Una fascinante gua interactiva sobre la historia y las

aplicaciones de la geometra. Contiene explicaciones

claras y concisas de diferentes conceptos geomtricos,

as como breves biografas de las figuras ms

destacadas de este campo y sus descubrimientos.

Incluye ejercicios sencillos explicados paso a paso,

algunos de ellos con aplicaciones en la vida cotidiana

y otros que son autnticos rompecabezas tericos,

pero todos ellos estn diseados para retarle y poner

a prueba sus conocimientos recin adquiridos.

Mike Askew es profesor en la Monash University,

Melbourne; investiga, da conferencias y escribe sobre

la enseanza y el aprendizaje de las matemticas

bsicas.

Sheila Ebbutt es consejera en educacin matemtica

infantil (Foundation Stage) y primaria as como autora

de numerosos artculos sobre el tema.

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Mike Askew y Sheila Ebbutt

GUA AMENA DE MATEMTICAS

Desde Pitgoras hasta la carrera espacial

ISBN 978-84-9801-598-0

9 788498 015980

ISBN 978-84-9801-598-0

Preservamos el medio ambienteEl papel de las pginas de este libro est manufacturado con materia prima procedente de bosques de gestin responsable.

fundamentos de

geometra

Explicaciones claras y concisas y breves biografas de las figuras ms destacadas y sus descubrimientos

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Geometra BLUME.indd 1 23/11/11 13:07

Ttulo original:

The Bedside Book of Geometry

Diseo:

Lindsey Johns

Traduccin:

Remedios Diguez Diguez

Revisin tcnica de la edicin en lengua espaola:

Alfonso Rodrguez Arias Dr. Ingeniero Industrial

Coordinacin de la edicin en lengua espaola:

Cristina Rodrguez Fischer

Primera edicin en lengua espaola 2012

2012 Art Blume, S. L.

Avda. Mare de Du de Lorda, 20. 08034 Barcelona

Tel. 93 205 40 00 Fax 93 205 14 41

e-mail: info@blume.net

2010 Quid Publishing. Londres

2012 de las imgenes: pginas 56, 65 Dreamstime; pgina 119 Margaret Wetheim;

pgina 140 kmhkmh/Creative Commons; pgina 162 George M. Bergman;

pgina 170 Rama/Creative Commons

I.S.B.N.: 978-84-9801-598-0

Impreso en China

Todos los derechos reservados. Queda prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, sea por medios mecnicos o electrnicos, sin la debida autorizacin por escrito del editor.

Las marcas registradas mencionadas en el presente libro son propiedad de los tenedores de sus derechos. Todas las referencias a fabricantes y sus productos tienen un carcter puramente informativo y no

constituyen ninguna promocin ni afiliacin con ellos.

Este libro se ha impreso sobre papel manufacturado con materia prima procedente de bosques de gestin responsable. En la produccin de nuestros libros procuramos,

con el mximo empeo, cumplir con los requisitos medioambientales que promueven la conservacin y el uso sostenible de los bosques, en especial de los bosques primarios.

Asimismo, en nuestra preocupacin por el planeta, intentamos emplear al mximo materiales reciclados, y solicitamos a nuestros proveedores que usen materiales de manufactura cuya

fabricacin est libre de cloro elemental (ECF) o de metales pesados, entre otros.

C O N T E N I D O

Introduccin a la geometra

6

Puntos, rectas y crculos

12

Joyas de la corona

40

Avances audaces

74

Tigre! Tigre!

102

Un domingo en el parque

126

Botellas, rosquillas y costas

150

ndice

174

Terminologa y smbolos

176

6de Mileto (640-546 a. C.), que realiz un estudio sobre la geometra unos 300 aos antes que Euclides. Aunque no se conservan escritos de Tales, existen muchas historias sobre l. Una de las ms conocidas es la que explica que hall un mtodo para calcular la altura de la gran pirmide de Keops, construida en torno al ao 2600 a. C. No se conocen los elementos de geometra especficos que utilizaron los egipcios en el diseo y la construccin de las pirmides, pero parece que el clculo de la altura fue un interrogante durante mucho tiempo. Tales observ que en un determinado momento, su sombra era tan larga como su altura. Tras esperar a que el Sol se encontrase posicionado en el cielo de manera que su propia sombra fuese igual que su altura, midi la longitud de la sombra de la pirmide desde su base. Tales afirm que sumando la mitad de la longitud de la base de la pirmide a la longitud de su sombra se obtendra su altura.

Aunque las antiguas civilizaciones encontraron el modo de gestionar y comerciar con cantidades continuas como las que se necesitan para medir el aceite de oliva o el vino, los orgenes del trmino geometra se encuentran entre los agricultores del delta del Nilo. La crecida que tena lugar cada ao borraba los lmites de las propiedades de las tierras. Era preciso encontrar la manera de marcar los terrenos. De este modo naci la geometra (medida de la tierra en griego).

El padre de la geometraSi preguntramos el nombre de algn matemtico griego, muchas personas citaran a Pitgoras y, posiblemente, a Euclides. Aunque ya no se ensea en los colegios, es muy probable que a nuestros abuelos les suenen los elementos de Euclides, al que se suele citar como el padre de la geometra. Sin embargo, para ser justos, ese ttulo debera recaer en Tales

INTRODUCCIN A LA GEOMETRA

La moneda de las matemticas tiene dos caras: las matemticas discretas y las

matemticas continuas. Las primeras tratan con cantidades que se pueden contar

(ovejas, pblico de un partido de ftbol, botellas). La prueba ms antigua del uso

de las matemticas discretas es el hueso de Ishango, que incluye muescas agrupadas de

tal manera que nos hacen pensar que se utiliz para realizar algn tipo de clculo.

Sin embargo, no se puede contar todo. El barro, la cerveza, la tierra, etctera, son

cantidades continuas que es preciso medir. Y medir es una manera de convertir lo que no

se puede contar en mensurable. Los orgenes de la geometra se basan en las mediciones.

Geometr a

7Tambin se atribuyen a Tales otros descubrimientos, como el hecho de que el dimetro de un crculo siempre divide este ltimo por la mitad, o la observacin de que en un tringulo issceles (que tiene dos lados iguales), los ngulos opuestos a los lados iguales tambin son iguales. En la actualidad, incluso un fbico confeso a las matemticas no se sorprendera demasiado con esos conceptos y los vera ms desde la perspectiva del sentido comn que desde la de las matemticas. Sin embargo, para los pensadores de la poca de Tales, esas observaciones supusieron unos grandes avances en el rea de las matemticas por las conclusiones que arrojaron sobre todos los crculos o los tringulos issceles. Ese tipo de mentalidad deductiva supuso una nueva manera de pensar sobre las matemticas, que dejaron de ser una materia puramente prctica que trataba sobre crculos o tringulos para convertirse en el estudio abstracto de generalidades. En ese sentido, Tales puso en marcha el estilo de manera de pensar del que surgieron las matemticas modernas.

Introducc in a la geometr a

Con el Sol en la posicin adecuada, Tales pudo utilizar

las longitudes de las sombras para calcular la altura de las

pirmides.

La naturaleza est llena de ejemplos de simetra

reflectiva: desde las hojas de las plantas y los copos de

nieve hasta los dibujos de las alas de las mariposas.

De ese modo, Tales logr que se pasase del aspecto mtrico de la geometra al estudio de invariantes: propiedades de los crculos o de los tringulos issceles que siempre son las mismas con independencia del tamao. Los dimetros de los crculos cambian, pero todos los dividen en dos. Si hay algn elemento que une las diferentes ramas de la geometra, es el estudio de las invariantes.

El corazn de la geometra: invariancia y simetraCuando se habla de simetra, casi siempre se hace en el sentido cotidiano e informal de las imgenes equilibradas como la simetra de las alas de una mariposa, el dibujo de una flor de cinco ptalos que se obtiene cuando se corta una manzana por la mitad o un bonito retrato de una persona sonriente.

Ese sentido informal, casi intuitivo, de la simetra se desarrolla de manera ms formal en la geometra euclidiana, como en el estudio de las simetras reflectiva o axial y rotacional. La mariposa presenta simetra reflectiva, igual que la palabra AMA (si la escribe en un papel y la lee en un espejo, no

8pierde su forma). Por cierto: algunos estudios llevados a cabo confirman que nos atraen ms los rostros que no son perfectamente simtricos, cosa que est muy bien ya que la mayora de las caras no lo son.

La forma de ptalos que aparece en el centro de una manzana presenta simetra reflectiva, pero tambin rotacional: una flor perfecta de cinco ptalos puede girarse 72 y adoptar cinco posiciones, y siempre seguir pareciendo la misma despus de cada rotacin.

Una de las cosas que mueve a los matemticos es el deseo de ampliar las ideas y aplicarlas a nuevos contextos. As, el sentido cotidiano de la simetra a travs de la reflexin y la rotacin se ampla a un significado matemtico, que define un objeto matemtico como simtrico con respecto a una operacin matemtica determinada si dicha operacin aplicada al objeto conserva ciertas propiedades de ste.

