Download - IV Bimestre 2012

185Organización EducativaTRILCE

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Objetivos

- Determinar las variaciones de las razonestrigonométricas seno y coseno de una variable; paraque a partir de ellas determinar las extensiones deexpresiones más complicadas.

- Determinar las extensiones de expresiones donde lavariable está restringida a un intervalo de IR.

Análisis de las variaciones de las razonestrigonométricas

I. Variación del seno de un arco:

Significa determinar entre qué valores se encuentra elseno de un arco cuando éste varía en un cierto intervalo.Si consideramos un arco “” que se desplaza sobre todala circunferencia trigonométrica (de 0 a 2) notaremosque el “sen” toma como máximo valor 1, mientras quesu mínimo valor es -1, es decir:

2

/2

3 /2

1

-1

O

1sen1-1-.mín)sen(1.máx)sen(

mientras que la variación por cuadrantes será:

sen

IC IIC IIIC IVC

0<sen <1 0<sen <1 -1<sen <0 -1<sen <0

0 1 1 0 0 -1 -1 0

0 2

2

32

2 32

II. Variación del coseno de un arco:

Trabajando de la misma manera que en el caso anteriorconsideramos un arco “” que se desplaza sobre todala circunferencia trigonométrica (de 0 a 2) notaremos

que el “cos” toma como máximo valor 1, mientras quesu mínimo valor es -1, es decir:

2

/2

3 /2

1-1

O

1cos1-1-.mín)(cos1.máx)(cos

mientras que la variación por cuadrantes sería:

cos

IC IIC IIIC IVC

0<cos <1 -1< <0cos -1< <0cos 0< <1cos

1 0 0 -1 -1 0 0 1

0 2

2

32

2 32

- Análisis de las variaciones en intervalos de IR:

Cuando te pidan la variación, extensión o rango deexpresiones que dependan del seno o coseno de unarco; y este arco varíe en un intervalo restringido, seprocede de la siguiente manera:

1. Reconocer de qué R.T. depende la expresión.2. Reconocer de qué variable depende la R.T.3. Ubicar en la C.T. el intervalo al que pertenece la

variable, respetando si es abierto, cerrado o semi-cerrado.

4. Trazar las líneas trigonométricas correspondientesa la R.T. de la que depende la expresión (las másimportantes).

5. Reconocer la mayor y menor de las líneas trigonomé-tricas trazadas.

6. Ubicar la R.T. de la variable entre los extremosencontrados en el punto anterior, respetando si puedeo no tomar dichos extremos.

7. Terminar de formar la expresión pedida, a partir dela variación encontrada en el punto anterior.

Circunferenciatrigonométrica II25

186 Cuarto Año de Secundaria

Por ejemplo:

* Señale la variación de:

1. C = 4 sen + 1Si: I C; es positivo y menor que una vuelta.

Resolución:

0º

90º

x

y

1

Recuerda que: I C 0° < < 90°

Luego:0 < sen < 1

Multiplicamos (×4):0 < 4 sen < 4

Sumando (+1):

1< C

1sen4 < 5

C <1; 5>

2. L = 3sen + 2; IIC

Resolución:

0

x

y

1

Nos ubicamos en el IIC (no tomamos los extremos)Luego:

0 < sen < 1×3: 0 < 3sen < 3

+2: 2 < L

2sen3 < 5

L <2; 5>

3. C = 5cos - 1; IIIC

Resolución:

0

x

y

1

En el IIIC, sin tomar los extremos tenemos:-1 < cos < 0

×5: -5 < 5cos < 0

-1: -6 < C

1-cos5 < -1

C <-6; -1>

4. L = 4cos + 3; 60° < 180°

Resolución:

180º

x

y

12

60º

-1

En el intervaloMayor: (no lo toma)

Menor: 1 (sí lo toma)

12

Luego:

-1 cos <21

× 4: -4 4cos < 2

+3: -1 L

34cos < 5

L [-1; 5>

5. C = 2sen + 1; 30° < < 180°

Resolución:

180º

x

y

12

30º1

O

En el intervalo:Mayor: 1 (sí lo toma)

Menor: 0 (no lo toma)

Luego:0 < sen 1

×2: 0 < 2sen 2

+1: 1 < C

1sen2 3

C <1; 3]

(no consideramoslos extremos)


6. L = 4sen - 3;

23

;6

Resolución:

1

-1

012

6

32

y

x

En el intervaloMayor valor: 1 (sí lo toma)

Menor valor: -1 (sí lo toma)

-1 sen 1× 4: -4 4sen 4

- 3: -7 L

3-4sen 1

L [-7; 1]

7. C = 5sen2 + 1;

2

;12

Resolución:Note que la R.T. es seno pero no de “” sino de “2”;por ello primero debemos ubicar la variación de “2”,es decir:

12

< 2

6

< 2

x

y

12

61

O

Para “sen2”; tenemos:

Mayor: 1 (sí lo toma) Menor: 0 (no lo toma)

0 < sen2 1× 5: 0 < 5sen2 5

+ 1: 1 < C

15sen2 6

C <1; 6]

Test de aprendizaje previo

1. Sabiendo que IR ; señale la extensión de:C = 4 + 3sen

2. Sabiendo que IR ; señale la extensión de:L = 3 + 2cos

3. Sabiendo que IR ; sume el máximo y mínimo valorde: C = 4 + 7sen

4. Sabiendo que IIC; señale la variación de:L = 3 + sen

5. Sabiendo que IIC; señale la variación de:L = 2 - 3cos

6. Señale la suma del máximo y mínimo valor que puedetomar: K = 2senx + 3

Test de Aprendizaje


1. S e ñ a l e l a v a r i a c i ó n d e : C = 7 s e n + 1; IR

a) [-6; 8] b) [-7; 7] c) [-5; 8]d) [-7; 9] e) [-5; 9]

2. Señale la variación de: L = 7sen - 5; IR

a) [-7; 12] b) [-12; 2] c) [2; 12]d) [-2; 12] e) [-6; 8]

3. Señale la variación de: C = 5cos + 1; IR

a) [-6; 6] b) [-6; 4] c) [-4; 6]d) [-4; 4] e) [-5; 5]

4. Señale la variación de: C = 6cos - 3; IR

a) [-6; 6] b) [-6; 3] c) [-3; 6]d) [-9; 3] e) [-3; 9]

5. Señale la variación de: L = 7 - 3sen; IR

a) [4; 7] b) [-6; 8] c) [-4; 10]d) [-2; 8] e) [4; 10]

6. Señale la variación de: L = 3 - 2cos; IR

a) [1; 5] b) [1; 3] c) [-1; 3]d) [-3; 3] e) [-5; 5]

7. Sabiendo que IR, además:

cos =3

1n2

¿cuál es la suma de los valores enteros que toma “n”?

a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 0

8. Sabiendo que IR, además:

sen =7

1-n2

¿cuál es la suma de los valores enteros que toma “n”?

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

9. Sabiendo que IR, además: 3sen = 4n - 1¿cuál es la extensión de “n” para que la igualdad anteriorsea imposible de verificarse?

a) IR - <-1; 1> b) IR - 21

1;-

c) IR - 1;21

- d) IR - 21

;21

-

e) IR -

21

1;-

10.Sabiendo que IR, además: 4cos = 3n + 1¿cuál es la extensión de “n” para que la igualdad anterior,sea imposible de verificarse?

a) IR - 1;35

- b) IR - 35

1;-

c) IR - 35

;31

- d) IR - 35

;35

-

e) IR - 31

1;-

11.Sabiendo que IIC; señale la extensión de:C = 3sen + 1

a) <1; 4> b) [1; 4] c) [-2; 4]d) <-1; 4] e) [2; 5]

Practiquemos

7. Sume el máximo y mínimo valor que puede tomar:K = 2 - 3cos

8. Señale la variación de: K = 3senx + 1

9. Señale la variación de: K = 3 - 2cosx

10.Señale la variación de: K = 4 - 3senx; x II C

Autoevaluaciòn


12.Sabiendo que IC; señale la extensión de:L = 4sen - 1

a) <-1; 4> b) <-1; 3> c) [-1; 3]d) [-1; 4] e) [-5; 3]

13.Sabiendo que IIIC; señale el rango de:C = 3cos + 2

a) [2; 3] b) <2; 3> c) <-1; 2>d) [-1; 2] e) [-1; 5]

14.Sabiendo que IIC; señale la extensión de:L = 4cos + 1

a) <-3; 5> b) [1; 5] c) <-1; 5>d) <-3; 1> e) [-3; 1]

15.Sabiendo que: 30° < < 120°; señale la extensión de:C = 4sen - 1

a) <1; 3] b) <1; 3>

c) <1; 2 3 + 1> d) <1; 2 3 + 1]e) <2; 3>

16.Sabiendo que: 40° < 180°; señale la variación de:L = 3sen + 1

a) [0; 3> b) [1; 4> c) [1; 3>d) [1; 4] e) <1; 4]

17.Sabiendo que: <60°; 210°>; señale la extensión de:C = 8cos + 1

a) <-7; 5] b) [-7; 5> c) <-7; 5>d) <-6; 5] e) [-6; 5>

18.Sabiendo que: <70°; 270°>; señale la variación de:L = 4sen - 1

a) <-3; 5] b) <-3; 5> c) <-5; 3]d) <-5; 3> e) [-5; 3>

19.Sabiendo que:

2

;3

; señale la variación de:

C = 4cos2 + 3

a) [-1; 1> b) <-1; 1] c) [-2; 1>d) <-2; 1] e) [-2; 3>

20.Sabiendo que: <25°; 75°]; señale el rango de:L = 4sen2(3 - 45°) + 1

a) [1; 2> b) [1; 2] c) [1; 5>d) <1; 5] e) [1; 5]

Acepta el reto TRILCE ...!

