Download - Funciones -Actividad 47
Funciones -Actividad 47.
En esta actividad se trabajará fundamentalmente función cuadrática.
Previamente deberán repasar la sección 1.5.4 del capítulo de funciones.
47- Para cada una de las siguientes funciones se pide:
i) Dominio, gráfico e imagen.
ii) Determinar propiedades: ceros, intervalos de monotonía, simetrías, signo.
iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�
iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�
Ítems seleccionados:
a) �(�) = �� − �� + �
b) �(�) = �� + �� + �
c) �(�) = �� − ��
d) �(�) = −�� − �
e) �(�) = −��� + � + �
f) �(�) = −�� + �� − �
Generalidades
Las funciones cuya ley es de la forma �(�) = ��� + �� + � con �, �, � ∈ ℝ ; � ≠ � se denominan
funciones cuadráticas. Si su dominio de definición es el conjunto de los números reales, su gráfica es una
parábola. El signo del coeficiente a determinará si las ramas de la parábola van hacia arriba (� > 0) o
hacia abajo (� < 0).
Podemos efectuar la gráfica de la parábola por corrimientos o por elementos sobresalientes, según la
conveniencia del caso.
Si graficamos la parábola por elementos sobresalientes debemos determinar:
vértice: la abscisa del vértice viene dada por �� = −�
�� y su ordenada será �� = �(��)
Entonces el vértice será �(�� ; ��).
eje de simetría: la recta vertical de ecuación � = �� que pasa por el vértice.
intersección con el eje x
Si algún punto de la gráfica de la función pertenece también al eje x, su ordenada será 0.
Entonces las abscisas de los puntos de intersección de una función cuadrática con el eje x se
obtienen resolviendo la ecuación cuadrática que se genera al igualar la ley a 0.
�(�) = 0
��� + �� + � = � Ecuación cuadrática
Las soluciones de la ecuación cuadrática vienen dadas por la fórmula:
���� =−� ± √�� − 4��
2�
El discriminante es ∆= �� − 4�� y nos permite evaluar el número de soluciones en los reales de
la ecuación. Se presentan las siguientes alternativas:
Si ∆> 0 existen dos raíces reales distintas ( �� � �� ), entonces la parábola corta al eje x en
dos puntos diferentes: ���(��; 0) y ���(��; 0)
Si ∆= 0 existe una raíz real doble (�� = �� ), la parábola interseca al eje x en un punto:
��(��; 0)
Si ∆< 0 no hay raíces reales, la parábola no corta al eje x.
Sumado al signo del coeficiente a señalado anteriormente podemos resumir la información en la
siguiente tabla (pág. 70 del libro):
intersección con el eje y
La parábola corta al eje y en el punto ��(0; �(0)).
El procedimiento concluye al unir con un trazo continuo los puntos sobresalientes describiendo la
parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática �(�) = ��� + �� + � por corrimientos o
transformaciones seguiremos los siguientes pasos:
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso: �(�) = ���.
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice: V( h; k)
�(�) = ��� + �� + � → �(�) = �(� − ℎ)� + �
4°) Trasladamos al punto V( h; k) la parábola correspondiente a �(�) = ���.
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
a) �(�) = �� − �� + �
i) Dominio, gráfico e imagen.
Dada la ley reconocemos que se trata de una función cuadrática.
A continuación analizamos el dominio de la función. Dado que no presenta restricciones algebraicas y no se halla
en el contexto de un problema, su dominio estará integrado por los todos números reales.
���� = ℝ
Entonces su gráfica será una parábola.
Dado que � = 1 y por lo tanto � > 0, la parábola tendrá sus ramas hacia arriba.
El conjunto correspondiente a las imágenes de la función lo determinaremos con posterioridad a su gráfica.
Para graficar la parábola determinamos sus elementos sobresalientes:
Vértice
�� = −�
2�
�� = −��
�.�= 3
�� = �(3) = 3� − 6.3 + 5 = −4
Luego: V(3;-4)
Intersección con el eje x
0 = �� − 6� + 5
Resolviendo la ecuación cuadrática:
���� =−� ± √�� − 4��
2�
���� =6 ± �(−6)� − 4.1.5
2.1
�� = 1 � �� = 5
Luego los puntos de intersección con el eje x serán
���(1; 0) y ���(5; 0)
Intersección con el eje y
�(0) = 5
Por lo tanto
��(0; 5)
Eje de simetría
El eje de simetría corresponderá a la recta vertical que pasa por el vértice.
