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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Decaimiento alfa
Rodolfo M. Id Betan1,2
1Instituto de Física Rosario - Conicet. Argentina2Facultad de Ciencias Exactas - Universidad Nacional de Rosario. Argentina
Curso: Física Nuclear
03/06/2014
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Outline
1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Outline
1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Descubrimiento de nuevos núcleos
Descubrimiento del núcleo Z = 117
Crédito: Yu. Ts. Oganessian, et al., Physical Review Letters 104, 142502, 2010.
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Outline
1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Generalidades
La partícula alfa es el núcleo de 42He2.
Tiene spin 0: |Ji − Jf | 6 L 6 Ji + Jf .
Tiene paridad +: πiπf = 1(−1) ⇒ L : par(impar).
Su energía de decaimiento viene dada por
Qα = M(Z ,A)c2 − M(Z − 2,A − 4)c2 − M(4He)c2
Utilizando la fórmula semiempírica de masa de Weizsäcker (en
MeV)
Qα = 28.3 − 4av +8
3
as
A1/3+ 3
acZ
A1/3
(
1 − Z
3A
)
− 4aa
(
1 − 2Z
A
)2
Los núcleo que decaen espontáneamente son A & 150.
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Generalidades
El tiempo de vida medio depende fuertemente de la energía de
decaimiento:Q ∼ 4 MeV 1016 años
Q ∼ 8 MeV 10−6 seg
A diferencia de los decaimientos β y γ, el decaimiento α es sólo
lévemente inhibido por los cambios de momento angular.
El efecto dominante es la barrera Coulombiana.
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Outline
1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Constante de decaimiento radiactiva
Constante de decaimiento λ
dN
dt= −λN ⇒ N(t) = N0e−λ(t−t0)
Tiempo de vida τ
N(τ) =N0
e⇒ τ =
1
λ
Tiempo de vida media T1/2
N(T1/2) =N0
2⇒ T1/2 =
ln 2
λ
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Ecuación de Geiger-Nuttall
Rango Rα
Distancia que puede viajar la partícula alfa en el aire a la presión
atmosférica.Está directamente relacionado con la energía de la partícula alfa.
Ecuación de Geiger-Nuttall(1911) (ver paper pag. 618)
log λ = a + b log Rα
Crédito: P. Marmier, E. Sheldon. Physics of Nuclei and Particles. 1971.
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Ecuación de Geiger-Nuttall
Regla de Geiger
Rα∼= cte v3
con v la velocidad inicial de la partícula log Rα ∼ log v yv ∼
√Eα ⇒ log Rα ∼ log
√Eα ∴ Rα ∼ Eα .
Combinando al ecuación de Geiger-Nuttall (log λ = a + b log Rα) y la
regla de Geiger, se espera que exista una relación entre la constantede decaimiento λ (o el tiempo de vida media) y la energía Eα.
Gamow y Condon-Gurney (1928) (ver paper Gamow pags. 208 y209)
λ = g − h
[
(
1 +4
A
)−1/2
Z E−1/2
]
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Ecuación de Geiger-Nuttall
Explica los órdenes de magnitud de diferencia en los tiempo de vida
como función de la energía.
Crédito: P. Marmier, E. Sheldon. Physics of Nuclei and Particles. 1971.
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Outline
1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Modelización del decaimiento alfa
Crédito: K. Heyde. Basic Ideas and Concepts in Nuclear Physics. 2004
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Potencial barrera rectangular
V (x) =
0 −∞ < x < 0
U 0 < x < b0 b < x <∞
ψI(x) = eikIx + A−e−ikIx kI =
√2mE
~
ψII(x) = B+eikIIx + B−e−ikIIx kII =
√
2m(E − U)
~
ψIII(x) = C+eikIIIx kIII = kI =
√
2mE)
~
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Potencial barrera rectangular
Coeficiente de transmisión T
T =|C+|2
1=
4k2I k2
II
(k2I − k2
II )2 sin2 bkII − 4k2
I k2II
Aproximación de barrera ancha
T =
1 +U2
4E(U − E)
[
1
4
(
ei2kIIb + e−i2kIIb)
− 1
2
]−1
Fórmula de Gamow
T ≈ e− 2b~
√2m(E−U)
m pequeño (ejemplo: electrón) =⇒ T grande.
Límite clásico ~ → 0 =⇒ T = 0.
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Probabilidad de decaimiento
Sea I0 la intensidad de partículas α dentro de la barrera de potencial.
