Download - CURSO 15-16
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
CURSO 15-16
1.-Dada la matriz 𝑨 = (𝒎 + 𝟐 𝟎 𝟎
−𝟑 𝒎 + 𝟏 𝟏𝟐 𝟎 𝒎 − 𝟏
) . 𝑆𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒:
a) (3p) Estudiar el rango de A en función del parámetro m.
b) (3p) Calcular m para que A10 tenga inversa.
c) (4p) Para m=0 calcular A-1.
2.-Dado el sistema de ecuaciones: {
𝒕𝒙 + 𝒚 + 𝒕𝒛 = 𝒕𝒙 + 𝒕𝒚 + 𝒛 = −𝒕
𝒚 + 𝒕𝒛 = 𝟎. Se pide:
a) (7p) Analizar la existencia de soluciones en función del parámetro t. b) (3p) Resolver para t=2.
3.-Dadas las matrices 𝑨 = (𝟎 𝟎 𝟏𝟎 𝟏 𝟎𝟏 𝟎 𝟎
) 𝑦 𝑩 = (𝟑 𝟎 𝟎𝟎 𝟑 𝟎𝟎 𝟎 𝟑
). Se pide:
a) (3p) Calcular A15 y A20.
b) (2p) |A-9·Bt·B4| c) (5p) Resolver la ecuación matricial 6X=B-3AX, donde X es una matriz cuadrada de orden 3.
4.-Sea el sistema de ecuaciones: {
(1−∝)𝑥 + (2 ∝ +1)𝑦 + (2 ∝ +2)𝑧 =∝∝ 𝑥+∝ 𝑦 = 2 ∝ +2
2𝑥 + (∝ +1)𝑦 + (∝ −1)𝑧 =∝2− 2 ∝ +9
. Se pide:
a) (3p) Todas las soluciones cuando =1.
b) (3p) Justificación razonada de si el sistema es compatible o incompatible cuando =2. c) (4p) Los valores del parámetro para los que el sistema es compatible determinado.
5. Se pide:
a) (5p) Dada la matriz 𝐴 = (𝟏 −𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟏
), encontrar una matriz B tal que se cumpla que: A·B·A=A.
b) (5p) Dadas las matrices: 𝑨 = (−𝟏 𝟐𝟐 𝒎
) y 𝑩 = (𝟏 𝟐 𝟎
−𝟐 𝒎 𝟎𝟑 𝟐 𝒎
). Calcular m para que
Ran(A)=Ran(B).
6. Sea el sistema de ecuaciones {
𝒂𝒙 − 𝒚 = 𝟎
−𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐𝒚 + 𝒂𝒛 = −𝟐𝒂
−𝒂𝒙 + (𝒂𝟐 − 𝟏)𝒚 + (𝒂 + 𝟏)𝒛 = −𝒂 − 𝟐
. Se pide:
a) (6p) Estudiar el sistema anterior en función del parámetro a.
b) (4p) Resolverlo para a=0 y para a=1.
7. Se pide:
a) Sabiendo que |𝟏 𝟏 𝟏𝒙 𝒚 𝒛𝟎 𝟐 𝟒
| = 𝟒. Calcular, indicando las propiedades aplicadas:
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
𝑎. 1)(𝟐𝐩) |3𝑥 3𝑦 3𝑧1 1 10 1 2
| ; 𝑎. 2)(𝟑𝐩) |
𝑥 𝑦 𝑧3𝑥 3𝑦 + 2 3𝑧 + 4
𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑧 + 2|; a.3) (2p) |
5 02 20 −𝑥
0 02 2
−𝑦 −𝑧1 0 10 20
|
b) (3p) Dada la matriz 𝑨 = (𝒂 𝒃 𝒄𝒂 𝒙 𝒄𝒂 𝒃 𝒙
) . Hallar los valores de x para los que el determinante de la
matriz A sea nulo, en función de a, b y c, si es posible.
8.-Sea el sistema de ecuaciones A·X=B, donde 𝑨 = (∝ 𝟐 −𝟏𝟎 𝟏 𝟐𝟑 𝟒 ∝
) , 𝑩 = (𝟏
∝ −𝟐𝟑
) 𝒚 𝑿 = (𝒙𝒚𝒛
). Se pide:
a) (3p) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene solución única.
b) (4p) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema no tiene solución.
c) (3p) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene al menos dos soluciones.
Halla todas las soluciones en dichos casos.
9.-Encontrar los valores de t, para los que el determinante |A·B|=0, siendo
𝑨 = (𝟐 −𝟏 𝟑𝟎 𝒕 𝟐𝟎 𝟏 + 𝒕 𝟑
) 𝑦 𝑩 = (𝟐 + 𝒕 −𝟏 𝟎
𝟏 𝒕 𝟎𝟒 𝟕 𝒕
)
10.-Sean las siguientes matrices: 𝐴 = (1 −1 10 1 10 0 1
) , 𝐵 = (−11
−1) , 𝐶 = (−1 1 3).
a) (3p) Obtener A-1
b) (3p) Hallar la matriz X que es solución de la ecuación matricial: A·X=B·C c) (4p) Sea M una matriz de orden 3 cuyo determinante vale ½. Se pide hallar: |2M3| y |(4M2)-1|
11.-Dado el sistema de ecuaciones: {
−𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟎(𝒂 − 𝟐)𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟎
−𝒙 − 𝒚 + (−𝒂 − 𝟑)𝒛 = 𝟎. Se pide:
a) (4p) Calcular el valor del parámetro a para que el sistema tenga más de una solución.
b) (2p) Resolver para a=-3.
c) (4p) Dadas las matrices 𝑨 = (𝒙 𝟏𝟏 𝒚
) 𝑦 𝑩 = (𝟏 𝒙𝒚 𝟏
). Determinar la relación entre x e y para que
ambas commuten ( A·B=B·A).
