Download - Cuadros, Moreno Ibañez, Ramos Diaz
TALLER 2 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
POR:CAMILA ANDREA RAMOS DIAZ
JULIETH MORENO IBAÑEZ CAROLINA CUADROS
PRESENTADO A:INGENIERA. JULIANA MOLANO
CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOSINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
FACULTA DE INGENIERIAINGENIERIA INDUSTRIAL
BOGOTA
CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS
Investigación de Operaciones I
EJERCICIOS A RESOLVER
1. La compañía WorldLight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que
requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar
cuántas unidades de cada producto debe fabricar para maximizar la ganancia. Por cada
unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de
componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de
partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades
de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una
ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2.
Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no genera ganancia, por lo que fabricar
más de esa cantidad está fuera de consideración.
a) Formule un modelo de programación lineal.
b) Utilice el método gráfico para resolver este modelo. ¿Cuál es la ganancia total que
resulta?
1. Componente 1
X1: producto 1X2: producto 2
2. Componente 2
METAL ELECTRICO GANANCIA
X1 1 2 1
X2 3 2 2
200 300 X1 + 2 X2
3. COMPONENTE 3
X1 + 3X2 ≤ 200 Unidades de partes de metal
2X1 + 2X2 ≤ 300 Componentes eléctricos
X2 ≤ 60 máximo de unidades del producto dos
X1 ≥ 0 RESTRICCIÓN SOBRE EL TIPO DE VARIABLES
X2 ≥ 0 RESTRICCIÓN SOBRE EL TIPO DE VARIABLES
4. COMPONENTE 4
X1 + 2 X2
Modelamiento del Problema de Optimización: Al reunir los 4 componentes se tiene:
X1 + 3 X2 ≤ 200 Unidades de partes de metal
2 X1 + 2 X2 ≤ 300 componentes eléctricos
X2 ≤ 60 máximo de unidades del producto dos
X1 ≥ 0 ; X2≥ 0 RESTRICCION SOBRE EL TIPO DE VARIABLES
Solución al sistema:
1. Igualando a ceroX1 + 3X2 ≤ 200 X2 = 0; X1 = 200
X1 = 0; X2 = 66,66
2X1 + 2X2 ≤ 300 X2 = 0; X1 = 150 X1 = 0; X2 = 150
X2 ≤ 60 X2 = 0; X1 = 0 X1 = 0; X2 = 60
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
20
40
60
80
100
120
140
160
Punto de Corte: 125, 25
Al reemplazar:
Max (Z) =1 (125) + 2 (25) Max (Z) = 175
Se deben fabricar 125 unidades de producto 1 y 25 unidades de producto 2 y así obtener un máximo de ganancia de $ 175
2. La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de
productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $5 por el
seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca.
La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para
maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:
Departamento Horas de trabajo por unidad
Horas de trabajo disponibles
Riesgo especial
Hipoteca
Suscripciones
Administración
Reclamaciones
3 2
0 1
2 0
2400
800
1200
a) Formule un modelo de programación lineal.
b) Use el método gráfico para resolver e! modelo.
c) Verifique el valor exacto de su solución óptima del inciso b) con la solución algebraica
de las dos ecuaciones simultáneas relevantes.
1. Componente 1
X1: Número de unidades de seguro de riesgos especiales
X2: Número de unidades en hipotecas
2. Componente 2
Suscripción Administración Reclamaciones Ganancia
X1 3 0 2 5
x2 2 1 0 2
2400 800 1200 5x1 + 2x2
3. COMPONENTE 3
3X1 + 2 X2 ≤ 2400 Suscripciones
X2 ≤ 800 Administración
2 X1 ≤ 1200 Reclamaciones
X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0 RESTRICCION SOBRE EL TIPO DE VARIABLES
4. Componente 4
5X1 + 2X2
Modelamiento del Problema de Optimización: Al reunir los 4 componentes se tiene:
Por lo tanto para nuestro caso el modelamiento sería:
Max 3X1 + 2 X2 ≤ 2400 maximizar las horas de trabajo por suscripciones
X2 ≤ 800 maximizar las horas de trabajo por Administración
2 X1 ≤ 1200 maximizar las horas de trabajo por Reclamaciones
X1 ≥ 0 no es posible maximizar horas negativas
X2≥ 0 no es posible maximizar horas negativas
Solución al sistema:
1. Igualando a cero
3X1 + 2X2 ≤ 2400 X2 = 0; X1 = 800 X1 = 0; X2 = 1200
0X1 + 1X2 ≤ 800 X1 = 0; X2 = 0 X1 = 0; X2 = 800
2X1 ≤ 1200 X2 = 0; X1 = 600 X1 = 0; X2 = 0
0 100 200 300 400 500 600 700 8000
200
400
600
800
1000
1200
1400
Punto de Corte: 600, 300
Al reemplazar:
Max (Z) =5 (600) + 2 (300) Max (Z) = 3600
Verificación Algebraica
Max (Z) =5 (600) + 2 (300) Max (Z) = 3600
Se requiere 600 de sguro y 300 de hipoteca, para tener la máxima ganancia total y obtener $3.600
3. Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hot dogs y pan
para hot dogs. Muelen su propia harina a una tasa máxima de 200 libras por semana.
