Download - Lógico mat. c 7 razones y proporciones 2012
RAZONES Y
PROPORCIONES
29/09/2012 1Mg. Wilderd Cabanillas Campos
RAZÓN
Razón es una cantidad que resulta de comparar dos
cantidades homogéneas mediante una sustracción o una
división.
RAZÓN ARITMÉTICA
La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia
entre dichas cantidades
a – b = r
aritméticarazónr
uentesecconb
eantecedenta
9 – 6 = 3 Razón aritmética = 3
29/09/2012 2Mg. Wilderd Cabanillas Campos
RAZÓN GEOMÉTRICA
La razón geométrica de dos cantidades es el
cociente entre dichas cantidades.
3
------
6
alidadproporciondeteconsogeométricarazónk
uenteconB
eantecedentA
kB
A
tan
sec
kb
a
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1
RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (RGE)
Son aquellas que teniendo términos diferentes su razón
geométrica es constante ( k )
(k = razón constante o constante de proporcionalidad )
29/09/2012 3Mg. Wilderd Cabanillas Campos
TÉRMINOS DE LA RAZÓN
Los términos de la razón Aritmética y Geométrica
son el antecedente y el consecuente
13 − 10 = 3
16
8= 2
Razón Aritmética
Razón Geométrica
AntecedenteConsecuente
Antecedente
Consecuente
29/09/2012 4Mg. Wilderd Cabanillas Campos
En una proporción la razón entre la suma de los
antecedentes y la suma de los consecuentes es igual
a cualquier razón de la proporción.
Ejemplo: . Luego
10
12
5
6
10
12
5
6
105
126
Proporción es la igualdad entre dos razones, . Se
lee a es a b como c es a d. A a y d se les llama
extremos y a b y c medios. Al tratarse de una igualdad
entre fracciones se verifica que a·d = c·b.
d
c
b
a
PROPORCIÓN
29/09/2012 5Mg. Wilderd Cabanillas Campos
PROPORCIÓN ARITMÉTICA (PA)
Una proporción aritméticas es la igualdad de dos
razones aritméticas.
Notación: a – b = c – d Donde: a, d: términos
extremos y b, c: términos medios
Además a y c : antecedentes, b y d: consecuentes.
Propiedad fundamental: En toda proporción
aritmética, la suma de sus extremos es igual a la
suma de sus términos medios.
a – b = c – d a + d = b + c
29/09/2012 6Mg. Wilderd Cabanillas Campos
Clases:
PA discreta:
Todos sus términos son diferentes: 19 -15 = 17 -13
En esta clase de proporción cualquiera de sus
términos recibe el nombre de cuarta diferencial.
PA continua.
Sus términos medios son iguales: 7 – 5 = 5 – 3
Su término medio recibe el nombre de media
diferencial o media aritmética y su segundo
extremo es tercera diferencial.
Por ejemplo: Tres es la tercera diferencial de siete
y cinco (en orden), en el que cinco es la media
diferencial.
29/09/2012 7Mg. Wilderd Cabanillas Campos
6105
3
x
Si en una proporción conocemos todos los términos
menos uno, al desconocido los llamamos cuarta
proporcional.
Ejemplo: Calcula el cuarto proporcional,
Propiedades
Cuarta diferencial:
1) Si “x” es la 4ª diferencial de 7, 5 y 4 se escribe:
7 – 5 = 4 – x
2) Tercera diferencial: Si “t” es 3ra diferencial de 15
y 12 se escribe: 15 - 12=12 - t
3. Media diferencial:
Si “m” es media diferencial de 16 y 12 se escribe:
16 - m = m – 12
29/09/2012 8Mg. Wilderd Cabanillas Campos
Una proporción es continua cuando sus
medios o sus extremos son iguales:
Ejemplo:
Medio proporcional es el término igual de
una proporción continua. En el ejemplo
anterior el medio proporcional es 6.
9
6
6
4
29/09/2012 9Mg. Wilderd Cabanillas Campos
kd
c
b
a
medios:cb;extremos;:da;
esconsecuent:db;es;antecedent:ca;
bcadd
c
b
a
PROPORCION GEOMÉTRICA (PG)
Una proporción geométrica es la igualdad de dos razones
geométricas
Notación:
Propiedad fundamental: En toda proporción geométrica el
producto de sus extremos es igual al producto de sus
términos medios.
