1
I. RESUMEN
En este trabajo consideramos la ecuación de Korteweg-de Vries generalizada
(KdVg).
3 0pt x xu u u u
Donde ( , )u u x t para , 0x t y p Z . La ecuación de KdVg al igual que la
ecuación de Korteweg-de Vries describe en una dimensión espacial, la
propagación de ondas de longitud de onda larga en medios dispersivos no
lineales.
El objetivo en el presente trabajo consiste en demostrar la buena formulación
localdel problema de valor inicialen el sentido de Hadamard
3
0
0
( ,0)
pt x xu u u u
u x u
cuando el dato inicial 0u pertenece a los espacios de Sobolev sH con 3 / 2s .
A fin de probar la existencia y unicidad de solución local se utiliza el método de
regularización parabólica y para probar la dependencia continua de la solución
respecto del dato inicial son utilizados los estimados de Bona-Smith.
2
II. INTRODUCCIÓN
Para un problema de valor inicial asociado con una ecuación en derivadas
parciales de evolución, se tienen tres cuestiones fundamentales: existencia de
soluciones, unicidad de solución y dependencia continua de la solución en los
datos iniciales. Para discutir la existencia de soluciones es necesario
especificar, no solamente la clase de funciones donde buscamos la solución,
sino también en qué sentido las condiciones iniciales son satisfechas. Una vez
garantizada la existencia de una solución, se debe garantizar también la
unicidad de ésta y así mismo la dependencia de la solución en los datos
iniciales. Debemos recordar que los datos de un problema físico son datos
experimentales que necesariamente contienen errores de medida, es, por
tanto, natural preguntarse si pequeñas variaciones en los datos conllevan
pequeñas variaciones en la solución; es decir se debe garantizar que si la
condición inicial sufre una pequeña variación, es natural esperar que la
solución del problema de valor inicial también varía continuamente en alguna
topología. Un problema de valor inicial para el cual se satisfacen la existencia,
unicidad y dependencia continua en los datos iniciales es llamado problema
bien formulado, en caso contrario se dice que el problema es mal formulado.
La ecuación de Korteweg-de Vries modificada (KdVm)
3 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0t x xu x t u x t u x t u x t
Dondeu es una función real con x y 0t , es una ecuación en derivadas
parciales que incluye efectos de no linealidad y dispersión a la vez. El primer
término de la ecuación denota la evolución temporal de una perturbación u (se
3
puede considerar como la elevación de la superficie del agua relativa a su
posición de equilibrio), el segundo término es el dispersivo debido a la tercera
derivada parcial espacial de u y el tercer término es considerado el término no
lineal debido a la multiplicación de 2u y la primera derivada parcial respecto al
espacio xu . Al igual que la ecuación de Korteweg-de Vries
3( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0t x xu x t u x t u x t u x t
la ecuación de KdVm es un modelo que describe en una dimensión espacial, la
propagación de ondas de longitud de onda larga en medios dispersivos no
lineales. La propagación de ondas solitarias en la superficie del agua en
canales poco profundos, es un ejemplo de medio dispersivo en el que se
pueden hallar este tipo de ondas. En la física matemática representa el
prototipo de un sistema no lineal completamente integrable.
Kato en 11 y 13 demostró que el problema de valor inicial (PVI) asociado a
la ecuación de KdV generalizada
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,pt x xu t u t u t u t p Z
está bien formulado localmente en sH para 3 / 2s , para ello usó la teoría
cuasi-lineal por él desarrollada. Por otro lado, Nunes demostró que el PVI
asociado a la ecuación de KdV con coeficientes variables
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0t x xu t a t u t u t u t
está bien formulado localmente en ( )sH para 3 / 2s . Para ello usó el
método de Regularización Parabólica como en 6 para mostrar la existencia
de soluciones y los estimados de Bona-Smith 3 para probar la dependencia
continua de la solución respecto de los datos iniciales.
4
El requisito 3 / 2s no es posible mejorarlo usando los métodos anteriores,
pues una propiedad usada en los pasos críticos de las demostraciones de Kato
y Nunes, es la que caracteriza a los espacios de Sobolev sH como un álgebra
de Banach. Por ello, con el fin obtener mejores resultados ( 3 / 2s ), es
necesario prescindir de tal prioridad o buscar un método que utiliza otras
herramientas, como los estimados lineales. Esto fue hecho por Kenig, Ponce y
Vega 14 , 15 y 15 . Ellos demostraron que el PVI asociado a la ecuación
de KdVm es bien formulado localmente en sH para 1 / 4s . Para ello usaron
algunas propiedades de la integral oscilatoria definida por el PVI asociado con
la ecuación KdVm lineal con el fin de obtener estimados lineales, que les
permitieron utilizar el teorema de contracción y aplicar el método de punto fijo
para resolver la ecuación integral equivalente al PVI asociado a la ecuación de
KdVm.
En el trabajo proponemos estudiar el método de regularización parabólica, los
estimados de Bona-Smith y la teoría cuasi-lineal, y utilizarlos para demostrar la
buena formulación local del PVI
3
0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
(0)
pt x xu t u t u t u t
u u
Para ello nos planteamos el siguiente objetivo: Demostrar la buena formulación
local del PVI asociado con la ecuación de KdVg en los espacios de Sobolev
clásicos ( )sH cuando 3 / 2s . Para lograr el objetivo propuesto, dividimos
nuestro trabajo en varias partes necesarias. En el apéndice, son presentados
los conceptos y propiedades de algunos temas de análisis funcional e
integración vectorial, transformada de Fourier, espacios de Sobolev del tipo 2L
5
y semigrupos de operadores lineales, así como algunas desigualdades que
serán utilizadas en el trabajo posterior.
En el marco teórico estudiamos los PVI asociados con la ecuación lineal
regularizada, la ecuación no lineal y la ecuación de KdVg(3.1). Los principales
resultados son los teoremas 3.6, 3.10, 3.11, y 3.12. En el tercer capítulo se
estudia la dependencia continua de KdVg y se justifica que ante la dificultad de
probar la dependencia continua de la KdVg usando el método de regularización
parabólica, usamos los estimados de Bona-Smith (ver apéndice 8.4); los cuales
serán usados para estudiar que el comportamiento de la distancia de dos
elementos cualquiera de una sucesión de soluciones, es controlado por el
comportamiento de la distancia entre sus estimados de Bona-Smith
respectivamente, quienes a su vez son controlados por el comportamiento de la
distancia entre sus datos iniciales correspondientes como será visto en los
teoremas 5.3, 5.5 y 5.6.
6
III. MARCO TEÓRICO
PROBLEMA DE VALOR INICIAL ASOCIADO A LA ECUACIÓN DE
KORTEWEG-DE VRIES GENERALIZADA: EXISTENCIA Y UNICIDAD
En este capítulo se estudiará el problema de valor inicial (PVI) asociado
con la ecuación de Korteweg-de Vries generalizada (3.1)
3
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 (3.1)
( , 0) ( )
pt x xu x t u x t u x t u x t
u x u x
Dondeues una función real con , 0 .x t y p
Para el desarrollo de este capítulo, en la primera sección consideramos el
problema lineal determinado por (3.1) y demostraremos que el operador
3x genera un semigrupo de contracciones sobre sH que se extiende a un
grupo de operadores unitarios en sH . En la segunda sección estudiamos
el problema lineal regularizado, para esto introducimos una viscosidad
artificial 0 y resolvemos el problema de valor inicial (3.6).
3.1. Problema lineal
En esta sección consideramos el problema lineal determinado por (3.1)
3
0
( , ) ( , ) 0 3.2
( ,0) ( )t xu x t u x t
u x u x
Donde ues una función real con , 0.x t
Definición 3.1. Definimos el operador –A por
3
3
( ) , 3.3
( , ) ( , )
s
x
D A H s
Au x t u x t
Así el problema lineal (3.2) puede escribirse de la forma
7
0
( , ) ( , ) 0; 3.4
( ,0) ( )tu x t Au x t t
u x u x
Sea el operador –A definido por (3.3), es claro que
3 3 3ˆ ˆ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )t xu t u t i u t i u t
para cualquier 3su H
Proposición 3.2. – A es lineal, tiene dominio denso, es m-disipativo y
antiadjunto en sH , para cualquier s
Demostración. Sea –Ael operador,
3
3
: s s s
x
A H H H
u u
La linealidad del operador A y la densidad son inmediatas. Además, si
3su H , por definición de sH y la desigualdad 3
3s ssxH HH
Au u u
de donde sAu H . Por lo tanto, ( ) sRan A H cualquiera sea 3su H .
Probaremos que A es un m-disipativo en sH . En efecto:
1. A es negativo. Sea 3su H , entonces
33 3 3, , 1 , , ,s ss s sx x xH HH H HAu u u u u u u u u Au
Luego , 0sHAu u
2. A es disipativo. En efecto, existe 0 0 , para todo sv H , existe
30( ) :su D A H u Au v . Tomemos 0 1 , entonces ( )I A u v ,
esto es u Au v , aplicando la transformada de Fourier en ambos
miembros de la igualdad y la definición del operador A , tenemos:
3 ˆ ˆ1 i u v
8
Despejando u y aplicando transformada inversa de Fourier se
tiene, 3
ˆ1
vv
ui
Luego dado sv H existe
3
ˆ1
vv
ui
tal que u A u v
Además su H , en efecto,
3
223 32 2 2
23 3
ˆˆ1 1
1 1s
s s
H
vvu d d
i i
32
2 221 132
1ˆ ˆ1
1
s
sC v d C v d
Pues sv H , luego 3su H
3. A es antisimétrico en sH . Para esto, basta probar que A es
antiadjunto en sH . En efecto, sean , su v H entonces
3 3, ,s s sx xH H HAu v u v u v ^
3 3 31 , ,s sx xH H
u v u v
3, , ssx HHu v u Av
Por lo tanto A es antiadjunto en sH
Teorema 3.3. El operador genera un semigrupo de contracciones
3
0 0( ) xt
t tW t e
sobre sH 0s , tal que
3
ˆi tW t u e u
9
Además, 0t
W t
se extiende a un grupo de operadores unitarios en sH
y cualquiera sea su H , la función : sW u H es la única solución del
problema de valor inicial (3.2).
Demostración. La primera afirmación es consecuencia del teorema
8.63. Para demostrar (3.5), resolveremos el problema del valor inicial
(3.2), tomando la transformada de Fourier en la variable espacial
obteniendo,
3ˆ ˆ, ,tu t i u t
3
0ˆ ˆLuego, , itu t e u
Definimos 3
0i tW t u e u obteniendo (3.5) y por el teorema 8.68
se cumple la última afirmación del teorema.
Este teorema nos permite observar que es imposible aplicar el teorema
del punto fijo de Banach para resolver el problema de valor inicial (3.1).
En efecto, al menos formalmente tenemos que el problema de valor
inicial (3.1) es equivalente a,
10 0
1
1
t pxu t W t u W t u d
p
en donde 0t
W t
es el semigrupo de contracciones sobre , 3/2sH s
generado por el operador m-disipativo A y .pxu u Si 0, : su C T H
entonces 1 110, :
1p p s
x xu u u C T Hp
. Como W t aplica 1sH en
sí mismo, la aplicación
10 0
1
1
t pxu t W t u t W t u d
p
10
Transforma 0, : sC T H en 10, : sC T H y no en 0, : sC T H , como se
necesita para aplicar el teorema de punto fijo.
Por lo expuesto anteriormente, en las próximas secciones introducimos
el método de regularización parabólica nos permite demostrar la
existencia y unicidad de la solución del problema de valor inicial (3.1).
3.2. Problema lineal regularizado
En esta sección consideramos el problema lineal regularizado
determinado por
3 2
0
, , , 0
,0
t x xu x t u x t u x t
u x u x
Donde 0 , , , 0, 0 1.u x t x t
Definición 3.4. Definamos el operador A por
3
3 2
s
x x
D A H
A u u u
De este modo, el problema lineal regularizado (2.6) puede escribirse de
la forma
0
, , 0, , 0
,0
tu x t A u x t x t
u x u x
Proposición 3.5. El operador lineal 3: s s sA H H H es m-
disipativo en , 0.sH s
Demostración. Notemos que 3 2x xA u u u Au B u donde
2
2
s
x
D B H
B u u
11
Para probar que A es m-disipativo, verificamos que es m-disipativo,
el cual ya fue probado en la proposición 3.2, y además B es disipativo
D A D B , en efecto:
3 2s sD A H H D B
Ahora probaremos que B es disipativo. En efecto, si 2su H
2
2ˆ ˆ, ,s xH
B u u B u u d u u d
22 2ˆ ˆ ˆ 0i u u d u d
Luego , ,B u u es negativo.
Por el teorema de perturbación de generadores probaremos que para
todo ( )u D A se cumple s ss H HHB u Au u
Donde 0 1, 0 . En efecto, sea 2su H , entonces
22 22 2 2 2 2 2 21
s s s
s
x x xH H HB u u u u d
2 222 2 2 2 4
22 2 4 22
2 22 2 6 2 2
2 23 22 2 2
2 22 2 3 2
22 3
ˆ ˆ1 1
1 ˆ1
ˆ ˆ1 1
ˆ ˆ1 1
1 1
s
s s
s
s s
s s
s s
x x
x H
i u d u d
u d
u d u d
i u d i u d
u d u d
u
22
sx Hu
Para todo 2su H ,
12
22 22 2 2ss sx x HH H
B u u u (3.5)
Usando la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg con 2, 1, 1,p q r n j
13, , 0
3m C
2 2 2
1/3 2/33s s sx xL L LJ u C J u J u
entonces
2 22
1/3 2/33x xH HHu C u u (3.6)
usando la desigualdad de Youngcon 1 , tenemos
1/3 2 33 3s ss sx xH HH H
u û u C u
(3.7)
De (3.5), (3.6) y (3.7) tenemos:
22 22 2 3 2 3ss s sx x HH H H
B u u C u u
2 2 22 3 2 3 2
2 22 3 2
2 22 3
2 22 3 3
22 3
2 2
1 2 2
1 2 , ,
2
ss s
ss
ss
s ss s
ss
x x HH H
x HH
x HH
x x H HH H
x HH
u C u C u
C u C u
C u x t u x t
C u u u u
C u u
Luego, 3 ,ss sx HH HB u C u C u 0 1.
por lo tanto, ,s ss H HHB u Au u
donde C y 0 1; C y 0 , es decir, el operador
A A B es m-disipativo.