12.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 82𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 5
a) (6p) Cuál será el valor de a para que al añadir la ecuación ax+y-7z=1 el sistema de ecuaciones
resultante tenga las mismas soluciones que el original.
b) (4p) Calcula las soluciones tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.
13.-Dado el sistema de ecuaciones lineales {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 43𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 𝑎 − 1
2𝑥 + 𝑎𝑦 = −2. Se pide:
a) (6p) Discutir las soluciones del sistema según el valor del parámetro a.
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
b) (4p) Resolver en el caso (los casos) de indeterminación. ¿Existe algún valor de a para que el sistema no tenga solución?
14.-Sean las siguientes matrices: 𝐴 = (1 −1 10 1 10 0 1
) , 𝐵 = (−11
−1) , 𝐶 = (−1 1 3).
a) (3p) Obtener A-1
b) (3p) Hallar la matriz X que es solución de la ecuación matricial: A·X=B·C
c) (4p) Sea M una matriz de orden 3 cuyo determinante vale ½. Se pide hallar: |2M3| y |(4M2)-1|
15. a) (5 p.) Discutir según los valores del parámetro a el siguiente sistema de ecuaciones lineales
{
𝒂𝒙 − 𝒂𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝒂−𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 = −𝟏
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝒂
b) (5 p.) Dadas las matrices 𝑨 = (−𝟏 𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟎
−𝟐 𝟏 𝟏) y 𝑩 = (
−𝟑 𝟑 𝟐−𝟖 𝟕 𝟒𝟖 −𝟔 −𝟑
) . Hallar la matriz X que verifica
AX+B=2A.
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
CURSO 14-15
1.-Se pide a) (1p) Enuncia brevemente: qué es el rango de una matriz y cuándo una matriz es regular. b) (5p) Discutir según los valores del parámetro m el rango de la matriz 𝐴 =
(1 3 −1
𝑚 + 1 3 𝑚 − 1𝑚 − 1 𝑚 + 3 −1
)
c) (4p) ¿Para qué valores de m, la matriz A es regular? Para m=1, calcula A-1.
2.-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {
(1 − 𝑎)𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −4
𝑥 + 4𝑦 − (1 + 𝑎)𝑧 = −2𝑎. Se pide:
a) (6p)Discutir según los valores del parámetro a. b) (2p)Resolver dicho sistema para a=2. c) (2p)Enuncia brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius.
3.-Se sabe que |𝑎 𝑏 𝑐𝑏 𝑑 𝑒𝑐 𝑒 𝑓
| = 3. Hallar indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:
a) (3p)|2A3|; |(4A2)-1|; |A+At|; b)(3p)|𝑎 𝑏 𝑐𝑐 𝑒 𝑓
2𝑏 2𝑑 2𝑒
|; c)(3p)|𝑎 𝑏 4𝑎 − 𝑐𝑏 𝑑 4𝑏 − 𝑒𝑐 𝑒 4𝑐 − 𝑓
|
d) (1p)¿Cuándo una matriz es simétrica? ¿Y cuándo es una matriz singular?
4.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {
(3𝑎 + 5)𝑥 + 7𝑦 + 12𝑧 = 0(2𝑎 + 3)𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 0(3𝑎 + 4)𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0
. Se pide:
a) (4p)¿Cuál será el valor de a para que la única solución sea la nula? b) (2p)Resolver para a=-1
c) (4p)Determinar una matriz simétrica X de orden 2 sabiendo que 𝑋 · (11
) = (35
) y que el |3X|=-9.
5.-Sean las matrices: 𝐴 = (1 + 𝑚 1
1 1 − 𝑚) , 𝐵 = (
1 −11 0
). Se pide:
a) (4p)¿Para qué valores de m se verifica la siguiente ecuación matricial: A2=2·A+I? b) (6p)Para m=1, calcula A-1 y la matriz que satisfaga la ecuación matricial: A·X-B=A·B.
6.-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = −12𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 𝑘 − 2
𝑥 + 𝑘2𝑦 + 3𝑧 = 2𝑘. Se pide:
a) (6p)Discutir según los valores del parámetro k. b) (4p)Resolver dicho sistema para k=-1 y k=0.
7.-a) (4p) Determinar a y b para que la matriz 𝑨 = (𝒂 + 𝒃 𝟒𝒃
𝒂 𝒂 + 𝒃) tenga inversa. Calcular A-1 para a=3 y
b=1.
b) (6p) Sean las matrices 𝑨 = (𝟏 −𝟒
−𝟐 −𝟏) , 𝑩 = (
𝟏 𝟐−𝟏 𝟎
) 𝒚 𝑫 = (𝟒 𝟐𝟐 −𝟑
) Determinar las matrices
cuadradas de dimensión 2, M y N para que cumplan que {𝑨 · 𝑴 + 𝑩 · 𝑵 = 𝑫
𝑨 · 𝑴 = 𝑵.
8.-a) (7p) Discutir, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
{
(𝑎 − 1)𝑥 + (𝑎 + 2)𝑦 = 5
(1 − 𝑎)𝑥 + (−1 − 𝑎)𝑦 + 2𝑧 = −4
𝑦 + (𝑎2 + 𝑎)𝑧 = 2 − 𝑎
.
b) (3p) Resolver cuando el sistema sea compatible.
