decaimiento del ee en mm
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Decaimiento de electro, positrรณn en muรณn , muonTRANSCRIPT
CรLCULO DEL PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
DEPARTAMENTO DE FรSICA Y GEOLOGรA
FACULTAD DE CIENCIAS BรSICAS
UNIVEERSIDAD DE PAMPLONA
2015
CARLA YESENIA FIGUEROA VILLAMIZAR
DEPARTAMENTO DE FรSICA Y GEOLOGรA
FACULTAD DE CIENCIAS BรSICAS
UNIVERSIDAD DE PAMPLONA
CรLCULO DEL PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
TRABAJO DE GRADO
Presentado por:
CARLA YESENIA FIGUEROA VILLAMIZAR
Trabajo dirigido por:
PhD. JAIRO ALONSO MENDOZA SUรREZ
Pamplona, febrero del 2015.
Tรญtulo
โCรกlculo del proceso de dispersiรณn ๐+๐โ โ ๐+๐โโ
Autora
Carla Yesenia Figueroa Villamizar.
Director
PhD. Jairo Alonso Mendoza Suรกrez.
Universidad De Pamplona
Facultad de Ciencias Bรกsicas.
Departamento de Fรญsica y Geologรญa.
Colombia, 2015.
AGRADECIMIENTOS
Quiero dar a conocer mis mรกs sinceros agradecimientos a mis familiares, quienes
siempre se han preocupado por mi bienestar y por ayudarme en todo lo que este a
su alcance. Quiero agradecer especialmente a mi madre, Rosa, que siempre ha
estado a mi lado incondicionalmente sin importar mis errores. Tambiรฉn a mis tรญos,
Adolfo y Yazmรญn que han sido modelos de perseverancia y dedicaciรณn, y a mi
hermano y a mi abuela que son ejemplo de humildad.
Agradezco mucho tambiรฉn al PhD. Jairo Alonso Mendoza Suรกrez, quien fue el que
me dirigiรณ en este Trabajo de Grado, ayudando constantemente, colmado de
paciencia, dispuesto a explicar y enseรฑar de la manera mรกs clara y mรกs sencilla
conceptos de dan gran complejidad. Profesor muchas gracias por su tiempo,
dedicaciรณn y por ser mรกs que un tutor, un amigo.
Agradezco a la Universidad de Pamplona por permitirme realizar mis estudios de
pregrado, y a todos los profesores a quienes tuve el gusto de conocer, especialmente
a los del Departamento de Fรญsica y Geologรญa ya que son estos los que, no solo me
ayudaron a formarme como profesional, sino tambiรฉn a crecer como persona
inculcรกndome valores son su ejemplo, su dedicaciรณn, sus exigencias y su amor a la
enseรฑanza.
Tambiรฉn quiero agradecer a mis compaรฑeros de Fรญsica, ellos se han convertido en
grandes amigos, con ellos he compartido grandes momentos en la aventura en la
que nos metimos al decidir tomar esta carrera.
En general quiero agradecer a todas las personas que han influido en mi vida de una
u otra manera, todos ellos me han dejado gratos momentos y grandes lecciones,
seguro sin ellos no serรญa la persona quien soy hoy en dรญa.
2015, Carla Y. Figueroa V.
DEDICATORIA
A mi madre:
Rosa Villamizar.
RESUMEN
El presente trabajo es un estudio del proceso de dispersiรณn ๐+๐โ โ ๐+๐โ utilizando
las reglas de Feynman y la regla de oro de Fermi. El cรกlculo del proceso se desarrolla
detalladamente permitiendo analizar mejor el fenรณmeno. El proceso ๐+๐โ โ ๐+๐โ
es considerado uno de los procesos mรกs didรกcticos de QED (Quantum Electro
Dynamics), pero tambiรฉn es uno de los mรกs importantes de la fรญsica de altas energรญas,
ya que es fundamental para estudiar todos los procesos de colisiones ๐+๐โ, y es
usado para calibrar los experimentos, ademรกs es muy รบtil para determinar las
propiedades de las partรญcula elementales, en particular la extensiรณn al proceso
๐+๐โ โ ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ. En este trabajo tambiรฉn se encuentra una breve historia de la
consolidaciรณn del Modelo Estรกndar de Partรญculas Elementales y todas las
herramientas necesarias para poder entender y desarrollar el proceso de dispersiรณn
inicialmente mencionado.
Contenido
INTRODUCCION .................................................................................................................................... x
1. BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES .............................................................1
1.1 Primeros descubrimientos de las partรญculas elementales ...........................................................1
1.2 Descubrimiento de las antipartรญculas .......................................................................................7
1.2.1 La รณctuple senda y el modelo de los quarks ........................................................................ 11
1.3 El Modelo Estรกndar de las partรญculas elementales ................................................................. 14
1.4 Partรญculas verdaderamente elementales ................................................................................ 15
1.4.1 Los quarks ...................................................................................................................... 15
1.4.2 Leptรณn ............................................................................................................................ 16
1.4.3 Bosones. ......................................................................................................................... 17
1.4.4 Hadrones ........................................................................................................................ 17
1.5 Interacciรณn de las partรญculas ................................................................................................ 20
1.5.1 Interacciรณn Gravitacional ................................................................................................. 20
1.5.2 Interacciรณn dรฉbil ............................................................................................................. 21
1.5.3 Interacciรณn electromagnรฉtica ........................................................................................... 21
1.5.4 Interacciรณn fuerte ........................................................................................................... 22
1.5.5 Interacciรณn electro-dรฉbil ................................................................................................... 22
2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN ........................................................................................................ 25
2.1 Taza de decaimiento ............................................................................................................ 25
2.2 Secciรณn eficaz ...................................................................................................................... 27
2.3 La regla de Oro de Fermi ...................................................................................................... 27
2.3.1 Regla de Oro de Fermi para Decaimientos ......................................................................... 28
2.3.2 Regla de Oro de Fermi para Dispersiรณn ............................................................................. 28
2.4 Ecuaciรณn de Dirac ................................................................................................................ 33
2.4.1 Ecuaciรณn de Schrรถdinger .................................................................................................. 34
2.4.2 Ecuaciรณn de Klein Gordon ................................................................................................ 35
2.4.3 Derivaciรณn de la ecuaciรณn de Dirac .................................................................................... 37
2.4.4 Soluciรณn de la ecuaciรณn de Dirac. ...................................................................................... 46
2.5 Diagramas de Feynman........................................................................................................ 47
2.5.1 Partes del diagrama ........................................................................................................ 49
2.5.2 Reglas de Feynman para Electrodinรกmica cuรกntica ........................................................... 50
3. PROCESO DE DISPERSIรN ๐ + ๐โโ ๐+ ๐ โ ......................................................................... 55
3.1 Desarrollo matemรกtico ......................................................................................................... 55
3.1.1 Helicidad de las partรญculas ............................................................................................... 68
3.1.2 Simetrรญa de cruce ............................................................................................................ 75
3.1.3 Variables de Mandelstam ................................................................................................. 78
4 CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 81
APENDICES ....................................................................................................................................... 85
EFECTO COMPTON ............................................................................................................................. 85
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIรN DELTA DE DIRAC ................................................................... 89
PROPIEDADES DE LAS TRAZAS ........................................................................................................ 91
SECCIรN EFICAZ ............................................................................................................................... 92
RELACIรN DE COMPLETEZ ............................................................................................................... 97
EL TENSOR MรTRICO Y EL SรMBOLO DE LEVI CIVITA .................................................................... 108
OPERADORES DE PROYECCIรN PARA FERMIONES ........................................................................ 109
CรDIGO EN WOLFRAM MATHEMATICA PARA LA REALIZACIรN EL CรLCULO DEL PROCESO DE
DISPERSIรN ๐ + ๐โโ ๐ + ๐โ ..................................................................................................... 112
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Descubrimiento del bariรณn ฮ0 .............................................................................................. 10
Figura 2.1. Proceso visto desde el centro de masa. ............................................................................... 29
Figura 2.2. Representaciรณn simplificada de un diagrama de Feynman. .............................................. 48
Figura 2.3. Equivalencia de la caja de interacciรณn ............................................................................... 48
Figura 2.4. Partes de un Diagrama de Feynman. .................................................................................. 49
Figura 3.1. Diagrama del proceso ๐ + ๐โโ ๐ + ๐ โ ....................................................................... 55
Figura 3.2 Choque inelรกstico electrรณn-muon ......................................................................................... 63
Figura 3.3 Partรญculas antes y despuรฉs del choque ................................................................................ 64
Figura 3.4.Conservaciรณn del momento angular en la direcciรณn de giro z ............................................ 68
Figura 3.5. Secciรณn eficaz del proceso de dispersiรณn ๐ + ๐โโ ๐ + ๐ โ, teniendo en cuenta la
helicidad de las partรญculas. ..................................................................................................................... 74
Figura 3.6. Partรญcula y antipartรญcula con helicidad en la misma direcciรณn ........................................ 74
Figura 3.7. Proceso de dispersiรณn ๐ โ ๐โโ ๐ โ ๐ โ ....................................................................... 75
Figura 3.8. Proceso visto desde el centro de masa para el proceso ๐ + ๐โโ ๐ + ๐ โ .................. 77
Figura 3.9. Secciรณn eficaz total del proceso ๐ + ๐โโ ๐ + ๐ โ. ....................................................... 79
Figura 3.10. Dependencia energรฉtica de la secciรณn eficaz total del proceso ๐ + ๐โโ ๐ + ๐ โ
comparada con la dependencia energรฉtica del โespacio de fasesโ. ...................................................... 80
Figura D.1 Sistema de partรญculas a interactuar .................................................................................... 92
Figura H.1. Proceso de dispersiรณn ๐ + ๐โโ ๐ + ๐ โ visto desde el centro de masa del sistema
................................................................................................................................................................. 110
TABLAS
Tabla 1.1. Leptones .................................................................................................................................................. 16
Tabla 1.2. Mesones ................................................................................................................................................... 18
Tabla 1.3. Bariones .................................................................................................................................................. 19
INTRODUCCION
El presente trabajo es un estudio รบnicamente teรณrico de la fรญsica de partรญculas, cuyo
objetivo principal se basa en el estudio del proceso de dispersiรณn ๐+๐โ โ ๐+๐โ. Estรก
conformado de tres capรญtulos, el primero de ellos es una breve reseรฑa histรณrica de
cรณmo se fueron descubriendo las partรญculas elementales a travรฉs del tiempo hasta
llegar a lo que hoy conocemos como el Modelo Estรกndar de Partรญculas Elementales,
esta teorรญa es hoy en dรญa una de las mรกs estables de la Fรญsica de Partรญculas. La
interacciรณn de dos partรญculas, a travรฉs de los campos que originan, puede
interpretarse considerando que ambas partรญculas intercambian una tercera partรญcula,
llamada partรญcula portadora de la interacciรณn. El Modelo Estรกndar aborda tres de las
cuatro interacciones que se consideran fundamentales, la electromagnรฉtica, dรฉbil y
fuerte. Debido a que los procesos son cuรกnticos, la gravedad tiene una intensidad
despreciable al ser comparada con las demรกs interacciones y existe el problema de
una teorรญa cuรกntica gravitatoria congruente con el Modelo Estรกndar.
El segundo capรญtulo abarca los conceptos como Secciรณn Eficaz, Regla de oro de
Fermi, Reglas de Feynman y la Ecuaciรณn de Dirac, que son las bases fundamentales
que me permiten abordar los procesos de interacciรณn de forma matemรกtica, y
explicar analรญticamente lo que ocurre en los grandes experimentos como lo son los
aceleradores de partรญculas.
El tercer capรญtulo es la parte mรกs importante del trabajo, es el cรกlculo detallado de
la secciรณn eficaz para el proceso de dispersiรณn ๐+๐โ โ ๐+๐โ. En este capรญtulo se
aplicaran todo lo estudiado en los dos capรญtulos anteriores. Se partirรก de las reglas
de Feynman hasta encontrar la Amplitud de decaimiento, luego se hallarรก la
amplitud al cuadrado y, mediante la relaciรณn de completez, se dejarรก รฉsta en
tรฉrminos de las trazas para poder simplificar los cรกlculos, aplicando la regla de oro
de Fermi para dispersiones se encontrara la secciรณn eficaz del proceso, incluyendo
tambiรฉn la helicidad de las partรญculas, finalmente se expresarรก los resultados
obtenidos en tรฉrminos de las variables de Mandelstand y se graficarรกn los resultados
usando el paquete Feyncal del Software Wolfram Mathemaica, estas curvas
ayudaran a analizar de manera mรกs clara el comportamiento de las partรญculas en esta
dispersiรณn y a concluir en que rango angular es mรกs probable que se produzca el
proceso de dispersiรณn.
1
1. BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS
ELEMENTALES
Este capรญtulo es bรกsicamente una breve historia de cรณmo se fueron descubriendo y clasificando
las partรญculas elementales hasta llegar a la consolidaciรณn del Modelo Estรกndar que conocemos
actualmente. El propรณsito de este capรญtulo es introducir al lector en el tema, darle a conocer
de forma rรกpida como estรกn divididas las partรญculas que hoy en dรญa se consideran como la base
de la materia que conforma el universo. Tambiรฉn es una forma de inducir al lector en temas
mรกs complejos que se presentan mรกs adelante y facilitar su comprensiรณn.
1.1 Primeros descubrimientos de las partรญculas elementales
Las dos preguntas fundamentales que la fรญsica de partรญculas intenta responder son
ยฟde quรฉ elementos estรก compuesta la materia en sus raรญces mรกs fundamentales? y
ยฟCรณmo interactรบan estos elementos entre sรญ?
Sin embargo, estas preguntas son formuladas por el hombre desde la antigรผedad.
Para responder a la primera pregunta, se han formulado teorรญas desde tiempos
remotos, por ejemplo, en la Antigua Grecia Demรณcrito de Abdera, cerca del aรฑo 450
A.C, propuso que toda la materia que formaba la tierra estaba compuesta de ciertos
elementos a los que llamรณ โรกtomosโ, que significa pequeรฑas partรญculas indivisibles.
Muchos aรฑos despuรฉs, Robert Boyle (1627-1691), quien es considerado el padre de
la quรญmica, dio la definiciรณn de elemento que es muy similar a la que se da para
partรญcula elemental: โlos elementos son ciertos cuerpos primitivos y simples que no
estรกn formados por otros cuerpos, ni unos de otros, y que son los ingredientes de
que se componen inmediatamente y en que se resuelven en รบltimo tรฉrmino todos los
cuerpos perfectamente mixtosโ.
El estudio de la materia avanzรณ rรกpidamente junto con los avances y
descubrimientos de quรญmicos y fรญsicos, y a finales del siglo XIX ya era totalmente
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
2
aceptada la idea de que la materia estรก compuesta por elementos denominados
รกtomos, pero se encontraron varios elementos diferentes con propiedades
periรณdicas, lo cual llevaba a pensar que dichos รกtomos no podรญan ser partรญculas
indivisibles sino que debรญan estar compuestas de otras partรญculas. Dichos elementos
fueron organizados en una tabla segรบn su periodicidad por Dimitri Mendeleiev
(1834-1907). Mendeleiev ordenรณ los elementos segรบn el orden ascendiente de masa
atรณmica, pero en esta tabla quedaron algunos espacios vacรญos cuando se ordenaron
los elementos descubiertos hasta aquella รฉpoca, lo cual indicaba la existencia de
otros elementos aรบn no descubiertos.
Los elementos ordenados por Mendeleive presentaban una regularidad, cada ocho
elementos se repetรญan las propiedades quรญmicas, en ese entonces no se sabรญa
exactamente a que se debรญa aquel patrรณn, pero mรกs adelante se descubrirรญa que estas
propiedades eran determinadas por la carga elรฉctrica del nรบcleo atรณmico.
Se puede decir que el verdadero estudio de las partรญculas elementales iniciรณ con el
descubrimiento del electrรณn en 1897, cuando Joseph John Thomson (1856-1940),
descubriรณ el electrรณn al experimentar en campos elรฉctricos y magnรฉticos. Thomson
sabรญa que los rayos catรณdicos emitidos por un filamento caliente podรญan ser
deflactados por un campo magnรฉtico, lo cual indicaba que tenรญan carga. Thomson
construyรณ un tubo de descargas en el que dispuso un campo elรฉctrico en oposiciรณn
de un campo magnรฉtico los cuales fueron arreglados de tal forma que no se
observara desviaciรณn en los rayos catรณdicos lo cual ocurre solo cuando la fuerza
provocada por los dos campos es igual. En el tubo de rayos catรณdicos de Thomson,
con un potencial de aceleraciรณn, se querรญa que las partรญculas cargadas fueran del
cรกtodo hacia el รกnodo, y lo atravesaran por una abertura hasta llegar al otro extremo
del tubo, luego de atravesar un campo elรฉctrico y magnรฉtico. El campo elรฉctrico fue
inducido en una regiรณn formada por dos placas paralelas dispuestas enseguida de
la regiรณn en la que se encontraba el รกnodo, es allรญ donde el rayo es desviado, y se
compensa esta regiรณn con un campo magnรฉtico inducido por dos electroimanes
colocados fuera del tubo. Gracias al alto vacรญo que Thomson logrรณ alcanzar en el
tubo, se pudo observar como los rayos eran desviados gracias al campo elรฉctrico, y
ya en experimentos anteriores, habรญa demostrado que la carga negativa y la
luminosidad son indivisibles, a diferencia de lo que muchos cientรญficos de la รฉpoca
pensaban, con todo lo anterior, Thomson confirmรณ su hipรณtesis acerca de la
existencia del electrรณn.
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
3
Thomson determinรณ la velocidad de la partรญcula y la relaciรณn de su carga โ masa, el
cociente de esta relaciรณn dio un resultado enorme debido a que su masa es muy
pequeรฑa (๐๐ = 9,109 โ 10โ31 ๐๐ ~0,5๐๐๐). Thomson comprendiรณ que los
electrones eran elementos que componen el รกtomo cuya carga es negativa
(๐โ = โ1,6 โ 10โ19๐ถ), pero el รกtomo es una partรญcula con carga neutra, entonces
nacรญa la duda de acerca de dรณnde estaba la carga positiva equivalente en el รกtomo.
Thomson ideรณ un modelo para este que consistรญa en colocar los electrones como un
grupo de โcerezas en una tortaโ que vendrรญa siendo el รกtomo, modelo que
Rutherford demostrarรญa que era incorrecto, mรกs adelante.
Ernest Rutherford (1871-1937) fue un fรญsico y quรญmico britรกnico, y es considerado
uno de los padres de la fรญsica atรณmica gracias a sus importantes contribuciones a esta
รกrea de las cuales se destaca el descubrimiento del nรบcleo atรณmico [1].
En 1911, Rutherford y dos de sus alumnos, Hans Geiger y Ernest Marsden,
efectuaron un experimento crรญtico que mostrรณ que el modelo de Thomson podrรญa ser
errรณneo. En este experimento, un haz de partรญculas alfa cargadas positivamente, se
proyectaron contra una delgada hoja metรกlica, los resultados de los experimentos
fueron asombrosos: la mayorรญa de las partรญculas atravesaron la hoja como si fuera un
espacio vacรญo. Pero muchas partรญculas se desviaban de sus direcciones originales de
recorrido a รกngulos muy grandes. Algunas partรญculas incluso se regresaban en
direcciรณn contraria a la que se habรญan lanzado. Cuando Geiger informรณ a Rutherford
que algunas partรญculas habรญan rebotado, este dijo: โFue con mucho el mรกs increรญble
evento que me habรญa sucedido en la vida. Era tan increรญble como si usted disparara
una pieza de artillerรญa de 15 pulgadas contra un pedazo de papel facial y que รฉsta
regresara y lo golpearaโ [2].
Debido a lo anterior, Rutherford lanzรณ la hipรณtesis propuesta por sus dos
estudiantes, la cual sugerรญa que en el centro del รกtomo debรญa existir un nรบcleo que
contuviera la mayor parte de la masa del รกtomo y la carga positiva de este. A esta
parte del รกtomo, Rutherford la llamรณ protรณn, tambiรฉn sugiriรณ que el tamaรฑo de cada
รกtomo estaba definido por el nรบmero de electrones que este tuviera.
Rutherford ideรณ un modelo del รกtomo que consistรญa en un centro formado por el
protรณn y los electrones girando alrededor de este, similar al modelo planetario del
sistema solar, este modelo planetario ya habรญa sido sugerido por el Fรญsico japonรฉs
Hantaro Nagoaka, en 1904, pero habรญa pasado inadvertido.
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
4
Sin embargo, el modelo propuesto por Rutherford presentaba ciertas
inconsistencias, la primera de ellas era que al girar los electrones alrededor del
nรบcleo, y en consecuencia, perder energรญa, el sistema no podรญa ser estable, y la otra
se debรญa a que los electrones debรญan estar sujetos a cierta aceleraciรณn centrรญpeta para
permaneces girando alrededor del nรบcleo positivo, entonces de acuerdo con la teorรญa
electromagnรฉtica de Maxwell, las cargas aceleradas centrรญpetamente que giran con
frecuencia f deben radiar ondas electromagnรฉticas de frecuencia f, aplicada esta
teorรญa al รกtomo, se conduce al desastre ya que conforme el electrรณn irradia energรญa,
el radio de su รณrbita disminuye de forma estable y su frecuencia de revoluciรณn
aumenta. Esto lleva a una frecuencia siempre en aumento de la radiaciรณn emitida y
a un colapso final del รกtomo cuando el electrรณn se precipita al nรบcleo. [2]
Aรฑos mรกs tarde, el fรญsico danรฉs Niels Bohr, al estudiar la teorรญa atรณmica de
Rutherford, postulรณ que la teorรญa de la radiaciรณn clรกsica no se cumplรญa para un
sistema tan pequeรฑo como el del รกtomo y aplicando las ideas del cientรญfico alemรกn
Max Planck, (que proponรญa los niveles de energรญa, en los cuales giran los electrones
en el รกtomo alrededor del nรบcleo, cuantizados), โpostulรณ que los electrones en los
รกtomos estรกn confinados a niveles de energรญa no radiantes y estables y a รณrbitas
llamadas estados estacionariosโ [2]. De esta manera, Bohr superรณ las inconsistencias
que traรญa consigo el modelo atรณmico de Rutherford.
Sin embargo, el modelo que se tenรญa del รกtomo solo funcionaba perfectamente para
el รกtomo de hidrรณgeno (H) ya que los demรกs elementos no podรญan tener igual
nรบmero de electrones y protones, por ejemplo, el รกtomo de helio (๐ป๐) requiere dos
electrones, pero su masa es cuatro veces la del รกtomo de hidrรณgeno, por lo tanto,
faltaba masa extra en este y en los otros elementos.
En 1932, el fรญsico ingles James Chadwick (1891-1974, mientras estudiaba la radiaciรณn
emitida por el Belirio bombardeadas con partรญculas, descubriรณ el neutrรณn, que
resultรณ ser una partรญcula con una masa similar a la del protรณn y con carga elรฉctrica
neutra, de allรญ a derivaciรณn de su nombre y la capacidad de no alterar la carga del
รกtomo.
El descubrimiento del neutrรณn dio soluciรณn al problema que habรญa con la masa de
los รกtomos, quedando asรญ formulada una teorรญa atรณmica consistente a principios del
siglo XX.
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
5
Tambiรฉn para el aรฑos de 1932 se habรญa ya descubierto otra partรญcula elemental, el
fotรณn. En 1900, Planck intentaba explicar la radiaciรณn emitida por un cuerpo negro,
cuyas explicaciones de la รฉpoca mantenรญan una serie de inconvenientes (la potencia
total radiada resultaba ser infinita, โcatรกstrofe ultravioletaโ), al tratar de explicar los
resultados experimentales, Planck propuso que la radiaciรณn electromagnรฉtica estรก
cuantizada, y que se producรญa solo en โpaquetesโ de energรญa ๐ธ = ๐ฃโ, donde h es la
llamada constante de Planck. Planck no explicรณ en que consiste el origen de la
cuantizaciรณn, pero en 1905, el fรญsico alemรกn Albert Einstein (1879-1955) explicรณ, por
medio del efecto fotoelรฉctrico, que la cuantizaciรณn es una caracterรญstica del campo
electromagnรฉtico y que la radiaciรณn consiste en cuantos de energรญa, gracias al Efecto
Fotoelรฉctrico Einstein recibiรณ el premio nobel que le fue otorgado en 1921. El Efecto
Fotoelรฉctrico consiste bรกsicamente en la descarga de electrones al bombardear con
rayos de luz, una placa de metal con carga neutra. Los โcuantos de luzโ actรบan como
partรญculas que interaccionan con los electrones del metal, estos electrones absorben
el cuanto de luz, y luego, son expulsados del metal. La cantidad de electrones
desprendidos del metal depende de la intensidad de la luz, la cual estรก definida por
el โcolorโ (longitud de onda, o equivalentemente, frecuencia) de la misma .