Su ecuación será: � = �
A continuación graficamos primero en el p
unimos con un
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por
A continuación graficamos primero en el p
unimos con un
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por
A continuación graficamos primero en el p
unimos con un
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por
A continuación graficamos primero en el p
unimos con un
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Me
����
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
�(
�(
�(
�(
�(
La gráfica de p cuya ley es
origen a la gráfica
4°) Trasladamos al punto V(
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el p
unimos con un
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
����
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
(�)
(�)
(�)
(�)
(�)
La gráfica de p cuya ley es
origen a la gráfica
4°) Trasladamos al punto V(
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el p
unimos con un trazo continuo
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ncionamos anteriormente que
����: ℝ
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
( ) =
( ) =
( ) =
( ) =
( ) =
La gráfica de p cuya ley es
origen a la gráfica
4°) Trasladamos al punto V(
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el p
trazo continuo
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ncionamos anteriormente que
ℝ
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
) ��
) ��
) (�
) (�
) �(�
La gráfica de p cuya ley es
origen a la gráfica
4°) Trasladamos al punto V(
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el p
trazo continuo
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ncionamos anteriormente que
y su grá
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
− 6
− 6
( − 3
− 3
� −
La gráfica de p cuya ley es
origen a la gráfica
4°) Trasladamos al punto V(
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el p
trazo continuo
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ncionamos anteriormente que
su grá
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
6� +
6� +
3)�
3)�
− 3)
La gráfica de p cuya ley es
origen a la gráfica
4°) Trasladamos al punto V(
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el p
trazo continuo
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ncionamos anteriormente que
su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
+ 5
+ 9
) − 9
− 4
) −
La gráfica de p cuya ley es
origen a la gráfica de f.
4°) Trasladamos al punto V(
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el p
trazo continuo
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ncionamos anteriormente que
fica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
5
9 −
9 +
4 entonces
4
La gráfica de p cuya ley es
de f.
4°) Trasladamos al punto V(
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el p
trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ncionamos anteriormente que
fica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
→
− 9 +
+ 5
entonces
La gráfica de p cuya ley es
de f.
4°) Trasladamos al punto V(
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el p
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ncionamos anteriormente que
fica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
→
+ 5
entonces
La gráfica de p cuya ley es �
4°) Trasladamos al punto V(
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el p
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ncionamos anteriormente que
fica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
→ �(�
5
entonces
�(�)
4°) Trasladamos al punto V( 3;
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el p
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ncionamos anteriormente que
fica será una parábola
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
(�) =
entonces ℎ =
( ) =
; -4) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ncionamos anteriormente que dada la
parábola
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
( ) = (
= 3
) = ��
) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ada la
parábola
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
(� −
3 y
� se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ada la ley
parábola
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
− ℎ)
� =
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ley
que
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
)� +
= −
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
reconocemos que se trata de una función cuadrática
que tendrá sus
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
+ �
−4 es decir:
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de �
realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
reconocemos que se trata de una función cuadrática
tendrá sus
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso: �(�
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
�
es decir:
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
�: ���
realizar la gráfica de la función cuadrática �(�
reconocemos que se trata de una función cuadrática
tendrá sus
(�) =
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
es decir:
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
���
(�) =
reconocemos que se trata de una función cuadrática
tendrá sus
( ) = �
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
es decir:
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
��� =
( ) = �
reconocemos que se trata de una función cuadrática
tendrá sus ramas hacia arriba
��.
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
= [−
�� −
reconocemos que se trata de una función cuadrática
ramas hacia arriba
V(h ; k)
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
−4;
− 6�
reconocemos que se trata de una función cuadrática
ramas hacia arriba
V(h ; k)
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
) la parábola correspondiente a
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
;∞)
� +
reconocemos que se trata de una función cuadrática
ramas hacia arriba
V(h ; k)
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
) la parábola correspondiente a �(�
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
)
+ 5
reconocemos que se trata de una función cuadrática
ramas hacia arriba
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
(�) =
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
por
reconocemos que se trata de una función cuadrática
ramas hacia arriba
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
( ) = �
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
(
Entonces
de donde
Luego
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
por corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática
ramas hacia arriba
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
��.
(� −
Entonces
de donde
Luego
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática
ramas hacia arriba dado que a>0
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
− ℎ)�
Entonces
de donde
Luego (�
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática
dado que a>0
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
� =
Entonces −
de donde ℎ
(� −
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática
dado que a>0
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
�� −
−6�
= 3
( 3)�
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática
dado que a>0
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
− 2�
= −
3
)� = �
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática
dado que a>0
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
�ℎ +
−2�
�� −
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
reconocemos que se trata de una función cuadrática
dado que a>0.