1. Señale la variación de: C =1cos1cos3

si: IVC

a) <1; 2> b) 2;21 c) 1;

21

d) <1; 3> e) <2; 3>

2. Señale la variación de: L = sen(sen + 1); IR

a) [-1; 2] b)

2;

41

- c)

1;

21

-

d)

2;

21

- e) [-1; 3]

3. Señale la extensión de:

C = cos.sen2 + (1 + 1-cos )sen + sec

a)

3;

41

b)

2;

41

c)

3;

43

d)

2;

23

e)

2;

43

4. Señale el valor de:

L =

coscossen

csc1-cos1-sen

a) 1 b) -1 c) 2d) 0 e) -2

5. En la C.T. mostrada, halle la variación de “S” si: IIC

x

y T

AC.T.

M

S

a) <0; 1> b) <0; 2> c) <1; 2>

d) 2;21

e) 1;21

Autoevaluaciòn



Objetivos

• Conocer las relaciones básicas entre las razones trigonométricas de una cierta variable.• Aplicar las relaciones anteriores en la demostración de igualdades y simplificación de expresiones que contienen

razones trigonométricas diversas de una cierta variable.

Definición

Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una cierta variable; las cuales se verifican para todo valorde la variable, que no indetermina a la razón trigonométrica existente en la igualdad.

Clasificación

I. I.T. Recíprocas

senx . cscx =1; x n; n ZZ cscx =xsen

1

cosx . secx = 1; x (2n + 1)2

; n ZZ secx =xcos

1

tanx . cotx = 1; x n2

; n ZZ cotx =xtan

1

II. I.T. Por división

ZZn;2

1n2x;xcos

senxxtan

ZZn;nx;senx

xcosxcot

III.I.T. Pitagóricas

sen2x + cos2x = 1; x IR

xsen1xcos

xcos1xsen

22

22

tan2x + 1 = sec2x; x (2n + 1)2

; n IR

1-xsecxtan

1xtan-xsec

22

22

cot2x + 1 = csc2x; x n; n IR

1-xcscxcot

1xcot-xcsc

22

22

Identidadestrigonométricas I26


Los tipos de ejercicios que vamos a trabajar a partir deeste capítulo son los de: demostración de igualdades;simplificación de expresiones y ejercicios con condición. Enesta clase, veremos los dos primeros tipos, con lossiguientes ejemplos:

Tipo Demostración:

1. Demostrar:s e n

3x.cscx.cot2x = cos2x

Resolución:

Trabajando en el primer miembro, pasaremos a senosy cosenos; tratando de que al reducir nos quede laexpresión del segundo miembro:

sen3x.cscx.cot2x = cos2x

sen3x.senx

1 .xsen

xcos2

2 = cos2x

Reduciendo:cos2x = cos2x

2. Demostrar:sen3x.cscx + cos3x.secx = 1

Resolución:

Pasando a senos y cosenos:

sen3x.cscx + cos3x.secx = 1

sen3x.senx

1 + cos3x.

xcos1

= 1

Reduciendo:

1

xcosxsen 22 = 1 1 = 1

3. Demostrar:[(senx + cosx)2 - 1]tanx = 2sen2x

Resolución:

Recuerde que:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

En el primer miembro:[(senx + cosx)2 - 1]tanx = 2sen2x

(sen x + 2senx.cosx + cos x - 1)tanx = 2sen x22 2

1(1 + 2senx.cosx - 1)tanx = 2sen2x

2senx.cosx.tanx = 2sen2x


2senx.cosx.xcos

senx = 2sen2x

Reduciendo:2sen2x = 2sen2x

Tipo Simplificación:

1. Simplificar:C = senx.cotx.cosx(tan2x + 1)

Resolución:

Antes de pasar a senos y cosenos, reconozca:

tan2x + 1 = sec2xLuego:

C = senx.cotx.cosx.sec2x

C = senx.senx

xcos .cosx.xcos

12

Reduciendo:C = 1

2. Simplificar:L = senx.tanx + cosx

Resolución:


L = senx.tanx + cosx

L = senx.xcos

senx + cosx

L =xcosxsen2

+1

xcos

Operando:

L =xcos

xcosxsen 22

pero: sen2x + cos2x = 1

Luego: L =xcos

1 = secx

3. Reducir:C = (secx - cosx)(tanx + cotx)senx

Resolución:


C =

senx

xcosxcos

senx1

xcos-

xcos1

senx

(demostrado)

(demostrado)

(demostrado)


Operando:

C =

xcosxcos-1 2

xcos.senx

xcosxsen 22

senx

pero: 1 - cos2x = sen2x; sen2x + cos2x = 1

Luego:

C =xcosxsen2

.senx.xcos

1.senx

Reduciendo:

C =xcos

xsen2

2

= tan2x

Test de aprendizaje previo1. Demostrar: senx cotx + 2cosx = 3cosx

2. Demostrar: tanx cosx + cotx senx = cosx + senx

3. Demostrar: sen4x csc2x + cos4x sec2x = 1

4. Simplificar: C = sen2x cotx secx

5. Simplificar:2(senx + cosx)- 1C=

senx

6. A qué es igual: K = tanx.cosx + senx

7. Reducir: K = (1 - sen2x)secx

8. Reducir: tanx 1Ksenx cos x

9. Reducir: K = (senx + cosx)2 - 2senxcosx

10.Si: tanx - cotx = 3 ; calcule: K = tan2x + cot2x

4. Reducir:C = (senx + 2cosx)2 + (2senx - cosx)2

Resolución:En este caso sólo nos queda desarrollar los binomios:

C = sen2x + 4senx.cosx + 4cos2x + 4sen2x -4senx.cosx + cos2x

Reduciendo:C = 5sen2x + 5cos2x

C = 5( 1

xcosxsen 22 )

C = 5

Test de Aprendizaje


1. Demostrar que:

tanx.secx.cot2x = cscx

2. Demostrar que:

sen3x.cot2x.cscx.secx = cosx

3. Demostrar que:

sen4x.csc2x + cos4x.sec2x = 1

4. Demostrar que:

sen5x.csc3x + cos5x.sec3x = 1

5. Demostrar que:

[(senx + cosx)2 - 1]cscx = 2cosx

6. Demostrar que:

[(senx - cosx)2 - 1]secx = -2senx

7. Demostrar que:

(tanx + cotx)sen2x = tanx

8. Demostrar que:

(tanx + cotx)cos2x = cotx

9. Demostrar que:

(secx - cosx)(cscx - senx) = senx.cosx

10.Demostrar que:

(secx - senx.tanx)(cscx - cosx.cotx) = senx.cosx

11.Simplificar:

C = senx(1 + cotx) + cosx(1 - tanx)

a) 2 b) 1 c) 2senxd) 2cosx e) 0

12.Simplificar:

L = tanx(1 + cosx) - sen2x.cscx

a) tanx b) 2tanx c) cosxd) 2cosx e) senx

13.Reducir:

C = senx(1 + senx - cosx) + cosx(1 + cosx + senx) - 1

a) senx b) cosx c) 2senx.cosxd) senx + cosx e) senx - cosx

14.Reducir:

L = senx(cscx + senx) + cosx(secx + cosx) + 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15.Reducir:

C =xcos-xcos

xsen-xsen42

42

a) tan2x b) cot2x c) 1d) sec2x e) csc2x

16.Reducir:

L =xcos-xcos

xsen-xsen64

64

a) 1 b) tan2x c) cot2xd) tan4x e) cot4x

17.Reducir:

C = (3senx + 2cosx)2 + (2senx - 3cosx)2

a) 7 b) 5 c) 12d) 13 e) 15

18.Reducir:

L = (3senx + cosx)2 + (senx - 3cosx)2

a) 3 b) 4 c) 5d) 9 e) 10

19.Reducir:

C =xtanxsec

1

+xtan-xsec

1

a) 2 b) 2secx c) 2tanxd) 2cscx e) 2cotx

20.Reducir:

L =xcot-xcsc

1 -

xcotxcsc1

a) 2 b) 2secx c) 2tanxd) 2cscx e) 2cotx

Practiquemos Practiquemos


1. Demostrar que:

(senx + cosx)4 + 3 = 4(1 + senx.cosx + sen2x.cos2x)

2. Demostrar que:

sec4x + tan4x = 1 + 2sec2x.tan2x

3. Reducir:

C =xcos-xsen

xcos-xsen22

66

+ sen2x.cos2x

a) 1 b) 2 c) sen4xd) cos4x e) sen4x - cos4x


4. Reducir:

C = (secx - tanx - 1)(cscx + cotx + 1)

a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) -2senx.cosx

5. Simplificar:

C =1-xcossenx

xcos.senx2xcos-senx-1

a) senx b) cosx c) senx + cosxd) senx - cosx e) 2(senx + cosx)

Tarea domiciliaria

1. Demostrar que:

tanx.cos2x.cscx = cosx

2. Demostrar que:

cotx.sen2x.secx = senx

3. Demostrar que:

senx(1 + cotx) + cosx(1 + tanx) = 2(senx + cosx)

4. Demostrar que:

secx(cosx + cotx) = 1 + cscx

5. Demostrar que:

senx(1+ senx) + cosx(1 + cosx) = 1 + senx + cosx

6. Demostrar que:

senx(1 - senx) + cosx(1 - cosx) = senx + cosx - 1

7. Demostrar que:

(senx + cosx)2 = 1 + 2senx.cosx

8. Demostrar que:

(senx - cosx)2 = 1 - 2senx.cosx

9. Demostrar que:

sen2x - sen4x = cos2x - cos4x

10.Demostrar que:

tan2x + tan4x = sec4x - sec2x

11.Demostrar que:

tan2x - sen2x = tan2x.sen2x

12.Demostrar que:

(1 + senx + cosx)2 = 2(1 + senx)(1 + cosx)

13.Reducir:

C = tanx.cosx.csc2x

a) 1 b) senx c) cosxd) secx e) cscx

14.Reducir:

C = sen2x.cotx + cos2x.tanx

a) senx.cosx b) 2senx.cosx c) 1d) 2 e) secx.cscx

15.Reducir:

C = senx.cosx.tanx + senx.cosx.cotx

a) senx.cosx b) 1 c) sen2x.cos2xd) 2senx.cosx e) 2

16.Reducir:

