h o r a c o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n S ( d e Shift, d e s p l a z a m i e n t o ) ,
S : F (N,C) −→ F (N,C)
{an}n∈ N S ({an}n∈ N ) = {an+1}n∈N
e s d e c i r ,
{an}n∈ N
S −→ S ({an}n∈ N
)
{a0,a1, a2,... {a1,a2, a3,...
r e s u l t a s e n c i l l o c o m p r o b a r ( v e r i f í q u e s e ) q u e d i c h a f u n c i ó n e s l i n e a l . P o r c o n -
v e n i o d e n o t a c i ó n e s c r i b i r e m o s an+1 = S (an),
d e m a n e r a q u e l a s u c e s i ó n
S ({an}n∈ N
) l a p o d r e m o s e x p r e s a r c o m o
S ({an}n∈N
) = {S (an)}n∈ N
= {S (a0), S (a1), S (a2),... = {a1,a2, a3,...
V e a m o s q u é r e l a c i ó n t i e n e e s t a f u n c i ó n c o n e l p r o b l e m a q u e n o s o c u p a .
S u p o n g a m o s q u e d a d o λ ∈ C, b u s c a m o s l a s s u c e s i o n e s {an}n∈N
q u e ∀n ∈
Ns a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n
an+1 = λan.
U t i l i z a n d o l a n o t a c i ó n i n t r o d u c i d a , d i c h a e c u a c i ó n s e t r a n s f o r m a e n
S (an) = λan,
y , p u e s t o q u e d i c h a e x p r e s i ó n e s v á l i d a p a r a n ≥ 1, l a s u c e s i ó n {an}n∈ N
s a t i s f a c e d i c h a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a s i
S ({an}n∈N
) = {λan}n∈ N
= λ {an}n∈N
.
E n o t r a s p a l a b r a s , l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a
an+1 = λan,
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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2 4 2 Á l g e b r a
s o n a q u e l l a s s u c e s i o n e s {an}n∈N
q u e m e d i a n t e l a f u n c i ó n S s e t r a n s f o r m a n
e n v e c t o r e s p r o p o r c i o n a l e s a s í m i s m o s .
E n g e n e r a l s e i n t r o d u c e n l a s s i g u i e n t e s n o c i o n e s d e a u t o v e c t o r y a u t o v a l o r
d e u n a f u n c i ó n l i n e a l :
D e n i c i ó n 6 . 2 . 1 S i E
e s u n K− e.v. y f : E −→ E
e s u n a f u n c i ó n l i n e a l ,
s e d i c e q u e v ∈ E − {0}
e s u n a u t o v e c t o r
d e f s i ∃λ ∈ K
t a l q u e f (v) =λv.
D e n i c i ó n 6 . 2 . 2 S i E
e s u n K− e.v. y f : E −→ E
e s u n a f u n c i ó n l i n e a l ,
s e d i c e q u e λ ∈ Ke s u n
a u t o v a l o r d e f s i
∃v ∈ E − {0}t a l q u e f (v) =λv.
E n e s e c a s o s e d i c e v
e s u n a u t o v e c t o r a s o c i a d o
a l a u t o v a l o r λ.
E j e m p l o 6 . 2 . 3 L a s s u c e s i o n e s {an}n∈ N
q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e -
c u r r e n c i a
an+1 = 5an,
s o n l a s s u c e s i o n e s {an}n∈ N
q u e s o n a u t o v e c t o r e s d e l a f u n c i ó n l i n e a l S a s o -
c i a d o s a l a u t o v a l o r 5. A s í p o r e j e m p l o , l a s u c e s i ó n {1, 5, 25,..., 5n,...} e s u n
a u t o v e c t o r d e S a s o c i a d o a l a u t o v a l o r 5, p u e s
S ({1, 5, 25,..., 5n,...}) = {5, 25,..., 5n+1,...} = 5 · {1, 5, 25,..., 5n,...}.
O b s é r v e s e q u e l a s u c e s i ó n {3, 15, 75,..., 3 · 5n,...} e s o t r o a u t o v e c t o r a s o c i a d o
a l a u t o v a l o r 5.
E j e m p l o 6 . 2 . 4 T e n i e n d o e n c u e n t a q u e , s e g ú n v i m o s , l a f u n c i ó n d e r i v a d a
D : C∞(R,R) −→ C∞(R,R)
e s u n a f u n c i ó n l i n e a l , l a s f u n c i o n e s q u e s a t i s f a c e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l
D(f ) = −f,
s o n l o s a u t o v e c t o r e s d e l a f u n c i ó n D a s o c i a d o s a l a u t o v a l o r −1.
A s í p o r e j e m p l o , l a f u n c i ó n
f : R −→ R
x e−x
e s u n a u t o v e c t o r d e D
a s o c i a d o a l a u t o v a l o r
−1.
O b s é r v e s e q u e l a f u n c i ó n
3f : R −→ R
x 3e−x
e s o t r o a u t o v e c t o r d e D
a s o c i a d o a l a u t o v a l o r −1
y q u e e n g e n e r a l p a r a
c u a l q u i e r k ∈ Rl a f u n c i ó n k · f t a m b i é n l o e s .
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Á l g e b r a 2 4 3
E j e r c i c i o 6 . 2 . 1 D e t e r m i n a r l o s a u t o v e c t o r e s d e l a f u n c i ó n l i n e a l
f : R3 −→ R3
c o n s i s t e n t e e n g i r a r a c a d a v e c t o r d e R3 π r a d i a n e s e n t o r n o a l e j e z ( I n d i -
c a c i ó n : d e t e r m i n a r l a m a t r i z M B3B3
(f )).
E j e r c i c i o 6 . 2 . 2 R a z o n a r q u e l a f u n c i ó n l i n e a l
f : R2 −→ R2
c o n s i s t e n t e e n g i r a r a c a d a v e c t o r d e R2
u n á n g u l o d e
π2 r a d i a n e s e n t o r n o a l
p u n t o (0, 0) n o t i e n e a u t o v e c t o r e s .
6 . 3 F u n c i o n e s c o m p l e j a s d e v a r i a b l e r e a l
E n e s t a s e c c i ó n v a m o s a r e c o r d a r l a d e n i c i ó n d e f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e
r e a l y a e s t a b l e c e r a l g u n a s p r o p i e d a d e s n e c e s a r i a s p a r a e l d e s a r r o l l o d e l r e s t o
d e l c a p í t u l o .
D e n i c i ó n 6 . 3 . 1 S e a n a, b ∈ R ∪{−∞, ∞}
( r e c t a r e a l a m p l i a d a ) , c o n a <
b . L l a m a r e m o s f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e r e a l
a c u a l q u i e r f u n c i ó n
f : (a, b) −→ C. S i e n d o i l a u n i d a d i m a g i n a r i a ( i =√ −1) , s i
∀x ∈ (a, b),f (x) = u(x) + iv(x) d i r e m o s q u e u : (a, b) −→ R
e s l a p a r t e r e a l
d e l a
f u n c i ó n
f y q u e
v : (a, b) −→ Re s l a
p a r t e i m a g i n a r i a d e l a f u n c i ó n
f .
S e d i c e q u e l a f u n c i ó n f e s c o n t i n u a , d i f e r e n c i a b l e , d o s v e c e s d i f e r e n c i a b l e ,
e t c . , e n u n p u n t o c ∈ (a, b)
s i l o s o n l a s f u n c i o n e s u
y v.
L a s d e r i v a d a s y l a
i n t e g r a l d e l a f u n c i ó n f s e d e n e n d e r i v a n d o e i n t e g r a n d o d e l a f o r m a h a b i t u a l
l a f u n c i ó n f, c o n s i d e r a n d o a l a u n i d a d i m a g i n a r i a i c o m o u n a c o n s t a n t e .
A s í , s i l a s f u n c i o n e s u, v s o n d e r i v a b l e s e n t o d o p u n t o x ∈ (a, b), d i r e m o s
q u e l a f u n c i ó n f e s d e r i v a b l e y a l a f u n c i ó n f : (a, b) −→ C, d e n i d a p o r l a
c o n d i c i ó n
∀x ∈ (a, b), f (x) = u(x) + iv(x),
d o n d e
∀x
∈(a, b), u(x) y v(x) s o n l a s d e r i v a d a s d e u y v e n e l p u n t o x
r e s p e c t i v a m e n t e , l a d e n o m i n a r e m o s f u n c i ó n d e r i v a d a d e f.E n g e n e r a l , s i u y v a d m i t e n d e r i v a d a s d e o r d e n k e n t o d o p u n t o x ∈ (a, b),
a l a f u n c i ó n f k : (a, b) −→ Cd e n i d a p o r l a c o n d i c i ó n
∀x ∈ (a, b), f k(x) = uk(x) + ivk(x)
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2 4 4 Á l g e b r a
l a d e n o m i n a r e m o s f u n c i ó n d e r i v a d a d e o r d e n k d e f .
Y d e l m i s m o m o d o , s i l a s f u n c i o n e s
uy
vs o n i n t e g r a b l e s e n
[a, b], d i r e m o s
q u e f e s i n t e g r a b l e e n [a, b] y
b a
f (x)dx =
b a
u(x)dx + i
b a
v(x)dx.
P o r o t r a p a r t e , l o s r e s u l t a d o s g e n e r a l e s v á l i d o s p a r a l a s f u n c i o n e s r e a l e s
d e v a r i a b l e r e a l t a m b i é n s o n v á l i d o s a q u í . E n p a r t i c u l a r , s i e m p r e q u e t e n g a n
s e n t i d o l a s e x p r e s i o n e s d e l p r i m e r m i e m b r o d e l a s s i g u i e n t e s i g u a l d a d e s ( i . e . ,
e n l o s c a s o s a ) , b ) y c ) s i e m p r e q u e f y g s e a n d e r i v a b l e s ) , s e v e r i c a q u e :
a )
∀α, β
∈C
, y
∀f, g
∈ F ((a, b),C), (αf + βg) = αf + βg
b ) ∀ f, g ∈ F ((a, b),C) , (f · g) = f g + f gc )
∀ f, g ∈ F ((a, b),C), ∀t0 ∈ (a, b)
t a l q u e g(t0) = 0,
(f
g)(t0) =
f g − f g
g2(t0)
d ) ( ∀x ∈ (a, b) f (x) = 0) ⇒ f e s c o n s t a n t e
e ) ∀x ∈ (a, b), d
dx(
x a
f (t)dt) = f (x).
O b s e r v a c i ó n 6 0 E n l o s u c e s i v o , C k(a, b), k ≥ 1, d e n o t a r á a l c o n j u n t o d e
f u n c i o n e s c o m p l e j a s d e n i d a s s o b r e e l i n t e r v a l o
(a, b)y q u e a d m i t e n d e r i v a -
d a h a s t a e l o r d e n k, s i e n d o l a d e r i v a d a k - é s i m a c o n t i n u a . C (a, b)s e r á e l
c o n j u n t o d e f u n c i o n e s c o m p l e j a s c o n t i n u a s d e n i d a s s o b r e e l i n t e r v a l o (a, b).
6 . 3 . 1 L a e x p o n e n c i a l c o m p l e j a
S i d a d o x ∈ Rd e n i m o s
eix = (cos x + i · senx),
c u a l q u i e r n ú m e r o c o m p l e j o z ∈ C s e p u e d e r e p r e s e n t a r d e l a f o r m a
z =| z | · eiα,
s i e n d o α ∈ Ru n o c u a l q u i e r a d e s u s a r g u m e n t o s . E s t a r e p r e s e n t a c i ó n d e l
n ú m e r o c o m p l e j o z
e s d e n o m i n a d a f o r m a e x p o n e n c i a l d e l n ú m e r o c o m p l e j o
z .
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Á l g e b r a 2 4 5
S i z = x + iy, s e d e n e
ez = ex(cos y + iseny).
U t i l i z a n d o e s t a e x p r e s i ó n s e d e n e l a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l f d e c o n s t a n t e
λ = α + βi ∈ Cy p a r á m e t r o
t ∈ Rd e l s i g u i e n t e m o d o :
f : R −→ C
t → eλt,
d o n d e
f (t) = eλt = e(α+iβ )t = eαt(cos βt + isenβt).
P r o p i e d a d e s d e l a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l c o m p l e j a
L a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l t i e n e l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s ( a n á l o g a s a l a s q u e
s e v e r i c a n e n e l c a s o r e a l ) :
• ∀λ, µ ∈ C, e(λ+µ)t = eλt · eµt.
• ∀λ ∈ C, ddt
(eλt) = λeλt.
• ∀λ ∈ C− {0},b
a
eλtdt = (eλb−eλa)λ
.
D e m o s t r a c i ó n
1 . S i λ = α + iβ
y µ = δ + iε,
t e n d r e m o s q u e
eλt · eµt = eαt(cos βt + isenβt) · eδt(cos εt + isenεt) =
= eαteδt((cos βt(cos εt) − senβt(senεt)) +
+ i(senβt(cos εt) + senεt(cos βt))) =
= eαt+δt(cos(β + ε)t + isen(β + ε)t = e(λ+µ)t.
2 . S i λ = α + iβ,
d
dt(eλt
) =
d
dt(eαt
(cos βt + isenβt)) =
d
dt(eαt
cos βt) + i
d
dt(eαt
senβt) == (αeαt cos βt − βeαtsenβt) + i(βeαt cos βt + αeαtsenβt) =
= eαt(α(cos βt + isenβt) + β (i cos βt − senβt)) =
= eαt(α + iβ )((cos βt + isenβt) = λeλt.
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2 4 6 Á l g e b r a
3 . ∀λ ∈ C− {0},
b a
eλtdt =
b a
eαt(cos βt + isenβt)dt =
=
b a
eαt cos βtdt + i
b a
eαtsenβtdt =
=eαt(α cos βt + βsenβt)
α2 + β 2
b
a
+ ieαt(αsenβt − β cos βt)
α2 + β 2
b
a
=
= eαt(cos βt + isenβt)(α − iβ )α2 + β 2
ba
=
=1
α + iβ eαt(cos βt + isenβt) =
1
λeλt.
2
6 . 4 E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s
6 . 4 . 1 L a e c u a c i ó n d e p r i m e r o r d e n
E n t e n d e r e m o s p o r e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l o r d i n a r i a ( E D O ) l i n e a l c o n
c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s d e p r i m e r o r d e n c u a l q u i e r e x p r e s i ó n d e l a f o r m a
f − λf = g( I )
d o n d e g e s u n a f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e r e a l c o n t i n u a , λ ∈ C, f e s l a
v a r i a b l e d e l a e c u a c i ó n ( I ) q u e r e p r e s e n t a a u n a f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e
r e a l c o n d e r i v a d a c o n t i n u a y f r e p r e s e n t a l a d e r i v a d a d e f .
P o r e j e m p l o l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n e s u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e p r i m e r o r -
d e n :
f + f = cos(x)
t a m b i é n s e p u e d e e s c r i b i r e s t a m i s m a e c u a c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s m o d o s :
df
dx+ f = cos(x)
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Á l g e b r a 2 4 7
D(f ) + f = cos(x)
E n t e n d e r e m o s p o r s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n a c u a l q u i e r f u n c i ó n c o m -
p l e j a d e v a r i a b l e r e a l c o n d e r i v a d a c o n t i n u a q u e , r e e m p l a z a d a e n l u g a r d e l a
v a r i a b l e f, h a g a c i e r t a l a i g u a l d a d .
P o r e j e m p l o l a f u n c i ó n e−xe s u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n f + f = 0.
V e a m o s c u a l e s s o n l o s a s p e c t o s e s e n c i a l e s q u e n o s v a n a p e r m i t i r r e s o l v e r
l a e c u a c i ó n ( I ) :
1 . E s e v i d e n t e q u e e l p r o b l e m a d e e n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n
( I ) e q u i v a l e a e n c o n t r a r l a p r e i m a g e n d e g m e d i a n t e l a f u n c i ó n l i n e a l
D − λId : C
1
(a, b) → C (a, b)f ; f − λf
E n l o s u c e s i v o , p a r a n o s o b r e c a r g a r d e m a s i a d o l a n o t a c i ó n , e s c r i b i r e m o s
C ke n l u g a r d e
C k(a, b).
2 . L a e c u a c i ó n f − λf = 0, c o n o c i d a c o m o e c u a c i ó n h o m o g é n e a a s o -
c i a d a a l a e c u a c i ó n ( I ) , t i e n e s i e m p r e s o l u c i ó n y e l c o n j u n t o d e s u s
s o l u c i o n e s t i e n e e s t r u c t u r a d e s u b e s p a c i o v e c t o r i a l , p u e s t o q u e e l c o n -
j u n t o d e s o l u c i o n e s e s e l n ú c l e o d e l o p e r a d o r D − λId. E n p a r t i c u l a r l a
f u n c i ó n 0 e s s o l u c i ó n . A d e m á s
dim(Ker(D − λId)) = 1.
V e á m o s l o : e v i d e n t e m e n t e l a f u n c i ó n f (x) = eλxe s s o l u c i ó n d e l a e c u a -
c i ó n f − λf = 0.
V e a m o s q u e s i f
e s o t r a s o l u c i ó n d e d i c h a e c u a c i ó n ,
e n t o n c e s e x i s t e u n e s c a l a r k ∈ Ct a l q u e f (x) = keλx. P u e s t o q u e
∀x ∈ R, eλx = 0, t i e n e s e n t i d o c o n s i d e r a r l a f u n c i ó n
f eλx
. S u f u n c i ó n
d e r i v a d a e s
f
eλx) =
f eλx − f λeλx
e2λx=
f − λf
eλx=
0
eλx= 0
, e s d e c i r ,
f
eλx= k ∈ C,
p o r l o q u e
∀x ∈ R, f (x) = keλx.
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2 4 8 Á l g e b r a
3 . T e n i e n d o e n c u e n t a q u e e l o p e r a d o r
ddx
− λId = D − λId e s l a s u m a d e
d o s f u n c i o n e s l i n e a l e s y q u e p o r t a n t o e s l i n e a l , s e p u e d e v e r i c a r q u e
s i s1 e s s o l u c i ó n d e f − λf = h1
y s2 e s s o l u c i ó n d e
f − λf = h2,e n t o n c e s
s1 + s2 e s s o l u c i ó n d e f − λf = h1 + h2.
E s t a p r o p i e d a d e s c o n o c i d a c o m o p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n d e
s o l u c i o n e s . C o m o c o n s e c u e n c i a d e e s t a p r o p i e d a d , y d e f o r m a a n á l o g a
a l o q u e s u c e d í a c o n l a s e c u a c i o n e s l i n e a l e s , l a s o l u c i ó n g e n e r a l d e l a
e c u a c i ó n ( I ) s e o b t i e n e s u m a n d o a u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e d i c h a
e c u a c i ó n t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n h o m o g é n e a a s o c i a d a .
4 . L a f u n c i ó n l i n e a l D − λId : C 1 → C e s s o b r e y e c t i v a o , l o q u e e s
l o m i s m o , l a e c u a c i ó n f − λf = g t i e n e s o l u c i ó n c u a l q u i e r a q u e s e a
g ∈ C . P a r a c o m p r o b a r l o , v a m o s a v e r i c a r q u e l a f u n c i ó n
f (x) = eλx · x
0
g(t)
eλtdt
e s u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e d i c h a e c u a c i ó n :
s i f − λf = g, e n t o n c e s
(f
eλx) =
f eλx − fλeλx
e2λx=
f − λf
eλx=
g
eλx,
d e d o n d e
f (x) = eλx · x
0
g(t)
eλtdt.
5 . E l n ú c l e o d e e s t a f u n c i ó n l i n e a l e s d e d i m e n s i ó n 1 y e s t á g e n e r a d o p o r
e l v e c t o r f (x) = eλx. E s t e h e c h o h a c e q u e e l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e
l a e c u a c i ó n s e a : f ∈ C 1(a, b)|∃α ∈ C
t a l q u e
∀x ∈ (a, b), f (x) = eλx · x
0
g(t)
eλtdt + αeλx
.
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Á l g e b r a 2 4 9
E j e m p l o 6 . 4 . 1 S e q u i e r e n d e t e r m i n a r l a s s o l u c i o n e s d e l a E D O
f (x) + f (x) = cos(x) x ∈ R.
p a r a e s t a e c u a c i ó n , g(x) = cos(x) y λ = −1.L a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n h o m o g é n e a a s o c i a d a
f (x) + f (x) = 0s o n
t o d a s d e l t i p o f (x) = ke−x, k ∈ R.U n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e l a e c u a c i ó n n o h o m o g é n e a e s :
f p(x) = eλx · x
0
g(t)
eλtdt = e−x ·
x
0
et cos(t)dt.
I n t e g r a n d o p o r p a r t e s d o s v e c e s , s e o b t i e n e q u e
x
0
et cos(t)dt =− sin(t)etx
0+ x
0
et sin(t)dt =
= − sin(x)ex +
cos(t)etx
0− x
0
et cos(t)dt =
= − sin(x)ex + cos(x)ex − 1 − x
0
et cos(t)dt.
E n t o n c e s
f p(x) = e−x − sin(x)ex + cos(x)ex − 1
2
y l a s o l u c i ó n g e n e r a l d e n u e s t r a e c u a c i ó n e s
f (x) = e−x − sin(x)ex + cos(x)ex − 1
2+ ke−x =
=− sin(x) + cos(x) − e−x
2+ ke−x =
− sin(x) + cos(x)
2+ ke−x k ∈ C.
6 . 4 . 2 L a e c u a c i ó n d e o r d e n n
E n l a s e c c i ó n a n t e r i o r e s t u d i a m o s l a f o r m a g e n e r a l d e l a s s o l u c i o n e s d e l a
e c u a c i ó n d e p r i m e r o r d e n f
−λf = g . V i m o s q u e e s t e p r o b l e m a a d m i t e
u n a f o r m u l a c i ó n a l g e b r a i c a q u e p e r m i t e e s t a b l e c e r c i e r t a s a n a l o g í a s c o n l a
r e s o l u c i ó n d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s . E n e s t a s e c c i ó n c o m p r o b a r e m o s q u e e s
p o s i b l e a s o c i a r a u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e l t i p o
f (n) + an−1f (n−1) + · · · + a1f + a0f = h.
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2 5 0 Á l g e b r a
u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e p r i m e r o r d e n , c u y a r e s o l u c i ó n n o s p e r m i t i r á
o b t e n e r l a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n b u s c a d a .
C o m e n z a r e m o s p l a n t e a n d o d e u n m o d o p r e c i s o e l p r o b l e m a q u e q u e r e m o s
r e s o l v e r . E n t e n d e r e m o s p o r e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l o r d i n a r i a ( E D O ) l i n e a l
c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s d e o r d e n n c u a l q u i e r e x p r e s i ó n d e l a
f o r m a
f (n)(x) + an−1f (n−1)(x) + · · · + a1f (x) + a0f (x) = h ( I I )
d o n d e h e s u n a f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e r e a l c o n t i n u a , an−1, · · · , a1, a0s o n n ú m e r o s c o m p l e j o s , f e s l a v a r i a b l e d e l a e c u a c i ó n ( I I ) q u e r e p r e s e n t a
a u n a f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e r e a l c o n d e r i v a d a n - é s i m a c o n -
t i n u a y f (k)
r e p r e s e n t a l a k - é s i m a d e r i v a d a d e f
. P o r e j e m p l o l a s i g u i e n t e
e x p r e s i ó n e s u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o r d e n 2 :
f (2)(x) + f (1)(x) + f (x) = cos(x)( a q u í
a1 = 1y
a0 = 1)
t a m b i é n s e p u e d e e s c r i b i r e s t a m i s m a e c u a c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s m o d o s :
f (x) + f (x) + f (x) = cos(x)d2f (x)
dx2+ df (x)
dx+ f (x) = cos(x)
D2
(f )(x) + D(f )(x) + f (x) = cos(x)
E n t e n d e r e m o s p o r s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n a c u a l q u i e r f u n c i ó n q u e
r e e m p l a z a d a e n l u g a r d e l a v a r i a b l e f h a g a c i e r t a l a i g u a l d a d . P o r e j e m p l o l a
f u n c i ó n sin(x)
e s u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n f (x) + f (x) + f (x) = cos(x)
.
N u e s t r o o b j e t i v o e s e n c o n t r a r e l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e u n a E D O l i n e a l
c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s d a d a .
T r a s e l p l a n t e a m i e n t o d e l p r o b l e m a , v a m o s a s e g u i r u n a e s t r a t e g i a q u e ,
a d e m á s d e p e r m i t i r n o s r e s o l v e r l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o r d e n n
f (n) + an−1f (n−1) + · · · + a1f + a0f = h,
n o s d o t a r á d e h e r r a m i e n t a s p a r a r e s o l v e r l o q u e d e n o m i n a r e m o s s i s t e m a s d e
e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s d e p r i m e r o r d e n .
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Á l g e b r a 2 5 1
6 . 4 . 3 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s
N u e s t r o o b j e t i v o e s o b t e n e r u n m é t o d o s i s t e m á t i c o q u e n o s p e r m i t a r e s o l v e r
e l s i g u i e n t e t i p o d e p r o b l e m a : D e t e r m i n a r l a s f u n c i o n e s y1, y2, . . . , yn t a l e s
q u e p a r a c u a l q u i e r t ∈ Rs e v e r i c a q u e
y1(t) = a11y1(t) + a12y2(t) + · · · + a1nyn(t)y2(t) = a21y1(t) + a22y2(t) + · · · + a2nyn(t)
.
.
.
yn(t) = an1y1(t) + an2y2(t) + · · · + annyn(t)
( 6 . 1 )
N o r m a l m e n t e p a r a e x p r e s a r ( 6 . 1 ) u t i l i z a r e m o s l a n o t a c i ó n m a t r i c i a l e x t e n d i -
d a :
∀t ∈ R ,
y1(t)y2(t)
.
.
.
yn(t)
=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann
y1(t)y2(t)
.
.
.
yn(t)
( 6 . 2 )
o l a n o t a c i ó n m a t r i c i a l c o m p a c t a :
∀t ∈ R ,−→y (t) = A−→y (t)
E l s i s t e m a ( 6 . 2 ) s e c o n o c e c o m o s i s t e m a h o m o g é n e o d e n e c u a c i o n e s
d i f e r e n c i a l e s l i n e a l e s o r d i n a r i a s d e p r i m e r o r d e n , c o n c o e c i e n t e s
c o n s t a n t e s . L a s t é c n i c a s p a r a r e s o l v e r e s t e t i p o d e p r o b l e m a e s t á n e n c u a -
d r a d a s e s p e c í c a m e n t e d e n t r o d e l á l g e b r a l i n e a l . C o n s i s t e n b á s i c a m e n t e e n
r e a l i z a r u n a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e m o d o q u e l a r e s o l u c i ó n d e l a s e c u a c i o n e s
r e s u l t a n t e s s e a m á s s e n c i l l a . A d e m á s d i c h a t r a n s f o r m a c i ó n n o d e b e p e r d e r
i n f o r m a c i ó n , l o q u e s i g n i c a q u e d e b e s e r p o s i b l e d e s h a c e r l a t r a n s f o r m a c i ó n ,
o l o q u e e s i g u a l , d e b e s e r i n v e r t i b l e . P a r a i l u s t r a r e s t a i d e a j é m o n o s e n q u e
r e s o l v e r u n s i s t e m a d e t e r m i n a d o d e n e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n n i n c ó g n i t a s :
A
x1.
.
.
xn
=
b1.
.
.
bn
C o n s i s t e b á s i c a m e n t e e n m u l t i p l i c a r a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d p o r A−1
( e s t a
e s l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l ) d e m o d o q u e l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a r e s u l t a n t e
r e s u l t e s e r t r i v i a l o e v i d e n t e :
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2 5 2 Á l g e b r a
Inx1
.
.
.
xn = A−
1b1
.
.
.
bn
P a r a a t a c a r n u e s t r o p r o b l e m a u t i l i z a n d o t r a n s f o r m a c i o n e s l i n e a l e s e l p r i -
m e r p u n t o q u e d e b e m o s t r a t a r e s e l s i g u i e n t e : ¾ C o m o m o d i c a n l a s t r a n s f o r -
m a c i o n e s l i n e a l e s a l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s ? A n t e s d e a b o r d a r
l a r e s p u e s t a a e s t a p r e g u n t a , e s c o n v e n i e n t e h a c e r l a s i g u i e n t e o b s e r v a c i ó n .
O b s e r v a c i ó n 6 1 U n a v e z d e s a r r o l l a d a u n a h e r r a m i e n t a q u e n o s p e r m i t a
r e s o l v e r s i s t e m a s d e p r i m e r o r d e n , p o d r e m o s t a m b i é n u t i l i z a r l a p a r a r e s o l v e r
l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o r d e n
n
f (n) + an−1f (n−1) + · · · + a1f + a0f = h.
L a i d e a c o n s i s t e e n d e n i r , a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r , l a s s i g u i e n t e s
f u n c i o n e s
y1(t) = f (t)y2(t) = f (t) = y1(t)
.
.
.
yn(t) = f (n−1)(t) = yn−1(t)
( 6 . 3 )
d e m a n e r a q u e r e s o l v e r l a e c u a c i ó n a n t e r i o r , c o n s i s t e e n r e s o l v e r e l s i g u i e n t e
s i s t e m a d e p r i m e r o r d e n e q u i v a l e n t e :
y1(t)y2(t)
.
.
.
yn(t)
=
0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · 1−a0 −a1 −a2 · · · −an−1
y1(t)y2(t)
.
.
.
.
.
.
yn(t)
+
00
.
.
.
0h(t)
.
