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“AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y
COMPROMISO CLIMÁTICO”
GEOESTADISTICA I
COSTRUCCION DE UN PROGRAMA QUE LEA UNA BASE DE DATOS,
CALCULE LA LEY DE CORTE, CALCULE Y GRAFIQUE TONELAJE –
LEY DE CORTE, CANTIDAD DE METAL – LEY DE CORTE, LEY
MEDIA – LEY DE CORTE Y HAGA UN ANALISIS DE SENSIBILIDAD
PARA DIFERENTES TAMAÑOS DE BLOQUES
HENRRY MARIO GRANDEZ LLANCA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA
ESCUELA DE MINAS
LIMA
JULIO 2014
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INDICE
INTRODUCCION……...................................................................................................................5
OBJETIVOS……………………………………………………………...…………….…………6
ANTECEDENTES DE LA GEOESTADISTICA……………………………………..………….7
MARCO TEÓRICO……………………………………………….……….….……..………….10
LEY DE CORTE………………………………………………………………………………...10
RESERVAS MINERALES……………………………………………………………………...14
SOFTWARE PYTHON………………………………………………………………………….16
PROBLEMS RESUELTO EN PYTHON……………………………………………………….20
CALCULO DE LA LEY DE CORTE…………………………………………….……………..22
LEER DATOS POR COLUMNAS CON PYTHON……………………………………………22
PROCESAMIENTO DE LOS DATOS CON C++……………………...………………………23
ANÁLISIS USANDO EXCEL…………………………………………………………………..25
CONCLUSIONES…………………………………………………………………………….....28
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RECOMENDACIONES…………………………………………………………………………29
BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………...…30
I. INTRODUCCIÓN
La necesidad de acudir a herramientas estadísticas para el análisis de datos en todas las áreas del
conocimiento, ha hecho que aparezcan con el correr de los años nuevas metodologías que, no
obstante se centran en fundamentos probabilísticos comunes, son específicas para cada una de las
diversas disciplinas del saber. Algunos ejemplos son, entre otros, la econometría, psicometría o
la bioestadística. La gran relevancia que tiene actualmente a nivel mundial el tema ambiental ha
hecho que los profesionales en estadística encaminen esfuerzos en el desarrollo de nuevas
técnicas apropiadas para el análisis de información enmarcada dentro de este contexto. Como
consecuencia de este impulso surgió la geoestadística, teniendo como padre a George Matheron.
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II. OBJETIVOS
Construir un programa que realice las siguientes actividades:
Lea una base de datos.
Calcule la ley de corte de 3 minerales.
Calcule y grafique las curvas:
Tonelaje vs ley de corte.
Cantidad de metal vs ley de corte.
Lay media vs ley de corte.
Haga un análisis de sensibilidad para diferentes tamaños de bloques.
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III. ANTECEDENTES DE LA GEOESTADISTICA
La geoestadística es uno de los más grandes descubrimientos de siclo XX. Teniendo como padre
a Profesor Georges Matheron (1930 - 2000). De la escuela Fontainebleau, Francia.
"Une vie consacrée à la modélisation probabiliste"
Al llegar la geoestadística a américa latina se aplicó en Chile, esto debido a que las
condiciones burocráticas lo permitían.
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La geoestadística en américa latina tiene como antecedente el trabajo presentado por Michel
Dagbert(SGS-geoestat Blainville, Quebec, Canadá) en la charla inaugural del Octavo Congreso
Internacional de Geoestadística, llevado a cabo en Santiago de Chile en diciembre del 2008 En
efecto, en el marco de la cooperación entre Francia y Chile, el Dr. Alain Marechal, investigador
del centro de geoestadística de Fontainebleau, Francia, enseñó geoestadística y formó un equipo
de geoestadística en el Departamento de Ingeniería de Minas de la Universidad de Chile desde
1971 a 1973.
