UNIVERSIDAD DE ORIENTE

UNIDAD DE CURSOS BASICOS

AREA DE MATEMATICA

MODELO DEPREDADOR-PRESA

(Lotka-volterra)

PROF.CRISTIAN CASTILLO INTEGRANTES:

MATEMATICAS IV *ESCOBAR, LUISANA

*RAMOS, ANA TERESA

*SALAZAR, MARIA

*SANCHEZ, CARMINE

MODELO DEPREDADOR-PRESA

(Lotka-volterra)

EL PROBLEMA DEPREDADOR-PRESA: UN PROBLEMA EN ECOLOGA

Hay muchas situaciones en la naturaleza donde una especie animal se alimenta

de otra, la cual a su vez se alimenta de otras cosas, ejemplo:

Los zorros se alimentan de conejos, los cuales a su vez se alimentan de

zanahorias. En este caso los zorros se denominan depredadores y los conejos sern

las presas.

Tericamente, el depredador puede destruir toda la presa, de modo que esta

ltima llegue a extinguirse. Sin embargo, si esto ocurre esta tambin se extinguir,

puesto que depende de la presa para su existencia.

De esta forma se desarrolla un ciclo en el cual la presa puede ser abundante y los

depredadores pocos, y luego, debido a la abundancia de presa, la poblacin de

depredadores aumenta, disminuyendo la primera, y el ciclo continua.

GRAFICA DEL MODELO

Un problema importante en la ecologa es investigar la cuestin de

coexistencia de las dos especies, y decidir lo que debera hacer la

humanidad, si algo puede, para preservar el balance ecolgico.

Para responder esto y otras cuestiones relacionadas, es natural buscar

una formulacin matemtica de este problema DEPREDADOR-

PRESA.

FORMULACIN MATEMTICA

Asumamos la siguiente notacin:

X = Nmero de presas en cualquier tiempo t.

Y = Nmero de depredadores en cualquier tiempo t.

Si no hubieran depredadores:

Similarmente, si no hubiera presa:

Ambas ecuaciones deben modificarse de manera de que exista

interaccin entre las especies y para ello se incluye un trmino de

interaccin que dependa de x y y, quedando:

Ecuacin para el nmero de presas:

Ecuacin para el nmero de depredadores:

Este sistema no se puede resolver en trminos de funciones

elementales, puesto que, para la solucin del mismo es necesario

emplear METODOS NUMERICOS o programas matemticos.

Sin embargo esta afirmacin no es vlida cuando X(t)=0 y Y(t)=0.

EJEMPLO

Suponga que el sistema de ecuaciones diferenciales describen un

modelo particular del depredador (y) y de la presa(x).Determinar la

solucin y la grfica:

Debido a que solo podemos resolver las ecuaciones cuando x=0 y

y=0, se desprecian los segundos trminos de las ecuaciones, quedando

las mismas:

Acomodando las ecuaciones nos quedan dos ecuaciones

homogneas:

Soluciones