E j e m p l o 6 . 4 . 2 P a r a h a l l a r l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n
f (x) + f (x) + f (x) = cos(x),
p o d e m o s d e n i r y1(x) = f (x)
y2(x) = f (x) = y1(x),
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Á l g e b r a 2 5 3
y r e s o l v e r e l p r o b l e m a d e d e t e r m i n a r l a s s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a
y1(x)y2(x)
=
0 1−1 −1
y1(x)y2(x)
+
0cos(x)
.
6 . 5 L a s e m e j a n z a d e m a t r i c e s y l o s s i s t e m a s d e
e c u a c i o n e s
C o n s i d e r e m o s e l s i s t e m a d e n e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s
∀t ∈ R ,−→y (t) = A−→y (t), ( 6 . 4 )
d o n d e A
e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n. S i Q
e s u n a m a t r i z c u a d r a d a
c u a l q u i e r s o l u c i ó n d e ( 6 . 4 ) t a m b i é n l o e s d e
∀t ∈ R , Q·−→y (t) = Q · A−→y (t). ( 6 . 5 )
S i a d e m á s Q
e s i n v e r t i b l e e l r e c í p r o c o e s c i e r t o , e s d e c i r , c u a l q u i e r s o l u c i ó n
d e ( 6 . 5 ) t a m b i é n l o e s d e ( 6 . 4 ) .
P o r t a n t o s i P e s u n a m a t r i z i n v e r t i b l e p o d e m o s e s c r i b i r ( 6 . 5 ) u s a n d o P −1,e s d e c i r :
∀t ∈ R , P−1·−→y (t) = P−1·A−→y (t).
A h o r a , s i s u p o n e m o s q u e
P−1= γ 11
· · ·γ 1n
.
.
.
.
.
.
γ n1 · · · γ nn
e −→y (t) = y1(t).
.
.
yn(t)
,
t e n d r e m o s q u e :
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2 5 4 Á l g e b r a
P−1·−→y (t) = γ 11 · · · γ 1n
.
.
.
.
.
.
γ n1 · · · γ nn
y1(t).
.
.
yn(t)
=
=
ni=1
γ 1iyi(t)
.
.
.
n
i=1 γ niyi(t)
=
z1(t)
ni=1
γ 1iyi(t)
.
.
.
n
i=1
γ niyi(t) zn(t)
=
z 1(t)
.
.
.
z n(t)
.
L u e g o s i i n t r o d u c i m o s e l c a m b i o d e v a r i a b l e s
−→z (t) = P−1·−→y (t),
t e n d r e m o s q u e −→z (t) = P−1·−→y (t)
y e n c o n s e c u e n c i a e l s i s t e m a ( 6 . 4 ) e q u i v a l e a
∀t ∈ R ,−→z (t) = P−1·A−→y (t).
A h o r a , p a r a c o n s e g u i r q u e a p a r e z c a e l m i s m o t i p o d e v a r i a b l e a a m b o s l a d o s
d e l a i g u a l d a d , p o d e m o s h a c e r l a s s i g u i e n t e s t r a n s f o r m a c i o n e s :
−→z (t) = P−1·A−→y (t) = P−1·A · (P · P−1)−→y (t) =
= (P−1·A · P)(P−1·−→y (t)) = (P−1·A · P)−→z (t).
R e s u m i e n d o , h e m o s o b t e n i d o q u e s i P
e s u n a m a t r i z d e o r d e n n i n v e r t i b l e
l a s s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s I e I I s o n e q u i v a l e n t e s :
I II
∀t ∈ R ,−→y (t) = A−→y (t) ⇐⇒ ∀t ∈ R ,
−→y (t) = P·−→z (t)−→z (t) = (P−1·A · P)−→z (t).
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Á l g e b r a 2 5 5
O b s e r v a c i ó n 6 2 V e m o s q u e , s i e n d o P u n a m a t r i z i n v e r t i b l e , e l e f e c t o d e
s u s t i t u i r e n u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s −→y (t) = A−→y (t)l a m a t r i z
d e c o e c i e n t e s A p o r l a m a t r i z (P−1·A · P), e q u i v a l e a r e a l i z a r e l c a m b i o d e
v a r i a b l e l i n e a l
−→y (t) = P·−→z (t).A p l i c a r e m o s e s t e r e s u l t a d o d e l s i g u i e n t e m o d o : s u p u e s t o q u e n o s p l a n t e a n e l
p r o b l e m a I , b u s c a r e m o s u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P
d e m o d o q u e e l s i s t e m a d e
e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s d e l p r o b l e m a I I s e a m á s s e n c i l l o . E n t o n c e s , b a s t a r á
m u l t i p l i c a r p o r P
l a s o l u c i ó n
−→z (t) d e d i c h o s i s t e m a , p a r a o b t e n e r l a s o l u c i ó n
d e l p r o b l e m a I .
O b s e r v a c i ó n 6 3 V i m o s q u e d o s m a t r i c e s c u a d r a d a s A
y B
s o n s e m e j a n t e s
s i e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P, q u e l l a m a m o s
m a t r i z d e p a s o , t a l q u e
P−1·A · P = B.
A c o n t i n u a c i ó n v a m o s a d i s c u t i r q u é t i p o s d e s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i -
f e r e n c i a l e s v a m o s a p o d e r r e s o l v e r d i r e c t a m e n t e .
6 . 5 . 1 S i s t e m a s d i a g o n a l e s
C o m e n z a r e m o s c o n l o s s i s t e m a s c u y a m a t r i z d e c o e c i e n t e s e s d i a g o n a l :
∀t ∈ R ,
y1(t)
y2(t).
.
.
yn(t)
=
λ1 0
· · ·0
0 λ2 · · · 0.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · λn
y1(t)
y2(t).
.
.
yn(t)
.
D e s d e l u e g o , c o m o e s t e s i s t e m a e q u i v a l e a
y1(t) = λ1y1(t)y2(t) = λ2y2(t)
.
.
.
.
.
.
yn(t) = λnyn(t)
,
s a b e m o s r e s o l v e r l o y s u s s o l u c i o n e s s o n
y1(t) = α1eλ1·t, y2(t) = α2eλ2·t, . . . , yn(t) = αneλn·t.
S i q u e r e m o s e x p r e s a r l a s m a t r i c i a l m e n t e e s c r i b i r e m o s :
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2 5 6 Á l g e b r a
y1(t)y2(t)
.
.
.
yn(t)
= α1eλ1·t
0.
.
.
0
+ α20
eλ2·t.
.
.
0
+ · · · + αn00
.
.
.
eλn·t .
E j e m p l o 6 . 5 . 1 S i A =
0 0 00 2 00 0 1
, e n t o n c e s λ1 = 0, λ2 = 2 y λ3 = 1.
S e s i g u e q u e l a s s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s q u e t i e n e A c o m o m a t r i z
a s o c i a d a s o n
y1 = c1, y2 = c2e2t
, y3 = c3et
.
¾ S a b i e n d o r e s o l v e r s i s t e m a s d i a g o n a l e s , p o d e m o s r e s o l v e r c u a l q u i e r o t r o
s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s d e p r i m e r o r d e n c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n -
t e s ? P a r a p o d e r r e s p o n d e r a r m a t i v a m e n t e a e s t a p r e g u n t a t e n d r í a m o s q u e
s e r c a p a c e s d e t r a n s f o r m a r p o r s e m e j a n z a c u a l q u i e r m a t r i z e n o t r a q u e s e a
d i a g o n a l . A u n q u e m á s a d e l a n t e v e r e m o s q u e e n g e n e r a l e s t o n o e s p o -
s i b l e , e l e s t u d i o d e e s t e p r o b l e m a n o s d a r á u n a s c l a v e s f u n d a m e n t a l e s p a r a
r e s o l v e r l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s .
P u e s t o q u e n o t o d a m a t r i z e s d i a g o n a l i z a b l e , n e c e s i t a m o s b u s c a r o t r o
t i p o d e m a t r i c e s q u e n o s p e r m i t a n s i m p l i c a r l a r e s o l u c i ó n d e s i s t e m a s d e
e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s .
6 . 5 . 2 S i s t e m a s t r i a n g u l a r e s
C o n s i d e r e m o s a h o r a l o s s i s t e m a s h o m o g é n e o s c u y a m a t r i z d e c o e c i e n t e s e s
t r i a n g u l a r i n f e r i o r m e n t e :
∀t ∈ R ,
y1(t)y2(t)
.
.
.
yn(t)
=
λ1 0 · · · 0a21 λ2 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · λn
y1(t)y2(t)
.
.
.
yn(t)
.
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Á l g e b r a 2 5 7
E s t e c a s o e q u i v a l e a :
y1(t) − λ1y1(t) = 0y2(t) − λ2y2(t) = a21y1(t)
.
.
.
yn(t) − λnyn(t) =n−1i=1
a1iyi(t)
.
A u n q u e l a b o r i o s o , e s f á c i l r e s o l v e r e s t e t i p o d e e c u a c i o n e s :
1 . R e s o l v e m o s l a e c u a c i ó n
y1
(t)−
λ1y1(t) = 0
y o b t e n e m o s q u e
y1(t) = α1eλ1·t.
2 . A c o n t i n u a c i ó n , c o m o y a c o n o c e m o s y1,
r e s o l v e m o s l a s e g u n d a e c u a c i ó n
y2(t) − λ2y2(t) = a21α1eλ1·t
y o b t e n e m o s q u e
y2(t) = α2eλ2·t + α1eλ2·t · t
0
a21e(λ1−λ2)·xdx.
3 . C o m o y a c o n o c e m o s y1 e y3, p o d e m o s r e s o l v e r l a t e r c e r a e c u a c i ó n y
a s í s u c e s i v a m e n t e h a s t a l a ú l t i m a .
V e a m o s u n e j e m p l o .
E j e m p l o 6 . 5 . 2 E n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e l s i g u i e n t e s i s t e m a : y1(t)y2(t)y3(t)
=
0 0 01 1 0
−1 3 1
y1(t)y2(t)y3(t)
.
E n p r i m e r l u g a r , d i c h o s i s t e m a e q u i v a l e a y1(t) − 0 · y1(t) = 0,y2(t) − 1 · y2(t) = y1(t),y3(t) − 1 · y3(t) = −y1(t) + 3y2(t).
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2 5 8 Á l g e b r a
1 . L a s o l u c i ó n g e n e r a l d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n e s
y1(t) = α1e0·t = α1.
2 . L a s e g u n d a e c u a c i ó n s e t r a s f o r m a e n
y2(t) − y2(t) = α1
y s u s o l u c i ó n g e n e r a l e s
y2(t) = β 2et + et
t
0
α1e−1xdx = (β 2 + α1)et − α1.
C o m o β 2 e s a r b i t r a r i o , p o d e m o s l l a m a r α2 a (β 2 + α1) y e s c r i b i r
y2(t) = α2et
− α1.3 . P o r ú l t i m o , c o m o y a c o n o c e m o s y1 e y2, l a t e r c e r a e c u a c i ó n s e t r a n s -
f o r m a e n
y3(t) − y3(t) = −α1 + 3
α2et − α1
= 3α2et − 4α1,
y s u s o l u c i ó n g e n e r a l v i e n e d a d a p o r
1 .
y3(t) = β 3et + et
t
0 3α2e(1−1)x − 4α1e−1x
dx =
= (β 3 − 4α1) et
+ 4α1 + 3α2tet
.D e n u e v o , s i l l a m a m o s α3 a (β 3 − 4α1), t e n d r e m o s
y3(t) = α3et + 3α2tet + 4α1.
L u e g o , a l e x p r e s a r l a s s o l u c i o n e s v e c t o r i a l m e n t e , o b t e n e m o s y1(t)y2(t)y3(t)
= α1
1−14
+ α2
0et
3tet
+ α3
00et
.
D e c a r a a l a r e s o l u c i ó n d e s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s , ¾ e s s u c i e n t e m e n t e
g r a n d e e l c o n j u n t o d e m a t r i c e s t r i a n g u l a r e s ? , d i c h o d e o t r o m o d o , ¾ c u a l q u i e r
m a t r i z c u a d r a d a e s s e m e j a n t e a a l g u n a t r i a n g u l a r ? P a r a c o n t e s t a r a e s t a
p r e g u n t a n e c e s i t a m o s e s t u d i a r l o s a u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s d e l a m a t r i z
d e l s i s t e m a .
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Á l g e b r a 2 5 9
6 . 6 D i a g o n a l i z a c i ó n y t r i a n g u l a c i ó n d e m a t r i -
c e s
6 . 6 . 1 E l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e u n a m a t r i z
O b s e r v a c i ó n 6 4 S i n o s j a m o s e n l a s c o l u m n a s d e u n a m a t r i z t r i a n g u l a r
T =
λ1 0 · · · 0a21 λ2 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · λn
v e m o s q u e s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s s i y s ó l o s i t o d o s l o s c o e c i e n t e s
d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l s o n d i s t i n t o s d e c e r o ; u n a m a n e r a d i r e c t a d e v e r i c a r
e s t a a r m a c i ó n e s o b s e r v a r q u e
det(T) = |T| = λ1λ2 · · · λn.
E n c o n s e c u e n c i a l a s c o l u m n a s d e l a m a t r i z
T − xIn =
λ1 − x 0 · · · 0a21 λ2 − x · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · λn − x
s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i y s ó l o s i x c o i n c i d e c o n a l g ú n e l e m e n t o d e l a
d i a g o n a l p r i n c i p a l . T a m b i é n p o d e m o s e x p r e s a r e s t a p r o p i e d a d d i c i e n d o q u e
e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z T − xIn s e h a c e c e r o s i y s ó l o s i x c o i n c i d e c o n
a l g ú n e l e m e n t o d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l . S i a h o r a d e s a r r o l l a m o s |T − xIn|
λ1 − x 0 · · · 0a21 λ2 − x · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2
· · ·λn
−x
= (λ1 − x) (λ2 − x) · · · (λn − x) ,
v e m o s q u e l o d i c h o h a s t a e l m o m e n t o e s t r i v i a l , y a q u e o b t e n e m o s u n p o l i -
n o m i o d e g r a d o n c u y a s r a í c e s s o n p r e c i s a m e n t e l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l
p r i n c i p a l d e T.
¾ D ó n d e r e s i d e e l i n t e r é s d e e s t a o b s e r v a c i ó n ? F u n d a m e n t a l -
m e n t e e n q u e e s t e d e t e r m i n a n t e e s i n v a r i a n t e b a j o l a s t r a n s f o r m a c i o n e s
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2 6 0 Á l g e b r a
p o r s e m e j a n z a : s u p o n g a m o s q u e l a s m a t r i c e s A
y T
s o n s e m e j a n t e s , e s
d e c i r , T
=P−1AP
e n t o n c e s t e n e m o s
|T − xIn| =P−1AP − xIn
=P−1AP − xP−1P
=
=P−1 (A − xIn) P
=P−1 |A − xIn| |P| =
=
p u e s t o q u e
P−1 = |P|−1 =
= |A − xIn| .
E s t o s i g n i c a q u e e l p o l i n o m i o , c u y a s r a í c e s c o i n c i d e n c o n l o s e l e m e n t o s d e
l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e T, p u e d e s e r o b t e n i d o d i r e c t a m e n t e a p a r t i r d e
A.
E j e m p l o 6 . 6 . 1 D e t e r m i n a r q u é e l e m e n t o s p u e d e n a p a r e c e r e n l a d i a g o n a l
p r i n c i p a l d e u n a m a t r i z t r i a n g u l a r
Ts e m e j a n t e a l a s i g u i e n t e m a t r i z
A =
4 −23 −1
.
C a l c u l e m o s |T − xIn| = |A − xIn| : 4 − x −2
3 −1 − x
= (4 − x) (−1 − x) + 6 = 2 − 3x + x2;
l u e g o , |T − xIn| = 2 − 3x + x2. L o s e l e m e n t o s q u e p u e d e n a p a r e c e r e n l a
d i a g o n a l p r i n c i p a l d e T
s o n l a s r a í c e s d e 2 − 3x + x
x2 − 3x = 2 = 0 ⇒ x =3 ± √ 9 − 8
2= 2
1;
e n c o n s e c u e n c i a ,
|T − xIn| = 2 − 3x + x2 = (2 − x) (1 − x)
y e n l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e T
n e c e s a r i a m e n t e a p a r e c e n l o s v a l o r e s 2 y 1.
D e n i c i ó n 6 . 6 . 2 D a d a u n a m a t r i z c u a d r a d a A
d e o r d e n n, s e d e n o m i n a
p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e
Aa l p o l i n o m i o
p(x) = |A − xIn| .
D a d a u n a m a t r i z c u a d r a d a A
d e o r d e n n,
d i r e m o s q u e u n a m a t r i z c o l u m n a
Xd e n l a s e s u n v e c t o r p r o p i o d e
A( o u n a u t o v e c t o r d e
A) s i :
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Á l g e b r a 2 6 1
1 . X = 0.
2 . E x i s t e u n e s c a l a r λ t a l q u e AX = λX.
A s i m i s m o , d i r e m o s q u e u n e s c a l a r λ e s u n v a l o r p r o p i o d e A
( o u n a u t o -
v a l o r d e A
) s i e x i s t e u n v e c t o r p r o p i o X
d e A
t a l q u e AX = λX. E n t a l c a s o
d i r e m o s q u e λ e s e l v a l o r p r o p i o a s o c i a d o a l v e c t o r p r o p i o X, o t a m b i é n q u e
Xe s u n v e c t o r p r o p i o a s o c i a d o a l v a l o r p r o p i o λ.
P r o p i e d a d e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o
•S i
Ay
Bs o n s e m e j a n t e s , s u s p o l i n o m i o s c a r a c t e r í s t i c o s c o i n c i d e n .
• U s a n d o l a f ó r m u l a d e L a p l a c e p a r a e l c á l c u l o d e d e t e r m i n a n t e s , p o -
d e m o s v e r i c a r q u e e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o e s d e g r a d o n ( s i , p o r
e j e m p l o , c a l c u l a m o s e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z A − xIn a p a r t i r d e
l a p r i m e r a l a , r e s u l t a q u e e l p r i m e r t é r m i n o d e l a s u m a r e s u l t a n t e e s
e l u n ú n i c o q u e c o n t i e n e u n a p o t e n c i a n- é s i m a d e x,) y , p o r e l t e o r e m a
f u n d a m e n t a l d e l á l g e b r a , t i e n e n
r a í c e s c o m p l e j a s .
•C o m o a c a b a m o s d e v e r , s i T e s u n a m a t r i z t r i a n g u l a r s e m e j a n t e a l a
m a t r i z o b j e t o d e e s t u d i o A, l o s e l e m e n t o s d e s u d i a g o n a l p r i n c i p a l s o n
l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e A ( q u e p o r o t r a p a r t e e s
e l m i s m o q u e e l d e T ) . A s í , a u n q u e t o d o s l o s c o e c i e n t e s d e l a m a t r i z
As e a n n ú m e r o s r e a l e s , l o s c o e c i e n t e s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e
T p u e d e n s e r n ú m e r o s i m a g i n a r i o s . P o r e j e m p l o , l a m a t r i z
A =
0 −11 0
t i e n e c o m o p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o
|A − xIn| =
−x −11 −x
= x2 + 1,
c o n l o q u e e n l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e T n e c e s a r i a m e n t e a p a r e c e n l o s
v a l o r e s i y −i.
• λe s u n a r a í z d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e u n a m a t r i z c u a d r a d a
As i
y s ó l o s i |A − λIn| = p(λ) = 0. L a ú l t i m a c o n d i c i ó n e s e q u i v a l e n t e a q u e
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2 6 2 Á l g e b r a
e l r a n g o d e l a m a t r i z A−λIn s e a e s t r i c t a m e n t e m e n o r q u e n y , e n t o n c e s ,
a q u e e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e o
(A
− λI
n)X = (0)s e a c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o , e s d e c i r , a q u e e x i s t a X = (0) t a l q u e
AX = λX.S e d e d u c e q u e
λ e s u n a r a í z d e p ( x ) ⇔ (e x i s t e X = (0) t a l q u e
AX = λX ) ⇔
⇔
λe s u n a u t o v a l o r d e
Ay
X e s u n a u t o v e c t o r d e A.
D e n i c i ó n 6 . 6 . 3 S i λ e s u n a u t o v a l o r d e u n a m a t r i z c u a d r a d a A, a l e s p a c i o
Ker(A − λIn) d e l a s s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e o
(A−λIn)X = (0) s e l e d e n o m i n a a u t o e s p a c i o a s o c i a d o a λ y s u d i m e n s i ó n
e s l a m u l t i p l i c i d a d g e o m é t r i c a d e λ.
A l a m u l t i p l i c i d a d d e λ c o m o r a í z d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e l a m a t r i z
As e l e d e n o m i n a
m u l t i p l i c i d a d a l g e b r a i c a d e λ.
P r o p o s i c i ó n 6 . 6 . 4 S e a n A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n y X 1,...,X m,m ∈ {1,...,n}, v e c t o r e s p r o p i o s d e A a s o c i a d o s , r e s p e c t i v a m e n t e , a m v a l o r e s
p r o p i o s λ1,...,λm. E n e s t a s c o n d i c i o n e s , s i ∀i, j ∈ {1,...,m} λi = λ j , s e
v e r i c a q u e l o s v e c t o r e s X 1,...,X m s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
D e m o s t r a c i ó n P o r i n d u c c i ó n s o b r e m:
1 . B a s e d e i n d u c c i ó n : p a r a m = 1
n o h a y n a d a q u e d e m o s t r a r .
2 . P a s o d e i n d u c c i ó n : S e a m > 1 y s u p o n g a m o s q u e l a p r o p i e d a d e s
c i e r t a p a r a c u a l q u i e r s i s t e m a d e m − 1 v e c t o r e s p r o p i o s . S u p o n g a m o s
a d e m á s q u e
mi=1
αiX i = 0. (1)
M u l t i p l i c a n d o a a m b o s m i e m b r o s d e l a i g u a l d a d (1) p o r λ1 o b t e -
n e m o s q u e
mi=1
(λ1αi)X i = 0 (2).
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Á l g e b r a 2 6 3
P e r o , p o r u n a p a r t e , A · (m
i=1
αiX i) = A · 0 = 0 y , p o r o t r a , A · (m
i=1
αiX i) =
mi=1
(λiαi)X i, p u e s t o q u e s i A · X = λX, e n t o n c e s A · (αX ) = α(A · X ) =
α(λX ) = (λα)X. E n c o n s e c u e n c i a :
mi=1
(λiαi)X i = 0 (3)
R e s t a n d o (2) a (3) o b t e n e m o s q u e
mi=2
αi(λi −λ1)X i = 0, c o n l o q u e , p o r h i p ó -
t e s i s d e i n d u c c i ó n , ∀i ∈ {2,...,m}, αi(λi − λ1) = 0, d e d o n d e
∀i ∈ {2,...,m},αi = 0, c o n l o q u e l a i g u a l d a d (1) q u e d a α1X 1 = 0 y e n c o n s e c u e n c i a α1 = 0.
2
6 . 6 . 2 M a t r i c e s d i a g o n a l i z a b l e s
D e n i c i ó n 6 . 6 . 5 D i r e m o s q u e u n a m a t r i z c u a d r a d a A
d e o r d e n n e s d i a -
g o n a l i z a b l e , s i e x i s t e u n a m a t r i z d e p a s o i n v e r t i b l e P
d e o r d e n n t a l q u e l a
m a t r i z
D = P−1AP
e s d i a g o n a l .
L o s r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s s o n o b v i a m e n t e a p l i c a b l e s a a q u e l l a s m a t r i c e s
t r i a n g u l a r e s q u e e n p a r t i c u l a r s e a n d i a g o n a l e s . E n o t r a s p a l a b r a s , s i A e s u n a
m a t r i z d i a g o n a l i z a b l e y D
e s u n a m a t r i z d i a g o n a l s e m e j a n t e a A,
l o s e l e m e n -
t o s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e D s o n l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o
d e A ( i . e . , l o s v a l o r e s p r o p i o s d e A) .
E n e l c a s o d e q u e s e a D = P−1AP
s e a d i a g o n a l , ¾ p o d e m o s s a b e r a l g o
a c e r c a d e l a m a t r i z P
? V a m o s a v e r q u e s í . S u p o n g a m o s q u e
D =λ1 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 λn
e s l a m a t r i z P−1AP.
E n t o n c e s m u l t i p l i c a n d o a l a i z q u i e r d a d e a m b a s p o r l a
m a t r i z P
t e n d r e m o s q u e
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2 6 4 Á l g e b r a
AP = PD.
P o r t a n t o l a j - é s i m a c o l u m n a d e AP
c o i n c i d e c o n l a j - é s i m a c o l u m n a d e PD.
A h o r a b i e n , s i
P =
p11 · · · p1n
.
.
.
.
.
.
pn1 · · · pnn
,
t e n d r e m o s q u e l a s j - é s i m a s c o l u m n a d e AP
y PD
s o n r e s p e c t i v a m e n t e
A p1 j
.
.
.
pnj
y
p11 · · · p1n.
.
.
.
.
.
pn1 · · · pnn
0
.
.
.
λ j
.
.
.
0
= λ j
p1 j.
.
.
pnj
y e n c o n s e c u e n c i a o b t e n e m o s q u e :
∀ j ∈ {1, . . . , n} , A
p1 j.
.
.
pnj
= λ j
p1 j.
.
.
pnj
( 6 . 6 )
E n t o n c e s s i D = P−1AP
e s d i a g o n a l n e c e s a r i a m e n t e l a s c o l u m n a s d e
Ps o n v e c t o r e s p r o p i o s d e
Ay l o s c o e c i e n t e s λ1,...,λn s o n l o s v a l o r e s
p r o p i o s d e A.
P o d e m o s c o m p l e t a r e s t a o b s e r v a c i ó n c o n l a s i g u i e n t e p r o p i e d a d :
P r o p o s i c i ó n 6 . 6 . 6 U n a m a t r i z c u a d r a d a A ∈ Mn(K) e s d i a g o n a l i z a b l e s i
s ó l o s i e x i s t e u n a b a s e e n e l e s p a c i o Mn×1(K) d e m a t r i c e s c o l u m n a s d e n l a s
f o r m a d a p o r v e c t o r e s p r o p i o s d e A
.
D e m o s t r a c i ó n S i A
e s d i a g o n a l i z a b l e e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P
( d e
o r d e n
n) t a l q u e
P−1
APe s d i a g o n a l . P o r t a n t o t e n d r e m o s q u e l a s
nc o l u m -
n a s d e P
s o n v e c t o r e s p r o p i o s d e A
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ( p o r s e r P
i n v e r t i b l e ) y e n c o n s e c u e n c i a c o n s t i t u y e n u n a b a s e e n e l e s p a c i o d e m a t r i c e s
c o l u m n a s d e n
l a s f o r m a d a p o r v e c t o r e s p r o p i o s d e A.
R e c í p r o c a m e n t e s u p o n g a m o s q u e
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Á l g e b r a 2 6 5
p11
.
.
.
pn1 , . . . ,
p1n
.
.
.
pnn
e s u n a b a s e d e l e s p a c i o d e m a t r i c e s c o l u m n a s d e n l a s f o r m a d a p o r v e c t o -
r e s p r o p i o s d e A.
E n t o n c e s t e n d r e m o s q u e p o r u n l a d o , a l c o n s t i t u i r e s t a s
m a t r i c e s c o l u m n a u n a b a s e , l a m a t r i z
P =
p11 · · · p1n
.
.
.
.
.
.
pn1 pnn
e s i n v e r t i b l e . P o r o t r o , a l s e r v e c t o r e s p r o p i o s d e A, e x i s t e n n e s c a l a r e s
λ1, . . . , λn ( n o n e c e s a r i a m e n t e d i s t i n t o s ) t a l e s q u e :
∀ j ∈ {1, . . . , n} , A
p1 j.
.
.
pnj
= λ j
p1 j.
.
.
pnj
P e r o e n t o n c e s t e n d r e m o s q u e :
A p11 · · · p1n
.
.
.
.
.
.
pn1 pnn = p11 · · · p1n
.
.
.
.
.
.
pn1 pnn λ1 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 λn y e n c o n s e c u e n c i a , m u l t i p l i c a n d o p o r l a i z q u i e r d a
P−1o b t e n e m o s :
P−1AP =
λ1 0.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 λn
2
T r a s e l r e s u l t a d o a n t e r i o r , e l p r o b l e m a d e d i a g o n a l i z a c i ó n q u e d a r e d u c i d o
a l p r o b l e m a d e s a b e r e n c o n t r a r l o s v e c t o r e s p r o p i o s , s i e m p r e y c u a n d o é s t o
s e a p o s i b l e , l o c u a l , s e g ú n v e r e m o s , n o s u c e d e s i e m p r e .
T e n i e n d o e n c u e n t a q u e p o r e l t e o r e m a 6 . 6 . 6 u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n
,
A, e s d i a g o n a l i z a b l e s i y s o l o s i e x i s t e n n v e c t o r e s p r o p i o s d e A l i n e a l m e n t e
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2 6 6 Á l g e b r a
i n d e p e n d i e n t e s . S i u n v a l o r p r o p i o λ d e A t i e n e m u l t i p l i c i d a d a l g e b r a i c a
m(λ) > 1( c o m o r a í z d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e
A) , d e l a o b s e r v a c i ó n
6 4 s e s i g u e q u e e n l a m a t r i z d e p a s o P d e b e r á n a p a r e c e r m(λ) c o l u m n a s q u e
s e a n v e c t o r e s p r o p i o s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s a s o c i a d o s a l v a l o r p r o p i o λ.