29/09/2012 10Mg. Wilderd Cabanillas Campos
21
9
7
3
8
4
4
2
Clases:
•PG discreta: Todos sus términos son diferentes
En este ejemplo 21 es cuarta proporcional de 3, 7 y 9 (en
ese orden).
En este ejemplo, 4 es media geométrica o media
proporcional de 2 y 8 (en ese orden). Y el número 8 es
tercera proporcional de 2 y 4 (en ese orden)
•PG continua: Sus términos medios son iguales
29/09/2012 11Mg. Wilderd Cabanillas Campos
Propiedades:
Cuarta proporcional: Si “x” es la 4ª proporcional de
14, 7 y 8 se escribe:
x
8
7
14
Tercera proporcional: Si “t” es 3ra
proporcional de
18 y 6 se escribe:
t
6
6
18
Media proporcional: Si “m” es media proporcional de
25 y 4 se escribe:
4
25 m
m
29/09/2012 12Mg. Wilderd Cabanillas Campos
29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 13
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Dos magnitudes son directamente
proporcionales si el cociente de las
cantidades correspondientes es
constante. Dicho valor constante se
llama constante de proporcionalidad
directa.
Ejemplo: Dos sondas dentales (sd)
valen 14 soles.
Constante de proporcionalidad directa = 7
Nº sd 2 4 8 1 3 5
Precio(soles) 14 28 56 7 21 35
29/09/2012 14Mg. Wilderd Cabanillas Campos
• Para resolver un problema de
proporcionalidad directa utilizamos la
regla de tres directa.
• Ejemplo: 6 espejos dentales valen
336 soles ¿Cuánto cuestan 10 espejos
dentales ?
Magnitud A Magnitud B
6 336
10 X
solesxx
560 336
10
6
29/09/2012 15Mg. Wilderd Cabanillas Campos
Dos magnitudes son inversamente
proporcionales si el producto de las
cantidades correspondientes es
constante. Dicho valor constante se
llama constante de proporcionalidad
inversa.
Ejemplo: 8 dentistas atienden 20
pacientes
Constante de proporcionalidad inversa = 160
Nº de dentistas 8 4 2 1 16 32
Nº de pacientes 20 40 80 160 10 5
29/09/2012 16Mg. Wilderd Cabanillas Campos
• Para resolver un problema de proporcionalidad
inversa utilizamos la regla de tres inversa, que
consiste en formar la proporción en la que la
razón de las cantidades de la magnitud A están
invertidas.
• Ejemplo: Si tengo 10 ampollas de anestesia
para 40 pacientes ¿Cuántas ampollas de
anestesia usaremos para 50 pacientes?
Magnitud A Magnitud B
10 40
X 50
ampollas 8 50
40
10 x
x
29/09/2012 17Mg. Wilderd Cabanillas Campos
29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 18
PROBLEMA 1
En una proporción geométrica discreta, la suma de los dos
primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos
términos es 25. Calcular el menor de los términos medios, si
la suma de los consecuentes es 27.
Solución i) Sea la proporción geométrica discreta: ; donde
, donde “a” y “b” son los primeros términos y “c” y “d” son los segundos términos de la proporción. Según los datos del problema
ii) a + b = 20 iii) c + d = 25
iv) b + d = 27
v) Si …(Propiedad ii)
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vii) Resolviendo el sistema formado por lasecuaciones de iv) y vi): se obtiene que : b = 12 y d =15viii) Reemplazando vii) en ii) y iii): a = 8 y c = 10 ix) Como los términos medios son b = 12 y c= 10, se deduce que el menor de ellos es 10
vi) Reemplazando ii) y iii) en v): ,de donde 20d – 25b = 0
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Observemosalgunos ejemplos de proporción directa
Trabajo
vs
Dinero
A mayor
lujos
vs
Mayor costo
vehículo
A mayor
construcción
vs
Mayor nº de
trabajadores
A mayor
Velocidad
vs
Mayor
accidentes
A mayor
cantidad de
ropa
vs
Mayor costo
(dinero)
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Observemosalgunos ejemplos de proporción inversa
A menor
tiempo de obra
vs
Mayor nº de
trabajador
Nº animales
vs
alimento
(permanece
constante)
A mayor
velocidad
vs
Menor tiempo
de traslado
A mayor
Temperatura vs
Menor cantidad hielo
A mayor
cantidad de lujos
vs
Menor cantidad
de personas que
pueden acceder
a estos lujos
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Proporcionalidad directa
29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 25
PROPORCIONALIDAD INVERSA
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REPARTO
PROPORCIONAL
Consiste en repartir una cantidad envarias partes que sean proporcionales aotros varios números dados (índices delreparto).