9.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {
𝒙 + (𝒎 + 𝟏)𝒚 + 𝟐𝒛 = −𝟏𝒎𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝒎
(𝟏 − 𝒎)𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = −𝒎 − 𝟏. Se pide:
a) (7p.) Discutir las soluciones del sistema según el parámetro m. b) (3 p.) Resolver para m=2. Para dicho valor, calcular (si es posible) una solución en la que z=2.
10.-Dadas las matrices: 𝐴 = (1 𝑎 𝑎1 𝑎 1
𝑎 − 1 𝑎 2) , 𝑋 = (
𝑥𝑦𝑧
) , 𝐵 = (000
). Se pide:
a) (3p.) Hallar a para que la matriz A tenga inversa. b) (4 p.) Para a=-2, calcular A-1. c) (3p.) Para a=1, calcula las soluciones del sistema de ecuaciones A·X=B.
11.-a) Sean las matrices 𝐴 = (1 0 00 −2 10 −5 3
) 𝑦 𝐵 = (0 0 11 1 11 0 0
). Hallar la matriz X que verifique que A-
1·X·A=B-A.
b) Sabiendo que|𝟏 𝟏 𝟏𝒙 𝒚 𝒛𝟎 𝟐 𝟒
| = 𝟒. Calcula: b.1) |3𝑥 3𝑦 3𝑧1 1 10 1 2
|; b.2) |
𝑥 𝑦 𝑧3𝑥 3𝑦 + 2 3𝑧 + 4
𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑧 + 2|
12.-Sea la matriz 𝑨 = (𝝀 + 𝟏 −𝟏 𝝀 + 𝟏
𝟎 𝝀 𝟎𝟏 −𝟐 𝝀
). Se pide:
a) (5 p.) ¿Para qué valores del parámetro 𝜆 existe la matriz inversa de A? b) (5 p.) Hallar A-1 para 𝝀 = −𝟐 .
13.-a) Dado el sistema de ecuaciones lineales {
𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 3𝑧 = 𝑎−2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −1
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 𝑎. Discutir según los
valores del parámetro a. Resolver para a=1.
b) Calcular los valores de a, b y c para que la matriz 𝑨 = (𝒂 𝒃𝟎 𝒄
) verifique que (A-2I)2=0. Donde I es la
matriz unidad de orden 2 y 0 es la matriz nula de orden 2.
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
CURSO 13-14
1.-Dadas las matrices 𝑨 = (𝟏
−𝟏𝟎
) y 𝑩 = (𝟏𝟏𝟏
), donde Bt es la matriz traspuesta de B e I la matriz unidad de
orden 3.
a) (6p.)Estudiar según el parámetro el rango de A·Bt+I.
b) (4p.) Calcular la matriz X que verifica: A·Bt·X-X=2B.
2.-Dadas las matrices 𝐴 = (−2 0 01 1 04 2 −2
) 𝑦 𝐵 = (2 1 20 −1 50 0 2
), obtener razonadamente el valor de los
determinantes siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) (4p.) |A+B| y |·(A+B)-1|. b) (3p.) |(A+B)-1·A| y |A-1·(A+B)|. c) (3p.) |2·A·B·A-1| y |A3·B-1|.
3.-Dado el sistema de ecuaciones: {𝒂𝒙 + (𝟐𝒂 + 𝟏)𝒚 + (𝟏 − 𝒂)𝒛 = 𝟎
𝟑𝒂𝒙 + 𝒂𝒛 = 𝒂𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 + (𝟏 − 𝒂)𝒛 = 𝟎
a) (7p.) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o en los casos) en que sea compatible indeterminado.
4.-Sea la matriz 𝐴 = (5 −𝑚 31 −1 01 1 𝑚
) .
a) (3p.) La matriz A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones homogéneo.
Discutir dicho sistema según los valores del parámetro m.
b) (3p.) Resolver para m=-1 y m=2.
c) (4p.) Determinar A-1 para m=0.
5.- a) (5p.) Calcular la matriz X que cumpla la siguiente ecuación matricial: X·A-B=2X, sabiendo que
𝐴 = (3 0 02 3 01 2 3
) 𝑦 𝐵 = (0 1 02 0 −20 −1 3
).
b) (5p.) Sea el determinante |𝐴| = |1 1 1𝑎 𝑏 𝑐
𝑎2 𝑏2 𝑐2| = 2. Se pide Calcular el valor de los siguientes
determinantes, explicitando las propiedades utilizadas.
𝑏. 1)(𝟐𝐩. ) |𝑎 − 1 𝑏 − 1 𝑐 − 1
𝑎2 − 1 𝑏2 − 1 𝑐2 − 15 5 5
| ; 𝑏. 2) (𝟑𝐩. ) |(𝑎 + 1)2 (𝑏 + 1)2 (𝑐 + 1)2
𝑎 𝑏 𝑐𝑎2 𝑏2 𝑐2
|
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
6.-Dado el sistema de ecuaciones {(𝒂 + 𝟑)𝒙 + (𝟐𝒂 − 𝟏)𝒚 = 𝟎
(𝒂 + 𝟏)𝒙 − 𝒂𝒛 = 𝒂
𝟐𝒙 + (𝒂 − 𝟐)𝒚 − 𝒂𝒛 = 𝒂
a) (7p.) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.
