Download - Diferencias Finitas - Solucion Stommel
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 1/15
DINAMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL
TRABAJO Nº 04PROBLEMA LAGO
STOMMEL
Profesor: Carlos A. A. Carbonel Huaman
Alumno: Edison André Auccapiña Pérez
Código: 06130124
Octubre 2015
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad Ciencias Físicas – E.A.P. Ingeniería Mecánica de
Fluidos
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 2/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
1
RESUMEN
El presente trabajo consiste en calcular la función de corriente en un mar interior, el cual está bajo
ciertas condiciones de viento. Para ello se usara el método numérico de diferencias finitas para
solucionar la ecuación en derivada parcial con condiciones de frontera que describe el problema de
circulación en 2D en el mar interior presentado en este problema.
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 3/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
2
DESCRICPIÓN DEL PROBLEMA
Resolver numéricamente el problema de circulación en un mar interior de dominio espacial Ω y
fronteras costeras Γ
contornoel en
dominioel en x
Dn
0
2
Calcular la distribución de la función de corriente Ψ en el mar interior de forma rectangular de
dimensiones Lx = 50 km, Ly = 100 km, con profundidad constante D = 100 m., ρ = 1000 kg/m3,
β = 10-11. Lx x Fmaxn
y /1 , con Fmax = 1 dyn/cm2 =0.1 N/m2. El mar está bajo la acción del
viento Considerar γ = 0.1.
ECUACIONES
La ecuación que gobierna la distribución de corriente Ψ en el dominio espacial Ω en el mar interior
presentado en este problema es:
x D
n
2 .......................................................... (1)
Expresada de otra forma, la ecuación (1) puede ser expresada de la siguiente forma:
x y x D y x
n
yn
x
2
2
2
2
................................ (2)
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 4/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
3
De (2) y de las condiciones del problema se tiene:
Lx
max F
x
Lx
x1max F
n
yn
y
.................................. (2.a)
0 y
0n xn
x
....................................................................... (2.b)
Reemplazando (2.a) y (2.b) en la ecuación (2) se tiene lo siguiente:
Lx
max F
x D
y x2
2
2
2
.......................................... (3)
Por diferencias finitas la ecuación (3) tiene la siguiente forma:
Lx
max F
x D
y
2
x
2
2
j ,1i j ,1i
2
1 j ,i j ,i1 j ,i
2
j ,1i j ,i j ,1i
........... (4)
Asumiendo que y x y ordenando la ecuación (4):
2
j ,i1 j ,i1 j ,i j ,1i j ,1i Lx
max F 4
2
D
2
D
Es decir:
cb4bbaa j ,i1 j ,i1 j ,i j ,1i j ,1i
....................................................... (5)
Donde:
2
Lx
max F c y b ,
2
Da
RESULTADOS
Escogiendo una variación m5000 y x , obtendríamos la siguiente distribución espacial
de corriente Ψ [m3/s]:
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 5/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
4
Figura 1.
nj = 9 columnas
ni = 19 ilas
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 6/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
5
Donde, por diferencias finitas tendríamos el siguiente de sistema de 171 (19 x 9) ecuaciones lineales:
cbab4: Para1 ,22 ,11 ,11 ,1
cbab4a: Para
2 ,23 ,12 ,11 ,12 ,1
cbab4a: Para3 ,24 ,13 ,12 ,13 ,1
cbb4a: Para9 ,29 ,18 ,19 ,1
cbbab4: Para1 ,31 ,12 ,21 ,21 ,2
cbbab4a: Para2 ,32 ,13 ,22 ,21 ,22 ,2
cbbab4a: Para4 ,34 ,14 ,23 ,22 ,23 ,2
cbbb4a: Para9 ,39 ,19 ,28 ,29 ,2
cbab4: Para1 ,182 ,191 ,191 ,19
cbab4a: Para2 ,183 ,192 ,191 ,192 ,19
cbab4a: Para3 ,184 ,193 ,192 ,193 ,19
cbb4a: Para9 ,189 ,198 ,199 ,19
Matricialmente:
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 7/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
6
- 4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,1 c
a - 4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,2 c
0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,3 c
0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,4 c
0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,5 c
0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,6 c
0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,7 c
0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,8 c
0 0 0 0 0 0 0 a - 4b 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,9 c
b 0 0 0 0 0 0 0 0 - 4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,1 c
0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,2 c
0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ
2,3 c0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,4 c
0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,5 c
0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,6 c
0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,7 c
0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,8 c
0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a - 4b 0 0 0 0 0 0 0 0 b …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X Ψ 2,9 = c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 - 4b a 0 0 0 0 0 0 0 …. b 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 3,1 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 …. 0 b 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 3,2 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 …. 0 0 b 0 0 0 0 0 0 Ψ 3,3 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 …. 0 0 0 b 0 0 0 0 0 Ψ 3,4 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 …. 0 0 0 0 b 0 0 0 0 Ψ 3,5 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 …. 0 0 0 0 0 b 0 0 0 Ψ 3,6 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 …. 0 0 0 0 0 0 b 0 0 Ψ 3,7 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a …. 0 0 0 0 0 0 0 b 0 Ψ 3,8 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b …. 0 0 0 0 0 0 0 0 b Ψ 3,9 c
⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞…. ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. - 4b a 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 19,1 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. a -4b a 0 0 0 0 0 0 Ψ 19,2 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 a -4b a 0 0 0 0 0 Ψ 19,3 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 a -4b a 0 0 0 0 Ψ 19,4 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 a -4b a 0 0 0 Ψ 19,5 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 a -4b a 0 0 Ψ 19,6 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 a -4b a 0 Ψ 19,7 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 a -4b a Ψ 19,8 c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 a - 4b Ψ 19,9 c
171 columnas
171filas
[A] [X] [B]
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 8/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
7
Es decir,
B X A
Donde:
B A X 1
................................................................. (6)
Para resolver este problema se usará el programa Borland C++ 5.02 el cual maneja el lenguaje de
programación C++.
