Cálculo Vectorial 1 / 28
Cálculo Vectorial
Rafael Ramírez Ros
Versión provisional (25 de octubre de 2019)
Cálculo Vectorial 2 / 28
Integrales 1D
Índice
1 Integrales 1D
2 Integrales 2D
3 Resultados útiles
Cálculo Vectorial 3 / 28
Integrales 1D
Integral de una función sobre una curva
Curva regular: C = σ([a,b]) ⊂ Rn con σ′(t) 6= 0.Elemento de longitud: d` = ‖σ′(t)‖dt .Longitud de C: Long(C) =
∫C d` =
∫ ba ‖σ
′(t)‖dt .
Integral de f sobre C:∫
C fd` =∫ b
a f (σ(t))‖σ′(t)‖dt .Gráficas 2D: Si C = {y = g(x) : x ∈ [a,b]} ⊂ R2,
σ(x) = (x ,g(x))
d` =
√1 +
(g′(x)
)2dx∫C fd` =
∫ ba f (x ,g(x))
√1 +
(g′(x)
)2dx
Polares: Si C = {r = g(θ) : θ ∈ [a,b]} ⊂ R2, entoncesσ(θ) = (g(θ) cos θ,g(θ) sin θ)
d` =
√(g(θ)
)2+(g′(θ)
)2dθ∫C fd` =
∫ ba f(g(θ) cos θ,g(θ) sin θ
)√(g(θ)
)2+(g′(θ)
)2dθ
Cálculo Vectorial 4 / 28
Integrales 1D
Aplicaciones 1D
Área de una valla de base C y altura h : C → R+:∫
C hd`.
Promedio de una función f : C → R: f = 1Long(C)
∫C fd`.
Sea C ⊂ R3 un “alambre” con densidad lineal ρ : C → R+.Diremos que C es homogéneo cuando ρ sea constante.Masa: m(C) =
∫C ρd`.
Promedio ponderado por ρ de la función f : f = 1m(C)
∫C fρd`.
Centro de masas: CM(C) = (x , y , z) = 1m(C)
∫C(x , y , z)ρd`.
C homogéneo⇒ CM(C) = CG(C) = centro geométrico.Momento de inercia respecto un eje e:
Ie =
∫C
r2ρd`, r(p) = dist(p,e).
El caso de alambres planos C ⊂ R2 es análogo.
Cálculo Vectorial 5 / 28
Integrales 1D
Circulaciones de campos a lo largo de curvas
Curva regular: C = σ([a,b]) ⊂ Rn con σ′(t) 6= 0.Vector diferencial de longitud: d` = σ′(t)dt .Campo vectorial: F : U ⊂ Rn → Rn.
Circulación (o trabajo):∫
C〈F ,d`〉 =∫ b
a 〈F (σ(t)), σ′(t)〉dt .Caso 2D: σ = (x , y), d` = (dx ,dy) y F = (P,Q), luego∫
C〈F ,d`〉 =∫
C Pdx + Qdy .Caso 3D: σ = (x , y , z), d` = (dx ,dy ,dz) y F = (P,Q,R),luego
∫C〈F ,d`〉 =
∫C Pdx + Qdy + Rdz.
Vector tangente unitario: T (t) = σ′(t)/‖σ′(t)‖.Componente tangencial: Si FT = 〈F ,T 〉, entonces
d` = T (t)d`,∫
C〈F ,d`〉 =
∫C
FT d`.
Cálculo Vectorial 6 / 28
Integrales 1D
Circulaciones y orientaciones
Curvas cerradas: Escribimos∮
en vez de∫
.Toda curva tiene dos posibles orientaciones.Si la curva es cerrada, son la horaria y la antihoraria.La circulación no depende de la parametrización σ, perosu signo depende de la orientación.Antes de calcular una circulación es necesario saber quéorientación nos piden.Una vez fijada la orientación de una curva, escribimos∫
C+
〈F ,d`〉 =
∫C〈F ,d`〉,
∫C−〈F ,d`〉 = −
∫C〈F ,d`〉
para denotar las orientaciones positiva y negativa.
Cálculo Vectorial 7 / 28
Integrales 1D
Campos conservativos y Newton-Leibniz
Gradiente: Si f : U ⊂ Rn → R, entonces
∇f = grad f =
(∂f∂x1
, . . . ,∂f∂xn
).