Teorema 3.6.Si 0 el operador A es el generador de un semigrupo
de contracciones 0t
W t sobre , 0sH s tal que
13
3 2
ˆ, ,i t
W t u t e u t
(3.8)
y cualquiera sea 0su H la función 3: 0, sW u H
es la
única solución del problema lineal regularizado en
1 30, : 0, :s sC H C H
Además, para cada 0t se tiene ,s s rW t L H H para todo
0r y
11
2ss r r r HH
W t u K ut
(3.9)
Demostración. La primera y tercera afirmación es consecuencia del
teorema de Lumer-Phillips (teorema 8.63) y del teorema de existencia y
solución para un problema lineal. Para demostrar (3.8) resolvemos el
problema lineal regularizado tomando la transformada de Fourier en la
variable espacial obteniendo
3 2 23 2 ˆ ˆt x xu u u i u i u
3 2 3 2ˆ ˆ ˆi u u i u (2.13)
Luego integrando de 0 a ,t 3 2
0ˆ ˆi tu e u
Definimos 3 2
0ˆ .i t
W t u e u
A continuación demostramos la afirmación (3.9). En efecto, sean 0r y
su H
3 2 2
2 2 ˆ1s r
s r i t
HW t u t e u d
14
3 2
3 2
2
2 2
2
22 2
2 22 2
22 2 2
2 22 2 2 2 2
2 22 2 2 2
ˆ1 1
ˆ1 1
ˆ1 1
ˆ ˆ1 1
ˆ ˆ1 1
r s i t
r s i t t
r s t
st r t
s sr t
e u d
C e e u d
C e u d
C e u d e u d
C u d e u d
Consideremos la desigualdad
22 2 1 1
2 2
rrr t
r r r
r re
ee t t
para todo 0, 0t y 0r entonces
2 2 22 2 2 21ˆ ˆ1 12
rs sr t
r
re u d u d
e t
221 ˆ1
2
s
r rC u dt
de este modo,
2 2 2
,2
s ss r rH HH
CrW t u t u t u t
t
donde
2 max 1,r rK C
2 22 1
1 ,2
ss r r r HHW t u t K u t
t
por lo tanto,
11
2ss r r r HH
W t u t K u tt
Notemos que toda solución de la ecuación KdVg regularizada en sH con
0s es solución de la ecuación integral
10 0
1
1
t pxu t W t u W t u d
p
15
Para esto definimos la función g W t u donde u es la
solución de KdVgy W t es el semigrupo generado por A
(proposición 3.5)
Así, ,ut A
g e entonces 3 ,t A t A
x
dg e u e u
d
Despejando ,tu x t de la ecuación KdVgresulta
pt xu t A u t u t u t
Luego, derivando respecto de , se tiene
3 11
1t A t A p
x x
dg e A u e u u
d p
11
1
t A pxe u
p
Integrando de 0 a t se obtiene:
1
0
10
1
t At pxg t g e u d
p
Luego, 1
0
1, 0
1
t AttA pxu x t g t e u e u d
p
Por lo tanto, 10 0
1,
1
t At pxu x t W t u e u d
p
3.3. Existencia y unicidad de solución local del problema
regularizado
En esta sección aplicamos el método de regularización parabólica para
mostrar la existencia de la solución del problema de valor inicial
asociado con la ecuación de Korteweg-de Vries generalizada
regularizada (3.10)
16
3 2
0
, , , , , 0
(3.10)
,0
pt x x xu x t u x t u x t u x t u x t
u x u x
Para el desarrollo de esta sección demostramos primero que existe una
función u continua de 0,T en sH , solución única de (3.10), luego
demostramos que el intervalo de existencia de la solución del PVI
regularizado es independiente de .
Sea el problema de valor inicial (PVI) asociado con la ecuación de
(3.10). Notemos que si u es solución de (3.10), entonces
10 0
1, , 3.10.1
1
t pxu x t W t u W t u x d
p
Donde 0t
W t es generado por el operador A , de la definición (3.4).
A continuación mostramos que la ecuación (3.10) tiene solución única.
Para esto aplicaremos el teorema de punto fijo de Banach.
Supongamos que 0su H y 0 0u . Dado 0T , definimos
0 00, : : ss
ss HH
X T u C T H u t W t u u
y una métrica en sX T como ^0,0,
, sup sTH L
t T
d u v u v u v
, por lo
tanto ,sX T d es un espacio métrico completo.
Sobre sX T definimos la función u , como
10 0
1
1
t pxu t W t u W t u d
p
y demostraremos algunas de sus propiedades.
17
Proposición3.7.Si 0 y 3
2s , entonces 0, : su C T H para
cualquier 0 .T
Demostración.Para cualquier 0 : sT u t H , 0,t T .
En efecto, para todo 0, ,T su H entonces 1 1, ,p s p sxu H u H
1p sxW t u H , por tanto su H .
Supongamos que 0 0,t T y sea 00 t t , demostraremos que u es
continua en 0,T .
Para esto,
0
0
0
0
0
1 10 0 0 00 0
1 10 0 0 00
1
10 0 0 00
1
1
1
1
1
1
1
1
s
s
ss
s
s s
H
t tp px x
H
t p px xH
H
t pxt H
t pxH H
u t u t
W t u W t u W t u d W t u dp
W t u W t u W t u W t u dp
W t u dp
W t u W t u W t W t u dp
0
11
1 s
t px Ht
W t u dp
El primer y tercer sumandos tienden a cero cuando t tiende a 0t ya que
0,t TW t
es un semigrupo fuertemente continuo. El segundo sumando
tiende a cero como consecuencia del teorema de la convergencia
dominada de Lebesgue. Por lo tanto u es continua en 0t
18
Proposición 3.8. Si 0 y 0su H , 3
2s ,existe 0 , , 0,sH
T T u s T
tal que : s sX T X T es una contracción.
Demostración. Se hará en dos etapas.
Primera Etapa: Probaremos que sR X T en efecto. Sea
1 ,su X T entonces
1
10 0
1
0
1
1
11
2
s s
s
t pxH H
t px H
u t W t u W t u dp
C u dt
Realizando el cambio de variable ' 2 t
1
1
2 10 0
2 1
0
1 '1 '
2 ' 2
1 '1 '
2 ' 2
s
s
t px
H
t p
H
Cu t W t u u t d
Cu t d
12
0
21
0 0
2
0 00
1 '1 '
2 ' 2
11
11
s
s
s s
pt
H
tp
H
tp
H H
Cu t d
C u d
C u d u
Como2
0 00
1lim 1 0s
tp
HtC u d
, tenemos que dado 1 , existe
1 10, : 0T T t T entonces2
0 0
11 1s
tp
HC u d
19
Luego, 0 0 sHu t W t u u . Por lo tanto su X T .
Segunda Etapa: Sea 10, ; , .st T u v H es una contracción, es decir,
dado 1, su v X T demostraremos que , , ; 0 1d u v d u v .
En efecto, para todo 10,t T
1
1 1
0
1 1
0
1
1
1 11
1 2
s s
s
t p pxH H
t p px
H
u t v t W t u v dp
u v dp t
(3.11)
Donde,
1
1 1 1 1
0
0
0 00
00
0
0
2 2
2
2 1
ss
s
s ss
s ss
ss
ss
ss
p p p px HH
pp j j
j H
pp j j
H HHj
pp j j
H HHj
ppp
HHj
pp
HH
p
p HH
u v u v
u v u v
u v u v
u v u u
u v u
p u v u
C u v u
En la inecuación (3.11) tenemos
1
0 0
0 00,
0 0
11
2
11 sup
2
11 ,
2
ss s
s s
s
tp
HH H
tp
H HT
tp
H
u t v t C u u v dt
C u u v dt
C u d d u vt
20
Donde1
pCC
p
Pero 0
11
2
td
t
tiende a cero si t tiende a 0, en efecto:
0 0
1 1 21 1
2 2
t t td d t
t t
entonces si t tiende a 0, 0
11
2
td
t
tiende a cero para todo
10,t T ,Luego 0 0
11 1
2s
tp
HC u d
t
Por tanto, , ; 0 1sHu t v t d u v
Teorema 3.9. Si 0 y 0su H , 3
2s entonces existen 0 , ,sH
T T u s
y una función 0, : su C T H solución única del problema lineal
regularizado.
Demostración.Por el teorema de contracción existe un único su X T
tal que
10 0
1
1
t pxu t u t W t u W t u d
p
Demostraremos la unicidad en 0, : sC T H
Sean , 0, : su v C T H soluciones de la ecuación integral (3.10.1).
Para 0,t T cualquiera tenemos,
21
1
1
1 1
0
1 11
0
1 11
0
1
1
11
1 2
11
1 2
s s
s
s
t p px xH H
t p px
H
t p p
H
u t v t W t u u dp
Ku v d
p t
Ku v d
p t
desde que 1 1
0
pp p p j j
j
u v u v u v
tenemos,
1
1
00
1
00
11
1 2
11
1 2
s
s
s
s
pt p j j
Hj H
pt p j j
Hj H
Ku t v t u v u v d
p t
Ku v u v d
p t
usando el teorema 8.39 en la norma de la suma, tenemos,
1
00
1
00
11
1 2
11
1 2
s s s s
s s s
pt p j j
H H H Hj
pt jp j j
H H Hj
Ku t v t u v u v d
p t
Ku v u v d
p t
acotando cada uno de los factores de la suma, tenemos
11 20
0
1 0
11
1 2
11
2
s s
s
pt p j j
H Hj
tp
H
Ku t v t u v m m d
p t
K N u v dt
donde 1 20, 0,
sup , sups sH H
T T
u t m v t m
y 1 2,N máx m m . Luego
22
21
00,
1
0,
0,
1sup 1
sup 2
sup
s s
s
s
tp
H Ht
p
Ht
Ht
Ku t v t N u v d
KN u v t t
K t u v
Siendo 1 2pKK t N t t
una función no negativa, continua y
estrictamente creciente. Entonces
0,
sups sH Ht
u v K t u v
Por el teorema del valor intermedio, existe un único 1 0,T tal que
1 12K T y para todo 10,t T se cumple que 1 1
2K t K T . Por
lo tanto, dado 10,t T cualquiera,
1 10, 0,
1sup sup
2s s sH H HT T
u v K t u v u v
entonces
1 1 1
1
0, 0, 0,
0,
1sup sup sup
2
1 sup 0
2
s s
s
H HT T T
HT
u v u v
u v
Así u t v t para cualquier 10,T
Si 1T T se terminó la demostración.
23
Si 1T T definimos 2 12 ,T mín T T , entonces 1 2T T . Sea
1 2,t T T , luego
1
1
1
1
1
0
2
0 0,
1 10
,
1
,
11
2
1sup 1
2 sup
sup
ss s
s s
s s
s
tp
HH HT
t Tp
H HT t
p
H HT t
HT t
u t v t C u u v dt
Cu u v d
Cu t T t T u v
K t T u v
Por tanto, para todo 1 2,t T T
2 2
1 2 1
0, 0,
sup sups s sH H H
T T
u t v t K t T u v K T T u v
Vemos que 2 12T T y 1 2 1K t T K T T 2 1 1K T T K T
Luego
2 1 2 1 2 10
1 1 1 10
1 10
1
2
2 2 2
2
1
2
s
s
s
p
H
p
H
p
H
CK T T u T T T T
Cu T T T T
Cu T T
K T
24
Luego, en 1 2,T T , se tiene
2
12
0,
sups sH H
T
u t v t u t v t
,
entonces 20; 0,sH
u t v t t T .
Por lo tanto, para todo 20,t T se tiene u t v t . Si 2T T
concluimos la demostración.
Si 2T T , construimos una sucesión nT estrictamente creciente y
acotada tal que 0 nT T , para todo 1: 2 ;n nn T mín T T , se
cumple para 1n . Asumimos que se cumple para n h es decir,
1, ,h hu t v t t T T , h . Por lo tanto,
1, 0, hu t v t t T
Desde que n
nT
es una sucesión estrictamente creciente, acotada en
el compacto 0,T entonces existe supremo de nT , es decir
sup lim .n n
nn
T T T
Por lo tanto, , 0,u t v t t T
Teorema 3.10. Sean 0 y 0su H con 3
2s . La función u del
teorema 3.9 satisface 0, : s ru C T H , para todo 0r .
Demostración. Veremos que 0, , s ru C T H , para todo 0,1r .
Para esto, demostraremos que : 0, s ru T H . En efecto, sabemos
que, 10 0
1
1
t pxu t W t u W t u d
p
25
Donde 0 : 0, s rW u T H es continua. Entonces, probaremos
solamente la continuidad para 1
0
t pxG t W t u d
Sea 0,t T
1
0
11 10
11 10
1
1 10
11
2
11
2
11
2
s r s r
s r
s
s
t pxH H
t pr xr H
t pr r H
t p
r r H
G t W t u d
K u dt
K u dt
K u dt
Haciendo cambio de variable 2 't y tomando
0,sup sH
T
u t m
,
tenemos
12
21110
2 1 / 211
0
211
0
11
1
2
s r
r
prrH
rpr
pr
KG t m d
Km d
Km d
la integral impropia converge si 11
2
r , entonces s rG t H . En
segundo lugar, probaremos que : 0, s ru T H es continua. En efecto,
sea h tal que , 0,t t h T , luego
26
1 1
0 0s r
s r
t h tp px xH
H
G t h G t W t h u d W t u d
usando propiedades convenientes de la integral tenemos,
usando la desigualdad triangular para la norma y la propiedad de mayor
con la integral de una norma, tenemos,
1
0
1
1
0
1
1
0
1
s r s r
s r
s r
s r
s r
s r
t pxH H
t h pxt H
t px
H
t h pxt H
t px
H
t h pxt H
G t h G t W t h W t u d
W t h u d
W h I W t u d
W t h u d
W t W h I u d
W t h u d
usando el teorema 3.6 en cada una de las integrales, tenemos,
1
1
110
11
11
2
1 1
2
s r s
s
t pr xrH H
t h pr xr Ht
G t h G t K W h I u dt
C u dt h
haciendo el cambio de variable antes indicado en la segunda integral y
acotando tenemos,
1 1
0s r
s r
t t hp px xH t H
G t h G t W t h W t u d W t h u d
27
1
1
1
110
1 1
110
1 1
011
2
2 2
011
2
2 2 ,
s r
s
s
s
t pr xrH
H
r pr
H
t pr xr
H
r pr
W h WG t h G t K h u d
ht
Ch h u d
W h WK h u d
ht
Ch h m
Luego
1
110
1 / 2 1
011
2
2 22
s r
s
t pr xrH
H
r pr
W h WG t h G t hK u d
ht
Ch h m
Por lo tanto G es continua para 0h
Análogamente se prueba queGes continua para 0h . Sea h tal
que , 0, .t t h T Luego:
1 1
0 0
1 1
0
s rs r
s r
t h tp px xH
H
t h tp px xt h H
G t h G t W t h u d W t u d
W t h W t u d W t h u d
Habiendo usado las propiedades convenientes de integración y la
desigualdad triangular de la norma, tenemos,
28
1
0
1
s r s r
s r
t h pxH H
t pxt h H
G t h G t W t h I W h u d
W t u d
de manera similar como se procedió antes, tenemos:
11 10
1
0
11 10
1
0
11 1
11 0
2
' ' '
011
2
011
2
s r
s r
s r
s r
s r
H
t h pxr H
t h px H
t h pxr
H
h px H
pxr
H
G t h G t
C W W h u dt h
W t h u h d
W W hC h u d
ht h
W h u t h d
W W hC u
ht h
0
1
0
11 10
12 10
11 10
011
2
11
2
011
2
s r
s r
s r
s r
s r
t h
h px H
t h pxr
H
h pxr H
t h pxr
H
d h
W h u t h d
W W hC u d h
ht h
C u t h dh
W W hC u d
ht h
1
1 / 22 1 22 2
1
pr
h
C mh h
r
Por tanto Ges continua para 0h . Finalmente u es continua en
0, .T
29
Usando el procedimiento anterior se prueba que 20, , s rG C T H y
por tanto 20, , s ru C T H . Por inducción se demuestra que para
cada n se cumple que 0, , s nrG C T H y por tanto
0, , s nru C T H
Este resultado será fundamental para demostrar que el intervalo de
existencia de la solución del sistema regularizado es independiente de
como veremos en el teorema 3.11.