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
+ ℎ�
�ℎ
− 6�
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
reconocemos que se trata de una función cuadrática
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
�
� +
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
9
lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
con
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
con
se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar
ii) Determinar propiedades: ceros, intervalos de monotonía, simetrías, signo.
Ceros
Los ceros o raíces de una función son los valores de x donde f(x)=0
Son los valores hallados anteriormente a partir de la ecuación cuadrática: �� = 1 � �� = 5
Crecimiento
La función f no es monótona en su domino.
f es estrictamente creciente en (3;∞).
f es estrictamente decreciente en (−∞; 3).
Simetría
f no es simétrica respecto del eje y ,por lo tanto f no es par.
f no es simétrica respecto del origen de coordenadas, por lo tanto f no es impar.
Signo
La función f no tiene signo definido en su dominio.
iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�
Los elementos del conjunto �� son valores de x, o sea debemos
marcarlos en el eje x en caso de determinar el conjunto gráficamente.
Con este fin debemos seleccionar los puntos de la gráfica que
tienen imágenes positivas (�(�) > 0). Serían los puntos de la
gráfica por encima del eje x.
Y determinamos cuale
Luego
iv)
Los elementos del conjunto
Para determinar el conjunto
los puntos de la gr
(�
debajo
Y determinamos cuale
La función f es negativa en:
Y determinamos cuale
Luego
v) Hallar
Los elementos del conjunto
Para determinar el conjunto
los puntos de la gr
�(�
debajo
Y determinamos cuale
La función f es negativa en:
Y determinamos cuale
Luego
Hallar
Los elementos del conjunto
Para determinar el conjunto
los puntos de la gr
(�) <
debajo
Y determinamos cuale
La función f es negativa en:
Y determinamos cuale
Luego la función f es positiva en
Hallar
Los elementos del conjunto
Para determinar el conjunto
los puntos de la gr
( ) < 0
debajo del eje x.
Y determinamos cuale
La función f es negativa en:
Y determinamos cuale
a función f es positiva en
Hallar ��
Los elementos del conjunto
Para determinar el conjunto
los puntos de la gr
0). Serían
del eje x.
Y determinamos cuale
La función f es negativa en:
Y determinamos cuale
a función f es positiva en
�� =
Los elementos del conjunto
Para determinar el conjunto
los puntos de la gr
Serían
del eje x.
Y determinamos cuale
La función f es negativa en:
Y determinamos cuale
a función f es positiva en
= �
Los elementos del conjunto
Para determinar el conjunto
los puntos de la gr
Serían
del eje x.
Y determinamos cuale
La función f es negativa en:
Y determinamos cuale
a función f es positiva en
�� ∈
Los elementos del conjunto
Para determinar el conjunto
los puntos de la gráfica que tienen
Serían los punto
Y determinamos cuale
La función f es negativa en:
Y determinamos cuales son los x correspondientes a dichos puntos:
a función f es positiva en
∈ �
Los elementos del conjunto
Para determinar el conjunto
áfica que tienen
los punto
Y determinamos cuales son los x correspondientes a dichos puntos:
La función f es negativa en:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
a función f es positiva en
�� /
Los elementos del conjunto
Para determinar el conjunto
áfica que tienen
los punto
s son los x correspondientes a dichos puntos:
La función f es negativa en:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
a función f es positiva en
/ �
Los elementos del conjunto ��
Para determinar el conjunto gráficamente
áfica que tienen
los puntos de la gráfica por
s son los x correspondientes a dichos puntos:
La función f es negativa en:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
a función f es positiva en
�(�
�� también
gráficamente
áfica que tienen
s de la gráfica por
s son los x correspondientes a dichos puntos:
La función f es negativa en: ��
s son los x correspondientes a dichos puntos:
a función f es positiva en:
(�) <
también
gráficamente
áfica que tienen imágenes negativas
s de la gráfica por
s son los x correspondientes a dichos puntos:
�� =
s son los x correspondientes a dichos puntos:
: ��
( ) < 0
también
gráficamente
imágenes negativas
s de la gráfica por
s son los x correspondientes a dichos puntos:
= (1
s son los x correspondientes a dichos puntos:
�� =
0�
también son valores de x
gráficamente
imágenes negativas
s de la gráfica por
s son los x correspondientes a dichos puntos:
(1; 5
s son los x correspondientes a dichos puntos:
= (
son valores de x
gráficamente debemos seleccionar
imágenes negativas
s de la gráfica por
s son los x correspondientes a dichos puntos:
( 5)
s son los x correspondientes a dichos puntos:
(−∞
son valores de x
debemos seleccionar
imágenes negativas
s de la gráfica por
s son los x correspondientes a dichos puntos:
)
s son los x correspondientes a dichos puntos:
( ∞;
son valores de x
debemos seleccionar
imágenes negativas
s son los x correspondientes a dichos puntos:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
1)
son valores de x
debemos seleccionar
imágenes negativas
s son los x correspondientes a dichos puntos:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
) ∪ (
son valores de x
debemos seleccionar
imágenes negativas
s son los x correspondientes a dichos puntos:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
) (5;
son valores de x
debemos seleccionar
imágenes negativas
s son los x correspondientes a dichos puntos:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
; ∞)
debemos seleccionar
s son los x correspondientes a dichos puntos:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
)
debemos seleccionar
s son los x correspondientes a dichos puntos:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
s son los x correspondientes a dichos puntos:
b) �(�) = �� + �� + �
i) Dominio, gráfico e imagen.