7.- a) (3p.) Sea M una matriz cuadrada donde |M|=-1 y |-2M|=8. Calcula el orden la matriz
cuadrada M.
b) (4p.) Sea la matriz 𝐴 = (1 −12 1
). Determinar la matriz B para que se cumpla: A+B=A·B.
c) (3p.) Sean las matrices: 𝐴 = (1 0 12 1 00 0 2
) 𝑦 𝐵 = (−1 1 11 −1 10 0 −1
). Se pide: B-1 y |A·B2013·At|
8.- Dado el sistema de ecuaciones: {
2𝑥 + 𝜆𝑦 + 𝜆𝑧 = 1 − 𝜆
𝑥 + 𝑦 + (𝜆 − 1)𝑧 = −2𝜆(𝜆 − 1)𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝜆 − 1
. Se pide:
a) (6p.) Discutir la compatibilidad según los valores de 𝜆.
b) (4p.) Resolver para 𝜆 = +1 𝑦 𝜆 = −1
9.-Se sabe que las matrices A y B cumplen las siguientes condiciones: 𝐴 + 𝐵 =
(2 1 02 0 0
−1 0 2) 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 − 𝐵2 = (
−2 0 00 2 02 −1 0
). Se pide calcular:
a) A-B b) A c) B.
10.-Sean las matrices 𝐴 = (−1 1 02 0 01 0 1
) , 𝐵 = (0 2 11 2 0
) 𝑦 𝐶 = (1 2
−1 6). Se pide:
a) (3p.) |A-1|; b) (5 p.) la matriz X, sabiendo que A · X = Bt · C; c) (2p.) |A2013 ·Bt B|
11.-Sean las matrices: 𝐴 = (−2 1 −3−1 𝑚 𝑚 − 2𝑚 0 2
) , 𝐵 = (110
) 𝑦 𝑋 = (𝑥𝑦𝑧
). Se pide:
a) (5p.) Rango de la matriz A según los valores de m. b) (3p.) Discutir el sistema formado por A·X=B según los valores de m. c) (2p.) Resolver la ecuación A·X=B para m=1.
12.-Sean las matrices 𝐴 = (1 𝜆 01 1 20 −1 −1
) 𝑦 𝐵 = (0 1 11 0 −12 1 0
) . Se pide:
a) (3p.) Calcular λ para que la ecuación X·A=B tenga solución (única). b) (3p.) Calcular la matriz X para λ=4. c) (4p.) Calcular |A2·B| en función de λ.
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
CURSO 12-13
1.-a) Sea la matriz 𝐴 = (𝑎 0 𝑎
𝑎 + 1 𝑎 00 𝑎 + 1 𝑎 + 1
), calcular el Rango de A según los valores del parámetro a.
b) Para a=1, calcular |2At·A-1|.
c) Sean A y B matrices cuadradas de orden n2, tales que B=A-1. Se sabe que |A|=3, razona cuánto vale |B|. ¿Cuál es el rango de B?
2.- a) Calcula todas las matrices cuadradas de orden 2 de la forma 𝐴 = (𝑎 1𝑐 −2 − 𝑎
) que satisfagan la
ecuación matricial A2+2A+3I=0, expresando c en función de a. b) Demostrar que las matrices del apartado anterior (a) son invertibles y calcular su inversa. 3.- a) Sea A una matriz cuadrada de orden 2 y columnas C1 y C2 y determinante 5, y la matriz B cuadrada de orden 2 y determinante 2. Si D es la matriz cuadrada de orden 2 y columnas 4C2 y C1-C2. Calcular el determinante de la matriz B·D-1.
b) Sea la matriz 𝐵 = (−1/2 𝑥 0
𝑦 1/2 00 0 1
). Calcular x e y para que se cumpla B-1=Bt.
4.-Sean las matrices 𝐴 = (𝑥 𝑦𝑦 𝑧) ; 𝐵 = (
2 6−1 −3
) 𝑦 𝐶 = (−4 −121 3
). Se pide:
a) Determinar la matriz, sabiendo que se cumple: |A|=7 y A·B=C. b) Sean las matrices anteriores y que verifican las condiciones del apartado anterior. Decide cuál de
las igualdades siguientes se cumple. Justifica la respuesta. b.1) A=C·B-1; b.2) B=A-1·C; b.3) A-1=B·C-1
5.-Dadas las matrices: A= (𝑘 𝑘 𝑘2
1 −1 𝑘2𝑘 −2 2
) ; 𝐵 = (1268
) ; 𝐶 = (433
) ; 𝑋 = (𝑥𝑦𝑧
). Se pide:
a) (5p) Hallar el rango de A en función del parámetro k. b) (2,5p) Para k=2, hallar si existe solución en el sistema A·X=B. c) (2,5p) Para k=1, hallar si existe la solución del sistema A·X=C.
6.-Dadas las matrices 𝐴 = (1 −11 1
) y B una matriz de orden 2 no nula y que verifica que B2=-7B+. Se pide:
a) (4p) Calcular los parámetros a y b para que se cumpla que A2=a·A+b·.
b) (3p) Calcular los parámetros p y q para que se cumpla que B-1=p·B+q·. Justificar que existe B-1.
c) (3p) Calcular los parámetros x e y que verifique que B3=x·B+y·.
7.-Sean las matrices: 𝐴 = (1 𝑎 00 𝑎 00 0 𝑏
) ; 𝐵 = (0 4 −14 −2 00 2 0
) ; 𝐶 = (𝑥𝑦𝑧
) . Se pide:
a) (2p) Determinar para qué valores de a y b, la matriz A es regular. b) (3p) Determinar para qué valores de a y b se cumple que A=A-1. c) (5p) Para a=2 y b=2, determinar las matrices C que verifican A·C=C·A.