Teorema 3.11. Sean 0 y 30 2,sH s entonces la función u del
teorema 3.9 satisface 1 30, : 0, :s su C T H C T H
y es la solución única de (3.10). Además, para todo 0r
1 30, : 0, :s r s ru C T H C T H
Demostración. Veamos la existencia de una solución. Del teorema 3.9 y
de la teoría de semigrupos tenemos 0 0tW t u A W t u
Para 0t en 3sH . Para 0 , consideramos
1
0
t pxG t W t u d
Para 0 t T y 0, 0,h t h T se sigue,
30
1 1
0 0
1 1
0 0
1
0
1 1
0 0
1
1
1
1
t h tp px x
t t hp px x
t px
t tp px x
ph x h
G t h G tW t h u d W t u d
h h
W t h u d W t h u dh
W t u d
W t h u d W t u dh
W t h C u C
en la última igualdad se ha usado el teorema de valor medio para
integrales en el intervalo , ,ht t h C t t h con ,hC t t h
1 1
0 0
1
1 1
0
1
1
t tp px x
ph x h
t p px h x h
G t h G tW t h W h u d W t u d
h h
W t h C u C
W h I W t u d W t h C u Ch
como A es el generador del semigrupo
0tW t
tenemos
1 1
0 00
1lim
t tp px x
hW h I W t u d A W t u d
h
además, ,hC t t h y si 0h entonces hC t , por tanto
1 1
0lim 0p p
h x h xh
W t h C u C W u t
Así obtenemos, 1 ,pt xG t A G t u t para 0 t T y
0, 0,h t h T . Haciendo un cambio de variable 0k h , se sigue
31
Como A es el generador del semigrupo 0t
W t tenemos
1 1
0 00lim
t k t kp px x
k
W k IW t k u d A W t k u d
k
Además ,kD t k t y si 0k entonces kD t , por tanto
1 1
0lim 0p p
k x k xk
W t D u D W u t
Luego, 1pt xG t A G t u t
Así tenemos, t t tG t G t G t y
1 1
0 0
1 1
0 0
1
1 1
0 0
1
1
1
1
t t kp px x
t k t kp px x
t pxt k
t k t kp px x
t pxt k
G t G t kW t u d W t k u d
k k
W t u d W t k u dk
W t u d
W t k k u d W t k u dk
W t u d
W k I
k
1 1
0
t k p px k x kW t k u d W t D u D
32
0
0
10
10
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
t t
t t
px
px
u t W t u G tp
W t u G tp
A W t u A G t u tp p
A W t u G t u tp p
Luego, 11 (3.12)
1p
t xu t A u t u tp
Por lo tanto, : 0, s ru T H satisface la ecuación (3.10).
Demostraremos que 1 30, : su t C T H . Primero veremos si tu t
es continua en 0,T . En efecto, de la ecuación (3.12) basta demostrar
que A es un operador lineal acotado para decir que es continuo (lo
mismo para x ).Luego demostramos que 3: 0, stu T H
.
En efecto, sea 0,t T
3
3
3 3
1
1
1
1
1
1
s
s
s s
pt xH
H
pxH H
u A u up
A u up
33
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
s s
s s
s s
p
H H
p
H H
p
H H
u up
u up
u up
Por lo tanto 1 30, : su C T H . Finalmente probaremos que u es la
solución única del problema lineal regularizado.
Sea 1 30, : 0, :s sv C T H C T H otra solución del problema
lineal regularizado, entonces la función v satisface (3.12), es decir,
11; 0
1p
t xv t A v t v t t Tp
1
1
1
1
1
1
1
1
1
px
px
px
W t v W t C W t v
W t A v v W t A vp
W t A v W t v W t A vp
W t vp
Integrando de 0 a t a ambos miembros de la igualdad
34
1
0 0
1
0
10 0
1
1
10 0
1
1
1
t t px
t px
t px
W t v d W t v dp
W v t W t v W t v dp
v t W t v W t v dp
Observemos que 1 30, : 0, :s sv C T H C T H es solución de la
ecuación integral y por la unicidad del teorema 3.9 deducimos que v u
en 0, .T
A continuación demostraremos un resultado que será útil para probar la
existencia de solución local del problema de valor inicial (3.1).
Teorema 3.12. Sean 0 , 30 2,su H s y sea u la solución del
problema lineal regularizado. Entonces existe 0 , 0 0,sHT T u s T tal
que u se puede extender a 0,T . Además existe 0, :C T tal que
2
0
,0
sup , ,
s
s
H
H
u t t t T
t C u s T
(3.13)
donde satisface
22
2
0
' 2 ,
0
p
s
s
H
t C t t T
u
(3.14)
También, si 0s ru H para 0r , entonces para cada 0 se tiene
2
00,
sup , , ,s rs r HHT
u C u s T (3.15)
donde .,.,.C es creciente en cada argumento.
35
Demostración. Sea 1 30, : 0, :s su C T H C T H la solución del
problema lineal regularizado dado por el teorema 3.11. Tenemos,
2
1
1
,
, ,
12 ,
1
12 , ,
1
s s
s s
s
s s
t tH H
t tH H
px
H
pxH H
u t u t u t
u t u t u t u t
u t A u t u tp
u t A u t u t u tp
El generador A es m-disipativo, sabemos que , 0s
p
Hu t A u t
luego
22 , 2 ,
s s s
p pt x xH H H
u t u t u t u t u t u t u t
Por la desigualdad de Kato, tenemos
1 1
2 2
2
2 2
2
2
2
2
4
s s s ss s
s s s s s
s s
s
p pt s x xH H H HH H
p p
s H H H H H
p p
s H H
p
s H
u t C u u u u u
C u u u u u
C u u
C u
por tanto 2
22 2 24 2 2
P
s s s
P
t s sH H Hu t C u C u
.
Consideremos 222
P
sC t
entonces
2 22
s st H Hu t u (3.16)
36
Al resolver la igualdad en (3.16) según la teoría de ecuaciones
diferenciales ordinarias, la solución maximal viene dada por,
2 22
s st H Hu t u o equivalentemente 2
2 2p
sd C dt
integrando y considerando la condición inicial 2
00 sHu , obtenemos
2
0
2/2
01
s
s
Hp
s H
ut
pC t u
Luego, 01/ 21/
01
s
s
Hpp
s H
ut
pC t u
definida en el intervalo ˆ0,T con0
1ˆs
p
s H
TpC u
.
Por lo tanto, 2 ˆ, 0, 0,sH
u t t t T T
Así,para 0 , u se puede extender al intervalo 0,T , donde
ˆ0, 0,T T T . Para todo 0 se tiene
2
2 0
2/
0
, 0,1 2
s
s
HpH p
s
uu t t t T
C pt u
Entonces,
22 0
2/0, 0,
0
sup sup1 2
s
s
s
HpH pt T t T
s H
uu t
C pT u
pero, dado que la expresión
2
0
2/
01 2
s
s
Hpp
s H
u
C pT ues creciente en 0,t T
Luego,
2 2
0 0
2/ 2/0,
0 0
sup1 2 1 2
s s
s s
H Hp pp pT
s sH H
u u
C pT u C pT u
37
por tanto,
22 0
2/0,
0
sup1 2
s
s
s
HpH pT
s H
uu t
C pT u
Así, para 0 , u se puede extender si fuera necesario a un intervalo
0,T . Esto prueba a (3.13) como queríamos.
Además, si 0r podemos concluir
22 0
02/0,
0
sup , ,1 2
s r
s rs r
s r
Hp HH pT
s H
uu t C u s T
C pT u
lo que completa la demostración.
38
IV. MATERIALES Y MÉTODOS
4.1. MATERIALES
Los materiales utilizados en el presente trabajo de investigación son:
1.- Material bibliográfico de bibliotecas visitadas.
2.- Revistas especializadas.
3.- Información especializada por internet.
4.- Los programas para editar MathType 5.0 y Word 2010.
5.- Una computadora Corel 2 Dúo.
4.2. MÉTODOS
El método utilizado en el presente trabajo de investigación es el
demostrativo inferencial.
De acuerdo a la naturaleza del trabajo, por ser de índole demostrativo, no
es necesaria técnica demostrativa alguna.
39
V.RESULTADOS
5.1. Existencia y unicidad de solución local de la KdVg
Demostraremos en el siguiente teorema la existencia y unicidad de la
solución de la ecuación (3.1)
Teorema 5.1. Sea 0su H y 3
2s entonces existen 0 ,sHT T u s y una
1 30, , 0, ,s su C T H C T H solución única de (3.1) y
2
00,
, 0
sup , ,
s
s
H
HT
u t t t T
t C u s T
(5.1)
donde satisface
22
2
0
' 2 ; 0
0
p
s
s
H
t C t t
u
yC(.,.,.) es creciente en cada uno de sus argumentos. Además si
0s ru H con 0r , entonces
0 0
0,sup , ,s s rs r H HH
T
u t C u s T u (5.2)
Demostración. Si para 0 , cada u es solución de (3.10) con dato
inicial 0u dado por los teoremas 3.10 y 3.11 en 0,T , afirmamos que
existe u tal que
2
0limu
u t u t en L (5.3)
uniformemente en 0,t T . Para esto, probaremos que 0
u es una
familia de Cauchy; en efecto, sean , 0v cualesquiera y vu la solución
de (3.10), con dato inicial 0 0vu u , esto es,
40
3 2
0
0
0
pt v x v x v xu t u t u t u t u t
u u
(5.4)
Sean 3 2 3 2x x x xA t u t u t u t y p
xF u t u t u t
entonces
0tu t A t u t F u t (5.5)
0tu t A t u t F u t (5.6)
Sumando y restando A t u t en (5.5)
0tu t A t u t A t u t A t u t F u t (5.7)
restando de la ecuación (5.7) la ecuación (5.6) y tomando en cuenta que
0 0 0u u , tenemos:
Si u t u t u t entonces u t satisface
0
0 0
tu t A u t A A u t F u t F u t
u
Donde, 3 2x xA u t u t ,
3 2 3 2
2 2
2 2
2
x x x x
x x
x x
x
A A u t u t u t u t u t
u t u t
u t
u t
Luego para 0,t T tenemos
0
0 0 0
t u t u t A u t u t A A u t F u t F u t
u u
41
22
2
2 2
2
2 2
22 ,
2 ,
2 , 2 ,
2 ,
2 , 2 ,
t t LL
L
L L
L
L L
u t u u
u t A u t A A u t F u t F u t
u t A u t u t A A u t
u t F u t F u t
u t A A u t u t F u t F u t
Además,
A continuación acotaremos cada uno de los productos internos del
segundo miembro.
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz
22
2
2 2
2, ,
,
,
s s
ss
s ss
x LL
x x L
x xL L
H H
HH
H HH
u t A A u t u t u t
u t u t
u t u t
C u t u t
C u t u t u t
C u t u t u t
C
Así, 2
, ,L
u t A A u t C (5.8)
donde en la penúltima desigualdad utilizamos (3.14) y 0 , ,sHC C u s T .
También, p px xF u t F u t u t u t u t u t
Luego, usando la fórmula de integración por partes, aplicando la
desigualdad de Cauchy-Schwarz y el teorema de inmersión de Sobolev,
obtenemos
2 2 2
22 , 2 ,t L L L
u t u t A A u t u t F u t F u t
42
22
2
2
2
2
2
1 1
1 1
0
0
0
, ,
1 1,
1 1
1,
1
1,
1
1,
1
1,
1
p px x LL
p px x
L
p px
L
pp j j
x vj L
pp j j
xj L
pp j j
xj L
u t F u t F u t u t u u u u
u t u up p
u t u up
u t u u u up
u t u t u up
u t u t u up
es decir,
22
2, (5.9)v s v LL
u t Fu t Fu t C u t u t
Por tanto, de (5.7), (5.8) y (5.9)
2 2
2 2
t sL Lu C v C u
Integrando de 0 a t se tiene
2 2
2 2
2 2
0 0 0
2 2
0
t t t
t sL L
t
sL L
u t C v d C u d
u C v T C u d
Aplicando la desigualdad de Gronwall, obtenemos
2
2sC T
Lu C v Te
Así obtenemos que 0
lim en (5.10)su t w u t H
uniformemente en 0, .t T
Por el teorema de representación de Riez-Fréchet, para todo : sf H
lineal y acotado, existe un único sH que cumple ,sH
f u u ,
43
luego por la densidad de 2 ens sH H , para cada 0 existe sH tal
que .sH
Sean , 0 y , vv u u como antes, usando (3.14) con 0 , ,sHC C u s T
tenemos
2 2
, ,
, ,
, ,
s s
s s
v vH H
v vH H
s s s sv vL L
s
u t u t u t u t
u t u t u t u t
J u t u t J J u t u t J
J u t
2 22
22
22
2,
<
s ss
s
s sv vL LL
v vH HH L
v HL
u t J u t u t J
u t u t u t u t
C u t u t
C
Así, , < (5.11)sv H
u t u t C
Entonces para todo 0, lim , =0sv f Hv
u t u t
para cada 0,t T
de(3.28), proposición 8.5 y (3.16) obtenemos (3.27).
Además de (3.27) sigue que 0, , ,swu C T H por la proposición (8.3) y
la desigualdad
2
00,T
sup , ,
s
s
H
H
u t
t C u s T
Tenemos, 12liminf , 0, .s sH Hx
u t u t t t T
44
por lo que u t satisface (3.14).