Intensidad dentro del núcleo
In = (1 − T )nI0 = I0en ln(1−T )
Aproximación de tiempo de decaimiento largos: ln(1 − T ) ≈ −T
In = I0e−nT
Número de choques en el tiempo t
n =t
tcaract=
v
2Rt = λ0t
Probabilidad de decaimiento
I(t) = I0e−λ0 tT
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Constante de decaimiento
Constante de decaimiento λ
I(t) = I0e−λ0 tT = I0e−λt ⇒ λ = λ0T
Aproximación Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)
Coeficiente de transmisión para un potencial arbitrario V (r)
T = e− 2~
∫
bR
√2m[V (r)−E]dr
Factor de Gamow G
λ = λ0e−G
G =2
~
∫ b
R
√
2m[V (r)− E ]dr
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Aplicación al potencial de Coulomb
Potencial de Coulomb
G =2
~
∫ b
R
√
2m
[
zZe2
r− E
]
dr
G =
(
8Zze2mb
~2
)1/2[
arccos
(
R
b
)1/2
−(
R
b− R2
b2
)1/2]
con b = Zze2
Eα.
Aproximación de barrera ancha
G =
(
8Zze2mb
~2
)1/2[
π
2−(
R
b
)1/2]
Eα ≪ ECoulomb .
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Deducción Geiger-Nuttall
Constante de decaimiento
λ = λ0e−G ≈ 1021e−
(
8Zze2mb
~2
)1/2
Ecuación de Geiger-Nuttall
log10 λ =
(
21 −√
8mze2
2.303~
)
Z E−1/2
1928
log10 λ = 21 − 1.0941 Z E−1/2
Comparar con la fórmula empírica:
1911
log10 λ = g − 1.7 Z E−1/2
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Variación de la intensidad con la energía
Decaimiento del239Pu1/2+ (T1/2 = 24110anos) →235 U(T1/2 = 7.04 × 108anos)
www.nndc.bnl.gov: Qα = 5.244 MeV
Transición E[MeV] Int. Rela. %
α1(235U1/2+) 5.156 70.77
α2(235U1/2+) 5.144 17.11
α3(235U5/2+) 5.105 11.94
Crédito: P. Marmier, E. Sheldon. Physics of Nuclei and Particles. 1971.
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Outline
1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Hamiltoniano en el decaimiento alfa
El siguiente paso es relajar la condición que la partícula alfa ya está
formada dentro del núcleo y considerar el decaimiento como unproceso de A cuerpos.
Ecuación de Schrödinge
HΦ(1, . . . ,A; t) = i~∂
∂tΦ(1, . . . ,A; t)
Hamiltoniano
H = Hα(1234) + HD(5 . . .A)−~
2
2M∇2
rel + V (α,D)
Autofunciones de los fragmentos
Hαχα = ǫαχα
HDΨD = EDΨD
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Hamiltoniano en el decaimiento alfa
Autofunciones del sistema
Φ(1, . . . ,A; t) = a(t)ΦPJM (1, . . . ,A)
+∑
jL
∫
dǫ bjL(ǫ, t)A
χα ϕL(R, ǫ)[YL(R)ΨDj ]JM
Estado inicial
ΦPJM(1, . . . ,A) = Φ(1, . . . ,A; t = 0)
Autofunción del movimiento relativo
[
− ~2
2MR
d2
dR2R +
~2
2MR
L(L + 1)
R2+
2(Z − 2)e2
R− ǫ
]
ϕL(R, ǫ) = 0
con ǫ > 0.
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Hamiltoniano en el decaimiento alfa
Solución de la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo
i~a(t) = a(t)E0 +∑
jL
∫
dǫ bjL(ǫ, t)〈ΦPJM |H − E0|ΦJMjLǫ〉
i~bjL(ǫ, t) + i~a(t)〈ΦJMjLǫ|ΦPJM〉 = (ǫα + ED + ǫ)bjL(ǫ, t)
+a(t)〈ΦJMjLǫ|H|ΦPJM〉
con ΦJMjLǫ = AχαϕL[ΨDj YL]jmj
y E0 = 〈ΦPJM |H|ΦP
JM〉.