Cada pan requiere 0,1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la
entrega de 800 libras de productos de puerco cada lunes. Cada hot dog requiere 1/4-de
libra de producto de puerco. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los
ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados
de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hot dog requiere 3 minutos de trabajo y
cada pan 2 minutos de este insumo. Cada hot dog proporciona una ganancia de $0.80 y
cada pan $0.30.
Weenies and Buns desea saber cuántos hot dogs y cuántos panes debe producir cada
semana para lograr la ganancia más alta posible.
a) Formule un modelo de programación lineal para este problema.
b) Use el método gráfico para resolver el modelo.
COMPONENTE 1
X1: cantidad de hot dogs producidos por semana
X2: cantidad de pan para hot dogs producidos por semana
COMPONENTE 2
HOT DOG PAN HOT DOG
HARINA 0 0,1 libras 200 libras
PUERCO ¼ libras 0 800 libras
MANO DE OBRA 3 min 2 min 12.000 min
GANACIA $ 0.80 $0.30
5 * 40 = 200 Horas = 12.000 min
COMPONENTE 3
0,1 X2 ≤ 200 CANTIDAD HARINA PARA EL PAN PARA HOT DOG
1/4 X1 ≤ 800 CANTIDAD PUERCO HOT DOG
3 X1 + 2 X2 ≤ 12.000 CANTIDAD MANO DE OBRA
X1 ≥ 0 RESTRICCION SOBRE EL TIPO DE VARIABLES
X2 ≥ 0 RESTRICCION SOBRE EL TIPO DE VARIABLES
COMPONENTE 4
Max. 0.80 X1 + 0.30 X2
Modelamiento del Problema de Optimización: Al reunir los 4 componentes se tiene:
Por lo tanto para nuestro caso el modelamiento sería:
(1) 0.80 X1 + 0.30 X2 Maximizar las ganancias para la empresa
(2) 0,1 X2 ≤ 200 Asegurar la harina para el pan para el hot dog
(3) 1/4 X1 ≤ 800 Asegurar el puerco para hot dog
(4) 3X1 + 2X2 ≤ 12.000 Asegurar la mano de obra para la producción
X1 ≥ 0 No es posible comprar cantidades negativas
X2 ≥ 0 No es posible comprar cantidades negativas
Despejamos X2 (2):
0,1 X2 ≤ 200
X2 = 200/0,1
X2 = 2.000
Despejamos X1 (3):
1/4 X1 ≤ 800
X1 = 800/1/4
X1 = 3.200
Puntos de corte (4):
3X1 + 2X2 ≤ 12.000
X1 = 0 ; X2 = 6.000
X2 = 0 ; X1 = 4.000
Tomamos (3) con (4) utilizamos el método de reducción:
1/4 X1 ≤ 800 (-12)
3X1 + 2X2 ≤ 12.000
-3 X1 = -9600
3 X1 + 2X2 = 12.000
0 + 2X2 = 2.400
X2 = 2.400 2 X2 = 1.200
Reemplazo X2 para hallar X1
3X1 + 2(1.200) = 12.000
3X1 = 12.000 - 2.400
X1 = 9.600 3X1 = 3.200
Reemplazamos X1 y X2 en (1):
0.80 (3.200) + 0.30 (1.200) = 2920
Puntos de corte en (1):
0.80 X1 + 0.30 X2 = 2920
X1 = 0 ; X2 = 9733,33
X2 = 0 ; X1 = 3650
Se deben producir 3.200 hot dog y 1.200 pan para hot dog para obtener una ganancia de
$2.920
4. La compañía manufacturera Omega discontinuó la producción de cierta línea de
productos no redituable. Esta medida creó un exceso considerable de capacidad de
producción. La administración quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres
productos, llamados 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de
cada máquina que puede limitar la producción:
Tipo de máquina Tiempo disponible
(en horas-máquina por semana)
Fresadora
Torno
Rectificadora
500
350
150
El número de horas-máquina que se requieren para elaborar cada unidad de los
productos respectivos es
Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)
Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3
Fresadora 9 3 5
Torno 5 4 0
Rectificadora 3 0 3
El departamento de ventas indica que las ventas potenciales de los productos 1 y 2
exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son de
20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, para los productos
1, 2 y 3, respectivamente. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe
producir la compañía para maximizar la ganancia.
a) Formule un modelo de programación lineal para este problema.
