![Page 1: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/1.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Determina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
1) una es )(423)( 3 xfxxxf →+−=
2) 2{)(2
1)( −ℜ=→
−= fDom
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
1
2
1lim)(lim
2
2
22
x
xx
xf
x
x
xx
==−
=
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−
−∞→−∞→=
∞−=
−= 0
12
1lim)(lim
xxf
xx
Por la derecha: +
=∞+
==+∞→+∞→
011
lim)(limx
xfxx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
s asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
asíntotas. tieneno por tanto, y, polinómicafunción una
}2{}02/2 −ℜ==−xx
)( de A.V. es 2
0
1
2
10
1
2
1
xfx =⇒
+∞==−
−∞==−
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
derecha lapor y asíntota la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
1
s asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
asíntotas.
encima.por está derecha
![Page 2: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/2.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
3) {)(1
)( 2 −ℜ=→−
−= xfDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
1
1lim)(lim
1
1
211 x
xxf
x
x
xx
==−
−=•
−→
−→
−→−→
+
−
lim
lim
01
1lim)(lim
1
1
211 x
xxf
x
x
xx
=−=−
−=•
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−∞→−∞→=Ι
∞+∞+=
−−= )(
1lim)(lim
2x
xxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→=Ι
∞+∞−=
−−= )(
1lim)(lim
2x
xxf
xx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}1,1{}01/ 2 −−ℜ==−xx
)( de A.V. es 1
0
1
1
0
1
1
2
2
xfx
x
xx
x
−=⇒
−∞==−
−
+∞==−
−
−
+
+
−
)( de A.V. es 1
01
1lim
01
1lim
2
2
xfx
x
xx
x
=⇒
−∞=−=−
−
+∞=−=−
−
+
−
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+
−∞→−∞→=
∞−−=−=−
011
limlim2 xx
xxx
−
+∞→+∞→=
∞+−=−=−
011
limlim2 xx
xxx
derecha lapor y asíntota la de encimapor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
2
debajo.por está derecha
![Page 3: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/3.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
4) {)(3
2)(
2
−ℜ=→−−= fDom
x
xxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
3
3
2lim)(lim
3
32
33 x
xxxf
x
x
xx
=−=−−=
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
=Ι∞−∞−=
−−=
−∞→−∞→)(
32
lim)(lim2
x
xxxf
xx
Por la derecha:
=Ι∞+∞−=
−−=
+∞→+∞→)(
3
2lim)(lim
2
x
xxxf
xx
No hay asíntotas horizontales � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
lim3
2
lim)(
lim
2
=−−
==•∞→∞→∞→ x
x
xx
x
xfm
xxx
131
1lim
3lim)(
3
2lim])([lim
2
−−=
−
−=−
−
=Ι∞∞=
−−=−=•
∞→∞→
∞→∞→
xxx
xx
x
x
xxmxxfn
xx
xx
( de A.O. es 1 Por tanto, fxy −−=
POSICIÓN Izquierda
100
100(2100
yAsíntota
yFunciónx
−=→
−=→⇒−=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}3{}03/{ −ℜ==−xx
)( de A.V. es 3
0
3
3
2lim
0
3
3
2lim
2
2
xfx
x
xx
x
xx
=⇒
−∞=−=−−
+∞=−=−−
+
−
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+∞=−=−=−∞→−∞→
)(limlim2
xx
xxx
−∞=−=−=+∞→+∞→
)(limlim2
xx
xxx
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua
31
12
lim3
2
lim)(3
2lim
22
2
2
2
2
2
2
=−
−=
−
−=Ι
∞∞=
−−
∞→∞→∞
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxxx
110
1
3
2lim
3
2lim)1(
22
−=⇒−=−−
−+−=
+
−−=
−−
∞→∞→
n
x
xxxx
x
xxx
xx
)(x
está )(
991
03,99103
102003100
)100()100 2
xf⇒
=−
≅−
−=−−−−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
3
)
, si tiene asíntota oblicua es la misma por
110110 −=⇒−=
−−
m
3lim
3
32
=−
−=
−∞→ x
xxxx
A.O. la de encimapor está
![Page 4: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/4.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Derecha
100100
)100(2100
yAsíntota
yFunciónx
−−=→
=→⇒=
5) {)(21
)( 2 −ℜ=→−+= xfDom
x
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
2
2
1lim)(lim 2
22 x
xxf
xx
+−=−+=•
−→−→
0
12
2
1lim)(lim
222 x
xxf
xx=+=
−+=•
→→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
por está )(
1011
03,101979800
3100)100() 2
xf⇒
−=−
−≅−=−
−
}2,2{}02/ 2 −−ℜ==−xx
0
12
2lim
0
12
2
1lim
1
22
22 x
x
x
x
x
x
x −=⇒
+∞=+−=−
−
−∞=+−=−+
=+
−−→
+−→
+
−
A.V. es 2
0
12
2lim
0
12
2
1lim
22
22 x
x
x
x
x
x
x =⇒
+∞=+=−
−
−∞=+=−+
=
+→
−→
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
4
A.O. la de debajopor
)( de A.V. es 2 xf−
)( de A.V. xf
![Page 5: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/5.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
−∞→−∞→=Ι
∞+∞−=
−+= )(
21
lim)(lim 2x
xxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→=Ι
∞+∞+=
−+= )(
21
lim)(lim 2x
xxf
xx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
6) −ℜ=→++= {)(
21
)( 2 xfDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−∞→−∞→=Ι
∞+∞−=
++= )(
21
lim)(lim 2x
xxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→=Ι
∞+∞+=
++= )(
2
1lim)(lim
2x
xxf
xxx
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−
−∞→−∞→=
∞−== 0
11limlim 2 xx
xxx
+
+∞→+∞→=
∞+== 0
11limlim 2 xx
xxx
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
ℜ==+ }02/ 2xx
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−
−∞→−∞→=
∞−== 0
11limlim 2 xx
xxx
+
+∞→+∞→=
∞+== 0
11limlim
2 xx
xxx
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
5
encima.por está derecha
![Page 6: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/6.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
7) {)(84
)(3
2
−ℜ=→+
−= fDomx
xxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
12
8
4lim)(lim
3
2
22 x
xxxf
x
x
xx
==+
−=
−→
−→
−→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−∞→−∞→=Ι
∞−∞+=
+−= )(
8
4lim)(lim
3
2
x
xxxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→=Ι
∞+∞+=
+−= )(
84
lim)(lim3
2
x
xxxf
xx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
derecha lapor y asíntota la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
}2{}08/{ 3 −−ℜ==+xx
de A.V. es 2
0
12
8
4lim
0
12
8
4lim
3
2
2
3
2
2fx
x
xx
x
xx
−=⇒
+∞==+
−
−∞==+
−
+−
−−
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−
−∞→−∞→=
∞−=== 0
11limlim
3
2
xx
xxx
+
+∞→+∞→=
∞+=== 0
11limlim
3
2
xx
xxx
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
6
encima.por está derecha
)(x
encima.por está derecha
![Page 7: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/7.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
8) {)(1
)(2
2
−ℜ=→−−= xfDom
xx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
011
lim)(lim
0
0
2
2
00 xx
xxf
x
x
xx
=−=−−=•
→
→
→→
lim)(001
lim)(lim12
2
11 xx
xxf
xxx=Ι=
−−=•
→→→
Observación
1)1(
2)(lim1 =⇒
∃/
=∃→ xf
xfx Discontinuidad evitable (“punto en blanco”)
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
)(1
lim)(lim2
2
=Ι∞+∞+=
−−=
−∞→−∞→ xxx xx
xxf
Por la derecha:
)(1
lim)(lim2
2
=Ι∞+∞+=
−−=
+∞→+∞→ xxx xx
xxf
)( de A.H. es 1 xfy =
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}1,0{}0/ 2 −ℜ==− xxx
)( de A.V. es 0
011
lim
011
lim
2
2
0
2
2
0xfx
xx
x
xx
x
=⇒
+∞=−=−−
−∞=−=−−
−
+
+
−
121
121lim
)1()1)(1(
lim11
xx
x
xx
xxx
=⇒=+=+=−
+−→
Discontinuidad evitable (“punto en blanco”)
HORIZONTALES
11limlim2
2
==−∞→−∞→ xx x
x
11limlim2
2
==+∞→+∞→ xx x
x
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
7
)
)( de A.V. es NO xf
![Page 8: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/8.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