El efecto Fotoelรฉctrico no puede ser explicado totalmente por la teorรญa ondulatoria
debido al extraรฑo comportamiento de la luz como partรญcula, de aquรญ proviene el
conocido comportamiento dual de la luz, onda-partรญcula.
Mรกs adelante, en 1923, Arthur Compton (1892-1962), fรญsico estadounidense, verificรณ
con en el experimento denominado Efecto Compton (ver apรฉndice A), que las
longitudes de ondas incidentes y salientes estรกn relacionadas por [3] [4]
๐โฒ โ ๐ = ๐๐(1 โ ๐ถ๐๐ ๐), ( 1.1)
donde ๐๐ es la longitud Compton y ๐ el รกngulo entre la radiaciรณn incidente y la
reflejada.
Entonces, a los โcuantos de luzโ se les asignรณ el nombre de fotones, o paquetes de
luz, esta nueva partรญcula elemental carecรญa de masa.
A finales de 1932 se sabรญa que la materia estaba compuesta por รกtomos y que esto a
su vez se constituรญa de tres partรญculas elementales: el electrรณn, el protรณn y el neutrรณn,
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
6
tambiรฉn se sabรญa que existรญa una cuarta partรญcula elemental: el fotรณn. De las
anteriores partรญculas, las que poseen carga participaban en interacciones
electromagnรฉticas y, aparte de esta interacciรณn, solo se conocรญa la gravitatoria cuya
intensidad es despreciable cuando se trata con partรญculas subatรณmicas. Hasta la
tercera dรฉcada del siglo XX, estas cuatro partรญculas y estas dos interacciones parecรญan
explicarlo todo, al electrรณn se le llamรณ leptรณn, que significa liviano, y al neutrรณn y al
protรณn se les llamo hadrones, que significa, pesados. Sin embargo, existรญa algo a lo
que este modelo estรกndar de partรญculas no podรญa responder, ยฟcรณmo hacรญan los
protones para mantenerse unidos entre sรญ, en el nรบcleo, y con los neutrones? Si
analizamos los protones desde el punto de vista de su carga, deberรญa existir una
fuerza de repulsiรณn grande entre ellos, sin embargo estos se mantienen unidos a
pesar de las distancias tan pequeรฑas que los separa. El fรญsico japonรฉs Hideki Yukawa,
propuso en 1935 la existencia de una โfuerza nuclearโ entre los protones y los
neutrones debido a una fuerza que hoy en dรญa se conoce como Fuerza de Yukawa,
esta fuerza explicaba el comportamiento de las partรญculas del รกtomo encontradas en
su nรบcleo.
Yukawa propuso la existencia de una partรญcula denominada mesรณn (masa
intermedia entre leptones y hadrones) ๐ o pion, esta partรญcula cumplรญa una funciรณn
similar a la del fotรณn en la teorรญa electrodinรกmica, pero a diferencia del fotรณn, el pion
deberรญa tener masa.
Yukawa proponรญa que esta fuerza nuclear debรญa ser de muy corto alcance, alcances
tan cortos que la fuerza gravitatoria y electrodinรกmica no alcanzaban a interferir
entre estos elementos. Tambiรฉn argumentaba que para que esto fuera posible era
necesario que la masa del pion fuera aproximadamente 300 veces mรกs grande que la
del electrรณn.
Hasta 1937 la fuerza nuclear propuesta por Yukawa era tan solo una idea, pero en
este aรฑo, dos grupos experimentales identificaron dos partรญculas elementales con
caracterรญsticas similares a la partรญcula de Yukawa al estudiar rayos cรณsmicos. Pero
fue hasta despuรฉs de la segunda guerra mundial cuando se comprobรณ que una de
estas dos partรญculas halladas correspondรญa al mesรณn ๐, y que la otra partรญcula, con
caracterรญsticas de interacciรณn similares a las del electrรณn y espรญn tambiรฉn de ยฝ, pero
con una masa 200 veces mayor que la de este correspondรญa a otra partรญcula a la cual
se le dio el nombre de muรณn.
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
7
Aรฑos mรกs tarde se descubriรณ que existรญan tres tipos de mesones ๐ (๐+, ๐0, ๐โ), todos
ellos agrupados hoy en dรญa en una familia llamada bosones (espรญn entero), pero que
se comportan de forma distinta en interacciones electromagnรฉticas segรบn su carga.
1.2 Descubrimiento de las antipartรญculas
Aunque la mecรกnica cuรกntica no relativista se estableciรณ formalmente en poco
tiempo, entre 1923 y 1926, reconciliar a la mecรกnica cuรกntica con la teorรญa de la
relatividad tomรณ mucho mรกs tiempo y la contribuciรณn de muchos fรญsicos, uno de los
primeros en aportar a esta relaciรณn fue el fรญsico britรกnico Paul Dirac quien en 1927,
luego de grandes estudios fรญsicos, mediante la formulaciรณn de la ecuaciรณn que lleva
su nombre, la cual fue desarrollada para describir el comportamiento de los
electrones libres [1],
๐ธ2 โ ๐2๏ฟฝโ๏ฟฝ2 = ๐2๐2. ( 1.2)
En la ecuaciรณn 1.2 claramente se ve el doble signo de la raรญz cuadrada, lo cual indica
evidentemente que a cada soluciรณn de energรญa positiva deberรญa corresponder una
de energรญa negativa, pero, si fuese asรญ, todos los electrones elegirรญan tener energรญas
lo mรกs negativas posibles y, al ocupar esos estados, emitirรญan una energรญa infinita.
Para solucionar este inconveniente se recurriรณ a la formaciรณn de la Teorรญa Cuรกntica
Relativista, por medio de esta teorรญa permite reinterpretar esas energรญas negativas
asociรกndola con la antipartรญcula del electrรณn, conocida como positrรณn, con energรญa
positiva. La Teorรญa Cuรกntica Relativista predice una antipartรญcula para cada
partรญcula existente.
Efectivamente, tal y como lo predecรญa la Teorรญa Cuรกntica Relativista, las
antipartรญculas se empezaron a descubrir. En 1932 Carl Anderson detectรณ el positrรณn
luego de haber experimentado durante aรฑos con rayos cรณsmicos e introducirle varias
mejoras a su experimento para alcanzar mรกs claridad en sus observaciones.
En 1931, Anderson publicรณ su primer artรญculo en el cual describรญa la apariciรณn de
varios tipos de radiaciรณn los cuales podรญan interpretarse como protones, nรบcleos mรกs
pesados y electrones. Los electrones podรญan ser identificados con mayor claridad
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
8
debido a su mayor penetrabilidad y la marcada curvatura en sus trayectorias, sin
embargo, Anderson encontrรณ evidencias de trayectorias muy similares a las
descritas por un electrรณn pero con una curvatura invertida, con las mejoras
introducidas al experimento y en agosto de 1932 Anderson obtuvo la primera
imagen clara de la partรญcula que, luego de atravesar una placa de plomo, se detenรญa
en la cรกmara de niebla. La bรบsqueda de evidencias que argumentaran el
comportamiento de las partรญculas que describรญan esta trayectoria, llevรณ a Carl
Anderson a concluir que, evidentemente la curvatura era la descrita por un electrรณn
pero con curvatura inversa a la una partรญcula negativa, desconociendo la predicciรณn
de Dirac, Anderson concluyรณ que se trataba de un electrรณn positivo o de un positrรณn.
En 1936, Carl Anderson fue laureado con el premio Nobel de Fรญsica, el cual
compartiรณ con Franz Hess.
El descubrimiento del positrรณn fue la prueba de que la predicciรณn de la ecuaciรณn de
Dirac interpretada en la Teorรญa Cuรกntica Relativista era cierta, sin embargo, hoy en
dรญa se sabe que el universo estรก compuesto de partรญculas, entonces si a cada partรญcula
le corresponde una antipartรญcula, ยฟestas dรณnde estรกn?
Las teorรญas cientรญficas aceptadas que intentan responder esta pregunta afirman que
en el origen el universo estaba compuesto de materia y antimateria en igual
proporciรณn, pero la materia y la antimateria se anulan y a pesar de esto el universo
estรก compuesto รบnicamente de materia y no se han encontrado rastros de
antimateria, la razรณn de esto se desconoce. En fรญsica, el proceso por el cual la cantidad
de materia superรณ a la de antimateria se denomina bariogรฉnesis, y algunas posibles
explicaciones a la existencia de este fenรณmeno son:
Por un exceso de materia en el Big Bang: se supone que el exceso de materia
que forma el universo actualmente podrรญa ser el resultado de una pequeรฑa
asimetrรญa en las proporciones iniciales de materia y antimateria.
Asimetrรญa CP: En 1967, Andrรฉi Sajarov postulรณ por primera vez que las
partรญculas y las antipartรญculas no tenรญan propiedades simรฉtricas, esta
explicaciรณn se basa en la violaciรณn de la simetrรญa discreta de conjugaciรณn de
carga y paridad. Algunos experimentos sugieren que quizรกs eso sea cierto,
eliminando la necesidad de un exceso de materia en el Big Bang y dejando la
explicaciรณn del exceso de materia en el universo a las leyes de la fรญsica que
favorecen esta predominaciรณn.
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
9
Existencia de galaxias formadas de antimateria ligadas por gravedad que aรบn
no han podido ser detectadas. Muy pocos cientรญficos creen en esta
posibilidad, sin embargo aรบn no ha sido totalmente descartada.
Por la misma รฉpoca que se descubriรณ el positrรณn tambiรฉn se encontraron rastros de
una nueva partรญcula, esta vez se trataba del neutrino. Los procesos de desintegraciรณn
nuclear ๐ฝ parecรญan violar la conservaciรณn de energรญa e impulso. En tales procesos, el
nรบcleo radioactivo parecรญa decaer en otro nรบcleo mรกs liviano, emitiendo solo un
electrรณn
๐ด โ ๐ต + ๐. (1.3)
Es claro que como la carga elรฉctrica debe conservarse, entonces el nรบcleo hijo debe
tener un protรณn mรกs que el nรบcleo padre. Por lo tanto, debe ser el que sigue en la
tabla periรณdica.
Como en todos los procesos deben conservarse la energรญa y el impulso, pero en las
medidas que se realizaban se encontraba que el electrรณn saliente llevaba menos
energรญa e impulso que los debidos, para resolver este inconveniente Wolfgang Pauli
(1900-1959) postulรณ la existencia de otra nueva partรญcula la cual se llevarรญa la energรญa
y el impulso faltante en el proceso. Esta partรญcula debรญa ser neutra para que asรญ no se
afectara la conservaciรณn de la carga elรฉctrica y tambiรฉn debรญa tener una masa
prรกcticamente igual a cero. Otro factor importante es que no debรญa sufrir relaciones
electromagnรฉticas ni nucleares, ya que los detectores no la veรญan. Esta partรญcula fue
denominada neutrino.
El descubrimiento del neutrino ๐ abriรณ paso al descubrimiento del antineutrino ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ,
antipartรญcula correspondiente al neutrino, y a la apariciรณn de una nueva interacciรณn,
la interacciรณn dรฉbil el cual estudiaremos un poco mรกs a fondo mรกs adelante.
Hacia 1947 se habรญan detectado una gran cantidad de partรญculas cuya existencia
habรญa sido predicha teรณricamente, se habรญa detectado el mesรณn ๐ de Yukawa, el
positrรณn y el neutrino, con esto parecรญa que la fรญsica de partรญculas cobraba por fin un
orden, pero esta cรณmoda situaciรณn no durรณ mucho, en un experimento que consistรญa
pasar las partรญculas provenientes de rayos cรณsmicos a travรฉs de placas de hierro, se
observรณ un suceso inusual de que se concluyรณ que se producรญa una partรญcula neutra
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
10
la cual se desintegraba despuรฉs en dos piones, dejando una novedosa traza en forma
de V, figura (1.1).
Figura 1.1 Descubrimiento del bariรณn ๐ฆ๐.
A esta partรญcula se le llamรณ kaรณn neutro (๐พ0) y el proceso registrado es de la forma:
๐พ0 โ ๐+ + ๐โ. (1.4)
Poco tiempo despuรฉs, se midiรณ el proceso en el que una partรญcula cargada, denotada
por ๐พ+, se desintegraba en tres piones:
๐พ+ โ ๐+ + ๐โ + ๐+. (1.5)
Las dos partรญculas se comportaban de forma similar a los piones y tenรญan, al igual
que estos, espรญn entero. A todas las partรญculas que sufrรญan interacciรณn nuclear,
ademรกs de la dรฉbil y la electromagnรฉtica, y tenรญan espรญn entero, se les llamรณ mesones.
Despuรฉs de esto se empezaron a descubrir muchos mesones.
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
11
Al mismo tiempo se midiรณ un proceso en el que la desintegraciรณn producรญa un piรณn
y un protรณn [5]:
ฮ0 โ ๐โ + ๐. (1.6)
La figura (1.1) muestra los rastros dejados por los productos de desintegraciรณn que
describen la anterior ecuaciรณn, (1.5).
Estas partรญculas tambiรฉn producรญan interacciones fuertes, y poseen un espรญn
semientero, a todas las partรญculas con estas caracterรญsticas, cuyo comportamiento
coincidรญa con el de los protones y los neutrones, se les denominรณ bariones. En aรฑos
siguientes se descubrieron muchos otros bariones.
Todas estas partรญculas tienen un comportamiento โextraรฑoโ ya que se creaban en
interacciones nucleares y decaen muy lentamente, para explicar este
comportamiento, se asignรณ a cada partรญcula un nuevo nรบmero cuรกntico llamado
โextraรฑezaโ y denominado por ๐, esta nueva cantidad debรญa conservarse en las
reacciones fuertes, pero no en las dรฉbiles. A las partรญculas extraรฑas se les asignรณ el
valor de ๐ = 1 y a las demรกs partรญculas un valor de ๐ = 0.
Tambiรฉn se introdujo otro nuevo nรบmero que se conserva, el nรบmero bariรณnico, cuyo
valor es 1 para los bariones, -1 para las antipartรญculas y 0 para los mesones y leptones.
Este nuevo nรบmero se introdujo debido a la posibilidad de desintegraciรณn del
protรณn, ๐ โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ + ๐พ, y aunque la probabilidad de tal desintegraciรณn no se ha
desechado del todo, es muy baja ya que si ocurriera, los รกtomos comunes se
desintegrarรญan.
1.2.1 La รณctuple senda y el modelo de los quarks
A mediados de la dรฉcada de 1960 se habรญan descubierto demasiadas partรญculas, lo
cual hacรญa demasiado complicado trabajar en este campo ya que no habรญa un patrรณn
que las clasificara y las ordenara, era necesario crear una especie de tabla periรณdica
que clasificara las partรญculas por hadrones. Murray Gell-Mann (1929- ) y Yuval
Neโeman (1925-2006) diseรฑaron un esquema denominado โla รณctuple sendaโ para
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
12
clasificar estas partรญculas. Ambos cientรญficos observaron que tanto bariones como
mesones formaban diagramas muy definidos (multipletes) si se les agrupaba usando
su carga elรฉctrica y su extraรฑeza. La รณctuple senda reunida a ocho partรญculas con
caracterรญsticas similares donde podรญan reunirse algunos bariones y algunos mesones
de los muchos que se habรญa descubierto.
En la figura (1.2) se observa el denominado รณctuple bariรณnico, aquรญ se agrupan los
ocho bariones mรกs livianos. Las partรญculas con la misma carga (en unidades de carga
del protรณn) se encuentran sobre la misma diagonal y las partรญculas en la misma lรญnea
horizontal son partรญculas con la misma extraรฑeza.
Figura 1.2. Octuplete de bariones
No solo existรญan hexรกgonos, por ejemplo, los diez bariones que seguรญan en masa se
agrupaban en un decuplete, figura (1.3).
Ilustraciรณn 1.3. Decuplete bariรณnico
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
13
Al acomodarse los bariones en el decuplete, la partรญcula denominada ฮฉโ no habรญa
sido detectada, pero Gell-Mann predijo su existencia y el valor de su masa, mรกs
tarde, en 1964 fue detectada.
La รณctuple senda originรณ la pregunta de ยฟpor quรฉ los hadrones se comportaban de
esta manera tan regular? Pero la respuesta para esta pregunta no tardรณ mucho en
encontrarse, en 1964, Gell-Mann y Stephan Zweig (1881-1924) propusieron, de forma
independiente, que los hadrones estaban compuestos por partรญculas
verdaderamente elementales, los quarks. Los quarks eran partรญculas que se
clasificaban en tres tipos o sabores, caracterizados por su carga elรฉctrica y su
extraรฑeza, formando un diagrama de forma triangular, ver figura 1.4.
El quark Up (๐ข) tiene carga 2/3 y extraรฑeza cero; el quark Down (๐) tiene carga
โ1/3 y extraรฑeza cero; el quark extraรฑo (๐ ) tiene carga โ1/3 y extraรฑeza -1. A caga
quark ๐ le corresponde un atiqurk ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ cuya carga y extraรฑeza en las misma depara los
quarks pero con signo opuesto, ver figura 1.5.
Figura 1.4. Quarks. Figura 1.5. Antiquarks.
La teorรญa de los quarks nos dice que estas partรญculas no se encuentran libres en la
naturaleza, pero que los bariones estรกn compuestos por tres quarks (los antibariones
por tres antiquarks) y los mesones por un quark y un antiquark.
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
14
Con estas reglas se hace un poco mรกs sencillo la construcciรณn de los hadrones, por
ejemplo, el octete de mesones y el decuplete de bariones, pero hay una combinaciรณn,
๐ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ que corresponde a una novena partรญcula que no estรก en el hexรกgono. Se trata de
un tercer mesรณn, a parte del ๐0 y del ๐, con nรบmeros cuรกnticos nulos, fue detectada
la partรญcula ๐โฒ. Explicar el octete bariรณnco es un poco mรกs complicado porque
requiere tener en cuenta los espines, pero funciona igualmente bien. Efectivamente,
todos los multipletes de la รณctuple senda que tienen masas mรกs grandes pueden
explicarse mediante estados excitados de los quarks. Obsรฉrvese que hay ciertos
hadrones cuya existencia serรญa incompatible con el modelo de quarks. Por ejemplo:
no puede haber un bariรณn con extraรฑeza igual a cero y carga, no existe combinaciรณn
de tres quarks que dรฉ por resultado esos nรบmeros. Tampoco puede haber un mesรณn
de carga +2, como la del bariรณn โ++ o de extraรฑeza โ3, como el bariรณn ฮฉโ .Durante
mucho tiempo se realizรณ una intensa bรบsqueda de estas partรญculas โexรณticasโ, pero
no se encontrรณ ninguna [6].
1.3 El Modelo Estรกndar de las partรญculas elementales
El denominado Modelo Estรกndar no es propiamente un modelo sino una teorรญa, de
hecho, una de las mejores teorรญas que tiene la fรญsica de partรญculas ya que identifica y
agrupa las partรญculas segรบn sus propiedades y explica cรณmo interactรบan.
Todo lo que pasa en el universo (excepto el efecto de la gravedad) se puede explicar
a travรฉs de las partรญculas que componen el modelo estรกndar, interactuando de
acuerdo a sus propiedades, sus reglas y las ecuaciones que las definen.
Como vimos anteriormente, en un principio, partรญculas tales como el protรณn y el
neutrรณn junto con centenares de partรญculas subatรณmicas que se fueron encontrando
a travรฉs de experimentos, se consideraban como elementales, pero con el avance de
las investigaciones cientรญficas y la evoluciรณn tecnolรณgica se logrรณ comprobar en
realidad, estรกn compuestas de quarks, leptones y bosones.
Sin embargo, hoy en dรญa se sigue usando el tรฉrmino de partรญculas elementales para
referirse a cualquier partรญcula subatรณmica, aun cuando ya se ha comprobado que
estas partรญculas no son propiamente elementales.
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
15
1.4 Partรญculas verdaderamente elementales
Existen muchas formas de clasificar las partรญculas segรบn sus propiedades y una de
ellas es por su espรญn, en este caso se clasifican en Fermiones, que se compone de
todas las partรญculas de espรญn semi-entero, y en bosones, que comprende las
partรญculas de espรญn entero.
A su vez los fermiones se dividen en dos grupos de partรญculas, los quarks y los
leptones.
1.4.1 Los quarks
La palabra quark fue una palabra atribuida por Murray Gell-Mann, es una palabra
carente de significado
Existen 6 tipos diferentes de quarks denominados de la siguiente forma:
Up (arriba)
Down (abajo)
Charm (encanto)
Strange (extraรฑo)
Top (cima)
Bottom (fondo)
Cada uno de los anteriores quarks posee una antipartรญcula o antiquark
respectivamente. Estos nombres se le dieron arbitrariamente y debido a la necesidad
de nombrarlos de forma sencilla, de tal forma que sus nombres fueran fรกciles de
recordar. Los quarks strange, charm, top y bottom son partรญculas elementales muy
inestables y se desintegraron en fracciรณn de segundos despuรฉs del big bang, pero
para su estudio, los fรญsicos de partรญculas han creado formas de recrearlos. Los quarks
up y down son mucho mรกs estables y poseen carga elรฉctrica.
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
16
En la naturaleza no se encuentran quarks aislados, estos siempre se unen para
formar hadrones formados por dos quarks llamados mesones, o tres quarks
denominados bariones.
Los quarks existentes actualmente poseen una carga elรฉctrica de โ1 3โ รณ + 2 3โ de la
carga elemental, es decir, la carga del electrรณn.
1.4.2 Leptรณn
Un leptรณn es una partรญcula con espรญn -1/2 (un fermiรณn) que no experimenta fuerza
nuclear fuerte. Existen seis leptones y sus correspondientes antipartรญculas, tabla 1.1.
Todos los leptones cargados conocidos tienen una sencilla unidad de carga elรฉctrica
(que depende de si son partรญculas o antipartรญculas) y todos los neutrinos y
antineutrinos tienen carga elรฉctrica cero.
Los leptones cargados tienen dos estados espรญn posible, mientras una sola helicidad
es observada por los neutrinos [7].
Tabla 1.1. Leptones
Partรญcula Sรญmbolo Antipartรญcula Masa en Reposo
(๐ด๐๐ฝ/๐ช๐)
Tiempo de vida (Sg)
Electrรณn ๐โ ๐+ 0.511 ๐ธ๐ ๐ก๐๐๐๐
Neutrino Electrรณnico
๐๐ ๐ฃ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 0 < 7 ร 10โ6 ๐ธ๐ ๐ก๐๐๐๐
Muon ๐โ ๐+ 105.7 2.21 ร 10โ6 Neutrino Muรณnico
๐๐ ๐ฃ๐ฬ ฬ ฬ 0 < 0.27 ๐ธ๐ ๐ก๐๐๐๐
Tau ๐โ ๐+ 1777 2.96 ร 10โ13 Neutrino Taรณnico
๐๐ ๐ฃ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 0 < 31 ๐ธ๐ ๐ก๐๐๐๐
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
17
1.4.3 Bosones.
La denominaciรณn "bosรณn" fue dada en honor al fรญsico indio Satyendra Nath Bose.
Los bosones se caracterizan por tener momento angular intrรญseco o espรญn entero (0,
1,2,โฆ), no cumplen el principio de exclusiรณn de Pauli y siguen la estadรญstica de Bose-
Einstein, la funciones de onda cuรกntica que describe sistemas de bosones es
simรฉtrica. Algunos bosones son:
Fotones
Bosones W y Z
Bosรณn de Higgs
Bosรณn X
Gluones
1.4.4 Hadrones
Lo hadrones son partรญculas compuestas de quarks, se clasifican en mesones y en
bariones.
Los bariones y mesones tienen mucho en comรบn por lo cual son agrupados dentro
de una misma clase de partรญculas llamados hadrones palabra que viene del griego
hadros que significa fuerte. Asรญ tenemos que los hadrones interactรบan a travรฉs de
interacciones fuertes. Ademรกs los hadrones son capaces de interactuar por medio de
interacciones dรฉbiles, lo cual ocurre cuando reglas de selecciรณn prohรญben las
interacciones fuertes en su interacciรณn con leptones. Si los hadrones tienen cargas
entonces ellos pueden interactuar tambiรฉn por medio de interacciones
electromagnรฉticas.
1.4.4.1 Mesones
Los mesones, del griego mesos que significa mediano, son partรญculas que interactรบan
a travรฉs de interacciones fuertes, dรฉbiles y electromagnรฉticas. Todos los mesones son
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
18
bosones ya que tienen un espรญn entero. Los mesones se clasifican segรบn su espรญn J y
su paridad P en:
Mesones escalares: son mesones con spin cero y paridad positiva.
Mesones pseudoescalares: son mesones con spin cero y paridad negativa.
Mesones vectoriales: son mesones con spin 1 y paridad positiva paridad
negativa.
