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GEOMETRÍA ANALÍTICA
CONCEPTO PENDIENTE
ÁNGULO DE INCLINACIÓN
Elementos que la determinan
RECTADiferentes formas de determinar su
ecuación
Posiciones relativas
Ángulo entre rectas
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La recta es una de las curvas de mayor estudio
realizado en las matemáticas por la enorme
cantidad de aplicaciones que presenta y por estar
vinculada a una ecuación de primer grado o lineal
1) Problemas de costos-
ingresos y ganancia, la
oferta y demanda
Dentro de sus aplicaciones
se tienen, por ejemplo:
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2) En Ingeniería Eléctrica se puede determinar el
voltaje en función de la corriente dando como
resultado una línea recta.
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3) En Ingeniería Civil, para la edificación de carreteras y
autopistas se aplican conceptos sobre trazos de la
recta.
Nudo Uribe en Antofagasta
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4) En el trazo de planos está la presencia de rectas,
sus intersecciones, perpendicularidad y otras
propiedades.
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¿Qué le indica estas señales de tránsito en relación a las imágenes?
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Podemos indicar que en la vida real,cuando vamos por una calle, a vecesnos encontramos ante cambios en lanivelación del terreno, es decir, cuandovamos por una calle totalmente recta yhorizontal, de repente la calle empiezaa “subir” verticalmente, inclinándosede forma vertical. A esta inclinación sele llama pendiente.
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PENDIENTE DE UNA RECTA L
Pendiente, en matemáticas y cienciasaplicadas se le denomina a la inclinación deun elemento lineal, natural o constructivorespecto de la horizontal.
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Se llama pendiente o coeficiente angular deuna recta, a la tangente de su ángulo deinclinación. Se designa comúnmente por laletra m, por lo tanto m = tan α
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Calle Baquedano, aluvión año 1991 en Antofagasta
Piscinas aluvionales, quebrada Farellones
El conocer el concepto de pendiente nos sirve, como por ejemplo prevenir catástrofes.
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EN PANELES FOTOVOLTAICOS
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¿Cómo obtenemos el ángulo de inclinación del ancla y la pendiente de L?
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PENDIENTE DE UNA RECTA L
L1
L2
0 x
y•¿Cuál de las rectas está más inclinada?
•¿Cómo medimos esa inclinación?
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x
yencambio
recorrido
elevaciónm
en x cambio
y
La pendiente corresponde a la tangente delángulo de inclinación de L
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x
yencambio
recorrido
elevaciónm
en x cambio
y
Obtener la pendiente de una recta que pasa por
los punto
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Lo cual indica que la recta no tiene inclinación, con respecto ala horizontal. La recta es horizontal (paralela al eje X).
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La recta es vertical (perpendicular al eje X).
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De los ejemplos anteriores se puede deducir:
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Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)
Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2
x1 y1 x2 y2
Reemplazamos estos valores en
la fórmula
m =y2 – y1 =x2 – x1
14 – 2
9 – 7 =
12
2= 6
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Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)
Identificamos los valores de x1 , y1
, x2 , y2
x1 y1 x2 y2
Reemplazamos estos valores en
la fórmula
m =y2 – y1 =x2 – x1
-3 – 1
9 – (-5) =
-4
14=
-2
7
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Encuentre la pendiente de la recta graficada en el
siguiente plano:
En este caso debemos identificar las
coordenadas de dos puntos de la recta
(5,0)
(0,4)( 0 , 4 ) y ( 5 , 0)
x1 y1 x2 y2Identificamos los valores de x1, y1, x2, y2
Reemplazamos estos valores en
la fórmula
m =y2 – y1
x2 – x1
0 – 4
5 – 0
-4
5= =
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La ecuación de la recta de pendiente m, y
punto de paso (x1, y1) es:
(x1, y1)y - y1 = m(x - x1)
X
Y
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La gráfica de una recta de pendiente m y
ordenada en el origen b, es:
by = mx + b
X
Y
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ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By + C = 0, es una recta, yrecíprocamente, toda recta es lagráfica de una ecuación lineal.
Ax + By + C = 0
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Ejercicios:
1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).
3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3.
4. Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).
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recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b
recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
b
a
y = b
x = a
RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL
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En resumen:
Formas de la ecuación de una recta:
• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)
• Forma pendiente ordenada y = mx+b
al origen
• Forma general Ax + By + C = 0
• Recta vertical x = a
• Recta horizontal y = b
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Rectas ParalelasDos rectas no verticales con pendientes
son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales, es decir: 1 2L Ly
1 2m my
21 mm
1L 2L
En la gráfica mostrada, la pendiente de las rectas es:21 LL y
m 3
Las rectas son paralelas.
Conclusión:
/ /L L m m 1 2 1 2Si
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Verifique que la recta que une los puntos (-3,-5 ) y (2,3 )es paralela a la recta que une a (0,-5 ) y (5,3 )
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
m 8
5m
8
5
Las rectas son paralelas
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Ejemplo 2: Determinar la ecuación de una recta L que
pasa por el punto (-3, 3) y es paralela a la recta:
10y-8x=7.
Escribimos la ecuación de la recta dada de la forma y=mx+b:
10
7
5
4 xy
Como las rectas son paralelas tienen la misma pendiente. Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen:
bxy 5
4 Como (-3,3) es un punto de la recta, satisface su ecuación. Sustituimos el punto
y encontramos b:
5
273
5
43 - bb Por lo tanto la
recta pedida es: 5
27
5
4 xy
m 4
5
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Rectas PerpendicularesDos rectas no verticales con pendientes
son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1, es decir,
1 2L Ly1 2m my
-11 2m m o, de manera equivalente, -1
2
1
mm
2L
1LEn la gráfica:
2
31m
3
2-2m
-11 2m m
Las rectas son perpendiculares.
Si:_L L m m -1 2 1 2 1
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Hallar la ecuación de una recta T que es perpendicular a
2x+3y=12 y tiene el mismo punto de corte con el eje y.
Escribimos la ecuación de la recta dada de la forma y=mx+b:
43
2- xy
Las rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1.
42
3 xy
m 2
3
2Para la recta pedida: y
m m -1 2 1
Ejemplo 4:
m -1
2
3b 4
m - -
2
21
3m 2
3
2
b 4
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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1
11
43
2- xy
42
3 xy
Representación gráfica:Continuación
Recta dada:
Recta perpendicular a la recta dada, con el mismo intercepto:
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Encuentre la recta que es perpendicular a la recta que une los puntos (1,-2 ) con (-2,3 ) y que pasa por el origen
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y Pendiente recta dada:
y y
x x
2 1
2 1
m=-
-;
m
- -
- -
2 3
1 2; m -
5
3
Pendiente recta perpendicular:
;mm
-1
1m -
-1
1
5
3
; m 1
3
5
Pasa por el origen: b=0 y x3
5
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Verificar si la respuestas dadas son las correctas
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Problema
Una persona compró un automóvil nuevo en 1991 por
$3.200.000. En 1994, él lo vendió a un amigo en
$2.600.000.
Dibuje una recta que muestre la relación entre el
precio de venta del automóvil y el año en que se
vendió. Determine e interprete la pendiente.