INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA INDUSTRIAL RAFAEL NAVIA VARÓN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ONCE
EAP IP. NÚMEROS REALES - Representación de números reales 1. A partir de la unidad fraccionaria 1/3, representa en la recta real: 1/3, 4/3, 6/3, -2/3 Solución:
2. En el diseño de un ingeniero aparece un triángulo equilátero cuyo lado mide 8
. Indica un procedimiento para que el ingeniero pueda tomar la medida de la longitud de dicho lado y pintar el triángulo. Solución: Sobre la recta real se construye un triángulo rectángulo con dos unidades por longitud de cada uno de sus
catetos, en el que se puede comprobar que la hipotenusa mide 8
. Se toma esta medida con un compás y se lleva sobre la recta real cortando la misma en dicha posición.
3. Un delineante debe pintar un cuadrado cuyo lado debe medir 11 indica como puede obtener la medida de dicho lado. Solución: Sobre la recta real se construye un triángulo rectángulo con dos unidades por longitud de uno de los lados y tres en el otro, en el
que se pude comprobar que la hipotenusa mide 10
. La hipotenusa de este triángulo se usa como cateto de otro triángulo rectángulo. El otro cateto se toma de
una unidad y la nueva hipotenusa medirá 11
4. Representa en la recta real los siguientes números:
5443
25
−−
Solución:
h h h h
5− 43
− 0 4 25
5. Representa en la recta real 26 utilizando el Teorema de Pitágoras. Solución:
22 1526 += 1 0 5 26
- Clasificar números reales 1. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón: a) 0,55555555... b) 0,125689312... c) 1,3525252... d) 0,75 Solución: a) 0,55555555...→ RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en forma fraccionaria b) 0,125689312... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico. c) 1,3525252... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en forma fraccionaria d) 0,75→ RACIONAL porque es un número decimal exacto 2. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón: a) 1,3030030003... b) 2,1245124512... c) 4,18325183251... d) 6,1452453454... Solución: a) 1,3030030003... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico. b) 2,1245124512... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en
forma fraccionaria. Su periodo es 1245 c) 4,18325183251... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en
forma fraccionaria. Su periodo es 18325 d) 6,1452453454... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico. 3. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:
a) 2π
b) 23
c) 3
3
d) 100001
1−
Solución:
a) 2π
→ IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no periódico.
b) 23
→ IRRACIONAL, ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales no periódicas.
c) 33
→ IRRACIONAL , ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras decimales no periódicas.
d) 1000011
−
→ RACIONAL porque el cociente de la fracción es un número decimal periódico. - Intervalos, semirrectas y entornos 1. Escribe y dibuja y nombra los siguientes intervalos:
2x1- d) 3x0 c) -1x4- b) 0x3- a) ≤≤<≤≤<<<
Solución: a) Abierto (-3,0) b) Abierto por la izquierda (-4,-1] c) Abierto por la derecha [0,3) d) Cerrado [-1,2]
2. Escribe y dibuja los siguientes intervalos:
1x d) x0 c) x1- b) 1x a) ≤≤<−<
Solución:
a) ( )1,−∞−
b) ( )+∞−1,
c) [ )+∞0,
d) ( ],1∞−
3. Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones:
( ) ( )( ) ( )( ] [ )( ) ( ) =−−∞
=∞∞
=∞∞
=∞∞
47,-3- d)0,,0- c)0,,0- b)
0,,0- a)
∪∩∩∪
Solución: ( ) ( ) ( ) { }( ) ( )( ] [ ) { }( ) ( ) ( )3,47,-3- d)
00,,0- c)00,,0- b)
0,0,,0- a)
−∞−=−−∞
=∞∞
/=∞∞
−∞∞−=∞∞
∪∩∩∪
4. Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones: ( ) ( )( ) ( )( ) [ ]( ) [ ] =−
=−
=−−∞
=−−∞
2,24,4- d)2,24,4- c)
47,,-3- b)47,,-3- a)
∩∪∩∪
Solución: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ] ( )( ) [ ] [ ]2,22,24,4- d)