COMPONENTE 1
X1: cantidad de producto 1
X2: cantidad de producto 2
X3: cantidad de producto 3
COMPONENTE 2
Producto 1 Producto 2 Producto 3
Fresadora 9 3 5 500
Torno 5 4 0 350
Rectificadora 3 0 3 150
COMPONENTE 3
9X1 + 3X2 + 5x3 ≤ 500 producción de la Fresadora
5X1 + 4X2 + 0x3 ≤ 350 producción del torno
3X1 + 0X2 + 3x3 ≤ 150 producción del Rectificadora
X3 X3 < 20 Productos por semana
X1, X2, X3 ≥ 0 RESTRICCION SOBRE EL TIPO DE VARIABLES
COMPONENTE 4
Max. 50X1 + 20X2 + 25X3
Modelamiento del Problema de Optimización: Al reunir los 4 componentes se tiene:
Por lo tanto para nuestro caso el modelamiento sería:
50X1 + 20X2 + 25X3 Maximizar las ganancias para la empresa
9X1 + 3X2 + 5x3 ≤ 500 Asegurar la producción de la Fresadora
5X1 + 4X2 + 0x3 ≤ 350 Asegurar la producción del torno
3X1 + 0X2 + 3x3 ≤ 150 Asegurar la producción de la Rectificadora
X3 X3 < 20 Productos por semana
X1, X2, X3 ≥ 0 No es posible producir cantidades negativas
Método Simplex:
Z X1 X2 X3 S1 S2 S3RESULTAD
O1 -50 -20 -25 0 0 0 00 9 3 5 1 0 0 5000 5 4 0 0 1 0 3500 3 0 3 0 0 1 150
Z X1 X2 X3 S1 S2 S3RESULTAD
O1 -50 -20 -25 0 0 0 00 9 3 5 1 0 0 5000 5 4 0 0 1 0 3500 3 0 3 0 0 1 150
Z X1 X2 X3 S1 S2 S3RESULTAD
O1 0 -20 25 0 0 16,66666667 25000 0 3 -4 1 0 -3 50
0 0 4 -5 0 1-
1,666666667 1000 1 0 1 0 0 0,333333333 50
Z X1 X2 X3 S1 S2 S3RESULTAD
O1 0 -20 25 0 0 16,66666667 25000 0 3 -4 1 0 -3 50
0 0 4 -5 0 1-
1,666666667 1000 1 0 1 0 0 0,333333333 50
Z X1 X2 X3 S1 S2 S3RESULTAD
O
1 0 0-
1,666666667 6,666666667 0-
3,333333333 2833,333333
0 0 1-
1,333333333 0,333333333 0 -1 16,66666667
0 0 0 0,333333333-
1,333333333 1 2,333333333 33,333333330 1 0 1 0 0 0,333333333 50
Z X1 X2 X3 S1 S2 S3RESULTAD
O
1 0 0-
1,666666667 6,666666667 0-
3,333333333 2833,333333
0 0 1-
1,333333333 0,333333333 0 -1 16,66666667
0 0 0 0,333333333-
1,333333333 1 2,333333333 33,333333330 1 0 1 0 0 0,333333333 50
Z X1 X2 X3 S1 S2 S3RESULTAD
O1 0 0 -1,19047619 4,76190476 1,42857143 0 2880,952381
0 0 1 -1,19047619-
0,2380952380,42857142
9 0 30,95238095
0 0 00,14285714
3-
0,5714285710,42857142
9 1 14,285714290 1 0 0,952381 0,190476 -0,142857 0 45,238095
Z X1 X2 X3 S1 S2 S3RESULTAD
O
1 0 0-
1,190476191 4,7619047621,42857142
8 0 2880,952381
0 0 1 -1,19047619-
0,2380952380,42857142
9 0 30,95238095
0 0 0 0,142857143-
0,5714285710,42857142
9 1 14,285714290 1 0 0,952380952 0,19047619 -0,14285714 0 45,23809524
Z X1 X2 X3 S1 S2 S3RESULTAD
O
1 1,25 0 04,99999999
8 1,25 0 2904.75
0 1,25 1 0 00,25000000
1 0 87,499999980 -0,15 0 0 -0,6004 0,4503 1 7,404999990 1,05 0 1 0,2 -0,15 0 47,50000002
Resultados:
Z = 2904,75
X1 = 26,19
X2 = 54,76
X3 = 20
Lo que nos indica que la empresa debe producir del producto uno, 26,19 unidades; del
producto dos, 54,76 y del producto tres, 47,5 para lograr maximizar sus ganancias.