E n r e s u m e n : A e s d i a g o n a l i z a b l e s i y s ó l o s i p a r a t o d o a u t o v a l o r λ d e As e v e r i c a q u e
dim(Ker(A − λI n)) = m(λ),
e s d e c i r , s i l a m u l t i p l i c i d a d g e o m é t r i c a d e λ
e s i g u a l a s u m u l t i p l i c i d a d a l g e -
b r a i c a .
V e a m o s c o n e l s i g u i e n t e e j e m p l o q u e n o t o d a m a t r i z c u a d r a d a e s d i a g o -
n a l i z a b l e :
E j e m p l o 6 . 6 . 7 S e a A =
3 4
−1 −1
. S u p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o e s
|A − xI2| =
3 − x 4−1 −1 − x
= x2 − 2x + 1,
d e d o n d e
x2
−2x + 1 = 0
⇒x =
1
1
, p o r l o q u e , s i A
f u e s e d i a g o n a l i z a b l e
y P−1AP
f u e s e u n a m a t r i z d i a g o n a l , n e c e s a r i a m e n t e P−1AP =
1 00 1
,
s i e n d o l o s d o s v e c t o r e s c o l u m n a d e P
v e c t o r e s p r o p i o s a s o c i a d o s a l v a l o r
p r o p i o 1 y l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . S i n e m b a r g o
dim(Ker(A − 1I 2) = 2 − rg(A − 1I2) = 2 − rg(
2 4
−1 −2
) = 1
c o n l o q u e n o e x i s t e n d o s v e c t o r e s p r o p i o s d e A
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s
a s o c i a d o s a l v a l o r p r o p i o 1.
P o t e n c i a s d e m a t r i c e s d i a g o n a l i z a b l e s
E l e s t u d i o t e ó r i c o r e a l i z a d o t a m b i é n n o s p r o v e e d e u n a h e r r a m i e n t a p a r a
c a l c u l a r l a p o t e n c i a n−é s i m a d e u n a m a t r i z d i a g o n a l i z a b l e .
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Á l g e b r a 2 6 7
S i u n a m a t r i z c u a d r a d a A
e s d i a g o n a l i z a b l e y q u e r e m o s c a l c u l a r s u p o -
t e n c i a
n−é s i m a , t e n d r e m o s q u e p11 · · · p1n
.
.
.
.
.
.
pn1 · · · pnn
−1 a11 · · · a1n
.
.
.
.
.
.
an1 · · · ann
p11 · · · p1n
.
.
.
.
.
.
pn1 · · · pnn
=
=
λ1 0.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 λn
o , l o q u e e s l o m i s m o , q u e
P−1AP = D.
R e s u l t a q u e
A = PDP−1,
c o n l o q u e
An=
PDP−1n=
PDP−1 PDP−1 PDP−1 ...
PDP−1 = P · Dn·P−1.
V e a m o s u n e j e m p l o :
E j e m p l o 6 . 6 . 8 H a l l a r 1 14 −2
1000
.
C o m o , s e g ú n h e m o s v i s t o e n l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s , 1 11 −4
−1·
1 14 −2
·
1 11 −4
=
2 00 −3
,
r e s u l t a q u e 1 14 −2
=
1 11 −4
·
2 00 −3
·
1 11 −4
−1,
c o n l o q u e
1 14
−2
1000
= 1 11
−4 ·
2 00
−3
1000
· 1 11
−4
−1=
= 1 1
1 −4
· 21000 0
0 (−3)1000
· 4
515
15
−15
=
=
45
21000 + 15
(−3)1000 15
21000 − 15
(−3)10004521000 − 4
5(−3)1000 1521000 + 4
5(−3)1000
.
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2 6 8 Á l g e b r a
N ó t e s e q u e , o b v i a m e n t e
1 14 −2
n
= 4
52n + 1
5(−3)n 1
52n − 1
5(−3)n
452n − 4
5(−3)n 152n + 4
5(−3)n
.
6 . 6 . 3 T r i a n g u l a c i ó n d e m a t r i c e s
V o l v e m o s a l a p r e g u n t a f u n d a m e n t a l q u e n o s d e v u e l v e a l h i l o c o n d u c t o r d e l
d e s a r r o l l o d e l c a p í t u l o : ¾ E s c u a l q u i e r m a t r i z c u a d r a d a A ∈ M n(C) s e m e j a n t e
a a l g u n a t r i a n g u l a r ?
V a m o s a v e r q u e s í . A d e m á s , l a d e m o s t r a c i ó n d e l s i g u i e n t e t e o r e m a c o n s t i -
t u y e u n a l g o r i t m o q u e p e r m i t e l a o b t e n c i ó n d e l a m a t r i z t r i a n g u l a r s e m e j a n t e
a u n a m a t r i z d a d a A ∈ M n(C) .
T e o r e m a 6 . 6 . 9 S i A
e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n c o n c o e c i e n t e s
c o m p l e j o s , e x i s t e u n a m a t r i z s e m e j a n t e a e l l a , T, q u e e s t r i a n g u l a r i n f e r i o r -
m e n t e .
D e m o s t r a c i ó n L a d e m o s t r a c i ó n c o n s i s t e e n p r o b a r q u e s e p u e d e c o n s t r u i r
u n a c a d e n a d e m a t r i c e s
A = T0 → T1 → · · · → Tn = T,
c a d a u n a s e m e j a n t e a l a a n t e r i o r ( y e n c o n s e c u e n c i a t o d a s e l l a s s o n s e m e j a n t e s
e n t r e s í ) y d e t a l m o d o q u e T
e s t r i a n g u l a r i n f e r i o r m e n t e .
P r o c e d e m o s p o r i n d u c c i ó n s o b r e l a d i m e n s i ó n n d e l a m a t r i z A.
B a s e d e i n d u c c i ó n : s i n = 1
n o h a y n a d a q u e d e m o s t r a r .
P a s o d e i n d u c c i ó n : s e a n ≥ 2 y s u p o n g a m o s q u e t o d a m a t r i z c u a d r a d a
d e d i m e n s i ó n n − 1 e s t r i a n g u l a b l e .
S e a a h o r a A
u n m a t r i z d e d i m e n s i ó n n.
P u e s t o q u e t r a b a j a m o s c o n c o e c i e n t e s c o m p l e j o s , e l p o l i n o m i o c a r a c t e -
r í s t i c o d e A pA(x) = |A − xI|
t i e n e a l m e n o s u n a r a í z , a l a q u e p o r c o n v e n i e n c i a d e n o t a r e m o s c o n λ1.
L l a -
m a m o s v1 a u n a u t o v e c t o r a s o c i a d o a λ1. S i e l e g i m o s u n a b a s e d e Cn
c u y o
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Á l g e b r a 2 6 9
ú l t i m o v e c t o r s e a v1, l a m a t r i z A
r e s u l t a r á s e r s e m e j a n t e a u n a m a t r i z Ad e
l a f o r m a :
A =
00
An−1.
.
.
0an1 an2 · · · an(n−1) λ1
.
E n t o n c e s
pA(x) = pA(x) = (λ1 − x) |An−1 − xIn−1|y e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e
An
−1 t i e n e n
−1 r a í c e s ( l o s r e s t a n t e a u t o v a -
l o r e s d e A) .
P o r l a h i p ó t e s i s d e i n d u c c i ó n , e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e d e p a s o P n−1y u n a m a t r i z t r i a n g u l a r i n f e r i o r m e n t e T n−1 t a l e s q u e
T n−1 = P −1n−1An−1P n−1.
S i d e n i m o s
P =
00
P n−1.
.
.
0
0 0 · · · 0 1
,
s e v e r i c a q u e
P −1 =
00
P −1n−1.
.
.
00 0 · · · 0 1
y q u e T = P−1AP.
S e s i g u e q u e l a m a t r i z t r i a n g u l a r i n f e r i o r m e n t e T e s s e m e j a n t e a l a m a t r i z
A. 2
E j e m p l o 6 . 6 . 1 0 T r i a n g u l a r p o r s e m e j a n z a y h a l l a r l a m a t r i z d e p a s o c o r r e s -
p o n d i e n t e a l a m a t r i z
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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2 7 0 Á l g e b r a
A = −2 0 3
3 −2 −9−1 2 6
E n p r i m e r l u g a r d e t e r m i n a m o s l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e
l a m a t r i z : −2 − X 0 3
3 −2 − X −9−1 2 6 − X
= −X + 2X 2 − X 3 = (1 − X )2 (0 − X ).
L u e g o l o s a u t o v a l o r e s A
s o n 1, 1 y 0. Y a q u e rango(A
−Id3) = 2, l a m u l t i p l i -
c i d a d g e o m é t r i c a d e λ1 = 1 e s 1 y n o c o i n c i d e c o n s u m u l t i p l i c i d a d a l g e b r a i c a .
P o r t a n t o A n o e s d i a g o n a l i z a b l e .
U n a u t o v e c t o r a s o c i a d o a λ1 = 1 e s v1 = (1, −2, 1) ∈ Ker(A − Id3).S e a ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, −2, 1)) u n a b a s e d e
C3. L a m a t r i z
P 1 =
1 0 10 1 −20 0 1
e s t a l q u e
A = P −11 AP 1 =1 0 −1
0 1 20 0 1
−2 0 33 −2 −9
−1 2 6
1 0 10 1 −20 0 1
=
=
−1 −2 01 2 0
−1 2 1
.
A h o r a t e n e m o s q u e t r i a n g u l a r l a s u b m a t r i z
A = −1
−2
1 2 q u e t i e n e a u t o v a l o r e s 1 y 0 .
U t i l i c e m o s e l p r i m e r o c o m o λ2.
U n a u t o v e c t o r a s o c i a d o a λ2 = 1
e s v2 =
(−1, 1) ∈ Ker(A − Id2). S e a ((1, 0), (−1, 1)) u n a b a s e d e C2. L a m a t r i z
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Á l g e b r a 2 7 1
P 2 = 1
−1 0
0 1 00 0 1
e s t a l q u e
P −12 AP 2 =
1 1 00 1 00 0 1
−1 −2 01 2 0
−1 2 1
1 −1 00 1 00 0 1
=
=
0 0 01 1 0
−1 3 1
,
q u e e s t r i a n g u l a r i n f e r i o r m e n t e y t i e n e l o s a u t o v a l o r e s d e A e n l a d i a g o n a l .
E n t o n c e s
P −12 AP 2 = P −12 P −11 AP 1P 2 =
0 0 01 1 0
−1 3 1
.
S e s i g u e q u e l a m a t r i z d e p a s o e s
P = P 1P 2 =
1 −1 10 1 −20 0 1
,
y a q u e
P −1AP =
1 −1 10 1 −20 0 1
−1
· A · 1 −1 1
0 1 −20 0 1
=
0 0 01 1 0
−1 3 1
= T.
6 . 6 . 4 R e s o l u c i ó n d e s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s
p o r t r i a n g u l a c i ó n
A p a r t i r d e e s t e m o m e n t o , s a b r e m o s r e s o l v e r u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e -
r e n c i a l e s l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s , s i e m p r e q u e p o d a m o s o b t e n e r
l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e l a m a t r i z d e c o e c i e n t e s .
S i l a d i m e n s i ó n d e l a m a t r i z d e l s i s t e m a e s m a y o r o i g u a l q u e c i n c o , n o
h a y f ó r m u l a s c e r r a d a s p a r a h a l l a r l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o y
h a c e f a l t a u s a r m é t o d o s n u m é r i c o s d e a p r o x i m a c i ó n d e a u t o v a l o r e s . A l g u n o s
d e e s t o s m é t o d o s e s t á n i l u s t r a d o s e n l a p r á c t i c a 6 .
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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2 7 2 Á l g e b r a
S i s t e m a s h o m o g é n e o s
V a m o s a i l u s t r a r p o r m e d i o d e u n e j e m p l o e l m é t o d o d e r e s o l u c i ó n d e s i s t e m a s
h o m o g é n e o s . S e a e l s i g u i e n t e s i s t e m a h o m o g é n e o d e e c u a c i o n e s : y1(t)y2(t)y3(t)
=
−2 0 33 −2 −9
−1 2 6
y1(t)y2(t)y3(t)
.
P a s o 1 : H a c e m o s t r i a n g u l a r l a m a t r i z d e c o e c i e n t e s , n o o l v i d a n d o g e n e r a r
l a m a t r i z d e p a s o . C o m o e s t o y a h a s i d o r e a l i z a d o e n e l e j e m p l o a n t e r i o r ,
s i m p l e m e n t e n o s t r a e m o s e l r e s u l t a d o :
1 −1 10 1 −20 0 1
−1
· −2 0 33 −2 −9
−1 2 6
· 1 −1 10 1 −20 0 1
= 0 0 0
1 1 0−1 3 1
.
P a s o 2 : R e s o l v e m o s e l s i s t e m a t r i a n g u l a r z 1(t)z 2(t)z 3(t)
=
0 0 01 1 0
−1 3 1
z 1(t)z 2(t)z 3(t)
.
C o m o e s t e s i s t e m a h a s i d o r e s u e l t o e n e l e j e m p l o 6 . 5 . 2 , n o s t r a e m o s l a s o l u -
c i ó n : z 1(t)z 2(t)z 3(t)
= α1
1−14
+ α2
0et
3tet
+ α3
00et
.
P a s o 3 : M u l t i p l i c a m o s l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a t r i a n g u l a r p o r l a m a t r i z d e
p a s o :
y1(t)y2(t)
y3(t) = 1 −1 10 1
−2
0 0 1 α11
−1
4 + α20et
3tet + α300
et =
= α1
6−94
+ α2
−et + 3tet
et − 6tet
3tet
+ α3
et
−2et
et
.
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 2 7 3
E j e m p l o 6 . 6 . 1 1 R e s o l v e r l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :
f − 6f + 9f = 0.
L o p r i m e r o e s p l a n t e a r e l s i s t e m a d e p r i m e r o r d e n e q u i v a l e n t e : y1(t)y2(t)
=
0 1
−9 6
y1(t)y2(t)
,
d o n d e y1(t) = f (t)y2(t) = f (t) = y1(t)
.
A h o r a h a c e m o s t r i a n g u l a r l a m a t r i z
A = 0 1
−9 6
,
p a r a l o c u a l l o p r i m e r o e s d e t e r m i n a r l a s r a í c e s d e s u p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o : −X 1−9 6 − X
= X 2 − 6X + 9 = (3 − X )2 .
L u e g o l o s a u t o v a l o r e s A
s o n 3 , 3 . A c o n t i n u a c i ó n u t i l i z a m o s e l p r o c e d i m i e n t o
v i s t o p a r a t r i a n g u l a r l a m a t r i z y h a l l a r l a m a t r i z d e p a s o .
E l r a n g o d e l a m a t r i z A
−3Id2 e s 1 y , p o r t a n t o , A n o e s d i a g o n a l i z a b l e .
U n a u t o v e c t o r a s o c i a d o a l a u t o v a l o r λ1 = 3 e s v1 = (1, 3) ∈ Ker(A − 3Id2).S e a ((0, 1), (1, 3)) u n a b a s e d e
C2.L a m a t r i z
P 1 =
0 11 3
e s t a l q u e
A = P −11 AP 1 =
−3 11 0
0 1
−9 6
0 11 3
=
= 3 0
1 3 .
E n t o n c e s 3 01 3
=
0 11 3
−10 1
−9 6
0 11 3
.
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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2 7 4 Á l g e b r a
A h o r a r e s o l v e m o s e l s i s t e m a t r i a n g u l a r
z 1(t)z 2(t)
= 3 01 3
z 1(t)z 2(t)
.
D i c h o s i s t e m a e q u i v a l e a : z 1(t) = 3z 1(t)z 2(t) = z 1(t) + 3z 2(t)
.
L a s o l u c i ó n g e n e r a l d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n , s e g ú n s a b e m o s , e s z 1(t) = α1e3t.
L a s e g u n d a e c u a c i ó n s e t r a n s f o r m a e n z 2(t) − 3z 2(t) = α1e3ty s u s o l u c i ó n
g e n e r a l e s :
z 2(t) = α2e3t + e3t t
0
α1e3xe−3xdx
= α2e3t + e3t
t
0
α1dx =
= α2e3t + e3tα1(t) =
= e3t(α2 + tα1),
e s d e c i r ,
z 2(t) = α1te3t + α2e3t.
E x p r e s a n d o l a s s o l u c i o n e s v e c t o r i a l m e n t e t e n e m o s q u e z 1(t)z 2(t)
= α1
e3t
te3t
+ α2
0
e3t
.
F i n a l m e n t e , m u l t i p l i c a m o s l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a t r i a n g u l a r p o r l a m a t r i z
d e p a s o : y1(t)y2(t)
=
0 11 3
α1
e3t
te3t
+ α2
0
e3t
=
= α1 te3t
e3t + 3te3t + α2 e3t
3e3t y , p u e s t o q u e l a s o l u c i ó n b u s c a d a e s f (t) = y1(t), c o n c l u i m o s q u e
f (t) = α1te3t + α2e3t.
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 2 7 5
S i s t e m a s n o h o m o g é n e o s
S i l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o r d e n n c o n s i d e r a d a n o f u e s e h o m o g é n e a , e s
d e c i r , f u e s e d e l a f o r m a
f (n) + an−1f (n−1) + · · · + a1f + a0f = h,
s e p u e d e a p l i c a r u n a l i g e r a v a r i a c i ó n s o b r e e l m é t o d o v i s t o . H a c i e n d o e l
m i s m o c a m b i o
y1(t) = f (t)y2(t) = f (t) = y1(t)
.
.
.
yn(t) = f (n−1)(t) = yn−1(t)
, ( 6 . 7 )
e l s i s t e m a d e p r i m e r o r d e n e q u i v a l e n t e s e r í a :
y1(t)y2(t)
.
.
.
yn(t)
=
0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · 1−a0 −a1 −a2 · · · −an−1
y1(t)y2(t)
.
.
.
.
.
.
yn(t)
+
00
.
.
.
0h(t)
c o n l a p e c u l i a r i d a d d e q u e , e n e s t e c a s o , t e n d r í a m o s e l s i s t e m a
∀t ∈ R ,−→y (t) = A−→y (t) +
−→h (t).
R a z o n a n d o d e f o r m a s i m i l a r a l c a s o e n e l q u e n o t e n í a m o s t é r m i n o i n d e p e n -
d i e n t e , s i P
e s u n a m a t r i z c u a d r a d a i n v e r t i b l e , p o d e m o s p a s a r a l s i s t e m a :
∀t ∈ R , P−1·−→y (t) = P−1·A−→y (t) + P−1·−→h (t),
c o n l o q u e , s i l l a m a m o s
−→z (t) a P−1·−→y (t) t e n d r e m o s q u e
−→z (t) = P−1·−→y (t)
y , e n c o n s e c u e n c i a , p a r a c o n s e g u i r q u e a p a r e z c a e l m i s m o t i p o d e v a r i a b l e a
a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d , h a c e m o s l a s m i s m a s t r a n s f o r m a c i o n e s q u e e n e l
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2 7 6 Á l g e b r a
c a s o d e u n s i s t e m a h o m o g é n e o :
−→z (t) = P−1·A−→y (t) + P−1·−→h (t) =
= P−1·A · (P · P−1)−→y (t) + P−1·−→h (t) =
= (P−1·A · P)(P−1·−→y (t)) + P−1·−→h (t) =
= (P−1·A · P)−→z (t) + P−1·−→h (t)
y , p u e s t o q u e e s t e s i s t e m a e s t r i a n g u l a r , s a b e m o s r e s o l v e r l o . S i
−→z (t)e s
s o l u c i ó n d e d i c h o s i s t e m a , d e s h a c i e n d o e l c a m b i o o b t e n d r e m o s q u e
−→y (t) = P·−→z (t)
e s l a s o l u c i ó n b u s c a d a .
E j e m p l o 6 . 6 . 1 2 P a r a r e s o l v e r l a e c u a c i ó n
f − 6f + 9f = 32te−t,
c o m o e n e l c a s o h o m o g é n e o , e l p r i m e r p a s o e s p l a n t e a r e l s i s t e m a d e p r i m e r
o r d e n e q u i v a l e n t e :
y1(t)y2(t)
=
0 1
−9 6
y1(t)y2(t)
+
0
32te−t .
A h o r a h a c e m o s t r i a n g u l a r l a m a t r i z
A =
0 1
−9 6
,
q u e c o i n c i d e c o n l a d e l e j e m p l o a n t e r i o r y , s e g ú n v i m o s , s e v e r i c a q u e 3 01 3
=
0 11 3
−10 1
−9 6
0 11 3
.
A h o r a , s i e n d o
−→z (t) = P−1·−→y (t),
e s d e c i r , z 1(t)z 2(t)
=
0 11 3
−1y1(t)y2(t)
,
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Á l g e b r a 2 7 7
t e n e m o s q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a t r i a n g u l a r
z 1(t)z 2(t)
=
3 01 3
z 1(t)z 2(t)
+
0 11 3
−10
32te−t
y , p u e s t o q u e 0 11 3
−1=
−3 11 0
,
d i c h o s i s t e m a e s e q u i v a l e n t e a :
z 1(t)z 2(t)
= 3 0
1 3
z 1(t)z 2(t)
+ −3 1
1 0
032te−t
,
e s d e c i r : z 1(t) = 3z 1(t) + 32te−t
z 2(t) = z 1(t) + 3z 2(t)
Y a h o r a , l a s o l u c i ó n g e n e r a l d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n , s e g ú n s a b e m o s , e s
z 1(t) = α1e3t + e3t t
0
32xe−xe−3xdx =
= α1e3t + e3t
t
0
32xe−4xdx =
( por partes) = α1e3t + 32e3t
−x
4e−4x
t
0
+1
4
t
0
e−4xdx
=
= α1e3t + 8e3t
−te−4t − 1
4(e−4t − 1)
=
= α1e3t
−8te−t
−2e−t + 2e3t =
= k1e3t − 8te−t − 2e−t,
d o n d e h e m o s t o m a d o k1 = α1 + 2,
y a q u e α1 e s u n a c o n s t a n t e a r b i t r a r i a . L a
s e g u n d a e c u a c i ó n s e t r a n s f o r m a e n z 2(t) − 3z 2(t) = k1e3t − 8te−t − 2e−ty s u
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2 7 8 Á l g e b r a
s o l u c i ó n g e n e r a l e s :
z 2(t) = α2e3t + e3t t
0
(k1e3x − 8xe−x − 2e−x)e−3xdx
= α2e3t + e3t
t
0
(k1 − 8xe−4x − 2e−4x)dx =
= α2e3t + e3t
k1x +
1
2e−4x
t
0
− 8e3t(−1
4te−4t − 1
16e−4t +
1
16) =
= α2e3t + e3t
k1t +
1
2e−4t − 1
2
+
2te−t +
1
2e−t − 2e3t
=
= α2e
3t
+ k1te
3t
+
1
2e−t
−1
2e
3t
+ 2te−t
+
1
2e−t
− 2e
3t =
= e3t
α2 − 2 − 1
2+ k1t
+ e−t (1 + 2t) ,
c o n l o q u e , r e n o m b r a n d o l a s v a r i a b l e s a d e c u a d a m e n t e , o b t e n e m o s q u e
z 2(t) = k1te3t + α2e3t + e−t (1 + 2t) .
E x p r e s a n d o l a s s o l u c i o n e s v e c t o r i a l m e n t e t e n e m o s q u e (k1 = C 1, α2 = C 2)
z 1(t)z 2(t)
= C 1
e3t
te3t
+ C 2
0
e3t
+
−8te−t − 2e−t
e−t (1 + 2t) .
F i n a l m e n t e , m u l t i p l i c a m o s l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a t r i a n g u l a r p o r l a m a t r i z
d e p a s o : y1(t)y2(t)
=
0 11 3
C 1
e3t
te3t
+ C 2
0
e3t
+
+
−8te−t − 2e−t
e−t (1 + 2t)
=
=
0 11 3
C 1e3t − 8te−t − 2e−t
C 1te3t + C 2e3t + e−t (1 + 2t)
=
= C 1te3t + C 2e3t + e−t (1 + 2t)C 1e3t − 8te−t − 2e−t + 3C 1te3t + 3C 2e3t + 3e−t (1 + 2t)
y , p u e s t o q u e l a s o l u c i ó n b u s c a d a e s f (t) = y1(t), c o n c l u i m o s q u e
f (t) = C 1te3t + C 2e3t + e−t (1 + 2t) .
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Á l g e b r a 2 7 9
E j e r c i c i o 6 . 6 . 1 R e s o l v e r l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :
D
3
f − 5D
2
f + 7Df − 3f = 9t − 9.S o l u c i ó n : f (t) = −4 − 3t + C 1et + C 2e3t + C 3ett.
6 . 7 R e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a
L a s t é c n i c a s d e s a r r o l l a d a s e n e s t e c a p í t u l o t a m b i é n s e p u e d e n a p l i c a r p a r a
r e s o l v e r o t r o t i p o d e p r o b l e m a s , e n t r e o t r o s , e l p r o b l e m a d e l p r i m e r e j e m p l o
e n u n c i a d o a l p r i n c i p i o d e l c a p í t u l o .
P a r a e l d e s a r r o l l o q u e s i g u e , e s i m p o r t a n t e r e c o r d a r q u e
N
∪ {0
}=
{0, 1, 2, 3,...
}.
D e n i c i ó n 6 . 7 . 1 D i r e m o s q u e l a s u c e s i ó n {an}n∈ N ∪{0} e s t á d e n i d a
r e c u r -
s i v a m e n t e o p o r r e c u r r e n c i a s i
1 . ∃k ∈ N
t a l q u e a1,...,ak s o n c o n o c i d o s y
2 . ∀n ∈ N ∪ {0}, an+k e s t á d e n i d o e n f u n c i ó n d e
an+k−1,...,an.
L a s r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a t a m b i é n s e d e n o m i n a n e c u a c i o n e s e n d i -
f e r e n c i a s .
D e n i c i ó n 6 . 7 . 2 L l a m a r e m o s r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a l i n e a l h o m o g é n e a
d e o r d e n
k ∈ Nc o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s
a c u a l q u i e r r e l a c i ó n d e
r e c u r r e n c i a d e l a f o r m a
an+k = c1an+k−1 + ... + ckan
d o n d e c1,...,ck ∈ C, ck = 0, y n ∈ N ∪ {0}.
L a s r e l a c i o n e s d e l t i p o a n t e r i o r s e d e n o m i n a n l i n e a l e s y h o m o g é n e a s d e -
b i d o a q u e l a e c u a c i ó n a s o c i a d a
an+k − c1an+k−1 + ... + ckan = 0
d e v a r i a b l e s an+k, an+k−1,...,an e s u n a e c u a c i ó n l i n e a l y h o m o g é n e a .
E j e m p l o 6 . 7 . 3 L a e c u a c i ó n
an+2 = an+1 − 5an
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2 8 0 Á l g e b r a
e s u n a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a l i n e a l h o m o g é n e a d e g r a d o 2 , p u e s t o q u e s u
e c u a c i ó n a s o c i a d a
an+2 − an+1 + 5an = 0
e s u n a e c u a c i ó n l i n e a l y h o m o g é n e a ( s i m i l a r a l a e c u a c i ó n x−y +5z = 0). S i
e s p e c i c a m o s l o s v a l o r e s i n i c i a l e s a1 y a2 , t o d o s l o s t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n
q u e d a n d e t e r m i n a d o s y , p o r t a n t o , h a y u n a ú n i c a s u c e s i ó n q u e s a t i s f a c e d i c h a
r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a y c u y o s d o s p r i m e r o s t é r m i n o s s e a n a1 y a2.
D i c h o d e o t r a f o r m a , e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e F (N,R)
{{an} : an+2 − an+1 + 5an = 0}
t i e n e d i m e n s i ó n 2 .
E j e m p l o 6 . 7 . 4 L a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a
an+2 =√
an+1 + 2an
n o e s l i n e a l , p u e s l a e c u a c i ó n
x − √ y − 2z = 0
n o e s l i n e a l . L a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a
an+2 = a2n+1 + 5an
t a m p o c o e s l i n e a l .
V o l v a m o s a l p r o b l e m a o r i g i n a l q u e t e n e m o s p l a n t e a d o , e s t o e s , e n c o n -
t r a r t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e u n a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a l i n e a l y h o m o g é n e a
c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s . E l d i s c u r s o v a a s e g u i r e l m i s m o c a m i n o q u e e l
v i s t o p a r a l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s .
P r i m e r o v e r e m o s c ó m o s e p u e d e n r e s o l v e r l a s r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a h o -
m o g é n e a s d e p r i m e r o r d e n y l u e g o l a s n o h o m o g é n e a s p a r a , a c o n t i n u a c i ó n ,
u t i l i z a r l a t é c n i c a d e s a r r o l l a d a e n e l c a p í t u l o p a r a r e s o l v e r s i s t e m a s d e r e l a -
c i o n e s d e r e c u r r e n c i a , n a l i z a n d o l a e x p o s i c i ó n c o n l a a p l i c a c i ó n d e l m é t o d o
p a r a r e s o l v e r e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a d e o r d e n k > 1.