Probaremos que u t satisface el problema (2.15) c.e.t. 30, en .st T H
Para ello definamos
(5.12)E u t A u t F u t
Entonces, de (3.27) y porque la función,
:
,
s s sH H H
u v uv
es débilmente continua cuando 1,
2s sigue que
0 0 0lim lim limw E u t w A u t w F u t
Au t F u t
E u t
Así 3
0lim en (5.13)sw E u t E u t H
Uniformemente en 0,t T . Del teorema 3.11 y de (3.29) tenemos
, 0,tu t E u t t T
Integrando desde ' hasta , con 0 ' ,t t t t T obtenemos
'
' (5.14)t
tu t u t E u d
Como 0, , ,swu C T H de (3.27) y (3.28), la función
3. : 0, sE u T H
Es débilmente continua. Como las funciones débilmente continuas son
medibles (corolario 8.9) y por lo tanto integrables en el sentido de
45
Bochner (proposición 8.11), de (3.28), 3,s sA L H H con 3
2s , y el
teorema de convergencia dominada (corolario 8.12) tenemos que
' '0 0
' 0
'
'
lim lim
lim
t t
t t
t
t
t
t
t
t
w E u d w A u F u d
w A u F u d
A u F u d
E u d
en 3,sH para 0 ' .t t T
Tomando en (3.27) el límite débil cuando 0 , obtenemos
'
't
tu t u t E u d en 3,sH para ', 0,t t T
Entonces 30, , su AC T H y satisface (3.1) c.e.t. 0,t T
Probaremos la unicidad en 30, , 0, ,s swC T H AC T H
En efecto, si 3, 0, , 0, ,s swu v C T H AC T H satisfacen (3.1) c.e.t.
en el intervalo 0,T , definimos u u v tal que satisface
3
1 3
3
1 3
, , ,
1, ,
1
, , ,
1, ,
1
pt x x
px x
pt x x
px x
u t u x t u x t u x t
u x t u x tp
v t v x t v x t v x t
v x t v x tp
luego, 3
0
1
1
pp j j
t x xj
u t u u v up
usando integración por partes obtenemos
46
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
3
0
3
0
0
2
0
2
0
, 2 ,
12 ,
1
12 , 2 ,
1
12 ,
1
12 ,
1
2,
1
t t tL L L
pp j j
x xj
L
pp j j
x x Lj L
pp j j
xj L
pp j j
xj L
pp j j
xj L
u t u t u t u t u t
u t u u v up
u t u u v u t up
u t u u vp
u t u vp
u t u vp
Como su H y 3stu H la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el teorema
de inmersión de Sobolev y la desigualdad triangular, implican que
2
2
2 2
2
2 22
0 0
2 2
0 0
2
,
. . . 0,
S
p pp j j p j j
t x xLj jL
p pp j j p j j
x SL Lj jL H
L
u t C u t u v C u u v d
C u v u t C u v u t
C u t c e t t T
Así, 2 2
2 2. . . 0,t sL L
u t C u t c e t t T (5.15)
Integrando (5.15) de 0 a t tenemos
2 2 2
2 2 2
00 , 0,
t
sL L Lu t u C u d t T
de donde, utilizando la desigualdad de Gronwall, sigue que
2 2 2
2 2
2 2 2
0
2 2
0
0
0 exp
0
t
sL L L
t
sL L
u t u C u d
u C u d
Luego u t v t en 2L c.e.t. 0,t T
47
Sea ahora cualquier S entonces
, ,r rH Hu t u t v t para 0r
2
2
22
2
,
,
r
r r
L
r
L
HL
J u t v t J
u t v t J
u t v t
Luego la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica
22, 0rr HH Lu t u t v t
Como S es denso en rH obtenemos u t v t en rH para
0,t T en particular, es válido si r = s y r = s - 3, y en consecuencia la
unicidad en la clase 30, , 0, ,s swC T H AC T H
Para completar la demostración de existencia debemos probar que
0, , su C T H
En efecto, en primer lugar veamos que u es continua a la derecha de 0
en sH . Como 0, , swu C T H es inmediato que
00
limt
w u t u
en sH (5.16)
y de (3.10.1)
1 1 12 2 2
000 0
lim sup lim sup lim 0 ss HH tt t
u t t t u
Así, 00
limsup ss HHt
u t u
(5.17)
y la afirmación sigue de (5.16), (5.17) y por la (proposición 8.3)
00
limt
u t u
Por lo tanto es continua a la derecha de 0.
48
En segundo lugar demostraremos que u es continua por la derecha en
0 0,t T .
En efecto, definimos, 0, ,v x t u x t t
Con 300, , 0, , 0, ,s swt T t u C T H AC T H
Entonces 30 00, , 0, ,s s
wv C T t H AC T t H y satisface (3.1)
3 10
0
10 . . . 0,
1
0
pt x xv t v t v t c e t t T t
p
v u t
v t es única y continua por la derecha a cero, es decir, u es continua a
la derecha de 0t
En tercer lugar demostraremos que u es continua a la izquierda en
0 0,t T . En efecto, definimos 0, , ,w x t u x t t con 00, ,t t
30, , 0, , ,s swu C T H AC T H entonces
30 00, , 0, ,s s
ww C t H AC t H
ysatisface(3.10)
3 1 20
0
1, 0 . . . 0,
1
0
pt x x xw t w t w t w x t c e t t t
p
w u t
w t es solución única y continua por la derecha de 0, es decir, es
continua a la izquierda de 0t
49
Por lo tanto 0, , su C T H ycomo satisface (3.10) entonces
1 30, , su C T H
Sabemos que, 2
s rHu t t para 0, ,t T
Luego
12
2 2
2
0
0
0 0
0
0
1
1 1
1
1
s r
s rs rp p
s s
s rp
s
H
HH p p
s sH H
Hp
s H
u tu t t u t
pC t u t pC t u t
u tpC T u
debido a que *0 t T T tenemos
2 2
0 0
1 10 1
1 1p p
s s
p p
s sH HpC t u pC T u
Luego, 0 0, , ,s s rs r H HHu t C u s T u
como consecuencia de las propiedades de convergencia débil y el
supremo, concluimos
0 0
0,sup , ,s s rs r H HH
T
u t C u s T u
De esta manera queda demostrado el teorema.
5.2 Problema de valor inicial asociado a la ecuación de KdVg:
Dependencia continua de la solución respecto del dato inicial
5.2.1. Dependencia continua de la solución del problema
regularizado respecto del dato inicial
Después de ver la existencia y unicidad de solución del problema (3.10),
a continuación estudiaremos el teorema (5.1) en el cual se garantiza la
50
dependencia continua de la solución respecto del dato inicial, es decir,
que pequeñas variaciones en los datos, conllevan pequeñas variaciones
en la solución.
Teorema 5.2. Sea 00, su H con 32s y 0, , su C T H solución
única de
3 2
0
, , , , , 0,
,0
pt x x xu x t u x t u x t u x t u x t p
u x u x
que satisface
Si 0 ,n
u n
convergente a 0su H y ,
nu n
sucesión de soluciones
de la ecuación (KdVg-r) con , ,00n nu u y , 0, : sn nu C T H para cada
1n . Entonces, para cualquier 0,T T existe 0n tal que si 0n N
No se cumple que ,nu está definida en 0, nT y
,
0,lim sup 0
sn Hn T
u t u t
Demostración. Sea 0,T T cualquiera. Para cada n
2
, , 0,sn n nH
u t t t T
donde n satisface,
22' *
2
0,
2 ; 0,
0
p
s
n s n n
n n H
t C t t T
u
y
2
00,
, 0
sup , ,
s
s
H
HT
u t t t T
t C u s T
51
* *
0,
1, 0,
s
n n np
s n H
T T TpC u
Por lo tanto, ,nu para 0n N se extiende a 0,T satisfaciendo
2
, 0 , ,ssn HHu t C u s T
En efecto, previamente demostraremos que
0,0,
sup , , sn n HT
t C T s u
tenemos que
12
1
0,
0,
,1_
s
p
s
n Hn
p
s n H
ut
pC t u
luego para cada n
12
1 1
0, 0, *
0, 0,
;01_ 1_
s s
p p
s s
n nH Hn
p p
s n s nH H
u ut t T T T
pC t u pC T u
(5.18)
desde que 0, 0
sH
nu u (por hipótesis), es decir, 0, 0 sn Hu u , se sigue
que
0, 0 0, 0ss sn nHH Hu u u u
entonces
0, 0 ssn HHu u (5.19)
De (5.18) y (5.19) se sigue,
1 1
0, 0
0, 0,
.1 1
s s
p p
s s
n H H
p p
s n s nH H
u u
pC T u pC T u
52
En consecuencia
12
1
0
01
s
p
s
Hn
p
s H
ut
pC T u
tomando supremo en 0,T
1
21
00
0, 0,
0
sup sup , ,1
s
sp
s
Hn HpT T
s H
ut C u s T
pC T u
entonces,
1
21
00
0,
0
sup , ,1
s
sp
s
Hn HpT
s H
ut C u s T
pC T u
ya que 0 ,s sHu C p y son constantes.
Luego, 2
, 0 , ,ssn HHu t C u s T
Para 0n N , definimos , , 0,nu t u t u t t T y observamos que
3 1 2, , , ,
10
1p
t n x n x n x nu t u t u t u tp
(5.20)
Además
3 1 2,
10
1p
t x x n xu t u t u t u tp
(5.21)
Restando (5.20) de (5.21), obtenemos
3 1 1 2, , , ,
10
1p p
t n x n x n x nu t u t u t u t u t u t u t u tp
desde que , ,nu t u t u t tenemos
3 2,
0
10
1
pp j j
t x n x xj
u t u t u t u t u t u tp
53
3 2,
0
1
1
pp j j
t x n x xj
u t u t u t u t u t u tp
Así
22 ,s st tH H
u t u t u t
3 2,
0
12 , , ,
1 s s
s
pp j j
x n x xH Hj H
u t u t u t u t u t u t u t u tp
2,
0
12 , 2 ,
1 s
s
pp j j
x n x Hj H
u t u t u t u t u t u tp
^
,0
2, 2 ,
1s
s
pp j j
x n x x Hj H
u t u t u t u t u t u tp
2
,0
2, 2
1s
s
pp j j
x n x Hj H
u t u t u t u t u tp
2
,0
22
1ss s
s
pp j j
x n xHH Hj H
u t u t u t u t u tp
2
,0
22
1ss s s
s
pp j j
x n xHH H Hj H
u t u t u t u t u tp
por la desigualdad triangular
2 2
,0
22
1s s s ss
pp j js
t x n xH H H HHj
Cu t u t u t u t u t u t
p
debido a que ,nu y uson soluciones de (3.10) y satisfacen (5.1)
2 22s s s st x xH H H H
u t C u t u t u t
54
Donde2
1sC C
Cp
. Por la desigualdad de Cauchy con (Teorema 8.43),
tenemos,
22
2 2 22
4
s
s s s
x Ht xH H H
C u tu t u t u t
Tomando2
8
C
se tiene
2
2 2
8s st H H
Cu t u t
integrando de 0 a t, tenemos
2
2 2 2
00
8s s s
t
H H H
Cu t u u
y usando la desigualdad de Gronwall, tenemos
2
2 2 20 exp 0
8s s sH H H
Cu t u T C u
Entonces, 2 2
, 0 , 0 0, .ssn n HHu t u t C u u t T
Así,
2
, 0, 00,
sup ,ssn n HHT
u t u t C u u
por lo tanto, ,0,
lim sup 0sn Hn T
u t u t
El propósito de haber involucrado a es para que finalmente sea
considerado como 0 lo cual nos dio buenos resultados y pudimos
probar la existencia y unicidad de solución local de la (3.10); pero al
probar la dependencia continua el valor de C cuando 0 , lo
cual hace imposible concluir la dependencia continua de la solución.
5.2.2. Dependencia continua del problema KdVg respecto del dato
inicial
55
En esta sección usamos los estimados de Bona-Smith presentados en el
teorema 5.2 para probar la dependencia continua de la solución local
respecto del dato inicial.
Teorema 5.3. Sean 32 ,0 1s y 0, , 0,u u H
aproximaciones de
Bona-Smith de 0u . Si u y u son soluciones de (5.1) con datos iniciales
0,u y 0,u respectivamente, entonces para cada 0,T T , existe
0 , , 0sHC C u s T tal que
0, 0,
0,sup ; 1
svp v
s sH HT
u t u t C u u v s r
Donde 320 v
Demostración. Probaremos este teorema en tres etapas. En la primera
etapa demostraremos, en caso sea necesario u y u pueden
extenderse al intervalo 0,T . En efecto, del teorema 5.2, tenemos
20,sH
u t t t T
y 2
sHu t t si 0,t T (5.22)
Si ,T T T de la definición de y del teorema 5.1, tenemos
0, 0, , , , ,ss HHt C u s T C u s T
y 0, 0, , , , ,ss HHt C u s T C u s T (5.23)
Luego, de (5.23), u y u ya pueden extenderse a 0,T
En la segunda etapa vamos a probar dos desigualdades
2 0 , ,s
s
HLw t C u s T
56
2
2 2
2 2 2
00
svp v
s
ts ss s HL L
D w t D w C C w d
donde w t u t u t . En efecto. 0, 0,0w u u , tomando en cuenta
las desigualdades de (5.23) tenemos
3 110
1p
t x xu u up
(5.24)
y
3 110
1p
t x xu u up
(5.25)
Restando (5.25) de (5.24)
3 1 110
1p p
t x xw t w t u up
(5.26)
1 1
11 1 1 1
1
1p p
kp p p k kx x
k
u u k u w w
(5.27)
Reemplazando (5.27) en (5.26) obtenemos,
1 1
13 1
1
11 0
1
p pk p k k
t x xk
w t w t k u wp
luego
2 2
22 ,t tL L
w t w t w t
2
2
1 113 1
1
12 , 2 , 1
1
p pk p k k
x xLk L
w t w t w t k u wp
2
1 11 1
1
2, 1
1
p pk p k k
xk L
w t k u wp
2
1 11 1
1
2, 1
1
p pk p k k
xk L
w t k u wp
57
2
2
2
1 11 1
1
1 11 1
1
1 11 1
1
2, 1
1
2, 1
1
2, 1
1
p pk p k k
xk L
p pk p k k
xk L
p pkk p k
xk L
w t k u wp
w t k u wp
w w t k up
Considerando que 11
1k k
x xw w wk
, tenemos
2
2
1 12 11 1
1
2 1, 1
1 1
p pkk p k
t xLk L
w t w t k up k
2
1 111 1
1
2 1, 1
1 1
p pkk p k
xk L
w t k up k
2
1 11 1
1
2 1,
1 1
p pk p k
x Lk
k w t up k
1
1 11 1
1
2 1
1 1
p pk p k
xL Lk
k w t up k
1
1 1 21 1
0,1
2 1sup
1 1
p pk p k
xL LTk
k w t w t up k
2
1 11 1
0,1
2 1sup
1 1 s
p pk p k
L HTk
k w t w t up k
2
1 12
1
2 1
1 1
p p
kLk
w k Cp k
2
2
p LC w
Por consiguiente, 22
2 2
t pLLw t w C
Luego, integrando de 0 a t,
2
2 2
0 0.
