Download - Depredador Presa
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UNIVERSIDAD DE ORIENTE
UNIDAD DE CURSOS BASICOS
AREA DE MATEMATICA
MODELO DEPREDADOR-PRESA
(Lotka-volterra)
PROF.CRISTIAN CASTILLO INTEGRANTES:
MATEMATICAS IV *ESCOBAR, LUISANA
*RAMOS, ANA TERESA
*SALAZAR, MARIA
*SANCHEZ, CARMINE
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MODELO DEPREDADOR-PRESA
(Lotka-volterra)
EL PROBLEMA DEPREDADOR-PRESA: UN PROBLEMA EN ECOLOGA
Hay muchas situaciones en la naturaleza donde una especie animal se alimenta
de otra, la cual a su vez se alimenta de otras cosas, ejemplo:
Los zorros se alimentan de conejos, los cuales a su vez se alimentan de
zanahorias. En este caso los zorros se denominan depredadores y los conejos sern
las presas.
Tericamente, el depredador puede destruir toda la presa, de modo que esta
ltima llegue a extinguirse. Sin embargo, si esto ocurre esta tambin se extinguir,
puesto que depende de la presa para su existencia.
De esta forma se desarrolla un ciclo en el cual la presa puede ser abundante y los
depredadores pocos, y luego, debido a la abundancia de presa, la poblacin de
depredadores aumenta, disminuyendo la primera, y el ciclo continua.
GRAFICA DEL MODELO
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Un problema importante en la ecologa es investigar la cuestin de
coexistencia de las dos especies, y decidir lo que debera hacer la
humanidad, si algo puede, para preservar el balance ecolgico.
Para responder esto y otras cuestiones relacionadas, es natural buscar
una formulacin matemtica de este problema DEPREDADOR-
PRESA.
FORMULACIN MATEMTICA
Asumamos la siguiente notacin:
X = Nmero de presas en cualquier tiempo t.
Y = Nmero de depredadores en cualquier tiempo t.
Si no hubieran depredadores:
Similarmente, si no hubiera presa:
Ambas ecuaciones deben modificarse de manera de que exista
interaccin entre las especies y para ello se incluye un trmino de
interaccin que dependa de x y y, quedando:
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Ecuacin para el nmero de presas:
Ecuacin para el nmero de depredadores:
Este sistema no se puede resolver en trminos de funciones
elementales, puesto que, para la solucin del mismo es necesario
emplear METODOS NUMERICOS o programas matemticos.
Sin embargo esta afirmacin no es vlida cuando X(t)=0 y Y(t)=0.
EJEMPLO
Suponga que el sistema de ecuaciones diferenciales describen un
modelo particular del depredador (y) y de la presa(x).Determinar la
solucin y la grfica:
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Debido a que solo podemos resolver las ecuaciones cuando x=0 y
y=0, se desprecian los segundos trminos de las ecuaciones, quedando
las mismas:
Acomodando las ecuaciones nos quedan dos ecuaciones
homogneas:
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Soluciones