Tabla 1.2. Mesones
Partรญcula Sรญmbolo
Antipartรญcula Composiciรณn Masa
๐ด๐๐ฝ/๐๐
S C B Tiempo de vida
Modo de decaimiento
Pion ๐ + ๐โ ๐ข๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 139.6 0 0 0 2.60ร 10โ8
๐+๐๐
Pion ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ข๏ฟฝฬ ๏ฟฝ โ ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
โ2
135.0 0 0 0 0.83ร 10โ16
2๐พ
Kaon ๐ฒ+ ๐พโ ๐ข๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 493.7 +1 0 0 1.24ร 10โ8
๐+๐๐ , ๐+๐0
Kaon ๐ฒ๐๐ ๐พ๐
0 1โ 497.7 +1 0 0 ๐. 89ร 10โ10
๐+๐โ, 2๐0
Kaon ๐ฒ๐ณ๐ ๐พ๐ฟ
0 1โ 493.7 +1 0 0 5.2ร 10โ8
๐+๐โ, ๐๐
Eta ๐ผ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ 2โ 548.8 0 0 0 < 10โ18 2๐พ, 3๐
Eta Prima
๐ผ๐โฒ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ 2โ 958 0 0 0 โฆ ๐+๐โ๐
Rho ๐+ ๐โ ๐ข๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 770 0 0 0 0.4ร 10โ23
๐+๐0
Rh ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ข๏ฟฝฬ ๏ฟฝ, ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 770 0 0 0 0.4ร 10โ23
๐+๐โ
Omega ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ข๏ฟฝฬ ๏ฟฝ, ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 782 0 0 0 0.8ร 10โ22
๐+๐โ๐0
Phi ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 1020 0 0 0 20ร 10โ23
๐พ+๐พโ, ๐พ0๐พ
D ๐ซ+ ๐ทโ ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 1869.4 0 +1 0 10.6ร 10โ13
๐พ+_, ๐+_
D ๐ซ๐ ๐ท0ฬ ฬ ฬ ฬ ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 1864.6 0 +1 0 4.2ร 10โ13
[๐พ, ๐, ๐]+_
D ๐ซ๐+ ๐ท๐
โ ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 1969 +1 +1 0 4.7ร 10โ13
๐พ+_
J/Psi ๐ฑ/๐๐
๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ฬ 3096.9 0 0 0 0.8ร 10โ20
๐+๐โ, ๐+๐โโฆ
B ๐ฉโ ๐ต+ ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 5279 0 0 โ1 1.5ร 10โ12
๐ท0 + _
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
19
B ๐ฉ๐ ๐ต0 ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 5279 0 0 โ1 1.5ร 10โ12
๐ท0 + _
๐ฉ๐ ๐ฉ๐๐ ๐ต๐
0 ๐ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 5370 0 0 โ1 . .. ๐ต๐ โ + _
Epsilon ๐ผ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ 9460.4 0 0 0 1.3ร 10โ20
๐+๐โ, ๐+๐โโฆ
1.4.4.2 Bariones
Proviene del griego barys que significa pesado. Los bariones son partรญculas de espรญn
semi-entero que interactรบan fuertemente y su masa en reposo es mayor o igual a la
masa de un nucleรณn y menor que la de un deuterรณn. Sufren ademรกs interacciones
dรฉbiles y electromagnรฉticas.
Todos los bariones tienen un espรญn semi-entero y por lo tanto son fermiones. Los
bariones se clasifican en bariones y resonancias bariรณnicas.
Bariones: las propiedades de los bariones de espรญn ยฝ y paridad positiva.
Resonancias Bariรณnicas.
Notemos el parentesco interno de estas resonancias bariรณnicas con los bariones.
Cada uno de los productos de los decaimientos es de nuevo un bariรณn. Las
resonancias bariรณnicas son en cierto modo bariones excitados.
Tabla 1.3. Bariones
Partรญcula Sรญmbolo Composiciรณn Masa en reposo
๐ด๐๐ฝ/๐๐
Espรญn B S Tiempo de vida
(Sg)
Modo de decaimiento
Protรณn ๐ ๐ข๐ข๐ 938.3 1/2 +1 0 ๐ธ๐ ๐ก๐๐๐๐ โฆ
Neutrรณn ๐ ๐๐๐ข 939.6 1/2 +1 0 920 ๐๐โ๐๐
Lambda ๐ฒ๐ ๐ข๐๐ 1115.6 1/2 +1 โ1 2.6ร 10โ10
๐๐โ, ๐๐0
Sigma ๐บ+ ๐ข๐ข๐ 1189.4 1/2 +1 โ1 0.8ร 10โ10
๐๐0, ๐๐+
Sigma ๐บ๐ ๐ข๐๐ 1192.5 1/2 +1 โ1 6ร 10โ20
ฮ0๐พ
Sigma ๐บโ ๐๐๐ 1197.3 1/2 +1 โ1 1.5ร 10โ10
๐๐0
Delta ๐ซ++ ๐ข๐ข๐ข 1232 3/2 +1 0 0.6ร 10โ23
๐๐+
Delta ๐ซ+ ๐ข๐ข๐ 1232 3/2 +1 0 0.6ร 10โ23
๐๐0
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
20
Delta ๐ซ๐ ๐ข๐๐ 1232 3/2 +1 0 0.6ร 10โ23
๐๐0
Delta ๐ซโ ๐๐๐ 1232 3/2 +1 0 0.6ร 10โ23
๐๐โ
Xi ๐ต๐ ๐ข๐ ๐ 1315 1/2 +1 โ2 2.9ร 10โ10
ฮ0๐0
Xi ๐ตโ ๐๐ ๐ 1321 1/2 +1 โ2 1.64ร 10โ10
ฮ0๐โ
Omega ๐โ ๐ ๐ ๐ 1672 3/2 +1 โ3 0.82ร 10โ10
ฮ0๐0, ฮ0๐พโ
Lambda ๐ฒ๐+ ๐ข๐๐ 2281 1/2 +1 0 2
ร 10โ23 โฆ
1.5 Interacciรณn de las partรญculas
Cada una de las interacciones se caracteriza por la "carga" que, como la carga
elรฉctrica, es fuente y receptor de la interacciรณn. El Modelo Estรกndar es la teorรญa que
describe todas las interacciones fundamentales, excepto la gravitaciรณn. Para este
รบltimo, todavรญa no se tiene una teorรญa microscรณpica, pero sรญ una aproximaciรณn
macroscรณpica, la llamada relatividad general.
La intensidad de las interacciones depende de la escala de energรญa de los fenรณmenos
en estudio, por ejemplo, la fuente y el receptor de la interacciรณn gravitatoria es el
tensor de impulso de la energรญa; en consecuencia, esta interacciรณn es sentida por
todas las partรญculas. Sin embargo, la gravedad es muy dรฉbil en todas las escalas de
energรญa experimentalmente accesible [5]. A continuaciรณn se presenta una breve
descripciรณn de las cuatro interacciones fundamentales conocidas actualmente.
1.5.1 Interacciรณn Gravitacional
La fuerza gravitacional es una fuerza de atracciรณn entre dos partรญculas y es
proporcional a sus masas. Es una fuerza de largo alcance, controla el movimiento de
los planetas y las galaxias, controla la caรญda de los cuerpos, y es de carรกcter general
de nuestro universo [8].
La fuerza gravitacional se calcula:
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
21
๐น = ๐บ๐๐
๐ 2,
donde G es la llamada constante de gravitaciรณn universal y su valor es ๐บ = 6.67 ร
10โ11๐๐2/๐พ๐2; m y M son las masas de los cuerpos que presentan esta fuerza y R
es la distancia que separa estos cuerpos.
La fuerza gravitacional existente entre los cuerpos en el espacio (galaxias, planetas,
estrellasโฆ) es la responsable de dinรกmica macroscรณpica existente en el universo y
del equilibrio con el que este evoluciona.
1.5.2 Interacciรณn dรฉbil
Es la fuerza responsable de la desintegraciรณn radioactiva y el decaimiento beta. El
tรฉrmino โdรฉbilโ se deriva del hecho de que un campo de fuerzas es de 1013 veces
menor que la interacciรณn nuclear fuerte, sin embargo, a cortas distancias sigue
siendo mucho mayor que la fuerza de gravedad.
En el modelo estรกndar de la fรญsica de partรญculas, la fuerza dรฉbil se considera una
consecuencia del intercambio de bosones W y Z que son muy masivos, y de acuerdo
con el principio de incertidumbre de Heisenberg son de corta vida, lo cual explica el
escaso alcance de este tipo de fuerzas.
1.5.3 Interacciรณn electromagnรฉtica
Actรบa entre partรญculas cargadas elรฉctricamente, por ejemplo, un electrรณn cargado
negativamente y un positrรณn de carga positiva se atraen entre sรญ con una fuerza que
es proporcional a sus cargas elรฉctricas.
Es responsable de la uniรณn de รกtomos y administra principalmente todos los
fenรณmenos conocidos de la vida en la tierra. Esta fuerza se manifiesta en sรญ a travรฉs
de la radiaciรณn electromagnรฉtica en forma de luz, ondas de radio y rayos-X. El fotรณn
es un cuanto de la fuerza electromagnรฉtica y, es el mediador de la fuerza
electromagnรฉtica, que es una fuerza de largo alcance. La energรญa potencial
electromagnรฉtico estรก dada por [8]:
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
22
๐ =๐๐2
๐,
( 1.7)
donde r es la distancia que separa las dos partรญculas.
1.5.4 Interacciรณn fuerte
Es la fuerza responsable de la uniรณn de los protones y los neutrones en el nรบcleo del
รกtomo. Es una fuerza fuerte. La fuerza nuclear fuerte es aproximadamente 100 veces
la fuerza electromagnรฉtica. Es una fuerza de corto alcance sobre la dimensiรณn
nuclear del orden de 10โ13๐๐.
Los resultados experimentales sobre la dispersiรณn de electrones en nรบcleos pueden
ser explicados mediante la interacciรณn electromagnรฉtica solamente [8] [9].
1.5.5 Interacciรณn electro-dรฉbil
En la fรญsica de partรญculas, la interacciรณn electro-dรฉbil es la unificaciรณn de dos de las
cuatro interacciones fundamentales conocidas de la naturaleza: la interacciรณn
electromagnรฉtica y la interacciรณn dรฉbil.
El Modelo Estรกndar de las interacciones electro-dรฉbiles fue propuesto por S.L
Glashow, A.Salam, y S. Weinberg para leptones y posteriormente extendido para
grados de libertad hadrรณnicos mediante el llamado mecanismo Gim. Dicho modelo
es hoy la mejor formulaciรณn que unifica las interacciones electromagnรฉticas y
dรฉbiles; es teรณricamente consistente y se encuentra en acuerdo con todos los datos
experimentales que involucran fenรณmenos de origen electro-dรฉbil. Para energรญas que
son pequeรฑas comparadas con la escala electro-dรฉbil dicha teorรญa produce la
Electrodinรกmica Cuรกntica (QED), asรญ como el modelo de Fermi, los cuales dan buena
descripciรณn de las interacciones dรฉbiles y electromagnรฉticas a bajas energรญas. Dicho
modelรณ es โmรญnimoโ en el sentido que contiene el nรบmero mรกs pequeรฑo de grados
CAPรTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTรCULAS ELEMENTALES
23
de libertad necesarios para describir correctamente todos los experimentos
conocidos [10] .
Me gustarรญa saber cรณmo creรณ Dios este mundo. No me interesa
este aquel fenรณmeno. El espectro de este o aquel elemento. Lo que
quiero conocer son sus pensamientos, el resto son detalles.
EINSTEIN
25
2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
En este capรญtulo se pretende dar a conocer al lector en los conceptos teรณricos que se aplican en
el tercer capรญtulo en el desarrollo del cรกlculo de la dispersiรณn ๐+๐โ โ ๐+๐โ.
La ecuaciรณn de Dirac fusiona con รฉxito la Mecรกnica Cuรกntica con la Relatividad Especial. Se
proporciona una descripciรณn natural del espรญn del electrรณn, predice la existencia de la
antimateria, y es capaz de predecir con precisiรณn el espectro del รกtomo de hidrรณgeno. La
ecuaciรณn de Dirac es considerada una transiciรณn natural de la Mecรกnica Cuรกntica Relativista
a la Teorรญa Cuรกntica de Campos [11]. Por otro lado podemos decir que la Regla de Oro de
Fermi es รบtil para para calcular la taza de transiciรณn de un proceso determinado por unidad
de tiempo, y Feynman, mediante sus diagramas, permite la representaciรณn de los cรกlculos
matemรกticos dan una probabilidad a una transiciรณn entre un estado inicial y un estado final
en teorรญa cuรกntica de campos.
2.1 Taza de decaimiento
Cuando se habla de decaimientos, son varias las cantidades que intervienen en el
proceso, pero una de las principales, y de hecho la mรกs importante es la vida รบtil de
la partรญcula en cuestiรณn.
La mayorรญa de las partรญculas que se conocen son inestables y solo pueden
mantenerse un corto tiempo desde su creaciรณn, este tiempo que dura la partรญcula se
denomina tiempo de vida, entonces cuando nos referimos a tiempo de vida de una
partรญcula, estamos hablando del tiempo que dura รฉsta en el proceso de
descomposiciรณn, pero cuando se habla de una partรญcula en cuestiรณn se puede
encontrar con que esta no decae siempre en el mismo tiempo, por ejemplo, todos los
muones son iguales, sin embargo unos decaen primero que otros, entonces no se
puede dar un tiempo de vida exacta para cada partรญcula, pero lo que si se puede
encontrar un promedio (o media) de vida รบtil de estas, el cual se denomina como
๐.
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
26
Otro factor importante que se tiene en cuenta para el cรกlculo de la vida media de
una partรญcula es el hecho de que independientemente del momento en que fueron
creadas, todas las partรญculas tienen la misma posibilidad de decaer.
Para calcular la vida media de una partรญcula se parte del hecho de suponer que se
tiene un nรบmero ๐0 de partรญculas idรฉnticas, el nรบmero de partรญculas N que decae
estรก dado por (ver apรฉndice D):
๐๐ = โฮ๐๐๐ก. (2.1)
Resolviendo la anterior ecuaciรณn por separaciรณn de variables se encuentra el valor
de N:
โซ๐๐
๐= โโซฮ๐๐ก
( 2.2)
๐ฟ๐(๐) = ฮ๐ก + ๐.
(2.3)
Donde k es una constante de integraciรณn. Entonces
๐ = ๐ถ๐โฮ๐ก. (2.4)
Pero se sabe que en un tiempo ๐ก = 0 se tiene que ๐ = ๐0, entonces
๐(๐ก) = ๐0๐โฮ๐ก, (2.5)
donde ฮ es la taza de decaimiento, es decir, la probabilidad de que una partรญcula
cualquiera decaiga por unidad de tiempo. Evidentemente el nรบmero de partรญculas
N disminuye exponencialmente con el tiempo. Entonces el tiempo de vida media es
simplemente la inversa del decaimiento,
๐ =1
ฮ . (2.6)
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
27
2.2 Secciรณn eficaz
La secciรณn eficaz de dispersiรณn ๐ es el espacio en el que un sistema de partรญculas
tiene influencia sobre otro y brinda toda la informaciรณn del proceso de dispersiรณn
(ver Apรฉndice D). Para cada uno de los procesos el sistema dispersor es el mismo,
pero con resultados diferentes; cada uno de estos procesos tiene su propia secciรณn
eficaz transversal, entonces la secciรณn eficaz para un proceso determinado, por
ejemplo, electrรณn-muon estรก dada por [12]
๐ =โ๐๐
๐
๐=1
. (2.7)
2.3 La regla de Oro de Fermi
La regla de oro de Fermi es un mรฉtodo empleado para calcular la taza de transiciรณn,
es decir, la probabilidad de que ocurra la transiciรณn por unidad de tiempo en un
proceso determinado. La regla de oro de Fermi dice que la probabilidad de la
transiciรณn de cualquier proceso es proporcional al acoplo entre los estados inicial y
final conocida como amplitud por el nรบmero de maneras distintas en que se puede
dar la transiciรณn; el espacio de fase, y estรก dado por [12]
๐๐๐ง๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐รณ๐ =2๐
โ|๐|2 ร (๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐). (2.8)
Donde ๐ es la amplitud del proceso, la cual contiene toda la informaciรณn dinรกmica,
mientras que el espacio de fase contiene la parte cinemรกtica, la cual lleva la
informaciรณn de la masa, la energรญa y el momento de las partรญculas implicadas.
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
28
Existen dos variaciones de la regla de oro de Fermi dependiendo del tipo de proceso
que se lleve a cabo, la regla de oro de Fermi para Dispersiรณn y la regla de oro de
Fermi para decaimientos.
2.3.1 Regla de Oro de Fermi para Decaimientos
Suponiendo que una partรญcula decae en n partรญculas 1 โ 2 + 3 + 4 +โฏ+ ๐, la regla
de oro toma la forma [12]
๐ฮ = |๐|2๐
2โ๐1[(
๐๐3๐ท๐(2๐)32๐ธ2
)(๐๐3๐ท๐(2๐)32๐ธ3
)โฆ(๐๐3๐ท๐(2๐)32๐ธ๐
)]
ร (2๐)4๐ฟ4(๐1 โ ๐2 โ ๐3โโฏโ๐๐),
(2.9)
donde ๐ =1
๐! con ๐ es el nรบmero de partรญculas idรฉnticas en el estado final luego del
decaimiento.
La funciรณn ๐ฟ garantiza el principio de conservaciรณn de energรญa y el momento, los
cuales forman el espacio de fase con los cuadrimomentos y las energรญas de cada
partรญcula.
Por otro lado
๐๐ = (๐ธ๐๐, ๐ท๐) ๐๐๐๐๐
๐ธ๐๐= โ๐๐
2๐2 + ๐๐2.
(2.10)
2.3.2 Regla de Oro de Fermi para Dispersiรณn
En los procesos de dispersiรณn dos partรญculas interactรบan entre sรญ sufriendo una
dispersiรณn en n partรญculas de la forma 1 + 2 โ 3 + 4 +โฏ+ ๐.
La regla de oro para dispersiรณn estรก dada por [12]
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
29
๐ฯ = |๐|2โ2๐
4โ(๐1๐2)2 โ (๐1๐2๐)
2[(
๐๐3๐ท๐(2๐)32๐ธ2
)(๐๐3๐ท๐(2๐)32๐ธ3
)โฆ(๐๐3๐ท๐(2๐)32๐ธ๐
)]
ร (2๐)4๐ฟ4(๐1 โ ๐2 โ ๐3โโฏโ๐๐),
( 2.11)
donde ๐๐ y ๐ธ๐ estรกn dadas en la ecuaciรณn (2.10).
Figura 2.1. Proceso visto desde el centro de masa.
Para nuestro caso a tratar que es el proceso de dispersiรณn ๐+๐โ โ ๐+๐โ se tienen 2
partรญculas que se dispersan en otras dos de la forma 1 + 2 โ 3 + 4, este proceso visto
desde el centro de masa se representa en la figura (2.1). Aplicando la regla de Oro
para calcular la secciรณn eficaz de dispersiรณn, tenemos que la ecuaciรณn (2.11) queda
de la forma:
๐ฯ = |๐|2โ2๐
4โ(๐๐๐๐)2 โ (๐1๐2๐)2[(
๐๐3๐ท๐(2๐)32๐ธ3
)(๐๐3๐ท4(2๐)32๐ธ4
)]
ร (2๐)4๐ฟ4(๐1 + ๐2 โ ๐3โ๐4).
(2.12)
Para simplificar los cรกlculos se supone que en el marco de referencia del centro de
masa se cumple que: ๐ท๐ = โ๐ท๐ , entonces el producto punto de los cuadri-
momentos serรญan:
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
30
๐1. ๐2 =๐ธ1๐ธ2๐2
+ ๐12. (2.13)
Sumando las energรญas de las partรญculas 1 y 2 dadas en la ecuaciรณn (2.10) se tiene que:
๐ธ1๐+๐ธ2๐= โ๐1
2๐2 + ๐12 +โ๐2
2๐2 + ๐22.
Elevando al cuadrado, agrupando tรฉrminos y multiplicando por ๐ท๐๐ se obtiene:
๐ท๐๐ (๐ธ1 + ๐ธ2๐
)2
= ๐ท๐๐ + 2
๐ธ1๐ธ2๐2
+ ๐ท๐๐๐ท๐
๐ + ๐ท๐๐๐๐
๐๐๐ + ๐ท๐๐๐๐
๐๐๐.
Sustituyendo en la parte derecha de la igualdad los valores para ๐ท๐๐ y ๐ท๐
๐ segรบn la
ecuaciรณn (2.10) y factorizando tรฉrminos se llega a que:
๐ท๐๐ (๐ธ1 + ๐ธ2๐
)2
= (๐ท๐๐ +
๐ธ1๐ธ2๐2
)2
+๐12(๐ธ1
2 โ ๐ธ22) โ ๐1
4๐4, (2.14)
pero como ๐ท๐ = โ๐ท๐ entonces ๐ท๐๐ = ๐ท๐
๐, por lo tanto:
๐ธ12
๐2โ๐1
2๐2 =๐ธ22
๐2โ๐2
2๐2 (2.15)
๐ธ12 โ ๐ธ2
2 = ๐4(๐12 โ๐2
2). (2.16)
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
31
Sustituyendo las ecuaciones (2.13), (2.15) y (2.16) en (2.14) se obtiene
|๐ท1| (๐ธ1 + ๐ธ2๐
) = โ(๐1๐2)2 โ (๐1๐2๐2)2,
(2.17)
tomando la ecuaciรณn (2.17) y sustituyรฉndola en la ecuaciรณn (2.12) se obtiene que
๐ฯ = |๐|2โ2๐ ๐
4|๐ท1|(๐ธ1 + ๐ธ2)[(
๐๐3๐ท๐(2๐)32๐ธ3
)(๐๐3๐ท4(2๐)32๐ธ4
)]
ร (2๐)4๐ฟ4(๐1 + ๐2 โ ๐3โ๐4),
(2.18)
factorizando tรฉrminos se tiene que
๐ฯ = (๐โ
8๐)2 |๐|2๐ ๐
|๐ท1|(๐ธ1 + ๐ธ2)[(๐3๐ท๐๐
3๐ท4๐ธ3๐ธ4
)]
ร ๐ฟ4(๐1 + ๐2 โ ๐3โ๐4).
,(2.19)
Pero ๐ฟ4(๐1 + ๐2 โ ๐3โ๐4) = ฮด(๐10 + ๐2
0 โ ๐30 โ ๐4
0)๐ฟ3(๐ท1 + ๐ท2 โ๐ท3 โ๐ท4) y teniendo
en cuenta que ๐ท๐ = โ๐ท๐ se llega a
๐ฯ = (๐โ
8๐)2 |๐|2๐ ๐
|๐ท1|(๐ธ1 + ๐ธ2)[(๐3๐ท๐๐
3๐ท4๐ธ3๐ธ4
)]
ร ๐ฟ (๐ธ1 + ๐ธ2๐
โ๐ธ3 + ๐ธ4๐
) ๐ฟ3(โ๐ท3 โ ๐ท4).
( 2.20)
Por la ecuaciรณn (2.10) sabemos que ๐ธ๐
๐= โ๐๐
2๐2 + ๐๐2 entonces sustituyendo las
energรญas ๐ธ3 y ๐ธ4 en la ecuaciรณn (2.20) se tiene que
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
32
๐ฯ = (๐โ
8๐)2 |๐|2๐ ๐
|๐ท1|(๐ธ1 + ๐ธ2)[(๐3๐ท๐๐
3๐ท4๐ฟ (๐ธ1 + ๐ธ2๐
โ โ๐32๐2 + ๐ท3
2 โ โ๐42๐2 + ๐ท4
2)
๐2โ๐32๐2 + ๐ท3
2โ๐42๐2 + ๐ท4
2)]
ร ๐ฟ3(โ๐ท3 โ ๐ท4),
(2.21)
integrando respecto a ๐ท4 , por la propiedad 1 de la funciรณn Delta de Dirac ๐ฟ (ver
Apรฉndice B), se evalรบa ๐ท4 โ โ๐ท3 y se llega a:
๐ฯ = (๐โ
8๐)2 |๐|2๐
๐|๐ท1|(๐ธ1 + ๐ธ2)[(๐ฟ (๐ธ1 + ๐ธ2๐
โ โ๐32๐2 + ๐ท3
2 โ โ๐42๐2 + ๐ท3
2)
โ๐32๐2 + ๐ท3
2โ๐42๐2 + ๐ท3
2๐3๐ท๐)],
(2.22)
teniendo en cuenta que ๐ธ = ๐โ๐๐2๐2 + ๐ท๐
2 y tambiรฉn que ๐ท๐ = โ๐ท๐, para las
partรญculas despuรฉs de la dispersiรณn se tiene que
๐๐ธ
๐ธ=
|๐ท3|๐๐ท3
โ๐32๐2 + ๐ท3
2โ๐42๐2 + ๐ท3
2,
(2.23)
donde ๐ธ = ๐ธ3 + ๐ธ4. Sustituyendo la ecuaciรณn (2.23) en la ecuaciรณn (2.22) y teniendo
en cuenta que en coordenadas esfรฉricas el diferencial de volumen toma la forma
๐3๐ท๐ = ๐ท๐๐๐๐ท๐๐ฮฉ, entonces se llega a:
๐ฯ = (๐โ
8๐)2 |๐|2๐
๐|๐ท1|(๐ธ1 + ๐ธ2)[(๐ฟ (
๐ธ1 + ๐ธ2๐
โ๐ธ
๐)|๐ท3|
๐ธ๐ฮฉ๐๐ธ)],
(2.24)
donde ๐ฮฉ = sin๐ ๐๐๐๐. Usando las propiedades 2 y 6 para el Delta de Dirac ๐ฟ (ver
Apรฉndice B), se tiene para el cรกlculo realizado anteriormente que:
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
33
๐ฟ (๐ธ1 + ๐ธ2๐
โ๐ธ
๐) = ๐๐ฟ(๐ธ โ (๐ธ1 + ๐ธ2)).