(
1
99,0101009999
)100()100(1)100(
2
2
xf
y
y⇒
=→
==−−−−−=→
por está )(
1
01,19900
9999
100)100(
1)100(2
2
xf
y
y⇒
=
==−
−=
derecha lapor y asíntota la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
8
A.H. la de debajopor está )x
A.H. la de encimapor
encima.por está derecha
![Page 9: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/9.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
9) )(2
12)(
2
ℜ=→+
−−= fDomx
xxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
09
212
lim)(lim2
22 x
xxxf
x
x
xx
==+
−−=−→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
Ι∞−∞+=
+−−=
−∞→−∞→(
2
12lim)(lim
2
x
xxxf
xx
Por la derecha:
∞+∞+=
+−−=
+∞→+∞→(
212
lim)(lim2
x
xxxf
xx
No hay asíntotas horizontales � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
212
lim)(
lim
2
=+−−
==•+∞→∞→ x
x
xx
x
xfm
xx
5)5(lim5
lim
22
lim])([lim2
−=⇒−=−=−=
+−=−=•
∞→∞→
∞→∞→
nx
x
x
xxmxxfn
xx
xx
( de A.O. es 52 Por tanto, fxy −=
POSICIÓN Izquierda
100(2
100(2100
yAsíntota
yFunciónx
−=→
−=→⇒−=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}2{−−ℜ
A.V. es 2
09
212
lim
09
212
lim
2
2
2
2x
x
xx
x
xx
x
x −=⇒
+∞==+
−−
−∞==+
−−
+−→
−−→
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−∞===Ι−∞→−∞→
)2(lim2
lim)2
xx
xxx
+∞===Ι+∞→+∞→
)2(lim2
lim)(2
xx
xxx
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua
22lim2
lim)(2
12lim 2
2
2
2
===Ι∞∞=
+−−=
∞→∞→∞→ x
x
xx
xxxxx
5
lim2
4212lim2
21 22
−
=
+−−−−=
−−
∞→∞→ x
xxxxx
xxx
)(x
)(
2055)100
09,20598
200992100
1)100()100 2
xf⇒
−=−
−≅−
=+−
−−−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
9
)( de A.V. xf
tiene asíntota oblicua es la misma por
22 =⇒ m
)(3
15lim =Ι
∞∞=
−−−
∞ x
x
A.O. la de debajopor está )
![Page 10: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/10.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Derecha
)100(2100
)100(2100
yAsíntota
yFunciónx
=→
=→⇒=
10) )()2(
3)( 2 −ℜ=→
−−= fDom
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
1
)2(
3lim)(lim
0
2
202 xxf
x
x
xx
=−=−−=
→
→
→→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−
−∞→−∞→=
∞+−=
−−= 0
3
)2(
3lim)(lim
2xxf
xx
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
por está )(
1955)
09,195102
19899
2100
1)100()2
xf⇒
=−
≅=+
−−
}2{}02/{}0)2/({ 2 −ℜ==−−ℜ==− xxxx
( de A.V. es 2
0
3
)2(
3lim
0
3
)2(
3lim
2
22
xfx
x
x=⇒
−∞=−=−−
−∞=−=−−
+
+
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
10
A.O. la de encimapor
}
)x
![Page 11: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/11.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
+∞→+∞→=
∞+−=
−−= 0
3
)2(
3lim)(lim 2x
xfxx
izquierda lapor tanto; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay
11) {)()1(
2)(
2
2
−ℜ=→+−= fDom
x
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
1
)1(
2lim)(lim
1
1
2
2
11 x
xxf
x
x
xx
==+−=
−→
−→
−→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
2lim
)1(
2lim)(lim
22
2
+=
+−=
−∞→−∞→−∞→ xxx xx
xxf
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
−0
estáfunción la derecha lapor como izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
}1{}01/{}0)1/({ 2 −−ℜ==+−ℜ==+ xxxx
( de A.V. es 1
0
1
)1(
2lim
0
1
)1(
2lim
2
2
1
2
2
1
xfx
x
x
x
x
−=⇒
+∞==+−
+∞==+−
+
+
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
11limlim)(12 2
22
−=−=−=Ι∞+∞−=
++−
−∞→−∞→ xx x
x
x
x
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
11
A.H. la de debajopor
}
)x
![Page 12: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/12.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
2lim
)1(2
lim)(lim 22
2
+=
+−=
+∞→+∞→+∞→ xxx xx
xxf
)( de A.H. es 1 xfy −=
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf−=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
11limlim)(12
22
22
−=−=−=Ι∞+∞−=
++−
+∞→+∞→ xx x
x
x
x
está )(
1
02,19801
9998
)1100(
)100(22
2
xf
y
y⇒
−=→
−=−=+−
−−=→
por está )(
1
98,010201
9998)1100()100(22
2
xf
y
y⇒
−=
−=−=+
−=
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
12
A.H. la de debajopor está
A.H. la de encimapor
encima.por está derecha
![Page 13: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/13.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
12) {)()1(
)(2
3
−ℜ=→+
= fDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
1
)1(lim)(lim
2
3
11 x
xxf
x
x
xx
=−=+
=
−→
−→
−→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
=Ι∞+∞−=
+=
−∞→−∞→ x
xxf
xx)(
)1(lim)(lim 2
3
Por la derecha:
=Ι∞+∞+=
+=
+∞→+∞→ x
xxf
xx)(
)1(lim)(lim 2
3
No hay asíntotas horizontales � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados. nmxy +=
12lim)(
lim2
3
=++==•∞→∞→ x
xx
x
x
xfm
xx
2lim)(
12
2lim
2lim])([lim
2
2
2
3
−=Ι∞∞=
++−−=
+=−=•
∞→∞→
∞→∞→
xxx
xx
xx
xmxxfn
xx
xx
( de A.O. es 2 Por tanto, xfxy −=
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}1{}01/{}0)1/({ 2 −−ℜ==+−ℜ==+ xxxx
de A.V. es 1
0
1
)1(lim
0
1
)1(lim
2
3
1
2
3
1
fx
x
x
x
x
−=⇒
−∞=−=+
−∞=−=+
+−
+−
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−∞===++
=−∞→−∞→−∞→
xx
x
xx
xxxxlimlim
12lim 2
3
2
3
+∞===++
=+∞→+∞→+∞→
xx
x
xx
xxxxlimlim
12lim 2
3
2
3
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua
11limlim)(2
lim 3
3
23
3
⇒===Ι∞∞=
++ +∞→∞→∞→ x
x
xxx
xxxx
22)2(lim2
lim12
lim11
2
2
2
3
2
3
−=⇒−=−=
−=
−
++=
−
+
∞→
∞→∞→
nx
x
x
xxx
xx
xx
x
x
xx
)x
debajopor está )(
1022)100.(
02,102)1100(
)100(2
3
xf
y
y⇒
−=−−=→
−≅+−
−=→
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
13
)(x
es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
1=⇒ m
12
2 23
=
++−−
x
xxx
A.O. la de debajo
![Page 14: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/14.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
13) )(25
7)( 2 −ℜ=→
−= fDom
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
07
257
lim)(lim255 x
xf
x
x
xx
==−
=•
→
→
−→−→
lim
lim
0
7
25
7lim)(lim
5
5
255 xxf
x
x
xx
==−
=•
→
→
→→
+
−
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
está )(
982100
03,9810201
1000000)1100(
)100(2
3
xf
y
y⇒
=−=
≅=+
=
}5,5{}025/{ 2 −−ℜ==−xx
de A.V. es 5
07
257
lim
07
257
lim
25
25
fx
x
x −=⇒
−∞==−
+∞==−
−−→
+−→
+
−
)( de A.V. es 5
0
7
25
7lim
0
7
25
7lim
2
2
xfx
x
x =⇒
+∞==−
−∞==−
+
−
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
14
A.O. la de encimapor está
)(xf
![Page 15: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/15.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
+
−∞→−∞→=
∞+=
−= 0
7
25
7lim)(lim
2xxf
xx
Por la derecha:
+
+∞→+∞→=
∞+=
−= 0
7
25
7lim)(lim
2xxf
xx
izquierda lapor tanto; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
14) −ℜ=→+
= {)(4
)(2
4
xfDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
=Ι∞+∞+=
+=
−∞→−∞→ 2
4
)(4
lim)(limx
xxf
xxx
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+
+
encimapor está )( derecha lapor como izquierda xf
Como hay A.H. no hay A.O.
ℜ==+ }04/ 2xx
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+∞==−∞→−∞→
22
4
limlim xx
xxx
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
15
A.H. la de encima
![Page 16: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/16.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
=Ι∞+∞+=
+=
+∞→+∞→ 2
4
)(4
lim)(limx
xxf
xx
No tiene A.H.