El equipo de investigación dirigido por el profesor Alain Marechal estaba constituido por 3
grupos:
1) Un grupo de 4 investigadores (Issac Ugarte (De nacionalidad Boliviana), Marco
Alfaro y Jorge Walton) para trabajar en proyectos de Codelco.
2) Un grupo de Desarrollo de Software en Geoestadística para el desarrollo y
programación de Métodos Numéricos, que permitan aplicar la Geoestadística teórica
de Matheron en las minas principales de Chile, a cargo de Alfredo Marín con 3
estudiantes de apoyo.
3) Un grupo de investigación operativa a cargo de Jorge Mas y Hernán Buchi
(Posteriormente ministro de Hacienda de la república de Chile), con 3 estudiantes de
apoyo.
Luego se comentará sobre aplicaciones en Perú, Chile, Colombia, Ecuador y Estados
Unidos de Norteamérica.
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IV. MARCO TEÓRICO
IV.1. LEY DE CORTE:
La definición de los límites económicos de explotación de un rajo, se basará en un modelo
económico de beneficio nulo al extraer la última expansión marginal. Esquemáticamente lo
podemos ver en la siguiente figura:
B = I - C
B: Beneficio neto esperado de la última expansión marginal
I: Ingresos por venta del producto
C: Costos para obtener el producto
Sabemos que la extracción de M1 nos ha reportado beneficios mayores que cero, la
pregunta es: ¿La extracción de M2 nos reportará un beneficio mayor que cero?. Si así fuese
significaría que M2 por sí solo permite la extracción de su estéril asociado E2, así como M1
logró pagar los costos asociados a la extracción de E1. El asunto ahora es evaluar si vale la pena
extraer la lonja adicional o la que llamamos la última expansión marginal.
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Teniendo en cuenta lo anterior y recurriendo al formulismo se tiene que:
B1 = I1 - C1 > 0
con lo que aseguramos que efectivamente
el rajo se explotará inicialmente con esos límites
Debemos comprobar ahora si es conveniente realizar o no la expansión marginal, entonces si:
B2 = I2 - C2 > 0
se asegura que la última expansión marginal
se explotará ampliándose los límites iniciales del rajo
B2 = I2 - C2 < 0
se asegura que la última expansión marginal NO se explotará
y el límite de la explotación queda definido por la explotación de M1
Este modelo permitirá obtener las líneas finales de nuestro rajo en una zona tal que el estéril
es pagado única y exclusivamente por el mineral sin que se produzcan pérdidas ni ganancias, en
función de las variables y costos estimados para la futura explotación.
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IV.1.1. CALCULO PRÁCTICO DE LA LEY DE CORTE
IV.1.1.1. METODO ANALITICO.
Para calcular la ley de corte debemos considerar tanto el costo mina como el costo planta, los
cuales generalmente varían durante la vida útil de explotación, ya que las distancias para el
transporte del mineral como del estéril varían, además el tratamiento de la planta cambia
dependiendo de las características del mineral alimentado.
Estas pueden variar dependiendo de la profundidad que se explote, por lo que en ambos
casos se debe ocupar la mejor estimación posible.
En este sentido podemos decir que en función de los costos estimados para la extracción de
un bloque del yacimiento, definiremos una ley que permita discriminar un bloque como mineral
o estéril, la cual llamaremos LEY DE CORTE CRÍTICA.
La expresión para calcular la ley de corte se define de la siguiente manera:
LEY DE CORTE = (CostoMina + CostoPlanta) *100/((Pr ecio - Costo Re fino) * RM * 2200)
Entre los costos que necesitamos para realizar el calculo de la Ley de Corte encontramos
aquellos que se producen en la explotación misma de la mina y de todo aquello que lo rodea, ya
sea lo concerniente al transporte, al carguío, a la extracción misma, a la compra de equipos, al
traslado de los mismos, etc. También tenemos costos en la planta ya sea por tratamiento del
mineral y por el tratamiento del concentrado en la refinería. Todos estos datos fueron facilitados
por la planta.
