Funciones & Cónicas
José Alfredo Martínez Valdés
Funciones
&
Cónicas José Alfredo Martínez Valdés
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
Función:........................................................ 7
Dominio y rango de una función .................. 7
Igualdad de funciones.................................... 8
Funciones pares e impares ............................. 8
Tipos de funciones....................................... 9
Transformación de funciones:.................... 10
Funciones especiales: ............................... 10
Función valor absoluto ........................... 11 Función compuesta.................................... 12
Ejemplo: ................................................. 13 Función Inversa: ........................................ 13
Función Inyectiva: .................................. 14 Función Sobreyectiva:............................ 14
Función Lineal y = m x + b ............................... 15 Ejemplo de función Lineal.......................... 16
Alternativas para solucionar una ecuación de
segundo grado........................................... 19
Desigualdades: .......................................... 21
Propiedades de Valor Absoluto ................. 23
Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira Matemática Fundamental ***************************************
----------------------------------- José Alfredo Martínez Valdés
iii
Líneas Rectas ............................................24
Distancia entre dos puntos.........................24
Pendiente de la recta ....................................24
Sistemas de Ecuaciones ................................25
Métodos de solución ....................................26
Método de igualación ..................................26
Método de Sustitución ..................................26
Método de Eliminación.................................26
Método Gráfico............................................26
Método de los Determinantes .......................28
Ecuación de Segundo Grado ...........................31 Ecuación General de una Cónica (sin coeficiente B)....................................................................32 Género Parábola .............................................33 Género Elipse ..................................................36
La parábola: .................................................40
Secante y tangente .................................48 Teoremas: ................................................49 Perímetro y Área .......................................51 Semicircunferencia y semicírculo ..............52 Posiciones relativas de dos circunferencias..52 Circunferencias secantes: ......................53 Congruencia ............................................54 Ángulos: ..................................................54 Proporcionalidades en la circunferencia .....58
Hipérbola ........................................................61 Definición: ..................................................61
Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira Matemática Fundamental ***************************************
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. iv
Ecuación de la tangente: .............................. 68
Ejemplo 3 ....................................................... 73 Elipse .............................................................. 74
Definición: .................................................. 74
Elipse de eje focal paralelo al eje Y ................. 76
Ecuación ordinaria:................................... 76 Ecuación general:..................................... 78
EJERCICIOS: .................................................... 86 Funciones Circulares: .......................................... 90
LOGARITMOS Y EXPONENCIALES .................... 99 Propiedades de los logaritmos .................... 108
EJERCICIOS TÍPICOS DE EXAMENES . 109
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
9
Al igual que no todo número real es par o impar (2 es
par, 3 es impar, pero 2,5 no es ni lo uno ni lo otro), no
toda función es par o impar:
Por Ejemplo: Evalúe las siguientes funciones para saber si
son pares o impares
2)( xxf =
senxxf =)(
xxf cos)( =
3)( xxf =
xxxf += 2)(
Tipos de funciones Constante, f (x) = c
Potencia, f (x) = xa , (a constate)
Polinómica, f (x) = an xn + an-1 x
n-1 an-2 xn-2 + …+ a1x
1 + a0x0
Racional, )()()(
xgxfxh =
Algebraicas: (Se obtienen mediante operaciones con
expresiones algebraicas)
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 6
Relaciones y Funciones.
Si A y B son dos conjuntos, se define el producto
cartesiano
A x B = {(a, b) / a∈A y b∈B}
Ejemplo:
Considere los conjuntos:
A = {a, b, c, d}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5),
(b, 1), ( b, 2), ( b, 3), ( b, 4), ( b, 5),
( c, 1), ( c, 2), ( c, 3), ( c, 4), ( c, 5),
( d, 1), ( d, 2), ( d, 3), ( d, 4), ( d, 5)}
Cada una de las parejas ordenas, es un elemento del
conjunto, por tanto tenemos 4x 5 = 20 elementos.
¿Cuántos subconjuntos tiene este conjunto?
Recordemos que un conjunto finito con n elementos,
tendrá 2n Subconjuntos, en este caso,
Tendremos 220 = 1048576.
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
7
Lo interesante es saber, que entre estos conjuntos A y B,
existe un total de 1048576 relaciones.
De ese total, algunas de esas relaciones, alcanzan el
título de función, es decir si algo es una función, es
porque también es una relación, pero existen relaciones
que no cumplen con los requisitos de las funciones.
¿Cuándo una relación es una función?
Función:
Una función f es una regla que asigna a cada elemento
x de un conjunto X un único elemento y de un conjunto
Y. El elemento y se llama imagen de x por f y se denota
por f(x) (Se lee: “f de x”). El conjunto X se llama dominio
de f y el conjunto de todas las imágenes de los
elementos de X se llama el rango o imagen de la
función.
Dominio y rango de una función A menos que se especifique lo contrario, en este libro
entenderemos por dominio de una función el conjunto
de los números reales para los que la función está
definida. Llamaremos a esto el convenio del dominio. Si
una función no está definida en x, entonces x no está en
el dominio de la función.
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 8
Las exclusiones más frecuentes del dominio son
aquellos valores que originan una división por cero y los
valores negativos bajo una raíz cuadrada. En las
aplicaciones, el dominio suele venir dado por el
contexto. Por ejemplo, si x es el número de personas en
un ascensor, el contexto requiere que se excluya a los
número negativos y a los no enteros; así x debe ser un
entero tal que 0≤ x ≤ c, donde c es la capacidad
máxima del ascensor.
Igualdad de funciones
Dos funciones f y g, son iguales si y solo sí
1. f y g tienen el mismo dominio
2. f(x) = g(x) para todo x del dominio
Funciones pares e impares
Una función f se llama
Par si f (-x) = f(x),
Impar si f (-x) = - f(x)
Para todo x del dominio de f
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
13
Ejemplo: Si f(x) = x2 , g(x) = 5x
(g o f)(x)
Se lee: “ g compuesta f” o “g aplicada después de f”, y se
define así:
(g o f)(1)= g ( f (1)) = g(1) = 5(1)
(g o f)(-5)= g ( f (-5)) =
(g o f)(6)= g ( f (6)) =
(g o f)(-15)= g ( f (-15x)) =
(g o f)(12)= g ( f (12)) =
(g o f)(8)= g ( f (8)) =
Función Inversa: Si f es un función y (a, b) pertenece al grafo de la
función f, entonces (b, a) pertenece al grafo de su
inversa f -1
No siempre la inversa de una función, es una función.
Para que f -1 sea una función, se requiere que f, sea una
función biyectiva.
Ejemplos de Funciones y su inversa
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 10
xxxf+−
=1
1)(
Trascendentales:
Logarítmicas f (x) = Log a x (a > 0)
Exponenciales f (x) = ax , ( a ≠ 1)
Trigonométricas = sen(x), cos(x), tan(x),…
Transformación de funciones: Traslaciones verticales y horizontales
Alargamiento y reflexiones
Funciones especiales: Función valor absoluto
Función compuesta
Función inversa
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
11
Función valor absoluto Es una función cuya ecuación es de la forma
f(x) = |x| se define Como:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
≥=
eceroxesmenorqusix
xsixxf
0)(
Figura. 1
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 12
Función compuesta Para realizar (g o f) (x) tomamos un elemento del
dominio de f y obtenemos su imagen f (x); si éste
número pertenece al dominio de g, entonces
calculamos g (f (x)).