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
lim4lim)(
lim2
4
=+==∞→+∞→∞→ xx
x
x
x
xfm
xxx
ordenadas de eje del
tanto tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
∞=
∞=
±∞→
±∞→
15) {)(16
24)(
2
2
−ℜ=→−
−= fDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
028
1624
lim)(lim 2
2
44 x
xxf
xx=−=
−−=•
−→−→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
+∞==+∞→+∞→
22
4
limlim xx
xxx
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua
hay nolimlim)(4 3
4
3
4
⇒∞===Ι∞∞=
+ ∞→∞→x
x
x
xx
xxx
OY) (eje ordenadas
rama una derecha lapor como izquierda lapor
}4,4{}016/{ 2 −−ℜ==−xx
A.V. es 4
028
1624
lim
028
1624
lim
2
2
4
2
2
4x
x
x
x
x
x
x −=⇒
+∞=−=−
−
−∞=−=−
−
−−→
+−→
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
16
tiene asíntota oblicua es la misma por
A.O.hay
dirección laen parabólica rama
)( de A.V. xf
![Page 17: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/17.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
lim
lim
0
28
16
24lim)(lim
2
2
44 x
xxf
x
x
xx
=−=−
−=•→→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
1624
limlim)(lim2
2
+−=
−−==
−∞→−∞→−∞→ xxx x
xxf
Por la derecha:
)(16
24lim)(lim
2
2
=Ι∞+∞−=
−−=
+∞→+∞→ xx x
xxf
)( de A.H. es 2 xfy −=
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
lapor tanto; )( de A.H. es 2y xf−=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
de A.V. es 4
0
28
16
24lim
0
28
16
24lim
2
2
4
2
2
4x
x
x
x
x
x
x =⇒
−∞=−=−
−
+∞=−=−
−
+→
−→
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
2)2(lim2
lim)(2
2
−=−=−=Ι∞+∞−
−∞→−∞→ xx x
x
2)2(lim2
lim2
2
−=−=−=+∞→+∞→ xx x
x
(
2
003,2998419996
16)100()100(24
2
2
xf
y
y⇒
−=→
−=−=−−
−−=→
está )(
2
003,29984
19996
16)100(
)100(242
2
xf
y
y⇒
−=
−=−=−
−=
debajopor está derecha lapor como izquierda la
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
17
)( xf
A.H. la de debajopor está )x
A.H. la de debajopor está
A.H. la de debajo
![Page 18: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/18.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
16) ℜ=→++
−= )(32
1)(
2fDom
xx
xxf
2
12420322 −±−=⇒=++ xxx
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−∞→−∞→ ∞+∞−=
++−= (
321
lim)(lim 2 xx
xxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→ ∞+∞+=
++−= (
32
1lim)(lim
2 xx
xxf
xx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ℜ==++−ℜ }032/{ 2 xxx
realsolución 12 ∃/⇒
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
−
−∞→−∞→===Ι 0
1limlim)( 2 xx
xxx
+
+∞→+∞→===Ι 0
1limlim)(
2 xx
xxx
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
18
encima.por está derecha
![Page 19: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/19.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
17) )(32
)(2
ℜ=→−+
= fDomxx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
1
32lim)(lim
211 xx
xxf
xx
==−+
=•→→
0
3
32lim)(lim
213 xx
xxf
xx=−=
−+=•
→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
−∞→−∞→ ∞+∞−=
−+= (
32lim)(lim
2 xx
xxf
xx
Por la derecha:
+∞→+∞→ ∞+∞+=
−+= (
32lim)(lim 2 xx
xxf
xx
izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}3,1{}032/{ 2 −−ℜ==−+−ℜ xxx
de A.V. es 1
0
1
32lim
0
1
32lim
21
21x
xx
xxx
x
x
x =⇒
+∞==−+
−∞==−+
+→
−→
+
−
A.V. es 3
0
3
32lim
0
3
32lim
23
23x
xx
xxx
x
x
x −=⇒
+∞=−=−+
−∞=−=−+=
−−→
+−→
+
−
HORIZONTALES
−
−∞→−∞→===Ι 0
1limlim)(
2 xx
xxx
+
+∞→+∞→===Ι 0
1limlim)( 2 xx
xxx
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
19
)( de xf
)( de A.V. xf
encima.por está derecha
![Page 20: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/20.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
18) )(2
5)(
2
2
ℜ=→−+
−= fDomxx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
4
2
5lim)(lim
2
2
11 xx
xxf
xx
=−=−+
−=•→→
0
1
2
5lim)(lim
2
2
22 xx
xxf
xx=−=
−+−=•
−→−→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
lim2
5lim)(lim
2
2
==−+
−=−∞→−∞→−∞→ xxx xx
xxf
Por la derecha:
(2
5lim)(lim
2
2
Ι∞+∞+=
−+−=
+∞→+∞→ xx xx
xxf
)( de A.H. es 1 xfy =
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}2,1{}02/{ 2 −−ℜ=−+− xxx
de A.V. es 1
0
4
2
5lim
0
4
2
5lim
2
2
1
2
2
1x
xx
x
xx
x
x
x =⇒
−∞=−=−+
−
+∞=−=−+
−
+→
−→
+
−
A.V. es 2
0
1
2
5lim
0
1
2
5lim
2
2
2
2
2
2x
xx
x
xx
x
x
x −=⇒
+∞=−=−+
−
−∞=−=−+
−
−−→
+−→
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
11limlim)(2
2
===Ι∞+∞+=
−∞→−∞→ xx x
x
11limlim)2
2
===+∞→+∞→ xx x
x
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
20
)( de xf
)( de A.V. xf
![Page 21: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/21.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
POSICIÓN Izquierda
1
100((
100
yAsíntota
yFunciónx
=→−
=→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
19) −ℜ=→+−= {)(2
2)(
2
2
fDomx
xxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
está )(0098,1
98989995
2)100()1005)100(
2
2
xf⇒≅=
−−+−−
está )(
1
99,010098
9995
2)100()100(
5)100(2
2
xf
y
y⇒
=
≅=−+
−=
derecha lapor y A.H. la de encimapor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
ℜ==+ }02/{ 2xx
No tiene A.V.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
21
A.H. la de encimapor está
A.H. la de debajopor está
debajo.por está derecha
![Page 22: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/22.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
lim2
2lim)(lim
2
2
++==
+−=
−∞→−∞→−∞→ xxx x
xxxf
Por la derecha:
)(2
2lim)(lim
2
2
=Ι∞+∞+=
+−=
+∞→+∞→ xx x
xxxf
)( de A.H. es 2 xfy =
POSICIÓN Izquierda
2
(
100(2100
yAsíntota
yFunciónx
=→−
−=→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
22lim2
lim)(2
2
===Ι∞+∞+
−∞→−∞→ xx x
x
22lim2
lim2
2
===+∞→+∞→ xx x
x
está )(0096,2
10002
20100
2)100
)100()1002
2
xf⇒≅=
+−−−
está )(
1
99,11000219900
2)100()100()100(2
2
2
xf
y
y⇒
=
≅=+
−=
derecha lapor y A.H. la de encimapor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
22
A.H. la de encimapor
A.H. la de debajopor está
debajo.por está derecha
![Page 23: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/23.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
20) /{)(1
3)(
2
−ℜ=→−
= xfDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
1
3lim
1
3lim
0
3
1
3lim)(lim
1
12
11 x
x
x
xxf
x
x
xx
−
−==−
=
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
=Ι∞+∞+=
−=
→−∞→−∞→lim)(
1
3lim)(lim
2
x
xxf
xxx
Por la derecha:
=Ι∞−∞+=
−=
→+∞→+∞→lim)(
1
3lim)(lim
2
x
xxf
xxx
No hay asíntotas horizontales � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
1
3lim1
3
lim)(
lim
2
−=−==•
∞→+∞→∞→ xx
x
x
xfm
xxx
33)3(lim3
lim
(1
3lim])([lim
2
−=⇒−=−=−
=
−
−=−=•
∞→∞→
∞→∞→
nx
x
x
xmxxfn
xx
xx
de A.O. es 33 Por tanto, fxy −−=
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}1{}01/ −ℜ==− x
)( de A.V. es 1
0
3
0
3
2
2
xfx
x
x =⇒
−∞==
+∞==
−
+
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+∞=−=− −∞→−∞→
)3(lim3
lim2
xx
xx
−∞=−=− +∞→+∞→
)3(lim3
lim2
xx
xx
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
3)3(lim3
lim)(3
2
2
2
2
=⇒−=−=−
=Ι∞∞=
− ∞→∞→m
x
x
x
xxx
1
333lim3
1
3lim)3(
222
=
−−+
+
−=
−
∞→∞→ x
xxxx
x
xx
xx
)(xf
está )(
2973)100(3
03,297101
30000
)100(1
)100(3 2
xf
y
y⇒
=−−−=→
≅=−−
−=→
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
23
es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
3−=
)(1
3lim =Ι
∞∞=
−=
∞→ x
xx
A.O. la de encimapor está
![Page 24: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/24.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
21) )(642
256)(
2
4
=→−−
−= fDomxx
xxf
−−→=−− 320642 22:2 xxxx
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
255
642
256lim)(lim
2
4
11 xx
xxf
xx
−=−−
−=•−→−→
0
175
642
256lim)(lim
2
4
33 xx
xxf
xx
−=−−
−=•→→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
por está )(
3033)100(3
03,30399
30000
)100(1
)100(3 2
xf
y
y⇒
−=−−=
−≅−
=−
=
}3,1{}0642/{ 2 −−ℜ==−−−ℜ xxx
−==
=±=+±=⇒=1
3
2
162
2
124203
x
xx
0
255
642
256lim
0
255
642
256lim
0
255
2
4
1
2
4
1x
xx
x
xx
x
x
x =⇒
+∞=−=−−
−
−∞=−=−−
−
=
−−→
+−→
+
−
3
0
175
642
256lim
0
175
642
256lim
175
2
4
3
2
4
3x
xx
x
xx
x
x
x =⇒
−∞=−=−−
−
+∞=−=−−
−
=
+→
−→
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
24
A.O. la de debajopor
)( de A.V. es 1 xf−=
)( de A.V. es xf
![Page 25: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/25.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
∞+∞+=
−−−=
−∞→−∞→ 2
4
642
256lim)(lim
xx
xxf
xx
Por la derecha:
∞+∞+=
−−−=
+∞→+∞→ 2
4
642
256lim)(lim
xx
xxf
xx
No tiene A.H.