Dada la ley reconocemos que se trata de una función cuadrática.
A continuación analizamos el dominio de la función: ���� = ℝ
Entonces su gráfica será una parábola. Dado que � > 0, la parábola tendrá sus ramas hacia arriba.
El conjunto correspondiente a las imágenes de la función lo determinaremos con posterioridad a su gráfica.
Para graficar la parábola determinamos sus elementos sobresalientes:
Vértice
�� = −�
2�
�� = −�
�.�= −1
�� = �(−1) = (−1)� + 2. (−1) + 1 = 0
Luego: V(-1;0)
Intersección con el eje x
Del ítem anterior sabemos que la intersección con el
eje x será el vértice de la parábola y lo corroboramos:
0 = �� + 2� + 1
���� =−� ± √�� − 4��
2�
���� =−2 ± √2� − 4.1.1
2.1
�� = �� = −1
El punto de intersección con el eje x será el vértice de la parábola
�(−1; 0)
Intersección con el eje y
�(0) = 1
Por lo tanto
��(0; 1)
Eje de simetría
El eje de simetría corresponderá a la recta vertical que pasa por el vértice.
Su ecuación será: � = −�
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
���
Si optamos por realizar la grá
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
���
Si optamos por realizar la grá
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
��� =
Si optamos por realizar la grá
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
[0;
Si optamos por realizar la grá
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
����
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Analizamos la expr
�(
�(
�(
La gráfica de p cuya ley es
4°) Trasladamos al punto V(
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
;∞
Si optamos por realizar la grá
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
����
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Analizamos la expr
(�)
(�)
(�)
La gráfica de p cuya ley es
4°) Trasladamos al punto V(
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
∞)
Si optamos por realizar la grá
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
����: ℝ
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Analizamos la expr
( ) =
( ) =
( ) =
La gráfica de p cuya ley es
4°) Trasladamos al punto V(
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la grá
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
ℝ
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Analizamos la expr
) ��
) (�
) �(�
La gráfica de p cuya ley es
4°) Trasladamos al punto V(
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la grá
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Analizamos la expr
+ 2
( + 1
� +
La gráfica de p cuya ley es
4°) Trasladamos al punto V(
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la grá
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Analizamos la expr
2� +
1)�
+ 1)
La gráfica de p cuya ley es
4°) Trasladamos al punto V(
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la grá
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Analizamos la expr
+ 1
) entonces
)
La gráfica de p cuya ley es
4°) Trasladamos al punto V(
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la grá
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Analizamos la expr
1 y siendo
entonces
La gráfica de p cuya ley es
4°) Trasladamos al punto V(
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Analizamos la expresión para obtener el nuevo vértice:
y siendo
entonces
La gráfica de p cuya ley es
4°) Trasladamos al punto V(
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
fica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
sión para obtener el nuevo vértice:
y siendo
entonces ℎ
La gráfica de p cuya ley es �
4°) Trasladamos al punto V(
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
fica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
sión para obtener el nuevo vértice:
y siendo
=
�(�)
4°) Trasladamos al punto V( -1
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
fica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
y su gráfica será una pa
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
sión para obtener el nuevo vértice:
y siendo ��
−1
( ) =
1; 0) la parábola correspondiente a
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
fica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que dada la
parábola
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
sión para obtener el nuevo vértice:
+ 2
1 y
) = ��
) la parábola correspondiente a
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
fica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
dada la
rábola
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
sión para obtener el nuevo vértice:
2� +
y � =
� se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
) la parábola correspondiente a
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
fica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
dada la ley
rábola
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
sión para obtener el nuevo vértice:
+ 1
= 0
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
) la parábola correspondiente a
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
fica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ley
que tendrá sus
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
sión para obtener el nuevo vértice:
1 =
0 es decir:
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
) la parábola correspondiente a
A continuación graficamos primero en el plano los eleme
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
fica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
que tendrá sus
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
sión para obtener el nuevo vértice:
= (�
es decir:
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
) la parábola correspondiente a
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de �
fica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
que tendrá sus
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso: �(�
sión para obtener el nuevo vértice:
(� +
es decir:
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
) la parábola correspondiente a
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
�.