C = sen3x(1 + cot2x) - (1 - cos2x)cscx

a) 1 b) 2 c) 2senxd) 2cosx e) 0

17.Simplificar:

C =2 3 2 3(1 tan x)cos x (1 cot x)sen x

senx.cot x cos x.tanx

a) 1 b) 2 c) tanxd) cotx e) 2(tanx + cotx)

Autoevaluaciòn

Tarea domiciliaria


18.Simplificar:

C =2 2 2 2(sec x -1)(1 - sen x)(csc x -1)(1 - cos x)

senx.cos x.sec x.csc x

a) 1 b) 2 c) 12

d) senx.cosx e) 2senx.cosx

19.Simplificar:

C = sec4x - tan4x - 2tan2x

a) 1 b) -1 c) sec2xd) 2sec2x e) -2sec2x

20.Simplificar:

C = csc4x - cot4x - 2csc2x

a) 1 b) -1 c) csc2xd) -csc2x e) 2

21.Simplificar:

C = (tanx.cosx + cotx.senx)(tanx + cotx)

a) 1 b) secx c) cscxd) secx + cscx e) secx.cscx

22.Simplificar:

C = (senx + cosx + 1)(senx + cosx - 1)(tanx + cotx)

a) senx.cosx b) 2senx.cosx c) 1d) 2 e) 2secx.cscx

23.Reducir:

C = (secx + tanx + 1)(cscx - cotx - 1)

a) 1 b) - 1 c) 2d) - 2 e) - 4

24.Reducir:

L =2 2tan x cot x 1

tan x cot x 1 - tanx

a) tanx b) tanx - 1 c) cotx - 1d) cotx + 1 e) 1 - cotx

25.Reducir:

C = (sen2x - cos2x)(sen4x + cos4x)(sen8x + cos8x) + cos16x

a) sen16x b) 1 + sen16xc) 1 - sen16x d) sen16x + cos16xe) 0



Objetivos- Resolver correcta y rápidamente ejercicios tipo

condicionales; aplicando las identidades trigonométricasfundamentales.

- Usar correctamente las identidades auxiliares.

Tipo Condicionales:

1. Siendo:senx.cotx + cosx = 1

hallar el valor de “x” si es agudo.

Resolución:

En la condición, pasando a senos y cosenos:senx.cotx + cosx = 1

senx.senx

xcos + cosx = 1

Reduciendo:cosx + cosx = 1 2cosx = 1

cosx =21 x = 60°

2. Siendo:

tanx - cotx = 7calcular:

C = tan2x + cot2x

Resolución:

En la condición, elevando al cuadrado:

tanx - cotx = 7

(tanx - cotx)2 = ( 7 )2

tan2x - 2 1

xcot.xtan + cot2x = 7

tan2x - 2 + cot2x = 7 C

22 xcotxtan = 9

C = 9

3. Siendo:

senx + cosx =67

calcular:C = senx.cosx

Resolución:

Para formar “senx.cosx”; elevamos al cuadrado lacondición así:

senx + cosx =67

(senx + cosx)2 =

2

67

Desarrollando: sen x + 2senx.cosx + cos x =2 2

1

76

Quedaría:

1 + 2senx.cosx =67 2senx.cosx =

61

C

xcos.senx =121

C =121

4. Siendo:tanx + cotx = 3

calcular:C = sen3x.cosx + senx.cos3x

Resolución:

Pasamos la condición a senos y cosenos:tanx + cotx = 3

xcossenx

+senx

xcos = 3

senx.xcosxcosxsen 22

= 3

xcos.senx1

= 3 senx.cosx =31

Piden:C = sen3x.cosx + senx.cos3x

Factorizando:

C = senx.cosx( 1

xcosxsen 22 ) C =

31

.cosxsenx

C =31

Identidadestrigonométricas II27


Test de aprendizaje previo1. Reducir: C = secx cscx - cotx

Identidades auxiliares

1. tanx + cotx = secx.cscx

2. (senx ± cosx)2 = 1 ± 2senx.cosx

3. sen4x + cos4x = 1 - 2sen2x.cos2x

4. sen6x + cos6x = 1 - 3sen2x.cos2x

Veamos algunas aplicaciones en los siguientes ejemplos:

1. Reducir: C = (secx.cscx - tanx)(tanx + cotx)

Resolución:En la expresión note los cambios:

C = ( xcotxtan

xcsc.xsec

- tanx)( xcsc.xsec

xcotxtan )

C = (tanx + cotx - tanx)secx.cscxC = cotx.secx.cscx


C =senx

1.

xcos1

.senx

xcos

Reduciendo:

C =xsen

12 C = csc2x

2. Siendo: tanx + cotx = 6calcular: C = sen6x + cos6x

Resolución:En la condición:

tanx + cotx = 6 secx.cscx = 6

senx . cosx =6

1

En la expresión pedida:C = sen6x + cos6x

C = 1 - 3 2

6

1

22 xcos.xsen

C = 1 - 3.61

= 1 -21

... C =21

3. Siendo:

senx + cosx =45

calcular:C = sen4x + cos4x

Resolución:En la condición, elevando al cuadrado:

senx + cosx =45

xcos.senx21

2)xcossenx(

=45

2senx.cosx =41 senx.cosx =

81

Piden:C = sen4x + cos4x

C = 1 - 2 2

81

22 xcos.xsen

C = 1 - 2641

= 1 -321

... C =3231

2. Reducir:2(senx cosx)1

C2cosx

Test de Aprendizaje


3. Reducir:4 4

2

sen x + cos x -1C=

2sen x

4. Hallar "n" en la igualdad:(s e c x c s c x - 2 c o t x ) t a n x = t a n

n x - 1

5. Si: tanx + cotx = 6 , calcular: C = tan2x + cot2x

6. Reducir: K = secx.cscx - cotx

1. Hallar el valor agudo de “x” que verifica:

sen2x.cotx.cscx = 0,5

a) 37° b) 53° c) 30°d) 60° e) 45°

2. Hallar el valor agudo de “x” que cumple:

tanx.secx.senx = 3

a) 37° b) 53° c) 30°d) 60° e) 45°

Practiquemos3. Hallar el valor agudo de “x” que cumple:

1xcotxcsc1xtanxsec

= 1

a) 30° b) 45° c) 37°d) 53° e) 60°

4. Hallar “x” agudo que cumple:

xcosxcscsenxxsec

= 3

a) 30° b) 60° c) 45°d) 37° e) 15°

7. Si: tanx + cotx = 3; calcule: K = secx.cscx

8. Hallar:

2xcosxsen

1xcosxsenK

66

44

9. Reducir: K = (senx + cosx)2 + (senx - cosx)2

10.Si: 3senx + 4cosx = 5; halle "senx"

Practiquemos


11.Reducir: C = (secx.cscx - cotx)cosx

a) senx b) cosx c) senx.cosxd) sen2x.cos2x e) 1

12.Reducir: L = (secx.cscx + 2tanx)tanx - 1

a) 2tan2x b) 3tan2x c) 2cot2xd) 3cot2x e) 1

13.Siendo: tanx + cotx = 6calcular: C = (senx + cosx)2

a)31

b)32

c)34

d) 2 e)35

14.Siendo: tanx + cotx = 4calcular: L = (senx - cosx)2

a) 1 b)21

c)41

d)81

e)161

15.Siendo: tanx + cotx = 6calcular: C = (senx + cosx)6

a)3

16b)

916

c)964

d)2764

e)2716

16.Siendo: tanx + cotx = 3calcular: L = (senx - cosx)4

a)361

b)181

c)91

d)94

e)98

17.Simplificar:

C =2

xcosxsen 44 -

3xcosxsen 66

a)21

b)31

c)61

d)121

e)241

5. Siendo: tanx - cotx = 3calcular: C = tan2x + cot2x

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

6. Siendo: tanx + cotx = 5calcular: L = tan2x + cot2x

a) 25 b) 23 c) 27d) 7 e) 3

7. Siendo:

senx + cosx =89

calcular: C = senx.cosx

a)81

b)41

c)161

d)21

e)163

8. Siendo:

senx - cosx =21

calcular: L = senx.cosx

a)21

b)43

c)83

d)41

e)81

9. Siendo: senx + cosx = n

hallar: C = tanx + cotx

a)1-n

22 b)

1-n

12 c)

1n

22

d)1n

12

e)1n

n22

10.Siendo: senx - cosx = n

hallar: L = secx - cscx

a)1-n

n2 b) 2n-1

n2c)

1-n

n22

d) 2n-1

ne) 2

2

n-1

n2


18.Simplificar:

L =5xcosxsen

3xcosxsen66

44

a)23

b)61

c)34

d)32

e)31

19.Siendo: tanx + cotx = 3

calcular: C = sen2x.tanx + cos2x.cotx

a)613

b)313

c)67

d)37

e)87

1. En trigonometría se definen tres líneas trigonométricasauxiliares; llamadas: verso, coverso y exsecante;denotadas y definidas por:

vers = 1 - coscov = 1 - sen

exsec = sec - 1según lo anterior, reducir:

C =1-)cos1()sen1(

4-covvers22

22

a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e) -21

2. Demostrar que:(vers + cov - 1)2 = 2vers.cov

3. Simplificar:

C =

cov.vers1)cov(vers 222

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16


calcular:

L =xcsc-xsecxcscxsec

a) 3 b) 5 c) 3

d) 5 e) 2 5

5. Siendo:

(tanx + cotx) =xcosxsen

xcosxsen66

44

calcular: ( 6 )

a)34

b)32

c)31

d) 3 e)23



calcular: L = sen4x.tanx + cos4x.cotx

a)1613

b)1615

c)4

17

d)411

e)413

Autoevaluaciòn


Tarea domiciliaria

1. Demostrar que:

tanx + cotx = secx.cscx

2. Demostrar que:

sec2x + csc2x = sec2x.csc2x

3. Demostrar que:

secx.cscx - tanx = cotx

4. Demostrar que:

sec2x.csc2x - cot2x = sec2x + 1

5. Demostrar que:

sen4x + cos4x - 1 = -2sen2x.cos2x

6. Demostrar que:6 6

2sen x cos x-1

sen x = -3cos2x


6 6sen x cos x 1 2

3sen x cos x 1


6 6sen x cos x 3 2

3sen x cos x 5

9. Demostrar que:

(1 + senx + cosx)2 covx.versx = 2sen2x.cos2x

10.Demostrar que:2(1-senx cos x)versx

cov x = 2sen2x

11.Demostrar que:

sen8x + cos8x = 1 - 4sen2x.cos2x + 2sen4x.cos4x

12.Demostrar que:

sec4x + csc4x - sec4x.csc4x = -2sec2x.csc2x

13.Simplificar:

C = (secx.cscx - cotx)cscx

a) 1 b) cosx c) senxd) sec2x e) secx

14.Reducir:

C = (secx.cscx - tanx)secx

a) senx b) cscx c) tanxd) cotx e) 1

15.Simplificar:

C = sec2x.csc2x - cot2x - tan2x

a) 1 b) 2 c) 12

d) -2 e) -1

16.Reducir:

C = sec2x.csc2x - tan2x - 1

a) sec2x b) csc2x c) tan2xd) cot2x e) 1

17.Simplificar:

C =4 4 6 6sen x cos x sen x cos x -

2 3

a) 12 b) 1

3 c) 16

d) - 16 e) - 1

2

18.Reducir:

C = 3(sen4x + cos4x) - 2(sen6x + cos6x)

a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e)21

19.Reducir:

C = (sen2x - cos2x)2 - 1

a) sen2x.cos2x b) -sen2x.cos2xc) 2sen2x.cos2x d) -2sen2x.cos2xe) -4sen2x.cos2x

20.Reducir:

C = 3(sen2x - cos2x)2 - 4(sen6x + cos6x)

a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 0

Tarea domiciliaria



calcular: C = (senx + cosx)2

a) 13 b) 2

3 c) 1

d) 43 e) 5

3

22.Siendo: tanx + cotx = 4calcular: C = (senx - cosx)2

a) 12 b) 1

4 c) 18

d) 16 e) 1

12

23.Siendo: tanx + cotx = 6calcular: C = sen6x + cos6x

a) 12 b) 1

3 c) 14

d) 16 e) 1

12

24.Si se sabe que: tanx + cotx = 2 2calcular: C = sen4x + cos4x

a) 12 b) 1

4 c) 34

d) 54 e) 1

25.Siendo: senx + cosx = 12

calcular: C = versx.covx

a) 12 b) 1

4 c) 16

d) 18 e) 1

16



1. Señale la suma del máximo y mínimo valor que puedetomar:

C = 4 s e n + 1; IR

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8


L = 2 + 3sen; IR

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6


C = 5 - 3cos; IR

a) 5 b) 6 c) 7d) 9 e) 10


L = 7 - 4cos; IR

a) 6 b) 12 c) 7d) 14 e) 16

5. Demostrar que:

sec2x + csc2x = sec2x.csc2x ... (propiedad)

6. Demostrar que:

(tanx + 1)2 + (cotx + 1)2 = sec2x.csc2x + 2secx.cscx

7. Reducir:

C = {(1 + tan2x)cosx + xtan1 2 }cosxsi: x IC

a) secx b) 2 c) 2secxd) 1 e) cosx

8. Reducir:L = (sec2x - 1)cotx + (csc2x - 1)tanx

a) 1 b) senx.cosx c) secx.cscxd) 2senx.cosx e) 2secx.cscx


calcular:C = tan3x + cot3x

a) 27 b) 15 c) 17d) 18 e) 21

10.Siendo:tanx - cotx = 2

calcular:

L =1xcotxtan1xcot-xtan

22

33

a) 3 b) 5 c) 7d) 2 e) 4

11.Sabiendo que: <50°; 270°>; señale la suma delmáximo y mínimo valor entero que puede tomar:

C = 4sen + 1

a) 3 b) 4 c) 10d) 12 e) 14

12.Sabiendo que: [60°; 180°>; señale la suma delmáximo y mínimo valor entero que puede tomar:

L = 8cos + 1

a) - 8 b) - 6 c) - 1d) - 2 e) 0

13.Reducir:

C = [sen2x(1 - cos2x) + cos2x(1 - sen2x) - 1]sec2x

a) 2sen2x b) 2cos2x c) - 2sen2xd) - 2cos2x e) - 2

14.Reducir:

L = [sen4x(1 - cos2x) + cos4x(1 - sen2x) - 1]csc2x

a) - 3sen2x b) 3sen2x c) - 3cos2xd) 3cos2x e) - 3

Miscelánea V28Practiquemos Practiquemos

PractiquemosPractiquemos



1. Reducir:C = (secx + cosx)2 + (cscx + senx)2 - (tanx - cotx)2

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

2. Reducir:

L = )xcos1)(senx1)(xcsc-x(seccotx)(cscx-)xtanx(sec 22

a) senxcosx b) 2senxcosx c) secxcscxd) 2secxcscx e) 2

3. Sabiendo que:

1xcosxsen 88 = k(1 - sen2x.cos2x)¿cuál es el valor de “k”?

a) 1 b) 2 c) 2

d) 2 2 e) 4

4. Reducir:

C =1-xcotxcsc

1-xtanxsec44

44

a) tan2x b) tan4x c) tan6xd) tan8x e) tan16x

5. Siendo:tanx + cotx = n

reducir:L = sec4x.csc2x + sec2x.csc4x

a) n b) n2 c) n3

d) n4 e) n6

15.Simplificar:

C =1xcscxsec

xcsc.xsec-)1x(csc)1x(sec 2222

a) 1 b) 2 c) - 2d) - 1 e) 4

16.Simplificar:

L =xcsc-xsec-1

xcsc.xsec-)1-x(csc)1-x(sec 2222

a) 2 b) 1 c) - 1d) - 2 e) 4

17.Siendo:

senx + cosx =23

calcular: C = sen4x + cos4x

a)83

b)21

c)85

d)43

e)87

18.Siendo:

senx - cosx =32

calcular: L = sen6x + cos6x

a)67

b)125

c)43

d)1211

e)127

19.Si: sen4x + cos4x = n

hallar: C = sen6x + cos6x

a)2

1-n3b)

23n-1

c)3

1-n2

d)32n-1

e)2

1n3

20.Si: sen6x + cos6x = m

hallar: L = sen4x + cos4x

a)3

1-m2b)

31m2

c)2

1m3

d)2

1-m3e)

31-m3

Autoevaluaciòn


Tarea domiciliaria

1. Si: <37°; 180°], señale el valor máximo de:

C = 4sen + 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Señale el valor máximo de:

C = 3 - 2cos ; ;3

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


C = 4sen + 1 ; IR

a) [- 3, 5] b) [- 1; 3] c) [- 2; 5]d) [- 4; 5] e) [- 1; 5]


C = 2cos + 1 ; II C

a) [- 1; 1> b) <- 1; 1> c) [- 1; 1]d) <- 1; 2> e) <0; 1>


C = 7sen - 1 ; IV C

a) <- 6; 1> b) <- 5; 1> c) <- 8; - 1>d) <- 7; 0> e) <- 7; - 1>

6. Simplificar:

C = senx tanx1 cos x

a) senx b) cosx c) tanxd) cotx e) 1

7. Reducir:

C = cos x-cot x1-senx

a) cosx b) cotx c) -cosxd) -cotx e) -1

8. Reducir:

C = (3senx + 2cosx)2 + (2senx - 3cosx)2

a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13

9. Reducir:

C = (2senx + cosx)2 + (senx - 2cosx)2

a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

10.Reducir:

C = sen2x(1 + cos2x + cos4x + cos6x) + cos8x

a) 1 b) 2 c) 1 + sen2xd) 1 + cos2x e) cos2x

11.Reducir:

C = cos2x(1 + sen2x + sen4x + sen6x + sen8x) + sen10x

a) 1 b) 2 c) 0d) sen2x e) cos10x

12.Siendo:

(tanx + 1)2 + (cotx + 1)2 = sec2x + csc2x + 2k

hallar “k”.

a) 1 b) tanx c) cotxd) tanx + cotx e) 2

13.Siendo:

(3senx + cosx)2 + (senx + 3cosx)2 = 10 + 12ktanx

hallar “k”

a) senx b) sen2x c) cosxd) cos2x e) cotx

14.Reducir:

C =4 4 6 6sen x cos x sen x cos x -

2 3

a) 12 b) 1

3 c) 16

d) - 16 e) 1

12

15.Reducir:

C = 6(sen4x + cos4x) - 4(sen6x + cos6x)

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 6

Tarea domiciliaria


16.Siendo:tanx + cotx = 8

calcular:C = (senx + cosx)2

a) 13 b) 2

3 c) 1

d) 43 e) 5

4

17.Siendo:tanx + cotx = 8

calcular:C = (senx - cosx)2

a) 14 b) 1

2 c) 34

d) 54 e) 1

8

18.Siendo:

senx + cosx =45


a) 1633 b) 15

32 c) 3132

d) 56 e) 9

16

19.Siendo:

senx - cosx = 56


a) 1516 b) 17

18 c) 2526

d) 4748 e) 95

96

20.Siendo:4 4 6 6sen x cos x sen x cos x

m n

hallar: C = sec2x + csc2x

a) m-n3m-2n b) 3m-2n

m-n c) m n3m-2n

d) 3m-2nm n e) m n

m-n

21.Siendo:4 4 6 6sen x cos x sen x cos x

6 5

calcular:C = sec2x + csc2x

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16

22.Si: 3senx + 4cosx = 5

calcular:C = 2senx + cosx

a) 1 b) 3 c) - 1d) 2 e) 4

23.Reducir:

C = sec x tanx 1sec x- tanx 1

- sec x- tanx-1

sec x tanx-1

a) 2secx b) - 2secx c) 2cosxd) 2cscx e) 2tanx

24.Calcular:C = tanx + cotx

si:senx + tanx = 1

a) 2 + 1 b) 2 - 1 c) - 2 - 1

d) 3 + 1 e) 3 - 1

25.Siendo:sen10x + cos10x = a + bsen2x.cos2x + csen4x.cos4x

calcular:K = 2a + b - 3c

a) -18 b) - 20 c) 18d) - 15 e) 6



Objetivos

• Desarrollar fórmulas para las razones trigonométricas dela suma y/o diferencia de ángulos; para calcular el valorde las razones trigonométricas de ángulos desconocidos.