5. Un fabricante de acero produce cuatro tamaños de vigas I: pequeña, mediana, larga y
extra larga. Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres tipos de máquinas: A, B
y C. A continuación se indican las longitudes (en pies) de las vigas I que pueden producir
las máquinas por hora.
MÁQUINA
VIGA A B C
Pequeña 300 600 800
Mediana 250 400 700
Larga 200 350 600
Extra larga 100 200 300
Suponga que cada máquina se puede usar hasta 50 horas por semana, y que los costos
de operación por hora de estas máquinas son $30.00, $50.00 y $80.00, respectivamente.
Además, suponga que semanalmente se requieren 10 000, 8 000, 6 000 y 6 000 pies de
los distintos tamaños de las vigas I. Formule el problema de programación de máquinas
como un programa lineal.
COMPONENTE 1
X1: Producción de la maquina tipo A x hora
X2: Producción de la maquina tipo B x hora
X3: Producción de la maquina tipo C x hora
COMPONENTE 2
MÁQUINA
VIGA A B CPequeña 300 X11 600 X12 800 X13 10000Mediana 250 X21 400 X22 700 X23 8000Larga 200 X31 350 X32 600 X33 6000Extra larga
100 X41 200 X42 300 X43 600050 50 50
COMPONENTE 3
La producción semanal por tipo de viga es:
Pequeña: 300X11 + 600X12 + 800X13 > 10000
Mediana: 250X11 + 400X12 + 700X13 > 8000
Grande: 200X11 + 350X12 + 600X13 > 6000
Extra larga: 100X11 + 200X12 + 300X13 > 6000
Las horas de producción de las máquinas para cada tipo de viga son:
Maquina A: X11 +X21 + X31 + X41 > 50
Maquina B: X12 +X22 + X32 + X42 > 50
Maquina C: X13 +X23 + X33 + X43 > 50
X11, X21, X31, X41, X12, X22, X32, X42, X13 , X23, X33 , X43 > 0
COMPONENTE 4
Min. 30(X11 +X21 + X31 + X41) + 50(X12 +X22 + X32 + X42) + 80(X13 +X23 + X33 + X43)
6. Una refinería puede comprar dos tipos de petróleo: petróleo crudo ligero y petróleo
crudo pesado. El costo por barril de estos tipos de petróleo es $ 11 y $9, respectivamente.
De cada tipo de petróleo se producen por barril las siguientes cantidades de gasolina,
kerosene y turbosina.
GASOLINA QUEROSENO TURBOSINA
Petróleo crudo ligero 0.4 0.2 0.35
Petróleo crudo pesado 0.32 0.4 0.2
Observe que durante el proceso de refinamiento se pierden el 5% y el 8% del crudo,
respectivamente. La refinería tiene un contrato para entregar 1 millón de barriles de
gasolina, 400.000 barriles de Keroseno y 250.000 barriles de turbosina. Formule como
programa lineal el problema de encontrar el número de barriles de cada tipo de petróleo
crudo que satisface la demanda y que minimiza el costo total.
COMPONENTE 1
X1 = Número de de barriles de petróleo crudo de tipo ligero
X2 = Número de de barriles de petróleo crudo de tipo pesado
COMPONENTE 2
GASOLINA QUEROSENOTURBOSINA
PERDIDA
Petróleo crudo ligero 0.4 0.2 0.35 0,5Petróleo crudo pesado 0.32 0.4 0.2 0,8
1000000 400000 250000 1
COMPONENTE 3
0.4 X1 + 0.32 X2 >= 1 000 000 Producción de gasolina
0.2 X1 + 0.4 X2 >= 400 000 Producción de queroseno
0.35 X1 + 0.2 X2 >= 250 000 Producción de turbosina
0.5 X1 Perdidas de Petróleo Crudo ligero → 0.95X1
0.8 X2 Perdida de petróleo crudo pesado → 0.92X2
COMPONENTE 4
Función Objetivo = 11 (0.95)X1 + 9 (0.92) X2 = Minimizar Costos
Función Objetivo = 10,45 X1 + 8.28 X2