UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

HPV/

Práctica 1. 527147.

1. Considere la función f(x) = x2 definida sobre el intervalo [0, 2]. Mediante el cálculode sumas inferiores y superiores dé valores aproximados de la integral

∫2

0f (x) dx,

correspondientes a las representaciones siguientes:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

4

x

y

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

4

x

y

suma inferior con 10 subintervalos de igual longitud y suma superior con 10 subin-tervalos de igual longitud,respectivamente.

2. Aproximar∫ ba f (x) dx calculando sumas superiores e inferiores, considerando las

particiones indicadas.

(a)

∫ 3

−1

|x| dx; P ={−1,−1

2, 0, 1

2, 1, 3

2, 2, 5

2, 3}

(b)

∫ π

4

−π

4

3 sinx dx; P ={−π4, 0, π

4

}

3. Usando la definición de integral demuestre que, para 0 < a < b:∫ b

ax2 dx =

1

3

(b3 − a3

)

Indicación.- Use la condición: xk−1 < xk ⇒ x2k−1 <1

3

(x2k + xk−1xk + x

2k−1

)< x2k.

4. Evalue la integral∫ 20x2 dx. Encuentre el valor de c ∈ [0, 2] que satisface la igualdad

del teorema del valor medio para integrales∫ b

af (x) dx = f (c) (b− a)

¿Cuál es el valor promedio de f en el intervalo [0, 2]?(

1

b−a

∫ ba f (x) dx

)

5. Usando el teorema del valor medio para integrales, calcule limn→∞

an, donde

a) an = 2n

∫ 2/n

1/n

(1− cos

(x2))dx b) an =

∫ 2n

n

1

2nsinxx+1 dx