8.-Dado el sistema de ecuaciones: {
(𝑎 − 1)𝑥 + 2𝑦 + (𝑎 − 1)𝑧 = 𝑎 + 1
(𝑎 + 1)𝑦 − (𝑎 + 1)𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎
}. Se pide:
a) (7p) Estudiar la compatibilidad del sistema en función del parámetro a. b) (3p) Resolver para a=0
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
9.-Sea el sistema de ecuaciones: {
𝑥 + 𝑘𝑦 + 2𝑧 = 𝑘 + 1𝑥 + 2𝑦 + 𝑘𝑧 = 3
(𝑘 + 1)𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑘 + 2}. Se pide:
a) (5p) Calcular el valor de k para que tenga más de una solución. b) (2p) Calcular el valor de k para no tenga solución. c) (3p) Resolver para k=0.
10.-Sean las matrices 𝐴 = (0 0 10 1 01 0 0
) y B=3·3 (donde 3 es la matriz identidad o unidad de orden 3).
Calcular:
a) (3p) An, cuando n es par. b) (7p) Resolver la ecuación matricial: 6·A20·X=B-3·A·X. (tener en cuenta A20 en función de lo calculado
anteriormente)
11.-Sabiendo que |
𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖
| = 5. Calcular, indicando las propiedades utilizadas, el valor de:
a) (5p) |
𝑏 𝑏 + 𝑎 2𝑐𝑒 𝑒 + 𝑑 2𝑓ℎ ℎ + 𝑔 2𝑖
|; b) (5p) |
𝑎 + 𝑑 + 𝑔 𝑏 + 𝑒 + ℎ 𝑐 + 𝑓 + 𝑖𝑑 + 𝑔 𝑒 + ℎ 𝑓 + 𝑖
𝑔 ℎ 𝑖|
12.-Dado el sistema de ecuaciones: {𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 5
𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = −4} . Se pide:
a) (4p) ¿Cuánto ha de valer el parámetro a para que al añadirle la ecuación ax+y+z=9 sea un sistema de ecuaciones compatible y determinado? b) (3p) Resolver para a=0. c) (3p) ¿Cuánto ha de valer el parámetro a para que el sistema de 3 ecuaciones anterior no tenga solución?
13.-Dada la matriz 𝐴 = (3 −25 1
) y sea B la matriz que verifica que 𝐴 · 𝐵 = (−2 17 3
).
a) (4p) Demostrar que A y B tiene inversas. b) (6p) Resolver la ecuación matricial A-1·X-B=B·A.
14.-Sean las matrices: 𝐴 = (𝟏 𝟏𝟎 𝟏
) 𝒚 𝑩 = (𝟕 −𝟑𝟖 −𝟑
).
a) Hallar una matriz X tal que A·X·A-1=B. b) Calcular A10. c) Hallar todas las matrices M que satisfacen (A+M)·(A-M)=A2-M2.
15.-Dado el sistema de ecuaciones: {
𝟐𝒌𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒌𝒛 = 𝟏𝒙 + 𝒌𝒚 − 𝒛 = 𝟏
𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝒌.
a) (7 p.) Discutirlo según los valores de k. b) (3 p.) Resolverlo cuando el sistema sea compatible.
16.-Dada la matriz 𝑴 = (𝟐 −𝟏 𝝀𝟐 −𝝀 𝟏
𝟐𝝀 −𝟏 𝟏).
a) (5 p.) Determinar el rango de M según valores del parámetro .
b) (5 p.) Determinar para qué valores de , existe la matriz inversa de M. Calcular dicha inversa para
=0.
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
CURSO 11-12
1.-a) (5p.) Sean A y B matrices cuadradas de orden 3, cuyos determinantes son |A|=½ y |B|=-2. Hallar: a.1) |A3|; a.2) |A-1|; a.3) |-2A|; a.4) |A·Bt|; a.5) Rango de B b) Utilizar las propiedades los determinantes para calcular el valor de:
b.1)(2p. ) |A|=|𝑎 𝑎
𝑎2 𝑏𝑎2|; b.2) (3p.)|B|= |𝑎 + 𝑏 1 2𝑎 − 𝑏 0 1
𝑎 + 2𝑏 3 2|
2.-Dada la matriz A=(2𝑎 −2 𝑎2
−1 𝑎 −12 1 𝑎
). Se pide:
a) (5p.) Rango de A según los valores del parámetro a.
b) (5p.) Para a=2, discutir el sistema A·(𝑥𝑦𝑧
) = (21𝑏
) en función de los valores del parámetro b y
resolverlo cuando sea posible.
3.-Dado el sistema de ecuaciones {
𝜆𝑥 + 𝜆𝑧 = 2𝑥 + 𝜆𝑦 − 𝑧 = 1
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2𝜆. Se pide:
a) (6p.)Discutir según los valores del parámetro 𝝀. b) (4p.)Resolver el sistema de ecuaciones para 𝝀 = 𝟏.
4.-a) Dada la matriz A=(𝜆 + 1 0
1 −1). Se pide:
a.1) (2,5p.)Determina los valores de 𝝀 para los que A2+3A no tiene inversa. a.2) (2,5p.)Para 𝝀 = 𝟎, hallar la matriz X que verifique que A·X+A=2I.
b) (5p.)Dada la matriz A=(𝑎 0 0𝑏 1 00 0 1
). Calcular a y b para que A-1=At.
5. Sean las matrices 𝐀 = (𝟏 𝟐 𝟑𝐦 𝟏 𝟑𝟎 𝟐 𝐦
) 𝐲 𝐁 = (−𝟐𝟎𝟏
). Se pide:
a) (4p.) ¿Para qué valores de m la matriz A no tiene inversa?
b) (4p.) Para m=1, calcular la inversa de A.
c) (2p.) Resolver la ecuación matricial A·X=B para m=1.
