Estructuras lingüísticas, ejemplificaciones y morfismos
Marco A. Perez - IMATE
(junto con David I. Spivak - MIT)
Noviembre 30, 2015
Marco A. Pérez ([email protected]) Estructuras lingüísticas, ejemplificaciones y morfismos
Introducción y motivación
• Problema general:
Comunicación de un fenómeno o de un experimento.
Suele hacerse por medio de artículos de investigación y/o
libros (prosa).
• Pregunta:
¿Qué otras formas distintas a la prosa existen para
representar el conocimiento?
• Idea:
Considerar las oraciones del idioma inglés como morfismos.
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Algo de historia
� [2012] Registros ontológicos: categorías y funtores.
(D. I. Spivak, R. Kent). Ologs: A categorical framework for
knowledge representation.
� [2015] Formalización de registros ontológicos: bicategorías,
funtores laxos y transformaciones laxas.
(-, D. I. Spivak). Toward formalizing ologs: linguistic structures,
instantiations, and mappings.
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Registros ontológicos: à la Kent-Spivak
Definición (informal)
Un registro ontológico (también llamado olog, de “ontologylog”) es una categoría que modela una situación dada del mundo
real.
a person an address
a city
lives at
lives inincludes
X
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Registros ontológicos: ventajas
• Dan una formulación precisa de una situación conceptual.
• De puede extender a medida que se obtiene nueva
información.
• Puede ser referido de forma fácil y precisa por otros autores.
• Se pueden comparar por medio de funtores.
• Se pueden convertir en un esquema de bases de datos, y
almacenados en una computadora.
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Registros ontológicos: ventajas
pan amino acid
found in diaryh parginine h
an amino acid
an amine group a carboxylic acid
is
isis
has has
X
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Registros ontológicos: ventajas
• Dan una formulación precisa de una situación conceptual.
• De puede extender a medida que se obtiene nueva
información.
• Puede ser referido de forma fácil y precisa por otros autores.
• Se pueden comparar por medio de funtores.
• Se pueden convertir en un esquema de bases de datos, y
almacenados en una computadora.
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Registros ontológicos: ventajas
pan amino acid
found in diaryh parginine h p
an electrically
charged side
chain
h
pan amino acid h pa side chain h
pan amine group h pa carboxylic acid h
is
isis
has has
X
is
has
has
X
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Registros ontológicos: ventajas
• Dan una formulación precisa de una situación conceptual.
• De puede extender a medida que se obtiene nueva
información.
• Puede ser referido de forma fácil y precisa por otros autores.
• Se pueden comparar por medio de funtores.
• Se pueden convertir en un esquema de bases de datos, y
almacenados en una computadora.
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Registros ontológicos: ventajas
C : pa moonh pa planethorbits
a moon orbits a planet, namely
The Moon Earth
Phobos Mars
Deimos Mars
Ganymede Jupiter
Titan Saturn
Ejemplificación: un funtor C −→ Set.
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Registros ontológicos: desventajas
• Dada una ejemplificación C −→ Set, no hay manera de
asegurar que lo datos arrojados en Set correspondan con el
significado de los conceptos descritos en C.
• Los autores que diseñan un registro ontológico no forman
parte de su estructura.
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Registros ontológicos: desventajas
• Puede darse el caso que los funtores entre registros no
tengan un significado:
pa manh
pan objecth
is“?”−−−−−→
pa womanh
pa number between 20 and 500h
has as weight (in kilograms)
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Esquema
1 Estructuras lingüísticas:
Viendo al idioma inglés como una bicategoría.
2 Funtores lingüísticos:
Morfismos entre registros ontológicos.
3 Ejemplificaciones sobre estructuras lingüísticas:
Bases de datos.
4 Funtores ejemplificados:
Preservación de bases de datos.
Marco A. Pérez ([email protected]) Estructuras lingüísticas, ejemplificaciones y morfismos
Esquema
1 Estructuras lingüísticas:Viendo al idioma inglés como una bicategoría.
2 Funtores lingüísticos:
Morfismos entre registros ontológicos.
3 Ejemplificaciones sobre estructuras lingüísticas:
Bases de datos.
4 Funtores ejemplificados:
Preservación de bases de datos.