Teorema de Newton-Leibniz: Si f : U ⊂ Rn → R y C ⊂ Ues una curva orientada desde A hasta B, entonces∫
C+
〈grad f ,d`〉 = f (B)− f (A).
Un campo vectorial F : U ⊂ Rn → Rn
Proviene de un potencial escalar f : U → R si F = grad f .Es conservativo cuando tiene circulación nula a lo largo decualquier curva cerrada C ⊂ U.
F proviene de un potencial escalar⇒ F conservativo.
Cálculo Vectorial 8 / 28
Integrales 1D
Campos irrotacionales 2D & 3D
Rotacional 2D: Si F = (P,Q) : U ⊂ R2 → R2, entonces
∇× F = rot F = (Qx − Py )k = (0,0,Qx − Py ),
donde Qx = ∂Q∂x y Py = ∂P
∂y .
Rotacional 3D: Si F = (P,Q,R) : U ⊂ R3 → R3, entonces
∇×F = rot F =
∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
P Q R
∣∣∣∣∣∣ = (Ry −Qz ,Pz − Rx ,Qx − Py )
Un campo F es irrotacional cuando rot F = 0.F proviene de un potencial escalar⇒ F irrotacional.
Cálculo Vectorial 9 / 28
Integrales 1D
El teorema de Green (o del rotacional 2D)
Frontera orientada: La frontera C = ∂D de un dominioD ⊂ R2 ' R3 ∩ {z = 0} está orientada según k = (0,0,1)cuando k recorre C de forma que D queda a su izquierda.Teorema de Green: Sea D un dominio plano contenido enun abierto U ⊂ R2, sea C+ = ∂D su frontera orientada ysea F = (P,Q) : U → R2 un campo de clase C1. Entonces∫
D(Qx − Py )dxdy︸ ︷︷ ︸∫
D〈rot F ,k〉dxdy(integral 2D)
=
∮C+
Pdx + Qdy︸ ︷︷ ︸∮C+〈F ,d`〉
(integral 1D)
Cálculo Vectorial 10 / 28
Integrales 1D
Cálculo de áreas planas
Si D ⊂ R2 es un dominio plano, entonces
Area(D) =12
∮∂D
xdy − ydx =
∮∂D
xdy = −∮∂D
ydx .
Si D no tiene agujeros y ∂D está parametrizada en sentidoantihorario por σ(t) = (x(t), y(t)) con t ∈ [a,b], entonces
Area(D) =12
∫ b
a
(x(t)y ′(t)− y(t)x ′(t)
)dt
=
∫ b
ax(t)y ′(t)dt = −
∫ b
ay(t)x ′(t)dt .
Cálculo Vectorial 11 / 28
Integrales 2D
Índice
1 Integrales 1D
2 Integrales 2D
3 Resultados útiles
Cálculo Vectorial 12 / 28
Integrales 2D
Superficies importantes
Esfera {x2 + y2 + z2 = R2} S = ϕ([0,2π]× [−π
2 ,π2 ])
y
ϕ(θ, φ) = (R cosφ cos θ,R cosφ sin θ,R sinφ),
Cilindro {x2 + y2 = R2, 0 ≤ z ≤ h} S = ϕ(D) con
ϕ(θ, z) = (R cos θ,R sin θ, z), D = [0,2π]× [0,h].
Cono{
x2 + y2 = R2
h2 z2, 0 ≤ z ≤ h} S = ϕ(D) con
ϕ(θ, z) = (Rh z cos θ, R
h z sin θ, z), D = [0,2π]× [0,h].
Elipsoide{
x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1} S = ϕ
([0,2π]× [−π
2 ,π2 ])
ϕ(θ, φ) = (a cosφ cos θ,b cosφ sin θ, c sinφ).
Notaciones: R = radio, h = altura, θ = longitud, φ = latitud.