t t
pLw d C w d
58
de donde 2 2
2 2 2
00 .
t
pL Lw t w C w d
o 2 2
2 2 2
00 .
t
pL Lw t w C w d
Aplicando la desigualdad de Gronwall
2 2 2
2 2 20 0p pC t C T
L L Lw t w e w e
2 2 2
22
0, 0, 0, 0 0, 0L L LC u u C u u u u
2 2 2 2
2 2
0, 0 0, 0 0, 0 0, 02L L L L
C u u u u u u u u
Utilizando(8.18) con 0
2
2 2 2 22 2 2 2 2 21 0 1 0 1 02s s s
s s s s
H H HLw t C C u C u C u
22 202 s
s s s s
HC u
2 2
0 ,s
s s
HC u
Como , 2
2 22 20 s
s s
HLw t C u C
Por lo tanto, 2 0 , ,s
s
HLw t C u s T
dondeC es una constante que depende de 0 ,sHu s y T , como puede
verse al acotar 2
2
t Lw t y 2
2
Lw t
Ahora demostraremos
2
2 2
2 2 2
00
svp v
s
ts ss s HL L
D w t D w C C w d (5.28)
Tenemos
2 2 2
22 , 2 ,s s s s s
t t tL L LD w t D w t D w t D w t D w t
59
2
1 113 1
1
12 , 1
1
p pks s p k k
x xk
L
D w t D w k u wp
2
2
1 113 1
1
22 , , 1
1
p pks s s s p k k
x xLk L
D w D w D w D k u wp
considerando que2
3, 0s sx L
D w D w según la proposición 3.2, tenemos,
2
2
1 12 1 1
1
2, 1
1
p pks s s p k k
t xLk L
D w t D w D k u wp
2
1 11
1
2,
1
p ps s p k k
xk L
D w D k u wp
2
1 11
1
2,
1
p ps s p k k
xk L
D w D k u wp
2 2
11 1
1
2, ,
1
p ps s p k k s s p
x xL Lk
k D w D u w D w D wp
22
11 1
1
2 2, ,
1 1
p ps s p k k s s p
x x LLk
k D w D u w D w D wp p
(5.29)
Llamamos, 2
1,s s p k kx
LI D w D u w
y2
1,s s px L
II D w D w
Desarrollando I:
2
2 2
2 2
22
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1
, . .
, . , .
, . , .
, , .
, .
s s p k k s p k kx x
L
s s p k k s s p k kx x
L L
s s p k k p k s k s s p k kx x x
L L
s s p k k s p k s kx x LL
s s p k
I D w D u w D u w
D w D u w D w D u w
D w D u w u D w D w D u w
D w D u w D w u D w
D w D u
2
kx
Lw
60
Llamando,2
1,s s p k kx
LA D w D u w
, 2
1, .s p k s kx L
B D w u D w
y 2
1, .s s p k kx
LC D w D u w
Desarrollando A:
2 2
1, ,s s p k kxL L
A D w D u w
1
1 1s ss
p k k p ks x xH H HH H
C w u w w u w
11
1 1s s ss
p k p ks x xH H H HH H
C w u w w u w
1 2 1
1 1 1s s s s
p k p k p ks s xH H H H H H
C w u w C w u u w
Llamando, 1
1
1 ys s
p k
s H H HA C w u w
2 1
1
2 s s
p k
s H H HA C w u w
Desarrollando A1, usando el teorema 5.2 y la proposición 8.37, se
obtiene
2
111 ,s s
p ks H L H
A C w w w
donde 0,1 , 1 0 , 0 ,s s luego / s
/1 1 /1 s s
sp k s ss H H
A C w w
1 / 1s
s s p ks H
C w
escribimos r k p donde 1/ 2 , 1 ,r p k s p k s p k
Usando la proposición 8.49 en el tercer miembro de la última
desigualdad, tenemos, 2 1 2
12 2
1
s s r svp s r p v
s ss sH HA C w C w
donde
1v s r
61
Desarrollando A2, usando interpolación de 2H entre 2L y sH
proposición 8.33, tenemos, 2 2
1sH L H
u u u
Entonces, usando el estimado (8.14) y reemplazando en A2, tenemos
2 1
11
2 s s s
p k
s H L H HA C w u u w
donde 0,1 , 2 1 0 , 0 2 ,s s luego 2s
1
1 1
1 12
2 1
2 1 1
2 1 1
s s
s s s
s
s
s p ks H H
s s p ks H H H
s p ks H
s p ks H
A C w w
C w u u
C w
C w
escribimos 2
1
p k s r
p k , donde 11
2 , ,s sa a ar b b b , 1
1p ka y
2b p k s
2212
svp v
s s
s rs H H
A C w C w
donde 1v s r
Desarrollando B:
2 2 2
1 1, . .s p k s k s p k s kx xL L L
D w u D w D w u D w
2 2
1s p k s kxL L L
D w u D w
1 1s s s s
p k k ks sH H H H
w C u w C w
12 1 2s s s s s
kk
s sH H H H HC w w C w u u
22 2 svp v
s ss sH H
C w C w
62
Desarrollando C:
2 2
1 1 1, . , , . .s s p k k s s p k k p k s kx x
L LD w D u w D w D u xw u D w
2 2
1 1, , , .s s p k k s p k s kx
L LD w D u xw D w u D w
llamando2
11 , ,s s p k k
LC D w D u xw
y 2
12 , .s p k s k
xL
C D w u D w
Desarrollando C1:
2 2
11 ,s s p k k
xL LC D w D u w
1 1
1 1s s ss s
p k p kk kx xH H HH H
C w u w u w
1 1 02s s s s s s s
p k k p k k k
H H H H H H HC w u w u w C w w
1 2 1s s s
k k
H H HC w C w w
1 12 02s s s s
k k
H H H HC w u u C w
22 2 svp v
s sH Hw C w
donde 1v s r
Así 22
1
svp v
ss HC C w
Desarrollando C2:
2 22 , ,s p s p s sx xL L
C D w w D w w D w D w
63
2 2
22 1
11 1
2
1
11 2 2
12 20
2
, ,
2
s
s s s s
s s
s s s s s s
s s
svp v
s
p s s p s sx xL L
p s s p sx HLL H
pp s
H H H HH H
ps
H H
pp p
s s sH H H H H H
p
s sH H
s H
w D w D w w D w D w
w D w D w w D w w
w D w w w w w
w C w
C w C w w C w u u
C w C w
C w
Por lo tanto, 2 2 /5 s
sv p vs H
I C w (5.30)
Resolviendo II, tenemos
2 2
1, , 1s s p s s px xL L
II D w D w D w p D w w
2
1 , , ,s
s s p s p sx x LL
p D w D w w D w w D w
Tomando,21 ,s s p
xL
D D w D w w y 22 ,s p sx L
D D w w D w
Desarrollando D1:
22 21 , , ,s s p s s px xLL L
D D w D w w D w D w w
1 1
12s s s s ss s
pp px xH H H H HH H
w w w w w w w
2 2 2 2 02s s s s s s s
p pp p
s H H H H H H HC w C w w C w u u C w
22 2 svp v
s ss sH HC w C w
64
Desarrollando D2:
2 22 , ,s p s p s sx xL L
D D w w D w w D w D w
2 2, ,p s s p s s
x xL Lw D w D w w D w D w
22 1 s
p s s p sx HLL H
w D w D w w D w w
11 1 s s s s
pp s
H H H HH Hw D w w w w w
1s s
ps
H Hw C w
11 2 2s s s s s s
pp p
s s sH H H H H HC w C w w C w u u
12 202s s
p
s sH HC w C w
22 sv
p vss H
C w
Por lo tanto, 22 svp v
ss HII C w
Entonces, sustituyendo (I) y (II) en (5.29)
2 2
2
12 2 2
1
25 2
1
sv svp v p v
s s
p ps
t H HLk
CD w t k w w
p
2 22 222 2 1 5 2
1
sv svp v p v
s s
p
H H
Cw w
p
22
,
svp v
ss p HC w
donde 1v s r Integrando de 0 a t, tenemos
2
2 2
2 2 2
, 00
svp v
s
ts ss p HL L
D w t D w C w d
2
2
2 2
, , 00
svp v
s
tss p s p HL
D w C C w d
En la tercera y última etapa probaremos
0, 0,
0,sup
svp v
s sH HT
u t u t C u u , donde 0 3/ 2v
65
2 2
22 2
s
s
H L Lw t w t D w t
2
2
2 22, , , 0
0sv
p v
s
ts ss p s p s p HL
C D w C C w d
2 2 2
, , , 00
svp v
s s
t
s p s p s pH HC C w C w d
2 2 2
, , 0, 0, , 0
svp v
ss
t
s p s p s p HHC C u u C w d
Aplicando la desigualdad de Gronwall en el último miembro de las
desigualdades, tenemos
2,
22
, , 0, 0,
svp v s p
s s
C t
s p s pH Hu t u t C C u u e
2,
2
, 0, 0,
svp v s p
s
C T
s p HC u u e
Luego, 2
, 0, 0,
svp v
s ss pH Hu t u t C u u
y considerando el supremos sobre t, tenemos
, 0, 0,
0,sup
svp v
s ss pH HT
u t u t C u u
Teorema 5.4. Sean u y u las soluciones del problema (3.1) en 0,T
con datos iniciales 0,u y 0u para 1 como en el teorema 8.69.
Entonces0
lim u u
en 0, , .sC T H
Demostración. Por el teorema 5.2 y el teorema 5.1, 0u
es de
Cauchy en 0, , sC T H , luego existe 0, , sv C T H y 0v tal
que
0lim u v
Probaremos que satisface la ecuación integral asociada con el problema
66
(3.1).
Así, 10, 0
1
1
t pxu t W t u t W t u d
p
ya que u es solución de la (3.1) con 0,0u u
Tenemos que,
0, 0, 00 0
lim limW t u t W t u t W t u t
(5.31)
pues W t es un operador unitario fuertemente continuo y acotado sobre
H y 0,u converge a 0u cuando 0
Además 11 1
0 0 0lim lim lim
pp p
x x xu u u
es decir,
1 1 1
0lim p p s
x xu v H
(5.32)
para 0, t
1 1
0 0lim limp p
x xW t u W t u
Luego,
1 1
0lim p p
x xW t u W t v
(5.33)
para 0, t . Esto es como consecuencia de (5.32) y que
1sW t L H . Veamos que 1pxw t u es acotada en 1sH .
En efecto,
1 1
11 1 1ss s s
pp p px x HH H H
W t u u C u C u g
como 1
s
p
Hu
es una función integrable sobre 0,T , luego
1
1 1 0, ,s
px H
W t u g g L t
(5.34)
tenemos que,
67
0
limv t u
10, 00
1lim
1
t pxW t u t W t u d
p
10, 00 0
1lim lim
1
t pxW t u t W t u d
p
utilizando (5.31), (5.32), (5.33), (5.34) y el teorema de convergencia
dominada de Lebesgue, sigue que
10 0
1
1
t pxv t W t u t W t v d
p
con la igualdad en 1sH . Entonces v satisface el problema (5.1), y por la
unicidad probada en el teorema 5.1 tenemos que u v , además
0 0u v entonces 0u
Teorema 5.5. Sean 320,s y 0, 0lim n
nu u
en sH . Entonces, dado
0,T T existe 0 0N N T tal que las soluciones ,nu y u del problema
(3.1) en 0,T con datos iniciales 0, ,nu y 0,u respectivamente, están
definidas en 0,T si 0n N además cada vez que 0n N se cumple
, 0, , 0,0,
supsv
p v
s sn s nH Ht T
u t u t C u u
(5.35)
Demostración. Dado que ucumple las condiciones del teorema 5.2
puede ser definida en 0,T , satisface (5.14) y (5.15). Demostremos
que lo mismo sucede con ,nu
Consideremos
68
0, 0, 0,, 0s s sH H H
TT u u u
T (5.36)
Como, 0, , 0, 0, 0 ,s sn nH Hu u u u
del teorema 5.3, existe tal que
0, , 0, 0, , 0,s s sn nH H Hu u u u
(5.37)
entonces
0, , 0,s sn H Hu u siempre que 0n N (5.38)
de la definición de , ,n la desigualdad (5.38) y teorema 5.2, para
0n N T tenemos,
12
1 1
0, , 0,
,
0, , 0,1 1
s s
p p
s s
n H Hn
p p
s n sH H
u ut
pC t u pC t u
1
0
0
, 0,1
s
p
s
HTp
s H
C ut t T
pC t C u
así
12
, , 0,n Tt t t T (5.39)
Pues de (5.36), obtenemos
0, 0, 0, 1s s ss s sH H HC t u C T u C T u
esta última desigualdad es consecuencia de la elección de T en
teorema 3.13.