El dominio de g o f está formado por todos los valores
de x del dominio de f, para los cuales f (x) pertenece al
dominio de g.
Si f y g son dos funciones tales que el rango de f tiene
elementos comunes con el dominio de g, entonces
podemos definir la función compuesta g o f así:
(g o f)(x) = g ( f (x))
El dominio de g o f es el conjunto de valores de x del
dominio de f para los cuales f (x) pertenece al dominio
de g
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
17
Función cuadrática
Y = ax 2 + b x + c (a distinto de cero)
Las coordenadas (x, y) del vértice, son:
abx
2−
= , a
bacy4
4 2−=
Para encontrar los puntos de corte con el eje horizontal,
se hace y = o. Por tanto, se debe resolver la ecuación:
02 =++ cbxax .
Recuerde que su solución es: a
acbbx2
42 −±−=
(Si a mayor que cero, la parábola se abre hacia arriba).
En este caso, su vértice es un mínimo
Figura No. 3
Si a menor que cero, la parábola se abre hacia abajo
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 14
f (x) = x3 y su inversa g(x) = 3 x
Nota: No todas las funciones tienen una inversa. Para
que una función tenga inversa, se requiere que sea una
función biyectiva1.
Función Inyectiva: Una función f, se dice inyectiva si para todo x, y en el
dominio de f, se cumple que si f (x) = f(y) entonces x = y
En el lenguaje cotidiano: Una función es inyectiva si
cualquiera dos elementos distintos del dominio, tienen
imágenes distintas.
Función Sobreyectiva: Una función f, se dice sobreyectiva si para todo, y en el
codominio de f, se cumple que si f-1 (y) = x. para algún x,
en el dominio de la función.
En el lenguaje cotidiano: Una función es sobreyectiva
(sobre) si cada elemento del codominio, tienen al menos
una preimagen.
Note:
f y g, son funciones mutuamente inversas. Se debe
cumplir que
1 Si f es una función, se dice que f es biyectiva si es inyectiva y además sobreyectiva.
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
15
f og (x) = g o f (x)= la función identidad2 = I(x)
Ejercicio:
Evalúe si la función f(x) = x2 – 16 tiene inversa. En caso
afirmativo, escríbala.
Función Lineal
y = m x + b
Su gráfica siempre es una línea recta
Figura No. 2
2 I(x) usualmente, denota la función identidad f(x) = x
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 16
Ejemplo de función Lineal Suponga que un comprador tiene un total de 100.000
pesos para gastos. Los precios de corbatas y camisas son
fijos. El costo de las camisas es de $ 20.000 por unidad y
el de las corbatas es $10.000 por prenda. Partiendo del
hecho de que este hombre gasta todo su dinero en
alguna combinación de corbatas y camisas:
A. Trace una gráfica que describa esta situación
(Camisas en el eje x, corbatas en el eje y)
Explique el significado del punto (0, 10)
Interprete el significado del punto (5, 0)
Ejemplo de función lineal
20.000X + 10.000y = 100.000
Simplificando, se tiene 2x + y = 10;
y = -2X + 10
¿Cuántas corbatas y cuántas camisas?
Si no compra ninguna camisa, puede comprar
y = 100000/10000 = 10
Si no compra ninguna corbata, puede comprar
y = 100000/20000 = 5 camisas
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
21
Desigualdades:
o Intervalos
o Desigualdades Lineales
o Desigualdades Cuadráticas
o Desigualdades Polinómicas
o Desigualdades Con Valor Absoluto
Clasificación de Intervalos
Abiertos (3,8)
Cerrados [4, 21]
Abierto - Cerrado (-1, 6]
Cerrado - Abierto [ 3, 9),
Desigualdades Lineales:
• 2U -11< 5U + 6
• 3X – 5 < 1 + X < 2X - 3
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 18
En este caso, su vértice, es un máximo
Figura No. 4
y = -2 x 2 + 6 x - 5
Figura No. 5
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
19
Alternativas para solucionar una ecuación de segundo grado
Por factorización
Completando cuadrado
Por fórmula
Solucione las siguientes ecuaciones,
por factorización
• X2 - 7X + 12 = 0
• 6X2 + (5/2)X + (1/4) = 0
Solucione las siguientes ecuaciones, completando el
cuadrado.
• 2X2 + 3X – 4 = 0 • (x + 1)2 = 2(x – 1)2
• 5x(x + 2) + 6 = 0
Soluciones las siguientes ecuaciones, usando la fórmula
• 7x + 6x – 1 = 0
• x( x + 1)(x + 3) = (x +2)2
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 20
Ejemplo de aplicación
Un capital de $100 se invierte a cierto interés a un año;
luego, junto con el interés ganado, se invierte en el
segundo año a un interés igual al doble de la primera
tasa de interés. Si la suma total obtenida es de $ 112.32,
¿Cuáles son las dos tasas de interés?
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
25
12
12
xxyym
−−
=
Pendiente es entonces cateto opuesto sobre cateto
adyacente
Pendiente es también = tanθ
(θ : Ángulo que forma la recta con el eje horizontal)
Ejemplos
Encuentre las ecuaciones de las rectas que:
Pasa por (2, -1) y es paralela a la recta
3x + y -2 = 0
Pas por (0, -1) y es paralela a la recta determinada
por (2,2) y (3,1)
Sistemas de Ecuaciones
a1x + b1y = c1
a2 x + b2y = c2
Donde a1, b1, c1, a2, b2, c2, son seis constantes
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 22
Ejemplos de Aplicación
Desigualdad Lineal
Un fabricante puede vender todas las unidades que
puede produce al precio de 30 dólares cada una. Tiene
costos fijos de 12.000 dólares al mes; y además, le cuesta
22 dólares producir y vender cada artículo. ¿Cuántas
unidades debe producir y vender al mes para obtener
ganancias?
Desigualdad cuadrática
Resuelva la siguiente desigualdad
X2 + 13 < 6x
Ejemplo de Desigualdad Cuadrática
Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y
tiene 200 yardas de cerca disponible. Encuentre las
dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de
al menos 2100 yardas cuadradas.
Ejemplos de Desigualdades con Valor Absoluto
|3 -7x| = 4
|2x - 3| = x – 4
|3x - 2| + |2x -7| < 0
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
23
Propiedades de Valor Absoluto
1. | x | >= 0
2. Si |a| = b, (donde b >= 0) entonces a=b o a = -b
3. Si |a| = |b|, entonces a=b o a = -b
4. | x |2 = x2
5. | -a | = | a |
6. -| a | ≤ a ≤ | a |
7. Sea a 0≥ ; | x | < a si y solo si -a < x < a
8. Sea a > 0; | x | > a si y solo si x >a o bien x< a
9. |ab| = | a || b |
10. | a/b | = |a | / | b | (b diferente de 0)
11. | a + b | ≤ | a |+| b |
Ejemplo de desigualdad
Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella
y lo vende a p dólares por botella. El volumen de ventas
x (en cientos de miles de botellas a la semana) está dado
por x = 24 – 2p cuando el precio es p ¿Qué valor de p
arroja un ingreso total de $7 millones por semana?
¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de
licores de al menos $4.8 millones por semana?
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 24
Líneas Rectas
Líneas rectas y ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones
Aplicaciones al análisis en la administración
Oferta y Demanda
Distancia entre dos puntos
Si P (x1, y1) y Q (x2 , y2) son dos puntos cualesquiera en el
plano, entonces la distancia d = 212
212 )()( yyxx −+−
Definición: La gráfica de una ecuación con dos
incógnitas, tales como x y y, es el conjunto de todos lo
puntos cuyas coordenadas (x, y) satisfacen la ecuación
Ax + Bx + C = 0
Ecuación de una recta
Pendiente de la recta
La pendiente de una recta se define como la tangente
del ángulo que la recta hace con el eje horizontal, en la
dirección positiva de las x
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
29
Ejemplo de aplicación.
Un almacén de productos químicos tiene dos tipos de
soluciones ácidas. Una de ellas contiene 25% de ácido y
la otra 15% de ácido. ¿Cuántos galones de cada tipo
deberá mezclar para obtener 200 galones de mezcla
que contengan 18% de ácido?
Sistemas de ecuaciones 3x3
. x + 3y + 4z = 1
2x + 7y + 3z = -7
3x + 10y + 8z = -3
Solución de un sistema 3x3
A =
333
222
111
cbdcbdcbd
B =
333
222
111
cdacdacda
C =
333
222
111
dbadbadba
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 26
Métodos de solución
Igualación
Sustitución
Eliminación
Método Gráfico
Determinantes
Método de igualación
3x + 5t = 12 y 4x – 3t = -13
Método de Sustitución
5x -7y + 2 = 0 y 15x - 21y = 7
Método de Eliminación
2y + x = 4
3x + 6y = 12
Método Gráfico
4x – y = -2
3x + 4y = 27
Consiste en trazar las dos rectas, en un mismo sistema de
coordenadas. El punto donde se interceptan las dos,
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
27
corresponde a la solución, en este caso, la solución es el
punto (1, 6)
Figura No. 6
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 28
Método de los Determinantes
A = 22
11
bcbc
B = 22
11
caca
C = 22
11
baba
Solución por Determinantes
Si H = dcba
, entonces determinante de H (det H)
)(det bcadH −=
CAx
detdet
=
CBy
detdet
=
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
33
(A ≥ 0 ∧ A 2 + C 2 > 0)
Discusión:
1) A C = 0 ⇒ género parábola
2) A C > 0 ⇒ género elipse
3) A C < 0 ⇒ género hipérbola
Género Parábola
1) C D ≠ 0 ⇒ parábola con eje de simetría
paralelo al eje X
2) A E ≠ 0 ⇒ parábola con eje de simetría
paralelo al eje Y
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 30
D =
333
222
111
cbacbacba
Si M =
333
222
111
cbacbacba
,
Mdet = + 1a33
22
cbcb
- 1b33
22
caca
+ 1c33
22
bcba
DAx
detdet
=
DBy
detdet
=
DCz
detdet
=
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
31
Ecuación de Segundo Grado
A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 ( B ≠ 0 )
Discusión:
1) B 2 – 4 A C = 0 ⇒ género parábola
2) B 2 – 4 A C < 0 ⇒ género elipse
3) B 2 – 4 A C > 0 ⇒ género hipérbola
Eliminación del Coeficiente B
Para eliminar el coeficiente B, se deben girar los ejes en
un ángulo positivo agudo θ , de acuerdo a lo siguiente:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=θ⇒≠
=θ⇒=
C–ABarctg
21CA)2
º45CA)1
Una vez efectuada esa operación, la nueva ecuación
queda de la forma:
A’ x’ 2 + C’ y’ 2 + D’ x’ + E’ y’ + F’ = 0
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 32
Donde:
A’ = A cos2 θ + B sen θ cos θ + C sen2 θ
C’ = A sen2 θ – B sen θ cos θ + C cos2 θ
D’ = D cos θ + E sen θ
E’ = E cos θ – D sen θ
F’ = F
Ecuación de la tangente en un punto dado de la cónica
Dada la ecuación general de la cónica:
A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0
La ecuación general de la tangente en el punto
P (x 0, y 0) de la cónica, es:
( ) ( ) ( ) 0Fyy2Exx
2DyyCxyyx
2BxxA 000000 =++++++++
Ecuación General de una Cónica (sin coeficiente B)
A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
37
Ejemplo: 25 x 2 + 64 y 2 – 1600 = 0
Figura No. 10
x
y
-15 -10 -5 0 5 10 15
-5
0
5
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 34
Ejemplo: x 2 – 2 y – 14 = 0
Figura No. 7
Figura No. 8
x
y
-15 -10 -5 0 5 10 15
-5
0
5
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
35
Casos Particulares:
3) A = D = 0
a) E 2 – 4 C F > 0 ⇒ 2 rectas
paralelas al eje X
b) E 2 – 4 C F = 0 ⇒ 1 recta
paralela al eje X
c) E 2 – 4 C F < 0 ⇒ ningún
lugar geométrico
4) C = E = 0
a) D 2 – 4 A F > 0 ⇒ 2 rectas
paralelas al eje Y
b) D 2 – 4 A F = 0 ⇒ 1 recta
paralela al eje Y
c) D 2 – 4 A F < 0 ⇒ ningún
lugar geométrico
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 36
Género Elipse
1) CD 2 + AE 2 – 4 ACF > 0
a) A = C ⇒ Circunferencia
b) A < C ⇒ Elipse con eje focal paralelo
al eje X
c) A > C ⇒ Elipse con eje focal paralelo
al eje Y
Ejemplo: x 2 + y 2 – 49 = 0
Figura No. 9
x
y
-15 -10 -5 0 5 10 15
-5
0
5
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
41
Ejemplo 1: Encontrar una ecuación de la parábola que
tenga su foco en (0,-3) y como su directriz a la recta y =
3. Trazar la gráfica.
Ejemplo 2: Un espejo parabólico tiene una profundidad
de 12cm en el centro y la distancia a lo largo de su parte
superior es de 32cm, Calcular la distancia del vértice al
foco.
Teorema 2a: Si p es la distancia dirigida del vértice al
foco, una ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y
con su eje paralelo al eje x es:
(y – k)2 = 4p(x – h)
Una parábola con l mismo vértice y con su eje paralelo
al eje y tiene por ecuación
(x – h)2 = 4p (y – k)
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 38
Casos Particulares
2) CD 2 + AE 2 – 4 ACF = 0 ⇒ un punto
3) CD 2 + AE 2 – 4 ACF < 0 ⇒ ningún
lugar geométrico
Género Hipérbola
1 ) CD 2 + AE 2 – 4 ACF < 0 ⇒ hipérbola con
eje focal paralelo al eje X
2 ) CD 2 + AE 2 – 4 ACF > 0 ⇒ hipérbola con
eje focal paralelo al eje Y
Ejemplo: 9 x 2 – 16 y 2 – 144 = 0
Figura No. 10a
x
y
-15 -10 -5 0 5 10 15
-5
0
5
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
39
Caso Particular
3) CD 2 + AE 2 – 4 ACF = 0 ⇒ 2 rectas secantes
Ecuación de la tangente en un punto dado de la cónica
Dada la ecuación general de la cónica:
A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0
(A ≥ 0 ∧ A 2 + C 2 > 0)
La ecuación general de la tangente en el punto P (x 0, y 0)
de la cónica, es:
( ) ( ) 0Fyy2Exx
2DyyCxxA 0000 =++++++
Secciones cónicas:
Una sección cónica es una curva de intersección de un
plano con un cono circular recto. Hay tres tipos de
curvas que se obtienen de esta manera: la parábola, la
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 40
elipse, la hipérbola. La curva resultante, depende de la
inclinación del eje del cono relativa al plano que lo corta.
La parábola:
Definición 1: Una parábola es el conjunto de todos los
puntos en un plano, equidistantes de un punto fijo y
una recta fija. El punto fijo se llama foco y la recta fija se
llama directriz.
Teorema 1a: La ecuación de una parábola que tiene su
foco (p, 0) y como su directriz la recta
x = -p es:
y2 = 4px
Teorema 1a: La ecuación de una parábola que tiene su
foco (0, p) y como su directriz la recta
y = -p es:
x2 = 4py
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
45
Teorema: La cónica central que tiene como ecuación:
1)1( 22
2
2
2
=−
+ea
yax
Es una elipse.
Aquí, b = a 21 e− , transformando la ecuación en
1169
22
=−yx
Encontrar los vértices, focos, directrices, excentricidad y
longitud de los ejes transverso y conjugado. Hacer un
dibujo de la hipérbola y señalar los focos y las directrices.
Solución: a = 3 y b = 4, los vértices, están en los puntos (-
3, 0) y (3,0), el número de unidades del eje transverso es
2a = 6 y el eje conjugado es 2b = 8, como b = a 12 −e ,
entonces e = 35 , los focos están en (-5, 0) y (5,0), las
directrices son ± ae = ± 59
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 42
Ejemplo 3:
Hallar una ecuación de la parábola que tiene por
directriz la recta y = 1 y por foco el punto F (-3, 7).
Solución: Ya que la directriz es paralela al eje x, el eje será
paralelo al eje y, y la ecuación tendrá la forma: (x – h)2 =
4p (y – k). Como el vértice está a la mitad entre la
directriz y el foco, V tiene las coordenadas (-3, 4). La
distancia dirigida del vértice al foco es p, así:
P = 7 – 4 = 3
Por lo tanto, una ecuación es: (x +3)2 = 12(y – 4)
Al resolver, se tiene que x2 + 6x -12y + 57 = 0
Ejemplo: Dada la parábola que tiene por ecuación y2 +
6x + 8y + 1 = 0, hallar el vértice, el foco, una ecuación de
la directriz, una ecuación del eje y la longitud del lado
recto y trazar la gráfica.
Solución: al reagrupar y completar el cuadrado, quedará
(y + 4)2 = - 6(x - 25 ) con h = -4, k = 2
5 , p = 23
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
43
Por tanto, el vértice, está en ( 25 , -4), una ecuación del eje,
y = -4; foco está en (1, -4); una ecuación de la directriz es
x = 4, y la longitud del lado recto es 6
Lado Recto: Cuando trazamos la gráfica de una
parábola, conviene dibujar la cuerda a través del foco,
perpendicular al eje de la parábola, porque los extremos
de esta cuerda dan dos puntos de la parábola. Esta
cuerda se llama lado recto de la parábola. La longitud
del lado recto es |4p|
Excentricidad:
La razón constante e = 1
Teorema: Si e es la excentricidad de una cónica no
degenerada, entonces si e ≠ 1, la cónica tiene dos
vértices; si e = 1, la cónica tiene solamente uno.
Si 0 < e <1, la cónica es una elipse y si e>1, la cónica es
una hipérbola.
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 44
Teorema: La cónica central que tiene como ecuación:
1)1( 22
2
2
2
=−
+ea
yax
Es una elipse.
Aquí, b = a 21 e− , transformando la ecuación en
12
2
2
2
=+by
ax
Teorema: La cónica central que tiene como ecuación:
1)1( 22
2
2
2
=−
+eay
ax
Es una hipérbola.
Aquí, b = a 12 −e , transformando la ecuación en
12
2
2
2
=−by
ax
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
49
Figura No. 13
Teoremas:
Teorema 1: Sea AB cuerda de la circunferencia de
centro O, S simetral de AB , C punto medio de AB y
D punto de AB , entonces:
a) O ∈ S
b) OD ⊥ AB ⇔ D = C
Figura No. 14
Teorema 2: En toda circunferencia, dos cuerdas son
congruentes si y sólo si están a igual distancia del centro
de ésta.
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 46
Circunferencia:
Definición:
Sea O punto del plano ( P ) y r un real positivo,
entonces se denomina circunferencia de centro O y
radio r ( C ( O , r ) ), al conjunto formado por y sólo por
los puntos del plano ( P ) que están a una distancia r
del punto O.
C ( O , r ) = { A ∈ ( P ) : OA = r }
Círculo:
Se define como círculo de una circunferencia, a la
unión de ésta con su interior.
Ejemplo: En la figura 11, se ha dibujado una
circunferencia con su
círculo.
Figura No. 11
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
47
Elementos de la Circunferencia
Radio
Se denomina radio de una circunferencia, a todo trazo
cuyos extremos son un punto de la circunferencia y el
centro de ella. Su longitud se designa por r.
Ejemplo: En la figura 11, OA es radio de la
circunferencia.
Cuerda, diámetro y arco
Se denomina cuerda de una circunferencia, a todo trazo
cuyos extremos pertenecen a ella. Si el centro de la
circunferencia pertenece a dicha cuerda, ésta recibe el
nombre de diámetro de la circunferencia.
Al subconjunto de la circunferencia determinado por
esta cuerda se le denomina arco de la circunferencia.
Ejemplo: En la figura 12, AB es cuerda, es arco y
CD es diámetro de la circunferencia.
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 48
Figura No. 12
La longitud del diámetro se designa generalmente por
d y se cumple que:
d = 2r
Secante y tangente
Se denomina secante de una circunferencia a toda recta
que la intercepta en dos puntos. Si una recta la
intercepta en un y sólo un punto se llama tangente de
la circunferencia.
Ejemplo: En la figura 13, L es secante y T es tangente a
la circunferencia en el punto C. Al trazo OC se le
llama radio de contacto.
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
53
Circunferencias secantes:
Figura No. 17
Circunferencias concéntricas:
Figura No. 18
Circunferencias tangentes exteriormente:
Figura No. 19 Circunferencias tangentes interiormente:
Figura No. 20
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 50
Figura No. 15
Teorema 3: En toda circunferencia, el radio de contacto
es perpendicular a la tangente respectiva.
Ejemplo: En la figura 13, OC ⊥ T.
Teorema 4: En toda circunferencia, si desde un punto
exterior a ella se trazan dos rayos tangentes a la
circunferencia, los segmentos determinados son
congruentes y además, la bisectriz del ángulo que
forman esos rayos, pasa por el centro de la
circunferencia.