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Expresiones lingüísticas
DefiniciónUna frase nominal está formada por un artículo indefinido “a/an”
seguido por un sustantivo en Inglés, el cual refiere a un concepto
para el cual un autor puede dar un conjunto de ejemplos.
DefiniciónDadas dos frases nominales N1 y N2 y una frase verbalV,
diremos queV conecta funcionalmente N1 and N2 si la
concatenación 〈〈N1VN2〉〉 refiere a una oración funcional.
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Expresiones lingüísticas
•
pa personh pa womanhhas as mother
define una oración funcional.
•
pa womanh pa caninehhas as dog?
no es funcional.
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Expresiones lingüísticas
Definición
Dos oraciones Σ = (N1,V,N2) y Σ′ = (N1,V′,N2) se dicen
equivalentes, denotado Σ ' Σ′ (o tambiénV ' V′), si refieren a
la misma relación funcional.
pan integerh pan integerh
has as successor
yields, by adding 1,
X
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Expresiones lingüísticas
Definición
La concatenación de Σ1 = (N1,V1,N2) y Σ2 = (N2,V2,N3) se
define como la oración
Σ1; Σ2 := (N1,V1;V2,N3)
donde
〈〈V1;V2〉〉 := 〈〈V1N2〉〉 “which” 〈〈V2〉〉
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Expresiones lingüísticas
pa personh pan addressh
pa cityh
lives at
lives inincludes
X
Este diagrama (mejor conocido como un hecho) se lee como sigue:
For any person x, we know that x lives at an address
which includes a city y1, and we know that x lives in a
city y2; and the fact is, y1 and y2 are the same for any x.
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Expresiones lingüísticas
El diagrama
pa personh pa cityh
pan addressh pa house numberh
lives in
lives athas its most
affluent residence at
includes
no es un hecho.
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Autores y el concepto de aprobación
Sea s un autor.
DefiniciónSea N una frase nominal. Diremos que s aprueba una frase
nominal N , denotado s |= N , si el concepto al cual refiere 〈〈N〉〉 es
reconocible por s, es decir, si s está de acuerdo que N refiere a
un conjunto para el cual se pueden registrar ejemplos.
Definición
Sea Σ = (N1,V,N2) una oración tal que s |= N1 y s |= N2.
Diremos que s apruebaV si s está de acuerdo que 〈〈N1VN2〉〉
refiere a una oración funcional, y entiende cómo los ejemplos de
N1 corresponden a ejemplos de N2 a través deV.
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Autores y el concepto de aprobación
Sea s un autor.
Definición
Sean Σ = (N1,V,N2) y Σ′ = (N1,V′,N2) dos oraciones tales
que s |= Σ y s |= Σ′. Diremos que s aprueba que Σ y Σ′ son
equivalentes, denotado s |= [Σ ' Σ′], si s está de acuerdo queV
yV′ refieren a la misma relación funcional, y queV yV′ actúan
de la misma forma sobre los ejemplos de N1.
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Postulados de aprobación
PostuladoSean Σ1 y Σ2 dos oraciones concatenables. Si s |= Σ1 y s |= Σ2,
entonces s |= Σ1; Σ2.
PostuladoAsumiremos que existe una única frase verbal e, que se lee
〈〈e〉〉 = “is of course”
tal que si N es una frase nominal y s es un autor con s |= N ,
entonces s |= (N , e,N).
A la frase e la llamaremos frase verbal unidad.
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Postulados de aprobación
Postulado
Para toda oración Σ = (N1,V,N2) y para todo autor s, si s |= Σ
entonces
s |= [Σ; (N2, e,N2) ' Σ] y s |= [(N1, e,N1); Σ ' Σ].
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Estructura de bicategoría del idioma Inglés
Definición (0-células)
Un tipoN = (N ,T)
consiste en una frase nominal N y en un conjunto de autores T tal
que T |= N .
Denotamos
Auth(N) := T .
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Estructura de bicategoría del idioma Inglés
Definición (1-células)Dados dos tipos N1 y N2, un aspecto de N1 a N2, denotado
V : N1 → N2, consiste en un par
V = (V,A)
dondeV es una frase verbal, y A es un conjunto de autores tal
que A ⊆ Auth(N1) ∩ Auth(N2) y A |= V.