Primero se declararan las variables usadas en el problema:
Figura 2.
Dependiendo del valor de var (Δ = 5 000 m.) podemos calcular el valor el valor de ni = 19 (ver figura 1) y
nj = 9 (ver figura 1) y por ende determinar cuántos valores tendrá la matriz A, B y X. En este caso la matriz
A será de orden (19x9) X (19x9), es decir, 171 X 171; la matriz B, será de orden 171 X 1 y la matriz X (de
resultados), de orden 171 X 1.
Calculando los valores de a , b y c
Figura 3.
Donde con los datos del problema se tiene:
50
1.0
1025.0
c
b
a
Luego se programará los valores de la matriz [A]. Añadiendo primero el valor de a en la matriz [A] teniendo en cuenta el número de filas y columnas así como se muestra en el código mostrado en la fig. 4.
Figura 4.
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 9/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
8
Posteriormente se hará lo mismo con el valor de b como se muestra en la figura 5.
Figura 5.
Por último, se añadirá el valor de -4b en la diagonal de la matriz [A] mediante un código mostrado en la
figura 6.
Figura 6.
Para llenar los valores en la matriz [B] se usara el código mostrado en la figura 7.
Figura 7.
Llenando los valores iniciales del vector [Xo] con un valor aproximado, es decir: -1000. Ver figura 8.
Figura 8.
Las líneas de código mostrados anteriormente son útiles para cualquier valor de ya que solo depende
de distribución espacial con la que queramos trabajar (Ver figura 1), es decir solo depende del valor de ni
y nj
Luego para hallar los valores de la matriz [X] se usara el método de Gauss – Seidel. Ver figura 9.
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 10/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
9
Figura 9
Se presentaran los resultados, es decir los valores de la matriz [X] de acuerdo a su lugar en la distribuciónespacial en el mar interior descrito en este problema (Ver figura 1). Los resultados de la matriz [X] son
los siguientes (Ver figura 10):
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 11/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
10
Figura 10.
-921.379 -1563.4 -1998.32 -2252.87 -2336.89 -2252.87 -1998.32 -1563.4 -921.379
-1583.03 -2760.91 -3581.59 -4067.89 -4229.17 -4067.89 -3581.59 -2760.91 -1583.03
-2080.83 -3686.48 -4828.54 -5512.67 -5740.62 -5512.67 -4828.54 -3686.48 -2080.83
-2461.63 -4402.92 -5803.44 -6649.39 -6932.33 -6649.39 -5803.44 -4402.92 -2461.63
-2752.69 -4953.5 -6556.6 -7530.73 -7857.47 -7530.73 -6556.6 -4953.5 -2752.69
-2971.81 -5369.06 -7126.63 -8199.09 -8559.55 -8199.09 -7126.63 -5369.06 -2971.81
-3131.25 -5671.84 -7542.56 -8687.31 -9072.6 -8687.31 -7542.56 -5671.84 -3131.25
-3239.55 -5877.64 -7825.49 -9019.6 -9421.87 -9019.6 -7825.49 -5877.64 -3239.55
-3302.38 -5997.07 -7989.73 -9212.55 -9624.7 -9212.55 -7989.73 -5997.07 -3302.38
-3322.97 -6036.21 -8043.57 -9275.81 -9691.2 -9275.81 -8043.57 -6036.21 -3322.97
-3302.38 -5997.07 -7989.73 -9212.55 -9624.7 -9212.55 -7989.73 -5997.07 -3302.38
-3239.55 -5877.64 -7825.49 -9019.6 -9421.87 -9019.6 -7825.49 -5877.65 -3239.55
-3131.25 -5671.84 -7542.56 -8687.31 -9072.6 -8687.31 -7542.56 -5671.84 -3131.25
-2971.81 -5369.06 -7126.63 -8199.09 -8559.55 -8199.09 -7126.63 -5369.06 -2971.81
-2752.69 -4953.5 -6556.6 -7530.73 -7857.47 -7530.73 -6556.6 -4953.5 -2752.69
-2461.63 -4402.92 -5803.44 -6649.39 -6932.34 -6649.39 -5803.44 -4402.92 -2461.63
-2080.83 -3686.48 -4828.54 -5512.67 -5740.62 -5512.67 -4828.54 -3686.48 -2080.83
-1583.03 -2760.91 -3581.59 -4067.89 -4229.17 -4067.89 -3581.59 -2760.91 -1583.03
-921.379 -1563.4 -1998.32 -2252.87 -2336.89 -2252.87 -1998.32 -1563.4 -921.379
Ψ = 0
Ψ=
0
Ψ = 0
Ψ
=0
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 12/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
11
CONCLUSIONES
Encontramos que cuanto más alejado estemos del contorno r veremos valores más altos de la
línea de corriente. Siendo el valor más altos el de -9691.2 m3/s situado en el centro de la
distribución espacial de las función de corriente, exactamente en la posición 4,9 de la matriz
[X].