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
51
Figura No. 16
Perímetro y Área
Dada una circunferencia de radio r, entonces su
perímetro y el área de su círculo son:
Perímetro de la circunferencia = 2 π r
Área del círculo = π r ²
Teorema 5: Dadas dos circunferencias de radios r y r’,
entonces:
),()','('
rOCnciacircunfereladePerímetrorOCnciacircunfereladePerímetro
= r'r
)r,O(CcírculodelArea)'r,'O('CcírculodelArea
= 2
r'r⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 52
Ejemplo: Si los radios de dos circunferencias están en la
razón 2 : 3 , entonces sus perímetros están en la razón
2 : 3 y sus círculos en la razón 4 : 9 , respectivamente.
Semicircunferencia y semicírculo
En toda circunferencia de radio r, cada diámetro
determina en ella dos semicircunferencias y dos
semicírculos. Además se cumple que:
Perímetro de la semicircunferencia = π r
Área del semicírculo = 2r 2π
Posiciones relativas de dos circunferencias
Dadas dos circunferencias coplanares, C ( O , r ) y C' (
O' , r' ) se dan, entre otras, las siguientes situaciones:
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
57
Figura No. 25
Ángulo semi-inscrito
Un ángulo está semi-inscrito a una circunferencia si y
sólo si su vértice pertenece a ella, un lado es secante y
el otro es tangente a esa circunferencia.
Figura No. 26
Ángulo interior
Ángulo interior de una circunferencia, es aquel cuyo
vértice está en el interior de ella.
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 54
Congruencia
Dos circunferencias son congruentes si y sólo si sus
radios son de igual medida.
C' (O’, r’) ≅ C (O, r) ⇔ r' = r
Ángulos:
Ángulo del centro
Ángulo del centro de una circunferencia es aquel cuyo
vértice es el centro de ella.
Figura No. 21
Observación: A la intersección del interior de un ángulo
del centro con el círculo de la circunferencia
respectiva, se le denomina sector circular.
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
55
Teorema 6: En toda circunferencia, la magnitud de un
ángulo del centro y la longitud del arco
comprendido respectivo, son directamente
proporcionales. Lo mismo ocurre entre el ángulo del
centro y el área del sector circular correspondiente.
Figura No. 22
Teorema 7: En toda circunferencia, las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
a. Las cuerdas son congruentes.
b. Los arcos subtendidos por ellas son congruentes.
c. Los ángulos del centro correspondientes son
congruentes.
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 56
Figura No. 23
Ángulo inscrito
Ángulo inscrito en una circunferencia, es aquel cuyo
vértice pertenece a ella y sus lados son secantes a la
circunferencia.
Figura No. 24
Teorema 8: Todo ángulo inscrito en una
semicircunferencia es recto.
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
61
Hipérbola
Definición: Hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos del
plano y solamente aquellos, tal que el valor absoluto de
la diferencia entre las distancias a dos puntos del plano,
llamados focos de la hipérbola, es constante y menor
que la distancia entre ellos.
Hipérbola de eje focal paralelo al eje X
Ecuación ordinaria:
1b
)k–y(–a
)h–x(2
2
2
2=
( a > 0 ∧ b > 0 )
Centro: C (h, k)
Focos: F 1 ( h + c , k ) F 2 ( h – c , k )
22 bac +=
Vertices: V 1 ( h + a , k ) V 2 ( h – a , k )
Ecuación del eje focal: y = k
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 58
Figura No. 27
Ángulo exterior
Ángulo exterior de una circunferencia, es aquel cuyo
vértice está en el exterior de ella y sus lados la intersecan.
Figura No. 28
Proporcionalidades en la circunferencia
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
59
Teorema de las cuerdas
En cada circunferencia, si dos cuerdas se intersecan en
su interior, entonces los segmentos determinados en
cada una de ellas, son inversamente proporcionales.
Al producto de las magnitudes de esos segmentos de
cada cuerda, se le denomina potencia del punto interior
(punto de intersección).
Figura No. 29
Teorema de las secantes
En cada circunferencia, si dos secantes a ella se
intersecan en su exterior, entonces los segmentos
exteriores y mayores determinados en cada una de ellas,
son inversamente proporcionales.
Al producto de las magnitudes de esos segmentos de
cada secante, se le denomina potencia del punto
exterior (punto de intersección).
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 60
Figura No. 30
Teorema de la secante y tangente
En cada circunferencia, si una tangente y una secante a
ella se intersecan en su exterior, entonces el segmento
determinado en la tangente es media proporcional
geométrica entre los segmentos exteriores y mayores
determinados en la secante.
Al producto de las magnitudes de esos segmentos de la
secante, se le denomina potencia del punto exterior
(punto de intersección).
Figura No. 31
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
65
A2D–h =
C2E–k =
2
222
CA4FCA4–DCEAa +=
CA4FCA4–DCEA–b
2
222 +=
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 62
Ecuación del eje normal: x = h
Ecuación de las directrices:
cahx
2±=
Ecuación de las asíntotas:
ka
)h–x(by +±=
Distancia focal = 2 c
Longitud del eje transverso = 2 a
Longitud del eje conjugado = 2 b
Longitud del lado recto = ab2 2
Excentricidad: e = ac
> 1
Ecuación general: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0
( A > 0 ∧ C < 0 ∧ A E 2 + C D 2 – 4 A C F < 0 )
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
63
A2D–h =
C2E–k =
CA4FCA4–DCEAa
2
222 +=
2
222
CA4FCA4–DCEA–b +=
Hipérbola de eje focal paralelo al eje Y
Ecuación ordinaria:
1
b)h–x(–
a)k–y(
2
2
2
2=
( a > 0 ∧ b > 0 )
Centro: C (h, k)
Focos: F 1 (h, k + c) F 2 (h, k – c)
22 bac +=
Vértices: V 1 ( h , k + a ) V 2 ( h , k – a )
Ecuación del eje focal: x = h
Ecuación del eje normal: y = k
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 64
Ecuación de las directrices: caky
2±=
Ecuación de las asíntotas: k
b)h–x(ay +±=
Distancia focal = 2 c
Longitud del eje transverso = 2 a
Longitud del eje conjugado = 2 b
Longitud del lado recto = ab2 2
Excentricidad: e = ac
> 1
Ecuación general: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0
( A > 0 ∧ C < 0 ∧ A E 2 + C D 2 – 4 A C F > 0 )
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
69
La ecuación de la tangente a la hipérbola en el punto P
(x 0, y 0) es:
1b
)h–x()h–x(–
a)k–y()k–y(
20
20 =
c) Dada la ecuación general de la hipérbola:
A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0
La ecuación general de la tangente a la hipérbola
en el punto P (x 0, y 0) es:
( ) ( ) 0Fyy2Exx
2DyyCxxA 0000 =++++++
2) Dada la pendiente m de la tangente:
a) Dada la ecuación ordinaria de la hipérbola de
eje focal paralelo al eje X:
1b
)k–y(–a
)h–x(2
2
2
2=
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 66
Ejemplo 1
Figura No. 32
Ecuación general:
16 x 2 – 9 y 2 – 32 x + 54 y – 209 = 0
Ecuación ordinaria:
1
16)3–y(–
9)1–x( 22
=
Centro: C (1, 3)
Focos: F 1= (6, 3) F 2 = (– 4, 3)
x
y
-15 -10 -5 0 5 10 15
-5
0
5
10
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