fica de la función cuadrática �(�
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
que tendrá sus
(�) =
sión para obtener el nuevo vértice:
( 1)�
es decir:
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
) la parábola correspondiente a
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
(�) =
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
que tendrá sus
( ) = �
sión para obtener el nuevo vértice:
)�
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
) la parábola correspondiente a
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
( ) = �
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
que tendrá sus ramas hacia arriba
��.
sión para obtener el nuevo vértice:
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
) la parábola correspondiente a
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
�� +
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
�(�
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
) la parábola correspondiente a
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
+ 2�
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
(�) =
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
) la parábola correspondiente a
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
� +
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
( ) = (
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
) la parábola correspondiente a �(�
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
+ 1
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
(� −
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
(�) =
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
por
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
− ℎ
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
( ) = �
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
por corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
ℎ)� +
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
��.
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba dado que a>0.
+ �
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
dado que a>0.
�.
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
dado que a>0.
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
dado que a>0.
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
dado que a>0.
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
dado que a>0.
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
ntos sobresalientes calculados anteriormente y los
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.
ii) Determinar propiedades: ceros; intervalos de monotonía, simetrías, signo.
Ceros
Los ceros o raíces de una función son los valores de x donde f(x)=0. En este caso esto se da para: � = −1.
Crecimiento
La función f no es monótona en su domino.
f es estrictamente creciente en (−1;∞).
f es estrictamente decreciente en (−∞; −1).
Simetría
f no es simétrica respecto del eje y , por lo tanto f no es par.
f no es simétrica respecto del origen de coordenadas, por lo tanto f no es impar.
Signo
La función f es no negativa en su dominio.
Haciendo un análisis similar al realizado para la función del ítem a) determinamos:
iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�
La función f es positiva en: �� = (−∞; −1) ∪ (−1; ∞)
iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�
La función f no toma valores negativos: �� = ∅
c) �(�) = �� − ��
i) Dominio, gráfico e imagen.
f es una función cuadrática con ���� = ℝ y su gráfica es una parábola.
Dado que � > 0, la parábola tendrá sus ramas hacia arriba.
Para graficar la parábola determinaremos primero sus elementos sobresalientes:
Vértice
�� = −�
2�
�� = −(��)
�.�=
�
�
�� = � �3
2� = �
3
2�
�
− 33
2= −
9
4
Luego: V��
�; −
�
��
Intersección con el eje x
0 = �� − 3�
���� =−� ± √�� − 4��
2�
���� =3 ± √3� − 4.1.0
2.1
�� = 0 � �� = 3
Los puntos de intersección con el eje x:
���(0; 0) y ���(3; 0)
Otra alternativa para resolver la ecuación cuadrática en este caso es sacar factor común �:
0 = �� − 3�
0 = � . (� − 3) para que el producto sea 0 debe ocurrir que � = 0 o bien (� − 3) = 0. Entonces:
�� = 0 � �� = 3
Intersección con el eje y
�(0) = 0
Por lo tanto
��(0; 0)
Eje de simetría
El eje de simetría corresponderá a la recta vertical que pasa por el vértice.
Su ecuación será: � =�
�
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
���
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
���
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
��� =
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
[−
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Menc
����
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
�(
�(
�(
�(
La gráfic
origen a la gráfica de f.
4°) Trasladamos al punto V
Para un mejor gráfico pueden ca
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
−9
4;
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Menc
����
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
(�)
(�)
(�)
(�)
La gráfic
origen a la gráfica de f.