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El reparto puede ser:
Reparto Simple, el cual subdivide en: Directo, Inverso, Compuesto
A) Reparto simple directo
Ejemplo:
Repartir 600 en 3 partes que sean proporcionales a 7, 4 y 9
Solución:
Sean las partes: A, B, y C; talque: ; además A, B y C son
directamente proporcionales a los números 7, 4 y 9 respectivamente, se tiene:
7 4 9
A B CK
Despejando cada parte: 𝐴 = 7𝑘; 𝐵 = 4𝑘: 𝐶 = 9𝑘
La suma de las tres partes es 600: 7k + 4k + 9k = 600, donde K= 30
Entonces las tres partes son:
𝑨 = 7(30) = 𝟐𝟏𝟎 ; B = 4(30) = 120 y C = 9(30) = 270
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B) Reparto simple inverso En este caso las partes son inversamente proporcionales
a los índices del reparto.
Ejemplo:
Repartir 780 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números 6, 9
y 12
Solución:
Sean las partes: A, B, y C; talque: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 780 ; además A, B y C son
inversamente proporcionales a los números 6, 9 y 12 respectivamente, se tiene:
6𝐴 = 9𝐵 = 12𝐶 = 𝐾
Despejando cada parte: : 𝐴 =𝑘
6; 𝐵 =
𝑘
9 𝑦 𝐶 =
𝑘
12→ 𝐾 = 2160
Entonces las tres partes son:
A =2160
6= 360 ; B =
2160
9= 240 y C =
2160
12= 180
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C) Reparto Compuesto, es aquel en el cual cada parte es proporcional a varios
números dados
Propiedad.- Si A es DP con B y también con C entonces A es DP con (B x C)
Ejemplo:
Repartir 2 225 en 3 partes que sean DP a los números 3, 5 y 8 e IP a los números
4, 6 y 9
Solución:
Sean las partes: A, B, y C; talque: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 2225
Si A es DP a 3 e IP a 4, entonces: 𝐴.4
3= 𝐾 𝐴 =
3
4𝐾
Si B es DP a 5 e IP a 6, entonces: 𝐵.6
5= 𝐾 𝐵 =
5
6𝐾
Si C es DP a 8 e IP a 9, entonces: 𝐶.9
8= 𝐾 𝐶 =
8
9𝐾,
Como el total es 2225, entonces: A + B + C = 3
4𝐾 +
5
6𝐾 +
8
9𝐾 = 2225 K= 900
Entonces las tres partes son:
𝐀 =3
4(900) = 675 ; B =
5
6(900) = 750 y C =
8
9(900) = 800
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PROBLEMA 1
Se reparte 400 proporcionalmente a 10, 12 y a. Si
entre los dos últimos reciben 200 mas que el
primero, hallar “a”.