Denotamos
Auth(V) := A .
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Estructura de bicategoría del idioma Inglés
Definición (2-células)Dados dos tipos N1 y N2, y dos aspectos V1,V2 : N1 → N2, un
hecho de V1 a V2, denotado
F : V1 ⇒ V2,
está dado por un conjunto de autores F ⊆ Auth(V1) ∩ Auth(V2) tal
que F |= [V1 ' V2].
N1 ⇓ F N2
V1
V2
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Estructura de bicategoría del idioma Inglés
Construcción de Eng:
• Denotaremos por Ob(Eng) la colección de todos los tipos.
• Para cada par de tipos N1,N2 ∈ Ob(Eng), existe una
categoría Eng(N1,N2), cuyos objetos están dados por
aspectos
V : N1 → N2,
y los morfismos entre aspectos V1,V2 : N1 → N2 están dados
por hechos
F : V1 ⇒ V2.
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Estructura de bicategoría del idioma Inglés
• Composiciones verticales:
N1 N2 := N1 N2
V1
V2
V3
V1
V3
⇓ F1
⇓ F2
⇓ F1 ∩ F2
PostuladoDadas tres frases verbalesV1,V2,V3 : N1 → N2. Si s es un autor
tal que s |= [V1 ' V2] y s |= [V2 ' V3], entonces s |= [V1 ' V3].
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Estructura de bicategoría del idioma Inglés
• Hecho identidad:
Para todo aspecto V : N1 → N2, se tiene un hecho
N1 N2
V
V
⇓ Auth(V)
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Estructura de bicategoría del idioma Inglés
• Composiciones horizontales:
Eng(N1,N2) × Eng(N2,N3) −→ Eng(N1,N3)
(V ,V ′) 7→ V ; V ′ sobre aspectos,
(F ,F ′) 7→ F • F ′ sobre hechos.
donde
V ; V ′ := ((V;V′),Auth(V) ∩ Auth(V ′)),
y para F : V1 ⇒ V2 y F ′ : V ′1 ⇒ V ′2, F • F ′ : V1; V ′1 ⇒ V2; V ′2 es
el hecho
F ∩ F ′ |= [(V1;V2) ' (V′1;V′2)].
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Estructura de bicategoría del idioma Inglés
N1 N2 N3 := N1 N3
V1 V2
V ′1 V ′2
V1;V2
V ′1;V′2
⇓ F ⇓ F ′ ⇓ F ∩ F ′
PostuladoSeanV1,V
′1 : N → N ′ yV2,V
′2 : N ′ → N ′′ frases verbales, y s
un autor tal que s |= [V1 ' V′1] y s |= [V2 ' V
′2].
Entonces
s |= [V1;V2 ' V′1;V′2].
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Estructura de bicategoría del idioma Inglés
Proposición (-, D. I. Spivak)
La colección Eng de todos los tipos, aspectos y hechos, equipada
con las operaciones anteriores, define una bicategoría.
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Registros ontológicos (redefinidos)
DefiniciónDada una categoría pequeña C. Una estructura lingüística sobre
C es un funtor laxo
L : C −→ Eng.
Un registro ontológico es un par (C, L) donde C es una
categoría pequeña y L es una estructura lingüística sobre C.
Dada una estructura lingüística L : C −→ Eng:
• Cada objeto c ∈ Ob(C) es enviado a un tipo
L(c) = (L(c),Auth(L(c))), es decir Auth(L(c)) |= L(c).
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Registros ontológicos (redefinidos)
Dada una estructura lingüística L : C −→ Eng:
• Cada morfismo f : c → c′ en C es enviado a un aspecto
L(f) = (L(f),Auth(f)) : L(c)→ L(c′)
donde L(f) : L(c)→ L(c′) es una frase verbal con
Auth(L(f)) |= L(f)
y
Auth(L(f)) ⊆ Auth(L(c)) ∩ Auth(L(c′)).
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Registros ontológicos (redefinidos)
Dada una estructura lingüística L : C −→ Eng:
• Cada par de morfismos 1f−→ 2
g−→ 3 en C, con h = f ; g, es
enviado a una 2-célula (hecho) F : L(f); L(g)⇒ L(h), es decir
F |= [L(f);L(g) ' L(h)].