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La clasificación de los itemes de los costos se especifican a continuación dependiendo del
sector en que se encuentran, estos son:
Costos Directos de Mina tenemos los siguientes itemes:
Costo de Perforación.
Costo de Tronadura.
Costo de Carguío.
Costo de Transporte.
Costo de Servicio.
Administración.
Se tiene también un costo de Depreciación de los equipos mineros.
Costos de la Planta especificados en el siguiente esquema:
Costo de tratamiento de mineral.
Costo de Administración central.
Costos de traslado y transporte e instalaciones de los equipos y maquinarias en la faena o el
traslado de los puertos.
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IV.2. RESERVAS MINERAS
Son reservas de minerales que poseen valor y que puede ser usado cuando uno lo necesite en la
actividad minera está determinado por la presencia de minerales con valor económico.
Identificación de yacimiento mineral
Los minerales están distribuidos en forma desigual en la corteza terrestre. Identificación de
volúmenes considerables de minerales que presentan altas leyes. Los yacimientos están más
cercas de la superficies que otros, formando cuerpos, vetas, mantos. Lo crucial es determinar si
el yacimiento identificado tiene un valor económico. Las variables importantes en la búsqueda de
mineral de valor económico son:
El tonelaje.
La ley (grado que alcanza el mineral).
La cual suele ser expresadas en porcentaje, Oz-troy/ton o gramos por toneladas.
Identificación de Reservas del mineral
Reservas Probadas: Son aquellas en las que se tiene certeza de su continuidad. Son estimadas a
partir de los resultados obtenidos en los trabajos de muestreo, labores, sondajes y programas de
minado mediante software de modelamiento. El estudio de yacimiento ha permitido establecer su
geometría, el volumen de mineral y la ley.
Reservas probables: Son aquellas en las que existe riesgo de discontinuidad, tanto la geometría,
como el volumen del mineral y la ley han sido inferidos a partir de información menos completa
que en el caso anterior.
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Valor de la reserva:
Una reserva minera será considerada económica o lo que es más un proyecto tendrá posibilidades
de llevarse a cabo cuando los ingresos producto de venta del metal superen los costos que
significó sacarlos y procesarlos. Es decir que el precio del mercado permite tener ganancia por
el producto que se extrae.
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA
INGRESOS D.P Tc X Lc X Vc
COSTOS D.P Ta X Lm X Cp
DONDE:
Tc : Número de toneladas de concentrado
Lc : Ley del concentrado
Vc : Valor del concentrado
Ta : Número de toneladas de mineral alimentado
Lm: Ley del mineral alimentado
Cp: Costo de producción
POSIBLES CASOS:
INGRESOS > COSTOS; INGRESOS = COSTOS;INGRESOS < COSTOS
CUANDO:
Tc X Lc X Vc = Ta X Lm X Cp
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Lc LCORTE
LCORTE = (Lm X Cp X RCM) / ( VC )
Dónde:
RCM: Radio de concentración metalúrgica
IV.3. SOFTWARE PYTHON
Python es un lenguaje de programación interpretado cuya filosofía hace hincapié en una sintaxis
que favorezca un código legible.
Se trata de un lenguaje de programación multiparadigma, ya que soporta orientación a
objetos, programación imperativa y, en menor medida, programación funcional. Es un lenguaje
interpretado, usa tipado dinámico y es multiplataforma.
Es administrado por la Python Software Foundation. Posee una licencia de código abierto,
denominada Python Software Foundation License, que es compatible con la Licencia pública
general de GNU a partir de la versión 2.1.1, e incompatible en ciertas versiones anteriores.
IV.3.1. CARACTERÍSTICAS Y PARADIGMAS.
Python es un lenguaje de programación multiparadigma. Esto significa que más que forzar a los
programadores a adoptar un estilo particular de programación, permite varios
estilos: programación orientada a objetos, programación imperativa y programación funcional.