Cálculo Vectorial 13 / 28
Integrales 2D
Integral de una función sobre una superficie
Superficie: S = ϕ(D) ⊂ R3 con D ⊂ R2
Vectores tangentes: ϕu = ∂ϕ∂u y ϕv = ∂ϕ
∂v , con ϕ = ϕ(u, v)
Elemento de superficie: dS = ‖ϕu ∧ ϕv‖dudvÁrea de S: Area(S) =
∫S dS =
∫D ‖ϕu ∧ ϕv‖dudv
Integral de f sobre S:∫
S fdS =∫
D f (ϕ(u, v))‖ϕu ∧ϕv‖dudvGráficas 3D: Si S = {z = g(x , y) : (x , y) ∈ D}, entonces
ϕ(x , y) = (x , y ,g(x , y))dS =
√1 + (gx )2 + (gy )2 dxdy∫
S fdS =∫
D f (x , y ,g(x , y))√
1 + (gx )2 + (gy )2 dxdyEsféricas: Si S = {r = g(θ, φ) : (θ, φ) ∈ D}, entonces
ϕ(θ, φ) = g(θ, φ) · (cosφ cos θ, cosφ sin θ, sinφ)
dS = g√
g2θ + (g2 + g2
φ) cos2 φ dθdφ∫S fdS =
∫D f (ϕ(θ, φ))g
√g2θ + (g2 + g2
φ) cos2 φ dθdφ
Cálculo Vectorial 14 / 28
Integrales 2D
Aplicaciones 2D
Promedio de una función f : S → R: f = 1Area(S)
∫S f dS.
Sea S ⊂ R3 un “plancha” con densidad ρ : S → R+.Diremos que S es homogénea cuando ρ sea constante.Masa: m(S) =
∫S ρ dS.
Promedio ponderado por ρ de f : f = 1m(S)
∫S fρ dS.
Centro de masas: CM(S) = (x , y , z) = 1m(S)
∫S(x , y , z)ρ dS.
S homogéneo⇒ CM(S) = CG(S) = centro geométrico.Momento de inercia respecto un eje e:
Ie =
∫S
r2ρdS, r(p) = dist(p,e).
Importante: Conviene aprovechar las simetrías.
Cálculo Vectorial 15 / 28
Integrales 2D
Superficies de revolución
Sea S la superficie de revolución obtenida al girar unacurva generatriz C alrededor del eje vertical z.Coordenadas 2D: r = horizontal, z = verticalCoordenadas cilíndricas: x = r cos θ, y = r sin θ, zGeneratriz: C = {(r(t), z(t)) : t ∈ [a,b]} ⊂ R2
Parametrización: S = ϕ(D) ⊂ R3, con
ϕ(t , θ) =(r(t) cos θ, r(t) sin θ, z(t)), D = [a,b]× [0,2π].
Elemento de superficie: dS =√
(r ′(t))2 + (z ′(t))2 r(t) dtdθ
Area(S) = 2π∫ b
a
√(r ′(t))2 + (z ′(t))2 r(t) dt∫
S fdS =∫
D f(ϕ(t , θ)
)√(r ′(t))2 + (z ′(t))2 r(t) dtdθ
Cálculo Vectorial 16 / 28
Integrales 2D
Teoremas de Guldin
Sea Π+ ⊂ R3 un semiplano y e = ∂Π+.Sean C ⊂ Π+ una curva plana no necesariamente cerraday D ⊂ Π+ un dominio plano sin contacto con e.Primer teorema: Si S es la superficie de revoluciónobtenida al girar la curva C respecto al eje e, entonces
Area(S) = 2π dist(CG(C),e) Long(C).
Segundo teorema: Si W es el cuerpo sólido de revoluciónobtenido al girar el dominio D respecto la eje e, entonces
Vol(W ) = 2π dist(CG(D),e) Area(D).
Advertencia: C = ∂D 6⇒ CG(C) = CG(D).
Cálculo Vectorial 17 / 28
Integrales 2D
Flujos de campos 3D a través de superficies
Superficie regular: S = ϕ(D) ⊂ R3 con ϕu ∧ ϕv 6= 0.Vector diferencial de superficie: dS = (ϕu ∧ ϕv )dudv .Campo vectorial 3D: F = (P,Q,R) : U ⊂ R3 → R3.Flujo:
∫S〈F ,dS〉 =
∫D〈F ◦ ϕ,ϕu ∧ ϕv 〉 dudv .
Notación: Si ϕ = (x , y , z) y F = (P,Q,R), entonces∫S〈F ,dS〉 =
∫S
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =
∫D
∣∣∣∣∣∣P ◦ ϕ Q ◦ ϕ R ◦ ϕ
xu yu zuxu yu zu
∣∣∣∣∣∣dudv
Vector normal unitario: N = ϕu∧ϕv‖ϕu∧ϕv‖ .
Componente normal: Si FN = 〈F ,N〉, entonces
dS = NdS,∫
S〈F ,dS〉 =
∫S
FN dS.