L(1) L(2)
L(3)
L(f)
L(h)L(g)
w
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Registros ontológicos (redefinidos)
Sea C la categoría
C =
•1 •2
•3
h
f
g
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Registros ontológicos (redefinidos)
con la estructura lingüística
(C, L) =
1pa personh
2
pa pair (w,m) where w isa woman and m is a man
h
3pa womanh
has as parents
has as mother
yields as w
w
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Esquema
1 Estructuras lingüísticas:
Viendo al idioma inglés como una bicategoría.
2 Funtores lingüísticos:Morfismos entre registros ontológicos.
3 Ejemplificaciones sobre estructuras lingüísticas:
Bases de datos.
4 Funtores ejemplificados:
Preservación de bases de datos.
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Funtores lingüísticos
Definición
Sean (C, L) y (D,M) dos registros ontológicos. Un funtorlingüístico entre ellos, denotado
(F ,F]) : (C, L) −→ (D,M),
consiste en un funtor F : C −→ D junto con una transformación
laxa F] : L ; M ◦ F .
C D
F];
Eng
F
L M
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Funtores lingüísticos
El morfismo F] incluye:
• Para cada c ∈ Ob(C), un aspecto
F]c : L(c) ; M(Fc),
llamado c-componente de F], con un conjunto de autores
Auth(F]c) |= F]c .
• Para cada morfismo f : c → c′, se tiene un hecho
L(c) M(Fc)
F#f w
L(c′) M(Fc′)
F#c
F#c′
L(f) M(Ff)
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Funtores lingüísticos
Definición
Si F] es la identidad, en cuyo caso tenemos
L = M ◦ F ,
diremos que L es el pullback de M a lo largo de F , y denotamos
L = F∗(M).
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Funtores lingüísticos
(C, L) :=
1pa manh
2pan objecth
is
(D,M):=
apa womanh
cpan animalh
b
pa numberbetween
20 and 500
hd
pa numberh
is
has as weight(in kilograms) has as weight
(in kilograms)
is
w
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Funtores lingüísticos
Sean F ,G : C −→ D los siguientes funtores:
C D C D
1 c 1 a
2 d 2 b
F G
Pregunta
¿Se pueden extender F y G a funtores lingüísticos?
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Funtores lingüísticos
(C,F∗(M)) :=
1pan animalh
2pa numberh
has as weight(in kilograms)
F] ?←−−−−−
(C, L) :=
1pa manh
2pan objecth
is
G] ?−−−−−→
(C,G∗(M)) :=
1pa womanh
2
pa numberbetween
20 and 120
h
has as weight(in kilograms)
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Funtores lingüísticos
Construcción de F] : L ; M ◦ F :
1
pa manh1
pan animalh
w
2
pan objecth2
pa numberh
is
is
has as weight (in kilograms)
has as weight(in kilograms)
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Funtores lingüísticos
¿Se puede construir G] : L ; M ◦ G?:
1
pa manh1
pa womanh
2
pan objecth
2
pa number between
20 and 120h
is
has as mother
has as weight (in kilograms)
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Esquema
1 Estructuras lingüísticas:
Viendo al idioma inglés como una bicategoría.
2 Funtores lingüísticos:
Morfismos entre registros ontológicos.
3 Ejemplificaciones sobre estructuras lingüísticas:Bases de datos.
4 Funtores ejemplificados:
Preservación de bases de datos.
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El idioma Inglés con ejemplos
DefiniciónSea N una frase nominal. Diremos que x es un token de N si x
es un ejemplo para el cual la el concepto 〈〈N〉〉 aplica, es decir, si
la siguiente oración es cierta:
N(x) := x “is” 〈〈N〉〉
Dado un autor s, si s |= N y N(x) es cierta según s, diremos que
s aprueba a x como token de N , denotado
s |= (x : N).
