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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Profa. Carmen Batiz UGHS
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FUNCIONES EXPONENCIALES
La forma standard es: y = abx, donde a es la constante , a ≠ 0,
b es la base , b >0 b ≠ -1 y x es el exponente, x = Reales.
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GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Si a > 0 y b > 1
y = 2x
y = 4x
y = 7x
La función crece
xaby
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GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Si a > 0 y 0 < b < 1
y = 1/2x
y = 1/4x
y = 1/7x
La función decrece
xaby
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DOMINIO Y CAMPO DE VALORES
Dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos y el campo de valore también será el conjunto de todos los números reales positivos. Se requiere que b sea positiva para evitar números imaginarios (-2)1/2
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PROPIEDADES BÁSICAS DE f(x) = bX b > 0 , b ≠ 1
Todas las gráficas que pasan por el punto (0,1). b0 = 1 Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos. El eje x es una asíntota horizontal. Si b > 1, entonces bx aumenta conforme aumenta x. Si 0 < b< 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. La función de f es uno a uno.
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OTRAS PROPIEDADES
x
xx
b
a
b
a
yxy
x
aa
a
Para a y b positivos, a ≠ 1 , b ≠ 1 y x y y reales: Leyes de exponentes 1. ax ∙ ay = ax + y 2. (ax)y = axy
3. (ab)x = axbx
4.
5.
6. ax = ay si y sólo si x = y7. Para x ≠ 0 , entonces ax = bx si y sólo sí
a = b
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EJEMPLO
4x-3 = 8 22(x-3)= 23 se expresa el 4 y el 8 como
potencia de 2
2(x – 3) = 23 Propiedad 6
2x – 6 = 3 eliminación de paréntesis y
exponentes
2x = 9 P. suma de igualdad
x = 4 ½ P. multiplicación de la
igualdad
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Aplicación – Crecimiento demográfico
La bacteria Escherichia coli ( E. coli) se encuentra naturalmente en los intestinos de muchos mamíferos. En un experimento de laboratorio, se encuentra que el tiempo de duplicación para la E. coli es de 25 minutos. Si el experimento comienza con una población de 1000 E. coli y no hay ningún cambio en el tiempo de duplicación, ¿cuántas bacterias estarán presentes:
a. en 10 minutos ? b. en 5 horas? = 300 minutos
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P = población en el tiempo tP0 = población en el tiempo t = 0
d = tiempo de duplicación
P = P02t/d
Si t = d P = P02
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P0 = 1,000 d = 25 minutos
a. P = (1,000) (210/25) = 1,320 E. colí
b. P = (1,000) (2300/25) = 4,096,000 = 4.1 x 106 E.
colí
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Decaimiento radiactivo
El oro radiactivo 198(198Au) que se usa en las radiografías del hígado tiene una vida media de 2.67 días. Si se empieza con 50 miligramos del isótopo, ¿Cuántos miligramos quedarán después de: a. ½ día? b. una semana?
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Decaimiento radiactivoA = cantidad al tiempo tA0 = cantidad al tiempo t = 0h = vida media
A = A02-t/h
Cuando t = h A = A02
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Decaimiento radiactivoA0 = 50 mg h = 2.67 días
a. A = 50(2 -.5/2.67) = 50 = 43.9
mg 2.5/2.67
b. A = 50(2 -7/2.67) = 50 = 8.12 mg
2 7/2.67
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Interés compuesto
Si se invierten $1,000 en una cuenta que paga el 10% de interés compuesto mensualmente, ¿cuánto habrá en la cuenta después de 10 años? Redondea a la centésima más cercana.
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Interés compuesto
A = cuenta al final del año t añosP = capitalr = interés compueston = cantidad al año
nt
n
rPA )1(
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Interés compuesto
P = $1,000 r = .10 n = 12 t = 10 años
= $2,707.04 nt
n
rPA )1(
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Ejercicios
Sección 4.1 Pre-Cálculo Funciones y Gráficas-Barnett
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FUNCIONES LOGARÍTMICAS
La forma standard es: logby = x, si y = bx
Y se lee:
log de b y como “log base b de y”
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EJEMPLO:
25 = 52 y = bx función exponencial
x = log by función logarítmica2 = log 525 función logarítmica
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ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA.
1.½ 3 = 1/8
2. 32 = 9
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ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA.
1.½ 3 = 1/8
2. 32 = 9
Log ½ 1/8 = 3
Log 3 9 = 2
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ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL
1. log264 = 6
2. log 61296 = 4
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ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL
1. log264 = 6
2. log 61296 = 4
26 = 64
64= 1296
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Práctica
Cambia a forma exponencial.1. log327=3
2. log366 = ½
3. log3 (1/9) = -2
Cambia a forma logarítmica.1. 64 = 43
2. 2 = 3.
