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DECONVOLUCIÓN SÍSMICA
DECONVOLUCIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS
CONCEPTOS BÁSICOS.-
Asumiendo que el modelo matemático de la traza sísmica puede definirse como:
.............................. (1)
Donde:
La ecuación (1) normalmente se presenta de la forma:
............................... (2)
Donde se pretende establecer que el grado de contaminación de la traza sísmica
corresponde a un componente de ruido aditivo que pudiera atenuarse óptimamente en
función del tratamiento estadístico del conjunto de trazas sísmicas CDP.
El concepto de deconvolución por mínimos cuadrados implica la definición de una señal de
salida deseada del filtro de deconvolución comparándola según un criterio normático con la
salida que actualmente sucede de dicho filtro. De esta manera, si la salida deseada se define
como la serie de tiempo (dt) y la salida actual como la serie de tiempo (yt), entonces se define
el criterio de error cuadrático como:
.............................. (3)
La salida actual del filtro de deconvolución (ft) viene dada según el modelo convolucional como:
.............................. (4)
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Expresado en términos de las operaciones involucradas, la ecuación (4) puede describirse de la forma:
.............................. (5)
De aquí que el criterio de error cuadrático (J) pueda formularse según la expresión:
.............................. (6)
En virtud de que (J) es una expresión cuadrática semidefinida con respecto a los coeficientes
del filtro de deconvolución (fm), entonces puede asegurarse que si existe un conjunto de
valores de la serie (fm), para los cuales (J) sea un extremo, se garantiza que este valor
extremo es un mínimo.
De aquí que en la expresión (6) para garantizar que los valores de los coeficientes del filtro
de deconvolución (ft) a calcular sean aquellos que minimicen el error cuadrático (J) entre la
salida deseada y la salida actual, debe diferenciarse con respecto a la variable incógnita (f t),
según la relación:
Es decir:
............................. . (8)
Desarrollando la ecuación (8) se obtiene:
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........................... (7)
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...................... (9)
De la última expresión en (9) se establecen las ecuaciones normales que definen el sistema
lineal a resolver a fin de obtener los coeficientes del filtro (ft) que minimice el error cuadrático
J, según:
.................... ......... (10)
Por definición se tiene que:
........................ ..... (11)
Adicionalmente:
..................... .......... (12)
De aquí que la ecuación (10) pueda reescribirse como:
.................................. (13)
La ecuación (10) también puede transformarse de la forma siguiente:
.................. .............. (14a)
................................ (14c)
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............................... (14b)
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Actuando análogamente a lo expresado en (12), se tiene que:
...................... ........ (15)
Si se define el parámetro de error (e) como:
............................... (16)
Partiendo de la ecuación (14c) se tiene:
............................... (17a)
Esto es:
...............................(17b)
Por lo que agrupando términos se tiene:
................................(17c)
Y según la ecuación (16):
................................(17d)
Por lo que finalmente este resultado puede expresarse de la forma siguiente:
.................................(18)
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De aquí que pueda decirse claramente que la aplicación del procedimiento de mínimos
cuadrados, como filtro de deconvolución, implica que la entrada del filtro, esto es, la traza
sísmica y el error mínimo que se expresa (e), deben ser vectores ortogonales.
EL SISTEMA DE FILTRO NO CAUSAL.-
Asumiendo que la traza sísmica es una realización de un proceso estocástico, estacionario y
ergódico, entonces se tiene que el sistema lineal definido por las ecuaciones del filtro de
deconvolución expresado anteriormente según la ecuación (13), puede reescribirse de la
siguiente manera:
....................(19)
Donde:
Ahora bien, para el caso de deconvolución por mínimos cuadrados en sistemas no causales,
se asume que la ondícula sísmica generadora del proceso ( Wt ) existe para valores
negativos del índice de tiempo (t); por esta razón, el operador del filtro de deconvolución (ft),
también debe ser en consecuencia no causal.