67
Vértices: V 1 (4, 3) V 2 (– 2, 3)
Ecuación del eje focal: y = 3
Ecuación del eje normal: x = 1
Ecuaciones de las directrices: x 1 = 2,8
x 2 = – 0,8
Ecuaciones de las asíntotas:
4 x – 3 y + 5 = 0 4 x + 3 y – 13 = 0
Distancia focal = 10
Longitud del eje transverso = 6
Longitud del eje conjugado = 8
Longitud del lado recto = 3
32
Excentricidad: e = 35
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 68
Ecuación de la tangente:
1) Dado el punto de contacto P (x 0, y 0):
a) Dada la ecuación ordinaria de la hipérbola de eje
focal paralelo al eje X:
1b
)k–y(–a
)h–x(2
2
2
2=
La ecuación de la tangente a la hipérbola en el punto P
(x 0, y 0) es:
1b
)k–y()k–y(–
a)h–x()h–x(
20
20 =
b) Dada la ecuación ordinaria de la hipérbola de eje
focal paralelo al eje Y:
1b
)h–x(–a
)k–y(2
2
2
2=
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
73
Ejemplo 3
Ecuación ordinaria de la hipérbola:
12
)3–x(–24
)1–y( 22=
Ecuaciones principales de las tangentes de pendiente
m = 2:
y = 2 x – 1
y = 2 x – 9
x
y
-15 -10 -5 0 5 10 15 20
-5
0
5
10
Figura No. 34
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 70
Las ecuaciones principales de las tangentes de
pendiente m son:
y = m (x – h) + k + 222 b–ma
| M | > ab
y = m (x – h) + k – 222 b–ma
b) Dada la ecuación ordinaria de la hipérbola de
eje focal paralelo al eje Y:
1b
)h–x(–a
)k–y(2
2
2
2=
Las ecuaciones principales de las tangentes de
pendiente m son:
y = m (x – h) + k + 222 mb–a
| M | < ba
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
71
y = m (x – h) + k – 222 mb–a
Ejemplo 2
Ecuación ordinaria de la hipérbola:
14
)2–y(–9
)1–x( 22=
Ecuación general de la hipérbola:
4 x 2 – 9 y 2 – 8 x + 36 y – 68 = 0
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 72
Ecuación de la tangente en el punto
P ( 5,5 , 2 + 5 ) : 2 x – 5 y + 2 5 – 6 = 0
Figura No. 33
x
y
-4 -2 0 2 4 6 80
2
4
6
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
77
Focos: F 1 (h, k + c) F 2 (h, k – c)
22 b–ac =
Vértices: V 1 ( h , k + a ) V 2 ( h , k – a )
Ecuación del eje focal: x = h
Ecuación del eje normal: y = k
Ecuación de las directrices: caky
2±=
Distancia focal = 2 c
Longitud del eje mayor = 2 a
Longitud del eje menor = 2 b
Longitud del lado recto = ab2 2
Excentricidad: e = ac
< 1
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 74
Elipse
Definición: Elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del
plano y solamente aquellos, tal que la suma de las
distancias a dos puntos de él, llamados focos de la elipse,
es constante y mayor que la distancia entre estos.
Elipse de eje focal paralelo al eje X
Ecuación ordinaria:
1b
)k–y(a
)h–x(2
2
2
2=+ (a > b > 0)
Centro: C (h, k)
Focos: F 1 ( h + c , k ) F 2 ( h – c , k )
22 b–ac =
Vértices: V 1 ( h + a , k ) V 2 ( h – a , k )
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
75
Ecuación del eje focal: y = k
Ecuación del eje normal: x = h
Ecuación de las directrices: cahx
2±=
Distancia focal = 2 c
Longitud del eje mayor = 2 a
Longitud del eje menor = 2 b
Longitud del lado recto = ab2 2
Excentricidad: e = ac
< 1
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 76
Ecuación general: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0
( C > A > 0 ∧ A E 2 + C D 2 – 4 A C F > 0 )
A2D–h =
C2E–k =
CA4FCA4–DCEAa
2
222 +=
2
222
CA4FCA4–DCEAb +=
Elipse de eje focal paralelo al eje Y
Ecuación ordinaria:
1a
)k–y(b
)h–x(2
2
2
2=+ (a > b > 0)
Centro: C (h, k)
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
81
La ecuación de la tangente a la elipse en el punto
P (x 0, y 0) es:
1b
)k–y()k–y(a
)h–x()h–x(2
02
0 =+
b) Dada la ecuación ordinaria de la elipse de eje
focal paralelo al eje Y:
1a
)k–y(b
)h–x(2
2
2
2=+
La ecuación de la tangente a la elipse en el punto
P (x 0, y 0) es:
1a
)k–y()k–y(b
)h–x()h–x(2
02
0 =+
c) Dada la ecuación general de la elipse:
A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 78
Ecuación general: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0
( A > C > 0 ∧ A E 2 + C D 2 – 4 A C F > 0 )
A2D–h =
C2E–k =
2
222
CA4FCA4–DCEAa +=
CA4
FCA4–DCEAb2
222 +=
Ejemplo 1
Figura No. 35
x
y
-10 -5 0 5 10 15 20
-5
0
5
10
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
79
Ecuación general:
9 x 2 + 25 y 2 – 72 x – 100 y – 656 = 0
Ecuación ordinaria:
136
)2–y(100
)4–x( 22
=+
Centro: C (4, 2)
Focos: F 1 (12, 2) F 2 (– 4, 2)
Vértices: V 1 (14, 2) V 2 (– 6, 2)
Ecuación del eje focal: y = 2
Ecuación del eje normal: x = 4
Ecuación de las directrices:
x 1 = 16,5 x 2 = – 8,5
Distancia focal = 16
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 80
Longitud del eje mayor = 20
Longitud del eje menor = 12
Longitud del lado recto = 7,2
Excentricidad: e = 0,8
Ecuación de la tangente
1) Dado el punto de contacto P (x 0, y 0):
a) Dada la ecuación ordinaria de la elipse de eje
focal paralelo al eje X:
1b
)k–y(a
)h–x(2
2
2
2=+
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
85
x
y
-5 0 5 10 150
5
10
Figura No. 36
Ejemplo 3
Ecuación ordinaria de la elipse:
132
)2–y(8
)1–x( 22=+
Ecuaciones principales de las tangentes de pendiente
m = 2:
y = 2 x + 8
y = 2 x – 8
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 82
La ecuación general de la tangente a la elipse en
el punto P (x 0, y 0) es:
( ) ( ) 0Fyy2Exx
2DyyCxxA 0000 =++++++
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
83
2) Dada la pendiente m de la tangente:
a) Dada la ecuación ordinaria de la elipse de eje
focal paralelo al eje X:
1b
)k–y(a
)h–x(2
2
2
2=+
Las ecuaciones principales de las tangentes de
pendiente m son:
y = m (x – h) + k + 222 bma +
y = m (x – h) + k – 222 bma +
b) Dada la ecuación ordinaria de la elipse de eje
focal paralelo al eje Y:
1a
)k–y(b
)h–x(2
2
2
2=+
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 84
Las ecuaciones principales de las tangentes de
pendiente m son:
y = m (x – h) + k + 222 amb +
y = m (x – h) + k – 222 amb +
Ejemplo 2
Ecuación ordinaria de la elipse:
18
)4–y(32
)7–x( 22=+
Ecuación general de la elipse:
x 2 + 4 y 2 – 14 x – 32 y + 81 = 0
Ecuación general de la tangente en el punto
P (3, 2): x + 2 y – 7 = 0
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
89
23. 4x 2 = y2 - 4y + 8
24. 4x2 - 5y2 - 16x + 10y + 31 = 0
En los ejercicios 25 al 29, encontrar la ecuación de la
hipérbola que satisface las, condiciones dadas:
25. Focos F (± 8, O) Vértices V (± 5, O)
26. Focos F (O, ± 3), longitud del eje
conjugado 2
27. Vértices V(± 10,0) , ecuaciones de las asíntotas y =
±21
x
28. Centro en C(2, -3), Focos en (2± 13 , -3) y excentricidad
de 213
29. Vértices V(± 6,0), pasa por el punto (10,4),
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 86
x
y
-10 -5 0 5 100
5
Figura No. 37
EJERCICIOS:
(Secciones Cónicas)
Encontrar el foco y la directriz de las parábolas que
tienen por ecuación:
1. x2 = 4y
2. x2 = - 6y
3. y2 = 3x
4. 6 (x - 5)2 = 8 - y
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
87
5. y2 - 20y + 100 = 6x
En los ejercicios 6 a 10, encontrar la ecuación de la
parábola que satisface condiciones dadas.