Espere, no deje de leer. En lenguaje llano, lo anterior significa lo siguiente: el trmino objeto matemtico se emplea para distinguir entre los objetos del mundo real y el objeto matemtico ideal (perfecto). En el mundo real, una mariposa real nunca ser perfectamente simtrica: un examen detenido revelar pequeas diferencias entre las dos alas. Incluso un dibujo muy preciso de una mariposa simtrica revelar algunas

diferencias imperceptibles a simple vista. A efectos prcticos, esas imperfecciones no son perceptibles ni importantes, pero s importan al matemtico que busca la perfeccin absoluta. Como veremos ms adelante, uno de los legados ms perdurables de Euclides es la distincin entre lo real y lo ideal. La geometra trata de objetos matemticos como puntos, lneas, polgonos, poliedros y fractales (algo que Euclides no conoci).

En el caso de nuestra mariposa ideal (matemtica), la operacin matemtica aplicada es la reflexin o simetra axial: conserva el aspecto de la mariposa hasta el punto de que resulta imposible determinar si estamos observando el original o su reflejo.

De forma similar, si aplicamos la operacin de la rotacin al corazn de la manzana, ste conserva su aspecto.

Ya estamos en condiciones de ampliar el significado de la simetra. Imagine que tomamos un tringulo y lo ampliamos de manera uniforme (ampliacin) o lo contraemos del mismo modo (reduccin). En lenguaje cotidiano no diramos que estas versiones del tringulo son simtricas, pero la operacin matemtica del cambio de tamao (ampliacin o reduccin) conserva determinadas propiedades del tringulo. Por ejemplo, el tamao

Geometr a

El copo de nieve de Koch

constituye un problema geomtrico

de una enorme dificultad, ya que no

se puede determinar su rea con una

precisin del 100 % (vanse pginas 166-167).

9de los ngulos no vara y las proporciones relativas entre los lados permanecen invariables. Los tringulos son simtricos con respecto al cambio de tamao en trminos de las propiedades de los ngulos y las proporciones de los lados. Crear una

imagen de un tringulo movindolo sobre el plano, sin rotarlo (la operacin matemtica conocida como traslacin), tambin se considera simetra, ya que se conservan las propiedades del tringulo durante el movimiento.

Estas simetras bsicas (reflexin o simetra axial, rotacin, escalado, traslacin) y sus combinaciones forman la base del estudio de la geometra euclidiana, es decir, la geometra de las figuras planas. stas se definen como aqullas que se pueden representar en dos dimensiones (y ampliables a tres mediante planos verticales). El estudio de esas simetras es la geometra que la mayora de nosotros conocemos de nuestro paso por la escuela. Los hechos que en ella se ensean (por ejemplo, que los ngulos de un tringulo siempre suman 180) se basan en esas simetras. Tambin permiten deducir datos menos conocidos, como que solo existen 14 tipos bsicos de dibujos de papeles pintados.

Introducc in a la geometr a

Con unas herramientas matemticas bsicas, como una

regla y un comps, es posible crear polgonos (vanse pginas 20-21).

LA S IMETRA EN LA ESTADSTICA

La conocida curva de campana representa

un tipo de distribuciones estadsticas

conocidas como normales. Aunque

se basa en una ecuacin matemtica, la

idea de normal surge de la gama de

medidas que se producen en la naturaleza

(por ejemplo, las alturas de los adultos en

una poblacin encajan de forma

aproximada en la curva de campana). La

naturaleza simtrica de la curva se utiliza

para dar forma a cosas tales como los

exmenes de matemticas: si la forma no

es del todo simtrica, sino que se inclina en

una u otra direccin, podra ser necesario

ajustar el examen para que resulte ms

sencillo o ms difcil.

10

Geometra no euclidianaCuando se vio claramente que la Tierra no era plana, sino esfrica, algunos de los hechos euclidianos que se haban convertido en verdades casi inamovibles se pusieron en entredicho. Por ejemplo, los barcos podan viajar en lnea recta, realizar tres giros y llegar al punto del que haban partido (recorriendo, de ese modo, los tres lados de un tringulo). A medida que los mtodos de medicin y clculo mejoraron, cada vez fue ms evidente que los ngulos que formaban los recorridos de esos barcos (un tringulo sobre una esfera) sumaban ms de 180. De ese modo, se abrieron las posibilidades a unas nuevas geometras: las no euclidianas.