4°) Trasladamos al punto V
Para un mejor gráfico pueden ca
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
;∞)
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
Mencionamos anteriormente que
����: ℝ
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
( ) =
( ) =
( ) =
( ) =
La gráfic
origen a la gráfica de f.
4°) Trasladamos al punto V
Para un mejor gráfico pueden ca
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
)
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ionamos anteriormente que
ℝ
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
) ��
) ��
) ��
) � �
La gráfica de p cuya ley es
origen a la gráfica de f.
4°) Trasladamos al punto V
Para un mejor gráfico pueden ca
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
− 3
− 3
� −�
�
�� −
a de p cuya ley es
origen a la gráfica de f.
4°) Trasladamos al punto V
Para un mejor gráfico pueden ca
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
3�
3� +
�
��
�
� −�
��
a de p cuya ley es
origen a la gráfica de f.
4°) Trasladamos al punto V
Para un mejor gráfico pueden ca
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
+�
�
� −�
�
� −
a de p cuya ley es
origen a la gráfica de f.
4°) Trasladamos al punto V
Para un mejor gráfico pueden ca
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
→
�
�−
�
� entonces
� −�
�
a de p cuya ley es
origen a la gráfica de f.
4°) Trasladamos al punto V
Para un mejor gráfico pueden ca
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
→ �
�
�
entonces
a de p cuya ley es
origen a la gráfica de f.
4°) Trasladamos al punto V
Para un mejor gráfico pueden ca
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
�(�)
entonces
a de p cuya ley es �
4°) Trasladamos al punto V�
Para un mejor gráfico pueden ca
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ionamos anteriormente que
y su gráfica será una
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
( ) =
entonces ℎ
�(�)
��
�;
Para un mejor gráfico pueden ca
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ionamos anteriormente que
y su gráfica será una parábola
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
) = (�
ℎ =
( ) =
� −�
�
Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ionamos anteriormente que dada la
parábola
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
� −
=�
�
) = ��
�
�� la parábola correspondiente a
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
dada la
parábola
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
ℎ)�
y
� se corre
� la parábola correspondiente a
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
dada la ley
parábola
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
� +
y � =
se corre
la parábola correspondiente a
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
ley
que tendrá sus
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
+ �
= −
se corre
la parábola correspondiente a
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
que tendrá sus
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
−�
� es decir:
se corre �
� unidades hacia la derecha y
la parábola correspondiente a
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de �
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática
1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
que tendrá sus
2°) Elegimos la función prototipo. En este caso: �(�
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
es decir:
unidades hacia la derecha y
la parábola correspondiente a
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
�.
Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática �(�
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
que tendrá sus
(�) =
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
es decir:
unidades hacia la derecha y
la parábola correspondiente a
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
(�) =
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
que tendrá sus
( ) = �
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
es decir:
unidades hacia la derecha y
la parábola correspondiente a
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
( ) = �
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
que tendrá sus ramas hacia arriba
��.
3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:
unidades hacia la derecha y
la parábola correspondiente a
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
�� −
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
V(h ; k)
unidades hacia la derecha y
la parábola correspondiente a
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
− 3�
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
V(h ; k)
unidades hacia la derecha y
la parábola correspondiente a
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la
� por
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
V(h ; k)
unidades hacia la derecha y
la parábola correspondiente a �(
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
por
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
unidades hacia la derecha y
(�)
lcularse otros puntos además del vértice.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
unidades hacia la derecha y
( ) =
lcularse otros puntos además del vértice.
(
Entonces
de donde
Luego
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba
unidades hacia la derecha y �
�
) ��.
(� −
Entonces
de donde
Luego
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
ramas hacia arriba dado que a>0.
unidades hacia abajo para dar
.
− ℎ)�
Entonces
de donde
Luego �
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
dado que a>0.
unidades hacia abajo para dar
� =
Entonces −
de donde ℎ
�� −
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
dado que a>0.
unidades hacia abajo para dar
�� −
−3�
=�
�
� −�
��
�
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
gráfica de la función.
corrimientos:
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
dado que a>0.
unidades hacia abajo para dar
− 2�
= −
�
�
��
=
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
gráfica de la función.
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
dado que a>0.
unidades hacia abajo para dar
�ℎ +
−2�
�� −
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
dado que a>0.
unidades hacia abajo para dar
+ ℎ�
�ℎ
− 3�
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
unidades hacia abajo para dar
�
� +
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
unidades hacia abajo para dar
�
�
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
unidades hacia abajo para dar
reconocemos que se trata de una función cuadrática con
unidades hacia abajo para dar unidades hacia abajo para dar
ii) Determinar propiedades: ceros; intervalos de monotonía, simetrías, signo.