6.1-(6p.)Sea la matriz 𝑀 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑
) cuyo determinante vale 4. Se pide, indicando las propiedades que
utilizas:
a) |-3At|; b) |2𝑏 2𝑎
−3𝑑 −3𝑐| ; c) |A-1At| ; d) Si B es una matriz cuadrada y B3=I, calcula |B-1|
6.2.-Dadas la matriz 𝐌 = (𝟐 𝟎𝟏 𝟐
)e I la matriz unidad de orden 2. Resolver el sistema de ecuaciones
matricial: {𝟐𝐀 + 𝐁 = 𝐌𝐀 − 𝟑𝐁 = 𝐈
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
7.-Sea el sistema de ecuaciones {
𝑎𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 02𝑥 + 𝑎𝑦 + 4𝑧 = 2
2𝑥 + 𝑎𝑦 + 6𝑧 = 𝑎 − 2. Se pide:
a) (6p.)Discutir según los valores del parámetro a.
b) (3p.)Resolver para a=2.
c) (1p.) Enuncia brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius.
8.- a) (5p.)Dadas las matrices 𝐴 = (1 1 02 𝑡 + 1 𝑡 − 1
−2𝑡 − 1 0 𝑡 + 3) 𝑦 𝑋 = (
𝑥𝑦𝑧
) , razonar para qué valores de t el
sistema homogéneo A·X=0, tiene más de una solución.
b) (4p.)Dadas las matrices 𝑀 = (1 1 𝑎1 0 𝑏1 1 𝑐
) y 𝑁 = (2 0 𝑎0 −1 𝑏3 1 𝑐
), calcular a, b y c, sabiendo que no
pueden valer 0 a la vez, para que las matrices M y N tengan, simultáneamente, rango 2.
c) (1p.)Enuncia brevemente qué es el rango de una matriz.
9.- a) (5p.)Dadas las matrices 𝐀 = (−𝟏 𝟏 𝟐𝐤 𝟎 𝟏
) y 𝐁 = (𝟎 𝟏
−𝟏 𝟎𝐤 𝟐
), se pide:
a.1) Determinar para qué valores de k la matriz Bt·At tiene inversa.
a.2) Resolver la ecuación matricial (A·B)t·X=I para k=0.
b) (5p.)Dadas la matrices𝐌 = (𝟐 𝟎𝟏 𝟐
) y 𝐍 = (𝟎 −𝟏𝟑 𝟏
). Resolver el sistema de ecuaciones matricial:
{𝟐𝐀 + 𝐁 = 𝐌𝐀 − 𝟑𝐁 = 𝐍
10.- a) (5p.) Sea la matriz 𝐀 = (𝐦 𝟎 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝐦 𝟎 𝐦
), se pide:
a.1) Estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro m.
a.2) Para m=-1, calcular A-1.
b) (5p.) Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los valores a y resolver cuando el sistema
sea compatible indeterminado: {
𝑎𝑥 + 2𝑧 = 0𝑎𝑦 − 𝑧 = 𝑎
𝑧 + 3𝑦 + 𝑧 = 5
11.-Indicando las propiedades de los determinantes utilizadas en cada caso, se pide:
a) (6p.)Si |𝐴| = |
𝑎 𝑏 𝑐𝑒 𝑓 𝑔ℎ 𝑖 𝑗
| = −3, calcular
a.1) |
3𝑎 3𝑏 15𝑐𝑒 𝑓 5𝑔ℎ 𝑖 5𝑗
|=; a.2) |−1
3𝐴|; a.3) |
𝑎 𝑏 𝑐𝑒 − ℎ 𝑓 − 𝑖 𝑔 − 𝑗
ℎ 𝑖 𝑗|
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
b) (2p.)Si 𝐵 = |𝑎 𝑏 𝑐5 0 101 1 1
| = 1, calcular|5𝑎 −𝑏 5𝑐1 0 21 −1 1
|
c) (2p.) Sabiendo que x, y, z y u son valores no nulos, justificar sin efectuar su desarrollo que
|
𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑦𝑢 𝑢 𝑢1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧
| = 0
12.-Dadas las matrices 𝐴 = (𝛼 1 −11 𝛼 −1
−1 −1 𝛼) ; 𝐵 = (
011
).
a) Discutir el rango de A según los valores de .
b) Para =2, resuelve el sistema de ecuaciones (o la ecuación matricial) A·X=B.
13.- Sean las matrices 𝐴 = (𝛼 1
−𝛼 3) 𝑦 𝐵 = (
1 3 1−1 4 2
)
a) Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es 𝟏
𝟏𝟐·A.
b) Para =-3, determina la matriz X que verifica la ecuación At·X=B, siendo At la matriz traspuesta de A.
14.- a) Discutir, según los valores de m, el sistema: {
𝑦 + (𝑚 − 1)𝑧 = 𝑚(𝑚 − 1)𝑦 + 𝑧 = 𝑚
(𝑚 − 2)𝑥 = 𝑚 + 2
b) Resolver para m=0 y m=1.
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
CURSO 10-11
1.-Sean las matrices: 𝐵 = (1 𝑚 00 1 𝑚1 1 −2
) ; 𝐶 = (1 −3 5
−2 4 −6) ; 𝐷 = (
1 2 30 1 0
).
a) Matriz inversa de otra. ¿Por qué no tiene inversa la matriz C? b) Matriz inversible o regular. ¿Es invertible la matriz D? c) Hallar los valores de m para que exista B-1. d) Hallar B-1 para m=0. e) Calcular la matriz X para que cumpla que X·B+C=D para m=0.