Otros paradigmas están soportados mediante el uso de extensiones.
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Python usa tipado dinámico y conteo de referencias para la administración de memoria.
Una característica importante de Python es la resolución dinámica de nombres; es decir, lo
que enlaza un método y un nombre de variable durante la ejecución del programa (también
llamado enlace dinámico de métodos).
Otro objetivo del diseño del lenguaje es la facilidad de extensión. Se pueden escribir nuevos
módulos fácilmente en C o C++. Python puede incluirse en aplicaciones que necesitan una
interfaz programable.
Aunque la programación en Python podría considerarse en algunas situaciones hostiles a la
programación funcional tradicional del Lisp, existen bastantes analogías entre Python y los
lenguajes minimalistas de la familia Lisp como puede ser Scheme.
IV.3.2. Elementos del lenguaje
Python fue diseñado para ser leído con facilidad. Una de sus características es el uso de palabras
donde otros lenguajes utilizarían símbolos. Por ejemplo, los operadores lógicos!, || y && en
Python se escriben not, or y and, respectivamente.
El contenido de los bloques de código (bucles, funciones, clases, etc.) es delimitado
mediante espacios o tabuladores, conocidos como indentación, antes de cada línea de órdenes
pertenecientes al bloque. Python se diferencia así de otros lenguajes de programación que
mantienen como costumbre declarar los bloques mediante un conjunto de caracteres,
normalmente entre llaves {}. Se pueden utilizar tanto espacios como tabuladores para identar el
código, pero se recomienda no mezclarlos.
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Función factorial en C (indentación opcional)
Función factorial en Python (indentación
obligatoria)
int factorial(int x)
{
if (x == 0)
return 1;
else
return x * factorial(x - 1);
}
def factorial(x):
if x == 0:
return 1
else:
return x * factorial(x - 1)
Debido al significado sintáctico de la indentación, una instrucción debe estar contenida en
línea. No obstante, si por legibilidad se quiere dividir la instrucción en varias líneas, añadiendo
una barra invertida \ al final de una línea, se indica que la instrucción continúa en la siguiente.
Estas instrucciones son equivalentes:
lista=['valor 1','valor 2','valor 3']
cadena='Esto es una cadena bastante larga'
lista=['valor 1','valor 2' \
,'valor 3']
cadena='Esto es una cadena ' \
'bastante larga'
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Tipos de datos
Los tipos de datos se pueden resumir en esta tabla:
Tipo Clase Notas Ejemplo
str Cadena Inmutable 'Cadena'
unicode Cadena Versión Unicode de str u'Cadena'
list Secuencia Mutable, puede contener objetos de diversos tipos
[4.0, 'Cadena', True]
tuple Secuencia Inmutable, puede contener objetos de diversos tipos
(4.0, 'Cadena', True)
set Conjunto Mutable, sin orden, no contiene duplicados
set([4.0, 'Cadena', True])
frozenset Conjunto Inmutable, sin orden, no contiene duplicados
frozenset([4.0, 'Cadena', True])
dict Mapping Grupo de pares clave:valor {'key1': 1.0, 'key2': False}
int Número entero
Precisión fija, convertido en long en caso de overflow.