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
642
256
lim)(
lim2
4
=−−−
==∞→∞→ x
xx
x
x
xfm
xx
ordenadas de eje del
tanto tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
∞=
∞=
±∞→
±∞→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+∞===Ι∞∞
−∞→−∞→
22
4
2
1lim
2lim)( x
x
xxx
+∞===Ι∞∞
+∞→+∞→
22
4
2
1lim
2lim)( x
x
xxx
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
2lim
2lim)(
642
256lim
3
4
23
4
==Ι∞∞=
−−−=
∞→∞→∞→
x
x
x
xxx
xxxx
OY) (eje ordenadas
rama una derecha lapor como izquierda lapor
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
25
es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
A.O.hay no2
⇒∞=x
dirección laen parabólica rama
![Page 26: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/26.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
22) )(9
23)(
2
3
ℜ=→−
−−= fDomx
xxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
20
9
23lim)(lim
2
3
33 x
xxxf
xx
−=−
−−=•−→−→
0
16
9
23lim)(lim
2
3
23 x
xxxf
xx==
−−−=•
−→→
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
∞+∞−=
−−−=
−∞→−∞→ x
xxxf
xx(
9
23lim)(lim
2
3
Por la derecha:
∞+∞+=
−−−=
+∞→+∞→ x
xxxf
xx(
9
23lim)(lim
2
3
No hay asíntotas horizontales � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
ambos lados.
nmxy +=
9
23
lim)(
lim2
3
=−−−
==•+∞→∞→ x
x
xx
x
xfm
xx
lim6
lim)(9
6lim
9
3lim])([lim
22
2
3
==Ι∞∞=
−−=
−−=−=•
∞→∞→∞→
∞→∞→
x
x
x
xx
x
xxmxxfn
xxx
xx
)( de A.O. es Por tanto, xfxy =
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}3,3{}09/{ 2 −−ℜ==−−ℜ xx
es 3
0
20
9
23lim
0
20
9
23lim
20
2
3
3
2
3
3x
x
xx
x
xx
x
x −=⇒
+∞=−=−
−−
−∞=−=−
−−
=
−−→
+−→
+
−
A.V. es 3
0
16
9
23lim
0
16
9
23lim
2
3
3
2
3
3x
x
xx
x
xx
x
x =⇒
+∞==−
−−
−∞==−
−−
+→
−→
+
−
HORIZONTALES
−∞===Ι−∞→−∞→
xx
xxxlimlim)(
2
3
+∞===Ι+∞→+∞→
xx
xxxlimlim)(
2
3
Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
11limlim)(9
23lim
3
3
3
3
⇒===Ι∞∞=
−−−=
∞→∞→∞→ x
x
xx
xxxxx
006
lim
3lim
9
23lim1
9
2 3
2
3
=⇒=
−−
−
−−−=
−−
∞
∞→∞→
nx
x
xxx
x
xxx
xx
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
26
)( de A.V. es xf
)( de xf
es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por
1=⇒ m
9
922
3
=
−+−− xx
![Page 27: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/27.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
POSICIÓN Izquierda
100
(
100(100
yAsíntota
yFunciónx
−=→
−=→⇒−=
Derecha
100
100(
)100(100
3
yAsíntota
yFunciónx
=→
=→⇒=
23) )(2)( 1
1
==→= − yDomfDomxf x
� ASÍNTOTAS VERTICALES
2lim
2lim22lim)(lim
1
1
1
1
1
10
1
1
1
11xf
x
x
x
xx
xx
===−
→
−
→−→→
+
−
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
(06,100
9991
999702
9)100(
2)100(3)1002
3
f⇒−≅−=
−−−−−
está )(06,100
9991
999698
9)100
2)100(32 xf⇒
≅=−
−−
}1{1
1 −ℜ=
−=
x
por )( de A.V. es 1
22
022
0
1
1
0
1
1
xfx =⇒
+∞===
===
∞+
∞−
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
27
A.O. la de debajopor está )(x
A.O. la de encimapor
derecha lapor
![Page 28: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/28.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
en punto" 1)1(
0)(lim1 =⇒
∃/
=∃−→ x
f
xfx
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
222lim)(lim 01
1lim
1
1
=== −−−∞→−∞→
−∞→ xx
xx
xxf
Por la derecha:
222lim)(lim 01
1lim
1
1
=== −−+∞→+∞→
+∞→ xx
xx
xxf
)( de A.H. es 1 xfy =
POSICIÓN
Izquierda 100Asíntota
Funciónx
→→⇒−=
Derecha 100yAsíntota
yFunciónx
→→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
blanco"en
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
1=
1=
debajopor está )(1
99,022 101
1
1100
1
xfy
y ⇒=→
≅==→ −−−
encimapor está )(1
007,122 99
1
1100
1
xfy
y ⇒=
≅== −
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
28
A.H. la de debajo
A.H. la de encima
encima.por está derecha
![Page 29: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/29.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
24) /{)(1)( 2 =→−= xxfDomxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
=−=−∞→−∞→−∞→
(lim1lim)(lim 22 xxxfxxx
Por la derecha:
=−=+∞→+∞→+∞→
(lim1lim)(lim 22 xxxfxxx
A.H. tieneNO )( xf � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
Por la izquierda: nmxy +=
1)(lim
)(lim
2
=−
−−==•
+∞→−∞→ x
x
x
xfm
xx
[[ ]
1
1lim
1
1lim
lim)(1lim
1lim])([lim
22
22
2
2
−−=
+−−−=
=Ι∞−∞=−−
−=−=•
+∞→+∞→
+∞→+∞→
−∞→−∞→
xxx
xx
xx
xmxxfn
xx
xx
xx
izquierda lapor A.O. es Por tanto, xy −=
POSICIÓN
100(
100(100
yAsíntota
yFunciónx
−−=→−=→
⇒−=
Por la derecha: nmxy +=
1lim
)(lim
2
++=−==•
+∞→+∞→ x
x
x
xfm
xx
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
),1[]1,(}012 +∞∪−−∞=≥−x
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
+∞=∞+=− )12
+∞=∞+=− )12
Como )(xf no tiene A.H. puede que tenga A.O.
limlim)(1
lim22
−=
−=Ι
∞−∞+=
−−=
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
x
xxxx
] [ ] [
001
1
1
)1(lim
1
)1)(1(
1)(lim1lim)1(1
2
22
2
22
22
=⇒=∞+
−=
+
+−−=
+−+−−−
−−=+−=−−
+∞→
+∞→−∞→
nx
x
x
xx
xxxx
xxxx
x
xx
)( de izquierda xf
A.O. la de debajopor está )(100)100
9,991)100 2
xf⇒=
≅−
11limlimlim)(2
=⇒===Ι∞∞
+∞→+∞→+∞→m
x
x
x
xxxx
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
29
11lim −=⇒−=− +∞→
mx
xx
])
)(1
2
=
+−
=−+
x
x
x
A.O.