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Á l g e b r a 2 8 1
6 . 7 . 1 R e l a c i o n e s d e p r i m e r o r d e n
S e g ú n v i m o s , l a s s u c e s i o n e s {an}n∈N
q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a
l i n e a l h o m o g é n e a d e p r i m e r o r d e n
an+1 = λan, (I )
s o n l a s s u c e s i o n e s {an}n∈N
q u e s o n a u t o v e c t o r e s d e l a f u n c i ó n l i n e a l S
a s o c i a -
d o s a l a u t o v a l o r λ, j u n t o c o n l a s u c e s i ó n n u l a 0 = {0, 0, 0,....}. E s t o e s , e l c o n -
j u n t o Ker(S −λId). P o r o t r a p a r t e , s i d e m o s t r a m o s q u e dim(Ker(S −λId)) =1, l o c a l i z a n d o u n a s o l u c i ó n n o n u l a , e s d e c i r , u n e l e m e n t o n o n u l o d e d i c h o
s u b e s p a c i o , e l r e s t o d e s o l u c i o n e s s e o b t e n d r á f á c i l m e n t e . V e a m o s q u e , e f e c -
t i v a m e n t e ,
dim(Ker(S − λId)) = 1.
E v i d e n t e m e n t e , l a s u c e s i ó n
{an} = {λn} = {1, λ , λ2, λ3,...},
e s u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n ( o r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a ) (I ). P o r o t r a p a r t e ,
s i {bn} e s c u a l q u i e r o t r a s o l u c i ó n d e d i c h a e c u a c i ó n , v a m o s a d e m o s t r a r q u e
e x i s t e u n a c o n s t a n t e K t a l q u e
{bn} = K · {λn} = {K · λn},
c o n l o q u e {λn}
s e r á u n a b a s e d e Ker(S − λId) y dim(Ker(S − λId)) = 1.
P u e s t o q u e {bn} ∈ Ker(S − λId),
e s d e c i r , S ({bn}) = λ · {bn},
t e n d r e m o s ,
p o r u n a p a r t e , q u e
S ({bn}) = S ({b0, b1, b2,...}) = λ · {b0, b1, b2,...} = {λb0, λb1,...}
y , p o r o t r a , q u e
S ({bn}) = S ({b0, b1, b3,...}) = {b1, b2,...},
d e d o n d e
{λb0, λb1,...} = {b1, b2,...},
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2 8 2 Á l g e b r a
e s d e c i r ,
b1 = λb0
b2 = λb1 = λ2b0
b3 = λb2 = λ3b0.
.
.
bn = λbn−1 = λnb0.
.
.
. E n o t r a s p a l a b r a s , {bn} = b0 · {λn}, c o n l o q u e l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n
an+1 = λan (I )
s o n l a s p r o g r e s i o n e s g e o m é t r i c a s d e r a z ó n λ, p r o g r e s i o n e s q u e c o n s t i t u y e n
e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l Ker(S − λId), s i e n d o u n a b a s e d e d i c h o e s p a c i o l a
s u c e s i ó n
{λn} = {1,λ ,λ2, λ3,...}.
E j e m p l o 6 . 7 . 5 L a s s u c e s i o n e s {an}n∈ N
q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e -
c u r r e n c i a
an+1 = 5an
s o n d e l a f o r m a
K · {5n} = K · {1, 5, 52, ..., 5n,...} = {K, 5K, 52K,..., 5nK,...}.
O b s e r v a c i ó n 6 5 P u e s t o q u e p a r a t e n e r c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a u n a
p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a s ó l o e s p r e c i s o c o n o c e r e l p r i m e r e l e m e n t o (b0 = K )y l a r a z ó n d e l a p r o g r e s i ó n
(λ), c o n o c i d o e l v a l o r i n i c i a l
a0,h a y u n a ú n i c a
s u c e s i ó n {an}n∈ N
q u e s a t i s f a c e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a an+1 = λan, (I ).
E j e m p l o 6 . 7 . 6 E x i s t e u n a ú n i c a s u c e s i ó n {an}n∈ N
q u e s a t i s f a c e l a s c o n d i -
c i o n e s
a0 = 3an+1 = 5an.
D i c h a s u c e s i ó n e s
a0 · {λn} = 3 · {5n} = {3, 15, 75,..., 3 · 5n,...}.
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Á l g e b r a 2 8 3
Y a s a b e m o s e n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e u n a e c u a c i ó n d e r e c u r r e n c i a l i n e a l
y h o m o g é n e a c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s d e p r i m e r o r d e n , e i n c l u s o h a l l a r l a
ú n i c a s o l u c i ó n d e u n a e c u a c i ó n d e l t i p o a n t e r i o r t o d a v e z q u e s e c o n o z c a u n
v a l o r i n i c i a l . A h o r a b i e n , ¾ C ó m o p o d e m o s e n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e u n
s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a d e p r i m e r o r d e n ? ¾ P o d e m o s e m p l e a r
l a m i s m a t é c n i c a d e r e s o l u c i ó n v i s t a p a r a l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e -
r e n c i a l e s ? V e r e m o s q u e l a r e s p u e s t a a e s t a p r e g u n t a e s a r m a t i v a . P e r o ,
p a r a p o d e r a p l i c a r l a , n e c e s i t a m o s r e s o l v e r e n p r i m e r l u g a r l a s r e l a c i o n e s d e
r e c u r r e n c i a n o h o m o g é n e a s d e p r i m e r o r d e n c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s .
L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n t i e n e c o m o c o n s e c u e n c i a q u e c u a l q u i e r r e l a c i ó n
d e r e c u r r e n c i a l i n e a l y h o m o g é n e a d e p r i m e r o r d e n c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s
t i e n e s o l u c i ó n .
P r o p o s i c i ó n 6 . 7 . 7 ∀λ ∈ C
l a f u n c i ó n l i n e a l
(S − λId) : F (N,C) −→ F (N,C)
e s s o b r e y e c t i v a .
D e m o s t r a c i ó n D a d a {an} ∈ F (N,C) , h a y q u e p r o b a r q u e
∃{bn} ∈ F (N,C)t a l q u e
(S − λId)({bn}) = {an}.
A h o r a b i e n , d i c h a i g u a l d a d e s e q u i v a l e n t e a q u e
S ({bn}) − λ({bn}) = {an},e s d e c i r ,
{bn+1} − λ({bn}) = {an}. P o r c o n s i g u i e n t e :
b1 = a0,
b2 = a1 + λa0,
b3 = a2 + λa1 + λ2a0,.
.
.
bn = an−1 + λan−2 + ... + λn−1a0,.
.
.
L a s o l u c i ó n {bn} e s t á d e t e r m i n a d a p o r b0 = 0 y , p a r a n ≥ 1,
bn =n
i=1
λi−1an−i,
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2 8 4 Á l g e b r a
e s d e c i r ,
{bn} = {0, a0, a1 + λa0, a2 + λa1 + λ2a0,...,an−1 + λan−2 + ... + λn−1a0,...},
e s t a l q u e (S − λId)({bn}) = {an},
c o m o p u e d e c o m p r o b a r s e f á c i l m e n t e
t é r m i n o a t é r m i n o :
S (b0) − λb0 = a0 − λ0 = a0
S (b1) − λb1 = b2 − λb1 = (a1 + λa0) − λa10 = a1
S (b2) − λb2 = b3 − λb2 =
a2 + λa1 + λ2a0− λ (a1 + λa0) = a2
.
.
.
S (bn) − λbn = an.
.
.
y , e n c o n s e c u e n c i a (S − λId) e s s o b r e y e c t i v a . 2
L a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r n o s p r o p o r c i o n a u n a h e r r a m i e n t a p a r a h a l l a r u n a
s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e c u a l q u i e r r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a d e p r i m e r o r d e n c o n
c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s .
A h o r a ¾ C ó m o p o d e m o s o b t e n e r t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e u n a e c u a c i ó n
l i n e a l d e p r i m e r o r d e n n o n e c e s a r i a m e n t e h o m o g é n e a ? R a z o n a n d o d e f o r m a
a n á l o g a a c o m o h i c i m o s c o n l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s . E l r e s u l t a d o s i m i l a r
q u e s e t i e n e e n e s t e c o n t e x t o q u e d a e s t a b l e c i d o e n l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n ,
c u y a d e m o s t r a c i ó n s e p r o p o n e c o m o e j e r c i c i o .
P r o p o s i c i ó n 6 . 7 . 8 S i e n d o {bn} u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e l a r e l a c i ó n d e
r e c u r r e n c i a
(S − λId)({xn}) = {an}, (I )
s e v e r i c a q u e
{yn}e s s o l u c i ó n d e (I ) ⇔ ∃K ∈ C t a l q u e
{yn} = {bn} + K · {λn}.
E s d e c i r , v a l e e l p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n d e s o l u c i o n e s : l a s o l u c i ó n
d e l a e c u a c i ó n n o h o m o g é n e a s e o b t i e n e s u m a n d o a u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e
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Á l g e b r a 2 8 5
d i c h a e c u a c i ó n t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n h o m o g é n e a a s o c i a d a . P o r
c o n s i g u i e n t e , t e n i e n d o e n c u e n t a l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s , p o d e m o s c o n c l u i r
q u e
{yn}e s s o l u c i ó n d e (S − λId)({yn}) = {an}
⇔
∃K ∈ C t a l q u e
y0 = K y
n ≥ 1, yn =
n
i=1
λi−1an−i
+ K · {λn}.
E j e m p l o 6 . 7 . 9 E l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a
an+1 = 3an + (−
1)n
e s e l c o n j u n t o d e s u c e s i o n e s {an}
c u y o t é r m i n o g e n e r a l e s d e l a f o r m a
an = bn + K 3n,
d o n d e K ∈ C
y {bn}
e s l a s u c e s i ó n d e n i d a p o r b0 = 0
y , p a r a n > 1,
bn =n
i=1
3i−1(−1)n−i.
E n o t r a s p a l a b r a s ,
{an
}e s s o l u c i ó n d e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a d a d a s i
{an
}e s d e l a f o r m a
a1 = K
an = K 3n−1 +n−1i=1
3i−1(−1)n−i.
E n p a r t i c u l a r , s i b u s c a m o s l a ú n i c a s u c e s i ó n d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s a0 = 0an+1 = 3an + (−1)n
d i c h a s u c e s i ó n e s a0 = 0
n ≥ 1 ⇒ an =n
i=1
3i−1(−1)n−i ,
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2 8 6 Á l g e b r a
e s d e c i r ,
b0 = 0b1 = −1,
b2 = 1 + 3 · (−1),
b3 = −1 + 3 + 32(−1), ( 6 . 8 )
.
.
.
bn = (−1)n−1 + 3(−1)n−2 + ... + 3n−1(−1),.
.
.
O b s e r v a c i ó n 6 6 P a r a n a l i z a r e s t e a p a r t a d o , v a m o s a h a c e r u n a b r e v e r e -
e x i ó n s o b r e l a f o r m a q u e t i e n e l a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r q u e e n c o n t r a m o s u t i l i -
z a n d o e l m é t o d o e x p u e s t o . S e g ú n h e m o s v i s t o , l a s u c e s i ó n {bn} d e t e r m i n a d a
p o r b1 = 0y , p a r a n ≥ 1,
bn =n−1i=1
λi−1an−i
e s u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a
(S − λId)({xn}) = {an}.
L a f o r m a d e l a s u c e s i ó n
{bn
}r e c u e r d a a l p r o d u c t o d e p o l i n o m i o s . D e h e c h o ,
e l t é r m i n o g e n e r a l d e e s t a s u c e s i ó n ( d o n d e n ∈ N, n ≥ 1) s e p o d r í a e x p r e s a r
d e l s i g u i e n t e m o d o :
bn =n
i=1
λi−1an−i =
j+k=n−1λ j ak.
6 . 7 . 2 S i s t e m a s d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a
E l p l a n t e a m i e n t o d e l p r o b l e m a e s s i m i l a r a l v i s t o p a r a e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a -
l e s . E n e s t e c a s o , e l p r o b l e m a c o n s i s t e e n r e s o l v e r s i s t e m a s d e l a f o r m a
x1(n + 1) = a11x1(n) + a12x2(n) + · · · + a1mxm(n),x2(n + 1) = a21x1(n) + a22x2(n) + · · · + a2mxm(n),
.
.
.
xm(n + 1) = am1x1(n) + an2x2(n) + · · · + ammxm(n),
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Á l g e b r a 2 8 7
d o n d e l a s s u c e s i o n e s i n c ó g n i t a s o n {x1(n)},..., {xm(n)}.
C o m o e n e l c a s o d e l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , p o d e m o s e m p l e a r l a n o -
t a c i ó n m a t r i c i a l x1(n + 1)x2(n + 1)
.
.
.
xm(n + 1)
=
a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amm
x1(n)x2(n)
.
.
.
xm(n)
,
o , i n c l u s i v e l a n o t a c i ó n m a t r i c i a l c o m p a c t a
−→x (n + 1) = A−→x (n).
A l o s s i s t e m a s d e l t i p o a n t e r i o r s e l e s c o n o c e c o m o s i s t e m a s h o m o -
g é n e o s d e m
e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a d e p r i m e r o r d e n c o n c o -
e c i e n t e s c o n s t a n t e s . L a t é c n i c a p a r a r e s o l v e r e s t e t i p o d e s i s t e m a s e s
e x a c t a m e n t e l a m i s m a q u e l a v i s t a p a r a l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n -
c i a l e s .
A s í , d a d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s
−→x (n + 1) = A−→x (n),
d o n d e A
e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n m. S i P
e s u n a m a t r i z c u a d r a d a
i n v e r t i b l e y c o n s i d e r a m o s l a m a t r i z P−1
, t e n d r e m o s q u e
P−1·−→x (n) = P−1 · A−→x (n)
y , s i e n d o −→z (n) = P−1·−→x (n),
p o d e m o s h a c e r l a s s i g u i e n t e s t r a n s f o r m a c i o n e s :
−→z (n + 1) = P−1·A−→x (n) = P−1·A · (P · P−1)−→x (n) =
= (P−1·A · P)(P−1·−→x (n))
= (P−1·A · P)−→z (n).
P o r e l l o , s i P−1
·A
·P
e s t r i a n g u l a r , p a r a r e s o l v e r e l s i s t e m a o r i g i n a l p l a n t e a -
d o e s s u c i e n t e c o n r e s o l v e r d i c h o s i s t e m a t r i a n g u l a r y d e s h a c e r e l c a m b i o
r e a l i z a d o −→x (n) = P·−→z (n).
p a r a o b t e n e r l a s o l u c i ó n b u s c a d a .
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2 8 8 Á l g e b r a
E j e m p l o 6 . 7 . 1 0 S u p o n g a m o s q u e q u e r e m o s e n c o n t r a r l a s s u c e s i o n e s q u e s a -
t i s f a c e n e l s i s t e m a d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a l i n e a l e s y h o m o g é n e a s d e p r i -
m e r o r d e n c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s : x(n + 1) = x(n) + y(n)y(n + 1) = 4x(n) − 2y(n),
j u n t o c o n l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s x(0) = 1, y(0) = 6. S i p l a n t e a m o s e l
s i s t e m a d e f o r m a m a t r i c i a l , t e n d r e m o s : x(n + 1)y(n + 1)
=
1 14 −2
·
x(n)y(n)
.
O p e r a n d o , o b t e n e m o s q u e l o s a u t o v a l o r e s d e l a m a t r i z d e l s i s t e m a s o n
2y −3
y q u e l a f o r m a t r i a n g u l a r ( e n e s t e c a s o d i a g o n a l ) d e l a m a t r i z a s o c i a d a e s 1 11 −4
−1·
1 14 −2
·
1 11 −4
=
2 00 −3
.
R a z o n a n d o d e l m i s m o m o d o q u e c o n l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s ,
p r o c e d e m o s a r e s o l v e r e l s i s t e m a
(II )
z (n + 1)u(n + 1)
=
2 00 −3
·
z (n)u(n)
c o n x(n)
y(n)
= 1 1
1 −4
· z (n)
u(n)
.
E l s i s t e m a (II )
e s , o b v i a m e n t e , e l s i s t e m a z (n + 1) = 2z (n)u(n + 1) = −3u(n)
,
c u y a s s o l u c i o n e s s o n , s e g ú n s a b e m o s ,
{z (n)} = α{2n}
{u(n)} = β {(−3)
n
}(α, β
∈C).
L u e g o x(n)y(n)
=
1 11 −4
·
α2n
β (−3)n
=
α2n + β (−3)n
α2n − 4β (−3)n
(α, β ∈ C).
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Á l g e b r a 2 8 9
I m p o n i e n d o , n a l m e n t e , l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s t e n d r e m o s q u e
x(0) = 1 = α20 + β (−3)0 = α + β y(0) = 6 = α20 − 4β (−3)0 = α − 4β,
e s d e c i r , q u e α + β = 1α − 4β = 6,
c o n l o q u e , r e s o l v i e n d o e l s i s t e m a
−5β = 5 ⇒ β = −1
α = 2
,
d e d o n d e l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n e l s i s t e m a p l a n t e a d o c o n l a s c o n d i c i o -
n e s i n i c i a l e s d a d a s s o n : x(n)y(n)
=
2 · 2n − (−3)n
2 · 2n + 4(−3)n
=
2n+1 − (−3)n
2n+1 + 4(−3)n
,
e s d e c i r ,
{x(n)} =
2n+1 − (−3)n
y
{y(n)} =
2n+1 + 4(−3)n
.
E j e r c i c i o 6 . 7 . 1 C o m p r o b a r q u e l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e -
r e n c i a l e s x(t) = x(t) + y(t)y(t) = 4x(t) − 2y(t)
,
s u j e t o a l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s x(0) = 1, y(0) = 6 e s
x1(t)x2(t) = 2e2t
− e−3t
2e2t + 4e−3t .
C o m p á r e s e c o n l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a d e l e j e m -
p l o a n t e r i o r .
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2 9 0 Á l g e b r a
6 . 8 E j e r c i c i o s
6 . 8 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s
1 . D e t e r m i n a r l a s u c e s i ó n d e n i d a r e c u r s i v a m e n t e p o r l a s c o n d i c i o n e s an+2 = 7an+1 − 12an
a1 = 1a2 = 3.
2 . E n c o n t r a r l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a
an+3 = 4an+2 − 5an+1 + 2an.
3 . E n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l
D2(f ) − 7D(f ) + 12f = e−t.
4 . R e s o l v e r e l p r o b l e m a d e v a l o r i n i c i a l D(f ) − 2f = e2t
f (0) = 1.
5 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s x1 = 5x1 + 4x2
x2 = x1 + 2x2
s u j e t o a l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s x1(0) = 2, x2(0) = 3.
6 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a ( e c u a c i o n e s e n d i f e -
r e n c i a s ) an+1 = 5an + 4bn
bn+1 = an + 2bn
c o n l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s a1 = 2, b1 = 3.
7 . C a l c u l a r l a p o t e n c i a n−é s i m a d e l a m a t r i z
A =
2 1 12 3 23 3 4
.
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Á l g e b r a 2 9 1
6 . 8 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s
1 . S u p u e s t o q u e t ∈ R , d e t e r m i n a r t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l o s s i g u i e n t e s
s i s t e m a s :
a )
y1(t) = −y1(t)y2(t) = 2y2(t)
y3(t) = y1(t) + y2(t) + y3(t),b )
y1(t) = sin(t)y2(t) = t2
y3(t) = y1(t) + y2(t) + y3(t).
2 . D a d a l a m a t r i z A =
1 0 2−1 −1 −10 0 −1
d e t e r m i n a r A100.
3 . D a d a l a m a t r i z A = 1 4
−12
0 3 −90 1 −3
, s e p i d e :
a ) h a l l a r u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o p r o p i o a s o c i a d o a c a d a v a l o r p r o p i o ,
b ) d e t e r m i n a r s i l a m a t r i z A e s d i a g o n a l i z a b l e .
4 . D a d a u n a m a t r i z A ∈ Mn(K), ¾ p u e d e o c u r r i r q u e A n o s e a d i a g o n a -
l i z a b l e y A2s í s e a d i a g o n a l i z a b l e ?
5 . T r i a n g u l a r i z a r p o r s e m e j a n z a y h a l l a r l a m a t r i z d e p a s o
c o r r e s p o n d i e n t e a l a m a t r i z A = 3 1 00 2 1
−1 −1 1 .
6 . S u p u e s t o q u e t ∈ R, d e t e r m i n a r t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l s i g u i e n t e
s i s t e m a :
y1(t) = 3y1(t) + y2(t)y2(t) = 2y2(t) + y3(t)
y3(t) = −y1(t) − y2(t) + y3(t).
7 . R e s o l v e r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s :
a ) 2f + 3f + f = 0,
b ) 2f + 3f + f = t.
8 . D e t e r m i n a r l a s u c e s i ó n {an} q u e , e m p e z a n d o e n a0 = 0, v e r i c a
an+1 = 2an + 5n
p a r a t o d o n ∈ N{0}.
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2 9 2 Á l g e b r a
9 . D e t e r m i n a r l a s u c e s i ó n d e n i d a r e c u r s i v a m e n t e p o r l a s c o n d i c i o n e s
an+2 = an+1 + 2an,a1 = 3,a2 = 4.
1 0 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a ( e c u a c i o n e s e n
d i f e r e n c i a s ) an+1 = 2an + 1
4bn,
bn+1 = −an + bn,
c o n l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s a1 = 2, b1 = 1.
1 1 . D a d a u n a m a t r i z A ∈ Mn(K)
, d e m o s t r a r l a s s i g u i e n t e s a r m a c i o n e s :
a ) l o s a u t o v a l o r e s d e A c o i n c i d e n c o n l o s d e s u t r a s p u e s t a ,
b ) s i A
e s i n v e r s i b l e , l o s a u t o v a l o r e s d e A−1
s o n l o s i n v e r s o s d e l o s
a u t o v a l o r e s d e A,
1 2 . D a d a l a m a t r i z
A =
2 a3 b
,
d e t e r m i n a r l o s v a l o r e s d e a, b ∈ Rp a r a q u e (1, 3) s e a u n a u t o v e c t o r a s o c i a d o
a l a u t o v a l o r λ = 2.
1 3 . D a d a u n a m a t r i z A ∈ Mn(K) i d e m p o t e n t e ( e s d e c i r , t a l q u e A2 = A) ,
e s t u d i a r c o m o s o n l o s a u t o v a l o r e s d e A.
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C a p í t u l o 7
S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
7 . 1 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 1
1 . R e p r e s e n t a r p o r s u m a t r i z a m p l i a d a y r e s o l v e r p o r e l m é t o d o d e G a u s s -
J o r d a n c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s :
2x1 + x2 + 3x3 = 95x1 + 4x2 + 6x3 = 24
x1 + 3x2 − 2x3 = 4
{x3 = 3, x2 = 4, x1 = −2} 2 1 35 4 61 3 −2
· x1
x2
x3
=
9244
L a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n s e r í a l a s i g u i e n t e :
2 1 3 9
5 4 6 241 3 −2 4 F 1↔
F 3−→
1 3 −2 4
5 4 6 242 1 3 9 F 2 = F 2 − 5F 1
F 3 = F 3 − 2F 1−→ → 1 3 −2 40 −11 16 40 −5 7 1
,... p r o s i g u i e n d o c o n l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n -
2 9 3
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2 9 4 Á l g e b r a
t a l e s a d e c u a d a s h a s t a o b t e n e r l a m a t r i z 1 0 0 −20 1 0 40 0 1 3 , e s d e c i r ,
{x1 = −2, x2 = 4, x3 = 3} .
D e l m i s m o m o d o e l s i s t e m a 3x1 + x2 + x3 − 5x4 = 45x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 6
s e e x p r e s a r í a
3 1 1 −5
5 2 4 −2 ·
x1
x2
x3
x4
= 4
6 .
R e s o l v i é n d o l o p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n o b t e n d r e m o s : 3 1 1 −5 45 2 4 −2 6
F 1 = 13
F 1F 2 = F 2 − 5F 1
−→
1 1
313
−53
43
0 13
73
193
−23
F 1 = 13
F 1F 2 = F 2 − 5F 1
−→F 2 = 3F 2
F 1 = F 1 − 13
F 2−→
1 0 −2 −8 20 1 7 19 −2
, e s d e c i r , e l s i s t e m a e s c o m p a -
t i b l e i n d e t e r m i n a d o , y l a s s o l u c i o n e s s o n
{x1 = 2 + 2x3 + 8x4, x2 = −2 − 7x3 − 19x4, x3, x4} .
R a z o n a n d o a n á l o g a m e n t e c o n e l s i s t e m a x1 − x2 + x3 − x4 = 0
2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 0x1 − x2 + 2x3 − 2x4 = 0
5x1 + 5x2 + 9x3 + 9x4 = 0
o b t e n e m o s q u e e s c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o , s i e n d o s u s o l u c i ó n
x1 =
−9
5
x4, x2 =
−9
5
x4, x3 = x4, x4 = x4 ,
o , s i s e p r e e r e , x1 = −9
5λ, x2 = −9
5λ, x3 = λ, x4 = λ
λ∈R
.
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Á l g e b r a 2 9 5
2 . C o n s i d e r e e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s x + y + 2z = ax + z = b
2x + y + 3z = c
D e m u e s t r e q u e p a r a q u e e s t e s i s t e m a s e a c o m p a t i b l e , a , b y c d e b e n
s a t i s f a c e r c = a + b .
L a m a t r i z a m p l i a d a d e e s t e s i s t e m a e s
A = 1 1 2 a
1 0 1 b2 1 3 c .
A =
1 1 2 a1 0 1 b2 1 3 c
F 1 < − > F 2→
1 0 1 b1 1 2 a2 1 3 c
F 2 = F 2 − F 1F 3 = F 3 − 2F 1
→
1 0 1 b0 1 1 a − b
0 1 1 c − 2b
F 3 = F 3 − F 2
→
1 0 1 b0 1 1 a − b
0 0 0 c − a − b
S i c = a + b
, e l s i s t e m a n o e s c o m p a t i b l e y a q u e s e r í a e q u i v a l e n t e a u n
s i s t e m a q u e c o n t i e n e u n a e c u a c i ó n d e l a f o r m a 0x + 0y + 0z = c − a − b = 0 .
S i c = a + b , e l s i s t e m a d a d o e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a
x = −z + b
y = −z + a − b
q u e e s c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o y t i e n e c o n j u n t o s o l u c i ó n
{(−z + b, −z + a − b, z ) : z ∈ R}
.
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
http://slidepdf.com/reader/full/ma-algebra-r-criado-y-a-gallinari-2003 296/352
2 9 6 Á l g e b r a
3 . R e s u e l v a c a d a u n o d e l o s s i s t e m a s s i g u i e n t e s p o r e l i m i n a c i ó n d e G a u s s -
J o r d a n :
a ) 2x1 − 3x2 = −22x1 + x2 = 1
3x1 + 2x2 = 1
L a m a t r i z a m p l i a d a d e e s t e s i s t e m a e s A =
2 −3 −22 1 13 2 1
.
A =
2 −3 −22 1 13 2 1
F 2 = F 2 − F 1→
2 −3 −20 4 33 2 1
F 1 = 12F 1
F 2 = 14F 2
→ 1 −32
−10 1 3
4
3 2 1
F 3 = F 3 − 3F 1F 1 = F 1 + 3
2F 2→
1 0 18
0 1 34
0 132 4
F 3 = F 3 + 52
F 2→
1 0 18
0 1 34
0 0 −78
.
E l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e .
b )
3x1 + 2x2 − x3 = −155x1 + 3x2 + 2x3 = 03x1 + x2 + 3x3 = 11
11x1 + 7x2 = −30
L a m a t r i z a m p l i a d a d e e s t e s i s t e m a e s A =
3 2 −1 −155 3 2 03 1 3 11
11 7 0 −30
. L a
s u c e s i ó n d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s
F 3 = F 3 − F 1, F 1 =
1
3F 1, F 2 = F 2 − 5F 1, F 4 = F 4 − 11F 1, F 4 = F 4 − F 2,
F 1 = F 1+2
3F 3, F 2 = −3F 2, F 3 = F 3+F 2, F 3 = −1
7F 3, F 1 = F 1−7
3F 3, F 2 = F 2+11F 3
t r a n s f o r m a A e n s u f o r m a e s c a l o n a d a r e d u c i d a
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 2 9 7
1 0 0 −40 1 0 20 0 1 70 0 0 0
. L a ú n i c a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a e s
(−4, 2, 7).
c ) 4x1 − 8x2 = 123x1 − 6x2 = 9
−2x1 + 4x2 = −6
L a m a t r i z a m p l i a d a d e e s t e s i s t e m a e s A =
4 −8 123 −6 9
−2 4 −6
. L a s u c e -
s i ó n d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s
F 1 =1
4F 1, F 2 =
1
3F 2, F 3 =
−1
2F 3, F 2 = F 2 − F 1, F 3 = F 3 − F 1
t r a n s f o r m a A e n l a m a t r i z e q u i v a l e n t e
1 −2 30 0 00 0 0
. E l c o n j u n t o s o l u c i ó n
d e l s i s t e m a e s {(2t + 3, t) : t ∈ R}
.
4 . ¾ P a r a q u é v a l o r e s d e a e l s i s t e m a q u e s i g u e n o t i e n e s o l u c i o n e s ? ¾ T i e n e
e x a c t a m e n t e u n a s o l u c i ó n ? ¾ T i e n e i n n i d a d d e s o l u c i o n e s ? x + 2y − 3z = 43x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
L a m a t r i z a m p l i a d a d e e s t e s i s t e m a e s A =
1 2 −3 43 −1 5 24 1 a2 − 14 a + 2
.
A p l i c a n d o l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s
F 2 = F 2 − 3F 1, F 3 = F 3 − 4F 1, F 3 = F 3 − F 2, F 2 =−1
7F 2, F 1 = F 1 − 2F 2,
s e o b t i e n e l a m a t r i z
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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2 9 8 Á l g e b r a
1 0 1 87
0 1 −2 107
0 0 a2 − 16 a − 4 .