(2.25)
Ahora sustituyendo (2.25) en (2.24) se tiene que
๐ฯ
๐ฮฉ= (
๐โ
8๐)2 |๐|2๐
๐|๐ท1|(๐ธ1 + ๐ธ2)[(๐๐ฟ(๐ธ โ (๐ธ1 + ๐ธ2))
|๐ท3|
๐ธ๐๐ธ)],
(2.26)
y evaluando la integral sobre E se llega a
๐ฯ
๐ฮฉ= (
๐โ
8๐)2 |๐|2๐
(๐ธ1 + ๐ธ2)2|๐ท3|
|๐ท1|.
(2.27)
Es importante resaltar que la integral no estรก resuelta completamente debido a que
por el momento no se conoce el valor de la amplitud ๐ ni de que forma depende de
la interacciรณn de las partรญculas y el รกngulo ๐.
Como ๐ท๐ = โ๐ท๐ ๐ท๐ = โ๐ท๐ en la ecuaciรณn (2.26) puede aparecer cualquiera de los
momentos de las partรญculas entrantes y salientes. Pero para poder calcular la secciรณn
transversal de dispersiรณn para un proceso 1 + 2 โ 3 + 4 es necesario conocer la
forma de la amplitud de decaimiento |๐|2 del proceso [12].
2.4 Ecuaciรณn de Dirac
La ecuaciรณn de Dirac es una de las ecuaciones mรกs importantes que se puede
encontrar en la fรญsica de Partรญculas. Paul Dirac, fรญsico britรกnico que contribuyรณ al
desarrollo de la mecรกnica cuรกntica y la electrodinรกmica cuรกntica. En 1928 Dirac
formulรณ su famosa ecuaciรณn que describe el comportamiento cuรกntico de sistemas
que se mueven de forma relativista, introduciendo tรฉrminos relativistas a la
mecรกnica cuรกntica. La ecuaciรณn de Dirac describe de forma precisa partรญculas
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
34
elementales de spin 1/2 como por ejemplo el electrรณn, ademรกs esta ecuaciรณn predice
la existencia de la antipartรญcula.
Esta ecuaciรณn es una de las mayores contribuciones del siglo XX a la ciencia, logro
dar un giro total a la forma en comprendiamos la materia entendiendo ahora
conceptos de antimateria y espรญn de partรญculas elementales.
Es difรญcil saber de quรฉ forma pensaba Dirac en el momento de formular esta ecuaciรณn
que da respuesta a los problemas que presentaban descripciones relativistas de los
fenรณmenos cuรกnticos, sin embargo a continuaciรณn se harรก un desarrollo detallado de
una posible forma de derivar esta ecuaciรณn.
2.4.1 Ecuaciรณn de Schrรถdinger
La teorรญa cuรกntica planteo el problema de describir partรญculas que se movieran a
velocidades cercanas a las de la luz, para poder lograr esto era necesario unir los
principios cuรกnticos y relativistas de tal modo que la descripciรณn fuera consistente y
libre de contradicciones internas.
Partiendo de la relaciรณn clรกsica de la energรญa
๐ธ =๐2
2๐+ ๐(๐ฅ), ( 2.28)
donde P es el momento, m la masa, y V el potencial.
Utilizando la correspondencia entre las cantidades clรกsicas y operadores cuรกnticos
donde:
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐โ๐
๐๐ก
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = โ๐โ๐
๐๐ฅ
๏ฟฝฬโ๏ฟฝ = โ๐โโ
(2.29)
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
35
๏ฟฝโ๏ฟฝ2ฬ = โโ2โ2,
donde โ2=๐2
๐๐ฅ2+
๐2
๐๐ฆ2+
๐2
๐๐ง2.
Sustituyendo las equivalencias de las ecuaciones (2.29) en la ecuaciรณn (2.28) y
dejando que los operadores resultantes actรบen sobre la funciรณn de onda ๐ se obtiene
la ecuaciรณn de Schrรถdinger
๐โ๐๐
๐๐ก= โ
โโ2
2๐โ2๐ + ๐๐.
(2.30)
La ecuaciรณn de Schrรถdinger es de primer orden en el tiempo y de segundo orden en
las ecuaciones espaciales lo cual genera un problema para afrontar un estudio
relativista donde las coordenadas espaciales y temporales estรกn en el mismo orden
[14].
2.4.2 Ecuaciรณn de Klein Gordon
Se parte de la relaciรณn relativista entre la masa, la energรญa y el momento:
๐ธ2 = ๐2๐2 +๐2๐4. (2.31)
Utilizando las relaciones encontradas en (2.29) y sustituyรฉndolas en la ecuaciรณn
(2.31) y aplicando este resultado sobre un campo ๐ que dependerรก de las
coordenadas espaciales y el tiempo, se encuentra la ecuaciรณn de Klein Gordon [15]:
โโ2๐2๐
๐๐ก2= โโ2๐2โ2๐ +๐2๐4.
(2.32)
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
36
Esta ecuaciรณn muestra cรณmo evoluciona cuรกnticamente una partรญcula escalar, de
espรญn nulo, de forma relativista.
Para solucionar esta ecuaciรณn se introduce una funciรณn de una onda plana:
๐(๏ฟฝโ๏ฟฝ, ๐ก) = ๐โ๐๐.๐ฅ,
donde ๐ = (๐ธ, ๐) y ๐ฅ = (๐ก, ๏ฟฝโ๏ฟฝ). Por lo tanto ๐. ๐ฅ = ๐๐๐ฅ๐ = ๐ธ๐ก โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ. ๏ฟฝโ๏ฟฝ.
Calculando las derivadas:
๐๐
๐๐ก=๐
๐๐ก๐โ๐(๐ธ๐กโ๐๐ฅ) = โ๐๐ธ๐โ๐(๐ธ๐กโ๐๐ฅ) = โ๐๐ธ๐
๐๐
๐๐ฅ=๐
๐๐ฅ๐โ๐(๐ธ๐กโ๐๐ฅ) = ๐๐๐โ๐(๐ธ๐กโ๐๐ฅ) = ๐๐๐.
(2.33)
Ahora se introducen las derivadas en la ecuaciรณn (2.32) y reagrupando se obtiene
que:
๐2๐
๐๐ก2โ๐2๐
๐๐ฅ2= โ๐ธ2๐ + ๐2๐
(2.34)
(๐ธ2 โ ๐2)๐ = ๐2๐, (2.35)
esto implica que ๐ satisface:
๐ธ2 โ ๐2 = ๐2, (2.36)
despejando la energรญa se tiene que:
๐ธ = ยฑโ๐2 +๐2. (2.37)
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
37
La anterior ecuaciรณn muestra un valor de energรญa negativa para las partรญculas, lo cual
es inaceptable, pero el verdadero problema de esta ecuaciรณn radica en que cuando
se aplica a una รบnica partรญcula esta nos indica que hay estados donde la probabilidad
de encontrar dicha partรญcula en una regiรณn del espacio puede ser negativa.
Schrรถdinger descartรณ la ecuaciรณn de Klein Gordon debido a sus inconsistencias. Sin
embargo muchos cientรญficos se dedicaron a solucionar el problema que conllevaba
establecer una teorรญa que fundiera la cuรกntica con la relatividad, entre ellos Paul
Dirac.
2.4.3 Derivaciรณn de la ecuaciรณn de Dirac
Primero que todo, se considerarรก que ๐ = โ = 1.
La relaciรณn entre la energรญa y el momento relativista tiene que cumplirse en
cualquiera de los casos:
๐ธ2 = ๐2 +๐2. (2.38)
Realizando las sustituciones usuales en cuรกntica para la energรญa y el
momento: ๐ธ = ๐๐๐ก y ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (โ๐โโโโ). Reemplazando en la ecuaciรณn anterior se llega
a:
(๐๐๐ก)2๐ = ((โ๐โโโโ)
2+๐2)๐.
Esta ecuaciรณn es la ecuaciรณn (2.35), es decir, la de Klein-Gordon.
Por otro lado, se sabe que la ecuaciรณn de Schรถdinger se puede escribir
formalmente como ๐๐๐ก๐ = ๐ป๐. Consideremos ahora que la parte del
Hamiltoniano en la ecuaciรณn de Klein-Gordon en realidad es el cuadrado de
un Hamiltoniano previo que se puede escribir con toda tranquilidad como:
๐ป = ๏ฟฝโ๏ฟฝ(โ๐โโโโ) + ๐ฝ๐,
entonces
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
38
๐ป2 = (โ๐โโโโ)2+๐2.
๏ฟฝโ๏ฟฝ = (๐ผ1, ๐ผ2, ๐ผ3) y ๐ฝ son contantes a determinar.
Si ahora se desarrolla el cuadrado del Hamiltoniano propuesto se tiene que:
๐ป2 = (๐ผ๐(โ๐โ๐) + ๐ฝ๐)(๐ผ๐(โ๐โ๐) + ๐ฝ๐). (2.39)
Escribiendo la sumatoria de forma explรญcita se tiene que
๐ป2 =โ ๐ผ๐๐ผ๐(โ๐โ๐)(โ๐โ๐) +๐,๐
โ๐ผ๐๐ฝ(โ๐โ๐)๐ +๐
โ ๐ฝ๐ผ๐(โ๐โ๐)๐๐,๐
+ ๐ฝ2๐2.
(2.40)
La primera sumatoria se puede dividir en dos partes. La primera cuando ๐ = ๐ y la
otra haciendo la suma para valores ๐ > ๐ simetrizando los productos para poder
recorrer todos los tรฉrminos requeridos para la suma,
๐ป2 =โ ๐ผ๐2(โ๐โ๐)
2 +๐
โ (๐ผ๐๐ผ๐ + ๐ผ๐๐ผ๐)(โ๐โ๐)(โ๐โ๐) +๐>๐
โ (๐ผ๐๐ฝ + ๐ฝ๐ผ๐)(โ๐โ๐)๐ + ๐ฝ2๐2
๐,
(2.41)
ahora se impone que la ecuaciรณn (2.41) sea el Hamiltoniano de Klein โGordon,
imponiendo asรญ la relaciรณn relativista entre energรญa y tiempo, entonces
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
39
โ๐ผ๐2(โ๐โ๐)
2 +๐
โ (๐ผ๐๐ผ๐ + ๐ผ๐๐ผ๐)(โ๐โ๐)(โ๐โ๐) +๐>๐
โ (๐ผ๐๐ฝ + ๐ฝ๐ผ๐)(โ๐โ๐)๐ + ๐ฝ2๐2
๐= (โ๐โโโโ)
2+๐2.
(2.42)
Las relaciones que tienen que cumplir ๐ผ๐ y ๐ฝ para que esto sea posible son:
๐ผ๐2 = ๐ผ
๐ฝ2 = ๐ผ ๐ผ๐๐ผ๐ + ๐ผ๐๐ผ๐ = 0 ๐๐๐๐ ๐ โ ๐
๐ผ๐๐ฝ + ๐ฝ๐ผ๐ = 0
Donde I es la matriz identidad.
Se puede reescribir las anteriores propiedades usando el anti conmutador. Se tienen
dos objetos matemรกticos, A y B, y el anti conmutador { , }, entonces:
{๐ด, ๐ต} = ๐ด๐ต + ๐ต๐ด.
Si el resultado da cero entonces se puede decir que A y B anti-conmutan y entonces
evidentemente ๐ด๐ต = โ๐ต๐ด.
Entonces se tiene:
{๐ผ๐, ๐ผ๐} = 0 ๐๐๐๐ ๐ โ ๐
{๐ผ๐, ๐ฝ} = 0
๐ผ๐2 = ๐ฝ2 = ๐ผ ๐๐๐๐ ๐ = 1,2,3.
Por lo tanto (๐ผ1, ๐ผ2, ๐ผ3) y ๐ฝ son objetos cuyo cuadrado nos da la unidad y anti
conmutan entre ellos. Por lo tanto estos objetos necesariamente tienen que ser
matrices.
La ecuaciรณn de Dirac tiene la forma:
๐๐๐ก๐ = [๏ฟฝโ๏ฟฝ(โ๐โโโโ) + ๐ฝ๐]๐. (2.43)
Si se extiende la expresiรณn de la ecuaciรณn de Dirac se obtiene que:
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
40
๐๐๐ก๐ = [๐ผ1(โ๐๐๐ฅ) + ๐ผ2(โ๐๐๐ฆ) + ๐ผ3(โ๐๐๐ง)]๐ + ๐ฝ๐๐. (2.44)
Ahora se va a numerar una serie de propiedades que deben cumplir las matrices
(๐ฝ, ๐ผ1, ๐ผ2, ๐ผ3) .
1. El Hamiltoniano debe ser hermรญtico ya que este nos darรก la energรญa del
sistema y por lo tanto sus valores deben ser reales.
๐ป = ๐ปฯฏ.
2. La masa m es un escalar positivo y por lo tanto es hermรญtico. El momento ๐๐ =
โ๐๐๐ es un operador hermรญtico, ๐๐ฯฏ= ๐๐ y por lo tanto ๐ผ๐ y ๐ฝ tambiรฉn deben
ser hermรญticas.
3. Las trazas de las matrices ๐ผ๐ y ๐ฝ son nulas. Es decir, la suma de la diagonal
principal de las matrices da cero.
Se parte de
{๐ผ๐, ๐ฝ} = ๐ผ๐๐ฝ + ๐ฝ๐ผ๐ = 0,
entonces
๐ผ๐๐ฝ = โ๐ฝ๐ผ๐.
Calculando las trazas
a) ๐๐(๐ผ๐).
Multiplicando la matriz ๐ผ๐ por la matriz identidad se tiene que:
๐๐(๐ผ๐) = ๐๐(๐ผ๐๐ผ).
Recordemos que: ๐ผ๐2 = ๐ฝ2 = ๐ผ entonces se puede escribir
๐๐(๐ผ๐) = ๐๐(๐ผ๐๐ผ) = ๐๐(๐ผ๐๐ฝ2) = ๐๐(๐ผ๐๐ฝ๐ฝ),
pero ๐ผ๐๐ฝ = โ๐ฝ๐ผ๐, entonces
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
41
๐๐(๐ผ๐๐ฝ๐ฝ) = ๐๐(โ๐ฝ๐ผ๐๐ฝ) = โ๐๐(๐ฝ๐ผ๐๐ฝ).
Recordemos que las trazas tienen una propiedad cรญclica que dice que
๐๐(๐ด๐ต๐ถ) = ๐๐(๐ถ๐ด๐ต) = ๐๐(๐ต๐ถ๐ด),
entonces
๐๐(๐ผ๐๐ฝ๐ฝ) = ๐๐(โ๐ฝ๐ผ๐๐ฝ) = โ๐๐(๐ฝ๐ผ๐๐ฝ) = โ๐๐(๐ฝ๐ฝ๐ผ๐).
Pero el cuadrado de beta nos da la matriz identidad, por lo tanto:
๐๐(๐ผ๐๐ฝ๐ฝ) = ๐๐(โ๐ฝ๐ผ๐๐ฝ) = โ๐๐(๐ฝ๐ผ๐๐ฝ) = โ๐๐(๐ฝ๐ฝ๐ผ๐) = โ๐๐(๐ผ๐ผ๐) = โ๐๐(๐ผ๐),
con lo que queda se obtiene que:
๐๐(๐ผ๐) = โ๐๐(๐ผ๐).
Esto solo es posible si la traza es nula, por lo tanto:
๐๐(๐ผ๐) = 0.
b) ๐๐(๐ฝ) se calcula de forma simila que la ๐๐(๐ผ๐) llegando tambiรฉn a la
conclusiรณn de que:
๐๐(๐ฝ) = 0.
Continuando con las propiedades que deben cumplir las matrices (๐ฝ, ๐ผ1, ๐ผ2, ๐ผ3).
4. Es necesario conocer los auto valores asociados a las matrices.
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
42
Para calcular los auto valores de una matriz se hace de la siguiente forma. Por
ejemplo para ๐ฝ. Se supone que se tiene un vector ๏ฟฝโ๏ฟฝ que es propio de ๐ฝ. Entonces
๐ฝ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐พ๏ฟฝโ๏ฟฝ.
Esto quiere decir que cuando ๐ฝ actรบa sobre ๏ฟฝโ๏ฟฝ el resultado es un nรบmero (que puede
ser o no complejo) multiplicado por el mismo vector ๐ฃ.โโโ โ
Si se aplica ๐ฝ sobre la parte derecha e izquierda de la anterior expresiรณn se tiene que:
๐ฝ(๐พ๏ฟฝโ๏ฟฝ) = ๐พ๐ฝ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐พ๐พ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐พ2๏ฟฝโ๏ฟฝ
๐ฝ(๐ฝ๏ฟฝโ๏ฟฝ) = ๐ฝ2๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐ผ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๏ฟฝโ๏ฟฝ,
entonces:
๐พ2 = 1
๐ = ยฑ1.
Por lo tanto los auto valores para ๐ฝ son +1 y -1 posiblemente degenerados. De forma
similar se hace el procedimiento para los autovalores de ๐ผ๐ obteniendo de igual
forma que para ๐ฝ, que sus autovalores son +1 y -1.
5. Se necesita establecer el rango que tienen las matrices.
Sabemos que
๐ฝ๐ผ๐ = โ๐ผ๐๐ฝ = (โ๐ผ)๐ผ๐๐ฝ,
tomando los determinantes y usando la propiedad de los determinantes que dice
que
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
43
๐๐๐ก(๐ฝ) det (๐ผ๐) = det (๐ผ๐)det (๐ฝ).
Por otro lado se tiene que
det (๐ฝ๐ผ๐) = det (โ๐ผ๐๐ฝ) = det ((โ๐ผ)๐ผ๐๐ฝ) = (โ1)๐๐๐๐ก (๐ผ๐)๐๐๐ก(๐ฝ),
luego
(โ1)๐๐๐๐ก (๐ผ๐)๐๐๐ก(๐ฝ) = ๐๐๐ก (๐ผ๐)๐๐๐ก(๐ฝ).
La รบnica forma para que (โ1)๐ = 1 es que n sea un nรบmero par.
6. Se necesita saber si las matrices (๐ฝ, ๐ผ1, ๐ผ2, ๐ผ3) son linealmente independientes
o no.
Supongamos que la matriz ๐ฝ es linealmente dependiente, entonces
๐ฝ =โ ๐๐๐ผ๐3
๐=1,
๐๐ representa los coeficientes de la combinaciรณn lineal, generalmente son
nรบmeros complejos.
Sabemos que {๐ฝ, ๐ผ๐} = 0, entonces
0 = {๐ฝ, ๐ผ๐} = {๐๐๐ผ๐ , ๐ผ๐} = ๐๐{๐ผ๐, ๐ผ๐} = 2๐๐(๐ผ๐)2 = 2๐ฝ๐๐ผ.
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
44
Como la anterior expresiรณn es nula, la รบnica posibilidad para esto es que ๐๐ = 0
para i= 1,2,3. Por lo tanto las matrices (๐ฝ, ๐ผ1, ๐ผ2, ๐ผ3) son linealmente
independientes.
7. Tambiรฉn es necesario determinar el tamaรฑo mรญnimo de las matrices.
Para una matriz ๐ ร ๐ y hermรญtica los grados estรกn definidos por ๐2. Si ademรกs la
matriz no tiene traza, como es este el caso, los grados se reducen en uno ya que al
menos un elemento de la diagonal ha de ser combinaciรณn lineal de los demรกs
elementos. Entonces se tiene que los grados de libertad serian ๐2 โ 1.
Probando, n tiene que ser par entonces:
22 โ 1 = 3 .
No es posible tener las relaciones de anti-conmutaciรณn requeridas de cuatro matrices
con este rango.
42 โ 1 = 15.
15 grados de libertad son mรกs que suficientes, entonces n tiene que ser par y ๐ โฅ 4.
En conclusiรณn las matrices (๐ฝ, ๐ผ1, ๐ผ2, ๐ผ3) son linealmente independientes, sin traza,
hemรญticas, su cuadrado nos da la matriz identidad, anticonmutan entre ellas y su
rango mรญnimo debe ser de 4.
Ahora se realiza un cambio de variable para poder llegar a la expresiรณn de la
ecuaciรณn de Dirac que se encuentra popularmente.
๐ฝ = ๐พ0
๐ฝ๐ผ๐ = ๐พ๐.
Entonces se tienen las matrices gamma { ๐พ0, ๐พ1, ๐พ2, ๐พ3}.
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
45
Para escribir la ecuaciรณn de Dirac en tรฉrmino de las matrices gamma partimos de
๐๐0๐ = [๐ผ1(โ๐๐1) + ๐ผ2(โ๐๐2) + ๐ผ3(โ๐๐3)]๐ + ๐ฝ๐๐.
( 2.45)
Simplificando se tiene que:
๐๐0๐ = [๐ผ๐(โ๐๐๐) + ๐ฝ๐]๐, (2.46)
multiplicando ๐ฝ por la ecuaciรณn (2.46) se tiene que:
๐๐ฝ๐0๐ = [โ๐๐ฝ๐ผ๐๐๐ + ๐ฝ๐ฝ๐]๐. (2.47)
Recordemos que ๐ฝ๐ฝ = ๐ฝ2 = ๐ผ, ๐ฝ = ๐พ0 y ๐ฝ๐ผ๐ = ๐พ๐, entonces se tiene que la ecuaciรณn
(2.47) queda de la forma:
๐๐พ0๐0๐ = [โ๐๐พ๐๐๐ +๐]๐, (2.48)
ahora se sustituye ๐พ๐ donde ๐ = 0,1,2,3,4,
๐๐พ๐๐๐๐ โ๐๐ = 0, (2.49)
donde ๐ = (
๐1๐2๐3๐4
) . La ecuaciรณn (2.49) es la ecuaciรณn de Dirac en su forma mรกs
conocida.
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
46
2.4.4 Soluciรณn de la ecuaciรณn de Dirac.
Supongamos que la funciรณn de onda ๐ es independiente de la posiciรณn, es decir, el
momento de la partรญcula es cero y la partรญcula estarรญa en reposo, entonces
๐๐
๐๐ฅ=๐๐
๐๐ฆ=๐๐
๐๐ง= 0.
(2.50)
Teniendo en cuenta la ecuaciรณn (2.50) la ecuaciรณn de Dirac se reduce a
๐๐พ๐๐๐
๐๐กโ๐๐ = 0, (2.51)
escrito en forma matricial
(1 00 โ1
) (๐๐๐ด/๐๐ก๐๐๐ต/๐๐ก
) = โ๐๐ (๐๐ด๐๐ต), (2.52)
donde ๐๐ด = (๐1๐2) y ๐๐ต = (
๐3๐4).
De esta forma podemos ver que de la ecuaciรณn (2.52) se desprenden dos ecuaciones:
๐๐๐ด๐๐ก
= โ๐๐๐๐ด (2.53)
โ๐๐๐ต๐๐ก
= โ๐๐๐๐ต.
(2.54)
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
47
Cuyas soluciones son:
๐๐ด(๐ก) = ๐โ๐๐๐ก๐๐ด(0)
(2.55)
๐๐ต(๐ก) = ๐+๐๐๐ก๐๐ต(0).
(2.56)
La ecuaciรณn (2.55) puede perfectamente representar la partรญcula, por ejemplo, el
electrรณn, y la ecuaciรณn (2.56) nos abre la mente hacia la existencia de la antipartรญcula,
por ejemplo, el positrรณn.