![Page 30: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/30.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
[
1
1lim
1
1lim
1
)1)(1(lim
1lim])([lim
22
22
2
22
2
−−=
+−−−=
=
+−+−−−=
−=−=•
+∞→+∞→
+∞→
+∞→+∞→
xxx
xx
xx
xxxx
xmxxfn
xx
x
xx
derecha lapor A.O. es Por tanto, xy =
POSICIÓN
100
)100(100
yAsíntota
yFunciónx
=→=→
⇒=
25) /)(1
)(=→
−=
xxfDom
x
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
1lim
1lim)(lim
111 x
x
x
xxf
xxx −=
−=
→→→ +++
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
] [ ] [ ]
001
1
1
1
))1(lim
1lim1lim11
2
222
22
=⇒=∞+
−=
+
=
+−−−=
=−−=−−=−
+∞→
+∞→+∞→
nx
xx
xx
xxxxx
x
xx
)( de derecha xf
A.O. la de debajopor está )(9,991)2
xf⇒≅−
),1(]0,(01
+∞∪−∞=≥
−x
x
( de A.V. es 10
1
1xfx =⇒+∞=∞+== +
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
30
)( =Ι∞−∞=
A.O.
derecha lapor )x
![Page 31: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/31.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
lim1
lim)(lim−
−=−
=+∞→−∞→−∞→ xx
xxf
xxx
lim)(1
lim)( =−−=Ι
∞−∞−=
−−−∗
∞→+∞→ xx x
x
x
x
Por la derecha:
lim1
lim)(lim−
=−
=+∞→+∞→+∞→ x
x
x
xxf
xxx
limlim)(1
lim)( ==Ι∞+∞+=
−∗
+∞→∞→+∞→ xxx x
x
x
x
)( de A.H. es 1y xf= POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
111
lim1 )(
==−−
−=−
−∗+∞→ x
x
x
xx
11lim ==+∞→x
111 )(
==− ∗
x
11lim =+∞
debajopor está )(
1
995,01100
100xf
y
y⇒
=→
≅−−
−=→
encimapor está )(
1
005,11100
100xf
y
y⇒
=→
≅−
=
derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda
Como )(xf tiene A.H. no tiene A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
31
A.H. la de debajo
A.H. la de encima
encima.por está derecha
![Page 32: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/32.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
26) )0,1[)(1
)( −=→+= fDomx
xxf
1/{Dominio1 +=→+=• xxxy
ℜ=→=• Dominioxy denominado al anula 0 que ya 0≠x
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
11lim)(lim
0
0
00 x
xxf
x
x
xx
==+=
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda: No hay pues Dom
Por la derecha:
→+∞→+∞→=
∞+∞+=+= lim
1lim)(lim
x
xxf
xxx
derecha lapor )( de A.H. es 0y xf=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
),0() +∞∪
),1[}01 +∞−=≥
rdenominado
)( de A.V. es 0
0
11
0
11
xfx
x
x
x
x
=⇒
+∞==+
−∞==+
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES ),0()0,1[)( +∞∪−=fDom
+∞→+∞→
−
+∞→+∞→+∞→==== lim
1limlimlimlim
2
12
12
1
x
xx
x
x
xxxxx
asíntota la de encimapor estáfunción lay derecha
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
32
+=∞+
= 011
x
![Page 33: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/33.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: No hay pues Dom
Por la derecha: Como )(xf tiene A.H. no tiene A.O.
27) −ℜ=→+
−= {)(1
)1()(
2
2
fDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
lim1
)1(lim)(lim
2
2
2 −=+
−=−∞→−∞→−∞→ xxx x
x
x
xxf
Por la derecha:
lim1
)1(lim)(lim
2
2
2 −=+
−=+∞→+∞→+∞→ xxx x
x
x
xxf
)( de A.H. es 1 xfy =
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
),0()0,1[)( +∞∪−=fDom
tiene A.H. no tiene A.O.
ℜ==+ }01/{ 2xx
: No tiene A.H.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
11limlim)(1
122
2
2===Ι
∞+∞+=
++−
−∞→−∞→ xx x
x
x
x
11limlim)(1
122
2
2===Ι
∞+∞+=
++−
+∞→+∞→ xx x
x
x
x
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
33
![Page 34: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/34.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
28) }0{)(3
1)(
2
−ℜ=→
= fDomxfx
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
3
1
3
1lim)(lim
0
00
22
00xf
x
xx
xx
=
=
=
→
→
→→
+
−
en punto" 0)0(
0)(lim0 =⇒
∃/
=∃+→ x
f
xfx
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
3
1
3
1lim)(lim
2lim
2
=
=
=−∞→
−∞→−∞→
xx
xx
x
xf
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
por está )(
1
02,110001
10201
1)100(
)1100(2
2
xf
y
y⇒
=→
≅=+−
−−=→
debajopor está )(
1
98,010001
9801
1)100(
)1100(2
2
xf
y
y⇒
=
≅=+
−=
derecha lapor y A.H. la de encimapor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
}
es 0
03
1
3
1
3
1
33
1
3
1
3
1
0
22
0
22
xx
x
=⇒
=
=
=
+∞==
=
=
∞+
∞+∞−
+
−
blanco"en
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
13
10
=
=
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
34
A.H. la de encimapor
A.H. la de debajopor
debajo.por está derecha
izquierda lapor )( de A.V. es xf
![Page 35: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/35.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
3
1
3
1lim)(lim
2lim
2
=
=
=+∞→
+∞→+∞→
xx
xx
x
xf
)( de A.H. es 1 xfy =
POSICIÓN
Izquierda 100
Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
Derecha 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf=
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
13
10
=
de encimapor está )(
1
02,13
1 100
2
xf
y
y ⇒
=→
≅
=→−
la de debajopor está )(
1
98,03
1 100
2
xf
y
y ⇒
=
≅
=
derecha lapor y A.H. la de encimapor está izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
35
A.H. la de
A.H.
debajo.por está derecha
![Page 36: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/36.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
29) ℜ=→= − )(2)(21 fDomxf x
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
+−∞−
−∞→−∞→=== 022lim)(lim
21 x
xxxf
Por la derecha: +−∞−
+∞→+∞→=== 022lim)(lim
21 x
xxxf
lapor y tanto )( de A.H. es 0 xfy =
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.
30) ),0()(ln
)( +∞=→= fDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0
lnlim)(lim
00 x
xxf
xx⇒−∞=∞−== +→→ ++
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda: No hay pues Dom
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
estáfunción la derecha lapor como izquierda
Como hay A.H. no hay A.O.
derecha lapor )( de A.V. es 0 xfx =⇒
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
),0()( +∞=fDom
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
36
A.H. la de encimapor está
![Page 37: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/37.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
0)(ln
lim)(lim)(x
xxf
xx=Ι
∞+∞+== +
∗+∞→+∞→
(*) Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: No hay pues Dom
Por la derecha: Como )(xf tiene A.H. no tiene A.O.
31) 1()1,0()(ln
)( ∪=→= fDomx
xxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lnlim
lnlim
0
1
lnlim)(lim
1
1
11
x
xx
x
x
xxf
x
x
xx
===
→
→
→→
+
−
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda: No hay pues Dom
Por la derecha:
)(ln
lim)(limx
xxf
xx+∞=Ι
∞+∞+==
+∞→+∞→
Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
asíntota
función lay derecha lapor )( de A.H. es 0 xfy =⇒
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
),0()( +∞=fDom
tiene A.H. no tiene A.O.
