1
Análisis de Flujo de Carga
Barra Tensión Angulo ------Carga------ ---Generación--- Shunt Mag. grados MW MVAr MW MVAr MVAr Carga_1 1.001 -2.938 200.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_2 1.029 -3.427 200.0 20.0 0.0 0.0 0.0 Carga_3 1.009 -13.732 100.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_4 0.893 -23.205 400.0 100.0 0.0 0.0 0.0 Gen_1 1.050 -0.709 0 0 500.0 161.3 0.0 Gen_2 1.050 -11.968 0 0 200.0 174.8 0.0 Slack 1.000 0.000 0.0 0.0 340.1 -22.6 0.0
Flujo en las líneas y pérdidas
--Línea-- -Flujo en la línea- --Pérdidas-- desde hasta MW Mvar MVA MW Mvar Carga_1 Carga_3 134.416 -28.964 137.501 4.205 -2.128 Carga_2 4.336 -41.077 41.305 0.156 -17.693 Carga_2 Carga_4 242.202 86.285 257.113 14.930 64.411 Carga_1 -4.180 23.384 23.754 0.156 -17.693 . . . . . . . . . . . . . .
SlackCarga_1 Carga_2
Carga_4Carga_3
Gen_2
Gen_1
PG
G
G
V0°|V|
|V|
Q
P
Q
P
QP
Q
Dada una red
Mediante resolución de las ecuaciones de flujo de carga determino las siguientes incógnitas:
Una vez resueltas las barras, mediante las ecuaciones fundamentales de circuitos, determino:
Presentación del problema
Luego aplicando en forma directa las ecuaciones de la red determino:
2
Expresiones fundamentales de la red
Vi
V1
V2
Vn
yi1
yi2
yin
yi0
Ii ...
ij
ij
n
i
nnninn
iniiii
ni
ni
n
i
niniiiiniiii
niiniiiiiii
y
y
V
V
V
V
YYYY
YYYY
YYYY
YYYY
I
I
I
I
VyVyVyVyyyyI
VVyVVyVVyVyI
ij
ii
2
1
21
21
222221
111211
2
1
2211210
22110
Y diagonal la de fuera elementos
Y diagonal la de elementos
:por dados estan elementos sus y
nodal admitancia matriz denomina le se arriba matriz La
.
.
.
.
....
....
....
....
....
....
....
....
.
.
.
.
.
:red una de barras n las para matricial forma en loexpresando
...)...(
:terminos los oreordenand
)(...)()(
n
jjiijijjii
n
jjiijijjii
n
jjijjijiiii
iiii
n
jjijjiji
n
jjiji
YVVQ
YVVP
VYVjQP
IVjQP
i
VYI
VYI
I
1
1
1
*
1
1
i
)(sin||||||
)(cos||||||
:imaginaria e real partes en Separando
)(||||)(||
:potencia la de expresión la en corriente la doSustituyen
:es barra la en compleja potencia La
)(||||
:tenemospolar forma en ecuación esta Expresando
:escribir Podemos
3
Clasificación de las barras de la red
Las barras son clasificadas generalmente en tres tipos:
• Barra Slack - Es tomada como referencia donde |V| y son especificados, no aporta ecuaciones al algoritmo, si no que una vez calculados los |V| y en el resto de las barras, se calcula Pslack y Qslack :
n
jjiijijjislack
n
jjiijijjislack
YVVQ
YVVP
1
1
)(sin||||||
)(cos||||||
• Barra de carga - o barra PQ, se especifica la potencia activa y reactiva, el módulo y la fase de las tensiones son desconocidas, y se calculan resolviendo el siguiente set de ecuaciones no lineares:
n
jjiijijjii
n
jjiijijjii
YVVQ
YVVP
1
1
)(sin||||||
)(cos||||||
• Barra de generación- o barra PV o barras de tensión controlada, se especifican el módulo de la tensión y la potencia activa, debiendose determinar la fase de la tensión y la potencia reactiva.Los límites de la potencia reactiva son también especificados. Se aplica entonces una única ecuación por barra para el cálculo de la fase de la tensión:
n
jjiijijjii YVVP
1
)(cos||||||
una vez calculadas todas los módulos y fases de las tensiones de todas las barras (o sea convergió algoritmo Newton-Raphson), se calcula Q en todas las barras PV:
n
jjiijijjii YVVQ
1
)(sin||||||
si se viola el límite inferior o superior en alguna/s barras se puede tomar alguna de las siguientes acciones correctivas: 1 - fijar Q=Qlim y liberar la tensión (transformar en una barra PQ) y vuelvo a entrar en el algoritmo N-R. 2 - Aumentar (o disminuir) un escalón porcentual el módulo de la tensión y vuelvo a entrar en el algoritmo N-R).