S i a = −4, e l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e , y a q u e l a ú l t i m a l a s e r í a d e l a
f o r m a 0 = −8.S i a = 4, l a ú l t i m a l a e s u n a l a d e c e r o s y e l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e
i n d e t e r m i n a d o c o n c o n j u n t o s o l u c i ó n (−t +
8
7, 2t +
10
7, t) : t ∈ R
.
S i a = ±4, a p l i c a n d o l a t r a n s f o r m a c i ó n F 3 = 1a2−16F 3, s e o b t i e n e l a m a t r i z
e n f o r m a e s c a l o n a d a 1 0 1 87
0 1 −2 107
0 0 1 1a+4
.
E n e s t e c a s o e l s i s t e m a t i e n e e x a c t a m e n t e u n a s o l u c i ó n p a r a c a d a v a l o r d e a .
( H a y t r e s v a r i a b l e s p r i n c i p a l e s )
5 . C a l c u l a r l a s i n v e r s a s d e l a s i g u i e n t e s m a t r i c e s :
A = 3 1
5 2
B =
2 −34 4
C =
2 00 3
3 1 1 05 2 0 1
F 1 = 1
3F 1
→
1 13
13
05 2 0 1
F 2 = F 2 − 5F 1
→
1 13
13
00 1
3−53 1
F 1 = F 1 − F 2
→
1 0 2 −10 1
3−53 1
F 2 = 3F 2
→
1 0 2 −10 1 −5 3
.
E n t o n c e s A−1 =
2 −1
−5 3
.
2 −3 1 04 4 0 1
F 1 = 1
2F 1
→
1 −32
12
04 4 0 1
F 2 = F 2 − 4F 1
→1 −3
212
00 10 −2 1
F 2 = 1
10F 2→
1 −3
212
00 1 −1
5110
F 1 = F 1 + 3
2F 1→
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 2 9 9
1 0 1
5320
0 1 −15
1
10 .
E n t o n c e s B−1 = 1
5320−1
5110
.
2 0 1 00 3 0 1
F 1 = 1
2F 1→
1 0 1
2 00 3 0 1
F 2 = 1
3F 2→
1 0 1
2 00 1 0 1
3
.
E n t o n c e s C −1 =
12
00 1
3
.
6 . V e r i q u e q u e l a s m a t r i c e s A y B d e l e j e r c i c i o 5 ) s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n
(AB)−1 = B−1A−1.
B−1A−1 = 1
5320−1
5110
2 −1
−5 3
= −7
2014−9
1012
y
AB =
3 15 2
2 −34 4
=
10 −518 −7
.
10 −5 1 018 −7 0 1
F 1 = 1
10F 1→
1 −1
2110
018 −7 0 1
F 2 = F 2 − 18F 1
→
1 −12
1
10
00 2 −9
51 F 2 = 1
2
F 2→ 1 −1
2
1
10
00 1 −9
1012 F 1 = F 1 + 1
2
F 2→
1 0 −720
14
0 1 −910
12
. E n t o n c e s (AB)−1 = B−1A−1.
7 . S e a A u n a m a t r i z i n v e r t i b l e y s u p o n g a q u e l a i n v e r s a d e 7 A e s −1 24 −7
. E n c u e n t r e l a m a t r i z A .
−1 24 −7
= (7A)−1 = 1
7A−1 ⇒ A−1 = 7
−1 24 −7
⇒ A =
17 −1 2
4 −7−
1
−1 2 1 04 −7 0 1
F 2 = F 2 + 4F 1
→ −1 2 1 0
0 1 4 1
F 1 = F 1 − 2F 2
→
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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3 0 0 Á l g e b r a
−1 0 −7 −20 1 4 1
F 1 = −F 1
→ 1 0 7 20 1 4 1
A = 17
7 24 1
= 1 2
747
17
.
8 . S e a AX = B u n c u a l q u i e r s i s t e m a c o n s i s t e n t e d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s
y s u p ó n g a s e q u e X 1 e s u n a s o l u c i ó n j a . D e m u e s t r e q u e t o d a s o l u c i ó n p a r a
e l s i s t e m a s e p u e d e e s c r i b i r e n l a f o r m a X = X 1 + X 0 , e n d o n d e X 0 e s u n a
s o l u c i ó n p a r a AX = 0
. D e m u e s t r e t a m b i é n q u e t o d a m a t r i z d e e s t a f o r m a
e s u n a s o l u c i ó n .
S e a X 2 u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a AX = B. Y a q u e X 2 = X 1 + (X 2 −X 1), s e r á s u c i e n t e d e m o s t r a r q u e
(X 2−
X 1)e s u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a
AX = 0 y d e n i r X 0 = X 2 − X 1.
E n e f e c t o , A(X 2 − X 1) = AX 2 − AX 1 = B − B = 0.
A h o r a t e n e m o s q u e v e r i c a r q u e t o d a m a t r i z X d e l a f o r m a X 1+X 0 , d o n d e
X 1 e s u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e l s i s t e m a AX = B y X 0 e s u n a s o l u c i ó n d e l
s i s t e m a h o m o g é n e o AX = 0, e s t a m b i é n u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a .
E n e f e c t o , AX = A(X 1 + X 0) = AX 1 + AX 0 = B + 0 = B.
9 . E n c o n t r a r l a i n v e r s a d e l a m a t r i z d a d a , s i l a m a t r i z e s i n v e r t i b l e :
a) A = 3 4 −1
1 0 32 5 −4
b) B = 3 1 5
2 4 1−4 2 −9
c) C =
1 0 10 1 11 1 0
a) A p l i c a n d o s u c e s í v a m e n t e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s F 2 ←→
F 3, F 2 = F 2 − 3F 1, F 3 = F 3 − 2F 1, F 2 = 14F 2, F 3 = F 3 − 5F 2, F 3 = 2
5F 3, F 2 =F 2 + 5
2F 3, F 1 = F 1 − 3F 3
a l a m a t r i z 3 4 −1 1 0 0
1 0 3 0 1 02 5 −4 0 0 1
, o b t e n e m o s l a m a t r i z 1 0 0 32
−1110
−65
0 1 0 −1 1 10 0 1 −1
2710
25
. P o r l o q u e A−1 =
32
−1110
−65
−1 1 1−12
710
25
.
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 3 0 1
b) A p l i c a n d o l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s F 3 = F 3 + 2F 1 y F 3 =
F 3 − F 2 a l a m a t r i z
3 1 5 1 0 02 4 1 0 1 0
−4 2 −9 0 0 1
, o b t e n e m o s l a m a t r i z
3 1 5 1 0 02 4 1 0 1 00 0 0 2 −1 1
.
P o r l o t a n t o l a m a t r i z B e s e q u i v a l e n t e a l a m a t r i z
3 1 52 4 10 0 0
, e s d e c i r ,
e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e o a s o c i a d o a l a m a t r i z B , 3x + y + 5z = 02x + 4y + z = 0
−4x + 2y + −9z = 0, e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a h o m o g é n e o d e d o s
e c u a c i o n e s e n t r e s v a r i a b l e s
3x + y + 5z = 02x + 4y + z = 0
0 = 0, q u e t i e n e u n a i n n i d a d d e
s o l u c i o n e s . P o r e l l o l a m a t r i z B
n o p u e d e s e r i n v e r t i b l e , y a q u e , s i l o f u e r a ,
e l s i s t e m a s e r í a c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o .
c) A p l i c a n d o l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s F 3 = F 3−
F 1, F 3 = F 3−
F 2, F 3 = −12 F 3,F 1 = F 1−F 3 y F 2 = F 2−F 3 a l a m a t r i z
1 0 1 1 0 00 1 1 0 1 01 1 0 0 0 1
,
s e o b t i e n e l a m a t r i z
1 0 0 12
−12
12
0 1 0 −12
12
12
0 0 1 12
12
−12
.
E n t o n c e s C −1 =
12
−12
12−1
212
12
12
12
−12
.
1 0 . E f e c t ú e l a s o p e r a c i o n e s s o b r e l a s l a s q u e s i g u e n s o b r e
A =
3 1 0−2 1 43 5 5
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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3 0 2 Á l g e b r a
m u l t i p l i c a n d o p o r u n a m a t r i z e l e m e n t a l a p r o p i a d a . E n c a d a c a s o , v e r i q u e
l a r e s p u e s t a l l e v a n d o a c a b o l a o p e r a c i ó n s o b r e l a s l a s d i r e c t a m e n t e s o b r e
A .
a ) I n t e r c a m b i e l a p r i m e r a y t e r c e r a l a s .
b ) M u l t i p l i q u e l a s e g u n d a l a p o r 1 / 3 .
c ) S u m e e l d o b l e d e l a s e g u n d a l a a l a p r i m e r a .
a)
0 0 10 1 01 0 0
A =
3 5 5−2 1 43 1 0
b) 1 0 0
0 13 0
0 0 1 A = 3 1 0
−23
13
43
3 5 5
c)
1 2 00 1 00 0 1
A =
−1 3 8−2 1 43 5 5
1 1 . U n a c a j a q u e c o n t i e n e m o n e d a s c o n l a s d e n o m i n a c i o n e s d e u n c e n t a v o ,
c i n c o c e n t a v o s y d i e z c e n t a v o s t i e n e 1 3 d e e l l a s c o n u n v a l o r t o t a l d e 8 3
c e n t a v o s .
¾ C u á n t a s m o n e d a s d e c a d a t i p o h a y e n l a c a j a ?
H a y q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s
x + y + z = 13x + 5y + 10z = 83
E l s i s t e m a a n t e r i o r e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a
x + y + z = 134y + 9z = 70,
s i s t e m a q u e t i e n e u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s d e l a f o r m a (−18+5z4 , 70−9z
4 , z ).E n e l p r o b l e m a d a d o
0 ≤ z ≤ 13y , p a r a q u e
xe
yn o s e a n n e g a t i v o s ,
4 ≤ z ≤ 7. E l ú n i c o v a l o r d e z e n e s t e i n t e r v a l o t a l q u e x e y s e a n n ú m e r o s
n a t u r a l e s e s 6 . E n t o n c e s h a y 3 m o n e d a s d e 1 c e n t a v o , 4 d e c i n c o c e n t a v o s y
6 d e d i e z c e n t a v o s .
1 2 . ¾ P a r a c u á l v a l o r , o c u á l e s v a l o r e s , d e a
e l s i s t e m a s i g u i e n t e t i e n e c e r o ,
u n a y u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s ?
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
http://slidepdf.com/reader/full/ma-algebra-r-criado-y-a-gallinari-2003 303/352
Á l g e b r a 3 0 3
x1 + x2 + x3 = 4x3 = 2
(a2 − 4)x3 = a − 2
L a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a e s t e s i s t e m a e s l a m a t r i z
A =
1 1 1 40 0 1 20 0 a2 − 4 a − 2
.S i
a = −2, l a ú l t i m a e c u a c i ó n e s d e l
t i p o 0 = −4 y e l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e . S i a = 2, l a m a t r i z A e s i g u a l a
1 1 1 40 0 1 20 0 0 0
y e l s i s t e m a t i e n e u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s :
{(−t + 2, t, 2) : t ∈ R} .
S i a = ±2, p o d e m o s a p l i c a r l a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l F 3 = 1
a2−4F 3 a l a
m a t r i z A. E l s i s t e m a e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a x1 + x2 + x3 = 4
x3 = 2x3 = 1
a+2
q u e e s c o m p a t i b l e y t i e n e u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s {(2 − s,s, 2) : s ∈ R}
s ó l o s i
1a+2 = 2 , e s d e c i r , s ó l o s i a =
−32 .
1 3 . D e m o s t r a r q u e l a t r a s p o s i c i ó n d e m a t r i c e s s a t i s f a c e l a s s i g u i e n t e s
p r o p i e d a d e s .
a ) ∀A ∈ M m×n(K) t(tA) = A.
D a d o (i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n}, a p l i c a n d o l a d e n i c i ó n
t(tA)(i, j) =t A( j, i) = A(i, j).P o r c o n s i g u i e n t e , a l s e r m a t r i c e s d e l m i s m o o r d e n ,
t(tA) = A.b )
∀A, B ∈ M m×n(K) t(A + B) =t A +t B.D a d o (i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n}, a p l i c a n d o l a d e n i c i ó n
t(A + B)(i, j) = (A + B)( j, i) = A( j, i) + B( j, i) == (tA)(i, j) + (tB)(i, j) = (tA +t B)(i, j).
c ) ∀A ∈ M m×n(K), ∀B ∈ M n× p(K) A · B ∈ M m× p(K)
, c o n l o q u e
t(A ·B) ∈ M p×m(K). P o r o t r a p a r t e
tB ∈ M p×n(K),t A ∈ M n×m(K), . c o n l o q u e
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3 0 4 Á l g e b r a
(tB ·t A) ∈ M p×m(K), e s d e c i r , s o n m a t r i c e s d e l m i s m o o r d e n . D a d o a h o r a
(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n},a p l i c a n d o l a d e n i c i ó n
t(A · B)(i, j) = (A · B)( j, i) =n
k=1
A( j, k) · B(k, i) =
=n
k=1
(tA)(k, j) · (tB)(i, k) =n
k=1
(tB)(i, k) · (tA)(k, j) =
=
tB ·t A
(i, j).
1 4 . D e m o s t r a r q u e s i A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e , e n t o n c e s
t(A) ∈ M n(K)
e s i n v e r t i b l e y
t (A−1) = (tA)−1
.S i A · A−1 = I n y A−1 · A = I n, p o r l a s p r o p i e d a d e s v i s t a s e n e l p r o b l e m a
a n t e r i o r
t(A · A−1) =t I n = I n =t (A−1) · (tA)y
t(A−1 · A) =t I n = I n =(tA) ··t (A−1) , c o n l o q u e
t (A−1) = (tA)−1
.
1 5 . S i A = (aij) ∈ M n(K) , s e d e n o m i n a traza d e A a l a s u m a d e l o s
e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e A, e s d e c i r ,
T r(A) = a11 + ... + ann =
ni=1
aii.
D e m o s t r a r q u e ∀A,B,C ∈ M n(K):
a ) T r(A + B) = T r(A) + T r(B).
T r(A+B) =n
i=1
(aii +bii) =( p o r l a s p r o p i e d a d e s a s o c i a t i v a y c o n m u t a t i v a
d e + ) = (a11 + ... + ann) + (b11 + ... + bnn) =
n
i=1
aii
+
n
i=1
bii
.
b ) T r(AB) = T r(BA) .
S i AB = C y BA = D, T r(AB) = n
i=1
cii = n
i=1
n
k=1
aikbki = nk=1
ni=1
aikbki
= ( p o r l a p r o p i e d a d c o n m u t a t i v a d e
·) = =n
k=1
ni=1
bkiaik =n
i=1
dii
= T r(BA)
.
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Á l g e b r a 3 0 5
P o n e r u n c o n t r a e j e m p l o q u e p o n g a d e m a n i e s t o q u e
T r(A.B) = T r(A) · T r(B).
S i A =
1 11 1
y B = I 2 =
1 00 1
, A.B =
1 11 1
= A, p o r l o
q u e T r(A.B) = T r(A) = 2;
s i n e m b a r g o T r(A) · T r(B) = 2 · 2 = 4.
c ) S i e n d o C = AtA,
T r(AtA) = T r(C ) =n
i=1
C (i, i) =n
i=1
(n
k=1
A(i, k)tA(k, i)) =
=n
i=1
(n
k=1
A(i, k)A(i, k)) =n
i=1
n
k=1
a2ik
.
1 6 . S e d i c e q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s s i m é t r i c a s i
tA = A. D e m o s t r a r
q u e u n a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a y s u c i e n t e p a r a q u e e l p r o d u c t o d e d o s m a t r i c e s
s i m é t r i c a s A, B ∈ M n(K) d é c o m o r e s u l t a d o u n a m a t r i z s i m é t r i c a e s q u e
AB = BA.V e a m o s q u e e s c o n d i c i ó n n e c e s a r i a :
H i p ó t e s i s : A y B s i m é t r i c a s y AB s i m é t r i c a . ¾ E n e s t a s c o n d i c i o n e s e s
AB = BA?t(AB) = a l s e r AB s i m é t r i c a = AB;P e r o t a m b i é n
t(AB) = (tB)(tA) = ( A l s e r A y B s i m é t r i c a s ) = AB.V e a m o s a h o r a q u e e s c o n d i c i ó n s u c i e n t e :
H i p ó t e s i s : A
y B
s i m é t r i c a s y AB = BA.
¾ E s e n e s t a s c o n d i c i o n e s AB
s i m é t r i c a ? S i AB = BA, t e n d r e m o s q u e
t(AB) =t (BA) = (tA)(tB) =( A l
s e r A
y B
s i m é t r i c a s ) = AB,
c o n l o q u e AB
e s s i m é t r i c a .
1 7 . D e t e r m i n a r α ∈ Cy β ∈ C
p a r a q u e l a m a t r i z A =
2 11 2
∈
M 2(C) s a t i s f a g a l a e c u a c i ó n A2 + αA + βI 2 = (0).U t i l i z a n d o l a r e l a c i ó n a n t e r i o r , y s a b i e n d o q u e A e s i n v e r t i b l e , c a l c u l a r
A−1. 2 11 2
2 11 2
= 5 44 5
, l u e g o h a y q u e r e s o l v e r l a e c u a c i ó n
5 44 5
+ α
2 11 2
+ β
1 00 1
=
0 00 0
,
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3 0 6 Á l g e b r a
d e d o n d e 5 + 2α + β 4 + α
4 + α 5 + 2α + β = 0 00 0 ,
y e n c o n s e c u e n c i a α =
−4y
β = 3.P o r c o n s i g u i e n t e A2−4A+3I 2 = (0). S u p o n i e n d o q u e A t i e n e i n v e r s a A−1,
m u l t i p l i c a n d o p o r d i c h a m a t r i z a a m b o s l a d o s d e e s a e c u a c i ó n , o b t e n e m o s
A−1( A2−4A + 3I 2) = A−1(0) = (0), d e d o n d e A−4I 2 + 3A−1 = (0), e s d e c i r ,
A−1 = 13
(4I 2 − A) = 13
2 −1−1 2
=
23
−13−1
323
.
1 8 . S e d i c e q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s i d e m p o t e n t e s i A2 = A.D e m o s t r a r q u e s i A ∈ M n(K) e s i d e m p o t e n t e , e n t o n c e s B = I n − A e s
i d e m p o t e n t e . D e m o s t r a r t a m b i é n q u e AB = (0)
y q u e BA = (0).
B2 = (I −
A)(I −
A) = I −
A−
A+A2. A l s e r A i d e m p o t e n t e I −
A−
A+A2 =I − A = B,
l u e g o B e s i d e m p o t e n t e . P o r o t r a p a r t e
AB = A(I − A) = A − A2 = A − A = (0)
BA = (I − A)A = A − A2 = A − A = (0).
1 9 . E n u n a f e r i a d e g a n a d o u n g r a n j e r o c o m p r ó p o l l o s , c o n e j o s y t e r n e r o s .
L o s p o l l o s l o s c o m p r ó a 5 0 p t s . , l o s c o n e j o s a 1 0 0 0 p t s . y l o s t e r n e r o s a
5 0 0 0 p t s .
C o m p r ó 1 0 0 a n i m a l e s y g a s t ó 1 0 0 . 0 0 0 p t s .
S a b i e n d o q u e c o m p r ó a n i m a l e s d e l a s 3 c l a s e s , a v e r i g u a r e l n ú m e r o d e
a n i m a l e s q u e c o m p r ó d e c a d a c l a s e .H a y q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s
x + y + z = 10050x + 1000y + 5000z = 100000E l s i s t e m a a n t e r i o r e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a
x + y + z = 10019y + 99z = 1900H a c i e n d o z = λ, s e t i e n e q u e y = 100 − 99λ
19, x = 80λ
19. D e l a s c o n d i c i o n e s
d e l e n u n c i a d o s e s i g u e q u e l a s s o l u c i o n e s d e b e n s e r e n t e r a s y p o s i t i v a s , p o r
l o q u e λ d e b e s e r m ú l t i p l o d e 19. S i λ = 0, n o c o m p r a r í a t e r n e r o s . S i λ = 19,z = 19, y = 1, x = 80. E s t a e s l a ú n i c a s o l u c i ó n p o s i b l e , p u e s s i λ = 19n y
n > 1, ys e r í a n e g a t i v o .
2 0 . E n e l á m b i t o d e l a s c i e n c i a s d e l a c o m p u t a c i ó n u n a c a d e n a o s t r i n g
e s u n a s e c u e n c i a d e i t e m s ( d a t o s ) d e a l g ú n c o n j u n t o ( o d o m i n i o ) d e d a t o s
d a d o . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s u n a c a d e n a e s u n a p a l a b r a a1...an d e l o n g i -
t u d n ≥ 0. P a r a n = 0 s e t r a t a d e l a c a d e n a v a c í a ( a l a q u e e n s u m o m e n t o
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Á l g e b r a 3 0 7
d e n o t a m o s p o r λ) y p a r a n ≥ 1 l o s e l e m e n t o s a1,...,an p e r t e n e c e n a l m i s -
m o c o n j u n t o o a l f a b e t o
A.E l e j e r c i c i o c o n s i s t e e n c o n s t r u i r u n m o d e l o d e
t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s a l q u e d e n o m i n a r e m o s c a d e n a o s t r i n g , t e n i e n d o
e n c u e n t a q u e h a y q u e c o n s i d e r a r l o s d a t o s y l a s c a d e n a s d e d a t o s d e u n
c o n j u n t o A = {a1,...,ak} , q u e l a s c a d e n a s s o n e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o A∗
( c o n j u n t o d e t o d a s l a s c a d e n a s o p a l a b r a s d e n i d a s s o b r e e l a l f a b e t o A o
l e n g u a j e u n i v e r s a l s o b r e A), q u e h a y q u e c o n s i d e r a r l a p a l a b r a v a c í a c o m o
u n a c o n s t a n t e , y q u e c o m o o p e r a c i o n e s s o b r e l a s c a d e n a s c o n s i d e r a m o s l a s
s i g u i e n t e s : construye, q u e a p a r t i r d e u n e l e m e n t o d e A c o n s t r u y e u n a l i s -
t a d e l o n g i t u d 1, l a o p e r a c i ó n concat, d e n i d a s o b r e p a r e s d e p a l a b r a s p o r
concat(a1...an, b1...bm) = a1...anb1...bm , y l a s o p e r a c i o n e s i a ñ a d e ( i a d d ) y d a -
ñ a d e ( d a d d ) q u e a ñ a d e n , r e s p e c t í v a m e n t e , u n e l e m e n t o a l a i z q u i e r d a o a l a
d e r e c h a d e u n a c a d e n a d a d a . ( N o t a : S o n s u c i e n t e s 5 e c u a c i o n e s ) .
CADENA =1. T i p o s : CADENA,ALFABETO
2. C o n s t a n t e s :
a1,...,an ∈ ALFABETO,vac í a ∈ CADENA
3. O p e r a c i o n e s :
concat : CADENA × CADENA → CADENAconstruye : ALFABETO → CADENAiadd : ALFABETO × CADENA → CADENAdadd : CADENA × ALFABETO → CADENA
4. E c u a c i o n e s :
∀c, c, c” ∈ CADENA,∀a ∈ ALFABETOconcat(c,vac í a) = cconcat(vac í a, c) = cconcat(concat(c, c), c”) = concat(c, concat(c, c”))iadd(a, c) = concat(construye(a), c)dadd(c, a) = concat(c, construye(a))
7 . 2 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 2
1 . E n c o n t r a r u n v e c t o r u d i f e r e n t e d e c e r o c u y o p u n t o i n i c i a l e s P =(−1, 3, −5)
t a l q u e
a ) u t i e n e l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e v = (6, 7, −3).
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3 0 8 Á l g e b r a
b ) u t i e n e d i r e c c i ó n o p u e s t a a l a d e v = (6, 7, −3).
S e a u = P Q, d o n d e Q = (x,y,z ). E n t o n c e s u = (x + 1, y − 3, z + 5).S i
ut i e n e l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e
v,
u = kv ⇔ (x + 1, y − 3, z + 5) =(6k, 7k, −3k)
a ) S e a k > 0 y Q = (6k − 1, 7k + 3, −3k − 5).b ) S e a
k < 0y
Q = (6k − 1, 7k + 3, −3k − 5).
2 . S e a n u = (−3, 1, 2), v = (4, 0, −8), y w = (6, −1, −4). E n c o n t r a r l o s
e s c a l a r e s c1, c2, c3 t a l e s q u e
c1u+c2v+c3w = (2, 0, 4).(2, 0, 4) = c1u + c2v + c3w = c1(−3, 1, 2) + c2(4, 0, −8) + c3(6, −1, −4) =
= (−3c1, c1, 2c1) + (4c2, 0, −8c2) + (6c3, −c3, −4c3) =
= (−3c1 + 4c2 + 6c3, c1 − c3, 2c1 − 8c2 − 4c3).
E n t o n c e s , t e n e m o s q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a −3c1 + 4c2 + 6c3 = 2c1 − c3 = 0
2c1 − 8c2 − 4c3 = 4
L a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n s e r í a l a s i g u i e n t e :
a p l i c a n d o l a t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s F 1 ←→ F 2, F 3 = 12
F 3, F 3 = F 3 −F 1, F 2 = F 2 + 3F 1, F 3 = F 3 + F 2, F 2 = 1
4F 2, F 3 = 12F 3,
F 1 = F 1 + F 3, F 2 = F 2−
3
4
F 3 a l a m a t r i z −3 4 6 21 0 −1 02 −8 −4 4
, s e o b t i e n e l a m a t r i z
1 0 0 20 1 0 −10 0 1 2
.
L a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a e s {c1 = 2, c2 = −1, c3 = 2} .
3 . D e m o s t r a r q u e n o e x i s t e n l o s e s c a l a r e s c1, c2, c3 t a l e s q u e c1(−2, 9, 6)+c2(−3, 2, 1) + c3(1, 7, 5) = (0, 5, 4).
C o m o e n e l e j e r c i c i o a n t e r i o r , t e n e m o s q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a
−2c1
−3c2 + c3 = 0
9c1 + 2c2 + 7c3 = 56c1 + c2 + 5c3 = 4
A p l i c a n d o l a t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s F 3 = F 3+3F 1, F 1 = −1
2F 1, F 3 =
−18F 3, F 2 ←→ F 3, F 3 = F 3 − 9F 1, F 1 = F 1 − 3
2F 2,
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Á l g e b r a 3 0 9
F 3 = − 223F 3, F 3 = F 3 − F 2
a l a m a t r i z −2 −3 1 09 2 7 56 1 5 4
, s e o b t i e n e l a m a t r i z
1 0 1 34
0 1 −1 −12
0 0 0 346
.
E l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e .
4 . S e a n P e l p u n t o (2, 3, −2)
y Q e l p u n t o (7, −4, 1).
a ) E n c o n t r a r e l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e u n e a P y Q.b ) E n c o n t r a r e l p u n t o s o b r e e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e u n e a
P y
Qy e s t á
a
34 d e l a d i s t a n c i a d e P a Q.
a ) S e a n
v = OP = (2, 3, −2)y
w = OQ = (7, −4, 1)y
v + w = OR =(9, −1, −1) . E l s e g m e n t o OR c o r t a e l s e g m e n t o P Q e n u n p u n t o M , q u e
e s e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n e n t r e l a s d i a g o n a l e s d e l p a r a l e l o g r a m o OPRQ.E n t o n c e s M e s e l p u n t o m e d i o d e P Q y M = v+w
2 = (92 , −12 , −12 ).b ) E l p u n t o s o b r e e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e u n e a P y Q y q u e e s t á a
34
d e l a d i s t a n c i a d e P a Q s e r á d a d o p o r e l p u n t o m e d i o e n t r e M y Q, e s d e c i r
p o r N = 12( v+w
2 + w) = ( 234 , −94 , 1
4).
5 . S u p o n e r q u e l a t r a s l a c i ó n d e u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s xy
s e h a c e p a r a
o b t e n e r u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s xyc u y o o r i g e n O
t i e n e l a s c o o r d e n a d a s
(2, −3).a ) E n c o n t r a r l a s c o o r d e n a d a s
xy d e l p u n t o
P c u y a s c o o r d e n a d a s
xys o n
(7, 5).b ) E n c o n t r a r l a s c o o r d e n a d a s xy d e l p u n t o Q c u y a s c o o r d e n a d a s xy
s o n
(−3, 6).c ) T r a z a r l o s e j e s d e c o o r d e n a d a s xy y xy
y l o c a l i z a r l o s p u n t o s P y
Q.
L a s e c u a c i o n e s d e t r a s l a c i ó n d e S = (O,x,y)
a S = (O, x, y)
y d e S =
(O, x, y)a
S = (O,x,y)s o n :
x = x − 2y = y + 3
y
x = x + 2y = y − 3
.
a ) P = (5, 8) e n S = (O, x, y).
b )
Q = (−1, 3)e n
S = (O,x,y).6 . D e m o s t r a r g e o m é t r i c a m e n t e q u e s i u y v s o n v e c t o r e s e n e l e s p a c i o
b i d i m e n s i o n a l o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l , e n t o n c e s
u + v ≤ u + v .