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El idioma Inglés con ejemplos
Definición
Sea (N1,V,N2) una oración, x e y tokens de N1 y N2,
respectivamente. Diremos que x corresponde a y a través deV
si la siguiente oración es cierta:
V(x, y) := x “is” 〈〈N1〉〉 “which” 〈〈VN2〉〉, “namely” y
Si s es un autor tal que
s |= (N1,V,N2), s |= (x : N1), s |= (y : N2),
yV(x, y) es cierta según s, entonces diremos que s aprueba la
correspondenciaV(x, y) entre x e y, denotado
s |= V(x, y).
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El idioma Inglés con ejemplos
pa US presidenth pan integerh
can, using the usual chronologicalordering of presidents, be assigned
s |= (Abraham Lincoln : a US president),
s |= (16 : an integer).
Entonces s |= V(Abraham Lincoln, 16) si la siguiente oración es
cierta:
Abraham Lincoln is a US president which can, using the
usual chronological ordering of presidents, be assigned
an integer, namely 16.
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El idioma Inglés con ejemplos
Definición
Un tipo ejemplificado es un par N = (N,T), donde N es un tipo
con frase nominal N y T es un conjunto tal que para todo x ∈ T,
tenemos
Auth(N) |= (x : N).
Denotamos el conjunto T por T(N) := T.
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El idioma Inglés con ejemplos
Definición
Sean N1 y N2 dos tipos ejemplificados. Un aspecto ejemplificadode N1 a N2, denotado
V : N1 → N2,
consiste en un par (V , f), donde V : N1 → N2 es un aspeto, y f es
una función f : T(N1)→ T(N2), tal que para todo token x ∈ T(N1),
se tiene
Auth(V) |= V(x, f(x)).
Denotaremos la función f por T(V) := f .
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El idioma Inglés con ejemplos
Definición
Dados dos aspectos ejemplificados V1,V2 : N1 → N2 tales que
T(V1) = T(V2). Un hecho ejemplificado de V1 a V2, denotado
F : V1 ⇒ V2,
consiste en un hecho F = F , donde F |= [V1 ' V2].
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El idioma Inglés con ejemplos
Proposición (-, D. I. Spivak)
La colección InstEng de todos los tipos, aspectos y hechos
ejemplificados define una bicategoría.
Proposición (-, D. I. Spivak)
(a) Las aplicaciones
N 7→ N, para todo tipo ejemplificado N,
V 7→ V , para todo aspecto ejemplificado V ,
definen un funtor estricto entre bicategorías
U : InstEng −→ Eng.
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El idioma Inglés con ejemplos
Proposición (-, D. I. Spivak)
La colección InstEng de todos los tipos, aspectos y hechos
ejemplificados define una bicategoría.
Proposición (-, D. I. Spivak)
(b) Las aplicaciones
N 7→ T(N), para todo tipo ejemplificado N,
V 7→ T(V), para todo aspecto ejemplificado V ,
definen un funtor estricto entre bicategorías
T : InstEng −→ Set.
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El idioma Inglés con ejemplos
Proposición (-, D. I. Spivak)
La colección InstEng de todos los tipos, aspectos y hechos
ejemplificados define una bicategoría.
Proposición (-, D. I. Spivak)
(c) Juntos, estos funtores definen una inclusión
(U,T) : InstEng ↪→ Eng × Set.
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Estructuras lingüísticas ejemplificadas
DefiniciónSea C una categoría pequeña. Una estructura lingüísticaejemplificada sobre C es un funtor laxo
L : C −→ InstEng.
Un registro ontológico ejemplificado es un par (C, L) donde C
es una categoría pequeña y L : C −→ InstEng es una estructura
lingüística ejemplificada sobre C.
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Estructuras lingüísticas ejemplificadas
DefiniciónDada una estructura lingüística L : C −→ Eng y un funtor
I : C −→ Set, diremos que I se ajusta a L si el par
(L , I) : C −→ Eng × Set se factoriza a través de InstEng.
C Eng × Set
InstEng
(L , I)
L(U,T)
Al funtor L se le denomina ejemplificación de L .
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Estructuras lingüísticas ejemplificadas
Observación
Toda estructura lingüística ejemplificada L : C −→ InstEng está
dada por un par (L , I), donde L : C −→ Eng es una estructura
lingüística y I : C −→ Set es un funtor que se ajusta a L .
A saber:
L = CL−→ InstEng
U−→ Eng,
I = CL−→ InstEng
T−→ Set.