Para 0n N T se tiene,
, 0,0,
sup , ,sn HT
t C u s T
(5.40)
69
luego del teorema 5.1, si 0n N T entonces ,nu puede ser definida en
0,T y satisface
2
, ,sn nHu t para 0,t T (5.41)
veamos ahora que (5.28) se cumple. En efecto, recordemos (5.16),
(5.17) y (5.18) y que, , 0, 0, ,, 0n nw t u t u t w u u
2
2
1 12 1 1
1
2, 1
1
p pk p k k
t xLk L
w t w t k u wp
2
12
1
12 1
1 1
p
kLk
p
w k Cp k
2
2
p LC w
por lo tanto
2 2
2 2,t pL L
w t C w t (5.42)
integrando de 0 a t
2 2 2
2 2 2
00 ,
t
pL L Lw t w C w d
Entonces,
2 2 2
2 2 2
00
t
pL L Lw t w C w d (5.43)
Usando la desigualdad de Gronwall en (5.39), se obtiene
2 2 2
2 2 20 0 ,p pC t C T
L L Lw t w e w e
entonces obtenemos
2 2
2 20pL L
w t C w para 0,t T
70
Luego, 2 2
2 2
0,
sup 0pL LT
w t C w
, es decir,
2 22 2, 0, 0, ,0, 0,
sup sup 0n p p nL LL LT T
u t u t w t C w C u u
Además, sabiendo que 0, 0, ,0 nw u u y del resultado obtenido en el
teorema 5.3, se tiene
2
22
2 2,
svp vs
t s HLD w t C w t
Integrando de 0 a t
2
22 2
2 2 2
00
svp v
ts ss HL L
D w t D w C w d
2
22 2
2 2 2
00
svp v
ts ss HL L
D w t D w C w d
Sumando a ambos miembros 2
2
Lw t , se obtiene
2
2 22 2
2 22 2 2
00
svp v
s
ts ssL L HL L
w t D w t w t D w C w d
es decir,
2
2 2
22 2 2
00
svp v
s s
tssH L HL
w t w t D w C w d
2
2 2
22 2
00
svp v
s
tss sL HL
w t D w C t C w d
2
2 2
22 2
00 0
svp v
s
tss s sL HL
C w D w C t C w d
22 2 2
00 0
svp v
s s s
t
s s s sH H HC w C w C T C w d
2 22
0 0
svp v
s s
t
s sH HC w C w d
2 2 2
0 0
svp v
s s
t
s sH HC w C w d
Luego, 22 2
0 0,
svp v
ss s
t
s sHH Hw t C w C w d
71
usando la desigualdad de Gronwall, tenemos
22
0
svp v
ss s HHw t C w para 0,t T donde 0, , sH
C C s T u
Entonces
2
, 0, 0, ,
svp v
s sn nH Hu t u t C u u para 0,t T
de donde
, 0, 0, ,0,
supsv
p v
s sn nH HT
u t u t C u u
para 0,t T
Teorema 5.6. Sean 0su H con 3
2s y 0, , su C T H la solución del
problema de valor inicial (3.1) que satisface el teorema 3.13. Si 0, 1n nu
es una sucesión en sH convergente a 0u en sH y 1n nu
una sucesión
en 0, , snC T H de soluciones de (3.1) con 0,0n nu u . Entonces para
todo 0,T T existe 0 0N N T tal que para 0n N está definida en
0,T y
0,
lim sup 0sn Hn T
u t u t
(5.44)
Demostración. Como los estimados para sn Hu t son los mismos que
para , sn Hu t , la existencia de 0 0N N T tal que 0n N implica que
está definida en 0,T , según como el teorema 5.3, sea 0,1 ,
entonces tenemos,
, , 0, , 0, ,0,
supsv
p v
s sn n n nH HT
u t u t C u u
72
con 320 v y 0, sH
C C s T u .
Por tanto, , , 0, , 0, ,0 00,
lim sup limsv
p v
s sn n n nH HT
u t u t C u u
Así, , 0, 0, ,0,
supsv
p v
s sn n n nH HT
u t u t C u u
pero tenemos que 0, , 0, ,0
lim n nu u
en sH , uniformemente en n. Luego,
, ,0 00, 0, 0,
lim sup sup lim sup 0ss sn n n n n n HH HT T T
u t u t u t u t u t u t
es decir, ,0 0,
lim sup 0sn n HT
u t u t
uniformemente en n. Entonces para 0n N se tiene que
, ,s sn n n nH Hu t u t u t u t u t u t u t u t
, , ss sn n n HH Hu t u t u t u t u t u t
Del teorema 5.5 sigue que,
, ,0,
sups ss sn n n nH HH HT
u t u t u t u t u t u t u t u t
, 0, , 0, ,sv
p v
ss sn n s n n HH Hu t u t C u u u t u t
tomando el límite cuando 0 a ambos miembros de la desigualdad,
, 0, , 0,0lim
svp v
s ss sn n n s nH HH Hu t u t u t u t C u u u t u t
0, 0s ssn n s nH HHu t u t C u u u t u t
Luego, 0, 0s sn s nH Hu t u t C u u
Considerando el supremo en 0,t T
0, 00,
sup s sn s nH HT
u t u t C u u
73
y tomando límite cuando n
0, 0 0 00,
lim sup lim 0ss sn s n s HH Hn nT
u t u t C u u C u u
Por lo tanto, 0,
lim sup 0sn Hn T
u t u t
.
74
VI. DISCUSIÓN
Como consecuencia de la utilización principal del teorema del punto fijo,
la teoría de semigrupo de operadores y el estudio de los espacios de
Sobolev, los cuales se exponen en este trabajo, podemos concluir que:
6.1. Probar la existencia y unicidad de solución de la ecuación de KdV
lineal regularizado.
6.2. Que en base a la solución de la ecuación de KdV regularizado es
posible probar la existencia y unicidad de la ecuación KdV lineal.
6.3. Que como consecuencia de probar la existencia y unicidad de la
ecuación KdV lineal, se hace posible probar la existencia y unicidad
y unicidad de la ecuación KdV generalizada.
6.4. Que ante la imposibilidad de probar la dependencia continua de la
solución por técnicas clásicas y haciendo un buen uso de los
estimados de Bona – Smith, hacen posible probar la dependencia
continua de la solución de la ecuación KdV generalizada. Ver [3].
6.5. Que esta única solución de la ecuación de la KdV generalizada
tiene dos grandes limitaciones; que su tiempo de vida se restringe
a un intervalo finito y que los espacios de Sobolev Hs a los cuales
pertenece es solo si s>3/2. Ver Kato en [11] y [13].
6.6. Que es posible incluir otras condiciones y considerar teorías
adicionales para hacer que el tiempo de vida sea mayor e inclusive
hacerlo infinito; asimismo con la teoría de los estimados lineales
romper la barrera de s>3/2 y así conseguir que la solución
76
VII. REFERENCIALES
[1] Arbogast T., Bona J. Method of Applied Mathematics. Texas:
Departament of Mathematics the University of Texas at Austin, 2nd ed. 2001.
[2] Bergh H., Lofsrom J. Interpolation Spaces. New York: Springer-Verlag,
1º Ed. 1970.
[3] Bona J., Smith R. The initial-value problem for the Korteweg-de Vries
equation. Philos. Trans Roy. Soc. London. Ser. A 278,555-601, 1º Ed. 1975.
[4] Cazenave T., Haraux A. An introduction to semilinear evolution
equations. New York: Oxford University Press, 1º Ed. 1998.
[5] Cazenave T. An introduccion to nonlinear Schrödinger equations. Textos
de métodos matemáticos 26. Río de Janeiro: Universidade Federal de Rio de
Janeiro, Tercera Ed.1989.
[6] Debnath L., Mikusinski P. Introduction to Hilbert Spaces with
Applications. USA: Elsevier Academic Press. 3er Edition. 2005.
[7] Evans L. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics.
Volume 19. Berkeley: American Mathematical Society. 1º Ed. 1997.
[8] Folland G. Real Analysis. Modern Techniques and their applications.
New York: Pure and Applied Mathematics (New York). A Wiley-Interscience
Publication. John Wiley & Sons, Inc. New York, Second Edition. 1999.
368pp. ISBN: 0-471-316-0.
[9] Iorio R. J. Jr. On the Cauchy problem for the Benjamin-Ono equation. Rio
de Janeiro: IMPA Comn. PDE. 11, 1031-1081. 1º Ed. 1986.
[10] Iorio R. J., W. Nunes. Introdução à Equações de Evolução não Lineares.
Rio de Janeiro: IMPA 18º Coloquio Brasileiro de Matematica, 1º Ed. 1991.
77
[11]Iorio R. J. Jr., V. Iório. Fourier Analysis and partial differential equations.
New York: Cambridge University Press, 1º Ed. 2001.
[12]Iorio R. J. Jr., F. Linares y M.A.G. Scialom. KdV and BD equations with
bore-like data Differential and Integral Equations 11, 895-915.1998.
[13]Iorio R. J. Jr., V de Magalhães. Equações diferenciais parciais: Una
introdução. Rio de Janeiro: IMPA, 1º Ed. 1988.
[14]Kato K., G. Ponce. Conmutator Estimates and Euler and Navier-Stokes
equations. Comm. Pure appl. Math., 41, 891-907, 1988.
[15]Kato T. On the Kortewg - de Vries equations. Manuscripta Math., 28, 89-
99, 1979.
[16]Kato T. On the Cauchy problem for the (Generalized) KdV equations
Studies in Applied Mathematics, Advances in Mathematics Supplementary
Studies, 8, 93-128, 1983.
[17]Kenig C. E., G. Ponce, L. Vega. Oscillatory integrals and regularity of
dispersive equations. Indiana U. Math. J., 40, 33-69. 1991.
[18]Kenig C. E., G. Ponce, L. Vega. Well-posedness and scattering result for
the generalized Korteweg - de Vries equation via contraction principle.
Comm. Pure Appl. Math. 46, 527-620. 1993.
[19]Kenig C. E., G. Ponce, L. Vega. On the (generalized) Korteweg - de
Vries equation. Duke Math. J., 59, 585-610. 1989.
[20]Kreyszig E. Introductory functional Analysis with applicationes. Canada:
John Wiley & Sons. University of Windsor, 1º Ed. 1978.
[21]Linares F., G. Ponce. Introduction to nonlinear dispersive equations. Rio
de Janeiro: IMPA, 2º Ed. 2006.
78
[22]M. Martins dos Santos. A versao de Kato-Lai do método de Galerkin e a
equaçao de Korteweg-de Vries (KdV). Tesis de maestria. Rio de Janeiro:
1987.
[23]Mendoza A., J. Montealegre. La ecuación de onda lineal. 20º Coloquio
de Matemática de la Sociedad Matemática Peruana, Lima: PUCP, 2002.
[24]Mendoza A. Estudio local del problema de calor inicial asociado con la
ecuación de Korteweg-de Vries. Tesis de Maestría en Matemáticas, Lima:
PUCP, 2003.
[25]Montealegre J., S. Petrozzi. Semigrupos de operadores lineales y
ecuaciones de evolución semilineales. Informe de Investigación Nº 6 Serie B.
Lima: PUCP, 1999.
[26]Montealegre J., S. Petrozzi. Operadores disipativos maximales. Informe
de Investigación, Nº 02 serie B. Lima: PUCP, 1998.
[27]Nunes W. O problema de Cauchy global para equaçoes dispersivas com
coeficientes dependientes do Tempo. Río de Janeiro: Tesis de Doutorado,
IMPA, 1991.
[28]Pazy A. Semigrupos of linear operators and applications to partial
differential equations. Applied Mathematica Sciencies, 44, New York: 279pp.
ISBN: 0-387-90845-5. Springer-Verlag, 1983.
[29]Saut J. C., R. Teman. Remarks on the Korteweg-de Vries Equations.
Israel: J. of Math. 24, 78-87, 1976.
79
VIII. APÉNDICE
En este capítulo presentamos los conceptos y resultados que serán
utilizados en los capítulos posteriores. Las demostraciones serán
omitidas, sin embargo una referencia será dada para cada una de ellas.
8.1. TEMAS DE ANÁLISIS FUNCIONAL E INTEGRACIÓN VECTORIAL
Teorema 8.1. (Punto Fijo de Banach). Sea (X,d)un espacio métrico
completo y sea :f X X una contracción, es decir, existe 0,1k tal
que ( ( ), ( )) ( , )d f x f y kd x y para cada , .x y X Entonces, existe un único
punto 0x X tal que 0 0( )f x x
Sean X un espacio normado y n nx
una sucesión en X . Decimos que nx
converge fuertemente a x en X , se escribe lím nn
x x
en X , si
lím 0n xnx x
. También decimos que la sucesión nx converge débilmente
a x en X , se escribe lím nn
x x
en X , si para todo 'f X se cumple
que lím ( ) ( )nn
f x f x
Proposición 8.2. Sean X un espacio de Banach y n nx
una sucesión
en X . Entonces,
i) Si lím nn
x x
en X , entonces lím nn
x x
en X
ii) Si lím nn
x x
en X , entonces n Xx está acotada y
lím ínf nX Xnx x
en X .
80
Proposición 8.3. Sean X e Y espacios de Banach tales que X Y , y
consideramos x X y una sucesión n nx X
. Si lím n
nx x
en X ,
entonces lím nn
x x
en Y .
Definición 8.4. Se dice que un espacio de Banach X es uniformemente
convexo si para todo 0 existe 0 tal que
1, [0] 12 X
x yx y B x y x
Los espacios de Hilbert son uniformemente convexos, así como los
espacios ( )pL para1 p .Por el contrario 1( ), ( ), ( )L L C ( compacto
en el último caso) no son uniformemente convexos.
Proposición 8.5. Sea X un espacio de Banach uniformemente convexo.
Si n nx
es una sucesión en X tal que lím n
nx x
en X y
lím sup ,n X Xnx x
entonces lím .n
nx x
Definición 8.6. Sea X un espacio de Banach. Una función valor vectorial
definida sobre I es una aplicación :f I X
1. Decimos que f es fuertemente continua en 0t si0
0lím ( ) ( ) 0.Xt t
f t f t
2. Decimos que f es débilmente continua en 0t si0
0lím ', ( ) ( ) 0t t
f f t f t
para todo ' 'f X
3. Decimos que f es uniformemente continua en I , si para todo 0
existe ( ) 0 tal que 1 2t t implica 1 2( ) ( )X
f t f t para todo
1 2,t t I
FUNCIONES MEDIBLES
81
En esta sección consideremos un intervalo abierto I y un espacio de
Banach X equipado con la normaX
Definición 8.7. Una función :u I X es “fuertemente medible” o
“medible” simplemente si existe E I de medida cero y una sucesión de
funciones n nu
en 0( , )C I X tal que
lím ( ) ( )nn
u t u t
, para todo \t I E
Sigue fácilmente de la definición que sí la función vectorial :u I X es
medible, entonces la función real :X
u I también es medible. Si
:u I X es medible y si Y es un espacio de Banach tal que X Y ,
entonces :u I Y es medible.
Recordemos que un espacio métrico X es llamado separable si existe un
subconjunto D X numerable y denso.
Proposición 8.8. (Teorema de Pettis). Una función :u I X es medible
si y solamente si u es débilmente medible (i.e. para todo ' 'x X , la
función ', ( )t x u t es medible) y existe E I de medida cero tal que
( \ )u I E es separable.
Corolario 8.9. Sea :u I X es una función débilmente continua,
entonces u es medible.
FUNCIONES INTEGRABLES
Definición 8.10. Una función medible :u I X es integrable en I si existe
una sucesión n nu
en 0( , )C I X tal que
lim ( ) ( ) 0nIn Xu t u t dt
82
Si :u I X es integrable, entonces existe ( )x u X tal que para toda
sucesión n nu
en 0( , )C I X que verifica (1.1), tenemos que
lim ( ) ( )nInu t dt x u
,
en la topología fuerte de X .
El elemento ( )x u X es llamado la integral de u sobre I, y escribimos
( ) ( )I I
I u u u t dt
Si ( , )I a b , también escribimos ( ) ( )b b
a ax u u u t dt
Como para las funciones con valores reales, es conveniente escribir
( ) ( )b a
a bu t dt u t dt si a b
Proposición 8.11. (Teorema de Bochner). Si :u I X medible, entonces
u es integrable si y solamente si ( ) :X
u I es integrable.