3 8
2416
1
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Práctica
Cambia a forma exponencial.
1. log327=3
2. log366 = ½
3. log3 (1/9) = -2
Cambia a forma logarítmica.
1. 64 = 43
2. 2 =
3.
3 824
16
1
1. 33=27
2.
3. 3-2 = 1/9
636
1. Log4 64 = 3
2. log 8 2 = 1/3
3. Log 4 1/16 = -2
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EVALÚA LOG 816
Sea x = log 816 entonces:
8x = 16(23)x = 24
23x = 24
3x = 4
3 3
3x = 4
x = 4
3
Por lo tanto log 816 =4/3
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EVALÚA LOG 5125
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EVALÚA LOG 5125
Sea x = log 5125 entonces:
5x = 125 5x = 53
x = 3
Por lo tanto log 5125 =3
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PARA TODO NÚMERO POSITIVO ; SE ESTABLECE QUE:
1. logbMN = logb M + logbNPropiedad de productos
2. logbM = logb M - logbN N
Propiedad de cocientes
1 b b,y NM,
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CONTINUACIÓN...
3. logbMk = k logb M
Propiedad de potencia
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Prueba que log3 27 = 3
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Prueba que log3 27 = 3
log3 27 = 3
log3 27 = log3 (3)(9) = log3 3 + log39
log33 = x por lo tanto 3x = 3 x = 1
log3 9 = y por lo tanto 3y = 9 3y = 32
y = 2
1 + 2 = 3
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Escribe en forma logarítmica más simple.
1. log b r uv
2. logb
3. logb
5
3
n
m
5
31
v
u
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Escribe en forma logarítmica más simple.
1. log b r uv
2. logb
3. logb
5
3
n
m
5
31
v
u
1. logb r – (logb u + logb v)
2. 3/5 ( logbm – logb n)
3. 1/3 logb u – 5logb v
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EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo.
1. log3 20 – log 3 4
2. 3log2 x + log 2 y
3. log 8 – 2 log 2+ log 3
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EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. 1. log3 20 – log 3 4
log 3 20 4log 3 5
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EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo.
2. 3log2 x + log 2 y
log 2 x3y
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EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. 3. log 8 – 2 log 2+ log 3
log (8 ) 3 22
log 6
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EXPANDE CADA LOGARÍTMO
1. log 5 x y
2. log 3r4
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EXPANDE CADA LOGARÍTMO
1. log 5 x y
2. log 3r4
log 5 x – log5 y
log 3 + 4log r
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EJERCICIOS
Sección 4.3 Pre-Cálculo Funciones y Gráficas-Barnett
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Definición:
f(x) = ex x es un número real
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Gráfica:y = ex y = e-x
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Aplicación
1. Medicina -Crecimiento bacteriano El cólera es una enfermedad intestinal causada
por la bacteria del cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por la fórmula presentada. Si se empieza con una bacteria , ¿cuántas bacterias habrá en a. 5 horas? b. 12 horas?
Calcule sus respuestas con tres dígitos
significativos.
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N= número de bacterias presentes después de t horas
N0 = número de bacterias presentes cuando t = 0
t = tiempo de duplicaciónN = N0e1.386t
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Aplicación
1. Medicina -Crecimiento bacteriano El cólera es una enfermedad intestinal causada por la
bacteria del cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por la fórmula presentada. Si se empieza con una bacteria , ¿cuántas bacterias habrá en a. 5 horas? b. 12 horas?
Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. N0 = 1 t = 5 horas a. N = 1 e (1.386) (5) = 1,020
t = 12 horas b. N = 1 e(1.386) (12) = e(1.386) (12) = 16,700,000 .
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RESUELVE 4 + x3/2 = 31
4 + x3/2 = 31
x3/2 = 31 -4 x3/2 = 27
x 2723
x ( )33 23 x = 9
323/2
23
7
x
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RESUELVE 3y4/3=768
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RESUELVE 3y4/3=768
3y4/3=768
y = 64
y4/3=768 3
y4/3=256
y =2563/4
y 25634
y ( )28 34
y 26
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RESUELVE 73X = 20
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RESUELVE 73X = 20
73x = 20log 73x = log 20
3xlog 7 = log 20x = log 20 3log 7
Utilizando la calculadora x = 0.513
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RESUELVE LOG (3X + 1) = 5
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RESUELVE LOG (3X + 1) = 5
log (3x + 1) = 5
3x + 1 = 105
3x + 1 = 100,000
3x = 99,999x = 33,333
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RESUELVE 2LOG X- LOG 3 = 2
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RESUELVE 2LOG X- LOG 3 = 2
2log x- log 3 = 2
log x2 = 2 3
x2 = 102
3x2 = 1003
x2 = 300
x 300
x 10 3
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EJERCICIOS
7.5
Examples Exercises
Mixed Exercises