Asimismo, para el desarrollo de un sistema de filtro de deconvolución no causal, se debe
tomar en consideración las siguientes propiedades:
1) ut es cualquier realización de un proceso aleatorio Gaussiano cuya función de
autocorrelación es la función dirac-delta normalizada. Esto es:
..............................(20)
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2) nt Es cualquier realización de un proceso de ruido cuya función de autocorrelación
tiene una forma definida dada según la expresión:
...............................(21)
3) Los procesos ( ut ) y ( nt ), no son correlacionables, esto es, representan espacios
vectoriales ortogonales, por lo que se cumple que:
..................................(22)
Aquí recordamos que el modelo convolucional de un modelo lineal cualquiera fue expresado
según la ecuación (2) de forma que:
..................................(23a)
En el presente caso de sistemas no causales, debemos asumir que la longitud efectiva de la
ondícula sísmica involucrada en el proceso tiene una duración finita de dimensiones
equivalentes a (p) índices de tiempo, por lo que el modelo convolucional en forma discreta
estaría representado por la ecuación:
................................(23b)
Donde:
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El modelo anteriormente descrito es ampliamente utilizado en los levantamientos
sismográficos con energía vibratoria, por lo que es importante entender el porque la ondícula
sísmica de un proceso no causal debe ser de fase cero. En este sentido considérese
nuevamente la ecuación general de un sistema lineal expresada por la ecuación (2) y
repetida como la ecuación (23a), multiplicando ambos lados por la serie aleatoria ( ut ) y
tomando valores esperados o el segundo momento, se tiene que:
......................(24a)
La aplicación de la propiedad distributiva es válida para el operador (E), por ser éste un
operado lineal. También se observa, según lo establecido en las ecuaciones (20) que la
función de autocorrelación de una serie aleatoria blanca es igual a la unidad, mientras que la
expresión del segundo momento o función de correlación cruzada no existe, según lo
definido en la ecuación (22). Entonces, de aquí se concluye que:
...................................(24b)
Se asume adicionalmente para la deducción anterior que la ondícula sísmica (Wt)
involucrada en el proceso representa el componente determinístico del modelo
convolucional general, por lo que utilizando la ecuación (24b) podemos reescribir el modelo
del filtro de convolución no causal dado por la ecuación (19) de forma que:
............................(25)
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Lo que en forma práctica, mediante un cambio de nomenclatura se transforma en:
...................................(26)
Esta última expresión representa el sistema matricial que debe resolverse para obtener los
coeficientes ( ft ) del filtro de deconvolución para el sistema lineal no causal, él cual si se
acota convenientemente entre los subíndices de tiempo de: –M m +M , se tiene:
........................ (27)
Para investigar las propiedades de fase cero de la ondícula involucrada en el proceso de
deconvolución por mínimos cuadrados, asumiendo un sistema no causal, considérese la
Transformada de Fourier de la ecuación (26), bajo la presunción de M y t , de
forma que esta ecuación en el dominio de Fourier se puede escribir como:
...............................(28)
O también:
................................(29)
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=
0122
12212
11
1
121
1201
210
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
MM
MM
MMM
MMM
MMM
M
M
M
M
M
M
f
f
f
f
f
f
f
1
1
0
1
1
M
M
M
M
W
W
W
W
W
W
W
1
1
0
1
1
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Utilizando las propiedades establecidas en las relaciones (20), (21) y (22) y recordando la
definición del modelo matemático expresado en la ecuación (2) ó la (23a) se tiene que:
.......................... (30)
Por lo tanto se concluye:
........................ (31)
De donde se puede concluir que la aplicación del filtro de deconvolución por mínimos
cuadrados, dentro de las condiciones establecidas, involucra ondículas de fase cero con un
ancho de banda limitado, ya que para el caso límite se tiene que:
.............................. (32)
Finalmente, en el caso de deconvolución por mínimos cuadrados, asumiendo un sistema
estocástico no causal, se tiene que el proceso de deconvolución puede subdividirse en dos
grandes pasos:
1. La correlación entre la ondícula de entrada (Wt) y la señal de la salida (Xt)
2. Un cambio de fase sobre el resultado del primer paso utilizando el operador:
.............................. (33)
Estas consideraciones explican la fuerte relación que existe en el procesamiento de señales
sísmicas con fuentes de energía vibratoria (vibroseis) y la deconvolución por mínimos
cuadrados no causal descrita.
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SISTEMA DE FILTRO CAUSAL.-
Se presume un sistema lineal causal cuyo modelo matemático es análogo al modelo
convolucional expresado en la ecuación (2), reescrito nuevamente aquí:
........................................(34a)
En este caso, a la ondícula sísmica (Wt) y al filtro de deconvolución (ft) se les impone la
condición:
.