6. Vértice (- 3, 1), foco (0, 1)
7. Vértice (0, 1), directriz y = 2
8. Foco (- 6, 0), directriz x = 0
9. Vértice en el origen, simétrica con respecto
al eje y, pasa por el punto A (3, - 2)
10. Vértice en V (1, - 4), eje paralelo al eje x,
pasa por A (- 6,7)
Determinar las coordenadas de los vértices, focos y
extremos del eje menor de las siguientes ecuaciones
11. 12549
22
=+yx
12. y 2+ 25x2 = 25
13. 14
)2(16
)1( 22
=−
+− yx
14. 4x2 + y2 + 24x - 10y + 45 = O
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 88
En los ejercicios 15 a 19 encontrar la ecuación de la
elipse que satisface las condiciones dadas.
15. Vértices V (0 ,± 8), focos F (O, ± 5)
16. Centro C ( - 3, O), focos F ( - 3, - 2), a = 4
17. Vértices V(±5, O) longitud del eje menor 3
18. Focos F(±1, 1) y pasa por el origen
19. Excentricidad 32
y la recta x = 9 es la directriz
correspondiente al foco (4, 0)
20. Encontrar los puntos de intersección de las gráficas
representadas por las ecuaciones:
x2 + 4y2 = 20
x + 2y = 6
En los siguientes ejercicios encontrar las coordenadas
del centro, de los vértices y de los focos y las ecuaciones
de las asíntotas.
21. 12549
22
=−yx
22. 16x2 - 36y2 = 1
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
93
arctan
Sen
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 90
30. Encontrar los puntos de intersección de las gráficas
representadas por las ecuaciones siguientes:
y2 - 4x2 = 16
y – x = 4
Funciones Circulares:
HipoenusaOpuestoSeno =
OpuestoHipotenusaecante =cos
AdyacenteOpuestoTangente =
OpuestoAdyacentegenteCo =tan
HipoenusaAdyacenteCoseno =
OpuestoAdyacenteSecante =
Las abreviaremos como sen, cos, tan, cot, sec, csc
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
91
Arcsen
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 92
Arccos
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
97
AAAsenA seccostan =+
θθθ cot
tan1cot1
=++
yyy 222 sec2)tan1()tan1( =−++
x
senxxxcos
1tansec +=+
1cos)cot(tan =+ xsenxxx
xsenxxx 22
2
2
costan1tan1
−=+−
ysenxsenyxsenyxsen 222222 coscos −=−
senA
AAA
AA+
=+ 1
coscoscot
coscot
tsentsentt
tsent cos1cos
cos 33
+=−−
tsentttsen 22
2
4
tancos
−=
0)cot1(tan)tan1(cot 22 =−+− tttt
t
sentsent
tcos1
cos1+
=−
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 94
Cos
Tan
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
95
Cot
Sec
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 96
Csc
Figura No. 38
Ejercicios:
1. Simplifique cada una de las siguientes expresiones:
θ
θ2
2
cos1cos−
θ
θθ2
22
cotcos+sen
θθ 22 tansec −
x
senxsenx
xcos
cos+
2. Demuestre las siguientes identidades:
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
101
Figura No. 40
xxf 3)( = (Color Rosado)
xexf =)( (Color Azul)
xxf 2)( = (Color Rojo)
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 98
xsenxxxsen
xxsenxx
coscos
tan1)(costan 33
2
22
++
=−
−
xsenxsenxx
xsenxxxxsenx cos1cos
)tancot(coscos+=
−−
12cos
)(cos 244
222
−=−− xsen
xxsenxsenx
senx
xx
xxx+
=−
1sec
costansecsec 2
2
2
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
99
LOGARITMOS Y EXPONENCIALES
Funciones exponenciales
Logaritmos
Aplicaciones de los logaritmos
Exponenciales naturales y logaritmos
Gráfica de y = 2x
Gráfica de y = (1/3)x
Función exponencial y = ax
El número a se conoce como la base, puede ser
cualquier número real positivo excepto 1.
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 100
Con frecuencia es útil usar como base al irracional
e = 2.71828…
Gráfica de ex
Figura No. 39
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
105
Figura No. 41
Gráfica de y = log2 x
Figura No. 42
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 102
Interés Compuesto
Consideremos el caso general de una inversión que
crece con interés compuesto. Sea P una suma invertida a
una tasa R por ciento anual. Luego, el interés en el
primer año es (R/100), de modo que el valor de la
inversión después de 1 año es:
P + (R/100)P = P(1 + R/100) = P(1 + i)
Interés Compuesto
Después de n años, el valor está dado por la fórmula
Valor después de n años = P(1 + i )n , i = R/100
P(1 + i )n es equivalente a una función exponencial con
base a = (1 + i)
Capitalización
Si el interés es capitalizado más de una vez por año. Por
ejemplo:
Semestralmente (2 veces al año)
Trimestralmente ( 4 veces al año)
En estos casos, el porcentaje R de la tasa de interés anual
la cual por lo regular se cotiza se denomina la tasa
nominal. Si se compone de k veces por año y si la tasa
de interés nominal, es R por ciento, esto significa que la
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
103
tasa en cada composición es (R/k) por ciento. En n
años, el número de composiciones es kn
Valor después de n años = P(1 + i / k ) nk , i = R/100
Ejemplo
Un capital de $2000 se invierte a una tasa de interés
nominal anual del 12%. Calcule su valor:
Después de 1 año si la capitalización es trimestral
Después de 4 años si la capitalización ocurre cada 6
meses
Solución
.a Valor = P(1 + i / k ) nk = 2000(1 + 0.12/4)1*4
= 2000(1+ 0.12/4)4 = 2251.01762
.b Valor = P (1 + i / k) nk = 2000(1 + 0.12/2)4*2
= 2000(1 + 0.12/2)8 = 3187.696149
Logaritmos
Si x = Log a y se lee el logaritmo de y con base a es igual
a x. significa que ax = y
Entonces x = Log a y si y solo si y = ax
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 104
Log a y es la potencia a la cual a debe elevarse para
obtener y (a puede ser cualquier
número positivo distinto de 1)
Funciones Logarítmicas
x = Log ay si y solo si y = ax
a : base
y : potencia
x : exponente
x = logay si y solo si y = ax
Log a y es la potencia a la cual a debe elevarse para
obtener y
Si a = 10, no es necesario escribirla, y se les llama
logaritmo decimal.