2.-Sabiendo que 𝐴 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑
) y que |A|=4. Indicando en cada caso las propiedades utilizadas, se pide:
a) |−3𝐴𝑡|; |𝐴−1 · 𝐴𝑡|; |2𝑏 2𝑎
−3𝑑 −3𝑐|.
b) Calcular A, si A·(𝟏 −𝟏𝟎 𝟏
)=I.
c) Si 𝑩 = (𝟐 𝒃𝒄 𝒅
), ¿qué relación existe entre b, c y d para que se verifique B-1=2I-B.
d) Menor complementario de un elemento de un determinante 3.-El sistema A·X=B tiene diferentes soluciones según sea la matriz B, sabiendo que:
A= (1 0 10 2 0𝑎 5 𝑎
) 𝑦 X = (𝑥𝑦𝑧
)
a) Rango de matriz b) Determinar si existen valor/es de a para los que el sistema sea compatible.
c) Si a=4 y B= (𝟎
−𝟏𝒃
), determinar, si existen, el valor/es de b para los que el sistema es
incompatible.
d) Si a=4 y B= (𝟎𝐜
𝟏𝟎), determinar, si existen, el valor/es de c para los que el sistema es compatible
indeterminado. Resolver el sistema.
4.-a) Discutir según los valores del parámetro a y resolver cuando sea posible: {
𝑥 + 𝑧 = 1𝑦 + (𝑎 − 1)𝑧 = 0
𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎
b) Sean 𝐴 = (1 −12 00 3
) ; 𝐵 = (1 2 −10 3 −1
) . Calcular: |(B.A)t|-1 y B2.
c) ¿Qué es un adjunto en un determinante?
5.-Sea la matriz 𝐀 = (−𝒂 𝟎 𝒂𝒂 𝒂 − 𝟏 𝟎𝟎 𝒂 𝒂 + 𝟐
). Se pide:
a) Estudiar el rango de A según los valores de a. b) Hallar el valor de a para que A sea una matriz regular. c) Hallar A-1 para a=1. d) Enunciar brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius
6.-a) Sea 𝑩 = (𝟏 𝟐𝟎 𝟏
), encontrar todas las matrices 𝑷 = (𝒙 𝒚𝒛 𝒕
) tal que se verifique B·P=P·B.
b) Sea |𝐂| = |𝐚 𝐛 𝐜𝐱 𝐲 𝐳𝐩 𝐪 𝐫
| = 𝟑. Se pide el valor de: |C4·C-1|, |𝐚 𝟐𝐱 𝟑𝐩𝐛 𝟐𝐲 𝟑𝐪𝐜 𝟐𝐳 𝟑𝐫
| y |𝐚 𝐛 𝐜
𝐱 + 𝐩 𝐲 + 𝐪 𝐳 + 𝐫𝐱 𝐲 𝐳
|.
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
7.-Sea el sistema de ecuaciones: {
𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 + 22𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎
a) Discutir según los valores de a. ¿Tiene siempre solución? b) Resolver para a=-1. c) ¿Qué es un sistema homogéneo? ¿Cuándo será incompatible?
8.-a) Dadas las matrices P= (𝟏 𝟏 𝟎
−𝟏 𝟎 𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏
) y A= (−𝟏 𝟎 𝟎𝟎 −𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟐
), hállese razonadamente la matriz B,
sabiendo que B·P=A.
b) Sea el sistema de ecuaciones {𝒚 + (𝒂 − 𝟏)𝒛 = 𝟎
𝒙 + 𝒛 = 𝟏𝒙 + (𝒂 − 𝟏)𝒚 + 𝒂𝒛 = 𝒂
. Discutir y resolver según a.
9.-Dadas las matrices 𝐵 = (1 0 00 1 00 −1 𝑚
) ; 𝐶 = (1 −3 5
−2 4 −6) ; 𝐷 = (
1 2 30 1 1
).
c) ¿Para qué valores de m existe B-1? d) Para m=1, calcular B-1. e) Para m=1, hallar la matriz X tal que X·B+C=D.
10.-Determina, según los valores de m, el rango de la matriz 𝐴 = (𝑚 − 1 1 −1
0 𝑚 − 2 1𝑚 0 2
). ¿Cuándo tiene
inversa A? Para m=1, soluciona el sistema 𝐴 · (𝑥𝑦𝑧
) = (000
).
11.- a) Discutir, según los valores de a, el sistema: {
𝑎𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 𝑎
b) Resolver para a=0.
12.-Sea la matriz 𝑨 = (−𝟏 𝟏𝟎 𝝀 − 𝟏
). Se pide:
a) Determinar los valores de λ para que la matriz A2+3A no tenga inversa. b) Para λ=0 hallar una matriz X que verifique que A·X+A=2I.
13.- Discutir según los valores de a el siguiente sistema: {
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 13𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 − 2−𝑦 + 𝑧 = 𝑎 − 3
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
CURSO 09-10
1.-Dada la matriz 𝐴 = (𝑚 0 00 0 𝑚0 −1 𝑚 + 1
)
a) Estudia, según los valores de m, el rango de A.
b) Para m=-1, calcula la matriz X que verifica XA+A=2I3.
2.-Sea el sistema {
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 25𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = −1
3𝑥 + 𝑦 + 𝑎2𝑧 = 3𝑎
a) Discutir las soluciones del sistema anterior en función de a.
b) Resolver para el valor de a que hace al anterior sistema compatible indeterminado.