Además, tenemos ( ) ( ) .I I XXu t dt u t dt
El teorema de Bochner permite tratar las funciones integrables con
valores vectoriales como se trata las funciones integrables con valores
reales. Es suficiente, en general, aplicar los teoremas de convergencia
usuales para ( )X
u . Por ejemplo, podemos establecer fácilmente el
siguiente resultado.
Corolario 8.12. (Teorema de la convergencia dominada). Sean n nu
una sucesión de funciones integrables de I en X, :v I una función
integrable y :u I X .
Asumamos que
83
i) ( ) ( )n Xu t v t , para casi todo t I y todo n
ii) ( ) ( )nu t u t para casi todo t I . Entonces u es integrable y
( ) lim ( )nI Inu t dt u t dt
Para 1,p , denotamos por ( , )PL I X el conjunto de (clases de)
funciones medibles :u I X tales que la función ( )X
t u t pertenece a
( )PL I . Para ( , )pu L I X definimos
1/
( , )
( ) , si 1
inf : ( ) c.e.t. , si
dt
P
pp
XI
L I X
X
u t p
u
C u t C I p
Cuando no hay peligro de confusión, denotamos( , )pL I X
por( )pL I
óp
Los espacios ( , )PL I X tienen muchas de las propiedades de los espacios
( ) ( , )P pL I L I R , son esencialmente las mismas pruebas.
Proposición 8.13.El espacio ( , )PL I X con la norma pL es un espacio de
Banachsi 1,p . Cuando 1 p el espacio ( , )D I X es denso en
( , )pL I X .
Definición 8.14. Sea 1 p . Denotamos 1, ( , )pW I X el conjunto de
(clases de) funciones ( , )pf L I X tales que ' ( , )pf L I X en el sentido de
( , )D I X . Para 1, ( , )pf W I X denotamos 1, 'p p pW L Lf f f
Proposición 8.15. 1,1,( ( , ), )p
p
WW I X es un espacio de Banach.
84
Teorema 8.16. Sea 1 p y ( , )pf L I X . Luego las propiedades
siguientes son equivalentes:
i) 1, ( , )pf W I X
ii) existe ( , )pg L I X tal que, para casi todos 0,t t I , se tiene
00( ) ( ) ( )
t
tf t f t g s ds
iii) existe ( , )pg L I X , 0 0,x X t I tales que
00( ) ( )
t
tf t x g s ds para casi todo t I
iv) f es absolutamente continua, derivable . . . enc e t I y 'f (en el sentido
casi por todas partes) está en ( , )pL I X
v) f es débilmente absoluta continua, débilmente derivable casi por
todas partes y 'f (en el sentido casi por todas partes) está en
( , )pL I X
8.2. TEMAS DE ANÁLISIS ARMÓNICO
En esta sección presentamos la transformada de Fourier en 2( )L , las
distribuciones temperadas y los espacios de Sobolev del tipo 2( ).L
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Definición 8.17. Sea 1( )u L . La función u definida por
1ˆ( ) ( ) ,2
ixu e u x dx
es llamada transformada de Fourier de u . Definimos la transformada
inversa de Fourier por
1( ) ;
2i xu x e u d x
85
En algunos libros la Transformada de Fourier es definida sin el factor
1/ 2 en la integral.
Otra variación es la definición sin el signo “menos” en el exponente, es
decir ( ) .ixe u x dx
Esos detalles no cambian la teoría de la transformada de Fourier.
En vez de u la notación F u x también se puede usar. La última es
conveniente si en lugar de la letra u queremos usar la expresión que
describa a la función, por ejemplo, xF e .
La relación entre la operación de diferenciación y la transformada de
Fourier, viene dada en la siguiente proposición.
Proposición 8.18. Sea 1( )f L y g la derivada de f con respecto a su
variable en la norma de 1 ( )L , entonces ˆ( ) ( )g i f donde,
1 ( )L
f f x dx
Observemos que si 1( )u L y mD u es la derivada de orden m de u con
respecto de x en la norma de 1( )L , entonces ˆ( ) ( ) ( ).m mD u i u
El teorema se puede extender a derivadas de orden superior sin entrar en
detalles, la fórmula general es ˆ( ( ) ( )P D u P i u
donde P es un polinomio de una variable y P D representa al operador
diferencial asociado al polinomio P .
Teorema 8.19. Sea 1( )f L . Entonces,
1. f f define una transformación lineal de 1( )L sobre L con
1
1ˆ2L L
u u
86
2. f es continua
3. 0f cuando
Del teorema 8.19 se concluye que la transformada de Fourier es un
operador lineal continuo de 1( )L en ( ).C
Además de las operaciones de espacio vectorial, 1( )L tiene una
multiplicación que lo convierte en un álgebra de Banach. Esta operación
es la convolución, y se define como sigue:
Definición 8.20. Si 1, ( )u v L , definimos la convolución por
1, ( )
2u v x u x t v t dt x
La convolución es conmutativa y asociativa. Además tiene las siguientes
propiedades.
Proposición 8.21.
1. (Desigualdad de Young). Si ( ),0pu L p y 1( )v L , entonces
( )pu v L y 1P pL L Lu v u v
2. (Desigualdad de Young Generalizada). Si ( )pu L y ( )qv L con
, , 1,p q r tal que1 1 1
1p q r , entonces ( )ru v L y
r p qL L Lu v u v
3. Si 1, ( )u v L , entonces ˆ ˆ2u v u v .
Ahora discutiremos la extensión de la transformada de Fourier.
Teorema 8.22. Sea 20 ( ) ( )u C L entonces 2ˆ ( )u L y 2 2ˆ
L Lu u
El teorema anterior muestra que 20: ( ) ( )F C L es continua. Como la
aplicación es lineal, tiene una extensión única a una aplicación lineal de
87
2( )L en sí mismo. Esta extensión será llamada la transformada de
Fourier en 2( )L .
Definición 8.23. Sean 2( )u L y n nu
una sucesión en 0( )C
convergente a u en 2( )L , es decir 2lim 0n Lnu u
. La transformada de
Fourier de u se define por
ˆ ˆlim nn
u u
donde el límite es con respecto a la norma en 2( )L
El teorema 8.22 asegura que el límite existe y es independiente de una
elección particular de la sucesión aproximadamente a u .
Si 1 2( ) ( )u L L , entonces la transformada de Fourier definida por (8.2)
y la definida por (8.3) son iguales así, usaremos el mismo símbolo para
denotar ambas transformadas.
El siguiente teorema es una consecuencia inmediata de la definición 8.23
y del teorema 8.22.
Teorema 8.24. (Igualdad de Plancherel). Si 2( )u L , entonces 2ˆ ( )u L y
2 2ˆL L
u u
Teorema 8.25. (Transformada de Fourier en 2L ). Sea 2( )u L . Entonces
1ˆ lim ,2
n i x
nnu e u x dx
donde la convergencia es respecto a la norma en 2( )L .
Un operador lineal 2 2: L L que es una isometría y que es
sobreyectiva es llamado un operador unitario en 2( )L . Como
88
consecuencia del teorema 8.24, la transformada de Fourier es una
isometría. Más aún tenemos que es sobreyectiva.
Teorema 8.26. La función 2 2: ( ) ( )F L L definido por ˆF u u es un
operador unitario en 2( )L .
Teorema 8.27. (Inversión de la transformada de Fourier). Sea 2( )u L .
Entonces 1 ˆlim ,2
n i x
nuu x e u d
donde la convergencia es con respecto a la norma en 2( )L .
DISTRIBUCIONES TEMPERADAS
Introducimos en esta sección una clase de funciones generalizadas en el
espacio de Schwartz. Para este propósito, primero necesitamos la
siguiente familia de seminormas.
Para cada 2, denotamos la seminorma ,
definida como
,sup .x xx
u x u x u x
Ahora podemos definir el espacio de Schwartz ( )S , como el espacio de
las funciones ( )C de rápido decrecimiento, es decir,
,( ) ( ) : para todo ,S u C u
Así 0C S . La topología en ( )S es dada por la familia de
seminormas , . Además, ( )S con esta topología es metrizable. Una
distancia conveniente es dada por
,
, 21
u vd u v
u v
89
Se debe observar que esta distancia no proviene de una norma.
Observemos que ( )S en relación a la métrica definida anteriormente es
un espacio métrico completo.
Definición 8.28. La sucesión n nu S
converge a u S si para
todo , se verifica que ,0nu u
cuando n
La relación entre la transformada de Fourier y el espacio de funciones
( )S está descrita en el siguiente resultado.
Teorema 8.29. La aplicación ˆu u es un isomorfismo de ( )S en sí
mismo.
Así, ( )S aparece naturalmente asociado a la transformada de Fourier.
Por dualidad podemos definir las distribuciones temperadas 'S .
Definición 8.30. Decimos que :T S define una distribución
temperada, es decir, 'T S si
1. T es lineal,
2. T es continua, esto es nu u en ( )S entonces nTu Tu en .
De este modo el espacio de las distribuciones temperadas, 'S es dual
topológico de ( )S provisto de la topología dada en la definición 8.30.
Es fácil ver que toda función acotada u define una distribución temperada
Tu ,donde
,Tu v u x v x v S
Esta identidad permite establecer que los espacios ( )pL con 1 p
están contenidos en 'S continuamente.
90
Dado 'T S , su transformada de Fourier puede ser definida de forma
natural.
Definición 8.31. La transformada de Fourier directa e inversa de
'T S son definidas respectivamente como
ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,u u uT v T v T v Tu v v S
y , , ,u u uT v T v T v Tu v v S
Observemos que para 1( )u L y ( )v S , tenemos
u uu
T v T v u v d u v d T v
Por lo tanto, para 1 2u L L tenemos que ˆu uT T . Así, la definición
8.27 es consistente con la teoría de la transformada de Fourier
desarrollada en la sección anterior.
La topología en 'S es descrita en la siguiente forma.
Definición 8.32. Sea n nT
una sucesión en 'S . Luego 0nT en
'S cuando n si para todo ( )u S tenemos,
0nT u cuando n
Como consecuencia de las definiciones 8.30 y 8.31 tenemos la siguiente
extensión del teorema 8.29.
Proposición 8.33. La aplicación : ' 'F S S es un isomorfismo de
'S en sí mismo.
Proposición 8.34. Sea f S . Entonces f S , para todo
y ˆ ,f i f
91
ESPACIOS DE SOBOLEV sH
En esta sección presentaremos brevemente a los espacios de Sobolev
sH del tipo 2( )L . Ellos miden la diferenciabilidad de funciones en
2( )L y son una herramienta fundamental en el estudio de las ecuaciones
en derivadas parciales.
Definición 8.35.Para s sea : ' 'sJ S S definido por
/ 22 ˆ1 ,ssJ u u Llamamos a sJ el potencial de Bessel de ordens.
Para todo , : ' 'ss J S S es una aplicación lineal, continua y
biyectiva. Además,s t s tJ J J y 1s sJ J
Definición 8.36. Sea s . Se define el espacio de Sobolev de orden s,
denotado por sH como
2' : ,s sH û S J u L
con la norma sH definida como
2s
s
H Lu J u
De la definición de espacios de Sobolev deducimos las siguientes
propiedades.
Proposición 8.37.
1. Si 0 ',s s entonces 's sH H , con la inclusión continua y densa.
Además, s
sH H
es denso en sH cualquiera sea .s
2. sH es un espacio de Hilbert con respecto al producto interno definido
por 2
2 ˆ ˆ, , 1 ,s
ss s
H Lu v J u J v u v d , su v H .
3. Para todo s , el espacio de Schwartz ( )S es denso en sH
92
4. Si s , para cualesquiera , su v H , tenemos , , ,s sH Hu v u v
es decir , sHu v es real.
5. Si 1 2s s s con 1 21 ,0 1s s s , entonces1 2
1s ssH H H
u u u
Esta notación se lee: interpolación de sH entre 1sH y 2sH .
El siguiente teorema permite relacionar “derivadas débiles” en 2( )L con
derivadas en el sentido clásico.
Teorema 8.38. (Teorema de Inmersión de Sobolev). Si 1/ 2 ,s k k ,
entonces sH está contenido continuamente en el espacio kC de las
funciones con k derivadas continuas que se anulan en el infinito, y
,k ssC Hu C u
en donde
0maxk xC Lk
u u
Teorema 8.39. Si 1/ 2s , entonces sH es un álgebra conmutativa con
respecto a la multiplicación de funciones, es decir, suv H si
, su v H y
s s ssH H Huv C u v (8.1)
Además, si n nu
y n n
v
son sucesiones débilmente convergentes a
uyv en sH respectivamente, entonces lim .n nn
w u v uv
Es importante hacer notar que tenemos una desigualdad más fuerte que
la descrita en (8.1).
Esto es si 1/ 2s entonces para todo 1/ 2, ,r s
s s s r ssH H H H Huv C u v u v
Estimados más finos muestran que,
s s ssH H L L Huv C u v u v siempre que , su v H con 0s
93
Proposición 8.40. Para todo k y para todo s , k es un operador
acotado sobre sH hacia s kH . Además,
ss k
k
HHu C u
De la desigualdad de la última proposición es claro que,
s ks
k
HHu C u para todo k y .s
Hemos visto que sH con 1/ 2s es un espacio de Hilbert cuyos elementos
son funciones continuas.
Proposición 8.41. Para todo k y para todo , su v H se cumple que
, 1 ,s s
kk k
H Hu v u v
Teorema 8.42. (Desigualdad de Gronwall). Sean 1 , , 0k L a b k y
, ,f g C a b tales que ,t
af t g t k f d a t b , entonces,
exp ,t
a af t g t k k s ds g d a t b
si g t g es constante se tiene que, exp ,t
af t g k d a t b
Teorema 8.43. Si , 0a b son dados, entonces para todo 0 se cumple
la desigualdad de Young con
p qab a C b
Donde, /q pp
Cq
En particular, si 2p q se cumple la desigualdad de Cauchy con ,
22
4
bab a
94
Teorema 8.44. (Desigualdad de Gagliardo– Nirenberg). Sean1 , ,p q r
y sean ,j m dos enteros, 0 j m . Si
1 1 1,
j m aa
p n r n q
Para algún ,1 , 1 1 0j n
a a si r y m jm r
, entoncesexiste , , , , ,Cnmj aqr
talque, 1,qp r
a
LL Lj m
D u C D u u
para todo .nu D
Teorema 8.45. Sean ,f g S reales, 3/2 1s y t . Entonces existe
, 0C C s t tal que 2
1 1,
s t s tt tu f u C f u f u u
, donde
1
Teorema 8.46. Si ,f g S , 1s y 1/ 2r , entonces existe ,C C s r
tal que
1 12 s r r s
s
H H H HLD f g C f g f g (8.2)
Teorema 8.47. Sean ,f g S , 0, 0s p , entonces
1 432 8.3p pppp
s s s
L LL L LJ fg C f J g J f g
y 1 432
1, 8.4p pppp
s s s
L LL LLJ f g C f J g J f g
donde 2 3 1 4, , 1, ,p p y p p son tales que 1 2 3 4
1 1 1 1 1p p p p p
La desigualdad (8.4) también se cumple si 1 4p p y 2 3p p p
95
Teorema 8.48. Sea 0 1 0 11 , , , , 0 y .p p p s s S Si 0 11s s s
y0 1
1 1
p p p
donde 0 1 entonces existe 0 1 0 1, , , , 0C C s s p p tal
que
0 1
0 1
1 8.5
p p p
s ss
L LLJ C J J
Además, si 32,sH s tenemos
1 1
2 20 02 8.6
L H H
Por último tenemos la siguiente desigualdad algebraica que es
consecuencia de la convexidad de la función logaritmo en 0, .
Proposición 8.49.Si0 2 y >0 entonces dado 0 y tomando
2
,
2
2 2C
Tenemos, 2
2 2, , , 0x y x C y x y
8.3. SEMIGRUPO DE OPERADORES
Definición 8.50. Sean eX Yespacios normados y n nT
una sucesión
de operadores lineales en , .L X Y
1. Decimos que nT converge uniformemente a ,T LXY si
,lim 0.n L X Yn
T T
2. Decimos que la sucesión nT converge fuertemente a ,T LXY si
,lim 0n L X Yn
T x Tx
para todo .x X
96
Definición 8.51. Un semigrupo de operadores lineales acotados sobre un
espacio Banach X es una familia 0t
W t
tal que
i) Para cada 0,t el operador W t L X ,
ii) El operador 0W es el operador identidad sobre X ,
iii) para cualesquiera , 0,t s se cumple W s t W s W t y
iv) para todo x X fijo, la aplicación : 0,W X es continua, es
decir, 0
0limt t
W t x W t x
Las condiciones i) y iii) de la definición 8.51 dan la estructura de
semigrupo a la familia 0t
W t
, asegura que el semigrupo es
conmutativo y tiene un elemento identidad 0W . Si además cumple con
la condición iv) se le denomina semigrupo fuertemente continuo. Por la
definición 8.50 los “semigrupos fuertemente continuos de operadores
lineales acotados sobre un espacio de Banach X ” serán en adelante
llamados simplemente “semigrupos sobre X ”.
Teorema 8.52. Sea 0t
W t
un semigrupo sobre X . Entonces existen
0 y 1w C tales que
,, 0 (8.7)wt
L X YW t Ce t
Cuando un semigrupo sobre X satisface (1.12),decimos es de tipo , .C w
Definición 8.53. El generador de un semigrupo 0t
W t
sobre X es la
aplicación :A D A X X definida por
97
0
0
: lim existe
(8.8)
t
t t
W t x xD A x X
t
Ax W t x
Es inmediato de la definición 8.53 que D A es un subespacio vectorial
de yX A es un operador lineal no acotado.
Teorema 8.54. Si A es el generador de un semigrupo sobre X , entonces
D A es un subespacio denso en yX A es un operador lineal cerrado.
Veamos enseguida algunas propiedades importantes del generador de un
semigrupo.
Proposición 8.55. Si A es el generador de un semigrupo 0t
W t
sobre
,X entonces para todo x D A tenemos que W t x D A para todo
0,t es decir W t D A D A , para todo 0t y
(8.9)tW t x AW t x W t Ax
Además, para 0 yt s x D A
(8.10)t t
s sW t x W s x W r Axdr AW r xdr
Nuestro objetivo es aplicar la teoría de semigrupos para estudiar el
problema de Cauchy de la forma (8.16) donde el operador A no depende
de t ,así el siguiente teorema presenta condiciones que garantizan la
existencia de solución para este problema.
Teorema 8.56.Sea X un espacio de Banach. Si :A D A X X es el
generador del semigrupo 0t
W t
sobre X , entonces para todo 0u D A
98
la función : 0, ,u D A definida por 0 ,u t W t u es la única
solución del problema de Cauchy lineal
0
, 0
(8.11)
0
tu t Au t t
u u D A
Además, 10, : 0, : .u C D A C X
Un problema fundamental en la teoría de semigrupos de operadores
lineales fuertemente continuos es la caracterización del generador
infinitesimal de un semigrupo.
Existen varias de tales caracterizaciones: el teorema de Hille y Yosida
para los semigrupos de contracción y el teorema de Hille, Yosida y Phillips
que caracteriza a los semigrupos de tipo ,C w .
Otra caracterización presente en este trabajo es debido a Lumer y Phillips
([25], teorema 5.3), quienes demostraron que el generador de un
semigrupo de contracción es un operador disipativomaximal (o m-
disipativo) en un espacio de Banach, y es lo que nos interesará en este
trabajo.
Definición 8.57. Un operador A en el espacio de Banach X es llamado
disipativo si para todo 0 y para cada u D A se cumple
X Xu Au u
La disipatividad de A implica la inyectividad del operador
:I A D A X En efecto, si u Nu I A ,
0X X
u I A u
99
implica que 0 .Nu I A
Definición 8.58. Un operador A en el espacio de Banach X se denomina
m-disipativo si,
1. El operador A es disipativo.
2. Para todo 0 , para todo x X , existe ( )u D A tal que u Au x
La definición de m-disipatividad implica obviamente la sobreyectividad del
operador .I A Concluimos pues, si A es un operador m-disipativo
entonces el operador .I A es biyectivo. Esto nos dice que cualquiera
sea x X , la ecuación I A u x tiene solución única en ( )DA . Si
denotamos xu tal solución, por la disipatividad de A, tenemos
(8.12)x xX XXu I A u x
Como el operador : ( )I A DA X es lineal y biyectivo, entonces existe
el operador 1: ( )I A X D A . Este operador tiene una propiedad
importante, que no necesariamente la tienen los operadores y ;A I A
ella es la continuidad. En efecto
1
x X XXI A x u x
Según ha sido visto en (8.17)
Teorema 8.59. Si A es un operador disipativo en el espacio de Banach X
, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. El operador A es m-disipativo en X , y
2. Existe 0 0, para todo x X existe ( )u D A tal que 0u Au x
100
En adelante H denotará un espacio de Hilbert, con producto interno
, .H
Proposición 8.60. El operador A es disipativo en H si y sólo si
, 0,H
Au u para todo u H .
Proposición 8.61. Si A es un operador m-disipativo en el espacio de
HilbertH, entonces ( )D A es denso en H.
Teorema 8.62. Sea A operador lineal en el espacio de HilbertH, luego
1.- Si A es autoadjunto y negativo, es decir, , 0H
Au u para todo ( )u D A ,
entonces A es m-disipativo.
2.- Si *,D A H G A G A y A es negativo, entonces A es m-
disipativo si y sólo si A es autoadjunto.
3.- Si ( )D A es denso en H, entonces A y A son m-disipativos si y sólo si
A es antiadjunto.
Phillips caracterizó el generador de un semigrupo de contracciones sobre
un espacio de Hilbert, como un operador m-disipativo. Posteriormente
Lumer y Phillips ([25], Teorema 5.3) extendieron este resultado al caso
general de un semigrupo de contracciones sobre un espacio de Banach.
Teorema 8.63. (Lumer-Phillips). El operador : ( )A D A X X es
generador de un semigrupode contracciones en el espacio de Banach X
si y solamente si X es m-disipativo en X y D A es denso en X .
Proposición 8.64. Si : ( )A D A X X es un operador m-disipativo y
antisimétrico en el espacio de Hilbert X , entonces A es antiadjunto en X .
101
Teorema 8.65. (Perturbación de generadores de semigrupos de
contracción). Sean Ay B operadores lineales en el espacio de Banach X :
Si A es m-disipativo, B es disipativo, ( ) ( )D A D B y para cada x D A se
cumpleX X X
Bx Ax x en donde 0 1 y 0, entonces A+B es
m-disipativo.
Definición 8.66. Un grupo fuertemente continuo de operadores lineales
acotados sobre un espacio de BanachX es una familia ( )t
W t
tal que
i) Para todo : ( ) ( ) ,t W t L X
ii) (0) ,W I el operador identidad sobre X.
iii) Para todo , : ( ) ( ),s t W s t W s W t y
iv) Para cada x X fijo, ( ) :W x X es continua.
v) Para todo x X y para todo : ( )X X
t W t x x
Definición 8.67. El generador de un grupo de operadores unitarios
( )t
W t
sobre X es la aplicación : ( )A D A X X definida por
0
( )( ) :lim existe
t t
W t x xD A x X
t
0( )t t
Ax W t x
Teorema 8.68. Sean X e Y espacios de Hilbert. Si :A Y X X es un
operador m-disipativo y antiadjunto en X, entonces el semigrupo 0( )
tW t
generado por A se extiende a un grupo de operadores unitarios ( )t
W t
.
Además, para todo 0u Y la función :u Y definida por 0( ) ( )u t W t u es la
única solución del PVI lineal
102
0
( ) ( ),
(0)tu t Au t t
u u
Además, 1( : ) ( : ).u C Y C X
8.4. ESTIMADOS DE BONA-SMITH
Los estimados de Bona-Smith serán usados para estudiar que el
comportamiento de la distancia de dos elementos cualquiera de una
sucesión de soluciones, es controlado por el comportamiento de la
distancia entre sus estimados de Bona-Smith respectivamente, quienes
a su vez son controlados por el comportamiento de la distancia entre sus
datos iniciales correspondientes, como será visto en los teoremas 5.3,
5.5 y 5.6.
En esta sección se considera 0, ,nu y 0,u las aproximaciones de Bona-
Smith asociadas a 0,u y 0u , respectivamente, y las soluciones ,nu y u
del problema (3.1) con datos iniciales y respectivamente.
Teorema 8.69. Sea 0C , 0 1x tal que 1,1sop y
1 0 0k k .
Para cada 0 cualquiera y 0 ,su H 0s definimos
0, 0ˆ ˆ ,u u s (8.13)
103
Entonces 0,0
s
su H H
y para 0 1 existe , , 0C C s tal
que
0, 0 ,ss HHu C u
(8.14)
0, 0 0 ss HHu u C u
(8.15)
y 0, 00lim u u
en sH . Además, si 0, 0lim nn
u u
en sH entonces
0, , 0,0lim 0sn n H
u u (8.16)
uniformemente en .
Demostración. Usando (8.13), tenemos
2 220, 0 ,ˆ1s
s
Hu u d
220 ,ˆ1
su d
2 22 20ˆ1 1
su d
2 22 20ˆsup 1 1
su d
haciendo , tenemos
2 2 2
22 2
1 1
luego
2 222 2 20, 0sup ss HH
u u
221 0 sH
C u
Por consiguiente
2
0, 0 ss HHu C u
(8.17)
104
Del mismo modo
2 220 , 0 0 , 0ˆ ˆ1s
s
Hu u u u d
220 0ˆ ˆ1
su u d
220ˆ1 1
su d
2 220ˆ1 1
su d
2 22 20ˆ1 1 1
s su d
2 22 20ˆsup 1 1 1
su d
2 22 2 20sup 1 sH
u
222 0 sH
C u
Por consiguiente
2 00, 0 0 ss HH
u u C u
(8.18)
Por otro lado, si entonces
2 220 , 0 0 , 0ˆ ˆ1s
s
Hu u u u d
2 220ˆ1 1
su d
sabemos que 0
lim 1 1 0 1 1 1
, además
2 2 22 20 0ˆ ˆ1 1 1 ,
s su d u d
de aquí, por el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue
2 220
0ˆlim 1 1 0 0
su d d
105
es decir, 0, 00
lim 0sHu u
(8.19)
Finalmente, demostraremos que si 0, 0limn
u u en sH entonces
0, , 0,0
lim 0sn Hu u
uniformemente en .n
En efecto
Para suficientemente grande y para suficientemente pequeño,
afirmamos para todo , existe tal que si
Entonces, .
Por consiguiente,
uniformemente.
2 220, , 0 , 0, , 0 ,ˆ ˆ1s
s
n nHu u u u d
220, 0
2220, 0
220, 0
2
0, 0
ˆ ˆ1
ˆ ˆ1 1
ˆ ˆ1
ˆ ˆs
s
n
s
n
s
n
n H
u u d
u u d
u u d
u u
0, , 0, 0, , 0, 0, 0 0 0,s sn n n nH Hu u u u u u u u
0, , 0, 0, 0 0 0,
0, 0 0, 0 0, 0
s s s
s s s
n nH H H
n nH H H
u u u u u u
u u u u u u
n N 0
0 0 0 t
0, , 0, / 3 / 3 / 3sn n Hu u
0, , 0,0
lim 0sn n Hu u
106
NOTACIONES
,X Y espacios de Banach.
', 'X Y espacios duales de los espacios de Banach X e Y .
( , )L X Y espacio de operadores lineales acotados de X en Y .
( ) ( , )L X L X X
0, :C T X espacio de funciones continuas de 0,T en X
1 0, :C T X espacio de funciones continuamente diferenciables de 0,T en X
( )D A dominio del operador lineal
( )R A rango del operador lineal
1( ) ( )
2i xû e u x dx
transformada de Fourier de u
1( ) ( )
2i xu x e u d
transformada inversa de Fourier de u
( )kC espacio de las funciones continuamente diferenciables hasta el orden k
sobre
0( ) ( )k
kC C
espacio de las funciones infinitamente diferenciables en
107
0 ( )kC espacio de funciones de clase kC con soporte compacto.
( )C espacio de funciones u de clase kC tales que u y sus derivadas hasta el
orden k tienden a cero en el infinito.
( )S espacio de schwartz en
'( )S espacio de las distribuciones temperadas en
( )pL espacio de Lebesgue en de orden , 1p p
1/
( )p
ppu L u x dx
, norma de u en ( )pL
( )L espacio de las funciones medibles esencialmente acotadas en
sup ( )x
u L u x
norma de u en ( )L
2 /2(1 )s sxJ potencial de Bessel de orden 2 2, ( ) (1 ) ( )
sss J u û
2 2( )s
sxD potencial de Riesz de orden , ( ) ( )
sss D u û
2( )s sH J L espacio de Sobolev de orden s con base en 2( )L
2, ( ) ( )u v L u x v x dx
, producto interno de u y v en 2( )L
2, ,s
s s
H Lu v J u J v , producto interno de u y v en ( )sH
2s
s
H LJ norma en ( )sH
,A B AB BA conmutador de A y B
0( , )C I X espacio de funciones continuas de soporte compacto definidas de I en
X
( , )AC I X espacio de funciones absolutamente continuas definidas de I en X
( , )D I X espacio de funciones C con soporte compacto de I en X