),1+∞
)( de A.V. es 1
0
10
1
xfx =⇒
+∞==
−∞==
+
−
ASÍNTOTAS HORIZONTALES ),1()1,0()( +∞∪=fDom
derecha lapor de A.H. tieneNO )(xf⇒+∞
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
37
la de encimapor estáfunción
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
![Page 38: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/38.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: No hay pues Dom
Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.
limlnlim)(
lim ===•+∞→+∞→+∞→ xx
x
x
x
xfm
xxx
lapor tiene)(0
)(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
=
+∞=
+∞→
+∞→
32) ( ) /{)(4ln)( 2 =→−= xfDomxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
0ln()4ln(lim)(lim 2
22xxf
xx=−=•
−→−→ −−
)0ln()4ln(lim)(lim 2
22xxf
xx=−=• +
→→ ++
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
)4ln()4)ln(()( 22 =−=−−=− xxxf
)4ln(lim)(lim 2xxfxx
⇒+∞=−=±∞→±∞→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
),1()1,0()( +∞∪=fDom
no hay A.H. puede que haya A.O.
por A.O.hay NO01
ln
1lim
ln⇒=
∞+==
⋅ +∞→ xxx
xx
dirección laen parabólica rama una derecha la
),2()2,(}04/ 2 +∞∪−−∞=>−x
izquierda lapor )( de A.V. es 2)0 xfx −=⇒−∞=+
derecha lapor )( de A.V. es 2) xfx =⇒−∞=
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
en que mismo el es
comportamisu por tanto, y, PAR es )()(
∞+⇒= xfxf
A.H. tieneNO )(xf
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
38
derecha lapor
OX) (eje abscisas de eje deldirección
izquierda
derecha
en entocomportami ∞−
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IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS OBLICUAS :
)4ln()4)ln(()( 22 =−=−−=− xxxf
)4ln(lim
)(lim
2
x
x
x
xfm
xx=−==•
+∞→+∞→
Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
ambospor tiene)(0
)(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
=
+∞=
±∞→
±∞→
33) ℜ=→= − )()(2
fDomexf x
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
()()(22)( ⇒===− −−− xfxfeexf xx
0lnlim)(lim2
eexf x
xx⇒=== +−∞−
±∞→±∞→
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
en que mismo el es
comportamisu por tanto, y, PAR es )()(
∞+⇒= xfxf
.A.O tieneNO )(0)( xf⇒=Ι∞+∞+
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
dirección laen parabólica rama una lados ambos
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
en entocomportamisu por tanto, y, PAR es )x
lados ambospor
por estáfunción lay ;)( de H. A. es 0 xfy =⇒
: Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
39
en entocomportami ∞−
son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.
OX) (eje abscisas de eje deldirección
en que mismo el es en ∞+∞−
por asíntota la de encimapor
![Page 40: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/40.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
34) →=⇒⋅= − )()(2
2 Dome
xxfexxf
xx
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
0lim)(lim
2
ee
xxf
xxx=∞+=∞+== +∞−−∞→−∞→
Por la derecha:
+
∗+∞→+∞→=
∞+∞+== 0lim)(lim
)(
2
xxx e
xxf
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
de x. derecha lapor )( de A.H. es 0 xfy =
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya A.O.
nmxy +=
limlim)(
lim
2
x
x
xe
x
x
xfm
x
x
xx===•
+∞→+∞→+∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
de x.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ℜ=)( fDom
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
izquierda lapor A.H. tieneNO )(xf⇒+∞
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
A.H. la de encimapor estáfunción lay derecha
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
A.O tieneNO )(0)(lim)(
2
xfe
x
e
xxxx
⇒=Ι∞+∞+==
⋅ ∗+∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
40
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
.A.O
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
![Page 41: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/41.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
lapor tiene)(0
)(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
=
+∞=
+∞→
+∞→
Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.
35) ℜ=→⋅= )()( fDomexxf x
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda:
izquierda lapor )( de A.H. es 0
lim)(0lim)(lim
xfy
exxfx
x
xx
=⇒
=Ι∞⋅=⋅=→−∞→−∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
dirección laen parabólica rama una derecha la
hay A.H. no hay A.O.
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
asíntota la de debajopor estáfunción lay izquierda
1limlim
0lim
)(lim
´
)(
ee
xe
x
e
x
xxHôpitalLxx
xx
x
−=
==Ι
∞+∞−=
−−∞→−−∞→
−
∗−−∞→
−−∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
41
OX) (eje abscisas de eje deldirección
asíntota
01
)(1 =
∞−=
+∞−=
−
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
![Page 42: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/42.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
)()(lim)(lim exxf x
xx+∞⋅+∞=⋅=
+∞→+∞→
� ASÍNTOTAS OBLICUAS :
Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.
nmxy +=
limlim)(
limx
ex
x
xfm
x
x
xx=⋅==•
+∞→+∞→+∞→
lapor tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
+∞=
+∞=
+∞→
+∞→
36) )(1
)( →=⇒⋅= Domx
exfe
xxf
xx
� ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
01
lim)(lim
0
0
00
x
e
x
e
x
exf
x
x
x
xx
xx
=
====
→
→
→→
+
−
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
derecha lapor A.H. tieneNO )() xf⇒+∞=
hay A.H. no hay A.O.
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
derecha lapor A.O. tieneNO )(xfeex ⇒+∞== ∞+
dirección laen parabólica rama una derecha lapor
}0{)( −ℜ=fDom
)( de A.V. es 0
01
01
xfx =⇒
+∞=
−∞=
+
−
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
42
derecha
OY) (eje ordenadas de eje deldirección
![Page 43: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/43.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
00
lim)(lime
x
exf
x
xx=
∞−=
∞−==
+−∞
−∞→−∞→
Por la derecha:
)(lim)(lime
x
exf
x
xxΙ
∞+∞+=
∞+==
+∞
−∞→+∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
de x.
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.
nmxy +=
limlim)(
lim2x
e
xx
e
x
xfm
x
x
x
xx===•
+∞→+∞→+∞→
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
de x.
lapor tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
+∞=
+∞=
+∞→
+∞→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
asíntota la de debajopor está
y izquierda lapor )( de H. A. es 00 xfy =⇒−
derecha lapor A.H. tieneNO )())(
xf⇒∞+=∗
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
hay A.H. no hay A.O. Como no hay A.H. puede que haya A.O.
lapor A.O. tieneNO )()()(2
xfx
⇒∞+=Ι∞+∞+=
∗
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
dirección laen parabólica rama una derecha lapor
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
43
función lay
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
derecha la
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
OY) (eje ordenadas de eje deldirección
![Page 44: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/44.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
37) →=⇒⋅= − )()( Dome
xxfexxf
xx
� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:
0lim)(lim
ee
xxf
xxx−∞=∞−=∞−== +∞−−∞→−∞→
Por la derecha:
+
+∞→+∞→=
∞+∞+== 0lim)(lim
xxx e
xxf
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x.
derecha lapor )( de A.H. es 0 xfy =
� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya A.O.
nmxy +=
limlim)(
limx
x
xe
x
x
xfm
x
x
xx ⋅===•
−∞→−∞→−∞→
lapor tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
+∞=
+∞=
−∞→
−∞→
Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ℜ=)( fDom
: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
izquierda lapor A.H. tieneNO )(xf⇒−∞
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
A.H. la de encimapor estáfunción lay derecha
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
tieneNO )(0
111lim xf
eee
xxxx
⇒+∞====⋅ +∞−−∞→
dirección laen parabólica rama una izquierda lapor
hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
44
(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia
.izquierda lapor A.O. tiene
OY) (eje ordenadas de eje deldirección
![Page 45: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/45.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
38) }0{)()(1
−ℜ=→⋅= fDomexxf x
� ASÍNTOTAS VERTICALES
derecha lapor )( de A.V. es 0
lim
lim
lim
0lim)(lim 0
0
0
11
00
xfx
eexxf
x
x
x
x
xx
=⇒
=
•
•
=⋅=⋅=
→
→
→
→→+
−
en punto" 0)0(
0)(lim0 =⇒
∃/
=∃+→ x
f
xfx
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda:
)(lim)(lim1 1
eexxf x
xx=⋅−∞=⋅= ∞−
−∞→−∞→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}
derecha
lim1
1
lim
lim))((000lim
00000lim
1
0
2
1
2
0
0
0
11
0
11
ee
x
ex
eeex
eeex
x
xrSimplifica
x
x
x
x
+∞====−
⋅−
=Ι+∞⋅=⋅=⋅=⋅
=⋅=⋅=⋅=⋅
∞+
→→
→
+∞+++
−+−∞−−−
++
+
+
+
−
−
blanco"en
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
A.H. tieneNO )(1)()( 0 xfe ⇒−∞=⋅−∞=⋅−∞=
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
45
1lim
´
1
x
eHôpitalL
x
=∞+∞+=
+
izquierda lapor A.H.