Condiciones iniciales
a(t = 0) = 1
bjL(ǫ, t = 0) = 0
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Constante de decaimiento en el decaimiento alfa
Solución aproximada
a(t) ∼= e− i~(E0−i Γ
2)t
con
Γ
2∼= π
∑
jL
|〈ΦJMjLǫ|H − E0|ΦPJM〉|ǫ=E0−ǫα−ED
Parte discreta de Φ(1, . . . ,A; t)
Φ(1, . . . ,A; t) → a(t)ΦPJM (1, . . . ,A)
→ e− i~
E0e− Γ2~
t ΦPJM(1, . . . ,A)
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Constante de decaimiento
Probabilidad de decaimiento
|Φ(t)|2 → e− Γ~
t |ΦP(t)|2 = e−λt |ΦP(t)|2
Constante de decaimiento
λ =Γ
~
El problema se redujo a calcular 〈ΦJMjLǫ|H − E0|ΦPJM〉
Γ
2∼= π
∑
jL
|〈ΦJMjLǫ|H − E0|ΦPJM〉|ǫ=E0−ǫα−ED
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Constante de decaimiento
Elementos de matriz
〈ΦPJM |H − E0|ΦJMjLǫ0
〉 =
[(
Z
2
)(
N
2
)]1/2 (~
2
2M
)∫
dξαdξDdΩ
R20
[
ΦPJM
∂ϕL(R0, ǫ0)
∂R− ∂ΦP
JM(R0)
∂RϕL(R, ǫ0)
]
χα[YLΨDj ]JM
con ǫ0 = |E0 − ED − ǫα|.
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Constante de decaimiento
λ =2
~
∑
jL
PLγ2JjL
Penetrabilidad (WKB)
PL(ǫ0) = e−2
∫
bR0
√
2M
~2
[
2(Z−2)e2
R+ ~2
2ML(L+1)
R2−ǫ0
]
dR
Ancho reducido
γ2JjL
Calculando la penetrabilidad P y la amplitud del ancho reducido γ esposible calcular el tiempo de vida del núcleo padre, el cual decae por
emisión de una partícula alfa.
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Outline
1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Decaimiento del Plutonio 212
Decaimiento
212Po(0+) → α+208 Pb(0+)
Ji = Jf = 0 ⇒ L = 0.
Constante de decaimiento
λ =2
~P(R)γ2(R)
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Decaimiento del Plutonio 212
Penetrabilidad (Matriz R)
P(R) =ℜ(k0)R
|H+(k0R)|2
con Eα = ~k0
2µ la energía de la partícula α calculada a partir del valor
experimental de Qα.
Resonancia (Estado de Gamow)
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Decaimiento del Plutonio 212
Ancho reducido
γ(R) =
(
~2R
2µ
)1/2
F (R)
F (R) = 〈AφαφDY00|φP〉=
[√8] [√
4π]
∑
n,p
bnp
∫
d3ρ1
∫
d3ρ2
∫
d3ρ3
[
(
8β
π
)9/4
e−4β(ρ21+ρ2
2+ρ23)
]
[
(−)lnjn
4π√
2Rjn(r1)Rjn(r2)Pln (cos(θ12))
]
[
(−)lpjp
4π√
2Rjp(r3)Rjp (r4)Plp (cos(θ34))
]
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Decaimiento del Plutonio 212
Representación
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Decaimiento del Plutonio 212
Algunos estados de neutrón y protón
estado protón energía [MeV] estado neutrón energía [MeV]
0h9/2 -3.784 1g9/2 -3.926
1f7/2 -3.541 0i11/2 -2.797
0i13/2 -1.844 2d5/2 -2.0720j15/2 -1.883
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Decaimiento del Plutonio 212
Funciones de onda de dos nucleones
|Ψ2i,J〉 =∑
b≤a
Xab,J |ab, JM〉
Interacción
〈ab, JM|V |cd , JM〉 = −GJ f (ab, J)f (cb, J)
f (ab, J) =(−)la
√1 + δab
〈ja||YJ ||jb〉 I(ab)
Xab,J = NJf (ab, J)
ǫa + ǫb − EJ
(1)
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Decaimiento del Plutonio 212
Funciones de onda de dos protones y dos neutrones
|212Po〉 = |210Pb〉 ⊗ |210Po〉
Reemplazando todo en la constante de decaimiento
λ =2
~P(R)γ2(R)
y
γ(R) =
(
~2R
2µ
)1/2
F (R)
resulta...
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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
decaimiento del Plutonio 212
Γ = ~λ = 2P(R)γ2(R)
7 8 9 10 11R [fm]
1e-24
1e-23
1e-22
1e-21
1e-20
1e-19
1e-18
Abs
olut
e W
idth
[M
eV]
Pure configuration model spaceGendenning-Harada model spaceN7 model space
Γexp = 0.153 × 10−14 MeV ⇒ Texp1/2
= 0.3 × 10−3seg
Γcalc =Γexp
600MeV ⇒ T calc
1/2 = 180 × 10−3seg