4,42,24,4- c)47,47,,-3- b)3,47,,-3- a)
−=−
−=−
−−=−−∞
−∞−=−−∞
∩∪∩∪
5. Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones:
( ) ( )( ) ( )( ] [ )( ) ( ) =−−∞
=∞∞
=∞∞
=∞∞
47,-3- d)0,,0- c)0,,0- b)
0,,0- a)
∪∩∩∪
Solución: ( ) ( ) ( ) { }( ) ( )( ] [ ) { }( ) ( ) ( )3,47,-3- d)
00,,0- c)00,,0- b)
0,0,,0- a)
−∞−=−−∞
=∞∞
/=∞∞
−∞∞−=∞∞
∪∩∩∪
- Operar utilizando las propiedades de las potencias 1. Expresa el resultado como potencia única:
( ) ( ) 43
5-2
432
6:6- c)
72
72 b)
43 a)
−−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )74343
35-2
24432
666:6- c)
72
72
72 b)
43
43 a)
−=−=−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−−
−
2. Expresa los números como multiplicación de factores iguales y luego en forma de potencia:
( ) ( ) ( )
6251 d)
128- c)
555
1 b)
53
53
53 a)
−⋅−⋅−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
Solución:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
44
7
3-3
3
551
6251 d)
2- 128- c)
5-5-1
5551 b)
53
53
53
53 a)
−==
=
==−⋅−⋅−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
3. Expresa en forma de una potencia que tenga como base un número primo: a) 5 · 5 · 5 · 5
b) ( ) ( ) ( )3·3·3 −−−
c) 2·2·2·2·2
1
d) 81 e) −27
f) 251
Solución: a) 5 · 5 · 5 · 5 = 54
b) ( )( )( ) ( )333·3·3 −=−−−
c)
5
21
2·2·2·2·21
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
d) 81 = 34
e) ( )3327 −=−
2
51
251
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
4. En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes y expresa el resultado como potencia única:
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) 24223
4532
6 : 66 b)
5- : 5-5- a)
−⋅
⋅
Solución:
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1881081082524223
74564564532
666:66:66 : 66 b)
555:555- : 5-5- a)
====⋅
−=−=−−⋅−=⋅
−−−−−
−+
5. Utiliza las propiedades adecuadas para expresar el resultado de la siguiente operación como una única potencia:
21
52
16·328·4
−
−
Solución:
( ) ( )( ) ( )
143
11
85
154
2415
5322
21
522
22
2·22·2
2·2
2·216·328·4 −
−
−
−
−
−
−
−
====
- Operar números en notación científica 1. Escribe los siguientes número en notación científica e indica su orden de magnitud. a) 91.700.000.000 b) 6.300.000.000.000 c) 0,00000000134 d) 0,071 Solución: a) 91.700.000.000= 9,17 · 1010. Orden 10 b) 6.300.000.000.000= 6,3 · 1012. Orden 12 c) 0,00000000134= 1,34 · 10-9. Orden -9 d) 0,071=7,1 · 10-2. Orden -2 2. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, expresando el resultado en notación científica: a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107) b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103) d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3) Solución: a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107) = 3,57 · 10-2 b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) = 4 · 10-1 c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103) = 9,4 · 1015 d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3) = 1,8 · 1012 3. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales: a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7) b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3) c) (4,1 · 102) · 103 d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7) Solución: a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7) = 5,32 · 104 b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3) = 8,99 · 10-8 c) (4,1 · 102) · 103 = 4,1 · 105 d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7) = 3,57 · 10-2 4. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales: a) (4,5 · 10-7) : ( 1,5 · 104) b) (3,6 · 109) : ( 1,2 · 10-7) c) (6,5 · 10-4) : ( 1,3 · 10-6) d) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) Solución: a) (4,5 · 10-7) : ( 1,5 · 104) = 3 · 10-11 b) (3,6 · 109) : ( 1,2 · 10-7) = 3 · 1016 c) (6,5 · 10-4) : ( 1,3 · 10-6) = 5 · 1010
d) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3)= 4 · 10-1 = 0.4 5. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales: a) (1,46 · 105) + ( 9,2 · 104) b) (2,96 · 104) - ( 7,43 · 105) c) (9,2 · 1011) · ( 5,4 · 103) d) (2,9 · 10-7) : ( 1,4 · 10-5) Solución: a) (1,46 · 105) + ( 9,2 · 104) = 2,38 · 105 b) (2,96 · 104) - ( 7,43 · 105) = -7,13 · 105 c) (9,2 · 1011) · ( 5,4 · 103) = 4,97 · 1015 d) (2,9 · 10-7) : ( 1,4 · 10-5) = 2,07 · 10-2 - Aplicar las propiedades de los radicales 1. Escribe las siguientes raíces como exponentes fraccionarios y simplifica cuanto se pueda:
a) 5 103
b) 7 142
c) 67
Solución:
a) 9333 25
105 10 ===
b) 4222 2714
7 14 ===
c) 343777 326
6 === 2. Saca del radicando la mayor cantidad posible de factores:
.800d);240c);250b);405a) 3
Solución:
.22025252800d)
.3025322532240c)
.10552552250b)
.595353405a)
225
333 43
3
24
=⋅=⋅=
=⋅⋅=⋅⋅=
=⋅=⋅=
==⋅=
3. Simplifica los siguientes radicales:
a) 9 38
b) 3 16
c) 3 37
Solución:
a) ( ) 2228 9 99 339 3 ===
b) 322216 3 43 ==
c) ( ) 7777 2
161
36 3 ===
4. Expresa como radical:
.143
374
6
517
2
432
7
43
2d);13c);5b);10a) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Solución:
.222d);131313c);555b);1010a) 21
4221
10 3103
206
14 3143
286
8 31831
=======
5. Saca del radicando la mayor cantidad posible de factores:
.352d);32c);9000b);3240a) 2434 563 ⋅⋅⋅
Solución:
.21502352352d)
.126323232c)
.1060525325329000b)
.15653235233240a)
2243
44 24 56
323
333 343
=⋅⋅=⋅⋅
=⋅⋅=⋅
=⋅⋅⋅=⋅⋅=
=⋅⋅=⋅⋅=
6. Expresa como radical:
.3 513 4 65 47 3 11d);2c);7b);10a)
Solución:
.11d);22c);7b);10a) 1526 352 62821 =
7. Extrae del radicando el mayor número de términos posible:
.6480d);171311c);5400b);235a) 44 76537 152313 ⋅⋅⋅⋅
Solución:
.565325326480d)
;1713112431171311171311171311c)
;2565325325400b)
;235540235235235a)
444 444
4 324 324 765
33 23 2333
7 267 26237 152313
=⋅=⋅⋅=
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅
=⋅=⋅⋅=
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅
- Operar con radicales 1. Efectúa los siguientes cocientes:
.27:81d);2:64c);7:28b);3:15a) 775533
Solución:
.3d);232c);4b);5a) 753 =
2. Reduce los siguientes radicales a índice común:
.13,7,5b);10,2,3a) 6101575
3. Realiza las siguientes operaciones:
.33 24128111b);83275054a) −−+
Solución:
.311
3223333212331124128111323224;33381b)
.25262724
223272554832750
542228;255250a)
3
33333333 3333 43
32
=
=−=⋅−⋅=−⇒=⋅===
=−+=
=⋅−+⋅=−+⇒===⋅=
4. Realiza las siguientes operaciones:
.285175523433b);1250
511623a) 44 −−−
Solución:
.7971072721
7257552773727228;7575175;777343b)
.28229
25512331250
51162325521250;2332162a)
223
444
444444 4444 44
=−−=
=⋅−⋅−⋅⇒=⋅==⋅===
=−=
=⋅−⋅=−⇒=⋅==⋅=
- Racionalizar
1. Racionaliza:
a) 73
b)
7 54
c) 23
6−
Solución:
a)
773
7773
=
b)
554
55
54 7 6
7 67
7 6=
c)
( )( )( )
( ) ( )23623236
2323236
+=−
+=
+−
+
2. Racionaliza:
a)
3 76
5
b)
5 76
4
c)
4 56
Solución:
a)
216365
6636
6566
5
6
5 3
3 23
3 2
323 7===
b)
96
3664
666
64
66
4
6
4 5 35 3
5 35 2
5 3
5 25 7====
c)
556
55
5656 4 3
4 34
4 3
4==
3. Racionaliza:
a) 3235 +
b) 3732
+
+
c) ba
a+
Solución:
a)
( )3
6335333235 +=
+
b)
( )( )( )( ) 4
337361437
337361437373732 −+−
=−
−+−=
−+
−+
c)
( )( )( )
( )babaa
bababaa
−
−=
−+
−
4. Racionaliza:
a) x - 3x3 +
b) x-51x5 ++
c) 323 +
Solución:
a)
x3x9
x - 3 x - 3 x - 3x3 2
−
−=
+
b)
( ) ( )x5
x-51x5x-5x-5x-51x5
−
++=
++
c)
( )363
33323 +=
+
5. Racionaliza:
a) 3121
−
+
b) 75
9+
c) 6265
+
+
Solución:
a)
( )( )( )( ) 2
623131
623131313121 +++
−=−
+++=
+−
++
b)
( )( )( )
( ) ( )2
75975759
7575759 −
−=−
−=
−+
−
c) ( )( )( )( ) 4
612301062
612301062626265 −+−
−=−
−+−=
−+
−+
6. Racionaliza:
a) 232 +
b) 3526
c) 723523 +
Solución:
a)
( )2
62222232 +=
+
b)
562
1566
335326
==
c) ( ) ( )
1473523
77273523 +=
+