La figura 10 nos muestra visualmente como está distribuido espacialmente la función corriente
del mar interior bajo los parámetros especificados en este problema.
De la distribución espacial de la función corriente mostrado en la figura 10 se puede ver
cuantitativamente como a medida que nos alejamos de las orillas del mar interior (Ψ = 0) se
presentan una mayor circulación de agua en m3/s.
El método de Gauss – Seidel funciono correctamente a lo hora de hallar los valores de la
distribución espacial de la función de corriente.
LITERATURA
Métodos Numéricos para Ingenieros. Steven Chapra. 2007. Quinta edición.
Apuntes de clase
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 13/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
12
APENDICE
Adjunto el código en C++ hecho en el programa Borland C++ hecho para resolver este problema
#include<iostream.h>
#include<windows.h>#include<conio.h>
#include<math.h>
void main ()
int ni=19,nj=9,i,j,k; /*ni:#filas, nj:#columnas*/
double es=0.000001,ea;
double A[171][171],B[171],M[19][9];
double X[171],Xo[171];
double Lx=50000,D=100,p=1000,var=5000;
double y=0.1,beta=pow(10,-11),Fmax=0.1,s=0;
/*Establecimiento de a,b y c*/
double a=y+p*D*beta*var/2;
double b=y;
double c=Fmax/Lx*pow(var,2);
/*Calculo de la matriz A*/
for(i=0;i<ni*nj;i++)
for(j=0;j<ni*nj;j++)
A[i][j]=0;
B[i]=c;
Xo[i]=0.5;
/*Poner el valor de b en la matriz [A]*/
for(i=0;i<(ni-1)*nj;i++)
j=i+nj;
A[i][j]=b;
A[j][i]=b;
/*Poner el valor de a en la matriz [A]*/
for(i=1;i<ni*nj;i++)
j=i+1;
if(i%nj!=0)
A[i-1][j-1]=a;
A[j-1][i-1]=a;
/*Poner el valor de -4b en la diagonal de la matriz [A]*/
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 14/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
13
for(i=0;i<ni*nj;i++)
A[i][i]=-4*b;
cout<<"a = "<<a<<"\n";
cout<<"b = "<<b<<"\n";
cout<<"c = "<<c<<"\n";
/*Llenado de la matriz B*/
for(i=0;i<ni*nj;i++)
B[i]=c;
/*Calculo de la matriz inicial de x: Xo*/for(i=0;i<ni*nj;i++)
Xo[i]=-1000;
X[i]=0;
/*Calculo de valores de la linea de corriente (X)*/
do
for (i=0;i<ni*nj;i++)
s=B[i];
for (j=0;j<ni*nj;j++)
if (i!=j)
s=-A[i][j]*Xo[j]+s;
X[i]=1/A[i][i]*s;
ea=(X[i]-Xo[i])/X[i]*100;
if (ea>0)
ea=ea;
else
ea=-ea;
s=0;
Xo[i]=X[i];
while (ea>es);
7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel
http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 15/15
TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS
14
/*Presentacion de la matriz [X]*/
cout<<"Presentacion de [X]\n";
cout<<"X = \n [\n";
for (k=0;k<ni*nj;k++)
cout<<" "<<X[k]<<"\n";
cout<<" ]\n";
/*[M] representa al distribucion espacial de funcion corriente */
/*Hallando los valores de la matriz [M]*/
for (i=0;i<ni;i++)
for (j=0;j<nj;j++)
M[i][j]=X[nj*i+j];
/*Presentando la matriz [M]*/
cout<<"Distribucion espacial de funcion corriente\n\n";
for(i=0;i<ni;i++)
for(j=0;j<nj;j++)
cout<<M[i][j]<<" ";
cout<<"\n";
system("pause");