2.5 Diagramas de Feynman
Los diagramas de Feynman son representaciones grรกficas espacio-temporales de las
formas en las que se puede dar un proceso cuรกntico en donde partรญculas iniciales
interactรบan, y de esta interacciรณn dan como resultado partรญculas finales.
La Teorรญa Cuรกntica de Campos nos indica la posibilidad de que de un estado inicial
lleguemos a un estado final, y nos da las herramientas teรณricas para describir las
partรญculas que intervienen en el proceso y sus interacciones y luego comprobarlos
experimentalmente en los aceleradores de partรญculas en donde lanzamos unas
partรญculas contra otras (estado inicial), y en la colisiรณn se generan energรญas que dan
origen a otras partรญculas (Estado final). Cabe resaltar que en estos procesos
experimentales se conserva la energรญa, el momento y la carga.
Con los diagramas de Feynman representamos grรกficamente lo que ocurre en los
aceleradores de partรญculas. Simplificando el proceso partimos de:
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
48
Figura 2.2. Representaciรณn simplificada de un diagrama de Feynman.
En la figura 2.2 se puede observar una forma de graficar el proceso que ocurre
cuando se tiene una interacciรณn entre partรญculas. En el estado inicial se encuentran
partรญculas de las cuales se conoce su carga, masa, sus espines, su energรญa y su
momento, es decir, el estado inicial es conocido. Al medir el estado final se pueden
determinar las partรญculas que aparecen con la energรญa y el momento que tienen.
Tambiรฉn se conoce la carga, los espines y sus otras caracterรญsticas. La caja de
interacciones representa todos los procesos que pueden ocurrir al pasar del estado
inicial al final. No existe una interacciรณn รบnica que me lleve de un estado inicial al
final, entonces esta caja representa todas estas formas posibles en las que se puede
llevar a cabo el proceso, figura 2.3.
Figura 2.3. Equivalencia de la caja de interacciรณn
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
49
En realidad lo que se calcula en este tipo de procesos son las probabilidades de
transiciรณn entre el estado inicial y final.
Debido a que el cรกlculo de las probabilidades de transiciรณn y de todas las formas
posibles en las que se realiza el proceso, no son nada fรกciles es de gran utilidad los
diagramas de Feynman ya que estas grรกficas son representaciones de los cรกlculos
matemรกticos que nos permiten dar una probabilidad de una transiciรณn entre un
estado inicial y uno final en teorรญa cuรกntica de campos.
2.5.1 Partes del diagrama
Se tiene un diagrama simple que representa la transiciรณn de un estado inicial a un
estado final debido a una interacciรณn de partรญculas. El diagrama estรก compuesto por
las siguientes partes, figura 2.4:
Lรญneas externas: representan a las partรญculas iniciales y a las finales.
Lรญneas internas: representan la propagaciรณn de las partรญculas que median la
interacciรณn que provoca la transiciรณn entre el estado inicial y el estado final.
Vรฉrtices: los puntos en los que se produce la interacciรณn, es donde una
partรญcula se acopla con otra produciendo en sรญ misma la interacciรณn que
corresponda.
Figura 2.4. Partes de un Diagrama de Feynman.
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
50
2.5.2 Reglas de Feynman para Electrodinรกmica cuรกntica
Se sabe que para electrones y para los positrones libres el momento viene dado por
๐ = (๐ธ
๐, ๐ท) donde ๐ธ = (๐2๐4 + ๐ท๐๐๐)2. La representaciรณn de estas dos partรญculas por
medio de una funciรณn es:
๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐รณ๐: ๐(๐ฅ) = ๐๐โ(๐
โ)๐ . ๐ฅ๐ข(๐ )(๐) (2.57)
๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐รณ๐: ๐(๐ฅ) = ๐๐(๐
โ)๐ . ๐ฅ๐ฃ(๐ )(๐). (2.58)
Donde ๐ = 1,2 y representa los dos estados del spin. Los espinores ๐(๐ ) y ๐(๐ )
satisfacen la ecuaciรณn de Dirac en el espacio de momento (s):
(๐พ๐๐๐ โ๐๐)๐ข = 0
(๐พ๐๐๐ +๐๐)๐ฃ = 0.
(2.59)
Sus adjuntos: ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ขฯฏ๐พ0y ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ฃฯฏ๐พ0 satisfacen:
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐พ๐๐๐ โ๐๐) = 0
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐พ๐๐๐ +๐๐) = 0.
(2.60)
Su ortogonalidad:
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1)๐ข(2) = 0 ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1)๐ฃ(2) = 0.
(2.61)
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
51
Normalizando:
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐ข = 2๐๐
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐ฃ = โ2๐๐. (2.62)
La relaciรณn de completez (ver Apรฉndice E) para partรญculas y antipartรญculas:
โ ๐ข(๐ )๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ ) =
๐ =1,2
๐พ๐๐๐ +๐๐
โ ๐ฃ(๐ )๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ ) =๐ =1,2 ๐พ๐๐๐ โ๐๐.
(2.63)
Se hace un promedio de los espines de los electrones y los protones.
Para calcular la amplitud ๐ asociado con el diagrama de Feynman en particular se
procede de la siguiente manera:
1. Notaciรณn: para cada lรญnea externa asociar un momento ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐, y dibujar
una flecha al lado de la lรญnea la cual indica la direcciรณn positiva del tiempo.
Para cada lรญnea interna asociar un impulso ๐1, ๐, โฆ , ๐๐.
2. Lรญneas internas: contribuyen factores de la siguiente forma [12]:
๐ธ๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ : {๐๐๐ก๐๐๐๐ก๐๐ โ ๐ข๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
๐๐๐ ๐๐ก๐๐๐๐๐ : {๐๐๐ก๐๐๐๐ก๐๐ โ ๐ฃ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
๐น๐๐ก๐๐๐๐ : {๐๐๐ก๐๐๐๐ก๐๐ โ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ โ ๐๐โฬ ฬ ฬ
.
CAPรTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN
52
3. Factores de vรฉrtice: cada vรฉrtice contribuye con un factor ๐๐๐๐พ๐. El
acoplamiento constante ๐๐ se relaciona con la carga del electrรณn.
4. Propagador: cada lรญnea interna aporta un factor de la siguiente manera:
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐: ๐(๐พ๐๐๐ +๐๐)
๐2+๐2๐2
๐๐๐๐๐๐๐:โ ๐๐๐๐
๐2.
5. Conservaciรณn de la energรญa y el momento: para cada vรฉrtice se escribe una
funciรณn ๐ฟ de la forma:
(2๐)4๐ฟ4( ๐1 + ๐2 + ๐3),
donde ๐๐ son los cuadri-momentos entrantes.
6. Integraciรณn sobre los momentos internos: por cada momento interno q se
escribe un factor ๐4๐/(2๐)4 y se integra.
7. Se cancela la funciรณn Delta: el resultado obtenido incluirรก un factor
(2๐)4๐ฟ4(๐1 + ๐2 + ๐3+โฏโ๐๐) correspondiente a la conservaciรณn global de la
energรญa-momento.
8. Asimetrizaciรณn: incluya un signo menos entre la diferenciaciรณn de los
diagramas en el intercambio de dos electrones de entrada (o positrones), o de
un electrรณn y un positrรณn entrante โ saliente o viceversa.
En tiempos y lugares totalmente inciertos, los รกtomos dejaron su camino celeste, y
mediante abrazos fortuitos, engendraron todo lo que existe.
JAMES CLERK MAXWELL
55
3. PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
En este capรญtulo se desarrolla el principal objetivo de este trabajo el cual es realizar los cรกlculos
de forma detallada para la descripciรณn del proceso electrรณn muon (figura 3.1),
El proceso ๐+๐โ โ ๐+๐โ es considerado uno de los procesos mรกs bรกsicos de QED (Quantum
Electro Dynamics), pero tambiรฉn es uno de los mรกs importantes de la fรญsica de altas energรญas,
es fundamental para estudiar todos los procesos de colisiones ๐+๐โ, de hecho es usado para
calibrar los experimentos, ademรกs es muy รบtil para determinar las propiedades de las
partรญculas elementales, en particular la extensiรณn al proceso ๐+๐โ โ ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ. Ha sido estudiado
en el experimento PETRA en el anillo DESY usando un gran nรบmero de detectores. Los
muones se caracterizan por su habilidad para penetrar. Substancialmente cantidades de
material (usualmente atraviesan el anillo de detecciรณn) sin interactuar (los muones solo
sufren interacciones dรฉbiles y electromagnรฉticas) como los electrones (pero mรกs pesados).
El proceso se describe por amplitudes electromagnรฉticas y dรฉbiles ๐ด๐๐๐; ๐ด๐๐๐ . La secciรณn
transversal es proporcional al cuadrado de la suma de las amplitudes [16].
๐ โ |๐ด๐๐๐ + ๐ด๐๐๐|
2 = |๐ด๐๐๐|2 + |๐ด๐๐๐|
2 + 2๐ ๐๐ด๐๐๐๐ด๐๐๐โ
En este trabajo nos centraremos en hacer el cรกlculo para la interacciรณn electromagnรฉtica.
3.1 Desarrollo matemรกtico
Figura 3.1. Diagrama del proceso ๐+๐โ โ ๐+๐โ
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
56
En la figura (3.1) se observa el proceso a trabajar en este capรญtulo. Se tiene un electrรณn
que interactรบa con un positrรณn y luego del proceso de interacciรณn estas dos
partรญculas se dispersan originando un muon y su anti-partรญcula.
Recordando que lo que interesa calcular es la secciรณn eficaz de la dispersiรณn
entonces, aplicando las reglas de Feynman, de la 1 a la 5, vistas en el capรญtulo anterior
para definir la amplitud de decaimiento se tiene que:
๐ = (2๐)2โซ[๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐๐๐พ๐๐ข(1)]๐๐๐
๐2[๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(4)๐๐๐พ๐๐ฃ(2)]
ร ๐ฟ4(๐1 โ ๐3 โ ๐)๐ฟ
4(๐2 + ๐ โ ๐4)๐4๐,
(3.1)
donde ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3) representa la antipartรญcula (positrรณn), ๐ข(1) representa la partรญcula
(electrรณn), ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(4) representa el ๐+, ๐ฃ(2) representa el ๐โ y ๐ = ๐ท1 โ ๐ท3.
Integrando como se indica en la regla de Feynman nรบmero 6 y cancelando el Delta
de Dirac (regla nรบmero 8) se puede llegar a
๐ธ = [๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐๐๐พ๐๐ข(1)]๐๐๐
(๐ท1 โ ๐ท3)2[๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(4)๐๐๐พ๐๐ฃ(2)]. ( 3.2)
Simplificando y realizando la contracciรณn de รญndices entre ๐๐๐ y ๐พ๐ se tiene que
๐ธ =โ๐2
(๐ท1 โ ๐ท3)2[๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐พ๐๐ข(1)][๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(4)๐พ๐๐ฃ(2)],
( 3.3)
pero lo que realmente se necesita es el cuadrado de la amplitud ๐ธ ya que la secciรณn
eficaz y el ancho de decaimiento son proporcionales al cuadrado de la amplitud, entonces
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
57
โจ|๐ธ|2โฉ =๐4
(๐ท1 โ ๐ท3)4[๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐พ๐๐ข(1)][๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(4)๐พ๐๐ฃ(2)][๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐พ
๐๐ข(1)]โ[๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(4)๐พ๐๐ฃ(2)]โ.
( 3.4)
Se tiene que
๐บ โก [๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)ฮ1๐ข(๐)][๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)ฮ2๐ข(๐)]โ,
(3.5)
donde ฮ1 y ฮ2 son matrices 4 ร 4.
Se empieza analizando el complejo conjugado, recordemos que las matrices son hermรญticas.
Sabemos que:
๐พ0ฯฏ = ๐พ0
๐พ0ฮ2ฯฏ
2๐พ0 = ฮฬ 2
(๐พ0)2 = ๐พ0๐พ0 = 1
(๐ด๐ต)ฯฏ = ๐ตฯฏ๐ดฯฏ.
Entonces
[๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)ฮ2๐ข(๐)]โ = [๐ขฯฏ(๐)๐พ0ฮ2๐ข(๐)]
ฯฏ
(3.6)
[๐ขฯฏ(๐)๐พ0ฮ2๐ข(๐)]ฯฏ = ๐ขฯฏ(๐)ฮ2
ฯฏ๐พ0ฯฏ๐ข(๐) = ๐ขฯฏ(๐)๐พ0โ
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)
๐พ0ฮ2ฯฏ๐พ0โ
ฮ2ฬ ฬ ฬ ฬ
๐ข(๐),
(3.7)
entonces
[๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)ฮ2๐ข(๐)]โ = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)ฮ2ฬ ๐ข(๐),
(3.8)
por lo tanto
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
58
๐บ = [๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)ฮ1๐ข(๐)][๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)ฮ2ฬ ๐ข(๐)].
(3.9)
Utilizando la ecuaciรณn (2.63) hacemos la sumatoria sobre los espines entrantes
โ ๐บ
๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)ฮ1[ โ ๐ข(๐)
๐๐ ๐๐๐๐๐
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)]ฮ2ฬ ๐ข(๐)],
( 3.10)
entonces
โ ๐บ
๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)ฮ1[๐พ๐๐๐ +๐๐๐]ฮ2ฬ ๐ข(๐)],
(3.11)
pero b pp
y al sustituir en la ecuaciรณn (3.11) se obtiene que (ver apรฉndice E):
1( ) [ pu a 2] ( )
espin
b
esbQ
uc am , (3.12)
por lo tanto
โ ๐บ
๐ ๐๐๐๐๐ ๐
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)๐ ๐ข(๐).
(3.13)
Ahora para la partรญcula ๐
โ โ ๐บ
๐ ๐๐๐๐๐ ๐
=
๐ ๐๐๐๐๐ ๐
โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐)๐ ๐ข(๐)
๐ =1,2
.
(3.14)
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
59
Si se escribe el producto de la matriz de forma explรญcita se obtiene que:
( ) ( ) [ ( ) ( )]i ij j ij ij
espรญna espรญn
u a Q u a Q u a u a (3.15)
( ) ( ) (i ij j ij au a Q u a Q p )es
a
pรญ
i
na
jm c (3.16)
( ) ( ) [ (i ij j au a Q u a Tr Q p ) .]espรญn
a
a
m c (3.17)
Donde ๐๐ denota la traza de las matrices, es decir, la suma de los elementos
diagonales.
Entonces la ecuaciรณn 3.5 queda de la forma
1
*
1 2 [ฮ (ฮtodoslosespin
b
es
u a u b u a pTu rb 2] (b am c p )]am c . (3.18)
Para el proceso electrรณn-muon:
ฮ1 = ๐พ๐
ฮ2 = ๐พ๐
๐ = 1
๐ = 3
๐ = ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐รณ๐
๐ = ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐ข๐๐.
Entonces teniendo en cuenta las propiedades de las trazas (Apรฉndice C) se puede
resolver las trazas:
1[ (Tr p 3) (mc p 1)] [mc Tr p 3 1] [p mcTr p
1
]
[mcTr p
3p 2 2] [ ].m c Tr
(3.19)
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
60
Ahora se desarrolla cada parte de la ecuaciรณn anterior.
1[ (Tr p 3) (mc p 1)] [mc Tr p 3 1] [p mcTr p
1
]
[mcTr p
3p
2 2
1
]
[ ] [m c Tr Tr p 3].p
(3.20)
Teniendo en cuenta las propiedades 15 y 16 del apรฉndice C se tiene que:
1Tr p 3p
1 3
1 3
1 3
1 3 [4 ,
Tr p p
Tr p p
p p Tr
p p g g g g g g
entonces
1Tr p 3p 1 3 1 3 3 14 . .p p p p g p p
(3.21)
Procediendo para el siguiente tรฉrmino se tiene que:
1mcTr p 1
1 ,
mcTr p
mcp Tr
teniendo en cuenta la propiedad 19 del Apรฉndice C se llega a que:
1mcTr p 0
. (3.22)
Haciendo uso de la propiedad 14 del Apรฉndice C, se puede escribir el siguiente
tรฉrmino de la ecuaciรณn (3.20) como:
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
61
๐2๐2๐๐[๐พ๐๐พ๐] = 4๐2๐2๐๐๐,
(3.23)
entonces sustituyendo (3.21), (3.22), (3.23) en (3.20) se llega a que
1[ (Tr p 3) (mc p 2 2
1 3 3 1 1 3)] 4[ ( . )]mc p p p p g m c p p . (3.24)
Ahora hacemos el desarrollo para las partรญculas restantes
2[ (Tr p 4) (mc p 2)] [mc Tr p 4p 2] [mcTr p
2
]
[mcTr p
4p 2 2] [ ].m c Tr (3.25)
Desarrollando la ecuaciรณn (3.25) por partes, y realizando este procedimiento de
forma similar al hecho para la ecuaciรณn 3.20 tenemos que:
2[Tr p 4p 2 4
2 4
2 4
] [ ]
[ ]
[4( )],
Tr p p
p p
p p g g g g g g
luego se obtiene que:
2[Tr p 4p 2 4 2 4 4 2] 4[ . ].p p p p g p p (3.26)
Para los tรฉrminos que siguen se tiene que
(๐๐)2๐๐[๐พ๐๐พ๐] = 4(๐๐)2๐๐๐ , (3.27)
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
62
entonces:
2[ (Tr p 4) (mc p 2 2
2 4 2 4 2 4)] 4[ . ( . )].mc p p p p g m c p p (3.28)
Por lo tanto, al sustituir las ecuaciones (3.24) y (3.28) en la ecuaciรณn (3.4) se tiene
que:
โจ|๐ธ|2โฉ =4๐4
(๐1 โ ๐3)4[(๐1 . ๐2)(๐3 . ๐4) + (๐1 . ๐4)(๐3 . ๐2) + (๐1 . ๐3)((๐๐)
2 โ (๐2 . ๐4))
+(๐3 . ๐2)(๐1 . ๐4) + (๐3 . ๐4)(๐1 . ๐2) + (๐3 . ๐1)((๐๐)2 โ (๐2 . ๐4)) + (๐2 . ๐4)((๐๐)
2
โ(๐1 . ๐3)) + 4((๐๐)2 โ (๐1 . ๐3))(((๐๐)
2 โ (๐2 . ๐4))],
simplificando:
โจ|๐ธ|2โฉ =4๐4
(๐1 โ ๐3)4[2(๐1 . ๐2)(๐3 . ๐4) + 2(๐1 . ๐4)(๐3 . ๐2)
+ (๐1 . ๐3)[2(๐๐)2 โ 2(๐2 . ๐4) โ (๐2 . ๐4) โ (๐2 . ๐4) โ 4((๐๐)
2 โ (๐2 . ๐4))
+ (๐2 . ๐4)(๐๐)2 + 4(๐๐)2((๐๐)2 โ (๐2 . ๐4))]]
โจ|๐ธ|2โฉ =4๐4
(๐1 โ ๐3)4[2(๐1 . ๐2)(๐3 . ๐4) + 2(๐1 . ๐4)(๐3 . ๐2) + (๐1 . ๐3)(โ2(๐๐)
2)
โ 2(๐๐)2(๐4 . ๐2) + 4(๐๐)2(๐๐)2].
Por lo tanto se tiene que
โจ|๐ธ|2โฉ =8๐4
(๐1 โ ๐3)4[(๐1 . ๐2)(๐3 . ๐4) + (๐1 . ๐4)(๐3 . ๐2) โ (๐1 . ๐3)(๐๐)
2
โ (๐4 . ๐2)(๐๐)2 + 2(๐๐)2(๐๐)2].
(3.29)
Recordemos que:
El cuadri-momento estรก dado por:
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
63
๐1 = ๐10, ๐1
1, ๐12, ๐1
3
= (๐ธ1๐, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ1),
donde ๐1 =๐ธ1
๐ y (๐1
1, ๐12, ๐1
3) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ1.
Por conservaciรณn de energรญa tenemos que ๐ธ = ๐ธ1 = ๐ธ2 = ๐ธ3
Y ๐ โซ ๐.
El proceso a considerar es un choque inelรกstico, el electrรณn ๐โ choca con el muon ๐,
y rebota.
Figura 3.2 Choque inelรกstico electrรณn-muon
Momento 1: energรญa y movimiento para el electrรณn que se dispara contra el muon.
๐1 = (๐ธ
๐2, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ1).
Momento 2: energรญa y movimiento. La partรญcula, muon, estรก quieta, entonces su
velocidad es cero lo que implica que su momento tambiรฉn lo sea,
๐2 = (๐๐, 0).
Momento 3: el electrรณn rebota, entonces
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
64
๐3 = (๐ธ
๐2, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ3).
Momento 4: el muon no se mueve (ver figura 3.3), entonces
๐4 = (๐๐, 0).
Figura 3.3 Partรญculas antes y despuรฉs del choque
Es importante resaltar que |๏ฟฝโโ๏ฟฝ1| = |๏ฟฝโโ๏ฟฝ3| = |๏ฟฝโโ๏ฟฝ| y que ๐ es el รกngulo existente entre entre
๏ฟฝโโ๏ฟฝ1 y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ3, entones ๏ฟฝโโ๏ฟฝ1. ๏ฟฝโโ๏ฟฝ3 = ๐2๐ถ๐๐ ๐.
Desarrollando cada parte de la ecuaciรณn (3.29) tenemos que:
(๐1 โ ๐3)2 = [(
๐ธ
๐, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ1) โ (
๐ธ
๐, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ3)]
2
= โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ12 โ 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ1. ๏ฟฝโโ๏ฟฝ3๐ถ๐๐ ๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ3
2)
= โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ2 โ 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ2๐ถ๐๐ ๐ + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2)
= โ(2๏ฟฝโโ๏ฟฝ2 โ 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ2๐ถ๐๐ ๐)
= โ2๏ฟฝโโ๏ฟฝ2(1 โ ๐ถ๐๐ ๐),
entonces
(๐1 โ ๐3)2 == โ2๏ฟฝโโ๏ฟฝ2(1 โ ๐ถ๐๐ ๐). (3.30)
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
65
Pero 1 โ ๐ถ๐๐ ๐ = 2๐๐๐2๐
2 , entonces
(๐1 โ ๐3)2 = โ4๏ฟฝโโ๏ฟฝ2๐๐๐2
๐
2.
(3.31)
Ahora para resolver los productos punto entre los cuadri-momentos:
๐1. ๐3 = [(๐ธ
๐, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ1) . (
๐ธ
๐, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ3)]
= (๐ธ
๐)2
โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ1. ๏ฟฝโโ๏ฟฝ3
=๐ธ2
๐2โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2๐ถ๐๐ ๐,
pero ๐ธ2
๐2=๐2๐4
๐2+๏ฟฝโ๏ฟฝ2๐2
๐2= ๐2๐2 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2, entonces:
๐1. ๐3 = ๐2๐2 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2 โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2๐ถ๐๐ ๐
= ๐2๐2 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)
= ๐2๐2 โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2๐๐๐๐.
Por lo tanto
๐1. ๐3 = ๐2๐2 โ 2๏ฟฝโโ๏ฟฝ2๐๐๐๐.
(3.32)
Ahora para los demรกs productos se desarrolla de forma similar:
(๐1. ๐2)(๐3. ๐4) = [(๐ธ
๐, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ1) . (๐๐, 0)] [(
๐ธ
๐, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ3) . (๐๐, 0)]
(๐1. ๐2)(๐3. ๐4) = (๐๐ธ)2 (3.33)
(๐1. ๐4)(๐2. ๐3) = (๐๐ธ)
2 (3.34)
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
66
(๐2. ๐4) = (๐๐)2. (3.35)
Ahora sustituyendo las ecuaciones (3.31), (3.32), (3.33), (3.34), y (3.35) en (3.29) se
tiene que
โจ|๐ธ|2โฉ =8๐4
16๏ฟฝโโโ๏ฟฝ4๐๐๐4
๐2
[(๐๐ธ)2 + (๐๐ธ)2 โ (๐2๐2 โ 2๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2๐๐๐2
๐
2) (๐๐)2 โ (๐๐)2(๐๐)2
+ 2(๐๐)2(๐๐)2],
simplificando un poco:
โจ|๐ธ|2โฉ =8๐4
16๏ฟฝโโโ๏ฟฝ4๐๐๐4
๐2
[2(๐๐ธ)2 โ๐2๐2(๐๐)2 โ 2๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2๐๐๐2
๐
2(๐๐)2 โ (๐๐)2(๐๐)2
+ 2(๐๐)2(๐๐)2]
โจ|๐ธ|2โฉ =๐4
๏ฟฝโโโ๏ฟฝ4๐๐๐4
๐2
[(๐๐ธ)2 โ ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2๐๐๐2
๐
2(๐๐)2].