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Estructuras lingüísticas ejemplificadas
Dado el registro ontológico (C, L):
pa personh pa fatherhhas
Consideremos un funtor I : C −→ Set con los siguientes datos re-
gistrados:
a person has a father, namely
George W. Bush George H. W. Bush
Jeb Bush George H. W. Bush
Emmy Noether Max Noether
a father
George H. W. Bush
Max Noether
Bill Clinton
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Estructuras lingüísticas ejemplificadas
Para que (L , I) sea válido como estructura lingüístuca ejemplifica-
da, los autores deben aprobar los tokens anteriores y las siguientes
oraciones:
• “George W. Bush is a person, which has a father, namely George H. W.Bush”.
• “Jeb Bush is a person, which has a father, namely George H. W. Bush”.
• “Emmy Noether is a person, which has a father, namely Max Noether”.
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Esquema
1 Estructuras lingüísticas:
Viendo al idioma inglés como una bicategoría.
2 Funtores lingüísticos:
Morfismos entre registros ontológicos.
3 Ejemplificaciones sobre estructuras lingüísticas:
Bases de datos.
4 Funtores ejemplificados:Preservación de bases de datos.
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Funtores lingüísticos ejemplificados
Definición
Dados dos registros ontológicos ejemplificados (C, L) y (D,M).
Un funtor lingüístico ejemplificado entre ellos, denotado
(F ,F \) : (C, L) −→ (D,M)
consiste en un funtor F : C −→ D y en una transformación laxa
F \ : L ; M ◦ F .
C D
F \;
InstEng
F
L M
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Funtores lingüísticos ejemplificados
Observación
Sean (C, L) y (D,M) dos registros ontológicos ejemplificados,
donde
L = (L , I) : C −→ Eng × Set,
M = (M, J) : D −→ Eng × Set.
Un funtor lingüístico ejemplificado (C, L) −→ (D,M) está dado
por:
• Un funtor F : C −→ D.
• Una transformación laxa F] : L ; M ◦ F .
• Una transformación natural F[ : I ⇒ J ◦ F que se ajusta a F].
Marco A. Pérez ([email protected]) Estructuras lingüísticas, ejemplificaciones y morfismos
Funtores lingüísticos ejemplificados
ObservaciónEsto último quiere decir que la transformación laxa
(F],F[) : C −→ Eng × Set
se factoriza a través de la inclusión InstEng ↪→ Eng × Set.
Explícitamente: Para cada c ∈ Ob(C) se tienen un aspecto y una
función
F]c : L(c) ; M(Fc) y F[c : I(c)→ J(Fc)
tales que
s |= F]c(x,F[c(x)) ∀x ∈ I(c) y ∀s ∈ Auth(F]c(x)).
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Funtores lingüísticos ejemplificados
Eng
F] u
C
F[ w
Set
L
M ◦F
I
J ◦ F
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Funtores lingüísticos ejemplificados
Sean I : C −→ Set y J : D −→ Set dos ejemplificaciones (también
llamadas esquemas de bases de datos).
Supongamos que estas dos bases de datos se quieren unir por
medio de un funtor F : C −→ D, es decir, se quiere hallar
F[ : I ⇒ J ◦ F .
ObservaciónEsta tarea es más fácil si se cuenta con una transformación laxa
F] para la cual se ajuste F[.
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Funtores lingüísticos ejemplificados
Supongamos
(C, L) =1
pa humanhF−→ (D,M) =
a
pa personh
I(1) :=a human
Emmy Noether
George W. Bush
J(a) :=
a person
Emmy Noether
Max Noether
Bill Clinton
George H. W. Bush
George W. Bush
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Funtores lingüísticos ejemplificados
Existen 52 = 25 formas de definir I ⇒ J ◦ F .
Supongamos que tenemos las siguientes opciones para F]:
F] = pa humanh pa personhis
F∗ = pa humanh pa personhhas as father
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Así se tiene:
(F],F[) : =
a human is a person, namely
Emmy Noether Emmy Noether
George W. Bush George W. Bush
(F∗,F !) : =
a human has as father a person, namely
Emmy Noether Max Noether
George W. Bush George H. W. Bush
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