4
Datos de entrada para resolver el flujo de carga
% Datos de archivo de entrada tomados del Gross, pag. 244%% DATOS DE BARRA% CARGA GENERACION min max Shunt Shunt% BARRA TENSION MW MVAR MW MVAR MVAR MVAR MVAr SUCEPTANCIASL Slack 1 0 0 0 0 0 0 0 0PQ Carga_1 1 200 30 0 0 0 0 0 0PV Gen_1 1.05 60 8 500 0 0 0 0 0PQ Carga_2 1 200 20 0 0 0 0 0 0PV Gen_2 1.05 50 5 200 0 0 0 0 0PQ Carga_3 1 100 30 0 0 0 0 0 0PQ Carga_4 1 400 100 0 0 0 0 0 0%%% DATOS DE LINEAS% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA SUCEPTANCIALinea Carga_1 Carga_3 0.023 0.138 0.271Linea Carga_2 Carga_4 0.023 0.138 0.271Linea Carga_1 Carga_2 0.015 0.092 0.181Linea Carga_3 Carga_4 0.015 0.092 0.181%%% DATOS DE TRANSFORMADORES% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA TAP Trafo Slack Carga_1 0.0012 0.015 1 Trafo Gen_1 Carga_2 0.001 0.012 1 Trafo Gen_2 Carga_3 0.002 0.024 1
SlackCarga_1 Carga_2
Carga_4
Carga_3Gen_2
Gen_1
PG
G
G
V0°
|V|
|V|
Q
P
Q
P
QP
Q
Dada una red
P
Q
P
Q
5
Solución de Ecuaciones Algebraicas No-Lineares - Método de Newton-Raphson
(k)
(k)(k)1)(k
)(
(k)(k)
(k)(k)
)0(
(0))0((1)
(0)
(0)(0)(0))0(
(0)
(0)
2(0)
)0(
2
2(0)
)0((0)
(0)(0)
(0)(0)
x Si
xxx
c
x
)x(c
: Definiendo
Raphson-Newton de algoritmo al identifica ntoprocedimie este de uso Sucesivo
c
x
:ónaproximaci segunda la en resultará inicial estimación la a x Sumando
residuo. el )x(c siendo ,xc
:resultando osdespreciadser pueden
alto orden de terminos los pequeño, muy es xerror el que Asumiendo
...)x(!2
1x)x(
:Taylor de serie en izquierda la de término el oExpandiend
)xx(
:tenemos correcta, solución la de desviación pequeña la es x y inicial, estimación la es x Si
)(
:por dada es ldiemnsiona-uni ecuación una de solución La
kJ
fc
dx
dfJ
dxdf
x
fcdx
df
cdx
fd
dx
dff
cf
cxf
Interpretación gráfica:
C=0
c(0)
x(0)
c(1)
x(1)
J(0)
J(1)
6
Ejemplo 6.1:
a) Búsqueda de la raíz de f(x)=x3-6 x2+9x-4.
cleardx=1; % Se inicializa el error con un valor elevadofun=input('Nombre de la función: '); % Nombre de la función.m donde están las expr. % de f y J. vx=input('Entre la estimación inicial y rango de ploteo [xe xi xf] -> '); x=vx(1);iter = 0; k=1;disp('iter Dc J dx x')% Encabezamiento de resultadoswhile abs(dx) >= 0.001 & iter < 100 % Test de convergencia iter = iter + 1; % No. de iteraciones [f,J]=feval(fun,x); % feval ejecuta la función especificada % en el string fun con el argumento x. yp(k)=f; % Puntos para graficar las xp(k)=x; % pendientes. Dc=0 - f; % Residuo dx= Dc/J; % Se actualiza el error x=x+dx; % Soluciones sucesivas yp(k+1)=0; % Puntos para graficar las xp(k+1)=x; % pendientes. k=k+2; fprintf('%g', iter) % Se muestra iter sin ceros % no significativos disp([Dc, J, dx, x]) % Se completa con el resto de las % variables.end
x=(vx(2):.1:vx(3)); % Rango de x para ploteo.f=feval(fun,x); % Se evalúa f en ese rangoplot(x,f,x,0*x,xp,yp) axis([vx(2) vx(3) min(f) max(f)]) % Se fijan los ejes para x y f.
function[f,J]=pol3(x)f=x.^3-6*x.^2+9*x-4;J=3*x.^2-12*x+9;
7
» te6ej1Nombre de la función: 'pol3'Entre la estimación inicial y rango de ploteo [xe xi xf] -> [6 0 6]iter Dc J dx x1 -50.0000 45.0000 -1.1111 4.8889
2 -13.4431 22.0370 -0.6100 4.2789
3 -2.9981 12.5797 -0.2383 4.0405
4 -0.3748 9.4914 -0.0395 4.0011
5 -0.0095 9.0126 -0.0011 4.0000
6 -0.0000 9.0000 -0.0000 4.0000
0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Búsqueda de la raíz de f(x)=x3-6 x2+9x-4.