Recordando que ๐ธ2 = ๐2๐4 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2๐2 se tiene que:
โจ|๐ธ|2โฉ =๐4
๏ฟฝโโโ๏ฟฝ4๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2๐๐๐4
๐2
[(๐ (๐2๐2 + ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2๐2))
2
โ ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2๐๐๐2
๐
2(๐๐)2 โ]
=๐4
๏ฟฝโโโ๏ฟฝ4๐๐๐4
๐2
[๐2๐2๐4 + ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2๐2 โ ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ
2๐๐๐2
๐
2(๐๐)2]
=๐4๐2๐2
๏ฟฝโโโ๏ฟฝ4๐๐๐4
๐2
[๐2๐2 + ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2โ ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ
2๐๐๐2
๐
2]
=๐4๐2๐2
๏ฟฝโโโ๏ฟฝ4๐๐๐4
๐2
[๐2๐2 + ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2(1 โ ๐๐๐2
๐
2)]
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
67
=๐4๐2๐2
๏ฟฝโโโ๏ฟฝ4๐๐๐4
๐2
[๐2๐2 + ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2๐ถ๐๐ 2
๐
2],
entonces
โจ|๐ธ|2โฉ =๐4๐2๐2
๏ฟฝโโโ๏ฟฝ4๐๐๐4
๐2
[๐2๐2 + ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2๐ถ๐๐ 2
๐
2].
(3.36)
Ahora para hallar la Secciรณn Eficaz para el proceso de dispersiรณn ๐+๐โ โ ๐+๐โ,
retomamos la ecuaciรณn (2.27),
๐ฯ
๐ฮฉ= (
๐โ
8๐)2 |๐|2๐
(๐ธ1 + ๐ธ2)2|๏ฟฝโโโ๏ฟฝ3|
|๏ฟฝโโโ๏ฟฝ1|.
(2.27)
Pero la ecuaciรณn (2.27) es para un marco de referencia en el centro de masas, el muon
es tan pesado que con dificultad se mueve, por lo tanto se conserva la energรญa y el
momento cuando las dos partรญculas chocan, entonces |๏ฟฝโโโ๏ฟฝ3| = |๏ฟฝโโโ๏ฟฝ1| y ๐ธ1 + ๐ธ2 โ ๐๐2.
Entonces la ecuaciรณn (2.27) se reduce a:
๐ฯ
๐ฮฉ= (
๐โ
8๐)2 |๐|2
๐2๐4.
(3.37)
Ahora, sustituyendo la Amplitud elevada al cuadrado (ecuaciรณn 3.36) en la ecuaciรณn
(3.37) y se obtiene
๐ฯ
๐ฮฉ= (
๐ผโ
2๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2๐๐๐2๐2
)
2
[๐2๐2 + ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2๐ถ๐๐ 2๐
2],
(3.38)
donde ๐ผ = (๐โ๐2
4๐) y ๐ = โ4๐๐ผ . Si ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2 โช (๐๐)2 entonces la ecuaciรณn 3.38 se reduce a
la fรณrmula de Rutherford:
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
68
๐ฯ
๐ฮฉ= (
๐2
2๐๐ฃ2๐๐๐2๐2
)
2
.
(3.39)
3.1.1 Helicidad de las partรญculas
La helicidad de las partรญculas estรก asociada al espรญn. Cada partรญcula de materia,
perteneciente a los fermiones, (electrones, quarks, etc.) estรก girando, es decir, cada
partรญcula de materia tiene cierto momento angular intrรญnseco. Este giro es una
propiedad mecรกnica inherentemente cuรกntico de las partรญculas fundamentales. Por
ejemplo un electrรณn, tiene una helicidad izquierda y una versiรณn derecha de
helicidad.
Es importante resaltar que si una partรญcula tiene masa, entonces su helicidad tiene
un valor fijo en todos los marcos de referencia, pero si la partรญcula posee una masa
que varรญa entonces la helicidad no es una propiedad intrรญnseca desde diferentes
observadores, (en marcos de referencia vรกlidos) puede medir diferentes valores para
la helicidad (izquierda o derecha). Asรญ que, aunque helicidad es algo que es fรกcil de
visualizar, no es una propiedad "fundamental" de la mayorรญa de las partรญculas.
Figura 3.4.Conservaciรณn del momento angular en la direcciรณn de giro z
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
69
Ahora se procederรก a realizar el cรกlculo de la secciรณn eficaz para el proceso de
dispersiรณn ๐โ๐+ โ ๐โ๐+ pero incluyendo la helicidad de las partรญculas.
En primer lugar se debe elegir una base de estados de polarizaciรณn. Para obtener
una respuesta simple en el lรญmite de alta energรญa, la mejor opciรณn es la de cuantificar
cada giro a lo largo de la direcciรณn del movimiento de la partรญcula, que es, para usar
estados de helicidad definida.
Se calcularรก la secciรณn eficaz utilizando la base de helicidad mediante el uso de los
operadores de proyecciรณn de helicidad para proyectar el espinor diestro o izquierdo.
Se trabajarรก con el lรญmite de alta energรญa en el que todos los fermiones son
efectivamente sin masa.
Se toman unidades naturales para la realizaciรณn de los siguientes cรกlculos, entonces
๐ = โ = 1.
Se parte de la ecuaciรณn para calcular la amplitud de decaimiento del proceso (3.3),
๐ธ =โ๐2
(๐ท1 โ ๐ท3)2[๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐พ๐๐ข(1)][๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(4)๐พ๐๐ฃ(2)].
Para los fermiones sin masa los operadores de proyecciรณn (ver Apรฉndice G), estรกn
dados por:
๐๐ =1 + ๐พ5
2= (
0 00 1
) โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐รณ๐ ๐๐๐๐๐โ๐ (3.40)
๐๐ฟ =1 โ ๐พ5
2= (
1 00 0
) โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐รณ๐ ๐๐ง๐๐ข๐๐๐๐๐. ( 2.41)
Entonces dado que ๐พ๐ โ ๐พ๐1ยฑ๐พ5
2 se puede realizar la sustituciรณn para la parte del
electrรณn y el positrรณn en la ecuaciรณn (3.3), escogiendo un giro a la derecha, en donde
se obtendrรก que
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐พ๐๐ข(1) โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐พ๐1 + ๐พ5
2 ๐ข(1).
(3.42)
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
70
Para poder desarrollar la parte derecha de la ecuaciรณn anterior es necesario tener
en cuenta las siguientes propiedades:
1. ๐พ5 = (0 11 0
)
2. (๐พ5)2 = ๐ผ (๐๐๐ก๐๐๐ง ๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐)
3. ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ฯฏ๐พ0
4. {๐พ5, ๐พ0} = 0
5. {๐พ5, ๐พ๐} = 0
6. ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐ขฯฏ๐พ0.
Entonces teniendo en cuenta las propiedades anteriores se tiene que:
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐พ๐ (1 + ๐พ5
2) ๐ข(1) = ๐ฃฯฏ(3)๐พ0๐พ๐
1 + ๐พ5
2 ๐ข(1)
= ๐ฃฯฏ(3)๐พ0 (1 โ ๐พ5
2)๐พ๐ ๐ข(1)
= ๐ฃฯฏ(3) (1 + ๐พ5
2)๐พ0๐พ๐ ๐ข(1),
entonces
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐พ๐ (1 + ๐พ5
2) ๐ข(1) = ๐ฃฯฏ(3) (
1 + ๐พ5
2)๐พ0๐พ๐ ๐ข(1).
(3.43)
Elevando al cuadrado la ecuaciรณn (3.43) tenemos que
โ|๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐พ๐ (1 + ๐พ5
2) ๐ข(1)|
2
=โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(3)๐พ๐ (1 + ๐พ5
2) ๐ข(1)๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1)๐พ๐ (
1 + ๐พ5
2) ๐ฃ(3)
๐ ๐
. (3.44)
Ahora teniendo en cuenta la relaciรณn de completez (Apรฉndice E), y realizando el
cรกlculo respectivo se llega a:
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
71
25
3
13 1
2s
v u Tr p
1
1
2p
3
1
2
Tr p
1p
3
1 1
2 2
Tr p
1p1 1
,2 2
pero
(1 + ๐พ5
2)(1 + ๐พ5
2) =
1
4(1 + 2๐พ5 + (๐พ5)2)
=1
4(1 + 2๐พ5 + 1)
=1
4(2 + 2๐พ5)
=1
2(1 + ๐พ5),
entonces
25
3
13 1
2s
v u Tr p
1p
3
1
2
1[
2p
1p 3
1] [
2p 1p 5
5
1 3 1 3
5
1 3 1 3
1 3 1 3
1 3 1 3 3 1 3 1
]
1 1[ ] [ ]
2 2
1 1[ ] [ ]
2 2
1 1[4( ] [4 ]
2 2
2( . ).
Tr p p p p
p p Tr p p Tr
p p g g g g g g p p i
p p p p g p p p p
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
72
Por .lo tanto
25
1 3 1 3 3 1 3 1
13 1 2( . ).
2s
v u p p p p g p p p p
(3.45)
De forma similar se desarrolla para la parte de la ecuaciรณn que comprende los
muones
25
2 4 2 4 2 4 2 4
1 v 22 ( . )
24 ,
s
u p p g p p p p p p
(3.46)
entonces la matriz de amplitud al cuadrado estรก dada por:
|๐ธ|2 =๐4
๐4[2(๐3
๐๐1๐ + ๐3
๐๐1๐โ ๐๐๐๐1. ๐3 โ ํ
๐๐๐๐๐3๐๐1๐)
ร 2(๐2๐๐4๐ + ๐2๐๐4๐ โ ๐๐๐๐2. ๐4 โ ๐ํ๐ผ๐๐๐๐2๐ผ๐4
๐ฝ).
(3.47)
Expandiendo la anterior expresiรณn y simplificando se tiene que:
|๐ธ|2 =4๐4
๐4[(๐3. ๐2)(๐1. ๐4) + (๐3. ๐4)(๐1. ๐2) โ (๐3. ๐1)(๐2. ๐4) โ ๐ํ๐ผ๐๐๐๐2
๐ผ๐4๐ฝ๐3๐๐1๐
+ (๐3. ๐4)(๐1. ๐2) + (๐3. ๐2)(๐1. ๐4) โ (๐3. ๐1)(๐2. ๐4) โ ๐ํ๐ผ๐๐๐๐2๐ผ๐4
๐ฝ๐3๐๐1
๐
โ (๐3. ๐1)(๐2. ๐4) โ (๐3. ๐1)(๐2. ๐4) + 4(๐3. ๐1)(๐2. ๐4)
+ ๐ํ๐ผ๐๐๐๐2๐ผ๐4
๐ฝ๐๐๐๐1. ๐3 โ ๐ํ
๐๐๐๐๐3๐๐1๐๐2๐๐4๐ โ ๐ํ๐๐๐๐๐3๐๐1๐๐2๐๐4๐
+ ๐ํ๐๐๐๐๐3๐๐1๐๐๐๐๐2. ๐4 โ ํ๐๐๐๐ํ๐ผ๐๐๐๐3๐๐1๐๐2
๐ผ๐4๐ฝ
=4๐4
๐4[2(๐3. ๐2)(๐1. ๐4) + 2(๐3. ๐4)(๐1. ๐2) โ ํ
๐๐๐๐ํ๐ผ๐๐๐๐3๐๐1๐๐2๐ผ๐4
๐ฝ].
Aplicando las propiedades de Levi Civita (Apรฉndice F) se tiene que:
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
73
|๐ธ|2 =4๐4
๐4[2(๐3. ๐2)(๐1. ๐4) + 2(๐3. ๐4)(๐1. ๐2) + (๐3. ๐2)(๐1. ๐4) โ (๐3. ๐4)(๐1. ๐2)
+ (๐3. ๐2)(๐1. ๐4) โ (๐3. ๐4)(๐1. ๐2)]
=16๐4
๐4(๐3. ๐2)(๐1. ๐4).
Teniendo en cuenta que ๐2 = 4๐ธ2 y que (๐3. ๐2)(๐1. ๐4) = ๐ธ(๐ธ + |๐1|๐ถ๐๐ ๐) donde
|๐1| = โ๐ธ2 โ๐๐
2, pero en el lรญmite de altas energรญas ๐๐ = 0, siendo esta la masa del
muon. Entonces:
|๐ธ|2 =16๐4
16๐ธ4 [๐ธ(๐ธ + |๐1|๐ถ๐๐ ๐)]
2
=๐4
๐ธ4[๐ธ4(1 + ๐ถ๐๐ ๐)2]
= ๐4(1 + ๐ถ๐๐ ๐)2.
Por lo tanto
|๐ธ|2 = ๐4(1 + ๐ถ๐๐ ๐)2. (3.48)
Sustituyendo la ecuaciรณn (3.48) en la ecuaciรณn (3.37) para calcular la secciรณn eficaz
se llega a
๐ฯ
๐ฮฉ(๐๐ โ๐๐ฟ
+ โ ๐๐ โ๐๐ฟ
+) = (๐โ
8๐)2 ๐4
๐2๐4(1 + ๐ถ๐๐ ๐)2,
(3.49)
escrito en forma mรกs sencilla
๐ฯ
๐ฮฉ(๐๐ โ๐๐ฟ
+ โ ๐๐ โ๐๐ฟ
+) =๐ผ2
4๐2๐4(1 + ๐ถ๐๐ ๐)2.
(3.50)
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
74
En la figura (3.5) podemos ver el comportamiento de la secciรณn eficaz diferencia para
el canal ๐๐ โ๐๐ฟ
+ โ ๐๐ โ๐๐ฟ
+ respecto al รกngulo de dispersiรณn.
Figura 3.5. Secciรณn eficaz del proceso de dispersiรณn ๐+๐โ โ ๐+๐โ, teniendo en cuenta la helicidad de las partรญculas.
No es necesario repetir los cรกlculos para obtener las otras amplitudes no nulas, solo
es necesario tener en cuenta que para que den diferente de cero las dos partรญculas
deben tener diferente direcciรณn de helicidad (figura 3.6).
Figura 3.6. Partรญcula y antipartรญcula con helicidad en la misma direcciรณn
Por ejemplo, para calcular la amplitud para la dispersiรณn ๐๐ โ๐๐ฟ
+ โ ๐๐ฟโ๐๐
+ el cรกlculo se
realiza de forma similar pero teniendo en cuenta que se sustituye ๐พ5 por โ๐พ5 en el
lado izquierdo y por lo tanto ๐ํ๐ผ๐๐๐ se reemplaza por โ๐ํ๐ผ๐๐๐ en el lado derecho (ver
Apรฉndice G), entonces tenemos que
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
75
๐ฯ
๐ฮฉ(๐๐ โ๐๐ฟ
+ โ ๐๐ฟโ๐๐
+) =๐ผ2
4๐2๐4(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)2.
De forma similar:
๐ฯ
๐ฮฉ(๐๐ฟโ๐๐
+ โ ๐๐ โ๐๐ฟ
+) =๐ผ2
4๐2๐4(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)2
๐ฯ
๐ฮฉ(๐๐ฟโ๐๐
+ โ ๐๐ฟโ๐๐
+) =๐ผ2
4๐2๐4(1 + ๐ถ๐๐ ๐)2.
3.1.2 Simetrรญa de cruce
La dispersiรณn ๐+๐โ โ ๐+๐โ tiene una estrecha relaciรณn con el proceso ๐โ๐โ โ ๐โ๐โ,
esta relaciรณn se clarifica al calcular la amplitud cuadrada del proceso y el promedio
de la suma de los espines.
Para el proceso ๐โ๐โ โ ๐โ๐โ tenemos que:
Figura 3.7. Proceso de dispersiรณn ๐โ๐โ โ ๐โ๐โ
Entonces aplicando las reglas de Feynman vistas en el capรญtulo dos del presente
trabajo se llega a
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
76
๐๐ =๐๐2
๐2๐ข(ฬ ฬ ฬ ๐1
โฒ)๐พ๐๐ข(๐1)๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐2โฒ )๐พ๐๐ข(๐2).
(3.51)
Elevando la amplitud al cuadrado llegamos a
42
14
1[(
4 4espines
pe
Trq
M 1) (m p
2
) ]
[
m
Tr p
2) (M p ) ].M
(3.52)
Este resultado es el mismo para el proceso ๐+๐โ โ ๐+๐โ, cuando se remplaza:
๐1 โ ๐1 ๐3 โ โ๐1โฒ ๐2 โ ๐2
โฒ ๐4 โ โ๐2
Resolviendo las trazas al igual que se ha hecho para los procedimientos anteriores e
implementando el lรญmite relativista donde ๐ โ 0 se llaga a
โจ|๐ธ|2โฉ =8๐4
๐4[(๐1 . ๐2
โฒ )(๐1โฒ . ๐2) + (๐1 . ๐2)(๐1
โฒ . ๐2โฒ ) โ ๐2(๐1 . ๐1
โฒ )].
(3.53)
Para trabajar la anterior expresiรณn se toma como marco de referencia el centro de
masa del proceso (figura 3.8).
Se necesitan las siguientes combinaciones:
๐1. ๐2 = ๐1โฒ . ๐2
โฒ = ๐2(๐ธ + ๐2) ๐1. ๐1
โฒ = ๐22(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)
๐1โฒ . ๐2 = ๐1. ๐2
โฒ = ๐2(๐ธ + ๐2๐ถ๐๐ ๐) ๐2 = โ2๐1. ๐1
โฒ = โ2๐22(1 โ ๐ถ๐๐ ๐).
(3.54)
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
77
Figura 3.8. Proceso visto desde el centro de masa para el proceso ๐+๐โ โ ๐+๐โ
Por lo tanto la expresiรณn para la amplitud cuadrada se reduce a
1
4โ |๐|2
๐ธ๐ ๐๐๐๐๐
=2๐2
๐22(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)2
[(๐ธ + ๐2)2 + (๐ธ + ๐2๐ถ๐๐ ๐)
2
โ๐2(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)2],
(3.55)
entonces la Secciรณn Eficaz queda de la forma
(๐๐
๐ฮฉ)๐ถ๐=
|๐|2
64๐2(๐ธ + ๐2)2 .
(3.56)
Entonces
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
78
(๐๐
๐ฮฉ)๐ถ๐=
๐ผ2
2๐ธ๐ถ๐2 (๐ธ + ๐2)2(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)2
[(๐ธ + ๐2)2 + (๐ธ + ๐2๐ถ๐๐ ๐)
2
โ๐2(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)2],
(3.57)
donde ๐2 = โ๐ธ2 โ๐2. En el lรญmite de altas energรญas se tiene que ๐ = 0, por lo tanto
[16]:
(๐๐
๐ฮฉ)๐ถ๐=
๐ผ2
2๐ธ๐ถ๐2 (1 โ ๐ถ๐๐ ๐)2
[4 + (1 + ๐ถ๐๐ ๐)2]. (3.58)
Es de notar el singular comportamiento para la ecuaciรณn (3.58),
๐๐
๐ฮฉโ1
๐4 ๐๐ข๐๐๐๐ ๐ โ 0.
Esta singularidad es la misma que notamos en la fรณrmula de Rutherford.
3.1.3 Variables de Mandelstam
A menudo es รบtil expresar amplitudes de dispersiรณn en tรฉrminos de variables que
hacen que sea un poco mรกs sencillo aplicar relaciones de cruce. Para procesos de
dispersiรณn de la forma 1 + 2 โ 3 + 4, se introducen las Variables de Mandelstam las
cuales se definen como:
๐ = (๐1 + ๐2)2 โ 2๐1. ๐2 โ 2๐3. ๐4
๐ก = (๐1 โ ๐3)2 โ โ2๐1. ๐3 โ โ2๐2. ๐4
๐ข = (๐1 โ ๐4)2 โ โ2๐1. ๐4 โ โ2๐3. ๐2.
(3.59)
Las definiciones de s y t son intercambiables (cuando ๐3 โ โ๐2). La Amplitud
elevada al cuadrado en tรฉrminos de las Variables de Mandelstam puede definirse
como
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
79
1
4โ |๐|2
๐ธ๐ ๐๐๐๐๐
=8๐4
๐ก2[(๐
2)2
+ (๐ข
2)2
], (3.60)
simplificando un poco:
|๐|2 = 2๐4๐ 2 + ๐ข2
๐ก2 .
(3.61)
Por simetrรญa de cruce (๐3 โ โ๐2 โ ๐ โ ๐ก), se tiene que:
|๐|2 = 2๐4๐ก2 + ๐ข2
๐ 2.
(3.62)
Figura 3.9. Secciรณn eficaz total del proceso ๐+๐โ โ ๐+๐โ. En la grรกfica (a) encontramos la secciรณn eficaz total medido en PETRA versus la energรญa del centro de masa. En la grรกfica (b) encontramos la misma grรกfica que en (a) pero
diseรฑada mediante el programa Wolfram Mathematica.
La ecuaciรณn (3.62) es otra forma de escribir la Amplitud de decaimiento al cuadrado
del proceso de dispersiรณn ๐โ๐+ โ ๐โ๐+, pero esta vez incluyendo las variables de
Mandelstam para simplificar la expresiรณn.
CAPรTULO 3 PROCESO DE DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
80
Partiendo de la ecuaciรณn (3.62) tambiรฉn podemos llegar a la secciรณn eficaz diferencial
descrita por la ecuaciรณn (3.38).
Entonces integrando la ecuaciรณn (3.38) con respecto a los รกngulos ๐ y ๐ se
encuentra la Secciรณn Eficaz del proceso
๐ =4๐๐ผ2
3๐ .
(3.63)
En la figura (3.9) encontramos la secciรณn eficaz total versus la energรญa del centro de
masa, y en la figura (3.10) encontramos una grรกfica en la que se observa la relaciรณn
existente entre la secciรณn eficaz total de dispersiรณn del proceso, calculado teniendo
en cuenta como referencia el centro de masa (Apรฉndice H), y dicha energรญa
comparada con el espacio de fase.
Figura 3.10. Dependencia energรฉtica de la secciรณn eficaz total del proceso ๐+๐โ โ ๐+๐โ comparada con la dependencia energรฉtica del โespacio de fasesโ. La grรกfica (a) fue extraรญda del libro An introduction to quantum field
theory [16], y la grรกfica (b) fue trabajada en el programa Wolfram Mathematica.
El romper de una ola no puede explicar todo el mar.
VLADIMIR NABOKOV
CONCLUSIONES
81
4 CONCLUSIONES
Como se menciona en el trabajo en el primer capรญtulo, el Modelo Estรกndar de
Partรญculas Elementales es una de las mejores teorรญas que se tiene para explicar cรณmo
se conforma la naturaleza de la materia. Es una teorรญa que identifica, describe y
clasifica las partรญculas elementales, y ademรกs explica cรณmo interactรบan estas entre sรญ
teniendo en cuenta simetrรญas y prediciendo la existencia de otras partรญculas. Aun
asรญ, esta teorรญa no estรก completamente definida y acabada, al igual que las otras
teorรญas cientรญficas, es con lo que se cuenta actualmente, y hasta el momento funciona,
pero deja abierta la posibilidad a ser modificada o completada ya que aรบn cuenta
con muchos interrogantes que no han podido ser respondidos debido a que todavรญa
faltan partรญculas fundamentales por ser detectadas (abriendo la posibilidad de que
efectivamente existan) o simplemente encontrar una mejor respuesta para explicar
los fenรณmenos que hasta el momento aรบn no se han podido explicar.
Se demostrรณ la Ecuaciรณn de Dirac de forma detallada, explicando cada tรฉrmino que
la conforma. Esta ecuaciรณn es de alta importancia en este trabajo ya que por medio
de esta ecuaciรณn, en 1927 se predijo la existencia de la antipartรญcula lo cual dio un
giro al estudio de las partรญculas elementales, convirtiendo este descubrimiento en
uno de los mayores logros alcanzados en el siglo XX por la fรญsica de partรญculas y
abriendo puertas para seguir con el estudio de esta รกrea. La demostraciรณn propuesta
en este trabajo de grado para la ecuaciรณn de Dirac tiene en cuenta una matemรกtica
amplia, de una forma mรกs comprensible para el lector, pero de igual forma, vรกlida y
correcta, ademรกs permite visualizar los factores fรญsicos que enmarca su desarrollo,
debido a la forma detallada en la que se hizo la demostraciรณn.
El desarrollo del cรกlculo para encontrar la Secciรณn Eficaz del proceso de dispersiรณn
๐+๐โ โ ๐+๐โ a orden รกrbol, el cual era el principal objetivo de este trabajo, se logrรณ
hacer de forma detallada evitando omitir pasos que en muchos textos son
โobviadosโ. El proceso que se desarrollรณ es el que se hace para cualquier tipo de
interacciรณn de partรญculas fundamentales, aunque sin tener en cuenta los factores de
forma y demรกs correcciones que intervienen dependiendo del proceso que se
CONCLUSIONES
82
trabajรณ, sin embargo se podrรญa decir que el desarrollo de este proceso es la base guรญa
para desarrollar los demรกs.