• Aplicar convenientemente las fórmulas en lademostración de igualdades y simplificación deexpresiones, así como la resolución de problemascondicionales.

• Adaptar el uso de fórmulas a la resolución de situacionesgeométricas que implican hallar razones trigonométricasde ángulos desconocidos.

Fórmulas básicas

I. Para la suma de variables

sen(x + y) = senx.cosy + seny.cosx

cos(x + y) = cosx.cosy - senx.seny

tan(x + y) = ytan.xtan-1ytanxtan

Por ejemplo: (complete)

• sen() = sen.cos +

• sen(70° + x) = sen70°.cosx +

• cos(20° + x) = cos20°.cosx -

• cos( + 10°) =

• tan( + 10°) =-1

tan

• tan(45° + ) =

II. Para la diferencia de variables

sen(x - y) = senx.cosy - seny.cosx

cos(x - y) = cosx.cosy + senx.seny

tan(x - y) =ytan.xtan1

ytan-xtan

Por ejemplo: (complete)

• sen() = sen.cos -

• sen(20° - ) =

• cos(70° - x) = cos70°.cosx +

• cos(30° - x) = cos30°.cosx +

• tan(x - 20°) = _______________

• tan(60° - ) = _______________

Vamos a resolver ejercicios similares a los del capítulo deidentidades trigonométricas de una variable; esto es:demostración, simplificación y condicionales; con elingrediente adicional de situaciones geométricas, es decir,problemas gráficos.

Por ejemplo:

1. Demostrar que:

sen.coscos.sen-)(sen

= 1

Resolución:

En el primer miembro, desarrollando:

sen.coscos.sen-)(sen

= 1

sen .cos + sen .cos - sen .coscos .sen

= 1

Queda:

sen.coscos.sen = 1

Reduciendo: 1 = 1 (demostrado)

2. Demostrar que:

cos.cos)-(sen

= tan - tan

Resolución:

Desarrollando en el primer miembro:

cos.cos)-(sen

= tan - tan

cos.coscos.sen-cos.sen

= tan - tan

Desdoblando en fracciones homogéneas:

cos.coscos.sen

-

cos.coscos.sen

= tan - tan

Identidades trigonométricasde la suma y diferencia

de ángulos29


Reduciendo:

tan

cossen

-

tan

cossen

= tan - tan

tan - tan = tan - tan

3. Reducir:C = cos(60° + x) + cos(60° - x)

Resolución:Desarrollando en el segundo miembro:

C = cos(60° + x) + cos(60° - x)C = cos60°.cosx - sen60°.senx + cos60°.cosx + sen60°.senx

Reduciendo:C = 2cos60°.cosx

pero: cosx =21

C = 2

21

.cosx C = cosx

4. Reducir:C = tan + tan + tan.tan; si: + = 45°

Resolución:

Como: + = 45° tan( + ) = tan45°Desarrollando:

tan.tan-1tantan

= 1

tan + tan = 1 - tan.tanTrasladando términos:

C

tan.tantantan = 1

C = 1

5. Siendo: sen =10

3; sen =

5

2

siendo “” y “” agudos, calcular: tan( - )

Resolución:

Como:

sen =10

3 3

1

10 tan = 3

sen =5

2 2

1

5

tan = 2

Entonces:

tan( - ) =

tan.tan1tan-tan

tan( - ) =2.31

2-3

tan( - ) =71

6. Del gráfico mostrado, calcular “tan”.

A B

D C

4

1

5

Resolución:

Del gráfico:

A B

D C

4

1

5y

- Sea: DBA = x; DCA = yLuego: = x + y ... (prop. geométrica)

tan = tan(x + y)

tan =ytan.xtan-1ytanxtan ... (1)

- DAB: tanx = 4

- ADC: tany =54

En (1):

tan =

54

.4-1

54

4 =

511

-

524

tan = -1124

(demostrado)


7. Señale el valor de: tan29°

Resolución:

Piden:tan29° = tan(45° - 16°)

tan29° =

16tan.45tan116tan-45tan


1. Completa de forma correcta:sen(a + b) = sena cosb + ....

2. Complete de forma correcta:cos(a + b) = cosa cosb - ....

3. Reducir:

sen(x+θ)- senx cosθ

C=cosx cos

θ

4. Reducir:

cos(x+θ)+ senx senθ

C=senxcos

θ

5. Reducir:

sen(x - y)+ senycosxC=cos(x - y)- senx seny

Reemplazando valores:

tan29° =

247

.11

247

-1

=

24312417

Reduciendo:

tan29° =3117

6. Reducir: C = sen(x + y) - senycosx

7. Complete: cos(x + y) = cosx.cosy ..........

8. Reducir:

sen(x y)seny cos xCcos x cos y

9. A qué es igual: C = sen20°cos25° + sen25°cos20°

10.A qué es igual: C = cos40°cos20° - sen40°sen20°

Test de Aprendizaje


Practiquemos

1. Demostrar que:

seny.senxxcos.seny-)yx(sen

= coty

2. Demostrar que:

ycos.xcosxcos.seny)y-x(sen

= tanx

3. Demostrar que:

cos(30° + x) + cos(30° - x) = 3 cosx

4. Demostrar que:

cos

x-

3 - cos

x3

= 3 senx

5. Demostrar que:

)yxtan(ytanxtan

= 1 - tanx.tany

6. Demostrar que:

)y-xtan(ytan-xtan

- 1 = tanx.tany

7. Demostrar que:

sen15° =4

2-6

8. Demostrar que:

sen75° =4

26

9. Demostrar que:

tan29° =3117

10.Demostrar que:

tan21° =11744

11.Reducir:

C =

sen.sen)cos(cos.sen-)(sen

a) tan b) tan c) cotd) cot e) 1

12.Reducir:

L =

.coscos-)-cos(cos.sen)-(sen

a) tan b) tan c) cotd) cot e) 1

13.Reducir:

C = ycos.xcos)y-x(sen

+ tany

a) 1 b) tanx c) cotxd) tany e) 2tanx

14.Reducir:

L = ycos.senx)yxcos(

+ tany

a) cotx b) tanx c) - cotxd) - tanx e) 0

15.Siendo:tanx + tany + tanz = 4

calcular:

C = ycos.xcos)yx(sen

+ zcos.ycos)zy(sen

+xcos.zcos)xz(sen

a) 3 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

16.Reducir:

L = ycos.xcos)y-x(sen

+ zcos.ycos)z-y(sen

+xcos.zcos)x-z(sen

a) 1 b) 0 c) 2d) - 2 e) - 1

17.Sabiendo que “” y “” son ángulos agudos, tales que:

sen =13

3 sen =

5

1

calcular: tan( - )

a)73

b)37

c)74

d)72

e)71

Practiquemos


18.Sabiendo que “” y “” son ángulos agudos, tales que:

cos =29

2 cos =

13

2

calcular: tan( + )

a) 1116

b) - 1116

c) 116

d) - 116

e) 711

19.Del gráfico, calcular “tan”.

A N B

M

C2

2

65

a)3716

b)3715

c)3712

d)3717

e)3713

20.Del gráfico, calcular “tan” si ABCD es un cuadrado.

A

B

D

CE2 5

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

1. Sabiendo que:

5

1ii}sen{ = 0;

5

1ii}{cos = 0

calcular:

C =

5

1ii

5

1ii )}{cos()}(sen{

a) 1 b) - 1 c) 0

d)21

e) -21

2. Calcular:

C =2

70sen25cos25sen

80sen20cos320sen

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. Siendo: x + y = 60°, calcular:

L = tanx + tany + 3 tanx.tany

a) 1 b) 2 c) 3

d) 3 3 e) 3

4. Si en el gráfico ABCD es un cuadrado, calcular latangente del menor ángulo formado por AE y CF .

A

B

D

CE2 5

F 6

a)6117

b)6125

c)6127

d)6128

e)6131

5. Siendo “A”, “B” y “C” los ángulos interiores de un triánguloacutángulo, calcular:

E = tanA + tan2B + tan3Csi: tanA + 1 = tanB = tanC - 1

a) 16 b) 19 c) 27d) 30 e) 32

Acepta el reto TRILCE ...!Test de Aprendizaje


Tarea domiciliaria

1. Demostrar que:

sen()-sen .coscos .cos

= tan

2. Demostrar que:

sen(- )sen .cossen .sen

= cot

3. Demostrar que:

cos()sen .sensen .cos

= cot

4. Demostrar que:

cos(- )-cos .cossen .cos = tan

5. Demostrar que:

sen(45° + x) = 22

(senx + cosx)

6. Demostrar que:

sen(60° - x) = 12 ( 3 cosx - senx)

7. Demostrar que:cos(60° + x) + cos(60° - x) = cosx

8. Demostrar que:

cos(30° + ) + cos(30° - ) = 3cos

9. Si: a + b = 45°; demuestre que:

tana + tanb + tana . tanb = 1

10.Si: a - b = 45°; demuestre que:

tana - tanb - tana . tanb = 1

11.Demostrar que:sen(a + b) sen(a - b) = sen2a - sen2b

12.Demostrar que si: x + y + z = 180°entonces: tanx + tany + tanz = tanx.tany.tanz

13.Calcular el valor de “sen15°”

a) 6- 22

b) 6 22 c) 6- 2

4

d) 6 24 e) 6- 2

8

14.Calcular: cos74°

a) 0,14 b) 0,21 c) 0,28d) 0,48 e) 0,76

15.Simplificar:

C =sen(x y)cos x.cos y

- tany

a) tanx b) cotx c) cotyd) -tanx e) tany

16.Reducir:

C =sen(x-y)

cos x.cos y + tany

a) tanx b) cotx c) secxd) cscx e) 1

17.Reducir:

C =cos(x-y)

senx.cos y - cotx

a) 1 b) tany c) cotyd) cotx e) tanx

18.Reducir:

C =cos(x y)senx.cos y

+ tany

a) tanx b) cotx c) cotyd) 2tanx e) 2cotx

19.Si: x + y = 45°; tanx = 16

calcular: tany

a) 37 b) 3

5 c) 47

d) 45 e) 5

720.Siendo:

x - y = 60°; tany = 2 3

calcular: tanx

a) 0,4 3 b) -0,4 3 c) 0,6 3

d) -0,6 3 e) -0,12 3

Tarea domiciliaria


21.Del gráfico, calcular “tan” si ABCD es un cuadrado.