3.-Se consideran las matrices 𝐴 = (
𝑥 𝑦 𝑥𝑦 0 𝑦1 𝑧 𝑧
) ; 𝐵 = (𝑎 2 3) ; 𝑦 𝐶 = (4 0 2).
a) Halla los valores de x, y, z para los que la matriz A no tiene inversa.
b) Determina los valores de a para los que el sistema que se forma de B·A=C tiene solución.
c) Resuelve el sistema anterior cuando sea posible.
4.-Realiza las cuestiones siguientes:
a) Sea 𝐴 = (1 𝑎0 1
). Halla An, siendo ∀𝑛 ∈ 𝑁.
b) Busca una matriz B tal que B·A=(0 0), siendo 𝐴 = (1 10 10 0
).
c) Sean las matrices 𝐴 = (1 02 𝑘0 0
) 𝑦 𝐵 = (𝑘 0 −11 1 2
). Estudia en función de los valores de k, si la
matriz B·A tiene inversa.
5.-Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican A·X·B=C.
a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que |A|=3, |B|=-1 y |C|=6, calcula |X| y
|2X|.
b) Si 𝐀 = (𝟏 𝟏𝟎 −𝟐
), 𝐁 = (𝟏 −𝟐𝟐 −𝟑
) y C= (𝟎 𝟑𝟒 𝟐
), calcula la matriz X.
6.-Sea el sistema de ecuaciones {
𝐱 + 𝐲 = 𝐦 + 𝟏𝐱 + 𝐦𝐲 + 𝐳 = 𝟏𝐦𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝐦
a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible.
b) Resuelve el sistema para m=-1.
7.-Se consideras las matrices 𝐀 = (−𝟑 𝟏𝟐 −𝟏
) y B=A-kI2, donde k es una constante.
a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.
b) Calcula B-1 para k=-1.
c) Determina las constantes y para las que se cumple A2+A=I2.
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
8.-Sean las matrices 𝐀 = (−𝟐 −𝟐 𝟏−𝟐 𝟏 −𝟐𝟏 −𝟐 −𝟐
) y 𝐗 = (𝐱𝐲𝐳
).
a) Calcula, si existe, la inversa de la matriz A.
b) Resuelve ¡el sistema A·X=3X.
9. Dadas las matrices: 𝐴 = (5 2 02 5 00 0 1
) , 𝐵 = (𝑎 𝑏 0𝑐 𝑐 00 0 1
)
a) Encontrar las condiciones que debe cumplir a, b, c para que se verifique A·B=B·A.
b) Para a=b=c=1, calcular B10.
c) Calcular A-1.
10. Dado el sistema {
𝑥 + 𝑘𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 0
𝑥 + 5𝑦 − 𝑘𝑧 = 𝑘 + 1
a) Clasificarlo según los valores de k.
b) Resolverlo para k=-1
11. Se considera el sistema {
𝟐𝒙 + 𝒎𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟓𝒙 + (𝒎 + 𝟏)𝒚 + 𝒛 = 𝟗}
a) Discutir según los valores de m.
b) Resolver para m=0.
12. Dada la matriz 𝐴 = (−𝟏 𝟏 𝟏𝟏 −𝟏 𝟏𝟏 𝟏 −𝟏
). Obtener A-1.
13. Dadas las matrices 𝑨 = (𝟒 −𝟐𝟏 𝟏
) , 𝑩 = (𝟒 −𝟐
−𝟑 𝟏). Obtener una matriz cuadrada X2 que verifique
A·X·B=A+B.
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
CURSO 08-09
1.- a) Calcular razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:
mzzyx
myzyx
mxzyx
42
2
2
b) Resuelve el sistema anterior para el caso m=0 y para el caso m=1.
2.-Dadas las matrices
111
402
201
111
121
211
ByA
a) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. b) Resuelve la ecuación matricial: A·X+B=A+I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.
3.-Sabemos que el sistema de ecuaciones:
22
132
zyx
zyx. Tiene las mismas soluciones que el que
resulta al añadir la ecuación ax+y+7z=7.
a) Determina el valor de a. b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de las incógnitas sea igual a la unidad.
4.-Considera la matriz
2
22
111
mmm
mmmA
a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.
b) Estudia si el sistema
1
1
1
·
z
y
x
A tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en
el apartado anterior. Si tienen solución hállalas.
5.-Dada la matriz
k
k
k
A
71
31
31
a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. b) Para k=0, halla la matriz inversa de A.
6.-Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
1)1(
0
1
kkzykx
zky
yx
a) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. b) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z=2
7.-Dadas las matrices:
1
1
11
02
1
1
0
2
0
1
;
221
010
111
CyBA
MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
Calcula la matriz P que verifica AP-B=Ct.
8.-Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
1
2
1
zayx
aazyx
axyx
a) Discútelo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en el caso a=2.
9.-Considérese el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial A·X=B, donde
z
y
x
XyB
a
aaA ,
3
2
1
,
11
12
211
Siendo a un parámetro real. Se pide:
a) Clasifica el sistema en función del parámetro a . b) Para a=0, obtén las soluciones mediante el cálculo X=A-1·B.
10.-Calcula una matriz cuadrada X, sabiendo que verifica: X·A2+BA=A2 siendo:
002
020
200
001
010
100
ByA
11.-Estudiar el rango de la matriz:
11
1
)1(1
mm
mm
mmmm
A según los valores del parámetro m.
12.-Sean las matrices:
76
98
10
02ByA Hallar una matriz X, tal que X·A·X-1=B.