A medida que se desarrollรณ el cรกlculo se pudieron ver como existen algunos
procedimientos matemรกticos, que a pesar de que carecen de significado fรญsico, como
por ejemplo, la relaciรณn de completez y la soluciรณn mediante trazas, nos conducen a
resultados que explican la naturaleza de fenรณmenos, como lo son los procesos de
dispersiรณn de partรญculas.
El cรกlculo se desarrollรณ teniendo en cuenta las reglas de Feynman, las cuales
funcionan de forma efectiva para encontrar la Amplitud de decaimiento y la secciรณn
eficaz en un proceso de dispersiรณn.
A pesar de que los diagramas de Feynman son รบnicamente una abstracciรณn de lo
que ocurre en los procesos de dispersiรณn, funcionan muy bien para explicar
fenรณmenos complejos como los que ocurren en los grandes colisionadores de
partรญculas, y la matemรกtica que se implementa, es รบtil para entender el fenรณmeno en
sรญ, de forma abstracta, prediciendo y permitiendo el estudio de otros procesos de
dispersiรณn, que luego que se verifican en los aceleradores de partรญculas.
Se trabajรณ la secciรณn eficaz primero sin tener en cuenta la helicidad de las partรญculas
y mรกs adelante, introduciendo esta correcciรณn. Al calcular inicialmente la secciรณn
eficaz sin tener en cuenta la helicidad de las partรญculas se llegรณ a la ecuaciรณn (3.38),
la cual se reduce a la ecuaciรณn de dispersiรณn de Rutherford cuando se hace la
consideraciรณn ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2 โช (๐๐)2 [12]. Por otro lado, al realizar los cรกlculos para la secciรณn
eficaz diferencial teniendo en cuenta la helicidad de las partรญculas, se obtuvo la
ecuaciรณn correspondiente de dispersiรณn para el canal ๐๐ โ๐๐ฟ
+ โ ๐๐ โ๐๐ฟ
+, (ecuaciรณn 3.50),
y de manera anรกloga para los otros 15 canales posibles en el proceso, sin embargo
esta secciรณn eficaz diferencial de dispersiรณn, como se mencionรณ, es solo para cada
canal, para obtener la secciรณn eficaz de todo el proceso (ecuaciรณn H.5) es necesario
sumar la secciรณn eficaz obtenida para los 16 canales y promediarla sobre el espรญn de
las partรญculas. Es importante resaltar que 12 de los 16 canales se hacen cero debido a
que las partรญculas (partรญcula y antipartรญcula) poseen direcciรณn igual en su helicidad
[16].
Ya que el marco de referencia que se tomรณ en los dos casos para calcular la secciรณn
eficaz diferencial, es diferente, se obtienen ecuaciones distintas en apariencia
CONCLUSIONES
83
(ecuaciones 3.38 y H.5), pero igualmente รบtiles, correctas y eficientes en el momento
de encontrar la regiรณn de dispersiรณn de las partรญculas en el proceso ๐+๐โ โ ๐+๐โ.
Teniendo en cuenta la ecuaciรณn (3.50) podemos observar que la secciรณn eficaz
diferencial se anula para ๐ = ๐, esto es algo de esperarse ya que para este รกngulo el
momento angular total del estado final es opuesto al momento del estado inicial [16].
En la grรกfica (3.9 b) podemos observar que la grรกfica obtenida para la secciรณn eficaz
diferencial es similar a la grรกfica que obtienen experimentalmente en PETRA
(Figura 3.9 a), lamentablemente como no contamos con datos exactos no podemos
obtener una grรกfica totalmente idรฉntica, sin embargo el patrรณn de curvatura es muy
similar.
La grรกfica que se muestra en la figura (3.10 b), realizada en el programa Mathemรกtica
se asemeja notablemente a la grรกfica extraรญda de la literatura [16], en las dos grรกficas,
(3.10 a) y (3.10 b) podemos ver la relaciรณn. En la grรกfica podemos observar que la
secciรณn eficaz es cero para ๐ธ๐๐ < 2๐๐.
Queda para trabajos posteriores la introducciรณn de correcciones al proceso, como lo
son lazos, cajas, y cualquier tipo de fenรณmenos que puede ocurrir en este tipo de
procesos. No sobra resaltar que el cรกlculo que se hizo es solo uno de los mรกs
elementales de los millones de procesos que existen, sin embargo tambiรฉn uno de
los mรกs fundamentales que existen. Tambiรฉn se realizรณ el cรกlculo para el proceso a
nivel electromagnรฉtico, faltarรญan interacciones dรฉbiles con el W y el Z, pero para este
proceso se necesita un curso formal de Teorรญa Cuรกntica de Campos.
Tambiรฉn queda como sugerencia, seguir en el trabajo y manejo del paquete Altas
Energรญas del programa Wolfram Mathematica (Apรฉndice I), ya que resulta muy
prรกctico en el momento de hacer los cรกlculos y graficar las soluciones encontradas y
de esta manera concebir mejor que es lo que ocurre en este tipo de procesos, sin
embargo es un paquete muy completo y muy amplio, que requiere trabajo constante
para lograr su completo manejo, a demรกs este paquete posee numerosas aplicaciones
que serรญa bueno conocer.
La realizaciรณn de este trabajo de grado sirviรณ de gran ayuda a la formaciรณn
acadรฉmica de la estudiante en cuanto a la profundizaciรณn en temas tales como
Cuรกntica, Fรญsica de Partรญculas y Fรญsica computacional, introduciendo a la estudiante
en conocimientos nuevos que no son vistos durante el pregrado.
APรNDICE A
85
APENDICES
A EFECTO COMPTON
El efecto Compton es el cambio de longitud de onda de un fotรณn de radiaciรณn
electromagnรฉtica de alta energรญa al chocar con electrones y perder parte de su
energรญa. Este fenรณmeno fue descubierto por el fรญsico estadounidense Arthur
Compton en 1923, y gracias a la importancia de este descubrimiento galardonado
en 1927 con el premio Nobel. El efecto Compton constituyรณ la demostraciรณn final de
la naturaleza cuรกntica de la luz tras los estudios de Planck sobre el cuerpo negro y
la explicaciรณn de Albert Einstein del efecto fotoelรฉctrico [4].
N
Figura 1.A Efecto Compton
APรNDICE A
86
Antes del choque
Energรญa y momento del fotรณn:
๐ธ๐พ = โ๐
(A.1)
๐๐พ = (๐ธ๐พ
๐, ๐ทโโโโโ๐พ),
(A.2)
donde
๏ฟฝโโโ๏ฟฝ๐พ = (0,0,๐ธ๐พ
๐).
(A.3)
Energรญa y momento del electrรณn:
๐ธ๐ = ๐0๐2
(A.4)
๐๐ = (๐0๐, 0).
(A.5)
Despuรฉs del choque
๐๐พโฒ = (
๐ธโฒ๐พ
๐, , ๐ทโฒโโโโโโโ
๐พ)
(A.6)
๐๐ = (๐0๐, ๐ทโฒโโโโโ๐).
(A.7)
Por conservaciรณn de momentos
๐๐พ + ๐๐ = ๐๐พโฒ + ๐๐
โฒ ,
(A.8)
despejando
APรNDICE A
87
๐๐โฒ = ๐๐พ + ๐๐ โ ๐๐พ
โฒ ,
(A.9)
elevando al cuadrado:
(๐๐โฒ )2 = (๐๐พ + ๐๐ โ ๐๐พ
โฒ )2
(A.10)
๐๐โฒ2 = ๐๐พ
2 + 2๐๐พ๐๐ + ๐๐2 โ 2๐๐พ๐๐พ
โฒ โ 2๐๐๐๐พโฒ + ๐๐พ
โฒ2. (A.11)
Pero ๐๐โฒ2 = ๐๐พ
2 = ๐๐2 = ๐๐พ
โฒ2 = 0, entonces
0 = 2๐๐พ๐๐ โ 2๐๐พ๐๐พ
โฒ โ 2๐๐๐๐พโฒ .
(A.12)
Factorizando
๐๐(๐๐พ โ ๐๐พโฒ ) โ ๐๐พ๐๐พ
โฒ = 0,
(A.13)
pero
๐๐พ. ๐๐พโฒ =
๐ธ๐พ๐ธ๐พโฒ
๐2(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)
(A.14)
๐๐ . ๐๐พโฒ = (๐0๐, 0) (
๐ธ๐พโฒ
๐, ๏ฟฝโโโ๏ฟฝ๐พ
โฒ ) = ๐0๐ธ๐พโฒ .
(A.15)
Sustituyendo (A.14) y (A.15) en (A.13) obtenemos
๐0๐ธ๐พ โ๐0๐ธ๐พโฒ โ
๐ธ๐พ๐ธ๐พโฒ
๐2(1 โ ๐ถ๐๐ ๐) = 0
(A.16)
APรNDICE A
88
๐0(๐ธ๐พ โ ๐ธ๐พโฒ ) =
๐ธ๐พ๐ธ๐พโฒ
๐2(1 โ ๐ถ๐๐ ๐),
(A.17)
pero ๐ธ =โ๐
๐, sustituyendo la energรญa en la ecuaciรณn (A.17) tenemos que:
๐0 (โ๐
๐โโ๐
๐โฒ) =
โ2๐2
๐2๐๐โฒ(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)
(A.18)
๐0 (1
๐โ1
๐โฒ) =
โ
๐๐๐โฒ(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)
(A.19)
(1
๐โ1
๐โฒ) =
โ
๐0๐๐๐โฒ(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)
(A.20)
๐โฒ โ ๐
๐๐โฒ=
โ
๐0๐๐๐โฒ(1 โ ๐ถ๐๐ ๐)
(A.21)
๐โฒ โ ๐ =โ
๐0๐(1 โ ๐ถ๐๐ ๐).
(A.22)
Llamando a ๐๐ =โ
๐0๐ tenemos que
๐โฒ โ ๐ = ๐๐(1 โ ๐ถ๐๐ ๐), (A.23)
donde ๐๐ es la longitud Compton.
APรNDICE B
89
B PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIรN DELTA DE
DIRAC
La distribuciรณn Delta de Dirac ๐ฟ(๐ฅ) es una funciรณn introducida por el fรญsico Ingles
Paul Dirac, la cual define una funciรณn en forma integral sobre cierto espacio de
funciones. Esta funciรณn de distribuciรณn constituye una aproximaciรณn muy รบtil para
funciones pico y representa el mismo tipo de abstracciรณn matemรกtica que una carga
o masa puntual. En ocasiones se denomina tambiรฉn Funciรณn de Impulso. Ademรกs,
la distribuciรณn delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones
discontinuas. Las propiedades de esta funciรณn ๐ฟ son:
1. โซ ๐(๐ฅ)๐ฟ(๐ฅ โ ๐) = ๐(๐ฅ)โ
โโ
2. ๐ฟ(๐ฅ) = ๐ฟ(โ๐ฅ)
3. โซ ๐(๐ฅ)๐
๐๐ฟ(๐ฅ โ ๐ฅ0) = {
๐(๐ฅ0) ๐ ๐ ๐ < ๐ฅ0 < ๐0 ๐ ๐ ๐ฅ0 > ๐ รณ ๐ฅ0 > ๐
4. ๐(๐ฅ)๐ฟโฒ(๐ฅ) = ๐โฒ(๐ฅ)๐ฟ(๐ฅ)
5. ๐ฅ๐๐ฟ(๐ฅ) = 0 ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐ > 0 ๐ฆ ๐ฅ โ โ
6. ๐ฟ(๐๐ฅ โ ๐) =1
|๐|๐ฟ (๐ฅ โ
๐
๐) ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐ โ 0
7. โซ ๐ฟ(๐ฅ) = 1โ
โโ
8. ๐(๐ฅ)๐ฟ(๐ฅ โ ๐) = ๐(๐)๐ฟ(๐ฅ โ ๐)
9. ๐(๐ฅ)๐ฟโฒ(๐ฅ โ ๐) = ๐(๐)๐ฟโฒ(๐ฅ โ ๐) โ ๐โฒ(๐)๐ฟ(๐ฅ โ ๐)
APรNDICE B
90
10. ๐ฟ(๐(๐ฅ)) = โ๐ฟ(๐ฅโ๐)
|๐โฒ(๐ฅ๐)| ๐๐๐ ๐(๐ฅ๐) = 0 ๐ฆ ๐ ๐โฒ(๐ฅ๐) โ 0
11. ๐ฟ(๐ค) =1
2๐โซ ๐โ๐๐๐กโ
โโ๐๐ก
APรNDICE C
91
C PROPIEDADES DE LAS TRAZAS
1. ๐๐(๐ด + ๐ต) = ๐๐(๐ด) + ๐๐(๐ต)
2. ๐๐(๐ผ๐ด) = ๐ผ๐๐(๐ด), donde ๐ผ es un nรบmero.
3. ๐๐(๐ด๐ต) = ๐๐(๐ต๐ด)
4. ๐๐๐๐๐๐ = 4
5. ๐พ๐๐พ๐ + ๐พ๐๐พ๐ = 2๐๐๐
6. a b b a 2 .a b
7. ๐พ๐๐พ๐ = 4
8. ๐พ๐๐พ๐๐พ๐ = โ2๐พ๐
9. a 2 a
10. ๐พ๐๐พ๐๐พ๐๐พ๐๐พ๐ = โ2๐พ๐๐พ๐๐พ๐
11. a b c 2 c b a
12. La traza del producto de un nรบmero impar de matrices gamma es cero.
13. ๐๐(1) = 4
14. ๐๐(๐พ๐๐พ๐) = 4๐๐๐
15. (Tr a b ) 4(a.b)
16. ๐๐(๐พ๐๐พ๐๐พ๐๐พ๐) = 4(๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐)
17. (Tr a b c d ) 4( . . . . . . )a bc d a cb d a db c
18. ๐๐(๐พ5) = 0
19. ๐๐(๐พ5๐พ๐๐พ๐) = 0
20. 5(Tr a b ) 0
21. ๐๐(๐พ5๐พ๐๐พ๐๐พ๐๐พ๐) = 4๐๐๐๐๐๐
22. 5(Tr a b c d ) 4 ai b c d
APรNDICE D
92
D SECCIรN EFICAZ
Los experimentos que permiten identificar el comportamiento de las partรญculas, y
sus caracterรญsticas, especialmente en el rรฉgimen relativista, son experimentos de
dispersiรณn.
En los aceleradores de partรญculas, se hacen chocar dos haces con los momentos bien
definidos, y se analiza lo que se observa en los detectores. La probabilidad de
cualquiera de los estados finales que pueden ocurrir, se puede expresar en tรฉrminos
de la Secciรณn Eficaz.
Para definir la Secciรณn Eficaz se considera un objetivo, en reposo (๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ด = 0), de tipo A
con densidad ๐๐ด, y una longitud ๐ฟ๐ด. Se apunta hacia este objetivo un grupo de
partรญculas tipo B, con cierta velocidad ๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ต, con densidad ๐๐ต y una longitud ๐ฟ๐ต [16]
(ver figura D.1).
Figura D.0.1 Sistema de partรญculas a interactuar
La anterior figura estรก relacionada con el experimento hecho por Rutherford, el
objetivo era una lรกmina metรกlica delgada, de un nรบmero atรณmico relativamente
grande (en la grรกfica, lรกmina de longitud ๐ฟ๐ด), mientras que los proyectiles consistรญan
en un haz colimado de baja energรญa cuyas partรญculas eran los nรบcleos de los รกtomos
APรNDICE D
93
de helio, (en la grรกfica, lรกmina de longitud ๐ฟ๐ต). El resultado bรกsico de estos
experimentos fue que la mayorรญa de la
s partรญculas atravesaron la lรกmina con muy poca desviaciรณn angular.
Ocasionalmente, sin embargo, las deflexiones eran bastante grandes [17].
La Secciรณn Eficaz ๐ es el nรบmero total de eventos dispersados, dividido por el
producto de ๐๐ด, ๐๐ต,๐ฟ๐ด y ๐ฟ๐ต.
๐ =๐รบ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ฃ๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ด๐ฟ๐ด๐๐ต๐ฟ๐ด, (D.1)
donde ๐๐ด y ๐๐ต no son constantes.
Ahora se calcula el nรบmero total de eventos dispersados el cual es proporcional a
๐๐ด, ๐๐ต,๐ฟ๐ด y ๐ฟ๐ต. Entonces llamamos a ๐๐ = ๐รบ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ฃ๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ , donde
๐๐ = ๐ฟ๐ด๐ฟ๐ตโซ๐2๐ฅ๐๐ด(๐ฅ)๐๐ต(๐ฅ).
(D.2)
Entonces como ๐๐ด y ๐๐ต no son constantes, tenemos que:
๐๐ด =๐รบ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐กรญ๐๐ข๐๐๐ ๐๐ ๐ด
๐๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐ ๐ด=๐๐ด๐๐ด
๐๐ต =๐รบ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐กรญ๐๐ข๐๐๐ ๐๐ ๐ต
๐๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐ ๐ต
=๐๐ต๐๐ต
=๐๐ต๐ด๐ต๐ฅ
,
donde ๐ด๐ต es el รกrea para B.
๐๐ต =๐๐ต๐ด๐ต๐ฅ
โน๐๐ต๐ฅ= ๐๐ต๐ด๐ต.
APรNDICE D
94
Entonces, la ecuaciรณn anterior implica que:
๐๐ต = โซ๐๐๐ต โน๐๐ต = โซ๐๐ต๐ด๐ต๐๐ฅ.
Pero si ๐๐ด y ๐๐ต son constantes, tenemos que:
๐๐ = ๐๐ฟ๐ด๐ฟ๐ต๐๐ด๐๐ตโซ๐2๐ฅ
= ๐๐ฟ๐ด๐ฟ๐ต๐๐ด๐๐ต๐ด.
(3.D)
Esto lo podemos escribir como:
๐๐ = ๐๐ฟ๐ด๐ฟ๐ต๐๐ด๐๐ด
๐๐ต๐๐ต
=๐๐๐ด๐๐ต๐ฟ๐ด๐ฟ๐ต๐๐ด๐๐ต๐ฟ๐ด๐ฟ๐ต
๐ด,
(D.4)
donde A es un รกrea obtenida de la integral โซ๐2๐ฅ = ๐ด. Pero ๐ด๐ด = ๐ด๐ต = ๐ด, entonces:
๐๐ =๐๐๐ด๐๐ต๐ด
. (D.5)
Pero la secciรณn eficaz ๐ no permite medir los momentos de las partรญculas, y por lo tanto no
podemos conocer la velocidad de las partรญculas, por eso es necesario definir la secciรณn eficaz
diferencial del proceso.
๐๐
๐3๐1โฆ๐3๐๐
โน๐๐
๐ฮฉ . (D.6)
APรNDICE D
95
Recordemos que:
๐ = (๐ธ
๐, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ),
donde ๐ธ
๐โ ๐0 y ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๐(๐, ๐, ๐) y r es constante para ๐.
ฮฉ = รก๐๐๐ข๐๐ ๐ รณ๐๐๐๐.
En coordenadas esfรฉricas tenemos que el diferencial de volumen estรก dado por:
๐๐ = ๐2๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐,
reagrupando
๐๐ = ๐2๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐โ ๐ฮฉ
,
por lo tanto:
๐๐ = ๐2๐๐๐ฮฉ,
siendo ๐ โฅ ๐.
Una cantidad mesurable e importante es la Razรณn de Decaimiento ฮ de una partรญcula
inestable A (que se supone estรก en reposo) en un estado final especificado (de dos o
mas partรญculas). Se define como:
ฮ โก๐รบ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐ ๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐
๐รบ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐กรญ๐๐ข๐๐๐ ๐ด ๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐ .
(D.7)
APรNDICE D
96
El tiempo de vida ๐ de la partรญcula es el recรญproco de la suma de sus razones de
decaimiento en todos los posibles estados finales.
ฯ =1
ฮ . (D.8)
APรNDICE E
97
E RELACIรN DE COMPLETEZ
La ecuaciรณn de Dirac con ๏ฟฝโ๏ฟฝ = 0 (ver secciรณn 2.4.4 de este trabajo), admite cuatro
soluciones independientes:
ฯ1 = ๐โ๐(
๐๐2
โ)๐ก (
1000
)
(E.1)
ฯ2 = ๐โ๐(
๐๐2
โ)๐ก (
0100
)
(E.2)
ฯ3 = ๐+๐(
๐๐2
โ)๐ก (
0010
)
(E.3)
ฯ4 = ๐+๐(
๐๐2
โ)๐ก (
0001
)
(E.4)
donde ๐๐ด = (๐1
๐2) y ๐๐ต = (
๐3
๐4).
Se podrรญa preguntar por quรฉ no se limitan a establecer que ๐๐ต = 0 (โenergรญas
negativasโ o โsoluciones fรญsicamente inaceptablesโ) y se dejan olvidadas.
Desafortunadamente esto no se puede hacer. En un sistema cuรกntico de necesita un
conjunto completo de estados y los estados de energรญa positivos por sรญ mismo no son
completos.
En la ecuaciรณn de Shrรถdinger el signo de i es solamente convencional, pero en la
Teorรญa Relativista, estos signos surgen, y cuando son correctamente interpretados,
implican la existencia de la antipartรญcula, y describen, por ejemplo, un electrรณn con
APรNDICE E
98
espรญn hacia arriba, uno con espรญn hacia abajo, un positrรณn con espรญn hacia arriba y
uno con espรญn hacia abajo.
Tenemos, como soluciones, ondas planas
๐(๐ฅ) = ๐๐โ๐๐.๐ฅ๐ข(๐).
(E.5)
Se necesita encontrar un cuadri-vector ๐๐ y un bi-espinor asociado ๐(๐) tal que la
ecuaciรณn E.5 satisfaga la Ecuaciรณn de Dirac, (a es un factor de normalizaciรณn).
Tenemos que
๐๐๐ = โ๐๐๐๐, (E.6)
sustituyendo la ecuaciรณn anterior en la ecuaciรณn de Dirac se obtiene:
โ๐พ๐๐๐๐โ๐๐.๐ฅ ๐ข โ๐๐๐โ๐๐.๐ฅ ๐ข = 0 (E.7)
รณ
(โ๐พ๐๐๐ โ๐๐)๐ข = 0.
(E.8)
Si u satisface la anterior ecuaciรณn, entonces ๐ satisface la ecuaciรณn de Dirac.
Ahora
๐พ๐๐๐ = ๐พ0๐0 โ ๐ธ. ๐
=๐ธ
๐(1 00 โ1
) โ ๐. (0 ๐โ๐ 0
)
APรNDICE E
99
๐พ๐๐๐ = (
๐ธ
๐โ๐. ๐
๐. ๐ โ๐ธ
๐
),
(E.9)
asรญ
(๐พ๐๐๐ โ๐๐)๐ข = ((๐ธ
๐โ ๐๐) โ๐. ๐
๐. ๐ (โ๐ธ
๐โ ๐๐)
)(๐ข๐ด๐ข๐ต)
= ((๐ธ
๐โ ๐๐) ๐ข๐ด โ๐. ๐๐ข๐ต
๐. ๐๐ข๐ด (โ๐ธ
๐โ ๐๐)๐ข๐ต
).
Donde A indica la parte superior y B la parte inferior, cada una con dos
componentes.
Ahora se define ๐ข๐ด y ๐ข๐ต:
๐ข๐ด =๐
๐ธ โ๐๐2(๐. ๐)๐ข๐ต
๐ข๐ต =๐
๐ธ +๐๐2(๐. ๐)๐ข๐ด.
(E.10)
Sustituyendo la segunda ecuaciรณn en la primera obtenemos
๐ข๐ด =๐2
๐ธ2 โ๐2๐4(๐. ๐)2๐ข๐ด,
(E.11)
pero
๐. ๐ = ๐๐ฅ (0 11 0
) + ๐๐ฆ (0 โ๐๐ 0
) + ๐๐ง (1 00 โ1
)
APรNDICE E
100
๐. ๐ = (๐๐ง (๐๐ฅ โ ๐๐๐ฆ)
(๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ) โ๐๐ง),
(E.12)
entonces
(๐. ๐)๐ = (๐๐ง2 + (๐๐ฅ โ ๐๐๐ฆ)(๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ) ๐๐ง(๐๐ฅ โ ๐๐๐ฆ) โ ๐๐ง(๐๐ฅ โ ๐๐๐ฆ)
๐๐ง(๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ) โ ๐๐ง(๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ) (๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ)(๐๐ฅ โ ๐๐๐ฆ) + ๐๐ง2)
= ๐2,
(E.13)
asรญ
๐ข๐ด =๐๐๐2
๐ธ2 โ๐2๐4๐ข๐ด.
(E.14)
Por lo tanto
๐ธ2 โ๐2๐4 = ๐2๐2. (E.15)
Para satisfacer la Ecuaciรณn de Dirac, ๐ธ y ๐ (ecuaciรณn E.5) deben cumplir la relaciรณn
de energรญa-momento relativista. La ecuaciรณn E.15 admite dos soluciones para E
๐ธ = ยฑโ๐2๐4 + ๐๐๐2. (E.16)
El signo positivo estรก asociado con estados de la partรญcula y el signo negativo con
estados de la antipartรญcula.