................................. (34b)
Para esta situación, se observa que el sistema matricial que define el modelo del filtro lineal
no causal en (26) según la expresión:
............................ (35)
debe reformularse, según el acotamiento expresado en (34b) produciendo la ecuación:
............................. (36)
Donde (m) representa la discretización de la función dirac-delta, por lo que la ecuación (36)
puede escribirse matricialmente como:
............... (37)
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Como puede notarse, la aplicación de la deconvolución por mínimos cuadrados con
componentes de memoria (sistemas causales), exclusivamente, no necesita conocer la
ondícula generadora del proceso sísmico (Wt), siendo ésta una de las razones de su
inmensa popularidad en la industria sísmica, en contraposición a la utilización del proceso
de deconvolución por mínimos cuadrados con componentes de anticipación y de memoria
(sistemas no causales), el cual implica necesariamente el conocimiento o la estimulación a
priori de la ondícula sísmica (Wt), lo cual involucra mayor tiempo de procesamiento.
Una palabra final de alerta debe darse cuando se aplica un proceso de deconvolución por
mínimos cuadrados con componentes exclusivos de memoria, es decir modelando a
sistemas causales de la señal sísmica observada, ya que tiene dos restricciones implícitas
que de no cumplirse harían incorrecta su aplicación. Estas restricciones son las siguientes:
1. La ondícula sísmica generadora del proceso debe ser de fase mínima.
2. La Señal sísmica observada no tiene contaminación de ruido coherente.
3. La serie reflectiva del subsuelo es aleatoria Gaussiana.
La condición (1) se hace evidente al observar que en el límite, cuando en la expresión (36)
el valor de acotamiento (M) tienda a infinito, se obtiene una solución del sistema dado por:
..........................(38)
Donde puede demostrarse que, salvo un valor constante de escala (C):
............................(39)
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Obviamente, ( f ) debe ser mínimo para garantizar la estabilidad del filtro.
Las condiciones (2) y (3) permiten asegurar dentro del modelo convolucional de un sistema
causal tal como el expresado que:
...........................(40)
Este resultado significa que la Transformada de Fourier de la función de autocorrelación de
la señal sísmica observada es equivalente al espectro de potencia de la ondícula sísmica
generadora del proceso.
Para el caso general de deconvolución adaptiva por mínimos cuadrados con componentes
exclusivos de memoria (sistemas causales), se tiene que el sistema matricial del filtro de
deconvolución descrito en la ecuación (36) se transforma en:
............................(41)
Donde (dt ) es una forma de onda conocida que se correlaciona con la señal sísmica
observada (Xt ), por lo que el sistema matricial vendría descrito como:
......................(42)
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Todos los sistemas matriciales descritos presentan la característica de poseer una matriz
Toeplitz por lo que óptimamente pudiera aplicarse el algoritmo recursivo de Levinson.
ALGORITMO RECURSIVO DE LEVINSON.
Dado el sistema lineal expresado en la ecuación (42), se define la siguiente nomeclatura:
aij = El javo coeficiente de un sistema auxiliar en la etapa “i”.
= La matriz de autocorrelación en la etapa “n”.
fij = El javo coeficiente del filtro en la etapa “i”.
El algoritmo recursivo establece las siguientes condiciones iniciales.
............................... (43)
Entonces en una etapa “n”, se asume que el sistema auxiliar tiene la forma:
.............................. (44)
Perturbando este sistema auxiliar hacia la etapa “n = 1” se tiene:
.............................. (45)
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Sin embargo, el sistema auxiliar en la etapa “n+1 ” debe ser por analogía a lo expresado en
la ecuación (44):
............................... (46)
Ahora bien, expandiendo el sistema auxiliar perturbado de la ecuación (45), se puede
demostrar que:
.............................. (47)
Comparando los sistemas (46) y (47) se obtienen las ecuaciones recursivas que definen al
sistema auxiliar:
.............................. (48)
.............................. (49)
Una vez definido el sistema auxiliar a la etapa deseada, se considera el sistema original en
una etapa “n” cualquiera, tomando en consideración la condición inicial:
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.............................. (50)
De forma que en la etapa “n “el sistema es:
.............................. (51)
perturbando el sistema (51) hacia la etapa “n+1” se tiene:
.............................. (52)
Invirtiendo el orden de las ecuaciones lineales del sistema auxiliar en la etapa “n + 1 “, se
obtiene:
.............................. (53)
Estableciendo una combinación lineal de los sistemas (52) y (53):
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......(54)
Sin embargo el sistema en la etapa “n+1 “ debe ser, por analogía a lo expresado en (51):
.............................. (55)
Comparando e igualando términos en los sistemas (54) y (55) se tiene que las ecuaciones
recursivas que definen al filtro inverso son:
.............................. (56)
.
............................. (57)
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