Download - Clase de dinamica cls # 11
Energía potencial en el movimiento armónico simple
푑푤 = 퐹 푑푥
푑푤 = 푘푥 푑푥
푊 = 푘푥 푑푥
푊 =12 푘푥
푈 푥 = 푊 = 푒푛푒푟푔푖푎 푝표푡푒푛푐푖푎푙
푈 푥 =12 푘푥
푈 푥 = 0 (푒푛 푝표푠푖푐푖표푛 푑푒 푒푞푢푖푙푖푏푟푖표)
Energía total (E)
퐸 = 푈 + 푈
푈 = 푒푛푒푟푔푖푎 퐶푖푛푒푡푖푐푎
퐸 =12 푘푥 +
12 푚 푣
푥 푡 = 퐴푐표푠(휔푡 + ∅)
푣 푡 = −휔퐴 푠푒푛(휔푡 + ∅)
휔 =푘푚
Sustituyendo:
퐸 = 푈 + 푈
퐸 =12 푘 퐴푐표푠 휔푡 + ∅ +
12푚 −휔퐴 푠푒푛 휔푡 + ∅
퐸 =12 푘퐴 cos 휔푡 + ∅ +
12푚휔 퐴 푠푒푛 (휔푡 + ∅)
퐸 =12 푘퐴 cos 휔푡 + ∅ +
12푚
푘푚퐴 푠푒푛 (휔푡 + ∅)
퐸 =12 푘퐴 (cos 휔푡 + ∅ + 푠푒푛 (휔푡 + ∅))
퐸 =12 푘퐴
Es una Constante
Ejemplo
Si al sistema se le da una energía de 200 joules, calcule la máxima fuerza inducida
푘 = 10푁푚
푚 = 2푘푔
Solución
1 푗표푢푙푒푠 = 1푁 ∗ 푚
푑 푥푑푡 +
푘푚 푥 = 0
푥 푡 = 퐴푐표푠(휔푡 + ∅)
푣 푡 = −휔퐴 푠푒푛(휔푡 + ∅)
푎 푡 = −휔 퐴푐표푠(휔푡 + ∅)
푎 푡 = −휔 퐴푐표푠(휔푡 + ∅)
(1)
퐹 = 푚휔 퐴
퐸 =12 푘 퐴
퐴 =2퐸푘
퐹 = 푚푘푚
2퐸푘
퐹 = 푘2퐸푘 = 10 2 ∗
20010
퐹 = 63.25푁
Ejemplo
Si la masa de las columnas es despreciable con respecto a la losa
퐸 = 2푋10푁푚
Al sistema se lo proporciona una energía de 3(10^4) joules, calcule la máxima fuerza inducida sobre la losa
Solución
퐹 = 푚푎
−푘푥 = 푚 푑 푥푑푡
푘 =12퐸퐼퐿 +
12퐸퐼퐿
푚푑 푥푑푡 + 푘푥 = 0
푘 =24퐸퐼퐿
푚푑 푥푑푡 +
24퐸퐼퐿 푥 = 0
푑 푥푑푡 +
24퐸퐼푚 퐿 푥 = 0
휔 =24퐸퐼푚 퐿
퐹 = 푚휔 퐴
퐹 = 푚24퐸퐼푚 퐿
2퐸푘
퐸 =12 푘 퐴
퐴 =2퐸푘
퐹 =24퐸퐼
퐿2퐸24퐸퐼퐿
퐹 =24퐸퐼퐿
퐸 퐿12퐸퐼
퐼 =1
12 0.10 0.20 = 6.67푋10 푚 퐿 = 3.00푚
퐸 = 3푋10 푗표푢푙푒푠
퐹 =24 2푋10 6.67푋10
33푋10 3
12 ∗ 2푋10 6.67푋10
퐹 = 2.67푋10 푁 = 2.67푘푁
Ejemplo
Si se pone en movimiento halle el periodo de la vibración de la masa “m” si se desprecia la masa de la columna E= modulo de elasticidad
Solución
퐹 = −푘푥
퐹 = −3퐸퐼퐿 푥
푚푑 푥푑푡 +
3퐸퐼퐿 푥 = 0
푑 푥푑푡 +
3퐸퐼푚 퐿 푥 = 0
휔 =3퐸퐼푚퐿
푇 =2휋휔
푇 = 2휋 푚퐿3퐸퐼
퐼 =1
12 푎 푏
푇 = 2휋 12 푚퐿3퐸 푎 푏
Ejemplo
Si m se desplaza 50cms hacia la derecha de su posición de equilibrio y luego se suelta calcule:
a.- La frecuencia Natural del sistemab.- el periodo c.- La posición en función del tiempod.- Grafique
Datos
Solución
푐 = 푐 =20푁푚 푠푒푔
푘 = 푘 = 125푁푚
푚 = 10 푘푔 (푚푎푠푎)
퐹 = 푚푎
퐹 + 퐹 + 퐹 + 퐹 = 푚푎
−푘 푥 − 푘 푥 − 푐 푣 − 푐 푣 = 푚푎
푚푎 + 푘 + 푘 푥 + 푐 + 푐 푣 = 0
2훽 =푐 + 푐푚
훽 =푐 + 푐
4푚
휔 =푘 + 푘푚
훽 − 휔 =푐 + 푐
4푚 −푘 + 푘푚
훽 − 휔 =1600
4 100 −25010 = −21
훽 − 휔 < 0
Caso I Sub-amortiguamiento
퐴 = 푥 +푣 + 훽푥
휔
푥 푡 = 퐴푒 ∗푥퐴
cos 휔 푡 +(푣 +훽 푥 )
퐴휔푠푒푛 휔 푡
Si:
푥 = 50푐푚푠
푣 = 0푐푚푠푠
푎.−
휔 =푘 + 푘푚
휔 =125 + 125
10
휔 = 25 푠
훽 =푐 + 푐2푚
훽 =20 + 20
2(10)
훽 = 2
휔 = 휔 − 훽
휔 = 25 − 4
휔 = 21
푏.−
( 0 + (2) (0.50))21
=121
퐴 = 0.50 +0 + 2(0.50)
21
퐴 = 푥 +푣 + 훽푥
휔
퐴 =2584
푥 푡 = 퐴푒 ∗푥퐴 cos 휔 푡 +
(푣 +훽 푥 )퐴휔
푠푒푛 휔 푡
푥 푡 =2584 푒
0.50
2584
cos 21 푡 +1
21 2584
sen 21 푡
푓 푡 = 퐴 푒 =2584 푒
푓 푡 = −퐴 푒 = −2584 푒