![Page 46: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/46.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
)(lim)(lim1 1
eexxf x
xx=⋅+∞=⋅= ∞+
+∞→+∞→
� ASÍNTOTAS OBLICUAS :
Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya
nmxy +=
limlim)(
lim
1
=⋅==•−∞→−∞→−∞→ x
ex
x
xfm
x
x
xx
1lim1
1
lim
lim])([lim
01
2
1
2
1
⇒===−
⋅−=
−⋅=−=•
−∞→−∞→
−∞→−∞→
ee
x
ex
exmxxfn
x
x
x
x
x
xx
izquierda lapor A.O. es 1 Por tanto, xy +=
POSICIÓN
100
100100yAsíntota
yFunciónx
−=→−=→⇒−=
Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya
nmxy +=
limlim)(
lim
1
=⋅==•+∞→+∞→+∞→ x
ex
x
xfm
x
x
xx
1lim1
1
lim
lim])([lim
01
2
1
2
1
⇒===−
⋅−=
−⋅=−=•
+∞→+∞→
+∞→+∞→
ee
x
ex
exmxxfn
x
x
x
x
x
xx
derecha lapor A.O. es 1 Por tanto, xy +=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
A.H. tieneNO )(1)()( 0 xfe ⇒+∞=⋅+∞=⋅+∞=
no hay A.H. puede que haya A.O.
1101
=⇒==−∞
meex
1
11
lim)(0)()1(lim
11
=⇒
−=Ι⋅−∞=−⋅=
−
−∞→−∞→
n
x
eexx
x
x
x
x
)( de izquierda xf
la de debajopor está )(991
005,99100
1
xfe ⇒−=+
−≅⋅ −
no hay A.H. puede que haya A.O.
1101
=⇒==+∞
meex
1
11
lim)(0)()1(lim
11
=⇒
−=Ι⋅+∞=−⋅=
−
+∞→+∞→
n
x
eexx
x
x
x
x
)( de derecha xf
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
46
derecha lapor A.H.
)(0
01´
=Ι=HôpitalL
A.O. la
)(0
01´
=Ι=HôpitalL
![Page 47: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/47.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
POSICIÓN
1100
100100100
1
yAsíntota
eyFunciónx
+=→⋅=→⇒=
39) ),0()(ln)( +∞=→⋅= fDomxxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
)( de A.V. es NO 0
)((0lnlim)(lim00
xfx
xxxfxx
=⇒
Ι−∞⋅=⋅= +
→→ ++
en punto" 0)0(
0)(lim0 =⇒
∃/
=∃+→ x
f
xfx
A.V. tieneNO )(xf
� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda: No hay ya que Dom
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
A.O. la de encimapor está )(101
005,101100
1
xf⇒=
≅
)
lim1
1
lim)(1
lnlim)
0
2
0´´0
x
x
x
xxxHôpitalLx
=−
=Ι∞+∞−==Ι
→→→ +++
blanco"en
ASÍNTOTAS HORIZONTALES ),0()( +∞=fDom
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
47
A.O.
0)(lim0
2
xx
xx
=−=− −
→ +
![Page 48: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/48.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
()(lnlim)(lim xxxfxx
+∞⋅+∞=⋅=+∞→+∞→
� ASÍNTOTAS OBLICUAS :
Por la izquierda: No hay ya que Dom
Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya
nmxy +=
limln
lim)(
limx
xx
x
xfm
xxx=⋅==•
+∞→+∞→+∞→
lapor tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
+∞=
+∞=
+∞→
+∞→
40) ,0()(ln)( 2 +∞=→⋅= fDomxxxf
� ASÍNTOTAS VERTICALES
)( de A.V. es NO 0
)((0lnlim)(lim 2
00
xfx
xxxfxx
=⇒
−∞⋅=⋅= +
→→ ++
A.V. tieneNO )(xf
en punto" 0)0(
0)(lim0 =⇒
∃/
=∃+→ x
f
xfx
� ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Por la izquierda: No hay ya que Dom
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
derecha lapor A.H. tieneNO )() xf⇒+∞=+∞
),0()( +∞=fDom
no hay A.H. puede que haya A.O.
derecha lapor A.O. tieneNO )(lnlim xfx ⇒+∞=+∞
dirección laen parabólica rama una derecha lapor
)+∞
lim2
1
lim)(1
lnlim))(
0
3
0´´
2
0
x
x
x
xxxHôpitalLx
=−
=Ι∞+∞−==Ι
→→→ +++
blanco"en
HORIZONTALES ),0()( +∞=fDom
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
48
derecha
OY) (eje ordenadas de eje deldirección
02
lim2
lim2
0
3 x
x
xx
=
−=− −
→ ++
![Page 49: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/49.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por la derecha:
()(lnlim)(lim 2 xxxfxx
+∞⋅+∞=⋅=+∞→+∞→
� ASÍNTOTAS OBLICUAS :
Por la izquierda: No hay ya que Dom
Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya
nmxy +=
limln
lim)(
lim2
x
xx
x
xfm
xxx=⋅==•
→+∞→+∞→
lapor tiene)()(lim
)(lim
xf
x
xf
xf
x
x
⇒
+∞=
+∞=
+∞→
+∞→
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
derecha lapor A.H. tieneNO )() xf⇒+∞=+∞
),0()( +∞=fDom
no hay A.H. puede que haya A.O.
tieneNO )()()(lnlim xfxx ⇒+∞=+∞⋅+∞=⋅+∞→
dirección laen parabólica rama una derecha lapor
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
49
derecha
derecha lapor A.O. tiene
OY) (eje ordenadas de eje deldirección
![Page 50: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/50.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Determina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
1)
>
≤=
0 1
0 )(
xsix
xsixxf Dom
ASÍNTOTAS VERTICALES
A.V. es 01lim
0lim
)(lim
0
0
0x
x
x
xf
x
x
x=⇒
+∞=
==
+
−
→
→
→
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
tienenolim)(lim ⇒−∞==−∞→−∞→
xxfxx
• Por la derecha:
y 011
lim)(limx
xfxx
⇒=∞+
==+
+∞→+∞→
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: función una es )(xf
• Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
etermina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
ℜ=)( fDom
)( de derecha lapor A.V. xf
izquierda lapor A.H. tiene
encimapor está )(y derecha lapor A.H. es 0 xf=
izquierda lapor A.O.hay noconstantefunción ⇒
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
50
etermina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:
A.H. la de encima
![Page 51: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/51.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2)
≥
<+=
− 0 2
0 1
)(
xsi
xsix
x
xfx
Dom
ASÍNTOTAS VERTICALES
122lim
0
11lim
)(lim0
0
0
0=⇒
==
−∞==+=
−
→
−→→
+
−xx
x
xfx
x
x
x
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
lim)(1
lim)(lim =Ι∞−∞−=+=
→−∞→−∞→ x
xxf
xxx
Posición: 100Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
• Por la derecha:
222lim)(lim )(xf x
xx==== −∞+∞−−
+∞→+∞→
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
• Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
ℜ=)( fDom
izquierda lapor A.V. es 0=
A.H. es 1111
1
11
lim
1
lim =⇒==+
=+
−∞→−∞→yx
x
xxx
x
x
debajopor está )(1
99,0100
1100xf
y
y⇒
=→
=−
+−=→
está )(y derecha lapor A.H. es 00 xfy =⇒= +
Como hay A.H. no hay A.O.
: Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
51
izquierda lapor A.H.
A.H. la de
A.H. la de encimapor está
![Page 52: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/52.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
3)
≥−
<+=
1 1
1 3
1
)(2
xsix
x
xsix
xf Dom
ASÍNTOTAS VERTICALES
3
1lim
3
1lim
0
1
3
1lim)(lim
3
3
33
+
+==+
=
−→
−→
−→−→
+
−
x
xx
xf
x
x
xx
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
01
31
lim)(limx
xfxx
⇒=∞−
=+
= −
−∞→−∞→
• Por la derecha:
)(1
lim)(lim2
=Ι∞+∞+=−=
+∞→+∞→ x
xxf
xxx
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
• Por la derecha: Como no hay A.H. puede que hayanmxy +=
lim
1
lim)(
lim
2
=
−
==+∞→+∞→+∞→ x
x
x
x
xfm
xxx
1lim])([lim
2
−=−=+∞→+∞→ x
xmxxfn
xx
derecha lapor A.O. es Por tanto, xy =
Posición: 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}3{)( −−ℜ=fDom
A.V. es 3
0
1
3
0
1
3 −=⇒
+∞==
−∞==
+
−
x
por está )(y izquierda lapor A.H. es 0 xfy =⇒
derecha lapor A.H.hay no limlim2
⇒+∞==+∞→+∞→
xx
xxx
Como hay A.H. no hay A.O.