Retomando las ecuaciones (E.10) y usando la (E.12) se pueden construir las cuatro
soluciones independientes de la ecuaciรณn de Dirac [16]:
1. Tomando ๐ข๐ด = (10), se tiene que
APรNDICE E
101
๐ข๐ต =๐
๐ธ +๐๐2(๐. ๐) (
10) =
๐
๐ธ +๐๐2(
๐๐ง๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ
).
(E.17)
2. Tomando ๐ข๐ด = (01), se tiene que
๐ข๐ต =๐
๐ธ +๐๐2(๐. ๐) (
01) =
๐
๐ธ +๐๐2(๐๐ฅ โ ๐๐๐ฆโ๐๐ง
).
(E.18)
3. Tomando ๐ข๐ต = (10), se tiene que
๐ข๐ด =๐
๐ธ โ๐๐2(๐. ๐) (
10) =
๐
๐ธ โ๐๐2(
๐๐ง๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ
).
(E.19)
4. Tomando ๐ข๐ด = (01), se tiene que
๐ข๐ต =๐
๐ธ โ๐๐2(๐. ๐) (
01) =
๐
๐ธ โ๐๐2(๐๐ฅ โ ๐๐๐ฆโ๐๐ง
). (E.20)
Para normalizar los espinores de tal manera que: ๐ขฯฏ๐ข =2|๐ธ|
๐, entonces
๐ข = (
๐ผ๐ฝ๐พ๐ฟ
)โน ๐ขฯฏ = (๐ผโ๐ฝโ๐พโ๐ฟโ).
Las cuatro soluciones son:
APรNDICE E
102
๐ข(1) = ๐
(
10
๐(๐๐ง)
๐ธ +๐๐2
๐(๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ)
๐ธ +๐๐2 )
(E.21)
๐ข(2) = ๐
(
01
๐(๐๐ฅ โ ๐๐๐ฆ)
๐ธ +๐๐2
๐(โ๐๐ง)
๐ธ +๐๐2 )
,
(E.22)
donde ๐ธ = โ๐2๐4 + ๐2๐2
๐ฃ(1) = ๐
(
๐(๐๐ง)
๐ธ โ๐๐2
๐(๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ)
๐ธ โ๐๐2
10 )
(E.23)
๐ฃ(2) = ๐
(
๐(โ๐๐ง)
๐ธ โ๐๐2
๐(๐๐ฅ โ ๐๐๐ฆ)
๐ธ โ๐๐2
01 )
,
(E.25)
donde ๐ธ = โโ๐2๐4 + ๐2๐2.
La constante de normalizaciรณn es ๐ = โ|๐ธ|+๐๐2
๐.
Se podrรญa decir que ๐ข(1) y ๐ฃ(1) tienen espรญn arriba y ๐ข(2) y ๐ฃ(2) tienen espรญn hacia abajo.
Ahora se procederรก a probar la relaciรณn de completez para los espinores. Teniendo en
cuenta la ecuaciรณn (E.21) y (E.22) y sabiendo que ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = ๐พ0๐ขฯฏ, donde
APรNDICE E
103
0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
,
se tiene que:
โ ๐ข(๐ )๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ )
๐ =1,2
= |๐|2
[
(
0
1
๐ (๐๐ฅโ ๐๐
๐ฆ)
๐ธ + ๐๐2
๐(โ๐๐ง)
๐ธ + ๐๐2 )
(1 0 โ๐๐๐ง
๐ธ + ๐๐2โ๐ (๐
๐ฅโ ๐๐
๐ฆ)
๐ธ + ๐๐2)
+
(
0
1
๐ (๐๐ฅโ ๐๐
๐ฆ)
๐ธ + ๐๐2
๐(โ๐๐ง)
๐ธ + ๐๐2 )
(0 1 โ๐ (๐
๐ฅโ ๐๐
๐ฆ)
๐ธ + ๐๐2
๐๐๐ง
๐ธ + ๐๐2)
]
.
A continuaciรณn se desarrolla el producto matricial y la suma entre los resultados.
APรNDICE E
104
2 2
22 2 2
2 22 2 21,2
2 2 22
2 22 2 2
2
2
(1 0
0 0 0 0
0
0
0 0
)
0 0
(0 1
)
z
s s z x yz z
s
x yx y z x y
x y
x y z
c pcp
E mc E mc
c p p ipE mc cp c pu u
c E mc E mc E mc
c p pc p ip c p p ip
E mc E mc E m
ip
i
c
c p cp p
E mc E
E mc
c
2
2 2 2 2
2 22 2 2
2 2 2
2 22 2 2
0
0
x yx y z x y
z x yz z
mc
c p pc p ip c p p ip
E mc E mc E mc
c p p ipcp c p
E mc E mc E mc
2
2
21,2
2
2
2
0 ( )
0 ( )
0
0
z x y
x y zs s
s
z x y
x y z
E mcp p ip
c
E mcp ip p
cu u
cpp p ip
E mc
cpp ip p
E mc
Pero ๐. ๐ = (๐๐ง ๐๐ฅ โ ๐๐๐ฆ
๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ โ๐๐ง) y
๐2๐2
๐ธ+๐๐2=๐ธ2โ๐2๐4
๐ธ+๐๐2= ๐ธ โ๐๐2 entonces:
APรNDICE E
105
โ ๐ข(๐ )๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ )
๐ =1,2
=
[ (
๐ธ
๐+ ๐๐ 0
0๐ธ
๐+๐๐
) โ(๐. ๐)
(๐. ๐) (โ๐ธ
๐+๐๐ 0
0 โ๐ธ
๐+๐๐
)
]
Teniendo en cuenta que ๐พ0 โ ๐พ๐ = ๐พ๐ se tiene que
โ ๐ข(๐ )๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ )
๐ =1,2
=๐ธ
๐๐พ0 โ ๐. (
0 ๐โ๐ ๐
) + ๐๐
=๐ธ
๐๐พ0 โ ๐. ๐พ๐ +๐๐.
Por lo tanto
โ ๐ข(๐ )๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ )
๐ =1,2
= ๐พ๐๐๐ +๐๐. (E.26)
Ahora para la antipartรญcula se procede de forma similar. Teniendo en cuenta las
ecuaciones (E.23) y (E.24) se tiene que:
APรNDICE E
106
โ ๐ฃ(๐ )๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ )
๐ =1,2
= |๐|2
[
(
๐(๐๐ฅโ ๐๐
๐ฆ)
๐ธ โ ๐๐2
โ๐(๐
๐ง)
๐ธ โ ๐๐2
0
1 )
(๐(๐
๐ฅ+ ๐๐
๐ฆ)
๐ธ โ ๐๐2โ
๐(๐๐ง)
๐ธ โ ๐๐20 โ1)
+
(
๐(๐๐ง)
๐ธ โ ๐๐2
๐(๐๐ฅ+ ๐๐
๐ฆ)
๐ธ โ ๐๐2
1
0 )
(๐(๐
๐ง)
๐ธ โ ๐๐2
๐(๐๐ฅโ ๐๐
๐ฆ)
๐ธ โ ๐๐2โ1 0)
]
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
1 2
2
2
,
2
(p ) ( ) ( )0
( ) ( )
( )0
( ) ( )
0 0 0 0
( )0 1
( )
x y z x y x y
z x y z z
x y
s
s
z
z
s
c p c p p ip c p ip
E mc E mc E mc
c p p ip cE mc
p cp
E mc E mc E mc
c p ip cp
E mc E mc
c
v v
p
E
c
E c
c
mc
m
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
( )0
( )
( ) (p ) ( )0
( ) ( )
( )1 0
0 0 0 0
z x y z
z x y x y x y
x yz
c p p ip cp
E mc E mc
c p p ip c p c p ip
E mc E mc E mc
c p ipcp
E mc E mc
APรNDICE E
107
1,2
2
2
2
2
2
2
0 ( )
0 ( )
0
0
z x y
x y z
z x
s s
s
y
x y z
cpp p ip
E mc
cpp ip p
E mc
E mcp p ip
c
E mcp i
c
v
p
v
p
โ ๐ข(๐ )๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ )
๐ =1,2
=
[ (
๐ธ
๐โ ๐๐ 0
0๐ธ
๐โ๐๐
) โ(๐. ๐)
(๐. ๐) (โ๐ธ
๐+๐๐ 0
0 โ๐ธ
๐+๐๐
)
]
โ ๐ฃ(๐ )๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ )
๐ =1,2
=๐ธ
๐๐พ0 โ ๐. ๐พ โ ๐๐ = ๐พ๐๐๐ โ๐๐.
(E.27)
APรNDICE F
108
F
EL TENSOR MรTRICO Y EL SรMBOLO DE LEVI CIVITA
La convenciรณn para el tensor mรฉtrico estรก dado por:
๐๐๐ = ๐ท๐๐๐(+1,โ1,โ1,โ1).
(F.1)
El sรญmbolo de Levi-Civita es el complemento antisimรฉtrico de un tensor de rango 4.
El producto entre dos tensores de Levi-Civita estรก dado por [18]:
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' ' [ ' ' ' ']
' ' ' '
' ' ' '
. (F.2)
En la ecuaciรณn (F.2) la doble barra indica el determinante de la matriz y los corchetes
en los รญndices del resultado, indican la antisimetrizaciรณn con respecto a los รญndices
cerrados. Al tomar sucesivas contracciones de esta relaciรณn, se pueden obtener las
siguientes relaciones:
ํ๐๐๐๐ํ๐๐โฒ๐โฒ๐โฒ = โ๐ฟ[๐โฒ๐ ๐ฟ๐โฒ
๐๐ฟ๐โฒ]๐
(F.3)
ํ๐๐๐๐ํ๐๐๐โฒ๐โฒ = โ2[๐ฟ[๐โฒโฒ๐ ๐ฟ๐โฒ]
๐] (F.4)
ํ๐๐๐๐ํ๐๐๐๐โฒ = โ6๐ฟ๐โฒ
๐ (F.5)
ํ๐๐๐๐ํ๐๐๐๐ = โ24. (F.6)
APรNDICE G
109
G OPERADORES DE PROYECCIรN PARA FERMIONES
๐ฟ = ๐ฟ๐๐๐ก
๐ = ๐ ๐๐โ๐ก
๐ข๐ฟ(๐) = (1 โ ๐พ5
2)๐ข(๐)
(G.1) ๐ฃ๐ฟ(๐) = (
1 + ๐พ5
2)๐ฃ(๐)
(G.5)
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐ฟ(๐) = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐) (1 + ๐พ5
2)
(G.2) ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐ฟ(๐) = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐) (
1 โ ๐พ5
2)
(G.6)
๐ข๐ (๐) = (1 + ๐พ5
2)๐ข(๐)
(G.3) ๐ฃ๐ (๐) = (
1 โ ๐พ5
2)๐ฃ(๐)
(G.7)
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐ (๐) = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐) (1 โ ๐พ5
2)
(G.4) ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐ (๐) = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐) (
1 + ๐พ5
2)
(G.8)
APรNDICE H
110
H SECCIรN EFICAZ TOTAL
Figura H.1. Proceso de dispersiรณn ๐+๐โ โ ๐+๐โ visto desde el centro de masa del sistema
Para calcular la Amplitud al cuadrado del proceso se tiene que
1
4โ |๐ธ|2
๐๐ ๐๐๐๐๐
=8๐4
(๐1 โ ๐3)4[(๐1 . ๐2)(๐3 . ๐4) + (๐1 . ๐4)(๐3 . ๐2) + ๐๐
2(๐1 . ๐3), (H.1)
Ahora escribiendo la amplitud en tรฉrminos de la energรญa E y el รกngulo de dispersiรณn
๐ se tiene
1
4โ |๐ธ|2
๐๐ ๐๐๐๐๐
=8๐4
16๐ธ4[๐ธ2(๐ธ โ |๏ฟฝโโ๏ฟฝ2|๐ถ๐๐ ๐)
2+ [๐ธ2(๐ธ + |๏ฟฝโโ๏ฟฝ2|๐ถ๐๐ ๐)
2+ 2๐๐
2๐ธ2]
= ๐4 [(1 +๐๐2
๐ธ2) + (1 โ
๐๐2
๐ธ2)๐ถ๐๐ 2๐].
( H.2)
Ahora se puede calcular la secciรณn eficaz del proceso,
APรNDICE H
111
๐ฯ
๐ฮฉ=
1
2๐ธ๐ถ๐2
|๏ฟฝโโโ๏ฟฝ2|
16๐2๐ธ๐ถ๐ .1
4โ |๐ธ|2
๐๐ ๐๐๐๐๐
=๐ผ2
4๐ธ๐ถ๐2โ1 โ
๐๐2
๐ธ2(1 +
๐๐2
2๐ธ2).
Integrando sobre ๐ฮฉ encontramos la secciรณn eficaz total.
( H.3)
๐ =4๐๐ผ2
3๐ธ๐ถ๐2โ1 โ
๐๐2
๐ธ2(1 +
๐๐2
2๐ธ2)
(H.4)
En el lรญmite de altas energรญas donde ๐ธ โซ ๐๐ tenemos que,
๐ฯ
๐ฮฉโโ
๐ธโซ๐๐
๐ผ2
4๐ธ๐ถ๐2(1 + ๐ถ๐๐ 2๐),
(H.5)
y para la secciรณn eficaz total:
๐ โโ๐ธโซ๐๐
4๐๐ผ2
3๐ธ๐ถ๐2 (1 โ
3
8(๐๐
๐ธ)4
โโฏ). (H.6)
Valores experimentales
(๐โ)2 = 0.389๐บ๐๐2. ๐๐
๐ผ =1
137
๐(30๐บ๐๐) =4๐
3
(1137)
2
(30๐บ๐๐)20.389๐บ๐๐2. ๐๐ = 96 ร 10โ9๐๐ = 96๐๐
APรNDICE I
112
I CรDIGO EN WOLFRAM MATHEMATICA PARA LA
REALIZACIรN EL CรLCULO DEL PROCESO DE
DISPERSIรN ๐+๐โ โ ๐+๐โ
Primero se carga el programa Feyncalc en Mathematica.
<< HighEnergyPhysics`fc`
Se evalรบan las trazas, se realizan las contracciones correspondientes
automรกticamente.
Msq =๐4
4(p1 + p2)4Contract[Tr[(GS[p1] + me). GA[mu]. (GS[p2]
โ me). GA[nu]]Tr[(GS[p4] โ mm). GA[mu]. (GS[p3] โmm). GA[nu]]]
Ahora se introducen las variables de Mandelstam:
๐๐๐๐[๐_, ๐_] = ๐๐๐๐[๐๐๐๐๐๐ก๐ข๐[๐],๐๐๐๐๐๐ก๐ข๐[๐]];
๐๐๐๐๐๐๐ ๐ก๐๐ = {๐๐๐๐[๐1, ๐2] โ๐ โ ๐๐2 โ๐๐2
2, ๐๐๐๐[๐3, ๐4] โ
๐ โ ๐๐2 โ๐๐2
2,
๐๐๐๐[๐1, ๐3] โ๐ก โ ๐๐2 โ๐๐2
2, ๐๐๐๐[๐2, ๐4]
โ๐ก โ ๐๐2 โ๐๐2
2, ๐๐๐๐[๐1, ๐4] โ
๐ข โ๐๐2 โ๐๐2
2, ๐๐๐๐[๐2, ๐3]
โ๐ข โ๐๐2 โ๐๐2
2, (๐1 โ ๐2) โ โ๐ }
Aplicando las sustituciones en la amplitud:
๐๐ฌ๐ช/.๐ฆ๐๐ง๐๐๐ฅ๐ฌ๐ญ๐๐ฆ
APรNDICE I
113
Este resultado puede ser simplificado eliminando una variable de Mandelstam :
๐๐ข๐ฆ๐ฉ๐ฅ๐ข๐๐ฒ[๐๐ซ๐ข๐๐ค๐๐๐ง๐๐๐ฅ๐ฌ๐ญ๐๐ฆ[%, ๐, ๐, ๐, ๐๐ฆ๐๐ + ๐๐ฆ๐ฆ๐]]
Aplicando el lรญmite relativista y simplificando:
๐๐ข๐ฆ๐ฉ๐ฅ๐ข๐๐ฒ[%%/. {๐ฆ๐ฆ โ ๐,๐ฆ๐ โ ๐}]
Por simetrรญa de cruce, se obtiene la amplitud de cruce, entonces se hace el
intercambio p3 โ -p2 anรกlogo a tomar s โ t obteniendo
๐๐๐(๐๐ + ๐๐)
๐๐
Graficando: ๐ = ๐; ๐ = ๐;๐ = ๐;
๐๐ฅ๐จ๐ญ[๐๐๐(๐๐ + ๐๐)
๐๐, {๐, ๐, ๐}]
La secciรณn eficaz diferencial estรก dada por:
๐๐๐ข๐๐๐ณ[๐ฌ_] =๐
๐๐๐ ๐๐๐๐๐[
๐
๐(๐ โ (๐๐จ๐ฌ[๐ฝ])๐)]
La secciรณn eficaz estรก dada por:
๐๐ฅ๐จ๐ญ[๐
๐(๐ + (๐๐จ๐ฌ[๐])๐), {๐, ๐, ๐๐ข}]
Para obtener los valores de las constantes, el programa cuenta con un paquete.
<< ๐๐ก๐ฒ๐ฌ๐ข๐๐๐ฅ๐๐จ๐ง๐ฌ๐ญ๐๐ง๐ญ๐ฌ`
๐๐ฅ๐๐๐ญ๐ซ๐จ๐ง๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ซ๐จ๐ญ๐จ๐ง๐๐๐ฌ๐ฌ
Secciรณn eficaz:
APรNDICE I
114
โซ (๐๐จ๐ฌ[๐])๐ โ ๐๐๐
๐
โซ โซ ๐๐ข๐ง[๐]โ ๐โ ๐๐
๐
๐๐
๐
โซ โซ ๐๐ข๐ง[๐](๐๐จ๐ฌ[๐])๐ โ ๐โ ๐๐
๐
๐๐
๐
โซ โซ (๐ + (๐๐จ๐ฌ[๐])๐)๐๐ข๐ง[๐]โ ๐โ ๐๐
๐
๐๐
๐
๐๐๐ซ๐ข๐๐ฌ [โ๐ โ๐๐
๐(๐ +
๐๐
๐๐) , {๐, ๐, ๐}]
๐๐ข๐ฆ๐ฉ๐ฅ๐ข๐๐ฒ%
๐๐๐ซ๐ข๐๐ฌ[๐ + (๐๐จ๐ฌ[๐])๐, {๐, ๐, ๐}]
Graficando:
๐๐ฅ๐จ๐ญ[{โ๐ โ๐
๐๐(๐ +
๐
๐๐๐), ๐}, {๐, ๐, ๐}, ๐๐ฅ๐จ๐ญ๐๐ญ๐ฒ๐ฅ๐ โ {๐,๐๐๐ฌ๐ก๐๐}, ๐๐ฑ๐๐ฌ๐๐๐๐๐ฅ
โ {๐๐๐ฆ, "๐ ยท "๐๐๐๐ฆ}]
Relaciรณn de completez
๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง๐ญ[{๐ฉ๐ฑ, ๐ฉ๐ฒ, ๐ฉ๐ณ, ๐ฎ,๐, ๐, ๐, ๐}, ๐๐๐๐ฅ๐ฌ]
๐ฎ๐ = (
๐๐
๐ฉ๐ณ ๐โ
(๐ฉ๐ฑ + ๐๐ฉ๐ฒ) ๐โ
)
APรNDICE I
115
๐ ๐จ = (
๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐
)
๐ ๐จ. ๐ฎ๐
๐ฎ๐๐ = ๐๐ซ๐๐๐ข๐ญ๐ข๐จ๐ง๐๐ฅ๐ ๐จ๐ซ๐ฆ [๐๐ซ๐๐ง๐ฌ๐ฉ๐จ๐ฌ๐[๐๐จ๐ง๐ฃ๐ฎ๐ ๐๐ญ๐[๐ ๐จ. ๐ฎ๐]]]
๐ฎ๐ = (
๐๐
(๐ฉ๐ฑ โ ๐๐ฉ๐ฒ) ๐โ
โ๐ฉ๐ณ ๐โ
)
๐ ๐จ. ๐ฎ๐
๐ฎ๐๐ = ๐๐ซ๐๐๐ข๐ญ๐ข๐จ๐ง๐๐ฅ๐ ๐จ๐ซ๐ฆ [๐๐ซ๐๐ง๐ฌ๐ฉ๐จ๐ฌ๐[๐๐จ๐ง๐ฃ๐ฎ๐ ๐๐ญ๐[๐ ๐จ. ๐ฎ๐]]]
Producto u1 por u1b:
(
๐
๐
๐ฉ๐ณ ๐โ
(๐ฉ๐ฑ + ๐๐ฉ๐ฒ) ๐โ
) . (๐ ๐ โ๐ฉ๐ณ
โ
๐โโ๐ฉ๐ฑ
โโ ๐๐ฉ๐ฒ
โ
๐โ);
๐ฆ๐ = ๐๐ซ๐๐๐ข๐ญ๐ข๐จ๐ง๐๐ฅ๐ ๐จ๐ซ๐ฆ[๐๐๐ญ๐ซ๐ข๐ฑ๐ ๐จ๐ซ๐ฆ[%]]
Producto u2 por u2b:
(
๐๐
(๐ฉ๐ฑ โ ๐๐ฉ๐ฒ) ๐โ
โ๐ฉ๐ณ ๐โ
) . (๐ ๐ โ๐ฉ๐ฑโ + ๐๐ฉ๐ฒโ
๐โ๐ฉ๐ณโ
๐โ);
๐ฆ๐ = ๐๐ซ๐๐๐ข๐ญ๐ข๐จ๐ง๐๐ฅ๐ ๐จ๐ซ๐ฆ[๐๐๐ญ๐ซ๐ข๐ฑ๐ ๐จ๐ซ๐ฆ[%]]
Simplificando las matrices al multiplicar por (E + m c2)/c = a
APรNDICE I
116
๐ฆ๐๐ฌ =
(
๐ ๐ โ๐ฉ๐ณโ โ๐ฉ๐ฑโ โ ๐๐ฉ๐ฒโ
๐ ๐ ๐ ๐
๐ฉ๐ณ ๐ โ๐ฉ๐ณ๐ฉ๐ณโ
๐โ๐ฉ๐ณ(๐ฉ๐ฑโ โ ๐๐ฉ๐ฒโ)
๐
๐ฉ๐ฑ + ๐๐ฉ๐ฒ ๐ โ๐ฉ๐ณโ(๐ฉ๐ฑ + ๐๐ฉ๐ฒ)
๐โ(๐ฉ๐ฑ + ๐๐ฉ๐ฒ)(๐ฉ๐ฑโ โ ๐๐ฉ๐ฒโ)
๐ )
๐ฆ๐๐ฌ =
(
๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ โ๐ฉ๐ฑโ + ๐๐ฉ๐ฒโ ๐ฉ๐ณโ
๐ ๐ฉ๐ฑ โ ๐๐ฉ๐ฒ โ(๐ฉ๐ฑ โ ๐๐ฉ๐ฒ)(๐ฉ๐ฑโ + ๐๐ฉ๐ฒโ)
๐
๐ฉ๐ณโ(๐ฉ๐ฑ โ ๐๐ฉ๐ฒ)
๐
๐ โ๐ฉ๐ณ๐ฉ๐ณ(๐ฉ๐ฑโ + ๐๐ฉ๐ฒโ)
๐โ๐ฉ๐ณ๐ฉ๐ณโ
๐ )
๐ฆ๐ญ๐จ๐ญ = ๐ฆ๐๐ฌ +๐ฆ๐๐ฌ;
๐๐ซ๐๐๐ข๐ญ๐ข๐จ๐ง๐๐ฅ๐ ๐จ๐ซ๐ฆ[๐๐๐ญ๐ซ๐ข๐ฑ๐ ๐จ๐ซ๐ฆ[๐ฆ๐ญ๐จ๐ญ]]
Simplificando los productos de momento
%/. {๐ฉ๐ณโ โ ๐ฉ๐ณ, ๐ฉ๐ฑโ โ ๐ฉ๐ฑ, ๐ฉ๐ฒโ โ ๐ฉ๐ฒ, (๐ฉ๐ฑ โ ๐๐ฉ๐ฒ)(๐ฉ๐ฑ + ๐๐ฉ๐ฒ) โ (๐ฉ๐ฑ๐ + ๐ฉ๐ฒ๐)}
๐๐๐ญ๐ซ๐ข๐ฑ๐ ๐จ๐ซ๐ฆ[%]
De forma similar se hace para la antipartรญcula v.
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