LA CORRESPONDENCIA DE GALOIS

Galois va demostrar l’any 1832 la seva famosa correspondencia: Sigui

f(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0

un polinomi a coeficients enters, i sigui L el mınim subcos de C que conte lesarrels del polinomi f(x). (Recordem que pel teorema fonamental de l’algebraf(x) factoritza en factors lineals a C[x].) Sigui G = Aut(L) el grup de tots elsautomorfismes del cos L. Llavors:

Teorema 0.1 (Galois). Existeix una correspondencia bijectiva:

{subgrups de G} ←→ { subcossos de L}

Tenim:H 7→ LH = {x ∈ L | σ(x) = x ∀σ ∈ H}

(cos fix de H ≤ G), i

F 7→ AutF (L) = {σ ∈ G | σ(x) = x ∀x ∈ F}

(grup de Galois de l’extensio F ⊆ L)

En el seguent grafic il.lustrem la correspondencia de Galois per f(x) = x3−2.

1

{ Id , g } { Id , gf } { Id , gf 2 }

G = { Id, f, f 2, g, gf, gf 2}

{ Id , f , f 2 }

Subgrups de G = AutQ(E)

{Id}

Subcossos d’E

Q[w]

Q

Q[ 3√2 ] Q[ 3

√2 w2 ]Q[ 3

√2 w]

Q[ 3√2 , w]

Correspondencia de Galois

E = Q[ 3√2 , w ] amb w = e2πi/3 f(

3√2) =

3√2 g(

3√2) =

3√2

f(w) = w g(w) = w2