8
Ejemplo 6.1:
b) Estudio de convergencia de f(x)=atg(x).
function[f,J]=atx(x)f=atan(x);J=1./(1+x.*x);
» te6ej1Nombre de la función: 'atx'Entre la estimación inicial y rango de ploteo [xe xi xf] -> [1.4 -20 20]
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
9
. : a denomina se , C
:compacta forma en
.
.
..
....
....
..
..
)(.
.
)(
)(
:matricial forma la en o
...)(
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...)(
...)(
:ordenmayor de terminos los dodesprecian
Taylor, de series en izquierda la de termino el oExpandiend
),...,,(
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
),...,,(
),...,,(
:variables con ecuaciones ahora doConsideran
)0()0((0)
)0(
)0(2
)0(1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)0(
)0(22
)0(11
)0()0(2
2
)0(1
1
)0(
2)0(2)0(
22
2)0(1
1
2)0(2
1)0(1)0(
22
1)0(1
1
1)0(1
)0()0()0(2
)0(2
)0(1
)0(1
2)0()0()0(
2)0(
2)0(
1)0(
12
1)0()0()0(
2)0(
2)0(
1)0(
11
obianamatriz JacJXJ
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
fc
fc
fc
cxx
fx
x
fx
x
ff
cxx
fx
x
fx
x
ff
cxx
fx
x
fx
x
ff
cxxxxxxf
cxxxxxxf
cxxxxxxf
nn
n
n
nnn
n
n
nn
nnn
nnnn
nn
nn
nnnn
nn
nn
10
Quedando entonces el algoritmo de Newton-Raphson:
)0()0(2
)0(1 ,...,, iniciales valores los estiman Se nxxx
quemayor es X de elemento algún Si
X
X
Jacobiana la calcula Se
)(.
.
)(
)(
C
(k)
(k))()1(
)(1)((k)
)(
)(
)(22
)(11
(k)
kk
kk
k
knn
k
k
XX
CJ
J
fc
fc
fc
*
*El problema se reduce entonces a resolver sucesivos sistemas de ecuaciones lineares.
En Matlab, la solución del sistema de ecuaciones es obtenida
usando el operador de división de matrices \, o sea \ el cual es
basado en factorización triangular y eliminación Gaussiana, mucho más eficiente
que invertir
XJ C
CJ X
J .
11
Ejemplo 6.2:
Se usa el método de Newton-Raphson para encontrar la intersección de las curvas
1
422
ye
yxx
La siguiente rutina (te6ej2a) genera las gráficas
tita=0:.02:2*pi; % Rango del ángulo de la cfa.r = 2*ones(1, length(tita)); % Vector radio de la cfa.x=-3:.02:1.5; % Rango de x para la segunda ec.y=1- exp(x); % Segunda ec.plot(x,y),gridaxis([-3 3 -3 3]);axis('square'); % Relación de ejes tal que no deformen la cfa.xlabel('x')text(1.1,1.8,' x^2+y^2=4')text(1.2,-2.3,' e^x+y=1')hold on; % Se "fija" la gráfica tal que las sucesivas % se hagan en la misma figura con los mismos ejes.polar(tita, r) % Ploteo polar en un sistema cartesiano.hold off; % Se "libera" la figura
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
x2+y2=4
ex+y=1
12
Tomando las derivadas parciales, la matriz Jacobiana resulta:
1
22xe
yxJ
La siguiente rutina (te6ej2b) aplica Newton-Raphson para el sistema arriba
iter = 0; x=input('Entre el vector estimación inicial [x1; x2] -> ');Dx=[1; 1];C=[4; 1];disp('Iter DC Matriz Jacobiana Dx x');while max(abs(Dx)) >= .0001 & iter < 100 iter=iter+1; f = [x(1)^2+x(2)^2; exp(x(1))+x(2)]; DC = C - f; J = [2*x(1) 2*x(2) exp(x(1)) 1]; Dx=J\DC; % Resolución del sistema de ecuaciones x=x+Dx; fprintf('%g', iter) disp([DC, J, Dx, x])end
» te6ej2bEntre el vector estimación inicial [x1; x2] -> [0.5 -1]'Iter DC Matriz Jacobiana Dx x1 2.7500 1.0000 -2.0000 0.8034 1.3034 0.3513 1.6487 1.0000 -0.9733 -1.9733
2 -1.5928 2.6068 -3.9466 -0.2561 1.0473 -0.7085 3.6818 1.0000 0.2344 -1.7389
3 -0.1205 2.0946 -3.4778 -0.0422 1.0051 -0.1111 2.8499 1.0000 0.0092 -1.7296
4 -0.0019 2.0102 -3.4593 -0.0009 1.0042 -0.0025 2.7321 1.0000 0.0000 -1.7296
5 -0.0000 2.0083 -3.4593 -0.0000 1.0042 -0.0000 2.7296 1.0000 -0.0000 -1.7296
13
Tenemos entonces dos ecuaciones por cada barra PQ y una por cada barra PV, suponiendo que:Barra 1 - barra SlackBarra 2 a m - barras PQBarras m+1 a n - barras PVExpandiendo en series de Taylor haciendo estimaciones iniciales para |V| y y despreciando los términos de orden elevado, se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineares:
||.