A

B

D

C

E2 5

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

22.Del gráfico, calcular: tan

2

3

5A D

CB

a) 811 b) 11

8 c) 1611

d) 3211 e) 9

11

23.Calcular:

C = tan56 - tan34tan22

a) 1 b) 2 c) 4

d) 14 e) 1

2

24.Siendo: sen(2x + y) = 5senyse comprueba que: tan(x + y) = ntanx¿Cuál es el valor de “n”?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 23 e) 3

2

25.Del gráfico, calcular: K = a2 + b2 + c2 + abc

a

b

c

OA D

BC

1

a) 2 b) 3 c) 4d) 8 e) 6



Objetivos Desarrollar fórmulas para calcular las razones

trigonométricas del doble de un ángulo. Aplicar las fórmulas del ángulo doble a la demostración

de igualdades y la simplificación de expresiones.

Fórmulas básicas

I. Para el seno del doble: (sen2)

sen2 = 2sencos

8sen40sen2sen

II. Para el coseno del doble: (cos2)

cos2 = cos2 - sen2

cos440cos2cos

III. Para la tangente del doble: (tan2)

tan2 =

2tan-1

tan2

20tan

2tan

Los ejercicios que vamos a resolver son de las mismascaracterísticas que de los capítulos anteriores: demostraciónde igualdades, simplificación de expresiones, ejercicioscondicionales y situaciones gráficas.

Por ejemplo:

1. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: tan = 2/3; calcular“sen2”.

Resolución:

De la condición: tan =32

En un triángulo rectángulo:

3

213

Luego:s e n 2 = 2sen.cos

sen2 = 2.13

2 .13

3 sen2 =1312

2. Demostrar que:(s e n x + c o s x )

2 = 1 + sen2x

Resolución:

En el primer miembro, desarrollando:(senx + cosx)2 = 1 + sen2x

sen x + 2senx.cosx + cos x2 2

1

= 1 + sen2x

1 + x2sen

xcos.senx2 = 1 + sen2x

1 + sen2x = 1 + sen2x

3. Simplificar:C = 4sen.cos.cos2

Resolución:Recuerde que: 2sen cos = sen2En la expresión:

C = 4sen.cos.cos2

C = 2.

2sen

cos.sen2 .cos2

Luego:

C =

4sen

2cos.2sen2

C = sen4

4. Simplificar:

C =

2cos-1

2cos-1

Resolución:En la expresión:

C =

2cos-1

2cos-1 =

2

22

sen

)sen-cos(-1

C =

2

22

sen

sencos-1

C =

2

22

sen

sensen =

2

2

sen

sen2

C = 2

(demostrado)

Identidades trigonométricasdel ángulo doble30


5. Siendo:

sen + cos =45

calcular “sen2”

Resolución:Recuerde que: sen2 = 2sen.cosEn la condición, elevando al cuadrado:

(sen + cos)2 =

2

45

1 +

2sen

cos.sen2 =45 1 + sen2 =

45

sen2 =41

6. Siendo:sec2x + csc2x = n csc22x

¿Cuál es el valor de “n”?

Resolución:En la condición, pasamos a senos y cosenos:

sec2x + csc2x = n csc22x

xcos

12 +

xsen

12 = n.

x2sen

12

xsen.xcos

xcosxsen22

22 =

x2sen

n2

xcos.xsen

122 = 2)xcos.senx2(

n

xcos.xsen

122 =

xcos.xsen4

n22

Reduciendo:

1 =4n n = 4

7. Del gráfico, calcular “x”.

A D B

C

x3

2

Resolución:En el gráfico:

A D B

C

x3

2

5

- DBC: BC = 5

- ABC: cos2 =x5

... (1)

Pero: cos2 = cos2 - sen2

y en el DBC: cos =35

sen =32

Luego:

cos2 =95

-94

=91

En (1):

91

=x5 x = 9 5



1. Reducir:

sen

2senC

2. Reducir: C = cos2 + sen2

3. Si: tan=32

; calcule: sen2

4. Si: tan =5

1; calcular: cos2

5. Reducir: C = (1 - tan2) tan2

6. Completar correctamente: sen2 = 2sen....

7. Completar correctamente: cos2 = cos2 - ....

8. Si: tan = 41

; "" es agudo, calcular: sen2

9. Simplificar: C = sen cos cos2 cos4

10.Hallar "n" en la igualdad: cot + tan =n

sen2

θ

1. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: cot = 4, calcular“sen2”.

a)154

b)174

c)158

d)178

e)1715

Practiquemos

2. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: tan = 2/5,calcular “sen2”.

a)2921

b)2920

c)2910

d)2917

e)2919

Practiquemos

Test de Aprendizaje


12.Simplificar:

L = (2cos - sen2)(1 + sen)

a) sen3 b) 2sen3 c) 2cos3d) cos3 e) cos2

13.Señale el equivalente de:

C = sen.cos.cos2.cos4

a) sen4 b) 4sen4 c)41

sen4

d) 8sen8 e)81

sen8

14.Señale el equivalente de:

L = sen.cos.cos2

a) sen4 b) 2sen4 c)21

sen4

d) 4sen4 e)41

sen4

15.Reducir:

C = cos4 - sen4

a) cos22 b) cos4 c) cos2

d)21

cos2 e) 2cos2

16.Reducir:

L = sen.cos5 - sen5.cos

a) sen4 b)21

sen4 c) 2sen4

d)41

sen4 e) 4sen4

17.Siendo:2

senx =

3xcos

calcular: C =x2cos1x2cos-1

a)32

b)91

c)49

d) 9 e)94

3. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: sen = 1/ 6 ,calcular “cos2”.

a)32

b)31

c)65

d)32

e)63

4. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: tan= 1/ 6 ,calcular: “cos2”

a)32

b)65

c)75

d)43

e)31

5. Siendo: cos =3

1; IVC, calcular “tan2”..

a) 2 b) 2 2 c) - 2

d) -2 2 e) - 4 2

6. Siendo: sen =65

; IIC; calcular “tan2”

a) -2 5 b) - 5 c) 5

d) -25

e)25

7. Demostrar que:

(s e n 2 .sec)2 + (sen2.csc)2 = 4

8. Demostrar que:

(sen2.sec + sen2.csc)cot = 3cos

9. Demostrar que:

1 - cos2 = 2sen2

10.Demostrar que:

1 + cos2 = 2cos2

11.Simplificar:

C = (sen2 + 2sen)(1 - cos)

a) sen3 b) 2sen3 c) 2cos3d) cos3 e) 2sen2


18.Siendo:4

senx = cosx

calcular:

L =x2senx2cos1x2senx2cos-1

a) 2 b) 4 c)41

d)161

e) 16

19.Siendo: senx + cosx =23

; calcular “sen2x”..

a)21

b)41

c)32

d)43

e)31

20.Siendo: senx - cosx =32

; calcular “sen2x”..

a)32

b)31

c)61

d)65

e)43

21.Del gráfico, calcular “cos ”, si: CP = 3 y DQ = 5

A

B

C

D

O Q

P

a) 32

b) 53

c) 65

d) 125

e) 61

22.Del gráfico, calcular “cos”:

Q

a b

2P R

a) ba

b) ab

c) ba2

d) b2a

e) a2b

1. Demostrar que:

sec2x + csc2x + 4sec22x = 16csc24x

2. Reducir:C = c o t - tan - 2tan2

a) 4tan2 b) 4cot2 c) 4cot4d) 2cot4 e) 8cot4

3. Reducir:L = 8cos4 - 8cos2 + 1

a) cos4 b) 4cos22 c) 2cos4d) cos24 e) 2cos24


4. Siendo:tanx.tan2x + tany.tan2y + tanz.tan2z = 6

calcular:C = cotx.tan2x + coty.tan2y + cotz.tan2z

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

5. Siendo:c o s 2 x + c o s

22x + cos32x = 1

calcular:L = tanx + tan2x + tan3x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Autoevaluaciòn


Tarea domiciliaria

1. Siendo “” un ángulo agudo tal que:

tan = 23

Calcular: sen2

a) 1213 b) 6

13 c) 113

d) 313 e) 5

13

2. Siendo “” un ángulo agudo, tal que:

tan = 14

calcular: sen2

a) 415 b) 8

15 c) 417

d) 817 e) 16

17

3. Siendo “” un ángulo agudo tal que:

tan = 16

Calcular: cos2

a) 17 b) 2

3 c) 37

d) 47 e) 5

7

4. Siendo “” un ángulo agudo, tal que:

tan = 27

calcular: cos2

a) 211 b) 3

11 c) 411

d) 511 e) 6

11

5. Demostrar que:

(senx + cosx)2 = 1 + sen2x

6. Demostrar que:

(senx - cosx)2 = 1 - sen2x

7. Demostrar que:

tanx + cotx = 2csc2x

8. Demostrar que:

s e n

2x.cotx + cos2x.tanx = sen2x

9. Demostrar que:

cos4x - sen4x = cos2x

10.Demostrar que:

cos2x.cotx - sen2x.tanx = 2cot2x

11.Demostrar que:

1 - cos2x = 2sen2x

12.Demostrar que:

1 + cos2x = 2cos2x

13.Demostrar que:

cotx - tanx = 2cot2x

14.Demostrar que:

secx - cscx =2(senxcos x)

sen2x

15.Simplificar:C = 8sen.cos.cos2.cos4

a) sen4 b) 2sen4 c) sen8

d) 2sen8 e) 12 sen8

16.Simplificar:C = 4senx.cosx.cos2x

a) sen2x b) sen4x c) 2sen4x

d) 4sen4x e) 12 sen4x

17.Simplificar:

C = senx.cos3x - sen3x.cosx

a) sen2x b) 12 sen2x c) sen4x

d) 12 sen4x e) 1

4 sen4x

Tarea domiciliaria


18.Reducir:C = senx.cos5x - sen5x.cosx

a) sen2x b) sen4x c) 14 sen2x

d) 14 sen4x e) 1

2 sen4x

19.Reducir:

C = 1 - cos2x1 cos2x

a) tanx b) tan2x c) cotxd) cot2x e) 2tan2x

20.Reducir:

C = 1 - cos2xsen2x

a) senx b) tanx c) cotxd) tan2x e) cot2x


calcular: sen2x

a) 14 b) 1

2 c) 18

d) 22

e) 24


calcular: sen2x

a) 16 b) 1

3 c) 23

d) 112 e) 1

9

23.Siendo: senx - cosx = 12

calcular: sen2x

a) 12 b) 1

4 c) 32

d) 34 e) 1

24.Simplificar:C = sec2x + csc2x + 4sec22x

a) 16csc22x b) 16csc24x c) 4csc24xd) 8csc22x e) 16sec24x

25.Si:tanx + tan2x + tan3x = 1

calcular:C = cos2x + cos22x + cos32x

a) 1 b) 2 c) 0d) -1 e) -2



Objetivos

Determinar las medidas de los elementos básicos de untriángulo: sus lados y ángulos; a partir de algunosconocidos.

Simplificar expresiones que contengan a los elementosde un triángulo.

¿Qué es resolver un triángulo?

Dado el triángulo oblicuángulo ABC, resolverlo significadeterminar las medidas de sus lados y ángulos; a partir dealgunos de ellos conocidos, utilizando para ello propiedadesgeométricas y otras propias del curso, tales como el teoremade los senos y de los cosenos.

A C

B

b

c a

Teoremas a utilizar

I. Teorema de los senos:

En todo triángulo se cumple que sus lados sonproporcionales a los senos de los ángulos a los cualesse oponen; siendo la constante de proporcionalidad, eldiámetro de la circunferencia circunscrita a dichotriángulo. En el triángulo ABC del gráfico, se cumple:

ca

bA

B

C

R

senAa

=senB

b =

senCc

= 2R

R: circunradio

De donde se cumple:

a senB = b senAb senC = c senBc senA = a senC

a = 2R senAb = 2R senBc = 2R senC

II. Teorema de los cosenos

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de un ladoes igual a la suma de los cuadrados de los otros dos,menos el doble del producto de los mismos multiplicadospor el coseno del ángulo que forman.

En el triángulo ABC del gráfico, se cumple:

A

C

B

ac

b

a = b + c - 2bc cosA

b

c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

= a + c - 2ac cosB

= a + b - 2ab cosC

De donde se puede afirmar que:

b + c - = 2bc cosA2 2 2

2 2 2

2 2 2

a

a + c - b = 2ac cosB

a + b - c = 2ab cosC

Veamos algunas aplicaciones en los siguientes ejemplos:

1. En un triángulo ABC: A = 45°; B = 60°; a = 6. Calcular “b”..

Resolución:

45º 60º

b a = 6

A B

C

Del gráfico:

senAa

=senB

b

45sen6

=60sen

b

Resolución detriángulos oblicuángulos31


Despejando:

b =

45sen60sen.6 =

2223

.6 =

2

36 .2

2

b = 3 6

2. Al cercar un terreno tal como se muestra en el gráfico,se toman tres puntos “P”, “Q” y “R”; notándose que:PQ = 217,5 m; RPQ = 42° y QRP = 23,5°. Calcular lalongitud de QR y PR .

P

R

Q

Resolución:

P

R

Q217,5

y

x

23,5º

42º

114,5º

Del gráfico: RQP = 114,5°Por el teorema de los senos:

42senx

= 5,23sen5,217

= 5,114seny

i.42sen

x = 5,23sen

5,217 x =

5,23sen42sen.5,217

con calculadora: x = 39875,0)66913,0(5,217

= 364,98 m

ii. 5,114seny

= 5,23sen5,217 y =

5,23sen

5,114sen.5,217

y = 39875,0)90996,0.(5,217

= 496,34 m

3. En un triángulo ABC: a = 3; b = 5 y c = 6. Calcular m B.

Resolución:En el gráfico se tiene:

b = 5 a = 3

c =6A B

C

b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB 52 = 32 + 62 - 2(3)(6)cosB

25 = 9 + 36 - 36cosBDespejando:

36cosB = 20

cosB =95 B = Arccos

95 56,25°

4. Se desea calcular la distancia entre los puntos “A” y “B”,inaccesibles por un gran lago entre ellos. Se toma unpunto “P” de la superficie de donde se divisa a “A” y “B”a distancias 120 y 150 m, notándose que BPA = 58,6°.

Resolución:Graficando la situación y aplicando el teorema de loscosenos:

x120

150

58,6º

A

BP

x2 = 1202 + 1502 - 2(120)(150)cos58,6°x2 = 14 400 + 22 500 - 36 000(0,521)

Operando:x2 = 36 900 - 18 756

x2 = 18 144 = 18144 x 134,6997 m

5. En un triángulo ABC, reducir:

K =csenAasenCbsenAasenB

si: senB = 3senC

Resolución:

En la expresión:

K =csenAasenCbsenAasenB

recuerde que: asenB = bsenA y asenC = csenALuego:

K =asenCasenCasenBasenB

=asenC2asenB2

Reduciendo: K =senCsenB

pero: senB = 3senC

K =senCsenC3

K = 3


6. En un triángulo ABC; reducir:

K =senBsenAba

+senCsenAca

si: R: circunradio

Resolución:Recordar que:

a = 2RsenA; b = 2RsenB; c = 2RsenC

Luego reemplazando en la expresión:

K =senBsenARsenB2RsenA2

+senCsenARsenC2RsenA2

K =senBsenA

)senBsenA(R2

+senCsenA

)senCsenA(R2

Reduciendo: K = 2R + 2R K = 4R

7. En un triángulo ABC:

p(p - c) =43

ab

calcular C , si “p” es el semiperímetro del triángulo ABC.

Resolución: Como: p =2

cba

La condición sería:

p (p - c ) =

43

ab

2

cba

c-

2cba

=43

ab

2

cba

2

c-ba =

43

ab

((a + b) + c)((a + b) - c) = 3ab

Por diferencia de cuadrados:

2)ba( - c2 = 3ab

a2 + b2 + 2ab - c2 = 3ab

222 c-ba = ab

2ab cosC = ab

cosC =21 C = 60°


1. Del gráfico, hallar "x".

x

B

A C

2 3

60° 45°

2. Del gráfico, hallar "x".

2

B

A C

x

60°3

3. Del gráfico, hallar ""

B

A C

3 2 2

45°

4. Del gráfico, hallar ""

B

A C

3 2

7

5. En un ABC, reducir:

2 2 2a b cE secC

ab

* Desarrollar en forma correlativa

6. Completar

a bsenA ..........

Test de Aprendizaje


1. En un triángulo ABC: A = 45°; C = 30°; a = 6.Calcular “c”.

a) 3 b) 3 2 c) 2 2

d) 2 6 e) 6

2. En un triángulo ABC: A = 45°; B = 37°; b = 30.Calcular “a”.

a) 25 2 b) 5 2 c) 10 2

d) 15 2 e) 20 2

3. En un triángulo ABC: A = 72°; B = 65°; a = 17..Calcular “b”.

a) 17,25 b) 17,20 c) 16,20d) 16 e) 18,20

4. En un triángulo ABC: A = 66°; C = 20°; c = 14.Calcular “a”.

a) 31,394 b) 37,294 c) 36,294d) 37,394 e) 35,274

5. En un triángulo ABC: A = 78°; B = 27°; a = 8.Calcular “c”.

a) 8,72 b) 8,17 c) 8,26d) 7,96 e) 8,1

6. En un triángulo ABC: A = 64°; C = 48°; b = 5.Calcular “a”.

a) 4,847 b) 4,726 c) 4,916d) 4,146 e) 4,236

7. En un triángulo ABC: a = 6; b = 3 y C = 60°.Calcular “c”.

a) 2 6 b) 3 6 c) 3 2

d) 3 3 e) 2 3

8. En un triángulo ABC: b = 3; c = 4; A = 120°.Calcular “a”.

a) 35 b) 37 c) 29

d) 23 e) 33

9. En un triángulo ABC: a = 7; b = 8 y c = 9. Calcular “B ”..

a) 62°27'32'' b) 61°31'14'' c) 58°24'43''d) 57°14'26'' e) 56°17'13''

10.En un triángulo ABC: a = 5; b = 6 y c = 7. Calcular “ C ”..

a) 77°31'43'' b) 75°14'36'' c) 74°27'16''d) 67°32'43'' e) 78°27'47''

11.En un triángulo ABC, donde “R” es su circunradio,simplificar:

E =

basenBsenA

senCsenBcb

a) R2 b) 2R2 c)2

R2

d) 4R2 e) 1

Practiquemos

7. En el gráfico, hallar ‘‘Cos’’.

2 3

4


a = 6 ; b = 7 ; c = 5

hallar: cosA

9. En un triángulo ABC, el CosA es equivalente a:

a) a2 -b2+c2 b) 2 2 2b c a2bc c) (a2 -b2)c2

d) 2 2 2c b a2ac e) 5

10.En el gráfico, hallar ‘‘b’’.

