Download - Diferenciacion e Integracion Numérica
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Diferenciacin e Integracin numrica
Taller de Clase
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Diferenciacin
La diferenciacin numrica puede calcularse usando la definicin de derivada vista en los cursos de calculo iniciales.
Tomando una h pequea. Si h > 0 se llama frmula de diferencia progresiva, si h < 0 se llama frmula de diferencia regresiva.
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Error (Ejemplo)
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Ejemplos de Clase
Obtenga la derivada de las siguientes funciones en el punto especificado utilizando Excel, Matlab o cualquier herramienta/lenguaje.
1. f(x) = 3x sen(2x), x = /6
2. f(x) = 5ln(x + 1) x2/5, x = 1.2
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Frmulas de diferencias divididas hacia adelante
Primera derivada
Segunda derivada
Tercera derivada
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Frmulas de diferencias divididas centradas
Primera derivada
Segunda derivada
Tercera derivada
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Frmulas de diferencias divididas hacia atrs
Primera derivada
Segunda derivada
Tercera derivada
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Ejemplo de Clase Utilice toda las diferencias explicadas anteriormente y compare.
f(x) = -0.1x^4-0.16x^3-0.5x^2-0.25x+1.2
x i-2 0.00 1.20000000
x i-1 0.25 1.10351563
x i 0.50 0.92500000
x i+1 0.75 0.63632813
x i+2 1.00 0.20000000
Valor real f'(xi)= -0.91250000
Diferencias divididas error
Hacia adelante -0.859375 5.82%
Hacia atrs -0.878125 3.77%
Hacia centrada -0.912500 0.00%
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Datos no espaciados regularmente
Para derivar datos no espaciados regularmente se utiliza la siguiente frmula. Se requiere conocer la funcin en tres puntos.
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Ejemplo El flujo de calor en la interfaz suelo-aire puede calcularse con la ley de Faraday
Donde q = flujo de calor, k = coeficiente de difusividad trmica (3.5x10-7), = la densidad del suelo (1800), C = calor especfico del suelo (840).
= 1.333 q = 70.56
Aire
Suelo
13.5 12 10
3.75
1.25
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Regla se Simpson La regla se Simpson se obtiene suponiendo el segundo polinomios de Lagrange con los nodos x0 = a, x2 = b, x1 = a + h, h = (b a)/2.
Donde se han despreciado los trminos de error.
La frmula es exacta para polinomios de hasta tercer grado. x0 = a x2 = b
P3 f
x1
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Comparacin Comparacin entre los metodos vistos en clase para las funciones en el intervalo [0 , 2]. Use cualquier herramienta o lenguaje.
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Regla compuesta de Simpson Teorema. Sea f C4[a, b], n par, h = (b a)/n, y xj = a + jh para cada j = 0, 1, 2, ... n . La regla de Simpson para n subintervalos puede escribirse como:
x0 = a xn = b
y= f(x)
x2 x2j-1 x2j x2j+1
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Regla compuesta del trapecio
x0 = a xn = b
y= f(x)
x1 xj-1 xj xn1
Teorema. Sea f C4[a, b], n par, h = (b a)/n, y xj = a + jh para cada j = 0, 1, 2, ... n . La regla del trapecio para n subintervalos puede escribirse como:
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Regla compuesta del punto medio
x0 = a xn+1 = b
y= f(x)
x0 xj-1 xj xn x1 xj+1
Teorema. Sea f C4[a, b], n par, h = (b a)/(n+2), y xj = a + (j+1)h para cada j = 1, 0, 1, 2, ... n+1. La regla de compuesta del punto medio para n subintervalos puede escribirse como:
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Datos con espaciamiento irregular
Si los datos estn espaciados de forma irregular, como en el caso de datos experimentales, la integracin puede llevarse a cabo mediante la aplicacin de la regla del trapecio a cada subintervalo.
Donde hi = ancho del segmento i.
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Ejemplo
t min 1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10
V m/s 5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5
Determinar la distancia recorrida para los datos siguientes, observe rel seudocodigo de ejemplo:
t = [1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10]; v = [5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5]; suma = 0; for i=2:length(t) suma = suma + (t(i)-t(i-1))*(v(i-1)+v(i))/2; end suma ans = 60.3750 Que puede concluir?