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
11limlim)(1
lim 2
2
2
2
=⇒===Ι∞+∞+=−
+∞→+∞→+∞m
x
x
x
xxx
1lim
1lim1
222
=
−−=
−−=
−
+∞→+∞→ x
xxx
x
xx
xx
)( de derecha xf
de debajopor está )(
100
99,99100
11002
xf
y
y⇒
=
=−=
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
52
A.H. la de debajopor
derecha
1
001
lim =⇒=−=+∞→
nxx
A.O. la de
![Page 53: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/53.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
4)
≥−
<<−
−<+
−
=
1 2
12 2
2 3
)(2
xsix
x
xsi
xsix
x
xf
ASÍNTOTAS VERTICALES
lim
lim
0
3
3lim)(lim
3
3
33
+−+
−
==+
−=•
−→
−→
−→−→
+
−
x
xx
x
x
xxf
x
x
xx
2lim
2lim
04
2lim)(lim
2
2
2
22
22
−
−==−
=•
→
→
→→
+
−
x
x
x
x
x
xxf
x
x
xx
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
lim)(3
lim)(lim =Ι∞−∞+=
+−=
→−∞→−∞→ x
xxf
xxx
Posición: 100Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}2,2,3{)( −−−ℜ=⇒ fDom
A.V. es 3
0
3
3
0
3
3 −=⇒
+∞==
−∞==
+
−
xx
x
A.V. es 2
04
2
0
4
2 =⇒
+∞==
−∞==
+
−
x
lapor A.H. es 111limlim −=⇒−=−=−−∞→−∞→
yx
xx
por está )(1
03,197
1003100)100(
xfy
y⇒
−=→
−≅−
=+−
−−=→
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
53
izquierda la
A.H. la de debajopor
![Page 54: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/54.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• Por la derecha:
lim)(2
lim)(lim2
=Ι∞+∞+=
−=
→+∞→+∞→ x
xxf
xxx
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
• Por la derecha: Como no hay A.H. puede que hayanmxy +=
lim2lim)(
lim
2
=−==+∞→+∞→+∞→ x
x
x
x
xfm
xxx
222lim2
lim
2lim])([lim
2
=⇒===
−
−=−=
+∞→+∞→
+∞→+∞→
nx
x
x
xmxxfn
xx
xx
lapor A.O. es 2 Por tanto, xy +=
Posición: 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
derecha lapor A.H.hay nolimlim2
⇒+∞==+∞→+∞→
xx
xx
Como hay A.H. no hay A.O.
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
11limlim)(2 2
2
2
2
⇒===Ι∞+∞+=
− +∞→+∞→+∞m
x
x
xx
xxx
2
2lim
2lim1
222
=
−+−=
−
−=
−
+∞→+∞→ x
xxxx
x
xx
xx
)( de derecha la xf
por está )(
1022100
04,10298
100002100
1002
xf
y
y⇒
=+=
≅=−
=
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
54
derecha
1=
)(2
2lim =Ι
∞+∞+=
−=
+∞→ x
xx
A.O. la de encimapor
![Page 55: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/55.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
5) 0
43
0 993
)(
2
2
⇒
>−
≤−+
= Dom
xsix
xsix
x
xf
ASÍNTOTAS VERTICALES
(lim)(
0
0
9
93lim)(lim
3233=Ι=
−+=•
−→−→−→ xx
xxf
xxx
Observación
discontinu 3)3(
21
)(lim3 −=⇒
−∃/
−=∃−→ x
f
xfx
3lim
3lim
03
43
lim)(lim
22
22
222
−
−==−
=•
→
→
→→
+
−
x
xx
xf
x
x
xx
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
lim)(9
93lim)(lim
2x
xxf
xxxΙ
∞+∞−=
−+=
→−∞→−∞→
• Por la derecha:
03
43
lim)(lim 2xxf
xx=
∞+=
−= +
+∞→+∞→
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
• Por la derecha: Como hay A.H. no hay
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}2,3{)( −−ℜ=fDom
)(lim2
1
3
3lim
)3)(3
)3(333
−=⇒−=−
=+−
+−→−→
xfxxx
xxx
)blanco"en punto(" evitable idaddiscontinu
.A.V es 2
03
43
0
3
4
3
=⇒
+∞==−
−∞==−
+
−
x
debajopor está
por A.H. es 0033
lim3
lim2
yxx
xx
=⇒=∞−
== −
−∞→−∞→
por está )(y derecha lapor A.H. es 0 xfy =⇒
Como hay A.H. no hay A.O.
: Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
55
A.V. es NO 32
1 −=⇒− x
A.H. la de
)(y izquierda lapor xf
A.H. la de encimapor
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IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
6) 0
1
0 1
)(2
2
⇒
≥−
<−
= Dom
xsix
x
xsix
x
xf
ASÍNTOTAS VERTICALES
01
01
lim
011
lim)(lim
2
0
20
0⇒
=−
=−
+∞==−
=•
+
−
→
+→
→x
x
x
x
x
xf
x
x
x
1lim
1lim
0
1
1lim)(lim
2
1
2
12
11
=−
=−==
−=•
→
→
→→
+
−
x
x
x
x
x
xxf
x
x
xx
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
lim)(1
lim)(lim2x
xxf
xxx=Ι
∞+∞+=−=
→−∞→−∞→
• Por la derecha:
lim)(1
lim)(lim2
=Ι∞+∞+=
−=
→+∞→+∞→ x
xxf
xxx
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
}1{)( −ℜ=fDom
izquierda lapor A.V. es 0=x
A.V. es 1
0
1
0
1
=⇒
+∞==
−∞==
+
−
x
encimapor
A.H. es 0011
limlim2
yxx
xx
=⇒=∞−
−=−=− +
−∞→−∞→
derecha lapor A.H.hay no limlim2
⇒+∞==+∞→+∞→
xx
xx
Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
56
A.H. la de
está )(y izquierda lapor A.H. xf
derecha
![Page 57: IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS (1 0,99 10100 9999 ( 100 ) ( 100 ) ( 100 ) 1 2 2 f x y y](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022013010/5f784405e96c2b71fc09628e/html5/thumbnails/57.jpg)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
• Por la derecha: Como no hay A.H. puede que hayanmxy +=
lim1lim)(
lim
2
=−==+∞→+∞→+∞→ x
x
x
x
xfm
xxx
111limlim
1lim])([lim
2
=⇒===
−
−=−=
+∞→+∞→
+∞→+∞→
nx
x
x
xmxxfn
xx
xx
lapor A.O. es 1 Por tanto, xy +=
Posición: 100
yAsíntota
yFunciónx
→
→⇒=
7) 0
1
0 3
1
)(
2
⇒
>+
≤+−
= Dom
xsix
x
xsix
x
xh
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
Como no hay A.H. puede que haya A.O.
11limlim)( 2
2
2
2
=⇒===Ι∞+∞+=
− +∞→+∞→m
x
x
xx
xxx
lim1
lim1
lim1222
=
−+−=
−
−=
−
→+∞→+∞→ x
xxxx
x
xx
xxx
)( de derecha la xf
por está )(
1011100
01,10199
100001100
1002
xf
y
y⇒
=+=
≅=−
=
}3{)( −−ℜ=fDom
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
57
1
)(1
lim =Ι∞+∞+=
−+∞→ x
x
A.O. la de encimapor
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IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
ASÍNTOTAS VERTICALES
31
lim
31
lim
04
31
lim)(lim
3
3
33
+−+−
==+−=
−→
−→
−→−→
+
−
x
xx
x
x
xxf
x
x
xx
011
lim
31
31
lim)(lim
20
0
0=⇒
+∞==+
=+−
=
+→
→
→
+
−
x
x
xx
x
xf
x
x
x
ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:
lim)(3
1lim)(lim
x
xxf
xxx=Ι
∞+∞+=
+−=
→−∞→−∞→
Posición: 100Asíntota
Funciónx
→
→⇒−=
• Por la derecha:
A.H. la de encimapor
lim)(1
lim)(lim2x
xxf
xxx=Ι
∞+∞+=+=
→+∞→+∞→
ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay
• Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.
García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas
A.V. es 3
04
3
04
3 −=⇒
+∞==
−∞==
+
−
xx
x
derecha lapor A.V. es 0=
izquierda lapor A.H. es 1 )1(limlim yx
xx
−=⇒−=−−∞→−∞→
por está )(1
04,197
101
3100
)100(1xf
y
y⇒
−=→
−≅−
=+−
−−=→
por A.H. es 0011
limlim2
yxx
xx
=⇒=∞+
== +
+∞→+∞→
Como hay A.H. no hay A.O.
: Como hay A.H. no hay A.O.
Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS
58
)(y izquierda xf
A.H. la de debajopor
está )(y derecha lapor xf