.
||
.
.
||..
||..
......
......||
..||
..
||..
||..
......
......||
..||
..
.
.
.
.
)(
)(2
)(
)(2
)(
2
)()(
2
)(
)(2
2
)(2
)(2
2
)(2
)(
2
)()(
2
)(
)(2
2
)(2
)(2
2
)(2
)(
)(2
)(
)(2
km
k
kn
k
m
km
km
n
km
km
m
kk
n
kkm
kn
kn
n
kn
kn
m
kk
n
kk
km
k
kn
k
V
V
V
Q
V
QQQ
V
Q
V
QQQV
P
V
PPP
V
P
V
PPP
Q
Q
P
P
En forma abreviada:
||43
21
VJJ
JJ
Q
P
El procedimiento para solucionar un flujo de carga con el método de Newton-Raphson es el que sigue:
Para las barras PQEspecifica Pi y Qi
Estima |Vi(0)| y (0) (igual a la slack)
Para las barras PVEspecifica Pi , |Vi| y los limites max y min de Qi
Estima (0) (igual a la slack)
Usando los valoresespecificados y estimados Calculo el vector:
)(
)(2
)(
)(2
.
.
.
.
km
k
kn
k
Q
Q
P
P
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
YVVPP
YVVQQ
YVVPP
1
)()()()(.
)(
1
)()()()(.
)(
1
)()()()(.
)(
)(cos||||||
:PV barras las para y
)(sin||||||
)(cos||||||
:PQ barras las Para
Para la barra Slack
Se especifica V y
14
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
YVVPP
YVVQQ
YVVPP
QP
1
)()()()()(
1
)()()()()(
1
)()()()()(
)(cos||||||
:PV barras las para y
)(sin||||||
)(cos||||||
:PQ barras las Para
: y los devetor el Actualizo
Se calculan los elementos de la matriz jacobiana J1, J2, J3 y J4.
Q
P
JJ
JJ
V\
|| 43
21Se resuelve:
Se actualizan los |Vi| y i :|||||| )()()1(
)()()1(
ki
ki
ki
ki
ki
ki
VVV
Mientras halla algún:|Pi
(k)|> o algún|Qi
(k)|>
convergió
n
jjslackijijjslackslack
n
jjslackijijjslackslack
YVVQ
YVVP
1
1
)(sin||||||
)(cos||||||
PV) (barras a 1 de
)(sin||||||1
nmipara
YVVQn
jjiijijjii
Calculo la potencia reactiva en todas las barras PV: Si se violó al menos un límite tomo accióncorrectiva y vuelvo al algoritmo
15
Solución Flujo de Carga Desacoplado Rápido
Para relación X/R alta
P está fuertemente acoplado a y debilmente acoplado a |V|
||||
||
o
||0
0
4
1
4
1
VV
QVJQ
PJP
VJ
J
Q
P
Además considerables simplificaciones a J1 y J4 pueden ser hechas:
)(sin||||)(sin||||||)(sin||||||
:diagonal la de elementos los Para
)(cos||||||
Siendo
2
1,1
1
1
iiiii
n
jjiijijji
n
ijjjiijijji
i
i
n
jjiijijjii
YVYVVYVVP
PJ
YVVP
-QiBii
Siendo Bii la parte imaginaria de los elementos de la diagonal de Y, o sea, la suma de todas lassuceptancias incidentes a la barra i.