Ceros
Los ceros o raíces de una función son los valores de x donde f(x)=0. En este caso: �� = 0 � �� = 3
Crecimiento
f no es monótona en su domino.
f es estrictamente creciente en ��
�;∞�
f es estrictamente decreciente en �−∞;�
��
Simetría
f no es simétrica respecto del eje y, por lo tanto f no es par.
f no es simétrica respecto del origen de coordenadas, por lo tanto f no es impar.
Signo
La función f no tiene signo definido en su dominio.
iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�
La función f es positiva en: �� = (−∞; 0) ∪ (3; ∞)
iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�
La función f es negativa en: �� = (0; 3)
d) �(�) = −�� − �
i) Dominio, gráfico e imagen.
f es una función cuadrática con ���� = ℝ y su gráfica es una parábola.
Dado que � < 0, la parábola tendrá sus ramas hacia abajo.
Para graficar la parábola intentamos hacerlo determinando sus elementos sobresalientes:
Vértice
�� = −�
2�
�� = −�
�.(��)= 0
�� = �(0) = −0� − 2 = −2
Luego: V(0;-2)
Intersección con el eje x
0 = −�� − 2
���� =−� ± √�� − 4��
2�
���� =0 ± �0� − 4. (−1). (−2)
2. (−1)
0� − 4. (−1). (−2) < 0
∆< 0 ⇒ la ecuación NO tiene soluciones reales.
La gráfica de f no corta al eje x.
Intersección con el eje y
La intersección con el eje y será el vértice como se vio anteriormente.
��(0; −2)
Eje de simetría
El eje de simetría corresponderá a la recta vertical que pasa por el vértice.
Su ecuación será: � = �
Luego de obtener los elementos sobresalientes nos encontramos con la información del vértice y el eje de simetría
para describir la parábola. Por lo tanto debemos hallar otros puntos para contribuir a la realización de la gráfica de
la función:
� �(�) = −�� − �
1 -3
2 -6
3 -11
Dado el eje de simetría x = 0 también conocemos las imágenes
correspondientes a los opuestos de los elementos del dominio de la
función indicados en la tabla.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes y los puntos de la gráfica hallados y
los unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de �.
��� = (−∞; −2]
¿Será más sencillo realizar la gráfica de la función por corrimientos/transformaciones en este caso? ¿ cómo lo
harías?
ii) Determinar propiedades: ceros, intervalos de monotonía, simetrías, signo.
Ceros
La función no presenta valores de x donde f(x)=0.
Crecimiento
La función f no es monótona en su domino.
f es estrictamente creciente en (−∞; 0).
f es estrictamente decreciente en (0;∞).
Simetría
La función f es simétrica respecto del eje y , por lo tanto f es par.
Signo
La función f es negativa en su dominio.
iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�
La función f no toma valores positivos: �� = ∅
iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�
La función f es negativa en su dominio: �� = ℝ
-1 -3
-2 -6
-3 -11
e) �(�) = −��� + � + �
i) Dominio, gráfico e imagen.
f es una función cuadrática con ���� = ℝ y su gráfica es una parábola.
Dado que � < 0, la parábola tendrá sus ramas hacia abajo.
Para graficar la parábola podemos hacerlo determinando sus elementos sobresalientes:
Vértice
�� = −�
2�
�� = −�
�.(��)=
�
�
�� = � �1
4� = −2. �
1
4�
�
+ �1
4� + 1 =
9
8
Luego: V��
�;
�
��
Intersección con el eje x
0 = −2�� + � + 1
���� =−� ± √�� − 4��
2�
���� =−1 ± �1� − 4. (−2). 1
2. (−2)
�� = −�
� � �� = 1
Los puntos de intersección con el eje x:
���(−�
�; 0) y ���(1; 0)
Intersección con el eje y
�(0) = 1
Por lo tanto
��(0; 1)
Eje de simetría
El eje de simetría corresponderá a la recta vertical que pasa por el vértice.
Su ecuación será: � =�
�
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los
unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de �.
��� = �−∞;9
8�
ii) Determinar propiedades: ceros, intervalos de monotonía, simetrías, signo.