6 b

37°

A

B C30°

Practiquemos


12.En un triángulo ABC, donde “R” es su circunradio, reducir:

E =senB-senAb-a

+senC-senBc-b

a) R b) 2R c) 3Rd) 4R e) 6R

13.En un triángulo ABC, simplificar:

E = (a - b)senC + (b - c)senA + (c - a)senB

a) abc b) a - b + c c) a + b + cd) 0 e) 1


E = a(senB - senC) + b(senC - senA) + c(senA - senB)

a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) - 2

15.En un triángulo ABC:3a

=4b

=6c

, calcular C .

a) 116°49'17'' b) 118°32'46'' c) 119°27'43''d) 118°31'47'' e) 123°43'26''

16.En un triángulo ABC:5a

=7b

=8c

.

Calcular la medida del mayor ángulo del triángulo.

a) 80°37'43'' b) 81°55'47'' c) 82°16'54''d) 83°17'15'' e) 84°27'16''

17.En un triángulo ABC: a2 = b2 + c2 -21

bc, calcular “cos2A””

a)85

b) -85

c)87

d) -87

e) -81

18.En un triángulo ABC: b2 = a2 + c2 -31

ac. Calcular

“cos2B”

a) -43

b)1817

c) -1817

d)43

e) -169

19.Se desea calcular la distancia entre dos puntos “A” y “B”inaccesibles por un lago entre ellos. Para ello se tomaun punto “P” de la superficie de donde se divisa a “A” y“B” a 18 m y 23 m respectivamente, notándose ademásque BPA = 60°.

a) 20,95 m b) 23,17 m c) 21,46 md) 25,18 m e) 26,19 m

20.Con la ayuda de un teodolito se divisa un edificio bajoun ángulo de 60°, notándose que las visuales trazadashacia las partes alta y baja del edificio, miden 40 m y20 m respectivamente. Calcular la altura del edificio.

a) 36,26 m b) 34,64 m c) 41,16 md) 38,26 m e) 42,16 m

1. En qué tipo de triángulo ABC se cumple:

acos A = b

cosB = ccosC

a) isósceles b) rectánguloc) equilátero d) acutánguloe) obtusángulo

2. En el gráfico, señale el equivalente de “cot” en funciónde “A”, “B” y “C”.

P

A C

B


a) cotA + cotB + cotC b) cotA.cotB.cotCc) tanA + tanB + tanC d) secA + secB + secCe) secA.secB.secC

3. Del gráfico, calcular “x”.

A C

B

2 7x

60º

a) 4,09 b) 3,76 c) 4,21d) 3,93 e) 4,17

Autoevaluaciòn


I. Aspectos conceptuales

Complete correctamente en los espacios en blanco:

- Si un arco “” pertenece al IIC, entonces “sen” está en

el intervalo ................... .

- Si un arco “” pertenece al IIC, entonces “cos” está en

el intervalo ................... .

- El máximo valor de “senx” es ...................; mientras

que el mínimo valor de “cosx” es ................... .

- Por identidades trigonométricas de una variable, se sabe

que: sen2 + cos2 = ....................... ; mientras que:

sec2 = 1 + ....................... ; y tan =sen

- Con I.T. de la suma y diferencia de ángulos, secomprueba que:

sen(x + y) = senx.cosy + ........................

cos(x + y) = cosx.cosy - ........................

tan(x + y) =ytanxtan

- Según las I.T. del ángulo doble, se comprueba que:

sen2 = 2sen . ..........................

cos2 = cos2 - ..........................

- En un triángulo ABC:

senAa

=senB

=c

Así como también: a2 = b2 + c2 - ....................

II. Habilidad operativa

1. Señale la variación de: C = 5sen + 3; IR

Resolución:

2. Señale la variación de: L = 3cos + 1; IIC

Resolución:

3. Sabiendo que: <25°; 180°], señale la extensiónde: C = 4sen + 1

Resolución:

Repaso

4. En un triángulo ABC: a = 5; b = 6 y c = 7. Calcular:

E =senC-senAsenB2senC-senBsenA2

a) 0,3 b) 0,6 c) 0,9d) 0,5 e) 0,8

5. En un triángulo ABC de lados enteros y consecutivos, elángulo mayor es el doble del menor. Calcular elperímetro del triángulo.

a) 15 b) 18 c) 30d) 36 e) 24


4. Demostrar que: (1 + tan2x)cos4x + (1 + cot2x)sen4x = 1

Resolución:

5. Demostrar que:(3senx + cosx)2 + (senx + 3cosx)2 = 10 + 12senx.cosx

Resolución:

6. Reducir: C =4xcot5xcsc5xtan4xsec

Resolución:

7. Reducir: L = (secx.cscx - tanx)(secx.cscx - cotx)

Resolución:

8. Si: senx + cosx = n; demuestre que:

secx + cscx =1-n

n22

Resolución:

9. Si: senx =10

3; seny =

17

4; calcular “tan(y - x)”

Resolución:

10.Simplificar: C =

sen.senx-)-xcos(cos.senx-)x(sen

Resolución:

11.Reducir: L = sen2(tan + cot)

Resolución:


12.Reducir: C =

2sen2cos-1

Resolución:

13.Siendo: tan + cot = n

demostrar que: sen2 =n2

Resolución:

14.Del gráfico, calcular:senBsenA

2 5

A B

C

Resolución:

15.Del gráfico, calcular “x”.

30ºA C

B

5

x 2 3

Resolución:

III. Situaciones problemáticas

1. En la C.T. mostrada, señale la variación del área de la

región sombreada, si 65

;32

A' A

B

B'

M N

Resolución:

2. Si: tanx + cotx = n; demuestre que:

senx + cosx + secx + cscx = (1 + n)n

2n

Resolución:


3. a) Si: x + y + z = 180°, demuestre que:tanx + tany + tanz = tanx.tany.tanz

b) En un triángulo ABC:3

Atan=

4Btan

=5

Ctan; calcular:

“tanB”

Resolución:

4. a) Demuestre que: 2sen2 = 1 - cos2

b) Sabiendo que:

n

1ii

2 }sen{ = k; hallar: C =

n

1ii}2{cos

Resolución:

5. En un triángulo ABC, se sabe que: a2 + b2 + c2 = nR2

(R: circunradio). Hallar, en función de “n”:L = cos2A + cos2B + cos2C

Resolución:


3senA

=5

senB =

7senC

calcular “ B ”. (use calculadora)

Resolución:

1. Calcular “b”.

A

B

Cb

5

30°

37°

a) 10 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

2. Calcular “c”

150°

A B

C

c

7

16°

a) 7 b) 12,5 c) 25d) 12 e) 24

Tarea domiciliariaTarea domiciliaria


3. En un triángulo ABC, A = 45°; B = 60°; b = 6 . Calcular“a”.

a) 1 b) 2 c) 2

d) 3 e) 3

4. Dado un triángulo ABC, simplificar:

E = asenB - bsenA

a) 0 b) 1 c) -1

d) 12 e) - 1

2

5. En un triángulo ABC se cumple:

asenA + bsenB + csenC = 3R

siendo R: circunradio del ABC. Calcular “a2 + b2 + c2”

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

6. Calcular “cosA”.

A

B

C4

63

a) 13 b) 3

5 c) 19

d) 1924 e) 4

5

7. Calcular “x”.

2 x

60°5

a) 17 b) 18 c) 19

d) 20 e) 21

8. Calcular “a”.

B

CA

a

3 + 1

3 - 1120°

a) 2 2 b) 6 c) 2 3

d) 10 e) 2

9. Calcular “tan”

2 6

5

a) 558

b) 29 c) 3

8

d) 58 e) 55

3

10.En un triángulo ABC se cumple que:

2 2 2 2a b c bc3

Calcular: cot A2

a) 2 b) 3 c) 2

d) 2 2 e) 3 2

11.En un triángulo ABC, se cumple:

b2 = a2 + c2 - 2 ac

Calcular la medida del ángulo "B".

a) 30° b) 60° c) 45°d) 120° e) 135°

12.Los lados de un triángulo miden 1 m, 2 m y 7 m,calcular la medida del mayor ángulo.

a) 72° b) 82° c) 120°d) 135° e) 150°

13.Hallar la medida del ángulo “B” en un triángulo ABC, si:a = 5; b = 7; c = 8.

a) 60° b) 30° c) 45°d) 37° e) 53°

14.Dado un triángulo ABC, donde se cumple: a = 2 2b c -bcHalle la m A.

a) 15° b) 30° c) 53°d) 45° e) 60°

15.Calcular “x”.

60º5

3 x

a) 21 b) 19 c) 17

d) 15 e) 3


16.Las longitudes de los lados de un triángulo son 7; 8 y13 m. Hallar el mayor ángulo.

a) 135° b) 150° c) 120°d) 127° e) 105°

17.Calcular “x”.

a x

2

a) 2acos b) acos c) 2asend) asen e) 4asen

18.En un triángulo ABC se cumple:

a b ccos A cosB cosC

¿Qué tipo de triángulo es?

a) rectángulo b) escalenoc) acutángulo d) equiláteroe) hay dos respuestas

19.Dado un triángulo ABC, simplificar:

P = senA senBa b - senC

c

a) -1 b) 1 c) 0

d) 12 e) 2


senA senB c aEsenB senC b c

a) 1 b) 12 c) 1

4d) 2 e) 4

21.Calcular la longitud de la circunferencia circunscrita aun triángulo ABC, donde se cumple:

2asenA + b

senB + 3csenC = 24

a) p b) 2p c) 3pd) 4p e) 5p

22.En un triángulo ABC, se cumple: a2 + b2 + c2 = 10,calcular:

E = ab.cosC + bc.cosA + ac.cosB

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

23.En el triángulo mostrado calcular "cos6x", si: AB = CD.

80°CDA

Bx

20°

a) 22

b) 12 c) 3

2

d) 34 e) 3

5

24.Dado un triángulo ABC donde:

(a + b + c)(a + b - c) = 12 ab

Calcular “cosC”

a) - 12 b) - 2

3 c) - 34

d) - 38 e) - 1

3

25.Las longitudes de los lados de un triángulo son tresnúmeros consecutivos. Si el coseno del mayor ánguloes 1/5, calcular el perímetro.

a) 12 b) 15 c) 18d) 21 e) 24

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