Las simetras de las geometras no euclidianas tambin especifican lo que permanece invariable en las operaciones

matemticas. La geometra proyectiva observa lo que no cambia cuando los objetos geomtricos en un contexto se representan con otra forma: por ejemplo, cuando un objeto tridimensional se proyecta en un plano bidimensional, o cuando las figuras de una esfera se proyectan en un plano bidimensional. Como bien entendieron los artistas del Renacimiento italiano (con tan buenos resultados), en la geometra proyectiva las lneas paralelas convergen.

La geometra de la topologa examina las simetras de las transformaciones ms extremas. La topologa, que tambin se conoce como la geometra de la lmina de caucho, es el estudio de cmo se pueden transformar unas formas en otras como si fuesen de caucho flexible. Imagine, por ejemplo, un anillo de caucho inflado (como

Geometr a

El desarrollo de la

geometra proyectiva

introdujo el uso de los

puntos de fuga en la

pintura. De ese modo

se consigui una

perspectiva ms

realista.

11

una rosquilla hueca). En teora, se puede estirar y convertir en algo parecido a una taza. Pero no se puede transformar en una esfera hueca sin rasgar y reparar la superficie de caucho. En la geometra de la topologa, las rosquillas y las tazas son simtricas!

La simetra de escala es una de las piedras angulares de la geometra euclidiana: si los tringulos y los crculos no tuviesen las mismas propiedades cuando se amplan o se reducen, gran parte de la geometra euclidiana sera falsa. En el mundo real, sin embargo, la simetra de escala es muy poco frecuente. Por ejemplo, las hormigas o las araas aumentadas hasta convertirse en los monstruos que vemos en algunas pelculas de ciencia ficcin no podran sobrevivir: la proporcin del volumen corporal con respecto al rea de la superficie del cuerpo requiere el desarrollo de pulmones en las criaturas ms grandes. De igual modo, las patas de un elefante no son una versin ampliada de las de un ratn.

La falta de aplicacin de la geometra euclidiana en el mundo real llev al desarrollo de la geometra de fractales, que abarca los fenmenos naturales que s tienen una forma de simetra de escala. Los fractales son objetos matemticos con la caracterstica bsica de ser autosimilares: ofrecen el mismo aspecto sea cual sea el nivel de ampliacin. Se trata de una forma

de simetra de escala distinta a la euclidiana: al aumentar parte de un tringulo no se obtiene una figura con aspecto de tringulo. El conjunto fractal de Mandelbrot es el fractal matemtico ms conocido.

La semejanza fractal es habitual en la naturaleza. Las lneas costeras presentan una estructura fractal, ya que parecen tener el mismo perfil tanto si se miran desde el aire como con un microscopio. Los rboles, los helechos y los brcolis muestran propiedades similares.

Segn afirmaba el matemtico Johannes Kepler la geometra posee dos joyas: el teorema de Pitgoras y la razn urea. En los siguientes captulos estudiaremos ambas, por ms que desde tiempos de Kepler, las nuevas geometras (como la topologa y los fractales) han revelado muchas ms joyas, que tambin compartiremos con el lector.

Introducc in a la geometr a

El objeto ms complejo de las matemticas, el conjunto de Mandelbrot, []

es tan complejo que la humanidad no puede controlarlo y deberamos describirlo

como un caos.

Benot Mandelbrot

El conjunto fractal de Mandelbrot

siempre ofrece un aspecto similar,

tanto si se observa ampliado como

reducido (vanse pginas 166167).

Una fascinante gua interactiva sobre la historia y las

aplicaciones de la geometra. Contiene explicaciones

claras y concisas de diferentes conceptos geomtricos,

as como breves biografas de las figuras ms

destacadas de este campo y sus descubrimientos.

Incluye ejercicios sencillos explicados paso a paso,

algunos de ellos con aplicaciones en la vida cotidiana

y otros que son autnticos rompecabezas tericos,

pero todos ellos estn diseados para retarle y poner

a prueba sus conocimientos recin adquiridos.

Mike Askew es profesor en la Monash University,

Melbourne; investiga, da conferencias y escribe sobre

la enseanza y el aprendizaje de las matemticas

bsicas.

Sheila Ebbutt es consejera en educacin matemtica

infantil (Foundation Stage) y primaria as como autora

de numerosos artculos sobre el tema.

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fundamentos de

geometra

Explicaciones claras y concisas y breves biografas de las figuras ms destacadas y sus descubrimientos

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