Ceros
Los ceros o raíces de la función son: �� = −�
� � �� = 1
Crecimiento
La función f no es monótona en su domino.
f es estrictamente creciente en �−∞;�
��
f es estrictamente decreciente en ��
�;∞�
Simetría
f no es simétrica respecto del eje y , f no es par.
f no es simétrica respecto del origen de coordenadas, f no es impar.
Signo
La función f no tiene signo definido en su dominio.
iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�
La función f es positiva en: �� = �−�
�; 1�
iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�
La función f es negativa en: �� = �−∞; −�
�� ∪ (1;∞)
f) �(�) = −�� + �� − �
i) Dominio, gráfico e imagen.
f es una función cuadrática con ���� = ℝ y su gráfica es una parábola.
Dado que � < 0, la parábola tendrá sus ramas hacia abajo.
Para graficar la parábola podemos hacerlo determinando sus elementos sobresalientes:
Vértice
�� = −�
��
�� = −�
�.(��)=
�
�
�� = � �3
2� = − �
3
2�
�
+ 3 �3
2� − 4 = −
7
4
Luego: V��
�; −
�
��
Intersección con el eje x
0 = −�� + 3� − 4
���� =−� ± √�� − 4��
2�
���� =−3 ± �3� − 4. (−1). (−4)
2. (−1)
∆< 0⇒la ecuación NO tiene soluciones reales.
La gráfica de f no corta al eje x.
Intersección con el eje y
�(0) = −4
Por lo tanto
��(0; −4)
Eje de simetría
El eje de simetría corresponderá a la recta vertical que pasa por el vértice.
Su ecuación será: � =�
�
Luego de obtener los elementos sobresalientes nos encontramos con la información del vértice; el eje de simetría y
la intersección de la parábola con el eje y. Para contribuir a la realización de la gráfica de la función obtenemos
algunos puntos adicionales.
Para ello armamos la siguiente tabla.
También incluimos f(0)= -4 obtenido previamente
Dado el eje de simetría � =�
� ; a su vez conocemos las imágenes
correspondientes a 2; 3 y 4.
A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes y los puntos de la gráfica hallados y
los unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente.
Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de �.
��� = �−∞; −7
4 �
ii) Determinar propiedades: ceros, intervalos de monotonía, simetrías, signo.
Ceros
La función no presenta valores de x donde f(x)=0.
Crecimiento
La función f no es monótona en su domino.
f es estrictamente creciente en �−∞;�
��.
f es estrictamente decreciente en ��
�;∞�.
Simetría
f no es simétrica respecto del eje y ,por lo tanto f no es par.
f no es simétrica respecto del origen de coordenadas, por lo tanto f no es impar.
Signo
f es negativa en su dominio.
iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�
La función f no toma valores positivos: �� = ∅
iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�
La función f es negativa en su dominio: �� = ℝ
� �(�) = −�� + �� − �
-1 -8
0 -4
1 -2
2 -2
3 -4
4 -8
Algunas observaciones y sugerencias derivadas de la resolución de la presente actividad:
Respecto del crecimiento:
Dada una función cuadrática con ley �(�) = ��� + �� + � y dominio ℝ, su gráfica es una parábola. El
signo del coeficiente a determinará si las ramas de la parábola van hacia arriba (� > 0) o hacia abajo
(� < 0). Si las ramas de la parábola van hacia arriba, la función cuadrática será estrictamente creciente en
(��;∞) y estrictamente decreciente en (−∞; ��). ¿En qué intervalos será estrictamente creciente o
estrictamente decreciente si a<0?
Respecto de la simetría:
Para que la gráfica de una función cuadrática con dominio ℝ sea simétrica respecto del eje y , el eje de
simetría de la parábola ( recta de ecuación � = �� )deberá coincidir con el eje y.
¿Cuál deberá ser el valor de �� para que esto ocurra? Si x� = −�
�� : ¿cuál será el valor de b en estos casos?
Entonces podemos concluir que "todas las funciones cuadráticas con dominio ℝ y ley : �(�) = ��� + �
son funciones pares". ¿Tiene esto sentido desde la perspectiva de los corrimientos?
La gráfica de la parábola podrá realizarse por corrimientos o por elementos sobresalientes según lo que
resulte más conveniente en cada caso. Se sugiere evaluar la posibilidad de efectuar la gráfica de la parábola
por corrimientos para los ítems d; e y f. Reflexionar en qué casos resulta conveniente graficar la función
por corrimientos o por elementos sobresalientes.
Verificar también que la abscisa del vértice de la parábola puede calcularse como el punto medio de las
raíces: �� =�����
