cuadros, moreno ibañez, ramos diaz

TALLER 2 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

POR:CAMILA ANDREA RAMOS DIAZ

JULIETH MORENO IBAÑEZ CAROLINA CUADROS

PRESENTADO A:INGENIERA. JULIANA MOLANO

CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOSINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

FACULTA DE INGENIERIAINGENIERIA INDUSTRIAL

BOGOTA

CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS

Investigación de Operaciones I

EJERCICIOS A RESOLVER

1. La compañía WorldLight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que

requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar

cuántas unidades de cada producto debe fabricar para maximizar la ganancia. Por cada

unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de

componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de

partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades

de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una

ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2.

Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no genera ganancia, por lo que fabricar

más de esa cantidad está fuera de consideración.

a) Formule un modelo de programación lineal.

b) Utilice el método gráfico para resolver este modelo. ¿Cuál es la ganancia total que

resulta?

1. Componente 1

X1: producto 1X2: producto 2

2. Componente 2

METAL ELECTRICO GANANCIA

X1 1 2 1

X2 3 2 2

200 300 X1 + 2 X2

3. COMPONENTE 3

X1 + 3X2 ≤ 200 Unidades de partes de metal

2X1 + 2X2 ≤ 300 Componentes eléctricos

X2 ≤ 60 máximo de unidades del producto dos

X1 ≥ 0 RESTRICCIÓN SOBRE EL TIPO DE VARIABLES

X2 ≥ 0 RESTRICCIÓN SOBRE EL TIPO DE VARIABLES

4. COMPONENTE 4

X1 + 2 X2

Modelamiento del Problema de Optimización: Al reunir los 4 componentes se tiene:

X1 + 3 X2 ≤ 200 Unidades de partes de metal

2 X1 + 2 X2 ≤ 300 componentes eléctricos

X2 ≤ 60 máximo de unidades del producto dos

X1 ≥ 0 ; X2≥ 0 RESTRICCION SOBRE EL TIPO DE VARIABLES

Solución al sistema:

1. Igualando a ceroX1 + 3X2 ≤ 200 X2 = 0; X1 = 200

X1 = 0; X2 = 66,66

2X1 + 2X2 ≤ 300 X2 = 0; X1 = 150 X1 = 0; X2 = 150

X2 ≤ 60 X2 = 0; X1 = 0 X1 = 0; X2 = 60

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

20

40

60

80

100

120

140

160

Punto de Corte: 125, 25

Al reemplazar:

Max (Z) =1 (125) + 2 (25) Max (Z) = 175

Se deben fabricar 125 unidades de producto 1 y 25 unidades de producto 2 y así obtener un máximo de ganancia de $ 175

2. La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de

productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $5 por el

seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca.

La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para

maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:

Departamento Horas de trabajo por unidad

Horas de trabajo disponibles

Riesgo especial

Hipoteca

Suscripciones

Administración

Reclamaciones

3 2

0 1

2 0

2400

800

1200

a) Formule un modelo de programación lineal.

b) Use el método gráfico para resolver e! modelo.

c) Verifique el valor exacto de su solución óptima del inciso b) con la solución algebraica

de las dos ecuaciones simultáneas relevantes.

1. Componente 1

X1: Número de unidades de seguro de riesgos especiales

X2: Número de unidades en hipotecas

2. Componente 2

Suscripción Administración Reclamaciones Ganancia

X1 3 0 2 5

x2 2 1 0 2

2400 800 1200 5x1 + 2x2

3. COMPONENTE 3

3X1 + 2 X2 ≤ 2400 Suscripciones

X2 ≤ 800 Administración

2 X1 ≤ 1200 Reclamaciones

X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0 RESTRICCION SOBRE EL TIPO DE VARIABLES

4. Componente 4

5X1 + 2X2


Por lo tanto para nuestro caso el modelamiento sería:

Max 3X1 + 2 X2 ≤ 2400 maximizar las horas de trabajo por suscripciones

X2 ≤ 800 maximizar las horas de trabajo por Administración

2 X1 ≤ 1200 maximizar las horas de trabajo por Reclamaciones

X1 ≥ 0 no es posible maximizar horas negativas

X2≥ 0 no es posible maximizar horas negativas

Solución al sistema:

1. Igualando a cero

3X1 + 2X2 ≤ 2400 X2 = 0; X1 = 800 X1 = 0; X2 = 1200

0X1 + 1X2 ≤ 800 X1 = 0; X2 = 0 X1 = 0; X2 = 800

2X1 ≤ 1200 X2 = 0; X1 = 600 X1 = 0; X2 = 0

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

200

400

600

800

1000

1200

1400

Punto de Corte: 600, 300

Al reemplazar:

Max (Z) =5 (600) + 2 (300) Max (Z) = 3600

Verificación Algebraica

Max (Z) =5 (600) + 2 (300) Max (Z) = 3600

Se requiere 600 de sguro y 300 de hipoteca, para tener la máxima ganancia total y obtener $3.600

3. Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hot dogs y pan

para hot dogs. Muelen su propia harina a una tasa máxima de 200 libras por semana.

Cada pan requiere 0,1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la

entrega de 800 libras de productos de puerco cada lunes. Cada hot dog requiere 1/4-de

libra de producto de puerco. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los

ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados

de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hot dog requiere 3 minutos de trabajo y

cada pan 2 minutos de este insumo. Cada hot dog proporciona una ganancia de $0.80 y

cada pan $0.30.

Weenies and Buns desea saber cuántos hot dogs y cuántos panes debe producir cada

semana para lograr la ganancia más alta posible.

a) Formule un modelo de programación lineal para este problema.

b) Use el método gráfico para resolver el modelo.

COMPONENTE 1

X1: cantidad de hot dogs producidos por semana

X2: cantidad de pan para hot dogs producidos por semana

COMPONENTE 2

HOT DOG PAN HOT DOG

HARINA 0 0,1 libras 200 libras

PUERCO ¼ libras 0 800 libras

MANO DE OBRA 3 min 2 min 12.000 min

GANACIA $ 0.80 $0.30

5 * 40 = 200 Horas = 12.000 min

COMPONENTE 3

0,1 X2 ≤ 200 CANTIDAD HARINA PARA EL PAN PARA HOT DOG

1/4 X1 ≤ 800 CANTIDAD PUERCO HOT DOG

3 X1 + 2 X2 ≤ 12.000 CANTIDAD MANO DE OBRA

X1 ≥ 0 RESTRICCION SOBRE EL TIPO DE VARIABLES

X2 ≥ 0 RESTRICCION SOBRE EL TIPO DE VARIABLES

COMPONENTE 4

Max. 0.80 X1 + 0.30 X2



(1) 0.80 X1 + 0.30 X2 Maximizar las ganancias para la empresa

(2) 0,1 X2 ≤ 200 Asegurar la harina para el pan para el hot dog

(3) 1/4 X1 ≤ 800 Asegurar el puerco para hot dog

(4) 3X1 + 2X2 ≤ 12.000 Asegurar la mano de obra para la producción

X1 ≥ 0 No es posible comprar cantidades negativas

X2 ≥ 0 No es posible comprar cantidades negativas

Despejamos X2 (2):

0,1 X2 ≤ 200

X2 = 200/0,1

X2 = 2.000

Despejamos X1 (3):

1/4 X1 ≤ 800

X1 = 800/1/4

X1 = 3.200

Puntos de corte (4):

3X1 + 2X2 ≤ 12.000

X1 = 0 ; X2 = 6.000

X2 = 0 ; X1 = 4.000

Tomamos (3) con (4) utilizamos el método de reducción:

1/4 X1 ≤ 800 (-12)

3X1 + 2X2 ≤ 12.000

-3 X1 = -9600

3 X1 + 2X2 = 12.000

0 + 2X2 = 2.400

X2 = 2.400 2 X2 = 1.200

Reemplazo X2 para hallar X1

3X1 + 2(1.200) = 12.000

3X1 = 12.000 - 2.400

X1 = 9.600 3X1 = 3.200

Reemplazamos X1 y X2 en (1):

0.80 (3.200) + 0.30 (1.200) = 2920

Puntos de corte en (1):

0.80 X1 + 0.30 X2 = 2920

X1 = 0 ; X2 = 9733,33

X2 = 0 ; X1 = 3650

Se deben producir 3.200 hot dog y 1.200 pan para hot dog para obtener una ganancia de

$2.920

4. La compañía manufacturera Omega discontinuó la producción de cierta línea de

productos no redituable. Esta medida creó un exceso considerable de capacidad de

producción. La administración quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres

productos, llamados 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de

cada máquina que puede limitar la producción:

Tipo de máquina Tiempo disponible

(en horas-máquina por semana)

Fresadora

Torno

Rectificadora

500

350

150

El número de horas-máquina que se requieren para elaborar cada unidad de los

productos respectivos es

Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)

Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3

Fresadora 9 3 5

Torno 5 4 0

Rectificadora 3 0 3

El departamento de ventas indica que las ventas potenciales de los productos 1 y 2

exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son de

20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, para los productos

1, 2 y 3, respectivamente. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe

producir la compañía para maximizar la ganancia.

a) Formule un modelo de programación lineal para este problema.

COMPONENTE 1

X1: cantidad de producto 1



COMPONENTE 2

Producto 1 Producto 2 Producto 3

Fresadora 9 3 5 500

Torno 5 4 0 350

Rectificadora 3 0 3 150

COMPONENTE 3

9X1 + 3X2 + 5x3 ≤ 500 producción de la Fresadora

5X1 + 4X2 + 0x3 ≤ 350 producción del torno

3X1 + 0X2 + 3x3 ≤ 150 producción del Rectificadora

X3 X3 < 20 Productos por semana

X1, X2, X3 ≥ 0 RESTRICCION SOBRE EL TIPO DE VARIABLES

COMPONENTE 4

Max. 50X1 + 20X2 + 25X3



50X1 + 20X2 + 25X3 Maximizar las ganancias para la empresa

9X1 + 3X2 + 5x3 ≤ 500 Asegurar la producción de la Fresadora

5X1 + 4X2 + 0x3 ≤ 350 Asegurar la producción del torno

3X1 + 0X2 + 3x3 ≤ 150 Asegurar la producción de la Rectificadora

X3 X3 < 20 Productos por semana

X1, X2, X3 ≥ 0 No es posible producir cantidades negativas

Método Simplex:

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3RESULTAD

O1 -50 -20 -25 0 0 0 00 9 3 5 1 0 0 5000 5 4 0 0 1 0 3500 3 0 3 0 0 1 150


O1 -50 -20 -25 0 0 0 00 9 3 5 1 0 0 5000 5 4 0 0 1 0 3500 3 0 3 0 0 1 150


O1 0 -20 25 0 0 16,66666667 25000 0 3 -4 1 0 -3 50

0 0 4 -5 0 1-

1,666666667 1000 1 0 1 0 0 0,333333333 50


O1 0 -20 25 0 0 16,66666667 25000 0 3 -4 1 0 -3 50

0 0 4 -5 0 1-

1,666666667 1000 1 0 1 0 0 0,333333333 50


O

1 0 0-

1,666666667 6,666666667 0-

3,333333333 2833,333333

0 0 1-

1,333333333 0,333333333 0 -1 16,66666667

0 0 0 0,333333333-

1,333333333 1 2,333333333 33,333333330 1 0 1 0 0 0,333333333 50


O

1 0 0-

1,666666667 6,666666667 0-

3,333333333 2833,333333

0 0 1-

1,333333333 0,333333333 0 -1 16,66666667

0 0 0 0,333333333-

1,333333333 1 2,333333333 33,333333330 1 0 1 0 0 0,333333333 50


O1 0 0 -1,19047619 4,76190476 1,42857143 0 2880,952381

0 0 1 -1,19047619-

0,2380952380,42857142

9 0 30,95238095

0 0 00,14285714

3-

0,5714285710,42857142

9 1 14,285714290 1 0 0,952381 0,190476 -0,142857 0 45,238095


O

1 0 0-

1,190476191 4,7619047621,42857142

8 0 2880,952381

0 0 1 -1,19047619-

0,2380952380,42857142

9 0 30,95238095

0 0 0 0,142857143-

0,5714285710,42857142

9 1 14,285714290 1 0 0,952380952 0,19047619 -0,14285714 0 45,23809524


O

1 1,25 0 04,99999999

8 1,25 0 2904.75

0 1,25 1 0 00,25000000

1 0 87,499999980 -0,15 0 0 -0,6004 0,4503 1 7,404999990 1,05 0 1 0,2 -0,15 0 47,50000002

Resultados:

Z = 2904,75

X1 = 26,19

X2 = 54,76

X3 = 20

Lo que nos indica que la empresa debe producir del producto uno, 26,19 unidades; del

producto dos, 54,76 y del producto tres, 47,5 para lograr maximizar sus ganancias.

5. Un fabricante de acero produce cuatro tamaños de vigas I: pequeña, mediana, larga y

extra larga. Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres tipos de máquinas: A, B

y C. A continuación se indican las longitudes (en pies) de las vigas I que pueden producir

las máquinas por hora.

MÁQUINA

VIGA A B C

Pequeña 300 600 800

Mediana 250 400 700

Larga 200 350 600

Extra larga 100 200 300

Suponga que cada máquina se puede usar hasta 50 horas por semana, y que los costos

de operación por hora de estas máquinas son $30.00, $50.00 y $80.00, respectivamente.

Además, suponga que semanalmente se requieren 10 000, 8 000, 6 000 y 6 000 pies de

los distintos tamaños de las vigas I. Formule el problema de programación de máquinas

como un programa lineal.

COMPONENTE 1

X1: Producción de la maquina tipo A x hora

X2: Producción de la maquina tipo B x hora

X3: Producción de la maquina tipo C x hora

COMPONENTE 2

MÁQUINA

VIGA A B CPequeña 300 X11 600 X12 800 X13 10000Mediana 250 X21 400 X22 700 X23 8000Larga 200 X31 350 X32 600 X33 6000Extra larga

100 X41 200 X42 300 X43 600050 50 50

COMPONENTE 3

La producción semanal por tipo de viga es:

Pequeña: 300X11 + 600X12 + 800X13 > 10000

Mediana: 250X11 + 400X12 + 700X13 > 8000

Grande: 200X11 + 350X12 + 600X13 > 6000

Extra larga: 100X11 + 200X12 + 300X13 > 6000

Las horas de producción de las máquinas para cada tipo de viga son:

Maquina A: X11 +X21 + X31 + X41 > 50

Maquina B: X12 +X22 + X32 + X42 > 50

Maquina C: X13 +X23 + X33 + X43 > 50

X11, X21, X31, X41, X12, X22, X32, X42, X13 , X23, X33 , X43 > 0

COMPONENTE 4

Min. 30(X11 +X21 + X31 + X41) + 50(X12 +X22 + X32 + X42) + 80(X13 +X23 + X33 + X43)

6. Una refinería puede comprar dos tipos de petróleo: petróleo crudo ligero y petróleo

crudo pesado. El costo por barril de estos tipos de petróleo es $ 11 y $9, respectivamente.

De cada tipo de petróleo se producen por barril las siguientes cantidades de gasolina,

kerosene y turbosina.

GASOLINA QUEROSENO TURBOSINA

Petróleo crudo ligero 0.4 0.2 0.35

Petróleo crudo pesado 0.32 0.4 0.2

Observe que durante el proceso de refinamiento se pierden el 5% y el 8% del crudo,

respectivamente. La refinería tiene un contrato para entregar 1 millón de barriles de

gasolina, 400.000 barriles de Keroseno y 250.000 barriles de turbosina. Formule como

programa lineal el problema de encontrar el número de barriles de cada tipo de petróleo

crudo que satisface la demanda y que minimiza el costo total.

COMPONENTE 1

X1 = Número de de barriles de petróleo crudo de tipo ligero

X2 = Número de de barriles de petróleo crudo de tipo pesado

COMPONENTE 2

GASOLINA QUEROSENOTURBOSINA

PERDIDA

Petróleo crudo ligero 0.4 0.2 0.35 0,5Petróleo crudo pesado 0.32 0.4 0.2 0,8

1000000 400000 250000 1

COMPONENTE 3

0.4 X1 + 0.32 X2 >= 1 000 000 Producción de gasolina

0.2 X1 + 0.4 X2 >= 400 000 Producción de queroseno

0.35 X1 + 0.2 X2 >= 250 000 Producción de turbosina

0.5 X1 Perdidas de Petróleo Crudo ligero → 0.95X1

0.8 X2 Perdida de petróleo crudo pesado → 0.92X2

COMPONENTE 4

Función Objetivo = 11 (0.95)X1 + 9 (0.92) X2 = Minimizar Costos

Función Objetivo = 10,45 X1 + 8.28 X2

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