Cálculo Vectorial 18 / 28
Integrales 2D
Flujos en gráficas 3D y superficies de revolución
Gráficas 3D: Si S = {z = g(x , y) : (x , y) ∈ D}, entoncesParametrización: ϕ(x , y) = (x , y ,g(x , y))Vector diferencial de superficie: dS = (−gx ,−gy ,1) dxdy .
Por tanto, el flujo es∫S〈F ,dS〉 =
∫D
(R(x , y ,g)− P(x , y ,g)gx −Q(x , y ,g)gy
)dxdy ,
donde g = g(x , y), gx = ∂g∂x (x , y) y gy = ∂g
∂y (x , y).
Superficies de revolución: Si S = ϕ(D) ⊂ R3, con
ϕ(t , θ) =(r(t) cos θ, r(t) sin θ, z(t)), D = [a,b]× [0,2π],
entonces el vector diferencial de superficie es
dS =(− z ′(t) cos θ,−z ′(t) sin θ, r ′(t)
)r(t) dtdθ.
Cálculo Vectorial 19 / 28
Integrales 2D
Flujos y orientaciones
Superficies cerradas: Escribimos∮
en vez de∫
.Toda superficie orientable tiene dos posibles orientaciones.Si la superficie es cerrada, son la exterior y la interior.El flujo no depende de la parametrización ϕ, pero su signodepende de la orientación.Antes de calcular un flujo es necesario saber quéorientación nos piden.Una vez fijada la orientación de una superficie, escribimos∫
S+
〈F ,dS〉 =
∫S〈F ,dS〉,
∫S−〈F ,dS〉 = −
∫S〈F ,dS〉
para denotar las orientaciones positiva y negativa.
Cálculo Vectorial 20 / 28
Integrales 2D
Campos solenoidales
Divergencia 3D: Si F = (P,Q,R) : U ⊂ R3 → R3, entonces
∇ · F = div F = Px + Qy + Rz ,
donde Qx = ∂Q∂x , Py = ∂P
∂y y Rz = ∂R∂z .
Un campo vectorial F : U ⊂ R3 → R3
Proviene de un potencial vector G : U → R3 si F = rot G.Es solenoidal (o incompresible) cuando div F = 0.
F proviene de un potencial vectorial⇒ F solenoidal.El Laplaciano de una función f = f (x , y , z) es
∆f = div grad f = fxx + fyy + fzz =∂2f∂x2 +
∂2f∂y2 +
∂2f∂z2 .
Cálculo Vectorial 21 / 28
Integrales 2D
El teorema de Gauss (o de la divergencia 3D)
Orientación: La frontera S = ∂W de una región W ⊂ R3
está orientada según el vector normal exterior N cuando Napunta hacia el exterior de W en cada punto de S.Teorema de Gauss: Sea W una región contenida en unabierto U ⊂ R3, sea S+ = ∂W su frontera orientada segúnel vector normal exterior y sea F : U → R3 un campo declase C1. Entonces∫
Wdiv F dxdydz︸ ︷︷ ︸integral 3D
=
∮S+
〈F ,dS〉︸ ︷︷ ︸integral 2D
F solenoidal ⇒∮
S+〈F ,dS〉 = 0.div F ≡ c ⇒
∮S+〈F ,dS〉 = c Vol(W ).
Cálculo Vectorial 22 / 28
Integrales 2D
Gauss en superficies no cerradas
Si S es una superficie no cerrada y F : U → R3 un campode clase C1, entonces∫
S+
〈F ,dS〉 =
∫W
div F dxdydz −∫
T+
〈F ,dS〉,
donde T es una tapa arbitraria que, pegada a S, encierrala región W ⊂ R3.S y T deben orientarse según el vector normal exterior,luego si nos piden la orientación opuesta tenemos quecambiar el signo del flujo.Las tapas planas son prácticas.
Cálculo Vectorial 23 / 28
Integrales 2D
El teorema de Stokes (o del rotacional 3D)
Frontera orientada: La frontera C = ∂S de una superficieS ⊂ R3 está orientada según un vector normal N cuandoN recorre C de forma que S queda a su izquierda.Teorema de Stokes: Sea S una superficie contenida en unabierto U ⊂ R3, sea C+ = ∂S su frontera (ambasorientadas según un vector normal N) y sea F : U → R3
un campo de clase C1. Entonces∫S〈rot F ,dS〉︸ ︷︷ ︸
integral 2D
=
∮C+
〈F ,d`〉︸ ︷︷ ︸integral 1D
F irrotacional ⇒∮
C+〈F ,d`〉 = 0.