iii
i
BV
Q
||P
entonces
|V||V| además ,B típicos potencia de sistemas En
i
i
i2
iii
Q está fuertemente acoplado a |V| y debilmente acoplado a
16
ijij
jijjij
jiji
jiijji
BV
VYVV
YVV
||P
1|| asumiendo obtenida es ciónsimplifica otra ),sin(||||||P
)( entonces ,0 normal operación de scondicione en
ij )sin(||||||P
:diagonal la de fuera elementos los Para
i
iji
ijij
ijj
i
Bii
ijij
i
iiii
i
BVV
Q
BVV
Q
J
||||
:diagonal fuera
||||
:diagonal
: parasimilar forma En 4
Llegamos entonces a que los sistemas de ecuaciones||
||||4
1
VV
QVJQ
PJP
Se pueden plantear como:
PQ. barras las a solo ientescorrespond los y
PQ yPV barras las a ientescorrespond Y de elementos los de asuceptanci la Siendo
||||
||
''
'
''
'
B
B
VBV
Q
BV
P
Siendo B’ y B’’ constantes, estas pueden ser invertidas una única vez antes de iniciar las iteracionesy luego durante el proceso de cálculo los cambios de |V| y son dados en forma directa por:
||
||
||
1''
1'
V
QBV
V
PB
17
El procedimiento para solucionar un flujo de carga con el método de Newton-Raphson desacoplado rápido es el que sigue:
Para las barras PQEspecifica Pi y Qi
Estima |Vi(0)| y (0) (1.00)
Para las barras PVEspecifica Pi , |Vi| y los limites max y min de Qi
Estima (0) (1.00)
||
.
.||
)(
2
)(2
n
kn
k
V
P
V
P
Determinar B’ y B’’ y en consecuencia [B’]-1 y [B’’]-1
Para la barra Slack
Se especifica V y
Usando los valoresespecificados y estimados Calculo los vectores:
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
YVVPP
YVVQQ
YVVPP
1
)()()()(.
)(
1
)()()()(.
)(
1
)()()()(.
)(
)(cos||||||
:PV barras las para y
)(sin||||||
)(cos||||||
:PQ barras las Para
||
.
.||
)(
2
)(2
m
km
k
V
Q
V
Q
18
||]''[||
||]'[
1
1
V
QBV
V
PB
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
YVVPP
YVVQQ
YVVPP
QP
1
)()()()()(
1
)()()()()(
1
)()()()()(
)(cos||||||
:PV barras las para y
)(sin||||||
)(cos||||||
:PQ barras las Para
: y los Actualizo
Se actualizan los |Vi| y i :|||||| )()()1(
)()()1(
ki
ki
ki
ki
ki
ki
VVV
Mientras halla algún:|Pi
(k)|> o algún|Qi
(k)|>
convergió
n
jjslackijijjslackslack
n
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Calculo la potencia reactiva en todas las barras PV: Si se violó al menos un límite tomo accióncorrectiva y vuelvo al algoritmo
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19
Aplicación de flujo de carga usando PSAT
Barra 1
PG
G
G
V0°|V|
|V|
Q
P
Q
P
QP
Q
Dada la siguiente red
Con los siguientes datos (Sbase 100 MVA)
Barra V pu Gen MW Min. MVAr Max. MVAr1 1,003 1,05 500 -300 4005 1,05 200 -100 140
DATOS DE LOS GENERADORES
Barra MW MVAr2 200 303 60 84 200 205 50 56 100 307 400 100
CARGAS
Barra 2 Barra 4 Barra 3
Barra 5
Barra 6
Barra 7
P
Q
20
Barra Origen Barras Destino Rpu Xpu Bpu2 6 0.023 0.138 0.2714 7 0.023 0.138 0.2712 4 0.015 0.092 0.1816 7 0.015 0.092 0.181
LINEAS
Barra Origen Barras Destino Rpu Xpu1 2 0.00120 0.0153 4 0.001 0.0125 6 0.002 0.024
TRANSFORMADORES
Suponiendo que las cargas representan los valores máximos esperados, y la generación está consu capacidad a pleno. Definimos como operación satisfactoria de la red que las líneas no esténsobrecargadas (el rating de las líneas es de 200MVA) y las tensiones en todas las barras estén en un entorno de ±5% de la nominal, esto es, entre 0.95 y 1.05 pu.
a) Verificar si la red está operando en forma satisfactoria, y en caso de no ser así identificar lospuntos a corregir.
b) Chequear nuevamente la condición de operación de la red pero esta vez agregando la si-guiente línea:
Barra Origen Barras Destino Rpu Xpu Bpu2 7 0.027 0.166 0.326
LINEA ADICIONAL