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long Número entero
Precisión arbitraria 42L ó 456966786151987643L
float Número decimal
Coma flotante de doble precisión 3.1415927
complex Número complejo
Parte real y parte imaginaria j. (4.5 + 3j)
bool Booleano Valor booleano verdadero o falso True o False
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V. PROBLEMS RESUELTO EN PYTHON
V.1. SE MUESTRA LAS FUNCIONES QUE SE REALIZARON
PARA PROGRAMAR
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V.2. CALCULO DE LA LEY DE CORTE
V.2.1. LEER DATOS POR COLUMNAS CON PYTHON:
import matplotlib.pyplot as plt
import os
f = open("out.txt", "r")
X = []
Y = []
i = 0
for line in f:
j = 0
for v in line.split(" "):
#if v != "\n":
if j == 0:
X.append(float(v))
else:
Y.append(float(v))
j += 1
i += 1
print (X)
print (Y)
plt.plot(X, Y)
plt.show()
f.close
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5.2.2. PROCESAMIENTO DE LOS DATOS CON C++
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<cstdio>
#include <sstream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Area=1000;
const int Pot=10;
const int Vol=10000;
const double GE=2.5;
int main(){
cout<<"Ingrese el numero de bloques"<<endl;
int n;
cin>>n;
freopen("out.txt","w",stdout);
double A[n];
double B[n];
srand(time(NULL));
double ley;
for(int i=0;i<n;i++){
A[i]=(rand()%200);
A[i]=A[i]/100;
}
for(int i=0;i<n;i++){
B[i]=(rand()%200);
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B[i]=B[i]/100;
}
double Ton;
Ton=Vol*GE;
double cut[6];
for(int i=0;i<n;i++){
if(A[i]>=0){
cut[0]=cut[0]+A[i];
}
if(A[i]>=0.2){
cut[1]=cut[1]+A[i];
}
if(A[i]>=0.4){
cut[2]=cut[2]+A[i];
}
if(A[i]>=0.6){
cut[3]=cut[3]+A[i];
}
if(A[i]>=0.8){
cut[4]=cut[4]+A[i];
}
if(A[i]>=1){
cut[5]=cut[5]+A[i];
}
}
double a=0.0;
for(int i=0;i<6;i++){
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cout<<cut[i]<<" "<<a<<endl;
a+=0.2;
}
return 0;
}
5.2.3. ANÁLISIS USANDO EXCEL
Dado que el Área ocupa la columna B y la Potencia la columna C, entonces se tiene que el
Volumen es B#*C#.
El Tonelaje se calcula como el producto de ‘Volumen’ * ‘PesoEspecífico’ (D#*E#).
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Para el cálculo de la Ley equivalente debemos considerar lo siguiente:
La ley equivalente se define con la siguiente fórmula:
=G#+(((3.048*88%)/(18227.492*72%))*H#)+(((0.947*70%)/(18227.492*72%))*I#)
Donde G# es la ley del oro, H es la ley de Cu, e I# es la ley de Pb.
Resolvemos la siguiente tabla usando una suma condicionada para hallar el tonelaje de cada cut
off.
=SUMIF(G2:G31,">=cut off",F2:F31)
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Luego tenemos que la cantidad de Metal es ‘Tonelaje’ * ’LEY Au’ = U#*V#.
$ USA es el producto de Cantidad de Metal y Precio del Oro.
Obtenemos las siguientes graficas:
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VI. CONCLUSIONES
Al probar con otros datos de entrada (random) tenemos que la gráfica Ley vs Tonelaje
sigue siendo monótona decreciente
Al probar con otros datos de entrada tenemos que la gráfica Ley vs Q sigue siendo una
curvadecreciente
Al probar con otros datos de entrada tenemos que la gráfica Ley vs US$ sigue siendo una
curva decreciente.
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VII. RECOMENDACIONES
En el cómputo de los códigos de Visual Basic se debe tener mucho cuidado , ya que
sino el programa no se ejecuta, también se deben declarar todas las variables para que
sean considerados números o no.
Al momento de ingresar la máxima y mínima ley se debe tener cuidado de que se
asemejen a datos cercanos a la realidad. Por ejemplo ley de Cu de 1.9%
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VIII. BIBLIOGRAFIA
clases de Informática por Ing. Chávez, Adolfo
Clases del PhD. Alfredo Marín Suarez
http://geoestadistica.org/index.html, página del CENTRO GEOESTADÍSTICO
PERUANO, Lima 21 de abril del 2013.
SIMPOSIUM INTERNACIONAL DE PLANEAMIENTO DE MINA (SIPLAMIN),
Exposición realizada por el Dr. Alfredo Marín, Lima 15 de noviembre del 2012.