Cálculo Vectorial 24 / 28
Resultados útiles
Índice
1 Integrales 1D
2 Integrales 2D
3 Resultados útiles
Cálculo Vectorial 25 / 28
Resultados útiles
Algunas integrales definidas trigonométricas
En esta página, m y n son números naturales arbitrarios.Relaciones de ortogonalidad de Fourier:∫ 2π
0 cos(nθ) dθ =∫ 2π
0 sin(nθ) dθ =∫ 2π
0 cos(mθ) sin(nθ)dθ = 0
m 6= n⇒∫ 2π
0 cos(mθ) cos(nθ) dθ =∫ 2π
0 sin(mθ) sin(nθ) dθ = 0
Si In = 1 · 3 · 5 · ··· · (2n−1)2 · 4 · 6 · ··· · 2n , entonces:∫ 2π
0 sin2n θ dθ = 2∫ π
0 sin2n θ dθ = 4∫ π/2
0 sin2n θ dθ = 2πIn∫ 2π0 cos2n θ dθ = 2
∫ π0 cos2n θ dθ = 4
∫ π/20 cos2n θ dθ = 2πIn
Si Jn = 2 · 4 · 6 · ··· · 2n3 · 5 · 7 · ··· · (2n+1) , entonces:
12
∫ π0 sin2n+1 θ dθ =
∫ π/20 sin2n+1 θ dθ =
∫ π/20 cos2n+1 θ dθ = Jn∫ 2π
0 sin2n+1 θ dθ =∫ 2π
0 cos2n+1 θ dθ =∫ π
0 cos2n+1 θ dθ = 0
Cálculo Vectorial 26 / 28
Resultados útiles
Simetrías 2D
Integral 1D: f (−x) = −f (x)⇒∫ a−a f (x)dx = 0.
Si A es un subconjunto de Rn, f : Rn → R es una función yτ : Rn → Rn es una aplicación, entonces
A es τ -invariante cuando τ(A) = A.f es τ -impar cuando f (τ(p)) = −f (p).
Las simetrías 2D básicas son las aplicaciones:
τ(x , y) = (−x , y), τ(x , y) = (x ,−y),
τ(x , y) = (−x ,−y), τ(x , y) = (y , x).
Si τ es una de las anteriores simetrías 2D y f : R2 → R esuna función τ -impar, entonces:
C ⊂ R2 curva τ -invariante⇒∫
C fd` = 0,D ⊂ R2 dominio τ -invariante⇒
∫D f (x , y)dxdy = 0.
Cálculo Vectorial 27 / 28
Resultados útiles
Simetrías 3D
Las simetrías 3D básicas son las aplicaciones:
τ(x , y , z) = (−x , y , z), τ(x , y , z) = (x ,−y , z),
τ(x , y , z) = (x , y ,−z), τ(x , y , z) = (−x ,−y , z),
τ(x , y , z) = (−x , y ,−z), τ(x , y , z) = (x ,−y ,−z),
τ(x , y , z) = (−x ,−y ,−z), τ(x , y , z) = (y , x , z),
τ(x , y , z) = (z, y , x), τ(x , y , z) = (x , z, y).
Si τ es una de las anteriores simetrías 3D y f : R3 → R esuna función τ -impar, entonces:
C ⊂ R3 curva τ -invariante⇒∫
C fd` = 0,S ⊂ R3 superficie τ -invariante⇒
∫S fdS = 0,
W ⊂ R3 región τ -invariante⇒∫
W f (x , y , z)dxdydz = 0.
Cálculo Vectorial 28 / 28
Resultados útiles
Cambios de variable importantes
Polares:x = r cos θ, y = r sin θx2 + y2 = r2
dxdy = r drdθ∫D f (x , y) dxdy =
∫D∗ f (r cos θ, r sin θ)r drdθ
Cilíndricas:x = r cos θ, y = r sin θ, z = zx2 + y2 = r2
dxdydz = r drdθdz∫W f (x , y , z) dxdydz =
∫W∗ f (r cos θ, r sin θ, z)r drdθdz
Esféricas:x = r cos θ cosφ, y = r sin θ cosφ, z = r sinφx2 + y2 + z2 = r2
dxdydz = r2 cosφ drdθdφ∫W f (x , y , z) dxdydz =∫W∗ f (r cos θ cosφ, r sin θ cosφ, r sinφ)r2 cosφ drdθdφ