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3 1 0 Á l g e b r a
U t i l i z a n d o l a r e g l a d e l p a r a l e l o g r a m o p a r a d e n i r u + v, l a d e s i g u a l d a d
u + v ≤ u + v s e s i g u e d e q u e l a l o n g i t u d d e u n o d e l o s l a d o s d e u n
t r i á n g u l o e s s i e m p r e m e n o r o i g u a l a l a s u m a d e l a s l o n g i t u d e s d e l o s o t r o s
d o s l a d o s .
7 . a ) D e m o s t r a r q u e v = (a, b) y w = (−b, a) s o n v e c t o r e s o r t o g o n a l e s .
v · w = −ab + ba = 0.b ) U s a r e l r e s u l t a d o d e l i n c i s o a ) p a r a e n c o n t r a r d o s v e c t o r e s q u e s e a n
o r t o g o n a l e s a v = (2, −3).S e a v = (2, −3) = (a, b). E n t o n c e s , s e s i g u e d e l a p a r t e a ) q u e l o s v e c t o r e s
w1 = (−b, a) = (3, 2)y w2 = −w1 = (b, −a) = (−3, −2)
s o n o r t o g o n a l e s
a v.c ) E n c o n t r a r d o s v e c t o r e s u n i t a r i o s q u e s e a n o r t o g o n a l e s a (−3, 4).S e a v = (a, b) = (−3, 4). C o m o e n l a p a r t e b ) , l o s v e c t o r e s w1 = (−b, a) =
(−4, −3)y
w2 = −w1 = (b, −a) = (4, 3)s o n o r t o g o n a l e s a
v.E n t o n c e s l o s
v e c t o r e s
u1 = w1
w1 = (−45
, 35
)y
u2 = w2
w2 = (45
, −35
)s o n u n i t a r i o s y o r t o g o n a l e s a
v.
8 . E x p l i c a r p o r q u é c a d a u n a d e l a s s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s c a r e c e d e
s e n t i d o .
S i u,v,w s o n v e c t o r e s e n e l p l a n o o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l y k e s u n
n ú m e r o r e a l ,
a ) u · (v · w) :e l p r o d u c t o e s c a l a r e s t á d e n i d o e n t r e v e c t o r e s y
(v · w)e s
u n e s c a l a r .
b ) (u·v)+w :
l a s u m a e s t á d e n i d a e n t r e d o s v e c t o r e s o e n t r e d o s e s c a l a r e s ,
n o e n t r e u n e s c a l a r y u n v e c t o r .
c ) u · v :
l a n o r m a e s u n a f u n c i ó n d e n i d a s o b r e u n v e c t o r , n o u n
e s c a l a r .
d ) k · (u + v) :
e l p r o d u c t o e s c a l a r e s t á d e n i d o e n t r e v e c t o r e s y k
e s u n
e s c a l a r .
9 . S e a n v e c t o r e s i, j y k u n i t a r i o s a l o l a r g o d e l o s e j e s p o s i t i v o s x, y y z d e u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l . S i
v = (a,b,c)e s u n v e c t o r d i f e r e n t e d e c e r o , e n t o n c e s l o s á n g u l o s
α,β,y
γ e n t r e
v y l o s v e c t o r e s i, j y k , r e s p e c t i v a m e n t e , s e d e n o m i n a n á n g u l o s d i r e c t o r e s d e
v, y l o s n ú m e r o s
cos(α), cos(β )y
cos(γ )s e d e n o m i n a n c o s e n o s d i r e c t o r e s d e
v.
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Á l g e b r a 3 1 1
a ) D e m o s t r a r q u e cos(α) = av .
cos(α) =i
·v
iv =a
v .( Y a q u e i = 1
)
b ) E n c o n t r a r cos(β ) y
cos(γ ).cos(β ) = j·v
jv = bv . ( Y a q u e
j = 1)
cos(γ ) = k·vkv = c
v .( Y a q u e
k = 1)
c ) D e m o s t r a r q u e
vv = (cos(α), cos(β ), cos(γ )).
vv = (a,b,c)
v = ( av , b
v , cv) = (cos(α), cos(β ) , cos(γ )).
d ) D e m o s t r a r q u e cos2(α) + cos2(β ) + cos2(γ ) = 1.
cos2(α) + cos2(β ) + cos2(γ ) = vv 2= ( v
v)2 = 1.
1 0 . D e m o s t r a r q u e s i v e s o r t o g o n a l t a n t o a w1 c o m o a w2 , e n t o n c e s v e s
o r t o g o n a l a k1w1 + k2w2 p a r a t o d o s l o s e s c a l a r e s k1 y k2.
U t i l i z a n d o l a s p r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o e s c a l a r y q u e v·w1 = 0 y v·w2 = 0,s e o b t i e n e q u e v · (k1w1 + k2w2) = k1(v · w1) + k2(v · w2) = k10 + k20 = 0.
1 1 . E n c o n t r a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s
p u n t o s d a d o s .
a ) S e a n P = (5, −2, 4) y Q = (7, 2, −4).
L a r e c t a q u e p a s a p o r P
y Q
e s p a r a l e l a a l v e c t o r d e t e r m i n a d o p o r e l
s e g m e n t o
P Q = (2, 4, −8) y s u s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s s o n : x = 5 + 2ky = −2 + 4kz = 4 − 8k
∞ < k < ∞
b ) S e a n P = (0, 0, 0)y Q = (2, −1, −3).
L a r e c t a q u e p a s a p o r P y Q e s p a r a l e l a a l v e c t o r d e t e r m i n a d o p o r e l
s e g m e n t o
P Q = (2, −1, −3) y s u s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s s o n : x = 2ky = −k
z = −3k∞ < k < ∞
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3 1 2 Á l g e b r a
1 2 . D e m o s t r a r q u e l a r e c t a r : x = 0y = tz = t ∞
< t <∞
a ) p e r t e n e c e a l p l a n o π1 : 6x + 4y − 4z = 0 :∀t 6 · 0 + 4t − 4t = 0 ⇒ r ⊂ π1.
b ) e s p a r a l e l a a l p l a n o π2 : 5x − 3y + 3z = 1y e s t á p o r a b a j o d e é s t e :
π2 ∩ r = ∅p o r q u é
∀t 5 · 0 − 3t + 3t = 0 = 1,e n t o n c e s
re s p a r a l e l a a
π2.A d e m á s O = (0, 0, 0) ∈ r y e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e π2 c o n e l e j e z e s
(0, 0, 13
).c ) e s p a r a l e l a a l p l a n o π3 : 6x + 2y − 2z = 1
y e s t á p o r a r r i b a d e é s t e :
π3 ∩ r = ∅p o r q u é
∀t 6 · 0 + 2t − 2t = 0 = 1,e n t o n c e s
re s p a r a l e l a a
π3.A d e m á s
O = (0, 0, 0) ∈ ry e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e
π3 c o n e l e j e z
e s
(0, 0, −12 ).
1 3 . E n c o n t r a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π1 q u e p a s a p o r e l p u n t o P =(3, −6, 7) y e s p a r a l e l o a l p l a n o π2 : 5x − 2y + z − 5 = 0.
L a d i r e c c i ó n n o r m a l ( o r t o g o n a l ) a l p l a n o π1 e s t á d a d a p o r e l v e c t o r
n1 =(5, −2, 1).
L a e c u a c i ó n d e l p l a n o π2 e n f o r m a p u n t o - n o r m a l e s : 5(x − 3) − 2(y +6)+(z − 7)
y e n f o r m a g e n e r a l : 5x − 2y + z − 34 = 0.
1 4 . D e m o s t r a r q u e l a s r e c t a s
r1 :
x − 3 = 4ty − 4 = tz − 1 = 0
∞ < t < ∞y r2 :
x + 1 = 12sy − 7 = 6sz − 5 = 3s
, ∞ < s < ∞
s e c o r t a n y e n c o n t r a r e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n .
r1 :
x = 3 + 4ty = 4 + t
z = 1∞ < t < ∞
y r2 :
x = −1 + 12sy = 7 + 6sz = 5 + 3s
, ∞ < s < ∞
T e n e m o s q u e e n c o n t r a r d o s v a l o r e s d e t y s t a l e s q u e
3 + 4t = −1 + 12s4 + t = 7 + 6s1 = 5 + 3s
.
E s t o s v a l o r e s s o n s = −4
3 y t = −5.
E l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n e s P =
(−17, −1, 1).
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Á l g e b r a 3 1 3
1 5 . H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π q u e c o n t i e n e l a s r e c t a s d e l e j e r c i c i o
1 5 .
E l p l a n o π t i e n e q u e p a s a r p o r e l p u n t o P = (−17, −1, 1) y s e r p a r a l e l o
a r1 y a
r2.S i n = (a,b,c) e s l a d i r e c c i ó n o r t o g o n a l a l p l a n o π, s e o b t i e n e q u e
π : a(x +17)+ b(y +1)+ c(z −1) = 0, d o n d e
n ·(4, 1, 0) = n ·(12, 6, 3) = 0,s i e n d o (4, 1, 0) y (12, 6, 3) d o s v e c t o r e s p a r a l e l o s a l a s r e c t a s r1 y r2, r e s p e c -
t i v a m e n t e .
L a r e l a c i o n e s n · (4, 1, 0) = n · (12, 6, 3) = 0 i m p l i c a n q u e 4a + b = 0 y
12a+6b+3c = 0. T o d o s l o s v e c t o r e s n = (a, −4a, 4a), ∞ < a < ∞, a = 0,s e r á n o r t o g o n a l e s a l a s d o s r e c t a s d a d a s . E n t o n c e s , π : (x +17) − 4(y + 1 ) +
4(z − 1) = x − 4y + 4z + 9 = 0.
1 6 . D e m o s t r a r q u e s i v e s u n v e c t o r d i f e r e n t e d e c e r o e n Rn, e n t o n c e s
vv
t i e n e l a n o r m a e u c l í d e a 1 .
U t i l i z a n d o u n a d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a n o r m a e u c l í d e a :
v
v = | 1
v | v = v v = 1.
1 7 . ¾ P a r a q u é v a l o r e s d e k s e c u m p l e q u e u y v s o n o r t o g o n a l e s ?
a ) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k).
u · v = 2 + 7 + 3k = 9 + 3k = 0 ⇐⇒ k = −3.b )
u = (k,k, 1), v = (k, 5, 6).u · v = k2 + 5k + 6 = 0 ⇐⇒ k = −2 o k = −3.
1 8 . D e m o s t r a r l a i d e n t i d a d u + v2 + u − v2 = 2u2 + 2v2
p a r a
v e c t o r e s e n Rn. I n t e r p r e t a r g e o m é t r i c a m e n t e e s t e r e s u l t a d o e n
R2.
E l r e s u l t a d o e s u n a c o n s e c u e n c i a i n m e d i a t a d e l a s s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s :
u + v
2 = (u + v)
·(u + v) = u
·u + u
·v + v
·u + v
·v =
u
2 +
v
2
u − v2 = (u − v) · (u − v) = u · u − u · v − v · u + v · v = u2 + v2E n
R2, u t i l i z a n d o l a r e g l a d e l p a r a l e l o g r a m o p a r a d e t e r m i n a r e l v e c t o r
u + v,l a i d e n t i d a d
u + v2 + u − v2 = 2u2 + 2v2s e p u e d e i n t e r p r e t a r
c o m o : l a s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e l a s l o n g i t u d e s d e l a s d i a g o n a l e s d e u n
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3 1 4 Á l g e b r a
p a r a l e l o g r a m o e s i g u a l a l a s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e l a s l o n g i t u d e s d e s u s
l a d o s .
1 9 . D e m o s t r a r q u e s i u y v s o n v e c t o r e s o r t o g o n a l e s e n Rn
t a l e s q u e
u = 1y
v = 1, e n t o n c e s
d(u, v) =√
2.I n t e r p r e t a r g e o m é t r i c a m e n t e e s t e
r e s u l t a d o e n R2.
d2(u, v) = u − v2 = (u − v) · (u − v) = u · u − u · v − v · u + v · v == u2 + v2 = 2 =⇒ d(u, v) =
√ 2.
E n R2
e s t e r e s u l t a d o e s u n a a p l i c a c i ó n d e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s a l t r i á n -
g u l o r e c t á n g u l o d e l a d o s u n i t a r i o s u y v.2 0 . S e a (
F (R,R), +, ◦) e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e l a s f u n c i o n e s d e R
e n R.
D e t e r m i n a r s i l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s s o n o n o s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e
F (R,R) :a )
{f ∈ F (R,R) |∀x ∈ R f (x) = f (−x)} .b )
{f ∈ F (R,R) | f (1) = 0} .c )
{f ∈ F (R,R) | f (2) = f (3)} .
a ) H = {f ∈ F (R,R) |∀x ∈ R f (x) = f (−x)} . S í e s s u b e s p a c i o v e c t o r i a l ,
p u e s o b v i a m e n t e l a f u n c i ó n n u l a 0 ∈ H, p u e s ∀x ∈ R 0(x) = 0 = 0(−x) , y
s i f, g∈H y α, β ∈ R, (αf + βg)(x) = αf (x) + βg(x) =( p u e s t o q u e f, g∈H )
= αf (−x) + βg(−x) = (αf + βg)(−x).b )
H = {f ∈ F (R,R) | f (1) = 0} .S í e s s u b e s p a c i o v e c t o r i a l , p u e s o b -
v i a m e n t e l a f u n c i ó n n u l a 0 ∈ H, p u e s 0(1) = 0 , y s i f, g∈H y α, β ∈R, (αf + βg)(1) = αf (1) + βg(1) =
( p u e s t o q u e
f, g∈H ) = α0 + β 0 = 0.c ) H = {f ∈ F (R,R) | f (2) = f (3)} . S í e s s u b e s p a c i o v e c t o r i a l , p u e s o b -
v i a m e n t e l a f u n c i ó n n u l a 0 ∈ H, p u e s 0(2) = 0 = 0(3) , y s i f, g∈H y
α, β ∈ R, (αf + βg)(2) = αf (2) + βg(2) = ( p u e s t o q u e f, g∈H ) = αf (3) +βg(3) = (αf + βg)(3).
2 1 . D e m o s t r a r q u e e l s u b c o n j u n t o H f o r m a d o p o r t o d a s l a s n − tuplasd e n ú m e r o s r e a l e s t a l e s q u e l o s e l e m e n t o s d e c a d a n − tupla f o r m a n u n a
p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a , e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e Rn.
S i (a1,....,an) ∈ H, l o s e l e m e n t o s a1,....,an e s t á n e n p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a .
P o r c o n s i g u i e n t e , s i e n d o d
l a r a z ó n d e l a p r o g r e s i ó n ,
(a1, a2,....,an) = (a1, a1 + d,....,a1 + (n − 1)d)
O b v i a m e n t e (0, 0,..., 0) ∈ H
( p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a d e r a z ó n d = 0,
y
c u y o p r i m e r e l e m e n t o e s e l 0).
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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Á l g e b r a 3 1 5
S e a n (a1, a1 + d,....,a1 + (n − 1)d), (b1, b1 + d,....,b1 + (n − 1)d) ∈ H y
α, β ∈R
.E n e s e c a s o
α(a1, a1 + d,....,a1 + (n − 1)d) + β (b1, b1 + d,....,b1 + (n − 1)d) =
= (αa1 + βb1, (αa1 + βb1) + αd + βd, ...., (αa1 + βb1) + α(n − 1)d +
+ β (n − 1)d).
E s d e c i r , e s u n e l e m e n t o d e H, p u e s t o q u e e s u n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a d e
r a z ó n αd + βdy c u y o p r i m e r e l e m e n t o e s αa1 + βb1 .
2 2 . S e d i c e q u e A ∈ M n(K) e s s i m é t r i c a s i
tA = A. S i d e n o t a m o s p o r
S n(K) a l c o n j u n t o d e l a s m a t r i c e s s i m é t r i c a s d e o r d e n n, d e m o s t r a r q u e S n(K)e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e M n(K).
V e á m o s l o u s a n d o l a o t r a c a r a c t e r i z a c i ó n d e l o s s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s :
O b v i a m e n t e l a m a t r i z (0) e s s i m é t r i c a , p u e s
t(0) = (0), l u e g o (0) ∈ S n(K).
P o r o t r a p a r t e , s i A, B ∈ S n(K), s e v e r i c a q u e
t(A) = A y
t(B) = B.P e r o
t(A + B) =t (A) +t (B) = A + B y , e n c o n s e c u e n c i a , A + B ∈ S n(K),y s i A ∈ S n(K) y α ∈ K, t(αA) = αt(A) = αA.
R e c o r d e m o s q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s a n t i s i m é t r i c a s i
tA = −A.¾ C o n s t i t u y e n l a s m a t r i c e s a n t i s i m é t r i c a s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e M n(K)?
J u s t i f í q u e s e l a r e s p u e s t a .
V e a m o s q u e s i : (0) e s a n t i s i m é t r i c a , p u e s
t(0) = (0) = −(0). S i A, Bs o n a n t i s i m é t r i c a s
t(A) =−
A y
t(B) =−
B, c o n l o q u e
t(A + B) =t (A) +t
(B) = −A + (−B) = −(A + B), y s i A e s a n t i s i m é t r i c a y α ∈ K, e n t o n c e s
t(αA) = αt(A) = α(−A) = −(αA).
2 3 . E n R4
s e c o n s i d e r a e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l H = L(A) g e n e r a d o p o r e l
c o n j u n t o A d e v e c t o r e s A = {(1, −1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (2, −1, 1, 0), (3, −3, 0, 0)}.¾ P e r t e n e c e e l v e c t o r (1, 1, 1, 0) a l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l H ?
C o m o h e m o s v i s t o , e x i s t e n v a r i a s f o r m a s d e r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a . L a
m á s d i r e c t a e s u t i l i z a r e l m é t o d o d e G a u s s :
c o n s i d e r e m o s l a m a t r i z d e c o o r d e n a d a s d e l o s 5 v e c t o r e s a n t e r i o r e s r e s p e c -
t o d e l a b a s e c a n ó n i c a , y m e d i a n t e t r a n s f o r m a c i o n e s p o r c o l u m n a o b t e n e m o s
u n a m a t r i z g a u s s i a n a : 1 0 2 3 1
−1 1 −1 −3 10 1 1 0 10 0 0 0 0
c3 = c3 − 2c1c4 = c4 − 3c1c5 = c5 − c1
→
1 0 0 0 0
−1 1 1 0 20 1 1 0 10 0 0 0 0
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3 1 6 Á l g e b r a
c3 = c3−
c2c5 = c5 − 2c1 →
1 0 0 0 0
−1 1 0 0 0
0 1 0 0 −10 0 0 0 0
C o m o p u e d e o b s e r v a r s e , l a m a t r i z e s g a u s s i a n a , c o n l o q u e s u r a n g o e s 3 .
S i n e m b a r g o , e l r a n g o c o r r e s p o n d i e n t e a l a m a t r i z f o r m a d a p o r l a s 4 p r i m e r a s
l a s e s 2 , c o n l o q u e l o s v e c t o r e s c o l u m n a c1, c2 y c5 c o n s t i t u y e n u n s i s t e m a
l i b r e . E l v e c t o r (1, 1, 1, 0)
n o p e r t e n e c e a l s u b e s p a c i o H.
2 4 . E n e l R − e.v. R3
c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l h a b i t u a l
d e t e r m i n a r s i l o s s i s t e m a s d e v e c t o r e s
(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) y (1, 2, 3), (2, 0, 1), (
−1, 2, 2)
s o n l i b r e s o l i g a d o s .
C o m o e n e l p r o b l e m a a n t e r i o r , h a y v a r i a s f o r m a s d e r e s o l v e r l o . L a m á s
s e n c i l l a e s u t i l i z a r e l m é t o d o d e G a u s s , p e r o l o v a m o s a h a c e r d e d o s f o r m a s
d i s t i n t a s :
a ) M o d o 1 ) : S e a n α,β,γ ∈ R
t a l e s q u e
α(1, 1, 1) + β (1, 1, 0) + γ (1, 0, 0) = (0, 0, 0).
E n e s e c a s o
(α + β + γ, α + β, α) = (0, 0, 0),d e d o n d e , r e s o l v i e n d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s , α = 0, β = 0, γ = 0. E s d e c i r ,
e l s i s t e m a { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}
e s l i b r e .
M o d o 2 ) : C o n s i d e r a m o s l a m a t r i z c u y a s c o l u m n a s s o n l a s c o o r d e n a d a s
d e l o s v e c t o r e s r e s p e c t o d e u n a b a s e d e l e s p a c i o v e c t o r i a l c o n s i d e r a d o ( e n
e s t e c a s o l a b a s e c a n ó n i c a d e R3) y h a l l a m o s e l r a n g o d e e s a m a t r i z . S i e l
r a n g o d e l a m a t r í z c o i n c i d e c o n e l n ú m e r o d e v e c t o r e s , e l s i s t e m a e s l i b r e . S i
a l h a c e r t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s o b t e n e m o s u n a c o l u m n a
d e c e r o s , e l v e c t o r c o r r e s p o n d i e n t e a e s a c o l u m n a s e p u e d e e x p r e s a r c o m o
c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s a n t e r i o r e s y e l s i s t e m a e s l i g a d o . E n n u e s t r o c a s o : 1 1 11 1 01 0 0
e s l a m a t r i z . E s t á c l a r o q u e e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a . P o r
c o n s i g u i e n t e e l r a n g o e s 3 , y e l s i s t e m a d e v e c t o r e s e s l i b r e .
b ) L o h a c e m o s d e l s e g u n d o m o d o :
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Á l g e b r a 3 1 7
1 2 −12 0 23 1 2 ; p u e s t o q u e n o e s g a u s s i a n a , l a c o n v e r t i m o s e n g a u s s i a n a
r e a l i z a n d o t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s : 1 2 −12 0 23 1 2
c3 = c3 − c1 → 1 2 −2
2 0 03 1 −1
c3 = c3 + c2 → 1 2 02 0 03 1 0
E s t á c l a r o q u e e l r a n g o d e l s i s t e m a d e v e c t o r e s e s 2 , y q u e e l c o r r e s -
p o n d i e n t e a l a ú l t i m a c o l u m n a s e e x p r e s a c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s
c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s d o s p r i m e r a s . P o r c o n s i g u i e n t e e l s i s t e m a e s l i g a d o .
2 5 . C o n s i d e r a m o s e l Z2− e s p a c i o v e c t o r i a l d e l o s b y t e s (
Z82, +, ·) c o n l a
s u m a y p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s y a d e n i d o s . S e p i d e d e t e r m i n a r s i e l s i s t e m a
d e v e c t o r e s
(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)
e s l i b r e o l i g a d o y h a l l a r e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l g e n e r a d o p o r e l c o n j u n t o d e
e s o s d o s v e c t o r e s .
E s o b v i o q u e e l s i s t e m a e s l i b r e , p u e s n i n g u n o d e l o s d o s v e c t o r e s q u e c o n s -
t i t u y e n e l s i s t e m a s e p u e d e e x p r e s a r e n f u n c i ó n d e l o t r o ( c o m o c o m b i n a c i ó n
l i n e a l d e l m i s m o ) . D e o t r o m o d o , s i α, β ∈Z2 s o n t a l e s q u e
α(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0) + β (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
t e n d r e m o s q u e
(α, 0, 0, 0,α,α,α, 0) + (0, β , β , β , β , β , β , 0) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
d e d o n d e α = β = 0.E l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l g e n e r a d o p o r e s t o s v e c t o r e s e s
H =
{(x1,...,x8)
∈Z82
|∃α, β ∈ Z2..(x1,...,x8) = α(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0) + β (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)}.
2 6 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 4(C)
d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o
i g u a l q u e 4 c o n c o e c i e n t e s e n C
s e c o n s i d e r a e l p o l i n o m i o p(x) = x4−x2 + 2.
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3 1 8 Á l g e b r a
D e m o s t r a r q u e e l s i s t e m a p(x), p(x), p(x), p(x) f o r m a d o p o r e l p o l i n o m i o
p(x)y s u s s u c e s i v a s d e r i v a d a s ( h a s t a l a t e r c e r a ) e s u n s i s t e m a l i b r e .
L o h a c e m o s p o r e l m é t o d o d e G a u s s :
p(x) = 4x3 − 2x, p(x) = 12x2 − 2, p(x) = 24xS i e n d o B = {1, x , x2, x3, x4}, l a m a t r i z d e c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s d e l
s i s t e m a c o n s i d e r a d o e s 2 0 −2 00 −2 0 24
−1 0 12 00 4 0 01 0 0 0
; l a m a t r i z e s g a u s s i a n a , y p o r c o n s i g u i e n t e s u
r a n g o e s i g u a l a l n ú m e r o d e v e c t o r e s c o l u m n a n o n u l o s , e s d e c i r , 4. P o r t a n t o
u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o
H = L{ p(x), p(x), p(x), p(x)} e s
{ p(x), p(x), p(x), p(x)},
c o n l o q u e e l s i s t e m a { p(x), p(x), p(x), p(x)} e s l i b r e .
2 7 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l F (N,R) d e l a s s u c e s i o n e s d e n ú m e r o s r e a l e s ,
c o n l a s u m a y p r o d u c t o h a b i t u a l e s , c o n s i d e r a m o s e l c o n j u n t o
H = {(xn) ∈ F (N,R) |∀n ∈ N xn+2 = xn+1 + xn}
a ) D e m o s t r a r q u e H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e
F (N,R).
b ) C o m p r o b a r q u e dim(H ) = 2.a )
i)E v i d e n t e m e n t e l a s u c e s i ó n n u l a
(0) ∈ H,p u e s l a r e l a c i ó n
xn+2 =xn+1 + xn s e t r a d u c i r í a e n e s t e c a s o e n q u e 0 = 0 + 0, l o c u a l e s c i e r t o .
ii) S i (xn), (yn) ∈ H, t e n d r e m o s q u e
xn+2 = xn+1 + xn
yn+2 = yn+1 + yn
c o n l o q u e xn+2 + yn+2 = (xn+1 + yn+1) + (xn + yn),
e s d e c i r , l a s u c e s i ó n
(xn) + (yn) ∈ H.iii) F i n a l m e n t e , s i (xn) ∈ H y α ∈ R, v a m o s a v e r q u e α(xn) ∈ H :p u e s t o q u e
(xn) ∈ H, xn+2 = xn+1 + xn y e n c o n s e c u e n c i a , m u l t i p l i c a n d o
l o s d o s m i e m b r o s d e l a i g u a l d a d p o r α, αxn+2 = αxn+1 + αxn , e s d e c i r , l a
s u c e s i ó n
(αxn) = α(xn) ∈ H.b ) P a r a r e s o l v e r e s t e a p a r t a d o l o q u e h a y q u e t e n e r e n c u e n t a e s : s i l a
s u c e s i ó n (xn) ∈ H, ¾ c u á n t o s p a r á m e t r o s m e d e t e r m i n a n l a s u c e s i ó n ? . E s
o b v i o q u e s i ∀n ∈ N xn+2 = xn+1 + xn,
c o n o c i d o s x1 y
x2,l a s u c e s i ó n q u e d a
c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a , p u e s x3 = x1 + x2,....
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Á l g e b r a 3 1 9
L u e g o s i c o n s i d e r a m o s l a s s u c e s i o n e s d e (xn), (yn) ∈ H q u e s a t i s f a c e n l a s
c o n d i c i o n e s x1
= 1x2 = 0 , y y
1= 0
y2 = 1 , d a d a c u a l q u i e r s u c e s i ó n (z n) ∈ H , s i z 1 = αz 2 = β
, r e s u l t a q u e
z 1 = αx1 + βy1
z 2 = αx2 + βy2, y , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e e s o s
d o s v a l o r e s d e t e r m i n a n l a s u c e s i ó n (z n) ∈ H, r e s u l t a q u e (z n) = α(xn) +β (yn).
P o r t a n t o {(xn), (yn)}
e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e H.
P o r o t r a p a r t e ,
e s i n m e d i a t o q u e e s l i b r e , p u e s s i α(xn) + β (yn) = (0) ( s u c e s i ó n n u l a ) , e n
p a r t i c u l a r
αx1 + βy1 = 0αx2 + βy2 = 0
, d e d o n d e
α · 1 + β · 0 = 0α · 0 + β · 1 = 0
, e s d e c i r , α =
β = 0. P o r t a n t o ,
dim(H ) = 2.
2 8 . H a l l a r e l r a n g o d e l a s s i g u i e n t e s m a t r i c e s :
A =
1 3 22 1 10 2 0
, B =
1 3 0 2
−1 1 2 12 2 3 01 6 2 25 1 1 0
, C =
1 0 1 7 1 12 1 2 1 3 41 2 1 1 3 1
.
A =
1 3 22 1 1
0 2 0
c2 = c2 − 3c1c3 = c3
−2c1
1 0 02 −5 −3
0 2 0
E l r a n g o d e A e s
3 .
B =
1 3 0 2
−1 1 2 12 2 3 01 6 2 25 1 1 0
c2 = c2 + c1
c3 = c3 + 2c1c4 = c4 + c1
1 4 2 3
−1 0 0 02 4 7 21 7 4 35 6 11 5
c3 = c3 − 12
c2c4 = c4 − 3
4c2
1 4 0 0−1 0 0 02 4 5 −11 7 1
2−94
5 6 8 12
c4 = c4 + 15c3
1 4 0 0−1 0 0 02 4 5 01 7 1
2−4320
5 6 8 2110
E l r a n g o d e B
e s 4 .
C =
1 0 1 7 1 12 1 2 1 3 41 2 1 1 3 1
F 2 = F 2 − 2F 1F 3 = F 3 − F 1
1 0 1 7 1 10 1 0 −13 1 20 2 0 −6 2 0
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3 2 0 Á l g e b r a
F 3 = F 3−
2F 1 1 0 1 7 1 10 1 0
−13 1 2
0 0 0 20 0 −4 E l r a n g o d e C e s 3 .