Si Log m = 25, significa que 1025 = m
Si la base, es el número e, se le da el nombre de
logaritmo natural (ln)
Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira Matemática Fundamental ***************************************
109
EJERCICIOS TÍPICOS DE EXAMENES
1. Resuelva la siguiente
inecuación.
0832144689 234 ≤+−−+ xxxx
2. Para amenizar una fiesta se ha
pedido cotización a dos grupos
musicales, uno pide $1.000.000
y el otro $400.000 más el 25%
de lo que se reciba por la venta
de las boletas. Si el número de
asistentes es de 500 personas,
¿cuál es el mayor precio que se
debe cobrar por boleta para
que el segundo grupo no
resulte más costoso que el
primero?
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 106
Gráfica de x = 2y
Figura No. 43
__________________ José Alfredo Martínez Valdés
107
Figura No. 44
Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 108
Propiedades de los logaritmos
1. Loga1 = 0, porque a0 = 1
2. Log aa = 1, porque a1 = a
3. Log a (u v) = Log a u + Log a v ax . ay = a x + y
4. Log a (u / v) = Log a u - Log a v ax / ay = ax-y
5. Log a (1 / v) = - Log a v a-x = 1/ax
6. Log a (un) = n Log a u (a x )n = a xn
7. Log b N = LnbLnN
=bN
loglog
Demostración
Haciendo Log b N = x, entonces N = b x
Como Log a N = Log a b x = x Log a b
Despejando x, se completa la demostración
Logaritmos Naturales o neperianos
Se denotan por el símbolo ln
Aquí, la base es el número e
Y = ex significa que x = Log e y = lny
Además, ln e = 1
Ln 1 = 0
Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira Matemática Fundamental ***************************************
113
6. Si ln a = 3 y ln b = 7. Entonces el ln ab es igual
a:
A. 10
B. 3
C. 7
D. 5
7. El valor de x, en la expresión
)2ln216(lnln 31 +=x es:
A. 7
B. 4
C. 9
D. 20
8. El valor de x, en la expresión:
5 = 1 + 4e-6x es:
A. 1
B. 0
C. - 61
D. 61
9. El valor de la expresión 2ln4ln3 −e es:
A. 9
_________________________ José Alfredo Martínez Valdés
110
3. Encuentre las coordenadas del
vértice y trace la gráfica de la
parábola
57235 +−= − xxy
4. Resuelva la siguiente ecuación y
verifique que las respuestas
obtenidas son correctas:
1321
32
+=− xx
5. Resuelva el siguiente sistema,
utilizando el método gráfico
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−==+
xx
y
y
317214
18
9
Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira Matemática Fundamental ***************************************
111
PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPE CON
ÚNICA RESPUESTA (TIPO I)
1. El valor de la x, en la ecuación:
52x-1 = 3125 es:
A. 5
B. 6
C. 7
D. 3
2. Si f(x) = ekx y f (1) = 20. El valor de f(2) es:
A. 400
B. 320
C. 20
D. 2.7182
3. Si f(x) = A2kx, f (0) = 20 y f (2) = 40.
El valor para f(8) es:
A. 320
B. 400
C. 800
D. 160
_________________________ José Alfredo Martínez Valdés
112
4. Uno de los siguientes enunciados, no es
cierto.
A. Log(A x B) = Log A + Log B
B. Log n A = n
Alog
C. Log BA
BA
loglog
=
D. Log 0.001 = -3
5. Uno de los siguientes enunciados, no es cierto
A. Los números negativos no tienen
logaritmos
B. La base de un sistema de logaritmos puede
ser negativa
C. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo
de la base es 1
D. Los números menores que 1 tienen
logaritmo negativo.
Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira Matemática Fundamental ***************************************
117
12. Las coordenadas del foco son:
A. (3.0)
B. (7,4)
C. (4,7)
D. (4, - 1)
13. La ecuación de la cónica es:
A. )4(16)3( 2 −=− xy
B. )3(16)4( 2 −=− xy
C. )4(16)3( 2 −=− yx
D. )4(16)3( 2 +=+ yx
14. La longitud del lado recto es:
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
_________________________ José Alfredo Martínez Valdés
114
B. 16
C. 32
D. 2
Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira Matemática Fundamental ***************************************
115
10. Se estima que dentro de t años la población de
cierto país será:
tetP 05.021
30)( −+= Millones
La población actual es:
A. 30millones
B. 10millones
C. 15millones
D. 40millones
11. Dada la ecuación: 1622 =+ yx es cierto
afirmar que su área es:
A. 4π B. 4π 2
C. 16π
D. 16π 2
_________________________ José Alfredo Martínez Valdés
116
LAS PREGUNTAS 12 - 14 SE HACEN CON LA
SIGUIENTE INFORMACIÓN
.
Figura No. 45
Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira Matemática Fundamental ***************************************
121
19. La cúbica está centrada en el punto:
A. (0.0)
B. (-3,2)
C. (3,-2)
D. (-3,0)
20. Su ecuación es:
A. 16
)2(9
)3( 22 −−
+ yx= 1
B. 9
)2(16
)3( 22 −−
+ yx= 1
C. 16
)2(9
)3( 22 +−
− yx= 1
D. 9
)2(16
)3( 22 +−
− yx= 1
_________________________ José Alfredo Martínez Valdés
118
LAS PREGUNTAS 15 - 18 SE HACEN CON LA
SIGUIENTE INFORMACIÓN
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Figura No. 46
15. La ecuación de la cónica es:
A. 1259
22
=+yx
B. 1925
22
=+yx
C. 1259
22
=−yx
D. 1925
22
=−yx
Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira Matemática Fundamental ***************************************
119
16. La longitud del lado recto es:
A. 185
B. 518
C. 58
D. 350
17. las coordenadas de los vértices son:
A. )3,0( ±
B. )5,0( ±
C. )0,3(±
D. )0,5(±
18. De acuerdo con la gráfica, No es cierto afirmar
que:
A. La longitud del eje mayor es 10
B. La longitud del eje menor es 6
C. Uno de los focos está en (4, 0)
D. Uno de los focos está en (0, 4)
_________________________ José Alfredo Martínez Valdés
120
LAS PREGUNTAS 19 - 20 SE HACEN CON LA
SIGUIENTE INFORMACIÓN
Figura No. 47