Solución
De modo que P1+P2 + P3 = 400
Del enunciado P2 + P3 - P1 =200
Entonces P1 =100; P2 + P3 = 300
En todo reparto proporcional se cumple
𝑝1
10=
𝑝2
12=
𝑝3
𝑎=
𝑝2 + 𝑝3
12 + 𝑎
Igualando y remplazando
100
10=
300
12 + 𝑎 ⇒ 𝑎 = 18
29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 31
Dividir el número 1000 en 3 partes que sean directamente
proporcionales a los números 2,3, y 5
PROBLEMA 2
Solución:
Sean las tres partes pedidas
2K
3K
5K
2K + 3K +5K = 1000
10K = 1000
K = 100
Remplazamos el valor de K
2K = 2(100) = 200
3K = 3(100) = 300
5K = 5(100) = 500
Respuesta: 200, 300 y 500 son los números
29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 32
Dividir el número 858 en 3 partes que sean directamente
proporcionales a los números 3/4, 5/6, y 4/5
PROBLEMA 3
Solución:
Sean las tres partes pedidas
3/4 K
5/6 K
4/5 K
3/4 K + 5/6 K + 4/5 K = 858
45K +50 K+48K /60 = 858
143K/60 = 858
K = 360
3/4 (360) = 270
5/6 (360) = 300
4/5 (360) = 288
Respuesta: 270, 300 y 288 son los números
29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 33
Repartir el número 360 en 3 partes que sean inversamente
proporcionales a los números 3, 4 y 6
PROBLEMA 4
Solución:
Sean las tres partes pedidas
K/3
K/4
K/6
K/3 + K/4 + K/6 = 360
K = 480
480/3 = 160
480/4 = 120
480/6 = 80
Respuesta: 160, 120 y 80 son los números
29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 34
Repartir el número 735 en partes inversamente proporcionales
a 1/5, 3/5 y 3
PROBLEMA 5
Solución:
Sean las partes pedidas
K/(1/5 )= 5K
K/(3/5)= 5K/3
K/(3) = K/3
5K + 5K/3 + K/3 = 735
K = 105
5K = 5(105) = 525
5K/3 = 5(105)/3 = 175
K/3 = 105/3 = 35
Respuesta: 525, 175y 35 son los números
29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 35
Alicia ha estado enferma y ha necesitado cuidados durante 5
meses. Ha decidido repartir 4000 soles que tenía ahorrados
entre las tres personas que la atendieron durante su
convalecencia de forma directamente proporcional al tiempo
que estuvieron con ella.
La primera persona la acompañó durante un mes y medio; la
segunda, durante dos meses y medio, y el resto del tiempo
estuvo con ella la tercera. ¿Cuánto le dará a cada una de ellas?
PROBLEMA 6
SOLUCION
29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 36
Cuatro socios forman un negocio aportando S/.2800 el primero,
S/. 2100 el segundo, S/.4000 el tercero y S/.1100 el ultimo. El
negocio fracasa y lo que pierden en conjunto los dos primeros
es S/. 64 menos que lo que pierden en conjunto los dos últimos.
.Cuanto pierde el primero?
PROBLEMA 7
Las perdidas son proporcionales a las aportaciones:
Solución
𝑃1
2800=
𝑃2
2100=
𝑃3
4000=
𝑃4
1100
𝑃1
28=
𝑃2
21=
𝑃3
40=
𝑃4
11
Multiplicando por 100
Por dato P3 + P4 – (P1+P2) =64
K = 32
Remplazando el valor de P
Los valores P en función de K
P1 =28(32) = S/.896
Rpta: el primer socio pierde
S/.896𝑃1 = 28𝑘 𝑃2 = 21𝑘
𝑃3 = 40𝑘 𝑃4 = 11𝑘
29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 37
Tres personas forman un negocio, aportando cada una un capital que
es el triple del aportado por el socio anterior. El primero permanece en
el negocio 6 meses, el segundo, 3 meses y el ultimo, 45 días. Si se
obtiene una utilidad de S/. 7600, ¿cuánto le toca al segundo?
PROBLEMA 8
SoluciónMultiplicando por 2/3
a los índices
Rpta: Al segundo le toca S/. 2400
7600 469
𝑘 =7600
4 + 6 + 9= 400
El segundo recibe 6(400) = 2400
7600 𝑐 𝑥 6𝑚 → 63𝑐 𝑥 3𝑚 → 99𝑐 𝑥 1,5𝑚 → 13,5
Capitales Tiempos
Por propiedad se establece:
29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 38
Doce amigos se reparten un premio y escogen un mes del
ano en curso realizando el reparto proporcionalmente al
numero de días que tiene el mes escogido. Si el ano fuera
bisiesto, uno de ellos recibiría 33,7 soles mas. .A cuanto
asciende el premio repartido?
PROBLEMA 9
31 (# días de enero)
28 (# días de febrero)
31 (# días de marzo)
31 (# días de diciembre)
P
r
e
m
i
o
Solución
Si el año solo tiene 365 días:
28 𝑥 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜
365
Si el año es bisiesto:
29 𝑥 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜
366
Según los datos podemos
formular:
29
366𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜 -
28
365𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜 = 33,7
El premio es 13 359 soles