2 9 . E n c o n t r a r u n a b a s e y h a l l a r l a d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o d e m a t r i c e s
t r i a n g u l a r e s s u p e r i o r m e n t e T n(K).T n(K) = { A = ( a ij )
∈ M n(K) | a ij = 0 s i j < i } .
P a r a t o d o s s = 1 , . . . , n y t = i , . . . , n , s e a E st ∈ M n(K) l a m a t r i z
d e n i d a p o r
E st =
0 s i (i, j) = (s, t)1
s i (i, j) = (s, t)
.
S e a B = {E st : s = 1, ..., n, t = s,...,n} . Q u e r e m o s v e r i c a r q u e B e s
u n a b a s e d e
T
n
(K
).B e s l i b r e y a q u e s i
s=1,...,n
t=s,...,n astE st = (0) ∈ M n(K)
, e n t o n c e s ,
p a r a t o d o i = 1 , . . . , n y j = i , . . . , n , s e v e r i c a q u e
s=1,...,n
t=s,...,n astE st(i, j) =
aijE ij(i, j) = aij = 0 .
B e s g e n e r a d o r y a q u e s i A = ( a st ) ∈ M n(K) , A =
s=1,...,n
t=s,...,n astE st.
P a r a t o d o s = 1 , . . . , n , e l n ú m e r o d e m a t r i c e s E st c o n t = s , . . . , n e s ( n - s + 1 ) ,
s e s i g u e q u e
e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e B e s n + ( n - 1 ) + ( n - 2 ) + . . . + 2 + 1 = n ( n + 1 ) / 2 .
3 0 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l Z52,
h a l l a r u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l
H = L({ 0 1 0 1 1 , 0 1 0 0 1 ,0 0 0 1 0
,
0 1 1 1 1}).
0 0 0 01 1 0 10 0 0 11 0 1 11 1 0 1
c2 = c2 + c1c4 = c4 + c1
0 0 0 01 0 0 00 0 0 11 1 1 01 0 0 0
c3 = c3 + c2
0 0 0 01 0 0 00 0 0 11 1 0 01 0 0 0
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Á l g e b r a 3 2 1
L a d i m e n s i ó n d e H e s 3 y u n a b a s e e s
B = { 0 1 0 1 1 , 0 1 0 0 1 , 0 1 1 1 1 }3 1 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l
R3, h a l l a r u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l
H = L({(3, 2, −1), (1, 1, 1), (4, 3, 0)}). 3 1 42 1 3
−1 1 0
c3 = c3 − c1
3 1 12 1 1
−1 1 1
c3 = c3 − c2
3 1 02 1 0
−1 1 0
c2 = c2 + c1 3 4 02 3 0
−1 0 0
.
E n t o n c e s l a d i m e n s i ó n d e H e s 2 y u n a b a s e e s B = {(3, 2, −1), (1, 1, 1)}.
7 . 3 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 3
1 . R a z o n a r s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s s o n o n o l i n e a l e s ( e n c a d a u n o d e
l o s c o n j u n t o s c o n s i d e r a d o s s e c o n s i d e r a s u e s t r u c t u r a h a b i t u a l d e e s p a c i o
v e c t o r i a l ) :
a) f : R3 → R
(x,y,z ) x + 2y − 3z b) f : R3 → R
(x,y,z ) xyz
c) f : R2 → R
(x, y) x2 + y
U n i c a m e n t e e s l i n e a l l a d e l a p a r t a d o
a).L a d e l a p a r t a d o
b)n o p u e s t o
q u e , p o r e j e m p l o , f ((1, 1, 1) + (1, 1, 1)) = f (2, 2, 2) = 2 · 2 · 2 = 8,
m i e n t r a s
q u e f (1, 1, 1) + f (1, 1, 1) = 1 · 1 · 1 + 1 · 1 · 1 = 2.L a d e l a p a r t a d o
c)n o e s l i n e a l p u e s p o r e j e m p l o ,
f (2·(1, 1, 1)) = f (2, 2, 2) =6, m i e n t r a s q u e 2 · f (1, 1, 1) = 2(12 + 1) = 4.
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3 2 2 Á l g e b r a
2 . D a d a l a f u n c i ó n l i n e a l f : R2 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s
f (1, 0) = (3, 4, 1), f (0, 1) = (−1, 0, 1),
d e t e r m i n a r f (3, 1)y f (2, −1).
(3, 1) = 3(1, 0) + 1(0, 1), l u e g o , p u e s t o q u e f e s l i n e a l ,
f (3, 1) = f (3(1, 0) + 1(0, 1)) =
= 3f (1, 0) + f (0, 1) = 3(3, 4, 1) + (−1, 0, 1) =
= (9, 12, 3) + (−1, 0, 1) = (8, 12, 4).
A n á l o g a m e n t e , p u e s t o q u e (2, −1) = 2(1, 0) + (−1)(0, 1) ,
f (2, −1) = f (2(1, 0) + (−1)(0, 1)) =
= 2f (1, 0) + (−1)f (0, 1) = 2(3, 4, 1) + (1, 0, −1) =
= (6, 8, 2) + (1, 0, −1) = (7, 8, 1).
3 . D e t e r m i n a r s i l a f u n c i ó n T : M 2(R) → R, d o n d e
a ) T a b
c d = 3a
−4b + c
−d
b ) T
a bc d
= a2 + b2
e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l .
a ) S e a n k, l ∈ Ry A =
a1 b1c1 d1
, B =
a2 b2c2 d2
∈ M 2(R).
T
k
a1 b1c1 d1
+ l
a2 b2c2 d2
= T
ka1 + la2 kb1 + lb2kc1 + lc2 kd1 + ld2
=
= 3(ka1+la2)−4(kb1+lb2)+(kc1+lc2)−(kd1+ld2) = k(3a1−4b1+c1−d1)+
+l(3a2 − 4b2 + c2 − d2) = kT
a1 b1c1 d1
+ lT
a2 b2c2 d2
.E n t o n c e s
T
e s l i n e a l .
b ) S e a n k, l ∈ R
y A =
1 10 0
, B =
1 00 0
∈ M 2(R).
E n t o n c e s ,
T
1 10 0
+
1 00 0
= T
2 10 0
= 5
y
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Á l g e b r a 3 2 3
T 1 10 0 = 2, T
1 00 0 = 1.
T n o e s l i n e a l y a q u e T (A) + T (B) =
T (A + B).4 . S e a T : R2 → R2
e l o p e r a d o r l i n e a l d e n i d o p o r l a e x p r e s i ó n T (x, y) =(2x − y, −8x + 4y).
¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s e s t á n e n R(T )
?
a ) ( 1 , - 4 ) b ) ( 5 , 0 ) c ) ( - 3 , 1 2 )
T (x, y) = (2x − y, −4(2x − 4)).a ) T (0, 1) = (1, −4) ∈ R(T ).b )
(5, 0)n o p u e d e e s t a r e n
R(T )y a q u e
−4(5) = 0.c ) T (0, 3) = (−3, 12) ∈ R(T ).
5 . S e a
T :P2 →
P3
l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r
T ( p(x)) = xp(x).¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s e s t á n e n
Ker(T )?
a ) x3b ) 0 c ) 1 + x
a ) T (x3) = x4 = 0 → x3 /∈ Ker(T )b )
0 ∈ Ker(T )y a q u e
T e s l i n e a l .
c ) T (1 + x) = x + x2 = 0 → x3 /∈ Ker(T ).
6 . E n c a d a i n c i s o , u s a n d o l a i n f o r m a c i ó n p r o p o r c i o n a d a o b t e n e r l a n u -
l i d a d d e T .
a )
T : R5
→ R
7t i e n e r a n g o 3 , e n t o n c e s l a n u l i d a d d e T e s 5 - 3 = 2 .
b ) T : P4 → P3 t i e n e r a n g o 1 , e n t o n c e s l a n u l i d a d d e T e s 5 - 1 = 4 .
c ) T (R6) = R3,
e n t o n c e s l a n u l i d a d d e T e s 6 - 3 = 3 .
d ) T : M 2(R) → M 2(R) t i e n e r a n g o 3 , e n t o n c e s l a n u l i d a d d e T e s 4 - 3 = 1 .
7 . S e a T : R2 → R2l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e l a r e c t a y = x .
a ) E n c o n t r a r e l n ú c l e o d e T .
K e r ( T ) e s e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e R2
q u e t i e n e p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l
( 0 , 0 ) s o b r e l a r e c t a y = x . E n t o n c e s e s l a r e c t a y = - x .
b ) ¾ E s T u n o a u n o ? J u s t i c a r l a c o n c l u s i ó n .
T e s l i n e a l y s u n ú c l e o e s d i s t i n t o d e { 0 } , e n t o n c e s T n o e s i n y e c t i v a .
8 . E n c a d a i n c i s o , u s a n d o l a i n f o r m a c i ó n d a d a d e t e r m i n a r s i ( l a f u n c i ó n
l i n e a l ) T e s u n o a u n o .
a ) T : Rn → Rm; n u l i d a d ( T ) = 0 .
d i m ( K e r ( T ) ) = 0 , e n t o n c e s K e r ( T ) = { 0 } y T e s i n y e c t i v a .
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3 2 4 Á l g e b r a
b ) T : Rn → Rn; r a n g o ( T ) = n - 1 .
d i m ( K e r ( T ) ) = n - ( n - 1 ) = 1 , e n t o n c e s K e r ( T )
={ 0 } y T n o e s i n y e c t i v a .
c ) T : Rm → Rn; n < m .
Y a q u e r a n g o ( T ) ≤
n , d i m ( k e r ( T ) ) = m - r a n g o ( T ) m - n > 0 , e n t o n c e s
T n o e s i n y e c t i v a .
d ) T : Rn → Rn; R ( T ) =
Rn.
d i m ( k e r ( T ) ) = n - r a n g o ( T ) = n - n = 0 , e n t o n c e s K e r ( T ) = { 0 } y T e s
i n y e c t i v a .
9 . S e a T : P2 → P1 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r
T (a0 + a1x + a2x2) = (a0 + a1) − (2a1 + 3a2)x.
a ) E n c o n t r a r l a m a t r i z p a r a T c o n r e s p e c t o a l a s b a s e s B 2 = { 1 , x , x
2} y
B 1 = { 1 , x } p a r a P2 y
P1.
T ( 1 ) = 1 , T ( x ) = 1 - 2 x , T ( x
2) = - 3 x . L a m a t r i z a s o c i a d a a T e s
A =
1 1 00 −2 −3
.
b ) C o m p r o b a r q u e l a m a t r i z ( T ) B2,B1 = M B1B2
(T ) o b t e n i d a e n e l i n c i s o a )
s a t i s f a c e l a f ó r m u l a : A ( p ( x ) ) B2 = ( T ( p ( x ) ) ) B2.
A ( p ( x ) ) B2 =
1 1 00 −2 −3
a0a1a2
=
a0 + a1
−(2a1 + 3a2)
= ( T ( p ( x ) ) ) B2.
1 0 . S e a T 1 : P1
→P2 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r
T 1(c0 + c1x) = 2c0 − 3c1x
y s e a T 2 : P2 → P3 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r
T 2(c0 + c1x + c2x2) = 3x(c0 + c1x + c2x2).
S e a n B 1 = { 1 , x } , B 2 = { 1 , x , x
2} y B 3 = { 1 , x , x
2,x
3} .
a ) E n c o n t r a r M B1B3
(T 2 ◦ T 1), M B2B3
(T 2), M B1B2
(T 1).
T 2◦T 1(1) = 6x, T 2◦T 1(x) = −9x2. E n t o n c e s M B1
B3(T 2◦T 1) =
0 06 00 −9
0 0
.
T 2(1) = 3x, T 2(x) = 3x2, T 2(x2) = 3x3. E n t o n c e s M B2B3
(T 2) =
0 0 03 0 00 3 00 0 3
.
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Á l g e b r a 3 2 5
T 1(1) = 2, T 1(x) =−
3x. E n t o n c e s M B1
B2
(T 1) = 2 00
−3
0 0 .
b ) E s c r i b i r u n a f ó r m u l a q u e r e l a c i o n e l a s m a t r i c e s d e l i n c i s o a ) .
M B1B3
(T 2 ◦ T 1) = M B2B3
(T 2)M B1B2
(T 1).
c ) C o m p r o b a r q u e l a s m a t r i c e s d e l i n c i s o a ) s a t i s f a c e n l a f ó r m u l a p l a n -
t e a d a e n e l i n c i s o b ) .
M B2B3
(T 2)M B1B2
(T 1) =
0 0 03 0 00 3 00 0 3
2 00 −30 0
=
0 06 00 −90 0
=
= M B1B3
(T 2 ◦ T 1).
1 1 . S e a n A y B m a t r i c e s s e m e j a n t e s . D e m o s t r a r l o s i g u i e n t e :
a ) A
ty B
ts o n s e m e j a n t e s .
b ) S i A y B s o n i n v e r t i b l e s , e n t o n c e s A
−1y B
−1s o n s e m e j a n t e s .
P o r d e n i c i ó n d e r e l a c i ó n d e s e m e j a n z a , e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P t a l
q u e
B = P
−1A P .
a ) B
t= ( P
−1A P )
t= ( A P )
t( P
−1)
t= P
tA
t( P
−1)
t= P
tA
t( P
t)
−1
( u t i l i z a n d o l a p r o p i e d a d e s d e l a t r a n p o s i c i ó n v i s t a s a n t e r i o r m e n t e ) . Y a q u e
P
te s i n v e r t i b l e , A
ty B
ts o n s e m e j a n t e s .
b ) B
−1= ( P
−1A P )
−1= ( A P )
−1( P
−1)
−1= P
−1A
−1P . E n t o n c e s A
−1
y B
−1s o n s e m e j a n t e s .
1 2 . ( T e o r e m a a l t e r n a t i v o d e F r e d h o l m ) S e a T : V →
V u n o p e r a d o r
l i n e a l s o b r e u n e s p a c i o v e c t o r i a l n d i m e n s i o n a l . D e m o s t r a r q u e s e c u m p l e
e x a c t a m e n t e u n a d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s :
i ) L a e c u a c i ó n T ( x ) = b t i e n e u n a s o l u c i ó n p a r a t o d o l o s v e c t o r e s b e n
V .
i i ) N u l i d a d d e T > 0 .
S i n o s e v e r i c a i ) , e n t o n c e s e x i s t e u n v e c t o r b e n V t a l q u e b n o a p a r t e n e c e
a l i m a g e n d e l a f u n c i ó n l i n e a l T . E n t o n c e s e l r a n g o d e T e s e s t r i c t a m e n t e
m e n o r q u e n , R a n g o ( T ) < n , y N u l i d a d ( T ) = n - R a n g o ( T ) > n - n = 0 .
1 3 . S e a l a f u n c i ó n l i n e a l f : R4 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s
f (1, 1, 1, 1) = (0, 0, 1), f (1, 0, 1, 0) = (1, 1, −1),
f (1, 1, 1, 0) = (0, 0, −1), f (−1, −2, 0, 0) = (1, 1, 1).
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3 2 6 Á l g e b r a
a ) H a l l a r l a m a t r i z a s o c i a d a a f r e s p e c t o d e l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e R4
y
R3
.b ) L a d i m e n s i ó n y l a s e c u a c i o n e s d e Ker(f ) e Im(f ) r e s p e c t o d e l a s b a s e s
c a n ó n i c a s d e R4
y R3.
a ) E l p r i m e r a p a r t a d o s e p u e d e h a c e r d e v a r i a s m a n e r a s . L a m a t r i z p e d i -
d a , M B4B3
(f ) e s l a q u e t i e n e p o r c o l u m n a s l a s (f (1, 0, 0, 0))B3,..., (f (0, 0, 0, 1))B3 .
P o r t a n t o n e c e s i t a m o s h a l l a r f (1, 0, 0, 0),...,f (0, 0, 0, 1). P a r a c a l c u l a r e s a s
i m á g e n e s , p o d e m o s e s c r i b i r l o s v e c t o r e s d e B4 c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s
v e c t o r e s q u e d e n e n f y d e s p u é s h a l l a r f (B4), o b i e n u t i l i z a r l a s m a t r i c e s
d e c a m b i o d e b a s e s e g ú n v i m o s e n l a p i z a r r a . L o h a c e m o s p o r e s t e s e g u n d o
p r o c e d i m i e n t o .
S i e n d o B ={
(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (−
1.−
2, 0, 0)}
u n a b a s e d e
R4,
M BB3(f ) =
0 0 1 10 0 1 11 −1 −1 1
C o m o l a m a t r i z q u e b u s c a m o s e s M B4
B3(f ), d i c h a m a t r i z s e o b t i e n e c o n s i -
d e r a n d o e l e s q u e m a :
B4 IdR
4 B f B3
R4
−→R4
−→R3 ,
c o n l o q u e M B4B3
(f ) = M B4B3
(f ◦ IdR
4) = M BB3(f ) · M B4
B (IdR
4). N e c e s i t a m o s ,
p u e s , h a l l a r M B4B (Id
R
4). P a r a e l l o , h a y q u e o b t e n e r l a s c o o r d e n a d a s d e l o s
v e c t o r e s d e l a b a s e c a n ó n i c a B4 r e s p e c t o d e B.
D e m a n e r a d i r e c t a , M BB4(Id
R
4) =
1 1 1 −11 1 0 −21 1 1 01 0 0 0
. S e g ú n s a b e m o s ,
M B4B (Id
R
4) = M BB4(Id
R
4)−1
. P o r l o t a n t o h a y q u e c a l c u l a r l a i n v e r s a d e l a
m a t r i z a n t e r i o r . 1 1 1 −11 1 0 −21 1 1 01 0 0 0
10 0 0
0 1 0 0
0 0 1
0
0 0 0 1
F 1 ←→ F 4
1 0 0 01 1 0 −21 1 1 01 1 1 −1
00 0 1
0 1 0 0
0 0 1
0
1 0 0 0
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Á l g e b r a 3 2 7
F 2 = F 2 − F 1
F 3 = F 3 − F 1F 4 = F 4 − F 1
1 0 0 00 1 0
−2
0 1 1 00 1 1 −1
00 0 1
0 1 0 - 1
0 0 1 - 1
1 0 0 −1
F 3 = F 3 − F 2F 4 = F 4 − F 2
1 0 0 00 1 0 −20 0 1 20 0 1 1
00 0 1
0 1 0 - 1
0 - 1 1 0
1 - 1 0 0
F 4 = F 4 − F 3
1 0 0 00 1 0 −20 0 1 20 0 0
−1
00 0 1
0 1 0 - 1
0 - 1 1
0
1 0 - 1 0
F 2 = F 2 − 2F 4F 3 = F 3 + 2F 4
F 4 = −F 41 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
00 0 1
- 2 1 2 - 1
2 - 1 - 1
0
- 1 0 1 0
E s d e c i r , M B4B (Id
R
4) =
M BB4(Id
R
4)−1
=
0 0 0 1
−2 1 2 −12 −1 −1 0
−1 0 1 0
, c o n l o
q u e l a m a t r i z b u s c a d a e s M B4B3
(f ) = M BB3(f ) · M B4
B (IdR
4) =
= 0 0 1 1
0 0 1 11 −1 −1 1
0 0 0 1−2 1 2 −12 −1 −1 0
−1 0 1 0
= 1 −1 0 0
1 −1 0 0−1 0 0 2
.
b ) U t i l i z a n d o e l a l g o r i t m o q u e v i m o s e n c l a s e :
1 - 1 0 0
1 - 1 0 0
−1 0 0 21
0 0 0
0 1 0 0
0 0 1
0
0 0 0 1
c4 =c4 + 2c1
1 - 1 0 2
1 - 1 0 2
−1 0 0 01
0 0 2
0 1 0 0
0 0 1
0
0 0 0 1
c4 =c4 − 2c2
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3 2 8 Á l g e b r a
1- 1
00
1 - 1 0 0
−1 0 0 01 0 0 2
0 1 0 - 2
0 0 1
0
0 0 0 1
o b t e n e m o s q u e , r e s p e c t o d e l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e
R4y R3, Ker(f ) =
L({(0, 0, 1, 0), (2, −2, 0, 1)}) e Im(f ) = L({(1, 1, −1), (−1, −1, 0)}), p o r t a n t o
l a d i m e n s i ó n d e Ker(f ) = 2
y l a d i m e n s i ó n d e Im(f ) =
2 .
E n t o n c e s , r e s p e c t o d e l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e R4
y R3
, l a s e c u a c i o n e s
p a r a m é t r i c a s d e Ker(f )
s o n :
u = (u1,u2,u3,u4) ∈ Ker(f ) ⇔ ∃ (a, b) ∈ R2t a l q u e
0 20 −21 00 1
ab
=
u1
u2
u3
u3
y l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e Im(f ) s o n :
v = (v1,v2,v3) ∈ Im(f ) ⇔ ∃ (a, b) ∈ R2t a l q u e
1 −11 −1−1 0
ab = v1v2
v3
.
1 4 . S e a E u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e d i m e n s i ó n 3
y B = {e1, e2, e3} u n a b a s e
d e E. C o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n l i n e a l f : E → E t a l q u e s u m a t r i z a s o c i a d a
s e a
M BB (f ) =
15 −11 520 −15 88 −7 6
.
H a l l a r l a m a t r i z a s o c i a d a a f r e s p e c t o d e l a b a s e B ={
u1, u
2, u
3}, d o n d e
u1 = 2e1 + 3e2 + e3,
u2 = 3e1 + 4e2 + e3,
u3 = e1 + 2e2 + 2e3.
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Á l g e b r a 3 2 9
L a m a t r i z d e f r e s p e c t o d e l a b a s e Be s l a m a t r i z a s o c i a d a a l a s i g u i e n t e
c o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s :
B IdE
B f B IdE
B
E −→ E −→ E −→ E
M B
B (f ) = M BB(IdE ) · M BB (f ) · M B
B (IdE ),
d o n d e
M B
B (IdE ) =
2 3 13 4 21 1 2
e s l a m a t r i z d e l a s c o o r d e n a d a s d e B
r e s p e c t o
d e
By
M BB(IdE ) = (M B
B (IdE ))−1 =
−6 5 −24 −3 11 −1 1
. E n t o n c e s ,
M B
B (f ) =
−6 5 −24 −3 11 −1 1
15 −11 520 −15 88 −7 6
2 3 13 4 21 1 2
=
=
1 0 00 2 00 0 3
.
1 5 . H a l l a r u n a b a s e d e l n ú c l e o y u n a b a s e d e l a i m a g e n d e l a s i g u i e n t e
f u n c i ó n l i n e a l :
f : R4 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s :
f (1, 0, 0, 0) = (1, 0, 1), f (0, 1, 0, 0) = (2, 1, −1),
f (0, 0, 1, 0) = (3, 0, −1), f (0, 0, 0, 1) = (1, 1, 1).
D e l a s c o n d i c i o n e s e n u n c i a d a s s e s i g u e q u e
M B4B3 (f ) = 1 2 3 1
0 1 0 11 −1 −1 1
U t i l i z a n d o e l m é t o d o d e s a r r o l l a d o e n e l a u l a ( h e i n c l u i d o t o d a s l a s t r a n s -
f o r m a c i o n e s p o r c o l u m n a s e n u n s o l o p a s o ) , t e n d r e m o s q u e :
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3 3 0 Á l g e b r a
1 2 3 10 1 0 11 −1 −1 11
11
1
c2 = c2 − 2c1c3 = c3 − 3c1c4 = c4 − c1c4 = c4 − c2c4 = c4 + 3
4c3
→
1 0 0 00 1 0 01 −3 −4 01 −2 −3 −5
4
1 −11 3
4
1
d e d o n d e
{(1, 0, 1), (0, 1, −3), (0, 0, −4)}e s u n a b a s e d e Im(f ) y (−5
4, −1, 3
4, 1)
e s u n a b a s e d e Ker(f ).1 6 . E n
R2s e c o n s i d e r a l a b a s e B = {u1, u2}, d o n d e
u1 = 2e1 + 3e2,
u2 = 3e1 + 4e2,
y B2 = {e1, e2} = {(1, 0), (0, 1)}. S i e n d o l a f u n c i ó n l i n e a l f : R2 → R2t a l
q u e s u m a t r i z a s o c i a d a r e s p e c t o d e Be s
M
B
B
(f ) = 3 15
2 10 ,
h a l l a r u n a b a s e d e Ker(f )
y u n a b a s e d e Im(f ).
E l a l g o r i t m o e s e l m i s m o q u e e l e m p l e a d o e n e l e j e r c i c i o 5, p e r o e n e s t e
c a s o t r a b a j a m o s c o n l a s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e B :
3 152 101
1
c2 = c2 − 5c1 →
3 02 01 −5
1
.
L u e g o , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a s c o o r d e n a d a s −5
1 y 3
2 e s t á n e x -
p r e s a d a s r e s p e c t o d e l a b a s e B = {u1, u2}, t e n d r e m o s q u e e l v e c t o r
w = −5u1 + u2 = −5(2e1 + 3e2) + 3e1 + 4e2 =
= −7e1 − 11e2
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Á l g e b r a 3 3 1
c o n s t i t u y e u n a b a s e d e Ker(f ), y
w = 3u1 + 2u2 = 3(2e1 + 3e2) + 2(3e1 + 4e2) == 12e1 + 17e2
c o n s t i t u y e u n a b a s e d e Im(f ). E n o t r a s p a l a b r a s , r e s p e c t o d e l a s c o o r d e n a d a s
c a n ó n i c a s d e R2
, {(−7, −11)}
e s u n a b a s e d e Ker(f )
y {(12, 17)}
e s u n a b a s e
d e Im(f ).
7 . 4 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 4
1 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o R3c o n e l p r o d u c t o e s c a l a r u s u a l s e c o n s i -
d e r a e l s i s t e m a d e v e c t o r e s
{(1, 2, −1), (0, 1, 1)}.
S e p i d e o b t e n e r , m e d i a n t e e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t , u n a b a s e o r t o n o r m a l
d e l s u b e s p a c i o
L({(1, 2, −1), (0, 1, 1)})
y l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l v e c t o r (1, 1, 1) s o b r e d i c h o s u b e s p a c i o .
S e a v1 = (1, 2, −1), v1 =√
1 + 4 + 1 =√
6 y s e a
v2 = (0, 1, 1) − (0, 1, 1), (1, 2, −1)6(1, 2, −1) =
= (0, 1, 1) − 1
6(1, 2, −1) = (−1
6,
2
3,
7
6),
v2 =
1
36+
16
36+
49
36=
11
6.
B = {w1 =v1
v1 , w2 =v2
v2} = {(1√
6,
2√ 6
,−1√
6), (
−1√ 66
,4√ 66
,7√ 66
)}
e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e H = L(
{(1, 2,
−1), (0, 1, 1)
}).
S e a u = ( 1 , 1 , 1 ) . L a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e u s o b r e H e s :
p⊥(u) = u, w1w1+u, w2w2 =2√
6w1 +
10√ 66
w2 = (2
11,
14
11,
59
11).
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3 3 2 Á l g e b r a
7 . 5 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 5
1 . O b t e n e r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a y u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e
p a r i d a d e x p u e s t o e n l o s a p u n t e s d e c l a s e .
E l c ó d i g o d e p a r i d a d e s l i n e a l y a q u e p u e d e n s e r d e s c r i t o c o m o e l c o n j u n t o
d e s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n l i n e a l h o m o g é n e a
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 0 c o n xi ∈ Z2
y e n c o n s e c u e n c i a d i c h o c o n j u n t o e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e Z82.
U n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o d e p a r i d a d e s l a m a t r i z
1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1
U n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e p a r i d a d e s
1 1 1 1 1 1 1 1
y a q u e s u d i m e n s i ó n e s 1 × 8 y C e s e l n ú c l e o d e l a f u n c i ó n l i n e a l
f (x1, x2, x3, x4, x5, x6,x7, x8) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8.2 . O b t e n e r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a y u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e
r e p e t i c i ó n e x p u e s t o e n l o s a p u n t e s d e c l a s e .
E l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n e s l i n e a l y a q u e p u e d e n s e r d e s c r i t o c o m o e l c o m o
e l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s :
x1 = x2
x2 = x3c o n
xi ∈ Z2
q u e e q u i v a l e a l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e a s : x1 + x2 = 0x2 + x3 = 0
c o n xi ∈ Z2.
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Á l g e b r a 3 3 3
U n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n C = { ( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 ) } e s :
111
U n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n e s l a m a t r i z a s o c i a d a a l
s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e a s a n t e r i o r : 1 1 00 1 1
.
3 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z g e n e r a d o r a
e s :
G =
1 1 11 0 01 0 11 1 1
.
1 1 1 1 0 0 01 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 01 1 1 0 0 0 1
F 2 = F 2 + F 1F 3 = F 3 + F 1F 4 = F 4 + F 1
F 1 = F 1 + F 2F 2 = F 2 + F 3F 2 ↔ F 3
→
1 0 0 0 1 0 00 1 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 1 00 0 0 1 0 0 1
L u e g o l a m a t r i z d e c o n t r o l e s l a m a t r i z
H =
1 0 0 1
.
4 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z d e c o n t r o l
e s :
H =
1 0 1 01 1 1 1
U n a p o s i b l e s o l u c i ó n e s :
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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3 3 4 Á l g e b r a
1 0 1 01 1 1 11 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
c3 = c3 + c1
1 0 0 01 1 0 11 0 1 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
c4 = c4 + c2
1 0 0 01 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 00 0 0 1
l u e g o l a s i g u i e n t e m a t r i z e s g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o
G =
1 00 11 0
0 1
,
y a q u e s u s c o l u m n a s f o r m a n u n a b a s e d e l n ú c l e o d e l a f u n c i ó n l i n e a l c u y a
m a t r i z a s o c i a d a e s H .
5 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l y u n a m a t r i z q u e p e r m i t a r e a l i z a r
l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o g e n e r a d o p o r l o s v e c t o r e s c u y a s c o o r d e n a d a s
r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a d e Z42 s o n l a s c o l u m n a s d e l a m a t r i z :
0 1 11 1 01 0 10 1 1
O b s é r v e s e q u e , p u e s t o q u e l a s c o l u m n a s d e l a m a t r i z f o r m a n u n s i s t e m a
l i g a d o , p u e s c3 = c1 + c2, y d a d o q u e l a m a t r i z f o r m a d a p o r l a s d o s p r i m e r a s
c o l u m n a s d e l a m a t r i z d a d a e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a s i n n i n g u n a c o l u m n a
n u l a , r e s u l t a q u e u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o e s l a m a t r i z f o r m a d a p o r
l a s d o s p r i m e r a s c o l u m n a s , e s t o e s :
G =
0 11 11 00 1
.
O p e r a n d o a h o r a c o n e l a l g o r i t m o e s t u d i a d o : 0 1 1 0 0 01 1 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1
F 2 = F 2 + F 1F 3 = F 3 + F 2F 4 = F 4 + F 1F 2 ↔ F 1
→
1 0 1 1 0 00 1 1 0 0 00 0 1 1 1 00 0 1 0 0 1
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Á l g e b r a 3 3 5
L u e g o l a m a t r i z d e c o n t r o l e s l a m a t r i z
H = 1 1 1 01 0 0 1
y l a m a t r i z q u e p e r m i t e r e a l i z a r l a d e c o d i c a c i ó n e s l a m a t r i z
T =
1 1 0 01 0 0 0
.
6 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l y u n a m a t r i z q u e p e r m i t a r e a l i z a r
l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z g e n e r a d o r a e s
G = 1 11 0
1 10 1
1 1 1 0 0 01 0 0 1 0 01 1 0 0 1 00 1 0 0 0 1
F 2 = F 2 + F 1F 3 = F 3 + F 1F 4 = F 4 + F 2F 1 = F 1 + F 2
→
1 0 0 1 0 00 1 1 1 0 00 0 1 0 1 00 0 1 1 0 1
L u e g o l a m a t r i z d e c o n t r o l e s l a m a t r i z
H = 1 0 1 01 1 0 1
y l a m a t r i z q u e p e r m i t e r e a l i z a r l a d e c o d i c a c i ó n e s l a m a t r i z
T =
0 1 0 01 1 0 0
.
7 . 6 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s
d e l c a p í t u l o 6
1 . D e t e r m i n a r l a s u c e s i ó n d e n i d a r e c u r s i v a m e n t e p o r l a s c o n d i c i o n e s an+2 = 7an+1 − 12an
a1 = 1a2 = 3.
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3 3 6 Á l g e b r a
L a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a d e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a h o m o g é n e a d a d a
e s
x2 − 7x + 12 = 0
c u y a s r a í c e s s o n x = 3 y x = 4. P o r c o n s i g u i e n t e , l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n
e s a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a s o n d e l a f o r m a :
α{3n} + β {4n}.
I m p o n i e n d o q u e s e s a t i s f a g a n l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s :
α3 + β 4 = 1α32 + β 42 = 3
d e d o n d e
3α + 4β = 19α + 16β = 3
, d e d o n d e β = 0
y α = 1
3,
c o n l o q u e l a s u c e s i ó n b u s c a d a e s
1
3{3n} = {3n−1}.
2 . E n c o n t r a r l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a
an+3 = 4an+2 − 5an+1 + 2an.
L a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a d e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a h o m o g é n e a d a d a
e s
x3 − 4x2 + 5x − 2 = 0
e c u a c i ó n q u e s e p u e d e e x p r e s a r d e l a f o r m a (x − 2) (x − 1)2 = 0 y q u e p o r
t a n t o t i e n e u n a r a i z x = 1 d e m u l t i p l i c i d a d 2 y o t r a r a i z x = 2 d e m u l -
t i p l i c i d a d 1. P o r c o n s i g u i e n t e , l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n e s a r e l a c i ó n d e
r e c u r r e n c i a s o n d e l a f o r m a :
α{1n} + β {n1n} + γ {2n}.
3 . E n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l
D2(f ) − 7D(f ) + 12f = e−t.
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Á l g e b r a 3 3 7
L a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l h o m o g é n e a a s o c i a d a
a l a e c u a c i ó n d a d a e s :
x2 − 7x + 12 = 0
e c u a c i ó n q u e s e p u e d e e x p r e s a r d e l a f o r m a (x − 3) (x − 4) = 0. P o r c o n s i -
g u i e n t e , u n a b a s e d e l e s p a c i o d e s o l u c i o n e s
Ker(D2 − 7D + 12Id) = Ker((D − 3Id) ◦ (D − 4Id))
d e d i c h a e c u a c i ó n h o m o g é n e a s e r á
{e3t, e4t}.
C o m o p o r o t r a p a r t e e l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e e s s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n
(D + Id)(f ) = 0 ⇔ D(f ) + f = 0
p o d e m o s o b t e n e r u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r p o r e l m é t o d o d e l o s c o e c i e n t e s
i n d e t e r m i n a d o s : L a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n d a d a l o s e r á n t a m b i é n d e l a
e c u a c i ó n
((D + Id) ◦ (D − 3Id) ◦ (D − 4Id))(f ) = 0
C o m o l a s s o l u c i o n e s d e e s t a ú l t i m a e c u a c i ó n s o n d e l a f o r m a
αe3t + βe4t + γe−t,
i m p o n i e n d o q u e s a t i s f a g a n l a e c u a c i ó n o r i g i n a l d a d a t e n d r e m o s q u e
((D − 3Id) ◦ (D − 4Id))(αe3t + βe4t + γe−t) = e−t
d e d o n d e
(γe−t + 4γe−t + 3γe−t + 12γe−t) = e−t
e s d e c i r ,
(20γ e−t) = e−t
d e d o n d e 20γ = 1, e s d e c i r ,
γ =1
20 .
E n d e n i t i v a , l a s o l u c i ó n g e n e r a l d e l a e c u a c i ó n d a d a , c o n α y β c o n s t a n t e s
a r b i t r a r i a s e s
f (t) =1
20e−t + αe3t + βe4t
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3 3 8 Á l g e b r a
4 . R e s o l v e r e l p r o b l e m a d e v a l o r i n i c i a l D(f ) − 2f = e2t
f (0) = 1.
B u s c a m o s l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n n o h o m o g é n e a d a d a e m p l e a n d o e l
m é t o d o d e l o s c o e c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s :
P u e s t o q u e e2te s s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l
(D − 2Id) (f ) = 0,
b u s c a m o s n u e s t r a s s o l u c i o n e s e n t r e l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n
((D − 2Id) ◦ (D − 2Id))(f ) = 0.
L a s s o l u c i o n e s d e e s t a ú l t i m a e c u a c i ó n s o n d e l a f o r m a
f (t) = αe2t + βte2t,
p o r l o q u e , i m p o n i e n d o q u e
D(f ) − 2f = e2t
o b t e n e m o s
2αe2t + 2βte2t + βe2t − 2αe2t − 2βte2t = e2t,
e s d e c i r ,
βe2t = e2t ⇒ β = 1
d e d o n d e
f (t) = αe2t + te2t
f (0) = α = 1.
P o r c o n s i g u i e n t e l a s o l u c i ó n e s
f (t) = e2t + te2t = (t + 1)e2t.
5 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s x1 = 5x1 + 4x2
x2 = x1 + 2x2
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Á l g e b r a 3 3 9
s u j e t o a l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s x1(0) = 2, x2(0) = 3.
O b t e n e m o s l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o , l o s a u t o v e c t o r e s c o r r e s -
p o n d i e n t e s y l a i n v e r s a d e l a m a t r i z P d e p a s o , r e s u l t a n d o 15
−45
15
15
5 41 2
1 4
−1 1
=
1 00 6
.
A h o r a r e s o l v e m o s e l s i s t e m a , z 1(t) = z 1(t)z 2(t) = 6z 2(t)
e s d e c i r , z 1(t) = αet
z 2(t) = βe6t
s i e n d o x1(t)x2(t)
=
1 4
−1 1
z 1(t)z 2(t)
,
e s d e c i r , x1(t)x2(t)
=
1 4
−1 1
αet
βe6t
=
αet + 4βe6t
−αet + βe6t
.
I m p o n i e n d o n a l m e n t e l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s , t e n d r e m o s q u e 23
=
α + 4β −α + β
,
e s d e c i r : β = 1, α = −2, c o n l o q u e l a s o l u c i ó n s e r á x1(t)x2(t)
=
−2et + 4e6t
2et + e6t
.
6 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a ( e c u a c i o n e s e n d i f e -
r e n c i a s ) an+1 = 5an + 4bn
bn+1 = an + 2bn
c o n l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s a1 = 2, b1 = 3.
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3 4 0 Á l g e b r a
E l s i s t e m a p l a n t e a d o e n f o r m a m a t r i c i a l e s
an+1
bn+1
= 5 4
1 2 an
bn
U t i l i z a n d o l o s c á l c u l o s h e c h o s e n e l p r o b l e m a a n t e r i o r , t e n d r e m o s q u e
15
−45
15
15
5 41 2
1 4
−1 1
=
1 00 6
c o n l o q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a i n d i c a d o e s e q u i -
v a l e n t e a r e s o l v e r e l s i s t e m a d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a
cn+1
dn+1
= 1 00 6
cn
dn
c o n
an
bn
=
1 4
−1 1
cn
dn
.
O b v i a m e n t e {cn}{dn}
=
α {1n}β {6n}
c o n l o q u e an
bn
= 1 4
−1 1
α6nβ
= α + 4 · 6nβ
−α + 6nβ
.
I m p o n i e n d o a h o r a l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s : a1
b1
=
23
=
α + 24β −α + 6β
.
d e d o n d e
30β = 5 ⇒ β = 1
6
α = −2y , e n d e n i t i v a , l a s o l u c i ó n e s
an
bn
=
−2 + 4 · 6n−1
2 + 6n−1
.
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Á l g e b r a 3 4 1
7 . C a l c u l a r l a p o t e n c i a n−é s i m a d e l a m a t r i z
A = 2 1 1
2 3 23 3 4
.
D e s p u é s d e h a l l a r l o s a u t o v a l o r e s , l o s a u t o v e c t o r e s y l a m a t r i z d e p a s o
l l e g a m o s a : 56
16
−1−1
313 0
−12
12
1
1 0 00 7 00 0 1
1 −2 11 1 10 −3
21
=
2 1 12 3 23 3 4
c o n l o q u e 2 1 1
2 3 23 3 4
n
=
56
16
−1−1
313 0
−12
12
1
1 0 00 7n 00 0 1
1 −2 11 1 10 −3
21
,
e s d e c i r ,
2 1 12 3 23 3 4
n
=
56
16
−1−1
313
0−1
212 1
1 0 00 7n 00 0 1
1 −2 11 1 10 −3
2 1
=
= 56 + 167n −16 + 167n −16 + 167n
−13 + 1
37n 23 + 1
37n −13 + 1
37n
−12
+ 12
7n −12
+ 12
7n 12
+ 12
7n
.
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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3 4 2 Á l g e b r a
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A p é n d i c e A
N u e v o m é t o d o d e t r i a n g u l a c i ó n
p o r s e m e j a n z a
M o t i v a d o p o r e l h e c h o d e q u e l a r e l a c i ó n d e s e m e j a n z a c o n s t i t u y e e l m e c a -
n i s m o b á s i c o d e t r a n s f o r m a c i ó n d e l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s ,
v a m o s a e s t a b l e c e r o t r o a l g o r i t m o q u e n o s p e r m i t a c o n s t r u i r m a t r i c e s s e m e -
j a n t e s .
C o m o e s h a b i t u a l e n á l g e b r a l i n e a l , e l p r o c e d i m i e n t o q u e v a m o s a d i s -
c u t i r e s t á b a s a d o e n e l u s o d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s , q u e y a f u e r o n
i n t r o d u c i d a s e n e l c a p í t u l o 2 . R e c o r d e m o s c u a l e s s o n :
3 4 3
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3 4 4 Á l g e b r a
T r a n s f o r m a c i ó n E j e m p l o
S u m a r a u n a c o l u m n a
u n m ú l t i p l o d e o t r a
1 00 1
−−−−−−−−−→c2 = c2 + 7c1
1 70 1
M u l t i p l i c a r u n a c o l u m n a
p o r u n n ú m e r o n o n u l o
1 70 1
−−−−−→c1 = 5c1
5 70 1
I n t e r c a m b i a r d o s c o l u m n a s
7 30 1
−−−−→c1 ↔ c2
3 71 0
S u m a r a u n a l a
u n m ú l t i p l o d e o t r a 1 0
0 1 −−−−−−−−−→f 2 = f 2 + 7f 1 1 0
7 1 M u l t i p l i c a r u n a l a
p o r u n n ú m e r o n o n u l o
1 05 1
−−−−−→f 1 = 7f 1
7 05 1
I n t e r c a m b i a r d o s l a s
7 03 1
−−−−−→f 1 ↔ f 2
3 17 0
S e g ú n v i m o s e n e l c a p í t u l o 2 y e n l a p r á c t i c a c o r r e s p o n d i e n t e , c a d a t r a s -
f o r m a c i ó n e l e m e n t a l s e c o r r e s p o n d e c o n l a o p e r a c i ó n d e m u l t i p l i c a r p o r u n a
c i e r t a m a t r i z i n v e r t i b l e , e n e l s e n t i d o d e l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n .
P r o p o s i c i ó n A . 0 . 1 S e a A ∈ M n(K). S i
A − tc → A
In−tc → P,
d o n d e tc d e n o t a u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r c o l u m n a s , s e v e r i c a q u e
A = APy q u e l a m a t r i z
P ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e . A n á l o g a m e n t e , s i
A−
tf
→A
In−tf → P,
d o n d e tf d e n o t a u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r l a s , s e v e r i c a q u e
A =PA
y q u e l a m a t r i z P ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e .
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Á l g e b r a 3 4 5
E s t e r e s u l t a d o n o s d a l a c l a v e p a r a e s t a b l e c e r u n m e c a n i s m o p a r a c o n s -
t r u i r m a t r i c e s s e m e j a n t e s . O b s e r v e m o s e l s i g u i e n t e e s q u e m a , d o n d e
tcr e p r e -
s e n t a u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r c o l u m n a s y tf p o r l a s :
A − tc → tf → B
In−tc → P
In−tf → P
=⇒ B = PAP.
P a r a c o n s e g u i r q u e A
y B
s e a n s e m e j a n t e s , b a s t a a j u s t a r l a s t r a n s f o r m a c i o n e s
tc y tf p a r a q u e s u s c o r r e s p o n d i e n t e m a t r i c e s , P
y P, s e a n l a u n a i n v e r s a d e
l a o t r a . A h o r a b i e n , p a r a q u e P = P−1,
b a s t a c o n s e g u i r q u e
In−tc → tf → In,( A . 1 )
y a q u e e s t o q u e r r í a d e c i r q u e In = PInP = PP. E n l a s i g u i e n t e t a b l a a s o c i a -
m o s a c a d a t r a n s f o r m a c i ó n p o r c o l u m n a s s u c o r r e s p o n d i e n t e t r a n s f o r m a c i ó n
i n v e r s a p o r l a s :
C o l u m n a s : tc F i l a s : tf
ci = ci + λc j f j = f j − λf i
ci = λci f i =1
λf i
ci ↔ c j f i ↔ f j
P a r a c e r c i o r a r s e d e q u e e s t a t a b l a e s t á b i e n c o n s t r u i d a b a s t a c o m p r o b a r
( A . 1 ) .
A p a r t i r d e e s t e m o m e n t o , a s u m i r e m o s e l s i g u i e n t e c o n v e n i o d e n o t a c i ó n :
s i t d e n o t a a u n a t r a s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r c o l u m n a s o p o r l a s , t−1 d e -
n o t a r á a l a c o r r e s p o n d i e n t e t r a n s f o r m a c i ó n i n v e r s a r e s p e c t i v a m e n t e p o r l a s
o p o r c o l u m n a s . P o r e j e m p l o (ci = ci + λc j)−1 = (f j = f j − λf i).
F i n a l m e n t e , u t i l i z a d o e s t a n o t a c i ó n , p o d e m o s c o n c l u i r q u e e n e l s u p u e s t o
d e q u e t1, . . . tr s e a n t r a n s f o r m a c i o n e s p o r c o l u m n a s :
A
t1
−→·· ·tr
−→t−11
−→·· ·t−1r
−→ AIn
t1−→ P1.
.
.
Intr−→ Pr
⇒ A = (P1 · . . . · Pr)−1 A (P1 · . . . · Pr) .
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3 4 6 Á l g e b r a
P a r a v e r l o b a s t a t e n e r e n c u e n t a l o a n t e r i o r y q u e
(P1 · . . . · Pr)−1
= P−1r · . . . · P−11 .A s í m i s m o , s i p r i m e r o r e a l i z a m o s l a s t r a n s f o r m a c i ó n e s p o r l a y l u e g o p o r
c o l u m n a s , t a m b i é n o b t e n e m o s :
At−11−→·· · t−1r−→ t1−→·· · tr−→ A
Int1−→ P1
.
.
.
Intr−→ Pr
⇒ A = (P1 · . . . · Pr)−1 A (P1 · . . . · Pr) ,
l u e g o , e n p a r t i c u l a r , A = A.A h o r a y a t e n e m o s u n m e c a n i s m o q u e n o s p e r m i t e c o n s t r u i r m a t r i c e s s e -
m e j a n t e s , q u e c o n s i s t e b á s i c a m e n t e e n c o m p e n s a r c a d a t r a n s f o r m a c i ó n e l e -
m e n t a l p o r c o l u m n a s c o n s u c o r r e s p o n d i e n t e i n v e r s a p o r l a s o v i c e v e r s a .
P e r o a d e m á s , a t r a v é s d e l s i g u i e n t e e s q u e m a p o d e m o s t a m b i é n o b t e n e r l a
m a t r i z d e p a s o :
At1−→·· · tr−→ A · P
t−11−→·· · t−1r−→ P−1·A · P
Int1−→·· · tr−→ P P.
P o r e j e m p l o , c o m o : 1 3 22 1 10 2 0
1 0 00 1 00 0 1
c2 = c2 − 3c1c3 = c3 − 2c1
→
1 0 02 −5 −30 2 0
1 −3 −20 1 00 0 1
f 1 = f 1 + 3f 2f 1 = f 1 + 2f 3
→
→
7 −11 −92 −5 −3
0 2 0
1 −3 −2
0 1 00 0 1
,
t e n d r e m o s q u e :
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Á l g e b r a 3 4 7
1 −3 −2
0 1 00 0 1 −1
·1 3 2
2 1 10 2 0 ·1 −3 −2
0 1 00 0 1 = 7 −11 −9
2 −5 −30 2 0 .
L a d e m o s t r a c i ó n d e l s i g u i e n t e t e o r e m a c o n s t i t u y e u n a l g o r i t m o q u e p e r -
m i t e l a o b t e n c i ó n d e l a m a t r i z t r i a n g u l a r s e m e j a n t e a u n a m a t r i z d a d a
A ∈ M n(C) .
T e o r e m a A . 0 . 2 S i A
e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n c o n c o e c i e n t e s
c o m p l e j o s , e x i s t e u n a m a t r i z s e m e j a n t e a e l l a T
q u e e s t r i a n g u l a r .
D e m o s t r a c i ó n L a d e m o s t r a c i ó n c o n s i s t e e n p r o b a r q u e s e p u e d e c o n s t r u i r
u n a c a d e n a d e m a t r i c e s
A = T0 → T1 → · · · → Tn = T,
c a d a u n a s e m e j a n t e a l a a n t e r i o r ( y e n c o n s e c u e n c i a t o d a s e l l a s s o n s e m e j a n t e s
e n t r e s í ) y d e t a l m o d o Ti
e s d e l a f o r m a
Ti =
An−i 0
Ri×n−i
λi 0.
.
.
.
.
.
· · · · λ1
,
d o n d e An−i e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n − i y
Ri×n−i e s u n a m a t r i z
r e c t a n g u l a r d e o r d e n i × (n − i) . P a r a e l l o b a s t a v e r e l p r o c e d i m i e n t o p a -
r a a ñ a d i r u n n u e v o e s l a b ó n a l a c a d e n a . A s í p u e s s u p o n g a m o s q u e h e m o s
c o n s t r u i d o l a c a d e n a h a s t a Ti, v e a m o s c ó m o a ñ a d i r e l e s l a b ó n
Ti+1.
P u e s t o q u e t r a b a j a m o s c o n c o e c i e n t e s c o m p l e j o s e l p o l i n o m i o c a r a c t e -
r í s t i c o
P An−i(X ) = |An−i − X In−i|
t i e n e a l m e n o s u n a r a í z , a l a q u e p o r c o n v e n i e n c i a d e n o t a r e m o s c o n λ.
S i
a h o r a r e s t a m o s λIn a l a m a t r i z Ti
o b t e n e m o s :
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3 4 8 Á l g e b r a
Ti − λIn = An−i − λIn−i 0
Ri×n−i
λi
−λ 0
.
.
.
.
.
.
· · · · λ1 − λ
y , p u e s t o q u e
|An−i − λIn−i| = 0, l a s c o l u m n a s d e l a s u b m a t r i z An−i − λIn−i
s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s . P o r t a n t o , s e g ú n s a b e m o s , e s p o s i b l e a p l i -
c a r u n a s e r i e d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s s o b r e l a m a t r i z
An−i − λIn−i d e t a l m o d o q u e e n l a m a t r i z r e s u l t a n t e ( u n a m a t r i z g a u s s i a n a )
a p a r e c e r á a l g u n a c o l u m n a n u l a . A d e m á s m e d i a n t e u n a p e r m u t a c i ó n , p o d e -
m o s c o l o c a r d i c h a c o l u m n a a l n a l . L u e g o s a b e m o s d e t e r m i n a r u n a s e r i e d e
t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s t1, t2, . . . , tk ( m á s a d e l a n t e v e r e -
m o s u n e j e m p l o ) q u e a p l i c a d a s s o b r e An−i − λIn−i g e n e r a u n a m a t r i z d e l
t i p o : α11 · · · 0.
.
.
.
.
.
αn−i1 · · · 0
.
P o r t a n t o , s i a p l i c a m o s e s t a s m i s m a s t r a n s f o r m a c i o n e s s o b r e l a m a t r i z Ti −
λn−iIn n o s q u e d a u n a m a t r i z c u y a f o r m a e s :
α11 · · · 0.
.
.
.
.
.
αn−i1 · · · 0
0
Ri×n−i
λi − λ 0.
.
.
.
.
.
· · · · λ1 − λ
. ( A . 2 )
L a s t r a n s f o r m a c i o n e s t1, t2, . . . , tk q u e h e m o s e m p l e a d o , ú n i c a m e n t e a f e c -
t a n a l a s p r i m e r a s n − i c o l u m n a s , p o r t a n t o l a s c o r r e s p o n d i e n t e s t r a n s f o r -
m a c i o n e s i n v e r s a s t−11 , t−12 , . . . , t−1k ú n i c a m e n t e a f e c t a n a l a s p r i m e r a s n
−i
l a s y a q u e , p a r a c u a l q u i e r j ∈ {1, . . . , k} s i :
t j =
cr = cr + λcs
cr = λcr
cr ↔ cs
, c o m o 1 ≤ r, s ≤ n − i, ⇒
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Á l g e b r a 3 4 9
⇒t−1 j
= f s = f s − λf rf r = 1
λ
f rf r ↔ f s
c o n 1≤
r, s≤
n−
i.
E s t o q u i e r e d e c i r q u e s i a p l i c a m o s l a s t r a n s f o r m a c i o n e s t−11 , t−12 , . . . , t−1k s o b r e
l a m a t r i z ( A . 2 ) , o b t e n d r e m o s u n a m a t r i z T
c u y a f o r m a e s :
T =
α11 · · · 0
.
.
.
.
.
.
αn−i1 · · · 0
0
Ri×n−i
λi − λ 0.
.
.
.
.
.
· · · · λ1 − λ
.
( O b s é r v e s e q u e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s t−11 , t−12 , . . . , t−1k n o h a n p o d i d o a l t e r a r
l o s c e r o s q u e a p a r e c í a n e n l a c o l u m n a n − i d e l a m a t r i z ( A . 2 ) ) A h o r a b i e n ,
e n e s t e m o m e n t o t e n e m o s q u e T
e s s e m e j a n t e a Ti − λn−iIn, e s d e c i r e x i s t e
u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P
t a l q u e
T = P−1 · (Ti − λn−iIn) · P.
P e r o e n t o n c e s T = (P−1 · Ti · P) − λn−i(P−1 · In · P) = P−1 · Ti · P − λn−iIn,
y e n c o n s e c u e n c i a P−1 · Ti · P = T + λn−iIn, e s d e c i r
P−1 · Ti · P =
α11 + λ · · · α
1n−i−1.
.
.
.
.
. 0
αn−i1 · · · α
n−i,n−i−1 λ 0
ri,n−i λi
Ri×n−i−1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
rn,n−i · · · · λ1
y e s t a m a t r i z e s p r e c i s a m e n t e
Ti+1.
O b s e r v a c i ó n 6 7 E l m é t o d o p r o p u e s t o e n l a d e m o s t r a c i ó n n o m o d i c a l a s
l a s u b m a t r i z t r i a n g u l a r o b t e n i d a h a s t a e l m o m e n t o . E s t o q u i e r e d e c i r q u e e l
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3 5 0 Á l g e b r a
a u t o v a l o r d e An−i u t i l i z a d o p a r a a u m e n t a r e l t a m a ñ o d e l a s u b m a t r i z t r i a n -
g u l a r p e r m a n e c e h a s t a e l n a l , a p a r e c i e n d o e n l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e l a
m a t r i z T
. A h o r a b i e n , p o r s e r T
y A
s e m e j a n t e s s u s p o l i n o m i o s c a r a c t e r í s -
t i c o s c o i n c i d e n , y p o r s e r T
t r i a n g u l a r :
|T − X In| =
λn − X 0 · · · 0
a21 λn−1 − X · · · 0.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · λ1 − X
=
= (λ1 − X ) · · · (λn−1 − X ) (λn − X ) .
E s t o q u i e r e d e c i r q u e e l a u t o v a l o r d e An
−i u t i l i z a d o n e c e s a r i a m e n t e e s u n
a u t o v a l o r d e A q u e n o h a s i d o u t i l i z a d o p r e v i a m e n t e .
E j e m p l o A . 0 . 3 T r i a n g u l a r p o r s e m e j a n z a y h a l l a r l a m a t r i z d e p a s o c o r r e s -
p o n d i e n t e a l a m a t r i z
A =
−2 0 33 −2 −9
−1 2 6
E n p r i m e r l u g a r d e t e r m i n a m o s l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e
l a m a t r i z : −2 − X 0 3
3 −2 − X −9−1 2 6 − X
= −X + 2X 2 − X 3 = (1 − X )2 (0 − X ).
L u e g o l o s a u t o v a l o r e s A
s o n [1, 1, 0] . A c o n t i n u a c i ó n u t i l i z a m o s e l p r i m e r o
d e e l l o s p a r a c o n s t r u i r T1 :
−2 0 33
−2
−9
−1 2 61 0 00 1 00 0 1
−−−→−I3
−3 0 33
−3
−9
−1 2 51 0 00 1 00 0 1
c3 = c3 + c1−−−−−−−−−→
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Á l g e b r a 3 5 1
−3 0 0
3 −3 −6−1 2 41 0 10 1 00 0 1
c3 = c3 − 2c2−−−−−−−−−−→
−3 0 0
3 −3 0−1 2 01 0 10 1 −20 0 1
−−−−−−−−−−−→f 1 = f 1 − f 3
f 2 = f 2 + 2f 3
−2 −2 01 1 0
−1 2 01 0 10 1
−2
0 0 1
−−−→+I3
−1 −2 01 2 0
−1 2 11 0 10 1
−2
0 0 1
A h o r a p a r a c o n s t r u i r T2
n o s q u e d a n l o s a u t o v a l o r e s [1, 0] . U t i l i c e m o s e l
p r i m e r o :
−1 −2 01 2 0
−1 2 11 0 10 1
−2
0 0 1
−−−→−I3
−2 −2 01 1 0
−1 2 01 0 10 1
−2
0 0 1
c2 = c2 − c1−−−−−−−−−→
−2 0 01 0 0
−1 3 01 −1 10 1 −20 0 1
−−−−−−−−−−→
f 1 = f 1 + f 2
−1 0 01 0 0
−1 3 01 −1 10 1 −20 0 1
−−−→+I3
0 0 01 1 0
−1 3 11 −1 10 1 −20 0 1
.
7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003
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3 5 2 Á l g e b r a
C o m o T2
y a e s t r i a n g u l a r , h e m o s a c a b a d o y h e m o s o b t e n i d o q u e :
1 −1 10 1 −20 0 1
−1
· A · 1 −1 1
0 1 −20 0 1
=
0 0 01 1 0
−1 3 1
.